Про існування періодичних розв'язків систем диференціально-різницевих рівнянь нейтрального типу
Одержані достатні умови існування i єдиностi неперервно диференцiйовного N-перiодичного (N -цiле додатне число) розв'язку систем диференцiально-рiзницевих рівнянь нейтрального типу i дослiдженi його властивості. We obtain sufficient conditions for existence and unicity of continuously different...
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2009
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6318 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Про існування періодичних розв'язків систем диференціально-різницевих рівнянь нейтрального типу / Р.І. Качурівський, Г.П. Пелюх // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 400-416. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860264914200821760 |
|---|---|
| author | Качурівський, Р.І. Пелюх, Г.П. |
| author_facet | Качурівський, Р.І. Пелюх, Г.П. |
| citation_txt | Про існування періодичних розв'язків систем диференціально-різницевих рівнянь нейтрального типу / Р.І. Качурівський, Г.П. Пелюх // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 400-416. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | Одержані достатні умови існування i єдиностi неперервно диференцiйовного N-перiодичного (N -цiле додатне число) розв'язку систем диференцiально-рiзницевих рівнянь нейтрального типу i дослiдженi його властивості.
We obtain sufficient conditions for existence and unicity of continuously differentiable and N-periodic (N - positive integer) solution to system of differential-functional equations of neutral type with linear deviations of the argument. We also investigate properties of this solution.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:59:31Z |
| format | Article |
| fulltext |
Çáiðíèê ïðàöüIí-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè2009, ò.6, �2, 400-416517.929�. I. Êà÷óðiâñüêèéIíñòèòóò ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè, Êèiâ�. Ï. ÏåëþõIíñòèòóò ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè, ÊèiâÏðî iñíóâàííÿ ïåðiîäè÷íèõðîçâ'ÿçêiâ ñèñòåìäè�åðåíöiàëüíî-ðiçíèöåâèõ ðiâíÿíüíåéòðàëüíîãî òèïóÎäåðæàíi äîñòàòíi óìîâè iñíóâàííÿ i ¹äèíîñòi íåïåðåðâíîäè�åðåíöiéîâíîãî N-ïåðiîäè÷íîãî (N � öiëå äîäàòíå ÷èñëî)ðîçâ'ÿçêó ñèñòåì äè�åðåíöiàëüíî-ðiçíèöåâèõ ðiâíÿíü íåéòðàëüíîãîòèïó i äîñëiäæåíi éîãî âëàñòèâîñòi.
We obtain sufficient conditions for existence and unicity of continuously
differentiable and N-periodic (N — positive integer) solution to system of
differential-functional equations of neutral type with linear deviations of
the argument. We also investigate properties of this solution.�îçãëÿíåìî ñèñòåìó äè�åðåíöiàëüíî-ðiçíèöåâèõ ðiâíÿíü âèã-ëÿäó(1) ẋ(t) = Ax(t) + f(t, x(t), x(t− 1), ẋ(t− 1)),äå t ∈ R, A = (aij) � íåâèðîäæåíà (n × n)-ìàòðèöÿ, äiéñíi ÷à-ñòèíè âëàñíèõ çíà÷åíü ÿêî¨ âiäìiííi âiä íóëÿ, âåêòîð-�óíêöiÿ
f(t, x, y, z) : R × Rn × Rn × Rn −→ Rn ¹ íåïåðåðâíîþ çà âñiìàçìiííèìè òà N -ïåðiîäè÷íîþ ïî t (N � öiëå äîäàòíå ÷èñëî). Ïè-òàííÿ ïðî iñíóâàííÿ ïåðiîäè÷íèõ ðîçâ'ÿçêiâ äåÿêèõ êëàñiâ òà-êèõ ñèñòåì ðiâíÿíü äîñëiäæóâàëèñü â [ [1℄- [7℄℄. Ïðîäîâæóþ÷è öiäîñëiäæåííÿ, â äàíié ðîáîòi âñòàíîâëþþòüñÿ óìîâè iñíóâàííÿ
© �. I. Êà÷óðiâñüêèé, �. Ï. Ïåëþõ, 2009
Ïðî iñíóâàííÿ ïåðiîäè÷íèõ ðîçâ'ÿçêiâ ñèñòåì 401i ¹äèíîñòi N -ïåðiîäè÷íîãî ðîçâ'ÿçêó ñèñòåìè (1), ïðîïîíó¹òüñÿìåòîä éîãî ïîáóäîâè i âèâ÷àþòüñÿ éîãî âëàñòèâîñòi.Íå ïîðóøóþ÷è çàãàëüíîñòi, äàëi áóäåìî ââàæàòè, ùî
A = diag(A1, A2
)
,äå A1, A2 � äiéñíi, ñòàëi ìàòðèöi ðîçìiðó (p×p) òà (n−p×n−p)âiäïîâiäíî, âëàñíi çíà÷åííÿ ÿêèõ çàäîâîëüíÿþòü óìîâàìReλi(A1) < 0, i = 1, p,Reλi(A2) > 0, i = p+ 1, n.Ì๠ìiñöå íàñòóïíà òåîðåìà.Òåîðåìà 1. Íåõàé âèêîíóþòüñÿ óìîâè:1) äëÿ äîâiëüíèõ (t, ¯̄x, ¯̄y, ¯̄z), (t, x̄, ȳ, z̄) ∈ R×Rn×Rn×Rn ìà¹ìiñöå ñïiââiäíîøåííÿ
|f(t, ¯̄x, ¯̄y, ¯̄z) − f(t, x̄, ȳ, z̄)| ≤ L(|¯̄x− x̄| + |¯̄y − ȳ| + |¯̄z − z̄|),äå L � äåÿêå äîäàòíå ÷èñëî;2) max
t∈[0;N)
|f(t, 0, 0, 0)| = f∗ < +∞;3)|eA1t| ≤ N1e
−α1t, |e−A2t| ≤ N2e
−α2t, t ∈ R+, äå α1, α2, N1,
N2 � äåÿêi äîäàòíi ñòàëi, N1, N2 ≥ 1;4) ∆ = 2L
(
(
N1
α1
+
N2
α2
)(|A| + 1) + 1
)
< 1,äå
|A| = max
i
n∑
j=1
|aij |.Òîäi iñíó¹ ¹äèíèé íåïåðåðâíî äè�åðåíöiéîâíèé N -ïåðiîäè÷íèéðîçâ'ÿçîê γ(t) ñèñòåìè ðiâíÿíü (1).
