Про існування неперервних при t належить R розв'язків систем лінійних функціонально-різницевих рівнянь і їх властивості
For a system of linear difference equations, we establish conditions of the existence of its continuous solutions.
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2009
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6322 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Про існування неперервних при t належить R розв'язків систем лінійних функціонально-різницевих рівнянь і їх властивості / О.А. Сівак // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 450-459. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-6322 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Сівак, О.А. 2010-02-23T14:45:01Z 2010-02-23T14:45:01Z 2009 Про існування неперервних при t належить R розв'язків систем лінійних функціонально-різницевих рівнянь і їх властивості / О.А. Сівак // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 450-459. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1815-2910 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6322 517.9 For a system of linear difference equations, we establish conditions of the existence of its continuous solutions. uk Інститут математики НАН України Геометрія, топологія та їх застосування Про існування неперервних при t належить R розв'язків систем лінійних функціонально-різницевих рівнянь і їх властивості Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Про існування неперервних при t належить R розв'язків систем лінійних функціонально-різницевих рівнянь і їх властивості |
| spellingShingle |
Про існування неперервних при t належить R розв'язків систем лінійних функціонально-різницевих рівнянь і їх властивості Сівак, О.А. Геометрія, топологія та їх застосування |
| title_short |
Про існування неперервних при t належить R розв'язків систем лінійних функціонально-різницевих рівнянь і їх властивості |
| title_full |
Про існування неперервних при t належить R розв'язків систем лінійних функціонально-різницевих рівнянь і їх властивості |
| title_fullStr |
Про існування неперервних при t належить R розв'язків систем лінійних функціонально-різницевих рівнянь і їх властивості |
| title_full_unstemmed |
