Обобщение теоретико-числовых преобразований

Рассмотрено обобщение известных теоретико-числовых преобразований на основе некоторой фундаментальной теоремы связывающей базис преобразования s с модулем M кольца вычетов, на котором задано это преобразование. Показано, что все известные преобразования такого рода являются частным случаем преобразо...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2002
Main Authors:	Палагин, А.В., Семотюк, М.В.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2002
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6353
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Обобщение теоретико-числовых преобразований / А.В. Палагин, М.В. Семотюк // Комп’ютерні засоби, мережі та системи. — 2002. — № 1. — С. 1-13. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-6353
record_format	dspace
spelling	Палагин, А.В. Семотюк, М.В. 2010-03-01T16:27:58Z 2010-03-01T16:27:58Z 2002 Обобщение теоретико-числовых преобразований / А.В. Палагин, М.В. Семотюк // Комп’ютерні засоби, мережі та системи. — 2002. — № 1. — С. 1-13. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1817-9908 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6353 512(075) Рассмотрено обобщение известных теоретико-числовых преобразований на основе некоторой фундаментальной теоремы связывающей базис преобразования s с модулем M кольца вычетов, на котором задано это преобразование. Показано, что все известные преобразования такого рода являются частным случаем преобразования, полученного на основании этой теоремы. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Обобщение теоретико-числовых преобразований Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Обобщение теоретико-числовых преобразований
spellingShingle	Обобщение теоретико-числовых преобразований Палагин, А.В. Семотюк, М.В.
title_short	Обобщение теоретико-числовых преобразований
title_full	Обобщение теоретико-числовых преобразований
title_fullStr	Обобщение теоретико-числовых преобразований
title_full_unstemmed	Обобщение теоретико-числовых преобразований
title_sort	обобщение теоретико-числовых преобразований
author	Палагин, А.В. Семотюк, М.В.
author_facet	Палагин, А.В. Семотюк, М.В.
publishDate	2002
language	Russian
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
format	Article
description	Рассмотрено обобщение известных теоретико-числовых преобразований на основе некоторой фундаментальной теоремы связывающей базис преобразования s с модулем M кольца вычетов, на котором задано это преобразование. Показано, что все известные преобразования такого рода являются частным случаем преобразования, полученного на основании этой теоремы.
issn	1817-9908
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6353
citation_txt	Обобщение теоретико-числовых преобразований / А.В. Палагин, М.В. Семотюк // Комп’ютерні засоби, мережі та системи. — 2002. — № 1. — С. 1-13. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT palaginav obobŝenieteoretikočislovyhpreobrazovanii AT semotûkmv obobŝenieteoretikočislovyhpreobrazovanii
first_indexed	2025-11-26T20:04:10Z
last_indexed	2025-11-26T20:04:10Z
_version_	1850772481115160576
fulltext	Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2002, № 1 3 Рассмотрено обобщение извест- ных теоретико-числовых преоб- разований на основе некоторой фундаментальной теоремы свя- зывающей базис преобразования s с модулем M кольца вычетов, на котором задано это преобразова- ние. Показано, что все известные преобразования такого рода яв- ляются частным случаем преоб- разования, полученного на основа- нии этой теоремы.  А.В. Палагин, М.В. Семотюк, 2002 ÓÄÊ 512(075) À.Â. ÏÀËÀÃÈÍ, Ì.