Римановы пространства постоянной кривизны с кручением
В настоящей работе нами доказано, что среди всех римановых пространств постоянной секционной кривизны только трехмерные пространства имеют кручение, инвариантное относительно группы движений. Тензор кручения в этих пространствах ковариантно постоянен и определяет форму кручения. Отношение интеграла...
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2009
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6299 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Римановы пространства постоянной кривизны с кручением / В.И. Паньженский // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 183-194. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-6299 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Паньженский, В.И. 2010-02-23T14:15:16Z 2010-02-23T14:15:16Z 2009 Римановы пространства постоянной кривизны с кручением / В.И. Паньженский // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 183-194. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 1815-2910 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6299 В настоящей работе нами доказано, что среди всех римановых пространств постоянной секционной кривизны только трехмерные пространства имеют кручение, инвариантное относительно группы движений. Тензор кручения в этих пространствах ковариантно постоянен и определяет форму кручения. Отношение интеграла от этой формы по ограниченной области к ее объему есть величина постоянная, определяющая кручение пространства. Вводятся понятия объемного кручения и скалярного кручения. ru Інститут математики НАН України Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" Римановы пространства постоянной кривизны с кручением Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Римановы пространства постоянной кривизны с кручением |
| spellingShingle |
Римановы пространства постоянной кривизны с кручением Паньженский, В.И. Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" |
| title_short |
Римановы пространства постоянной кривизны с кручением |
| title_full |
Римановы пространства постоянной кривизны с кручением |
| title_fullStr |
Римановы пространства постоянной кривизны с кручением |
| title_full_unstemmed |
Римановы пространства постоянной кривизны с кручением |
