Топологiчна класифiкацiя градiieнтноподiбних векторних полiв з однieю сiдловою особливiстю

За допомогою гладких функцiй на замкненiй орiєнтованiй поверхнi, у яких крiм локальних максимумiв i мiнiмумiв є лише одна вироджена критична точка типу сiдла встановлено критерiй топологiчної еквiвалентностi гладких векторних полiв без замкнених i гомоклiнiчних траєкторiй, множина критичних елементi...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2006
Автор:	Кадубовський, О.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Українська
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2006
Теми:	Геометрія, топологія та їх застосування
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6280
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Топологiчна класифiкацiя градiieнтноподiбних векторних полiв з однieю сiдловою особливiстю / О.А. Кадубовський // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2006. — Т. 3, № 3. — С. 163-179. — Бібліогр.: 8 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1860163839522242560
author	Кадубовський, О.А.
author_facet	Кадубовський, О.А.
citation_txt	Топологiчна класифiкацiя градiieнтноподiбних векторних полiв з однieю сiдловою особливiстю / О.А. Кадубовський // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2006. — Т. 3, № 3. — С. 163-179. — Бібліогр.: 8 назв. — укр.
collection	DSpace DC
description	За допомогою гладких функцiй на замкненiй орiєнтованiй поверхнi, у яких крiм локальних максимумiв i мiнiмумiв є лише одна вироджена критична точка типу сiдла встановлено критерiй топологiчної еквiвалентностi гладких векторних полiв без замкнених i гомоклiнiчних траєкторiй, множина критичних елементiв яких складається з джерел, стокiв та однiєї сiдлової особливостi. В залежностi вiд роду орiєнтованої поверхнi наведено точне значення числа топологiчно нееквiвалентних полiв з вказаного класу, у яких лише одне джерело та один стiк. By means of smooth functions that possess only one saddle critical point in addition to local maxima and minima we give a necessary and sufficient condition for topological equivalence of smooth vector fields which satisfies the following conditions: 1) it has a finite number of critical elements (there are only one saddle, sources and sinks), 2) the -limit and !-limit sets of any trajectory are critical elements, 3) there are no saddle connections and closed trajectory. We also calculated the number of non equivalent such fields with one source and one sink on closed oriented surfaces of genus g ≥ 2.
first_indexed	2025-12-07T17:55:56Z
format	Article
fulltext	Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2006, т.3, №3, 163-179 О.А.Кадубовський Iнститут математики НАН України E-mail: kadubovs@imath.kiev.ua Топологiчна класифiкацiя градiieнтноподiбних векторних полiв з однieю сiдловою особливiстю За допомогою гладких функцiй на замкненiй орiєнтованiй поверхнi, у яких крiм локальних максимумiв i мiнiмумiв є лише одна вироджена критична точка типу сiдла встановлено критерiй топологiчної еквi- валентностi гладких векторних полiв без замкнених i гомоклiнiчних траєкторiй, множина критичних елементiв яких складається з дже- рел, стокiв та однiєї сiдлової особливостi. В залежностi вiд роду орiєн- тованої поверхнi наведено точне значення числа топологiчно нееквiва- лентних полiв з вказаного класу, у яких лише одне джерело та один стiк. By means of smooth functions that possess only one saddle critical point in addition to local maxima and minima we give a necessary and sufficient condition for topological equivalence of smooth vector fields which satisfies