Â. ÑÅÌÎÒÞÊ ÎÁÎÁÙÅÍÈÅ ÒÅÎÐÅÒÈÊÎ-×ÈÑËÎÂÛÕ ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÉ Алгоритмы обработки сигналов в конечных математических структурах, аналогично спектральной обработке, составляют инте- ресную область исследований, полезную для представления систем счисления, кодовых последовательностей, операций над полино- мами, а также для решения ряда задач, где требуются точные значения результатов вы- числений. Несмотря на большое количество публикаций по этому вопросу [1, 2, 3], в ли- тературе нет обобщающих работ по теорети- ко-числовым преобразованиям (ТЧП), как, скажем, для Фурье-преобразований (ПФ). В работе [3] показано существование ТЧП и его основных теорем на базе теории пред- ставлений конечных абелевых групп, где удалось получить удовлетворительные ре- зультаты, однако, ряд его теорем по- прежнему остается не доказанными. Это объясняется следующим. Во-первых, ПФ рассматриваются как представления конечных абелевых групп, заданных на конечных множествах. ТЧП же задаются на множествах, которые называют- ся структурами или решетками. Для этих множеств, кроме условия целостности, еще заданы точная верхняя грань Zsup и точная нижняя грань Zinf , а операции, которые за- даны на этих множествах, представляют со- бой операции по некоторому модулю. Во-вторых, для представления реальных сигналов требуется, по крайней мере, хотя бы такая алгебра, как кольцо, ибо одной би- нарной операции, которая задана группой, явно недостаточно. Расширение же группы до кольца, если в качестве носителя алгебры А.В. ПАЛАГИН, М.В. СЕМОТЮК Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2002, №1 4 выступает конечное множество, не представляет существенных затруднений, и, стало быть, ПФ достаточно полно согласуются с представлениями групп. В ТЧП, в качестве кольца, используется кольцо вычетов по модулю mZ , носите- лем которого, естественно, является структура (решетка), а расширение группы вычетов до кольца вычетов по модулю в свою очередь имеет ряд особенностей, связанных с двойственностью операций в кольце вычетов. Поэтому прямые ана- логии с теорией ПФ для ТЧП не всегда могут быть корректны. Отсюда возника- ет необходимость в создании некоторой обобщенной теории, специально по- строенной для ТЧП, которая систематизировала бы ряд полученных за послед- нее время результатов. Основу этой теории может составлять некоторая фунда- ментальная теорема для обобщения ТЧП. Сформулируем эту теорему. Пусть алгебра вида >⋅+=< 10S ,,,,mZ и 10 ≠ , где ZS∈ − структура (ре- шетка), имеющая 1sup −= pSS , 0S =inf при N∈∀p , представляет собой кольцо вычетов mZ с единицей, в котором своими аргументами задана степен- ная зависимость xsy = . Тогда для S∈∀s , N∈∀p , Nx ,0=∀ и Np <<∀ суще- ствует такое число Ssup<M , при котором имеет место следующее равенство (сравнение) в кольце вычетов mZ . S (x) mod p zm (sx) mod M, (1) где zm - обозначение равенства в кольце вычетов (в общем случае не всегда совпадающее с известным понятием "сравнение по модулю" в силу разных зна- чений модуля в левой и правой частях выражения (1). При этом M есть функ- ция от p - )( pfM = . Другими словами, если в левой или правой частях равенст- ва есть операция по модулю, то независимо от нее результат еще раз ограничи- вается, как слева, так и справа равенства, модулем кольца mZ . Доказательство этого утверждения в виде теоремы приведено в [4].Отметим некоторые следст- вия, вытекающие из этой теоремы. Следствие 1. Числа s и ∑ − = 1 0 p m ms взаимно простые при 2>∀s . Действительно ∑∑∑ − = − = − = +=+= 2 0 01 1 01 0 p m mp m mp m m sssss . Поскольку ∑ − = < 1 0 p m mss , то, учитывая последнее, имеем ∑ ∑ − = − = += 2 0 0 1 0 p m m p m m s s s s s , здесь s s s p m m p m m ∑ ∑ − = − = = 1 0 0 int 2 , а 110 <= ss s . ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2002, № 1 5 Тогда 2>∀s не является делителем для ∑ − = 1 0 p m ms и эти числа являются взаимно простыми. Следствие 2. Две числовые последовательности вида нуля для ∑ − = 1 0 p m ms и, следовательно, эти числа pxs mod)( и ) 1p 0m ms( mod )x(s ∑ − = полученные, из xs путем изменения Nx ,0= в кольце вычетов mZ , конгруэнтные вплоть до каждого члена при одном и том же значении x . Cледствие 3. Две числовые последовательности вида pxs mod)( и )( mod)( 1 0 ∑ − = p m msxs при Nx ,0= периодичны в кольце вычетов mZ , имеют оди- наковый период p и одно и то же главное значение, находящееся в интервале ]1,0[ −p . Отметим еще одно важное свойство теоремы (1), заключающееся в том, что она позволяет заменять операции по модулю над степенными выражениями в целом, операциями по модулю над показателями степеней степенных зависимо- стей, входящих в эти выражения. Но тогда в пределах изменения показателя степени степенной зависимости вычеты этой зависимости в кольце mZ являют- ся кусочно-аналитическими периодическими функциями и, следовательно, к ним применим математический аппарат аналитических функций. Для теоретико- числовых преобразований последнее является как раз тем фундаментальным свойством, столь необходимым для доказательства условий существования та- ких преобразований , а также их основных теорем. Полагая, что главное значение числовой степенной последовательности на- ходится на закрытом интервале ]1,0[]1,0[ −=− Np , при этом M=Ssup , где ∑ − = = 1 0 N m msM - модуль кольца mZ , определим формально следующее преобразо- вание, заданное на структуре S X(k) zm ∑ − = −1 0 mod)()( N i Nkisix , (2) x(i) zm ∑ − = 1 0 mod)()(1 N k NkiskX N , (3) ∑ − = = 1 0 N m msM , А.В. ПАЛАГИН, М.В. СЕМОТЮК Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2002, №1 6 где mZ − кольцо вычетов по модулю M , N − некоторое число из множества N , zm − означает равенство (сравнение) в кольце вычетов mZ , )(),( kXix − чи- словые последовательности, представляющие оригинал и изображение соответ- ственно, s − некоторое число (базис преобразования), в общем случае ком- плексное, ki, − номера (индексы) компонент последовательностей. Выражение (2) представляет собой прямое преобразование, а (3) – обратное. Покажем теперь, что эта пара выражений действительно представляет собой теоретико-числовое преобразование. Для чего, во избежание путаницы индек- сов, в выражении (2) заменим i на n , а затем подставим его в (3). В результате будем иметь x(n) zm ∑ ∑ − = − = − 1 0 1 0 mod)(mod)( ))((1 N k N i NknNki ssix N . Изменив порядок суммирования, получаем x(n) zm ∑ ∑ − = − = − 1 0 1 0 mod)( ))(()(1 N k N i Nkiknsixix N . Далее x(n) zm ∑ ∑ − = − = − 1 0 1 0 mod\|)(\| )1()(1 N i N k Nkins N ix N . (4) Рассмотрим теперь внутреннюю сумму ∑ − = −1 0 mod\|)(\|N k Nkins . (5) Очевидно, что при ni = значение этой суммы будет равно N . Для ni ≠ внут- ренняя сумма (5) не равна N и не равна нулю, что необходимо для преобразо- вания. Однако, может существовать сравнение вида Ms N k Nkin mod\|0 1 0 \|mod)(\| =∑ − = − , (6) которого достаточно для преобразования, поскольку вычисления будут выпол- няться в кольце вычетов mZ . Положим, что ∑ − = = 1 0 N m msM . Тогда на основании свойств геометрической прогрессии имеем ∑ − = −1 0 mod\|)(\|N k Nkins zm ,mod\|0 1 1)( M s s in Nin = − − − − что на основании теоремы (1) равно Ms Nin mod)( )( − zm NNins mod])[( − zm 0s =1, ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2002, № 1 7 M s s in Nin mod 1 1)( )( − − − − zm M s in mod 1 11 )( − − − zm 0. Сравнение (6) действительно выполняется. Последнее, с учетом вышесказанно- го, а также порядком выполнения операций в кольце вычетов будет иметь вид следующей системы уравнений: ∑ − = −1 0 mod])[(N m Nkins zm niN =, , ∑ − = −1 0 mod])([N m Nkins zm ni ≠,0 . Отсюда следует, что и правая часть выражения (4) будет состоять из единствен- ного, не равного нулю в кольце вычетов mZ , члена )(ix только в том случае, если ni = . Тогда в (4) последовательность )(nx совпадает с последовательно- стью )(ix при ni = , следовательно, выражения (2) и (3) представляют собой теоретико-числовое преобразование (S-преобразование, т.