О бесконечности типа бесконечных полугрупп, порожденных идемпотентами с частичным нулевым умножением
У статтi вивчається зв’язок мiж нескiнченнiстю (зображувального) типу та нескiнченнiстю порядка для одного природного класу напiвгруп, породжених iдемпотентами. В статье изучается связь между бесконечностью (представленческого) типа и бесконечностью порядка для одного естественного класса полугрупп,...
Збережено в:
| Дата: | 2006 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6286 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О бесконечности типа бесконечных полугрупп, порожденных идемпотентами с частичным нулевым умножением / В.М. Бондаренко, Е.Н. Тертичная // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2006. — Т. 3, № 3. — С. 23-44. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860257535016042496 |
|---|---|
| author | Бондаренко, В.М. Тертичная, Е.Н. |
| author_facet | Бондаренко, В.М. Тертичная, Е.Н. |
| citation_txt | О бесконечности типа бесконечных полугрупп, порожденных идемпотентами с частичным нулевым умножением / В.М. Бондаренко, Е.Н. Тертичная // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2006. — Т. 3, № 3. — С. 23-44. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | У статтi вивчається зв’язок мiж нескiнченнiстю (зображувального) типу та нескiнченнiстю порядка для одного природного класу напiвгруп, породжених iдемпотентами.
В статье изучается связь между бесконечностью (представленческого) типа и бесконечностью порядка для одного естественного класса полугрупп, порождённых идемпотентами.
In this paper we study a connection between infiniteness of (representation) type and infiniteness of order for a natural class of semigroups generated by idempotents.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:51:07Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць
Iн-ту математики НАН України
2006, т.3, №3, 23-44
УДК 512.5+512.6
В.М.Бондаренко
Ин-т математики НАН Украины, Киев
E-mail: vit-bond@imath.kiev.ua
Е.Н.Тертичная
Киевский нац. ун-т им. Тараса Шевченка, Киев
E-mail: olena-tertychna@mail.ru
О бесконечности типа бесконечных
полугрупп, порождённых
идемпотентами с частичным
нулевым умножением
У статтi вивчається зв’язок мiж нескiнченнiстю (зображувального) ти-
пу та нескiнченнiстю порядка для одного природного класу напiвгруп,
породжених iдемпотентами.
В статье изучается связь между бесконечностью (представленческо-
го) типа и бесконечностью порядка для одного естественного класса
полугрупп, порождённых идемпотентами.
In this paper we study a connection between infiniteness of (representation)
type and infiniteness of order for a natural class of semigroups generated
by idempotents.
Введение
В теории конечномерных представлений объект иссле-
дования называют объектом конечного (представленчес-
кого) типа, если он имеет, с точностью до изоморфизма,
c© В.М.Бондаренко, Е.Н. Тертичная, 2006
24 В.В.Бондаренко, Е.Н.Тертичная
конечное число (конечномерных) неразложимых представ-
лений; в противном случае его называют объектом беско-
нечного типа. Описание объектов конечного и бесконечно-
го типов является одной из основных задач любой теории
конечномерных представлений (в частности, представле-
ний групп [1], колчанов [2], частично упорядоченных мно-
жеств [3, 4] и т.д.). Если говорить о представлениях групп,
то полностью описаны лишь конечные группы конечного
типа, а (конечномерные) представления бесконечных кол-
чанов и бесконечных частично упорядоченных множеств
тривиальным образом сводиться к конечному случаю.
В этой статье рассматриваются (конечномерные) пред-
ставления полугрупп, порождённых идемпотентами с ча-
стичным нулевым умножением. Мы устанавливаем связь
между бесконечностью типа и бесконечностью порядка
для таких полугрупп.
1. Формулировка основных результатов. Мы рас-
сматриваем полугруппы с нулем, которые порождены эле-
ментами ei и задаются определяющими соотношениями
e2
i = ei для всех i и некоторыми соотношениями вида
eiej = 0.
Дадим точные определения.
Пусть I — (конечное или бесконечное) множество, не
содержащее элемента 0, и J — подмножество в I × I без
диагональных элементов (т. е. без элементов вида (i, i)).
Обозначим через S(I, J) полугруппу с образующими эле-
ментами ei, где i ∈ I ∪ 0, и следующими определяющими
соотношениями:
1) e0 = 0;
2) e2
i = ei для любого i ∈ I;
3) eiej = 0 для любой пары (i, j) ∈ J .