402 �. I. Êà÷óðiâñüêèé, �. Ï. ÏåëþõÄîâåäåííÿ. ßêùî x(t) � äåÿêèé ïåðiîäè÷íèé ðîçâ'ÿçîê ñè-ñòåìè ðiâíÿíü (1), òîáòî âèêîíó¹òüñÿ óìîâà
x(t+N) = x(t), t ∈ R,òî, ïðèéìàþ÷è äî óâàãè (1), îòðèìó¹ìî
ẋ(t)=Ax(t) + f(t, x(t), x(t +N − 1), ẋ(t+N − 1)),
ẋ(t+ 1)=Ax(t+ 1) + f(t+ 1, x(t+ 1), x(t), ẋ(t)),
ẋ(t+ 2)=Ax(t+ 2) + f(t+ 2, x(t+ 2), x(t+ 1), ẋ(t+ 1)),
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
ẋ(t+N− 1)=Ax(t+N− 1)+
f(t+N− 1, x(t+N− 1), x(t+N− 2), ẋ(t+N− 2)).Ââåäåìî íàñòóïíi ïîçíà÷åííÿ
x(t+ i) = xi(t), i = 0, N−1
X(t) = (x0(t), x1(t), . . . , xN−1(t)),(2) f̃(t,X(t), Ẋ(t)) =
(
f(t, x0(t), ẋN−1(t), ẋN−1(t)),
f(t+ 1, x1(t), x0(t), ẋ0(t)), f(t+ 2, x2(t), x1(t), ẋ1(t)), . . . ,
. . . , f(t+N − 1, xN−1(t), xN−2(t), ẋN−2(t))
)
.Î÷åâèäíî, ùî â ñèëó óìîâè 2) òà N -ïåðiîäè÷íîñòi ïî t âåê-òîð-�óíêöi¨ f(t, x, y, z), ìàòèìóòü ìiñöå ñïiââiäíîøåííÿ
f̃(t+N,X, Y ) = f̃(t,X, Y ), t ∈ R,(3) max
t∈[0;N)
|f̃(t, 0, 0)| = f∗.Íà îñíîâi óìîâè 1), äëÿ äîâiëüíèõ t∈R,
X̄=(x̄0, x̄1, . . . , x̄N−1), Ȳ = (ȳ0, ȳ1, . . . , ȳN−1),
¯̄X = (¯̄x0, ¯̄x1, . . . , ¯̄xN−1),
¯̄Y = (¯̄y0, ¯̄y1, . . . , ¯̄yN−1),ùî íàëåæàòü RnN , îäåðæèìî
|f(t, x̄0, x̄N−1, ȳN−1) − f(t, ¯̄x0, ¯̄xN−1, ¯̄yN−1)| ≤
Ïðî iñíóâàííÿ ïåðiîäè÷íèõ ðîçâ'ÿçêiâ ñèñòåì 403(4) ≤ L
(
|x̄0 − ¯̄x0| + |x̄N−1 − ¯̄xN−1| + |ȳN−1 − ¯̄yN−1|
)
≤
≤ 2L
(
|X̄ − ¯̄X| + |Ȳ − ¯̄Y |
)
.Àíàëîãi÷íî îòðèìó¹ìî(5) |f(t+ i, x̄i, x̄i−1, ȳi−1) − f(t+ i, ¯̄xi, ¯̄xi−1, ¯̄yi−1)| ≤
≤ 2L
(
|X̄ − ¯̄X| + |Ȳ − ¯̄Y |
)
, i = 1, N − 1.Çâiäñè áåçïîñåðåäíüî âèïëèâà¹, ùî âåêòîð-�óíêöiÿ
f̃(t,X, Y ) çàäîâîëüíÿ¹ óìîâi(6) |f̃(t, X̄, Ȳ ) − f̃(t, ¯̄X, ¯̄Y )| ≤ 2L
(
|X̄ − ¯̄X| + |Ȳ − ¯̄Y |
)ïðè âñiõ t ∈ R, X̄, Ȳ , ¯̄X, ¯̄Y ∈ RnN .�îçãëÿíåìî òåïåð ñèñòåìó(7) Ẋ(t) = ÃX(t) + f̃(t,X(t), Ẋ(t)),äå à = diag[A,A, . . . , A].Î÷åâèäíî, ùî ÿêùî γ(t) � N -ïåðiîäè÷íèé ðîçâ'ÿçîê ñèñòå-ìè äè�åðåíöiàëüíî-ðiçíèöåâèõ ðiâíÿíü (1), òî âåêòîð-�óíêöiÿ
