Пример неблуждающего множества, не имеющего рекуррентных и предельных точек
Строятся примеры гладких потоков и каскадов на бесконечномерных многообразиях, таких, что все их точки неблуждающие, но множество их предельных, а тем более рекуррентных точек пусто....
Saved in:
| Date: | 2006 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6291 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Пример неблуждающего множества, не имеющего рекуррентных и предельных точек / И.Ю. Власенко, Е.А. Полулях // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2006. — Т. 3, № 3. — С. 45-106. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859739739751448576 |
|---|---|
| author | Власенко, И.Ю. Полулях, Е.А. |
| author_facet | Власенко, И.Ю. Полулях, Е.А. |
| citation_txt | Пример неблуждающего множества, не имеющего рекуррентных и предельных точек / И.Ю. Власенко, Е.А. Полулях // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2006. — Т. 3, № 3. — С. 45-106. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Строятся примеры гладких потоков и каскадов на бесконечномерных многообразиях, таких, что все их точки неблуждающие, но множество их предельных, а тем более рекуррентных точек пусто.
|
| first_indexed | 2025-12-01T17:42:37Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць
Iн-ту математики НАН України
2006, т.3, №3, 45-106
И.Ю.Власенко
Институт математики НАН України
E-mail: vlasenko@imath.kiev.ua
Е.А.Полулях
Институт математики НАН України
E-mail: polukyah@imath.kiev.ua
Пример неблуждающего множества,
не имеющего рекуррентных и
предельных точек1
Строятся примеры гладких потоков и каскадов на бесконечномерных
многообразиях, таких, что все их точки неблуждающие, но множество
их предельных, а тем более рекуррентных точек пусто.
1. Вступление
Как известно, для типичной C1-гладкой динамической
системы ее множество неблуждающих точек совпадает с
множеством предельных точек и с замыканием множества
рекуррентных точек. Поэтому примеры гладких динами-
ческих систем с отличающимся поведением не так часты.
В этой работе строятся примеры гладких динамических
систем на компактных многообразиях с различающимися
граничным, неблуждающим и цепно-рекуррентным мно-
жествами, а также пример динамической системы, такой,
1Работа выполнена в рамках целевой программы НАН Украины “Со-
временные методы иследования математических моделей в задачах при-
родоведения и общественных науках” НИР № 0107U00233
c© И.Ю.Власенко, Е.А. Полулях, 2006
46 И.Ю.Власенко, Е.А.Полулях
что все ее точки неблуждающие, но множество ее предель-
ных, а тем более рекуррентных точек пусто. Надеемся, что
подобные примеры, кроме новизны, послужат хорошей ил-
люстрацией различия свойств предельных и неблуждаю-
щих точек. Для полноты изложения, не претендуя на но-
визну, здесь также приводится простой пример потока, у
которого все точки цепно-рекуррентны, но нет неблужда-
ющих точек (пример 2.4).
Множество неблуждающих точек, не являющихся пре-
дельными, изучалось в работах авторов [4, 14]. Исполь-
зуя разработанную там теорию, мы строим последователь-
ность компактных многообразий все возрастающей раз-
мерности и динамических систем на них, таких, что у каж-
дой системы — элемента этой последовательности — мно-
жество неблуждающих точек состоит из подмногообразия
меньшей размерности, а множество предельных точек од-
но и то же и состоит из двух точек. Полученное в ин-
дуктивном пределе пространство (того же класса, что и
R∞, T∞, CP∞) является некомпактным неполным метри-
ческим пространством. Полученные в индуктивном преде-
ле динамические системы на этом пространстве — поток
и каскад — обладают следующим интересным свойством:
все их точки являются неблуждающими, но не являют-
ся предельными (кроме двух точек, которые можно вы-
колоть — пространство при этом топологически не ухуд-
шится и останется некомпактным неполным метрическим
пространством).
Полученный таким образом пример позволяет положи-
тельно ответить на поставленный в книге [7] вопрос о су-
ществовании потоков без блуждающих и устойчивых по
Пуассону траекторий, в частности, дает пример гладкого
потока на неполном метрическом пространстве с центром
Пример неблуждающего множества... 47
Биркгофа, не совпадающим с замыканием множества ре-
куррентных точек.
2. Предварительные сведения
2.1. Множества траекторий. Пусть X — топологиче-
ское пространство и f : X → X — гомеоморфизм.
Обозначим через Of(x) траекторию точки x под дей-
ствием f , т.е. множество {fn(x)| n ∈ Z}. Пусть также
O+
f (x) = {fn(x)| n ∈ Z+} и O−
f (x) = {fn(x)| n ∈ Z−}
обозначают положительную и отрицательную полутраек-
тории точки x соответственно.
2.1.1. Множество неблуждающих точек динамической
системы.
Определение 2.1. Точка x ∈ X называется неподвиж-
ной (фиксированной) точкой f если f(x) = x. Множе-
ство всех неподвижных точек f обозначим через Fix(f).
Определение 2.2. Точка x называется периодической
периода n для гомеоморфизма f , если
fn(x) = x
и
fk(x) 6= x для k = 1, . . . , n − 1.
Множество всех периодических точек f обозначается че-
рез Per(f).
Для каждой точки x ∈ X определим ее ω-предельное
ωf(x) и α-предельное αf(x) множества относительно f с
помощью следующих формул:
ωf (x) =
⋂
N∈N
+∞⋃
n=N
fn(x) и αf(x) =
⋂
N∈N
+∞⋃
n=N
f−n(x).
48 И.Ю.Власенко, Е.А.Полулях
Другими словами, y ∈ ωf(x) тогда и только тогда, когда
найдется такая последовательность {Ni} ⊂ N, что
lim
i→∞
Ni = +∞ и lim
i→∞
fNi(x) = y.
Аналогично, y ∈ αf(x) тогда и только тогда, для неко-
торой последовательности {Ni} ⊂ N, такой, что
lim
i→∞
Ni = +∞ и lim
i→∞
f−Ni(x) = y.
Ясно, что ωf(x) = αf−1(x).
Зачастую, когда понятно о каком гомеоморфизме идет
речь, мы будем опускать индекс f и обозначать множества
ωf(x) и αf (x) через ω(x) и α(x) соответственно.
Следующая лемма очевидна.
Лемма 2.1. Множества α(x) и ω(x) — замкнуты, инва-
риантны относительно f и содержащиеся в замыкании
Of(x) орбиты точки x. В частности, если y ∈ ω(x), то
α(y) ∪ ω(y) ⊂ Of(y) ⊂ ω(x).
Обозначим
Lim−(f) =
⋃
x∈M
α(x), Lim+(f) =
⋃
x∈M
ω(x),
Lim(f) = Lim−(f) ∪ Lim+(f).
Множество Lim(f) называется предельным множеством
f .
Определение 2.3. Точка x называется рекуррентной
для гомеоморфизма f , если x ∈ α(x) ∪ ω(x).
Если x ∈ α(x) то мы будем называть эту точку α-
рекуррентной или α-рекуррентной. Аналогично опреде-
ляется ω-рекуррентность.
Пример неблуждающего множества... 49
Заметим, что возможен случай, когда x ∈ α(x) ∩ ω(x).
Такая точка является одновременно α- и ω-рекуррентной.
Обозначим через Rec+(f) и Rec−(f) соответственно мно-
жества всех ω- и α-рекуррентных точек f . Их объединение
Rec(f) = Rec+(f) ∪ Rec−(f)
является множеством всех рекуррентных точек f . Оче-
видно, что
Rec(f) ⊂ Lim(f).
Следующее определение было дано Биркгофом в [8].
Определение 2.4. Точка x ∈ X называется блуждаю-
щей точкой f , если найдется такая ее окрестность U ,
что
fm(U) ∩ U = ∅ для всех m > 0.
Все остальные точки называют неблуждающими. Та-
ким образом, точка x ∈ X является неблуждающей для
f , если для любой ее окрестности V найдется такое це-
лое число m ∈ Z, что fm(V ) ∩ V 6= ∅.
Множество блуждающих точек f обозначим через W (f).
Поскольку каждая блуждающая точка входит в блужда-
ющее множество вместе со своей окрестностью, то W (f)
открыто в X.
Множество неблуждающих точек f обозначается Ω(f).
Оно замкнуто в X как дополнение к W (f).
Так как периодическая точка является частным случаем
неблуждающей точки, то множество Per(f) периодических
точек содержится в Ω(f).
Пример 2.1. Всякая изолированная точка пространства
X является либо периодической, либо блуждающей.
50 И.Ю.Власенко, Е.А.Полулях
Лемма 2.2. Если X хаусдорфово пространство, то чис-
ло m в определении 2.4 неблуждающей точки можно вы-
брать сколь угодно большим по модулю.
Доказательство. Пусть для некоторой окрестности V не-
блуждающей точки x ∈ X найдется только конечное мно-
жество чисел m1, . . . , mk ∈ Z \ {0} таких, что
fmi(V ) ∩ V 6= ∅.
Мы получим противоречие, показав, что тогда x неблужа-
ющая точка для f .
Отметим, что x не может быть периодической, так как
если p — период x, то x ∈ f pk(V ) ∩ V 6= ∅ для каждого
k ∈ Z \ {0}.
Далее, так как X хаусдорфово, то точки
x, fm1(x), . . . , fmk(x)
имеют попарно непересекающиеся окрестности
U0, U1, . . . , Uk,
соответственно. Рассмотрим следующую окрестность
U = V
⋂ k
∩
i=0
f−mi(Ui)
точки x.
Мы утверждаем, что тогда fk(U)∩U = ∅ для всех k 6= 0.
Действительно, если k 6∈ {m1, . . . , mk}, то по предположе-
нию об окрестности V
fk(U) ∩ U ⊂ fk(V ) ∩ V = ∅.
Если же k = mi, то
fmi(U) ∩ U ⊂ fmif−mi(Ui) ∩ U0 = Ui ∩ U0 = ∅.
Следовательно, x — блуждающая точка для f . �
Пример неблуждающего множества... 51
Отметим, что неблуждающее множество, в отличие от
множества периодических точек, зависит от того, на каком
пространстве действует динамическая система.
Утверждение 2.1. Пусть (Y, g) — динамическая систе-
ма и Y1 — ее инвариантное подпространство. Положим
g1 = g|Y1
. Тогда Ω(g1) ⊆ Ω(g).
Доказательство. Утверждение следует из того, что для
каждого y ∈ Y1 все открытые окрестности точки y в про-
странстве Y1 — это в точности пересечения открытых ок-
рестностей точки y в пространстве Y с подпространством
Y1. �
Заметим, что f -инвариантного подпространства A ⊆ X
выполнено неравенство Ω(f |A) ⊆ Ω(f), но при этом множе-
ства Ω(f |A) и Ω(f), вообще говоря, не обязаны совпадать,
даже если Ω(f) ⊆ A.
Это замечание приводит к понятию центра динамиче-
ской системы, которое было введено Биркгофом в [8].
2.1.2. Центр Биркгофа динамической системы. Рассмот-
рим динамическую систему (X, f). Наивное определение
ее центра Биркгофа состоит в том, чтобы максимально
проитерировать конструкцию неблуждающего множества.
Положим Ω1(f) = Ω(f) и по индукции определим
Ωn+1(f) = Ω(f |Ωn(f)).
Пересечение полученной последовательности вложенных
друг в друга замкнутых инвариантных множеств
Ω(f) = Ω1(f) ⊃ Ω2(f) ⊃ · · · ⊃ Ωn(f) ⊃ · · ·
обозначим через Ωω(f). Используя трансфинитную индук-
цию можно определить множества Ωλ(f) для всех поряд-
ковых чисел λ. Тогда, согласно лемме Цорна, убывающая
52 И.Ю.Власенко, Е.А.Полулях
цепочка множеств {Ωλ(f)} должна остановиться на неко-
тором счетном ординале α, для которого
Ωγ(f) = Ω(f |Ωγ(f)).
Полученное замкнутое инвариантное множество и назы-
вается центром (Биркгофа). Будем обозначать его через
BC(f).
Опишем построение BC(f) более детально.
База индукции. Положим Ω1(f) = Ω(f).
Шаг индукции. Пусть λ — некоторое порядковое чис-
ло. Предположим, что множества Ωα(f) уже определены
для всех ординалов α < λ.
Для того, чтобы определить множество Ωλ(f), рассмот-
рим два случая:
(i) λ имеет предшествующий элемент (λ−1) < λ в классе
Ξ всех ординалов. Это означает, что для любого β ∈ Ξ либо
β ≤ (λ − 1), либо β ≥ λ.
Положим
Ωλ(f) = Ω
(
f |Ωλ−1(f)
)
.
Тогда, в частности, имеем, что Ωn+1(f) = Ω
(
f |Ωn(f)
)
для
всех n ∈ N.