О бесконечности типа бесконечных полугрупп... 25
Множество всех таких полугрупп обозначим через I.
В этой статье мы изучаем конечномерные представле-
ния полугрупп из I над произвольным полем k.
Говорят, что полугруппа имеет конечный (представлен-
ческий) тип над k, если число ее неразложимых представ-
лений над k конечно (с точностью до эквивалентности); в
противном случае говорят, что S имеет бесконечный тип
над k. Далее, будем говорить, что полугруппа имеет огра-
ниченный тип (над k), если размерности ее неразложимых
представлений ограничены сверху; в противном случае бу-
дем говорить, что полугруппа имеет неограниченный тип
(над k).
Основными результатами статьи являются следующие
теоремы.
Теорема 1. Всякая бесконечная полугруппа S(I, J) име-
ет бесконечный тип над произвольным полем k.
Теорема 2. Всякая бесконечная полугруппа S(I, J), где
I — конечное множество, имеет неограниченный тип
над произвольным полем k.
2. Критерий конечности для полугрупп S(I, J).
Сопоставим каждой полугруппе S = S(I, J) (или, что то
же самое, паре (I, J)) следующий ориентированный граф
Λ = (Λ0, Λ1) с множеством вершин Λ0 и множеством стре-
лок Λ1: Λ0 = E(I) = {ei | i ∈ I}, а Λ1 состоит из стрелок
ei → ej , где (i, j) пробегает множество J . Обозначим этот
граф через Λ(I, J) = Λ(S).
Однако, в дальнейшем более важную роль будет играть
ориентированный граф Λ = Λ(I, J) = Λ(S) с множеством
вершин Λ0 и множеством стрелок Λ1, который определя-
ется следующим образом: Λ0 = Λ0, а ei → ej принадлежит
26 В.В.Бондаренко, Е.Н.Тертичная
Λ1 тогда и только тогда, когда ei → ej не принадлежит Λ1
и при этом i 6= j.
Поскольку оба графа не содержат кратных стрелок, то
стрелку i → j будем также обозначать через (i, j); заметим
еще, что эти графы не содержат петель.
Очевидно, что полугруппа S однозначно восстанавлива-
ется по каждому из введенных ориентированных графов.
Теорема 3. Полугруппа S = S(I, J) является конечной
тогда и только тогда, когда I — конечное множество и
граф Λ(S) не содержит ориентированных циклов.
Очевидно, что полугруппа S(I, J) является бесконеч-
ной, если бесконечным является множество I. Строгое до-
казательство следует из того, что ее гомоморфным обра-
зом является бесконечная полугруппа, состоящая из всех
(бесконечных) диагональных I × I-матриц ранга 1, нену-
левые элементы которых являются единичными.
Пусть I конечно и граф Λ(S) не имеет ориентирован-
ных циклов. Покажем, что в этом случае полугруппа S
конечна.
Напомним, что через E = E(I) мы обозначаем множе-
ство {ei | i ∈ I}.
Рассмотрим в S некоторый элемент x = x1x2 . . . xm, где
xi ∈ E. Очевидно, что x = 0, если (xi, xi+1) не являет-
ся стрелкой в графе Λ(S) (для некоторого 1 ≤ i < m).
Значит, чтобы элемент x не было нулевым, необходимо,
чтобы в графе Λ(S) существовал ориентированный путь
из вершины x1 в вершину xm, проходящий через вершины
x2, . . . , xm−1; при этом элементы x = x1x2 . . . xm попарно
различны (поскольку граф Λ(S) не имеет ориентирован-
ных циклов). Отсюда следует, что число ненулевых слов
конечно, причем |S| ≤ 1+|Λ0|+|Λ1|+|P |, где P обозначает
(конечное) множество всех ориентированных путей в Λ(S)
О бесконечности типа бесконечных полугрупп... 27
длины r ≥ 2 (слагаемому 1 соответстует нулевой элемент
полугруппы).
Итак, доказано, что полугруппа S конечна.
Заметим, что на самом деле в последней формуле имеет
место равенство.
Чтобы доказать указанный факт, нужно показать, что
элемент x = x1x2 . . . xm является ненулевым всякий раз,
когда в графе Λ существует ориентированный путь из вер-
шины x1 в вершину xm, проходящий через вершины
x2, . . . , xm−1.
Мы докажем это с помощью рассмотрения матричных
представлений. Матрицу размера m×m, в которой на ме-
сте (i, j) стоит единичный элемент, а на остальных местах
— нулевые элементы, будем обозначать через Eij(m).
