Про трикутні унітальні дільники многочленних матриць над факторіальною областю
Встановлено умови існування унiтальних трикутних дiльникiв многочленних матриць над факторіальною областю.
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2009
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6292 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Про трикутні унітальні дільники многочленних матриць над факторіальною областю / В.М. Прокіп // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С.35-46. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-6292 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-62922025-02-23T17:25:13Z Про трикутні унітальні дільники многочленних матриць над факторіальною областю Прокіп, В.М. Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" Встановлено умови існування унiтальних трикутних дiльникiв многочленних матриць над факторіальною областю. Установлены условия существования унитальных треугольных делителей многочленных матриц над факториальной областью. We establish conditions for existence of monic triangular divisors of polynomial matrices over a factorial domain. 2009 Article Про трикутні унітальні дільники многочленних матриць над факторіальною областю / В.М. Прокіп // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С.35-46. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1815-2910 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6292 uk application/pdf Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" |
| spellingShingle |
Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" Прокіп, В.М. Про трикутні унітальні дільники многочленних матриць над факторіальною областю |
| description |
Встановлено умови існування унiтальних трикутних дiльникiв многочленних матриць над факторіальною областю. |
| format |
Article |
| author |
Прокіп, В.М. |
| author_facet |
Прокіп, В.М. |
| author_sort |
Прокіп, В.М. |
| title |
Про трикутні унітальні дільники многочленних матриць над факторіальною областю |
| title_short |
Про трикутні унітальні дільники многочленних матриць над факторіальною областю |
| title_full |
Про трикутні унітальні дільники многочленних матриць над факторіальною областю |
| title_fullStr |
Про трикутні унітальні дільники многочленних матриць над факторіальною областю |
| title_full_unstemmed |
Про трикутні унітальні дільники многочленних матриць над факторіальною областю |
| title_sort |
про трикутні унітальні дільники многочленних матриць над факторіальною областю |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2009 |
| topic_facet |
Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6292 |
| citation_txt |
Про трикутні унітальні дільники многочленних матриць над факторіальною областю / В.М. Прокіп // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С.35-46. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT prokípvm protrikutníunítalʹnídílʹnikimnogočlennihmatricʹnadfaktoríalʹnoûoblastû |
| first_indexed |
2025-11-24T03:35:26Z |
| last_indexed |
2025-11-24T03:35:26Z |
| _version_ |
1849641220362469376 |
| fulltext |
Çáiðíèê ïðàöüIí-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè2009, ò.6, �2, 35-46Â.Ì.ÏðîêiïIíñòèòóò ïðèêëàäíèõ ïðîáëåì ìåõàíiêè i ìàòåìàòèêèÍÀÍ Óêðà¨íè, ì.ËüâiâE-mail: vprokip�mail.ruÏðî òðèêóòíi óíiòàëüíi äiëüíèêèìíîãî÷ëåííèõ ìàòðèöü íàä�àêòîðiàëüíîþ îáëàñòþÂñòàíîâëåíî óìîâè iñíóâàííÿ óíiòàëüíèõ òðèêóòíèõ äiëüíèêiâ ìíîãî-÷ëåííèõ ìàòðèöü íàä �àêòîðiàëüíîþ îáëàñòþ.Óñòàíîâëåíû óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ óíèòàëüíûõ òðåóãîëüíûõ äåëè-òåëåé ìíîãî÷ëåííûõ ìàòðèö íàä �àêòîðèàëüíîé îáëàñòüþ.