(ii) λ не имеет непосредственно предшествующего ему
порядкового числа. Тогда положим
Ωλ(f) =
⋂
α<λ
Ωα(f) ,
в частности, Ωω(f) = ∩n∈NΩn(f).
Таким образом, мы получили набор замкнутых инва-
риантных подмножеств {Ωλ(f)}λ∈Ξ пространства X. При
этом, по построению, соотношения
Ωα(f) ⊇ Ωβ(f) и α ≤ β
Пример неблуждающего множества... 53
равносильны. Таким образом, порядок, индуцированный
отношением включения на семействе множеств {Ωλ(f)},
является полным порядком.
Лемма 2.3. Существует порядковое число γ такое, что
Ωγ+1(f) = Ωγ(f)
(следовательно, и Ωα(f) = Ωγ(f) для всех α > γ).
Доказательство. Заметим, что для каждого ординала λ
существует порядковое число (λ+1), следующее непосред-
ственно за λ. Действительно, пусть Aλ = {α ∈ Ξ | α > λ}.
Тогда Aλ вполне упорядочено и содержит наименьший эле-
мент λ + 1. Поэтому для каждого ординала α либо α ≤ λ,
либо α ≥ λ + 1.
Предположим, что Ωλ+1(f) $ Ωλ(f) для всех λ ∈ Ξ.
Обозначим
Bλ = Ωλ(f) \ Ωλ+1(f), λ ∈ Ξ.
Тогда Bλ ∩ Bλ′ = ∅ для λ 6= λ′ ∈ Ξ. Воспользуемся тео-
ремой Цермело (см. [12, 13]) и выберем из каждого Bλ по
точке xλ ∈ Bλ, λ ∈ Ξ (напомним, что Bλ ∈ 2X для всех
λ ∈ Ξ). Множество всех ξ < α, ξ ∈ Ξ, обозначим через
Γ(α).
Тогда для каждого α ∈ Ξ получим инъективное отобра-
жение Φα : Γ(α) → X, заданное формулой: Φα(β) = xβ .
Пусть ℵµ — кардинальное число, соответствующее мощ-
ности множества X. По определению,
ℵα = card(Γ(ωα)) ,
где ωα — порядковое число, соответствующее предельному
порядковому типу.
Напомним (см. [13]), что порядковый тип ξ вполне упо-
рядоченного множества Z называется предельным, если он
54 И.Ю.Власенко, Е.А.Полулях
является наименьшим порядковым числом среди всех по-
рядковых чисел, соответствующих всем возможным упо-
рядочениям множества Z, превращающим его во вполне
упорядоченное множество. (Предельные порядковые типы
принято индексировать по возрастанию элементами Ξ.)
Таким образом получаем неравенство
card X = ℵµ < ℵµ+1 = card(Γ(ωµ+1)) ,
которое, очевидно, противоречит существованию инъек-
тивного отображения
Φωµ+1
: Γ(ωµ+1) → X .
Следовательно, найдется такое γ ∈ Ξ, что
Bγ = Ωγ(f) \ Ωγ+1(f) = ∅.
Но тогда Ωγ(f) = Ωγ+1(f). �
Используя лемму, дадим следующее определение.
Определение 2.5. Пусть γ ∈ Ξ — наименьший орди-
нал, удовлетворяющий утверждению леммы 2.3 (он су-
ществует, так как Ξ вполне упорядочено).
Замкнутое инвариантное подмножество
BC(f) = Ωγ(f)
динамической системы (X, f) называется ее центром,
порядковое число γ называется глубиной центра дина-
мической системы (X, f).
Замечание 2.1. Применяя теорему Бэра – Хаусдорфа
(см. [1]) для топологических пространств со счетной ба-
зой (в частности, для сепарабельных метрических про-
странств), легко показать, что глубина центра произволь-
ной динамической системы с таким фазовым простран-
ством является счетным трансфинитом.
Пример неблуждающего множества... 55
Заметим, что множество рекуррентных точек всегда со-
держится в центре Биркгофа. Поэтому, если множество
рекуррентных точек всюду плотно в неблуждающем мно-
жестве, то стабилизация наступает уже на первом шаге.
2.1.3. Цепно-рекуррентные множества. Такие множест-
ва являются своего рода метрическим аналогом неблужда-
ющих множеств. Они введены Конли [9] для описания ди-
намики типичных гомеоморфизмов и оказались удобным
способом для описания динамики произвольных систем.
Определение 2.6. Пусть f : X → X — непрерывное
отображение метрического пространства (X, d) в себя
и ε > 0. Непустая конечная последовательность точек
x0, x1, . . . , xn из X называется ε-цепью, относительно f ,
если
d(f(xi−1), xi) < ε
для всех i = 1, . . . , n.
Будем говорить, что такая ε-цепь начинается в x0, за-
канчивается в xn и имеет длину n.
Обозначим через Cε(x, f) множество концов всевозмож-
ных ε-цепей с началом в x. Очевидно, что при ε < ε′
каждая ε-цепь от x к y также является ε′-цепью, поэтому
Cε(x, f) ⊆ Cε′(x, f) при ε < ε′. В действительности верно
более сильное утверждение:
Лемма 2.4. Каждое множество Cε(x, f) открыто и
Cε(x, f) ⊆ Cε′(x, f) при ε < ε′.
Доказательство. Пусть y ∈ Cε(x, f) и
x, x1, . . . , xn−1, y
— ε-цепь с началом в x и концом в y. Так как
d(f(xn−1), y) < ε,
56 И.Ю.Власенко, Е.А.Полулях
то d(f(xn−1), y) + δ < ε для некоторого достаточно ма-
лого δ > 0. Поэтому для произвольной точки y′ из δ-
окрестности точки y последовательность
x0 = x, x1, . . . , xn−1, y′
является ε-цепью от x к y′, т.е. y′ ∈ Cε(x, f). Таким обра-
зом множество Cε(x, f) содержит δ-окрестность точки y и
поэтому оно открыто.
Предположим, что y ∈ Cε(x, f). Тогда найдется такая
точка y′ ∈ Cε(x, f), что d(y′, y) < ε′ − ε. Пусть
x, x1, . . . , xn−1, y′
произвольная ε-цепь с началом в x и концом в y′. Тогда
x, x1, . . . , xn−1, y
является ε′-цепью между x и y. Действительно,
d(f(xi), xi+1) < ε < ε′
и
d(f(xn−1), y) < d(f(xn−1), y
′) + d(y′, y) < ε + ε′ − ε = ε′.
Следовательно, y ∈ Cε′(x, f). �
Обозначим
C(x, f)
def
==
⋂
ε>0
Cε(x, f).
Из леммы 2.4 вытекает, что C(x, f) =
⋂
ε>0
Cε(x, f), а значит
C(x, f) замкнуто в X.
Определение 2.7. Точка x ∈ X называется цепно-ре-
куррентной для f , если x ∈ C(x, f). Множество цепно-
рекуррентных точек f обозначается через C(f).
Пример неблуждающего множества... 57
Несложно видеть, что каждая неблуждающая точка яв-
ляется цепно-рекуррентной, поэтому имеют место следую-
щие включения:
Fix(f) ⊂ Per(f) ⊂ Rec(f) ⊂ Lim(f) ⊂ Ω(f) ⊂ C(f).
Лемма 2.5. Если f : X → X равномерно непрерывный
гомеоморфизм, то C(f) замкнуто и C(f−1) ⊂ C(f). В
частности, если f−1 также равномерно непрерывен, то
C(f−1) = C(f).
Доказательство. (1) Вначале докажем, что
C(f−1) ⊂ C(f).
Действительно, равномерная непрерывность f означает,
что для произвольного ω > 0 найдется такое δ(ω) > 0,
что из d(x, y) < δ(ω) вытекает, что d(f(x), f(y)) < ω.
Пусть x ∈ C(f−1) и ω > 0. Необходимо найти ω-цепь
относительно f с началом и концом в x. По определению,
существует δ(ω)-цепь относительно f−1 с началом и кон-
цом в x:
x = x0, x1, . . . , xn−1, xn = x,
т.е. d(f−1(xi), xi+1) < δ(ω). Но тогда
d(f ◦ f−1(xi), f(xi+1)) = d(f(xi+1), xi) < ω.
Таким образом, обратная последовательность
x = xn, xn−1, . . . , x1, x0 = x
является искомой ω-цепью относительно f .
(2) Покажем теперь, что C(f) замкнуто. Пусть x — пре-
дельная точка C(f) и ε > 0. Нужно построить ε-цепь от-
носительно f с началом и концом в x.
Выберем произвольным образом три числа ω, δ, ε′ > 0
так, чтобы
ω + ε′ < ε, ε′ + δ < ε, δ < δ(ω),
58 И.Ю.Власенко, Е.А.Полулях
где δ(ω) — константа в определении равномерной непре-
рывности f .
Так как x предельная точка для C(f), то найдется точка
y ∈ C(f) такая, что d(x, y) < δ. Тогда d(f(x), f(y)) < ω.
Так как y цепно-рекуррентна для f , то существует ε′-
цепь
y, y1, . . . , yk, y
с началом и концом в точке y ∈ X и d(x, y) < ω. Мы
утверждаем, что последовательность
x, y1, . . . , yk, x
является ε-цепью с началом и концом в x. Действительно
d(f(x), y1) ≤ d(f(x), f(y)) + d(f(y), y1) < ω + ε′ < ε,
d(f(yi), yi+1) < ε′ < ε, для i = 1, . . . , k − 1,
d(f(yk), x) ≤ d(f(yk), y) + d(y, x) < ε′ + δ < ε.
Лемма доказана. �
Следствие 2.1. Пусть f : X → X — гомеоморфизм мет-
рического компакта X. Тогда C(f) — замкнутое непустое
множество, причем C(f−1) = C(f).
Доказательство. Так как X компактно, то Lim(f), а зна-
чит и C(f), непусты. Замкнутость C(f) и равенство
C(f−1) = C(f)
следует из равномерной непрерывности f и f−1 согласно
лемме 2.5. �
Пример неблуждающего множества... 59
2.2. Неблуждающее множество корней гомеомор-
физмов. Заметим, что неблуждающее множество может
измениться при переходе от гомеоморфизма к его степени.
Покажем, что при таком переходе оно не увеличивается.
Лемма 2.6. Пусть g : X → X — гомеоморфизм. Тогда
для каждого n ∈ N
Ω(gn) ⊆ Ω(g).
Обратное включение, вообще говоря, не верно. Приме-
ры итерационно неустойчивых неблуждающих множеств
приведены, например, в [10]. Один из приведенных здесь
примеров также будет обладать этим свойством.
В работе [3] была доказана следующая теорема.
Теорема 2.1. Предположим, что пространство X хау-
сдорфово. Тогда для каждого гомеоморфизма g : X → X и
n ≥ 2 множество Ω(g) \ Ω(gn) нигде не плотно в X.
Было показано, что отсюда достаточно просто следует
итерационная устойчивость центра Биркгофа.
Следствие 2.2. Если Ω(g) = X, то Ω(gn) = Ω(g) = X
для всех n ≥ 2.
Доказательство. Так как Ω(gn) замкнуто, то множество
Ω(g) \ Ω(gn) = X \ Ω(gn)
открыто в X. Но по теореме 2.1 оно также нигде не плотно
в X. Следовательно, X \ Ω(gn) = ∅, т.е. Ω(gn) = X. �
Более слабая форма этого следствия была ранее опуб-
ликована в [15].
Для доказательства теоремы 2.1 была разработана тео-
рия K-зацепленных точек динамической системы. По су-
ти, определение зацепленных точек является частным слу-
чаем определения точек, соединяемых для произвольно
60 И.Ю.Власенко, Е.А.Полулях
малого ε с помощью ε-цепей (см. определение 2.6), когда
все сдвиги между траекториями, кроме двух, равны ну-
лю. K-зацепленные точки также, по сути, являются неко-
торым специальным классом цепно-рекуррентных точек.
Напомним эти определения, поскольку они существенно
понадобятся нам для построения и понимания приведен-
ных здесь примеров.
Определение 2.8. Скажем, что точка x зацеплена с
точкой y под действием гомеоморфизма g : X → X, если
для любых сколь угодно малых окрестностей Vx и Vy то-
чек x и y соответственно найдется сколь угодно большое
по модулю число t ∈ Z \ {0}, такое, что
gt (Vx) ∩ Vy 6= ∅.
Другими словами, g-орбита любой окрестности точки x
пересекается с любой окрестностью точки y.
Если при этом число t всегда можно выбрать положи-
тельным (отрицательным), то будем называть точку x
ω-зацепленной (α-зацепленной) с y.
Пример 2.2. Неблуждающая точка зацеплена сама с со-
бой.