the following conditions: 1) it has a finite number of critical elements (there are only one saddle, sources and sinks), 2) the α-limit and ω-limit sets of any trajectory are critical elements, 3) there are no saddle connections and closed trajectory. We also calculated the number of non equivalent such fields with one source and one sink on closed oriented surfaces of genus g ≥ 2. Ключовi слова: Векторне поле, функцiя Ляпунова, топологiчна класи- фiкацiя Вступ Вiдомо, що для топологiчної класифiкацiї полiв Морса– Смейла без замкнених траєкторiй (полiв Морса) на орiєн- тованих поверхнях ефективно використовуються функцiї c© О.А. Кадубовський, 2006 164 О.А.Кадубовський Ляпунова з трьома критичними значеннями [4]. Бiльше того, класичним результатом є той факт, що кожне поле Морса є полем градiєнта деякої функцiї Морса. Для градiєнтноподiбних векторних полiв з iзольованими особливостями iснує функцiя Ляпунова. I тому для топо- логiчної класифiкацiї таких полiв виникає потреба в до- слiдженнi гладких функцiй вiдповiдного класу на поверх- нях. Серед робiт, присвячених класифiкацiї гладких функ- цiй на поверхнях, слiд вiдмiтити роботи А.В.Болсiнова, Е.В.Кулiнiча, А.О.Ошемкова, О.О.Пришляка, В.В.Шарка та iн. Зокрема, в роботi Шарка [6] дослiджено питання то- пологiчної класифiкацiї гладких функцiй з класу C∞(N) з трьома критичними значеннями на поверхнi N , всi кри- тичнi точки яких є iзольованими i лежать у внутрiшностi N на однiй лiнiї рiвня. Як було зазначено вище, виникає потреба в класифiкацiї бiльш широкого класу L (N) "градiєнтноподiбних" вектор- них полiв без замкнених траєкторiй, множина критичних елементiв яких складається з джерел, стокiв та (складних) сiдел — особливих точок цiлого вiд’ємного iндексу. Очевидно, що поле градiєнта кожної функцiї з класу C∞(N) належить множинi L (N). I тому для класифiка- цiї таких полiв доцiльно використовувати функцiї з класу C∞(N). В загальному випадку питання топологiчної класи- фiкацiї таких полiв залишається вiдкритим. В данiй роботi за допомогою гладких функцiй, у яких крiм локальних максимумiв i мiнiмумiв є лише одна вирод- жена критична точка типу сiдла, отримана топологiчна класифiкацiя векторних полiв з класу LM,m ( N2 g ) на орiєн- тованiй поверхнi N2 g , якi задовольняють умови: Топологiчна класифiкацiя ... 165 1) поле X ∈ Lm,M (N2 g ) має скiнченне число критичних еле- ментiв, 2) вiдсутнi замкненi траєкторiї, а множина особ- ливих точок поля X складається з m джерел, M стокiв та однiєї сiдлової особливостi (складне сiдло), 3) вiдсут- нi траєкторiї, ω− i α−граничною множинами яких є сiдло (вiдсутнi гомоклiнiчнi траєкторiї), 4) для кожної траєк- торiї поля її ω- i α-граничнi множини є особливими точка- ми поля. 1. Необхiднi означення та зауваження Нехай N2 g — замкнена, гладка, орiєнтована поверхня роду g, а X ∈ Lm,M(N2 g ). Тодi, як наслiдок з теореми Пуанкаре-Хопфа, iндекс Пуанкаре поля X єдиної сiдло- вої особливостi s0 дорiвнює ind(X, s0) = 2 − 2g − m − M, де g — рiд поверхнi N2 g . Останнє означає, що в сiдло s0 входить (виходить) точно n = 2g + m + M − 1 сепаратрис. Означення 1. Векторнi поля X, Y ∈ Lm,M(N2 g ) буде- мо називати топологiчно еквiвалентними, якщо iснує го- меоморфiзм h : N2 g −→ N2 g (що зберiгає орiєнтацiю), який переводить траєкторiї поля X в траєкторiї поля Y зi збереженням орiєнтацiї на них. Означення 2. Двi гладкi функцiї f i g на поверхнi N2 g називають топологiчно еквiвалентними, якщо iснують такi гомеоморфiзми k : N2 g → N2 g i l : R → R, що f = l ◦ g ◦ k−1. В подальшому будемо вважати, що го- меоморфiзми k i l зберiгають орiєнтацiю. Через Cm,M(N2 g ) позначимо клас гладких функцiй з M максимумами, m мiнiмумами та однiєю виродженою кри- тичною точкою типу сiдла на замкненiй орiєнтованiй по- верхнi N2 g . 