We establish conditions for existence of monic triangular divisors of poly-
nomial matrices over a factorial domain.Êëþ÷îâi ñëîâà: moni
divisor, polynomial matrix, fa
torial domainÍåõàé R �àêòîðiàëüíà îáëàñòü ç îäèíèöåþ e, Rn,m i Rn,m[x]ìíîæèíè n × m ìàòðèöü íàä êiëüöåì R òà íàä êiëüöåì ìíî-ãî÷ëåíiâ R[x] âiäïîâiäíî; In � îäèíè÷íà ìàòðèöÿ ïîðÿäêó n.Íàäàëi ÷åðåç LRn òà LRn[x] ïîçíà÷àòèìåìî êiëüöÿ n× n íèæ-íiõ òðèêóòíèõ ìàòðèöü íàä R òà R[x] âiäïîâiäíî, à ïiä çàïè-ñîì (a, b) áóäåìî ðîçóìiòè íàéáiëüøèé ñïiëüíèé äiëüíèê (í.ñ.ä.)íåíóëüîâèõ åëåìåíòiâ a, b ∈ R. äàíié ñòàòòi ðîçãëÿäà¹òüñÿ çàäà÷à ïðî çîáðàæåííÿ íåîñîáëèâî¨ìàòðèöi A(x) ∈ Rn,n[x] ó âèãëÿäi äîáóòêó
A(x) = B(x)C(x), (1)
© Â.Ì.Ïðîêiï, 2009
36 Â.Ì.Ïðîêiïäå
B(x) =
b1(x) 0 . . . . . . 0
b21(x) b2(x) 0 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . .
bn1(x) bn2(x) . . . bn,n−1(x) bn(x)
∈ LRn[x] (2)� íèæíÿ òðèêóòíà óíiòàëüíà ìíîãî÷ëåííà ìàòðèöÿ ñòåïåíÿ r(1 ≤ r ≤ degA(x)), òîáòî bi(x) óíiòàëüíi ìíîãî÷ëåíè ñòåïåíÿ räëÿ âñiõ i = 1, 2, . . . , n i deg bij(x) < deg bi(x) äëÿ âñiõ j < i, j =
1, 2, . . . , n− 1. Íàãàäà¹ìî, ùî ìàòðèöþ B(x) ìîæíà çàïèñàòè óâèãëÿäi B(x) = Inx
r+B1x
r−1+· · ·+Br, äå Bl ∈ LRn äëÿ âñiõ l =
l, 2, . . . , r. Î÷åâèäíî òàêîæ, ùî detB(x) = b1(x)b2(x) · · · bn(x). òàêié ïîñòàíîâöi äàíà çàäà÷à ¹ íàäçâè÷àéíî ñêëàäíîþ âðîçóìiííi âêàçàííÿ íåîáõiäíèõ òà äîñòàòíiõ óìîâ iñíóâàííÿ òà-êî¨ �àêòîðèçàöi¨ (äèâ. [1℄).  öié ñòàòòi âñòàíîâëåíî óìîâè, çàÿêèõ äëÿ íåîñîáëèâî¨ ìàòðèöi A(x) ∈ Rn,n[x] iñíó¹ �àêòîðèçà-öiÿ âèäó (1) ç óìîâîþ (2), ó âèïàäêó, êîëè ìàòðèöi B(x) i C(x)ìàþòü âçà¹ìíî ïðîñòi âèçíà÷íèêè. Êðiì öüîãî âêàçàíî óìîâè,çà ÿêèõ äëÿ íåîñîáëèâî¨ ìàòðèöi A(x) iñíóþòü áëî÷íî-òðèêóòíióíiòàëüíi äiëüíèêè. Âiäçíà÷èìî, ùî äàíà ñòàòòÿ ¹ ïðîäîâæåí-íÿì äîñëiäæåíü, ÿêi ðîçïî÷àòi â ðîáîòàõ [2℄, [3℄.Ìàòðèöi A(x) ∈ Rn,n[x] ïîñòàâèìî ó âiäïîâiäíiñòü ìàòðèöi
A1(x) =
[
a11(x) a12(x) . . . a1n(x)