Γ(t) = (γ(t), γ(t+1), . . . , . . . , γ(t+N −1)) áóäå N -ïåðiîäè÷íèìðîçâ'ÿçêîì ñèñòåìè çâè÷àéíèõ äè�åðåíöiàëüíèõ ðiâíÿíü (7).Äëÿ ïîáóäîâè N -ïåðiîäè÷íîãî ðîçâ'ÿçêó ñèñòåìè (7) ñêîðèñ-òà¹ìîñÿ ìåòîäîì ïîñëiäîâíèõ íàáëèæåíü, ÿêi âèçíà÷èìî çà äî-ïîìîãîþ ñïiââiäíîøåíü
X0(t) = 0, Ẋ0(t) = 0,(8) Xm(t) =
+∞∫
−∞
G̃(t− τ)f̃(τ,Xm−1(τ), Ẋm−1(τ))dτ,
Ẋm(t) = ÃXm(t) + f̃(t,Xm−1(t), Ẋm−1(t)),
m = 1, 2, . . . ,
404 �. I. Êà÷óðiâñüêèé, �. Ï. Ïåëþõäå
G̃(t) = diag(G(t), G(t), . . . , G(t)
)
,
G(t) =
−diag(0, eA2t
)
, ïðè t < 0,diag(eA1t, 0
)
, ïðè t > 0.�îçìiðêîâóþ÷è çà iíäóêöi¹þ, íåâàæêî ïåðåêîíàòèñÿ ó òîìó,ùî Xm(t), m ≥ 0, ¹ íåïåðåðâíî äè�åðåíöiéîâíèìè ïðè t ∈ R i
N -ïåðiîäè÷íèìè.Ïîêàæåìî, ùî ïîñëiäîâíîñòi âåêòîð-�óíêöié Xm(t),
Ẋm(t), m = 0, 1, . . ., âèçíà÷åíi ñïiââiäíîøåííÿìè (8), ðiâíî-ìiðíî çáiãàþòüñÿ ïðè t ∈ R. Äëÿ öüîãî, î÷åâèäíî, äîñòàòíüîïîêàçàòè, ùî ïðè t ∈ R i âñiõ öiëèõ m ≥ 1 ìàþòü ìiñöå îöiíêè(9) |Xm(t) −Xm−1(t)| ≤M1∆
m−1,
|Ẋm(t) − Ẋm−1(t)| ≤M2∆
m−1,äå
M1 =
(N1
α1
+
N2
α2
)
f∗, M2 =
(
|A|(N1
α1
+
N2
α2
) + 1
)
f∗.Ñïðàâäi, â ñèëó (3) ìà¹ìî
|X1(t) −X0(t)| = |
+∞∫
−∞
G̃(t− τ)f̃(t, 0, 0)dτ | ≤
≤
+∞∫
−∞
|G̃(t− τ)||f̃ (t, 0, 0)|dτ ≤
+∞∫
−∞
|G(t− τ)||f̃ (t, 0, 0)|dτ ≤
≤ f∗
( t∫
−∞
N1e
−α1(t−τ)dτ +
+∞∫
t
N2e
−α2(τ−t)dτ
)
≤
≤ f∗
(N1
α1
+
N2
α2
)
,
Ïðî iñíóâàííÿ ïåðiîäè÷íèõ ðîçâ'ÿçêiâ ñèñòåì 405
|Ẋ1(t) − Ẋ0(t)| = |ÃX1(t) + f̃(t, 0, 0)| ≤
≤ |Ã||X1(t)| + |f̃(t, 0, 0)| ≤ |A||X1(t)| + |f̃(t, 0, 0)| ≤
≤
(
|A|(N1
α1
+
N2
α2
) + 1
)
f∗,òîáòî îöiíêè (9) ìàþòü ìiñöå ïðè m = 1.Ïðèïóñòèìî, ùî îöiíêè (9) äîâåäåíi óæå äëÿ äåÿêîãî m− 1i ïîêàæåìî, ùî âîíè íå çìiíÿòüñÿ ïðè ïåðåõîäi äî m. Ñïðàâäi,â ñèëó (9) òà óìîâè (6) îäåðæèìî
|Xm(t) −Xm−1(t)| =
=
∣∣∣
+∞∫
−∞
G̃(t−τ)
(
f̃(τ,Xm−1(τ), Ẋm−1(τ))−f̃(τ,Xm−2(τ), Ẋm−2(τ))
)
dτ
∣∣∣ ≤
≤ 2L
+∞∫
−∞
|G̃(t−τ)|
(
|Xm−1(τ)−Xm−2(τ)|+ |Ẋm−1(τ)− Ẋm−2(τ)|
)
dτ ≤
≤ 2L(M1 +M2)∆
m−2
+∞∫
−∞
|G̃(t− τ)|dτ =
= 2L
(
(
N1
α1
+
N2
α2
)f∗ +
(
|A|(N1
α1
+
N2
α2
) + 1
)
f∗
)
∆m−2
+∞∫
−∞
|G̃(t− τ)|dτ =
= f∗∆m−1
+∞∫
−∞
|G̃(t− τ)|dτ ≤ f∗∆m−1
+∞∫
−∞
|G(t− τ)|dτ ≤
≤ f∗∆m−1
( t∫
−∞
N1e
−α1(t−τ)dτ +
+∞∫
t
N2e
−α2(τ−t)dτ
)
=
=
(N1
α1
+
N2
α2
)
