Гамiльтоновi векторнi поля однорiдних многочленiв двох змiнних

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2006
Main Author:	Максименко, С.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Інститут математики НАН України 2006
Subjects:	Геометрія, топологія та їх застосування
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6283
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Гамiльтоновi векторнi поля однорiдних многочленiв двох змiнних / С. Максименко // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2006. — Т. 3, № 3. — С. 269-308. — Бібліогр.: 5 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859718975917654016
author	Максименко, С.
author_facet	Максименко, С.
citation_txt	Гамiльтоновi векторнi поля однорiдних многочленiв двох змiнних / С. Максименко // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2006. — Т. 3, № 3. — С. 269-308. — Бібліогр.: 5 назв. — укр.
collection	DSpace DC
first_indexed	2025-12-01T09:05:08Z
format	Article
fulltext	Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2006, т.3, №3, 269-308 Сергiй Максименко Iнститут математики НАН України, вул. Терещенкiвська, 3, Київ, 01601 Україна E-mail: maks@imath.kiev.ua Гамiльтоновi векторнi поля однорiдних многочленiв двох змiнних1 Нехай g : R 2 → R — однорiдний многочлен степеня p ≥ 2, G = (−g′ y, g′ x) — його гамiльтонове векторне поле, i G — локальний потiк, породже- ний G. Позначимо через Ê(G, O) множину росткiв C∞ дифеоморфiзмiв (R2, O) → (R2, O), що зберiгають орбiти G. Нехай також Êid(G, O) — компонента лiнiйної зв’язностi тотожного вiдображення idR2 в Ê(G, O), що складається з росткiв, якi iзотопнi idR2 в Ê(G, O). В роботi доведено, що якщо g не має простих кратних множникiв, то кожне вiдображення h ∈ Êid(G, O) представити у виглядi h(z) = Gα(z)(z) для деякої гладкої функцiї α : R 2 → R. Let g : R 2 → R be a homogeneous polynomial of degree p ≥ 2, G = (−g′ y, g′ x) be its Hamiltonian vector field, and Gt be the local flow generated by G. Denote by Ê(G, O) the space of germs of C∞ diffeomor- phisms (R2, O) → (R2, O), that preserve orbits of G. Let also Êid(G, O) be the identity component of Ê(G, O). Suppose that g has no multiple simple factors. Then we prove that for every h ∈ Êid(G, O) there exists a germ of a smooth function α : R 2 → R at O such that h(z) = Gα(z)(z). 1Робота виконана в рамках цiльової програми НАН України “Сучаснi методи дослiдження математичних моделей в задачах природознавства та суспiльних наук” НДР № 0107U00233 c© Сергiй Максименко, 2006 270 Сергiй Максименко 1. Вступ Нехай p > 1 i g : R 2 → R — однорiдний многочлен степеня p+1, тобто deg g ≥ 2. Розкладемо його на незвiднi над R множники: (1.1) g(x, y) = l∏ i=1 Li(x, y) · p+1−l ∏ j=1 Qj(x, y), де Li = aix + biy, (i = 1, . . . , l) — лiнiйна функцiя, а Qj , (j = 1, . . . , n − l) — визначена квадратична форма, тобто Qj(x, y) = 0 тодi i лише тодi, коли (x, y) = 0. Лема 1.1. [5] Наступнi умови для однорiдного многочле- на g степеня deg g ≥ 2 еквiвалентнi: (1) розклад (1.1) не має кратних множникiв; (2) жодна з частинних похiдних g′x та g′y не є тотож- ним нулем (тобто g залежить вiд обох змiнних x та y) i цi многочлени взаємно простi в кiльцi R[x, y]. У цьому випадку початок координат O є єдиною критич- ною точкою g. Означення 1.2 (Властивiсть (∗) для многочлена). Буде- мо говорити, що однорiдний многочлен g ∈ R[x, y] степе- ня deg g ≥ 2 має властивiсть (∗), якщо для нього вико- нується одна з умов леми 1.1. Приклад 1.3. Для n ≥ 2 розглянемо функцiю ωn : C → C, ωn(z) = zn. Тодi її дiйсна та уявна частини Re(zn) та Im(zn) мають властивiсть (∗). Нехай H = (−g′y, g ′ x) — гамiльтонове векторне поле для g. Тодi функцiя g є постiйною уздовж орбiт поляH . Типовi Гамiльтоновi векторнi поля ... 271 приклади шарувань площини R2 на лiнiї рiвня однорiдних многочленiв показано на Рис. 4.1 та 4.2. Вiдмiтимо, що властивiсть (∗) для g можна сформулю- вати наступним чином: гамiльтонове векторне поле H многочлена g не можна представити у виглядi добут- ку H = ωH1, де ω — ненульовий однорiдний многочлен cтепеня deg ω ≥ 1, а H1 — однорiдне (можливо постiйне) векторне поле. Означення 1.4 (Властивiсть (∗) для векторного поля). Скажемо, що векторне поле G, визначене в околi почат- ку координат на площинi R 2, має властивiсть (∗) в точцi O, якщо знайдуться гладка (C∞) нiде не рiвна ну- лю функцiя η : R 2 → R \ {0}, локальнi координати (x, y) в околi точки O i такий одно- рiдний многочлен g(x, y) з властивiстю (∗), що G = ηH, де H = (−g′y, g ′ x) — гамiльтонове векторне поле многочле- на g. З леми 1.1 випливає, що в цьому випадку початок коор- динат O ∈ R 2 є iзольованою особливою точкою G. 1.5. Основний результат. Нехай G — векторне поле, що визначене в деякому околi початку координат O ∈ Rn. Позначимо через Ê(G,O) множину росткiв C∞ дифеомор- фiзмiв h : (Rn, O) → (Rn, O), що зберiгають орбiти G, тобто h ∈ Ê(G,O) якщо знайдеть- ся такий окiл V точки O, що (1.2) h(ω ∩ V ) ⊂ ω 272 Сергiй Максименко для кожної орбiти ω векторного поля G. Нехай Êid(G,O) — компонента лiнiйної зв’язностi тотож- ного вiдображення idRn в Ê(G,O), що складається з вiдо- бражень, iзотопних idRn в Ê(G,O). Позначимо через G : R n × R ⊃ UG −→ R n локальний потiк, породжений полем G. Вiн визначений на вiдкритому околi UG множини R n × {0} в R n × R. Тодi для кожного ростка α : Rn → R гладкої функцiї в точцi O можна визначити росток вiдображення h : (Rn, O) → (Rn, O), заданого наступною формулою: (1.3) h(z) = G(z, α(z)). Будемо називати гладким зсувом уздовж орбiт G за до- помогою функцiї α. Позначимо через Sh(G,O) множину росткiв гладких вiдображень виду (1.3), де α пробiгає мно- жину росткiв гладких функцiй в точцi O. Тодi, [4], Sh(G,O) ⊂ Êid(G,O). В данiй роботi доведено наступну теорему, див. §3: Теорема 1.6. Нехай G — векторне поле на R2, що має властивiсть (∗) в точцi O. Тодi Sh(G,O) = Êid(G,O). Таким чином, кожне вiдображення h ∈ Êid(G,O) мож- на представити у виглядi (1.3) для ростка деякої гладкої функцiї α : R2 → R. Зауваження 1.7. Припустимо, що O є регулярною точ- кою для G, тобто G(O) 6= 0. Тодi кожне вiдображення, що зберiгає орбiти G в околi O є зсувом уздовж орбiт G за Гамiльтоновi векторнi поля ... 