Узагальнення теореми про рівномірну збіжність півгрупи до одиничного оператора
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2009
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6317 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Узагальнення теореми про рівномірну збіжність півгрупи до одиничного оператора / Я.І. Грушка // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 390-399. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859623699405078528 |
|---|---|
| author | Грушка, Я.І. |
| author_facet | Грушка, Я.І. |
| citation_txt | Узагальнення теореми про рівномірну збіжність півгрупи до одиничного оператора / Я.І. Грушка // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 390-399. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| first_indexed | 2025-11-29T08:28:03Z |
| format | Article |
| fulltext |
Çáiðíèê ïðàöüIí-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè2009, ò.6, �2, 390-399ß. I. �ðóøêàIíñòèòóò ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè, ì. Êè¨âE-mail: grushka�imath.kiev.uaÓçàãàëüíåííÿ òåîðåìè ïðîðiâíîìiðíó çáiæíiñòü ïiâãðóïè äîîäèíè÷íîãî îïåðàòîðà
Let {T (t) : t ≥ 0} be a C0-semigroup of bounded linear operators in a
complex Banach Space (X, ‖·‖) and A be it’s generator. The well known
uniform convergence theorem states that the generator A is bounded
for the semigroups {T (t)}, satisfying lim
t→+0
‖T (t) − I‖ < 1, where I is the
identity operator in X.
In this article we prove that for a wide enough class of semigroups {T (t)}in X the following generalization of this theorem is true.
If there exists a non-negative and measurable Lebesgue on [0,∞) function
β(t) satisfying the conditions:
β(t)
t
→ 0, t → +0; lim
t→+0
‖T (t) − T (β(t))‖ < 1
then the generator A is bounded.Êëþ÷îâi ñëîâà: ïiâãðóïà îïåðàòîðiâ, îäèíè÷íèé îïåðàòîð, ðiâíîìiðíàçáiæíiñòü1. Íåõàé {T (t) : t ≥ 0} � ïiâãðóïà êëàñó C0 â áàíàõîâîìóïðîñòîði (X, ‖·‖) ç ãåíåðàòîðîì A. Äîáðå âiäîìà òåîðåìà ïðîðiâíîìiðíó çáiæíiñòü ïiâãðóïè äî îäèíè÷íîãî îïåðàòîðà ñòâåð-äæó¹, ùî ÿêùî äëÿ ïiâãðóïè {T (t)} âèêîíó¹òüñÿ óìîâà
lim
t→+0
‖T (t) − I‖ < 1,äå I � îäèíè÷íèé (òîòîæíèé) îïåðàòîð â ïðîñòîði X, òî ãåíå-ðàòîð A ¹ ëiíiéíèì îáìåæåíèì îïåðàòîðîì â ïðîñòîði X [1℄.
© ß. I. �ðóøêà, 2009
