Обобщенная форма представления функций тригонометрическими рядами для анализа процессов в импульсных системах

Сформулированы предложения по представлению о обобщенной форме различных функций тригонометрическими рядами. Приведены примеры, которые подтверждают достоверность полученных результатов. Сформульовані пропозиції щодо представлення в узагальненій формі різних функцій за допомогою тригонометричних ряд...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Праці Інституту електродинаміки НАН України
Date:	2009
Main Authors:	Новский, В.А., Жарский, Б.К., Голубев, В.В.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут електродинаміки НАН України 2009
Subjects:	Напівпровідникові перетворювачі
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/63728
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Обобщенная форма представления функций тригонометрическими рядами для анализа процессов в импульсных системах / В.А. Новский, Б.К. Жарский, В.В. Голубев // Праці Інституту електродинаміки Національної академії наук України: Зб. наук. пр. — К.: ІЕД НАНУ, 2009. — Вип 24. — С. 75-87. — Бібліогр.: 14 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-63728
record_format	dspace
spelling	Новский, В.А. Жарский, Б.К. Голубев, В.В. 2014-06-05T15:26:55Z 2014-06-05T15:26:55Z 2009 Обобщенная форма представления функций тригонометрическими рядами для анализа процессов в импульсных системах / В.А. Новский, Б.К. Жарский, В.В. Голубев // Праці Інституту електродинаміки Національної академії наук України: Зб. наук. пр. — К.: ІЕД НАНУ, 2009. — Вип 24. — С. 75-87. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1727-9895 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/63728 621.314.25:621.3.021 Сформулированы предложения по представлению о обобщенной форме различных функций тригонометрическими рядами. Приведены примеры, которые подтверждают достоверность полученных результатов. Сформульовані пропозиції щодо представлення в узагальненій формі різних функцій за допомогою тригонометричних рядів. Наведені приклади, які підтверджують достовірність отриманих результатів. Suggestions that presented different functions by the trigonometric rows of Fourier in generalized forms are outspoken. Examples that confirm trustworthiness of founded results are given. ru Інститут електродинаміки НАН України Праці Інституту електродинаміки НАН України Напівпровідникові перетворювачі Обобщенная форма представления функций тригонометрическими рядами для анализа процессов в импульсных системах Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Обобщенная форма представления функций тригонометрическими рядами для анализа процессов в импульсных системах
spellingShingle	Обобщенная форма представления функций тригонометрическими рядами для анализа процессов в импульсных системах Новский, В.А. Жарский, Б.К. Голубев, В.В. Напівпровідникові перетворювачі
title_short	Обобщенная форма представления функций тригонометрическими рядами для анализа процессов в импульсных системах
title_full	Обобщенная форма представления функций тригонометрическими рядами для анализа процессов в импульсных системах
title_fullStr	Обобщенная форма представления функций тригонометрическими рядами для анализа процессов в импульсных системах
title_full_unstemmed	Обобщенная форма представления функций тригонометрическими рядами для анализа процессов в импульсных системах
title_sort	обобщенная форма представления функций тригонометрическими рядами для анализа процессов в импульсных системах
author	Новский, В.А. Жарский, Б.К. Голубев, В.В.
author_facet	Новский, В.А. Жарский, Б.К. Голубев, В.В.
topic	Напівпровідникові перетворювачі
topic_facet	Напівпровідникові перетворювачі
publishDate	2009
language	Russian
container_title	Праці Інституту електродинаміки НАН України
publisher	Інститут електродинаміки НАН України
format	Article
description	Сформулированы предложения по представлению о обобщенной форме различных функций тригонометрическими рядами. Приведены примеры, которые подтверждают достоверность полученных результатов. Сформульовані пропозиції щодо представлення в узагальненій формі різних функцій за допомогою тригонометричних рядів. Наведені приклади, які підтверджують достовірність отриманих результатів. Suggestions that presented different functions by the trigonometric rows of Fourier in generalized forms are outspoken. Examples that confirm trustworthiness of founded results are given.