Про існування неперервних при t належить R розв'язків систем лінійних функціонально-різницевих рівнянь і їх властивості |
| title_sort |
про існування неперервних при t належить r розв'язків систем лінійних функціонально-різницевих рівнянь і їх властивості |
| author |
Сівак, О.А. |
| author_facet |
Сівак, О.А. |
| topic |
Геометрія, топологія та їх застосування |
| topic_facet |
Геометрія, топологія та їх застосування |
| publishDate |
2009 |
| language |
Ukrainian |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| description |
For a system of linear difference equations, we establish conditions of the existence of its continuous solutions.
|
| issn |
1815-2910 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6322 |
| citation_txt |
Про існування неперервних при t належить R розв'язків систем лінійних функціонально-різницевих рівнянь і їх властивості / О.А. Сівак // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 450-459. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT sívakoa proísnuvannâneperervnihpritnaležitʹrrozvâzkívsistemlíníinihfunkcíonalʹnoríznicevihrívnânʹííhvlastivostí |
| first_indexed |
2025-11-26T16:10:16Z |
| last_indexed |
2025-11-26T16:10:16Z |
| _version_ |
1850764484641030144 |
| fulltext |
Çáiðíèê ïðàöüIí-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè2009, ò.6, �2, 450-459ÓÄÊ 517.9Î. À. ÑiâàêÍàöiîíàëüíèé òåõíi÷íèé óíiâåðñèòåò Óêðà¨íè �ÊÏI�Ïðî iñíóâàííÿ íåïåðåðâíèõ ïðè
t ∈ R ðîçâ'ÿçêiâ ñèñòåì ëiíiéíèõ�óíêöiîíàëüíî-ðiçíèöåâèõ ðiâíÿíüi ¨õ âëàñòèâîñòi1
For a system of linear difference equations, we establish conditions of the
existence of its continuous solutions.�îçãëÿíåìî ñèñòåìó ëiíiéíèõ ðiçíèöåâèõ ðiâíÿíü âèãëÿäó
x(t+ 1) = Ax(t) +B(t)x(qt) + F (t), (1)äå t ∈ R, A,B(t) � äiéñíi (n×n)-ìàòðèöi, F (t) � äiéñíèé âåêòîððîçìiðíîñòi n, q � äåÿêà äiéñíà ñòàëà. Ïðè ðiçíèõ ïðèïóùåí-íÿõ ùîäî ìàòðèöü A,B(t) i âåêòîðà F (t) îêðåìi êëàñè òàêèõñèñòåì ðiâíÿíü áóëè îñíîâíèì îá'¹êòîì äîñëiäæåíü áàãàòüîõìàòåìàòèêiâ (äèâ. [1�9℄ i íàâåäåíó â íèõ ëiòåðàòóðó) i â äàíèé÷àñ öiëèé ðÿä ïèòàíü ¨õ òåîði¨ äîñèòü äåòàëüíî âèâ÷åíi. Îñîáëè-âî öå ñòîñó¹òüñÿ ïèòàíü iñíóâàííÿ ðiçíîãî ðîäó (àíàëiòè÷íèõ,íåïåðåðâíèõ òîùî) ðîçâ'ÿçêiâ i äîñëiäæåííÿ ¨õ âëàñòèâîñòåé. Âäàíié ñòàòòi ïðîäîâæó¹òüñÿ äîñëiäæåííÿ ñòðóêòóðè ìíîæèíèðîçâ'ÿçêiâ ñèñòåìè ðiâíÿíü âèãëÿäó (1). Çîêðåìà, âñòàíîâëþ-þòüñÿ óìîâè iñíóâàííÿ íåïåðåðâíèõ ðîçâ'ÿçêiâ òàêèõ ñèñòåì.�îçãëÿíåìî ñïî÷àòêó ñèñòåìó ðiâíÿíü âèãëÿäó
