Гладкие функции на некомпактных поверхностях
Збережено в:
| Дата: | 2006 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6287 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Гладкие функции на некомпактных поверхностях / В.В. Шарко // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2006. — Т. 3, № 3. — С. 443-473. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859655180241338368 |
|---|---|
| author | Шарко, В.В. |
| author_facet | Шарко, В.В. |
| citation_txt | Гладкие функции на некомпактных поверхностях / В.В. Шарко // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2006. — Т. 3, № 3. — С. 443-473. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| first_indexed | 2025-12-07T13:38:37Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць
Iн-ту математики НАН України
2006, т.3, №3, 443-473
УДК 517.938.5
В.В.Шарко
Институт математики НАН Украины, Киев,
Терещенковская, 3
E-mail: sharko@imath.kiev.ua, sharko@ukrpack.net
Гладкие функции на некомпактных
поверхностях1
Введение.
Пусть N - гладкая поверхность. Обозначим через C∞(N)
- пространство бесконечно дифференцируемых функций
на N . Изучению функций на компактных поверхностях
было посвящено немало работ, укажем лишь некоторые из
них [2-3,6-10,13,15,18-21]. В случае, если N - некомпакт-
ная поверхность, строение функций резко отличается от
компактного случая. Например, на каждой некомпактной
поверхности существует функция из пространства C∞(N)
без критических точек [4]. В этой работе изучаются неко-
торые свойства функций из пространства C∞(N) с изоли-
рованными критическими точками на некомпактных по-
верхностях. В частности, дается необходимое и достаточ-
ное условие, когда граф является графом Кронрода-Риба
1Работа выполнена в рамках целевой программы НАН Украины “Со-
временные методы иследования математических моделей в задачах при-
родоведения и общественных науках” НИР № 0107U00233
c© В.В.Шарко, 2006
444 В.В.Шарко
собственной гладкой функции с изолированными критиче-
скими точками на компактной или некомпактной поверх-
ности.
1. Распределение особенностей гладких
функций и векторных полей на некомпактных
поверхностях.
Под гладкой поверхностью N (с краем или без) пони-
мается двумерное сепарабельное, гладкое многообразие.
Край гладкой поверхности N , если он присутствует, обо-
значается через ∂N . Гладкая поверхность может иметь
не более чем счетное множество связных компонент края,
среди которых могут быть как компактные так и неком-
пактные компоненты. Очевидно, что компактная компо-
нента края гладкой поверхности диффеоморфна окруж-
ности S1, а некомпактная компонента диффеоморфна чис-
ловой прямой R. Если у некомпактной поверхности отсут-
ствует край, то такую поверхность будем называть от-
крытой. Слово гладкий всегда будет указывать на при-
надлежность классу C∞. В случае, когда минимальное
число образующих фундаментальной группы поверхности
N , π1(N) - конечно (бесконечно), то поверхность N имеет
конечный (бесконечный) род.
Пусть N - некомпактная поверхность, концом в N на-
зывается убывающая последовательность M1 ⊃ M2 ⊃ ...
связных поверхностей с краем в N таких, что :
а) край каждой поверхности Mi является
компактным;
b) для каждого ограниченного множества X в N (т.е.
когда замыкание X в N является компактом)
Mi
⋂
X = ∅ для достаточно большого i.
Гладкие функции на некомпактных поверхностях 445
Два конца M1
1 ⊃ M1
2 ⊃ ... и M2
1 ⊃ M2
2 ⊃ ... называются
эквивалентными, если для каждого i найдется такое j, что
M1
i ⊂ M2
j и и наоборот. Через M∗ будет обозначаться класс
эквивалентности конца представленный последовательно-
стью M1 ⊃ M2 ⊃ .... По определению идеальной грани-
цей i∂N называется топологическое пространство, обра-
зованное классами эквивалентности концов. Это компакт-
ное подмножество канторового множества. Среди идеаль-
ной границы i∂N имеется замкнутое подмножество непла-
нарных i∂Nnp и замкнутое подмножество неориентирован-
ных i∂Nno концов. Очевидно, что имеет место включение
i∂N ⊃ i∂Nnp ⊃ i∂Nno. Теорема Каракерьярто-Рихардса
утверждает , что две некомпактные поверхности N1 и N2
одного и того же рода и класса ориентируемости гомео-
морфны тогда и только тогда, когда их идеальные грани-
цы i∂N1 ⊃ i∂N1np ⊃ i∂N1no и i∂N2 ⊃ i∂N2np ⊃ i∂N2no -
гомеоморфны (как тройки пространств) [16]. Далее, тео-
рема Рихардса утверждает, что для произвольной трой-
ки (X ⊃ Y ⊃ Z) замкнутых подпространств канторового
множества найдется проверхность N с идеальной грани-
цей (i∂N ⊃ i∂Nnp ⊃ i∂Nno), которая гомеоморфна (как
тройка пространств) (X ⊃ Y ⊃ Z) [16].
Пусть f - гладкая функция, заданная на поверхности N .
Точка m ∈ IntN называется критической точкой функции
f , если все частные производные f в этой точке равны ну-
лю. Предположим, что m ∈ IntN - изолированная крити-
ческая точка функции f . Выберем в окрестности точки m
локальную систему координат (x, y), так чтобы точка m
имела координаты (0, 0). Известно [15,17], что функцию f
из класса C∞(N) в окрестности изолированной критиче-
ской точки m, которая не является локальным экстрему-
мом, непрерывной заменой координат можно привести
446 В.В.Шарко
к виду f = Rezn + c (n ≥ 2), если топологический тип ли-
ний уровня Γ = f−1(c) при переходе через m изменяется
(z = x+ iy). Будем называть ее существенной критиче-
ской точкой или вырожденностью порядка n . Либо
к виду f = Rez, если топологический тип линий уровня
Γ = f−1(c) при переходе через m не изменяется (т.е. в этом
случае от критической точки m можно вообще избавится).
Будем называть ее несущественной критической точ-
кой. В случае, если точка m - локальный экстремум, то
функцию f в окрестности точки m непрерывной заме-
ной координат можно привести к виду f = x2 + y2 + c или
к виду f = −x2 − y2 + c.
Рассмотрим в окрестности нуля U плоскости R2 с коор-
динатами (x, y) функцию f = Rezn + c (n ≥ 2, z = x + iy).
Очевидно, что линия уровня Γ = f−1(c) функции f в
окрестности U содержит критическую точку o и состо-
ит из 2n интервалов, пересекающихся в точке o или, как
мы будем в дальнейшем говорить, 2n ребер, выходящих
из одной вершины. Каждая соседняя пара ребер образует
сектор, во внутренности которого функция f принимает
значение больше c или меньше c. Будем называть в даль-
нейшем белый или черный сектор. Таким образом, в U бу-
дет 2n, последовательно чередующихся, белых и черных
секторов (т.е. образовывает цветной спин см. определение
2.1).
