Про стійкість розв’язків математичної моделі імунного захисту
Розглядається модель запального процесу інфекційної природи. У моделі враховуються наступні чинники: популяція антигенів, популяція антитілотвірних клітин, кількість антитіл, ступінь пошкодження органа. Досліджується стійкість розв’язків моделі імунного захисту....
Gespeichert in:
| Datum: | 2003 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2003
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6387 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Про стійкість розв’язків математичної моделі імунного захисту / В.П. Марценюк, О.Я. Ковальчук, А.І. Куляс // Комп’ютерні засоби, мережі та системи. — 2003. — № 2. — С. 106-112. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860202428053323776 |
|---|---|
| author | Марценюк, В.П. Ковальчук, О.Я. Куляс, А.І. |
| author_facet | Марценюк, В.П. Ковальчук, О.Я. Куляс, А.І. |
| citation_txt | Про стійкість розв’язків математичної моделі імунного захисту / В.П. Марценюк, О.Я. Ковальчук, А.І. Куляс // Комп’ютерні засоби, мережі та системи. — 2003. — № 2. — С. 106-112. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | Розглядається модель запального процесу інфекційної природи. У моделі враховуються наступні чинники: популяція антигенів, популяція антитілотвірних клітин, кількість антитіл, ступінь пошкодження органа. Досліджується стійкість розв’язків моделі імунного захисту.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:10:54Z |
| format | Article |
| fulltext |
Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2003, № 2 106
Розглядається модель запального
процесу інфекційної природи.. У
моделі враховуються наступні
чинники: популяція антигенів, по-
пуляція антитілотвірних клітин,
кількість антитіл, ступінь пош-
кодження органа. Досліджуєть-
ся стійкість розв’язків моделі іму-
нного захисту.
В.П. Марценюк, О.Я. Коваль-
чук, А.І. Куляс, 2003
ÓÄÊ 519.71
Â.Ï. ÌÀÐÖÅÍÞÊ, Î.ß. ÊÎÂÀËÜ×ÓÊ,
À.². ÊÓËßÑ
ÏÐÎ ÑÒ²ÉʲÑÒÜ ÐÎÇÂ’ßÇʲÂ
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×Íί ÌÎÄÅ˲
²ÌÓÍÍÎÃÎ ÇÀÕÈÑÒÓ
Вступ. Розглядається модель запального
процесу інфекційної природи. У загальному
вигляді математична модель імунітету опи-
сана в [1]. Вона універсальна і справед-лива
не тільки для запального процесу, але і для
інфекційного зараження організму. У моделі
враховуються наступні визначальні для пере-
бігу процесу чинники:
1) популяція антигенів V, що розмножу-
ються в організмі;
2) популяція антитілотвірних клітин
(плазмоклітин) C;
2) кількість антитіл (імуноглобулінів) F
в організмі;
4) ступінь пошкодження органа m .
( )
( )
m
f
c
V
dt
dm
FV
dt
dF
CCtFtVm
dt
dC
VF
dt
dV
м у
,згсC
),()()( )(
,в
0
−=
+µ−=
−µ−τ−τ−αξ=
γ−=
(1)
з початковими умовами при ]0,[ τ−∈t :
0)(,)(,)(,)( 000 ==== tmCtCFtFVtV .
Тут β − коефіцієнт розмноження антигена;
γ − коефіцієнт, що визначає ймовірність ней-
тралізації антигена антитілом; α − коефі-
цієнт, що зумовлює ймовірність нейтралізації
антигена антитілом; cµ − коефіцієнт, оберне-
ний до часу життя плазмоклітин; ρ − швид-
ПРО СТІЙКІСТЬ РОЗВ’ЯЗКІВ МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ ІМУННОГО ЗАХИСТУ
Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2003, № 2 107
кість виробництва антитіл однією плазмоклітиною; fµ − коефіцієнт, обернено
пропорційний до часу розпаду антитіл; з − число антитіл, що вимагаються на
нейтралізацію одного антигена; σ − коефіцієнт, що визначає швидкість загибелі
клітин за рахунок пошкоджуючої дії антигена; mµ − коефіцієнт, що враховує
швидкість відновлення пошкодженого органу; τ − фаза запізнення (час, за який
здійснюється формування каскаду плазмоклітин); )(mξ − неперервна незро-
стаюча функція ( 1)(0 ≤ξ≤ m ), що характеризує порушення нормального функці-
онування імунної системи через значне пошкодження органа-мішені. Перерахо-
вані параметри додатні та є специфічними як для виду антигена, так і для органу
і конкретного організму.