Пример 2.3. Пусть g — диффеоморфизм Морса-Смейла
многообразия M и x, y — две периодические точки g. На-
помним, что каждая точка, принадлежащая пересечению
неустойчивого многообразия W u(x) точки x и устойчиво-
го многообразия W s(y) точки y, называется гетероклини-
ческой. Пусть γ ∈ W u(x) ∩ W s(y) — гетероклиническая
точка. Тогда γ является ω-зацепленной со всеми точка-
ми неустойчивого многообразия W u(y) и α-зацепленной со
всеми точками устойчивого многообразия W s(x).
Этот пример изображен на рис. 1a).
Пример неблуждающего множества... 61
Лемма 2.7. Предположим, что пространство X хау-
сдорфово, g : X → X — гомеоморфизм и пусть
x ∈ Ω(g) \ Ω(gn).
Тогда для некоторого k ∈ {1, . . . , n−1} точка x зацеплена
с точкой gk(x) под действием gn.
Замечание 2.2. Для зацепленности под действием g то-
чек одной орбиты, например x и gk(x), достаточно тре-
бовать, чтобы для произвольной окрестности U точки x
нашлось сколь угодно большое по модулю число N такое,
что
U ∩ gk−N(U) 6= ∅.
2.3. K-зацепленность. Пусть g : X → X гомеоморфизм,
n ≥ 2 и K = {k1, . . . kl} — конечная последовательность
чисел, таких, что каждое ki ∈ {0, . . . , n−1}. Мы допускаем,
что некоторые из ki, возможно даже все, могут совпадать
друг с другом.
Определение 2.9. Скажем, что точка x ∈ X — K-
зацеплена под действием гомеоморфизма gn, если для
произвольно малой окрестности U точки x найдутся как
угодно большие по модулю числа N1, . . . , Nl ∈ Z такие,
что
U ∩ gk1−nN1(U) ∩ gk2−nN2(U) ∩ · · · ∩ gkl−nNl(U) 6= ∅.
Замечание 2.3. Таким образом K-зацепленность точки
x под действием gn означает, что x “одновременно зацеп-
лена” со всеми точками gk1(x), . . . , gl(x), см. замечание 2.2.
Так как числа Ni можно выбирать сколь угодно больши-
ми по модулю, то можно также считать, что если ki = kj
для некоторых i 6= j, то Ni 6= Nj и, поэтому, gki−nNi(U) и
62 И.Ю.Власенко, Е.А.Полулях
gkj−nNj(U) представляют собой разные множества. Други-
ми словами, зацепление точки x с точкой gki(x) = gkj(x)
производится разными итерациями гомеоморфизма gn.
Замечание 2.4. Если 0 ∈ K, то x зацеплена под действи-
ем gn с собой и, следовательно, является неблуждающей
точкой для gn, т.е. x ∈ Ω(gn).
Лемма 2.8. Пусть точка x ∈ Int [Ω(g) \ Ω(gn)] — K-за-
цеплена под действием gn, где
K = {k1, . . . , kl}
и каждое ki = 0, . . . , n − 1. Тогда найдется такое
k′ ∈ {1, . . . , n − 1},
что x — также K ′-зацеплена относительно gn, где
K ′ = {k1, . . . , kl, k′, k1 + k′, . . . , kl + k′} (mod n)
и все суммы берутся по модулю n.
Подчеркнем, что в формулировке леммы k′ 6= 0 (mod n).
x
y
a)
A B
D C
b)
Рис. 1. Примеры зацепленных точек.
Пример неблуждающего множества... 63
На рис. 1b) изображен пример потока на сегменте ци-
линдра. В этом примере точки отрезка AB зацеплены с
точками отрезка CD, и наоборот, точки отрезка CD зацеп-
лены с точками отрезка AB. Появление такого цикла из
зацепленных точек приводит к тому, что все точки сег-
мента являются циклически зацепленными.
Пример 2.4. Если на рис. 1b) выбросить граничные ок-
ружности, то оставшаяся система на открытом ци-
линдре является простейшим примером потока, у ко-
торого нет неблуждающих точек, а все точки цепно-
рекуррентны.
Этот пример является ключом к пониманию дальней-
ших рассуждений, которые будут использоваться для по-
строения основных примеров данной работы. Именно, из
системы можно выделить две части, если разрезать ее по
отрезкам AB и CD. Мы получим два диска, один из ко-
торых дает зацепление от AB к CD, другой — от CD к
AB, см. рис. 2a). На каждом диске отрезки AB и CD зер-
кально повернуты друг относительно друга, а между ни-
ми траектории потока закручены специальным образом,
чтобы зацеплять точки соответствующих отрезков. Строго
структура потоков на этих дисков описывается с помощью
так называемого косого произведение потоков относитель-
но функции на декартовом произведении многообразий,
которое вводится в разделе 4.2.
Теперь перекомпонуем эти диски таким образом, чтобы
получить пример на другом многообразии. Склеивая дис-
ки на рис. 2a), получим большой диск, как на рис. 2b).
Если еще дополнительно отождествить противоположные
стороны, то получим систему на бутылке Клейна.
64 И.Ю.Власенко, Е.А.Полулях
D C
BA
<
>
\/ \/
<
D C
BA
<
>
/\ /\
>
D C B
B CA
<
>
\/ \/ \/
<
A
D
<
>
<
a) b)
Рис. 2. К описанию примера на цилиндре.
Эту бутылку Клейна можно интерпретировать как ре-
зультат операции умножения на отрезок с перекручива-
нием, примененный к окружности ABCD, с последующей
склейкой противоположных сторон. (Далее в этой рабо-
те выражению “умножение на отрезок с перекручиванием”
будет дан точный смысл). При этом цепно-рекуррентные
точки окружности ABCD, бывшие ранее не зацепленны-
ми, становятся циклически зацепленными.
На рис. 3 изображен следующий шаг: бутылка Клейна
умножается на отрезок с перекручиванием, и противопо-
ложные бутылки Клейна склеиваются в одну. При этом
все точки бутылки Клейна становятся циклически зацеп-
ленными, а точки окружности ABCD становятся зацеп-
ленными сами с собой, то есть неблуждающими.
Если к полученному многообразию применить эту же
конструкцию, то уже его точки станут циклически зацеп-
ленными, а все точки бутылки Клейна станут неблуждаю-
щими, и т. д. В основных примерах данной работы исполь-
зуется достаточно похожее построение, которое индуктив-
но продолжается бесконечности. Отличие только в том,
что мы получаем неблуждающее множество уже на пер-
вом шаге.
Пример неблуждающего множества... 65
D C B
B CA
<
>
\/ \/ \/
<
A
D
<
>
<
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
/\
< <
Рис. 3. Надстройка над бутылкой Клейна.
3. Построение примеров.
Наша цель — построить (неполное) метрическое про-
странство M и гомеоморфизм F : M → M такие, что
Ω(F ) = M и Rec(F ) = {a}, где a ∈ M — единственная
неподвижная точка динамической системы (M, F ).
3.1. Построение пространства M . Построим сначала
по индукции топологическое пространство M , на котором
потом будет задана наша динамическая система.
Построение начнем с единичной окружности комплекс-
ной плоскости
M1 = {z ∈ C | |z| = 1} .
Зададим на M1 инволюцию
T1(z) = z̄ = ℜ(z) − ℑ(z), z ∈ M1.
Это отображение представляет собой зеркальное отраже-
ние окружности относительно вещественной оси. Иначе
66 И.Ю.Власенко, Е.А.Полулях
его можно записать еще и так:
T1(exp(iϕ)) = exp(−iϕ) , ϕ ∈ [0, 2π) .
Справедливо следующее утверждение.
Утверждение 3.1. Пусть X — компактное хаусдорфово
топологическое пространство, на котором задана непре-
рывная инволюция TX : X → X.
Пусть заданы вложение
ĵ : X → X × I , ĵ : x 7→ (x, 0) , x ∈ X ,
и инволюция
T̂ : X×I → X×I , T̂ : (x, t) 7→ (x, 1−t) , (x, t) ∈ X×I .
Пусть еще заданы разбиение
f =
⋃
x∈X
t∈(0,1)
{(x, t)} ∪
⋃
x∈X
{(x, 1), (TX(x), 0)}
пространства X×I и проекция на фактор-пространство
p̂r : X × I → Y = (X × I)/f .
Тогда корректно определено фактор-отображение
TY = fact T̂ : Y → Y .
Это отображение является инволюцией на простран-
стве Y и удовлетворяет соотношению
(71) TY ◦ j = j ◦ TX : X → Y ,
где j = p̂r ◦ ĵ : X → Y .
Отображение j является вложением. Пространство
Y хаусдорфово и компактно.
Пример неблуждающего множества... 67
Доказательство. Начнем с того, что отображение j явля-
ется вложением. Действительно, образ вложения
ĵ(X) = X × {0}
пересекается с каждым элементом разбиения f не более
чем в одной точке. Следовательно, отображение pr |ĵ(X)
инъективно, а вместе с ним инъективно и отображение j.
Так как пространство X — компактно и хаусдорфово по
условию (следовательно, и пространство X × I — хаусдор-
фово), то j является гомеоморфизмом на свой образ.
Проверим, что отображение T̂ сохраняет разбиение f.
a) Пусть t ∈ (0, 1). Тогда T̂ (x, t) = (x, 1 − t) ∈ f.
b) T̂ ({(x, 1), (TX(x), 0)}) = {(x, 0), (TX(x), 1)} =
= {TX((TX(x)), 0), (TX(x), 1)} ∈ f (напомним, что
TX ◦ TX = IdX по условию).
Значит, отображение TY = fact T̂ : Y → Y корректно
определено и является инволюцией:
TY ◦ TY = fact(T̂ ◦ T̂ ) = fact IdX×I = IdY .
Проверим равенство (71).
TY ◦ j(x) = TY ◦ p̂r ◦ ĵ(x) = TY ◦ p̂r(x, 0) =
= TY ◦ p̂r(T−1
X (x), 1) = TY ◦ p̂r(TX(x), 1) =
= p̂r ◦ T̂ (TX(x), 1) = p̂r(TX(x), 0) =
= p̂r ◦ ĵ ◦ TX(x) = j ◦ TX(x) .
Пространство Y компактно как фактор-пространство ком-
пактного пространства X × I. Хаусдорфовость простран-
ства Y следует из того, что пространство X хаусдорфово
и Y есть локально-тривиальное расслоение над окружно-
стью со слоем X (это проверяется непосредственно). �
68 И.Ю.Власенко, Е.А.Полулях
Пусть для некоторого n ≥ 1 уже построен компакт Mn,
на котором задана инволюция Tn.
Обозначим через T̂n+1 : Mn × I → Mn × I инволюцию
T̂n+1(y, t) = (y, 1− t) , (y, t) ∈ Mn × I .
Рассмотрим последовательность пространств и отобра-
жений
(72) Mn
ĵn
−−→ Mn × I
prn+1
−−−−→ Mn+1 = (Mn × I)/fn+1 .
Здесь ĵn : y 7→ (y, 0), y ∈ Mn, — вложение. Разбиение fn+1
задается соотношением
(73) fn+1 =
⋃
x∈Mn
t∈(0,1)
{(x, t)} ∪
⋃
x∈Mn
{(x, 1), (Tn(x), 0)} ,
а prn+1 — отображение проекции.
Согласно предложению 3.1 отображение
jn = prn+1 ◦ĵn : Mn → Mn+1
является вложением, пространство Mn+1 хаусдорфово и
компактно, и на этом пространстве корректно определе-
на инволюция
Tn+1 = fact T̂n+1
такая, что Tn+1 ◦ jn = jn ◦ Tn.
Следовательно, по индукции получаем цепочку прост-
ранств и отображений, все пространства в ней компактные
и Хаусдорфовы, а все отображения — вложения:
(74) S1 = M1
j1
−→ M2 −→ · · · −→ Mn
jn
−→ Mn+1 −→ · · · .
Пример неблуждающего множества... 69
Кроме того, для всех n ∈ N имеем коммутативные диа-
граммы
(75)
Mn −−−→
jn
Mn+1
Tn
y
yTn+1
Mn −−−→
jn
Mn+1
Обозначим
M = lim
−→
(Mn, jn) .
3.2. Построение потока f пространства M . Напом-
ним, что потоком (или однопараметрической группой ав-
томорфизмов) на топологическом пространстве X назы-
вается непрерывное отображение
f : X × R → X,
удовлетворяющее свойствам
(i) f(·, 0) = IdX : X → X;
(ii) f(f(·, t), τ) = f(·, t+τ) : X → X для любых t, τ ∈ R.
Наша цель построить
построим по индукции семейство потоков
fn : Mn × R → Mn, n ∈ N ,
потребуем, чтобы семейство {fn}n∈N удовлетворяло сле-
дующим требованиям:
(1′) jn−1 ◦ fn−1 = fn ◦ (jn−1 × IdR), если n > 1;
(2′) Fix(fn) = Rec(fn) = {an}, an = jn−1 ◦ . . . ◦ j1(a);
(3′) при n > 1 для каждого x ∈ jn−1(Mn−1) и для любой
открытой окрестности U = U(x) точки x в Mn най-
дется T = T (U) > 0 такое, что fn(U, t) ∩ U 6= ∅ для
всех t > T ;
70 И.Ю.Власенко, Е.А.Полулях
(4′) Tn ◦ fn = f−
n ◦ (Tn × IdR), f−
n (x, t) = fn(x,−t), (x, t) ∈
Mn × R;
(5′) Tn(Ofn
(x)) = Ofn
(x) для каждого x ∈ Mn.
