Програмні засоби для наближення дослідних даних емпіричними формулами

Рассматриваются методы и программные средства для приближения данных измерений эмпирическими формулами. Описывается программный комплекс построения эмпирических формул, который обладает рядом преимуществ. Розглядаються методи та програмні засоби для наближення даних вимірювань емпіричними формулами....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2009
Автор:	Вакал, Л.П.
Формат:	Стаття
Мова:	Українська
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2009
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6531
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Програмні засоби для наближення дослідних даних емпіричними формулами / Л.П. Вакал // Комп’ютерні засоби, мережі та системи. — 2009. — № 8. — С. 35-44. — Бібліогр.: 18 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859804477193715712
author	Вакал, Л.П.
author_facet	Вакал, Л.П.
citation_txt	Програмні засоби для наближення дослідних даних емпіричними формулами / Л.П. Вакал // Комп’ютерні засоби, мережі та системи. — 2009. — № 8. — С. 35-44. — Бібліогр.: 18 назв. — укр.
collection	DSpace DC
description	Рассматриваются методы и программные средства для приближения данных измерений эмпирическими формулами. Описывается программный комплекс построения эмпирических формул, который обладает рядом преимуществ. Розглядаються методи та програмні засоби для наближення даних вимірювань емпіричними формулами. Описується програмний комплекс побудови емпіричних формул, який має ряд переваг. Methods and software for experimental data approximation by empiric formulas are reviewed. Bundled software for empiric formulas construction which has some advantages is described.
first_indexed	2025-12-07T15:14:43Z
format	Article
fulltext	Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2009, № 8 35 L. Vakal SOFTWARE FOR EXPERIMENTAL DATA APPROXIMATION BY EMPIRIC FORMULA Methods and software for experi- mental data approximation by em- piric formulas are reviewed. Bun- dled software for empiric formulas construction which has some advan- tages is described . Рассматриваются методы и про- граммные средства для прибли- жения данных измерений эмпи- рическими формулами. Описыва- ется программный комплекс по- строения эмпирических формул, который обладает рядом пре- имуществ. Розглядаються методи та про- грамні засоби для наближення да- них вимірювань емпіричними фор- мулами. Описується програмний комплекс побудови емпіричних формул, який має ряд переваг.  Л.П. Вакал, 2009 УДК 004.428.4: 519.657 Л.П. ВАКАЛ ПРОГРАМНІ ЗАСОБИ ДЛЯ НАБЛИЖЕННЯ ДОСЛІДНИХ ДАНИХ ЕМПІРИЧНИМИ ФОРМУЛАМИ Вступ. При математичній обробці даних спостережень, дослідів або експериментів часто виникає задача знаходження функ- ціональної залежності між фізичними ве- личинами x та y за результатами вимі- рювань, поданими у вигляді таблиць від- повідних значень ( )ii yx , , ni ,1= . Через обмежену кількість значень та наявність випадкових помилок вимірювань (так зва- ного шуму в експерименті) однозначно відтворити функціональну залежність не- можливо. Йдеться лише про побудову формули, яка достатньо добре наближала досліджувану залежність у діапазоні зна- чень nxxx ≤≤1 . Для розв’язання цієї задачі можуть ус- пішно застосовуватися емпіричні форму- ли, які дають досить точне наближення дослідних даних, є відносно простими і дозволяють згладжувати похибки вимірю- вань. Зауважимо, що на відміну від емпі- ричних використання інтерполяційних формул не дозволить розв’язати задачу належним чином, оскільки при інтерполя- ції зберігається увесь шум [1]. Велика кількість формул, що застосо- вуються в науці та техніці, є емпіричними. Це, наприклад, формули залежності опору металевого стрижня від температури в фізиці; показника політропи стиснення від кутової швидкості валу в техніці; швидко- сті потоку рідини, що проходить через шар піни, від об’єму рідини в піні в хімії та ін. [2−4]. Л.