Вищепредставлена система диференціальних рівнянь має два стани рівноваги
[2]. Один з них − тривіальний, інший позначимо ),,,( **** mCFV . Здійснивши
лінеаризацію системи звичайних диференціальних рівнянь (ЗДР) в околі точки
),,,( **** mCFV , отримуємо лінійну систему ЗДР з постійними коефіцієнтами:
.
,
,)()()()()(
,
41
4
1
*
3
*
32
3
4
*
**
23
**
1
**2
3
*
1
*
1
1
xx
dt
dx
xFxVxx
dt
dx
x
dm
mdFVxtxVmtxFm
dt
dx
xVxFx
dt
dx
m
f
C
µσ
ηγηγµρ
ξαµταξταξ
γγβ
−=
−−−=
+−−+−=
−−=
Характеристичний поліном отриманої лінійної системи ЗДР є квазі-
поліномом (експоненціальним поліномом) четвертого степеня:
,032
2
143
2
2
3
1
4 =+λ+λ++λ+λ+λ+λ λτ−λτ−λτ− ebebebaaaa
(2)
де ,**
1 CmfVFa µ+µ+β−µ+η+γ=
,***
***
2
Cfmf
CmmCmfCmCf
FFV
VVFa
µγ+µγ+βηγ−µµ+
+ηγµ+µηγ+µγ+βµ−βµ−µµ+µµ+βµ−=
,****
**
3
mffCmCmC
mCmmfCfCmfC
FFFV
VVa
µµγ+µµγ+µµγ+µηγµ+
+µβµ−µβηγ−µβµ−ηγβµ−µβµ−µµµ=
( ) ,)( ***
*
2*
4 mfCmCmfC FVF
dm
mdVa µµµγµηγβµµµβµαξσργ +−−=
**
1 )( Vmb αρξ−= , ****
2 )()( VmVmb m αξρµ−αβρξ= , **
3 )( Vmb m αξβρµ= .
В.П. МАРЦЕНЮК, О.Я. КОВАЛЬЧУК, А.І. КУЛЯС
Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2003, № 2 108
Дослідження стійкості розв’язків моделі імунного захисту
При вивченні розміщення коренів рівняння на основі експоненціального по-
лінома (2) буде використано наступний результат, доведений в [3] з вико-
ристанням теореми Руше [4].
Лема 1. Для експоненціального полінома
,]...[...
]...[
...),...,,(
)11()1(
1
1)1(
1
)1()1(
1
1)1(
1
)0()0(
1
1)0(
1
1
1
m
m
eppp
eppp
pppeeP
m
n
m
n
nm
nn
n
nn
nn
λτ
λτ
λτλτ
λλ
λλ
λλλλ
−−−
−
−−
−
−
−
−
−−−
+++++
+++++
+++++=
де ),...,2,1(0 mii =≥τ і ),...,2,1;1,...1,0()( njmip i
j =−= є константами, при зміні
),...,,( 21 mτττ сума порядків нулів )...,,,( 1 meeP λτ−λτ−λ у відкритій правій на-
півплощині може змінюватися лише коли нуль з’являється на уявній осі, або пе-
ретинає уявну вісь.