| title_sort |
римановы пространства постоянной кривизны с кручением |
| author |
Паньженский, В.И. |
| author_facet |
Паньженский, В.И. |
| topic |
Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" |
| topic_facet |
Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" |
| publishDate |
2009 |
| language |
Russian |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| description |
В настоящей работе нами доказано, что среди всех римановых пространств постоянной секционной кривизны только трехмерные пространства имеют кручение, инвариантное относительно группы движений. Тензор кручения в этих пространствах ковариантно постоянен и определяет форму кручения. Отношение интеграла от этой формы по ограниченной области к ее объему есть величина постоянная, определяющая кручение пространства. Вводятся понятия объемного кручения и скалярного кручения.
|
| issn |
1815-2910 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6299 |
| citation_txt |
Римановы пространства постоянной кривизны с кручением / В.И. Паньженский // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 183-194. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT panʹženskiivi rimanovyprostranstvapostoânnoikriviznyskručeniem |
| first_indexed |
2025-11-24T05:43:16Z |
| last_indexed |
2025-11-24T05:43:16Z |
| _version_ |
1850842778026639360 |
| fulltext |
Çáiðíèê ïðàöüIí-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè2009, ò.6, �2, 183-194Â.È.ÏàíüæåíñêèéÏåíçåíñêèé ãîñóäàðñòâåííûé ïåäàãîãè÷åñêèé óíèâåðñèòåò,ÏåíçàE-mail: Sorokina m�list.ru�èìàíîâû ïðîñòðàíñòâà ïîñòîÿííîéêðèâèçíû ñ êðó÷åíèåì íàñòîÿùåé ðàáîòå íàìè äîêàçàíî, ÷òî ñðåäè âñåõ ðèìàíîâûõ ïðî-ñòðàíñòâ ïîñòîÿííîé ñåêöèîííîé êðèâèçíû òîëüêî òðåõìåðíûå ïðî-ñòðàíñòâà èìåþò êðó÷åíèå, èíâàðèàíòíîå îòíîñèòåëüíî ãðóïïû äâè-æåíèé. Òåíçîð êðó÷åíèÿ â ýòèõ ïðîñòðàíñòâàõ êîâàðèàíòíî ïîñòîÿíåíè îïðåäåëÿåò �îðìó êðó÷åíèÿ. Îòíîøåíèå èíòåãðàëà îò ýòîé �îð-ìû ïî îãðàíè÷åííîé îáëàñòè ê åå îáúåìó åñòü âåëè÷èíà ïîñòîÿííàÿ,îïðåäåëÿþùàÿ êðó÷åíèå ïðîñòðàíñòâà. Ââîäÿòñÿ ïîíÿòèÿ îáúåìíîãîêðó÷åíèÿ è ñêàëÿðíîãî êðó÷åíèÿ.Êëþ÷åâûå ñëîâà: ðèìàíîâî ïðîñòðàíñòâî, òåíçîð êðó÷åíèÿ1. ÏóñòüM � ãëàäêîå n-ìåðíîå ìíîãîîáðàçèå, g � ðèìàíîâàìåòðèêà íà M , ∇ � ñâÿçíîñòü Ëåâè-×èâèòà, ∇̃ � ìåòðè÷åñêàÿñâÿçíîñòü ñ êðó÷åíèåì: ∇̃g = 0, S � òåíçîð êðó÷åíèÿ ñâÿçíîñòè