Заметим, что свойство (3′) можно переформулировать в
таком виде:
(3′′) jn−1(Mn−1) ⊆ Ω(Fn), если n > 1.
3.2.1. База индукции. Поток f1 на пространстве M1. На-
ша цель — построить на пространстве M1 поток f1, кото-
рый бы удовлетворял требованиям (2′), (4′) и (5′), которые
сформулированы выше.
Начнем построение с потока h : I × R → I,
(76)
h(x, t) =
0 , x = 0 ;
1
2
+
1
π
arctg(t + tg(π(x −
1
2
))) , x ∈ (0, 1) ;
1 , x = 1 .
То, что h задает непрерывное действие аддитивной груп-
пы R на отрезке, проверяется непосредственно. Простая
проверка показывает также, что
(77) h(x, t) + h(1 − x,−t) = 1 .
Динамика потока h очень простая: концы отрезка явля-
ются положениями равновесия, интервал (0, 1) = Oh(1/2)
является траекторией, выходящей из 0 и входящей в 1.
Обозначим f̂1 = h : I × R → I.
Очевидно, что пространство M1 можно представить как
фактор-пространство M1 = I/f1, где
f1 = {0, 1} ∪
⋃
x∈(0,1)
{x} .
Пусть pr1 : I → I/f1 = M1 — отображение проекции.
Пример неблуждающего множества... 71
Рассмотрим разбиение
f̃1 =
⋃
x∈(0,1)
t∈R
{x, t} ∪
⋃
t∈R
{(0, t), (1, t)}
пространства I ×R. Легко видеть, что отображение f̂1 пе-
реводит элементы разбиения f̃1 в элементы разбиения f1,
поэтому определено непрерывное фактор-отображение
fact f̂1 = f1 : (I × R)/̃f1 → I/f1 .
Воспользуемся здесь следующим полезным утверждени-
ем о произведении проекций. Доказательство этого утвер-
ждения приведено в разделе 4.1.
Утверждение (Утверждение 4.1). Пусть X и Y — хау-
сдорфовы пространства, f — разбиение пространства X
на компактные подмножества, i — разбиение простран-
ства Y на одноточечные подмножества.
Пусть проекция prX : X → X/f является замкнутым
отображением.
Пусть, кроме того, разбиение f̃ пространства X × Y
является произведением разбиений f и i.
Тогда отображение
π = prX ×IdY : X × Y → X/f × Y
факторно, и следовательно, пространства (X × Y )/̃f и
X/f × Y канонически гомеоморфны.
Очевидно, разбиение f̃1 является произведением разби-
ения f1 и разбиения i пространства R на одноточечные
множества. Так как пространство I хаусдорфово и ком-
пактно, а пространства I/f1 ∼= S1 и R хаусдорфовы, то мы
находимся в условиях предложения 4.1 (см. также замеча-
ние 4.1) и можно считать, что отображение f1 задано на
72 И.Ю.Власенко, Е.А.Полулях
пространстве I/f1 × R = M1 × R. Пусть
π = pr1 × IdR : I × R → M1 × R
— проекция (см. предложение 4.1). Тогда имеем коммута-
тивную диаграмму
I × R
f̂1
−−−→ I
π
y
ypr1
M1 × R −−−→
f1
M1
Используя эту диаграмму, для любых x ∈ M1 и t, τ ∈ R
получим соотношения:
f1(x, 0) = pr1 ◦f̂1(π
−1(x, 0)) = pr1 ◦f̂1(pr−1
1 (x), 0) =
= pr1(pr−1
1 (x)) = x ,
f1(f1(x, t), τ) = f1(pr1 ◦f̂1(π
−1(x, t)), τ) =
= f1(pr1 ◦f̂1(pr−1
1 (x), t), τ) =
= pr1 ◦f̂1(π
−1(pr1 ◦f̂1(pr−1
1 (x), t), τ)) =
= pr1 ◦f̂1(f̂1(pr−1
1 (x), t), τ) =
= pr1 ◦f̂1(pr−1
1 (x), t + τ) =
= pr1 ◦f̂1(π
−1(x, t + τ)) =
= f1(x, t + τ) .
Следовательно, отображение f1 задает непрерывный по-
ток на M1.
Представим M1 как единичную окружность в комплекс-
ной плоскости
M1 = {z ∈ C | |z| = 1} .
Пример неблуждающего множества... 73
Отображение проекции принимает вид
pr1(x) = exp(2πix) , x ∈ [0, 1] .
Ясно, что в таком представлении
f1(exp(2πix), t) = exp(2πih(x, t)) , x ∈ I .
Далее, учитывая соотношения (77), получаем
T1 ◦ f1(exp(2πix), t) = T1 ◦ exp(2πih(x, t)) =
= exp(2πi(1 − h(x, t))) =
= exp(2πih(1 − x,−t)) =
= f−
1 (exp(2πi(1 − x)), t) =
= f−
1 ◦ (T1 × IdR)(exp(2πix), t) .
Здесь f−
1 (z, t) = f1(z,−t), (z, t) ∈ M1 × R. Поэтому требо-
вание (4′) для M1 выполнено.
Обозначим a = pr1(0) = exp(0). Тогда M1 состоит из
неподвижной точки, Fix(f1) = {a}, и блуждающей траек-
тории
{exp(2πix) | x ∈ (0, 1)} = Of1
(exp(πi)),
которая выходит из точки a и входит в эту же точку с дру-
гой стороны. Значит, требование (2′) для M1 выполнено.
Динамическая система (M1, f1) состоит всего из двух
траекторий, мощности которых как множеств различны
(одна равна 1, другая — continuum). Так как инволюция
T1 переводит траектории динамической системы (M1, f1) в
траектории (это немедленно следует из свойства (4′)), то
свойство (5′) выполнено.
3.2.2. Вспомогательное построение. Для дальнейших по-
строений нам понадобится конструкция “косого произведе-
ния” потоков, которая детально рассматривается отдель-
но в разделе 4.2. Именно, пусть X и Y — топологические
74 И.Ю.Власенко, Е.А.Полулях
пространства, f : X × R → X и h : Y × R → Y — пото-
ки на X и Y соответственно. Пусть prX : X × Y → X и
prY : X × Y → Y — проекции.
В разделе 4.2 вводится отображение
f̂ : X × Y × R → X × Y
потоков f и h (“косое произведения” потоков f и h), кото-
рое задает поток на X × Y и удовлетворяет таким свой-
ствам.
(1) движение точки (x, y) ∈ X × Y под действием f̂
проектируется в движение точки y = prY (x, y) под
действием потока h, т. е. выполняется равенство
prY ◦f̂ = h ◦ (prY ×IdR) : X × Y × R → Y ;
(2) траектории потока f̂ проектируются в траектории
потока f , т. е. выполняется включение
prX(Of̂ (x, y)) ⊆ Of (prX(x, y)) = Of(x);
(3) ϕ не зависит от выбора x, т. е. для любых x1, x2 ∈ X,
y ∈ Y и t ∈ R выполняется равенство
ϕ(x1, y, t) = ϕ(x2, y, t),
где через ϕ(x, y, t) обозначена такая величина, что
prX ◦f̂(x, y, t) = f(x, ϕ(x, y, t))
(эта величина корректно определена в силу преды-
дущего требования).
3.2.3. Шаг индукции. Поток fn на пространстве Mn. Бу-
дем считать, что на пространстве Mn−1 уже задан непре-
рывный поток (Mn−1, fn−1), удовлетворяющий требовани-
ям (1′)–(5′).
Рассмотрим пространство (Mn−1) × I и функцию
α : I → R ,
α(y) = 1 − 2y , y ∈ I .
Пример неблуждающего множества... 75
Воспользуемся леммой 4.1 и построим по динамическим
системам (Mn−1, fn−1), (I, h) (см. равенство 76) и функции
α поток
f̂n : Mn−1 × I × R → Mn−1 × I,
f̂n(x, y, t) =
(
fn−1
(
x,
t∫
0
(1 − 2h(y, s)ds)
)
, h(y, t)
)
=
=
(
fn−1
(
x, t − 2
t∫
0
h(y, s)ds
)
, h(y, t)
)
,(78)
(x, y, t) ∈ Mn−1 × I × R .
Так как 0 и 1 — неподвижные точки динамической систе-
мы (I, h), то
f̂n(x, 0, t) = (fn−1(x, t), 0) ,(79)
f̂n(x, 1, t) = (fn−1(x,−t), 1) = (f−
n−1(x, t), 1) .
Напомним (см. раздел 3.1), что Mn = (Mn−1 × I)/fn и
разбиение fn задается при помощи формулы (73). Кроме
того (см. предложение 4.1 и замечание 4.1), имеется кано-
нический гомеоморфизм
Ψ : (Mn−1 × I ×R)/(fn × iR) → (Mn−1 × I)/fn ×R = Mn ×R.
Здесь iR — разбиение прямой R на одноточечные множе-
ства.
Рассмотрим проекции
π̂n : Mn−1 × I × R → (Mn−1 × I × R)/(fn × iR),
πn = Ψ ◦ π̂n : Mn−1 × I × R → Mn × R,
prn : Mn−1 × I → (Mn−1 × I)/fn = Mn.
Проверим, что отображение f̂n переводит элементы раз-
биения zer πn = fn × iR в элементы разбиения fn. Для этого
нам достаточно проверить, что для любых x ∈ Mn−1 и
76 И.Ю.Власенко, Е.А.Полулях
t ∈ R пара точек { (x, 1, t) , (Tn−1(x), 0, t) } переходит под
действием f̂n в какой-нибудь элемент разбиения fn (инво-
люция Tn−1 определена в разделе 3.1).
Справедливы равенства (см. соотношения 79)
f̂n(Tn−1(x), 0, t) = (fn−1(Tn−1(x), t), 0) =
= (Tn−1 ◦ Tn−1 ◦ fn−1(Tn−1(x), t), 0) =
= (Tn−1(Tn−1 ◦ fn−1(Tn−1(x), t)), 0) .
Здесь мы воспользовались тем, что Tn−1 — инволюция
(T 2
n−1 = Id). Обозначим x′ = Tn−1(x), очевидно
x = Tn−1 ◦ Tn−1(x) = Tn−1(x
′).
Тогда
f̂n(Tn−1(x), 0, t) = (Tn−1(Tn−1 ◦ fn−1(x
′, t)), 0) .
С другой стороны,
f̂n(x, 1, t) = (fn−1(x,−t), 1) = (f−
n−1(x, t), 1) =
= (f−
n−1(Tn−1(x
′), t), 1) = (Tn−1 ◦ fn−1(x
′, t), 1) .
Последнее равенство следует из условия (4′). Обозначим
x̂ = Tn−1 ◦ fn−1(x
′, t). Тогда
f̂n(Tn−1(x), 0, t) = (Tn−1(x̂), 0) ,
f̂n(x, 1, t) = (x̂, 1) .
Из произвольности выбора точек x ∈ Mn−1 и t ∈ R за-
ключаем, что отображение f̂n переводит элементы разби-
ения zer πn в элементы разбиения fn, следовательно, кор-
ректно определено непрерывное фактор-отображение
fn : Mn × R → Mn ,
Пример неблуждающего множества... 77
которое замыкает коммутативную диаграмму
(80)
Mn × I × R
f̂n
−−−→ Mn × I
πn
y
yprn
Mn × R
fn
−−−→ Mn
Утверждение 3.2. Для каждого (x, t) ∈ Mn ×R справед-
ливо соотношение
prn ◦f̂n(pr−1
n (x), t) = fn(x, t) .
Доказательство. Из предложения 4.1 вытекает, что
(81) πn = prn × IdR ,
Поэтому
prn ◦f̂n(pr−1
n (x), t) = fn ◦ πn(pr−1
n (x), t) =
= fn(prn(pr−1
n (x)), t) = fn(x, t)
для любого (x, t) ∈ Mn × R. �
Применяя это утверждение, установим групповые свой-
ства отображения fn. Пусть x ∈ Mn. Тогда
fn(x, 0) = prn ◦f̂n(pr−1
n (x), 0) = prn(pr−1
n (x)) = x ,
значит, fn(·, 0) = Id : Mn → Mn.
Пусть, кроме того, t, τ ∈ R. Справедливы равенства
fn(fn(x, t), τ) = fn(prn ◦f̂n(pr−1
n (x), t), τ)
= prn ◦f̂n(f̂n(pr−1
n (x), t), τ)
= prn ◦f̂n(pr−1
n (x), t + τ) = fn(x, t + τ).
