Разделяющее преобразование и квадратичные дифференциалы в задачах о неналегающих областях
In this work new inequalityes for inner radii of non-overeapping domains are obtained.
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2009
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6311 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Разделяющее преобразование и квадратичные дифференциалы в задачах о неналегающих областях / Г.П. Бахтина, Р.В. Подвысоцкий // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 323-332. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860018814689738752 |
|---|---|
| author | Бахтина, Г.П. Подвысоцкий, Р.В. |
| author_facet | Бахтина, Г.П. Подвысоцкий, Р.В. |
| citation_txt | Разделяющее преобразование и квадратичные дифференциалы в задачах о неналегающих областях / Г.П. Бахтина, Р.В. Подвысоцкий // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 323-332. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | In this work new inequalityes for inner radii of non-overeapping domains are obtained.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:46:25Z |
| format | Article |
| fulltext |
Çáiðíèê ïðàöüIí-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè2009, ò.6, �2, 323-332ÓÄÊ 517.5�. Ï. Áàõòèíà�. Â. Ïîäâûñîöêèé�àçäåëÿþùåå ïðåîáðàçîâàíèå èêâàäðàòè÷íûå äè��åðåíöèàëû âçàäà÷àõ î íåíàëåãàþùèõ îáëàñòÿõ
In this work new inequalityes for inner radii of non-overeapping domains
are obtained.�àçäåë ãåîìåòðè÷åñêîé òåîðèè �óíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðå-ìåííîãî, ñâÿçàííûé ñ ðàçðàáîòêîé ìåòîäîâ ðåøåíèÿ ýêñòðå-ìàëüíûõ çàäà÷ î íåíàëåãàþùèõ îáëàñòÿõ, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîéèçâåñòíîå êëàññè÷åñêîå íàïðàâëåíèå. Ñ ðåçóëüòàòàìè, ìåòîäà-ìè è èñòîðèåé ðàçâèòèÿ ýòîãî íàïðàâëåíèÿ ìîæíî îçíàêîìèòü-ñÿ â ðàáîòàõ [1�12℄. Âàæíûì ýëåìåíòîì èññëåäîâàíèÿ ýêñòðå-ìàëüíûõ çàäà÷ ÿâëÿåòñÿ òåîðèÿ êâàäðàòè÷íûõ äè��åðåíöè-àëîâ è îäèí èç êëþ÷åâûõ åå ðåçóëüòàòîâ � "Îñíîâíàÿ ñòðóê-òóðíàÿ òåîðåìà"Äæ. À. Äæåíêèíñà, îïèñûâàþùàÿ ãëîáàëüíóþñòðóêòóðó òðàåêòîðèé êâàäðàòè÷íûõ äè��åðåíöèàëîâ íà êî-íå÷íîé ðèìàíîâîé ïîâåðõíîñòè (ñì.[2℄).  ðàáîòàõ [6, 7℄ áûëðàçðàáîòàí ìåòîä ðàçäåëÿþùåãî ïðåîáðàçîâàíèÿ, êîòîðûé ïðèîïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ ïîçâîëÿåò ñâîäèòü çàäà÷è ñ áîëüøèì÷èñëîì íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ ê çàäà÷àì ñ ìåíüøèì èõ ÷èñ-ëîì. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ÿâèëîñü êëþ÷åâûì äëÿ ðåøåíèÿ ðÿäàòðóäíûõ çàäà÷ (ñì.[6, 7℄).Ïîäàâëÿþùåå áîëüøèíñòâî ðåçóëüòàòîâ î íåíàëåãàþùèõ îá-ëàñòÿõ ñâÿçàíî, â òîé èëè èíîé ñòåïåíè, ñ ïîëó÷åíèåì òî÷-íûõ îöåíîê ïðîèçâåäåíèé âíóòðåííèõ ðàäèóñîâ ýòèõ îáëàñòåéñì.[1�16℄.