∇̃, T � òåíçîð äå�îðìàöèè ñâÿçíîñòè∇. Åñëè (xi)� ëîêàëüíûåêîîðäèíàòû íà M , ∂i = ∂
∂xi � åñòåñòâåííûé ëîêàëüíûé áàçèñâåêòîðíûõ ïîëåé è ∇∂i
∂j = Γkij∂k, ∇̃∂i
∂j = Γ̃kij∂k, Skij = Γ̃kij− Γ̃kji,
T kij = Γ̃kij − Γkij , òî, î÷åâèäíî, èìååì:
Γ̃kij = Γ̃k(ij) +
1
2
Skij, Γ̃
k
ij = Γkij + T kij, S
k
ij + Skji = 0.Êðîìå òîãî ñîãëàñîâàííîñòü ñâÿçíîñòè ∇̃ ñ ìåòðèêîé g èìååòìåñòî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà êîìïîíåíòû Tijk = Tij
pgkpòåíçîðà äå�îðìàöèè êîñîñèììåòðè÷íû ïî ïîñëåäíèì äâóì èí-äåêñàì. Äåéñòâèòåëüíî, â ëîêàëüíûõ êîîðäèíàòàõ èìååì
∂igjk − gpkΓ̃
p
ij − gjpΓ̃
p
ik = 0 (1)
© Â.È.Ïàíüæåíñêèé, 2009
184 Â.È.Ïàíüæåíñêèéèëè
∂igjk − gpkΓ
p
ij − gjpΓ
p
ik − gpkT
p
ij − gjpT
p
ik = 0,îòêóäà
gpkTij
p + gjpTik
p = 0,ò.å.
Tijk + Tikj = 0,÷òî è äîêàçûâàåò íàøå óòâåðæäåíèå. Öèêëèðóÿ (1) ïîëó÷èìåùå äâà ðàâåíñòâà
∂jgki − gpiΓ̃
p
jk − gkpΓ̃
p
ji = 0,
∂kgij − gpjΓ̃
p
ki − gipΓ̃
p
kj = 0.Ñêëàäûâàÿ äâà ïåðâûõ ðàâåíñòâà è âû÷èòàÿ ïîñëåäíåå, ïîëó-÷èì:
(∂igjk + ∂jgki − ∂kgij) =
= gpk(Γ̃
p
ij + Γ̃pji) + gjp(Γ̃
p
ik − Γ̃pki) + gip(Γ̃
p
jk − Γ̃pkj),èëè
gpk(Γ̃
p
ij + Γ̃pij + Spji) = (∂igjk + ∂jgki − ∂kgij) + gjpS
p
ki + gipS
p
kj,îòêóäà
2gpkΓ̃
p
ij = (∂igjk + ∂jgki − ∂kgij) + gpkS
p
ij + gjpS
p
ki + gipS
p
kj,ïîýòîìó
gpkΓ̃
p
ij = Γijk +
1
2
(Sijk + Skij + Skji)è
Γ̃lij = Γlij +
1
2
(Sij
l + Slij + Slji).Îò
þäà ïîëó÷àåì âûðàæåíèå òåíçîðà äå�îðìàöèè ÷åðåç òåí-çîð êðó÷åíèÿ:
Tij
k =
1
2
(Sij
k + Skij + Skji)è
Tijk =
1
2
(Sijk + Skij + Skji). (2)
�èìàíîâû ïðîñòðàíñòâà ïîñòîÿííîé êðèâèçíû 185Öèêëèðóÿ (2), ïîëó÷èì:
Tjki =
1
2
(Sjki + Sijk + Sikj).Ñêëàäûâàÿ ïîñëåäíèå äâà ðàâåíñòâà è ó÷èòûâàÿ êîñóþ ñèì-ìåòðèþ òåíçîðà êðó÷åíèÿ ïî ïåðâûì äâóì èíäåêñàì, ïîëó÷èìâûðàæåíèå òåíçîðà êðó÷åíèÿ ÷åðåç òåíçîð äå�îðìàöèè:
Sijk = Tijk + Tjki.Èç ïðèâåäåííûõ âûøå ðàâåíñòâ ñëåäóåò, ÷òî ñèììåòðè÷å-ñêàÿ ÷àñòü ñâÿçíîñòè ∇̃ ñîâïàäàåò ñî ñâÿçíîñòüþ Ëåâè-×èâè-òà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà êîìïîíåíòû Sijk òåíçîðà êðó-÷åíèÿ è, ñëåäîâàòåëüíî, êîìïîíåíòû Tijk òåíçîðà äå�îðìà-öèè, êîñîñèììåòðè÷íû ïî âñåì èíäåêñàì [1℄.  ýòîì ñëó÷àå
Tijk = 1
2Sijk. Òàêîå êðó÷åíèå íàçîâåì êàíîíè÷åñêèì, à 3-�îðìó
Ω = Sijkdx