П. ВАКАЛ Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2009, № 8 36 В історії науки багато прикладів того, як отримання вдалої емпіричної фор- мули стало першою, дуже важливою віхою на шляху до великих наукових відк- риттів. Класичним прикладом цього факту є відкриття закону випромінювання Планка на основі побудови трьох емпіричних формул. Методи побудови емпіричних формул. Задача побудови емпіричної фор- мули для наближеного подання експериментальних даних ( )ii yx , , ni ,1= , полягає у знаходженні формули (функції) ( )maaaxfy ,,,; 10 = , (1) значення якої при ixx = якомога менше відрізнялися від значень iy . Невідомі величини ia називаються параметрами емпіричної формули. Найпростішою емпіричною формулою з двома параметрами є лінійна функція 01 axay += , а з трьома параметрами − квадратична функція 01 2 2 axaxay ++= . Процес побудови емпіричної формули складається з вибору типу формули та знаходження найкращих значень її параметрів. Вибір типу формули – головне, що визначає результативність і точність ем- піричної формули. До цього часу немає загального методу для визначення най- більш підходящого типу емпіричної формули для подання тих або інших даних. Іноді його можна визначити на основі теоретичних міркувань щодо характеру досліджуваної залежності. Якщо ж характер залежності невідомий, то функціо- нальний вигляд емпіричної формули, взагалі кажучи, може бути довільним. На практиці перевага віддається більш простим формулам (з 2−3 параметрами), що мають достатню точність. Оскільки фізичні процеси здебільшого мають нелі- нійний характер, то для більш адекватного їх представлення доцільно вибирати нелінійні функції. Найбільш поширений підхід, коли тип формули вибирають шляхом порів- няння кривої, побудованої за експериментальними даними, з графіками елемен- тарних функцій. При порівнянні графіків можливі різні складні ситуації, зокре- ма, коли експериментальна крива схожа на графіки одразу декількох функцій або, навпаки, мало схожа на типовий графік функції, яка цілком відповідає її характеру. У першій ситуації слід вибирати такий тип формули, якій найбільше відповідає фізичній суті явища. В іншій ситуації причин її виникнення може бути декілька: невдалий вибір масштабу координатних осей, відповідність екс- периментальної кривої тільки деякій частині типового графіку функції (напри- клад, експериментальна крива є опуклою кривою, що не має вираженого макси- муму, разом з тим їй може відповідати рівняння параболи [5]). Такий підхід до вибору типу формули є досить суб’єктивним, вдалий результат багато в чому залежить від досвіду та інтуїції дослідника. Існують також спеціальні прийоми для перевірки можливості виразити експериментальну криву даним типом фор- мули (вирівнювання, спрямлення [1, 2]). Щоб не залежати від суб’єктивних чинників та автоматизувати сам процес визначення типу формули, запропоновано алгоритм [6], в якому тип емпіричної формули вибирається з набору найпоширеніших функцій (набір містить більше ПРОГРАМНІ ЗАСОБИ ДЛЯ НАБЛИЖЕННЯ ДОСЛІДНИХ ДАНИХ ЕМПІРИЧНИМИ ФОРМУЛАМИ Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2009, № 8 37 20 формул) на основі певних аналітичних критеріїв. В алгоритмі для кожного типу формули спочатку виконуються відповідні перетворення даних, які дозво- ляють посилити в них роль лінійної або квадратичної компоненти, а далі переві- ряються необхідні та достатні умови наявності лінійної чи квадратичної залеж- ності. Формула, для якої відповідний критерій виконується точніше, і є най- більш підходящою. Після вибору типу емпіричної формули необхідно знайти найкращі значен- ня її параметрів ia . Під терміном “найкращі” розуміємо такі значення, за яких деяка визначена міра відхилення експериментальних даних iy від значень, об- числених за емпіричною формулою, буде мінімальною. Міра відхилення описує критерій (спосіб) наближення і визначає метод знаходження параметрів. Далі коротко проаналізуємо критерії та методи знаходження найкращих значень па- раметрів емпіричної формули, які найчастіше застосовуються на практиці. Так у методі середніх параметри ia знаходять з умови рівності нулю алгеб- раїчної суми 0 1 =∆∑ = n i i , де відхилення i∆ визначаються формулою ( )miii aaaxfy ,,,; 10 −=∆ . (2) У методі найменших квадратів для визначення параметрів ia застосовуєть- ся критерій квадратичного наближення min 1 2 ⇒∆∑ = n i i . (3) Цей метод має ту перевагу перед методом середніх, що якщо сума (3) мала, то й відхилення i∆ також є малими за модулем. Для методу середніх, де береть- ся алгебраїчна сума відхилень, такого