Когда n = 2, то такая критическая точка называется
невырожденной. Гладкая функция f на поверхности N на-
зывается функцией Морса, если все ее критические точки
- невырожденые, т.е. для каждой критической точки суще-
ствует окрестность, в которой f имеет вид невырожденной
квадратичной формы. Число минусов этой квадратичной
формы называется индексом критической точки [12,17].
Гладкие функции на некомпактных поверхностях 447
Рис. 1. Цветной спин в окрестности критиче-
ской точки функции f = Rezn + c (n = 3).
Известно [12,17], что вырожденную критическую точ-
ку функции f можно путем малых возмущений функции
f превращать в объединение конечного числа невырож-
денных критических точек (распад вырожденной особен-
ности). В случае функции f = Rezn (n > 2) малое воз-
мущение можно выбрать так : f1 = Re(z − ε1)...(z − εn),
где действительные числа εi 6= εj при i 6= j. Вырожден-
ная особенность порядка n распалась в объединение n− 1
невырожденных критических точек индекса 1.
Наоборот, пусть в окрестности нуля U плоскости R2 с
координтами (x, y) задана функция Морса f = f(x, y) у
которой в точности n − 1 критических точек m1, ..., mn−1
индекса 1 таких, что f(mi) = 0 для i = 1, ..., n− 1. Тогда в
окрестности U найдется путь l гомеоморфный отрезку, ко-
торый содержит начало координат вместе с критическими
точками m1, ..., mn−1 и гладкое отображение h : U → U ,
такое что h(l) = 0, h = Id вне некоторой ε-окрестности
V ⊂ U пути l, так что функция g = f ◦ h−1 топологически
эквивалентна в U функции Rezn.
Поведение гладких функций на некомпактных поверх-
ностях существенно отличается от поведения гладких
448 В.В.Шарко
функций на компактных поверхностях. К примеру, на ком-
пактных поверхностях гладкие функции всегда имеют
критические точки.
Лемма 1.1. На открытой поверхности N существует
гладкая функция с любым конечным (включая пустое)
или бесконечным множеством Ω = (m1, ..., mn, ...) изоли-
рованных критических точек, имеющих вырожденности
любых порядков.
Доказательство. Пусть (ω1, ..., ωn, ...) - последователь-
ность неотрицательных целых чисел, являющихся поряд-
ками вырожденностей особенностей (m1, ..., mn, ...). Пред-
ставим поверхность N =
⋃
iNi в виде объединения воз-
растающей последовательности связных компактных по-
верхностей с краем Ni так, что ... ⊂ Ni ⊂ IntNi+1 ⊂ ...
(i = 1, 2, ...). Замыкание множества Ki = Ni+1 \Ni являет-
ся поверхностью с краем. Зададим на N1 функцию Морса
f1 : N1 → [0, 1], такую что f−1(1) = ∂N1 и имеющую крити-
ческие точки с помощью, которых можно сконструировать
особенность порядка ω1. Заменим функцию f1 на гладкую
функцию g1 : N1 → [0, 1] такую что g−1
1 (1) = ∂N1 и име-
ющую особенность порядка ω1 в IntN1. Затем продолжим
функцию g1 с N1 до гладкой функции на N2 f2 : N2 → [0, 2]
такой, что сужение f2 на поверхность K1 есть функция
Морса со следующими свойствами:
а) f−1
2 (1) = ∂N1, f−1
2 (2) = ∂N2 ;
b) имеет критические точки тех индексов с помощью,
которых можно сконструировать особенность
порядка ω2 в IntK1.
Заменим функцию f2 на гладкую функцию g2 : N2 → [0, 2]
такую, что :
а) g2 = g1 на N1, g−1
2 (2) = ∂N2;
Гладкие функции на некомпактных поверхностях 449
b) имеет особенность порядка ω2 в IntK1.
Повторим эту конструкцию с поверхностью N3 и т.д.. По-
сле счетного числа шагов построим гладкую функцию g∞
на поверхности N , у которой имеется конечное или беско-
нечное подмножество Ω = (m1, ..., mn, ...) изолированных
критических точек с вырождениями порядка
(ω1, ..., ωn, ...).
Рассмотрим триангуляцию τ поверхности N . Пусть N1
- ее одномерный остов и U(N1) - его регулярная окрест-
ность. С помощью диффеоморфизма H : N −→ N , изотоп-
ного тождественному, добьемся, чтобы критические точ-
ки из подмножества Ω попали на N1, а остальные кри-
тические точки лежали вне U(N1). Рассмотрим функцию
g = g∞◦H−1. По теореме Уайтхеда [22] существует гладкое
вложение ϕ : N −→ U(N1). Взяв ограничение функции g
на ϕ(N), получим искомую функцию. �
Рассмотрим векторные поля на гладких поверхностях с
изолированными нулями. Для компактной поверхности N
теорема Пуанкаре устанавливает взаимосвязь между чис-
лом и индексами изолированных нулей векторного поля V
на N и эйлеровой характеристикой поверхности N . Дру-
гими словами, множество изолированых нулей векторного
поля V на поверхности N не может быть произвольным.
По этому поводу см.[5]. Для некомпактных поверхностей
имеет место следующая лемма.
Лемма 1.2. На открытой поверхности N существует
гладкое векторное поле с любым конечным или бесконеч-
ным множеством Ω = (m1, ..., mn, ...) изолированных ну-
лей, имеющих любые значения индексов из совокупности
0,±1,±2, ....
450 В.В.Шарко
Доказательство. Индекс изолированного нуля гради-
ентного векторного поля grad(f) на поверхности N может
принимать только значения 1, 0,−1,−2, ... [5]. Изолирован-
ный нуль индекса λ, где λ = 2, 3, ... можно добавить, путем
изменения вектореного поля grad(f) только в окрестности
U источника (т.е. особенности векторного поля с индексом
равным 1) на векторное поле V , имеющее в этой окрест-
ности U следующие особенности:
а) один нуль индекса λ;
b) (λ − 1) нулей индекса 1;
c) (2λ − 2) нулей индекса −1.
На рисунке 2 представлен случай, когда λ = 3.
Рис. 2
Используя предыдущую конструкцию, построим глад-
кую функцию f на поверхности N , градиентное векторное
поле которой, grad(f) имеет необходимое подмножество
Гладкие функции на некомпактных поверхностях 451
Ω1 = (m1, ..., mn, ...) изолированных нулей со значениями
индексов 1, 0,−1,−2, .... Понятно, что локальных миниму-
мов у функции f должно быть "больше чтобы у векторно-
го поля grad(f) хватило нулей индекса 1 для построения
особенностей положительных индексов больших единицы.