i ∧ dxj ∧ dxk(i < j < k) � �óíäàìåíòàëüíîé �îðìîéêðó÷åíèÿ.2. Âåêòîðíîå ïîëå X = ξi∂i ÿâëÿåòñÿ èí�èíèòåçèìàëüíûìäâèæåíèåì ðèìàíîâà ïðîñòðàíñòâà V n = (M,g) òîãäà è òîëüêîòîãäà, êîãäà ïðîèçâîäíàÿ Ëè âäîëü X îò ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðàðàâíà íóëþ: LXg = 0. Êàê ñëåäñòâèå íåòðóäíî ïîëó÷èòü [2℄,÷òî è LX∇ = 0. Ïîòðåáóåì, ÷òîáû ëþáîå äâèæåíèå ñîõðàíÿëîè ñâÿçíîñòü ∇̃: LX∇̃ = 0, ÷òî ðàâíîñèëüíî ðàâåíñòâó LXT = 0èëè LXS = 0.Óðàâíåíèÿ äâèæåíèé (óðàâíåíèÿ Êèëëèíãà) èìåþò âèä [2℄
ξij + ξji = 0, (3)ãäå ξij = ξpi gjp, ξji = ∇iξ
j . �àâåíñòâî íóëþ ïðîèçâîäíîé Ëè îòòåíçîðà äå�îðìàöèè çàïèøåì â êîâàðèàíòíûõ ïðîèçâîäíûõ
ξp∇pTijk + ∇iξ
pTpjk + ∇jξ
pTipk + ∇kξ
pTijp = 0èëè
ξp∇pTijk + ξrq{δri gqpTpjk + δrj g
qpTipk + δrkg
qpTijp} = 0, (4)
186 Â.È.Ïàíüæåíñêèéãäå δji � ñèìâîë Êðîíåêåðà, gij � êîíòðàâàðèàíòíûå êîìïîíåí-òû ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà g: gipgpj = δji .Ïóñòü V n ÿâëÿåòñÿ ðèìàíîâûì ïðîñòðàíñòâîì ïîñòîÿííîéñåêöèîííîé êðèâèçíû è, ñëåäîâàòåëüíî, äîïóñêàåò ãðóïïó äâè-æåíèé Gr ðàçìåðíîñòè r = n(n + 1)/2. Òîãäà ðàâåíñòâà (4)äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ ïðè ëþáûõ ξp è ξrq, óäîâëåòâîðÿþùèõ(3). Ïîýòîìó èç (4) ñëåäóåò
∇pTijk = 0 (5)è
δri g
qpTpjk + δrjg
qpTipk + δrkg
qpTijp−
−δqi grpTpjk − δqj g
rpTipk − δqkg
rpTijp = 0 (6)Óìíîæàÿ (6) íà glrgmq è ó÷èòûâàÿ êîñóþ ñèììåòðèþ êîìïî-íåíò òåíçîðà äå�îðìàöèè ïî ïîñëåäíèì äâóì èíäåêñàì, ïîëó-÷àåì ðàâíîñèëüíûå (6) ñîîòíîøåíèÿ:
gilTmjk− gjlTikm+ gklTijm− gimTljk + gjmTikl− gkmTijl = 0. (7)Ëåììà 1. Ñîîòíîøåíèÿ (7) ÿâëÿþòñÿ óñëîâèåì èíòåãðèðó-åìîñòè ñèñòåìû äè��åðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (5).Äîêàçàòåëüñòâî. Óðàâíåíèÿ (5) èìåþò âèä
∂pTijk = TsjkΓ
s
pi + TiskΓ
s
pj + TijsΓ
s
pk (8)Äè��åðåíöèðóÿ (8) è ó÷èòûâàÿ, ÷òî ∂pqTijk = ∂qpTijk, ïîëó÷èì
∂qTsjkΓ
s
pi + Tsjk∂qΓ
s
pi + ∂qTiskΓ
s
pj+
+Tisk∂qΓ
s
pj + ∂qTijsΓ
s
pk + Tijs∂qΓ
s
pk =
= ∂pTsjkΓ
s
pi + Tsjk∂pΓ
s
pi + ∂pTiskΓ
s
pj+
Tisk∂pΓ
s
pj + ∂pTijsΓ
s
pk + Tijs∂pΓ
s
pk. (9)Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå (8) è âûðàæåíèå
Rlijk = ∂iΓ
l
jk − ∂jΓ
l
ik + ΓlipΓ
p
jk − ΓljpΓ
p
ik
�èìàíîâû ïðîñòðàíñòâà ïîñòîÿííîé êðèâèçíû 187äëÿ êîìïîíåíò òåíçîðà êðèâèçíû, ñîîòíîøåíèÿ (9) ïðèâîäÿòñÿê âèäó
RsqpiTsjk +RsqpjTisk +RsqpkTijs = 0 (10)Òàê êàê ðèìàíîâî ïðîñòðàíñòâî V n èìååò ïîñòîÿííóþ ñåêöè-îííóþ êðèâèçíó, òî
Rsqpi = k(δsqgpi − δspgqi), (11)ãäå k � êðèâèçíà ïðîñòðàíñòâà. Ïîäñòàâëÿÿ (11) â (10), ïîëó-÷èì
