О достаточном условии боловости многомерной три-ткани
Дано новое простое доказательство теоремы В. И. Федоровой: частичная кососимметричность тензора кривизны многомерной три-ткани достаточна для того, чтобы эта ткань была тканью Бола....
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2009
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6306 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О достаточном условии боловости многомерной три-ткани / А.М. Шелехов // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 256-263. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859993245378936832 |
|---|---|
| author | Шелехов, А.М. |
| author_facet | Шелехов, А.М. |
| citation_txt | О достаточном условии боловости многомерной три-ткани / А.М. Шелехов // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 256-263. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Дано новое простое доказательство теоремы В. И. Федоровой: частичная кососимметричность тензора кривизны многомерной три-ткани достаточна для того, чтобы эта ткань была тканью Бола.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:33:05Z |
| format | Article |
| fulltext |
Çáiðíèê ïðàöüIí-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè2009, ò.6, �2, 256-263À.Ì.ØåëåõîâÒâåðñêîé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò, ÒâåðüE-mail: shelekhov�duma.gov.ruÎ äîñòàòî÷íîì óñëîâèè áîëîâîñòèìíîãîìåðíîé òðè-òêàíèÄàíî íîâîå ïðîñòîå äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Â.È. Ôåäîðîâîé: ÷àñòè÷-íàÿ êîñîñèììåòðè÷íîñòü òåíçîðà êðèâèçíû ìíîãîìåðíîé òðè-òêàíèäîñòàòî÷íà äëÿ òîãî, ÷òîáû ýòà òêàíü áûëà òêàíüþ Áîëà.Êëþ÷åâûå ñëîâà: òêàíü Áîëà, ñâÿçíîñòü ×åðíà, àâòîòîïèÿ1. Ââåäåíèå [1℄ áûëî âïåðâûå äîêàçàíî, ÷òî òåíçîð êðèâèçíû òêàíè Áî-ëà êîñîñèììåòðè÷åí ïî äâóì íèæíèì èíäåêñàì.  [2℄ áûëà äî-êàçàíà äîñòàòî÷íîñòü ýòîãî óñëîâèÿ äëÿ òîãî, ÷òîáû òêàíü áû-ëà áîëîâîé. Ïðèâåäåííîå â [2℄ êðàñèâîå, íî âåñüìà ñëîæíîå ãåî-ìåòðè÷åñêîå äîêàçàòåëüñòâî îïèðàåòñÿ íà ãåîäåçè÷åñêèå ñâîé-ñòâà êàíîíè÷åñêîé ñâÿçíîñòè ×åðíà, ïðèñîåäèíåííîé ê òðè-òêàíè. íàñòîÿùåé ðàáîòå ïðèâîäèòñÿ áîëåå ïðîñòîå äîêàçàòåëü-ñòâî, èäåþ êîòîðîãî ìû èñïîëüçîâàëè â ðàáîòå [3℄ äëÿ îïè-ñàíèÿ òêàíåé Áîëà, îáðàçîâàííûõ ñëîåíèÿìè ðàçíûõ ðàçìåð-íîñòåé. Íî, óêàçàâ â [3℄ òåíçîðíûå óñëîâèÿ áîëîâîñòè, èõ äî-ñòàòî÷íîñòü ìû íå äîêàçàëè. Çäåñü ïðèâåäåíî ïîäðîáíîå äî-êàçàòåëüñòâî äëÿ "êëàññè÷åñêèõ"òêàíåé Áîëà, òî åñòü òêàíåé,îáðàçîâàííûõ ñëîåíèÿìè îäèíàêîâîé ðàçìåðíîñòè.Íàïîìíèì, ÷òî òåîðåìà �îðìóëèðóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì[1℄.