x(t+ 1) = Ax(t) +Bx(qt), (2)1�îáîòà ÷àñòêîâî ïiäòðèìàíà ïðîåêòîì Ô 25.1/021
© Î. À. Ñiâàê, 2009
Ïðî iñíóâàííÿ íåïåðåðâíèõ ïðè t ∈ R ðîçâ'ÿçêiâ ... 451äå A,B � äiéñíi ñòàëi (n×n)-ìàòðèöi, q � äiéñíà ñòàëà, i ïðèïó-ñòèìî, ùî âëàñíi çíà÷åííÿ λi ìàòðèöi A çàäîâîëüíÿþòü óìîâó:
0 < λi < 1, i = 1, ...,m ≤ n. öüîìó âèïàäêó, ÿê âiäîìî, çà äîïîìîãîþ çàìiíè çìiííèõ
x(t) = Cy(t),äå C � äåÿêà ñòàëà íåîñîáëèâà (n × n)-ìàòðèöÿ, ñèñòåìó ðiâ-íÿíü (2) ìîæíà ïðèâåñòè äî âèãëÿäó
y(t+ 1) = Λy(t) + B̃y(qt), (3)äå Λ = diag(Λ1, ...,Λm), m ≤ n, Λi − (ki × ki)-ìàòðèöi âèãëÿäó
Λi =
λi ε 0 · · · 0
0 λi ε · · · 0
· · · · · · · · · · · · · · ·
0 0 0 · · · λi
, 1 ≤ i ≤ m,
m∑
i=1
ki = n,
(4)
ε � äîñòàòíüî ìàëà äîäàòíà ñòàëà, B̃ = C−1BC.Äîñëiäèìî ñèñòåìó ðiâíÿíü (3) ïðè t ≥ 0 ó âèïàäêó, êîëèâèêîíóþòüñÿ óìîâè:1) 0 < λi < 1, i = 1, ...,m, q > 1;2) λ∗ > λ∗q, △ =
b̃
λ∗ − λ∗q
< 1, äå
b̃ = |B̃| = max
1≤i≤n
n∑
j=1
|̃bij |,
λ∗ = min{λi, i = 1, ...,m}, λ∗ = max{λi, i = 1, ...,m}.Ïîêàæåìî, ùî öÿ ñèñòåìà ì๠ðîçâ'ÿçêè ó âèãëÿäi ðÿäó
y(t) =
∞∑
i=0
yi(t), (5)
452 Î. À. Ñiâàêäå yi(t), i = 0, 1, ..., � äåÿêi íåïåðåðâíi âåêòîð-�óíêöi¨. Ïiä-ñòàâëÿþ÷è (5) â (3), îòðèìó¹ìî
∞∑
i=0
yi(t+ 1) = Λ
∞∑
i=0
yi(t) + B̃
∞∑
i=0
yi(qt).Çâiäñè áåçïîñåðåäíüî âèïëèâà¹, ùî ÿêùî âåêòîð-�óíêöi¨ yi(t),
i = 0, 1, ..., ¹ ðîçâ'ÿçêàìè ïîñëiäîâíîñòi ñèñòåì ðiâíÿíü
y0(t+ 1) = Λy0(t), (60)
yi(t+ 1) = Λyi(t) + B̃yi−1(qt), i = 1, 2, ..., (6i)òî ðÿä (5) áóäå �îðìàëüíèì ðîçâ'ÿçêîì ñèñòåìè ðiâíÿíü (3).Äîñëiäæåííÿ ñèñòåìè ðiâíÿíü (60) çâîäèòüñÿ äî äîñëiäæåííÿm ïiäñèñòåì ðiâíÿíü âèãëÿäó
yi0(t+ 1) = Λiy
i
0(t), i = 1, ...,m, m ≤ n, (6i0)äå yi0 = (yi1, ..., y
i
ki
), i = 1, ...,m. Çãiäíî ç óìîâîþ 1 òà ç âðàõó-âàííÿì (4) ìîæíà ïîêàçàòè, ùî ïðè äîñòàòíüî ìàëèõ ε iñíó-þòü äîäàòíi ñòàëi α∗, α∗ òàêi, ùî α∗ < 1, α∗ < 1, |Λ−1| ≤ α−1
∗ ,
|Λ| ≤ α∗ i ì๠ìiñöå óìîâà2′) α∗ > α∗q , △̃ =
b̃
α∗ − α∗q < 1.Âèêîðèñòîâóþ÷è ïðåäñòàâëåííÿ çàãàëüíîãî íåïåðåðâíîãîðîçâ'ÿçêó ñèñòåìè (60) i óìîâó 1, ìîæíà ïîêàçàòè, ùî iñíó¹äîäàòíà ñòàëà M òàêà, ùî ïðè âñiõ t ≥ 0 âèêîíó¹òüñÿ îöiíêà
|y0(t)| ≤Mα∗t. (70)Îñêiëüêè ðÿäè