166 О.А.Кадубовський 2. Основна частина Нижче покажемо, що кожному векторному полю X з класу Lm,M (N2 g ) можна поставити у вiдповiднiсть функ- цiю Ляпунова, тобто, таку гладку функцiю fX : N2 g −→ R, яка задовольняє наступнi умови: 1) функцiя fX строго спадає вздовж iнтегральних траєк- торiй поля X, 2) критичнi точки функцiї fX спiвпадають з особливими точками поля X: мiнiмуми функцiї fX спiвпадають з дже- релами r1, r2, ..., rm поля X, максимуми fX — зi стоками p1, p2, ..., pM поля X, а (вироджена) критична точка типу сiдла функцiї fX — з сiдловою особливiстю s0 поля. Лема 1. Для кожного векторного поля X ∈ Lm,M(N2 g ) iснує функцiя Ляпунова. Доведення. Доведення цього твердження проведемо за схемою, запропонованою Мейєром в роботi [2] при встанов- ленi аналогiчного результату для полiв Морса–Смейла. Нехай βi = ri, i = 1, ..., m джерела поля X, βm+j = pj , j = 1, ..., M — стоки, а β0 = s0 — сiдло поля X. Розглянемо дисковi околи Dk критичних елементiв βk, k = 0, ..., m+M . Через скiнченнiсть числа особливих точок поля X вказанi околи можна обрати так, щоб вони не перетинались. Оскiльки поле X в околах джерел (рис. 4 A) топологiч- но еквiвалентне полю Xr = grad(x2 + y2), то, локально, в околах Dk (k = m+1, ..., m+M) функцiю fX можна задати у виглядi fX = x2 + y2. Аналогiчно, з того що поле X в околах стокiв (рис. 4 B) топологiчно еквiвалентне полю Xp = grad(−x2 − y2), то, локально, функцiю fX в околах Dk (k = 1, ..., m) можна задати у виглядi fX = −x2 − y2. Топологiчна класифiкацiя ... 167 Рис. 4. Джерело, сток i складне сiдло Добре вiдомо (див. напр. [5]), що векторне поле X в околi складного сiдла (рис. 4 C) є топологiчно еквiвалент- ним полю Xs = grad(Rezn), де Rezn — дiйсна частина ком- плексного числа zn = (x + iy)n. Тодi, локально, в околi D0 складного сiдла s0 функцiю fX задамо як fX = Rezn, де n – число сепаратрис якi входять (або виходять) в сiдло. Отже, функцiю fX визначено в околах усiх особливих то- чок поля X. Продовження функцiї fX на всю поверхню N2 g можна задати так, як описано в роботi Смейла [1]. Основна iдея полягає в наступному. Оскiльки для кожної траєкторiї по- ля X ∈ Lm,M (N2 g ) її α- i ω-граничнi множини є особливими точками — джерелом, стоком або сiдлом, то функцiю fX можна продовжити (визначити) на сепаратрисах сiдла. Наступним кроком є продовження функцiї fX вздовж трубчастих околiв Vj (j = 1, ..., 2n) сепаратрис. Нехай U = Di ⋃ i,j Vj , i = 0, ..., m + M, j = 1, ..., 2n. Ясно, що доповнення U до N2 g складається з незв’язного об’єднання скiнченного числа q двомiрних клiтин — дис- кiв D′ j , j = 1, ..., q. Границею кожного такого диску є коло, яке складається з дуг граничних кiл дискiв Di та границь 168 О.А.Кадубовський смуг Vj. Тому функцiю fX можна продовжити на кожен з дискiв D′ j. Таким чином, функцiю fX , побудовану за полем X, визначено на всiй поверхнi N2 g i вона задовольняла умо- ви визначення функцiї Ляпунова. � Означення 3. Функцiю Ляпунова fX для поля X ∈ Lm,M(N2 g ) будемо називати L-функцiєю i позначати f̂X, якщо fX : N2 g −→ [−1, 1] має три критичнi значення. А саме: лiнiя рiвня f−1 X (−1) мiстить джерела r1, r2, ..., rm поля X, f−1 X (0) мiстить сiдлову особливiсть s0, а f−1 X (1) — всi стоки p1, p2, ..., pM поля X. Означення 4. Векторнi поля X, Y з класу Lm,M(N2 g ) будемо називати L-еквiвалентними, якщо вiдповiднi їм L-функцiї f̂X , f̂Y : N2 g → R є топологiчно еквiвалентними. Теорема 1. Два поля X, X ′ ∈ Lm,M(N2 