© À.Ì.Øåëåõîâ, 2009
Î äîñòàòî÷íîì óñëîâèè áîëîâîñòè 257Òåîðåìà 1. Ïóñòü W � òðè-òêàíü, îáðàçîâàííàÿ òðåìÿñëîåíèÿìè ðàçìåðíîñòè r íà ãëàäêîì ìíîãîîáðàçèè M ðàç-ìåðíîñòè 2r. Åñëè òåíçîð êðèâèçíû òêàíè W óäîâëåòâîðÿåòóñëîâèþ
bij(kℓ) = 0, (1)òî òêàíü W ÿâëÿåòñÿ ñðåäíåé òêàíüþ Áîëà.1. Ñîãëàñíî [4℄, êîðåïåð ω
1
i, ω
2
i (i, j, k = 1, 2, . . . , r) íà ìíîãî-îáðàçèè M ìîæíî âûáðàòü òàê, ÷òî ñëîåíèÿ òêàíè áóäóò çà-äàâàòüñÿ óðàâíåíèÿìè ω
1
i = 0, ω
2
i = 0, ω
3
i = 0 ïðè÷åì �îðìûíîðìèðîâàíû óñëîâèåì
ω
1
i + ω
2
i + ω
3
i = 0. (2)Ôîðìû ω
1
i, ω
2
i óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèÿì ñòðóêòóðû [4℄:
dω
1
i = ω
1
j ∧ ωij + aijkω
1
j ∧ ω
1
k, dω
2
i = ω
2
j ∧ ωij − aijkω
2
j ∧ ω
2
k, (3)
dωij − ωkj ∧ ωik = bijkℓω
1
k ∧ ω
2
ℓ. (4)Çäåñü âåëè÷èíû aijk êîñîñèììåòpè÷íû ïî íèæíèì èíäåêñàì èîáðàçóþò òåíçîð êðó÷åíèÿ òêàíè W . Âåëè÷èíû bijkℓ îáðàçóþòòåíçîð êðèâèçíû òêàíè W . Ýòè òåíçîðû ñâÿçàíû ðÿäîì ñîîò-íîøåíèé, êîòîðûå ìû íå ïðèâîäèì. Ñîãëàñíî [4℄, òåíçîðíûåïîëÿ êðó÷åíèÿ è êðèâèçíû îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþò òðè-òêàíü
W = (X,λα).Ïóñòü äëÿ íåêîòîðîé òêàíèW âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå (1). �àñ-ñìîòðèì íà òêàíè W äâå îáëàñòè U è Ū , è ïóñòü äè��åðåí-öèàëüíûå �îðìû â îáëàñòè U îáîçíà÷åíû, êàê è âûøå, ÷åðåç
ω
α
i è ωij, à â îáëàñòè Ū � ÷åðåç ω̄
α
i è ω̄ij. Åñòåñòâåííî, �îðìû ñ÷åðòîé óäîâëåòâîðÿþò òåì æå ñòðóêòóðíûì óðàâíåíèÿì (3) è(4).Ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé (3), (4) è óñëîâèÿ (1) íåïîñðåäñòâåííîïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî âåðíî
258 À.Ì.ØåëåõîâÏðåäëîæåíèå 1. Ñèñòåìà óðàâíåíèé
ω
1
i = −ω̄
2
i, ω
2
i = −ω̄
1
i, ωij = ω̄ij (5)âïîëíå èíòåãðèðóåìà íà òêàíè W .Ñèñòåìà (5) îïðåäåëÿåò íåêîòîðîå ñåìåéñòâî îòîáðàæåíèéòêàíè W íà ñåáÿ. Ïóñòü f � îäíî èç íèõ. Èç óðàâíåíèé (5)íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåòÏðåäëîæåíèå 2. Îòîáðàæåíèå f ïåðåâîäèò ñëîè ïåðâîãîñëîåíèÿ òêàíè W â ñëîè âòîðîãî ñëîåíèÿ è íàîáîðîò, à ñëîèòðåòüåãî ñëîåíèÿ ïåðåâîäèò â ñëîè òðåòüåãî ñëîåíèÿ.Äåéñòâèòåëüíî, óðàâíåíèÿ ω
1
i = 0, ω
2
