О существовании псевдокиллинговых и псевдогармонических векторных полей на многообразиях Римана-Картана
Приведена классификация многообразий Римана-Картана. Изучены геометрические свойства некоторых из выделенных классов многообразий Римана-Картана. Получены условия, которые препятствуют существованию псевдокиллинговых и псевдогармонических векторных полей на многообразиях Римана-Картана некоторых...
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2009
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6302 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О существовании псевдокиллинговых и псевдогармонических векторных полей на многообразиях Римана-Картана / C.Е. Степанов, И.А. Гордеева // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 207-222. — Бібліогр.: 28 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859954459926331392 |
|---|---|
| author | Степанов, C.Е. Гордеева, И.А. |
| author_facet | Степанов, C.Е. Гордеева, И.А. |
| citation_txt | О существовании псевдокиллинговых и псевдогармонических векторных полей на многообразиях Римана-Картана / C.Е. Степанов, И.А. Гордеева // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 207-222. — Бібліогр.: 28 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Приведена классификация многообразий Римана-Картана. Изучены геометрические свойства некоторых из выделенных классов многообразий Римана-Картана. Получены условия, которые препятствуют существованию псевдокиллинговых и псевдогармонических векторных полей на многообразиях Римана-Картана некоторых классов.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:19:07Z |
| format | Article |
| fulltext |
Çáiðíèê ïðàöüIí-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè2009, ò.6, �2, 207-222Ñ.Å.ÑòåïàíîâÔèíàíñîâàÿ Àêàäåìèÿ ïðè ïðàâèòåëüñòâå �îññèéñêîéÔåäåðàöèè, ÌîñêâàE-mail: stepanov�vtsnet.ruÈ.À. �îðäååâàÂëàäèìèðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé ãóìàíèòàðíûéóíèâåðñèòåò, ÂëàäèìèðE-mail: igordeeva�list.ruÎ ñóùåñòâîâàíèèïñåâäîêèëëèíãîâûõ èïñåâäîãàðìîíè÷åñêèõ âåêòîðíûõïîëåé íà ìíîãîîáðàçèÿõ�èìàíà-ÊàðòàíàÏðèâåäåíà êëàññè�èêàöèÿ ìíîãîîáðàçèé �èìàíà-Êàðòàíà. èçó÷åíûãåîìåòðè÷åñêèå ñâîéñòâà íåêîòîðûõ èç âûäåëåííûõ êëàññîâ ìíîãîîá-ðàçèé �èìàíà-Êàðòàíà. Ïîëó÷åíû óñëîâèÿ, êîòîðûå ïðåïÿòñòâóþò ñó-ùåñòâîâàíèþ ïñåâäîêèëëèíãîâûõ è ïñåâäîãàðìîíè÷åñêèõ âåêòîðíûõïîëåé íà ìíîãîîáðàçèÿõ �èìàíà-Êàðòàíà íåêîòîðûõ êëàññîâ.Êëþ÷åâûå ñëîâà: ìíîãîîáðàçèÿ �èìàíà-Êàðòàíà, ïñåâäîêèëëèíãîâûå èïñåâäîãàðìîíè÷åñêèå âåêòîðíûå ïîëÿ1. ÂâåäåíèåÌåòðè÷åñêè-à��èííûì ïðîñòðàíñòâîì íàçûâàåòñÿ òðèïëåò
(M,g,∇), ãäå M � äè��åðåíöèðóåìîå ìíîãîîáðàçèå ðàçìåðíî-ñòè n > 1 ñ ìåòðèêîé g íåêîòîðîé ñèãíàòóðû è ëèíåéíîé ñâÿç-íîñòüþ ∇ ñ íåíóëåâûì êðó÷åíèåì S, êîòîðàÿ, âîîáùå ãîâîðÿ,íå çàâèñèò îò g. Èìåííî ýòè ïðîñòðàíñòâà â ïîñëåäíèå ïîëâåêàñòàëè îáúåêòîì èíòåíñèâíîãî èçó÷åíèÿ â òåîðåòè÷åñêîé �èçè-êå, ñâèäåòåëüñòâîì ÷åìó ñîòíè îïóáëèêîâàííûõ ñòàòåé.
© Ñ.Å. Ñòåïàíîâ, È.À. �îðäååâà, 2009