f∗∆m−1 = M1∆
m−1,
|Ẋm(t) − Ẋm−1(t)| =
406 �. I. Êà÷óðiâñüêèé, �. Ï. Ïåëþõ
= |ÃXm(t)+
+ f̃(t,Xm−1(t), Ẋm−1(t)) − ÃXm−1(t) − f̃(t,Xm−2(t), Ẋm−2(t))| ≤
≤ |Ã| · |Xm(t) −Xm−1(t)|+
+ 2L
(
|Xm−1(t) −Xm−2(t)| + |Ẋm−1(t) − Ẋm−2(t)|
)
≤
≤ |Ã|M1∆
m−1 + 2L(M1 +M2)∆
m−2 =
= |Ã|M1∆
m−1 + 2L
(
(
N1
α1
+
N2
α2
)(|A| + 1) + 1
)
f∗∆m−2 ≤
≤ |A|M1∆
m−1 + f∗∆m−1 =
=
(
|A|(N1
α1
+
N2
α2
) + 1
)
f∗∆m−1 = M2∆
m−1.Òàêèì ÷èíîì, îöiíêè (9) ìàþòü ìiñöå ïðè âñiõ m ≥ 1 i, îò-æå, ïîñëiäîâíîñòi âåêòîð-�óíêöié Xm(t), Ẋm(t), m = 0, 1, . . . ,ðiâíîìiðíî çáiãàþòüñÿ ïðè t ∈ R, à âåêòîð-�óíêöiÿ(10) Γ(t) =
∞∑
m=1
(Xm(t) −Xm−1(t))áóäå íåïåðåðâíî äè�åðåíöiéîâíèì N -ïåðiîäè÷íèì ðîçâ'ÿçêîìñèñòåìè ðiâíÿíü (7).Ïîêàæåìî òåïåð, ùî òàê ïîáóäîâàíèé ðîçâ'ÿçîê
Γ(t) = (γ0(t), γ1(t), . . . , γN−1(t))ñèñòåìè (7) áóäå ¹äèíèì.Äiéñíî, ïðèïóñòèâøè, ùî iñíó¹ ùå îäèí íåïåðåðâíî äè�å-ðåíöiéîâíèé N -ïåðiîäè÷íèé ðîçâ'ÿçîê Y (t) ñèñòåìè ðiâíÿíü (7)
(Γ(t) 6≡ Y (t)), îäåðæèìî
|Γ(t) − Y (t)| =
Ïðî iñíóâàííÿ ïåðiîäè÷íèõ ðîçâ'ÿçêiâ ñèñòåì 407
=
∣∣∣
+∞∫
−∞
G̃(t− τ)
(
f̃(τ,Γ(τ), Γ̇(τ)) − f̃(t, Y (τ), Ẏ (τ))
)
dτ
∣∣∣ ≤
≤ 2L
+∞∫
−∞
|G̃(t− τ)|
(
|Γ(τ) − Y (τ)| + |Γ̇(τ) − Ẏ (τ)|
)
dτ ≤
≤ 2L||Γ(t) − Y (t)||
+∞∫
−∞
|G(t− τ)|dτ ≤
≤ 2L||Γ(t) − Y (t)||
( t∫
−∞
N1e
−α1(t−τ)dτ +
+∞∫
t
N2e
−α2(τ−t)dτ
)
=
= 2L
(N1
α1
+
N2
α2
)
||Γ(t) − Y (t)||,
|Γ̇(t) − Ẏ (t)| =
= |ÃΓ(t) + f̃(t,Γ(t), Γ̇(t)) − ÃY (t) − f̃(t, Y (t), Ẏ (t))| ≤
≤ |Ã| · |Γ(t) − Y (t)| + 2L
(
|Γ(t) − Y (t)| + |Γ̇(t) − Ẏ (t)|
)
≤
≤ 2L|A|
(N1
α1
+
N2
α2
)
||Γ(t) − Y (t)|| + 2L||Γ(t) − Y (t)|| =
= 2L
(
|A|(N1
α1
+
N2
α2
) + 1
)
||Γ(t) − Y (t)||,äå ||Γ(t) − Y (t)|| = max
t∈[0;N)
(
|Γ(t) − Y (t)| + |Γ̇(t) − Ẏ (t)|
)
.Çâiäñè âèïëèâà¹
||Γ(t) − Y (t)|| ≤ ∆||Γ(t) − Y (t)||,ùî ìîæëèâî ëèøå ó âèïàäêó, êîëè Γ(t) ≡ Y (t). Îòðèìàíå ïðî-òèði÷÷ÿ çàâåðøó¹ äîâåäåííÿ òâåðäæåííÿ, ùî âåêòîð-�óíêöiÿ
Γ(t) = (γ0(t), γ1(t), . . . , γN−1(t)), ÿêà âèçíà÷à¹òüñÿ ñïiââiäíî-øåííÿì (10), ¹ ¹äèíèì íåïåðåðâíî äè�åðåíöiéîâíèì N -ïåðiî-äè÷íèì ðîçâ'ÿçêîì ñèñòåìè ðiâíÿíü (7).