Итак, из того, что f̂n является потоком, следует, что fn
является непрерывным потоком с фазовым пространством
Mn.
78 И.Ю.Власенко, Е.А.Полулях
Проверим, что поток (Mn, fn) удовлетворяет свойствам
(1′) – (5′) (см. начало раздела 3.2).
Для проверки требования (1′) покажем сначала, что
(82) ĵn−1 ◦ fn−1 = f̂n ◦ (ĵn−1 × IdR) .
Напомним, что отображение ĵn−1 : Mn−1 → Mn−1 × I
задается формулой ĵn−1(y) = (y, 0), y ∈ Mn−1 (см. раз-
дел 3.1).
Пусть y ∈ Mn−1, t ∈ R. Тогда
ĵn−1 ◦ fn−1(y, t) = (fn−1(y, t), 0) .
С другой стороны, из соотношения (79) получим
f̂n ◦ (ĵn−1 × IdR)(y, t) = f̂n(y, 0, t) =
= (fn−1(y, t), 0) = ĵn−1 ◦ fn−1(y, t) .
Вспомним теперь, что по определению jn−1 = prn ◦ĵn−1.
Это вместе с формулой (82) приводит нас к цепочке ра-
венств
jn−1 ◦ fn−1 = prn ◦ĵn−1 ◦ fn−1 = prn ◦f̂n ◦ (ĵn−1 × IdR) =
= fn ◦ (prn × IdR) ◦ (ĵn−1 × IdR) =
= fn ◦ ((prn ◦ĵn−1) × IdR) = fn ◦ (jn−1 × IdR) .
И значит, fn удовлетворяет требованию (1′).
Приступим к проверке свойства (2′).
Согласно предложению 3.1 пространство Mn−1 — ком-
пакт, и отображение jn−1 : Mn−1 → Mn — вложение. Из
этого замечания и свойства (1′) заключаем, что jn−1(Mn−1)
— замкнутое инвариантное подмножество динамической
системы (Mn, fn), и потоки (Mn−1, fn−1) и
Пример неблуждающего множества... 79
(jn−1(Mn−1), fn|jn−1(Mn−1)) топологически сопряжены. По-
этому для каждой точки x ∈ Mn−1 справедливо следую-
щее утверждение: α-предельное (ω-предельное) множество
точки jn−1(x) относительно потока fn совпадает с образом
α-предельного (ω-предельного) множества точки x отно-
сительно потока fn−1 под действием jn−1. Следовательно,
Recfn ∩ jn−1(Mn−1) = jn−1(Recfn−1) =
= jn−1(jn−2 ◦ . . . ◦ j1(a)) = jn−1 ◦ . . . ◦ j1(a) .
Для завершения проверки на выполнимость свойства
(2′) докажем, что каждая точка множества
Un = Mn \ jn−1(Mn−1)
является блуждающей точкой потока (Mn, fn).
Мы уже установили, что Un — открытое подмножество
пространства Mn.
По построению, jn−1(Mn−1) = prn(Mn−1 × {0}), поэтому
pr−1
n (jn−1(Mn−1)) = Mn × {0, 1} и
pr−1
n (Un) = pr−1
n (Mn \ jn−1(Mn−1)) = Mn−1 × (0, 1) = Ûn .
Заметим, что проекция prn взаимно-однозначно отобра-
жает открытое подмножество Ûn пространства Mn−1 × I
на открытое подмножество Un пространства Mn. Так как,
по определению отображения проекции, открытые множе-
ства в образе — это в точности те множества, полный про-
образ которых открыт, то отображение
p̂rn = prn |Ûn
: Ûn → Un
открыто и является гомеоморфизмом.
Пусть x ∈ Un, x̂ = pr−1
n (x) ∈ Ûn. Тогда
x̂ = (y, τ), y ∈ Mn−1, τ ∈ (0, 1).
80 И.Ю.Власенко, Е.А.Полулях
Фиксируем a, b ∈ (0, 1) так, чтобы
0 < a < τ < b < 1 .
Множество V̂a,b = Mn−1 × (a, b) является открытой окрест-
ностью точки x̂ в пространстве Mn−1 × I.
Найдем теперь такое T > 0, чтобы
f̂n(V̂a,b, t) ⊆ Mn−1 × (0, a)
при всех t < −T и
f̂n(V̂a,b, t) ⊆ Mn−1 × (b, 1)
— при всех t > T .
Пусть prI : Mn−1 × I → I — проекция на второй сомно-
житель. Тогда по построению
prI ◦f̂n = h ◦ (prI × IdR) : Mn−1 × I × R → I
(см. лемму 4.1). Следовательно, для каждого t ∈ R име-
ем f̂n(V̂a,b, t) ⊆ Mn−1 × h((a, b), t) и нам достаточно найти
такое T > 0, что h((a, b), t) ⊆ (0, a) при любом t < −T , и
h((a, b), t) ⊆ (b, 1) для всех t > T .
Найдем сначала такое tα ∈ R, что h(b, tα) < a.
Предположим, что
1
2
+ 1
π
arctg(tα + tg(π(b − 1
2
))) = h(b, tα) < a ,
то есть
arctg(tα + tg(π(b − 1
2
))) < π(a − 1
2
) .
Так как по условию a ∈ (0, 1), то обе части неравенства
лежат в интервале (−π/2, π/2). В этом интервале функция
tg определена и монотонно возрастает. Поэтому последнее
неравенство равносильно такому:
tα + tg(π(b − 1
2
)) < tg(π(a − 1
2
)) .
Пример неблуждающего множества... 81
Значит, неравенство h(b, tα) < a эквивалентно следую-
щему:
tα <
[
tg(π(a − 1
2
)) − tg(π(b − 1
2
))
]
.
Аналогично устанавливается эквивалентность неравенств
b < h(a, tω) и
[
tg(π(b − 1
2
)) − tg(π(a − 1
2
))
]
< tω .
Заметим, что функция h(·, t) : I → I при каждом фик-
сированном t ∈ R монотонно возрастает. Поэтому,
h((a, b), t) ⊆ (0, a), если t < −T ,
и
h((a, b), t) ⊆ (b, 1), если t > T ,
где
T =
∣∣tg(π(b − 1
2
)) − tg(π(a − 1
2
))
∣∣ .
Из этого вытекает, что f̂n(V̂a,b, t)∩V̂a,b = ∅, если t /∈ [−T, T ].
Множество Ûn является инвариантным подмножеством
потока f̂n, поэтому f̂n(V̂a,b, t) ⊆ Ûn при любом t ∈ R. Обо-
значим Va,b = prn(V̂a,b). Тогда множество Va,b является от-
крытой окрестностью точки x = prn(x̂), так как отобра-
жение p̂rn = prn |Ûn
открыто (см. выше); кроме того, для
каждого t ∈ R выполняется равенство
fn(Va,b, t) = prn ◦f̂n(V̂a,b, t).
Напомним, что отображение prn |Ûn
взаимно-однозначно,
поэтому
fn(Va,b, t) ∩ Va,b = prn(f̂n(V̂a,b, t)) ∩ prn(V̂a,b) =
= prn(f̂n(V̂a,b, t) ∩ V̂a,b) = ∅
при t /∈ [−T, T ] и точка x является блуждающей точкой
потока (Mn, fn).
82 И.Ю.Власенко, Е.А.Полулях
Из произвольности выбора точки x ∈ Mn \ jn−1(Mn−1)
заключаем, что Mn \ jn−1(Mn−1) ⊆ W (fn), и требование
(2′) выполнено.
Приступим к проверке требования (3′).
Заметим сначала, что если свойство (3′) выполняется в
какой-нибудь точке x ∈ jn−1(Mn−1), то этому свойству удо-
влетворяют и все точки траектории Ofn
(x) ⊆ jn−1(Mn−1).
Действительно, пусть x′ ∈ Ofn
(x). Тогда x′ = fn(x, τ) для
некоторого τ ∈ R. Пусть V ′ ∋ x′ — открытая окрестность
точки x′. Тогда V = fn(V ′,−τ) — открытая окрестность
точки x (напомним, что из определения потока следует,
что отображение fn(·, t) : Mn → Mn является гомеомор-
физмом при каждом t ∈ R). Существует T = T (V ) > 0
такое, что fn(V, t) ∩ V 6= ∅ для всех t > T . Значит,
fn(V ′, t) ∩ V ′ = fn(fn(V, τ), t) ∩ fn(V, τ) =
fn(V, τ + t) ∩ fn(V, τ) = fn(fn(V, t), τ) ∩ fn(V, τ) ⊇
⊇ fn(fn(V, t) ∩ V, τ) 6= ∅
при t > T .
Докажем, что каждая траектория потока (Mn−1, fn−1)
содержит неподвижную точку инволюции Tn−1. Действи-
тельно, пусть x ∈ Mn−1. Из свойства (5′) для потока
(Mn−1, fn−1) вытекает, что Tn−1(x) = fn−1(x, τ) для неко-
торого τ ∈ R. Обозначим x′ = fn−1(x, τ/2). Воспользуемся
свойством (4′) для потока (Mn−1, fn−1), и тогда получим
следующие равенства:
Tn−1(x
′) = Tn−1 ◦ fn−1(x, τ/2) = fn−1(Tn−1(x),−τ/2) =
= fn−1(fn−1(x, τ),−τ/2) = fn−1(x, τ/2) = x′ .
Итак, из свойства (1′) (которое мы уже проверили) и из
сказанного выше следует, что нам достаточно установить
Пример неблуждающего множества... 83
свойство (3′) только для тех точек из jn−1(Mn−1), которые
являются образами под действием jn−1 неподвижных то-
чек инволюции Tn−1.
Пусть x0 ∈ jn−1(Mn−1), z0 = j−1
n−1(x0) ∈ Mn−1 и пусть
Tn−1(z0) = z0. Тогда
pr−1
n (x0) = {(Tn−1(z0), 0), (z0, 1)} =
= {(z0, 0), (z0, 1)} ⊆ Mn−1 × I .
Чтобы проверить справедливость свойства (3′) в точке
x0, нам достаточно доказать, что для каждой окрестности
W множества pr−1
n (x0) в Mn−1 × I существует T = T (W )
такое, что f̂n(W, t) ∩ W 6= ∅ для всех t > T . Действитель-
но, если мы это установим, то отсюда будет вытекать, что
для любой окрестности V точки x0 ∈ Mn найдется T > 0
такое, что pr−1
n (V ) ∩ f̂n(pr−1
n (V ), t) 6= ∅ для любого t > T .
Следовательно (см. соотношения (80) и (81)),
fn(V, t) ∩ V = fn(prn(pr−1
n (V )), t) ∩ V =
= prn ◦f̂n(pr−1
n (V ), t) ∩ prn(pr−1
n (V )) ⊇
⊇ prn
[
f̂n(pr−1
n (V ), t) ∩ pr−1
n (V )
]
6= ∅
для всех t > T .
Докажем, что для множества pr−1
n (x0) в Mn−1×I выпол-
няется свойство (3′). Воспользуемся следующей леммой.
Лемма 3.1. Пусть (x, y) ∈ Mn−1 × (0, 1). Тогда за время
(83) τ = 2 tg(π(1/2 − y))
точка (x, y) сместится под действием потока f̂n в точку
(x, 1 − y), то есть
(84) f̂n((x, y), τ) = (x, 1 − y) .
84 И.Ю.Власенко, Е.А.Полулях
Доказательство. Как показывает формула (78), соотно-
шение (84) справедливо, если одновременно выполняются
два следующих равенства:
h(y, τ) = 1 − y ,(85)
τ∫
0
(1 − 2h(y, s))ds = 0 .(86)
Простая непосредственная проверка показывает, что фор-
мула (83) дает решение уравнения
1
2
+ 1
π
arctg(τ + tg(π(y − 1
2
))) = 1 − y ,
которое эквивалентно уравнению (85), так как по условию
леммы y ∈ (0, 1).
Покажем, что полученное решение удовлетворяет равен-
ству (86).
Сначала заметим, что согласно равенству (77)
1 − y = h(y, τ) = 1 − h(1 − y,−τ) ,
поэтому h(1 − y,−τ) = y. Далее,
h(y, τ − s) = 1 − h(1 − y,−τ + s) =
= 1 − h(h(1 − y,−τ), s) = 1 − h(y, s)
для каждого s ∈ R. Значит
τ∫
τ/2
(1 − 2h(y, s))ds =
τ∫
τ/2
(1 − 2 + 2h(y, τ − s))ds =
= −
τ∫
τ/2
(1 − 2h(y, τ − s))ds =
= −
τ∫
τ/2
(1 − 2h(y, u))d(τ − u) = −
τ/2∫
0
(1 − 2h(y, u))du .
Здесь осуществлена замена параметра u = τ − s.
