Реалізація замкнених 1-форм з замкненими рекурентними кривими на замкнених поверхнях
The closed1-forms with isolated zeros and closed recurrent curves on closed surfaces are considered. The theorem of realization of such closed 1-forms is proved.
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2009
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6313 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Реалізація замкнених 1-форм з замкненими рекурентними кривими на замкнених поверхнях / Н.В. Будницька // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 340-348. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-6313 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-63132025-02-23T18:08:00Z Реалізація замкнених 1-форм з замкненими рекурентними кривими на замкнених поверхнях Будницька, Н.В. Геометрія, топологія та їх застосування The closed1-forms with isolated zeros and closed recurrent curves on closed surfaces are considered. The theorem of realization of such closed 1-forms is proved. 2009 Article Реалізація замкнених 1-форм з замкненими рекурентними кривими на замкнених поверхнях / Н.В. Будницька // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 340-348. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1815-2910 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6313 uk application/pdf Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Геометрія, топологія та їх застосування Геометрія, топологія та їх застосування |
| spellingShingle |
Геометрія, топологія та їх застосування Геометрія, топологія та їх застосування Будницька, Н.В. Реалізація замкнених 1-форм з замкненими рекурентними кривими на замкнених поверхнях |
| description |
The closed1-forms with isolated zeros and closed recurrent curves on closed surfaces are considered. The theorem of realization of such closed 1-forms is proved. |
| format |
Article |
| author |
Будницька, Н.В. |
| author_facet |
Будницька, Н.В. |
| author_sort |
Будницька, Н.В. |
| title |
Реалізація замкнених 1-форм з замкненими рекурентними кривими на замкнених поверхнях |
| title_short |
Реалізація замкнених 1-форм з замкненими рекурентними кривими на замкнених поверхнях |
| title_full |
Реалізація замкнених 1-форм з замкненими рекурентними кривими на замкнених поверхнях |
| title_fullStr |
Реалізація замкнених 1-форм з замкненими рекурентними кривими на замкнених поверхнях |
| title_full_unstemmed |
Реалізація замкнених 1-форм з замкненими рекурентними кривими на замкнених поверхнях |
| title_sort |
реалізація замкнених 1-форм з замкненими рекурентними кривими на замкнених поверхнях |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2009 |