Рассмотрим следующее матричное M = (M(x) | x ∈ S)
представление полугруппы S над произвольным фиксиро-
ванным полем k:
M(x1) = E11(m) + E12(m) =
1 1 0 . . . 0 0
0 0 0 . . . 0 0
0 0 0 . . . 0 0
...
...
...
. . .
...
...
0 0 0 . . . 0 0
0 0 0 . . . 0 0
,
M(x2) = E22(m) + E23(m) =
0 0 0 . . . 0 0
0 1 1 . . . 0 0
0 0 0 . . . 0 0
...
...
...
. . .
...
...
0 0 0 . . . 0 0
0 0 0 . . . 0 0
,
28 В.В.Бондаренко, Е.Н.Тертичная
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M(xm−1) = Em−1,m−1(m) +
+ Em−1,m(m) =
0 0 0 . . . 0 0
0 0 0 . . . 0 0
0 0 0 . . . 0 0
...
...
...
. . .
...
...
0 0 0 . . . 1 1
0 0 0 . . . 0 0
,
M(xm) = Emm(m) =
0 0 0 . . . 0 0
0 0 0 . . . 0 0
0 0 0 . . . 0 0
...
...
...
. . .
...
...
0 0 0 . . . 0 0
0 0 0 . . . 0 1
,
и M(ei) = 0 для любого ei 6= x1, x2, . . . , xm (в том числе
M(e0) = 0).
Заметим, что поскольку граф Λ(S) не содержит ориен-
тированных циклов, то xixj = 0 всякий раз, когда i > j.
Кроме того, могут выполняться равенства xixj = 0 для
некоторых (и даже всех) i и j, таких, что j > i + 1. Но
поскольку, как легко видеть, [M(xi)]
2 = M(xi) для лю-
бого i и M(xi)M(xj) = 0 для любых i и j, таких, что
либо j > i + 1, либо i > j, то указанное отображение
{ei | i ∈ I ∪ 0} → Mm(k) действительно задает представ-
ление полугруппы S.
О бесконечности типа бесконечных полугрупп... 29
Так как
M(x) = M(x1x2 . . . xm) = M(x1)M(x2) . . .M(xm) =
= E1m(m) =
0 0 0 . . . 0 1
0 0 0 . . . 0 0
0 0 0 . . . 0 0
...
...
...
. . .
...
...
0 0 0 . . . 0 0
0 0 0 . . . 0 0
6= 0,
то x1x2 . . . xm 6= 0 (иначе M(e0) = M(0) 6= 0, что противо-
речит определению представления M).
Продолжаем доказательство теоремы 3.
Нам осталось доказать, что в случае, когда I конечно и
граф Λ(S) содержит ориентированных цикл, полугруппа
S является бесконечной.
Зафиксируем в графе Λ(S) ориентированный цикл:
(x1, x2), (x2, x3), . . . , (xm−1, xm), (xm, x1),
где m ≥ 2 и xi 6= xj при i 6= j. Доказательство будем про-
водить тем же методом, что и доказательство равенства
|S| = 1 + |Λ0| + |Λ1| + |P |,
(см. выше).
Рассмотрим следующее T = (T (x) | x ∈ S) представле-
ние полугруппы S над произвольным фиксированным по-
лем k (используя введенные выше обозначения для мат-
риц): T (ei) = 0 для любого ei 6= x1, x2, . . . , xm (в том числе
T (e0) = 0),
T (x1) = M(x1),
T (x2) = M(x2), . . . , T (xm−1) = M(xm−1)
30 В.В.Бондаренко, Е.Н.Тертичная
и
T (xm) = Emm(m) + cEm1(m) =
0 0 0 . . . 0 0
0 0 0 . . . 0 0
0 0 0 . . . 0 0
...
...
...
. . .
...
...
0 0 0 . . . 0 0
c 0 0 . . . 0 1
,
где c 6= 0 — фиксированный элемент поля k, не являю-
щийся корнем из единицы (тогда степени c, c2, c3, . . . эле-
мента c попарно различны). Поскольку, как легко видеть,
[T (xi)]
2 = T (xi) для любого i и T (xi)T (xj) = 0 для любых i
и j, кроме j = i и j = i+1 (при этом m+1 отождествляется
с 1), то указанное отображение
{ei | i ∈ I ∪ 0} −→ Mm(k)
действительно задает представление полугруппы S.