е. преобразование, за- данное на структуре). Последнее легко иллюстрируется в матричном виде. Пусть 3=N , ∑ = = 2 0m msM . Для этого случая имеем две матрицы , одну − для прямого, другую − для обратного преобразований. . 111 111 111 , 1 1 111 12 21 12 21                       ss ss ss ss Найдем обратные элементы для 1 1 s и 2 1 s . Ими будут соответственно 2s и 1s в силу того, что Mss mod\|112 =⋅ . Тогда матрицы примут вид                     21 12 12 21 1 1 111 , 1 1 111 ss ss ss ss , а их произведение в кольце вычетов mZ будет равно )(mod 1 1 111 1 1 111 2 0 21 12 12 21 ∑ =                     ×           m ms ss ss ss ss =           300 030 003 в чем нетрудно убедиться, выполнив соответственно вычисления, принимая во внимание при этом, что матрица, находящаяся в произведении слева, соответст- вует матрице обратного теоретико-числового преобразования, т.е. выражению     (7) А.В. ПАЛАГИН, М.В. СЕМОТЮК Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2002, №1 8 (3), а матрица, находящаяся справа от знака произведения, представляет прямое преобразование (2). В выражениях (2) и (3) было декларировано, что N - простое число. Это связано с тем, что при простом N в кольце вычетов mZ всегда существует об- ратный элемент 1−N , так как в этом случае образуется тройка взаимно простых чисел MNs ,, ( N - простое по определению, а взаимная простота s и M сле- дует из следствия 1 теоремы (1)). Если же N не является простым числом, то возникают проблемы не только с обратным элементом 1−N , но и со значением выражения (5), для которого должны обязательно выполняться условия (7), оп- ределяющие существование преобразований (2) и (3). С другой стороны произ- вольный выбор N весьма желателен, так как он, в конечном счете, определяет размерность преобразования. Пусть N - составное число 21 ppN = , составленное из двух простых чисел 1p и 2p . Тогда система весовых функций преобразования будет содержать сте- пенные последовательности с периодами 21и, ppN . Нетрудно убедиться в том, что средние значения этих функций при 1,0 −= Ni будут равны или кратны со- ответственно ∑ − = == 1 0 1 N m msMS − период равен N , ∑ − = == 1 0 2 2 1 p m mpsMS − период равен 2p , ∑ − = == 1 0 3 1 2 p m mpsMS − период равен 1p . Если между 21 и pp выполняется соотношение 21 pp < , тогда между этими суммами существует соотношение 123 SSS << . (8) Для выполнения условия существования теоретико-числовых преобра- зований (7) необходимо, чтобы NSMSMSMS i >∀=== ,mod\|0,mod\|0,mod\|0 321 . Из соотношения (8) следует, что 3SM = , так как 3S наименьшая сумма. Однако, теперь необходимо, чтобы 1S и 2S делились на 3S без остатка. Дейст- вительно, на основании свойств геометрической прогрессии имеем 1 1 1 1)(, 1 1 1 1)(, 1 1 2 12 11 21 2 231 − − = − − = − − = − − = − − = pp p p N p ppN s s s sS s s s s Ss s S Np . Тогда ∑ − = = − − = 12 03 1 1 1 p i i N s s s S S , (9) ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2002, № 1 9 ∑ − = = − − = 12 01 2 3 2 1 1 p i i p p s s s S S , (10) говорит о том, что N не может быть составным числом, так как не будут удов- летворяться условия (7). Исключение составляет случай, вытекающий из (9), при котором ppN ⋅= . (11) По индукции можно