g ) топологiчно еквiвалентнi тодi i лише тодi, коли вони L-еквiвалентнi. Доведення. Нехай h : N2 g −→ N2 g — топологiчна еквiва- лентнiсть мiж полями X, X ′ ∈ Lm,M(N2 g ), а f = f̂X i f ′ = f̂X′ вiдповiднi цим полям L-функцiї. Для доведен- ня необхiдностi достатньо показати, що якщо функцiї f i f ′ топологiчно еквiвалентнi в околах сингулярних точок, то вони є топологiчно еквiвалентними. Спочатку покажемо, що для топологiчно еквiвалентних полiв X i X ′ функцiї f i f ′ є топологiчно еквiвалентни- ми в околах критичних точок. Припустимо, що особливi точки βi, β ′ i полiв X i X ′ занумеровано так, що h(βi) = β ′ i ∀i = 0, ..., m + M . Позначимо через δi, δ′i критичнi точки функцiй f i f ′. Без обмеження загальностi, можна вважа- ти, що βi = δi, а β ′ i = δ′i при всiх i = 0, ..., m + M . Топологiчна класифiкацiя ... 169 Розглянемо малi дисковi околи Di, D ′ i джерел βi, β ′ i, якi спiвпадають з мiнiмумами δi, δ ′ i функцiй f i f ′. Оскiльки поля X i X ′ в цих околах є топологiчно еквiвалентними полю Xr = grad(x2 +y2), а лiнiї рiвня функцiй f i f ′ транс- версально перетинають iнтегральнi траєкторiї (полiв X i X ′ вiдповiдно), що виходять з βi i β ′ i, то функцiї f i f ′ є топологiчно еквiвалентними в указаних околах — рис. 5. З аналогiчних мiркувань випливає справедливiсть того, що функцiї f i f ′ є топологiчно еквiвалентними i в деяких дискових околах Di, D ′ i максимумiв δi, δ ′ i, якi спiвпадають зi стоками полiв X i X ′. Рис. 5. Дисковi околи джерел i стокiв полiв X i X ′ Слiд вiдмiтити, що топологiчна еквiвалентнiсть функцiй f i f ′ в околах мiнiмаксних точок є наслiдком результатiв роботи [3], в якiй показано, що для будь-якого локального мiнiмуму (максимуму) гладкої функцiї f : N2 g −→ R iснує окiл, в якому f неперервною замiною координат зводиться до вигляду f = x2 + y2 (f = −x2 − y2). Нехай тепер β0 — сiдло поля X, β ′ 0 = h(β0) сiдло поля X ′. Розглянемо такий дисковий окiл D0 сiдла β0 (хрест — рис. 6), границя якого складається з вiдрiзкiв iнтеграль- них траєкторiй (дуг хреста) та вiдрiзкiв лiнiй рiвня функ- цiї f (сторiн хреста). Оскiльки кожна з функцiй f i f ′ в околах сiдлових критичних точок δ0, δ ′ 0 топологiчно еквiвалентна функцiї 170 О.А.Кадубовський Рис. 6. D0-окiл сiдла (хрест) i V -окiл сепаратриси fs = Rezn, i в указаних околах D0 i D′ 0 лiнiї рiвня кож- ної з них перетинають iнтегральнi траєкторiї вiдповiдного поля трансверсально, то f i f ′ топологiчно еквiвалентнi у вказаних околах. Отже, функцiї f i f ′ є топологiчно еквiвалентними в око- лах сингулярних точок. Далi розглянемо такi околи Vi вiдрiзкiв сепаратрис τi сiдла s0, границями яких (границями смуг) також є iнте- гральнi траєкторiї поля X. Очевидно, що кожен такий окiл є "прямокутником", двi протилежнi сторони якого є iнте- гральними траєкторiями поля, одна з двох iнших сторiн є дугою граничного кола дискового околу деякого джерела, або стока, а iнша сторона — вiдрiзком лiнiї рiвня функцiї f (стороною хреста). За визначенням функцiї Ляпунова вiдрiзки лiнiй рiвня функцiї f перетинають iнтегральнi кривi кожного такого околу Vi трансверально. Аналогiчне має мiсце i для околiв V ′ i = h(Vi) сепаратрис τ ′ i = h(τi) сiдла s′0 поля X ′. Топологiчна класифiкацiя ... 