k(gpiTqik−gqiTpjk+gpjTiqk−gqjTipk+gpkTijq−gqkTijp) = 0 (12)Åñëè k = 0, òî Rsqpi = 0 è óñëîâèÿ èíòåãðèðóåìîñòè óðàâíå-íèé (5) âûïîëíÿþòñÿ òîæäåñòâåííî. Åñëè k 6= 0, òî èç (12),ó÷èòûâàÿ êîñóþ ñèììåòðèþ êîìïîíåíò òåíçîðà äå�îðìàöèèïî ïîñëåäíèì äâóì èíäåêñàì, íåìåäëåííî ñëåäóåò (7). �3. �àññìîòðèì ïîäðîáíåå óñëîâèÿ èíòåãðèðóåìîñòè (7). Ïå-ðåïèøåì (7), óìíîæèâ íà gqlgrm:
δqi T
r
jk − δqjTik
r + δqkTij
r − δri T
q
jk + δrjTik
q − δrkTij
q = 0, (13)ãäå T rjk = Tsjkg
sr, Tik
r = Tiksg
sr.  (13) ñâåðíåì èíäåêñû q è i. ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì:
nT rjk − Tjk
r + Tkj
r − T rjk + δrjT∗k
∗ − δrkT∗j
∗ = 0 (14)èëè
(n− 1)T rjk − Tjk
r + Tkj
r + δrjT∗k
∗ − δrkT∗j
∗ = 0, (15)ãäå T ∗
∗k = T ssk. Óìíîæèâ (15) íà gir, ïîëó÷èì:
(n− 1)Tijk − Tjki + Tkji + gjiT∗k
∗ − gkiT∗j
∗ = 0. (16)Öèêëèðóÿ (16), ïîëó÷èì åùå äâà ðàâåíñòâà
(n− 1)Tjki − Tkij + Tikj + gkjT∗i
∗ − gijT∗k
∗ = 0 (17)
(n− 1)Tkij − Tijk + Tjik + gikT∗j
∗ − gjkT∗i
∗ = 0 (18)
188 Â.È.ÏàíüæåíñêèéÑêëàäûâàÿ (16), (17) è (18), ïîëó÷èì
(n−1)(Tijk+Tjki+Tkij)−Tjki−Tkij−Tijk+Tkji+Tikj+Tjik = 0
(19)èëè, ó÷èòûâàÿ êîñóþ ñèììåòðèþ òåíçîðà äå�îðìàöèè,
(n − 3)(Tijk + Tjki + Tkij) = 0, (20)îòêóäà äëÿ n 6= 3
Tijk + Tjki + Tkij = 0 (21).Ó÷èòûâàÿ (21) ðàâåíñòâà (16) ïðèìóò âèä
nTijk + gjiT∗k
∗ − gkiT∗j
∗ = 0. (22)Óìíîæàÿ (22) íà gkl, ïîëó÷èì
nT lij + gjig
klT∗k
∗ − δliT∗j
∗ = 0 (23). (23) ñâåðíåì èíäåêñû l è i.  ðåçóëüòàòå áóäåì èìåòü:
nT∗j
∗ + T∗j
∗ − nT∗j
∗ = 0, îòêóäà T∗j
∗ = 0. Òåïåðü (16) ïðè-ìåò âèä: (n− 1)Tijk − Tjki + Tkji = 0 èëè, ó÷èòûâàÿ îïÿòü (21),
nTijk = 0, ò.å Tijk = 0 è, ñëåäîâàòåëüíî, Sijk = 0. Òàêèì îáðà-çîì ñïðàâåäëèâàÒåîðåìà 1. Åñëè ðèìàíîâî ïðîñòðàíñòâî V n, n 6= 3, äîïóñ-êàåò ãðóïïó äâèæåíèé ìàêñèìàëüíîé ðàçìåðíîñòè, òî îíî íåèìååò èíâàðèàíòíîãî êðó÷åíèÿ.4. �àññìîòðèì ñëó÷àé n = 3. Ñóùåñòâóåò ñèñòåìà êîîðäè-íàò, â êîòîðîé ìåòðèêà ðèìàíîâà ïðîñòðàíñòâà V 3 ïîñòîÿííîéêðèâèçíû èìååò âèä [2℄
ds2 =
dx12
+ dx22
+ dx32
[1 + k
4 (x12 + x22 + x32)]
2 . (24)Èìååò ìåñòîËåììà 2. Óñëîâèÿ èíòåãðèðóåìîñòè (7) äëÿ ìåòðèêè (24)âûïîëíÿþòñÿ òîæäåñòâåííî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
�èìàíîâû ïðîñòðàíñòâà ïîñòîÿííîé êðèâèçíû 189òåíçîð äå�îðìàöèè Tijk êîñîñèììåòðè÷åí ïî âñåì èíäåêñàì,ò.å êîãäà êðó÷åíèå ÿâëÿåòñÿ êàíîíè÷åñêèì.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîäñòàâèâ êîìïîíåíòû