208 C.Å.Ñòåïàíîâ, È.À. �îðäååâàÍàïðîòèâ, â äè��åðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè òîëüêî ÷àñòíûåâèäû ìåòðè÷åñêè-à��èííîãî ïðîñòðàíñòâà (M,g,∇) âðåìÿ îòâðåìåíè ïîïàäàëè â ïîëå çðåíèÿ ó÷åíûõ, î ÷åì ìû ñêàæåì íè-æå, íî â öåëîì ãåîìåòðèÿ (M,g,∇) íèêîãäà íå âûçûâàëà èõàêòèâíîãî èíòåðåñà.Íà÷àëî òåîðèè ìåòðè÷åñêè-à��èííûõ ïðîñòðàíñòâ áûëî ïî-ëîæåíî Êàðòàíîì (ñì. [1℄), ïðåäëîæèâøèì âìåñòî ñâÿçíîñòèËåâè-×èâèòà ∇ â GRT (General Relativity Theory) ðàññìàò-ðèâàòü íåñèììåòðè÷íóþ ëèíåéíóþ ñâÿçíîñòü ∇, îáëàäàþùóþñâîéñòâîì ìåòðè÷íîñòè ∇g = 0. ðåçóëüòàòå ïðîñòðàíñòâî-âðåìÿ ïîëó÷àëî â äîïîëíåíèå êêðèâèçíå åùå è êðó÷åíèå.  ïîñëåäñòâèå èì áûëî îïóáëèêîâàíîåùå äâå ðàáîòû (ñì. [2℄, [3℄) â ðàçâèòèå ñâîåé òåîðèè, êîòîðàÿïîëó÷èëà íàçâàíèå Einstein-Cartan Theory of Gravity èëè ñîêðà-ùåííî ECT (ñì. [4℄). �åçóëüòàòû Êàðòàíà íàøëè îòðàæåíèå âèçâåñòíûõ ìîíîãðà�èÿõ ïî äè��åðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè ïåð-âîé ïîëîâèíû ïðîøëîãî âåêà (ñì. [5℄, [6℄).Âïëîòü äî íà÷àëà 60-õ ãîäîâ èäåÿ Êàðòàíà íå íàõîäèëà ïîä-äåðæêè ó �èçèêîâ-òåîðåòèêîâ. Òîë÷êîì ê èçó÷åíèþ ÅÑÒ ïî-ñëóæèëè ðàáîòû Êèáëà (ñì. [7℄) è Ñöèÿìû (ñì. [8℄), êîòîðûåíåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà óñòàíîâèëè ñâÿçü ìåæäó êðó÷åíèåì Sñâÿçíîñòè ∇ è ñïèí òåíçîðîì ìàòåðèè s (spin tensor of matter). ïîñëåäñòâèå áûëè îòêðûòû è äðóãèå �èçè÷åñêèå ïðèëîæå-íèÿ ECT (ñì. [9℄, [10℄). ïîñëåäñòâèå òåîðèÿ Ýéíøòåéíà-Êàðòàíà áûëà îáîáùåíàçà ñ÷åò ñíÿòèÿ òðåáîâàíèÿ ìåòðè÷íîñòè äëÿ ëèíåéíîé ñâÿçíî-ñòè ∇. Íîâàÿ òåîðèÿ ïîëó÷èëà íàçâàíèå Metri
-A�ne GaugeTheory of Gravity èëè ñîêðàùåííî MAG (ñì. [11℄, [12℄). ×èñëîðàáîò, îïóáëèêîâàííûõ â ðàìêàõ ÅÑÒ èñ÷èñëÿåòñÿ ñîòíÿìè, àâ ðàìêàõ MAG óæå äåñÿòêàìè.Îïóáëèêîâàííûå ðåçóëüòàòû èìåþò â áîëüøåé ñòåïåíè ïðè-êëàäíîé �èçè÷åñêèé õàðàêòåð. Âñå èñõîäíûå �îðìóëû áûëè
Î ñóùåñòâîâàíèè ïñåâäîêèëëèíãîâûõ âåêòîðíûõ ïîëåé 209ïîçàèìñòâîâàíû �èçèêàìè èç ðàáîò Êàðòàíà âìåñòå ñ åãî ìå-òîäîì, êîòîðûé ñåé÷àñ òàê è íàçûâàåòñÿ �ìåòîä âíåøíèõ �îðìÊàðòàíà�.Òàêæå íåòðóäíî ïðîñëåäèòü çàèìñòâîâàíèÿ è èç ìîíîãðà�èéïî äè��åðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè, íàïðèìåð, èç èçâåñòíîé ìî-íîãðà�èè Ñõîóòåíà è Ñòðîéêà (ñì. [6℄).  ýòîì êîíòåêñòå õà-ðàêòåðíà ðàáîòà Ìàê Êðåà (ñì. [13℄), ãäå áûëè âûâåäåíû íåïðè-âîäèìûå îòíîñèòåëüíî äåéñòâèÿ ïñåâäîîðòîãîíàëüíîé ãðóïïûðàçëîæåíèÿ òåíçîðîâ íåìåòðè÷íîñòè Q = −∇g, êðó÷åíèÿ S èêðèâèçíû R ñâÿçíîñòè ∇, îñíîâíûå ñîîòíîøåíèÿ íà êîòîðûåáûëè ïðèâåäåíû åùå â ìîíîãðà�èè Ñõîóòåíà è Ñòðîéêà. ñâîþ î÷åðåäü, èäåþ ñâîåé ñòàòüè Ìàê Êðåà òàêæå ïîçà-èìñòâîâàë èç äè��åðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè, ãäå óæå äàâíî èõîðîøî èçâåñòíû íåïðèâîäèìûå ðàçëîæåíèÿ òåíçîðîâ êðèâèç-íû R ðèìàíîâà è êåëåðîâà ìíîãîîáðàçèé.Âîñïîëüçîâàâøèñü ðåçóëüòàòîì Ìàê Êðåà, öåëûé êîëëåêòèâàâòîðîâ (ñì. [14℄) òàê æå êàê ýòî äåëàëîñü íå ðàç â ðèìàíîâîéãåîìåòðèè, íî ïî äðóãèì ïîâîäàì (ñì., íàïðèìåð, [15℄; [17℄, ñòð.586�620), çà ñ÷åò ïîñëåäîâàòåëüíîãî ïî-ïàðíîãî îáðàùåíèÿ âíóëü íåïðèâîäèìûõ êîìïîíåíò ðàçëîæåíèÿ òåíçîðà êðó÷åíèÿ
S âûäåëèë 3 êëàññà ïðîñòðàíñòâ (M,g,∇).Ïåðâûé êëàññ A õàðàêòåðèçóåòñÿ óñëîâèåì
S = (n− 1)−1trace S ∧ IdTM ,âòîðîé êëàññ B � óñëîâèåì S = Alt S è, íàêîíåö, òðåòèé êëàññ
C õàðàêòåðèçóåòñÿ ñëåäóþùèì ñòðîåíèåì òåíçîðà êðó÷åíèÿ
CS = S −AS −BSäëÿ ïðîèçâîëüíîé x ∈M .Òàêæå â ýòîé ñòàòüå áûëà ïðîâåäåíà ñèñòåìàòèçàöèÿ ðåçóëü-òàòîâ, ïîëó÷åííûõ â ðàìêàõ ÅÑÒ äëÿ ÷åòûðåõìåðíîãî ïðî-ñòðàíñòâà (M,g,∇). Çàìåòèì, ÷òî â îòëè÷èå îò ãåîìåòðè÷åñêîéòðàäèöèè (ñì., íàïðèìåð, [17℄, ñòð. 585-620) íàðÿäó ñ êëàññàìè
A, B è C ïðîñòðàíñòâ ê ðàññìîòðåíèþ íå áûëè ïðèâëå÷åíûêëàññû A⊕ B, A⊕ C è B ⊕ C.