| topic_facet |
Геометрія, топологія та їх застосування |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6313 |
| citation_txt |
Реалізація замкнених 1-форм з замкненими рекурентними кривими на замкнених поверхнях / Н.В. Будницька // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 340-348. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT budnicʹkanv realízacíâzamknenih1formzzamknenimirekurentnimikriviminazamknenihpoverhnâh |
| first_indexed |
2025-11-24T08:02:48Z |
| last_indexed |
2025-11-24T08:02:48Z |
| _version_ |
1849658041187696640 |
| fulltext |
Çáiðíèê ïðàöüIí-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè2009, ò.6, �2, 340-348Í. Â. ÁóäíèöüêàÊè¨â. íàö. óí-ò iì. Òàðàñà Øåâ÷åíêà,Óêðà¨íà, 01033, Êè¨â-33, âóë. Âîëîäèìèðñüêà, 64E-mail: Nadya_VB�ukr.net�åàëiçàöiÿ çàìêíåíèõ 1-�îðì ççàìêíåíèìè ðåêóðåíòíèìè êðèâèìèíà çàìêíåíèõ ïîâåðõíÿõ
The closed 1-forms with isolated zeros and closed recurrent curves on closed
surfaces are considered. The theorem of realization of such closed 1-forms
is proved.Êëþ÷îâi ñëîâà: çàìêíåíà 1-�îðìà, ðåàëiçàöiÿ.1. ÂñòóïÓ ðîáîòi [1℄ Ñ.Â. Áiëóí i Î.Î. Ïðèøëÿê çíàéøëè òîïîëî-ãi÷íó êëàñè�iêàöiþ çàìêíåíèõ 1-�îðì Ìîðñà ç içîëüîâàíèìèíóëÿìè òà çàìêíåíèìè ðåêóðåíòíèìè êðèâèìè íà çàìêíåíèéïîâåðõíÿõ. Ó ðîáîòàõ [3, 4℄ Í.Â. Áóäíèöüêà òà Î.Î. Ïðèøëÿêîòðèìàëè íåîáõiäíi òà äîñòàòíi óìîâè òîïîëîãi÷íî¨ åêâiâàëåíò-íîñòi çàìêíåíèõ 1-�îðì ç içîëüîâàíèìè íóëÿìè íà îði¹íòîâà-íèõ òà íåîði¹íòîâàíèõ ïîâåðõíÿõ âiäïîâiäíî.Ìåòîþ öi¹¨ ðîáîòè ¹ âèâ÷åííÿ ðåàëiçàöi¨ çàìêíåíèõ 1-�îðìç içîëüîâàíèìè íóëÿìè òà çàìêíåíèìè ðåêóðåíòíèìè êðèâèìèíà çàìêíåíèõ ïîâåðõíÿõ.2. Îñíîâíi îçíà÷åííÿÍàãàäà¹ìî äåÿêi îçíà÷åííÿ ç ðîáiò [1,3℄. Íåõàé M � çàìêíå-íà ïîâåðõíÿ ðîäó p i íà M çàäàíà çàìêíåíà 1-�îðìà
ω = A(x, y)dx +B(x, y)dy,
© Í. Â. Áóäíèöüêà, 2009
�åàëiçàöiÿ çàìêíåíèõ 1-�îðì ... 341äå A,B : U → R � ãëàäêi �óíêöi¨, U ⊂M � âiäêðèòà ìíîæèíà,
(x, y) � êîîðäèíàòè â U .Îçíà÷åííÿ 1. Ïîçíà÷èìî ÷åðåç
N(ω) = {z ∈M : A(z) = 0, B(z) = 0}ìíîæèíó íóëiâ �îðìè ω. Êðèâà γ ⊂M , ùî íå ìiñòèòü íóëiâ,íàçèâà¹òüñÿ iíòåãðàëüíîþ êðèâîþ 1-�îðìè ω, ÿêùî ëîêàëüíîâîíà ¹ ðiâíåì �óíêöi¨ f òàêî¨, ùî ω = df .Áóäåìî ðîçãëÿäàòè òiëüêè ìàêñèìàëüíi iíòåãðàëüíi êðèâi(ÿêi íå ¹ âëàñíèìè ïiäìíîæèíàìè iíøèõ êðèâèõ) i áóäåìî íà-çèâàòè ¨õ ïðîñòî êðèâèìè.Íåõàé z ∈M\N(ω). Äëÿ êîæíîãî äîñèòü ìàëîãî îêîëó U(z)öi¹¨ òî÷êè êðèâà, ùî ïðîõîäèòü ÷åðåç z, ðîçáèâ๠U(z) íà äâi÷àñòèíè: äîäàòíó {v : f(v) − f(z) > 0} i âiä'¹ìíó {v : f(v) −