171 З того, що функцiї f i f ′ в околах Vi, V ′ i не мають критич- них точок, а вiдрiзки їх лiнiй рiвня перетинають iнтеграль- нi кривi вiдповiдних околiв трансверсально випливає, що f i f ′ є топологiчно еквiвалентними в околах Vi, V ′ i . Нехай U = Di ⋃ i,j Vj , i = 0, ..., m + M , j = 1, ..., 2n. Зро- зумiло, що доповнення U до N2 g є незв’язним об’єднанням скiнченного числа r двомiрних дискiв ∆j , j = 1, ..., r. Границею кожного такого диску є коло, яке складається з дуг граничних кiл дискiв Di та границь смуг Vj . А саме, кожен такий окiл має вид, зображений на рис. 7. Оскiльки функцiї f i f ′ в околах ∆i i ∆′ i = h(∆i) не мають критичних точок, а їх лiнiї рiвня трансверсально перетинають вiдрiзки iнтегральних кривих, то f i f ′ є то- пологiчно еквiвалентними в указаних околах (рис. 7). Рис. 7. Окiл ∆i з лiнiями рiвня функцiї f Таким чином, оскiльки функцiї f i f ′ топологiчно еквi- валентнi в околах Di, D ′ i сингулярних точок, в околах Vi, V ′ i вiдрiзкiв сепаратрис τi, τ ′ i сiдел s0, s′0 (якi спiвпадають з сiдловими критичними точками δ0, δ ′ 0 цих функцiй) та на доповненнях N2 g \ ( Di ⋃ i,j Vj ) , N2 g \ ( D′ i ⋃ i,j V ′ j ) , то iс- нує глобальний гомеоморфiзм h : N2 g −→ N2 g , такий що f ◦ h = f ′. Отже, L-функцiї f i f ′ для топологiчно еквiва- лентних полiв X i X ′ також еквiвалентнi. 172 О.А.Кадубовський Нехай тепер h : N2 g −→ N2 g — гомеоморфiзм, який пере- водить лiнiї рiвня функцiї f в лiнiї рiвня функцiї f ′. Нехай далi δi i h(δi) = δ′i – критичнi точки функцiй f i f ′, а βi i β ′ i – особливi точки полiв X i X ′. Як i ранiше будемо вважати, що βi = δi, β ′ i = δ′i ∀i = 0, ..., m + M . З того що функцiї f i f ′ є топологiчно еквiвалентни- ми в околах локальних максимумiв (мiнiмумiв) випливає, що поля X i X ′ топологiчно еквiвалентнi в деяких околах Di, D ′ i джерел (стокiв) βi = δi i β ′ i = h(δ′i). Розглянемо лiнiю рiвня Γ0 = f−1(0), якiй належить сiд- лова критична точка δ0 функцiї f . Не важко бачити, що Γ0 є букетом n кiл. За визначенням Γ0\δ0 трансверсально пе- ретинає траєкторiї поля X. Зафiксуємо досить мале ε > 0. Тодi лiнiя рiвня Γ− = f−1(−ε) (Γ+ = f−1(ε)) є незв’язним об’єднанням m (вiдповiдно M) кiл S1 i також трансвер- сально перетинає траєкторiї поля X. Розглянемо дисковий окiл D0 сiдлової критичної точки δ0, яка спiвпадає з сiдлом β0 поля X. При досить малому ε окiл D0 можна обрати так, щоб вiн являв собою "хрест", сторонами якого є вiдрiзки iнтегральних кривих поля X, а дугами — вiдрiзки лiнiй рiвня Γ− та Γ+ — рис. 8. Рис. 8. Окiл D0 сiдлової критичної точки i Υ- окiл вiдрiзка лiнiї рiвня Γ0 функцiї f Топологiчна класифiкацiя ... 173 Зрозумiло, що у вибраних нами околах D0 i D′ 0 = h(D0) поля X i X ′ топологiчно еквiвалентнi, оскiльки, локально, вони еквiвалентнi полю Xs = grad(Rezn). Позначимо через Nε = f−1([−ε, ε]) ε-окiл критичного рiвня Γ0. Тодi доповнення околу D0 до Nε складається з незв’язного об’єднання множин Υi — ε-околiв вiдрiзкiв лiнiї рiвня Γ0. Границею кожного такого околу (смужки) є вiдрiзки лiнiй рiвня Γ−, Γ+ та вiдрiзки iнтегральних кри- вих (сторони креста D0) поля — рис. 8. Оскiльки поле X (X ′) в околi Υi (Υ′ i = h(Υi)) не має особливих точок, а усi вiдрiзки лiнiї рiвня f−1(λ) (f ′−1(λ)), −ε ≤ λ ≤ ε, що належать Υi (Υ′ i) трансверсальнi iнте- гральним траєкторiям поля X (X ′), то з цього випливає, що X i X ′ топологiчно еквiвалентнi в цих околах. Нехай W = ( ⋃ k Υk)∪ ( ⋃ i Di). Тодi доповнення W до N2 g складається з незв’язного об’єднання скiнченного числа q цилiндрiв Ci ∼= S1 × I (i = 1, ..., q). Одним з граничних кiл кожного такого цилiндру є граничне коло дискового околу мiнiмуму (максимуму), а друге граничне коло належить лiнiї рiвня f−1(−ε) (або f−1(ε) вiдповiдно). Оскiльки векторнi поля X i X ′ на цилiндрах Ci, h(Ci) не мають особливих точок, а граничнi кола вiдповiдних цилiндрiв перетинають траєкторiї полiв трансверсально, то поля X i X ′ є топологiчно еквiвалентними на кожнiй парi таких цилiндрiв. Отже, оскiльки поля X i X ′ топологiчно еквiвалентнi в околах особливих точок βi, β ′ i, в околах Υi, Υ′ i та на допов- неннях N2 g \W i N2 g \W ′, то iснує глобальний гомеоморфiзм k : N2 g −→ N2 g , який переводить траєкторiї поля X в тра- єкторiї поля Y . � 174 О.