210 C.Å.Ñòåïàíîâ, È.À. �îðäååâàÍà êîíòðàñòå ñî âñå óâåëè÷èâàþùèìñÿ ïîòîêîì ðàáîò �èçè-êîâ, ãåîìåòðû ê íàñòîÿùåìó âðåìåíè ïî÷òè ïîòåðÿëè èíòåðåñê òåîðèè, îñíîâû êîòîðîé çàëîæèë åùå â äâàäöàòûõ ãîäàõ ïðî-øëîãî âåêà èçâåñòíûé ãåîìåòð Êàðòàí. Íàèáîëåå ÿðêèìè è, êñîæàëåíèþ, ïîñëåäíèìè ðåçóëüòàòàìè ãåîìåòðè÷åñêîé òåîðèèïðîñòðàíñòâ (M,g,∇) ÿâëÿþòñÿ ðåçóëüòàòû Âàíõåêêå è Òðè-÷åððè ïî ãåîìåòðèè �ìíîãîîáðàçèé ñ îäíîðîäíîé ñòðóêòóðîé�. ïðèíÿòîé ñîâðåìåííîé �èçèêîé òåðìèíîëîãèè ýòà òåîðèÿíàçûâàåòñÿ Riemann-Cartan Theory èëè ñîêðàùåííî RCT. �åî-ìåòðèÿ �èìàíà-Êàðòàíà ýòî ãåîìåòðèÿ ìåòðè÷åñêè-à��èííîãîïðîñòðàíñòâà (M,g,∇), ñ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé (ðèìà-íîâîé) ìåòðèêîé g è ëèíåéíîé ñâÿçíîñòüþ ∇ ñ íåíóëåâûì êðó-÷åíèåì S òàêîé, ÷òî Q = 0,∇R = 0 è ∇T = 0.Âàíõåêêå è Òðè÷åððè ([16℄) ïîëó÷èëè íåïðèâîäèìîå îòíî-ñèòåëüíî äåéñòâèÿ îðòîãîíàëüíîé ãðóïïû ðàçëîæåíèå òåíçîðàäå�îðìàöèè T = ∇ − ∇ è èñïîëüçîâàëè åãî äëÿ êëàññè�èêà-öèè ïðîñòðàíñòâ (M,g,∇), à çàòåì â äðóãèõ ðàáîòàõ èìè áûëàèçó÷åíà ãåîìåòðèÿ ïðîñòðàíñòâ èç âûäåëåííûõ 6 êëàññîâ.Èç âñåõ âèäîâ à�èííî-ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ (M,g,∇)â ãåîìåòðèè ïîñëåäîâàòåëüíî â òå÷åíèå äëèòåëüíîãî âðåìåíèèçó÷àëèñü òîëüêî �÷åòâåðòü-ñèììåòðè÷åñêèå ìåòðè÷åñêèå ïðî-ñòðàíñòâà�, è èõ ÷àñòíûé âèä �ïîëóñèììåòðè÷åñêèå ìåòðè÷å-ñêèå ïðîñòðàíñòâà�, (ñì. [18℄-[22℄).×åòâåðòü-ñèììåòðè÷åñêèå ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà ñóùå-ñòâóþò â ðàìêàõ RCT è ÅCT è âûäåëÿþòñÿ äîïîëíèòåëüíûìóñëîâèåì
T (X,Y ) := U(X)p(Y ) − V (Y )p(X) − g(U(X), Y )W,ãäå
g(U(X), Y ) = (Sym F )(X,Y ), g(V (X), Y ) = (Alt F )(X,Y )äëÿ íåêîòîðîãî êîâàðèàíòíîãî 2-òåíçîðà F è p(X) := g(W,X).Ïîëóñèììåòðè÷åñêèå ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà îïðåäåëÿ-þòñÿ, â ñâîþ î÷åðåäü, óñëîâèåì
T (X,Y ) := U(Y )X − U(X)Y
Î ñóùåñòâîâàíèè ïñåâäîêèëëèíãîâûõ âåêòîðíûõ ïîëåé 211äëÿ ëþáûõ âåêòîðíûõ ïîëåé X è Y íà M .�åîìåòðèÿ �â öåëîì�, ìåòðè÷åñêè-à��èííûõ ïðîñòðàíñòâ çà-ñòûëà íà ðåçóëüòàòàõ ßíî, Áîõíåðà è �îëüäáåðãà (ñì. [23℄-[25℄)ñåðåäèíû ïðîøëîãî âåêà.  èõ ðàáîòàõ â ðàìêàõ RCT äîêàçû-âàëèñü �òåîðåìû èñ÷åçíîâåíèÿ�, (vanishing theorems) äëÿ ïñåâ-äîêèëëèíãîâûõ è ïñåâäîãàðìîíè÷åñêèõ âåêòîðíûõ ïîëåé è òåí-çîðîâ íà êîìïàêòíûõ ïðîñòðàíñòâàõ (M,g,∇), âûäåëÿåìûõóñëîâèåì trace S = 0.Äàæå íå ñìîòðÿ íà ïîñëåäóþùèå ïîïûòêè îáîáùåíèÿ èõ ðå-çóëüòàòîâ çà ñ÷åò ââåäåíèÿ â ðàññìîòðåíèå êîìïàêòíûõ ìåòðè-÷åñêè-à��èííûõ ïðîñòðàíñòâ ñ ãðàíèöåé (ñì. [26℄) ýòî,ïî-ïðåæíåìó, áûëî äîêàçàòåëüñòâî òåõ æå òåîðåì èñ÷åçíîâå-íèÿ äëÿ òåõ æå âåêòîðíûõ ïîëåé è òåíçîðîâ.Ïðè ýòîì ñ�îðìóëèðîâàííûå â �òåîðåìàõ èñ÷åçíîâåíèÿ�,(vanishing theorems) óñëîâèÿ ïðåïÿòñòâèÿ ñóùåñòâîâàíèþ ïñåâ-äîêèëëèíãîâûõ è ïñåâäîãàðìîíè÷åñêèõ âåêòîðíûõ ïîëåé è òåí-çîðîâ ïîðàæàþò ñâîåé ãðîìîçäêîñòüþ, â îòëè÷èå îò òåîðåì äëÿêèëëèíãîâûõ è ãàðìîíè÷åñêèõ âåêòîðíûõ ïîëåé è òåíçîðîâ íàðèìàíîâûõ ìíîãîîáðàçèÿõ. Ïðè ýòîì ñëåäóåò îñîáî îòìåòèòü,÷òî ãåîìåòðèÿ òàêèõ âåêòîðîâ è òåíçîðîâ íè äî, íè ïîñëå öè-òèðóåìûõ íàìè ðàáîò íèêåì íå èçó÷àëàñü.íàì óäàëîñü íàìåòèòü ïóòè ìîäåðíèçàöèè ýòîé òåõíèêè, ïðèýòîì ïåðâûå ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû, àíîíñèðîâàííûå íà Ìåæ-äóíàðîäíîé êîí�åðåíöèè ��åîìåòðèÿ â Îäåññå � 2008� è íàÌåæäóíàðîäíîé êîí�åðåíöèè ïî äè��åðåíöèàëüíûì óðàâíå-íèÿì è äèíàìè÷åñêèì ñèñòåìàì â Ñóçäàëå â 2008 ãîäó (ñì[27℄, [28℄), èìåþò ãåîìåòðè÷åñêè ñîäåðæàòåëüíûé è êîìïàêò-íûé âèä, ÷òî âíóøàåò óâåðåííîñòü â ïðàâèëüíîñòè âûáðàííîãîíàïðàâëåíèÿ èññëåäîâàíèé. íàñòîÿùåé ñòàòüå áóäóò èçëîæåíû íåêîòîðûå ãåîìåòðè÷å-ñêèå ñâîéñòâà íåêîòîðûõ êëàññîâ ïðîñòðàíñòâ �èìàíà-Êàðòàíà
(M,g,∇), êîòîðûå äî ñèõ ïîð íå ïîïàëè â ïîëå çðåíèÿ ãåîìåò-ðîâ è óñëîâèÿ, ïðåïÿòñòâóþùèå èõ ñóùåñòâîâàíèþ.