yi(t) = −
∞∑
j=0
Λ−(j+1) B̃ yi−1(q(t+ j)), i = 1, 2, ..., (7i)¹ �îðìàëüíèìè ðîçâ'ÿçêàìè âiäïîâiäíèõ ñèñòåì ðiâíÿíü (6i),
i = 1, 2, ..., (â öüîìó ìîæíà ïåðåêîíàòèñÿ áåçïîñåðåäíüîþ ïiä-ñòàíîâêîþ (7i), i = 1, 2, ..., â (6i), i = 1, 2, ...), òî ïðèéìàþ÷è äîóâàãè (70) i óìîâè 1, 2′ ïîêàæåìî, ùî ðÿäè (7i), i = 1, 2, ...,
Ïðî iñíóâàííÿ íåïåðåðâíèõ ïðè t ∈ R ðîçâ'ÿçêiâ ... 453ðiâíîìiðíî çáiãàþòüñÿ äî äåÿêèõ íåïåðåðâíèõ âåêòîð-�óíêöié
yi(t), i = 1, 2, ..., äëÿ ÿêèõ ïðè âñiõ i ≥ 1, t ≥ 0 ì๠ìiñöå îöiíêà
|yi(t)| ≤M△̃iα∗qt. (8)Ñïðàâäi, âðàõîâóþ÷è (70), (71) i |Λ−1| < α−1
∗ , îòðèìó¹ìî
|y1(t)| ≤
∞∑
j=0
|Λ−1|j+1 |B̃| |y0(q(t+ j))| ≤
≤
∞∑
j=0
α
−(j+1)
∗ b̃ Mα∗q(t+j) ≤M b̃ α−1
∗ α∗qt
∞∑
j=0
(α−1
∗ α∗q)j ≤
≤M
b̃
α∗(1 − α−1
∗ α∗q)
α∗qt ≤M
b̃
α∗ − α∗q α
∗qt = M△̃ α∗qt,òîáòî îöiíêà (8) ì๠ìiñöå ïðè i = 1. Ìiðêóþ÷è çà iíäóêöi¹þ,ïðèïóñòèìî, ùî îöiíêà (8) âæå äîâåäåíà äëÿ äåÿêîãî i ≥ 1, iïîêàæåìî, ùî âîíà íå çìiíèòüñÿ ïðè ïåðåõîäi âiä i äî i + 1.Çãiäíî ç (7i+1) i (8) ìà¹ìî
|yi+1(t)| ≤
∞∑
j=0
|Λ−1|j+1 |B̃| |yi(q(t+ j))| ≤
≤
∞∑
j=0
α
−(j+1)
∗ b̃ M△̃iα∗q(q(t+j)) ≤
≤M △̃i b̃α−1
∗ α∗q2t
∞∑
j=0
(α−1
∗ α∗q2)j ≤
≤M△̃i b̃α−1
∗ α∗qt
∞∑
j=0
(α−1
∗ α∗q)j ≤
≤M△̃i b̃
α∗ − α∗q α
∗qt = M△̃i+1α∗qt.Îòæå, îöiíêà (8) âèêîíó¹òüñÿ ïðè âñiõ i ≥ 1, t ≥ 0. Çâiäñèâèïëèâà¹, ùî ðÿäè (7i), i = 1, 2, ..., ðiâíîìiðíî çáiãàþòüñÿ ïðè
454 Î. À. Ñiâàê
t ≥ 0 äî äåÿêèõ íåïåðåðâíèõ âåêòîð-�óíêöié yi(t), i = 1, 2, ...,äëÿ ÿêèõ ì๠ìiñöå îöiíêà (8).  ñèëó (8) ðÿä (5) ðiâíîìiðíîçáiãà¹òüñÿ ïðè t ≥ 0 äî äåÿêî¨ íåïåðåðâíî¨ âåêòîð-�óíêöi¨ y(t),ÿêà ¹ ðîçâ'ÿçêîì ñèñòåìè ðiâíÿíü (3) i çàäîâîëüíÿ¹ óìîâó
|y(t)| ≤ M
1 − △̃
α∗t.Çâiäñè áåçïîñåðåäíüî âèïëèâà¹, ùî
lim
t→+∞
y(t) = 0.Öèì ñàìèì äîâåäåíà òàêà òåîðåìà.Òåîðåìà 1. Íåõàé âèêîíóþòüñÿ óìîâè 1, 2. Òîäi ñèñòåìàðiâíÿíü (3) ì๠ñiì'þ íåïåðåðâíèõ îáìåæåíèõ ïðè t ≥ 0 ðîç-â'ÿçêiâ, ùî çàëåæèòü âiä äîâiëüíî¨ íåïåðåðâíî¨ 1-ïåðiîäè÷íî¨âåêòîð-�óíêöi¨ ω(t).�îçãëÿíåìî òåïåð ñèñòåìó íåîäíîðiäíèõ ðiâíÿíü âèãëÿäó
y(t+ 1) = Λy(t) + B̃y(qt) + F (t), (9)äå ìàòðèöi Λ, B̃ çàäîâîëüíÿþòü óìîâè òåîðåìè 1, à
F (t) : R→ Rn.Ì๠ìiñöå òåîðåìà.Òåîðåìà 2. Íåõàé âèêîíóþòüñÿ óìîâè1) 0 < λi < 1, i = 1, ...,m, q > 1;2) b̃
1 − α∗ = θ < 1;3) âñi åëåìåíòè âåêòîð-�óíêöi¨ F (t) ¹ íåïåðåðâíèìè îá-ìåæåíèìè ïðè âñiõ t ∈ R �óíêöiÿìè i
sup
t
|F (t)| = M <∞ .