gij =
δij
[1 + k
4 (x12 + x22 + x32)]
2 (25)ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà â (7), ïîëó÷èì
δilTmjk− δjlTikm+ δklTijm− δimTljk + δjmTikl− δkmTijl = 0 (26)Âñå èíäåêñû â (26) ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ 1,2,3. Ïîýòîìó (26)ñîäåðæèò 35 óðàâíåíèé. Òåïåðü íåïîñðåäñòâåííîé ïðîâåðêîé,âûïèñûâàÿ êàæäîå èç ýòèõ óðàâíåíèé, óáåæäàåìñÿ â ñïðàâåä-ëèâîñòè íàøåãî óòâåðæäåíèÿ. �Äàëåå, èíòåãðèðóÿ óðàâíåíèÿ äâèæåíèé
ξp∂pgij + ∂iξ
pgpj + ∂jξ
pgip = 0 (27)äëÿ ìåòðèêè (24), íàõîäèì áàçèñíûå âåêòîðíûå ïîëÿ (îïåðàòî-ðû) àëãåáðû Ëè èí�èíèòåçèìàëüíûõ äâèæåíèé:
X1 = [1 − k
4
(−x12
+ x22
+ x32
)]∂1 +
k
2
x1x2∂2 +
k
2
x1x3∂3,
X2 =
k
2
x2x1∂1 + [1 − k
4
(x12 − x22
+ x32
)]∂2 +
k
2
x2x3∂3,
X3 =
k
2
x3x1∂1 +
k
2
x3x2∂2 + [1 − k
4
(x12
+ x22 − x32
)]∂3,
X12 = −x2∂1 + x1∂2, X13 = −x3∂1 + x1∂3, X23 = −x3∂2 + x2∂3.Äëÿ êàæäîãî îïåðàòîðà X âûïèøåì óðàâíåíèÿ èíâàðèàíòíî-ñòè òåíçîðà äå�îðìàöèè (LXT = 0):
ξp∂pTijk + ∂iξ
pTpjk + ∂jξ
pTipk + ∂kξ
pTijp = 0 (28) ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó äè��åðåíöèàëüíûõóðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíûõ
190 Â.È.Ïàíüæåíñêèé�óíêöèé Tijk:[
1 − k
4
(−x12
+ x22
+ x32
)
]
∂1Tijk +
k
2
x1x2∂2Tijk +
k
2
x1x3∂3Tijk+
+
k
2
(x1δ1i − x2δ2i − x3δ3i )T1jk +
k
2
(x2δ1i + x1δ2i )T2jk+
+
k
2
(x3δ1i + x1δ3i )T3jk +
k
2
(x1δ1j − x2δ2j − x3δ3j )Ti1k+
+
k
2
(x2δ1j + x1δ2j )Ti2k +
k
2
(x3δ1j + x1δ3j )Ti3k+
+
k
2
(x1δ1k − x2δ2k − x3δ3k)Tij1 +
k
2
(x2δ1k + x1δ2k)Tij2+
+
k
2
(x3δ1k + x1δ3k)Tij3 = 0,
k
2
x2x1∂1Tijk +
[
1 − k
4
(x12 − x22
+ x32
)
]
∂2Tijk +
k
2
x2x3∂3Tijk+
+
k
2
(x2δ1i + x1δ2i )T1jk +
k
2
(−x1δ1i + x2δ2i − x3δ3i )T2jk+
+
k
2
(x3δ2i + x2δ3i )T3jk +
k
2
(x2δ1j + x1δ2j )Ti1k+
+
k
2
(−x1δ1j + x2δ2j − x3δ3j )Ti2k +
k
2
(x3δ2j + x2δ3j )Ti3k+
+
k
2
(x2δ1k + x1δ2k)Tij1 +
k
2
(−x1δ1k + x2δ2k − x3δ3k)Tij2+
+
k
2
(x3δ2k + x2δ3k)Tij3 = 0,
− x2∂1Tijk + x1∂2Tijk − δ2i T1jk + δ1i T2jk − δ2jTi1k+
+ δ1jTi2k − δ2kTij1 + δ1kTij2 = 0,
− x3∂1Tijk + x1∂3Tijk − δ3i T1jk + δ1i T3jk − δ3jTi1k+
+ δ1jTi3k − δ3kTij1 + δ1kTij3 = 0,
�èìàíîâû ïðîñòðàíñòâà ïîñòîÿííîé êðèâèçíû 191
k
2
x3x1∂1Tijk +
k
2
x3x2∂2Tijk +
[
1 − k
4
(x12
+ x22 − x32
)
]
∂3Tijk+
+
k
2
(x3δ1i + x1δ3i )T1jk +
k
2
(x3δ2i + x2δ3i )T2jk+
+
k
2
(−x1δ1i − x2δ2i + x3δ3i )T3jk +
k
2