408 �. I. Êà÷óðiâñüêèé, �. Ï. ÏåëþõÎñêiëüêè ñèñòåìà (7) ì๠âèãëÿä(11)
ẋ0(t)=Ax0(t) + f(t, x0(t), xN−1(t), ẋN−1(t)),
ẋ1(t)=Ax1(t) + f(t+ 1, x1(t), x0(t), ẋ0(t)),
ẋ2(t)=Ax2(t) + f(t+ 2, x2(t), x1(t), ẋ1(t)),
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
ẋN−1(t)=AxN−1(t) + f(t+N−1, xN−1(t), xN−2(t), ẋN−2(t)),òî ìîæíà ïåðåêîíàòèñÿ, âðàõóâàâøè N -ïåðiîäè÷íiñòü ïî t âåê-òîð-�óíêöi¨ f(t, x, y, z), ùî âåêòîð-�óíêöiÿ
Γ̄(t) = (γN−1(t+ 1), γ0(t+ 1), . . . , γN−2(t+ 1))òàêîæ áóäå N -ïåðiîäè÷íèì ðîçâ'ÿçêîì ñèñòåìè (7).  ñèëó ¹äè-íîñòi îòðèìà¹ìî(12) γN−1(t+ 1) = γ0(t),
γ0(t+ 1) = γ1(t),
γ1(t+ 1) = γ2(t),
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
γN−2(t+ 1) = γN−1(t),
t ∈ R,çâiäêè áåçïîñåðåäíüî âèïëèâà¹, ùî γN−1(t) = γ0(t− 1).Îñêiëüêè â ñèëó (11) ìà¹ìî
γ̇0(t) = Aγ0(t) + f(t, γ0(t), γN−1(t), γ̇N−1(t)),òî ïðèéìàþ÷è äî óâàãè (12), îòðèìó¹ìî
γ̇(t) = Aγ(t) + f(t, γ(t), γ(t− 1), γ̇(t− 1)),äå γ(t) = γ0(t), t ∈ R.Òàêèì ÷èíîì, íåïåðåðâíî äè�åðåíöiéîâíà N -ïåðiîäè÷íà âåê-òîð-�óíêöiÿ γ(t) ¹ ðîçâ'ÿçêîì ñèñòåìè (1).Ïðèïóñòèìî, ùî iñíó¹ ùå îäèí íåïåðåðâíî äè�åðåíöiéîâíèé
N -ïåðiîäè÷íèé ðîçâ'ÿçîê γ̃(t) ñèñòåìè ðiâíÿíü (1) (γ(t) 6≡ γ̃(t)).Òîäi N -ïåðiîäè÷íà âåêòîð-�óíêöiÿ
Γ̃(t) = (γ̃(t), γ̃(t+ 1), . . . , γ̃(t+N − 1)
Ïðî iñíóâàííÿ ïåðiîäè÷íèõ ðîçâ'ÿçêiâ ñèñòåì 409áóäå çàäîâîëüíÿòè ñèñòåìó (7).  ñèëó ¹äèíîñòi N -ïåðiîäè÷-íîãî ðîçâ'ÿçêó ñèñòåìè (7), îäåðæèìî
γ̃(t) = γ(t), t ∈ R.Îòðèìàíå ïðîòèði÷÷ÿ çàâåðøó¹ äîâåäåííÿ òåîðåìè.Âèêîíóþ÷è â (1) çàìiíó çìiííèõ(13) x(t) = y(t) + γ(t),äå γ(t) � N -ïåðiîäè÷íèé ðîçâ'ÿçîê öi¹¨ ñèñòåìè, îäåðæó¹ìî ñè-ñòåìó ðiâíÿíü âèãëÿäó(14) ẏ(t) = Ay(t) + Φ(t, y(t), y(t− 1), ẏ(t− 1)),äå
Φ(t, y(t), y(t− 1), ẏ(t− 1)) =
= f(t, γ(t) + y(t), γ(t − 1) + y(t− 1), γ̇(t− 1)+
+ ẏ(t− 1)) − f(t, γ(t), γ(t− 1), γ̇(t− 1)).Î÷åâèäíî, ùî âåêòîð-�óíêöiÿ Φ(t, x, y, z) âiäïîâiä๠óìîâàì 1)� 2) òåîðåìè 1 i Φ(t, 0, 0, 0) ≡ 0 ïðè t ∈ R.�îçãëÿíåìî ñèñòåìó (14) ïðè t ≤ 0. Ì๠ìiñöå íàñòóïíà òåî-ðåìà.Òåîðåìà 2. Íåõàé âèêîíóþòüñÿ óìîâè 1) � 3) òåîðåìè 1 ióìîâà 4′) ∆− =
( N1
α1 + α∗
+
N2
α2 − α∗
)
(3 + |A|)L < 1,äå α∗ � äåÿêà äîäàòíà ñòàëà òàêà, ùî 0 < α2 − α∗ < 1.Òîäi iñíó¹ (n − p)-ïàðàìåòðè÷íà ñiì'ÿ y−(t) ðîçâ'ÿçêiâ ñè-ñòåìè (14) ó âèãëÿäi ðÿäó(15) y−(t) =
∞∑
i=0
yi(t)
410 �. I. Êà÷óðiâñüêèé, �. Ï. Ïåëþõ(yi(t), i = 0, 1, . . . , � äåÿêi íåïåðåðâíî äè�åðåíöiéîâíi âåêòîð-�óíêöi¨), äëÿ ÿêèõ âèêîíó¹òüñÿ óìîâà
lim
t→−∞
y−(t) = 0.Äîâåäåííÿ. �îçãëÿíåìî ïîñëiäîâíiñòü ñèñòåì ðiâíÿíü
ẏ0(t) = Ay0(t),
ẏ1(t) = Ay1(t) + Φ(t, y0(t), y0(t− 1), ẏ0(t− 1)),(16) ẏi(t) = Ayi(t) +
[
Φ(t,
i−1∑
j=0
yj(t),
i−1∑
j=0
yj(t− 1),
i−1∑
j=0
ẏj(t− 1))−
−Φ(t,
i−2∑
j=0
yj(t),
i−2∑
j=0
yj(t− 1),
i−2∑
j=0
ẏj(t− 1))
]
,
i = 2, 3, . . .Ëåãêî ïåðåêîíàòèñÿ, ùî íåïåðåðâíî äè�åðåíöiéîâíi ïðè t ≤
0 âåêòîð-�óíêöi¨
y0(t) = diag(0, eA2tCn−p
)
,
y1(t) =
0∫
−∞
G(t− τ)Φ(τ, y0(τ), y0(τ − 1), ẏ0(τ − 1))dτ,(17) yi(t) =
0∫
−∞
G(t− τ)σi−1(τ)dτ,
ẏ0(t) = diag(0, A2e
A2tCn−p
)
,
ẏ1(t) = Ay1(t) + Φ(t, y0(t), y0(t− 1), ẏ0(t− 1)),
ẏi(t) = Ayi(t) + σi−1(t),
i = 2, 3, . . .