Ïðî ðiâíîìiðíó çáiæíiñòü ïiâãðóïè 391Ïåâíå óçàãàëüíåííÿ òåîðåìè ïðî ðiâíîìiðíó çáiæíiñòü ïiâ-ãðóïè äî îäèíè÷íîãî îïåðàòîðà áóëî îòðèìàíî â ðîáîòi [2℄. Óöié ðîáîòi áóëî äîâåäåíî òàêå òâåðäæåííÿ.ßêùî äëÿ ïiâãðóïè {T (t) : t ≥ 0} êëàñó C0 ç íîðìàëüíèì ãå-íåðàòîðîì A â ãiëüáåðòîâîìó ïðîñòîði (H, ‖·‖) iñíó¹ �óíêöiÿ
β : [0,∞) 7→ R, ùî çàäîâîëüíÿ¹ óìîâó(1) β(t) ≥ 0, t > 0;
β(t)
t
→ 0, t→ +0,i äëÿ ÿêî¨
lim
t→+0
‖T (t) − T (β(t))‖ < 1,òî ãåíåðàòîð A � îáìåæåíèé.Ìåòà öi¹¨ ðîáîòè � ïîêàçàòè, ùî íàâåäåíå âèùå òâåðäæåííÿñïðàâåäëèâå äëÿ áiëüø øèðîêîãî êëàñó ïiâãðóï, à ñàìå, äëÿäîâiëüíèõ ïiâãðóï T (t) = etA, t ≥ 0, êëàñó C0 â áàíàõîâîìóïðîñòîði X, ó ÿêèõ ìíîæèíà öiëèõ âåêòîðiâ åêñïîíåíöiàëüíîãîòèïó ãåíåðàòîðà A ¹ ùiëüíîþ â X.2. Íåõàé B � äîâiëüíèé (âçàãàëi êàæó÷è, íåîáìåæåíèé) ëi-íiéíèé îïåðàòîð â áàíàõîâîìó ïðîñòîði X. ×åðåç D(B) áóäåìîïîçíà÷àòè îáëàñòü âèçíà÷åííÿ îïåðàòîðà B.Äëÿ äîâiëüíî¨ ïiâãðóïè {T (t) : t ≥ 0} êëàñó C0 ç ãåíåðàòîðîì
A â ïðîñòîði X ïîêëàäåìî:
M(t) := MT (t) := sup
0≤s≤t
‖T (s)‖ , t ≥ 0.Î÷åâèäíî, ùî �óíêöiÿ M(t) íå ñïàä๠íà [0,∞). ßêùî
f ∈ D(A), òî ïðè t ≥ 0 ìà¹ìî:(2) ‖T (t)f − f‖ =
∥∥∥∥∥∥
t∫
0
T (ξ)Afdξ
∥∥∥∥∥∥
≤M(t) ‖Af‖ t.Íåõàé �óíêöiÿ β : [0,∞) 7→ R � îáìåæåíà, âèìiðíà çà Ëåáå-ãîì íà [0,∞) i çàäîâîëüíÿ¹ óìîâó (1), à òàêîæ iñòîòíî âiäìiííà
392 �ðóøêà ß.I.âiä íóëÿ â îêîëi íóëÿ, òîáòî(3) ∀h > 0 m ({τ ∈ (0, h) | β(τ) > 0}) > 0,äå m � ìiðà Ëåáåãà íà R. Ïîêëàäåìî:(4) β̃(t) :=
1
t
∫ t
0
β(ξ)dξ, t ∈ (0,∞); β̃(0) := 0.Î÷åâèäíî, ùî �óíêöiÿ β̃ ì๠òàêi âëàñòèâîñòi:(1) β̃ íåïåðåðâíà íà [0,∞).(2) eβ(t)
t → 0, t → +0.(3) β̃(t) > 0, t > 0.3. Äëÿ äîâåäåííÿ îñíîâíîãî ðåçóëüòàòó öi¹¨ ðîáîòè íàì çíà-äîáèòüñÿ òàêà ëåìà.Ëåìà 1. Íåõàé:1. T (t) = etA, t ≥ 0, äå A ∈ L(X) (òóò L(X) � ïðîñòiðëiíiéíèõ íåïåðåðâíèõ îïåðàòîðiâ íàä ïðîñòîðîì X).2. Ôóíêöiÿ β : [0,∞) 7→ R � îáìåæåíà, âèìiðíà çà Ëåáåãîìíà [0,∞) i çàäîâîëüíÿ¹ óìîâè (1) òà (3).Òîäi ÿêùî äëÿ äåÿêèõ ÷èñåë δ > 0 i q ∈ (0, 1) âèêîíó¹òüñÿóìîâà ‖T (t) − T (β(t))‖ ≤ q, t ∈ (0, δ), òî
‖A‖ ≤
(1 − q) −
√
(1 − q)2 − 4M(δ)(M(δ) + 1)
eβ(t)
t
2M(δ)β̃(t)
,äå t ∈ (0, δ1) i δ1 � äîâiëüíå äiéñíå ÷èñëî, ÿêå âiäïîâiä๠âèìî-ãàì δ1 ∈ (0, δ) i
4M(δ)(M(δ) + 1)
β̃(t)
t
< (1 − q)2ïðè t ∈ (0, δ1), à β̃ � �óíêöiÿ, âèçíà÷åíà â (4). (Îñêiëüêè
eβ(t)
t → 0 ïðè t→ +0, òî òàêå ÷èñëî δ1 çàâæäè iñíó¹.)