Пример неблуждающего множества... 85
Окончательно,
τ∫
0
(1 − 2h(y, s))ds =
=
τ/2∫
0
(1 − 2h(y, s))ds +
τ∫
τ/2
(1 − 2h(y, s))ds =
=
τ/2∫
0
(1 − 2h(y, s))ds−
τ/2∫
0
(1 − 2h(y, u))du = 0 .
Лемма полностью доказана. �
Итак, пусть W — открытая окрестность множества
pr−1
n (x0) = {(z0, 0), (z0, 1)}
в пространстве Mn−1 × I.
Так как произведения открытых множеств составляют
базу топологии пространства-произведения, то найдутся
такие δ > 0 и открытое V ⊆ Mn−1, что
V × ([0, δ) ∪ (1 − δ, 1]) ⊆ W.
Для нас здесь важно то, что
{z0} × ((0, δ) ∪ (1 − δ, 1)) ⊆ W .
Далее мы будем считать, что δ < 1/2.
Рассмотрим функцию
ξ : R → I ,
ξ(t) = 1
2
− 1
π
arctg t
2
, t ∈ R .(87)
Функция ξ непрерывна, монотонно убывает и ξ(t) → +0
при t → +∞.
86 И.Ю.Власенко, Е.А.Полулях
Легко видеть, что эта функция подобрана так (см. лем-
му 3.1 выше), чтобы для каждого t ∈ R выполнялось ра-
венство
f̂n((z, ξ(t)), t) = (z, 1 − ξ(t)) , z ∈ Mn−1 .
Пусть T = 2 tg(π(1/2 − δ)). Тогда ξ(T ) = δ. Так как
функция ξ монотонно убывает, то для каждого t > T вы-
полняется неравенство ξ(t) ∈ (0, δ). Следовательно,
f̂n((z0, ξ(t)), t) = (z0, 1 − ξ(t)) ∈ {z0} × (1 − δ, 1) ⊆ W ,
и f̂n(W, t) ∩ W 6= ∅.
В силу произвольности выбора окрестности W , свойство
(3′) выполняется в точке x0.
Таким образом, доказано, что поток (Mn, fn) удовлетво-
ряет свойству (3′).
Пусть
f̂−
n : Mn−1 × I × R → Mn−1 × I ,
f̂−
n (z, y, t) = f̂n(z, y,−t) , (z, y, t) ∈ Mn−1 × I × R .
Перед тем, как доказывать, что свойство (4′) выполнено,
проверим равенство
T̂n ◦ f̂n = f̂−
n ◦ (T̂n × IdR) .
Действительно, производя замену параметра u = −s, по-
лучаем
−t∫
0
(1 − 2h(1 − y, s))ds =
−t∫
0
(1 − 2h(1 − y,−u))d(−u) =
= −
t∫
0
(1 − 2h(1 − y,−u))du = −
t∫
0
(1 − 2 + 2h(y, u))du =
=
t∫
0
(1 − 2h(y, u))du
Пример неблуждающего множества... 87
для всех y ∈ I и t ∈ R. Это следует из равенства (77).
Пусть теперь z ∈ Mn−1, y ∈ I, t ∈ R. Тогда
T̂n ◦ f̂n(z, y, t) = T̂n
(
fn−1
(
z,
t∫
0
(1 − 2h(y, s))ds
)
, h(y, t)
)
=
=
(
fn−1
(
z,
t∫
0
(1 − 2h(y, s))ds
)
, 1 − h(y, t)
)
=
=
(
fn−1
(
z,
−t∫
0
(1 − 2h(1 − y, s))ds
)
, h(1 − y,−t)
)
=
= f̂n(z, 1 − y,−t) = f̂−
n (z, 1 − y, t) =
= f̂−
n ◦ (T̂n × IdR)(z, y, t) .
Пусть, наконец, x ∈ Mn и t ∈ R. Используя коммутатив-
ную диаграмму (80) и следующее за ней утверждение 3.2,
получим цепочку равенств
Tn ◦ fn(x, t) = Tn ◦ prn ◦f̂n(pr−1
n (x), t)
= prn ◦ T̂n ◦ f̂n(pr−1
n (x), t)
= prn ◦ f̂−
n ◦ (T̂n × IdR)(pr−1
n (x), t)
= prn ◦ f̂n(T̂n(pr−1
n (x)),−t)
= fn ◦ (prn × IdR)(T̂n(pr−1
n (x)),−t)
= fn(prn ◦T̂n(pr−1
n (x)),−t)
= fn(Tn(x),−t)
= f−
n ◦ (Tn × IdR)(x, t).
Из произвольности выбора точки (x, t) ∈ Mn × R заклю-
чаем, что свойство (4′) выполнено.
Приступим к проверке свойства (5′) для потока (Mn, fn).
88 И.Ю.Власенко, Е.А.Полулях
Пусть сначала x ∈ jn−1(Mn−1). Из свойства (1′) заклю-
чаем, что
Ofn
(x) = jn−1
(
Ofn−1
(j−1
n−1(x))
)
.
Используем коммутативную диаграмму 75 и тот факт,
что свойство (5′) справедливо для потока (Mn−1, fn−1), и
получаем цепочку равенств
Tn(Ofn
(x)) = Tn ◦ jn−1(Ofn−1
(j−1
n−1(x))) =
= jn−1 ◦ Tn−1(Ofn−1
(j−1
n−1(x))) =
= jn−1(Ofn−1
(j−1
n−1(x))) = Ofn
(x) .
Пусть теперь x ∈ Mn \ jn−1(Mn−1). Тогда pr−1
n (x) = (z, y)
для некоторых z ∈ Mn−1 и y ∈ (0, 1). Как следует из свой-
ства (4′), которое мы уже проверили, потоки (Mn, fn) и
(Mn, f
−
n ) топологически сопряжены посредством инволю-
ции Tn. Эти потоки имеют одинаковые траектории, поэто-
му инволюция Tn отображает траектории потока fn на це-
лые траектории этого же потока. Таким образом, для за-
вершения доказательства нам осталось только проверить,
что Tn(x) ∈ Ofn
(x).
Из леммы 3.1 вытекает, что
(z, 1 − y) = T̂n(z, y) ∈ Of̂n
(z, y) .
Однако из формул (80) и (81) следует, что поток (Mn, fn)
является фактор-системой потока (Mn−1 × I, f̂n), поэтому
Ofn
(x) = Ofn
(prn(z, y)) = prn
(
Of̂n
(z, y)
)
.
И значит,
Tn(x) = prn ◦T̂n(pr−1
n (x)) = prn ◦T̂n(z, y) =
= prn(z, 1 − y) ∈ prn(Of̂n
(z, y)) = Ofn
(x) .
Пример неблуждающего множества... 89
Таким образом, полностью доказана справедливость свой-
ства (5′) для потока (Mn, fn).
3.2.4. Поток f пространства M . Далее будем рассмат-
ривать пространство M как объединение подпространств
Mn, n ∈ N. В частности, в последующих выкладках будем
опускать отображения вложения jn, n ∈ N.
Пусть {fn |n ∈ N} — последовательность потоков, по-
строенная в предыдущем подразделе. Из свойства (1′) (см.
начало раздела 3.2) следует, что отображение
f = lim
−→
fn : M × R → M × R ,
f(x) = fn(x) , если x ∈ Mn ,
определено корректно. Непрерывность отображений f и
f−1 следует непосредственно из их определения. И так как
все отображения fn являются потоками, то и f — поток.
Итак, мы построили поток f пространства M .
Найдем теперь множество неблуждающих точек дина-
мической системы (M, f).
Пусть x ∈ Mn. Тогда x ∈ Ω(fn+1) согласно условию (3′′).
Следовательно, x ∈ Ω(f) (см. утверждение 2.1). Так как по
определению для любого x ∈ M существует n ∈ N такое,
что x ∈ Mn, то M = Ω(f).
Подсчитаем теперь множество рекуррентных точек ди-
намической системы (M, f).
Пусть x ∈ Mn. По построению Mn — замкнутое ин-
вариантное подмножество динамической системы (M, f),
поэтомуOf(x) = Ofn
(x) ⊆ Mn, и точка x является α-рекур-
рентной (ω-рекуррентной) точкой динамической системы
(M, f) тогда и только тогда, когда она лежит в множе-
стве α-рекуррентных (ω-рекуррентных) точек динамиче-
ской системы (Mn, fn) = (Mn, f |Mn
).
90 И.Ю.Власенко, Е.А.Полулях
Из свойства (2′) теперь следует, что если x ∈ Rec(f), то
x = a.
Итак построен пример динамической системы (M, f) на
бесконечномерном неполном пространстве M . Она удовле-
творяет одновременно следующим свойствам:
(i) M = Ω(f);
(ii) Rec(f) = Per(f) = {a}.
Пример 3.1. Выбрасывая из пространства M неподвиж-
ную точку a потока (M, f), получим новое бесконечно-
мерное неполное пространство M ′ и поток (M ′, f ′) на
нем, у которого все траектории неблуждающие, но мно-
жество предельных, а тем более рекуррентных точек пу-
сто.
Получаем искомый пример.
3.3. Построение каскада F на пространстве M . По-
строим теперь пример 3.1 для динамической системы с
дискретным временем на M (каскада).
В качестве искомого примера можно было бы взять отоб-
ражение последования F = f( · , 1) : M → M потока f
из предыдущего примера. Однако мы слегка усложним
этот пример, чтобы он дополнительно обладал свойством,
невозможным для потоков, именно, чтобы последователь-
ность каскадов имела итерационно неустойчивое неблуж-
дающее множество.
Начнем построение.
3.3.1. Последовательность {Fn |n ∈ N}. Наша цель по-
строить последовательность автоморфизмов
Fn : Mn → Mn , n ∈ N ,
Пример неблуждающего множества... 91
которые бы удовлетворяли некоторому дискретному ана-
логу требований (1′)–(5′) для последовательности потоков
(см. начало раздела 3.2).
Таким образом, по индукции построено семейство пото-
ков (Mn, fn), n ∈ N, которые удовлетворяют требованиям
(1′)–(5′).
Возьмем единичные сдвиги вдоль траекторий этих по-
токов
Fn = fn( · , 1) : Mn → Mn , n ∈ N .
Так как все fn — непрерывные потоки, то все отобра-
жения Fn являются гомеоморфизмами (F−1
n = fn(· ,−1),
n ∈ N).
Убедимся, что для всех n ∈ N отображения Fn удовле-
творяют требованиям
(1◦) jn−1 ◦ Fn−1 = Fn ◦ jn−1, если n > 1;
(2◦) существует точка a ∈ M1, такая что
{an} = Rec(Fn) = Fix(Fn), an = jn−1 ◦ . . . ◦ j1(a);
(3◦) jn−1(Mn−1) ⊆ Ω(Fn), если n > 1.
Доказательство.
(1◦) Пусть n > 1 и x ∈ Mn−1. Тогда из свойства (1′)
получаем
jn−1 ◦ Fn−1(x) = jn−1 ◦ fn−1(x, 1) =
= fn(jn−1(x), 1) = Fn ◦ jn−1(x) ,
и так как x — произвольная точка, то свойство (1◦) вы-
полнено.
(2◦) Заметим, что для любого x ∈ Mn имеет место нера-
венство
OFn
(x) =
⋃
k∈Z
fn(x, k) ⊆ Ofn
(x) ,
92 И.Ю.Власенко, Е.А.Полулях
поэтому αFn
(x) ⊆ αfn
(x) и ωFn
(x) ⊆ ωfn
(x). Отсюда немед-
ленно следует, что
Rec(Fn) ⊆ Rec(fn) .
С другой стороны, так как Mn — компактное хаусдор-
фово топологическое пространство, то по теореме Биркго-
фа динамическая система (Mn, Fn) имеет по крайней ме-
ре одно непустое минимальное множество. Следовательно,
Rec(Fn) 6= ∅.
Так как согласно свойству (2′) мощность Rec(fn) равна
единице, то
Rec(Fn) = Rec(fn) = {an} = {jn−1 ◦ . . . ◦ j1(a)} .
Кроме того, очевидно, что
{an} = Fix(fn) ⊆ Fix(Fn) ⊆ Rec(Fn),
поэтому Fix(Fn) = {an}.
(3◦) Пусть n > 1 и x ∈ jn−1(Mn−1). Пусть U ⊆ Mn —
открытая окрестность точки x. Согласно свойству (3′) су-
ществует T > 0 такое, что fn(U, t)∩U 6= ∅ для всех t > T .
Найдем N > T , N ∈ N. Тогда
F k
n (U) ∩ U = fn(U, k) ∩ U 6= ∅
для каждого k > N и x ∈ Ω(Fn), так как окрестность
U ∋ x выбрана произвольно.
Значит, jn−1(Mn−1) ⊆ Ω(Fn). �
3.3.2. Автоморфизм F пространства M . Будем рассмат-
ривать пространство M как объединение подпространств
Mn, n ∈ N. В частности, в последующих выкладках будем
опускать отображения вложения jn, n ∈ N.