273 допомогою деякої гладкої функцiї α. Для зручностi чита- ча, нагадаємо доведення. Дiйсно, в околi O можна вибрати координати (x1, . . . , xn), в яких G(x) = (1, 0, . . . , 0), а тому G(x1, . . . , xn, t) = (x1 + t, x2, . . . , xn). Якщо тепер h = (h1, . . . , hn) : Rn → Rn — вiдображення, що зберiгає орбiти G, то hi = xi для 2 ≤ i ≤ n. Покладемо, (1.4) α(x) = h1(x) − x1. Тодi h(x) = G(x, α(x)). 1.8. Застосування. В роботi [4] тотожнiсть Sh(G,O) = Êid(G,O) встановлена для всiх лiнiйних векторних полiв на Rn. Тоб- то, якщо G(x) = A · x — лiнiйне векторне поле на Rn, де A — ненульова (n × n)-матриця, то кожне вiдображення h ∈ Êid(G,O) можна представити у виглядi h(x) = eα(x)A · x для деякої гладкої функцiї α : Rn → R. Це дозволило для векторного поля G на многовидi M , яке задовольняє досить слабким умовам, описати гомотопiчний тип компо- нент зв’язностi групи D(G) дифеоморфiзмiв M , що зберi- гають орбiти G. Останнiй результат був суттєво викори- станий в [3] для опису гомотопiчних типiв орбiт та стабiлi- заторiв функцiй Морса на компактних поверхнях вiдносно правої дiї груп дифеоморфiзмiв цих поверхонь. Теорема 1.6 дозволяє провести аналогiчний опис гомото- пiчних типiв стабiлiзаторiв та орбiт для бiльш загального класу функцiй на поверхнях. Це буде пророблено в iншiй статтi. 274 Сергiй Максименко 1.9. Структура статтi. В §2 наведено означення слабких топологiй Уiтнi. §3 мiстить план доведення теореми 1.6. За допомогою результатiв роботи [5] воно зводиться до роз- гляду вiдображень h ∈ Êid(G,O), якi є ∞-близькими до тотожного в точцi O, див. твердження 3.4. Для роботи з такими вiдображеннями виявляється зручним перейти до полярних координат (φ, ρ), див. §4. При цьому замiсть од- нiєї особливої точки O = (0, 0) ∈ R2 ми отримаємо цiлу пряму особливих точок ρ = 0, але вигляд векторного поля G в нових координатах суттєво спрощується. В §5 показано, що замiсть гладких функцiй на R2, якi є плоскими в точцi O, можна розглядати гладкi функцiї вiд полярних координат (φ, ρ) якi є плоскими при ρ = 0. Ана- логiчно в §6 доведено можливiсть переходу вiд дифеомор- фiзмiв R2, якi є ∞-близькими до тотожного вiдображення в точцi O, до дифеоморфiзмiв пiвплощини полярних коор- динат H, якi є ∞-близькими до тотожного в точках ρ = 0. В §7 доводиться твердження 3.4, що завершує теоре- му 1.6. 2. Неперервнi вiдображення мiж функцiональними просторами Нехай V ⊂ Rn — вiдкрита пiдмножина i f = (f1, . . . , fm) : V → R m — гладке вiдображення. Для кожної компактної пiдмно- жини K ⊂ V i цiлого невiд’ємного числа r ≥ 0 визначимо r-норму f на K за допомогою наступної формули ‖f‖rK = m∑ j=1 ∑ \|i\|≤r sup x∈K \|Difj(x)\|, Гамiльтоновi векторнi поля ... 275 де i = (i1, . . . , in), \|i\| = i1+· · ·+in, аDi = ∂\|i\| ∂x i1 1 ···∂xin n . Для фiк- сованого r норми ‖f‖rK визначають слабку Cr W -топологiю на C∞(V,Rm), див. [1, 2]. Означення 2.1. Нехай A,B,C,D — гладкi многовиди, X ⊂ C∞(A,B), Y ⊂ C∞(C,D) — двi пiдмножини, i F : X → Y — вiдображення. Буде- мо говорити, що F є Cs,r W,W -неперервним, якщо воно є неперервним з Cs W -топологiї на X в Cr W -топологiю на Y. Назвемо F ручно-неперервним, якщо для кожного r ≥ 0 знайдеться таке цiле число s = s(r) ≥ 0, що F є C s(r),r W,W -неперервним. Очевидно, що кожне ручно-неперерв- не вiдображення є C∞,∞ W,W -неперервним. Нехай V ⊂ R n — вiдкрита пiдмножина. Тодi мають мiсце наступнi леми, див. [5]. Лема 2.2. Нехай D : C∞(V ) → C∞(V ) — вiдображення, визначене за формулою D(α) = ∂\|k\|α ∂xk , де k = (k1, . . . , kn), \|k\| = n∑ i=1 ki, ∂xk = ∂xk11 · · ·∂xkn n . Тодi D є C r+\|k\|,r W,W -неперервним для всiх r ≥ 0. Лема 2.3. Нехай Z : C∞(V ) → C∞(V ) — вiдображення, визначене за формулою: Z(α)(x1, . . . , xn) = x1 · α(x1, . . . , xn), α ∈ C∞(V ). Тодi Z є iн’єктивним та Cr,r W,W -неперервним, а обернене до нього Z−1 є Cr+1,r W,W -неперервним. 276 Сергiй Максименко Лема 2.4 (Лема Адамара). Нехай f : R → R — така гладка функцiя, що f(0) = 0. Тодi f(x) = s ∫ 1 0 f ′(tx)dt ︸︷︷︸ g(x) = x g(x), де g — теж гладка функцiя причому g(0) = f ′(0). � Бiльш загально, (2.1) f(x+y) = f(x)+y ∫ 1 0 f ′(x+ sy)ds ︸︷︷︸ g(x,y) = f(x)+y ·g(x, y), де g — також гладка функцiя, причому g(x, 0) = f ′(x). Зокрема, якщо f має обернену функцiю f−1, то (2.2) f(f−1(x) + y) = f(f−1(x)) + y · g(f−1(x), y) = = x+ y · g(f−1(x), y). 3. Доведення теореми 1.6 Ми встановимо бiльш загальне твердження нiж теоре- ма 1.6. Спочатку сформулюємо декiлька означень. 3.1. Гладкi зсуви уздовж орбiт векторних полiв. Нехай G — гладке векторне поле, визначене на многовидi M i дотичне до ∂M Позначимо через G : M × R ⊃ UG →M — локальний потiк, породжений G, де UG — вiдкритий окiл множини M × 0 в M × R. Для кожної вiдкритої множини V ⊂M нехай E(G, V ) ⊂ C∞(V,M) Гамiльтоновi векторнi поля ... 