© �. Ï. Áàõòèíà, �. Â. Ïîäâûñîöêèé, 2009
324 �.Ï. Áàõòèíà, �.Â. Ïîäâûñîöêèé 1974 ã. â ðàáîòå [5℄ ïîëó÷åí ïåðâûé ðåçóëüòàò äëÿ �óíêöè-îíàëîâ "òèïà ñóììû".  [17℄ ýòîò ðåçóëüòàò ïîëó÷èë äàëüíåé-øåå ðàçâèòèå. Èññëåäîâàíèå ïîäîáíûõ çàäà÷ íàòàëêèâàåòñÿ íàîïðåäåëåííûå òðóäíîñòè, äëÿ ïðåîäîëåíèÿ êîòîðûõ íåîáõîäè-ìî íàéòè íîâûå ìåòîäû. Öåëüþ äàííîé ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ ïðè-ìåíåíèå ê çàäà÷àì î �óíêöèîíàëàõ �òèïà ñóììû� íîâîãî ìå-òîäà, èñïîëüçóþùåå ðàçäåëÿþùåå ïðåîáðàçîâàíèå, ðàçâèòîãî âðàáîòàõ [8�12℄. ïîñëåäíåå âðåìÿ âîçðîñ èíòåðåñ ê ýêñòðåìàëüíûì çàäà-÷àì ñ òàê íàçûâàåìûìè ñâîáîäíûìè ïîëþñàìè ñîîòâåòñòâóþ-ùèõ êâàäðàòè÷íûõ äè��åðåíöèàëîâ (ñì.[3, 4�12). Íîâûå çàäà-÷è ýòîãî òèïà ðåøåíû â äàííîé ðàáîòå.2. Îáîçíà÷åíèÿ è îïðåäåëåíèÿ. Ïóñòü N, C � ìíîæåñòâà íà-òóðàëüíûõ è êîìïëåêñíûõ ÷èñåë ñîîòâåòñòâåííî. Êàê îáû÷íî,
C = C ∪ {∞} åñòü ðàñøèðåííàÿ êîìïëåêñíàÿ ïëîñêîñòü èëèñ�åðà �èìàíà.Ïóñòü An = {ak}nk=1 � ïðîèçâîëüíûé íàáîð ðàçëè÷íûõ òî÷åêåäèíè÷íîé îêðóæíîñòè, ïîä÷èíåííûõ óñëîâèþ
0 = arg a1 < arg a2 < . . . < arg an < 2π. (1)Ñèñòåìîé íåíàëåãàþùèõ îáëàñòåé (ñ.í.î.) íàçûâàåòñÿêîíå÷íûé íàáîð ïðîèçâîëüíûõ îáëàñòåé {Bk}nk=1, n ∈ N, n ≥ 2,òàêèõ, ÷òî Bk ⊂ C, Bk ∩Bm = ∅, k 6= m, k,m = 1, n.Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå îáëàñòè
Ek = {w : arg ak < argw < arg ak+1},
k = 1, n En+1 = E1, argan+1 = 2π, arg an+2 = arg a2 + 2πÎáîçíà÷èì θk = 1
πarg ak+1
ak
, k = 1, n. ßñíî, ÷òî Σn
k=1θk = 2.Ôóíêöèÿ
ξ = πk(w) = −i(e−i arg akw)
1
θk , k = 1, n,ïðè íàäëåæàùåì âûáîðå âåòâè îäíîëèñòíî îòîáðàæàåò îáëàñòü
Ek íà ïðàâóþ ïîëóïëîñêîñòü. Äëÿ óäîáñòâà ñâÿçíóþ êîìïîíåí-òó ìíîæåñòâà Q, ñîäåðæàùóþ òî÷êó b, îáîçíà÷èì [Q]b. Áóäåìãîâîðèòü, ÷òî ñ.í.î. óäîâëåòâîðÿåò äîïîëíèòåëüíîìó óñëîâèþ
�àçäåëÿþùåå ïðåîáðàçîâàíèå ... 325íåíàëåãàíèÿ îòíîñèòåëüíî íàáîðà òî÷åê An = {ak}nk=1, |ak| = 1,åñëè ak ∈ Bk, k = 1, n, è ïðè êàæäîì k = 1, n ñóùåñòâóåò õîòÿáû îäíà ãîðèçîíòàëüíàÿ ïðÿìàÿ
lk(η) = {ξ : Imξ = η}, η ∈ (−1, 1),íå èìåþùàÿ îáùèõ òî÷åê ñ ìíîæåñòâîì πk