i = 0 è ω
1
i+ω
2
i = 0 âëåêóò,ñîîòâåòñòâåííî, ω̄
2
i = 0, ω̄
1
i = 0 è ω̄
1
i + ω̄
2
i = 0.Îòîáðàæåíèå f ïåðåâîäèò òêàíü W â òêàíü W , íî ìåíÿåòìåñòàìè ñëîè ïåðâûõ äâóõ ñëîåíèé. Ïîýòîìó, êàê ýòî ïðèíÿòîâ òåîðèè êâàçèãðóïï (ñì., íàïðèìåð, [5℄), òàêîå ïðåîáðàçîâàíèåòêàíè áóäåì íàçûâàòü ãëàâíîé àâòîòîïèåé.Êàê âèäíî èç ñèñòåìû (5), åå ðåøåíèå çàâèñèò îò 2r + ρ ïà-ðàìåòðîâ, ãäå ρ � ðàíã ñèñòåìû �îðì ωij. Ñëåäîâàòåëüíî, ðàñ-ñìàòðèâàåìàÿ òðè-òêàíü W äîïóñêàåò 2r+ ρ-ïàðàìåòðè÷åñ-êîå ñåìåéñòâî ãëàâíûõ àâòîòîïèé.Ýòè àâòîòîïèè, î÷åâèäíî, ñîõðàíÿþò êàíîíè÷åñêóþ ñâÿç-íîñòü ×åðíà òðè-òêàíè (îïðåäåëÿåìóþ ñòðóêòóðíûìè óðàâíå-íèÿìè (3) è (4)).  ÷àñòíîñòè, îíè ïåðåâîäÿò ãåîäåçè÷åñêèå ïîä-ìíîãîîáðàçèÿ â ãåîäåçè÷åñêèå.Ïîñêîëüêó ìíîæåñòâî àâòîòîïèé ðàññìàòðèâàåìîé òðè-òêàíè W çàâèñèò îò 2r+ ρ ïàðàìåòðîâ, òî ñðåäè íèõ èìåþòñÿ,âîîáùå ãîâîðÿ, òàêèå, êîòîðûå îáëàäàþò íåïîäâèæíûìè òî÷-êàìè.  íåïîäâèæíîé òî÷êå êîîðäèíàòû îáðàçà è ïðîîáðàçàñîâïàäàþò, ñëåäîâàòåëüíî, â òàêîé òî÷êå ω
1
i = ω̄
1
i, ω
2
i = ω̄
2
i,òàê ÷òî äâå ïåðâûå ñåðèè óðàâíåíèé (5) îòîáðàæåíèÿ f ñîâ-ïàäàþò è ïðèíèìàþò âèä ω
1
i = −ω
2
i. Íî ýòî óðàâíåíèÿ òðåòüå-ãî ñëîåíèÿ òêàíè W . Ïðîèíòåãðèðîâàâ èõ, ïîëó÷èì óðàâíåíèå
Î äîñòàòî÷íîì óñëîâèè áîëîâîñòè 259òðåòüåãî ñëîåíèÿ â íåêîòîðûõ ëîêàëüíûõ êîîðäèíàòàõ:
z0 = F (x, y), (6)ãäå F � �óíêöèÿ òêàíè, x, y, z0 � ïàðàìåòðû, ñîîòâåòñòâåííî,ïåðâîãî âòîðîãî è òðåòüåãî ñëîåíèé òêàíè W , ïðè÷åì ïàðàìåò-ðû x è y ÿâëÿþòñÿ ïåðåìåííûìè, à z0 �èêñèðîâàíî. Ñîãëàñíîîïðåäåëåíèþ �óíêöèè òêàíè ïîëó÷àåì, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùèåñëîè ïåðâûõ äâóõ ñëîåíèé îòîáðàæåíèÿ f , îïðåäåëÿåìîãî óðàâ-íåíèåì (6), ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êàõ ñëîÿ òðåòüåãî ñëîåíèÿ, îïðå-äåëÿåìîãî óðàâíåíèåì z = z0. Òàêèì îáðàçîì, îòîáðàæåíèå fÿâëÿåòñÿ ñèììåòðèåé îòíîñèòåëüíî ýòîãî ñëîÿ.Ñ äðóãîé ñòîðîíû, x è y ÿâëÿþòñÿ ëîêàëüíûìè êîîðäèíàòà-ìè íåïîäâèæíîé òî÷êè. Èòàê, äîêàçàíîÏðåäëîæåíèå 3. Ñóùåñòâóþò ãëàâíûå àâòîòîïèè òêà-íè W , êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ñèììåòðèÿìè îòíîñèòåëüíî ñëî-åâ òðåòüåãî ñëîåíèÿ, ïðè÷åì ïîñëåäíèå ïðåäñòàâëÿþò ñîáîéìíîãîîáðàçèÿ íåïîäâèæíûõ òî÷åê ýòèõ àâòîòîïèé.Îòñþäà âûòåêàåò, âî-ïåðâûõ, ÷òî ìíîæåñòâî ãëàâíûõ àâòî-òîïèé òêàíè W , äîïóñêàþùèõ íåïîäâèæíûå òî÷êè, çàâèñèò îò