А.Кадубовський Таким чином, встановлено бiєкцiю мiж класами топо- логiчної еквiвалентностi L-функцiй i класами топологiчної еквiвалентностi полiв з множини Lm,M(N2 g ). 3. Число топологiчно нееквiвалентних полiв з класу Lm,M(N2 g ) Очевидно, що клас L-функцiй, якi вiдповiдають век- торним полям з множини Lm,M(N2 g ), спiвпадає з класом Cm,M(N2 g ) . Отже, iснує бiєкцiя мiж класами топологiчної еквiвалентностi функцiй з множини Cm,M(N2 g ) i класами топологiчної еквiвалентностi вказаних полiв. В роботi автора [7] за допомогою 2-кольорових хордо- вих дiаграм спецiального виду встановлено критерiй то- пологiчної еквiвалентностi функцiй з класу Cm,M(N2 g ) та доведено, що число топологiчно нееквiвалентних функ- цiй з класу CM,m ( N2 g ) дорiвнює числу неiзоморфних 2- кольорових Dm,M -дiаграм з n = 2g + M + m − 1 хордами. Наведемо основнi означення. Хордовою дiаграмою (рис. 9 A) з n хордами або, корот- ко, n-дiаграмою називають конфiгурацiю на площинi, що складається з кола, 2n рiзних точок на ньому (якi є вер- шинами правильного 2n-кутника) та n хорд, якi задають розбиття 2n точок на пари . Двокольоровою хордовою дiаграмою з n хордами будемо називати хордову n-дiаграму, дуги кола якої по черзi роз- фарбовано в два кольори (чорний i бiлий) так, що сусiднi дуги рiзного кольору — рис. 9 C), D). Надалi будемо вважати, що всi двокольоровi n-дiаграми будуються на основi канонiчного кола (рис. 9 B) — кола з фiксованою нумерацiєю 2n точок на ньому (за годиннико- вою стрiлкою), якi є вершинами правильного 2n-кутника; Топологiчна класифiкацiя ... 175 дуги (1, 2); (3, 4); ...; (2n − 1, 2n) – чорного кольору, а дуги (2, 3); (4, 5); ...; (2n, 1) – бiлого кольору. 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 A B C D Рис. 9. A) 6-дiаграма; B) канонiчне коло; C) O-дiаграма з 2 чорними i 3 бiлими циклами; D) N -дiаграма Двокольорову хордову дiаграму, яка не мiстить хорд, що сполучають вершини з номерами однакової парностi, називатимемо O-дiаграмою (N -дiаграмою) — рис. 9 C (D). Чорним (бiлим) циклом O-дiаграми будемо називати по- слiдовнiсть хорд i чорних (бiлих) дуг, якi утворюють го- меоморфний образ орiєнтованого кола. O-дiаграму з n хордами, у якої точно M чорних i m бiлих циклiв будемо називати Dn M,m-дiаграмою. У випадку, коли M = m = 1, дiаграму будемо називати дiаграмою максимального роду Дiаграми D1 i D2 називатимемо iзоморфними, якщо їх можна сумiстити в результатi повороту на деякий кут. Наслiдком теореми 1 та роботи [7] є наступне тверджен- ня. Лема 2. Число топологiчно нееквiвалентних полiв (з точнiстю до гомеоморфiзму поверхнi, який зберiгає орiєн- тацiю) з класу Lm,M (N2 g ) дорiвнює числу неiзоморфних Dm,M -дiаграм з n = 2g + M + m − 1 хордами. 176 О.А.Кадубовський Отже, якщо зафiксувати рiд поверхнi g ≥ 1, число дже- рел m та число стокiв M , то можна пiдрахувати число топологiчно нееквiвалентних полiв з класу Lm,M(N2 g ). Цi значення, в залежностi вiд роду g орiєнтованої по- верхнi N2 g , будуть спiвпадати з числом неiзоморфних Dm,M -дiаграм з n = 2g + M + m − 1 хордами. Зокрема, число топологiчно нееквiвалентних векторних полiв з класу L1,1(N 2 g ) спiвпадає з числом неiзоморфних 2-кольорових O-дiаграм максимального роду з n = 2g + 1 хордами. В роботi автора [8] пiдраховано точне значення цього числа, в залежностi вiд роду g поверхнi N2 g . А саме Для довiльного непарного n число неiзоморфних