Заменим теперь вектореное поле grad(f) в окрестностях
нулей индекса 1 на вектореное поле V , имеющее в этих
окрестностях изолированные нули нужных положитель-
ных индексов. Теперь будем действовать по описанной в
лемме 1 схеме. Пусть N1 - одномерный остов триангуля-
ции τ поверхности N и U(N1) - его регулярная окрест-
ность. С помощью диффеоморфизма H : N −→ N , изо-
топного тождественному, добьемся, чтобы изолированные
нули нужных индексов вектореного поля V попали на N1,
а остальные нули лежали вне U(N1). Рассмотрим векто-
реное поле W = H(V ). По теореме Уайтхеда [22] найдем
гладкое вложение ϕ : N −→ U(N1). Взяв ограничение век-
тореного поля W на ϕ(N), получим искомое вектореное
поле.
�
Гладкая функция на поверхности называется собствен-
ной, если каждая ее линия уровня - компактное множе-
ство. Очевидно, что на открытой поверхности N отличной
от S1xR1 у собственной гладкой функции, заданной на N
всегда имеются критические точки.
Лемма 1.3. На открытой поверхности N существует
гладкая собственная функция f : N → R с изолированны-
ми критическими точками не являющимися локальными
экстремумами.
Доказательство. Известно, что открытая поверхность
N имеет каноническое представление в смысле Рихардса
[16]. А имеенно: поверхность N диффеоморфна сфере S2
452 В.В.Шарко
с выброшенным замкнутым, вполне разрывным, сепара-
бельным множеством X и вклеенным конечным или счет-
ным числом ручек ( листов Мебиуса) в ориентированном
(неориентированном) случае, которые сходятся к X. Выбе-
рем на сфере S2 ( т.е. на поверхности N ) окружность S1 и
рассмотрим N \S1. Понятно, что окружность S1 разбивает
поверхности N на две несвязные части, замыкание кото-
рых обозначим через N1 и N2. Окружность можно выбрать
так, чтобы в некоторой ее окрестности не содержались
концы поверхности N а обе части N1 и N2 содержали и
ручки (листы Мебиуса) и концы. Очевидно что краем у N1
(N2) будет окружность. Пусть Yi (Yj) - исчерпание N1 (N2),
компактными поверхностями, начиная с воротника края.
Легко построить, исходя из Yi (Yj) на N1 (N2), собственные
гладкие функции f1 : N1 −→ [0,∞) (f2 : N2 −→ [0,−∞)) с
изолированными критическими точками не являющими-
ся локальными экстремумами ( функции Морса напри-
мер ). Положив f = −f2
⋃
f1, получим искомую гладкую
собственную функцию с изолированными критическими
точками, которые не являются локальными экстремума-
ми. �
2. Цветные спин-графы и атомы гладких
функций на поверхностях.
Под графом (V, E) будем понимать клеточный одномер-
ный комплекс, где (V ) - нульмерные клетки (вершины),
(E) - одномерные клетки (ребра) [11,14]. В дальнейшем
мы будем рассматривать и графы со счетным множеством
вершин и ребер и с петлями, т.е. когда начало и конец
одного и того же ребра принадлежат одной и той же вер-
шине.
Гладкие функции на некомпактных поверхностях 453
Определение 2.1. Пусть граф ∆, состоит из 2n ре-
бер ai, которые соединяют вершину x с 2n вершинами yi.
Цветным спином в вершине x (обозначается ⋖x ) назы-
вается циклический порядок (ai1 , ai2 , ..., ai2n
, ai1) на ребрах
ai с указанием черного или белого цвета col(aik , aik+1
) на
соседних ребрах, удовлетворяющий следующим условиям:
а) каждое ребро ai, образовывает только одну белую
и только одну черную пару в точности с двумя
разными соседними ребрами ai−1 и ai+1 ;
b) последовательность пар col(ai1 , ai2), col(ai2 , ai3), . . .,
col(ai2n
, ai1) является цветочередующайся [20].
Пусть ∆1 и ∆2 - графы у которых по 2n ребер a1
i и a2
i
соответственно. Ребра a1
i (a2
i ) соединяют вершину x1 (x2)
с 2n вершинами y1
i (y2
i ). Предположим, что в вершинах
x1 и x2 заданы цветные спины ⋖x1 и ⋖x2. Изоморфизм
между графами ϕ : ∆1 → ∆1 сохраняет цветные спины,
если каждая пара ребер графа ∆1 с белым (черным) цве-
том переходит в пару ребер графа ∆2 с белым (черным)
цветом.
Замечание 2.1. Очевидно, что граф ∆ с 2n ребрами и
цветным спином в вершине ⋖x можно вложить в
окрестность U критической точки o, функции Rezn, так
чтобы его образ лежал на Γ = f−1(0)∩U и это вложение
сохраняло цветные спины в вершины в точке o. Другими
словами, граф ∆ можно не только расширить до диска,
но и задать на расширении функцию Rezn.
Определение 2.2. Пусть у графа ∆ порядок каждой вер-
шины четный и больше двух. Цветным спином графа ∆
называется задание цветного спина в каждой его вер-
шине. Граф ∆ с заданным на нем цветным спином на-
зывается цветным спин-графом и обозначать ⋖∆.
454 В.В.Шарко
В дальнейшем, если задан цветной спин-граф ⋖∆, то
цветной спин, который есть в вершине x, будем обозначать
через ⋖∆(x). Ясно, что на одном и том же графе можно
различными способами задать цветной спин.
Определение 2.3. Пусть ⋖∆1 и ⋖∆2 - два цветных
спин-графа. Изоморфизм графов ϕ: ⋖∆1 → ⋖∆2 сохраня-
ет цветные спины, если каждая пара ребер с белым (чер-
ным) цветом цветного спина ⋖∆1(xi) в вершине xi, пе-
реходит в пару ребер с белым (черным) цветом цветного
спина ⋖ ∆2 ϕ (xi) в вершине ϕ(xi).
Рассмотрим функцию f ∈ C∞(N) на поверхности N
и пусть c - ее критическое значение. Предположим, что
компонента связности Γ из линии уровня f−1(c) содержит
только изолированные критические точки не являющими-
ся экстремумами. Компонента Γ является образом вложен-
ного в поверхность N графа, у которого порядок каждой
вершины четный. Вершинами вложенного графа являют-
ся критические точки функции f . Если рассмотреть непе-
ресекающиеся окрестности существенных критических то-
чек, лежащих на Γ, то в каждой из них, исходя из функ-
ции f , возникает цветной спин. Следовательно Γ получает
структуру цветного спин-графа.
Определение 2.4. Компонента связности Γ линии уров-
ня f−1(c) функции f из пространства f ∈ C∞(N), со-
держащей только изолированные критические точки не
являющимися экстремумами, с заданной на ней цвет-
ным спином в каждой существенной критической точке,
исходя из функции f , называется атомом критического
значения c функции f . В дальнейшем атом обозначается
через A(f, c).
Гладкие функции на некомпактных поверхностях 455
Замечание 2.2. Если прообраз критического значения
функции f состоит из k связных компонент, на которых
находятся только изолированные критические точки, то
имеется k атомов этого критического значения.
В дальнейшем, если говорится oб изоморфизме атомов
критических значений, то понимается изоморфизм, кото-
рый сохраняет цветные спины, заданные на них.