r ïàðàìåòðîâ.Âî-âòîðûõ, èç òîãî �àêòà, ÷òî îòîáðàæåíèå f , äîïóñêàþùååíåïîäâèæíûå òî÷êè, ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðèåé îòíîñèòåëüíî ñëîÿòðåòüåãî ñëîåíèÿ è èç ïðåäëîæåíèÿ 2 âûòåêàåò, ÷òî íà òðè-òêàíè W çàìûêàþòñÿ ñðåäíèå �èãóðû Áîëà, ÷òî è äîêàçûâàåòòåîðåìó 1.2. �àññìîòðèì, íàïðèìåð, øåñòèìåðíóþ òðè-òêàíü Áîëà [6℄,êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ òàêæå ýëàñòè÷íîé òêàíüþ (òêàíü E1, ñì. [4℄,ñòð. 157):
z1 = x1 + y1 − (x2 + y2)x3y3,
z2 = x2 + y2,
z3 = x3 + y3
(7)
260 À.Ì.ØåëåõîâÓðàâíåíèÿ (7) ïîëó÷åíû â ðåçóëüòàòå èíòåãðèðîâàíèÿ ñòðóê-òóðíûõ óðàâíåíèé.  ïðîöåññå èíòåãðèðîâàíèÿ áûëè íàéäåíûñëåäóþùèå �îðìû, âõîäÿùèå â ñòðóêòóðíûå óðàâíåíèÿ (3) è(4) (íå óêàçàííûå �îðìû ðàâíû íóëþ):
ω
1
1 = −udx2 − (w + x2y3)dx3 + x2x3dx3 + dx1,
ω
2
1 = −udy2 − (w + y2x3)dy3 + y2y3dy3 + dy1,
ω
1
2 = ϕ(−vdx3 + dx2), ω
2
2 = ϕ(−vdy3 + dy2),
ω
1
3 = ϕ− 1
2dx3, ω
2
3 = ϕ− 1
2dy3,
(8)è
ω1
2 = ϕ−1du, ω2
3 = ϕ
3
2 dv,
ω1
3 = ϕ
1
2 (x2dy3 + y2dx3 + vdu+ dw),
(9)ãäå xi, yi è u, v, w � ñîîòâåòñòâåííî, ãëàâíûå è âòîðè÷íûåïàðàìåòðû, ïðè÷¼ì
x3 − y3 = 2ϕ
1
2 . (10)Ôîðìû (8) è (9) óäîâëåòâîðÿþò íåêîòîðîé ñèñòåìå âíåøíèõêâàäðàòè÷íûõ äè��åðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ïîñòîÿííûìèêîý��èöèåíòàìè. Ïðè ýòîì âñå 9 �îðì (à, ñëåäîâàòåëüíî, èâñå 9 ïåðå÷èñëåííûõ ïàðàìåòðîâ) ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè.Ñèñòåìà (5) äëÿ ýòîé òêàíè ïðèíèìàåò âèä:
− udx2 − (w + x2y3)dx3 + x2x3dx3 + dx1 =
= ūdȳ2 + (w̄ + ȳ2x̄3)dȳ3 − ȳ2ȳ3dȳ3 − dȳ1),
− udy2 − (w + y2x3)dy3 + y2y3dy3 + dy1 =
= ūdx̄2 + (w̄ + x̄2ȳ3)dx̄3 − x̄2x̄3dx̄3 − dx̄1),
ϕ(−vdx3 + dx2) = −ϕ̄(−v̄dȳ3 + dȳ2),
ϕ(−vdy3 + dy2) = −ϕ̄(−v̄dx̄3 + dx̄2),
ϕ− 1
2 dx3 = −ϕ̄− 1
2 dȳ3,
ϕ̄− 1
2 dx̄3 = −ϕ− 1
2 dy3
(11)
Î äîñòàòî÷íîì óñëîâèè áîëîâîñòè 261è
ϕ−1du = ϕ̄−1dū, ϕ
3
2 dv =
= ϕ̄
3
2 dv̄,
ϕ
1
2 (x2dy3 + y2dx3 + vdu+ dw) =
= ϕ̄
1
2 (x̄2dȳ3 + ȳ2dx̄3 + v̄dū+ dw̄).