([
Bk ∩ Ek
]
ak
) è ñìíîæåñòâîì πk
([
Bk+1 ∩ Ek
]
ak+1
), ãäå πk(D) � îáðàç ìíîæå-ñòâàD ïðè îòîáðàæåíèè πk. Âíóòðåííèé ðàäèóñ îáëàñòè B ⊂ Cîòíîñèòåëüíî òî÷êè a ∈ B îáîçíà÷èì ÷åðåç r(B, a) (ñì.[6, 13℄).3. �åçóëüòàòû è äîêàçàòåëüñòâà. �àññìîòðèì çàäà÷ó î ìàê-ñèìóìå �óíêöèîíàëà
n∑
k=1
r(Bk, ak) (2)íà êëàññå âñåõ ñ.í.î., óäîâëåòâîðÿþùèõ äîïîëíèòåëüíîìó óñëî-âèþ íåíàëåãàíèÿ îòíîñèòåëüíî ñèñòåì òî÷åê åäèíè÷íîé îêðóæ-íîñòè An = {ak}nk=1, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ (1).Ýòà çàäà÷à îòíîñèòñÿ ê òèïó çàäà÷ ñî ñâîáîäíûìè ïîëþñàìèíà îêðóæíîñòè. Ñ�îðìóëèðóåì ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.Òåîðåìà 1. Ïóñòü n ∈ N, n ≥ 2. Òîãäà äëÿ ëþáîé ñèñòåìûðàçëè÷íûõ òî÷åê An = {ak}nk=1, |ak| = 1, k = 1, n, ïîä÷èíåííûõóñëîâèþ (1), è ëþáîé ñ.í.î., óäîâëåòâîðÿþùåé äîïîëíèòåëüíî-ìó óñëîâèþ íåíàëåãàíèÿ îòíîñèòåëüíî An, ñïðàâåäëèâî íåðà-âåíñòâî
n∑
k=1
r(Bk, ak) ≤ 4. ÷àñòíîñòè, çíàê ðàâåíñòâà â ýòîì íåðàâåíñòâå äîñòè-ãàåòñÿ òîãäà, êîãäà òî÷êè ak è îáëàñòè Bk ÿâëÿþòñÿ, ñîîò-âåòñòâåííî, ïîëþñàìè è êðóãîâûìè îáëàñòÿìè êâàäðàòè÷íî-ãî äè��åðåíöèàëà
Q(w)dw2 = − wn−2
(wn − 1)2
dw2 (3)
326 �.Ï. Áàõòèíà, �.Â. ÏîäâûñîöêèéÄîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì ÷åðåç {D}∗ ìíîæåñòâî,ñèììåòðè÷íîå ìíîæåñòâó D îòíîñèòåëüíî ìíèìîé îñè.�àññìîòðèì ïðè âñåõ k = 1, n ñëåäóþùèå îáëàñòè
G
(1)
k = πk
(
[Bk ∩ Ek]ak
)
∪
{
πk
(
[Bk ∩ Ek]ak
)}∗
,
G
(2)
k = πk
(
[Bk+1 ∪ Ek]ak+1
)
∪
{
πk
([
Bk+1 ∩ Ek
]
ak
)}∗
.Èñïîëüçóÿ ðàáîòû [6, 7℄ ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâà
r(Bk, ak) ≤
√
θk−1θkr(G
(1)
k1
,−i)r(G(2)
k−1, i).Òîãäà äëÿ �óíêöèîíàëà (2) ìîæåì çàïèñàòü îöåíêà
n∑
k=1
r(Bk, ak) ≤
n∑
k=1
[
θk−1r(G
(2)
k−1, i) · θk · r(G
(1)
k ,−i)
]1/2
≤
≤ 1
2
n∑
k=1
[
θk−1r(G
(2)
k−1, i) + θkr(G
(1)
k ,−i)
]
= (4)
=
1
2
n∑
k=1
θk
[
r(G
(1)
k ,−i) + r(G
(2)
k , i)
]