277 — множина всiх гладких вiдображень h : V → M , що задовольняють наступним умовам: (1) h(ω ∩ V ) ⊂ ω для кожної орбiти ω поля G, зокрема вiдображення h є нерухомим на множинi особливих точок, що мiстяться в V ; (2) h є локальним дифеоморфiзмом в кожнiй особливiй точцi поля G. Нехай Eid(G, V ) — пiдмножина в E(G, V ), що складаєть- ся з вiдображень h, якi гомотопнi в E(G, V ) тотожному вiдображенню idV . Якщо V = M , то множини E(G,M) та Eid(G,M) позна- чатимемо вiдповiдно через E(G) та Eid(G). Нехай O ∈ V — особлива точка G. Тодi h(O) = O для кожного h ∈ E(G, V ). Позначимо через E∞(G, V,O) пiд- множину в E(G, V ), що складається з вiдображень h, якi є ∞-близькими до тотожного вiдображення в точцi O, тобто ∞-джети h та idV в точцi O спiвпадають. Теорема 3.2. Нехай G — векторне поле на R2, що має властивiсть (∗) в точцi O i V — достатньо малий окiл точки O. Тодi для кожного f ∈ Eid(G, V ) знайдеться окiл Uf в Eid(G) вiдносно Cp W -топологiї i ручно-неперервне вi- дображення σV : Eid(G, V ) ⊃ Uf −→ C∞(V ) такi, що h(z) = G(z, σV (h)(z)) для кожного h ∈ Uf . Крiм того, якщо deg g ≥ 3, то вiдображення σ визна- чене на всьому Eid(G, V ). Доведення базується на наступних двох твердженнях. Перше з них отримане в [5]: 278 Сергiй Максименко Твердження 3.3. [5] Нехай G — векторне поле на R2, що має властивiсть (∗) в точцi O i U ⊂ V — два достат- ньо малих околи точки O. Тодi для кожного f ∈ Eid(G, V ) знайдеться окiл Uf в Eid(G, V ) вiдносно Cp W -топологiї i ручно-неперервне вiдображення Λ : Uf → C∞(V ) такi, що для кожного h ∈ Uf supp Λ(h) ⊂ U, а вiдображення ĥ : V → R, визначене за формулою ĥ(z) = G(h(z),−Λ(h)(z)), є ∞-близьким до idR2 в точцi O. Зокрема, ĥ ∈ E∞(G, V,O). Крiм того, якщо deg g ≥ 3, то вiдображення Λ визна- чене на всьому Eid(G). Друге твердження буде доведене в §7. Для кожної вiд- критої множини V ⊂ R2 такої, що O ∈ V , позначимо через Flat(R2, O) простiр гладких функцiй V → R, що є плоски- ми в точцi O. Твердження 3.4. Нехай G — векторне поле на R2, що має властивiсть (∗) в точцi O, i V — достатньо малий вiдкритий окiл точки O. Тодi iснує єдине вiдображення Ψ : E∞(G, V,O) → Flat(V,O) таке, що (3.1) ĥ(z) = G(z,Ψ(ĥ)(z)) для кожного ĥ ∈ E∞(G, V,O). Вiдображення Ψ є C3r+p,r W,W - неперервним для кожного r ≥ 0. Гамiльтоновi векторнi поля ... 279 Тепер можемо довести теорему 3.2. Спочатку вiдмiтимо, що для гладкої функцiї α : V → R та вiдображення h : V → R 2 наступнi умови еквiвалентнi: (3.2) h(z) = G(z, α(z)) та z = G(h(z),−α(z)). Нехай f ∈ Eid(G). Тодi за твердженням 3.3 iснує Cp W -окiл Uf вiдображення f в Eid(G, V ) та вiдображення H : Uf → E∞(G, V,O), H(h)(z) = G(h(z),−Λ(h)(z)). Розглянемо вiдображення σ : Uf → C∞(V ), визначене за наступною формулою σ = Λ + Ψ ◦H. Тодi σ задовольняє твердження теореми. Дiйсно, нехай h ∈ Uf i ĥ = H(h). Тодi σ(h) = Λ(h) + Ψ ◦H(h) = Λ(h) + Ψ(ĥ). Тому G ( h(z),−σ(h)(z) ) = G ( h(z),−Λ(h)(z) − Ψ(ĥ)(z) ) = G ( G ( h(z),−Λ(h)(z) ) ︸︷︷︸ ĥ ,−Ψ(ĥ)(z) ) = G ( ĥ(z),−Ψ(ĥ)(z) ) (3.1) та (3.2) ======= z, а отже, згiдно (3.2), h(z) = G(z, σ(h)(z)). Зауважимо, що коли deg g ≥ 3, то вiдображення σ визна- чене на всьому Eid(G). Для закiнчення теореми 3.2 залишилось довести твер- дження 3.4. Це буде зроблено в §7. 280 Сергiй Максименко 3.5. Параметрична версiя теореми. Вiдмiтимо, що ко- ли в твердженнях 3.3 та 3.4 вiдображення h неперервно залежить вiд деякого компактного параметру, то Λ, H , Ψ, а тому i σ також неперервно залежать вiд нього. Для Λ та H це випливає з [5], а для Ψ i σ — це випливатиме з дове- дення твердження 3.4. Тому має мiсце наступна теорема. Теорема 3.6. Нехай G — векторне поле, визначене в де- якому вiдкритому i зв’язному околi V точки O ∈ R2 i G — локальний потiк поля G. Припустимо, що O — єдина особлива точка поля G в V , i що G має властивiсть (∗) в O ∈ R2. Нехай D — компактний простiр i H : V ×D → R2 — таке неперервне вiдображення, що для кожного t ∈ D вiдображення Ht = H(·, t) : V → R 2 належить до Eid(G, V ). Тодi iснує така неперервна функ- цiя σ : V ×D → R, що для кожного t ∈ D функцiя σt = σ(·, t) : V → R є гладкою i H(x, t) = G(x, σ(x, t)). Припустимо, що D — зв’язний простiр. Якщо σ1 — iн- ша функцiя зсуву для H i σ(x0, t0) = σ1(x0, t0) для деякої точки (x0, t0) ∈ V ×D, то σ та σ1 спiвпадають скрiзь на V ×D. Доведення повторює аргументи теореми 25 з [4]. Деталi ми залишаємо читачевi. 4. Полярнi координати Нехай H = {(φ, ρ) \| ρ ≥ 0} ⊂ R 2 – верхня замкнена пiв- площина в R2 з декартовими координатами, якi позначимо Гамiльтоновi векторнi поля ... 281 через (φ, ρ). Нехай також ∂H = {ρ = 0} — границя H (тоб- то вiсь Oφ), а ◦ H = {ρ > 0} — внутрiшнiсть H. Вiзьмемо iншу копiю R 2 з координатами (x, y) i розглянемо вiдобра- ження Pk : H → R 2, Pk(φ, ρ) = (ρk cosφ, ρk sinφ). Для k = 1 воно визначає так званi полярнi координати на R2. Вiдображення P1 будемо також позначати через P . Очевидно, Pk(∂H) = 0 ∈ R2, а обмеження Pk на ◦ H є на- криваючим вiдображенням Pk : ◦ H → R2 \ {O}. Вiдповiдна група автоморфiзмiв iзоморфна Z i дiє на H за наступним правилом n · (φ, ρ) = (φ+ 2πn, ρ). Лема 4.1. Нехай g : R2 → R — однорiдний многочлен степеня p+ 1 i φ0 ∈ R. Тодi iснують такi єдинi числа φi, (i = 1, . . . , l), φ0 − π 2 ≤ φ1 ≤ . . . ≤ φl < φ0 + π 2 та гладка функцiя γ, що γ(φ) 6= 0 для φ ∈ (φ0 − π 2 , φ0 + π 2 ) i g(ρ cosφ, ρ sinφ) = ρp+1 · γ(φ) · l∏ i=1 (φ− φi). Доведення. Вiдмiтимо, що iснує єдиний розклад многочле- на g на множники наступного виду: (4.1) g(x, y) = τ(x, y) · l∏ i=1 (bix+ aiy), де ai = cosφi, bi = sinφi, 282 Сергiй Максименко для єдиних φi ∈ [φ0 − π 2 , φ0 + π 2 ), (i = 1, . . . , l) таких, що φi ≤ φi+1, а τ — однорiдний многочлен степеня p+ 1 − l такий, що τ(x, y) > 0, для (x, y) 6= 0. Тому bix+ aiy = sin φi · ρ cos φ+ cosφi · ρ sinφ = ρ · sin(φ− φi), а отже g(ρ cosφ, ρ sinφ) = ρp+1 · τ(cosφ, sinφ) · l∏ i=1 sin(φ− φi). Вiдмiтимо, що функцiя sin(φ−φi) (φ−φi) є гладкою та додатною на iнтервалi (φi−π, φi+π) i τ(cos φ, sinφ) > 0 для кожного φ. Тому g(ρ cosφ, ρ sinφ) = ρp+1 · γ(φ) · l∏ i=1 (φ− φi), для деякої гладкої функцiї γ : R → R такої, що γ(φ) 6= 0 для всiх φ ∈ (φ0 − π 2 , φ0 + π 2 ). � Приклад лiнiй рiвня однорiдного многочлена g : R2 → R та вiдображення g ◦Pk : H → R зображено на Рис. 4.1 для l = 0 та на Рис. 4.2 для l ≥ 1. 