issn	1727-9895
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/63728
citation_txt	Обобщенная форма представления функций тригонометрическими рядами для анализа процессов в импульсных системах / В.А. Новский, Б.К. Жарский, В.В. Голубев // Праці Інституту електродинаміки Національної академії наук України: Зб. наук. пр. — К.: ІЕД НАНУ, 2009. — Вип 24. — С. 75-87. — Бібліогр.: 14 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT novskiiva obobŝennaâformapredstavleniâfunkciitrigonometričeskimirâdamidlâanalizaprocessovvimpulʹsnyhsistemah AT žarskiibk obobŝennaâformapredstavleniâfunkciitrigonometričeskimirâdamidlâanalizaprocessovvimpulʹsnyhsistemah AT golubevvv obobŝennaâformapredstavleniâfunkciitrigonometričeskimirâdamidlâanalizaprocessovvimpulʹsnyhsistemah
first_indexed	2025-11-24T21:03:25Z
last_indexed	2025-11-24T21:03:25Z
_version_	1850494512709763072
fulltext	УДК 621.314.25:621.3.021 В.А. Новский, Б.К. Жарский, В.В. Голубев ОБОБЩЕННАЯ ФОРМА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ТРИГОМЕТРИЧЕСКИМИ РЯДАМИ ДЛЯ АНАЛИЗА ПРОЦЕССОВ В ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМАХ Сформульовані пропозиції щодо представлення в узагальненій формі різних функцій за допомогою три- гонометричних рядів. Наведені приклади, які підтверджують достовірність отриманих результатів. Для исследования нелинейных систем достаточно часто используется математический аппарат коммутационных (переключающих) функций. Особенно эффективным является его применение для анализа электромагнитных процессов в электрических цепях с ключевыми (вентильными) элементами, которые характеризуются разнообразием вида коммутационной функции (КФ) и различным соотношением круговых частот коммутации «ключей» и питаю- щего напряжения. В этом случае применение аппарата КФ позволяет заменить сложную электрическую цепь с ключами эквивалентной цепью без них и тем самым значительно уп- ростить анализ процессов, поскольку математические операции при таком эквивалентирова- нии осуществляются не над отдельной гармоникой, а над своеобразным «пакетом» гармоник, которым, по сути, и является КФ [9, 11, 14]. В связи с этим актуальной задачей является ис- следование важных особенностей разложения различных функций в тригонометрические ря- ды, в том числе ряды Фурье. Известно, что периодическая функция, удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть разложена в ряд Фурье ( ) ( ) ( )[ ]∑ ∞ = ++= 1 0 sincos 2 n nn nxbnxaaxf , (1) если коэффициенты этого ряда определяются формулами Эйлера-Фурье: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .sin1;cos1;1 0 dxnxxfbdxnxxfadxxfa nn ∫∫∫ −−− === π π π π π π πππ (2) Отметим, что эти условия, как правило, соблюдаются для функций, описывающих то- ки и напряжения в ключевых преобразователях, которые имеют корректно построенные си- ловую схему и систему управления. Выражение (1) можно также записать в иной форме [5]: ( ) ( ),cos 2 1 0 ∑ ∞ = −+= n nn nxccxf ψ где 22 nnn baC += ; (3) ; n n n a b tg =ψ nnn ca ψcos⋅= ; nnn cb ψsin⋅= . (4) Выражения (1)…(4) необходимы, в частности, для проведения последую- щего анализа процессов в нелинейной © Новский В.А., Жарский Б.К., Голубев В.В., 2009 Ключевой преобразователь К1 К2 uc(t) uн(t) Zн iн(t) ic(t) Рис. 1 электрической цепи (рис. 1), выбранной в качестве примера с целью установ- ления соответствующих закономерностей в целом. На рис. 2 и 3 приведены соответствующие эпюры напряжений и КФ для та- кой двухключевой цепи. Разложив КФ 1кϕ и 2кϕ , определяющие алго- ритм работы ключей К1 и К2, в ряд Фурье (с учетом того, что 121 =+ кк ϕϕ ), имеем выражения, в кото- рых ω – угловая частота напряжения сети; α – угол, определяющий скважность, соответствует времени закрытого со- стояния ключа К1 (ключи К1 и К2 переключаются в противофазе); К – отно- шение круговых частот коммутационных функций Ω и напряжения сети (относительная частота коммутации )ωΩ=K : ( ) ( ) ( ) ( ) ;sin1coscossin 2 1 1 1 ∑ ∞ = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − +−⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= n к tnK n ntnK n n ω π αω π α π αϕ (5) ( ) ( ) ( ) ( ) ,sin1coscossin 2 1 2 ∑ ∞ = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − ++= n к tnK n ntnK n n ω π αω π α π αϕ (6) С учетом выражений (3) и (4) можно также записать для определения приведенных выше КФ: ( ) ( ) ;cos2sin2 2 1 1 1 ∑ ∞ = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ −−⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= n nк tnK n n ψω π α π αϕ (7) ( ) ( ) ,cos2sin2 2 1 2 ∑ ∞ = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ −+= n nк tnK n n ψω π α π αϕ (8) где ( )2sinsin αψ nn −= или ( )2αψ nn −= – угол сдвига n-й гармоники относительно начала координат. Очевидно, что выражения (5)…(8) представляют собой тригонометрические ряды в известной вещественной форме записи, соответствующей (3). Мгновенное значение выходного напряжения )( tuн ω на нагрузке с учетом того, что ( ) 1)( кcн tutu ϕωω = , (9) tUtu mс ωω sin)( = , (10) определяется следующим образом: ( ) ( ) ( ) . 