212 C.Å.Ñòåïàíîâ, È.À. �îðäååâàÊðîìå òîãî, íàìè áûëè ïîëó÷åíû óñëîâèÿ ïðåïÿòñòâèÿ ñó-ùåñòâîâàíèÿ ïñåâäîêèëëèíãîâûõ è ïñåâäîãàðìîíè÷åñêèõ âåê-òîðíûõ ïîëåé íà ìíîãîîáðàçèÿõ �èìàíà-Êàðòàíà îòäåëüíûõêëàññîâ. 2. Ìíîãîîáðàçèå �èìàíà-Êàðòàíà2.1. Ìíîãîîáðàçèå �èìàíà-Êàðòàíà îïðåäåëÿåòñÿ (ñì. [12℄)êàê òðèïëåò (M,g,∇), ãäå M - n-ìåðíîå (n ≥ 2) ìíîãîîáðà-çèå ñ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííûì ìåòðè÷åñêèì òåíçîðîì gij èëèíåéíîé íåñèììåòðè÷åñêîé ñâÿçíîñòüþ ∇ ñ êîý��èöèåíòàìè
Γ
i
jk òàêîé, ÷òî
∇kgij = ∂kgij − gljΓ
l
ik − gilΓ
l
jk = 0, (2.1)ãäå ∂k = ∂/∂xk, â ëîêàëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò x1, x2, . . . , xn íà
M . Ïîñêîëüêó ñâÿçíîñòü ∇ íå ïðåäïîëàãàåòñÿ ñèììåòðè÷íîé,òî äëÿ íåå îïðåäåëåí òåíçîð êðó÷åíèÿ ñâÿçíîñòè S ñ êîìïîíåí-òàìè S k
ij = 2−1(Γ
k
ij − Γ
k
ji).Êîý��èöèåíòû ñâÿçíîñòè ∇ âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ñèìâî-ëû Êðèñòî��åëÿ Γijk ñâÿçíîñòè Ëåâè-×èâèòà ∇ ïîñðåäñòâîìðàâåíñòâà (ñì. [25℄, ñòð. 78)
Γ
k
ij = Γkij + S k
ij − Skij − Skji. (2.2)Íàðÿäó ñ òåíçîðîì êðó÷åíèÿ S ñâÿçíîñòè ∇ îïðåäåëÿåòñÿòåíçîð äå�îðìàöèè T = ∇ − ∇ ñâÿçíîñòè ∇ â ñâÿçíîñòü ∇,÷üè êîìïîíåíòû T k
ij = Γ
k
ij − Γkij èìåþò ñâÿçü ñ êîìïîíåíòà-ìè òåíçîðà êðó÷åíèÿ S, âûðàæàþùóþñÿ ðàâåíñòâàìè (2.2) è
S k
ij = 2−1(T k
ij − T k
ji ). Èç íèõ, â ÷àñòíîñòè, ïîñëåäóåò, ÷òî
T l
il = 2S l
il . (2.3)Îäíîâðåìåííî èç (2.1) âûâîäèì, ÷òî
Tikj + Tjki = 0. (2.4)
Î ñóùåñòâîâàíèè ïñåâäîêèëëèíãîâûõ âåêòîðíûõ ïîëåé 213Èçâåñòíû òàêæå óðàâíåíèÿ, ñâÿçûâàþùèå êîìïîíåíòû òåí-çîðîâ êðèâèçíû R è R , �è÷÷è Ric è Ric è ñêàëÿðíûå êðèâèçíû
Scal è Scal ñâÿçíîñòåé ∇ è ∇, âèäà (ñì. [14℄; [25℄, ñòð. 80)
R
l
ijk = R l
ijk + ∇iT
l
kj −∇jT
l
ki + T l
miT
m
kj − T l
mjT
m
ki , (2.5)
Rjk = Rjk + ∇lT
l
kj −∇jTk − TmT
m
kj − T l
mjT
m
kl , (2.6)
Scal = Scal − 2∇jT
j − TijkT
kij − TjT
j, (2.7)ãäå T j = gklTjkl.2.2. Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ìíîãîîáðàçèå M � êîìïàêòíîåè îðèåíòèðîâàííîå ñ ýëåìåíòîì îáúåìà
dv =
√
det g dx1 ∧ dx2 ∧ · · · ∧ dxn,òîãäà áóäåò ñïðàâåäëèâîé òåîðåìà �ðèíà (ñì. [25℄, ñòð. 30)
∫
M
(div ξ)dv = 0.Çäåñü íà îñíîâàíèè (2.3) èìååì
div ξ = ∇iξ
i = ∇iξ
i + 2ξkSikj,à ïîòîìó íà ìíîãîîáðàçèÿõ �èìàíà-Êàðòàíà (M,g,∇) êëàññà
B ⊕ C è òîëüêî íà íèõ ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà
div ξ = trace ∇ξ = trace∇ ξäëÿ ëþáîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ ξ.Ìîæíî îïðåäåëèòü òàêæå ïîëíûå ñêàëÿðíûå êðèâèçíû
Scal(M) =
∫
M
Scal dvè
Scal(M) =
∫
M
Scal dv
214 C.Å.Ñòåïàíîâ, È.À. �îðäååâàìíîãîîáðàçèÿ (M,g,∇). Ïðè ýòîì íà îñíîâàíèè òåîðåìû �ðèíàèç ðàâåíñòâ (2.7) âûâîäèòñÿ óðàâíåíèå ñâÿçè
Scal(M) = Scal(M) −
∫
M
(TijkT
kij + 4‖trace S‖2)dv. (2.8)Äëÿ ìíîãîîáðàçèé �èìàíà-Êàðòàíà (M,g,∇) êëàññà A ⊕ Bóñëîâèÿ ñâÿçè (2.7) ïðèíèìàþò ñëåäóþùèé âèä:
Scal(M) = Scal(M)−4∇jS
j−3SijkS
ijk−2(2n−5)(n−1)−1SjS
j.Äàííîå ðàâåíñòâî íà îñíîâàíèè òåîðåìû �ðèíà ïðèâîäèòñÿê âèäó
Scal(M) = Scal(M)−
∫
M
(3‖S‖2+2(2n−5)(n−1)−1‖trace S‖2)dv.À ïîòîìó ïðè n ≥ 3 ñóùåñòâóåò ïðåïÿòñòâèå äëÿ çàäàíèÿ íå-ñèììåòðè÷åñêîé ìåòðè÷åñêîé ñâÿçíîñòè ∇ êëàññà A⊕B íà ðè-ìàíîâîì ìíîãîîáðàçèè (M,g) â âèäå óñëîâèÿ íà ïîëíûå ñêàëÿð-íûå êðèâèçíû Scal(M) ≥ Scal(M) ñâÿçíîñòåé ∇ è ∇, ïðè÷åìðàâåíñòâî âûïîëíÿåòñÿ òîëüêî â ñëó÷àå èõ ñîâïàäåíèÿ: ∇ = ∇.Òàêæå çàìåòèì, ÷òî èç (2.7) äëÿ ìíîãîîáðàçèé (M,g,∇)êëàññà B èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî Scal = Scal − ‖T‖2. À ïîòîìóñóùåñòâóåò îãðàíè÷åíèå äëÿ çàäàíèÿ íåñèììåòðè÷åñêîé ìåò-ðè÷åñêîé ñâÿçíîñòè ∇ êëàññà B íà ðèìàíîâîì ìíîãîîáðàçèè
(M,g) â âèäå óñëîâèÿ íà ñêàëÿðíûå êðèâèçíû Scal ≥ Scal ñâÿç-íîñòåé ∇ è ∇, ïðè÷åì ðàâåíñòâî âûïîëíÿåòñÿ òîëüêî â ñëó÷àåèõ ñîâïàäåíèÿ: ∇ = ∇.Äëÿ ìíîãîîáðàçèé �èìàíà-Êàðòàíà (M,g,∇) êëàññà A èç(2.7) èìååì
Scal = Scal − 4(∇jS
j + n(n− 1)−1SjS
j).