Циклом (ориентированным) на ориентированном графе
∆ называется совокупность ребер (ориентированных) из
∆, которые образуют гомеоморфный образ окружности
(ориентированной). Некомпакатным циклом (ориентиро-
ванным)на ориентированном графе ∆ называется беско-
нечная совокупность ребер (ориентированных) из ∆, ко-
торые образуют гомеоморфный образ прямой (ориентиро-
ванной). Пусть ⋖∆ - цветной спин-граф. Определим на
нем два типа циклов (некомпакатных циклов): b-циклы (b-
некомпакатные циклы) и w-циклы (w-некомпакатные цик-
лы).
Определение 2.5. b-циклом (w - циклом) на цветном
спин-графе ⋖∆ называется цикл, состоящий из ребер
(a1, a2, ..., an), таких что ai ∩ ai+1 = xi – есть вершина
и пара ребер (ai, ai+1) являются черного (белого) цвета
цветного спина ⋖∆(xi) в вершине xi. b-некомпакатные
циклы (w-некомпакатные циклы)определяются аналогич-
но, за исключением того, что проследовательность вер-
шин (a1, a2, ... является бесконечной.
Очевидно, что изоморфизм между цветными спин- гра-
фами ⋖∆1 и ⋖∆2, сохраняющий цветные спины, переводит
b-циклы (w-циклы) из ⋖∆1 в b-циклы (w-циклы) ⋖∆2. Это
имеет место и для
b-некомпакатных (w-некомпакатных) циклов.
456 В.В.Шарко
Лемма 2.1. Пусть задан цветной спин-граф ⋖∆ (конеч-
ный или бесконечный), у которого вершины a1, a2, ... име-
ют порядок 2d1, 2d2, ..., больший двух. Предположим, что
у него s (s может равнятся ∞) b-циклов, t (t может рав-
нятся ∞) w-циклов, u (u может равнятся ∞)
b-некомпактных циклов и v (v может равнятся ∞) w-
некомпактных циклов. Существует поверхность N с
краем ∂N = ∂−N
⋃
∂+N и гладкая функция f : N → R1,
имеющая изолированные критические точки, находящи-
еся в биекции с вершинами a1, a2, ..., в окрестностях, ко-
торых она имеет вид Rezdi . Число компактных компо-
нент связности края ∂N , входящих в ∂−N (∂+N) равно s
(t). Число некомпактных компонент связности края ∂N ,
входящих в ∂−N (∂+N) равно u (v). На компонентах ∂−N
(∂+N) функция f принимает значение −1 (1) и все ее
критические точки лежат на линии уровня Γ = f−1(0).
Граф Γ = f−1(0) снабженный цветным спином, исходя из
функции f и цветной спин-граф ⋖∆ изоморфны с сохра-
нением цветных спинов. В дальнейшем поверхность N
называется расширением цветного спин-графа ⋖∆.
Доказательство. В начале построим поверхность N с
краем ∂N. Пусть D(ε) = (x, y): x2+y2 6 ε2 – ε-окрестность
нуля на плоскости R2, в которой заданы функции gi =
Re(x + iy)di (i = 1, 2, ...). Рассмотрим пересечение мно-
жеств D(ε) и Φ = (x, y) : −δ ≤ Re(x + iy)di ≤ δ, которые
обозначим через Cri. Граница множества Cri состоит из 2
di дуг окружности x2 + y2 = ε2 и 2 di кусков линий уровня
функции Re(x + iy)di = ±δ. В силу замечания 2.1 суще-
ствует вложение ϕ окрестности каждой вершины графа
∆ в линию уровня функции gi, содержащую критическую
точку, которое сохраняет цветные спины. Возьмем несвяз-
ное объединение счетного числа экземпляров множества
Гладкие функции на некомпактных поверхностях 457
Cri и вложим в них окрестности вершин графа ∆, исполь-
зуя вложение ϕ. Выберем счетное множество полосок Υi,
которые будем подклеивать к множествам Cri. На каждом
экземпляре множества Cri задана функция gi, которую мы
используем для подклейки нужным образом к ним поло-
сок Υi. А именно: вдоль каждого ребра графа ∆ склеим
меньшие стороны полоски Υi0 с соответствующими дугами
ai двух (или одного) экземпляров множеств Cri. Подклей-
ку полосок надо производить таким образом, чтобы функ-
ции gi с каждого экземпляра множества Cri продолжались
во внутрь полосок Υi без критических точек. В результате
мы получили поверхность N1 с заданной на ней функцией
f1. По построению, множество компонент края ∂−N (∂+N)
поверхности N1, которые состоят из длинных сторон поло-
сок и кусков линий уровня Re(x+iy)di = ±δ соответствуют
b-циклам (w-циклам), на которых функция f1 принима-
ет отрицательные (положительные) значения находится в
биекции с множеством b-циклов (w-циклов) компактных
и некомпактных графа ∆. Подклеив к каждой компонен-
те края поверхности N1 воротники и продолжив на них
функцию f1, мы получим искомые поверхность N и функ-
цию f на ней. Тот факт, что граф Γ = f−1(0) снабженный
цветным спином, исходя из функции f , и цветной спин-
граф ⋖∆ изоморфны с сохранением цветных спинов сле-
дует способа построения поверхности N и функцию f . �
Поверхность N1, построенная при доказательстве лем-
мы 2.1 называется замкнутой ε-окрестностью атома
функции f . Ясно, что выбор цветного спина на графе мо-
жет менять топологический тип его расширения. Очевид-
но, что на конечном графе можно задать только конеч-
ное число различных (не изоморфных) цветных спинов.
Следующая лемма имеется в [20].
458 В.В.Шарко
Лемма 2.2. Существует конечное число попарно не изо-
морфных (как графов) конечных графов ∆i c заданными
на них цветными спинами, расширения которых - гомео-
морфные поверхности.
Для бесконечных графов ситуация более сложная. Так
например, утолщение любого бесконечного дерева с чет-
ным порядком вершин является некомпактной поверхно-
стью с краем, которая гомеоморфна единичному кругу D2
с удаленным канторовым множеством с граничной окруж-
ности ∂D2. Ситуацию, связанную с утолщением бесконеч-
ных графов с четным порядком вершин больщих двух, мы
проанализируем в другой работе.
3. Графы Кронрода-Риба собственных гладких
функций на некомпактных поверхностях.
Пусть f - собственная гладкая функция с изолирован-
ными критическими на поверхности N . Мы предполагаем,
что все критические точки f лежат во внутренности но-
верхности N и на связных компоентах края N функция f
принимает постоянные значения. Рассмотрим произволь-
ную компоненту связности линии уровня f−1(a), функции
f , которую часто называют слоем. Если a - регулярное
значение функции f , то слоем будет гладко вложенная в
поверхность N окружность. В случае, когда a - критиче-
ское значение, то слоем будет замкнутое множество го-
меоморфное либо окружности, либо конечному графу, у
которого четный порядок вершин больший двух [2]. Если
рассмотреть все слои функции f , то получим разбиения
поверхности N в объединение слоев т.е. на N возникает
слоение с особенностями. Принадлежность точки поверх-
ности слою является отношением эквивалентности и вводя
Гладкие функции на некомпактных поверхностях 459
естественную фактор-топологию в множество слоев полу-
чаем фактор-множество. Это фактор-множество будет ко-
нечным или бесконечным графом, которое будет обозна-
чаться через ΓK−R(f).