4.2. Пiдняття векторних полiв з R2 на H. Нехай G — гладке векторне поле, визначене в околi V початку координат O ∈ R2. Покладемо U = P−1 k (V ) ⊂ H. Гамiльтоновi векторнi поля ... 283 H Pk−−→ R 2 Рис. 4.1. l = 0. H Pk−−→ R2 Рис. 4.2. l ≥ 1. Якщо G(O) = 0, то знайдеться єдине Z-iнварiантне век- торне поле F на U , що рiвне нулю на ∂H, i таке, що на- ступна дiаграма є комутативною: (4.2) TU TPk−−−→ TV F x   x  G H ⊃ U Pk−−−→ V ⊂ R2 Вiдмiтимо, що в загальному випадку F є гладким на U∩ ◦ H i лише неперервним на H. 284 Сергiй Максименко Нехай Ft та Gt — локальнi потоки, породженi вiдповiд- но F та G. Тодi для кожного t ∈ R наступна дiаграма є комутативною: (4.3) U Ft−−−→ H Pk   y   yPk V Gt−−−→ R 2 тобто Pk ◦ Ft(x) = Gt ◦ Pk(x), за умови, що обидвi частини цiєї рiвностi визначенi. Лема 4.3. Припустимо, що точки a, a′ ∈ U належать однiй орбiтi потоку F. Тодi точки b = Pk(a) та b′ = Pk(a ′) також належать однiй орбiтi потоку G, див. Рис. 4.3. Крiм того, час мiж точками a та a′ вiдносно F дорiвнює часу мiж b та b′ вiдносно G. Доведення. Дiйсно, нехай a′ = Fτ (a). Тодi b′ = Pk(a ′) = Pk ◦ Fτ (a) = Gτ ◦ Pk(a) = Gτ (b). Лему доведено. � Рис. 4.3 Лема 4.4. Нехай g : R2 → R — однорiдний многочлен степеня p + 1 ≥ 2, H = (−g′y, g ′ x) — його гамiльтонове Гамiльтоновi векторнi поля ... 285 векторне поле, а η : R2 → R \ {0} — гладка, нiде не рiвна нулю функцiя. Розглянемо наступне векторне поле G = ηH = η · (−g′y, g ′ x) i нехай F = (F1, F2) — векторне поле на H iндуковане полем G за допомогою вiдображення P1 = P : H → R 2, P (φ, ρ) = (ρ cos φ, ρ sinφ). Запишемо g у наступному виглядi: g(x, y) = yaR(x, y), де a ≥ 0, а многочлен R не дiлиться на y. Тодi (4.4) F1(φ, ρ) = (p+ 1) · g(P (φ, ρ)) ρ2 = ρp−1 φa γ1(φ) для деякої гладкої функцiї γ1 : R → R такої, що γ1(0) 6= 0. Бiльш того, якщо a ≥ 1, то (4.5) F2(φ, ρ) = ρp φa−1 γ2(φ), де γ2 : R → R — така гладка функцiя, що γ2(0) 6= 0. Наслiдок 4.5. Якщо g має властивiсть (∗), то a = 0 або 1. Звiдки F1(φ, ρ) = ρp−1γ1(φ), при a = 0, F2(φ, ρ) = ρpγ2(φ), при a = 1. Таким чином, в обох випадках хоча б одна з координатних функцiй поля F не дiлиться на φ. Доведення леми 4.4. Зауважимо, що для однорiдного мно- гочлена g степеня p+1 виконується наступна тотожнiсть Ейлера: (4.6) xg′x + yg′y = (p+ 1)g. 286 Сергiй Максименко Крiм того, з леми 4.1 випливає, що кожен множник y в g дає множник φ в g ◦ P . Тому (4.7) g ◦ P (φ, ρ) = ρp+1 φa γ1(φ), для деякої гладкої функцiї γ1 : R → R такої, що γ1(0) 6= 0. Розглянемо матрицю Якобi вiдображення P : J(P ) = ( −ρ sin φ cosφ ρ cosφ sinφ ) . Тодi з комутативностi дiаграми (4.2) випливає, що G ◦ P = J(P ) · F, тобто ( G1 ◦ P G2 ◦ P ) = ( −ρ sin φ cosφ ρ cosφ sin φ ) · ( F1 F2 ) . Тому ( F1 F2 ) = ( −1 ρ sinφ 1 ρ cosφ cosφ sinφ ) · ( G1 ◦ P G2 ◦ P ) , а отже F1 = −(G1 ◦ P ) · sin φ+ (G2 ◦ P ) · cosφ ρ . Позначимо A(x, y) = −yG1 + xG2 x2 + y2 = yg′y + xg′x x2 + y2 · η (4.6) ==== (p+ 1)g x2 + y2 · η. Тодi F1 = A ◦ P (4.7) ==== ρp−1 φa γ1(φ). Аналогiчно, F2 = (G1 ◦ P ) · cosφ+ (G2 ◦ P ) · sin φ. Гамiльтоновi векторнi поля ... 287 Покладемо (4.8) B(x, y) = xG1 + yG2 √ x2 + y2 = −xg′y + yg′x √ x2 + y2 · η. Тодi F2 = B◦P . Так як чисельник останнього дробу є одно- рiдним многочленом степеня p+1, то з леми 4.1 випливає, що F2 = ρp φa1 γ2(φ), для деякого a1 ≥ 0 та гладкої функцiї γ2 : R → R такої, що γ2(0) 6= 0. Залишається довести, що коли a ≥ 1, то a1 = a− 1. Це рiвносильно тому, що чисельник N = −xg′y + yg′x останнього дробу в формулi (4.8) дiлиться на ya−1, але не на ya. Вiдмiтимо, що g′x = yaR′ x, g′y = aya−1R + yaR′ y. Тодi N = −xg′y + yg′x = −axya−1R− xyaR′ y + ya+1R′ x Так як R не дiлиться на y, то N дiлиться на ya−1, але не на ya. � 5. Вiдповiднiсть мiж гладкими функцiями Нагадаємо, що гладка функцiя α : Rn → R називається плоскою на множинi K ⊂ Rn, якщо всi частиннi похiднi α дорiвнюють нулю в кожнiй точцi x ∈ K. Позначимо через Flat(R2, O) множину гладких функцiй α : R2 → R, якi є плоскими в точцi O, а через FlatZ(H, ∂H) 288 Сергiй Максименко — множину гладких Z-iнварiантних функцiй α̂ : H → R, якi є плоскими на ∂H. Теорема 5.1. Вiдображення Pk : H → R 2, Pk(φ, ρ) = (ρk cosφ, ρk sin φ) iндукує бiєкцiю fk : Flat(R2, O) → FlatZ(H, ∂H), fk(α) = α ◦ Pk, яка для кожного r ≥ 0 є Cr,r W,W -неперервною, а обернене до неї вiдображення f −1 k є C (2k+1)r,r W,W -неперервним. Доведення. Для кожного r = 0, . . . ,∞ позначимо через Funcr(R2, O) простiр Cr-функцiй α : R2 → R таких, що α(O) = 0. Нехай також Funcr(H, ∂H) — простiр Z-iнва- рiантних Cr-функцiй α̂ : H → R таких, що α̂(∂H) = 0. Тодi для кожної функцiї α ∈ Func0(R2, O) функцiя α̂ = α ◦ Pk є Z-iнварiантною, неперервною на H i рiвною нулю на ∂H, тобто α̂ ∈ Func0 Z (H, ∂H). Тому коректно визначено наступ- не вiдображення (5.1) fk : Func0(R2, O) → Func0 Z (H, ∂H), fk(α) = α◦Pk. Навпаки, кожна функцiя α̂ ∈ Func0 Z (H, ∂H) iндукує єди- ну функцiю α ∈ Func0(R2, O). Тому fk є бiєкцiєю. Так як вiдображення Pk гладке, то fk ( Func∞(R2, O) ) ⊂ Func∞ Z (H, ∂H), а вiдповiдне обмеження fk на Func∞(R2, O) fk : Func∞(R2, O) → Func∞ Z (H, ∂H) Гамiльтоновi векторнi поля ... 