.Òåîðåìà äîêàçàíà.Äàëåå ñ�îðìóëèðóåì ëåììó, ïðèíàäëåæàùóþ À. Ê. Áàõòèíóè ÿâëÿþùóþñÿ ñóùåñòâåííûì îáîáùåíèåì ðåçóëüòàòà [17℄.Ëåììà 1. Ïóñòü a1, a2 ∈ C, a1 6= a2, è L � ìíîæåñòâî âñåõïðÿìûõ, èìåþùèõ îäíó è òîëüêî îäíó òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ñîòêðûòûì îòðåçêîì (a1, a2).Òîãäà äëÿ ïðîèçâîëüíûõ îáëàñòåé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè
B1, B2, a1 ∈ B1, a2 ∈ B2, êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ
(B1 ∩ l)∪ (B2 ∩ l) = ∅ õîòÿ áû äëÿ îäíîé ïðÿìîé l ∈ L, âûïîë-íÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
r(B1, a1) + r(B2, a2) ≤ 2|a1 − a2|�àâåíñòâî äîñòèãàåòñÿ äëÿ ïîëóïëîñêîñòåé, îáùàÿ ãðàíèöàêîòîðûõ åñòü ïðÿìàÿ l ∈ L îðòîãîíàëüíàÿ îòðåçêó (a1, a2).
�àçäåëÿþùåå ïðåîáðàçîâàíèå ... 327Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû. Ïóñòü B0
1 åñòü êîìïîíåíòà ìíî-æåñòâà C\l ñîäåðæàùàÿ òî÷êó a1, a B
0
2 � âòîðàÿ êîìïîíåíòàìíîæåñòâà C\l, ñîäåðæàùàÿ òî÷êó a2. ßñíî, ÷òî B0
1 è B0
2 �ïîëóïëîñêîñòè óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèÿì ëåììû. Òîãäà B1 ⊂
B0
1 è B2 ⊂ B0
2 . Òîãäà î÷åâèäíî, ÷òî
r(B1, a1) + r(B2, a2) ≤ r(B0
1 , a1) + r(B0
2 , a2) = 2|a1 − a2| sin θ,ãäå θ� óãîë ìåæäó îòðåçêîì (a1, a2) è l. Îòñþäà ñëåäóåò ñïðà-âåäëèâîñòü ëåììû.Ïî ïîñòðîåíèþ îáëàñòè G(2)
k è G(1)
k íå ïåðåñåêàþòñÿ ñ ïðÿìîé
lk(η), îðòîãîíàëüíîé ê îòðåçêó (−i, i), è, êðîìå òîãî, iη ∈ lk(η).Òàêèì îáðàçîì, óñëîâèÿ ëåììû âûïîëíåíû ïðè âñåõ k = 1, n.Òîãäà èç (4) âûòåêàåò, ÷òî
∑
r(Bk, ak) ≤ 2
n∑
k=1
θk = 4.Ñëó÷àé ðàâåíñòâà ïðîâåðÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííî ñ ó÷åòîìñâîéñòâà ðàçäåëÿþùåãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ([6�12℄).Ñëåäñòâèå 1. Ïóñòü n ∈ N, n ≥ 2 è {αk}nk=1 � íàáîð íåîò-ðèöàòåëüíûõ ÷èñåë, ∑n
k=1 αk = 1. Òîãäà äëÿ �óíêöèîíàëà
In =
n−1∑
p=0
n∏
k=1
rαk+p(Bk, ak),ãäå αn+p = αp, p = 1, n, çàäàííîãî íà ìíîæåñòâå âñåõ ñ.í.î.,óäîâëåòâîðÿþùèõ äîïîëíèòåëüíîìó óñëîâèþ íåíàëåãàíèÿ, îò-íîñèòåëüíî ñèñòåì òî÷åê An = {ak}nk=1 åäèíè÷íîé îêðóæíî-ñòè, ïîä÷èíåííûõ óñëîâèþ (1), ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
In ≤ 4.Çíàê ðàâåíñòâà äîñòèãàåòñÿ ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèéòåîðåìû 1.