]
∈ R1,n[x],
Ak(x) =
[
Ak−1(x)
ak1(x) ak2(x) . . . akn(x)
]
∈ Rk,n[x],äå 1 < k ≤ n. Òåïåð ÷åðåç ai(x) ïîçíà÷èìî í.ñ.ä. ìiíîðiâ i−ãîïîðÿäêó ìàòðèöü Ai(x) äëÿ âñiõ i = 1, 2, . . . , n. Î÷åâèäíî, ùî
An(x) = A(x) i an(x) = detA(x).Íåõàé äëÿ íåîñîáëèâî¨ ìàòðèöi A(x) ∈ Rn,n[x] iñíó¹ �àêòî-ðèçàöiÿ (1) ç óìîâîþ (2). Íåâàæêî ïåðåêîíàòèñü â òîìó, ùî
{
a1(x) = b1(x)c1(x),
ak(x) = ak−1(x)bk(x)ck(x), k = 2, 3, . . . , n;
(3)
Ïðî òðèêóòíi óíiòàëüíi äiëüíèêè ìíîãî÷ëåííèõ ìàòðèöü 37äå bk(x) = xr + bk1x
r−1 + · · · + bkr ∈ R[x] i 1 ≤ r ≤ degA(x).Çðîçóìiëî, ùî âèêîíàííÿ óìîâ (3) ¹ íåîáõiäíîþ óìîâîþ iñíó-âàííÿ äëÿ ìàòðèöi A(x) �àêòîðèçàöi¨ (1) ç óìîâîþ (2).  öüîìóçâ'ÿçêó îá'¹êòîì íàøîãî äîñëiäæåííÿ áóäóòü íåîñîáëèâi ìàò-ðèöi A(x) iç Rn,n[x], äëÿ ÿêèõ ì๠ìiñöå ñèñòåìà ðiâíîñòåé (3).Ìàòðèöi A(x) ∈ Rn,n[x], ÿêó çàïèøåìî ó âèãëÿäi A(x) = A0x
s+
A1x
s−1 + · · ·+As, òà ìíîãî÷ëåíó d(x) = xrn+d1x
rn−1 + · · ·+drnïîñòàâèìî ó âiäïîâiäíiñòü ìàòðèöi
M =
A0 A1 . . . As
A0 A1 . . . As
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
A0 A1 . . . As
In Ind1 . . . Indnr
In Ind1 . . . Indnr
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
In Ind1 . . . Indnr
(n− 1)r
s− r
,
N =
[
A0d1 −A1 . . . A0ds −As A0ds+1 . . . A0drn O . . .O︸ ︷︷ ︸
t
]
,äå t = nr + s − r − max{s, rn}, O � íóëüîâà ìàòðèöÿ ïîðÿäêó
n. Íà íåçàïîâíåíèõ ìiñöÿõ â ìàòðèöi M çíàõîäÿòüñÿ íóëi (äèâ.òàêîæ [2℄).Òåîðåìà 1. Ïðèïóñòèìî, ùî äëÿ íåîñîáëèâî¨ ìàòðèöi A(x) ∈
Rn,n[x] âèêîíóþòüñÿ óìîâè
{
a1(x) = b1(x)c1(x),
ak(x) = ak−1(x)bk(x)ck(x), k = 2, 3, . . . , n;äå bk(x) = xr + bk1x
r−1 + · · · + bkr ∈ R[x]. Íåõàé, äàëi,
d(x) = b1(x)b2(x) · · · bn(x).ßêùî (bi(x), cj(x)) = e äëÿ âñiõ i = 1, 2, . . . , n òà j = 1, 2, . . . , n,òî äëÿ ìàòðèöi A(x) iñíó¹ �àêòîðèçàöiÿ
A(x) = B(x)C(x)
38 Â.Ì.Ïðîêiïòàêà, ùî
B(x) =
b1(x) 0 . . . . . . 0
b21(x) b2(x) 0 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . .
bn1(x) bn2(x) . . . bn,n−1(x) bn(x)
∈ LRn[x]� óíiòàëüíà ìíîãî÷ëåííà ìàòðèöÿ ñòåïåíÿ r ≥ 1 i
deg bij(x) < deg bi(x)äëÿ âñiõ j < i, òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè ìàòðè÷íå ðiâíÿí-íÿ ZM = N ðîçâ'ÿçíå. ßêùî æ øóêàíèé äiëüíèê B(x) iñíó¹,òî âií îäíîçíà÷íî âèçíà÷à¹òüñÿ íàáîðîì ìíîãî÷ëåíiâ {b1(x),
b2(x), . . . , bn(x)}.Äîâåäåííÿ. Íåîáõiäíiñòü âèïëèâ๠ç òåîðåìè 1 ðîáîòè [2℄.Äîñòàòíiñòü. Íåõàé ðiâíÿííÿ ZM = N ðîçâ'ÿçíå. Íà ïiä-ñòàâi òåîðåìè 1 iç [2℄ äëÿ ìàòðèöi A(x) iñíó¹ �àêòîðèçàöiÿ
A(x) = B(x)C(x)òàêà, ùî B(x) ∈ Rn,n[x] � óíiòàëüíà ìíîãî÷ëåííà ìàòðèöÿ ñòå-ïåíÿ r iç âèçíà÷íèêîì
detB(x) = d(x) = b1(x)b2(x) · · · bn(x).Êðiì öüîãî, ìàòðèöÿ B(x) îäíîçíà÷íî âèçíà÷à¹òüñÿ ìíîãî÷ëå-íîì d(x) .Îñêiëüêè R îáëàñòü öiëiñíîñòi, òî R ìiñòèòüñÿ â äåÿêîìó ïîëi
P (çîêðåìà â ïîëi ÷àñòîê êiëüöÿ R), òîáòî R ⊂ P . Äëÿ ìàòðèöi
A(x) ∈ Pn,n[x] iñíó¹ ìàòðèöÿ W (x) ∈ GL(n, P ) òàêà, ùî
A(x)W (x) = H(x) =
h11(x) 0 . . . . . . . . . 0
h21(x) h22(x) 0 . . . . . . 0
h31(x) h32(x) h33(x) 0 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
hn1(x) hn2(x) hn3(x) . . . hn,n−1(x) hnn(x)
∈ LRn[x],
Ïðî òðèêóòíi óíiòàëüíi äiëüíèêè ìíîãî÷ëåííèõ ìàòðèöü 39äå deg hij(x) < deg hii(x) äëÿ âñiõ 1 ≤ j < i ≤ n, òîáòî ìàòðèöÿ
H(x) ¹ íîðìàëüíîþ �îðìîþ Åðìiòà ìàòðèöi A(x) ∈ Pn,n[x](äèâ. [4℄).Òàê ÿê íàä ìàòðèöåþ A(x) ∈ Pn,n[x] ìè âèêîíóìî åëåìåí-òàðíi ïåðåòâîðåííÿ ç ¨¨ ñòîâï÷èêàìè, òî íåâàæêî ïåðåêîíàòèñüâ òîìó, ùî ìíîãî÷ëåíè ak(x) i hkk(x) àñîöiéîâàíi íàä ïîëåì P .Îòæå,
hkk(x) = bk(x)gkk(x); k = 1, 2, . . . , n.Äîâåäåìî, ùî äëÿ ìàòðèöi H(x) iñíó¹ �àêòîðèçàöiÿ
H(x) = D(x)G(x), (4)äå
D(x) =
b1(x) 0 . . . . . . . . . 0
d21(x) b2(x) 0 . . . . . . 0
d31(x) d32(x) b3(x) 0 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
dn1(x) dn2(x) dn3(x) . . . dn,n−1(x) bn(x)
∈LRn[x],
G(x)=
g11(x) 0 . . . . . . . . . 0
g21(x) g22(x) 0 . . . . . . 0
g31(x) g32(x) g33(x) 0 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
gn1(x) gn2(x) gn3(x) . . . gn,n−1(x) gnn(x)
∈LRn[x],à dij(x) òà gij(x) äåÿêi ìíîãî÷ëåíè iç P [x], ïðè÷îìó
deg dij(x) < deg bi(x)äëÿ âñiõ 1 ≤ j < i ≤ n.Ïîìíîæèâøè â ïðàâié ÷àñòèíi ðiâíîñòi (4) D(x) íà ïåðøèéñòîâï÷èê ìàòðèöi G(x) çäîáóâà¹ìî ñèñòåìó ðiâíîñòåé
b1(x)g11(x) = h11(x),
d21(x)g11(x) + b2(x)g21(x) = h21(x),
d31(x)g11(x) + d32(x)g21(x) + b3(x)g31(x) = h31(x),
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
dn1(x)g11(x) + dn2(x)g21(x) + · · · + bn(x)gn1(x) = hn1(x).