Определение 3.1. Граф ΓK−R(f) называется графом
Кронрода-Риба для функции f .
По поводу этого определения см.[2,6,19]. Вершинам гра-
фа ΓK−R(f) соответствуют связные компоненты линий
уровня, на которых находятся критические точки функ-
ции. Вершины порядка 1 соответствуют локальным экс-
тремумам функции f . Если присутствуют вершины поряд-
ка два, то поверхность N - неориентируема. Очевидно, что
функции f каноническим образом задает функцию fK−R
на ее графе Кронрода-Риба ΓK−R(f). Значение fK−R в точ-
ке x ∈ ΓK−R(f) равно значению f на соответствующей x
компоненте связности линии уровня.
Определение 3.2. Функция fK−R, заданная на графе
Кронрода-Риба ΓK−R(f), называется K−R образом функ-
ции f , заданной на поверхности N .
Замечание 3.1. Часто достаточно знать значение
функции fK−R только в вершинах графа Кронрода-Риба
ΓK−R(f) функции f . И поэтому, именно это иногда по-
нимают под K-R образом функции f [20]. В некоторых
вопросах необходимо вводить структуру метрического
пространства на графе Кронрода-Риба ΓK−R(f) функции
f и рассматривать функцию fK−R на всем ΓK−R(f).
Граф Кронрода-Риба допускает ориентацию, т.е. рас-
становку стрелок на ребрах, которые указывают направ-
ление в котором функция fK−R возрастает.
460 В.В.Шарко
Заметим, что не всякий конечный (или бесконечный)
граф, будет графом Кронрода-Риба для некоторой соб-
ственной гладкой функции с изолированными критически-
ми точками на поверхности. Ориентированный граф Γ(N),
для которого существует поверхность N и гладкая соб-
ственная функция с изолированными критическими точ-
ками f на ней, такая что ее граф Кронрода-Риба fK−R
изоморфен с сохранением ориентации графу Γ называет-
ся K-R графом. Ниже мы обсудим более подробно этот
вопрос.
Определение 3.3. Пусть на гладкой поверхности N за-
даны две собственные гладкие функции с изолированными
критическими точками f и g, а fK−R и gK−R на графах
ΓK−R(f) и ΓK−R(g). Скажем, что f и g K-R эквивалент-
ны, если их K-R образы fK−R и gK−R эквивалентны, т.е.
существует изоморфизм s : ΓK−R(f) → ΓK−R(g) и гомео-
морфизм t : R1 → R1 такие, что t · fK−R · s−1 = gK−R.
Несложно доказать, что если две собственные гладкие
функции с изолированными критическими точками f и g,
которые заданы на поверхности N являются топологиче-
ски эквивалентными, то f и g будут K-R эквивалентны.
Однако обратное утверждение неверно.
С каждым атомом A(f, c) критического c значения глад-
кой функции f можно связать его граф Кронрода-Риба
K − R(A(f, c). А именно, надо рассмотреть сужение f |U
функции f на замкнутую ε-окрестность U атома A(f, c) и
построить граф Кронрода-Риба для f |U . Он представляет
собой два набора ai и bj ребер, выходящих из вершины. На-
бор ребер ai (bj) соответствует b-циклам (w-циклам) ато-
ма A(f, c). Имеется каноническое вложение открытого
графа (вершины порядка один удалены) Кронрода-Риба
Гладкие функции на некомпактных поверхностях 461
K − R(A(f, c)) каждого атома A(f, c) в граф Кронрода-
Риба ΓK−R(f) функции f . Существуют простейшие атомы
для графа Кронрода-Риба с данным набором ребер ai и bj
(i = 1, 2, ...k, j = 1, 2..., l). В ориентированнм случае это бу-
дет цветной спин-граф O(k, l, утолщение, которого сфера с
выброшенными k + l открытыми дисками. В неориентиро-
ванном случае это цветной спин-граф NO(k, l утолщение,
которого склейка листа Мебиуса с выброшенным откры-
тым диском и O(k − 1, l − 1) [19]. Эти атомы мы исполь-
зуем для построения поверхностей и гладких функций с
изолированными особенностями на них с данным графом
Кронрода-Риба. Если некоторые атомы функции f тако-
вы, что их утолщения - неориентированные поверхности,
то на ее графе Кронрода-Риба ΓK−R(f), соответствующую
вершину будем обозначать звездочкой ∗.
Заметим, что для графов имеются аналоги понятия кон-
ца и пространства концов.
Лемма 3.1. Каждое замкнутое подмножество X кан-
торового множества является множеством концов
некоторого K − R графа.
Доказательство. По теореме Рихардса существует от-
крытая поверхность N , у которой множество концов го-
меоморфно X. Построим на N собственную функцию с
изолированными особенностями (например функцию Мор-
са) f , тогда ее граф Кронрода-Риба ΓK−R(f) будет удовле-
творять условию леммы. Действительно, существует вло-
жение i : ΓK−R(f) −→ N , такое что f ·i = Id. Если убываю-
щая последовательность M1 ⊃ M2 ⊃ ... связных поверхно-
стей с краем в N задает конец в N , то M1
⋂
i(ΓK−R(f)) ⊃
M2
⋂
i(ΓK−R(f)) ⊃ ... задает конец в i(ΓK−R(f)) и следо-
вательно в ΓK−R(f). �
462 В.В.Шарко
4. Функции на графах.
В этом разделе, как правило, возникающие графы свя-
заны с функциями на поверхностях, поэтому наложим на
них некоторые ограничения, которые естественно возника-
ют. Пусть v - вершина графа Γ. Граф Γv = Γ−v получается
из графа Γ в результате удаления вершины v и всех ин-
цедентных ей ребер. Вершина v называется разбивающей,
если граф Γv - несвязное множество. Обозначим через Ω -
множество вершин порядка 1 в графе Γ.
Определение 4.1. Граф Γ удовлетворяет условию (f),
если:
а) Γ- связное множество;
b) Для каждой разбивающей вершины v из Γ, такой
что, если среди компонент связности графа Γv
присутствуют конечные графы Γi
v ,то Γi
v
⋂
Ω 6= ∅;
c) Если граф Γ - конечен, то Ω состоит не менее из
двух вершин.
На рисунке 3 представлен граф, который не удовлетво-
ряет условию (f)
Рис. 1. Граф, который не является K-R графом
Гладкие функции на некомпактных поверхностях 463
Для бесконечных графов выполнение последнего условия
не обязательно. Обычно мы будем рассматривать ориен-
тированные графы, т.е. графы с указанием направлений
на ребрах ( в дальнейшем орграфы).
