Топологічна класифікація функцій без критичних точок на тривимірних многовидах з межею
We consider functions on compact 3-manifolds with boundary without critical points and with less than 4 critical points of its restrictions on the boundary. Their topological classification is obtained.
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2009
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6319 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Топологічна класифікація функцій без критичних точок на тривимірних многовидах з межею / Н.В. Лукова // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 417-425. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-6319 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Лукова, Н.В. 2010-02-23T14:42:46Z 2010-02-23T14:42:46Z 2009 Топологічна класифікація функцій без критичних точок на тривимірних многовидах з межею / Н.В. Лукова // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 417-425. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1815-2910 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6319 We consider functions on compact 3-manifolds with boundary without critical points and with less than 4 critical points of its restrictions on the boundary. Their topological classification is obtained. uk Інститут математики НАН України Геометрія, топологія та їх застосування Топологічна класифікація функцій без критичних точок на тривимірних многовидах з межею Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Топологічна класифікація функцій без критичних точок на тривимірних многовидах з межею |
| spellingShingle |
Топологічна класифікація функцій без критичних точок на тривимірних многовидах з межею Лукова, Н.В. Геометрія, топологія та їх застосування |
| title_short |
Топологічна класифікація функцій без критичних точок на тривимірних многовидах з межею |
| title_full |
Топологічна класифікація функцій без критичних точок на тривимірних многовидах з межею |
| title_fullStr |
Топологічна класифікація функцій без критичних точок на тривимірних многовидах з межею |
| title_full_unstemmed |
Топологічна класифікація функцій без критичних точок на тривимірних многовидах з межею |
| title_sort |
топологічна класифікація функцій без критичних точок на тривимірних многовидах з межею |
| author |
Лукова, Н.В. |
| author_facet |
Лукова, Н.В. |
| topic |
Геометрія, топологія та їх застосування |
| topic_facet |
Геометрія, топологія та їх застосування |
| publishDate |
2009 |
| language |
Ukrainian |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| description |