2 1sin 2 1sin2sinsin 2 1)( 1 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ +−−⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ++−⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= ∑ ∞ = αωαω π αω π αω ntnKntnK n nUtUtu n mmн (11) ωt Рис. 3 1,0 1,0 0 0 π π 2π 2π ωt ωt а б φk2 φk1 2π uн(ωt) Um 2π π α ωt 0 0 π а б Рис. 2 uc(ωt) Отметим, что последнее выражение по внешнему виду не соответствует ряду Фурье. В некоторых источниках утверждается, что если ряд Фурье умножить на синусоидальную функцию, то при определенных условиях для новой функции можно выписать ряд Фурье [6, 7]. Конкретно эти условия требуют, чтобы число «К» было целым, а если оно является иррациональным, то задача не имеет решения. Однако выражение (11) справедливо для любого «К», т. е. оно описывает функцию, которая разложена по гармоническим составляющим, что и подразумевает разложение ис- ходной функции в ряд Фурье по ортогональной системе функций, к которой относится три- гонометрическая система. Данное обстоятельство для своего объяснения требует последую- щих рассуждений и соответственно формулирования ряда положений. Согласно теореме о единственности тригонометрического разложения функций по- следняя может быть разложена в ряд только одним способом [2, 3, 13]. Следовательно, как бы мы не разлагали функцию (11), результат тригонометрического разложения должен быть одинаковым, т. е. в спектре функции (11) не должно быть других гармоник. В результате анализа функции (11) можно установить, что она состоит из двух рядов Фурье, аргументами тригонометрических функций разложения которых являются выраже- ния tnK ω)1( + и tnK ω)1( − . Рассмотрим более подробно эти ряды: ( ) ( )[ ]2)1(sin2sin 1 1 αω π α ntnK n nUF n m ++= ∑ ∞ = ; (12) ( ) ( )[ ]2)1(sin2sin 1 2 αω π α ntnK n nUF n m +−= ∑ ∞ = . (13) Отметим, что эти выражения подобны известному выражению (3) и отличаются лишь структурой аргумента и отсутствием постоянной составляющей. При разложении в ряд Фурье функций (12) и (13) с помощью формул Эйлера – Фурье получим ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ×=+++× ×=+= ∫∑ ∫∑∫ − ∞ = − ∞ =− + π π π π π π π α π ωωαω π α π ωω π 1 1 11 2sin)(1cos2)1(sin 2sin)(1cos1 n m n m NK n nU tdtNKntnK n nU tdtNKFa (14) ( )[ ] ( )[ ]{ } ).(2)(sin22)(sin tdntKNnntKNn ωαωαω +−++++× В этом выражении с учетом того, что при выполнении условий Дирихле ряд можно интегрировать почленно, все интегралы равны нулю за исключением точки Nn = , т. е. ко- эффициент разложения 1+NKa при косинусе определяется следующим образом: ( ) ( ) ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ∫ − + π αω π α π π π N NUtd N NUa m m NK 2 cos1)(2sin 2 2 1 . (15) Аналогично для коэффициента разложения 1+NKb при синусе ( )[ ] ( ) ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡=+= ∫ − + π αωω π π π N NUtdtNKFb mNK 2 sin)(1sin1 11 . (16) Следовательно, составленный с помощью коэффициентов (15) и (16) тригонометриче- ский ряд 1F имеет вид ( ) [ ] ( ) [ ] .)1(sin 2 sin)1(cos 2 cos1 1 1 ∑ ∞ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ +++ − = n m tnK n ntnK n nUF ω π αω π α (17) Данное выражение представляет собой ряд Фурье, в котором 00 =a . Однако аргумент функции разложения в этом случае не « nx » (как в «классическом» ряде Фурье), а находится в более сложной зависимости « ( )nX ». Аналогичным образом составим тригонометрический ряд 2F : ( ) [ ] ( ) [ ] .)1(sin 2 sin)1(cos 2 cos1 1 2 ∑ ∞ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ −+− − = n m tnK n ntnK n nUF ω π αω π α (18) Отметим, что для определения коэффициентов Фурье 1+NKa и 1+NKb по формулам (15) и (16) следует воспользоваться выражением (11), но поскольку в последнем интегралы пер- вого и третьего слагаемых равны нулю во всех точках, то в нем можно опустить эти слагае- мые для аргумента ( ) tnK ω1+ . Аналогично