Î ñóùåñòâîâàíèè ïñåâäîêèëëèíãîâûõ âåêòîðíûõ ïîëåé 215 ýòîì ñëó÷àå äëÿ êîìïàêòíîãî ìíîãîîáðàçèÿ M óðàâíåíèÿñâÿçè (2.8) ïðèíèìàþò ñëåäóþùèé âèä:
Scal(M) = Scal(M) − 4n(n − 1)−1
∫
M
‖trace S‖2dv.À ïîòîìó ñóùåñòâóåò ïðåïÿòñòâèå äëÿ çàäàíèÿ íåñèììåòðè÷å-ñêîé ìåòðè÷åñêîé ñâÿçíîñòè ∇ êëàññà A íà ðèìàíîâîì ìíîãî-îáðàçèè (M,g) â âèäå óñëîâèÿ íà ïîëíûå ñêàëÿðíûå êðèâèçíû
Scal(M) ≥ Scal(M) ñâÿçíîñòåé ∇ è ∇, ïðè÷åì ðàâåíñòâî âû-ïîëíÿåòñÿ òîëüêî â ñëó÷àå èõ ñîâïàäåíèÿ: ∇ = ∇.3. Ïñåâäîêèëëèíãîâîå âåêòîðíîå ïîëå3.1. Âåêòîðíîå ïîëå Êèëëèíãà ξ îïðåäåëÿåòñÿ íà ðèìàíîâîììíîãîîáðàçèè (M,g) óñëîâèåì Lξg = 0 äëÿ ïðîèçâîäíîé Ëè
Lξ ïî îòíîøåíèþ ê âåêòîðíîìó ïîëþ ξ. Èñïîëüçóÿ ïðàâèëîâû÷èñëåíèÿ ïðîèçâîäíîé Ëè (ñì. [25℄, ñòð. 40)
Lξgij = ξk∂kgij + gkj∂iξ
k + gik∂jξ
k, (3.1)íàõîäèì âûðàæåíèå ïðîèçâîäíîé Ëè â ñâÿçíîñòè ∇ (ñì. òàìæå)
Lξgij = ∇iξj + ∇jξi, (3.2)è â íåñèììåòðè÷åñêîé ìåòðè÷åñêîé ñâÿçíîñòè ∇
Lξgij = ∇iξj + ∇jξi − 2(Skij + Skji)ξ
k. (3.3)Âåêòîðíîå ïîëå ξ íà ìíîãîîáðàçèè �èìàíà-Êàðòàíà (M,g,∇)íàçûâàåòñÿ ïñåâäîêèëëèíãîâûì (ñì. [25℄, ñòð. 86), åñëè îíî óäî-âëåòâîðÿåò óðàâíåíèÿì
∇iξj + ∇jξi = 0. (3.4)Èç (3.2) è (3.3) âûâîäèì, ÷òî äëÿ Skij + Skji = 0 óðàâíå-íèÿ êèëëèíãîâûõ è ïñåâäîêèëëèíãîâûõ âåêòîðíûõ ïîëåé ñîâ-ïàäàþò, à ïîòîìó íà ìíîãîîáðàçèÿõ �èìàíà-Êàðòàíà (M,g,∇)êëàññà B êàæäîå âåêòîðíîå ïîëå Êèëëèíãà ÿâëÿåòñÿ ïñåâäî-êèëëèíãîâûì, âåðíî è îáðàòíîå.
216 C.Å.Ñòåïàíîâ, È.À. �îðäååâàÎïèðàÿñü íà óñòàíîâëåííûé �àêò çàêëþ÷àåì, ÷òî óñëîâè-åì ïðåïÿòñòâèÿ äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ïñåâäîêèëëèíãîâûõ âåê-òîðíûõ ïîëåé íà êîìïàêòíîì ìíîãîîáðàçèè (M,g,∇) êëàññà
B áóäåò õîðîøî èçâåñòíîå óñëîâèå îòðèöàòåëüíîé îïðåäåëåí-íîñòè òåíçîðà �è÷÷è Ric ñâÿçíîñòè Ëåâè-×èâèòà ∇ (ñì. [25℄,ñòð. 36).3.2.  ìîíîãðà�èè [25℄ áûëè íàéäåíû óñëîâèÿ ïðåïÿòñòâèÿñóùåñòâîâàíèþ ïñåâäîêèëëèíãîâûõ âåêòîðíûõ ïîëåé íà êîì-ïàêòíûõ ìíîãîîáðàçèÿõ �èìàíà-Êàðòàíà (M,g,∇) êëàññà B ⊕
C. Óñëîâèÿ ýòè, â ÷åì íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, íîñÿò äîâîëüíî ãðî-ìîçäêèé õàðàêòåð.  êà÷åñòâå îáîáùåíèÿ ïîëó÷åííûõ ðåçóëü-òàòîâ (òàê ïî òåêñòó) áûëà äîêàçàíà (ñì. [25℄, ñòð. 91-92) ñëå-äóþùàÿ òåîðåìà:Åñëè íà êîìïàêòíîì ìíîãîîáðàçèè (M,g,∇) ñ òåí-çîðîì êðó÷åíèÿ S, óäîâëåòâîðÿþùèì óðàâíåíèÿì âèäà Sijk −
Sikj + gijAk − gikAj = 0, êâàäðàòè÷íàÿ �îðìà Rijξiξj ÿâëÿåò-ñÿ íåïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé, òî êàæäîå ïñåâäîêèëëèíî-âîå âåêòîðíîå ïîëå ξ äîëæíî èìåòü ðàâíûå íóëþ êîâàðèàíò-íûå ïðîèçâîäíûå îòíîñèòåëüíî ñâÿçíîñòè ∇. Åñëè æå �îð-ìà Rijξ
iξj ÿâëÿåòñÿ îòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííîé, òî íå ñó-ùåñòâóåò ïñåâäîêèëëèíãîâà âåêòîðíîãî ïîëÿ, îòëè÷íîãî îòíóëÿ.Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî äàííàÿ òåîðåìà ñïðàâåäëèâà òîëüêîäëÿ ïîëóñèììåòðè÷åñêèõ ñâÿçíîñòåé. Ïðîâåäåì àíàëèç, ïðèâå-äåííîãî â òåîðåìå óðàâíåíèÿ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî òåíçîð êðó-÷åíèÿ S ñâÿçíîñòè ∇ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ
Sijk − Sikj + gijAk − gikAj = 0. (3.5)Ïåðåïèøåì óñëîâèÿ (3.5) äâàæäû:
Sijk − Sikj + gijAk − gikAj = 0. (3.5a),
Sjik − Sjki + gijAk − gjkAi = 0. (3.5b).