We consider functions on compact 3-manifolds with boundary without critical points and with less than 4 critical points of its restrictions on the boundary. Their topological classification is obtained.
|
| issn |
1815-2910 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6319 |
| citation_txt |
Топологічна класифікація функцій без критичних точок на тривимірних многовидах з межею / Н.В. Лукова // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 417-425. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT lukovanv topologíčnaklasifíkacíâfunkcíibezkritičnihtočoknatrivimírnihmnogovidahzmežeû |
| first_indexed |
2025-11-26T00:17:35Z |
| last_indexed |
2025-11-26T00:17:35Z |
| _version_ |
1850597800275869696 |
| fulltext |
Çáiðíèê ïðàöüIí-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè2009, ò.6, �2, 417-425Í. Â. ËóêîâàÊè¨âñüêèé íàöiîíàëüíèé óíiâåðñèòåò iì. Ò. Øåâ÷åíêà, Êè¨âE-mail: lukova�ukr.netÒîïîëîãi÷íà êëàñè�iêàöiÿ �óíêöiéáåç êðèòè÷íèõ òî÷îê íàòðèâèìiðíèõ ìíîãîâèäàõ ç ìåæåþ
We consider functions on compact 3-manifolds with boundary without
critical points and with less than 4 critical points of its restrictions on the
boundary. Their topological classification is obtained.Êëþ÷îâi ñëîâà: Ôóíêöi¨, òðèâèìiðíèé ìíîãîâèä, ãðà�, òîïîëîãi÷íà åê-âiâàëåíòíiñòü 1. Âñòóïßêùî M � ãëàäêèé çàìêíåíèé ìíîãîâèä, òî �óíêöiÿ Ìîðñàíà íüîìó áóäå �óíêöi¹þ çàãàëüíîãî ïîëîæåííÿ, ÿêùî íà êîæ-íîìó ¨¨ êðèòè÷íîìó ðiâíi ìiñòèòüñÿ îäíà êðèòè÷íà òî÷êà. Òàêi�óíêöi¨ óòâîðþþòü âiäêðèòó ñêðiçü ùiëüíó ìíîæèíó ó ïðî-ñòîði âñiõ �óíêöié. Çà ëåìîþ Ìîðñà [7℄, äëÿ íåâèðîäæåíî¨ êðè-òè÷íî¨ òî÷êè p iñíó¹ ëîêàëüíà ñèñòåìà êîîðäèíàò (x1, . . . , xn),â ÿêié �óíêöiÿ ì๠âèãëÿä
f(x1, . . . , xn) = f(p) − x1
2 − . . .− xλ
2 + xλ + 12 + . . .+ xn
2.Íåõàé M � ãëàäêèé êîìïàêòíèé n-âèìiðíèé ìíîãîâèä ç ìå-æåþ ∂M . Ôóíêöiÿ f : M → R ¹ m-�óíêöi¹þ, ÿêùîà) óñi ¨¨ êðèòè÷íi òî÷êè � íåâèðîäæåíi i íå ëåæàòü íà ìåæi
∂M ,á) îáìåæåííÿ f∂ �óíêöi¨ f íà ∂M ¹ �óíêöi¹þ Ìîðñà çàãàëü-íîãî ïîëîæåííÿ.Íåõàé x ∈ ∂M � êðèòè÷íà òî÷êà f∂ Iíäåêñîì ind x öi¹¨ êðè-òè÷íî¨ òî÷êè íàçèâà¹òüñÿ ïàðà (λ, δ), äå λ � çâè÷àéíèé iíäåêñ,
© Í. Â. Ëóêîâà, 2009
418 Ëóêîâà Í. Â.à δ = +1, ÿêùî âåêòîð grad fx ñïðÿìîâàíèé íàçîâíi, i δ = −1,ÿêùî grad fx ñïðÿìîâàíèé â ñåðåäèíó ìíîãîâèäó M . ßêùî
x /∈ ∂M � êðèòè÷íà òî÷êà f , òî iíäåêñ âèçíà÷à¹òüñÿ çâè÷àéíèì÷èíîì. Àíàëîãi÷íî ëåìi Ìîðñà â îêîëi íåâèðîäæåíî¨ êðèòè÷íî¨òî÷êè f∂ iñíó¹ ëîêàëüíà ñèñòåìà êîîðäèíàò (x1, . . . , xn), xn ≥ 0,â ÿêié �óíêöiÿ f ì๠âèãëÿä [1℄
f(x1, . . . , xn) = f(p) − x1
2−· · ·−xλ2+x2
λ+1+· · ·+x2