Ïðî iñíóâàííÿ íåïåðåðâíèõ ïðè t ∈ R ðîçâ'ÿçêiâ ... 455Òîäi ñèñòåìà ðiâíÿíü (9) ì๠íåïåðåðâíèé îáìåæåíèé ïðè t ∈
R ðîçâ'ÿçîê ó âèãëÿäi ðÿäó
y(t) =
∞∑
i=0
yi(t), (10)äå yi(t), i = 0, 1, ..., � äåÿêi íåïåðåðâíi îáìåæåíi ïðè t ∈ Râåêòîð-�óíêöi¨.Äîâåäåííÿ. Ïiäñòàâëÿþ÷è (10) â (9), îòðèìó¹ìî
∞∑
i=0
yi(t+ 1) = Λ
∞∑
i=0
yi(t) + B̃
∞∑
i=0
yi(qt) + F (t).Çâiäñè áåçïîñåðåäíüî âèïëèâà¹, ùî ÿêùî âåêòîð-�óíêöi¨ yi(t),
i = 0, 1, ..., ¹ ðîçâ'ÿçêàìè ïîñëiäîâíîñòi ñèñòåì ðiâíÿíü
y0(t+ 1) = Λy0(t) + F (t), (110)
yi(t+ 1) = Λyi(t) + B̃yi−1(qt), i = 1, 2, ..., (11i)òî ðÿä (10) ¹ �îðìàëüíèì ðîçâ'ÿçêîì ñèñòåìè ðiâíÿíü (8).Ïðèéìàþ÷è äî óâàãè óìîâè òåîðåìè ìîæíà ïåðåêîíàòèñÿ,ùî ðÿä
y0(t) =
∞∑
j=1
Λj−1F (t− j) (120)ðiâíîìiðíî çáiãà¹òüñÿ ïðè âñiõ t ∈ R, çàäîâîëüíÿ¹ ñèñòåìó ðiâ-íÿíü (110) i âèêîíó¹òüñÿ îöiíêà
|y0(t)| ≤
M
1 − α∗ = M
′
. (130)Âðàõîâóþ÷è (130), ïîñëiäîâíî ìîæíà ïîêàçàòè, ùî ðÿäè
yi(t) =
∞∑
j=1
Λj−1B̃yi−1(q(t− j)), i = 1, 2, ..., (12i)ðiâíîìiðíî çáiãàþòüñÿ ïðè t ∈ R, çàäîâîëüíÿþòü âiäïîâiäíi ñè-ñòåìè ðiâíÿíü (11i), i = 1, 2, ..., i äëÿ íèõ ìàþòü ìiñöå îöiíêè
|yi(t)| ≤M
′
θi, i = 1, 2, ... . (13i)
456 Î. À. ÑiâàêÒàêèì ÷èíîì, îñêiëüêè âåêòîð-�óíêöi¨ yi(t), i = 0, 1, ..., ùîâèçíà÷àþòüñÿ çà äîïîìîãîþ ñïiââiäíîøåíü (12i), i = 0, 1, ...,çàäîâîëüíÿþòü óìîâè (13i), i = 0, 1, ..., òî ðÿä (10) ðiâíîìiðíîçáiãà¹òüñÿ ïðè t ∈ R äî äåÿêî¨ íåïåðåðâíî¨ âåêòîð-�óíêöi¨ y(t),ÿêà ¹ ðîçâ'ÿçêîì ñèñòåìè ðiâíÿíü (9) i çàäîâîëüíÿ¹ óìîâi
|y(t)| ≤ M
′
1 − θ
.Òåîðåìà 2 äîâåäåíà. �Çàóâàæåííÿ. Âèêîíóþ÷è â (9) çàìiíó çìiííèõ
y(t) = z(t) + y(t), (14)îòðèìà¹ìî ñèñòåìó ðiâíÿíü (3) âiäíîñíî âåêòîð-�óíêöi¨ z(t).Îñêiëüêè äëÿ öi¹¨ ñèñòåìè ðiâíÿíü ì๠ìiñöå òåîðåìà 1, òî ïðèé-ìàþ÷è äî óâàãè çàìiíó çìiííèõ (14), óìîâè òåîðåìè 2, ìîæíàïîáóäóâàòè ñiì'þ íåïåðåðâíèõ îáìåæåíèõ ïðè t ∈ R+ ðîçâ'ÿç-êiâ y(t) ñèñòåìè ðiâíÿíü (9), äëÿ ÿêèõ ñïðàâåäëèâå ñïiââiäíî-øåííÿ
lim
t→+∞