328 �.Ï. Áàõòèíà, �.Â. ÏîäâûñîöêèéÄîêàçàòåëüñòâî ñëåäñòâèÿ 1. Äåéñòâèòåëüíî, â ñèëóèçâåñòíîãî íåðàâåíñòâà ïîëó÷àåì
n∏
k=1
rαk+p(Bk, ak) ≤
n∑
k=1
αk+p r(Bk, ak)Òîãäà èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå
n−1∑
p=1
n∏
k=1
rαk+p(Bk, ak) ≤
n∑
k=1
(
n−1∑
p=0
αk+p)r(Bk, ak) =
n∑
k=1
r(Bk, ak)òàê êàê ïî óñëîâèÿì ñëåäñòâèÿ 1
n−1∑
p=0
αk+p =
n∑
k=1
αk = 1. (5)Èç (5) è òåîðåìû 1 ïîëó÷àåì óòâåðæäåíèå ñëåäñòâèÿ 1.×àñòíûì ñëó÷àåì ñëåäñòâèÿ 1 ÿâëÿåòñÿ òàêîé ðåçóëüòàò.Ñëåäñòâèå 2. Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé òåîðåìû 1 ñïðàâåä-ëèâî íåðàâåíñòâî
√
r(B1, a1)r(B2, a2)+
+
√
r(B2, a2)r(B3, a3) + . . .+
√
r(Bn, an)r(B1, a1) ≤ 4.Çíàê ðàâåíñòâà äîñòèãàåòñÿ ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèéòåîðåìû 1.Àíàëîãè÷íî òåîðåìå 1 ìîæíî äîêàçàòü äðóãîé ðåçóëüòàò.Òåîðåìà 2. Ïóñòü n ∈ N, n ≥ 2. Òîãäà äëÿ ëþáîé ñèñòå-ìû ðàçëè÷íûõ òî÷åê An = {ak}nk=1, |ak| = 1, k = 1, n, ïîä÷è-íåííîé óñëîâèþ (1) è ëþáîé ñèñòåìû íåíàëåãàþùèõ îáëàñòåé,óäîâëåòâîðÿþùåé äîïîëíèòåëüíîìó óñëîâèþ íåíàëåãàíèÿ îò-íîñèòåëüíî An, ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
n∑
k=1
(θk · θk−1)
−1/2 r(Bk, ak) ≤ 2n.
�àçäåëÿþùåå ïðåîáðàçîâàíèå ... 329Çíàê ðàâåíñòâà äîñòèãàåòñÿ, â ÷àñòíîñòè, òîãäà, êîãäàòî÷êè ak è îáëàñòè Bk ÿâëÿþòñÿ, ñîîòâåòñòâåííî, ïîëþñàìèè êðóãîâûìè îáëàñòÿìè êâàäðàòè÷íîãî äè��åðåíöèàëà (3).Äîêàçàòåëüñòâî. Èñïîëüçóÿ íåðàâåíñòâî (4), ïîëó÷àåì,÷òî
n∑
k=1
(θk−1θk)
−1/2r(Bk, ak) ≤
≤
n∑
k=1
{
r(G
(2)
k−1, i)r(G
(1)
k − i)
}1/2
≤
≤ 1
2
n∑
k=1
[r(G
(2)
k−1, i) + r(G
(1)
k ,−i)] =
=
1
2
n∑
k=1
[r(G
(1)
k ,−i) + r(G
(2)
k i)] ≤ 2n.Óòâåðæäåíèå î çíàêå ðàâåíñòâà ïðîâåðÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåí-íî. Òåîðåìà 2 äîêàçàíà.Äëÿ îáîáùåíèÿ òåîðåìû 2 íàì íåîáõîäèìû äîïîëíèòåëüíûåîïðåäåëåíèÿ. ïðåäûäóùèõ òåîðåìàõ èñïîëüçîâàëèñü ñèñòåìû òî÷åê ðàñ-ïîëîæåííûå íà îêðóæíîñòè. �àññìîòðèì òåïåðü ñèñòåìû òî÷åê