n−1+δxn.Íà çàìêíåíîìó ìíîãîâèäi çà êîæíîþ �óíêöi¹þ Ìîðñà ìîæ-íà ïîáóäóâàòè ðîçêëàä ìíîãîâèäó íà ðó÷êè. Äëÿ m-�óíêöiéiñíóþòü ðîçêëàäè íà m-ðó÷êè. Ïðè öüîìó êîæíié âíóòðiøíiéêðèòè÷íié òî÷öi âiäïîâiä๠çâè÷àéíà ðó÷êà, à êîæíié òî÷öi íàìåæi � m-ðó÷êà òîãî ñàìîãî iíäåêñó.Íåõàé f, g : M → R � ãëàäêi �óíêöi¨. Ôóíêöi¨ f i g íàçè-âàþòüñÿ òîïîëîãi÷íî åêâiâàëåíòíèìè, ÿêùî iñíóþòü ãîìåîìîð-�içìè ψ : M →M , ζ : R→ R òàêi, ùî fζ = gψ.Êðèòåði¨ òîïîëîãi÷íî¨ åêâiâàëåíòíîñòi �óíêöié Ìîðñà íàêîìïàêòíèõ äâîâèìiðíèõ ìíîãîâèäàõ îòðèìàíî â ðîáîòàõ [2,4,5℄, à òðèâèìiðíèõ � ó [8℄.�îçãëÿíåìî m-�óíêöiþ íà 3-ìíîãîâèäi. Ç'¹äíàâøè âíóòðiø-íi êðèòè÷íi òî÷êè öi¹¨ �óíêöi¨ øëÿõàìè ç ìåæåþ i âèêèíóâ-øè îêîëè öèõ øëÿõiâ, ìè îòðèìà¹ìî ìíîãîâèä, äè�åîìîð�-íèé ïî÷àòêîâîìó, i m-�óíêöiþ áåç âíóòðiøíiõ êðèòè÷íèõ òî-÷îê íà íüîìó. Äàëi, ìè ìîæåìî âïîðÿäêóâàòèm-ðó÷êè òàê, ùîáñïî÷àòêó ïðèêëåþâàëèñÿ ðó÷êè iíäåêñó (0,−1), ïîòiì (0,+1),
(1,−1), (1,+1), (2,−1), i íàðåøòi (2,+1). Âñi ðó÷êè iíäåêñó
(0,−1) òà (2,+1), êðiì îäíi¹¨ iíäåêñó (0,−1) òà îäíi¹¨ iíäåê-ñó (2,+1), ñêîðî÷óþòüñÿ ç ðó÷êàìè iíäåêñó (1,−1) òà (1,+1),âiäïîâiäíî.Íåõàé M � êîìïàêòíèé çâ'ÿçíèé òðèâèìiðíèé ìíîãîâèä çiçâ'ÿçíîþ ìåæåþ, f : M → R � ãëàäêà �óíêöiÿ íà íüîìó.Ôóíêöiÿ f íàçèâà¹òüñÿ p-�óíêöi¹þ, ÿêùî âîíà íå ì๠êðèòè÷-íèõ òî÷îê i îáìåæåííÿ ¨¨ íà ìåæó ì๠íå áiëüøå íiæ 4 êðè-òè÷íi òî÷êè, ÿêi çà çðîñòàííÿì çíà÷åííÿ �óíêöi¨ ìàþòü òàêèéâèãëÿä: 1)�òî÷êà ìiíiìóìó iíäåêñó (0,−1); 2) (âèðîäæåíà) òî÷êà
Òîïîëîãi÷íà êëàñè�iêàöiÿ �óíêöié ... 419ç δ = −1; 3) (âèðîäæåíà) òî÷êà ç δ = +1; 4) òî÷êà ìàêñèìóìóiíäåêñó (2,+1)/Ïîñòàíîâêà çàäà÷i. Îñíîâíà ìåòà äàíî¨ ñòàòòi � ïîáóäó-âàòè ïîâíèé òîïîëîãi÷íèé iíâàðiàíò p-�óíêöi¨ íà òðèâèìiðíèõìíîãîâèäàõ, òà äîâåñòè òåîðåìó ïðî éîãî ðåàëiçàöiþ.2. Äiàãðàìà p-�óíêöi¨Äîñëiäèìî, ÿê çìiíþ¹òüñÿ ïîâåðõíÿ ðiâíÿ p-�óíêöi¨ ïðèçðîñòàííi çíà÷åííÿ �óíêöi¨.Ïðè ïðîõîäæåííi ÷åðåç òî÷êó ìiíiìóìó, òîáòî òî÷êó iíäåê-ñó (0,−1), ç'ÿâëÿ¹òüñÿ äâîâèìiðíèé äèñê. Äàëi, çà âiäñóòíîñòiêðèòè÷íèõ òî÷îê òîïîëîãi÷íèé òèï ïîâåðõíi ðiâíÿ íå çìiíþ¹òü-ñÿ.  îêîëi âèðîäæåíî¨ êðèòè÷íî¨ òî÷êè �óíêöiÿ f∂ òîïîëî-ãi÷íî åêâiâàëåíòíà �óíêöi¨ ℜ(x + iy)k äëÿ äåÿêîãî íàòóðàëü-íîãî k [3℄. Òîäi �óíêöiÿ f òîïîëîãi÷íî åêâiâàëåíòíà �óíêöi¨
ℜ(x+ iy)k + δz â ñèñòåìi êîîðäèíàò (x, y, z), z ≥ 0. Ïðè ïðîõîä-æåííi äðóãî¨ òî÷êè äî äâîâèìiðíîãî äèñêó ïðèêëåþ¹òüñÿ 2k-êóòíèê çà k ñòîðîíàìè, ÿêi ðîçòàøîâàíi ÷åðåç îäíó (íàïðèêëàä,íåïàðíi, ïðè ïîñëiäîâíié íóìåðàöi¨ ñòîðií). Äî ñàìîãî ìíîãî-âèäó ïðè¹äíó¹òüñÿ òàê çâàíà óçàãàëüíåíà m-ðó÷êà, ùî ðiâíî-ñèëüíå ïðè¹äíàííþ k − 1 øòóê m-ðó÷îê. Îòæå, ïiñëÿ ïðîõîä-æåííÿ äðóãî¨ òî÷êè ìè îòðèìà¹ìî, ùî ïîâåðõíåþ ðiâíÿ �óíêöi¨áóäå äåÿêà ïîâåðõíÿ F , íà ÿêié âèäiëåíî k ïðàâèëüíî âêëà-äåíèõ âiäðiçêiâ u1, u2, . . . , uk (êiíöi âiäðiçêiâ ëåæàòü íà ìåæiïîâåðõíi), ùî íå ìàþòü òî÷îê ïåðåòèíó i òî÷îê ñàìîïåðåòèíó.