f(z) < 0}. Îá'¹äíàííÿ äîäàòíèõ ÷àñòèí îêîëiâ áóäåìî íàçèâàòèäîäàòíîþ ïiäîáëàñòþ, âiä'¹ìíèõ � âiä'¹ìíîþ ïiäîáëàñòþ.Îçíà÷åííÿ 2. Íóëü 1-�îðìè íàçèâà¹òüñÿ içîëüîâàíèì, ÿêùîiñíó¹ éîãî îêië, ùî íå ìiñòèòü iíøèõ íóëiâ.Äàëi â ðîáîòi áóäåìî ðîçãëÿäàòè çàìêíåíi 1-�îðìè, ÿêi ìà-þòü ëèøå ñêií÷åííå ÷èñëî içîëüîâàíèõ íóëiâ. Âiäîìî, ùî ií-òåãðàëüíi êðèâi íå ìàþòü äæåðåë (âèòîêiâ), ñòîêiâ i êðèâèõ,
ω-ãðàíè÷íèìè àáî α-ãðàíè÷íèìè ìíîæèíàìè ÿêèõ ¹ êðèâi ãî-ìåîìîð�íi êîëó S1.Îçíà÷åííÿ 3. Iíòåãðàëüíà êðèâà γ : R → M íàçèâà¹òüñÿðåêóðåíòíîþ, ÿêùî
γ ⊂ {z ∈M : ∃{tn} → ±∞, γ(tn) → z, n → ∞}.Ç îçíà÷åííÿ âèïëèâà¹, ùî ÿêùî iíòåãðàëüíà êðèâà ¹ çàìêíå-íîþ àáî ñêðiçü ùiëüíîþ â M , òî âîíà ¹ ðåêóðåíòíîþ. Äàëi âðîáîòi ðîçãëÿäàþòüñÿ ëèøå çàìêíåíi ðåêóðåíòíi êðèâi.1-Ôîðìà íàçèâà¹òüñÿ çàìêíåíîþ, ÿêùî dω = 0. Âiäîìî, ùîiñíó¹ f ∈ C2(U), äå U � âiäêðèòà ìíîæèíà: ω = df òîäi iëèøå òîäi, êîëè ω çàìêíåíà â U . Òîìó äàëi áóäåìî ðîçãëÿäàòè
342 Í.Â. Áóäíèöüêàòàêi 1-�îðìè ω, äëÿ ÿêèõ ëîêàëüíî iñíó¹ �óíêöiÿ f : ω = df .Ç ðîáîòè [5℄ âiäîìî, ùî äëÿ êîæíî¨ êðèòè÷íî¨ òî÷êè z0 (êðiìëîêàëüíîãî ìiíiìóìó i ìàêñèìóìó) iñíó¹ îêië, ó ÿêîìó �óíêöiÿ
f ñïðÿæåíà ç �óíêöi¹þ Re (x + iy)k äëÿ äåÿêîãî ÷èñëà k ∈ N.Ìîæëèâi ëèøå äâà ðiçíîâèäè içîëüîâàíèõ òî÷îê: ñiäëî i öåíòð.Îá'¹äíàííÿ íóëiâ òà iíòåãðàëüíèõ êðèâèõ, ùî ¨õ ç'¹äíóþòü,çàìêíåíî¨ 1-�îðìè ω áóäåìî ðîçãëÿäàòè ÿê ãðà� G(ω), ÿêèéâêëàäåíèé â M . Ïðè öüîìó, ÿêùî ç íóëÿ âèõîäèòü íåçàìêíåíàðåêóðåíòíà ïiâêðèâà, òî äëÿ îòðèìàííÿ ãðà�ó G(ω) ìè âiäiò-íåìî öþ ïiâêðèâó íà äåÿêié âiäñòàíi âiä íóëÿ, îòðèìà¹ìî ðåáðîç îäíi¹þ âåðøèíîþ âàëåíòíîñòi 1. Îñêiëüêè â îêîëi êîæíîãîíóëÿ �óíêöiÿ f ñïðÿæåíà ç �óíêöi¹þ Re (x+ iy)k äëÿ äåÿêîãî÷èñëà k ∈ N, òî iç êîæíîãî íóëÿ, âiäìiííîãî âiä öåíòðó, âèõî-äèòü ïàðíà êiëüêiñòü ïiâêðèâèõ i êîæíà âåðøèíà ãðà�ó G(ω),êðiì âåðøèí âàëåíòíîñòi 1, ì๠ïàðíó âàëåíòíiñòü. Äàëi áóäå-ìî ââàæàòè, ùî öåíòð ì๠0-âàëåíòíiñòü, òîáòî ïàðíó âàëåíò-íiñòü. Çàóâàæèìî, ùî ìè íå ðîçãëÿäà¹ìî âåðøèíè âàëåíòíîñòi2. Îòæå, âåðøèíàìè ãðà�à G(ω) ¹ íóëi àáî òî÷êè ç âåðøèíàìèâàëåíòíîñòi 1, à ðåáðàìè � iíòåãðàëüíi êðèâi, ùî ¨õ ç'¹äíóþòü.Îñêiëüêè â äàíié ðîáîòi ìè ðîçãëÿäà¹ìî 1-�îðìè ω ç çàìêíå-íèìè ðåêóðåíòíèìè êðèâèìè, òî ó ãðà�i G(ω) íå áóäå âåðøèíâàëåíòíîñòi 1.�îçãëÿíåìî M ÷åðåç ñêëåþâàííÿ âiäïîâiäíèõ ñòîðií ó ïðà-âèëüíîìó 4p-êóòíèêó äëÿ îði¹íòîâàíî¨ i 2p-êóòíèêóäëÿ íåîði¹íòîâàíî¨ ïîâåðõíi â R2, p � ðiä M .  êîæíié òî÷-öi iíòåãðàëüíî¨ êðèâî¨ â R2 ìîæíà çàäàòè ¹äèíèé âåêòîð p̄ =
(A,B) = (∂f∂x ,
∂f
∂y ).Îçíà÷åííÿ 4. Áóäåìî ââàæàòè, ùî â êîæíié òî÷öi âåê-òîð p̄ íàïðàâëåíèé âiä iíòåãðàëüíî¨ êðèâî¨ ç ìåíøèì çíà÷åí-íÿì ðiâíÿ (ç âiä'¹ìíî¨ ÷àñòèíè îêîëó) äî iíòåãðàëüíî¨ êðèâî¨ç áiëüøèì çíà÷åííÿì ðiâíÿ (â äîäàòíó ÷àñòèíó îêîëó), òîá-òî âåêòîð p̄ ëîêàëüíî ïîðiâíþ¹ 2 ñóñiäíi iíòåãðàëüíi êðèâi çà-ìêíåíî¨ 1-�îðìè ω i áóäåìî éîãî íàçèâàòè ïîðiâíþþ÷èì íà-ïðÿìêîì â òî÷öi.