An = {ak}nk=1, ak ∈ C\{0}, k = 1, n, n ≥ 2, óäîâëåòâîðÿþ-ùèå óñëîâèþ (1). Òàêèå ñèñòåìû òî÷åê íàçûâàþòñÿ n ëó÷åâû-ìè (ñì.[8�12, 16℄). Êàæäîé n ëó÷åâîé ñèñòåìå An = {ak}nk=1ñîîòâåòñòâóåò ñèñòåìà òî÷åê Ãn = { ak
|ak|}
n
k=1, ðàñïîëîæåííàÿ íàåäèíè÷íîé îêðóæíîñòè. Ïîýòîìó îáëàñòè Ek, âåëè÷èíû θk è�óíêöèè ξ = πk(w) äëÿ An = {ak}n ïî îïðåäåëåíèþ ïîëàãàåìðàâíûìè ñîîòâåòñòâåííî Ek, θk è ξ = πk(w), k = 1, n, ïîñòðî-åííûì äëÿ ñèñòåìû à = { ak
|ak|}
n
k=1. Àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìóáóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ñ.í.î. {Bk}nk=1 óäîâëåòâîðÿåò äîïîëíèòåëü-íîìó óñëîâèþ íåíàëåãàíèÿ îòíîñèòåëüíî n ëó÷åâîé ñèñòåìûòî÷åê An = {ak}nk=1, åñëè ak ∈ Bk, k = 1, n, è ïðè êàæäîì
330 �.Ï. Áàõòèíà, �.Â. Ïîäâûñîöêèé
k = 1, n ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäíà ãîðèçîíòàëüíàÿ ïðÿìàÿ
lk(η) = {ξ : Imξ = η}, η ∈
(
−|ak|1/θk , |ak+1|1/θk
)íå èìåþùàÿ îáùèõ òî÷åê íè ñ ìíîæåñòâîì πk([Bk∩ Ēk]ak
), íè ñìíîæåñòâîì πk([Bk+1 ∩ Ēk]ak+1
). Ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî ñòðî-ÿòñÿ îáëàñòè G(1)
k , G(2)
k , k = 1, n.Êàê è ðàíåå, èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû ðàáîò [6, 7℄ è [8�12℄ ïî-ëó÷àåì ñîîòíîøåíèÿ
r(Bk, ak) ≤ (θk−1θk)
1/2|ak|
− 1
2
( 1
θk−1
+ 1
θk
)+1·
·
(
r(G
(1)
k ,−i|ak|
1
θk ) r(G
(2)
k−1, i|ak|
1
θ k−1)
)1/2
.Òàêèì îáðàçîì, áóäåì èìåòü äëÿ �óíêöèîíàëà ñëåäóþùóþîöåíêó
In =
=
n∑
k=1
|ak|
1
2
(1/θk−1+ 1
θk
)
(θk−1θk)1/2|ak|
· r(Bk, ak) ≤
≤ 1
2
n∑
k=1
[
r(G
(1)
k ,−i|ak|
1
θk ) + r(G
(2)
k , i|ak+1|1/θk)
]
≤
≤
n∑
k=1
(|ak|1/θk + |ak+1|
1
θk ).Îòñþäà âûòåêàåò òàêîé ðåçóëüòàò.Òåîðåìà 3. Ïóñòü n ∈ N, n ≥ 2. Òîãäà äëÿ ëþáîé n ëó÷åâîéñèñòåìû òî÷åê An = {ak}nk=1 òàêîé, ÷òî
n∑
k=1
(
|ak|1/θk + |ak+1|1/θk
)
= 2n,è ëþáîé ñ.í.î. {Bk}nk=1, êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò äîïîëíèòåëü-íîìó óñëîâèþ íåíàëåãàíèÿ îòíîñèòåëüíî An, ñïðàâåäëèâî íå-ðàâåíñòâî
In ≤ 2n.