Ïðî ðiâíîìiðíó çáiæíiñòü ïiâãðóïè 393Äîâåäåííÿ. Îñêiëüêè ãåíåðàòîð A ïiâãðóïè {T (t)} � îáìåæå-íèé, òî, âèêîðèñòîâóþ÷è âëàñòèâîñòi ïiâãðóï i íåðiâíiñòü (2)äëÿ äîâiëüíîãî âåêòîðà f ∈ X i �óíêöiîíàëó g ∈ X∗ ïðè
t ∈ (0, δ), îòðèìó¹ìî:
˛
˛
˛
˛
fi
T (t)f − f
t
, g
fl
˛
˛
˛
˛
≥
1
t
˛
˛
˛
˛
˛
˛
t
Z
0
〈T (β(ξ))Af, g〉 dξ
˛
˛
˛
˛
˛
˛
−
−
˛
˛
˛
˛
˛
˛
1
t
t
Z
0
〈T (β(ξ))Af, g〉 dξ −
fi
T (t)f − f
t
, g
fl
˛
˛
˛
˛
˛
˛
=
=
1
t
˛
˛
˛
˛
˛
˛
t
Z
0
〈T (β(ξ))Af, g〉 dξ
˛
˛
˛
˛
˛
˛
−
1
t
˛
˛
˛
˛
˛
˛
t
Z
0
〈(T (β(ξ)) − T (ξ))Af, g〉dξ
˛
˛
˛
˛
˛
˛
≥
≥
1
t
˛
˛
˛
˛
˛
˛
t
Z
0
〈T (β(ξ))Af, g〉 dξ
˛
˛
˛
˛
˛
˛
−
1
t
t
Z
0
‖T (β(ξ)) − T (ξ)‖ ‖Af‖ ‖g‖ dξ ≥
≥
1
t
˛
˛
˛
˛
˛
˛
t
Z
0
〈T (β(ξ))Af, g〉 dξ
˛
˛
˛
˛
˛
˛
− q ‖Af‖ ‖g‖ ≥
≥ |〈Af, g〉| − q ‖Af‖ ‖g‖ −
1
t
˛
˛
˛
˛
˛
˛
t
Z
0
〈Af − T (β(ξ))Af, g〉 dξ
˛
˛
˛
˛
˛
˛
≥
≥ |〈Af, g〉| − q ‖Af‖ ‖g‖ −
1
t
t
Z
0
M(t)
‚
‚A2f
‚
‚ ‖g‖β(ξ) dξ =
= |〈Af, g〉| − q ‖Af‖ ‖g‖ − M(t)
‚
‚A2f
‚
‚ ‖g‖ eβ(t).Îòæå,
|〈Af, g〉| ≤
˛
˛
˛
˛
fi
T (t)f − f
t
, g
fl
˛
˛
˛
˛
+
+ M(t)
‚
‚A2f
‚
‚ ‖g‖ eβ(t) + q ‖Af‖ ‖g‖ ≤
≤
(M(δ) + 1)
t
‖f‖ ‖g‖+ M(δ) ‖A‖2 ‖f‖ ‖g‖ eβ(t) + q ‖A‖ ‖f‖ ‖g‖ ,
394 �ðóøêà ß.I.äå t ∈ (0, δ), f ∈ X, g ∈ X∗. Çâiäñè, âðàõîâóþ÷è äîâiëüíiñòüåëåìåíòiâ f ∈ X òà g ∈ X∗, îòðèìó¹ìî:
‖A‖ ≤ (M(δ) + 1)
t
+M(δ) ‖A‖2 β̃(t) + q ‖A‖ , t ∈ (0, δ),òîáòî:
M(δ)β̃(t) ‖A‖2 − (1 − q) ‖A‖ +
(M(δ) + 1)
t
≥ 0, t ∈ (0, δ).(5)Âèðàç ó ïðàâié ÷àñòèíi (5) ¹ êâàäðàòíèì òðè÷ëåíîì âiäíîñíî
‖A‖, éîãî äèñêðèìiíàíò:
D(t) = (1 − q)2 − 4M(δ)(M(δ) + 1)
β̃(t)
t
,çà óìîâîþ ëåìè, ¹ äîäàòíèì ïðè t ∈ (0, δ1). Òîìó ç íåðiâíîñòi (5)âèïëèâà¹, ùî ïðè t ∈ (0, δ1) ì๠ìiñöå õî÷à á îäíà ç íåðiâíîñòåé:
‖A‖ ≤ α1(t) :=
:=
(1 − q) −
√
(1 − q)2 − 4M(δ)(M(δ) + 1)
eβ(t)
t
2M(δ)β̃(t)
,(6)