40 Â.Ì.ÏðîêiïÒàê ÿê (b1(x), gjj(x)) = e äëÿ âñiõ 1 ≤ j ≤ n, òî öÿ ñèñòå-ìà ðiâíÿíü ðîçâ'ÿçíà. Çðîçóìiëî, ùî ìíîãî÷ëåíè dk1(x) ìîæíàâèáðàòè òàê, ùî deg dk1(x) < deg bk(x) äëÿ âñiõ 2 ≤ k ≤ n.Ïðîäîâæóþ÷è àíàëîãi÷íi ìiðêóâàííÿ ç ðåøòó ñòîâï÷èêàìèìàòðèöi G(x) i âðàõîâóþ÷è òå, ùî (bi(x), gjj(x)) = e äëÿ âñiõ i =
1, 2, . . . , n òà j = 1, 2, . . . , n, â êiíöåâîìó ðåçóëüòàòi çäîáóâà¹ìî,ùî ìàòðèöÿ H(x) äîïóñê๠�àêòîðèçàöiþ
H(x) = D(x)G(x),äå
D(x) =
b1(x) 0 . . . . . . 0
d21(x) b2(x) 0 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . .
dn1(x) dn2(x) . . . dn,n−1(x) bn(x)
� íèæíÿ òðèêóòíà óíiòàëüíà ìíîãî÷ëåííà ìàòðèöÿ ñòåïåíÿ r çåëåìåíòàìè bi(x) íà ãîëîâíié äiàãîíàëi i
deg dij(x) < deg bi(x), j < i.Òàê ÿê (detD(x),detG(x)) = e, òî íà ïiäñòàâi íàñëiäêó 5 iç [5℄óíiòàëüíà ìàòðèöÿ D(x) ∈ Pn,n[x] îäíîçíà÷íî âèçíà÷åíà ìíî-ãî÷ëåíîì
d(x) = b1(x)b2(x) · · · bn(x).Îòæå, äëÿ ìàòðèöi A(x) ∈ Pn,n[x] iñíóþòü �àêòîðèçàöi¨
A(x) = B(x)C(x) = D(x)F (x),äå F (x) = G(x)W−1(x). Î÷åâèäíî, ùî ìàòðèöÿ B(x) òåæ îäíî-çíà÷íî âèçíà÷åíà ìíîãî÷ëåíîì d(x) íàä ïîëåì P . Íà ïiäñòàâiíàñëiäêó 5 iç [5℄ çäîáóâà¹ìî B(x) = D(x) ∈ LRn[x], ùî i äîâî-äèòü òåîðåìó. �Iç äîâåäåííÿ äîñòàòíîñòi òåîðåìè 1 îòðèìó¹ìî íàñòóïíå òâåð-äæåííÿ, ÿêi ñ�îðìóëþ¹ìî âèãëÿäi.
Ïðî òðèêóòíi óíiòàëüíi äiëüíèêè ìíîãî÷ëåííèõ ìàòðèöü 41Íàñëiäîê 1.Ïðèïóñòèìî, ùî äëÿ íåîñîáëèâî¨ ìàòðèöi A(x) ∈
Pn,n[x] âèêîíóþòüñÿ óìîâè
{
a1(x) = b1(x)c1(x),
ak(x) = ak−1(x)bk(x)ck(x), k = 2, 3, . . . , n;äå bk(x) = xr + bk1x
r−1 + · · · + bkr ∈ P [x] i r ≥ 1. ßêùî
(bi(x), cj(x)) = e äëÿ âñiõ i = 1, 2, . . . , n òà j = 1, 2, . . . , n, òîäëÿ ìàòðèöi A(x) iñíó¹ �àêòîðèçàöiÿ
A(x) = B(x)C(x)òàêà, ùî
B(x) =
b1(x) 0 . . . . . . 0
b21(x) b2(x) 0 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . .
bn1(x) bn2(x) . . . bn,n−1(x) bn(x)
∈ LPn[x]� óíiòàëüíà ìíîãî÷ëåííà ìàòðèöÿ ñòåïåíÿ r i
deg bij(x) < deg bi(x)äëÿ âñiõ j < i. ßêùî æ øóêàíèé äiëüíèê B(x) iñíó¹, òî âiíîäíîçíà÷íî âèçíà÷à¹òüñÿ íàáîðîì ìíîãî÷ëåíiâ
{b1(x), b2(x), · · · , bn(x)}. ðîáîòàõ [2℄, [3℄ âñòàíîâëåíi óìîâè, çà ÿêèõ äëÿ íåîñîáëè-âî¨ ìàòðèöi A(x) ∈ Rn,n[x] iñíó¹ óíiòàëüíèé äiëüíèê B(x) iççàäàíèì âèçíà÷íèêîì detB(x) = b(x). Íèæ÷å âêàæåìî óìîâè,çà ÿêèõ äëÿ ìàòðèöi A(x) iñíóþòü áëî÷íî-òðèêóòíi óíiòàëüíiäiëüíèêè.Òåîðåìà 2. Íåõàé íåîñîáëèâà ìàòðèöÿ A(x) ∈ Rn,n[x] äîïóñ-ê๠�àêòîðèçàöi¨
A(x) =
[
B1(x) 0
0 In−k
]
C1(x) = B(x)C(x), (5)
42 Â.Ì.Ïðîêiïäå B1(x) ∈ Rk,k[x] òà B(x) ∈ Rn,n[x] � óíiòàëüíi ìíîãî÷ëåííiìàòðèöi ñòåïåíÿ r. ßêùî (detB1(x),detC(x)) = e, òî
B(x) =
[
B1(x) 0
B21(x) B2(x)
]
,äå B2(x) ∈ Rn−k,n−k[x] � óíiòàëüíà ìíîãî÷ëåííà ìàòðèöÿ ñòå-ïåíÿ r.Äîâåäåííÿ. Òàê ÿê (detB1(x),detC(x)) = e, òî ç ðiâíîñòi (5)çäîáóâà¹ìî, ùî detB1(x) ¹ äiëüíèêîì detB(x), òîáòî
detB(x) = b2(x) · detB1(x).Ìàòðèöþ B(x) çàïèøåìî ó âèãëÿäi
B(x) =
[
B11(x) B12(x)
B21(x) B22(x)
]
,äå B11(x) ∈ Rk,k[x] , B22(x) ∈ Rn−k,n−k[x]. Î÷åâèäíî, ùî B11(x)i B22(x) � óíiòàëüíi ìíîãî÷ëåííi ìàòðèöi ñòåïåíÿ r. Òåïåð ðiâ-íiñòü (5) çàïèøåìî òàê
[
B1(x) 0
0 In−k
]
C1(x) =
[
B11(x) B12(x)
B21(x) B22(x)
]
C(x).Çâiäñè çäîáóâà¹ìî
[
Ik · detB1(x) 0
0 In−k
]
C1(x)C
∗(x) =
[
B∗
1(x) 0
0 In−k
] [
B11(x) B12(x)
B21(x) B22(x)
]
detC(x), (6)äå C∗(x) òà B∗
1(x) âçà¹ìíi ìàòðèöi äî ìàòðèöü C(x) òà B1(x)âiäïîâiäíî. Îñêiëüêè (detB1(x),detC(x)) = e, òî ç ðiâíîñòi (6)âèïëèâà¹
B∗
1(x) · [ B11(x) B12(x) ] = 0( mod detB1(x) ). (7)Òàê ÿê degB∗
1(x) = r(k − 1) i degB1(x) > degB12(x), òî
deg[B∗
1(x)B12(x)] ≤ kr − 1 < deg detB1(x).