Dn 1,1- дiаграм з n = 2g + 1 хордами може бути обчислене за допомогою спiввiдношень (129) d∗ n(g) = 1 n ( 2(n − 1)! n + 1 + ∑ i\|n, i6=n φ (n i ) · ρ(n, i) ) , (130) ρ(n, i) = 2(i − 1)! i + 1 · (n i )i−1 · φ∗ (n i ) , де φ(q) — функцiя Ейлера (число натуральних менших нiж q чисел, взаємно простих з q), а значення величини φ∗(q) для довiльного непарного q = pα1 1 · pα2 2 · ...pαk k визначається за формулою (131) φ∗(q) = q · ( 1 − 2 p1 ) · ( 1 − 2 p2 ) · ... · ( 1 − 2 pk ) . Початковi значення числа d∗ n(g) топологiчно нееквiва- лентних полiв з класу L1,1(N 2 g ) в залежностi вiд роду g орiєнтованої поверхнi N2 g наведено у наступнiй таблицi. Топологiчна класифiкацiя ... 177 g d∗ g 0 1 1 1 2 4 3 30 4 900 5 54 990 6 5 263 764 7 726 485 868 8 136 750 260 720 9 33 696 703 714 374 10 10 532 043 325 452 570 3.1. Число нееквiвалентних полiв з класу Lm,M(S2) на двовимiрнiй сферi S2. Твердження 1. Всi поля з класу L1,M (S2) є тополо- гiчно еквiвалентними. Доведення. Справедливiсть цього твердження випливає з того, що для полiв з вказаного класу топологiчним iн- варiантом є 2-кольорова хордова O-дiаграма з n = 2 · 0 + 1 + M − 1 = M хордами, яка має точно 1 чорний та M бiлих циклiв. Для довiльного натурального M iснує єди- на така O-дiаграма з n = M хордами та максимальним числом бiлих циклiв — рис. 10. � Твердження 2. Число топологiчно нееквiвалентних полiв з класу L2,M(S2) дорiвнює величинi p∗2,M = [ M+1 2 ] , де [q] – цiла частина числа q. Доведення. Iдея доведення полягає в тому, що вiдповiднi цим полям дiаграми обов’язково мiстять n − 2 = 2 + M − 1 − 2 = M − 1 хорд, що сполучають сусiднi вершини i утворюють M − 1 чорних циклiв ("простих циклiв"). Двi 178 О.А.Кадубовський Рис. 10. Єдине векторне поле з класу L1,6(S 2) iншi хорди повиннi утворити точно 1 чорний цикл ("чорну смугу") — рис. 11. A B C Рис. 11. Всi топологiчно нееквiвалентнi поля з класу L2,5(S 2) Всi неiзоморфнi дiаграми вiдрiзняються лише взаємним розташуванням M−1 простих циклiв вiдносно чорної сму- ги, а саме: {M − 1, 0} (рис. 11 C), {M − 2, 1} (рис. 11 B), {M − 3, 2}, ..., { [ M 2 ] , [ M−1 2 ] } (рис. 11 A). Отже, iснує точно 1+ [ M−1 2 ] = [ M+1 2 ] неiзоморфних (вiд- носно повороту) таких дiаграм. Бiльше того, всi вони є i нееквiвалентними. � 4. Висновки Таким чином, векторнi поля з класу LM,m ( N2 g ) мож- на класифiкувати за допомогою комбiнаторного об’єкту — двокольорових Dn M,m дiаграм з n = 2g−1+m+M хордами, де g — рiд орiєнтованої поверхнi N2 g . 179 Лiтература [1] Smale S. On gradient dynamical system // Annals of Mathematics. – 1961. – Vol. 74, №1. – P.199-206. [2] Meyer K.R. Energy function for Morse-Smale system // Amer. J. Math. – 1968. – Vol.90, №4. – P.1031-1040. [3] Dancer E.N. Degenerate critical points, homotopy indices and Morse inequalities II // J. Reine Angew. Math. – 1987., Vol.382. – P.145–164. [4] Ошемков А.А., Шарко В.В. О классификации потоков Морса–Смейла на двумерных многообразиях // Матем. Сборник, 1998, Т.189, No.8, С.93–140. [5] Prishlyak A.O. Topological equivalence of smooth functions with isolated critical points on a cloused surface // Topology and its Aplications. – 2002. № 119. – P.257-267. [6] Шарко В.В. Гладкая и топологическая эквивалентность функций на поверхностях // Укр. мат. жур. – 2003. – T.55, №5. – С.687-700. [7] Кадубовський О. Топологiчна еквiвалентнiсть функцiй на орiєнтова- них поверхнях // Укр. мат. жур. – 2006. – T.58, № 3. – C.343-351. [8] Кадубовський О. Про один клас хордових дiаграм максимального ро- ду // Вiсник Київського унiверситету Серiя: фiзико-математичнi на- уки. – 2006. – Вип. 1. – C.17–27.