Íàáið u = {u1, u2, . . . , uk} � ïðàâèëüíî âêëàäåíèõ êðèâèõ, ùîíå ïåðåòèíàþòüñÿ, íà ïîâåðõíi F òàêèõ, ùî ïiñëÿ ðîçðiçàííÿçà íèìè îòðèìà¹ìî äâà äèñêè, i òàêèõ, ùî êîæíå ui íàëåæèòüìåæi êîæíîãî ç öèõ äèñêiâ, íàçèâà¹òüñÿ ñèñòåìîþ ðîçðiçiâ ïî-âåðõíi F . Ïðîâåäåìî àíàëîãi÷íó êîíñòðóêöiþ äëÿ �óíêöi¨ −f .Îòðèìà¹ìî ïîâåðõíþ F ′ i ñèñòåìó ðîçðiçiâ v′ = {v1′, v2′, . . . , vk ′}íà íié. Îñêiëüêè ìiæ ðiâíÿìè F i F ′ íåì๠êðèòè÷íèõ òî-÷îê, òî âîíè ãîìåîìîð�íi ìiæ ñîáîþ, à ìíîãîâèä ìiæ íèìè
420 Ëóêîâà Í. Â.ãîìåîìîð�íèé F × [0, 1]. Ïðè öüîìó ðiçíèì ñòðóêòóðàì ïðÿ-ìîãî äîáóòêó âiäïîâiäàþòü ðiçíi, àëå içîòîïíi ãîìåîìîð�içìè
F ′ íà F . Íåõàé v = {v1, v2, . . . , vk} � îáðàç ñèñòåìè ðîçðiçiâ
v′ = {v1′, v2′, . . . , vk ′} ïðè îäíîìó ç òàêèõ ãîìåîìîð�içìiâ. ßê-ùî ïîâåðõíÿ F îði¹íòîâíà, òî çà�iêñó¹ìî îði¹íòàöiþ íà íié.Òîäi îði¹íòàöiÿ 2-äèñêà, ùî âiäïîâiä๠ìiíiìóìó iíäóêó¹ îði¹í-òàöiþ íà éîãî ìåæi, ó òîìó ÷èñëi i íà ðîçðiçàõ u. Àíàëîãi÷íî,îði¹íòàöiÿ 2-äèñêà, ùî âiäïîâiä๠ìàêñèìóìó, ïîðîäæó¹ îði¹í-òàöiþ íà êðèâèõ v. Ó âèïàäêó íåîði¹íòîâàíî¨ ïîâåðõíi çàäàìîîði¹íòàöi¨ öèõ 2-äèñêiâ äîâiëüíî, i òàêîæ îòðèìà¹ìî îði¹íòàöi¨êðèâèõ u òà v.Òðiéêó (F, u, v) áóäåìî íàçèâàòè p-äiàãðàìîþ. p-äiàãðàìè
(F, u, v) i (F ′, u′, v′) íàçèâàþòüñÿ ãîìåîìîð�íèìè, ÿêùî iñíó¹òàêèé ãîìåîìîð�içì h : F → F ′, ùî h(u) = u′ i h(v) = v′.Ïðè öüîìó, ÿêùî ãîìåîìîð�içì çáåðiã๠(çìiíþ¹) îði¹íòàöiþïîâåðõíi, òî âií çáåðiã๠(çìiíþ¹) i îði¹íòàöi¨ ðîçðiçiâ. Ó âèïàä-êó íåîði¹íòîâàíî¨ ïîâåðõíi ãîìåîìîð�içì çáåðiã๠àáî îäíî÷àñ-íî çìiíþ¹ îði¹íòàöi¨ âñiõ u-ðîçðiçiâ i, àíàëîãi÷íî, v-ðîçðiçiâ.
p-äiàãðàìè (F, u, v) i (F ′, u′, v′) íàçèâàþòüñÿ íàïiâiçîòîïíèìè,ÿêùî iñíóþòü òàêi içîòîïi¨ ϕt, ψt : F → F ′, ùî ϕ0 = ψ0 = id,
ϕ1(u) = u′, ψ1(v) = v′. Îòæå, ðiçíi âèáîðè ñòðóêòóðè ïðÿìîãîäîáóòêó íà F × [0, 1] ïðèâîäÿòü äî íàïiâiçîòîïíèõ äiàãðàì.Âèêîðèñòîâóþ÷è íàïiâiçîòîïi¨ äiàãðàì ìîæíà çíèùèòè âñiêðèâîëiíiéíi äâîêóòíèêè, îäíà iç ñòîðií ÿêèõ íàëåæèòü ñèñòåìi
u, à iíøà � v. Òàê ñàìî ìîæíà çíèùèòè âñi êðèâîëiíiéíi òðè-êóòíèêè, ó ÿêèõ îäíà ñòîðîíà íàëåæèòü ñèñòåìi u, äðóãà � v, àòðåòÿ � ∂F . Òàêîæ çà äîïîìîãîþ íàïiâiçîòîïi¨ êðèâi ç ñèñòåì ui v, ÿêi içîòîïíi, ìîæíà çðîáèòè òàêèìè, ùî ñïiâïàäàþòü. Äià-ãðàìó, ó ÿêî¨ íåì๠êðèâîëiíiéíèõ äâîêóòíèêiâ òà òðèêóòíèêiâ,à içîòîïíi êðèâi ç ðiçíèõ ñèñòåì ñïiâïàäàþòü, áóäåìî íàçèâàòèíîðìàëiçîâàíîþ.Òåîðåìà 1. p-�óíêöi¨ f : M → R, g : N → R òîïîëîãi÷íîåêâiâàëåíòíi òîäi òà òiëüêè òîäi, êîëè ïîáóäîâàíi çà íèìèíîðìàëiçîâàíi p-äiàãðàìè ãîìåîìîð�íi.