Зрозуміло, що )0( >wiw буде коренем рівняння (2) тоді й тільки тоді, коли:
.0)sin(cos)sin(
)sin(cos
32
2
143
2
2
3
1
4
=τ−τ+τ−τ+
+τ−τ−++−−
wiwbwicowwib
wiwwbawiawawiaw
Розділяючи дійсну й уявну частини, маємо:
.фsincossin
,cossincos
32
2
13
3
1
32
2
14
2
2
4
wbwwbwwbwawa
wbwwbwwbawaw
+τ−τ−=+
τ−τ−τ=+−
(3)
Додаючи квадрати обох рівнянь (3), маємо:
.0)()22(
)22()2(
тобто,2
)2()22()2(
3
2
4
22
312
2
423
2
4
1
2
314
2
2
6
21
28
2
313
22
2
24
1
2
4
22
423
24
314
2
2
6
21
28
=−++−−+
+−+++−+
−++=
=+−++++−+
bawbbbaaa
wbaaaawaaw
wbbbwbwb
awaaawaaaawaaw
(4)
Покладемо 2wz = і введемо позначення
.,22
,22,2
2
3
2
431
2
242
2
3
2
13142
2
2
2
1
basbbbaaar
baaaaqaap
−=+−−=
−++=−=
Тоді рівняння (4) набуває вигляду:
.0234 =++++ srzqzpzz (5)
Твердження 1. Якщо 0<s , то рівняння (5) має принаймні один додатній
розв’язок.
Доведення. Позначимо
.)( 234 srzqzpzzzh ++++= (6)
ПРО СТІЙКІСТЬ РОЗВ’ЯЗКІВ МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ ІМУННОГО ЗАХИСТУ
Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2003, № 2 109
Зрозуміло, що 0)0( <= sh , а ∞=
∞→
)(lim zh
z
.
Звідси випливає, що
існує
),0(0 ∞∈z , при якому 0)( 0 =zh , що й потрібно було показати.
Твердження 2. Якщо 0≥s і рівняння (5) має додатні дійсні корені, то
,027/4/ 32 ≥η+ξ=∆ (7)
де .2/16/3,4/8/432/18 23 qprpqp +−=+−= ηξ
Доведення. Із рівняння (6) маємо .234)( 23 rqzpzz
dz
zdh
+++= Покладемо
.0234 23 =+++ rqzpzz (8)
Тоді три корені рівняння (8) (з урахуванням кратності) можуть бути знайде-
ні за формулою Кардано [5]:
.27/4/2/27/4/2/ 3 323 32
3,2,1 η+ξ−ξ−+η+ξ+ξ−=z (9)
Причому, беручи послідовно по одному з трьох значень кубічного кореня
3 32 27/4/2/ η+ξ+ξ−=α , потрібно з трьох можливих значень кореня
3 32 27/4/2/ η+ξ−ξ−=β вибрати те, для якого 3/η−=αβ .
Якщо 0≤∆ , то (8) не має дійсних коренів. Отже, функція h(z) є зростаючою.
З умови 0)0( ≥= sh випливає, що рівняння (5) не має додатних дійсних коренів.
Отримали суперечність що й доводить справедливість твердження.
У випадку, коли 0≥∆ , серед коренів z1, z2, z3 згідно формул (9) існує при-
наймні один, який є локальним мінімумом h(z).
Позначимо: .3,1),(minarg ==∗ izhz i
Твердження 3. Якщо 0≥s , тоді рівняння (5) має додатні корені тоді й тіль-
ки тоді, коли 0)(0 ≤> ∗∗ zhiz .
Доведення. Достатність твердження є очевидною. При доведенні необхід-
ності скористаємося доведенням від супротивного. Тобто припустимо, що рів-
няння (5) має додатні корені, але при цьому або 0≤∗z або .0)(0 ≥> ∗∗ zhiz
Якщо 0≤∗z , то оскільки h(z) є зростаючою при ∗≥ zz і 0)0( ≥= sh , то
звідси випливає, що h(z) не має додатних дійсних коренів. Якщо
0)(0 ≥∗∗ zhiz , то h(z) не має додатних дійсних коренів в силу означення z*.
Отже, в загальному випадку маємо:
Лема 2. Якщо 0<s , то рівняння (5) має принаймні один додатній корінь.
Якщо 0≥s , то рівняння (5) має додатні корені тоді й тільки тоді, коли
0)( і 0 ≤> ∗∗ zhz . Якщо ж 00 <∆≥ is , то рівняння (5) не має додатних коренів.