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-6280
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1815-2910
language	Ukrainian
last_indexed	2025-12-07T17:55:56Z
publishDate	2006
publisher	Інститут математики НАН України
record_format	dspace
spelling	Кадубовський, О.А. 2010-02-22T16:20:16Z 2010-02-22T16:20:16Z 2006 Топологiчна класифiкацiя градiieнтноподiбних векторних полiв з однieю сiдловою особливiстю / О.А. Кадубовський // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2006. — Т. 3, № 3. — С. 163-179. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1815-2910 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6280 За допомогою гладких функцiй на замкненiй орiєнтованiй поверхнi, у яких крiм локальних максимумiв i мiнiмумiв є лише одна вироджена критична точка типу сiдла встановлено критерiй топологiчної еквiвалентностi гладких векторних полiв без замкнених i гомоклiнiчних траєкторiй, множина критичних елементiв яких складається з джерел, стокiв та однiєї сiдлової особливостi. В залежностi вiд роду орiєнтованої поверхнi наведено точне значення числа топологiчно нееквiвалентних полiв з вказаного класу, у яких лише одне джерело та один стiк. By means of smooth functions that possess only one saddle critical point in addition to local maxima and minima we give a necessary and sufficient condition for topological equivalence of smooth vector fields which satisfies the following conditions: 1) it has a finite number of critical elements (there are only one saddle, sources and sinks), 2) the -limit and !-limit sets of any trajectory are critical elements, 3) there are no saddle connections and closed trajectory. We also calculated the number of non equivalent such fields with one source and one sink on closed oriented surfaces of genus g ≥ 2. uk Інститут математики НАН України Геометрія, топологія та їх застосування Топологiчна класифiкацiя градiieнтноподiбних векторних полiв з однieю сiдловою особливiстю Article published earlier
spellingShingle	Топологiчна класифiкацiя градiieнтноподiбних векторних полiв з однieю сiдловою особливiстю Кадубовський, О.А. Геометрія, топологія та їх застосування
title	Топологiчна класифiкацiя градiieнтноподiбних векторних полiв з однieю сiдловою особливiстю
title_full	Топологiчна класифiкацiя градiieнтноподiбних векторних полiв з однieю сiдловою особливiстю
title_fullStr	Топологiчна класифiкацiя градiieнтноподiбних векторних полiв з однieю сiдловою особливiстю
title_full_unstemmed	Топологiчна класифiкацiя градiieнтноподiбних векторних полiв з однieю сiдловою особливiстю
title_short	Топологiчна класифiкацiя градiieнтноподiбних векторних полiв з однieю сiдловою особливiстю
title_sort	топологiчна класифiкацiя градiieнтноподiбних векторних полiв з однieю сiдловою особливiстю
topic	Геометрія, топологія та їх застосування
topic_facet	Геометрія, топологія та їх застосування
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6280
work_keys_str_mv	AT kadubovsʹkiioa topologičnaklasifikaciâgradiientnopodibnihvektornihpolivzodnieûsidlovoûosoblivistû

Топологiчна класифiкацiя градiieнтноподiбних векторних полiв з однieю сiдловою особливiстю

Репозитарії

Схожі ресурси