Определение 4.2. Орграф Γ с условием (f)- это задание
направлений на ребрах орграфа Γ так,чтобы имели место
следующие свойства :
а) Если орграф Γ конечен, то на ребрах инцидентных
вершинам порядка 1 имелись направления, входя-
щие в вершину порядка 1, и направления, выходя-
щие из вершины порядка 1;
в) На ребрах инцидентных произвольной вершине (a)
порядка n (n ≥ 2), имелись оба типа направлений,
входящих и выходящих из (a);
с) В Γ отсутствуют ориентированные замкнутые
циклы.
Под ориентированным циклом на орграфе Γ понимает-
ся совокупность ориентированных ребер из Γ, которые об-
разуют гомеоморфный образ ориентированной окружно-
сти. Будем говорить, что два орграфа изоморфны, если
существует изоморфизм между ними, сохраняющий ори-
ентацию ребер. Очевидно, что на одном и том же орграфе
можно указать такие ориентации, что полученные оргра-
фы будут не изоморфными. Возникает естественный во-
прос: на каждом ли графе с условием (f) можно задать
ориентацию, так, чтобы он стал орграфом с условием
(f)? Оказывается, что в этом круге вопросов полезно рас-
сматривать монотонные функции на графах.
Определение 4.3. Пусть g : Γ → R - непрерывная функ-
ция на графе Γ. Скажем, что g - монототонная на Γ,
если:
464 В.В.Шарко
а) сужение g на ребрах - строго монотонная функ-
ция;
в) локальные эктремумы g находятся на вершинах
порядка 1.
Имеет место следующая лемма.
Лемма 4.1. Пусть g : Γ → R - монотонная функция
на связном графе Γ. Тогда Γ имеет структуру оргафа с
условием (f).
Доказательство. Для определенности предположим,
что g - монотонно возрастающая функция. Если граф ко-
нечен, то он имеет по крайней мере один максимум и один
минимум в вершинах порядка один. Условие на разбива-
ющие вершины также выполняется. Ориентация на реб-
рах задается указанием направления роста функции. Яс-
но, что так введенная ориентация превращает граф Γ в
оргаф с условием (f). �
В дальнейшем нам понадобится специальный класс мо-
нотонных функций на графах,так называемых, функций
высоты. Предположим, что в R3 задана декартова система
координат (x, y, z).
Определение 4.4. Пусть граф Γ вложен в R3 так, что
его проекция π на ось (o, z) является монотонной функци-
ей на Γ. Тогда функция π называется функцией высоты.
Лемма 4.2. Предположим, что g : Γ → R - монотонная
функция на графе Γ. Тогда существует вложение φ : Γ →
R3 такое, что π ◦ φ = g.
Доказательство. Занумеруем произвольным образом
вершины vi графа Γ. Зададим отображение φ на вершинах
Гладкие функции на некомпактных поверхностях 465
графа Γ положив φ(vi) = (i, i+1, g(vi)). Соединим соответ-
ствующие пары вершин φ(vi), гладко вложенными, непере-
секающимися по внутренним точкам, отрезками, которые
диффомеоморфно отображаются на ось (o, z) посредством
проекции π. Продолжим очевидным образом вложение φ
с вершин графа Γ на его ребра так, чтобы выполнялось
равенство π ◦ φ = g. �
Таким образом, произвольную монотонную функцию за-
данную на графе, можно представлять, как функцию вы-
соты для графа расположенного в R3. Оказывается,что
на произвольном орграфе, удовлетворяющим условию (f)
всегда существует монотонная функция.
Напомним, что под ориентированным путем на орграфе
Γ понимается совокупность ориентированных ребер из Γ,
которые образуют гомеоморфный образ ориентированного
отрезка. Длинной ориентированного пути на орграфе Γ
называется число ребер из которых он состоит.
Для полноты изложения, приведем доказательство сле-
дующей теоремы, которая имеется в [19].
Теорема 4.1. Пусть Γ - орграф с условием (f). Тогда на
Γ существует возрастающая (убывающая) функция g :
Γ → R.
Доказательство. Для определенности построим на ор-
графе Γ возрастающую функцию g. Рассуждения будут
носить индуктивный характер. Занумеруем произвольным
образом вершины (vi) в орграфе Γ. Выберем первую вер-
шину v1 из Γ и положим g(v1) = 1. Рассмотрим вторую вер-
шину v2. Если в Γ не существует ориентированного пути s,
соединяющего вершины v1 и v2, тогда положим g(v2) = 1.
Если же в Γ имеется ориентированный путь s, соединя-
ющий эти вершины, в этом случае положим g(v2) = 2,
466 В.В.Шарко
(g(v2) = 0), если вершина v2 - конец (начало) пути s. Пред-
положим , что мы задали значение функции g на верши-
нах vi (i = 1, 2, ..., k − 1). Выберем вершину vk в орграфе
Γ. Имеется четыре возможности для соединения вершины
vk с вершинами vi (i = 1, 2, ..., k − 1) в орграфе Γ.
а) вершина vk не соеденена в Γ с вершинами vi (i =
1, 2, ..., k − 1) ориентированным путем;
в) в Γ существует ориентированный путь s, с началом
в вершине vi0(1 ≤ i0 ≤ k − 1, с концом в вершине
vi1(1 ≤ i1 ≤ k − 1 и содержащий вершину vk;
c) в Γ существует только ориентированный путь s с
началом в вершине vi0(1 ≤ i0 ≤ k − 1) и концом в
вершине vk (нет в Γ ориентированного пути с нача-
лом в вершине vk и концом в вершине vi0(1 ≤ i0 ≤
k − 1));
d) в Γ существует только ориентированный путь s с
началом в вершине vk и концом в вершине vi0(1 ≤
i0 ≤ k − 1) (нет в Γ ориентированного пути с на-
чалом в вершине vi0(1 ≤ i0 ≤ k − 1)) и концом в
вершине vk.
В случае а) положим g(vk) = 1. Рассмотрим случай в).
Выберем в Γ ориентированный путь s, который удовле-
творяет условиям :
а) началом пути s служит вершина vi0(1 ≤ i0 ≤ k −
1, на которой функция g принимает максимальное
значение g(vi0) = ai0 , по отношению к остальным
вершинам из vi
(i = 1, 2, ..., k − 1), являющимися началами ориен-
тированных путей в Γ, идущих в вершину vk;
Гладкие функции на некомпактных поверхностях 467
b) концом пути s служит вершина vi1(1 ≤ i1 ≤ k − 1,
на которой функция g принимает минимальное зна-
чение g(vi0) = bi0 , по отношению к остальным вер-
шинам из vi (i = 1, 2, ..., k − 1), которые являют-
ся концами ориентированных путей в Γ, идущих из
вершины vk.