289 є Cr,r W,W -неперервним для кожного r = 0, . . . ,∞. Вiдмiтимо, що вiдображення fk не є сюр’єктивним: наприклад, функ- цiя ρ є гладкою та Z-iнварiантною на H, в той час як її прообраз f −1 k (ρ) = (x2 + y2)1/2k — не є гладкою функцiєю в точцi O. Припустимо, що функцiя α є плоскою в точцi O. Тодi неважко бачити, що α̂ є плоскою на всiй прямiй ∂H, тобто fk(Flat(R2, O)) ⊂ FlatZ(H, ∂H). Наступна лема 5.2 стверджує, що насправдi fk(Flat(R2, O)) = FlatZ(H, ∂H), а обернене вiдображення f −1 k є C (2k+1)r,r W,W -неперервним для всiх r ≥ 0. Лема 5.2. Нехай α̂ ∈ FlatZ(H, ∂H), α = f −1 k (α̂) i (5.2) Dα = ∂a+bα ∂xa ∂yb — частинна похiдна α порядку a + b. (i) Тодi Dα є сумою скiнченного числа функцiй виду A ·B (x2 + y2)s/2k , де A : R2 → R — є гладкою функцiєю, що не залежить вiд α, B = f −1 k ( ∂j α̂ ∂φj1 ∂ρj2 ) , j = j1 + j2 ≤ a + b, а s — таке натуральне число, що s/2k ≤ a + b. Загальна кiлькiсть таких функцiй залежить лише вiд a та b i не залежить вiд α. 290 Сергiй Максименко (ii) функцiя Dα є неперервною на площинi R2, причо- му Dα(O) = 0. Звiдси випливає, що α є гладкою на всiй площинi R2 i плоскою в точцi O ∈ R2. Це означає, що α ∈ Flat(R2, O). Тому fk є бiєкцiєю мiж Flat(R2, O) та FlatZ(H, ∂H). (iii) Для кожного r ≥ 0 та компакту K ⊂ R 2 має мiсце наступна оцiнка: (5.3) ‖α‖rK ≤ C‖α̂‖ (2k+1)r L , де (5.4) L = P−1 k (K) ∩ [0, 2π] × [0,∞), а C > 0 не залежить вiд α̂. Тому обернене вiдображення f −1 k є C (2k+1)r,r W,W -неперервним. Перед тим, як доводити цю лему, отримаємо декiлька формул. 5.3. Формули для вiдображення P−1 k та його похiд- них. Нехай (x, y) ∈ R2. Очевидно, що x2 + y2 = ρ2k. Для простоти можна вважати, що x > 0. Тодi ρ = (x2 + y2) 1 2k , φ = arctan(y/x) + 2πn, для деякого n ∈ Z, а тому φ′ x = −y x2 + y2 , φ′ y = x x2 + y2 , ρ′x = x k (x2 + y2)1− 1 2k , ρ′y = y k (x2 + y2)1− 1 2k . Гамiльтоновi векторнi поля ... 291 Аналогiчно, для кожних a, b ≥ 0 знайдуться такi гладкi функцiї µi, νi : R 2 → R, (i = 1, . . . , a+ b), що (5.5) ∂a+bφ ∂xa∂yb = a+b∑ i=1 µi (x2 + y2)a+b , ∂a+bρ ∂xa∂yb = a+b∑ i=1 νi (x2 + y2)a+b− 1 2k . Цi формули, очевидно, не залежать вiд часткового ви- бору для виразу φ через x та y. Доведення леми 5.2. (i) Розглянемо похiдну α′ x. Нехай z = (x, y) 6= O. Тодi в достатньо малому околi Uz точки z можна визначи- ти обернене вiдображення P−1 k : Uz → H так, що α = α̂ ◦ P−1 k . Тому α′ x = (α̂′ φ ◦ P −1 k ) · φ′ x + (α̂′ ρ ◦ P −1 k ) · ρ′x. Вiдмiтимо, що кожна частинна похiдна функцiї α̂ ∈ FlatZ(H, ∂H) також належить до FlatZ(H, ∂H). Тому з формули (5.1) випливає, що ця похiдна визначає єдину неперервну функ- цiю на Uz. Звiдси отримуємо шукане представлення: α′ x = f −1 k (α̂′ φ) · φ ′ x + f −1 k (α̂′ ρ) · ρ ′ x = = −y · f−1 k (α̂′ φ) x2 + y2 + x · f−1 k (α̂′ ρ) k(x2 + y2)1− 1 2k . Доведення для iнших похiдних функцiї α аналогiчне. 292 Сергiй Максименко (ii) Покажемо неперервнiсть Dα. Позначимо Djα̂ = ∂j α̂ ∂φj1 ∂ρj2 . Так як Djα̂ є плоскою на ∂H, то знайдеться така гладка функцiя ξ ∈ FlatZ(H, ∂H), що Djα̂ = ρsξ. Тому B = f −1 k (Djα̂) = f −1 k (ρs) f −1 k (ξ) = (x2 + y2)s/2k f −1 k (ξ), а отже функцiя (5.6) AB (x2 + y2)s/2k = A f −1 k (ξ) є неперервною. Тодi неперервною буде i похiдна Dα. Вiд- мiтимо, що ξ(φ, 0) = 0. Тому f −1 k (ξi)(O) = 0, а отже, Dα(O) = 0. (iii) Нехай α = f −1 k (α̂). Потрiбно оцiнити ‖α‖rK . Помiти- мо, що пiдмножина L ⊂ H, визначена за формулою (5.4), є компактною i P (L) = K. Тому (5.7) ‖f−1 k (α̂)‖0 K = ‖α‖0 K = sup x∈K \|α(x)\| = = sup (φ,ρ)∈L \|α̂(φ, ρ)\| = ‖α̂‖0 L. З (ii) та (5.6) випливає, що кожну частинну похiдну Dα функцiї α порядку r можна представити у виглядi Dα = ∑ i Ai · f −1 ( Djiα̂ ρsi ) , де кожна Ai є гладкою на всiй площинi R 2, Djiα̂ є частин- ною похiдною функцiї α̂ порядку ji ≤ r, а si ≤ 2kr. Гамiльтоновi векторнi поля ... 293 Неважко бачити, що для кожного i знайдуться констан- ти C1, C2, C3 > 0, якi не залежать вiд α̂, i такi, що (5.8) ∥ ∥ ∥ ∥ f −1 k ( Djiα̂ ρsi )∥ ∥ ∥ ∥ 0 K (5.7) ==== ∥ ∥ ∥ ∥ Djiα̂ ρsi ∥ ∥ ∥ ∥ 0 L (лема 2.3) ≤ ≤ C1 ‖D jiα̂‖si L (лема 2.2) ≤ C2 ‖α̂‖ si+ji L (5.5) ≤ C3 ‖α̂‖ (2k+1)r L . Тому iснує таке C4 > 0, що ‖Dα‖0 K ≤ ∑ i ∥ ∥ ∥ ∥ Ai · f −1 k ( Djiα̂ ρki )∥ ∥ ∥ ∥ 0 K ≤ C4 ‖α̂‖ (2k+1)r L . Таким чином ‖α‖rK ≤ C‖α̂‖ (2k+1)r L для деякого C > 0, що залежить вiд K та r i не залежить вiд α̂. � Теорему 5.1 доведено. 6. Вiдповiднiсть мiж гладкими вiдображеннями, що є ∞-близькими до тотожного Позначимо через Map∞ Z (H, ∂H) множину всiх гладких вiдображень ĥ = (ĥ1, ĥ2) : H → H, що задовольняють наступним умовам: (i) ĥ є Z-еквiварiантним, тобто (6.1) ĥ1(φ+2π, ρ) = ĥ1(φ, ρ)+2π, ĥ2(φ+2π, ρ) = ĥ2(φ, ρ). (ii) ĥ є нерухомим на ∂H i ĥ( ◦ H) ⊂ ◦ H; (iii) h є ∞-близьким до idH на ∂H, тобто наступнi функ- цiї ĥ1(φ, ρ) − φ, ĥ2(φ, ρ) − ρ є плоскими на ∂H. 294 Сергiй Максименко Позначимо через Map∞(R2, O) множину гладких вiдо- бражень h : R 2 → R 2 таких, що h−1(O) = O i h є ∞- близьким до idR2 в початку координат O. Лема 6.1. Нехай ĥ = (ĥ1, ĥ2) : H → H — вiдображення. Позначимо α̂(φ, ρ) = ĥ1(φ, ρ) − φ, β̂(φ, ρ) = ĥ2(φ, ρ) − ρ. Тодi ĥ є Z-еквiварiантним тодi i лише тодi, коли функцiї α̂ та β̂ є Z-iнварiантними. Доведення. Помiтимо, що α̂(φ+ 2π, ρ)−α̂(φ, ρ)= ĥ1(φ+ 2π, ρ)−φ− 2π−(ĥ1(φ, ρ)−φ) = ĥ1(φ+ 2π, ρ) − ĥ1(φ, ρ) − 2π, β̂(φ+ 2π, ρ) − β̂(φ, ρ)= ĥ2(φ+ 2π, ρ) − ρ− (ĥ2(φ, ρ) − ρ) = ĥ2(φ+ 2π, ρ) − ĥ2(φ, ρ). Тепер наше твердження випливає з цих тотожностей та формули (6.1). � Теорема 6.2. Вiдображення Pk iндукує бiєкцiю mk : Map∞(R2, O) → Map∞ Z (H, ∂H), яка для кожного r ≥ 0 є Cr,r W,W -неперервною, а обернена до неї, m −1 k , є C (2k+1)r,r W,W -неперервною. Доведення. Позначимо через Map0 Z (H, ∂H) множину всiх неперервних Z-еквiварiантних вiдображень ĥ : H → H, якi є нерухомими на ∂H i ĥ( ◦ H) ⊂ ◦ H. Нехай також Map0(R2, O) — множина таких неперерв- них вiдображень h : R2 → R2, що h−1(O) = O. Гамiльтоновi векторнi поля ... 