можно опустить в выражении (11) первое и второе слагаемые для аргумента ( ) tnK ω1− . Воспользовавшись формулами (17) и (18), получим выражение для определения на- пряжения нагрузки: ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] .1sin 2 sin1cos 2 cos1 1sin 2 sin1cos 2 cos1sin 2 1)( 1 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ −+− − + ⎢ ⎣ ⎡ + ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ +++ − −⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= ∑ ∑ ∞ = ∞ = n n mн tnK n ntnK n n tnK n ntnK n ntUtu ω π αω π α ω π αω π αω π αω (19) В этом выражении второй и третий члены – ряды Фурье по аргументам разложения ( ) tnK ω1+ и ( ) tnK ω1− , а по аргументу tnω – «вырожденный» ряд Фурье, который состоит лишь из первого члена. Если соотношение ω/Ω=K является иррациональным числом [1], то произведение этих КФ представляет собой непериодическую функцию, которую можно разложить в ряд Фурье по формуле (1) лишь при определенных условиях [4, 13]. С учетом же сказанного вы- ше такую функцию можно разложить в тригонометрические ряды Фурье с аргументами раз- ложения ( ) tnK ω1+ и ( ) tnK ω1− для любого действительного числа «К», в том числе и ирра- ционального. Если перемножить, например, коммутационные функции 1Kϕ′ и 2Kϕ′ (рис. 4), кото- рые записываются следующим образом: ( )[ ] ( ),sin112 1 1 tn n n n K ω π ϕ −−=′ ∑ ∞ = (20) ( ) ( ),2/cos2/sin2 2 1 1 2 αω π α π αϕ mtmK m m m K +−⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −=′ ∑ ∞ = (21) то для их произведения 21 KKKФ ϕϕ ′⋅′=′ очевидно ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) .2/cos2/sin2 sin112sin112 2 1 1 11 αω π α ω π ω ππ α mtmK m m tn n tn n Ф m n n n n K +× ×−−−−−⋅⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −=′ ∑ ∑∑ ∞ = ∞ = ∞ = (22) В некоторых работах [3, 8, 10] показано, что существуют функции, для которых по фор- мулам (2) и (4) находится и существует тригонометрический ряд типа (1) или (3), не являю- щийся сходящимся либо сходящийся к иной функции, а не к исходной, разлагаемой в ряд Фурье. Следовательно, такое тригонометриче- ское разложение по существу можно счи- тать недоопределен- ным, например, как в последнем случае. Это обусловлено тем, что не предполагая о нали- чии в выражении (22) гармоник, отличных от ряда по аргументу tnω , разложение функции KФ′ в ряд Фурье про- водилось бы лишь по этому аргументу, т. е. учитывалось бы только первое слагаемое в вы- ражении (22). В связи с этим при осуществле- нии гармонического синтеза в данном случае исходная функция не может быть получена. Таким образом, можно сделать предположение о том, что существует большой класс функций, которые не могут быть представлены одним рядом Фурье, на основании чего сформулируем следующие предложения, дополняющие фундаментальные вопросы единст- венности тригонометрического разложения функции: Предложение 1. Если функция )(xf абсолютно интегрируема и для нее существуют интегралы типа ( ) ( )[ ] ( )[ ]nXdnXxf sin cos1 ∫ − π ππ , то функция )(xf может быть разложена в сумму рядов Фурье: [ ] ,)(sin)(cos 2 )( 1 1 0 ∑ ∑ = ∞ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ++= q k n kknkkn nXBnXA A xf (23) где k – порядковый номер ряда Фурье (k=1, 2, 3, …q). В этом случае тригонометрическое разложение возможно только единственным спо- собом, а коэффициенты рядов (23) определяются по следующим формулам: ( ) ;1 0 dxxfA ∫ − = π ππ (24) ( ) );()(cos1 ndXnXxfA kkkn ∫ − = π ππ (25) ( ) ).()(sin1 ndXnXxfB kkkn ∫ − = π ππ (26) Предложение 2. Если функция )(xf удовлетворяет условиям Дирихле и в ней име- ется, кроме периодичности по «х», также периодичность по Х(1), то функция )(xf расклады- вается в ряды Фурье по nx ; nХ(1); [ ];)1(Xxn − [ ],)1(Xxn + а их коэффициенты определяются по формулам (24)…(26). -1,0 1,0 0 ωt π π 2π 2π ωt 0 1,0 ωt 1,0 0 -1,0 π 2π Рис. 4 а б в φ’k1 φ’k2 Ф’k Предложение 3. Если функция )(xf удовлетворяет условиям Дирихле и содержит периодичности только по «х», то она разлагается в ряд Фурье по известным формулам (1) и (2), а также (3) и (4). Единственность тригонометрического разложения функции в ряды Фурье по форму- лам (23)…(26) в соответствии с этими предложениями вытекает из следующих рассужде- ний. Функция, которая подлежит разложению в ряды Фурье, объективно существует и со- стоит из спектра гармоник независимо от того, подвергаем мы ее разложению или нет. По- этому математические операции в соответствии с формулами (23)…(26) являются своеоб- разным «критерием однозначности», который в заданном наборе (спектре) гармоник позво- ляет выявить определенную гармоническую составляющую, а также определить ее качест- венные и количественные характеристики. Эти операции всегда будут давать однозначный ответ, и потому разложение функции в тригонометрические ряды Фурье всегда будет един- ственным. На основе полученных результатов можно сделать важный вывод: «Если функция )(xf удовлетворяет условиям Дирихле и для нее существует разложение в тригонометриче- ские ряды Фурье, то оно является единственным в главном смысле этого утверждения (в смысле спектрального состава), а его коэффициенты определяются формулами (24)…(26), которые всегда дают однозначное решение. По форме же тригонометрических рядов реше- ния могут быть многозначными». Таким образом, формулы (23)…(26) являются по существу обобщенной формой ана- литического представления функций тригонометрическими рядами и необходимы для ис- следования различных нелинейных систем и, в первую очередь, анализа электромагнитных процессов в устройствах силовой электроники. Рассмотрим конкретные примеры, поясняющие суть приведенных выше положений. Пример 1. Предположим, что имеется два ряда, которые описывают напряжение (рис. 2 б) на выходе ключевого преобразователя: ( )[ ] ( )[ ]{ } ( )[ ] ( )[ ]{ },1sin1cos 1sin1cossincos~)( 1 11 1 1111 ∑ ∑ ∞ = −− ∞ = ++ −+−+ ++++++ n nKnK n nKnKН tnKbtnKa tnKbtnKatbtatu ωω ωωωωω (27) а КФ 1Kϕ и 2Kϕ соответствуют функциональной форме: ( ) ( )tmKtmK m m mKK ωβωααϕ sincos 2 ~ 1 0 2,1 ++ ∑ ∞ = . (28) При анализе процессов в электрических импульсных схемах зачастую необходимо перемножить функции, заданные рядами Фурье типа (27) и (28). Произведение последних имеет следующий вид: ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∞ = + ∞ = ∞ = + ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = −− ∞ = ∞ = ++ ×++⋅+++ ++−+−+ ++++++== 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 00101 1 1sincos1coscossin coscos1sin 2 1cos 2 1sin 2 1cos 2 sin 2 cos 2 n nK n m mnK m m m m n n nKnK n n nKnKKН tnKbtmKtnKatmKtb tmKtatnKbtnKa tnKbtnKatbtauФ ωωαωωαω ωαωωαωα ωαωαωαωαϕ ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]∑∑∑∑ ∞ = − ∞ = ∞ = − ∞ = ×−+−+× 1 1 11 1 1 1sincos1coscos n nK m m m nK m m tnKbtmKtnKatmK ωωαωωα ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) (29).sin1sinsin 1cossin1sinsin 1cossinsinsincoscos 11 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∑∑∑ ∑∑∑∑ ∑∑∑∑ ∞ = ∞ = − ∞ = ∞ = − ∞ = ∞ = + ∞ = ∞ = + ∞ = ∞ = ∞ = ⋅−+× ×−+⋅++× ×++++× m m n nK m m n nK m m n nK m m n nK m m m m m m tmKtnKbtmK tnKatmKtnKbtmK tnKatmKtbtmKtatmK ωβωωβ ωωβωωβ ωωβωωβωωα Разложив это выражение в ряд Фурье, получим ( )[ ] ( )[ ]{ } ( )[ ] ( )[ ]{ }.1sin1cos 1sin1cossincos 1 11 1 1111 ∑ ∑ ∞ = −− ∞ = ++ −+−+ ++++++= N NKNK N NKNK tnKBtnKA tnKBtnKAtBtAФ ωω ωωωω (30) В выражении (30) отсутствует постоянная составляющая, поскольку мы рассматрива- ем области изменения числа «К», в которых 0<K<1 и ∞<≤ K3 , т.е. отсутствуют условия ее возникновения. Определим коэффициенты полученных рядов Фурье, воспользовавшись формулами (24)…(26). Согласно формуле (24) для 1A имеем ∫ − = π π ωω π ),(cos1 1 ttdФA (31) откуда получаем 18 интегралов – по количеству слагаемых в выражении (29). Интеграл пер- вого слагаемого равен ∫ − = π π αωωα π . 2 )(cos 2 1 10210 attda (32) Интегралы со второго по восьмое слагаемые равны нулю, а интеграл девятого слагае- мого равен ( )[ ] ( ) . 2 1)(cos1cos1 1 1 11 1 n n nK m m n nK atdtmKtnKa αωωαω π π π ∑∫ ∑∑ ∞ = + − ∞ = ∞ = + = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⋅+ (33) Интеграл десятого слагаемого равен нулю, а одиннадцатый интеграл равен ( )[ ] ( ) . 2 1)(coscos1cos1 1 1 11 1 n n nK m m n nK atdttmKtnKa αωωωαω π π π ∑∫ ∑∑ ∞ = − − ∞ = ∞ = − = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⋅− (34) Интегралы слагаемых с двенадцатого по пятнадцатый равны нулю, а интеграл шест- надцатого слагаемого равен ( )[ ] ( ) . 2 1)(cossin1sin1 1 1 11 1 n n nK m m n nK btdttmKtnKb βωωωβω π π π ∑∫ ∑∑ ∞ = + − ∞ = ∞ = + = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⋅+ (35) Интеграл семнадцатого слагаемого равен нулю, а восемнадцатого – ( )[ ] ( ) . 