В этом случае положим g(vk) = ai0 + 1/2(bi0 − ai0). Рас-
смотрим случай c). Пусть ck - максимальное значение, ко-
торое принимает функция g на множестве вершин vi (i =
1, 2, ..., k − 1). Положим g(vk) = ck + 1. В последнем слу-
чае поступим аналогично. Пусть dk - минимальное значе-
ние, которое принимает функция g на множестве вершин
vi (i = 1, 2, ..., k−1). Положим g(vk) = dk−1. Индуктивный
шаг сделан. Покажем, что так построенная на вершинах
орграфа Γ функция g, может быть продолжена на ребра
до строго возрастающей функции на орграфе Γ. Выберем
произвольное ориентированное ребро e с началом в вер-
шине vi и концом в вершине vj. Предположим, что i < j
(i > j). Тогда при построении функции g первой встре-
тится вершина vi (vj) на которой будет задано значение g.
В силу способа построения функции g, значение g на вер-
шине vj (vi) будет большим(меьшим) чем значение g на
вершине vi (vj). Следовательно, функцию g можно кор-
ректно продолжить с вершин орграфа Γ на его ребра. Тот
факт, что у функции g не будет локальных экстремумов
на вершинах порядка больших чем 1 вытекает из того,
что этим вершинам инцидентны входящие и выходящие
ребра. Таким образом в итоге мы имеем возрастающую
функцию. �
468 В.В.Шарко
Замечание 4.1. Заметим, что так построенная функ-
ция g, может принимать одно и тоже значение на бес-
конечном множестве вершин. Несложно подправить спо-
соб построения функции g, так чтобы она принимала на
вершинах разные значения. А именно: в случае а) надо по-
ложить g(vk) = 1 + 1/pk, где pk - возрастающая последо-
вательность простых чисел. В случае b) надо положить
g(vk) = ai0 + 1/2(bi0 − ai0) + εk,
где число εk подобрано таким образом, чтобы значение
функции g на вершине vk отличалось от значения g на
предыдущих вершинах. Аналогичным образом надо посту-
пать в оставшихся случаях.
Таким образом имеет место утверждение.
Обобщение 4.1. Пусть Γ - орграф с условием (f). Тогда
на Γ существует возрастающая (убывающей) функция,
принимающая на вершинах различные значения.
Лемма 4.3. Каждый бесконечный граф без разбивающих
вершин содержит путь гомеоморфный R1.
Доказательство. Напомним, что звездой вершины на-
зывается все ребра ей инцедентные. Выберем произволь-
ную вершину v графа и рассмотрим ее звезду без кратных
ребер. Полученная совокупность ребер A1 соединяет на-
бор вершин v1, v
2, ..., vk c вершиной v. Выберем вершину
v1 и рассмотрим только те ребра из ее звезды, которые
соединяют в графе вершины отличные от v, v2, ..., vk. За-
метим, что может случится, что таких ребер нет. Добавим
это множество ребер к множеству A1 и обозначим получен-
ное множество через A2. Это множество ребер соединяет
новые вершины w1, w2, ..., wl. с вершинами v, v1, v
2, ..., vk.
Опять выберем вершину v2, рассмотрим только те ребра
Гладкие функции на некомпактных поверхностях 469
из ее звезды, которые соединяют в графе вершины отлич-
ные от v, v1, v
3, ..., vk, w1, w2, ..., wl. Может случится снова,
что таких ребер нет. Добавим это новое множество ребер
к множеству A2 и обозначим полученное множество ре-
бер через A3. Эту процедуру проделаенм с оставшимися
вершинами vi. Заметим, что в силу бесконечности графа
на каком то шагу добавление новых ребер к множеству
ребер A1 произойдет. В итоге, после того как будут пере-
бераны все вершины vi, мы получим дерево B1. Обозна-
чим вершины порядка 1 дерева B1 через b1, ..., bs. После-
довательно рассматривая звезды вершин bi,, аналогичным
способом будем добавлять новые ребра к дереву B1. В си-
лу бесконечности графа, после перебора всех вершин bi,
мы получим новое дерево B2, которое строго содержит де-
рево B1. Опять таки, в силу бесконечности графа, этот
поцесс можно продолжить счетное число раз, получив в
итоге бесконечное дерево. Заметим, что на каком то шаге
может случится следующая ситуация : у дерева Bj воз-
можно соединение некоторых вершин порядка 1 с одной и
той же новой вершиной x, а остальные вершины порядка
1, вообще не допускают новых соединений. В этом слу-
чае, легко видеть, что вершина x будет разбивающей вер-
шиной графа, чего в силу наложенного условия быть не
может. Следовательно, по крайней мере два непересека-
ющиеся пути, выходящие из вершины v, будут уходить в
бесконечность. Их объединение и дает искомый путь, го-
меоморфный R1. �
Теорема 4.2. Пусть Γ - граф с условием (f). Тогда на Γ
существует возрастающая (убывающей) функция.
Доказательство. Если граф Γ является бесконечным и
не содержит разбивающих вершин, то по предыдущей лем-
ме он имеет путь s гомеоморфный R1. Если мультиграф
470 В.В.Шарко
Γ является бесконечным, но содержит разбивающие вер-
шины, то в результате удаления одной из них возникнет
две возможности : либо найдется по крайней мере две бес-
конечные компоненты, либо будет одна бесконечная ком-
понента, а все остальные компоненты будут конечными
и следовательно, они будут иметь вершины порядка 1. В
первом случае по теореме Кенига в каждой из бесконечной
компоненте найдется по бесконечному лучу, выходящему
из разбивающей вершины и их объединение даст путь s в Γ
гомеоморфный R1. Во втором случае выберем произволь-
ный бесконечный луч s, выходящий из вершины порядка
1.
Если граф Γ является конечным, то выберем произволь-
ный путь s, соединяющий любые две вершины порядка 1.
В каждом из рассмотренных случаях зададим на s моно-
тонно возрастающую функцию g. Пустьv1 - произвольная
вершина из s, которую можно соеденить путем vs1
верши-
ной w1 так, чтобы пути vs1
⋂
s = V1
⋃
w1. Поскольку на
вершина v1 и w1 значение функции g имеется продолжим
g до монотонно возрастающей функции на пути vs1
. Ана-
логичным образом будем продолжать функцию g на дру-
гие пути vsi
, соединяющие пары вершин viwi на которых
уже g задана, дополнительно требуя, чтобы новые пути
vsi
пересекались с уже построенными путями разве, что
по вершинам viwi. Кроме того, в процессе продолжения
функции g будем задавать ее значение на вершинах таким
образом, чтобы не существовало пары вершин с одинако-
вым значением g. Может случится, что мы наткнемся на
разбивающую вершину из которой выходит луч (путь) t
уходящий в бесконечность (в вершину порядка 1 ) и не пе-
ресекающий уже построенные пути. Подолжим функцию
Гладкие функции на некомпактных поверхностях 471
g с этой разбивающей вершины до монотонно возрастаю-
щей функции на t. Затем повторим предыдущую процеду-
ру построения функции. В итоге мы получим монотонно
возрастающую функцию на графе Γ. �
Следствие 4.1. Каждый граф с условием (f) можно пре-
вратить в орграф с условием (f).