295 Тодi кожне ĥ ∈ Map0 Z (H, ∂H) iндукує таке єдине вiдо- браження h ∈ Map0(R2, O), що наступна дiаграма є кому- тативною: H ĥ −−−→ H Pk   y   yPk R2 h −−−→ R2 тобто h◦Pk = Pk ◦ ĥ. В координатнiй формi це означає, що (6.2) h1(ρ k cos φ, ρk sinφ) = ĥ2(φ, ρ) k · cos ĥ1(φ, ρ) h2(ρ k cos φ, ρk sinφ) = ĥ2(φ, ρ) k · sin ĥ1(φ, ρ). Для кожної такої пари h та ĥ будемо використовувати наступнi позначення α̂(φ, ρ) = ĥ1(φ, ρ) − φ, β̂(φ, ρ) = ĥ2(φ, ρ) − ρ,(6.3) γ(x, y) = h1(x, y) − x, δ(x, y) = h2(x, y) − y.(6.4) Таким чином вiдповiднiсть ĥ 7→ h є коректно визначе- ним вiдображенням m ′ k : Map0 Z (H, ∂H) → Map0(R2, O). Наша мета довести, що m ′ k iндукує бiєкцiю m −1 k : Map∞ Z (H, ∂H) → Map∞(R2, O). Спочатку покажемо, що образ m ′ k мiстить Map∞(R2, O). Дiйсно, нехай h ∈ Map∞(R2, O). Так як h належить кла- су C1 (в дiйсностi C∞) та є 1-близьким (в дiйсностi ∞- близьким) до тотожного вiдображення idR2 в точцi O, то дотичне вiдображення TOh : TOR 2 → TOR 2 296 Сергiй Максименко є тотожним. Тому h iндукує єдине вiдображення ĥ, яке є нерухомим на ∂H. Бiльш того, так як h−1(O) = O, то ĥ−1( ◦ H) = ◦ H. Це означає, що ĥ ∈ Map0 Z (H, ∂H) i m ′ k(ĥ) = h. Вiдмiтимо також, що iз єдиностi такого вiдображення ĥ випливає, що на Map∞(R2, O) визначене обернене до m ′ k вiдображення mk : Map∞(R2, O) → Map0 Z (H, ∂H). Залишається довести наступну лему. Лема 6.3. mk(Map∞(R2, O)) = Map∞ Z (H, ∂H). Причому для кожного r ≥ 0 вiдображення обмеження mk : Map∞(R2, O) → Map∞ Z (H, ∂H) є Cr,r W,W -неперервним, а обернене до нього m −1 k : Map∞ Z (H, ∂H) → Map∞(R2, O) — C (2k+1)r,r W,W -неперервним. Доведення. Нехай h ∈ Map∞(R2, O) i ĥ = mk(h). Досить довести, що ĥ є гладким та ∞-близьким до idH на ∂H в околi точки (0, 0) ∈ H. Так як h(O) = O i h є ∞-близьким до idR2 в точцi O, то (6.5) h1(x, y) = x+ xa1 + yb1, h2(x, y) = y + xa2 + yb2, де a1, a2, b1, b2 ∈ Flat(R2, O). Тодi з (6.2) та (6.5) випливає, що (h1 ◦ Pk) 2 + (h2 ◦ Pk) 2 = ĥ2 2 = ρ2k · (1 + ω(φ, ρ)), 2 · (h1 ◦ Pk) · (h2 ◦ Pk) = ĥ2k 2 · sin 2ĥ1 = ρ2k · (sin 2φ+ ξ(φ, ρ)) Гамiльтоновi векторнi поля ... 297 де ω, ξ : H → R — гладкi функцiї, плоскi на ∂H. Тодi sin 2ĥ1 = sin 2φ+ ξ 1 + ω = (sin 2φ+ ξ)(1 − ω + ω2 − · · · ) = = sin 2φ+ ψ, де ψ є гладкою в околi точки (0, 0) ∈ H i плоскою на ∂H. Тому з (2.2) випливає, що ĥ1 = 1 2 arcsin(sin 2φ+ ψ) (2.2) ==== φ+ ψ · τ(φ, ρ), де τ є гладкою в околi (0, 0) ∈ H. Отже ĥ1(φ, ρ)− φ є глад- кою в околi (0, 0) ∈ H i плоскою на ∂H. Залишається довести гладкiсть ĥ2 в кожнiй точцi (φ0, 0). Нехай A = cos φ0, B = sinφ0. Тодi з (6.2) та (6.5) випливає, що A · h1 ◦ Pk +B · h1 ◦ Pk (6.2) === ĥk2 · (A cos ĥ1 +B sin ĥ1) = = ĥk2 cos(ĥ1 − φ0). A · h1 ◦ Pk +B · h1 ◦ Pk (6.5) === ρk(A cosφ+B sin φ+ c) = = ρk(cos(φ− φ0) + c), де c ∈ FlatZ(H, ∂H). Прирiвнявши останнi частини обох рiвностей, отримаємо, що (6.6) ĥ2(φ, ρ) = ρ · k √ cos(φ− φ0) + c cos(ĥ1 − φ0) ︸︷︷︸ η = ρ · η(φ, ρ) Так як ĥ1 є гладким, а ĥ1 −φ — плоским на ∂H, то в околi точки (φ0, 0) функцiя η є гладкою, а η − 1 — плоскою. 298 Сергiй Максименко Звiдси ĥ2 = ρ+ β̂, де β ∈ FlatZ(H, ∂H). Крiм того, бачимо, що mk є Cr,r W,W - неперервним. Розглянемо тепер вiдображення m −1 k . Нехай ĥ = (ĥ1, ĥ2) ∈ Map∞ Z (H, ∂H) i h = m −1 k (ĥ) = (h1, h2) ∈ Map0(R2, O). За умовою α̂ та β̂ є плоскими на ∂H i за лемою 6.1 цi функцiї Z-iнварiантнi. Тому α̂, β̂ ∈ FlatZ(H, ∂H). Покаже- мо, що γ та δ є гладкими та плоскими в точцi O ∈ R2. За теоремою 5.1 досить встановити, що γ ◦ Pk та δ ◦ Pk належать до FlatZ(H, ∂H). З (2.1) випливає, що знайдуться такi гладкi функцiї µ, ν : H → R, що cos ĥ1 = cos(φ+ α̂) = cos φ+ α̂ · µ(φ, α̂), sin ĥ1 = sin(φ+ α̂) = sinφ+ α̂ · ν(φ, α̂). Очевидно, µ та ν є Z-iнварiантними. Вiдмiтимо також, що ĥk2 = (ρ+ β̂)k = ρk + β̂1, для деяких β̂1 ∈ FlatZ(H, ∂H). Тому (6.7) γ ◦ Pk(φ, ρ) = (ρk + β̂1)(cos φ+ α̂ · µ(φ, α̂)) − ρk cosφ = = β̂1 · cos φ+ (ρk + β̂1) · α̂ · µ(φ, α̂), δ ◦ Pk(φ, ρ) = β̂1 · sin φ+ (ρk + β̂1) · α̂ · ν(φ, α̂). Гамiльтоновi векторнi поля ... 299 Так як α̂, β̂ ∈ FlatZ(H, ∂H), то γ ◦ Pk, та δ ◦ Pk також належать до FlatZ(H, ∂H). Залишається вiдмiтити, що m −1 k спiвпадає з наступною послiдовнiстю вiдображень: ĥ (6.3) 7−→ (α̂, β̂) (6.7) 7−→ (γ ◦ P, δ ◦ P ) fk7→ (γ, δ) (6.3) 7−→ h, в якiй для кожного r ≥ 0 першi двi вiдповiдностi є Cr,r W,W - неперервними, а третя — є C (2k+1)r,r W,W -неперервною (за тео- ремою 5.1). Отже, m −1 k є C (2k+1)r,r W,W -неперервним для всiх r ≥ 0. � Теорему 6.2 доведено. 7. Доведення твердження 3.4 Нехай G — гладке векторне поле, визначене в околi V початку координат O ∈ R2. Припустимо, що G має вла- стивiсть (∗) в точцi O. Тодi можна вважати, що G = ηH , де η : R2 → R \ {0} скрiзь вiдмiнна вiд нуля гладка функ- цiя, а H = (−g′y, g ′ x) — гамiльтонове векторне поле G дея- кого однорiдного многочлена g : R2 → R степеня p+1 ≥ 2, який не має кратних простих множникiв. Позначимо через G — локальний потiк поля G. Для кожного h ∈ E∞(G, V,O) потрiбно знайти гладку функцiю α : V → R, яка є плоскою в точцi O i така, що h(z) = G(z, α(z)). Нехай P : H → R 2, P (φ, ρ) = (ρ cosφ, ρ sinφ) — вiдображення, що визначає полярнi координати. Покладемо U = P−1(V ). Введемо позначення. Нехай • Flat(V,O) — простiр гладких функцiй V → R, якi є плос- кими в точцi O; 300 Сергiй Максименко • FlatZ(U, ∂H) — простiр гладких Z-iнварiантних функцiй U → R, що є плоскими на ∂H; • Map(V,R2, O) — простiр гладких вiдображень h : V → R 2 таких, що h−1(O) = O i h є нескiнченно близьким до idV в точцi O; • Map Z (U,H, ∂H) — простiр гладких Z-еквiварiантних вi- дображень ĥ : U → H таких, що