(12)Çäåñü, êàê è âûøå,
x̄3 − ȳ3 = 2ϕ̄
1
2 . (13)Ïîñëåäîâàòåëüíî èíòåãðèðóÿ ýòó ñèñòåìó, íàéäåì êîíå÷íûåóðàâíåíèÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ:
ϕ̄ =kϕ, ū = ku+ p, v̄ = k−
3
2 v + q,
x̄2 = − k−1y2 − k
1
2 qy3 + x̄2
0, ȳ
2 = −k−1x2 − k
1
2 qx3 + ȳ2
0,
x̄3 = − k
1
2 y3 + x̄3
0, ȳ
3 = −k 1
2x3 + ȳ3
0 ,
x̄1 = − y1 − pk−1y2 − k
1
2 pqy3 − k
1
2 w̄0y
3−
1
2
k(x̄2
0 + ȳ2
0)(y
3)2 +
1
3
k
3
2 (y3)3 + x̄1
0,
ȳ1 = − x1 − pk−1x2 − k
1
2 pqx3 − k
1
2 w̄0x
3−
1
2
k(x̄2
0 + ȳ2
0)(x
3)2 +
1
3
k
3
2 (x3)3 + ȳ1
0,
w̄ =k−
1
2w − kqx3y3 − kqu+ k
1
2 x̄2
0x
3 + k
1
2 ȳ2
0y
3 + w̄0.
(14)
Çäåñü k, p, q, x̄1
0, ȳ
1
0, . . . , w̄0 � ïîñòîÿííûå èíòåãðèðîâàíèÿ. Èçýòèõ óðàâíåíèé íàõîäèì, â ÷àñòíîñòè, ÷òî x̄3 − ȳ3 = k
1
2 (x3 −
y3) + x̄3
0 − ȳ3
0 = 0. Îòñþäà â ñèëó ðàâåíñòâ (10) è (13) ïîëó÷àåì
x̄3
0 = ȳ3
0. (15)Íåïîñðåäñòâåííî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ (14)ñëîè òðåòüåãî ñëîåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîé òêàíè E1 ïåðåõîäÿòòàêæå â ñëîè òðåòüåãî ñëîåíèÿ.
262 À.Ì.ØåëåõîâÍåïîäâèæíûå òî÷êè ïðåîáðàçîâàíèÿ (12) îïðåäåëÿòñÿ èçóñëîâèÿ xi = x̄i, yi = ȳi, â ñèëó êîòîðîãî èç (10) è (13) íàõîäèì,÷òî ϕ = ϕ̄, è èç (12) ñëåäóåò k = 1.  ðåçóëüòàòå óðàâíåíèÿ (14)äàþò:
x3 + y3 = x̄3
0,
x2 + y2 = −qy3 + x̄2
0 = −qx3 + ȳ2
0 ,
x1 + y1 = −py2 − pqy3 − w̄0y
3 − 1
2
(x̄2
0 + ȳ2
0)(y
3)2+
+
1
3
(y3)3 + x̄1
0 =
= −px2 − pqx3 − w̄0x
3 − 1
2
(x̄2
0 + ȳ2
0)(x
3)2 +
1
3
(x3)3 + ȳ1
0,
ū = u+ p, v̄ = v + q,
w̄ = w − qx3y3 − qu+ x̄2
0x
3 + ȳ2
0y
3 + w̄0.