Î ñóùåñòâîâàíèè ïñåâäîêèëëèíãîâûõ âåêòîðíûõ ïîëåé 217Ñëîæèì îáà óðàâíåíèÿ, ïîëó÷èì:
−Sikj − Sjki = Skij + Skji = −2gijAk + gikAj + gjkAi. èòîãå èìååì:
Skij + Skji = −2gijAk + gikAj + gjkAi. (3.6)�àññìîòðèì ýòî óðàâíåíèå ñîâìåñòíî ñ óðàâíåíèåì (3.5)
Skij − Skji + gikAj − gkjAi = 0. (3.5c)Âû÷èòàÿ (3.5
) èç (3.6), ïîëó÷àåì:
2Skji = 2(−gijAk + gkiAj)èëè
Skji = gkiAj − gijAk.Îòêóäà ñâåðòêîé ñ ìåòðè÷åñêèì òåíçîðîì gij íàõîäèì
S l
kl = Skjig
ij = (1 − n)Ak,ò.å.
Ak = −(n− 1)−1Sk,ãäå Sk = S l
kl . Ïîýòîìó
Skji = (n− 1)−1(gijSk − gkiSj)èëè
S i
kj = (n− 1)−1(δijSk − δikSj),÷òî ñîîòâåòñòâóåò óñëîâèÿì ïîëóñèììåòðè÷åñêîé ñâÿçíîñòè. èòîãå çàêëþ÷àåì, ÷òî â ïðèâåäåííîé âûøå òåîðåìå Ê. ßíîðå÷ü èäåò î ìíîãîîáðàçèÿõ �èìàíà-Êàðòàíà (M,g,∇) êëàññà Aè òîëüêî î íèõ. À ïîòîìó îá îáîáùåíèè, êîòîðîå áûëî çàÿâëåíî,ãîâîðèòü íå ñîâñåì êîððåêòíî.ÑïðàâåäëèâàÒåîðåìà 1. Åñëè â êîìïàêòíîì ìíîãîîáðàçèè �èìàíà-Êàð-òàíà (M,g,∇) êëàññà A êâàäðàòè÷íàÿ �îðìà Rijξiξj ÿâëÿåòñÿíåïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé, òî êàæäîå ïñåâäîêèëëèíãîâîåâåêòîðíîå ïîëå ξ äîëæíî èìåòü ðàâíûå íóëþ êîâàðèàíòíûå
218 C.Å.Ñòåïàíîâ, È.À. �îðäååâàïðîèçâîäíûå îòíîñèòåëüíî êîý��èöèåíòîâ à��èííîé ñâÿçíî-ñòè ìíîãîîáðàçèÿ. Åñëè �îðìà Rijξiξj ÿâëÿåòñÿ îòðèöàòåëü-íî îïðåäåëåííîé, òî íå ñóùåñòâóåò ïñåâäîêèëëèíãîâà âåêòîð-íîãî ïîëÿ, îòëè÷íîãî îò íóëÿ.4. Ïñåâäîãàðìîíè÷åñêîå âåêòîðíîå ïîëåÂåêòîðíîå ïîëå ξ íàçûâàåòñÿ ïñåâäîãàðìîíè÷åñêèì (ñì. [25℄,ñòð. 84), åñëè
∇iξj −∇jξi = 0, ∇iξ
i = 0. (4.1)Ïðèòîì, ÷òî ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâ
Γ
k
ij = T k
ij + Γ k
ij ,
S k
ij = 2−1(T k
ij − T k
ji )è (2.3) óðàâíåíèÿì (4.1) ìîæíî ïðèäàòü ñëåäóþùèé âèä
∇iξj −∇jξi + 2ξkS
k
ij = 0, ∇iξ
i + 2ξkS i
ki = 0. (4.2)Èç (4.1) è (4.2) íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò, ÷òî ñîâïàäåíèå ïñåâ-äîãàðìîíè÷åñêèõ è ãàðìîíè÷åñêèõ âåêòîðíûõ ïîëåé ìîæíîîæèäàòü òîëüêî íà ìíîãîîáðàçèÿõ �èìàíà-Êàðòàíà (M,g,∇)êëàññà B ⊕ C. ìîíîãðà�èè [25℄ áûëè íàéäåíû, óñëîâèÿ ïðåïÿòñòâèÿ ñó-ùåñòâîâàíèþ ïñåâäîãàðìîíè÷åñêèõ âåêòîðíûõ ïîëåé íà êîì-ïàêòíûõ ìíîãîîáðàçèÿõ �èìàíà-Êàðòàíà (M,g,∇) êëàññà B ⊕
C. Óñëîâèÿ ýòè, êàê è â ñëó÷àå ïñåâäîêèëëèíãîâûõ âåêòîðíûõïîëåé, íîñèëè çà÷àñòóþ äîâîëüíî ãðîìîçäêèé õàðàêòåð. Íàìèáóäåò äîêàçàíà ñëåäóþùàÿÒåîðåìà 2. Åñëè íà êîìïàêòíîì ìíîãîîáðàçèè �èìàíà-Êàð-òàíà (M,g,∇) êëàññà A⊕B êâàäðàòè÷íàÿ �îðìà Rijξiξj ÿâëÿ-åòñÿ íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííîé, òî êàæäîå ïñåâäîãàðìî-íè÷åñêîå âåêòîðíîå ïîëå ξ äîëæíî èìåòü ðàâíûå íóëþ êîâà-ðèàíòíûå ïðîèçâîäíûå îòíîñèòåëüíî ñâÿçíîñòè ∇. Åñëè æå�îðìà Rijξiξj ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé, òî íå
Î ñóùåñòâîâàíèè ïñåâäîêèëëèíãîâûõ âåêòîðíûõ ïîëåé 219ñóùåñòâóåò ïñåâäîãàðìîíè÷åñêîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ, îòëè÷íî-ãî îò íóëÿ. íà÷àëå äîêàçàòåëüñòâà ñîøëåìñÿ íà òåîðåìó 7.20 ìîíîãðà-�èè [25℄, â êîòîðîé óòâåðæäàåòñÿ, ÷òî íà êîìïàêòíîì ìíîãî-îáðàçèè (M,g,∇) íå ìîæåò âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâî
(Rij +Rji)ξ