‖A‖ ≥ α2(t) :=
:=
(1 − q) +
√
(1 − q)2 − 4M(δ)(M(δ) + 1)
eβ(t)
t
2M(δ)β̃(t)
.(7)Äîâåäåìî, ùî íåðiâíiñòü (7) íå ìîæå âèêîíóâàòèñü ïðè æîäíî-ìó t ∈ (0, δ1).Ç âëàñòèâîñòåé 1 òà 3 �óíêöi¨ β̃ âèïëèâà¹, ùî �óíêöi¨ α1(t),
α2(t) íåïåðåðâíi i äîäàòíi íà (0, δ1). Êðiì òîãî, ç äîäàòíîñòiäèñêðèìiíàíòà D(t) âèïëèâà¹, ùî(8) α1(t) < α2(t), t ∈ (0, δ1).Íåâàæêî ïåðåêîíàòèñü, ùî α1(t) → ∞, t → +0. Îòæå, iñíó¹÷èñëî η ∈ (0, δ1) òàêå, ùî ‖A‖ ≤ α1(t), t ∈ (0, η). Ïîêëàäåìî:(9) η0 := sup {η ∈ (0, δ1) : ‖A‖ ≤ α1(t), t ∈ (0, η)} .
Ïðî ðiâíîìiðíó çáiæíiñòü ïiâãðóïè 395Òîäi, âíàñëiäîê íåïåðåðâíîñòi α1(·),(10) ‖A‖ ≤ α1(η0).Äîâåäåìî, ùî η0 = δ1. Ïðèïóñòèìî ïðîòèâíå, òîáòî η0 < δ1.Òîäi äëÿ äîâiëüíîãî h ∈ (η0, δ1) âíàñëiäîê (9) òà óìîâ (6)-(7)iñíó¹ ÷èñëî th ∈ (η0, h) òàêå, ùî ‖A‖ ≥ a2(th). Îòæå, â ñè-ëó íåïåðåðâíîñòi α2(·), ‖A‖ ≥ a2(η0). Àëå îñòàííÿ íåðiâíiñòüñóïåðå÷èòü íåðiâíîñòÿì (10) i (8). Îòæå, ïðèïóùåííÿ íåâiðíå.Òîìó íåðiâíiñòü (6) ì๠ìiñöå ïðè âñiõ t ∈ (0, δ1). �4. Íåõàé A � çàìêíåíèé ëiíiéíèé îïåðàòîð çi ùiëüíîþ îá-ëàñòþ âèçíà÷åííÿ D(A) â ïðîñòîði X. Ïîçíà÷èìî ÷åðåç C∞(A)ìíîæèíó âñiõ íåñêií÷åííî äè�åðåíöiéîâíèõ âåêòîðiâ îïåðàòî-ðà A:
C∞(A) =
⋂
n∈N0
D(An), N0 = N ∪ {0}.Äëÿ ÷èñëà α > 0 ïîêëàäåìî:
E
α(A) =
n
x ∈ C∞(A) | ∃c = c(x) > 0 ∀k ∈ N0
‚
‚
‚
Akx
‚
‚
‚
≤ cαk
o
.Ìíîæèíà Eα(A) ¹ áàíàõîâèì ïðîñòîðîì ùîäî íîðìè
‖x‖
Eα(A) = sup
n∈N0
‖Anx‖
αn
.Òîäi E(A) =
⋃
α>0
Eα(A) � ëiíiéíèé ëîêàëüíî-îïóêëèé ïðîñòiðâiäíîñíî òîïîëîãi¨ iíäóêòèâíî¨ ãðàíèöi áàíàõîâèõ ïðîñòîðiâ
E(A) = lim ind
α→∞
Eα(A).Åëåìåíòè ïðîñòîðó E(A) íàçèâàþòüñÿ öiëèìè âåêòîðàìè åêñ-ïîíåíöiàëüíîãî òèïó îïåðàòîðà A.Òåîðåìà 1. Íåõàé1. {T (t) : t ≥ 0} � ïiâãðóïà êëàñó C0 â áàíàõîâîìó ïðîñòîði
X ç ãåíåðàòîðîì A.