Òîïîëîãi÷íà êëàñè�iêàöiÿ �óíêöié ... 421Äîâåäåííÿ. Íåîáõiäíiñòü.Çà ïîáóäîâîþ p-äiàãðàìà çà äàíîþ �óíêöi¹þ çàäà¹òüñÿ ç òî÷-íiñòþ äî íàïiâiçîòîïi¨. Àíàëîãi÷íî äîâåäåííþ òåîðåìè 5.3 ç [6℄äëÿ äiàãðàì Õåãîðà, ÿêùî äâi äiàãðàìè íàïiâiçîòîïíi, òî íîð-ìàëiçîâàíi äiàãðàìè ãîìåîìîð�íi. Êðiì òîãî, òîïîëîãi÷íà åêâi-âàëåíòíiñòü �óíêöié ïîðîäæó¹ ãîìåîìîð�içì ìiæ p-äiàãðàìà-ìè, à îòæå, i ãîìåîìîð�içì ìiæ íîðìàëiçîâàíèìè p-äiàãðàìàìè.Äîñòàòíiñòü. ßêùî äiàãðàìè ãîìåîìîð�íi, òî ó íèõ îäíà-êîâi ÷èñëà k. Òîäi �óíêöi¨ â îêîëàõ êðèòè÷íèõ òî÷îê òîïî-ëîãi÷íî åêâiâàëåíòíi �óíêöiÿì h(x, y, z) = ℜ(x + iy)k ± z àáî
h(x, y, z) = ±(x2 + y2 + z). Îòæå, â îêîëàõ êðèòè÷íèõ òî÷îê�óíêöi¨ òîïîëîãi÷íî åêâiâàëåíòíi. Òàê ñàìî, ÿê äëÿ äiàãðàì Õå-ãîðà [8℄, ãîìåîìîð�içì íîðìàëiçîâàíèõ p-äiàãðàì çàä๠ïðîäî-âæåííÿ öèõ ãîìåîìîð�içìiâ äî øóêàíîãî ãîìåîìîð�içìó òðè-âèìiðíîãî ìíîãîâèäó. Òåîðåìà äîâåäåíà. �3. p-ãðà�Ïîáóäó¹ìî âêëàäåíèé â çàìêíåíó ïîâåðõíþ îði¹íòîâà-íèé ãðà�, ÿêèé áóäåìî íàçèâàòè p-ãðà�îì. Ñòÿãíåìî êîæíóêîìïîíåíòó ìåæi â òî÷êó, ÿêó áóäåìî ðîçãëÿäàòè ÿê âåðøèíè
p-ãðà�à. �åáðàìè áóäóòü ðîçðiçè u1, u2, . . . , uk òà v1, v2, . . . , vk.ßêùî ðîçðiçè ñïiâïàäàþòü, òî ¨ì áóäå âiäïîâiäàòè îäíå �ïîäâié-íå� ðåáðî. Îòæå, ðåáðà p-ãðà�à ðîçáèòi íà òðè òèïè: 1) u; 2) v i3) �ïîäâiéíi�. Îði¹íòàöi¨ ðîçðiçiâ çàäàþòü îði¹íòàöi¨ ðåáåð. Ïðèöüîìó íà ïîäâiéíèõ ðåáðàõ çàäàíî äâi îði¹íòàöi¨ (u-îði¹íòàöiÿi v-îði¹íòàöiÿ). Ïiñëÿ ñòÿãíåííÿ êîìïîíåíò ìåæi ïîâåðõíi F âòî÷êè îòðèìà¹ìî íîâó çàìêíåíó ïîâåðõíþ Φ. Ïðè öüîìó, p-ãðà� ¹ ãðà�îì, âêëàäåíèì â Φ. Äàëi áóäåìî ðîçãëÿäàòè òàêiãðà�è, ó ÿêèõ áiëüøå íiæ 2 ðåáðà. Âèïàäêè ç 1 òà 2 ðåáðàìèðîçãëÿíóòî â ïðèêëàäàõ.Òåîðåìà 2. p��óíêöi¨ f : M → R, g : N → R òîïîëîãi÷íîåêâiâàëåíòíi òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè iñíó¹ ãîìåîìîð�içì âiä-ïîâiäíèõ ïîâåðõîíü Φ, ÿêèé çàä๠içîìîð�içì p-ãðà�iâ, çáåðiãà¹