показать, что npN = . Тогда условие, связующее Msp и, будет следующее: n p m pm psM >= ∑ − = 1 0 . На основании свойств геометрической прогрессии n p p s s > − − 1 1 или n p s sp 1 1 − − < . (12) Таким образом, получено еще одно выражение для N , при котором сущест- вует ТЧП. Далее уточним величину модуля M . На основании (11) имеем 1−⋅== nn pppN . Тогда 1)(1 1 −=− − pnpss , (13) или в силу (11) ∑ − = −− ⋅−=− 1 0 )()1(1 11 p m mppN nn sss . Подставляя в (13), получаем ∑∑ − == − − ⋅⋅−=− 1 00 )()1(1 1 1 p m mp p k kN n n ssss . Поделив обе части полученного выражения на )1( −s , имеем ∑∑∑ − == − = − − ⋅== 1 00 1 0 )( 1 1 p m mp p k kn m m n n sssM . (14) Таким образом, при npN = модуль M является составным числом и в свя- зи с последним в качестве модуля преобразования может быть выбрано одно из этих составных чисел. Вместе с тем условия преобразования удовлетворит только M , равное ∑ − = − = 1 0 )( 1p m mpn sM . (15) Этот факт объясняется тем, что в силу теоремы (1) модуль преобразования А.В. ПАЛАГИН, М.В. СЕМОТЮК Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2002, №1 10 ∑ − = = 1 0 np k ksM , (16) дает последовательность ks размерностью 1−np , следовательно, такую же раз- мерность преобразования, что значительно меньше требуемого N . Далее, на основании (15) ясно, что последовательность ks при 1,0 −= Ni и m p m pi n sMs )( 1 0 1 ∑ − = − =< (17) имеют обычную явную степенную зависимость. Определим теперь какую зави- симость будет представлять is при Msi > . Действительно, последний член в (15) имеет вид .)( 11 1 −− −− = nnn pppp ss Стало быть, элементы последовательности Msi > будут иметь выражение вида knpnpknpnpi ssss +−−−− =⋅= 11 )( , где 1,1 1 −+−= −nn ppNk , полученное из условия замены переменной 11 −− −>+−= nnnn ppkppi . (18) Тогда knpnpknpnp sss +−−+−− ⋅= 11 на основании теоремы (1) дает knpnps +−− 1 zm knps +−− 1 . Заменив обратно k на i , из (18) получаем knpnps +−− 1 zm inpnpnps +−+−−− 11 zm s ipn+− или окончательно s i zm 1)( −−inps zm 11 )( −−Ns , при Msi > . (19) Таким образом, элементы последовательности is при Msi > представ- ляют собой обратные элементы по отношению к элементам Msi > . Обрати- мость при этом существует только в кольце mZ . В результате S -преобразование (2) ,(3) может рассматриваться, с учетом индексов по (18), как кососимметрич- ное двустороннее преобразование вида X(k) zm ,)( 1 )11( ],1mod[)(∑ −− −−= −−+−− npnp npi inpnpnpkisix (20) x(i) zm ,)( 1 )11( ],1mod[)(∑ −− −−= −−+− npnp npk inpnpnpkiskX (21) ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2002, № 1 11 ∑ − = − = 1 0 1 )( p m mnpsM . (22) При этом периодичность весовой функции преобразования определяется не величиной N (т.е. замкнутым интервалом )1,0[ −N , а замкнутым интервалом ],1[ 11 −− −+− nnn ppp , который к тому же и несимметричен, так как абсолютные значения его концов не равны между собой: \|\|\|1\| 11 −− −≠+− nnn ppp , отчего и название преобразования − кососимметричное. Вместе с тем существует еще один уникальный случай, представляющий исключение из условия (11). Речь идет о четном N pN 2= , (23) где p - любое целое число. Стало быть, =−1Ns s2p -1=(sp)2 -1=(sp -1)*(sp +1). Далее, в силу (11) ∑ − = ⋅−=− 1 0 )1(1 p n np sss . Тогда )1()1(1 1 0 +⋅      ⋅−=− ∑ − = p p n nN ssss . Разделив обе части на )1( −s , имеем ∑∑ − = − = − ⋅+== 1 0 1 0 1 )1()( p n np p m mnp sssM . (24) Как и в случае (14), преобразованию удовлетворяет модуль 1+= psM , (25) дающий преобразование размерности N . При этом S -преобразование принимает вид )(kX zm ,)( )1( ,1mod[)( ]∑ −−= +−− p pi ppkisix (26) x(i) zm ,)(1 )1( ],1mod[)(∑ −−= +− p pk ppkiskXN (27) 1+= psM . (28) с интервалом существования ],1[ pp +− , (29) представляющий собой также разновидность теперь уже почти симметричного двустороннего преобразования, поскольку значения весовой функции kis при А.