396 �ðóøêà ß.I.2. Ìíîæèíà E(A) öiëèõ âåêòîðiâ åêñïîíåíöiàëüíîãîòèïó îïåðàòîðà A âñþäè ùiëüíà â X.Òîäi ÿêùî iñíó¹ âèìiðíà çà Ëåáåãîì íà [0,∞) �óíêöiÿ β, ùîçàäîâîëüíÿ¹ óìîâó (1), äëÿ ÿêî¨(11) lim
t→+0
‖T (t) − T (β(t))‖ < 1,òî ãåíåðàòîð A � îáìåæåíèé.Çàóâàæåííÿ 1. Çàãàëüíîâiäîìî, ùî êîëè {T (t) : t ≥ 0} � C0-ïiâãðóïà ç íîðìàëüíèì ãåíåðàòîðîì A â ãiëüáåðòîâîìó ïðî-ñòîði (H, ‖·‖), òî ìíîæèíà E(A) âñþäè öiëüíà â H. Îòæå,íàâåäåíèé ó âñòóïíié ÷àñòèíi ñòàòòi îñíîâíèé ðåçóëüòàòðîáîòè [2℄ ¹ ÷àñòèííèì âèïàäêîì òåîðåìè 1.Äîâåäåííÿ òåîðåìè 1. Íå îáìåæóþ÷è çàãàëüíîñòi, ìîæíà ââà-æàòè, ùî �óíêöiÿ β(·) îáìåæåíà íà [0,∞). Ñïðàâäi, ç óìîâè
β(t)
t → 0, t→ +0, âèïëèâà¹, ùî �óíêöiÿ β îáìåæåíà â äåÿêîìóîêîëi íóëÿ. Òîìó ìè çàâæäè ìîæåìî çàìiíèòè �óíêöiþ β íà�óíêöiþ β1, ÿêà ¹ îáìåæåíà íà [0,∞) i äîðiâíþ¹ β â îêîëi íóëÿ.Òàêîæ, íå îáìåæóþ÷è çàãàëüíîñòi, ìîæíà ââàæàòè, ùî�óíêöiÿ β iñòîòíî âiäìiííà âiä íóëÿ â îêîëi íóëÿ, òîáòî çàäî-âîëüíÿ¹ óìîâó (3). Ñïðàâäi, ÿêùî �óíêöiÿ β íå çàäîâîëüíÿ¹(3), òî âîíà äîðiâíþ¹ íóëþ ìàéæå ñêðiçü, çà ìiðîþ Ëåáåãà, óäåÿêîìó îêîëi íóëÿ. Òîìó, âèêîðèñòîâóþ÷è óìîâó (11) i âðàõî-âóþ÷è ñèëüíó íåïåðåðâíiñòü ïiâãðóïè {T (t)}, íåâàæêî äîâåñòè,ùî lim
t→+0
‖T (t) − I‖ < 1. I îòæå, ìè ïðèõîäèìî äî âiäîìîãî âè-ïàäêó, äëÿ ÿêîãî òåîðåìà 1 âæå äîâåäåíà.Ç óìîâè (11) âèïëèâ๠iñíóâàííÿ òàêèõ ÷èñåë δ > 0 i