В.П. МАРЦЕНЮК, О.Я. КОВАЛЬЧУК, А.І. КУЛЯС
Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2003, № 2 110
Припустимо, що рівняння (5) має додатні корені. Не обмежуючи загально-
сті, припустимо, що воно має чотири додатних корені, які позначимо відповідно
z1, z2, z3, z4. Тоді рівняння (4) має чотири додатних корені:
.,,, 44332211 zwzwzwzw ====
Позначимо ,)1(2
)(
arcsin1
22
13
22
2
3
3
1)(
−+−
−+
+
= πϕτ j
wbbwb
wawa
w
kk
kk
k
j
k
k = 1, 2, 3, 4; j = 0, 1, … . Тут ϕ є розв’язком:
.
)(
cos,
)(
sin
22
13
22
2
2
13
22
13
22
2
2
kkkk
k
wbbwb
wbb
wbbwb
wb
−+
−
=ϕ
−+
−
=ϕ
Тоді, як випливає з другого рівняння (3), kiw± є парами чисто уявних коренів
рівняння (2) при ( ) ,...1,0,3,2,1,фф === jkj
k . Видно, що ( ) .3,2,1,lim =∞=τ
∞→
kj
kj
Отже, позначимо { } .,min
0
0
0 0
)(
1,31
)(
0 k
j
kjk
j
k ww ===
≥≤≤
τττ
Теорема 1. Припустимо, що всі головні мінори гурвіціана (11) додатні:
.
000
0
1
001
34
122334
11223
1
ba
bababa
ababa
a
+
+++
++
(11)
Якщо 00 <∆≥ is , тоді всі корені рівняння (2) мають від’ємні дійсні части-
ни при всіх 0≥τ . Якщо 0<s або 0≥s , 0)(0 ≤> ∗∗ zhiz , тоді всі корені рів-
няння (2) мають від’ємні дійсні частини при ),0[ 0τ∈τ .
Доведення. При 0=τ рівняння (2) набуває вигляду
0)()()( 3423
2
12
3
1
4 =++λ++λ++λ+λ bababaa . (12)
За критерієм Гурвіца всі корені рівняння (12) мають від’ємні дійсні частини
тоді й тільки тоді, коли всі головні мінори гурвіціана (11) додатні.
Якщо 0≥s і 0<∆ , то за лемою 2 рівняння (2) не має коренів з нульовою
дійсною частиною для всіх 0≥τ . Коли 0<τ або 0≥s , 0* >z і 0)( * ≤zh , то за
ПРО СТІЙКІСТЬ РОЗВ’ЯЗКІВ МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ ІМУННОГО ЗАХИСТУ
Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2003, № 2 111
лемою 2 маємо, що коли 1,3,2,1,)( ≥=τ≠τ jkj
k , то рівняння (2) не має коренів
з нульовою дійсною частиною і 0τ є мінімальним значенням τ таким, що рів-
няння (2) має чисто уявні корені. Згідно леми 1 коренів з додатньою дійсною
частиною рівняння (2) при цьому не має. Теорема доведена.
Вищедоведений результат можна переформулювати в термінах коефіцієнтів
моделі імунного захисту, таким чином отримавши достатню умову стійкості.
Теорема 2. Припустимо, що коефіцієнти моделі імунного захисту (1) задо-
вольняють умову теореми 1.
Тоді якщо 00 <∆≥ is , то стан рівноваги ),,,( **** mCFV системи ЗДР (1) є
абсолютно стійким (асимптотично стійким для всіх 0≥τ ). Якщо ж 0<s або
0≥s , 0)(0 ≤> ∗∗ zhiz , тоді стан рівноваги ),,,( **** mCFV системи ЗДР (1) є
асимптотично стійким при ),0[ 0τ∈τ .
Доведення випливає з теореми 1 та теореми про стійкість за першим на-
ближенням [6].
Приклади. За допомогою розробленої комп'ютерної програми здійснене кі-
лькісне дослідження запального процесу у випадку, коли:
12.0,10,17.0,17.0,5.0,10,8.0,2 4 =µ=η=µ=ρ=µ=α=γ=β mfc .