В. ПАЛАГИН, М.В. СЕМОТЮК Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2002, №1 12 Ms ki > , как и в случае (19), являются обратными элементами в кольце mZ к значениям весовой функции kis при Ms ki > . Однако может так оказаться, что 1+ps − также составное число, что следу- ет из теоремы Ферма: )1(mod01 +=− Ns pN . (30) Вместе с тем, все простые числа, за исключением числа 2, являются не- четными числами, а поскольку степенная функция не содержит членов, равных нулю, то ограниченная сверху модулем, равным 1+= NM , будет содержать на своем главном периоде всего N различных между собой значений, где N − четное число. Таким образом, мы имеем дело с преобразованием, размерность которого представлена четным числом. Очевидно, что речь идет о преобразовании (26), (27), (28), в которых модуль преобразования может быть составным числом, ко- торое содержит число 1+N . Действительно, в силу (30), число 1−Ns делится на 1+N без остатка, что означает, что один из сомножителей из (24) обязатель- но делится на 1+N . Если же для (28) имеет место вышеизложенное, т.е. 1+= psM − составное число, в которое входит 1+N , то существует следую- щее преобразование: X(k) zm ,)( 1 0 mod)(∑ − = − N i Nkisix (31) x(i) zm ,)(1 1 0 mod)(∑ − = N k NkiskXN (32) 1+= NM . (33) При этом, несмотря на малую величину модуля M , всегда существует обратный элемент для N )1()1(12 −⋅−=− NNN , который дает сравнение по модулю 1+N следующего вида: )1(mod012 +≡− NN или )1(mod12 +≡ NN . Отсюда надо полагать, что 1−⋅ NN zm 1, тогда 1−⋅ NN zm 2N zm NN ⋅ и, стало быть, обратным элементом к N является само N . Размерность преобразования равна N и весовая функция преобразования в этом случае будет содержать N различных значений, которые лежат в замкну- том интервале ],1[ N в силу модуля (33) и представляют целые числа от 1 до N . ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2002, № 1 13 Тогда матрицу как прямого, так и обратного преобразования можно упорядо- чить путем перестановки строк и столбцов таким образом, что элементы строки с индексом )1(1 == ik или столбца с индексом )1(1 == ki , соответственно мат- риц прямого и обратного преобразований, будут представлять линейно возрас- тающую последовательность, в которой разность между соседними элементами постоянна и равна 1. В этом случае будет иметь место одна из разновидностей пилообразного преобразования (весовая функция при 1=k − для прямого и 1=i − для обратного преобразований представляет собой зависимость в виде отрезка прямой xy = , именуемой в технике пилой). В заключение заметим, что часто используемые теоретико-числовые преобразования, такие как Мерсена и Ферма, являются частными случаями S -преобразования при 2=s . Так, преобразование Мерсена получается из (2) и (3) при 2=s и модуле преобразования ∑∑ − = − = =⋅−=−= 1 0 1 0 22)12(12 N m mN m mNM . Преобразование же (26), (27), (28) дает преобразование Ферма при следую- щих условиях: 2=s и np 2= , где n - целое число. 1. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов // М.: Мир, 1978. − 848 с. 2. Nussbauwer H.I. Fast Fourier Transform fnd Convolution Algorithms // Berlin, Heedelberg, New York.: Springer-Verlad. − 1981. − 250 c. 3. Вариченко Л.В., Лабунец В.Г., Раков М.А. Абстрактные алгебраические системы и циф- ровая обработка сигналов // Киев: Наук. думка, 1986. − 247 с. 4. Семотюк М.В. Обобщенное теоретико-числовое преобразование. − Киев: 1994. − 30с. – (Препр. / Ин-т кибернетики им. В.М.Глушкова НАН Украины; 94-8). Получено 01.07.2002

Обобщение теоретико-числовых преобразований

Institution

Similar Items