�àçäåëÿþùåå ïðåîáðàçîâàíèå ... 331Çíàê ðàâåíñòâà äîñòèãàåòñÿ, â ÷àñòíîñòè, êîãäà ak è Bk ÿâ-ëÿþòñÿ, ñîîòâåòñòâåííî, ïîëþñàìè è êðóãîâûìè îáëàñòÿìèêâàäðàòè÷íîãî äè��åðåíöèàëà (3). çàêëþ÷åíèå àâòîðû âûðàæàþò èñêðåííþþ áëàãîäàðíîñòüÀ.Ê.Áàõòèíó çà ïîñòàíîâêó çàäà÷ è ïîëåçíûå ñîâåòû ïðè ïîä-ãîòîâêå ê ðàáîòå. Ñïèñîê ëèòåðàòóðû[1℄ �.Ì. �îëóçèí. �åîìåòðè÷åñêàÿ òåîðèÿ �óíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðå-ìåííîãî. � Ì.:Íàóêà, 1966.�628ñ.[2℄ Í.À. Ëåáåäåâ. Ïðèíöèï ïëîùàäåé â òåîðèè îäíîëèñòíûõ �óíêöèé. �Ì.:Íàóêà, 1975.�336ñ.[3℄ Äæåíêèíñ Äæ.À. Îäíîëèñòíûå �óíêöèè è êîí�îðìíûå îòîáðàæå-íèÿ. � Ì.: Èçä-âî èíîñòð.ëèò., 1962.�256ñ.[4℄ Òàìðàçîâ Ï.Ì. Ýêñòðåìàëüíûå êîí�îðìíûå îòîáðàæåíèÿ è ïîëþñûêâàäðàòè÷íûõ äè��åðåíöèàëîâ// Èçâ. ÀÍ ÑÑÑ�. Ñåð.ìàò.� 1968.�32,� 5.�C.1033�1043.[5℄ Áàõòèíà �.Ï. Âàðèàöèîííûå ìåòîäû è êâàäðàòè÷íûå äè��åðåíöèàëûâ çàäà÷àõ î íåíàëåãàþùèõ îáëàñòÿõ.:Àâòîðå�. äèñ. êàíä. �èç.-ìàò.íàóê.� Êèåâ. 1975.�11ñ.[6℄ Äóáèíèí Â.Í. Ìåòîä ñèììåòðèçàöèè â ãåîìåòðè÷åñêîé òåîðèè �óíê-öèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî // Óñïåõè ìàò.íàóê. � 1994. � 49.�1(295). � Ñ.3-76.[7℄ Äóáèíèí Â.Í. Åìêîñòè êîíäåíñàòîðîâ â ãåîìåòðè÷åñêîé òåîðèè �óíê-öèé.: Ó÷.ïîñîáèå. � Âëàäèâîñòîê: Èçä-âî Äàëüíåâîñòî÷. óí-òà, 2003.�116ñ.[8℄ Áàõòèí À.Ê. Ýêñòðåìàëüíûå çàäà÷è î íåíàëåãàþùèõ îáëàñòÿõ ñîñâîáîäíûìè ïîëþñàìè íà äâóõ îêðóæíîñòÿõ// Äîï.ÍÀÍ Óêðà¨íè.�2005.�� 7.�Ñ.12�16.[9℄ Áàõòèí À.Ê. Ïðèâåäåííûå ìîäóëè îòêðûòûõ ìíîæåñòâ è ýêñòðåìàëü-íûå çàäà÷è ñî ñâîáîäíûìè ïîëþñàìè// Òàì æå.�2006. � � 5.� Ñ.7�13.[10℄ Áàõòèí À.Ê. Íåðàâåíñòâà äëÿ âíóòðåííèõ ðàäèóñîâ íåíàëåãàþùèõîáëàñòåé è îòêðûòûõ ìíîæåñòâ// Òàì æå. � � 10. � Ñ.7�13.[11℄ Áàõòèí À. Ê., Áàõòèíà �. Ï., ÇåëèíñêèéÞ. Á., Òîïîëîãî-àë-ãåáðàè÷åñêèå ñòðóêòóðû è ãåîìåòðè÷åñêèå ìåòîäû â êîìïëåêñíîìàíàëèçå // Ïðàöi Ií-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè. � 2008. � Ò.73. �Ñ.308.