Пусть {Fn |n ∈ N} — последовательность автоморфиз-
мов, построенная в предыдущем подразделе. Из свойства
Пример неблуждающего множества... 93
(1◦) (см. начало раздела 3.3.1) следует, что отображение
F = lim
−→
Fn : M → M ,
F (x) = Fn(x) , если x ∈ Mn ,
определено корректно. И так как все отображения Fn об-
ратимы, то и F — обратимое отображение . Обратное отоб-
ражение задается формулой
F−1 = lim
−→
F−1
n : M → M ,
F−1(x) = F−1
n (x) , если x ∈ Mn .
Непрерывность отображений F и F−1 следует непосред-
ственно из их определения.
Итак, мы построили автоморфизм F пространства M .
Найдем теперь множество неблуждающих точек дина-
мической системы (M, F ).
Пусть x ∈ Mn. Тогда x ∈ Ω(Fn+1) согласно условию (3◦).
Следовательно, x ∈ Ω(F ) (см. утверждение 2.1). Так как
по определению для любого x ∈ M существует n ∈ N та-
кое, что x ∈ Mn, то M = Ω(F ).
Подсчитаем теперь множество рекуррентных точек ди-
намической системы (M, F ).
Пусть x ∈ Mn. По построению Mn — замкнутое инвари-
антное подмножество динамической системы (M, F ), по-
этому OF (x) = OFn
(x) ⊆ Mn, и точка x является α-рекур-
рентной (ω-рекуррентной) точкой динамической системы
(M, F ) тогда и только тогда, когда она лежит в множе-
стве α-рекуррентных (ω-рекуррентных) точек динамиче-
ской системы (Mn, Fn) = (Mn, F |Mn
).
Из свойства (2◦) теперь следует, что если x ∈ Rec(F ), то
x = a.
94 И.Ю.Власенко, Е.А.Полулях
Итак построен пример динамической системы (M, F ) на
бесконечномерном неполном пространстве M . Она удовле-
творяет одновременно следующим свойствам:
(i) M = Ω(F );
(ii) Rec(F ) = Per(F ) = {pt}.
4. Дополнения.
4.1. Одно полезное утверждение о произведении
проекций.
Утверждение 4.1. Пусть X и Y — хаусдорфовы прост-
ранства, f — разбиение пространства X на компактные
подмножества, i — разбиение пространства Y на одно-
точечные подмножества.
Пусть проекция prX : X → X/f является замкнутым
отображением.
Пусть, кроме того, разбиение f̃ пространства X × Y
является произведением разбиений f и i.
Тогда отображение
π = prX ×IdY : X × Y → X/f × Y
факторно, и следовательно, пространства (X × Y )/̃f и
X/f × Y канонически гомеоморфны.
Для доказательства этого предложения нам будет ну-
жен ряд приведенных ниже определений и результатов
(см. [5]).
Определение 4.1 (см. [6]). Пусть f : X → Y — непре-
рывное отображение топологического пространства X в
пространство Y . Если его взаимно-однозначный фактор
fact f : X/ zer f → Y
Пример неблуждающего множества... 95
является гомеоморфизмом, то f называется факторным
(zer f — разбиение пространства X, элементами которо-
го являются прообразы точек пространства Y под дей-
ствием отображения f).
Равносильно можно сказать, что отображение f фак-
торно, если f(X) = Y и для произвольного подмножества
B ⊆ Y его прообраз f−1(B) открыт в X тогда и только
тогда, когда само множество B открыто в Y .
Определение 4.2. Разбиение f топологического прост-
ранства X называется непрерывным, если и только ес-
ли для каждого F из f и любого открытого множества
U , содержащего F , существует такое открытое множе-
ство V , что F ⊆ V ⊆ U и V — объединение некоторой
совокупности элементов семейства f.
Теорема 4.1 (Александров, Хопф). Разбиение f тополо-
гического пространства X непрерывно тогда и только
тогда, когда проектирование pr : X → X/f замкнуто.
Теорема 4.2 (Уоллес). Пусть X и Y — топологические
пространства, A и B — компактные подмножества из
X и Y соответственно. Пусть, далее, W — произвольная
окрестность множества A × B в произведении X × Y .
Тогда найдутся такие окрестности U и V множеств
A и B соответственно, что U × V ⊆ W .
Доказательство предложения 4.1. Пусть
B ⊆ X/f × Y, B′ = π−1(B) ⊆ X × Y.
Если B открыто, то и B′ открыто, так как отображение
π, очевидно, непрерывно.
Обратно, предположим, что множество B′ открыто в
X × Y .
96 И.Ю.Власенко, Е.А.Полулях
Пусть p̃r1 : X/f × Y → X/f — проекция на первый со-
множитель. Очевидно,
B =
⋃
y∈Y
(B ∩ (X/f × {y})) =
=
⋃
y∈Y
[
p̃r1(B ∩ (X/f × {y})) × {y}
]
=
⋃
y∈Y
By × {y} .
Мы здесь обозначили By = p̃r1(B ∩ (X/f × {y})) ⊆ X/f,
y ∈ Y .
Пусть еще pr1 : X × Y → X — проекция на первый
сомножитель. Аналогично предыдущему, обозначим
B′
y = pr1(B
′ ∩ (X × {y})) ⊆ X, y ∈ Y.
Тогда
B′ =
⋃
y∈Y
B′
y × {y} .
Заметим, что
B′ = π−1(B) = π−1
(
⋃
y∈Y
By × {y}
)
=
=
⋃
y∈Y
π−1(By × {y}) =
⋃
y∈Y
pr−1
X (By) × {y} ,
поэтому B′
y = pr−1
X (By) для каждого y ∈ Y . Заметим,
кроме того, что для любого y ∈ Y множество B′
y откры-
то в X, так как B′ открыто по условию и отображение
iny : X → X × Y , iny(x) = (x, y), x ∈ X, является вложе-
нием при любом фиксированном y ∈ Y .
Пусть (x0, y0) ∈ B ⊆ X/f × Y . Тогда для компактных
подмножеств pr−1
X (x0) ⊆ X и {y0} ∈ Y найдутся согласно
теореме 4.2 открытые окрестности U ⊆ X и V ⊆ Y , для
Пример неблуждающего множества... 97
которых
pr−1
X (x0) × {y0} ⊆ U × V ⊆ B′.
Далее, по теореме 4.1 для элемента pr−1
X (x0) разбиения f и
открытого множества U найдется насыщенное (являюще-
еся объединением некоторого семейства элементов разби-
ения f) открытое множество W ′ такое, что
pr−1
X (x0) ⊆ W ′ ⊆ U.
Очевидно, W ′ = pr−1
X (W ) для некоторого подмножества
W ⊆ X/f, содержащего точку x0. По определению фактор-
топологии, так как множество W ′ открыто в X, то и W
открыто в X/f.
Легко видеть, что
W ′ × V = π−1(W × V ),
а множество W ×V является открытой окрестностью точ-
ки (x0, y0). Кроме того, по построению W ′ × V ⊆ B′, сле-
довательно W × V ⊆ B и точка (x0, y0) — внутренняя для
B.
Из произвольности выбора точки (x0, y0) ∈ B следует,
что B открыто в X/f × Y .
Теперь из произвольности выбора множества
B ⊆ X/f × Y
и его прообраза B′ = π−1(B) следует, что отображение π
факторно. �
Замечание 4.1. Легко видеть, что если пространство
X компактно и хаусдорфово, а фактор-пространство X/f
хаусдорфово, то все элементы разбиения f компактны а
отображение проекции prX : X → X/f замкнуто.
Таким образом, в этом случае для любого хаусдорфового
пространства Y выполнены условия предложения 4.1.
98 И.Ю.Власенко, Е.А.Полулях
4.2. Косое произведение потоков относительно
функции на декартовом произведении многообра-
зий. Пусть X и Y — топологические пространства,
f : X × R → X и h : Y × R → Y
— потоки на X и Y соответственно.
Наша цель — построить “косое произведение”
f̂ : X × Y × R → X × Y
потоков f и h, которое удовлетворяло бы таким свойствам.
Пусть prX : X ×Y → X и prY : X ×Y → Y — проекции.
Мы хотим,
(0) чтобы отображение f̂ задавало поток на X × Y ;
(1) чтобы движение точки (x, y) ∈ X×Y под действием
f̂ проектировалось в движение точки y = prY (x, y)
под действием потока h, т. е. чтобы выполнялось
равенство
prY ◦f̂ = h ◦ (prY ×IdR) : X × Y × R → Y ;
(2) чтобы траектории потока f̂ проектировались в тра-
ектории потока f , т. е. чтобы выполнялось включе-
ние
prX(Of̂(x, y)) ⊆ Of(prX(x, y)) = Of(x);
(3) чтобы ϕ не зависела от выбора x, т. е. чтобы для
любых x1, x2 ∈ X, y ∈ Y и t ∈ R выполнялось
равенство
ϕ(x1, y, t) = ϕ(x2, y, t),
где через ϕ(x, y, t) обозначена такая величина, что
prX ◦f̂(x, y, t) = f(x, ϕ(x, y, t))
Пример неблуждающего множества... 99
(эта величина корректно определена в силу преды-
дущего требования).
Приведем наводящие соображения, которые позволяют
нам “угадать” поток f̂ .
Предположим, что X и Y — “хорошие” пространства
(например, конечномерные многообразия) и потоки f и h
— гладкие. Тогда определены векторные поля {~u(x)}x∈X
и {~v(y)}y∈Y на соответствующих касательных простран-
ствах такие, что траектории потоков f и h являются ин-
тегральными для этих векторных полей.
Допустим, определён поток f̂ на пространстве X × Y ,
удовлетворяющий требованиям (1)–(3) и найдено соответ-
ствующее ему поле скоростей {~w(x, y)}(x,y)∈X×Y .
В силу требований (1) и (2) в каждой точке (x, y) ∈
X × Y должны выполняться равенства
~w(x, y) = α(x, y)~u(x) + ~v(y)
(коэффициент при ~v всегда равен единице). Из требования
(3) следует, что коэффициент α не зависит от x, и значит,
(88) α : Y → R
есть некоторая функция от y, и
(89) ~w(x, y) = α(y)~u(x) + ~v(y) .
Пусть мы стартуем из точки (x0, y0) и хотим найти в ка-
кой точке траектории Of(x0) окажется в момент времени
t проекция образа нашей начальной точки prx ◦f̂(x0, y0, t).
Если бы функция α была константой, можно было бы
написать
prX ◦f̂(x0, y0, t) = f(x0, αt) = f
x0,
t∫
0
α · 1 ds
.
100 И.Ю.Власенко, Е.А.Полулях
Однако в произвольный момент времени s параметр α ра-
вен α(y(s)) = α ◦ h(y0, s), поэтому
prX ◦f̂(x0, y0, t) = f
x0,
t∫
0
α ◦ h(y0, s) ds
.
Пусть теперь поток f̂ не задан. Фиксируем “хорошую”
интегрируемую функцию (88) и построим векторное по-
ле (89), интегральные траектории которого задает поток
(90)
f̂ : X × Y × R → X × Y ,
f̂(x, y, t) =
(
f
(
x,
t∫
0
α ◦ h(y, s) ds
)
, h(y, t)
)
.
Лемма 4.1. Пусть X и Y — хаусдорфовы топологические
пространства, f и h — непрерывные потоки на X и Y ,
соответственно.
Пусть α : Y → R — непрерывная функция.
Тогда формула (90) задает непрерывный поток f̂ на
X × Y , удовлетворяющий требованиям (1)–(3).
Доказательство. Нужно показать, что отображение f̂ за-
дает действие аддитивной группы вещественных чисел на
пространстве X × Y . Действительно, во-первых,
f̂(x, y, 0) = (f(x, 0), h(y, 0)) = (x, y) ,
Пример неблуждающего множества... 101
и во-вторых
f̂(f̂(x, y, t), τ) = f̂
(
f
(
x,
t∫
0
α ◦ h(y, s) ds
)
, h(y, t) , τ
)
=
=
(
f
(
f
(
x,
t∫
0
α ◦ h(y, s) ds
)
,
τ∫
0
α ◦ h(h(y, t), ρ) dρ
)
, h(h(y, t), τ)
)
=
=
(
f
(
x,
t∫
0
α ◦ h(y, s) ds +
τ∫
0
α ◦ h(y, t + ρ) dρ
)
, h(y, t + τ)
)
=
=
(
f
(
x,
t∫
0
α ◦ h(y, s) ds +
t+τ∫
t
α ◦ h(y, s) ds
)
, h(y, t + τ)
)
=
=
(
f
(
x,
t+τ∫
0
α ◦ h(y, s) ds
)
, h(y, t + τ)
)
=
= f̂(x, y, t + τ)
для любых x ∈ X, y ∈ Y и t, τ ∈ R.