�åàëiçàöiÿ çàìêíåíèõ 1-�îðì ... 3433. �åàëiçàöiÿ çàìêíåíî¨ 1-�îðìè íà ïîâåðõíÿõÍåõàéM � çàìêíåíà ïîâåðõíÿ ðîäó p, G � ãðà�, âêëàäåíèéâ M , ÿêèé íå ì๠âåðøèí âàëåíòíîñòi 2 i ì๠âåðøèíè ïàðíî¨âàëåíòíîñòi. Íåõàé äîâiëüíà çàìêíåíà êðèâà s ïåðåòèí๠G âòî÷êàõ xk. Çà�iêñó¹ìî äåÿêó òî÷êó ïåðåòèíó xk i ïîñòàâèìî ¨éó âiäïîâiäíiñòü çíàê δk, ÿêèé ¹ +, àáî −. Òîäi ç êîæíîþ íàñòóï-íîþ òî÷êîþ xk+1 áóäåìî ïîâ'ÿçóâàòè çíàê δk+1 çà òàêèì ïðà-âèëîì: ÿêùî ðóõàþ÷èñü ïî s êîæíó íàñòóïíó òî÷êó ïåðåòèíó
xk+1 ìîæíà îòðèìàòè ðóõàþ÷èñü âiä ïîïåðåäíüî¨ xk ïî ðåáðàõi âåðøèíàõ (÷è ðåáði) ãðà�ó G, òî äëÿ òî÷êè xk+1 áóäåìî ââà-æàòè δk+1 = −δk, òîáòî δk çìiíþ¹ çíàê. ßêùî òàêèõ ðåáåð (÷èðåáðà) íå iñíó¹, òî ç òî÷êîþ xk+1 ñïiâñòàâèìî δk+1 = δk, òîáòî
δk çíàêó íå çìiíþ¹. Çàóâàæèìî, ùî çíàê δk áóäåìî ñòàâèòè ïå-ðåä ïåðåòèíîì êðèâî¨ s ç ãðà�îì G, ÿêèé âèçíà÷๠òî÷êó xk.Òàêèì ÷èíîì, íà êðèâié s ìè çàäàëè ìíîæèíó òî÷îê xk, ÿêióòâîðåíi ïåðåòèíîì ãðà�à G ç êðèâîþ s, i ç êîæíîþ òî÷êîþñïiâñòàâèëè çíàê δk, ÿêèé äîðiâíþ¹ + ÷è −.Ëåìà 1. Íåõàé M � çàìêíåíà ïîâåðõíÿ ðîäó p, G(ω) � ãðà�çàìêíåíî¨ 1-�îðìè ω, âêëàäåíèé â M , ÿêèé íå ì๠âåðøèíâàëåíòíîñòi 2. s � äîâiëüíà çàìêíåíà êðèâà, ÿêà ïåðåòèíà¹
G(ω) ïîñëiäîâíî â òî÷êàõ xk, ç ÿêèìè ñïiâñòàâëåíi çíàêè δkçà ïðàâèëîì, îïèñàíèì âèùå. Òîäi ïðè ïîâíîìó îáõîäi s, ïî÷è-íàþ÷è ç xk, ìè ïîâåðíåìîñÿ â ïî÷àòêîâó òî÷êó ç òèì ñàìèìçíàêîì δk.Äîâåäåííÿ.Îñêiëüêè G(ω) � ãðà� çàìêíåíî¨ 1-�îðìè ω, òîâ îêîëi G(ω) âñþäè óçãîäæåíi ïîðiâíþþ÷i íàïðÿìêè. Êîæíà ií-òåãðàëüíà êðèâà ðîçáèâ๠îêië äîâiëüíî¨ òî÷êè íà äâi ÷àñòèíè:äîäàòíó i âiä'¹ìíó.  îêîëi G(ω) âñþäè óçãîäæåíi ïîðiâíþþ-÷i íàïðÿìêè i êîæåí ïîðiâíþþ÷èé íàïðÿìîê íàïðÿìëåíèé çâiä'¹ìíî¨ ÷àñòèíè îêîëó ó äîäàòíó, òîáòî âiä − äî +. Òîìó âêîæíié òî÷öi xk çíàê δk ðîçãëÿíåìî ÿê äîäàòíó (ïðè δk = +)÷è âiä'¹ìíó (ïðè δk = −) ÷àñòèíó îêîëó.
344 Í.Â. ÁóäíèöüêàÍåõàé xk � òî÷êà ïåðåòèíó êðèâî¨ s ç ãðà�îì G(ω) i íåõàé