Ïðî iñíóâàííÿ ïåðiîäè÷íèõ ðîçâ'ÿçêiâ ñèñòåì 411äå Cn−p � äîâiëüíèé âåêòîð-ñòîâïåöü ðîçìiðíîñòi n− p,
σi−1(t) = Φ(t,
i−1∑
j=0
yj(t),
i−1∑
j=0
yj(t− 1),
i−1∑
j=0
ẏj(t− 1))−
−Φ(t,
i−2∑
j=0
yj(t),
i−2∑
j=0
yj(t− 1),
i−2∑
j=0
ẏj(t− 1)),¹ ðîçâ'ÿçêàìè âiäïîâiäíèõ ñèñòåì ðiâíÿíü (16) ïðè t ≤ 0.Ïîêàæåìî, ùî ðÿä (15), ÷ëåíè ÿêîãî âèçíà÷àþòüñÿ �îðìó-ëàìè (17), ðiâíîìiðíî çáiãà¹òüñÿ ïðè âñiõ t ≤ 0 i éîãî ñóìà
y−(t) → 0 ïðè t→ −∞. Äëÿ öüîãî äîñòàòíüî ïîêàçàòè, ùî ïðè
t ≤ 0 âèêîíóþòüñÿ íàñòóïíi ñïiââiäíîøåííÿ:(18) |yi(t)| ≤ M̂1∆
i
−e
α∗t, |ẏi(t)| ≤ M̂2∆
i
−e
α∗t,
i = 0, 1, . . .äå
M̂1 = N2|Cn−p|, M̂2 = (|A| + 1)M̂1.Ñïðàâäi, íåõàé i = 0. Òîäi â ñèëó óìîâè 3) òåîðåìè 1 ìà¹ìî
|y0(t)| = |diag(0, eA2tCn−p)| ≤ N2e
α2t|Cn−p| ≤ M̂1e
α2t,
|ẏ0(t)| = |diag(0, A2e
A2tCn−p)| ≤ |A2|M̂1e
α2t ≤ M̂2e
α2t.Çâiäñè âèïëèâà¹:
|y0(t)| ≤ M̂1e
α∗t, |ẏ0(t)| ≤ M̂2e
α∗t, ïðè t ≤ 0,äå α∗ � äåÿêà äîäàòíà ñòàëà òàêà, ùî 0 < α2 − α∗ < 1.Ïðèïóñòèìî, ùî ñïiââiäíîøåííÿ (18) äîâåäåíi óæå äëÿ äåÿ-êèõ
m=0, 1, . . . , i−1 i ïîêàæåìî, ùî âîíè íå çìiíÿòüñÿ ïðè ïåðåõîäiâiä i−1 äî i. Äiéñíî, íà ïiäñòàâi (17) i óìîâ òåîðåìè îäåðæó¹ìî
|yi(t)| = |
0
Z
−∞
G(t − τ)σi−1(τ)dτ | ≤
412 �. I. Êà÷óðiâñüêèé, �. Ï. Ïåëþõ
≤
0
Z
−∞
|G(t− τ)|L
“
|yi−1(τ)| + |yi−1(τ − 1)| + |ẏi−1(τ − 1)|
”
dτ ≤
≤ L(3 + |A|)cM1∆
i−1
−
“
t
Z
−∞
N1e
−α1(t−τ)eα∗τdτ+
+
0
Z
t
N2e
−α2(τ−t)eα∗τdτ
”
≤
≤ L(3 + |A|)cM1∆
i−1
−
“ N1
α1 + α∗
+
N2
α2 − α∗
”
eα∗t ≤ cM1∆
i
−e
α∗t,
|ẏi(t)| = |Ayi(t) + σi−1(t)| ≤
≤ |A||yi(t)| + L
“
|yi−1(t)| + |yi−1(t− 1)| + |ẏi−1(t− 1)|
”
≤
≤ |A|cM1∆
i
−e
α∗t + L(3 + |A|)cM1∆
i−1
−
eα∗t ≤
≤ |A|cM1∆
i
−e
α∗t + L(3 + |A|)
“ N1
α1 + α∗
+
N2
α2 − α∗
”
cM1∆
i−1
−
eα∗t ≤
≤ cM2∆
i
−e
α∗t.Öèì ñàìèì ñïðàâåäëèâiñòü íåðiâíîñòåé (18) äîâåäåíà äëÿ äî-âiëüíèõ i = 0, 1, . . . , çâiäêè áåçïîñåðåäíüî âèïëèâà¹, ùî
lim
t→−∞
yi(t) = 0.Òîäi â ñèëó óìîâè 4′) ðÿäè
y−(t) =
∞∑
i=0
yi(t),(19) ẏ−(t) =
∞∑
i=0
ẏi(t),÷ëåíè ÿêèõ âèçíà÷àþòüñÿ �îðìóëàìè (17), ðiâíîìiðíî çáiãà-þòüñÿ ïðè t ≤ 0 i âèêîíó¹òüñÿ ñïiââiäíîøåííÿ
lim
t→−∞
y−(t) = 0.