В этой цепочке равенств мы воспользовались следующими
обстоятельствами:
• f и h — потоки, т. е. для всех
x ∈ X, y ∈ Y, t, τ ∈ R
выполняются равенства
f(x, t + τ) = f(f(x, t), τ) и h(y, t + τ) = h(h(y, t), τ).
• Функция α ◦ h(y, ·) : R → R — непрерывна для любого
фиксированного y ∈ Y , так как является композицией
непрерывных отображений (напомним, что отображе-
ние α непрерывно по условию). Следовательно, инте-
грал
t∫
0
α ◦ h(y, s) ds
существует при любых y ∈ Y и t ∈ R.
102 И.Ю.Власенко, Е.А.Полулях
• После замены s = t + ρ получаем
∫ τ
0
α◦h(y, t+ρ) dρ =
∫ τ
0
α◦h(y, t+ρ) d(t+ρ) =
∫ t+τ
t
α◦h(y, s) ds.
Заметим, что справедливость требований (1)–(3) вытекает
непосредственно из формулы (90).
При каждом фиксированном t ∈ R отображение
f̂t = f̂(·, ·, t) : X × Y → X × Y
является биекцией. Действительно, как показано выше, суще-
ствует обратное отображение (f̂t)
−1 = f̂−t. Таким образом, для
завершения доказательства нам остается проверить непрерыв-
ность отображения f̂ .
Предположим сначала, что отображение
(91)
ϕ : Y × R → R ,
ϕ : (y, t) 7→
t∫
0
α ◦ h(y, s) ds , (y, t) ∈ Y × R ,
непрерывно.
Пусть Q ⊆ X×Y — открытое множество, содержащее точку
f̂(x, y, t). Найдем открытые множества QX ⊆ X и QY ⊆ Y
такие, что
f̂(x, y, t) = (f(x, ϕ(y, t)), h(y, t)) ∈ QX × QY ⊆ Q.
Так как отображение h непрерывно, найдутся открытые мно-
жества V1 ⊆ Y и W1 ⊆ R такие, что
(y, t) ∈ V1 × W1 ⊆ Y × R и h(V1 × W1) ⊆ QY .
Аналогично, найдутся открытые множества U ⊆ X и W2 ⊆ R,
для которых
(x, ϕ(y, t)) ∈ U × W2 ⊆ X × R и f(U × W2) ⊆ QX .
Наконец, найдем открытые множества V2 ⊆ Y и W3 ⊆ R такие,
что
(y, t) ∈ V2 × W3 и ϕ(V2 × W3) ⊆ W2.
Пример неблуждающего множества... 103
Обозначим V = V1 ∩ V2 ⊆ Y и W = W1 ∩ W3 ⊆ R. Заметим,
что V и W — непустые открытые множества, так как y ∈ V и
t ∈ W по построению. Имеют место соотношения
f̂(U × V × W ) = f(U,ϕ(V × W )) × h(V × W ) ⊆
⊆ f(U,ϕ(V2 × W3)) × h(V1 × W1) ⊆
⊆ f(U,W2) × QY ⊆ QX × QY ⊆ Q .
Так как точка (x, y, t) ∈ X × Y × R и открытое множество
Q ∋ f̂(x, y, t) произвольны, то отображение f̂ непрерывно.
Следовательно, из непрерывности отображения (91) вытека-
ет непрерывность f̂ .
Докажем непрерывность отображения ϕ.
Пусть (y, t) ∈ Y × R. Фиксируем ε > 0.
Заметим, что
|ϕ(z, τ) − ϕ(y, t)| =
∣∣∣∣
τ∫
0
α ◦ h(z, s) ds −
t∫
0
α ◦ h(y, s) ds
∣∣∣∣ ≤
≤
∣∣∣∣
t∫
0
(α ◦ h(z, s) − α ◦ h(y, s)) ds
∣∣∣∣ +
∣∣∣∣
τ∫
t
α ◦ h(z, s) ds
∣∣∣∣ =
= |ϕ(z, t) − ϕ(y, t)| +
∣∣∣∣
τ∫
t
α ◦ h(z, s) ds
∣∣∣∣ .
Функция α ◦ h : Y × R → R непрерывна, и значит найдутся
такие открытое множество V ′ ⊆ Y и δ′ > 0, что y ∈ V ′ и
α ◦ h(V ′ × (t − δ′, t + δ′)) ⊆ (α ◦ h(y, t) − ε/2, α ◦ h(y, t) + ε/2) .
Обозначим
M = max{|α ◦ h(y, t) − ε/2|, |α ◦ h(y, t) + ε/2|}.
Ясно, что M > 0. Пусть, кроме того,
δ = min{δ′, ε/(2M)}.
104 И.Ю.Власенко, Е.А.Полулях
Тогда для любого (z, τ) ∈ V ′ × (t − δ, t + δ) имеем
∣∣∣∣
τ∫
t
α ◦ h(z, s) ds
∣∣∣∣ ≤
∣∣∣∣
τ∫
t
|α ◦ h(z, s)| ds
∣∣∣∣ =
=
∣∣∣∣
τ∫
t
M ds
∣∣∣∣ ≤ |τ − t|M ≤ δM ≤ ε/2 .
Таким образом, при t = 0 получим, что при любом
(z, τ) ∈ V ′ × (−δ, δ)
выполняются неравенства
|ϕ(z, τ) − ϕ(y, 0)| ≤ |ϕ(z, 0) − ϕ(y, 0)|+
+
∣∣∣∣
τ∫
0
α ◦ h(z, s) ds
∣∣∣∣ = 0 + ε/2 < ε .
Из произвольности выбора ε следует, что для любого y ∈ Y
функция ϕ непрерывна в точке (y, 0) ∈ Y × R.
Пусть теперь t 6= 0. Снова из непрерывности функции α ◦
h : Y × R → R следует, что для любого s ∈ [0, t] существуют
открытое множество Vs ⊆ Y и δs > 0 такие, что y ∈ Vs и
α◦h(Vs×(s−δs, s+δs)) ⊆ (α◦h(y, s)−ε/(4t), α◦h(y, s)+ε/(4t)) .
Обозначим Ws = (s − δs, s + δs) ⊆ R, s ∈ [0, t].
Множество {y}×[0, t] ⊆ Y ×R является компактом как образ
компакта [0, t] в хаусдорфовом пространстве Y ×R (напомним,
что пространство Y хаусдорфово по условию). Значит, найдет-
ся конечный набор значений s1, . . . , sn такой, что
[0, t] =
n⋃
i=1
Wsi
.
Далее для простоты будем обозначать Wi = Wsi
и Vi = Vsi
,
i = 1, . . . , n. Положим также
V ′′ =
n⋂
i=1
Vi.
Пример неблуждающего множества... 105
Пусть z ∈ V ′′. Для каждого s ∈ [0, t] найдется i ∈ {1, . . . , n}
такое, что s ∈ Wi. Тогда V ′′ × {s} ⊆ Vi × Wi из чего вытекает
оценка
|α ◦ h(z, s) − α ◦ h(y, s)| ≤
≤ |α ◦ h(z, s) − α ◦ h(y, si)| + |α ◦ h(y, si) − α ◦ h(y, s)| <
< ε/(4t) + ε/(4t) = ε/(2t) .
Таким образом,
|ϕ(z, t) − ϕ(y, t)| ≤
∣∣∣∣
t∫
0
(α ◦ h(z, s) − α ◦ h(y, s)) ds
∣∣∣∣ ≤
≤
∣∣∣∣
t∫
0
|α ◦ h(z, s) − α ◦ h(y, s)| ds
∣∣∣∣ <
∣∣∣∣
t∫
0
ε/(2t) ds
∣∣∣∣ = ε/2 .
Обозначим V = V ′ ∩ V ′′. Открытое множество V не пусто,
так как y ∈ V . Тогда для любого (z, τ) ∈ V × (t − δ, t + δ)
получим оценку
|ϕ(z, τ) − ϕ(y, t)| ≤ |ϕ(z, t) − ϕ(y, t)| +
∣∣∣∣
τ∫
t
α ◦ h(z, s) ds
∣∣∣∣ <
< ε/2 + ε/2 = ε .
Следовательно,
ϕ(V × (t − δ, t + δ)) ⊆ (ϕ(y, t) − ε, ϕ(y, t) + ε) .
Так как ε > 0 может быть выбрано произвольно, то отображе-
ние ϕ непрерывно в каждой точке (y, t) ∈ Y × R. �
Замечание 4.2. Смысл параметра α(y, t) можно опи-
сать словами: при малых t ∈ R отображение
prX ◦f̂(·, y, ·) : X × R → X
ведет себя так, как поток fα, fα(x, t) = f(x, αt), α =
α(y, 0).
106
Список литературы
[1] Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую тополо-
гию. — М.: Наука, 1977.
[2] Алексеев В. М. Символическая динамика. — Киев.: Издание Институ-
та математики АН УССР, 1976. — С. 212.
[3] Власенко И. Ю., Максименко С. И., Полулях Е. А. Топологические
методы в изучении групп преобразований многообразий. — Институт
математики НАН Украины. Киев, 2006.
[4] Власенко И. Ю., Полулях Е. А. Об итерационной устойчивости цен-
тра Биркгофа // Препринт 2005.7. — 2005.
[5] Келли Д. Л. Общая топология. — М.: Наука, 1981. — С. 432.
[6] Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии, геометрические
главы. — Москва, Наука, 1977.
[7] Сибирский K. С. Введение в топологическую динамику.— Кишинев,
1970.
[8] Birkhoff G. Dynamical systems // Colloquium Publications. V. 9, AMS,
Providence, RI. — 1927.
[9] Conley C. Isolated invariant sets and the Morse index. — Providence, R.I.:
American Mathematical Society, 1978. — Vol. 38 of CBMS Regional Con-
ference Series in Mathematics. — Pp. iii+89.
[10] Coven E., Nitecki Z. Nonwandering sets of the powers of maps of the inter-
val // Ergodic Theory & Dynamical Systems. — 1981. — Vol. 1. — Pp. 9–31.
[11] Hirsch M. W. Differential topology. — Springer-Verlag, 1976. — Vol. 33.
[12] Kuratowski K. Topology. Vol. I. New edition, revised and augmented.
Translated from the French by J. Jaworowski. — New York: Academic
Press, 1966. — Pp. xx+560.
[13] Kuratowski K., Mostowski A. Set theory. — revised edition. — Amsterdam:
North-Holland Publishing Co., 1976. — Pp. xiv+514. — With an introduc-
tion to descriptive set theory, Translated from the 1966 Polish original,
Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, Vol. 86.
[14] Polulyakh E., Vlasenko I. On iteration stability of the Birkhoff center
against the power 2 // U. M. G. — 2006. — Vol. 58, no. 4.
[15] Vlasenko I., Polulyakh E. On iteration stability of the birkhoff center
against the power 2 // U. M. G. — 2006. — Vol. 58, no. 5. — Pp. 705–707.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-6291 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1815-2910 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T17:42:37Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Власенко, И.Ю. Полулях, Е.А. 2010-02-22T16:28:21Z 2010-02-22T16:28:21Z 2006 Пример неблуждающего множества, не имеющего рекуррентных и предельных точек / И.Ю. Власенко, Е.А. Полулях // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2006. — Т. 3, № 3. — С. 45-106. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1815-2910 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6291 Строятся примеры гладких потоков и каскадов на бесконечномерных многообразиях, таких, что все их точки неблуждающие, но множество их предельных, а тем более рекуррентных точек пусто. Работа выполнена в рамках целевой программы НАН Украины “Современные методы иследования математических моделей в задачах природоведения и общественных науках” НИР № 0107U00233. ru Інститут математики НАН України Геометрія, топологія та їх застосування Пример неблуждающего множества, не имеющего рекуррентных и предельных точек Article published earlier |
| spellingShingle | Пример неблуждающего множества, не имеющего рекуррентных и предельных точек Власенко, И.Ю. Полулях, Е.А. Геометрія, топологія та їх застосування |
| title | Пример неблуждающего множества, не имеющего рекуррентных и предельных точек |
| title_full | Пример неблуждающего множества, не имеющего рекуррентных и предельных точек |
| title_fullStr | Пример неблуждающего множества, не имеющего рекуррентных и предельных точек |
| title_full_unstemmed | Пример неблуждающего множества, не имеющего рекуррентных и предельных точек |
| title_short | Пример неблуждающего множества, не имеющего рекуррентных и предельных точек |
| title_sort | пример неблуждающего множества, не имеющего рекуррентных и предельных точек |
| topic | Геометрія, топологія та їх застосування |
| topic_facet | Геометрія, топологія та їх застосування |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6291 |
| work_keys_str_mv | AT vlasenkoiû primernebluždaûŝegomnožestvaneimeûŝegorekurrentnyhipredelʹnyhtoček AT polulâhea primernebluždaûŝegomnožestvaneimeûŝegorekurrentnyhipredelʹnyhtoček |