Положим x = x1x2 . . . xm. Поскольку
T (x) = T (x1 . . . xm) = T (x1) . . . T (xm) = cE11(m) + E1m(m),
то
[T (x)]s = csE11(m) + cs−1E1m(m)
для любого натурального s, то в силу выбора элемента
c ∈ k матрицы T (x), [T (x)]2, [T (x)]3, . . . , попарно различ-
ны. Следовательно элементы x, x2, x3, . . . , полугруппы S
попарно различны и значит S — бесконечная полугруппа.
Теорема 3 доказана.
3. Доказательство теоремы 1. Предположим, что по-
лугруппа S = S(I, J) является бесконечной.
Если множество I бесконечное, то (бесконечная) полу-
группа S(I, J) имеет следующее бесконечное семейство
{Tj | j ∈ I}
О бесконечности типа бесконечных полугрупп... 31
неразложимых попарно неэквивалентных представлений:
Tj(ei) = 0 для i 6= j и Tj(ej) = 1 (i ∈ I ∪ 0).
Будем теперь предполагать, что множество I конечное.
В силу теоремы 3 граф Λ(S) содержит ориентированный
цикл. Зафиксируем среди таких циклов некоторый цикл Γ
наименьшей длины, состоящий из стрелок
(p1, p2), (p2, p3), . . . , (pm−1, pm), (pm, p1),
где m ≥ 2. В силу выбора цикла Γ все его вершины и стрел-
ки попарно различны и между вершинами p1, p2, . . . , pm
нет иных стрелок, кроме тех, что принадлежат циклу Γ.
Это означает, что epi
epj
= 0, если i 6= j и
(i, j) 6= (p1, p2), (p2, p3), . . . , (pm−1, pm), (pm, p1).
Заметим, что для подполугруппы S ′ полугруппы
S = S(I, J),
порождённой образующими e0, p1, . . . , pm, граф Λ(S ′) сов-
падает с Γ.
Поскольку любое представление подполугруппы S ′ про-
должается естественным образом до представления полу-
группы S = S(I, J) (образующему элементу x /∈ S ′ сопо-
ставляется нулевая матрица), то достаточно показать, что
бесконечный тип имеет полугруппа S ′.
Таким образом, для доказательства теоремы 1 достаточ-
но показать, что бесконечный тип имеет полугруппа Sm
(m > 1), состоящая из образующих элементов e0, e1, . . . , em
и соотношений e0 = 0, eiej = 0, если i 6= j и
(i, j) 6= (1, 2), (2, 3), . . . , (m − 1, m), (m, 1).
Пусть сначала m = 2.
32 В.В.Бондаренко, Е.Н.Тертичная
Рассмотрим следующее представление Ma (a ∈ k) полу-
группы S2:
Ma(e1) =
(
1 0
0 0
)
, Ma(e2) =
(
a 1
a − a2 1 − a
)
.
Покажем, что представления Ma и Mb не эквивалентны,
если a 6= b.
Предположим противное. Тогда существует обратимая
матрица T = (tij), ij = 1, 2, такая, что выполняются мат-
ричные равенства Ma(e1)T = TMb(e1), Ma(e2)T = TMb(e2)
или
(66)
(
1 0
0 0
) (
t11 t12
t21 t22
)
=
(
t11 t12
t21 t22
) (
1 0
0 0
)
,
(67)
(
a 1
a − a2 1 − a
) (
t11 t12
t21 t22
)
=
=
(
t11 t12
t21 t22
) (
b 1
b − b2 1 − b
)
.
Из равенства (66) следует, что t12 = t21 = 0. Тогда равен-
ство (67) эквивалентно следующей системе (скалярных)
равенств:
at11 = t11b;
t11 = t22;
(a − a2)t11 = t22(b − b2);
(1 − a)t22 = t22(1 − b).
В силу равенства t11 = t22 матрица T имеет вид
T =
(
t11 0
0 t11
)
О бесконечности типа бесконечных полугрупп... 33
и поскольку она невырождена, то t11 6= 0. Тогда из равен-
ства at11 = t11b имеем a = b, и мы приходим к противоре-
чию.
Итак, представления Ma и Mb не эквивалентны, если
a 6= b.
Из приведенного доказательства следует, что матрица
T является скалярной даже в том случае, когда a = b,
причем без требования невырожденности. Отсюда следует,
что алгебра эндоморфизмов представления Ma является
локальной и значит это представление неразложимо.