Ïðî iñíóâàííÿ ïåðiîäè÷íèõ ðîçâ'ÿçêiâ ñèñòåì 413Äëÿ äîâåäåííÿ òåîðåìè çàëèøà¹òüñÿ ïîêàçàòè, ùî ðÿä(20) Φ(t, y0(t), y0(t− 1), ẏ0(t− 1))+
+
∞∑
i=2
[
Φ(t,
i−1∑
j=0
yj(t),
i−1∑
j=0
yj(t− 1),
i−1∑
j=0
ẏj(t− 1))−
− Φ(t,
i−2∑
j=0
yj(t),
i−2∑
j=0
yj(t− 1),
i−2∑
j=0
ẏj(t− 1))
]
,äå yi(t) âèçíà÷àþòüñÿ �îðìóëàìè (17), ðiâíîìiðíî çáiãà¹òüñÿïðè t ≤ 0 i éîãî ñóìà äîðiâíþ¹ Φ(t, y−(t), y−(t− 1), ẏ−(t− 1)).Îñêiëüêè ïðè âñiõ m ≥ 0 ìàþòü ìiñöå ñïiââiäíîøåííÿ
Φ(t, y0(t), y0(t− 1), ẏ0(t− 1)) +
m+1∑
i=2
σi−1(t) =
= Φ(t,
m∑
j=0
yj(t),
m∑
j=0
yj(t− 1),
m∑
j=0
ẏj(t− 1)),òî â ñèëó óìîâè 1) òåîðåìè 1 çíàõîäèìî
∣∣∣Φ(t,
m∑
j=0
yj(t),
m∑
j=0
yj(t− 1),
m∑
j=0
ẏj(t− 1))−
− Φ(t, y−(t), y−(t− 1), ẏ−(t− 1))
∣∣∣ ≤
≤ L
(
|
m∑
j=0
yj(t) − y−(t)| + |
m∑
j=0
yj(t− 1) − y−(t− 1)|+
+ |
m∑
j=0
ẏj(t− 1) − ẏ−(t− 1)|
)
.Äàëi, îñêiëüêè ðÿäè (15) i (19) ¹ ðiâíîìiðíî çáiæíèìè ïðè
t ≤ 0, òî äëÿ êîæíîãî äîäàòíîãî ÷èñëà ε
3L çíàéäåòüñÿ òàêåíàòóðàëüíå ÷èñëî m0, ùî ïðè âñiõ m ≥ m0, t ≤ 0 âèêîíóþòüñÿ
414 �. I. Êà÷óðiâñüêèé, �. Ï. Ïåëþõíåðiâíîñòi
∣∣∣
m∑
j=0
yj(t) − y−(t)
∣∣∣ < ε
3L
,
∣∣∣
m∑
j=0
ẏj(t− 1) − ẏ−(t− 1)
∣∣∣ < ε
3L
.Ïðèéìàþ÷è äî óâàãè îñòàííi ñïiââiäíîøåííÿ, îòðèìó¹ìî, ùîäëÿ äîâiëüíèõ ε > 0, t ≤ 0, i âñiõ m ≥ m0 ì๠ìiñöå íåðiâíiñòü
∣∣∣Φ(t,
m∑
j=0
yj(t),
m∑
j=0
yj(t− 1),
m∑
j=0
ẏj(t− 1)) − Φ(t, y−(t), y−(t− 1), ẏ−(t− 1))
∣∣∣ < ε,çâiäêè âèïëèâ๠ðiâíiñòü
lim
m→∞
Φ(t,
m∑
j=0
yj(t),
m∑
j=0
yj(t− 1),
m∑
j=0
ẏj(t− 1)) =
= Φ(t, y−(t), y−(t− 1), ẏ−(t− 1)).Öèì ñàìèì òåîðåìà 2 ïîâíiñòþ äîâåäåíà.Ïðèéìàþ÷è äî óâàãè çàìiíó çìiííèõ (13) i äîâåäåíi âèùåòåîðåìè, îòðèìó¹ìî íàñòóïíå òâåðäæåííÿ.Òåîðåìà 3. Íåõàé âèêîíóþòüñÿ óìîâè òåîðåì 1 i 2. Òîäiiñíó¹ (n− p)-ïàðàìåòðè÷íå ñiìåéñòâî ðîçâ'ÿçêiâ x−(t) ñèñòå-ìè (1) ó âèãëÿäi ðÿäó
x−(t) =
∞∑
i=0
yi(t) + γ(t),äå yi(t), i = 0, 1, . . . , âèçíà÷àþòüñÿ �îðìóëàìè (17), òàêèõ,ùî ì๠ìiñöå ñïiââiäíîøåííÿ
lim
t→−∞
(x−(t) − γ(t)) = 0.�îçãëÿíåìî òåïåð ñèñòåìó (14) ïðè t ≥ 0.Ì๠ìiñöå íàñòóïíàòåîðåìà.
Ïðî iñíóâàííÿ ïåðiîäè÷íèõ ðîçâ'ÿçêiâ ñèñòåì 415Òåîðåìà 4. Íåõàé âèêîíóþòüñÿ óìîâè 1) � 3) òåîðåìè 1 ióìîâà
4′) ∆+ = max
{
1 + (|A| + 1)
N2
α2 + α∗ ;
N1
α1 − α∗ +
N2
α2 + α∗
}
(3 + |A|)eα∗
L < 1,äå α∗ � äåÿêà äîäàòíà ñòàëà òàêà, ùî 0 < α1 − α∗ < 1.Òîäi iñíó¹ p-ïàðàìåòðè÷íå ñiìåéñòâî ðîçâ'ÿçêiâ x+(t) ñè-ñòåìè (1) ó âèãëÿäi ðÿäó
x+(t) =
∞∑
i=0
yi(t) + γ(t),(yi(t), i = 0, 1, . . . , � äåÿêi íåïåðåðâíî äè�åðåíöiéîâíi âåêòîð-�óíêöi¨), äëÿ ÿêèõ âèêîíó¹òüñÿ óìîâà
lim
t→+∞
(x+(t) − γ(t)) = 0.Äîâåäåííÿ òåîðåìè ïðîâîäèòüñÿ çà òi¹þ æ ñõåìîþ, ùî i äî-âåäåííÿ òåîðåìè 3.Çàóâàæåííÿ 1. Âèêîðèñòîâóþ÷è âiäîìó òåîðåìó Ôëîêå,îäåðæàíi ðåçóëüòàòè ìîæíà óçàãàëüíèòè íà âèïàäîê ñèñòåìèðiâíÿíü âèãëÿäó
ẋ(t) = A(t)x(t) + f(t, x(t), x(t− 1), ẋ(t− 1)),äå åëåìåíòè ìàòðèöi A(t) ¹ íåïåðåðâíèìè N -ïåðiîäè÷íèìè (N� öiëå äîäàòíå ÷èñëî) �óíêöiÿìè, f(t, x, y, z) : R × Rn × Rn ×
Rn −→ Rn ¹ íåïåðåðâíîþ çà âñiìà çìiííèìè i N -ïåðiîäè÷íîþïî t. Ëiòåðàòóðà[1℄ �.�. Àõìåðîâ, Ì.È. Êàìåíñêèé, À.Ñ. Ïîòàïîâ, À.Å. �îäêèíà, Á.Í.Ñàäîâñêèé. Òåîðèÿ óðàâíåíèé íåéòðàëüíîãî òèïà. // Ìàò. àíàëèç(Èòîãè íàóêè è òåõíèêè), � 1981. � Ò.19. � Ñ.55-126.