(x3δ1j + x1δ3j )Ti1k+
+
k
2
(x3δ2j + x2δ3j )Ti2k +
k
2
(−x1δ1j − x2δ2j + x3δ3j )Ti3k+
+ (
k
2
x3δ1k +
k
2
x1δ3k)Tij1 + (
k
2
x3δ2k +
k
2
x2δ3k)Tij2+
+
k
2
(−x1δ1k − x2δ2k + x3δ3k)Tij3 = 0,
− x3∂2Tijk + x2∂3Tijk − δ3i T2jk + δ2i T3jk − δ3jTi2k+
+ δ2jTi3k − δ3kTij2 + δ2kTij3 = 0.Èíòåãðèðóÿ äàííóþ ñèñòåìó, íàõîäèì åå îáùåå ðåøåíèå
Tijk =
cijk
[1 + k
4 (x12 + x22 + x32)]3
, (29)ãäå cijk � ïîñòîÿííûå, èç êîòîðûõ, â ñèëó êîñîé ñèììåòðèèñóùåñòâåííîé ÿâëÿåòñÿ ëèøü îäíà. Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òîòåíçîð äå�îðìàöèè, êàê è òåíçîð êðó÷åíèÿ, êîâàðèàíòíî ïî-ñòîÿíåí.Òàêèì îáðàçîì èìååò ìåñòîÒåîðåìà 2. Òðåõìåðíîå ðèìàíîâî ïðîñòðàíñòâî ïîñòîÿííîéêðèâèçíû îáëàäàåò êîâàðèàíòíî ïîñòîÿííûì êàíîíè÷åñêèìêðó÷åíèåì, èíâàðèàíòíûì îòíîñèòåëüíî ãðóïïû äâèæåíèé.5. Îáîçíà÷èâ ÷åðåç s = 2c123, âûïèøåì �óíäàìåíòàëüíóþ�îðìó êðó÷åíèÿ:
Ω =
s
[1 + k
4 (x12 + x22 + x32)]3
dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 (30)
192 Â.È.ÏàíüæåíñêèéÏóñòü D � îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü â ïðîñòðàíñòâå V 3. Òî-ãäà èíâàðèàíòíûì îáðàçîì îïðåäåëåí èíòåãðàë [3℄ υ =
∫
D
Ω. Ñäðóãîé ñòîðîíû, â ðèìàíîâîì ïðîñòðàíñòâå îïðåäåëåí îáúåìîáëàñòè D èíòåãðàëîì
υ0 =
∫
D
Ω0,ãäå Ω0 =
√
gdx1 ∧ dx2 ∧ dx3, g = det ‖gij‖. Äëÿ ìåòðèêè (24)
√
g = [1 +
k
4
(x12
+ x22
+ x32
)]−3.Ïîýòîìó îòíîøåíèå υ
υ0
îáúåìîâ êàê è îòíîøåíèå S123√
g ïëîò-íîñòåé åñòü ïîñòîÿííàÿ âåëè÷èíà s, îïðåäåëÿþùàÿ êðó÷åíèåïðîñòðàíñòâà.Ïóñòü òåïåðü V 3 = (M,g) � ïðîèçâîëüíîå òðåõìåðíîå ðèìà-íîâî ïðîñòðàíñòâî è ïóñòü êðîìå ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà g(gij)� ñèììåòðè÷åñêîãî òåíçîðíîãî ïîëÿ íàM , çàäàíî êîñîñèììåò-ðè÷åñêîå òåíçîðíîå ïîëå S(Sijk). Òîãäà êðîìå ñâÿçíîñòè Ëåâè-×èâèòà ∇(Γkij) ìû èìååì ìåòðè÷åñêóþ ñâÿçíîñòü
∇̃(Γ̃kij = Γkij +
1
2
Skij)ñ êàíîíè÷åñêèì êðó÷åíèåì S. Ïóñòü, êàê è ðàíåå, D � íåêîòî-ðàÿ îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü â ïðîñòðàíñòâå V 3. Òîãäà ìû ìîæåìâû÷èñëèòü èíòåãðàëû îò ïëîòíîñòåé S123 è √
g:
υ =
∫
D
S123dx
1 ∧ dx2 ∧ dx3, υ0 =
∫
D
√
gdx1 ∧ dx2 ∧ dx3è èíâàðèàíòíûì îáðàçîì îïðåäåëèòü îáúåìíîå êðó÷åíèå êàêîòíîøåíèå υ
υ0
è ñêàëÿðíîå êðó÷åíèå êàê îòíîøåíèå S123√
g ïëîò-íîñòåé.Îáúåìíîå êðó÷åíèå ÿâëÿåòñÿ �óíêöèîíàëîì, çàäàííîì íàìíîæåñòâå âñåõ îáëàñòåé èíòåãðèðîâàíèÿ, à ñêàëÿðíîå êðó÷å-íèå åñòü �óíêöèÿ òî÷êè.