Таким образом, полугруппа S2 имеет бесконечный тип.
Пусть теперь m = 3.
Рассмотрим следующее представление Ma (a ∈ k) полу-
группы S3:
Ma(e1) =
1 0 0
0 0 0
0 0 0
, Ma(e2) =
0 1 0
0 1 0
0 0 0
,
Ma(e3) =
0 0 0
−a a 1
−a + a2 a − a2 1 − a
.
Покажем, что представления Ma и Mb не эквивалентны,
если a 6= b.
Предположим противное. Тогда существует обратимая
матрица T = (tij), ij = 1, 2, 3, такая, что выполняются мат-
ричные равенства
Ma(e1)T = TMb(e1),
Ma(e2)T = TMb(e2),
Ma(e3)T = TMb(e3),
34 В.В.Бондаренко, Е.Н.Тертичная
то есть
(68)
1 0 0
0 0 0
0 0 0
t11 t12 t13
t21 t22 t23
t31 t32 t33
=
=
t11 t12 t13
t21 t22 t23
t31 t32 t33
1 0 0
0 0 0
0 0 0
,
(69)
0 1 0
0 1 0
0 0 0
t11 t12 t13
t21 t22 t23
t31 t32 t33
=
=
t11 t12 t13
t21 t22 t23
t31 t32 t33
0 1 0
0 1 0
0 0 0
,
(70)
0 0 0
−a a 1
−a + a2 a − a2 1 − a
t11 t12 t13
t21 t22 t23
t31 t32 t33
=
=
t11 t12 t13
t21 t22 t23
t31 t32 t33
0 0 0
−b b 1
−b + b2 b − b2 1 − b
.
Перемножая матрицы в равенстве (68), получаем равен-
ство
t11 t12 t13
0 0 0
0 0 0
=
t11 0 0
t21 0 0
t31 0 0
,
О бесконечности типа бесконечных полугрупп... 35
из которого имеем, что t12 = t13 = t21 = t31 = 0. Подстав-
ляя это в равенство (69), получим равенство
0 1 0
0 1 0
0 0 0
t11 0 0
0 t22 t23
0 t32 t33
=
t11 0 0
0 t22 t23
0 t32 t33
0 1 0
0 1 0
0 0 0
,
которое после умножения матриц имеет следующий вид:
0 t22 t23
0 t22 t23
0 0 0
=
0 t11 0
0 t22 0
0 t32 0
.
Из последнего равенства следует, что
t11 = t22 и t23 = t32 = 0.
Таким образом, матричное равенство (70) имеет вид
0 0 0
−a a 1
−a + a2 a − a2 1 − a
t11 0 0
0 t11 0
0 0 t33
=
=
t11 0 0
0 t11 0
0 0 t33
0 0 0
−b b 1
−b + b2 b − b2 1 − b
,
или (после перемножения матриц)
0 0 0
−at11 at11 t33
(−a + a2)t11 (a − a2)t11 (1 − a)t33
=
=
0 0 0
−t11b t11b t11
t33(−b + b2) t33(b − b2) t33(1 − b)
.
36 В.В.Бондаренко, Е.Н.Тертичная
Последнее равенство эквивалентно следующей системе
равенств:
at11 = t11b;
t11 = t33;
(a − a2)t11 = t33(b − b2);
(1 − a)t33 = t33(1 − b).
В силу равенства t11 = t33 матрица T имеет вид
T =
t11 0 0
0 t11 0
0 0 t11
и поскольку она невырождена, то t11 6= 0. Тогда из равен-
ства at11 = t11b имеем a = b, и мы приходим к противоре-
чию.
Итак, представления Ma и Mb не эквивалентны, если
a 6= b.
Далее доказательство аналогично случаю m = 2.
Рассмотрим, наконец, общий случай.
Рассмотрим следующее представление Ma (a ∈ k) полу-
группы Sm:
Ma(e1) =
1 0 0 . . . 0
0 0 0 . . . 0
0 0 0 . . . 0
...
...
...
. . .
...
0 0 0 . . . 0
,
Ma(e2) =
0 1 0 . . . 0
0 1 0 . . . 0
0 0 0 . . . 0
...
...
...
. . .
...
0 0 0 . . . 0
,
О бесконечности типа бесконечных полугрупп... 37
Ma(e3) =
0 0 0 . . . 0
0 0 1 . . . 0
0 0 1 . . . 0
...
...
...
. . .
...