q ∈ (0, 1), ùî(12) ‖T (t) − T (β(t))‖ ≤ q, t ∈ (0, δ).Íåõàé α > 0. Ïîêëàäåìî:
Tα(t) := T (t) ↾ Eα(A), t ≥ 0,
Ïðî ðiâíîìiðíó çáiæíiñòü ïiâãðóïè 397äå T (t) ↾ Eα(A) � çâóæåííÿ ïiâãðóïè T (t) íà ïðîñòið
Eα(A). Íåâàæêî ïåðåêîíàòèñü, ùî {Tα(t) : t ≥ 0} � ïiâãðóïàêëàñó C0 â (áàíàõîâîìó) ïðîñòîði (Eα(A), ‖·‖
Eα(A)), ïðè÷îìóãåíåðàòîðîì ïiâãðóïè {Tα(t)} ¹ îïåðàòîð
Aα = A ↾ Eα(A), òîáòî îïåðàòîð Aαx = Ax ∈ Eα(A), x ∈ Eα(A).Çãiäíî ç [3, òåîðåìà 1℄, Aα ¹ ëiíiéíèì íåïåðåðâíèì îïåðàòîðîìíà ïðîñòîði (Eα(A), ‖·‖
Eα(A)). Êðiì òîãî, ïðè x ∈ Eα(A), t ≥ 0i n ∈ N0 ìà¹ìî:
‖AnT (t)x‖ = ‖T (t)Anx‖ ≤ ‖T (t)‖ ‖Anx‖ ≤ ‖T (t)‖ ‖x‖
Eα(A) αn.Îòæå, äëÿ x ∈ Eα(A) ‖T (t)x‖
Eα(A) ≤ ‖T (t)‖ ‖x‖
Eα(A), t ≥ 0.Òîáòî ‖Tα(t)‖L(Eα(A)) ≤ ‖T (t)‖, t ≥ 0, à òîìó:(13) MTα(t) = sup
0≤s≤t
‖Tα(s)‖L(Eα(A)) ≤MT (t) = M(t), t ≥ 0.Ïðè x ∈ Eα(A), t ∈ (0, δ) i n ∈ N0 âèêîðèñòîâóþ÷è íåðiâíiñòü(12) îòðèìó¹ìî:
‖An(T (t) − T (β(t)))x‖ = ‖(T (t) − T (β(t)))Anx‖ ≤
≤ ‖T (t) − T (β(t))‖ ‖Anx‖ ≤ q ‖x‖
Eα(A) α
n,òîáòî,
‖Tα(t) − Tα(β(t))‖L(Eα(A)) ≤ q, t ∈ (0, δ).Íåõàé ÷èñëî δ1 > 0 çàäîâîëüíÿ¹ óìîâó
4M(δ)(M(δ) + 1)
β̃(t)
t
< (1 − q)2, t ∈ (0, δ1).Òîäi, çãiäíî ç (13),
4MTα(δ)(MTα(δ) + 1)
β̃(t)
t
< (1 − q)2, t ∈ (0, δ1).