2 1)(cossin1sin1 1 1 11 1 n n nK m m n nK btdttmKtnKb βωωωβω π π π ∑∫ ∑∑ ∞ = − − ∞ = ∞ = − = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⋅− (36) Тогда после суммирования (32)…(36) с учетом (31) имеем [ ]∑ ∞ = −+−+ ++++= 1 1111 10 1 )()( 2 1 2 n nKnKnnKnKn bbaaaA βαα . (37) Аналогично определим коэффициент 1B , который в окончательном виде (без проме- жуточных выкладок) равен [ ]∑ ∞ = −+−+ −−−+= 1 1111 10 1 )()( 2 1 2 n nKnKnnKnKn ааbbbB βαα . (38) Определим коэффициенты 1+NKA по формуле (25) с учетом модифицированного пра- вила умножения рядов Фурье [5]: [ ] ).()1(cos1 1 tdtNKФANK ωω π π π ∫ − + += (39) После подстановки (29) в (39) получим 18 интегралов, из которых первые два равны нулю, а третий – ( )[ ] ( )[ ] . 2 )(1cos1cos 2 1 10 1 1 0 + − ∞ = + = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ +⋅+∫ ∑ nK n nK atdtnKtnKa αωωωα π π π (40) Интеграл слагаемых с четвертого по шестой равны нулю, а седьмой интеграл равен ( ) ( )[ ] . 2 )(1coscoscos1 1 1 1 atdtNKtmKta n m m αωωωαω π π π = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ +⋅∫ ∑ − ∞ = (41) Восьмой интеграл равен нулю, а девятый определится так: ( )[ ] ( ) ( )[ ] ).(lim 2 1)( 2 1 )(1coscos1cos1 1 1 1 11 1 NnnKNnNn n nK m m n nK aa tdtNKtmKtnKa −+→− ∞ = + − ∞ = ∞ = + −= = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ +⋅+ ∑ ∫ ∑∑ αα ωωωαω π π π (42) В последнем выражении необходимо вычесть точку ,Nn = так как при этом ,0=m что противоречит исходным условиям [5, 12]. Интеграл десятого слагаемого в выражении, полученном из (39), равен нулю, а один- надцатый интеграл равен ( )[ ] ( ) ( )[ ] ).( 2 1)(1coscos1cos1 1 1 11 1 Nn n nK m m n nK atdtNKtmKtNKa + ∞ = − − ∞ = ∞ = − ∑∫ ∑∑ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ +⋅− αωωωαω π π π (43) Двенадцатый и тринадцатый интегралы равны нулю, а четырнадцатый – ( ) [ ] . 2 1)()1(cossinsin1 1 1 11 1 N nm m n btdtNKtmKtb βωωωβω π π π ∑∫ ∑∑ ∞ =− ∞ = ∞ = −= ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ +⋅ (44) Пятнадцатый и семнадцатый интегралы равны нулю, а шестнадцатый равен ( )[ ] ( ) [ ] ).(lim 2 1 2 1 )()1(cossin1sin1 1 1 1 11 1 NnnKNnNn n nK m m n nK bb tdtNKtmKtnKb −+→− ∞ = + − ∞ = ∞ = + −= = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ +⋅+ ∑ ∫ ∑∑ ββ ωωωβω π π π (45) Интеграл восемнадцатого слагаемого равен ( )[ ] ( ) [ ] . 2 1)()1(cossin1sin1 1 1 11 1 Nn n nK m m n nK btdtNKtmKtnKb + ∞ = − − ∞ = ∞ = − ∑∫ ∑∑ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ +⋅− βωωωβω π π π (46) Просуммировав (40)…(46), с учетом (39) получим ).(lim 2 1)(lim 2 1) ( 2 1 22 1111 1 1 1 1110 1 NnnKNnNnnKNnNnnKNnnK NnnK n NnnK NNNK NK babb ааbаaA −+→−+→+−−+ +− ∞ = −+ + + −−++ +++ − += ∑ βαββ ααβαα (47) Аналогичным образом определим, не приводя промежуточных выкладок, коэффици- енты 1+NKB , которые вычисляются с помощью следующего выражения: .)(lim 2 1)(lim 2 1) ( 2 1 22 111 11 1 1 1110 1 NnnKNnNnnKNnNnnK NnnKNnnK n NnnK NNNK NK аba аbbabbB −+→−+→+− −++− ∞ = −+ + + +−+ +−−+ + += ∑ βαβ βααβαα (48) С учетом формулы (25) для определения коэффициентов 1−NKA имеем [ ] ),()1(cos1 1 tdtNKФANK ωω π π π ∫ − − −= (49) откуда после подстановки в (49) значения Ф согласно (29) получим также 18 интегралов, причем одиннадцать из них (с первого по четвертый, шестой, восьмой, десятый, двенадца- тый и тринадцатый, пятнадцатый и семнадцатый) равны нулю. Интеграл от пятого слагаемого в (49) равен [ ] ( )[ ] . 2 )(1cos)1(cos 2 1 10 1 1 0 − − ∞ = − = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⋅−⋅−∫ ∑ NK n nK atdtNKtnKa αωωωα π π π (50) Интеграл от седьмого слагаемого ( ) ( )[ ] . 2 )(1coscoscos1 1 1 1 a tdtNKtmKta N m m α ωωωαω π π π = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ −⋅∫ ∑ − ∞ = (51) Интеграл от девятого слагаемого равен ( )[ ] ( ) ( )[ ] . 2 1)(1coscos1cos1 1 1 11 1 Nn n nK m m n nK atdtNKtmKtnKa + ∞ = + − ∞ = ∞ = + ∑∫ ∑∑ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ −⋅+ αωωωαω π π π (52) Одиннадцатый интеграл равен ( )[ ] ( ) ( )[ ] ).(lim 2 1 2 1 )(1coscos1cos1 1 1 1 11 1 NnnKNnNn n nK m m n nK aa tdtNKtmKtnKa −−→− ∞ = − − ∞ = ∞ = − −= = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ −⋅− ∑ ∫ ∑∑ αα ωωωαω π π π (53) Четырнадцатый интеграл ( ) [ ] . 2 )()1(cossinsin1 1 11 1 N m m n btdtNKtmKtb βωωωβω π π π = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ −⋅∫ ∑∑ − ∞ = ∞ = (54) Шестнадцатый интеграл равен ( )[ ] ( ) [ ] . 2 1)()1(cossin1sin1 1 1 11 1 Nn n nK m m n nK btdtNKtmKtnKb + ∞ = + − ∞ = ∞ = + ∑∫ ∑∑ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ −⋅+ βωωωβω π π π (55) Восемнадцатый интеграл равен ( )[ ] ( ) [ ] ).