0 0 0 . . . 0
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,
Ma(em−1) =
0 . . . 0 0 0
...
. . .
...
...
...
0 . . . 0 1 0
0 . . . 0 1 0
0 . . . 0 0 0
,
Ma(em) =
=
0 . . . 0 0 0 0
...
. . .
...
...
...
...
0 . . . 0 0 0 0
0 . . . 0 0 0 0
(−1)ma . . . a −a a 1
(−1)m(a − a2) . . . a − a2 −(a − a2) a − a2 1 − a
.
Покажем, что представления Ma и Mb не эквивалентны,
если a 6= b.
Предположим противное. Тогда существует обратимая
матрица T = (tij), ij = 1, 2, . . . , m, такая, что выполняются
матричные равенства
Ma(e1)T = TMb(e1),
Ma(e2)T = TMb(e2),
Ma(e3)T = TMb(e3), . . . , Ma(em)T = TMb(em)
38 В.В.Бондаренко, Е.Н.Тертичная
или следующие матричные равенства:
1 0 0 . . . 0
0 0 0 . . . 0
0 0 0 . . . 0
...
...
...
. . .
...
0 0 0 . . . 0
t11 t12 t13 . . . t1m
t21 t22 t23 . . . t2m
t31 t32 t33 . . . t3m
...
...
...
. . .
...
tm1 tm2 tm3 . . . tmm
=
=
t11 t12 t13 . . . t1m
t21 t22 t23 . . . t2m
t31 t32 t33 . . . t3m
...
...
...
. . .
...
tm1 tm2 tm3 . . . tmm
1 0 0 . . . 0
0 0 0 . . . 0
0 0 0 . . . 0
...
...
...
. . .
...
0 0 0 . . . 0
,
0 1 0 . . . 0
0 1 0 . . . 0
0 0 0 . . . 0
...
...
...
. . .
...
0 0 0 . . . 0
t11 t12 t13 . . . t1m
t21 t22 t23 . . . t2m
t31 t32 t33 . . . t3m
...
...
...
. . .
...
tm1 tm2 tm3 . . . tmm
=
=
t11 t12 t13 . . . t1m
t21 t22 t23 . . . t2m
t31 t32 t33 . . . t3m
...
...
...
. . .
...
tm1 tm2 tm3 . . . tmm
0 1 0 . . . 0
0 1 0 . . . 0
0 0 0 . . . 0
...
...
...
. . .
...
0 0 0 . . . 0
,
0 0 0 . . . 0
0 0 1 . . . 0
0 0 1 . . . 0
...
...
...
. . .
...
0 0 0 . . . 0
t11 t12 t13 . . . t1m
t21 t22 t23 . . . t2m
t31 t32 t33 . . . t3m
...
...
...
. . .
...
tm1 tm2 tm3 . . . tmm
=
О бесконечности типа бесконечных полугрупп... 39
=
t11 t12 t13 . . . t1m
t21 t22 t23 . . . t2m
t31 t32 t33 . . . t3m
...
...
...
. . .
...
tm1 tm2 tm3 . . . tmm
0 0 0 . . . 0
0 0 1 . . . 0
0 0 1 . . . 0
...
...
...
. . .
...
0 0 0 . . . 0
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 . . . 0 0 0 0
...
. . .
...
...
...
...
0 . . . 0 0 0 0
0 . . . 0 0 0 0
(−1)ma . . . a −a a 1
(−1)m(a − a2) . . . a − a2 −(a − a2) a − a2 1 − a
·
·
t11 t12 t13 . . . t1m
t21 t22 t23 . . . t2m
t31 t32 t33 . . . t3m
...
...
...
. . .
...
tm1 tm2 tm3 . . . tmm
=
t11 t12 t13 . . . t1m
t21 t22 t23 . . . t2m
t31 t32 t33 . . . t3m
...
...
...
. . .
...
tm1 tm2 tm3 . . . tmm
·
·
0 . . . 0 0 0 0
...
. . .
...
...
...
...
0 . . . 0 0 0 0
0 . . . 0 0 0 0
(−1)ma . . . a −a a 1
(−1)m(a − a2) . . . a − a2 −(a − a2) a − a2 1 − a
.
Занумеруем эти равенства соответственно
(6), (7), (8), . . . , (m + 5).
40 В.В.Бондаренко, Е.Н.Тертичная
Перемножая матрицы в равенстве (6), получаем равен-
ство
t11 t12 . . . t1m
0 0 . . . 0
...
...