δk � çíà÷åííÿ, ÿêå ìè ñïiâñòàâèëè ç xk. �óõàþ÷èñü ïî êðèâié sïiäõîäèìî äî xk+1 � íàñòóïíî¨ òî÷êè ïåðåòèíó êðèâî¨ s ç ãðà-�îì G(ω). ßêùî xk+1 ìîæíà îòðèìàòè, ðóõàþ÷èñü âiä ïîïå-ðåäíüî¨ òî÷êè xk, ïî ðåáðàõ i âåðøèíàõ (÷è ðåáði) ãðà�ó G(ω),òî öå îçíà÷à¹, ùî òî÷êè xk i xk+1 íàëåæàòü äî îäíîãî öèêëó,ÿêèé ìiñòèòü iíøèé ìàêñèìàëüíèé çâ'ÿçíèé ïiäãðà� (íàïðè-êëàä öåíòð), òîìó â äàíîìó öèêëi ïîðiâíþþ÷èé íàïðÿìîê áóäåçìiíþâàòèñÿ íà ïðîòèëåæíèé i çà ïðàâèëîì, îïèñàíèì âèùå, çòî÷êîþ xk+1 ñïiâñòàâèìî δk+1 = −δk. ßêùî æ xk+1 íå ìîæíàîòðèìàòè, ðóõàþ÷èñü âiä ïîïåðåäíüî¨ xk ïî ðåáðàõ i âåðøè-íàõ (÷è ðåáði) ãðà�ó G(ω), òî òî÷êè xk i xk+1 íàëåæàòü äîðiçíèõ ìàêñèìàëüíèõ çâ'ÿçíèõ ïiäãðà�iâ, ÿêi ðîçäiëÿ¹ îáëàñòü,ãîìåîìîð�íà öèëiíäðó, òîìó ïîðiâíþþ÷èé íàïðÿìîê íå áóäåçìiíþâàòèñÿ íà ïðîòèëåæíèé i çà ïðàâèëîì, îïèñàíèì âèùå, çòî÷êîþ xk+1 ñïiâñòàâèìî δk+1 = δk.Ç îïèñàíèõ ïîÿñíåíü âèïëèâà¹, ùî â êîæíié íàñòóïíié òî÷öiïåðåòèíó xk+1 êðèâî¨ s ç ãðà�îì G(ω) çíàê δk+1 áóäå ïðîòè-ëåæíèì äî δk, ëèøå ÿêùî áóäå çìiíþâàòè íàïðÿìîê âiäïîâiä-íèé ïîðiâíþþ÷èé íàïðÿìîê, i δk+1 áóäå äîðiâíþâàòè δk, ÿêùîíàïðÿìîê ïîðiâíþþ÷îãî íàïðÿìêó çàëèøàòèìåòüñÿ áåç çìií.Îñêiëüêè çíàê δk ìè âèçíà÷à¹ìî îäíîçíà÷íî, à ñàìå: ïåðåä ïå-ðåòèíîì s ç ãðà�îì G(ω), ÿêèé âèçíà÷๠òî÷êó xk, òî â äàíîìóâèïàäêó ïîðiâíþþ÷èé íàïðÿìîê â òî÷öi xk áóäå îäíîçíà÷íîçàäàâàòè δk � çíàê îäíi¹¨ ÷àñòèíè îêîëó. Òîìó çàìiñòü äîñëiä-æåííÿ ïîðiâíþþ÷èõ íàïðÿìêiâ 1-�îðìè ω ìîæíà äîñëiäæó-âàòè çíàêè δk. À îñêiëüêè ïîðiâíþþ÷i íàïðÿìêè âñþäè óçãîä-æåííi, òî ïðè îáõîäi s ìè ïîâåðíåìîñÿ â ïî÷àòêîâó òî÷êó ç òèìñàìèì ïîðiâíþþ÷èì íàïðÿìêîì, òîáòî ç òèì ñàìèì çíàêîì δk.Ëåìà äîâåäåíà.Ïîêàæåìî, ùî ó âèïàäêó R2 ñïðàâåäëèâà îáåðíåíà âëàñòè-âiñòü.
�åàëiçàöiÿ çàìêíåíèõ 1-�îðì ... 345Ëåìà 2. Íåõàé G � ãðà�, âêëàäåíèé â R2, ÿêèé íå ì๠âåðøèíâàëåíòíîñòi 2 i ì๠âåðøèíè ïàðíî¨ âàëåíòíîñòi, s � äîâiëü-íà çàìêíåíà êðèâà, ÿêà ïåðåòèí๠G ïîñëiäîâíî â òî÷êàõ xk.Ñïiâñòàâèìî ç òî÷êàìè xk çíàêè δk çà ïðàâèëîì, îïèñàíèìâèùå. Ïðè îáõîäi s, ïî÷èíàþ÷è ç òî÷êè xk, ìè ïîâåðíåìîñÿ âïî÷àòêîâó òî÷êó ç òèì ñàìèì çíàêîì δk. Òîäi G = G(ω) �ãðà� äåÿêî¨ çàìêíåíî¨ 1-�îðìè ω.Äîâåäåííÿ. Ëîêàëüíî êîæíå ðåáðî G ðîçáèâ๠îêiëòî÷êè xk íà äîäàòíó i âiä'¹ìíó ÷àñòèíè i, ÿê îïèñóâàëîñü âäîâåäåííi ïîïåðåäíüî¨ ëåìè, δk âèçíà÷๠çíàê ÷àñòèíè îêîëó,ÿêèé çóñòði÷à¹ìî äî ïåðåòèíó s ç G. Òîäi −δk � çíàê iíøî¨÷àñòèíè îêîëó.�óõàþ÷èñü ïî çàìêíåíié êðèâié s ìè âñþäè ðîçñòàâëÿ¹ìîçíàêè δk â îêîëàõ äî ïåðåòèíó s ç G.  ÷àñòèíàõ îêîëiâ ïiñëÿïåðåòèíó s ç G çíàêè áóäóòü ïðîòèëåæíèìè äî δk. Ïðîâåäå-ìî àíàëîãi÷íi ìiðêóâàííÿ äëÿ äîâiëüíî¨ çàìêíåíî¨ êðèâî¨ s. Âêîæíié òî÷öi çàäà¹ìî ïîðiâíþþ÷èé íàïðÿìîê, ÿêèé éäå âiä −äî +. Îñêiëüêè ïðè îáõîäi äîâiëüíî¨ êðèâî¨ s ìè ïîâåðíåìîñÿâ ïî÷àòêîâó òî÷êó ç òèì ñàìèì çíàêîì δk, òî öå ¹ ñâiä÷åííÿìòîãî, ùî ïîðiâíþþ÷èé íàïðÿìîê ïðè îáõîäi äîâiëüíî¨ êðèâî¨ sïîâåðíåòüñÿ ç òèì ñàìèì íàïðÿìêîì â ïî÷àòêîâó òî÷êó. À öå iîçíà÷à¹, ùî ìè îòðèìàëè âñþäè óçãîäæåíi ïîðiâíþþ÷i íàïðÿì-êè.Îòæå, ìè îòðèìàëè G � ãðà�, ÿêèé íå ì๠âåðøèí âàëåíò-íîñòi 2 i ì๠âåðøèíè ïàðíî¨ âàëåíòíîñòi, i âñþäè óçãîäæåíiïîðiâíþþ÷i íàïðÿìêè, òîìó G = G(ω) � ãðà� äåÿêî¨ çàìêíå-íî¨ 1-�îðìè ω.Ëåìà äîâåäåíà.Òåîðåìà 1. Íåõàé M � çàìêíåíà ïîâåðõíÿ ðîäó p, G � ãðà�,ÿêèé íå ì๠âåðøèí âàëåíòíîñòi 2 i ì๠âåðøèíè ïàðíî¨ âà-ëåíòíîñòi, âêëàäåíèé â M . Iñíó¹ çàìêíåíà 1-�îðìà ω ç çàäà-íèì ãðà�îì G = G(ω) òîäi i ëèøå òîäi, êîëè âèêîíóþòüñÿ:
s � äîâiëüíà çàìêíåíà êðèâà, ÿêà ïåðåòèí๠G ïîñëiäîâíî âòî÷êàõ xk; êîæíié òî÷öi xk ïîñòàâëåíî ó âiäïîâiäíiñòü çíàê
346 Í.Â. Áóäíèöüêà
δk çà ïðàâèëîì, îïèñàíèì âèùå. Òîäi ïðè ïîâíîìó îáõîäi s,ïî÷èíàþ÷è ç òî÷êè xk, ìè ïîâåðíåìîñÿ â ïî÷àòêîâó òî÷êó çòèì ñàìèì çíàêîì δk.Äîâåäåííÿ. Íåîáõiäíiñòü. Âèïëèâ๠ç ëåìè 1.Äîñòàòíiñòü. �îçãëÿíåìî îêðåìî âèïàäêè, êîëèM � îði¹í-òîâàíà àáî íåîði¹íòîâàíà ïîâåðõíÿ.1) M � îði¹íòîâàíà ïîâåðõíÿ. �îçãëÿíåìî M ÷åðåç ñêëåþ-âàííÿ âiäïîâiäíèõ ñòîðií ïðàâèëüíîãî 4p-êóòíèêà â R2, p � ðiä
M . Êîæíà ïàðà âiäïîâiäíèõ ñòîðií ó 4p-êóòíèêó çàä๠äåÿêóçàìêíåíó êðèâó sj íà M .Íåõàé {sj} � ìíîæèíà çàìêíåíèõ êðèâèõ íàM , xjk � òî÷êèïåðåòèíó êðèâî¨ sj ç ãðà�îì G. Çà�iêñó¹ìî äîâiëüíó çàìêíåíóêðèâó s1 i ðîçñòàâèìî çíàêè δ1k â òî÷êàõ x1k, ïåðåòèíó êðèâî¨
s1 ç ãðà�îì G çà ïðàâèëîì, îïèñàíèì âèùå. Íåõàé êðèâi s1 i sj,
j 6= 1, ïåðåòèíàþòüñÿ. Ïðè ïåðåòèíi s1 i sj, j 6= 1, ðîçãëÿíåìîíîâi çàìêíåíi êðèâi, ÿêi íàëåæàòü s1 ∪ sj , à ñàìå: âiçüìåìî âiäòî÷êè ïåðåòèíó öèõ êðèâèõ ïî îäíié äóçi ç êîæíî¨ êðèâî¨ òàê,ùîá ¨õ îá'¹äíàííÿ çàäàâàëî îði¹íòîâàíó êðèâó. Òîäi, çíàþ÷èçíàêè δ1k íà êðèâié s1, ìè çàäà¹ìî çíàêè δjk íà êðèâié sj . �îç-ñòàâèìî çíàêè δjk äëÿ âñiõ òî÷îê ïåðåòèíó êðèâèõ sj ç ãðà�îì