ĥ−1(∂H) = ∂H i ĥ є ∞- близьким до idU в кожнiй точцi множини ∂H. З теорем 5.1 та 6.2 випливає, що вiдображення P1 = P iндукує наступнi бiєкцiї f1 та m1, якi для простоти позна- чатимемо вiдповiдно через f та m: f : Flat(V,O) → FlatZ(U, ∂H), m : Map(V,R2, O) → Map Z (U,H, ∂H). Нехай F — пiдняття векторного поля G з V на U за до- помогою вiдображення P . Позначимо через E∞(F, U, ∂H) пiдмножину в E(F, U), що складається з вiдображень, якi є ∞-близькими до idH на ∂H. Крiм того, нехай E∞(F, U, ∂H)Z — пiдмножина в E∞(F, U, ∂H), що складається з Z-еквiва- рiантних вiдображень. Тодi матимемо наступнi включен- ня: Map(V,R2, O) ⊃ E∞(G, V,O) m   y Map Z (U,H, ∂H) ⊃ E∞(F, U, ∂H)Z. Лема 7.1. m ( E∞(G, V,O) ) = E∞(F, U, ∂H)Z. Доведення. Нехай h ∈ E∞(G, V,O) i ĥ = m(h) ∈ Map Z (U,H, ∂H). Потрiбно показати, що ĥ ∈ E∞(F, U, ∂H)Z, тобто, що Гамiльтоновi векторнi поля ... 301 (i) ĥ є дифеоморфiзмом в околi кожної особливої точки z ∈ ΣF = ∂H поля F ; (ii) ĥ(ω̂ ∩ U) ⊂ ω̂ для кожної орбiти ω̂ поля F . Перевiрка (i). Так як росток h в точцi O ∈ R 2 є ∞- близьким до idR2 , то за теоремою 6.2 ĥ є ∞-близьким до тотожного вiдображення на ΣF = ∂H. Тому для кожної точки z ∈ ∂H дотичне вiдображення Tzĥ : TzH → TzH є тотожним, а тому невиродженим. Перевiрка (ii). Розглянемо довiльну орбiту ω̂ вектор- ного поля F i нехай ω = P (ω̂) — вiдповiдна орбiта поля G. Тодi за означенням h(ω ∩ V ) ⊂ ω. Звiдси випливає, що ĥ(ω̂ ∩ U) мiститься в деякiй орбiтi ω̂1 поля F , такiй, що P (ω̂1) = ω. Потрiбно довести, що ω̂ = ω̂1. Це випливає iз структури орбiт поля G. Дiйсно, припустимо, що g є добутком визначених квад- ратичних форм, тобто g(z) 6= 0 для z 6= 0. Структура орбiт векторних полiв F та G для цього випадку схематично зоб- ражена на Рис. 4.2. З неї випливає, що ω̂ = P−1(ω), а тому ω̂ = ω̂1. Припустимо, що g має лiнiйнi множники. Тодi множина g−1(0) є об’єднанням 2l променiв T0, . . . , T2l−1, що почина- ються в точцi O, причому Ti та Ti+l mod 2l для i = 1, . . . , l лежать на однiй прямiй, див.Рис. 4.1. Бiльш того, множи- на P−1 ◦ g−1(O) є об’єднанням ∂H зi злiченою кiлькiстю вертикальних пiвпрямих T̂j , (j ∈ Z). Можна вважати, що P (T̂j) = Tj mod 2l. Так як h(Ti) = Ti для всiх i = 1, . . . , 2l, а вiдображення ĥ нерухоме на ∂H, то ĥ(T̂j) = T̂j для всiх j ∈ Z. Звiдси випливає, що P iндукує бiєкцiю мiж орбiтами поля G, що лежать у кутi мiж променями Ti та Ti+1 та орбiтами поля 302 Сергiй Максименко F , що лежать в полосi мiж T̂i+2ls та T̂i+1+2ls, (s ∈ Z). Тому ω̂ = ω̂1. Таким чином, m ( E∞(G, V,O) ) ⊂ E∞(F, U, ∂H)Z. Навпаки, нехай ĥ ∈ E∞(F, U, ∂H)Z i h = m −1(ĥ) ∈ Map(V,R2, O). Покажемо, що h ∈ E∞(G, V,O). Так як h є ∞-близьким до idR2 в точцi O, то h є локальним дифеоморфiзмом в цiй єдинiй особливiй точцi поля G. Розглянемо довiльну орбiту ω поля G i нехай ω̂ — така орбiта поля F , що ω = P (ω̂). Тодi за означенням ĥ(ω̂ ∩ U) ⊂ ω̂. Так як P ◦ ĥ = h ◦ P , то h(ω ∩ V ) ⊂ h ◦ P (ω̂ ∩ U) = P ◦ ĥ(ω̂ ∩ U) ⊂ P (ω̂) = ω. Таким чином E∞(F, U, ∂H)Z ⊂ m ( E∞(G, V,O) ) . � Залишається довести наступне твердження: Твердження 7.2. Припустимо, що G має властивiсть (∗) в точцi O. Тодi iснує єдине вiдображення ψ : E∞(F, U, ∂H)Z → FlatZ(U, ∂H) таке, що ĥ(x) = F(x, ψ(ĥ)(x)) для всiх ĥ ∈ E∞(F, U, ∂H)Z. Це вiдображення є Cr+p,r W,W - неперервним. Гамiльтоновi векторнi поля ... 303 Наслiдок 7.3. Визначимо вiдображення Ψ : E∞(G, V,O) → Flat(V,O) за допомогою формули: Ψ = f −1 ◦ ψ ◦ m, тобто так, щоб наступна дiаграма була комутативною: Map Z (U,H, ∂H) ⊃ E∞(F, U, ∂H)Z ψ −−−→ FlatZ(U, ∂H) m x   m x   x  f Map(V,R2, O) ⊃ E∞(G, V,O) Ψ −−−→ Flat(V,O) Тодi Ψ задовольняє твердженню 3.4. Доведення наслiдку. Нехай h ∈ E∞(G, V,O), ĥ = m(h) ∈ E∞(F, U, ∂H)Z, α̂ = ψ(ĥ) ∈ FlatZ(U, ∂H). Тодi ĥ(a) = F(a, α̂(a)), ∀a ∈ U. Покладемо α = f −1(α̂) = f −1 ◦ ψ ◦ m(h) ∈ Flat(V,O). Таким чином α̂ = α ◦ P . Спочатку потрiбно довести, що h(b) = G(b, α(b)), ∀b ∈ V. Нехай a ∈ U i b ∈ V такi точки, що b = P (a). Тодi h(b) = h ◦ P (a) = P ◦ ĥ(a) = P ◦ F(a, α̂(a)) = = G(P (a), α̂(a)) = G(P (a), α ◦ P (a)) = G(b, α(b)). Залишається перевiрити неперервнiсть Ψ. Вiдмiтимо, що для всiх r ≥ p вiдображення m є Cr,r W,W - неперервним, ψ є Cr,r−p W,W -неперервним, а f −1 — C r−p,[(r−p)/3] W,W - неперервним, де [t] позначає цiлу частину числа t ∈ R. Тому Ψ є C r,[(r−p)/3] W,W -неперервним. Замiнюючи r на 3r + p отримаємо, що Ψ є C3r+p,r W,W -неперервним. � 304 Сергiй Максименко Таким чином для закiнчення доведення твердження 3.4 та теореми 3.2 залишилось довести твердження 7.2. Зауваження 7.4. Нехай A ∈ Flat(U, ∂H), тобто A є плос- кою функцiєю на ∂H. Тодi з леми Адамара випливає, що для кожного t ∈ N iснує така функцiя At ∈ Flat(U, ∂H), що A = ρtAt. Доведення твердження 7.2. Нехай ĥ = (ĥ1, ĥ2) ∈ E∞(F, U, ∂H). Так як всi орбiти F на ◦ H є незамкнутими, то для кожної точки z ∈ ◦ H iснує єдине число ψ(z) ∈ R таке, що ĥ(z) = G(z, ψ(ĥ)(z)). Таким чином ми отримуємо однозначно визначену функ- цiю зсуву ψ : ◦ H → R для ĥ. З формули (1.4) випливає, що ця функцiя є гладкою. Потрiбно показати, що поклавши ψ(z) = 0 для всiх z ∈ ∂H, ми зробимо функцiю ψ гладкою на всiй пiвплощинi H i плоскою на ∂H. Нехай φ0 ∈ ∂H. Тодi з леми 4.1 випливає, що g ◦ P (φ, ρ) = ρp+1(φ− φ0) aγ(φ), де a ≥ 0 залежить вiд φ0, а γ : R → R — така гладка функцiя, що γ(φ0) 6= 0. Так як g має властивiсть (∗), то за наслiдком 4.5 маємо, що a = 0 або 1. Розглянемо два випадки. Не втрачаючи загальностi, мо- жемо вважати, що φ0 = 0. 1) Припустимо, що a = 0, тобто g ◦ P (φ, ρ) = ρp+1γ(φ), Гамiльтоновi векторнi поля ... 