398 �ðóøêà ß.I.Çâiäñè, âèêîðèñòîâóþ÷è ëåìó 1 i íåðiâíiñòü (13), ïðè äîâiëüíî-ìó �iêñîâàíîìó τ ∈ (0, δ1) îòðèìó¹ìî:(14) ‖Aα‖L(Eα(A)) ≤
≤ 2(MTα(δ) + 1)
τ
(
(1 − q) +
√
(1 − q)2 − 4MTα(δ)(MTα(δ) + 1)
eβ(τ)
τ
) ≤
≤ 2(M(δ) + 1)
τ
(
(1 − q) +
√
(1 − q)2 − 4M(δ)(M(δ) + 1)
eβ(τ)
τ
) =:
=: Qτ ,äå α > 0, à êîíñòàíòà Qτ íå çàëåæèòü âiä ÷èñëà α.�îçãëÿíåìî äîâiëüíèé âåêòîð x ∈ X. Îñêiëüêè ìíîæèíà E(A)� ùiëüíà â X, òî, çãiäíî ç [3, òåîðåìà 4℄, âåêòîð x ìîæíà ïîäàòèó âèãëÿäi:
x =
∞∑
k=1
xk äå xk ∈ Ek(A), k ∈ N;
∞∑
k=1
‖xk‖Ek(A) <∞.Ïðîòå, çãiäíî iç (14),
∞∑
k=1
‖Axk‖ ≤
∞∑
k=1
‖Axk‖Ek(A) =
=
∞∑
k=1
‖Akxk‖Ek(A) ≤ Qτ
∞∑
k=1
‖xk‖Ek(A) <∞.À òîìó, ðÿä ∑∞
k=1Axk � çáiæíèé. Çâiäñè îòðèìó¹ìî, âðàõîâó-þ÷è çàìêíóòiñòü îïåðàòîðà A, ùî
x =
∞∑
k=1
xk ∈ D(A) .Îòæå, äîâiëüíèé âåêòîð x ∈ X íàëåæèòü äî îáëàñòi âèçíà÷åííÿ
D(A). Öå i îçíà÷à¹, ùî A ∈ L(X). �
Ïðî ðiâíîìiðíó çáiæíiñòü ïiâãðóïè 399Ëiòåðàòóðà[1℄ �îëäñòåéí Äæ. Ïîëóãðóïû ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ è èõ ïðèëîæåíèÿ. �Êèåâ: �Âûùà øêîëà�, 1989. � 347 ñ.[2℄ Grushka Ya.I. On the Uniform Convergen
e Theorem of Semigroups //Pro
eedings of the Mark Krein International Conferen
e on OperatorTheory and Appli
ations, volume II. � Operator Theory Advan
es andAppli
ations, vol. 118. � Bassel; Boston; Berlin: Birkhauser Verlag, 2000.� P. 177-179.[3℄ �àäûíî ß.Â. Âåêòîðû ýêñïîíåíöèàëüíîãî òèïà è èõ ïðèëîæåíèÿ //Òðóäû ìàòåìàòè÷åñêîãî èíñòèòóòà èì. Â.À. Ñòåêëîâà. � 1987. � Ò.CLXXX. � Ñ. 184�185.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-6317 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1815-2910 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-29T08:28:03Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Грушка, Я.І. 2010-02-23T14:41:04Z 2010-02-23T14:41:04Z 2009 Узагальнення теореми про рівномірну збіжність півгрупи до одиничного оператора / Я.І. Грушка // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 390-399. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. 1815-2910 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6317 uk Інститут математики НАН України Геометрія, топологія та їх застосування Узагальнення теореми про рівномірну збіжність півгрупи до одиничного оператора Article published earlier |
| spellingShingle | Узагальнення теореми про рівномірну збіжність півгрупи до одиничного оператора Грушка, Я.І. Геометрія, топологія та їх застосування |
| title | Узагальнення теореми про рівномірну збіжність півгрупи до одиничного оператора |
| title_full | Узагальнення теореми про рівномірну збіжність півгрупи до одиничного оператора |
| title_fullStr | Узагальнення теореми про рівномірну збіжність півгрупи до одиничного оператора |
| title_full_unstemmed | Узагальнення теореми про рівномірну збіжність півгрупи до одиничного оператора |
| title_short | Узагальнення теореми про рівномірну збіжність півгрупи до одиничного оператора |
| title_sort | узагальнення теореми про рівномірну збіжність півгрупи до одиничного оператора |
| topic | Геометрія, топологія та їх застосування |
| topic_facet | Геометрія, топологія та їх застосування |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6317 |
| work_keys_str_mv | AT gruškaâí uzagalʹnennâteoremiprorívnomírnuzbížnístʹpívgrupidoodiničnogooperatora |