G. Òàêèì ÷èíîì, ìè ðîçñòàâèëè çíàêè δjk íà ìåæi 4p-êóòíèêà.Çíàêè δjk â òî÷êàõ ïåðåòèíó G ç ìåæåþ 4p-êóòíèêà iíäóêó-þòü çíàêè δk íà ðåáðàõ G, ÿêi ïåðåòèíàþòü ìåæó. Îñêiëüêè óâíóòðiøíîñòi 4p-êóòíèêà ïðè ïîâíîìó îáõîäi äîâiëüíî¨ êðèâî¨
s, ïî÷èíàþ÷è ç òî÷êè xk, ìè ïîâåðíåìîñÿ â ïî÷àòêîâó òî÷êóç òèì ñàìèì çíàêîì δk, òî ó âíóòðiøíîñòi 4p-êóòíèêà âñþäè,çà ïðàâèëîì, îïèñàíèì âèùå, ðîçñòàâëåíi çíàêè δk. Çà ëåìîþ 2iñíó¹ çàìêíåíà 1-�îðìà ω ç çàäàíèì ãðà�îì G = G(ω).2) M � íåîði¹íòîâàíà ïîâåðõíÿ. �îçãëÿíåìî M ÷åðåç ñêëå-þâàííÿ âiäïîâiäíèõ ñòîðií ó ïðàâèëüíîìó 2p-êóòíèêó â R2, p� ðiä M . Ïîçíà÷èìî ÷åðåç c1, ć1, c2, ć2, . . ., cp, ćp ñòîðîíè 2p-êóòíèêà, ïðè÷îìó ñòîðîíè ç îäíàêîâèìè íèæíiìè iíäåêñàìèîòîòîæíþþòüñÿ. Çàóâàæèìî, ùî ìåæà
c1ć1c2ć2 . . . cpćp ãîìåîìîð�íà çàìêíåíié îði¹íòîâàíié êðèâié â
�åàëiçàöiÿ çàìêíåíèõ 1-�îðì ... 347
R2. Îáõîäÿ÷è ìåæó c1ć1c2ć2 . . . cpćp, ïîñëiäîâíî ïîçíà÷à¹ìî òî÷-êè ïåðåòèíó ñòîðîíè ci ç ãðà�îìG ÷åðåç yis, i = 1, p, s = 1, S(i),òîäi ýis � òî÷êè ïåðåòèíó ñòîðîíè ći ç ãðà�îì G. Îñêiëüêè cii ći îòîòîæíþþòüñÿ, òî yis i ýis ðîçìiùåííi îäíàêîâî íà ci i ći.�îçãëÿíåìî äåÿêó ñòîðîíó ci : ci ∩G 6= ∅, òî÷êó yi1 ∈ ci ∩Gi çàäàìî â yi1 äîâiëüíèé ïîðiâíþþ÷èé íàïðÿìîê (íàïðèêëàäïîðiâíþþ÷èé íàïðÿìîê çáiãà¹òüñÿ ç íàïðÿìêîì ñòîðîíè ci).ßêùî yi2 ìîæíà äîñÿãíóòè ðóõàþ÷èñü âiä ïîïåðåäíüî¨ yi1 ïîðåáðàõ i âåðøèíàõ (÷è ðåáði) ãðà�ó G, òî öå îçíà÷à¹, ùî òî÷êè
yi2 i yi1 íàëåæàòü äî îäíîãî öèêëó, ÿêèé ìiñòèòü iíøèé ìàê-ñèìàëüíèé çâ'ÿçíèé ïiäãðà� (íàïðèêëàä öåíòð), òîìó â äàíî-ìó öèêëi ïîðiâíþþ÷èé íàïðÿìîê áóäå çìiíþâàòèñÿ íà ïðîòè-ëåæíèé i çà ïðàâèëîì, îïèñàíèì âèùå, ç òî÷êîþ yi2 ñïiâñòà-âèìî ïîðiâíþþ÷èé íàïðÿìîê, ïðîòèëåæíèé äî ïîðiâíþþ÷îãîíàïðÿìêó yi1, â iíøîìó âèïàäêó ïîðiâíþþ÷èé íàïðÿìîê íå çìi-íþ¹òüñÿ. Àíàëîãi÷íî ðîçãëÿäà¹ìî âñi òî÷êè ç ci ∩ G i çàäà¹ìîïîðiâíþþ÷i íàïðÿìêè íà íèõ.Ïîðiâíþþ÷i íàïðÿìêè íà ñòîðîíi ći áóäåìî çàäàâàòè â òàêèéñïîñiá: ó òî÷öi ýis ïîðiâíþþ÷èé íàïðÿìîê áóäå ïðîòèëåæíèìäî ïîðiâíþþ÷îãî íàïðÿìêó â òî÷öi yis, òîáòî ÿêùî â òî÷öi yisïîðiâíþþ÷èé íàïðÿìîê çáiãàâñÿ ç íàïðÿìêîì ñòîðîíè ci, òî âòî÷öi ýis ïîðiâíþþ÷èé íàïðÿìîê áóäå ïðîòèëåæíèì äî íàïðÿì-êó ñòîðîíè ći. Òàêèì ÷èíîì, ìè çàäàëè ïîðiâíþþ÷i íàïðÿìêèâ òî÷êàõ ïåðåòèíó G ç ïàðîþ ñòîðií ci, ći.Ïðè îáõîäi c1ć1c2ć2 . . . cpćp ðîçãëÿíåìî ñòîðîíó cj : cj ∩ G 6=