422 Ëóêîâà Í. Â.òèï ðåáåð òà çáåðiã๠àáî îäíî÷àñíî çìiíþ¹ îði¹íòàöi¨ ðåáåð,ÿê äëÿ ðîçðiçiâ.Äîâåäåííÿ. Íåîáõiäíiñòü. Íåîáõiäíiñòü âèïëèâ๠ç òåîðåìè 1òà îäíîçíà÷íîñòi ïîáóäîâè p-ãðà�à.Äîñòàòíiñòü. Ïîêàæåìî, ÿê çà âêëàäåíèì p-ãðà�îì ïîáó-äóâàòè p�äiàãðàìó. Âèðiçà¹ìî ç ïîâåðõíi Φ ðåãóëÿðíi îêîëè âåð-øèí p-ãðà�à. Îòðèìó¹ìî, ïîâåðõíþ, ãîìåîìîð�íó F , i âêëà-äåíi â íå¨ êðèâi (ðîçðiçè), ùî çàäàþòüñÿ âêëàäåííÿìè ðåáåð
p-ãðà�à. Ïðè öüîìó ïîäâiéíèì ðåáðàì âiäïîâiä๠ïàðà u- i v-ðîçðiçiâ, ùî ñïiâïàäàþòü. Òîäi ãîìåîìîð�içì ïîâåðõîíü Φ çà-ä๠ãîìåîìîð�içì p�äiàãðàì, à îòæå, i òîïîëîãi÷íó åêâiâàëåíò-íiñòü p-�óíêöié. Òåîðåìà äîâåäåíà. �Âëàñòèâîñòi p-ãðà�iâ.Çà ïîáóäîâîþ p-ãðà� ì๠òàêi âëàñòèâîñòi:(1) ÷èñëî ðåáåð òèïó u ðiâíå ÷èñëó ðåáåð òèïó v;(2) u-ïiäãðà�, ùî ñêëàäåíèé ç ðåáåð òèïó u òà ïîäâiéíèõðåáåð ðîçáèâ๠ïîâåðõíþ íà äâi îäíîçâ'ÿçíi îáëàñòi iêîæíå ðåáðî öüîãî ïiäãðà�à âõîäèòü â ìåæó êîæíî¨ çäâîõ îáëàñòåé;(3) àíàëîãi÷íà âëàñòèâiñòü äëÿ v-ïiäãðà�à, ñêëàäåíîãî ç ðå-áåð òèïó v òà ïîäâiéíèõ ðåáåð.Òåîðåìà 3. Âêëàäåíèé â çàìêíåíó ïîâåðõíþ ãðà�, ðåáðà ÿêîãîðîçáèòi íà òðè òèïè òàê, ùî âèêîíóþòüñÿ âëàñòèâîñòi 1)�3), ¹ p-ãðà�îì äåÿêî¨ p-�óíêöi¨.Äîâåäåííÿ. �îçãëÿíåìî ÷îòèðè òðèâèìiðíèõ äèñêà i �óíêöi¨
h(x, y, z) = ℜ(x+ iy)k±z òà h(x, y, z) = ±(x2 +y2 +z) íà íèõ, äå
(0, 0, 0) � äåÿêà òî÷êà íà ìåæi, â îêîëi ÿêî¨ äèñê ì๠ðiâíÿííÿ
z ≥ 0. Çà p-ãðà�îì ïîáóäó¹ìî p-äiàãðàìó, ÿêà çàä๠ñêëåéêóöèõ äèñêiâ ìiæ ñîáîþ. Ïiñëÿ ñêëåéêè îòðèìà¹ìî òðèâèìiðíèéìíîãîâèä i �óíêöiþ íà íüîìó. Çà íåîáõiäíîñòi çãëàäèâøè �óíê-öiþ â ìiñöÿõ ñêëåéêè, îòðèìó¹ìî øóêàíó p-�óíêöiþ. Òåîðåìàäîâåäåíà. �
Òîïîëîãi÷íà êëàñè�iêàöiÿ �óíêöié ... 4234. Ïðèêëàäè îá÷èñëåíü×èñëî ðîçðiçiâ k îäíi¹¨ ç ñèñòåì áóäåìî íàçèâàòè ñêëàäíiñòþ�óíêöi¨. ßêùî F � îði¹íòîâàíà ïîâåðõíÿ ðîäó g ç d êîìïî-íåíòàìè êðàþ, òî k = 2g + d, à ÿêùî âîíà íå îði¹íòîâàíà, òî
k = g + d.�îçãëÿíåìî âèïàäîê îði¹íòîâàíî¨ ïîâåðõíi.1) k = 1. Òîäi g = 0, d = 1. Iñíó¹ ¹äèíèé p-ãðà� � ïåòëÿç ïîäâiéíèì ðåáðîì. Äâi îði¹íòàöi¨ íà íüîìó ìîæóòü ñïiâïàäà-òè àáî áóòè ïðîòèëåæíèìè. Ïðîòå îáèäâà öi âèïàäêè çàäàþòüíàïiâiçîòîïíi äiàãðàìè. Îòæå, iñíó¹ ¹äèíà, ç òî÷íiñòþ äî òîïî-ëîãi÷íî¨ åêâiâàëåíòíîñòi, òàêà