(lim 2 1 2 1 )()1(cossin1sin1 1 1 1 11 1 NnnKNnNn n nK m m n nK bb tdtNKtmKtnKb −−→− ∞ = − − ∞ = ∞ = − −= = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ −⋅− ∑ ∫ ∑∑ ββ ωωωβω π π π (56) Следовательно, суммируя (50)…(56) с учетом (49), имеем ).(lim 2 1)(lim 2 1) ( 2 1 22 1111 1 1 1 1110 1 NnnKNnNnnKNnNnnKNnnK NnnK n NnnK NNNK NK babb ааbаaA −−→−−→−−++ −− ∞ = ++ − − −−++ +++ + += ∑ βαββ ααβαα (57) Аналогично получено выражение для определения 1−NKB : ).(lim 2 1)(lim 2 1 )( 2 1 22 11 1 1 111 1110 1 NnnKNnNnnKNn NnnK n NnnKNnnKNnnK NNNK NK bа bbаababB −−→−−→ −− ∞ = ++−−++ − − −+ ++−−+ − += ∑ αβ ααββαβα (58) Достоверность полученных результатов подтверждается следующей проверкой фор- мул (37) и (38), (47) и (48), (57) и (58). Для этого перемножим функции )( tuH ω и 1Kϕ (рис. 2 б и 3 а), которые заданы соответствующими рядами Фурье (19) и (5). Из выражения (19) оче- видно (для упрощения постоянный множитель mU опущен): ;01 =a ) 2 1(1 π α −=b ; ; 2 )cos(1 1 π α n nanK − −=+ ( ) π α n nbnK 2 )sin 1 −=+ ; ; 2 )cos(1 1 π α n nanK − =− ( ) , 2 )sin 1 π α n nbnK =− (59) а из выражения (5) следует ; 2 1 2 0 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= π αα ( );sin π αα n n n −= ( ).cos1 π αβ n n n − = (60) Воспользовавшись выражениями (37) и (38), а также (59) и (60), получим ;0 2 )sin( 2 )sin(1)cos( 2 )cos(1 2 )cos(1)sin( 2 1 1 1 = ⎭ ⎬ ⎫ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ +−× ⎩ ⎨ ⎧ − −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − + − −−= ∑ ∞ = π α π α π α π α π α π α n n n n n n n n n n n nA n (61) [ ] . 2 1)cos(1)(sin 2 1 2 1 1 22 2 22 22 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − ++⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= ∑ ∞ = π α π α π α π α n n n n nB (62) Воспользовавшись формулой (37), а также (59) и (60), получим [ ] [ ] [ ] [ ] , 2 )cos(1 2 )(cos1)(cos1)sin()(sin )(sin)cos(1 4 1)cos(1) 2 1( 1 21 π α π ααααα αα ππ α π α N N Nn Nn Nn Nn n n Nn Nn Nn Nn n n N NA n NK − ⋅− ⎭ ⎬ ⎫ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + +− − − −− ⋅−⎥⎦ ⎤ + + − ⎩ ⎨ ⎧ ⎢⎣ ⎡ − − −− + − ⋅−−= ∑ ∞ = + (63) где синтезированные суммы [6, 7] имеют вид [ ] [ ] ; 4 )cos(1)(cos1)(sin)cos(1 4 1 1 2 π αααα π N N Nn Nn Nn Nn n n n − = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + +− − − −− ∑ ∞ = (64) ( ) [ ] [ ] . 4 )cos(1)1()(cos1)(cos1sin 4 1 1 2 π α π αααα π N N Nn Nn Nn Nn n n n − ⋅−−= ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + +− − − −−∑ ∞ = (65) Подставив выражения (64) и (65) в формулу (63), получим . 2 )cos(1 1 π α N NANK − −=+ (66) Воспользовавшись формулой (48), а также выражениями (59) и (60), имеем для ко- эффициентов 1+NKB : [ ] [ ] [ ] [ ] , 2 )sin( 2 )(cos1)(cos1)cos(1 )(sin)(sin)sin( 4 1)sin() 2 1( 1 21 π α π αααα ααα ππ α π α N N Nn Nn Nn Nn n n Nn Nn Nn Nn n n N nB n NK ⋅− ⎭ ⎬ ⎫ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − −− + + +− ⋅ − + +⎥⎦ ⎤ − − ⎩ ⎨ ⎧ ⎢⎣ ⎡ + + + +⋅−−= ∑ ∞ = + (67) где суммы равны ( ) [ ] [ ] ; 4 )sin()1()(sin)(sinsin 4 1 1 2 π α π αααα π N N Nn Nn Nn Nn n n n ⋅−= ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − − + + + ∑ ∞ = (68) [ ] [ ] . 4 )sin()(cos1)(cos1)cos(1 4 1 1 2 π αααα π N N Nn Nn Nn Nn n n n ∑ ∞ = = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − −− + + +−− (69) Подставив последние выражения в (67), получим . 2 )sin( 1 π α N NBNK −=+ (70) Аналогично определим коэффициенты 1−NKA и 1−NKB с учетом формул (49) и (58), (59) и (60), а также после синтеза соответствующих сумм: [ ] [ ] [ ] [ ] π α π ααααα αα ππ α π α N N Nn Nn Nn Nn n n Nn Nn Nn Nn n n N NA n NK 2 )cos(1 2 )(cos1)(cos1)sin()(sin )(sin)cos(1 4 1)cos(1) 2 1( 1 21 − ⋅+ ⎭ ⎬ ⎫ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − −− − + +− ⋅−⎥⎦ ⎤ − − − ⎩ ⎨ ⎧ ⎢⎣ ⎡ − + +− + − ⋅−= ∑ ∞ = − или с учетом (64) и (65) получим . 2 )cos(1 1 π α N NANK − =− (71) Для коэффициентов 1−NKB соответственно имеем [ ] [ ] [ ] [ ] π α π ααααα αα ππ α π α N N Nn Nn Nn Nn n n Nn Nn Nn Nn n n N NB n NK 2 )sin( 2 )(sin)(sin)sin()(cos1 )(cos1)cos(1 4 1)sin() 2 1( 1 21 ⋅+ ⎭ ⎬ ⎫ ⎥⎦ ⎤ − − ⎢⎣ ⎡ + + + +⎥⎦ ⎤ − −− + ⎩ ⎨ ⎧ ⎢⎣ ⎡ + + +−− −⋅−= ∑ ∞ = − или с учетом (68) и (69) справедливо . 