Ïðî òðèêóòíi óíiòàëüíi äiëüíèêè ìíîãî÷ëåííèõ ìàòðèöü 43Îòæå, ðiâíiñòü (7) ìîæëèâà ëèøå ó âèïàäêó, êîëè
B12(x) = 0.Îñêiëüêè deg[B∗
1(x)B11(x) ] = kr, òî ç ðiâíîñòi
B∗
1(x)B11(x) = 0( mod detB1(x))îòðèìó¹ìî B1(x) = B11(x). Ïîêëàâøè B22(x) = B2(x), ìàòðè-öþ B(x) çàïèøåìî ó âèãëÿäi B(x) =
[
B1(x) 0
B21(x) B2(x)
], ùî iäîâîäèòü òåîðåìó. �Òåîðåìà 3. Íåõàé íåîñîáëèâà ìàòðèöÿ A(x) ∈ Rn,n[x] äîïóñ-ê๠�àêòîðèçàöi¨
A(x) =
[
B1(x) 0
0 In−k
]
C1(x) = B(x)C(x),äå B1(x) ∈ Rk,k[x] òà B(x) ∈ Rn,n[x] � óíiòàëüíi ìíîãî÷ëåííiìàòðèöi ñòåïåíÿ r. Íåõàé, äàëi,
(detB1(x),detC1(x), dA(x)) = e,
(detB(x),detC(x), dA(x)) = e,äå dA(x) � í.ñ.ä. ìiíîðiâ (n − 1)−ãî ïîðÿäêó ìàòðèöi A(x).ßêùî detB1(x) ¹ äiëüíèêîì detB(x), òîáòî
detB(x) = b2(x) · detB1(x),òî
B(x) =
[
B1(x) 0
B21(x) B2(x)
]
,äå B2(x) ∈ Rn−k,n−k[x] � óíiòàëüíà ìíîãî÷ëåííà ìàòðèöÿ ñòå-ïåíÿ r.Äîâåäåííÿ. Íåõàé P � ïîëå, ÿêå ìiñòèòü �àêòîðiàëüíó îáëàñòü
R, òîáòî R ⊂ P . Òàê ÿê
(detB1(x),detC1(x), dA(x)) = e,
(detB(x),detC(x), dA(x)) = e
detB(x) = b2(x) · detB1(x),
44 Â.Ì.Ïðîêiïòî íà ïiäñòàâi òåîðåìè 2 iç [6℄, ìàòðèöÿ
[
B1(x) 0
0 In−k
]
∈ Pn,n[x]¹ ëiâèì äiëüíèêîì ìàòðèöi B(x) ∈ Pn,n[x], òîáòî
B(x) =
[
B1(x) 0
0 In−k
]
G(x).Îñêiëüêè B(x) òà B1(x) � óíiòàëüíi ìíîãî÷ëåííi ìàòðèöi, òî çöi¹¨ ðiâíîñòi îòðèìó¹ìî, ùî G(x) ∈ Rn,n[x].Ïîêëàâøè
B(x) =
[
B11(x) B12(x)
B21(x) B22(x)
]
, G(x) =
[
G11(x) G12(x)
G21(x) G22(x)
]
,äå B11(x), G11(x) ∈ Rk,k[x] i B22(x), G22(x) ∈ Rn−k,n−k[x], îñòàí-íþ ðiâíiñòü çàïèøåìî òàê
[
B11(x) B12(x)
B21(x) B22(x)
]
=
[
B1(x) 0
0 In−k,n−k
][
G11(x) G12(x)
G21(x) G22(x)
]
.Ç äàíî¨ ðiâíîñòi îòðèìó¹ìî
{
B11(x) = B1(x)G11(x),
B12(x) = B1(x)G12(x).