|y(t) − y(t)| = 0.Äîñëiäèìî òåïåð ñòðóêòóðó ìíîæèíè íåïåðåðâíèõ ðîçâ'ÿçêiâñèñòåìè ðiâíÿíü (9) ó âèïàäêó, êîëè B̃ = B̃(t), òîáòî ðîçãëÿíå-ìî ñèñòåìó ðiâíÿíü
y(t+ 1) = Λy(t) + B̃(t)y(qt) + F̃ (t), (15)äå Λ = diag(Λ1, ...,Λm),m ≤ n, Λi−(ki×ki)-ìàòðèöi, i = 1, ...,m,
m∑
i=1
ki = n, q−äåÿêà ñòàëà, B̃(t) : R→ Rn
2 , F̃ (t) : R→ Rn.Ì๠ìiñöå òàêà òåîðåìà.Òåîðåìà 3. Íåõàé âèêîíóþòüñÿ óìîâè1) 0 < λi < 1, i = 1, ...,m, q > 1;2) âñi åëåìåíòè ìàòðèöi B̃(t) i âåêòîð-�óíêöi¨ F̃ (t) ¹ íå-ïåðåðâíèìè îáìåæåíèìè ïðè âñiõ t ∈ R �óíêöiÿìè i
sup
t
|B̃(t)| = b∗, sup
t
|F̃ (t)| = f∗;
Ïðî iñíóâàííÿ íåïåðåðâíèõ ïðè t ∈ R ðîçâ'ÿçêiâ ... 4573) b∗
1 − α∗ = θ∗ < 1.Òîäi ñèñòåìà ðiâíÿíü (15) ì๠íåïåðåðâíèé îáìåæåíèé ïðè
t ∈ R ðîçâ'ÿçîê ó âèãëÿäi ðÿäó
ỹ(t) =
∞∑
i=0
ỹi(t), (16)äå ỹi(t), i = 0, 1, ..., � äåÿêi íåïåðåðâíi îáìåæåíi ïðè t ∈ Râåêòîð-�óíêöi¨.Äîâåäåííÿ. Äiéñíî, ïiäñòàâëÿþ÷è (16) â (15), îäåðæó¹ìî
∞∑
i=0
ỹi(t+ 1) = Λ
∞∑
i=0
ỹi(t) + B̃(t)
∞∑
i=0
ỹi(qt) + F̃ (t).Çâiäñè áåçïîñåðåäíüî âèïëèâà¹, ùî ÿêùî âåêòîð-�óíêöi¨ ỹi(t),
i = 0, 1, ..., ¹ ðîçâ'ÿçêàìè ïîñëiäîâíîñòi ñèñòåì ðiâíÿíü
ỹ0(t+ 1) = Λỹ0(t) + F̃ (t), (170)
ỹi(t+ 1) = Λỹi(t) + B̃(t)ỹi−1(qt), i = 1, 2, ... , (17i)òî ðÿä (16) ¹ �îðìàëüíèì ðîçâ'ÿçêîì ñèñòåìè ðiâíÿíü (15). ñèëó óìîâ òåîðåìè ðÿä
ỹ0(t) =
∞∑
j=1
Λj−1F̃ (t− j) (180)ðiâíîìiðíî çáiãà¹òüñÿ ïðè t ∈ R äî äåÿêîãî íåïåðåðâíîãî ðîç-â'ÿçêó ñèñòåìè ðiâíÿíü (170), ÿêèé çàäîâîëüíÿ¹ óìîâó
|ỹ0(t)| ≤
f∗
1 − α∗ = f̃∗. (190)Ïðèéìàþ÷è äî óâàãè (17i), i = 1, 2, ..., óìîâè òåîðåìè i ñïiââiä-íîøåííÿ (190), ìîæíà ïîñëiäîâíî ïîêàçàòè, ùî ðÿäè
ỹi(t) =
∞∑
j=1
Λj−1B̃(t− j)ỹi−1(q(t− j)), i = 1, 2, ... , (18i)
458 Î. À. Ñiâàêðiâíîìiðíî çáiãàþòüñÿ ïðè t ∈ R äî äåÿêèõ íåïåðåðâíèõ âåêòîð-�óíêöié ỹi(t), i = 1, 2, ..., ÿêi ¹ ðîçâ'ÿçêàìè âiäïîâiäíèõ ñèñòåìðiâíÿíü (17i), i = 1, 2, ..., i çàäîâîëüíÿþòü óìîâè