5. Когда граф Γ есть граф Кронрода-Риба
гладкой функции с изолирванными
особенностями.
Теорема 5.1. Каждый граф с условием (f) есть граф
Кронрода-Риба гладкой функции с изолирванными особен-
ностями, заданной на поверхности.
Доказательство. Пусть граф Γ удовлетворяет услови-
ем (f). Тогда на нем существует монотонная функция g.
Используя атомы O(k, l) и NO(k, l) и граф Γ склеим из
них поверхность N . Функцию Морса F на поверхности N
зададим, используя функцию g. �
Теорема 5.2. Пусть граф Γ удовлетворяет условию (f) и
на нем задана функция высоты g, тогда существует ори-
ентированная поверхность N и гладкая функция G с изо-
лирванными особенностями на ней , являющейся функци-
ей высоты, у которой граф Кронрода-Риба изоморфен Γ.
Доказательство. Вложим граф Γ в R3 таким образом,
чтобы проекция на ось OX задавала функцию высоты g.
Пусть U - трубчатая окрестность графа Γ в R3, ∂U - ее
граница. Положим N = ∂U . Используя функцию g, легко
построить гладкую функцию G с изолирванными особен-
ностями (воспользовавшись например функцией Морса)
на N , которая есть функция высоты. �
472 В.В.Шарко
Замечание 5.1. Очевидно, что граф Кронрода-Риба лю-
бой собственной гладкой функции с изолирванными осо-
бенностями, заданной на поверхности (компактной или
некомпактной), удовлетворяет условию (f).
Следовательно имеет место следующая теорема.
Теорема 5.3. Для того, чтобы граф был графом
Кронрода-Риба гладкой функцию G с изолирванными осо-
бенностями на некоторой поверхности необходимо и до-
статочно, чтобы он удовлетворял условию (f) .
Доказательство. Следствие теоремы 5.1 и замечания
5.1.
Список литературы
[1] Арнольд В.И., Варченко А.Н.,С.М. Гусейн-Заде Особенности диффе-
ренцируемых отображений. М.: Наука, 1982 - Т.1 - 302 с.
[2] Болсинов А.В., Фоменко Ф.Т. Введение в топологию интегрируемых
гамильтоновых систем. М.: Наука 1997-352 с.
[3] Васильев В.А. Топология дополнений к дискриминантам. М.: ФА-
ЗИС,1997 - 538 с.
[4] Hirsh M. On imbeding differentiable manifolds in Euclidean space.//
Annals of Math.-1961.-73.-N3-p.566-571.
[5] Гирик Е.А. О существовании векторных полей с заданным набором
особенностей на двумерном замкнутом ориентируемом многообразии.
// Укр.мат.журн.-1993. - 46, N 12- С.1706-1709.
[6] Кронрод А.С. О функциях двух переменных. //Успехи мат. наук -
1950. - 5, N1-С. 24-134.
[7] Кудрявцева Е.А. О реализации гладких функций на поверхностях в
виде функций высоты // Мат. сборник - 1999.- 190, N1 - С.29-88.
[8] Kulinich E.V. On topologically equivalent Morse functions on
surfaces.//Methods of Functional Analysis and Topology.- 1998.-4.-N1-
p.59-64.
[9] Максименко С.И. Классификация m-функций на поверхностях //
Укр.мат.журн.-1999. - 51, N 8 - С.1129-1135.
[10] Мантуров В.О. Атомы, высотные атомы, хордовые диаграммы и уз-
лы. Перечисление атомов малой сложности с использованием языка
Mathematica 3.0 // Топологические методы в теории гамильтоновых
473
систем (сборник статей) под редакцией А.В.Болсинова, А.Т.Фоменко,
А.И.Шафаревича. М. Изд-во Факториал - 1998, С. 203-212.
[11] Матвеев С.В., Фоменко А.Т. Алгоритмические и компьютерные ме-
тоды в трехмерной топологии. М.: Изд-во Моск. ун-та - 1991 - 301
с.
[12] Милнор Дж. Теория Морса. М.: Мир, 1965- 184 с.
[13] Ошемков А.А. Функции Морса на двумерных поверхностях. Кодиро-
вание особенностей//ТР. МИРАН.- 1994- 205.С.131-140.
[14] Оре О. Теория графов. М.: Мир, 1965- 293 с.
[15] Prishlyak A.O. Topological equivalence of smooth functions with isolated
critical points on a closed surface. // Topology and its Applications.-
2002.-119.- p.257-267.
[16] Richards I. On classifications of noncompact surfaces. //
Trans.Amer.Math. Sos.(N.S.) -1963 - 106. - p. 259-269.
[17] Рохлин В.А., Фукс Д.Б. Начальный курс топологии. Геометрические
главы.М.: Наука.- 1977-487с.
[18] Sharko V.V. On topological equivalence Morse functions on surfaces. //
International Conference at Chelyabinsk State Univ.,Low-Dimensional
Group Theory.-1996.-p.19-23.
[19] Sharko V.V. About Kronrod-Reeb graph of fuction on a manifold.
//Methods of Functional Analysis and Topology.- 2006.-12.-N4-p.389-396.
[20] Шарко В.В. Гладкая и топологическая эквивалентность функций на
поверхностях.// Укр.мат. журн.-2003-55.№ 5-с.687-700.
[21] Шарко В.В. Функции на поверхностях. I // Некоторые вопросы со-
временной математики. Працi Iнституту математики НАН України.
Т.25. отв.ред. В.В.Шарко.- Киев: Ин-т математики НАН Украины,
1998.- с.408-434.
[22] Whitehead J.H.C. The immersion of open 3-manifold in Euclidean 3-
space.// Proc. London Math. Sos. - 1961.-11.-N.3-p. 81-90.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-6287 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1815-2910 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:38:37Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Шарко, В.В. 2010-02-22T16:25:22Z 2010-02-22T16:25:22Z 2006 Гладкие функции на некомпактных поверхностях / В.В. Шарко // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2006. — Т. 3, № 3. — С. 443-473. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. 1815-2910 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6287 517.938.5 ru Інститут математики НАН України Геометрія, топологія та їх застосування Гладкие функции на некомпактных поверхностях Article published earlier |
| spellingShingle | Гладкие функции на некомпактных поверхностях Шарко, В.В. Геометрія, топологія та їх застосування |
| title | Гладкие функции на некомпактных поверхностях |
| title_full | Гладкие функции на некомпактных поверхностях |
| title_fullStr | Гладкие функции на некомпактных поверхностях |
| title_full_unstemmed | Гладкие функции на некомпактных поверхностях |
| title_short | Гладкие функции на некомпактных поверхностях |
| title_sort | гладкие функции на некомпактных поверхностях |
| topic | Геометрія, топологія та їх застосування |
| topic_facet | Геометрія, топологія та їх застосування |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6287 |
| work_keys_str_mv | AT šarkovv gladkiefunkciinanekompaktnyhpoverhnostâh |