висновку зробити не можна. Тому для більш точних обчислень краще використовувати метод найменших квадратів. Слід додати, що замість формули (3) точність наближення методом найменших квадратів іноді зручніше оцінювати за середньоквадратичним критерієм min1 1 2 ⇒∆∑ = n i in . (4) Якщо похибки експериментальних даних мають нормальний закон розподі- лу, то критерій (3) можна розглядати як статистичний, а отримані за методом найменших квадратів значення ia є найбільш ймовірними. При лінійному входженні параметрів в емпіричну формулу їх значення зна- ходяться за методом найменших квадратів досить просто з нормальної системи лінійних рівнянь. Якщо ж параметри входять у формулу нелінійно, то система рівнянь для їх визначення також є нелінійною і знаходження її розв’язку зви- чайно пов’язано з громіздкими обчисленнями. Крім того, нелінійна система час- то може мати декілька розв’язків. Якщо при цьому початкові значення парамет- рів (методи знаходження розв’язків нелінійної системи є ітераційними) вибрані Л.П. ВАКАЛ Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2009, № 8 38 невдало, то це може привести до незадовільного результату наближення емпі- ричною формулою. Тому намагаються звести нелінійний випадок до лінійного, наприклад відповідним перетворенням формули із заміною основних змінних x та y на нові [1, 5]. Однак варто пам’ятати, що перетворення формули порушує принцип найменших квадратів (3), тобто формула, яка задовольняє умові міні- муму в нових змінних не буде задовольняти такій умові після повернення до ос- новних змінних x і y . Найкращі значення параметрів ia емпіричної формули можна визначати та- кож за критерієм найкращого чебишовського наближення minmax 1 ⇒∆ ≤≤ i ni . (5) Використання для побудови емпіричної формули принципу мінімакса (5) гарантує, що модулі відхилень i∆ не перевищать заданої похибки наближення на всьому відрізку nxxx ≤≤1 . Чебишовський критерій доцільно застосовувати, зокрема, для обчислень з високою точністю та в задачах ущільнення результатів вимірювань, що містять методичну похибку у відомих межах (це можуть бути, наприклад, масиви геофізичних чи сейсмічних вимірювань [7]). Методи чеби- шовського наближення табличних залежностей лінійними формулами розробле- ні досить добре й успішно використовуються на практиці [8]. Методи неліній- ного наближення є досить громіздкими, хоча наближення деякими типами нелі- нійних формул вдається знайти за спрощеними методами [9]. Останнім часом підвищився інтерес до визначення параметрів формули з умови мінімуму суми модулів відхилень min 1 ⇒∆∑ = n i i . (6) Огляд існуючих програмних засобів для наближення дослідних даних. Практично в усіх відомих універсальних пакетах програм, таких як Mathcad, Maple, Mathematica та ін., реалізовано наближення дослідних даних за методом найменших квадратів, хоча й у різному обсязі. Так у пакеті Mathcad існує можливість наближення довільними лінійними формулами (функція linfit) та наближення типовими нелінійними формулами з 2−3 параметрами, наприклад aebx + c, a/(1 + becx), aln(x + b) + c, axb + c, alnx + b, a + bx, asin (x + b) + c, що реалізується функціями expfit, lgsfit, logfit, pwrfit, lnfit, medfit та sinfit відповідно [10]. При роботі з функціями expfit, lgsfit, pwrfit та ін- шими необхідно задавати початкові значення невідомих параметрів для розв’язання системи нелінійних рівнянь ітераційним методом. Оскільки нелі- нійна система часто має декілька розв’язків, то невдалі початкові значення мо- жуть привести до незадовільного результату наближення. Крім того, у пакеті Mathcad є функція genfit, яка теоретично дозволяє виконувати наближення більш складними нелінійними виразами. Але для багатьох користувачів пакета ця фун- кція є «китайською грамотою» з непрозорим способом виклику [11]. Як аргуме- нти вона вимагає, окрім самої формули, також її часткові похідні по шуканих ПРОГРАМНІ ЗАСОБИ ДЛЯ НАБЛИЖЕННЯ ДОСЛІДНИХ ДАНИХ ЕМПІРИЧНИМИ ФОРМУЛАМИ Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2009, № 8 39 параметрах. Наближення лінійними відносно невідомих параметрів формулами реалізо- вано також в інших математичних пакетах – Maple (команда leastsquare), Mathematica (функції FindFit, Fit) та MATLAB (функція polyfit для наближення поліномом) [12, 