. . .
...
0 0 . . . 0
=
t11 0 . . . 0
t21 0 . . . 0
...
...
. . .
...
tm1 0 . . . 0
,
из которого имеем, что
{
t12 = 0, . . . , t1m = 0;
t21 = 0, . . . , tm1 = 0.
Подставляя это в равенство (7), получим равенство
0 1 0 . . . 0
0 1 0 . . . 0
0 0 0 . . . 0
...
...
...
. . .
...
0 0 0 . . . 0
t11 0 0 . . . 0
0 t22 t23 . . . t2m
0 t32 t33 . . . t3m
...
...
...
. . .
...
0 tm2 tm3 . . . tmm
=
=
t11 0 0 . . . 0
0 t22 t23 . . . t2m
0 t32 t33 . . . t3m
...
...
...
. . .
...
0 tm2 tm3 . . . tmm
0 1 0 . . . 0
0 1 0 . . . 0
0 0 0 . . . 0
...
...
...
. . .
...
0 0 0 . . . 0
,
которое, после умножения матриц, имеет следующий вид:
0 t22 t23 . . . t2m
0 t22 t23 . . . t2m
0 0 0 . . . 0
...
...
...
. . .
...
0 0 0 . . . 0
=
0 t11 0 . . . 0
0 t22 0 . . . 0
0 t32 0 . . . 0
...
...
...
. . .
...
0 tm2 0 . . . 0
.
О бесконечности типа бесконечных полугрупп... 41
Из последнего равенства вытекают следующие равенства:
t22 = t11;
t23 = 0, . . . , t2m = 0;
t32 = 0, . . . , tm2 = 0.
Подставляя эти скалярные равенства в матричное равен-
ство (8), получаем равенство
0 0 0 . . . 0
0 0 1 . . . 0
0 0 1 . . . 0
...
...
...
. . .
...
0 0 0 . . . 0
t11 0 0 . . . 0
0 t11 0 . . . 0
0 0 t33 . . . t3m
...
...
...
. . .
...
0 0 tm3 . . . tmm
=
=
t11 0 0 . . . 0
0 t11 0 . . . 0
0 0 t33 . . . t3m
...
...
...
. . .
...
0 0 tm3 . . . tmm
0 0 0 . . . 0
0 0 1 . . . 0
0 0 1 . . . 0
...
...
...
. . .
...
0 0 0 . . . 0
или (после перемножения матриц) равенство
0 0 0 0 . . . 0
0 0 t33 t34 . . . t3m
0 0 t33 t34 . . . t3m
0 0 0 0 . . . 0
...
...
...
...
. . .
...
0 0 0 0 . . . 0
=
0 0 0 0 . . . 0
0 0 t11 0 . . . 0
0 0 t33 0 . . . 0
0 0 t43 0 . . . 0
...
...
...
...
. . .
...
0 0 tm3 0 . . . 0
,
42 В.В.Бондаренко, Е.Н.Тертичная
которое эквивалентно следующей системе равенств:
t33 = t11;
t34 = 0, . . . , t3m = 0;
t43 = 0, . . . , tm3 = 0.
Продолжая этот процесс (рассматривая матричные ра-
венства (9), . . ., (m + 4)), получим в результате, что мат-
рица T имеет вид
T =
t11 0 0 . . . 0 0
0 t11 0 . . . 0 0
0 0 t11 . . . 0 0
...
...
...
. . .
...
...
0 0 0 . . . t11 0
0 0 0 . . . 0 tmm
.
Тогда уравнение (m + 5) будет иметь следующий вид:
0 . . . 0 0 0
...
. . .
...
...
...
0 . . . 0 0 0
(−1)m
at11 . . . −at11 at11 tmm
(−1)m(a − a
2)t11 . . . −(a − a
2)t11 (a − a
2)t11 (1 − a)tmm
=
=
0 . . . 0 0 0
...
. . .
...
...
...
0 . . . 0 0 0
(−1)m
t11b . . . −t11b t11b t11
(−1)m
tmm(b − b
2) . . . −tmm(b − b
2) tmm(b − b
2) tmm(1 − b)
.
О бесконечности типа бесконечных полугрупп... 43
Последнее матричное равенство эквивалентно следую-
щей системе скалярных равенств:
at11 = t11b;
tmm = t11;
(a − a2)t11 = tmm(b − b2);
(1 − a)tmm = tmm(1 − b).