iξj − 2(Sijk + Sikj − gijBk − gikBj)ξ
i∇ kξj+
+ (gjlgkm + gjmgkl)∇ kξj∇ mξl ≥ 0äëÿ ëþáîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ Bk è ïñåâäîãàðìîíè÷åñêîãî âåê-òîðíîãî ïîëÿ ξ, åñëè òîëüêî íå èìååò ìåñòà ñîîòâåòñòâóþùååðàâåíñòâî.  ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà òåíçîð êðó÷åíèÿ óäîâëå-òâîðÿåò óðàâíåíèþ âèäà
Sijk + Sikj = gikBj + gijBk + gjkAi, (4.3)ïðèâåäåííîå âûøå óñëîâèå çàïèøåòñÿ òàê
(Rij +Rji)ξ
iξj + (gjlgkm + gjmgkl)∇ kξj∇ mξl ≥ 0 (4.4)è, ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííîé êâàäðà-òè÷íîé �îðìû Rijξ
iξj èç (4.4) ïîñëåäóåò, ÷òî êàæäîå ïñåâäî-ãàðìîíè÷åñêîå âåêòîðíîå ïîëå ξ äîëæíî èìåòü ðàâíûå íóëþêîâàðèàíòíûå ïðîèçâîäíûå îòíîñèòåëüíî ñâÿçíîñòè ∇.Ñ äðóãîé ñòîðîíû, äëÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé êâàäðà-òè÷íîé �îðìû Rijξ
iξj óñëîâèå (4.4) âûïîëíÿåòñÿ àâòîìàòè÷å-ñêè è, ñëåäîâàòåëüíî, ïñåâäîãàðìîíè÷åñêèõ âåêòîðíûõ ïîëåé
ξ íà òàêîì ìíîãîîáðàçèè �èìàíà-Êàðòàíà (M,g,∇) íå ñóùå-ñòâóåò.Ïðîâåäåì àíàëèç óðàâíåíèé (4.3). Äëÿ ýòîãî íàéäåì Ai è Bi,ñâåðíóâ (4.3) ïîñëåäîâàòåëüíî ñ gjk, à çàòåì ñ gij . Ó÷èòûâàÿ,÷òî Sijk + Sjik = 0, ïîëó÷èì:
{
2Si = 2Bi + nAi
−Sk = (1 + n)Bk +Ak
,
220 C.Å.Ñòåïàíîâ, È.À. �îðäååâàîòêóäà ñëåäóåò, ÷òî
Bi = − (n− 1)Si,
Ai =2(n− 1)Si. èòîãå ïîëó÷àåì ðàâåíñòâà
Sijk + Sikj = (n− 1)−1(2gjkSi − gikSj − gijSk),êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ îïðåäåëÿþùèìè äëÿ ìíîãîîáðàçèé �èìàíà-Êàðòàíà êëàññà ∇ ∈ A⊕ B.Äîêàçàííàÿ òåîðåìà ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì òåîðåìû 7.10 (ñì.[25℄, ñòð. 85) íà ñëó÷àé íåñèììåòðè÷åñêîé ìåòðè÷åñêîé ñâÿçíî-ñòè êëàññà A⊕ B. çàêëþ÷åíèå ñäåëàåì îäíî çàìå÷àíèå. Ïîñêîëüêó ìíîãîîá-ðàçèÿ �èìàíà-Êàðòàíà (M,g,∇) êëàññà A⊕ B âêëþ÷àþò â ñå-áÿ â êà÷åñòâå ÷àñòíûõ âèäîâ ìíîãîîáðàçèÿ �èìàíà-Êàðòàíà
(M,g,∇) êëàññîâ A è B, òî äîêàçàííàÿ òåîðåìà èìååò ìåñòîè äëÿ ýòèõ êëàññîâ ìíîãîîáðàçèé.Ñïèñîê ëèòåðàòóðû[1℄ Cartan E. Sur les vari�et�es �a
onnexion a�ne et la th�eorie de la relativ�eg�en�eralis�ee. Part I. // Ann. �E
. Norm. � 1923. � 40. � Pp. 325�412.[2℄ Cartan E. Sur les vari�et�es �a
onnexion a�ne et la th�eorie de la relativ�eg�en�eralis�ee. Part I. // Ann. �E
. Norm. � 1924. � 41. � Pp. 1�25.[3℄ Cartan E. Sur les vari�et�es à
onnexion a�ne et la th�eorie de la relativ�eg�en�eralis�ee. Part II. // Ann. �E
. Norm. � 1925. � 42. � Pp. 17�88.[4℄ Arkuszewski W., Kop
zynski W., Ponomariev V.N. Mat
hing Conditionsin the Einstein-Cartan Theory of Gravitation // Commun. math. Phys. �1975.�45. � Pp. 183-�190.[5℄ Ýéçåíõàðò Ë.Ï. �èìàíîâà ãåîìåòðèÿ, �Ì.: ÈË, 1948[6℄ Ñõîóòåí È.À., Ñòðîéê Ä.Äæ. Ââåäåíèå â íîâûå ìåòîäû äè��åðåí-öèàëüíîé ãåîìåòðèè, Ò.1.: Ïåð. ñ íåì. � Ì.: ÈË, 1939. � 181 ñ.[7℄ Kibble T.W.B. Lorenz invarian
e and the gravitational �eld // J. Math.Phys. � 1961. � 2. � Pp. 212�221.[8℄ S
iama D.W. On the analogy between
hange and spin in general relativity// Re
ent developments in General Relativity. � Oxford: Pergamon Press
& Warszawa: PWN. � 1962. � Pp. 415�439.