(8)Îñêiëüêè B11(x), B1(x) ∈ Rn,n[x] � óíiòàëüíi ìíîãî÷ëåííi ìàò-ðèöi ñòåïåíÿ r, òî ç ïåðøî¨ ðiâíîñòi ñèñòåìè (8) çäîáóâà¹ìî
G11(x) = Ik. Òàê ÿê degB12(x) < degB1(x), òî ç äðóãî¨ ðiâíî-ñòi ñèñòåìè (8) âèïëèâà¹, ùî G12(x) = 0. Ïîêëàâøè B22(x) =
B2(x), ìàòðèöþ B(x) çàïèøåìî ó âèãëÿäi
B(x) =
[
B1(x) 0
B21(x) B2(x)
]
.Òåîðåìó äîâåäåíî. �Íàñëiäîê 2. Íåõàé A(x) ∈ Rn,n[x] � íåîñîáëèâà ìíîãî÷ëåííàìàòðèöÿ i dA(x) = const. Íåõàé, äàëi, ìàòðèöÿ A(x) äîïóñêà¹
Ïðî òðèêóòíi óíiòàëüíi äiëüíèêè ìíîãî÷ëåííèõ ìàòðèöü 45�àêòîðèçàöi¨
A(x) =
[
B1(x) 0
0 In−k
]
C1(x) = B(x)C(x),äå B1(x) ∈ Rk,k[x] òà B(x) ∈ Rn,n[x] � óíiòàëüíi ìíîãî÷ëåííiìàòðèöi ñòåïåíÿ r. ßêùî detB1(x) ¹ äiëüíèêîì detB(x), òîáòî
detB(x) = b2(x) · detB1(x) , òî
B(x) =
[
B1(x) 0
B21(x) B2(x)
]
,äå B2(x) ∈ Rn−k,n−k[x] � óíiòàëüíà ìíîãî÷ëåííà ìàòðèöÿ ñòå-ïåíÿ r.Âiäçíà÷èìî, ùî ïiäñòàâi [2℄, [3℄ òà íàâåäåíèõ âèùå ðåçóëü-òàòiâ ëåãêî âêàçàòè óìîâè iñíóâàííÿ ðîçâ'ÿçêiâ â òðèêóòíèõìàòðèöÿõ äëÿ ìàòðè÷íîãî ìíîãî÷ëåííîãî ðiâíÿííÿ
XsA0 +Xs−1A1 + · · · +XAs−1 +As = 0,äå Ai ∈ Rn,n, à X � íåâiäîìà ìàòðèöÿ ïîðÿäêó n. Îñòàííÿçàäà÷à ïðè ïåâíèõ îáìåæåííÿõ äîñëiäæóâàëàñü â [7℄, [8℄.Ëiòåðàòóðà[1℄ Êàçiìiðñüêèé Ï.Ñ. �îçêëàä ìàòðè÷íèõ ìíîãî÷ëåíiâ íà ìíîæíèêè. -Ê.: Íàóêîâà äóìêà, 1981. - 224 ñ.[2℄ Ïðîêiï Â.Ì. Ìíîãî÷ëåííi ìàòðèöi íàä �àêòîðiàëüíîþ îáëàñòþ òà ¨õðîçêëàäíiñòü íà ìíîæíèêè. //Óêð. ìàò. æóðí. � 1998.� 50. � C.1438�1440.[3℄ Ïðîêiï Â.Ì.Ïðî äiëüíèêè ìíîãî÷ëåííèõ ìàòðèöü íàä �àêòîðiàëüíîþîáëàñòþ. //Ìàò. ìåòîäè òà �iç.-ìåõ. ïîëÿ. � 2001.� 44, �4. � C.22�26.[4℄ �àíòìàõåð Ô.�. Òåîðèÿ ìàòðèö. � Ì.: Íàóêà , 1966. � 576
.[5℄ Ïðîêiï Â.Ì. Ïðî ¹äèíiñòü óíiòàëüíîãî äiëüíèêà ìàòðè÷íîãî ìíîãî-÷ëåíà íàä äîâiëüíèì ïîëåì. //Óêð. ìàò. æóðí. � 1993.� 45. � C.803�809.[6℄ Prokip V. The multipli
ativity of the Smith normal form. // Linear andMultilinear Algebra. � 1995.� 38. � P.189�192.[7℄ Êèðèëëîâ À.Ô. Î ÷èñëå ðåøåíèé óðàâíåíèÿ X2 = 0 â òðåóãîëüíûõìàòðèöàõ íàä êîíå÷íûì ïîëåì. //Ôóíê. àíàëèç è åãî ïðëîæåíèÿ. �1995.� 29, � 1. � C.82�87.
46 Â.Ì.Ïðîêiï[8℄ Ekhad Sh., Zeilberger D. The number of solutions of X2 = 0 in triangularmatri
es over GF (q) // The Ele
troni
Journal of Combinatori
s. � 1996.�3, N.1. � P.25�26.
|