416 �. I. Êà÷óðiâñüêèé, �. Ï. Ïåëþõ[2℄ Â.�. Êóðáàòîâ. Ëèíåéíûå äè��åðåíöèàëüíî-ðàçíîñòíûå óðàâíåíèÿ.//Âîðîíåæ. : Èçäàòåëüñòâî Âîðîíåæñêîãî óíèâåðñèòåòà, � 1990. �167 ñ.[3℄ Äæ. Õåéë. Òåîðèÿ �óíêöèîíàëüíî-äè��åðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.// � Ì. : Ìèð, 1984. � 421 ñ.[4℄ �.Ï. Ïåëþõ, Î.Ï. Îëiéíè÷åíêî. Àñèìïòîòè÷íi âëàñòèâîñòi ãëîáàëü-íèõ ðîçâ'ÿçêiâ ñèñòåìè äè�åðåíöiàëüíî-�óíêöiîíàëüíèõ ðiâíÿíü íåé-òðàëüíîãî òèïó ç íåëiíiéíèìè âiäõèëåííÿìè àðãóìåíòó. // Íåëiíiéíiêîëèâàííÿ, � 2002. � 5, �4 � Ñ. 489 � 503.[5℄ Þ. À. Ìèòðîïîëüñüêèé, À. Ì. Ñàìîéëåíêî, Ä. È. Ìàðòûíþê. Ñè-ñòåìû ýâîëþöèîííûõ óðàâíåíèé ñ ïåðèîäè÷åñêèìè è óñëîâíî-ïåðèîäè÷åñêèìè êîý��èöèåíòàìè. // ÊÈÅÂ. : ÍÀÓÊÎÂÀ ÄÓÌÊÀ.� 1984. � 212 ñ.[6℄ �.Ï. Ïåëþõ, Í.I.Áëàùàê. Ïðî iñíóâàííÿ i ¹äèíiñòü ïåðiîäè÷íèõ ðîç-â'ÿçêiâ ñèñòåì íåëiíiéíèõ äè�åðåíöiàëüíî-�óíêöiîíàëüíèõ ðiâíÿíü çëiíiéíèì âiäõèëåííÿì àðãóìåíòà. // Äîï. ÍÀÍ Óêðà¨íè, � 1997. ��8 � Ñ. 10 � 13.[7℄ À.Ì.Ñàìîéëåíêî, �.Ï. Ïåëþõ. Î ïåðèîäè÷åñêèõ ðåøåíèÿõ ñèñ-òåì íåëèíåéíûõ äè��åðåíöèàëüíî-�óíêöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé íåé-òðàëüíîãî òèïà. // Äîï. ÍÀÍ Óêðà¨íè, � 1994. � �3 � Ñ. 19 � 21.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-6318 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1815-2910 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:59:31Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Качурівський, Р.І. Пелюх, Г.П. 2010-02-23T14:41:54Z 2010-02-23T14:41:54Z 2009 Про існування періодичних розв'язків систем диференціально-різницевих рівнянь нейтрального типу / Р.І. Качурівський, Г.П. Пелюх // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 400-416. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1815-2910 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6318 517.929 Одержані достатні умови існування i єдиностi неперервно диференцiйовного N-перiодичного (N -цiле додатне число) розв'язку систем диференцiально-рiзницевих рівнянь нейтрального типу i дослiдженi його властивості. We obtain sufficient conditions for existence and unicity of continuously differentiable and N-periodic (N - positive integer) solution to system of differential-functional equations of neutral type with linear deviations of the argument. We also investigate properties of this solution. uk Інститут математики НАН України Геометрія, топологія та їх застосування Про існування періодичних розв'язків систем диференціально-різницевих рівнянь нейтрального типу Article published earlier |
| spellingShingle | Про існування періодичних розв'язків систем диференціально-різницевих рівнянь нейтрального типу Качурівський, Р.І. Пелюх, Г.П. Геометрія, топологія та їх застосування |
| title | Про існування періодичних розв'язків систем диференціально-різницевих рівнянь нейтрального типу |
| title_full | Про існування періодичних розв'язків систем диференціально-різницевих рівнянь нейтрального типу |
| title_fullStr | Про існування періодичних розв'язків систем диференціально-різницевих рівнянь нейтрального типу |
| title_full_unstemmed | Про існування періодичних розв'язків систем диференціально-різницевих рівнянь нейтрального типу |
| title_short | Про існування періодичних розв'язків систем диференціально-різницевих рівнянь нейтрального типу |
| title_sort | про існування періодичних розв'язків систем диференціально-різницевих рівнянь нейтрального типу |
| topic | Геометрія, топологія та їх застосування |
| topic_facet | Геометрія, топологія та їх застосування |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6318 |
| work_keys_str_mv | AT kačurívsʹkiirí proísnuvannâperíodičnihrozvâzkívsistemdiferencíalʹnoríznicevihrívnânʹneitralʹnogotipu AT pelûhgp proísnuvannâperíodičnihrozvâzkívsistemdiferencíalʹnoríznicevihrívnânʹneitralʹnogotipu |