305 в деякому околi (0, 0) ∈ H. Iншими словами, це означає, що g не дiлиться на y. Тодi з формули (4.4), див. лему 4.4, випливає, що F1(φ, ρ) = ρp−1 γ1(φ). Так як функцiї ĥ1 −φ та ĥ2 − ρ є плоскими на ∂H, то вони дiляться на ρ, i ми можемо записати ĥ1(φ, ρ) = φ+ A(φ, ρ), ĥ2(φ, ρ) = ρ+ ρB(φ, ρ), де A,B ∈ Flat(U, ∂H). Вiдмiтимо, що векторне поле F визначає наступну ав- тономну систему диференцiальних рiвнянь: { φ̇ = F1(φ, ρ) ρ̇ = F2(φ, ρ). Тодi dt = dφ F , а отже час ψ(φ, ρ) мiж точками (φ, ρ) та ĥ(φ, ρ) можна пiрахувати за наступною формулою: ψ(φ, ρ) = ĥ1(φ,ρ)∫ φ dθ ρp−1 γ(θ) . Покажемо, що ψ є гладкою в околi (0, 0) ∈ H. Досить до- вести, ψ має гладкi частиннi похiднi першого порядку, якi є плоскими на ∂H. Легко пiдрахувати, що ψ′ φ(φ, ρ) = (ĥ1) ′ φ ĥp−1 2 · γ(ĥ1) − 1 ρp−1 · γ , ψ′ ρ(φ, ρ) = (ĥ1) ′ ρ ĥp−1 2 γ(ĥ1) . Вiдмiтимо, що (ĥ1) ′ φ = 1 + A′ φ, (ĥ1) ′ ρ = A′ ρ. Крiм того, (7.1) ĥp−1 2 = ρp−1(1 + B̄), γ(ĥ1(φ, ρ)) = γ(φ)(1 + C), 306 Сергiй Максименко для деяких функцiй B̄, C ∈ Flat(U, ∂H). Тому (7.2) ψ′ φ(φ, ρ) = 1 + A′ φ ρp−1(1 + B̄)γ(ĥ1) − 1 + C ρp−1γ(ĥ1) = = D ︷︸︸︷ A′ φ − B̄ − C − B̄C ρp−1(1 + B̄)γ(ĥ1) = D/ρp−1 (1 + B̄)γ(ĥ1) . Так якD ∈ Flat(U, ∂H), то з леми Адамара, див. зауважен- ня 7.4, випливає, що D/ρp−1. Тому ψ′ φ(φ, ρ) ∈ Flat(U, ∂H). Аналогiчно, (7.3) ψ′ ρ(φ, ρ) = A′ ρ ρp−1(1 + B̄)γ(ĥ1) = A′ ρ/ρ p−1 (1 + B̄)γ(ĥ1) . Ця функцiя також є гладкою, тому що A′ ρ ∈ Flat(U, ∂H). 2) Припустимо тепер, що a = 1, тобто g = yR, де R(x, 0) 6= 0. Тодi з леми 4.4 випливає, що F2(φ, ρ) = ρp γ2(φ). Так як F1(0, ρ) = 0, то пiввiсь {φ = 0, ρ > 0} є орбiтою поля F . Тому вона є iнварiантною вiдносно ĥ, тобто ĥ1(0, ρ) = 0. Тодi, за лемою Адамара, маємо, що ĥ1(φ, ρ) = φ+ φA(φ, ρ), ĥ2(φ, ρ) = ρ+ ρB(φ, ρ) для деяких гладких функцiй A,B ∈ Flat(U, ∂H). Тому ψ(φ, ρ) = ĥ2(φ,ρ)∫ ρ dρ ρp γ(φ) . Гамiльтоновi векторнi поля ... 307 Тодi, як i в попередньому випадку, можна показати, що (7.4) ψ′ φ(φ, ρ) = B′ φ/ρ p (1 + B̂)γ(ĥ1) , i (7.5) ψ′ ρ(φ, ρ) = E/ρp (1 + B̂)γ(ĥ1) , де, як i в (7.1) функцiї B̂, C, E визначаються за наступними формулами: ĥp2 = ρp(1 + B̂), γ(ĥ1(φ, ρ)) = γ(φ)(1 + C), E = B′ ρ − B̂ − C − B̂C i належать до Flat(U, ∂H). Отже ψ ∈ Flat(U, ∂H). Залишається довести неперервнiсть вiдповiдностi ĥ 7→ ψ. Зауважимо, що вирази для ψ′ φ та ψ′ ρ включають в себе дiлення на ρp та оператори ∂/∂φ i ∂/∂ρ. За лемами 2.2 та 2.3 дiлення на ρ та диференцiювання по φ та ρ є Cr+1,r W,W - неперервними операцiями. З формул (7.2), (7.3), (7.4) та (7.5) випливає, що знай- деться d > 0 та замкнена куля K ⊂ V , що мiстить O ∈ R 2, такi, що абсолютне значення знаменникiв в цих виразах бiльше нiж 2d в кожнiй точцi множини K. Позначимо L = P−1(K) ∩ [0, 2π] × [0,∞). Тодi з виразiв для ψ′ φ та ψ′ ρ, а також з лем 2.2 та 2.3 слiдує, що для будь-яких r ≥ 0 та ε > 0 знайдеться таке δ ∈ (0, d), що має мiсце наступна iмплiкацiя: ‖ĥ− q‖r+p+1 K < δ =⇒ ‖ψ(ĥ) − ψ(q)‖r+1 L < ε. 308 Тому вiдповiднiсть ĥ 7→ ψ є Cr+p,r W,W -неперервним вiдобра- женням для всiх r ≥ 0. Деталi залишаємо читачевi. Я щиро вдячний В. В. Шарко, Є. Полуляху, О. Пришляку, I. Власенко та I. Юрчук за iнтерес до роботи та кориснi обговорення. Лiтература [1] М. Голубицкий, В. Гийемин, Уcтойчивые отображения и их осо- бенности. — Москва, Мир, 1977. [2] М. Хирш Дифференциальная топология. — Москва, Мир, 1979. [3] S. Maksymenko, Homotopy types of stabilizers and orbits of Morse functions on surfaces, Ann. Glob. Anal. Geom., 29 no. 3, (2006), 241- 285, http://xxx.lanl.gov/math.GT/0310067 [4] S. Maksymenko, Smooth shifts along trajectories of flows, Topol. Appl., 130 (2003), 183-204, http://xxx.lanl.gov/math.GT/0106199 [5] S. Maksymenko, ∞-jets of difeomorphisms preserving orbits of vector fields, preprint
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-6283
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1815-2910
language	Ukrainian
last_indexed	2025-12-01T09:05:08Z
publishDate	2006
publisher	Інститут математики НАН України
record_format	dspace
spelling	Максименко, С. 2010-02-22T16:22:28Z 2010-02-22T16:22:28Z 2006 Гамiльтоновi векторнi поля однорiдних многочленiв двох змiнних / С. Максименко // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2006. — Т. 3, № 3. — С. 269-308. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1815-2910 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6283 Робота виконана в рамках цiльової програми НАН України “Сучаснi методи дослiдження математичних моделей в задачах природознавства та суспiльних наук” НДР № 0107U00233 Я щиро вдячний В. В.Шарко, Є. Полуляху, О. Пришляку, I. Власенко та I.Юрчук за iнтерес до роботи та кориснi обговорення. uk Інститут математики НАН України Геометрія, топологія та їх застосування Гамiльтоновi векторнi поля однорiдних многочленiв двох змiнних Article published earlier
spellingShingle	Гамiльтоновi векторнi поля однорiдних многочленiв двох змiнних Максименко, С. Геометрія, топологія та їх застосування
title	Гамiльтоновi векторнi поля однорiдних многочленiв двох змiнних
title_full	Гамiльтоновi векторнi поля однорiдних многочленiв двох змiнних
title_fullStr	Гамiльтоновi векторнi поля однорiдних многочленiв двох змiнних
title_full_unstemmed	Гамiльтоновi векторнi поля однорiдних многочленiв двох змiнних
title_short	Гамiльтоновi векторнi поля однорiдних многочленiв двох змiнних
title_sort	гамiльтоновi векторнi поля однорiдних многочленiв двох змiнних
topic	Геометрія, топологія та їх застосування
topic_facet	Геометрія, топологія та їх застосування
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6283
work_keys_str_mv	AT maksimenkos gamilʹtonovivektornipolâodnoridnihmnogočlenivdvohzminnih

Гамiльтоновi векторнi поля однорiдних многочленiв двох змiнних

Institution

Similar Items