p-�óíêöiÿ.2) k = 2. Òîäi g = 0, d = 2. Òàêîæ iñíó¹ ¹äèíèé p-ãðà�,ãîìåîìîð�íèé êîëó ç äâîìà âåðøèíàìè íà íüîìó i ïîäâiéíè-ìè ðåáðàìè, à îáèäâi ïàðè îði¹íòàöié íà íüîìó ïðèâîäÿòü äîíàïiâiçîòîïíèõ äiàãðàì. Îòæå, â öüîìó âèïàäêó iñíó¹ ¹äèíà, çòî÷íiñòþ äî òîïîëîãi÷íî¨ åêâiâàëåíòíîñòi, p-�óíêöiÿ .3) k = 3. À) g = 0, d = 3. p-ãðà�, ãîìåîìîð�íèé êîëó ç òðüî-ìà âåðøèíàìè íà íüîìó i ïîäâiéíèìè ðåáðàìè. Íà ïîäâiéíèõðåáðàõ îði¹íòàöi¨ ñïiâïàäàþòü àáî ïðîòèëåæíi. Òîìó iñíó¹ äâi,ç òî÷íiñòþ äî òîïîëîãi÷íî¨ åêâiâàëåíòíîñòi, p-�óíêöi¨.Á) g = 1, d = 1. u�ïiäãðà� ì๠îäíó âåðøèíó i òðè ïåòëi áåçòî÷îê ïåðåòèíó íà òîði. Òîäi äâi ç öèõ ïåòåëü çàäàþòü òâiðíi�óíäàìåíòàëüíî¨ ãðóïè òîðà, à òðåòÿ ¹ ¨õ äîáóòêîì. v�ïiäãðà�ì๠òó ñàìó âëàñòèâiñòü. Îñêiëüêè ïàðà òâiðíèõ �óíäàìåíòàëü-íî¨ ãðóïè âèðàæà¹òüñÿ ÷åðåç iíøó ïàðó òâiðíèõ çà äîïîìîãîþìàòðèöi ç SL(2,Z), òî öÿ ìàòðèöÿ çàä๠p-ãðà�. Ïðè öüîìó äâiìàòðèöi çàäàþòü îäèí i òîé ñàìèé p-ãðà�, ÿêùî âîíè îäíàêîâi,àáî îäíó ç iíøî¨ ìîæíà îòðèìàòè ìíîæåííÿì ìàòðèöi íà −1.Îòæå, ó öüîìó âèïàäêó iñíó¹ íåñêií÷åííî áàãàòî p-ãðà�iâ .�îçãëÿíåìî âèïàäîê íåîði¹íòîâàíî¨ ïîâåðõíi.1) k = 2. Òîäi g = 1, d = 1. Iñíó¹ ¹äèíèé p-ãðà�, ãîìåî-ìîð�íèé 8 ç ïîäâiéíèìè ðåáðàìè. F � ãîìåîìîð�íà ñòði÷öiÌüîáióñà. ßêùî ¨¨ ïîäàòè ÿê ïðÿìîêóòíèê çi ñêëå¹íîþ ïàðîþ
424 Ëóêîâà Í. Â.ïðîòèëåæíèõ ñòîðií, òî ðîçðiçè ãîìîòîïíi öèì ñòîðîíàì. Îä-íàêîâi òà ïðîòèëåæíi îði¹íòàöi¨ ïîäâiéíèõ ðåáåð çàäàþòü íà-ïiâiçîòîïíi äiàãðàìè. Îòæå, iñíó¹ ¹äèíà, ç òî÷íiñòþ äî òîïîëî-ãi÷íî¨ åêâiâàëåíòíîñòi, òàêà p-�óíêöiÿ.2) k = 3. À) g = 1, d = 2. u�ïiäãðà� ìîæíà îòðèìàòè ç p-ãðà�à ç ïîïåðåäíüîãî ïðèêëàäó, ÿêùî äî íüîãî äîáàâèòè îäíóâåðøèíó i ðåáðî, ùî ¨¨ ç'¹äíó¹ ç âåðøèíîþ íà 8. Îäèí p-ãðà�ìîæíà îòðèìàòè, ÿêùî âñiì ðåáðàì ïðèïèñàòè òèï ïîäâiéíèõðåáåð. Ùå îäèí p-ãðà� ì๠âèãëÿä äâîõ 8, âåðøèíè ÿêèõ ç'¹ä-íàíi ïîäâiéíèì ðåáðîì. Íà êîæíîìó ç ïîäâiéíèõ ðåáåð, êîæíóç ïàðè îði¹íòàöié ìîæíà âèáðàòè äâîìà ñïîñîáàìè, òîáòî âñüî-ãî iñíó¹ 4 ñïîñîáè äëÿ ïàðè. À òîìó iñíó¹ âiñiì, ç òî÷íiñòþ äîòîïîëîãi÷íî¨ åêâiâàëåíòíîñòi, p-�óíêöié.