�èìàíîâû ïðîñòðàíñòâà ïîñòîÿííîé êðèâèçíû 193Òàêèì îáðàçîì, åñëè V 3 ÿâëÿåòñÿ ðèìàíîâûì ïðîñòðàíñò-âîì ïîñòîÿííîé êðèâèçíû è êðó÷åíèå èíâàðèàíòíî îòíîñè-òåëüíî åãî ãðóïïû äâèæåíèé, òî åãî îáúåìíîå êðó÷åíèå ñîâ-ïàäàåò ñî ñêàëÿðíûì êðó÷åíèåì è ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííîé âåëè-÷èíîé.6. Ïóñòü k = 0. Òîãäà
Γ̃3
12 = Γ̃1
23 = Γ̃2
31 = −Γ̃3
21 = −Γ̃1
32 = −Γ̃2
13 = s,îñòàëüíûå � íóëè. Óðàâíåíèÿ ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà
dvk
dt
+ Γ̃kij
dxi
dt
vj = 0âåêòîðà vk = vk(t) âäîëü êðèâîé xk = xk(t) ïðèìóò âèä
dv1
dt
+ s
(
dx2
dt
v3 − dx3
dt
v2
)
= 0
dv2
dt
+ s
(
dx3
dt
v1 − dx1
dt
v3
)
= 0 (31)
dv3
dt
+ s
(
dx1
dt
v2 − dx2
dt
v1
)
= 0Èññëåäóåì ïîäðîáíåå ïàðàëëåëüíîå ïåðåíåñåíèå, íàïðèìåð,âåêòîðà v(1, 0, 0) âäîëü êðèâîé x1 = 0, x2 = 0, x3 = t, ò.å. âäîëüîñè x3. Óðàâíåíèÿ (31) â ýòîì ñëó÷àå âûãëÿäÿò òàê:
dv1
dt
− sv2 = 0,
dv2
dt
+ sv1 = 0,
dv3
dt
= 0. (32)Èíòåãðèðóÿ ýòó ñèñòåìó, íàõîäèì åå îáùåå ðåøåíèå:
v1 =
√
c21 + c22 cos(st− ϕ0), v
2 = −
√
c21 + c22 sin(st− ϕ0), v
3 = c3,
(33)ãäå ϕ0 = arctg c2
c1
.Èç íà÷àëüíûõ óñëîâèé ñëåäóåò, ÷òî c1 = 1, c2 = 0, c3 = 0.Ïîýòîìó êîíåö âåêòîðà v îïèñûâàåò âèíòîâóþ ëèíèþ
−→r = −→r {cos(st), sin(st), t}, (34)
194 Â.È.Ïàíüæåíñêèéëåæàùóþ íà ïðÿìîì ãåëèêîèäå, êîòîðûé çàìåòàåòñÿ îñüþ x1ïðè ïàðàëëåëüíîì ïåðåíîñå åå âäîëü îñè x3.Ñïèñîê ëèòåðàòóðû[1℄ ßíî Ê, Áîõíåð Ñ. Êðèâèçíà è ÷èñëà Áåòòè/ Ì.� 1957.[2℄ Ýéçåíõàðò Ë.Ï. Íåïðåðûâíûå ãðóïïû ïðåîáðàçîâàíèé/ Ì. � 1947.[3℄ Ñòåðíáåðã Ñ. Ëåêöèè ïî äè��åðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè/ Ì. � 1970.
|