2 )sin( 1 π α N NBNK =− (72) Сравнив выражения (61) и (62), (66) и (70), (71) и (72) с (59) и соответственно с (19), можно убедиться в правильности полученных формул. Отметим, что после перемножения функций )( tuH ω и 1Kϕ , получим функцию )( tuH ω , что следует из рис. 2 б и 3 а при умножении соответствующих ординат функций )( tuH ω и 1Kϕ , в результате чего получим коэффициенты, тождественные (59) и (61). Пример 2. Для функции φК1, приведенной на рис. 5, можно записать ряд Фурье: ( ) ( )[ ]∑ ∞ = ++= 1 0 1 sincos 2 n nnK tntn ωβωααϕ , коэффициенты которого имеют аналогично выражению (5) следующий вид: ; 2 12)(1 2 0 10 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −== ∫ π αωϕ π α π tdK ;)sin()()cos(1 2 0 1 π αωωϕ π α π n ntdtnKn −== ∫ (73) .)cos(1)()sin(1 2 0 1 π αωωϕ π β π n ntdtnKn − == ∫ Изменим данную функцию 1Kϕ путем увеличения ее ординат на постоянную величи- ну (например, 0,5). Тогда для «новой» функции 2Kϕ (рис. 6) имеем ; 2 5,12)(1 2 0 20 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −==′ ∫ π αωϕ π α π tdK ;)sin()()cos(1 2 0 2 π αωωϕ π α π n ntdtnKn −==′ ∫ (74) .)cos(1)()sin(1 2 0 2 π αωωϕ π β π n ntdtnKn − ==′ ∫ Сравнивая приведенные выражения (73) и (74), можно сделать вывод о том, что при добавлении (или вычете) к любой функции постоянной величины в ряде Фурье исходной функции изменяется лишь нулевой член 0α разложения на значение этой добавки (вычета), а коэффициенты nα и nβ в таком случае остаются неизменными. Следовательно, для заданной величины коэффициента nα имеет место бесконечное коли- чество нулевых членов 0α , что соответствует из- менению величины по- стоянной добавки (выче- та) к исходной функции. Поэтому из формулы (73) для определения коэффи- циента nα невозможно однозначно определить величину нулевого члена 0α при подстановке в выражение для определения nα значения 0=n , т.е. 0α определяется с помощью отдельной формулы [4]. Данное обстоятельство является подтверждением обще- го принципа, доказанного Г. Кантором: «Если для функции f(x) на интервале (-π, π) вообще возможно разложение в ряд Фурье, то такое разложение является единственным» [8, 13]. Ра- зумеется, в противном случае имело бы место бесконечное количество рядов при одном и том же значении коэффициента разложения nα . Таким образом, полученные результаты дают возможность, например, проводить ана- лиз электромагнитных процессов в импульсных электрических цепях, который включает всю частотную область, кроме точек К=1 и К=2, которые отвечают двум случаям, соответствен- но, регулирования напряжения в пределах периода и его выпрямления и описываются из- вестными формулами [11]. Сформулированы предложения по представлению о обобщенной форме различных функций тригоно- метрическими рядами. Приведены примеры, которые подтверждают достоверность полученных результа- тов. Suggestions that presented different functions by the trigonometric rows of Fourier in generalized forms are outspoken. Examples that confirm trustworthiness of founded results are given. φk1 0 1,5 φk2 0,5 α α 2π -α 2π -α 2π 2π π π 1,0 0 ωt ωt Рис. 5 Рис. 6 1. Александров П.С., Маркушевич А.И., Хинчин А.Я. Энциклопедия элементарной математики. Книга пер- вая. Арифметика. – М. – Л.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1951. – 448 с. 2. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. – М.: Физматгиз, 1961. – 372 с. 3. Воробъев Н.Н. Теория рядов. – М.: Наука, 1979. – 408 с. 4. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: Физматгиз, 1961. – 783 с. 5. Жарський Б.К., Голубєв В.В., Новський В.О. Модифіковане правило множення рядів Фур’є // Техн. електродинаміка. – 2008. – №1. – С.25–31. 6. Заездный A.M. Гармонический синтез в радиотехнике и электросвязи. – М. – Л.: Госэнергоиздат, 1961. – 536 с. 7. Заездный A.M. Гармонический синтез в радиотехнике и электросвязи. – Л.: Энергия, 1972. – 528 с. 8. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. – М.: Мир, 1965. – 538 с. 9. Карташов Р.П., Кулиш А.К., Чехет Э.М. Тиристорные преобразователи частоты с искусственной ком- мутацией. – К.: Техніка, 1979. – 150 с. 10. Романовский П.И. Ряды Фурье, аналитические и специальные функции, преобразование Лапласа. – М.: Физматгиз, 1959. – 303 с. 11. Руденко В.С., Сенько В.И., Чиженко И.М. Основы преобразовательной техники. – М.: Высш. шк., 1980. – 423 с. 12. Толстов Г.П. Ряды Фурье. 3-е изд. – М.: Наука, 1980. – 384 с. 13. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.3. – М.: Наука, 1966. – 656 с. 14. Шидловский А.К., Федий В.С. Частотно-регулируемые источники реактивной мощности. – К.: Наук. думка, 1980. – 303 с. Надійшла 21.05.2009

Обобщенная форма представления функций тригонометрическими рядами для анализа процессов в импульсных системах

Institution

Similar Items