|ỹi(t)| ≤ f̃∗θ∗i, i = 1, 2, ... . (19i)Ïðèéìàþ÷è äî óâàãè ñïiââiäíîøåííÿ (19i), i = 0, 1, ..., i óìî-âè òåîðåìè, ïðèõîäèìî äî âèñíîâêó, ùî ðÿä (16) ðiâíîìiðíîçáiãà¹òüñÿ äî äåÿêî¨ íåïåðåðâíî¨ ïðè t ∈ R âåêòîð-�óíêöi¨ ỹ(t),ÿêà ¹ ðîçâ'ÿçêîì ñèñòåìè ðiâíÿíü (15) i çàäîâîëüíÿ¹ óìîâi
|ỹ(t)| ≤ f̃∗
1 − θ∗
.Òåîðåìà 3 äîâåäåíà. �Âèêîíóþ÷è â (15) âçà¹ìíî-îäíîçíà÷íó çàìiíó çìiííèõ
y(t) = z(t) + ỹ(t), (20)îòðèìà¹ìî ñèñòåìó ðiâíÿíü
z(t+ 1) = Λz(t) + B̃(t)z(qt), (21)äëÿ ÿêî¨ ì๠ìiñöå òàêà òåîðåìà.Òåîðåìà 4. Íåõàé âèêîíóþòüñÿ óìîâè 1, 2 òåîðåìè 3 i óìîâà3) b∗
α∗ − α∗q = θ̃∗ < 1.Òîäi ñèñòåìà ðiâíÿíü (21) ì๠ñiì'þ íåïåðåðâíèõ îáìåæåíèõïðè t ∈ R+ ðîçâ'ÿçêiâ, ÿêi çàäîâîëüíÿþòü óìîâó
lim
t→+∞
z(t) = 0.Äîâåäåííÿ òåîðåìè ïðîâîäèòüñÿ çà òi¹þ æ ñõåìîþ, ùî i äî-âåäåííÿ òåîðåìè 1.
Ïðî iñíóâàííÿ íåïåðåðâíèõ ïðè t ∈ R ðîçâ'ÿçêiâ ... 459Ëiòåðàòóðà[1℄ Birkho� G.D. General theory of linear di�eren
e equations // Trans.Amer. Math. So
. - 1911. - 12. - P. 243�284.[2℄ Birkho� G.D. Formal theory of irregular linear di�eren
e equations //A
ta Math. - 1930. - 54. - P. 205�246.[3℄ Trjitzinsky W.J. Analyti
theory of linear q-di�eren
e equations // A
taMath. - 1933. - 61. - P. 1�38.[4℄ Adams C.R. On the irregular
ases of linear ordinary di�eren
e equations// Trans. Amer. Math. So
. - 1928. - 30. - � 3. - P. 507�541.[5℄ Carmi
hael R.D. linear di�eren
e equations and their analyti
solutions// Trans. Amer. Math. So
. - 1911. - 12. - P. 99�134.[6℄ Ku
zma M. Fun
tional equations in a single variable. - Warsawa, 1968.[7℄ Ìèðîëþáîâ À.À., Ñîëäàòîâ Ì.À. Ëèíåéíûå íåîäíîðîäíûå ðàçíîñò-íûå óðàâíåíèÿ. - Ì.: Íàóêà, 1986. - 128
.[8℄ Øàðêîâñêèé À.Í., Ìàéñòðåíêî Þ.Ë., �îìàíåíêî Å.Þ. �àçíîñòíûåóðàâíåíèÿ è èõ ïðèëîæåíèÿ, Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1986þ - 280
.[9℄ Ïåëþõ �.Ï.Ê òåîðèè ñèñòåì ëèíåéíûõ ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé ñ íåïðå-ðûâíûì àðãóìåíòîì // Äîêë. �ÀÍ. - 2006. - Ò. 407, � 5. - Ñ. 600�603.
|