332 �.Ï. Áàõòèíà, �.Â. Ïîäâûñîöêèé[12℄ Áàõòèí À.Ê. Òî÷íûå îöåíêè äëÿ âíóòðåííèõ ðàäèóñîâ ñèñòåì íåíà-ëåãàþùèõ îáëàñòåé è îòêðûòûõ ìíîæåñòâ// Óêð.ìàò.æóðí.�2007. �Ò.59, � 12.Ñ.1601�1618.[13℄ Tsuji M. Potential theory in modern fun
tion theory. � Tokyo.1959.590p.[14℄ Ïîäâûñîöêèé �.Â. Îöåíêà ïðîèçâåäåíèÿ âíóòðåííèõ ðàäèóñîâ ÷à-ñòè÷íî íåíàëåãàþùèõ îáëàñòåé// Óêð.ìàò.æóðí. �2008. � Ò.60, � 7. �Ñ.1004-1008.[15℄ Áàõòèí À.Ê., Áàõòèíà �.Ï. Ýêñòðåìàëüíûå çàäà÷è î íåíàëåãàþ-ùèõ îáëàñòÿõ è êâàäðàòè÷íûå äè��åðåíöèàëû// Äîï.ÍÀÍÓêðà¨íè.-2005.� � 8.� Ñ.13�15.[16℄ Áàõòèí À.Ê., Áàõòèíà �.Ï. Îá ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷àõ äëÿ ñèììåò-ðè÷íûõ íåíàëåãàþùèõ îáëàñòÿõ// Óêð.ìàò.æóðí.�1997.� Ò.49, � 2.�Ñ.179-185.[17℄ Stankiewi
z J., Stankiewi
z Z. On the mapping of the unit disk ontodisjoining domains// Ìàòåðèàëû 3-é Ïåòðîçàâîäñêîé ìåæäóíàðîäíîéêîí�åðåíöèè ïî òåîðèè �óíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî, ïîñâÿ-ùåííîé 100-ëåòèþ �.Ì.�îëóçèíà. � Ïåòðîçàâîäñê: Èçä-âî Ïåòð.ãîñ.óí-òà, 2006. � Ñ.36.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-6311 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1815-2910 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:46:25Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Бахтина, Г.П. Подвысоцкий, Р.В. 2010-02-23T14:33:05Z 2010-02-23T14:33:05Z 2009 Разделяющее преобразование и квадратичные дифференциалы в задачах о неналегающих областях / Г.П. Бахтина, Р.В. Подвысоцкий // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 323-332. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 1815-2910 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6311 517.5 In this work new inequalityes for inner radii of non-overeapping domains are obtained. ru Інститут математики НАН України Геометрія, топологія та їх застосування Разделяющее преобразование и квадратичные дифференциалы в задачах о неналегающих областях Article published earlier |
| spellingShingle | Разделяющее преобразование и квадратичные дифференциалы в задачах о неналегающих областях Бахтина, Г.П. Подвысоцкий, Р.В. Геометрія, топологія та їх застосування |
| title | Разделяющее преобразование и квадратичные дифференциалы в задачах о неналегающих областях |
| title_full | Разделяющее преобразование и квадратичные дифференциалы в задачах о неналегающих областях |
| title_fullStr | Разделяющее преобразование и квадратичные дифференциалы в задачах о неналегающих областях |
| title_full_unstemmed | Разделяющее преобразование и квадратичные дифференциалы в задачах о неналегающих областях |
| title_short | Разделяющее преобразование и квадратичные дифференциалы в задачах о неналегающих областях |
| title_sort | разделяющее преобразование и квадратичные дифференциалы в задачах о неналегающих областях |
| topic | Геометрія, топологія та їх застосування |
| topic_facet | Геометрія, топологія та їх застосування |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6311 |
| work_keys_str_mv | AT bahtinagp razdelâûŝeepreobrazovanieikvadratičnyedifferencialyvzadačahonenalegaûŝihoblastâh AT podvysockiirv razdelâûŝeepreobrazovanieikvadratičnyedifferencialyvzadačahonenalegaûŝihoblastâh |