( ) ( ) ( )
≤≤−
≤
=
.1,01,0,9/10/1
,1,0,1
о
mm
m
m
При [ ]0,ф−∈t справедливі такі початкові умови
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .0,1,1,10,0max 6 ===+= − tmtFtCxtV
Здійснене моделювання показує, що час повторної появи запального проце-
су і ступінь його активності залежать від коефіцієнту σ, що узгоджується з екс-
периментальними даними.
Покладемо 10,1.0 =σ=τ .Маємо випадок, коли 0τ<τ (рис.1), що відповідає
стійкому розв’язку ),,,( **** mCFV .
Наступні приклади ілюструють випадки, коли 0τ≥τ . Так наприклад, по-
кладемо 10,4.0 =σ=τ (рис. 2), 10,2 =σ=τ (рис. 3). Спостерігається періо-
дичний розв'язок, який переходить у нестійкий.
В.П. МАРЦЕНЮК, О.Я. КОВАЛЬЧУК, А.І. КУЛЯС
Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2003, № 2 112
РИC. 1
РИС. 3
1. Марчук Г.И. Математические модели в иммунологии. − М.: Наука, 1980. − 264с.
2. Биологическая и медицинская кибернетика / О.А. Минцер, В.Н. Молотков, Б.Н. Угаров и
др. Справочник. − К.: Наукова думка, 1989. − 375 с.
3. Ruan, S. & Wei, J. On the zeros of transcendental function with applications to stability of
delay differential equations, preprint, 1999.
4. Dieudonne, J. Foundation of Modern Analysis, New York: Academic Press., 1960.
5. Воднев В.Т. Основные математические формулы: Справочник. − Мн.: Выш.шк., 1988. −
269 с.
6. Хейл Дж.Теория функционально-дифференциальных уравнений: Пер. с англ. − М.: Мир,
1984. − 421 с.
7. Marzeniuk V.P. Taking Into Account Delay in the Problem of Immune Protection of Organism,
Nonlinear Analysis: Real World Applications, 2001, Vol 2/4 − P. 483 – 496.
Одержано 15. 06. 2003
РИС. 2
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-6387 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1817-9908 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:10:54Z |
| publishDate | 2003 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Марценюк, В.П. Ковальчук, О.Я. Куляс, А.І. 2010-03-02T10:10:59Z 2010-03-02T10:10:59Z 2003 Про стійкість розв’язків математичної моделі імунного захисту / В.П. Марценюк, О.Я. Ковальчук, А.І. Куляс // Комп’ютерні засоби, мережі та системи. — 2003. — № 2. — С. 106-112. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1817-9908 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6387 519.71 Розглядається модель запального процесу інфекційної природи. У моделі враховуються наступні чинники: популяція антигенів, популяція антитілотвірних клітин, кількість антитіл, ступінь пошкодження органа. Досліджується стійкість розв’язків моделі імунного захисту. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Про стійкість розв’язків математичної моделі імунного захисту Article published earlier |
| spellingShingle | Про стійкість розв’язків математичної моделі імунного захисту Марценюк, В.П. Ковальчук, О.Я. Куляс, А.І. |
| title | Про стійкість розв’язків математичної моделі імунного захисту |
| title_full | Про стійкість розв’язків математичної моделі імунного захисту |
| title_fullStr | Про стійкість розв’язків математичної моделі імунного захисту |
| title_full_unstemmed | Про стійкість розв’язків математичної моделі імунного захисту |
| title_short | Про стійкість розв’язків математичної моделі імунного захисту |
| title_sort | про стійкість розв’язків математичної моделі імунного захисту |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6387 |
| work_keys_str_mv | AT marcenûkvp prostíikístʹrozvâzkívmatematičnoímodelíímunnogozahistu AT kovalʹčukoâ prostíikístʹrozvâzkívmatematičnoímodelíímunnogozahistu AT kulâsaí prostíikístʹrozvâzkívmatematičnoímodelíímunnogozahistu |