В силу равенства tmm = t11 матрица T имеет вид
T =
t11 0 . . . 0
0 t11 . . . 0
...
...
. . .
...
0 0 . . . t11
и поскольку она невырождена, то t11 6= 0. Тогда из равен-
ства at11 = t11b имеем a = b, и мы приходим к противоре-
чию.
Итак, представления Ma и Mb не эквивалентны, если
a 6= b.
Дальше доказательство проводится так же, как и для
m = 2.
Теорема 1 доказана.
3. Доказательство теоремы 2. Теорема 2 доказыва-
ется по той же схеме, что и теорема 1. Различие состо-
ит лишь и том, что в определении представлений Ma в
матрице Ma(em) вместо элемента a следует взять клет-
ку Жордана Js(a) размера s × s с собственным числом a,
где s — любое (фиксированное) натуральное число. При
этом, естественно, нулевые и единичные элементы матриц
Ma(e1), Ma(e2), . . . , Ma(em) нужно заменить соответствен-
но на нулевые и единичные матрицы размера s × s. От-
метим еще, что в конце доказательств (при m = 2, 3 и в
44
общем случае) вместо равенства at11 = t11b будем иметь
матричное равенство Js(a)T11 = T11Js(b), из которого сле-
дует (в силу a 6= b), что T11 = 0.
Список литературы
[1] Бондаренко В. М., Дрозд Ю. A. Представленческий тип конечных
групп// Зап. науч. семинаров ЛОМИ. — 1977. — 71. — С. 24 – 41.
[2] Gabriel P. Unzerlegbare Darstellungen // Manuscripts Math. – 1972. –
6. – P. 71–103,309.
[3] Клейнер М. М. Частично упорядоченные множества конечного ти-
па// Зап. науч. семинаров ЛОМИ. – 1972. – 28. – C. 32–41.
[4] Дрозд Ю. А. Преобразования Кокстера и представления частично
упорядоченных множеств // Функц. анализ и его прил. – 1974. – 8. –
C. 34–42.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-6286 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1815-2910 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:51:07Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Бондаренко, В.М. Тертичная, Е.Н. 2010-02-22T16:24:41Z 2010-02-22T16:24:41Z 2006 О бесконечности типа бесконечных полугрупп, порожденных идемпотентами с частичным нулевым умножением / В.М. Бондаренко, Е.Н. Тертичная // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2006. — Т. 3, № 3. — С. 23-44. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1815-2910 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6286 512.5+512.6 У статтi вивчається зв’язок мiж нескiнченнiстю (зображувального) типу та нескiнченнiстю порядка для одного природного класу напiвгруп, породжених iдемпотентами. В статье изучается связь между бесконечностью (представленческого) типа и бесконечностью порядка для одного естественного класса полугрупп, порождённых идемпотентами. In this paper we study a connection between infiniteness of (representation) type and infiniteness of order for a natural class of semigroups generated by idempotents. ru Інститут математики НАН України Геометрія, топологія та їх застосування О бесконечности типа бесконечных полугрупп, порожденных идемпотентами с частичным нулевым умножением Article published earlier |
| spellingShingle | О бесконечности типа бесконечных полугрупп, порожденных идемпотентами с частичным нулевым умножением Бондаренко, В.М. Тертичная, Е.Н. Геометрія, топологія та їх застосування |
| title | О бесконечности типа бесконечных полугрупп, порожденных идемпотентами с частичным нулевым умножением |
| title_full | О бесконечности типа бесконечных полугрупп, порожденных идемпотентами с частичным нулевым умножением |
| title_fullStr | О бесконечности типа бесконечных полугрупп, порожденных идемпотентами с частичным нулевым умножением |
| title_full_unstemmed | О бесконечности типа бесконечных полугрупп, порожденных идемпотентами с частичным нулевым умножением |
| title_short | О бесконечности типа бесконечных полугрупп, порожденных идемпотентами с частичным нулевым умножением |
| title_sort | о бесконечности типа бесконечных полугрупп, порожденных идемпотентами с частичным нулевым умножением |
| topic | Геометрія, топологія та їх застосування |
| topic_facet | Геометрія, топологія та їх застосування |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6286 |
| work_keys_str_mv | AT bondarenkovm obeskonečnostitipabeskonečnyhpolugruppporoždennyhidempotentamisčastičnymnulevymumnoženiem AT tertičnaâen obeskonečnostitipabeskonečnyhpolugruppporoždennyhidempotentamisčastičnymnulevymumnoženiem |