(16)
Óðàâíåíèé (16) ñîäåðæàò 5 ñîîòíîøåíèé íà ëîêàëüíûå êîîð-äèíàòû xi è yi. Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåòñÿ ñëåäóþùèé âûâîä:ïðåîáðàçîâàíèå (14) òêàíè E1 ñîäåðæèò íåïîäâèæíûå òî÷êèïðè óñëîâèè k = 1, ïðè÷åì ìíîæåñòâî íåïîäâèæíûõ òî÷åêÿâëÿåòñÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, îäíîìåðíûì.Êàê âèäíî èç óðàâíåíèé (16), ìàêñèìàëüíàÿ ðàçìåðíîñòüìíîãîîáðàçèÿ íåïîäâèæíûõ òî÷åê ìîæåò áûòü 3, ïðè÷åì, êàêëåãêî ïðîâåðèòü, ýòî äîñòèãàåòñÿ ïðè óñëîâèè, ÷òî âî âòîðîéè òðåòüåé ñåðèÿõ óðàâíåíèé (16) îñòàåòñÿ ïî îäíîìó íåçàâèñè-ìîìó óðàâíåíèþ. Ïðîñòîå âû÷èñëåíèå ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðåîá-ðàçîâàíèå (14) òêàíè E1 ñîäåðæèò òðåõìåðíîå ìíîãîîáðàçèåíåïîäâèæíûõ òî÷åê ïðè óñëîâèè k = 1, p = q = 0, x̄1
0 = x̄2
0 =
0, ȳ1
0 = ȳ2
0 = 0, w̄0 = −x̄2
0x̄
3
0. Òàêèõ ïðåîáðàçîâàíèé òðåõïàðà-ìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî, è èõ íåïîäâèæíûå òî÷êè ÿâëÿþòñÿñëîÿìè òðåòüåãî ñëîåíèÿ òêàíè E1.
Î äîñòàòî÷íîì óñëîâèè áîëîâîñòè 263Ñïèñîê ëèòåðàòóðû[1℄ Àêèâèñ Ì.À.; Øåëåõîâ À.Ì. Î âû÷èñëåíèè òåíçîpîâ êpèâèçíû èêpó÷åíèÿ ìíîãîìåpíîé òpè-òêàíè. Ñèá.ìàò.æ., 1971, ò.12, 5, ñ. 953�960.[2℄ Ôåäîðîâà, Â.È. Îá óñëîâèè, îïðåäåëÿþùåì ìíîãîìåðíûå òðè-òêàíèÁîëà. Ñèá.ìàò.æ., 1978, ò.19, 4, ñ. 922�928.[3℄ Òîëñòèõèíà �.À., Øåëåõîâ À.Ì. Î òðè-òêàíè Áîëà, îáðàçîâàííîéñëîåíèÿìè ðàçíûõ ðàçìåðíîñòåé. Èçâ. Âóçîâ. Ìàòåìàòèêà.- 2005.- �5 (516). - ñ. 56-62.[4℄ Àêèâèñ Ì.À., Øåëåõîâ À.Ì. Geometry and Algebra ofMultidimensional Òhree-webs. Kluwer A
ademi
Publishers,Dordre
ht/Boston/London, 1992, 375 ðð.[5℄ Áåëîóñîâ, Â.Ä. Îñíîâû òåîðèè êâàçèãðóïï è ëóï. Ì., Íàóêà, 1967,223 ñ.[6℄ Ôåäîðîâà, Â.È. Øåñòèìåðíûå òðè-òêàíè Áîëà ñ ñèììåòðè÷íûì òåí-çîðîì aij .  ñá. "Òêàíè è êâàçèãðóïïûÊàëèíèí, Êàëèíèíñêèé ãîñó-íèâåðñèòåò, 1981, ñ. 110�123.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-6306 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1815-2910 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:33:05Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Шелехов, А.М. 2010-02-23T14:27:12Z 2010-02-23T14:27:12Z 2009 О достаточном условии боловости многомерной три-ткани / А.М. Шелехов // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 256-263. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1815-2910 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6306 Дано новое простое доказательство теоремы В. И. Федоровой: частичная кососимметричность тензора кривизны многомерной три-ткани достаточна для того, чтобы эта ткань была тканью Бола. ru Інститут математики НАН України Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" О достаточном условии боловости многомерной три-ткани Article published earlier |
| spellingShingle | О достаточном условии боловости многомерной три-ткани Шелехов, А.М. Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" |
| title | О достаточном условии боловости многомерной три-ткани |
| title_full | О достаточном условии боловости многомерной три-ткани |
| title_fullStr | О достаточном условии боловости многомерной три-ткани |
| title_full_unstemmed | О достаточном условии боловости многомерной три-ткани |
| title_short | О достаточном условии боловости многомерной три-ткани |
| title_sort | о достаточном условии боловости многомерной три-ткани |
| topic | Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" |
| topic_facet | Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6306 |
| work_keys_str_mv | AT šelehovam odostatočnomusloviibolovostimnogomernoitritkani |