Á) g = 2, d = 1. u�ïiäãðà� ì๠îäíó âåðøèíó òà òðè ïåò-ëi. Ìîæëèâi äâà íå ãîìåîìîð�íèõ âêëàäåííÿ éîãî â ïëÿøêóÊëåéíà, ùî äàþòü 4 ðiçíèõ p-ãðà�à. Íà òðüîõ ç íèõ ìîæëèâiïî 2 îði¹íòàöi¨ (ó íèõ iñíó¹ ãîìåîìîð�içì ñàìîãî ãðà�à íà ñå-áå, ùî çìiíþ¹ îði¹íòàöiþ), à ó ÷åòâåðòîãî � 4 îði¹íòàöi¨ (òàêîãîãîìåîìîð�içìó íå iñíó¹). Îòæå, â öüîìó âèïàäêó iñíó¹ 10 òî-ïîëîãi÷íî íå åêâiâàëåíòíèõ p-�óíêöié .Âèñíîâîê. Ïîáóäîâàíî ïîâíèé òîïîëîãi÷íèé iíâàðiàíò p-�óíêöié íà òðèâèìiðíèõ ìíîãîâèäàõ, äîâåäåíî òåîðåìó ðåàëi-çàöi¨ öüîãî iíâàðiàíòà �óíêöi¹þ. Òèì ñàìèì îòðèìàíî òîïîëî-ãi÷íó êëàñè�iêàöiþ p-�óíêöié. Å�åêòèâíiñòü ïîáóäîâàíîãî ií-âàðiàíòó ïðîäåìîíñòðîâàíî íà ïðèêëàäàõ. Îïèñàíî âñi �óíêöi¨,ñêëàäíiñòü ÿêèõ íå ïåðåâèùó¹ 3.Ëiòåðàòóðà[1℄ Jankowski A., Rubinsztein R. Fun
tions with non-degenerated
riti
alpoints on manifolds with boundary// Comm. Math. � 1972.� V.XVI.�P.99�112.[2℄ Kulini
h E. V. On topologi
al equivalen
e Morse fun
tions on surfa
es//Methods of Fun
. An. and Topology.� 1998.� N1.� P. 22�28.
Òîïîëîãi÷íà êëàñè�iêàöiÿ �óíêöié ... 425[3℄ Prishlyak A. O. Topologi
al equivalen
e of smooth fun
tions with isolated
riti
al points on a
losed surfa
e// Topology and its appli
ation.� 2002.�V.119, N3.� P.257�267.[4℄ Sharko V. V. On topologi
al equivalen
e Morse fun
tions on surfa
es//Int.
onferen
e at Chelyabinsk State Univ.: Low-dimensional Topologyand Combinatorial Group Theoremy.� 1996.� P.19�23.[5℄ Ìàêñèìåíêî Ñ. I. Åêâiâàëåíòíiñòü m-�óíêöié íà ïîâåðõíÿõ, Íåêîòî-ðûå âîïðîñû ñîâð. ìàò.: Ïðàöi Ií-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍÓêðà¨íè.�1998.�T.25.� C.128�134.[6℄ Ìàòâååâ Ñ. Â.,Ôîìåíêî À. Ò. Àëãîðèòìè÷åñêèå è êîìïüþòåðíûå ìå-òîäû â òðåõìåðíîé òîïîëîãèè. � Ì.: Èçä-âî Ìîñê.ãîñ.óí-òà, 1991.�301
.[7℄ Ìèëíîð Äæ. Òåîðèÿ Ìîðñà.� Ì.: Ìèð,1964.�184
.[8℄ Ïðèøëÿê À. Î. Ñîïðÿæ¼ííîñòü �óíêöèé Ìîðñà// Íåêîòîðûå âîïðî-ñû ñîâð. ìàò.: Ïðàöi Ií-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè.�1998.� T.25.�C94-103.
|