∅, òî÷êó yj1 ∈ cj ∩ G. ßêùî yj1 ìîæíà îòðèìàòè, ðóõàþ÷èñüâiä ïîïåðåäíüî¨ òî÷êè ýiS(i) ïî ðåáðàõ i âåðøèíàõ (÷è ðåáði)ãðà�ó G, òî öå îçíà÷à¹, ùî òî÷êè ýiS(i) i yj1 íàëåæàòü äî îä-íîãî öèêëó, òîìó â äàíîìó öèêëi ïîðiâíþþ÷èé íàïðÿìîê áóäåçìiíþâàòèñÿ íà ïðîòèëåæíèé i çà ïðàâèëîì, îïèñàíèì âèùå, çòî÷êîþ yj1 ñïiâñòàâèìî ïîðiâíþþ÷èé íàïðÿìîê, ïðîòèëåæíèéäî ïîðiâíþþ÷îãî íàïðÿìêó yiS(i), â iíøîìó âèïàäêó ïîðiâíþþ-÷èé íàïðÿìîê íå çìiíþ¹òüñÿ. Çàäàâøè ïîðiâíþþ÷èé íàïðÿìîê
348 Í.Â. Áóäíèöüêàâ òî÷öi yj1, àíàëîãi÷íî äî âèïàäêó ç ïàðîþ ñòîðií ci, ći, çàäà¹-ìî ïîðiâíþþ÷i íàïðÿìêè â òî÷êàõ ïåðåòèíó G ç cj , ćj . Äàëióçàãàëüíþ¹ìî âèêëàäåíi ìiðêóâàííÿ íà âñþ ìåæó 2p-êóòíèêà.Ïîðiâíþþ÷i íàïðÿìêè â òî÷êàõ ïåðåòèíó G ç ìåæåþ 2p-êóòíèêà iíäóêóþòü ïîðiâíþþ÷i íàïðÿìêè íà ðåáðàõ G, ÿêi ïå-ðåòèíàþòü ìåæó. ßêùî çàäàìî êîæåí ïîðiâíþþ÷èé íàïðÿìîê÷åðåç + i −, òî ïîðiâíþþ÷èé íàïðÿìîê íàïðàâëåíèé ç − â +.Îñêiëüêè çà óìîâîþ òåîðåìè ïðè îáõîäi äîâiëüíî¨ çàìêíåíî¨êðèâî¨ ìè ïîâåðíåìîñÿ â ïî÷àòêîâó òî÷êó ç òèì ñàìèì çíàêîì,òî íîâi + i − áóäóòü âñþäè óçãîäæåíèìè. Òîäi çà ëåìîþ 2 iñíó¹çàìêíåíà 1-�îðìà ω ç çàäàíèì ãðà�îì G = G(ω).Òåîðåìà äîâåäåíà. 4. ÂèñíîâîêÓ äàíié ðîáîòi çíàéäåíî óìîâè, ïðè ÿêèõ äåÿêèé ãðà�, ÿêèéíå ì๠âåðøèí âàëåíòíîñòi 2 i ì๠âåðøèíè ïàðíî¨ âàëåíòíî-ñòi, âèçíà÷๠çàìêíåíó 1-�îðìó ç çàìêíåíèìè ðåêóðåíòíèìèêðèâèìè íà çàìêíåíèõ ïîâåðõíÿõ.Ëiòåðàòóðà[1℄ Áiëóí Ñ.Â., Ïðèøëÿê Î.Î. Çàìêíåíi 1-�îðìè Ìîðñà íà çàìêíåíèõïîâåðõíÿõ // Âiñí. Êè¨â. íàö. óí-òó. - 2002. - �8. - Ñ.77-81.[2℄ Áóäíèöüêà Í.Â., Ïðèøëÿê Î.Î. Çàìêíåíi 1-�îðìè ç içîëüîâàíèìèêðèòè÷íèìè òî÷êàìè íà çàìêíåíèõ îði¹íòîâàíèõ ïîâåðõíÿõ // Âiñí.Êè¨â. íàö. óí-òó. - 2007. - �18. - Ñ.66-69.[3℄ Áóäíèöüêà Í.Â., Ïðèøëÿê Î.Î. Åêâiâàëåíòíiñòü çàìêíåíèõ 1-�îðìíà çàìêíåíèõ îði¹íòîâàíèõ ïîâåðõíÿõ // Âiñí. Êè¨â. íàö. óí-òó. - 2008.- �19. - Ñ.36-38.[4℄ Áóäíèöüêà Í.Â. Åêâiâàëåíòíiñòü çàìêíåíèõ 1-�îðì íà çàìêíåíèõíåîði¹íòîâàíèõ ïîâåðõíÿõ // Íåëiíiéíi êîëèâàííÿ. - 2008 (ñòàòòÿ ïî-äàíà äî äðóêó).[5℄ Prishlyak A.O. Topologi
al equivalen
e of smooth fun
tions with isolated
riti
al points on a
loused surfa
e // Topology and its Apli
ations. -2002. - �119. - P.257-267.
|