Î ñóùåñòâîâàíèè ïñåâäîêèëëèíãîâûõ âåêòîðíûõ ïîëåé 221[9℄ Ruggiero M.L. and Tartaglia A. Einstein�Cartan theory as a theory ofdefe
ts in spa
e-time. // Amer. J. Phys. � 2003. � 71. � Pp. 1303�1313.[10℄ Penrose R. Spinors and torsion in general relativity. // Found. of Phys.,� 1983. � 13. � Pp. 325-339.[11℄ Hehl F.W., M
Crea J.D., Mielke E.W., Ne'eman Y.Metri
-A�ne GaugeTheory of Gravity: Field Equations, Noether Identities, World Spinors, andBreaking of Dilation Invarian
e. // Phys. Rep. � 1995. � 258.[12℄ Trautman A. The Einstein�Cartan theory // En
y
lopedia ofMathemati
al Physi
s // Oxford: Elsevier. � 2006. � 2. � Pp. 189�195.[13℄ M
Crea J. D., Irredu
ible de
ompositions of non-metri
ity, torsion,
urvature and Bian
hi identities in metri
a�ne spa
e-times. //Class.Quant.Grav.�1992. � 9. � Pp. 553-568.[14℄ Capozziello S., Lambiase G., Stornaiolo C. Geometri
lassi�
ation of thetorsion tensor in spa
e-time. // Annalen Phys. � 2001. � 10. � Pp. 713�727.[15℄ Gray A. and Hervella L. M. The sixteen
lasses of almost Hermitianmanifolds and their linear invariants. // Ann. Mat. Pura e Appl. � 1980.� 123. � Pp.35�58.[16℄ Tri
erri F. and Vanhe
ke L. Homogeneous stru
tures on Riemannianmanifolds. // London Math. So
. Le
ture Notes Series, Cambridge Univ.Press, Cambridge. � 1983., 83.[17℄ Áåññå À. Ìíîãîîáðàçèÿ Ýéíøòåéíà: Â 2-õ ò. Ò. II. Ïåð. ñ àíãë. � Ì.:Ìèð, 1990. � 384 ñ.[18℄ Yano K. On semi-symmetri
metri
onne
tion. // Revue Romanie math.pur. appl. � 1970. � 15. � Pp. 1579-1586.[19℄ De U.C., Sengupta J. On a type of semi-symmetri
metri
onne
tion onan almost
onta
t metri
manifold. // Filomat. � 2000. � 14. � Pp. 33�42.[20℄ Prasad B., Verma R.K. On a type of semi-symmetri
non-metri
onne
tion on a Riemannian manifold // Bull. Cal
utta Math. So
. � 2004.� 96. �6. � Pp.483�488.[21℄ Uysal S.A., Laleo�glu R. �O. On weakly symmetri
spa
es with semi-symmetri
metri
onne
tion // Publ. Math. � 2005. � 67. �1�2. � Pp.145�154.[22℄ Ya�sar E., C�oken A.C., Y�u
esan A. Totally umbili
al lightlikehypersurfa
es in semi�Riemannian manifold with semi-symmetri
metri
onne
tion // Int. J. Pure Appl. Math. � 2005. � 23. �3. � Pp. 379�391.[23℄ Bo
hner S., Yano K. Tensor-�elds in non-symmetri
onne
tions. // TheAnnals of Mathemati
s, 2nd Ser. � 1952. � 56. �3. � Pp. 504�519.[24℄ Goldberg S.I. On pseudo-harmoni
and pseudo-Killing ve
tor in metri
manifolds with torsion. // The Annals of Mathemati
s, 2nd Ser. � 1956. �64. �2. � Pp. 364�373.
222 C.Å.Ñòåïàíîâ, È.À. �îðäååâà[25℄ ßíî Ê., Áîõíåð Ñ. Êðèâèçíà è ÷èñëà Áåòòè.: Ïåð. ñ àíãë. � Ì.: ÈË.,1957. � 152 ñ.[26℄ Kubo Y. Ve
tor �elds in a metri
manifold with torsion and boundary. //Kodai Math. Sem. Rep. � 1972. � 24. � Pp. 383�395.[27℄ �îðäååâà È.À. Ïñåâäîêèëëèíãîâûå âåêòîðíûå ïîëÿ íà ìíîãîîáðàçè-ÿõ �èìàíà-Êàðòàíà. � Òåçèñû äîêëàäîâ Ìåæäóíàðîäíîé êîí�åðåíöèè��åîìåòðèÿ â Îäåññå� (Îäåññà, 19-24 ìàÿ 2008 ã.), Ôîíä �Íàóêà�, Îäåññà,� 2008. 73�75
.[28℄ �îðäååâà È.À., Ñòåïàíîâ Ñ.Å. Òåîðåìà èñ÷åçíîâåíèÿ äëÿ ïñåâäîãàð-ìîíè÷åñêèõ âåêòîðíûõ ïîëåé íà ìíîãîîáðàçèè �èìàíà-Êàðòàíà. Òå-çèñû äîêëàäîâ Ìåæäóíàðîäíîé êîí�åðåíöèè ïî äè��åðåíöèàëüíûìóðàâíåíèÿì è äèíàìè÷åñêèì ñèñòåìàì (Ñóçäàëü, 27 èþíÿ-2 èþëÿ 2008ã.), Âë�Ó, Âëàäèìèð, � 2008, 71�73
.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-6302 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1815-2910 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:19:07Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Степанов, C.Е. Гордеева, И.А. 2010-02-23T14:18:53Z 2010-02-23T14:18:53Z 2009 О существовании псевдокиллинговых и псевдогармонических векторных полей на многообразиях Римана-Картана / C.Е. Степанов, И.А. Гордеева // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 207-222. — Бібліогр.: 28 назв. — рос. 1815-2910 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6302 Приведена классификация многообразий Римана-Картана. Изучены геометрические свойства некоторых из выделенных классов многообразий Римана-Картана. Получены условия, которые препятствуют существованию псевдокиллинговых и псевдогармонических векторных полей на многообразиях Римана-Картана некоторых классов. ru Інститут математики НАН України Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" О существовании псевдокиллинговых и псевдогармонических векторных полей на многообразиях Римана-Картана Article published earlier |
| spellingShingle | О существовании псевдокиллинговых и псевдогармонических векторных полей на многообразиях Римана-Картана Степанов, C.Е. Гордеева, И.А. Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" |
| title | О существовании псевдокиллинговых и псевдогармонических векторных полей на многообразиях Римана-Картана |
| title_full | О существовании псевдокиллинговых и псевдогармонических векторных полей на многообразиях Римана-Картана |
| title_fullStr | О существовании псевдокиллинговых и псевдогармонических векторных полей на многообразиях Римана-Картана |
| title_full_unstemmed | О существовании псевдокиллинговых и псевдогармонических векторных полей на многообразиях Римана-Картана |
| title_short | О существовании псевдокиллинговых и псевдогармонических векторных полей на многообразиях Римана-Картана |
| title_sort | о существовании псевдокиллинговых и псевдогармонических векторных полей на многообразиях римана-картана |
| topic | Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" |
| topic_facet | Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6302 |
| work_keys_str_mv | AT stepanovce osuŝestvovaniipsevdokillingovyhipsevdogarmoničeskihvektornyhpoleinamnogoobraziâhrimanakartana AT gordeevaia osuŝestvovaniipsevdokillingovyhipsevdogarmoničeskihvektornyhpoleinamnogoobraziâhrimanakartana |