13]. Крім того, для наближення деякими простими нелінійними формулами у системі Mathematica передбачено функцію NonlinearFit, а в пакеті MATLAB – функцію lsqcurvefit. Слід зауважити, що задача знаходження формул, які найкраще описують ек- спериментальні дані, виникає також у регресійному аналізі. У цьому випадку апроксимація даних здійснюється з урахуванням їх статистичних параметрів, оскільки вони є результатом вимірювань процесів або явищ, статистичних за своєю природою або на високому рівні шумів. Види регресії називаються від- повідно до типу апроксимуючої формули, і для знаходження їх параметрів, як правило, застосовується метод найменших квадратів. Тому в ряді випадків для визначення параметрів емпіричної формули можна скористатися програмними засобами для побудови регресій. Що стосується наближення дослідних даних за чебишовським критерієм (5), то жоден з вищеназваних універсальних математичних пакетів їх не виконує. Для цього необхідно скористатися спеціалізованими програмними засобами. Наприклад, наближення лінійними емпіричними формулами (поліномами та ін.) виконуються в деяких бібліотеках програм з чисельного аналізу [14, 15]. При цьому користувачу необхідно додатково задавати початкові значення або іншу інформацію для роботи програм. Знайти параметри нелінійних формул за крите- рієм (5) можна тільки за допомогою спеціалізованих пакетів програм для чеби- шовського наближення, наприклад [7, 16]. З наведеного огляду існуючих програмних засобів можна зробити висно- вок, що найкраще в них реалізовано наближення за критерієм методу най- менших квадратів (3). Однак і в цьому випадку при визначенні параметрів нелі- нійних формул не завжди вдається отримати бажаний результат. Програмні засоби для знаходження наближень дослідних даних емпіричними формулами за іншими критеріями є, в основному, спеціальними і доступ до них пов’язаний для користувача з різного роду труднощами (організаційними, фінансовими та ін.). Отже, актуальною є розробка програмних засобів для наближення експери- ментальних даних емпіричними формулами з використанням різних критеріїв наближення, з можливістю програмного визначення найбільш підходящого типу формули та графічними представленням отриманих результатів. Програмний комплекс побудови емпіричних формул. Цей комплекс при- значений для наближеного подання дослідних даних за допомогою найбільш поширених типів емпіричних формул з 1−3 параметрами, перелік яких наведено в табл. 1. Програмний комплекс розроблений у системі програмування Delphi і орієн- тований на користувачів “нематематиків”. Він зручний та інтуїтивно зрозумілий у використанні. Л.П. ВАКАЛ Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2009, № 8 40 ТАБЛИЦЯ 1. Перелік типів формул для наближення дослідних даних № п/п Число пара- метрів Формула № п/п Число пара- метрів Формула 1 1 y = ax 11 3 y =ax2+bx+c 2 2 y = ax+b 12 3 y=1/(a+bx+cx2) 3 2 y = axb 13 3 y =a+b/x+c/x2 4 2 y = aebx 14 3 y=x2/(ax2+bx+c) 5 2 y = alnx+b 15 3 y = x /(a+bx+cx2) 6 2 y = 1/(a+be-x) 16 3 y=(cx2+bx+a)/x 7 2 y = 1/(ax+b) 17 3 y=a+blnx+cln2x 8 2 y = x/ (ax+b) 18 3 y=a 2cxbxe + 9 2 y = (ax+b)/x 19 3 y=a сebx + 10 2 y = ln(ax+b) У програмному комплексі реалізовано 6 критеріїв знаходження найкращих значень параметрів формули, за яких вона реалізує такі способи наближення: 1) найкраще абсолютне середньоквадратичне наближення (4); 2) найкраще відносне середньоквадратичне наближення min1 1 2 ⇒      ∆∑ = n i i i yn ; 3) найкраще абсолютне чебишовське наближення (5); 4) найкраще відносне чебишовське наближення minmax 1 ⇒ ∆ ≤≤ i i ni y ; 5) найкраще абсолютне наближення сумою модулів відхилень (6); 6) найкраще відносне наближення сумою модулів відхилень min 1 ⇒ ∆∑ = n i i i y . За допомогою цього програмного комплексу можна розв’язати такі задачі. Перша задача − знаходження найкращих (за відповідним критерієм) значень параметрів формули заданого типу. Тип формули вибирається із запропонова- них списків відповідно до числа параметрів або задається самостійно (для цього потрібно у списках формул з 2 і 3 параметрами вибрати позицію з назвою «Інша формула»). Друга задача Алгоритм розв’язання першої задачі, який реалізовано у програмному ком- плексі, детально описано в [17]. Обчислювальна схема алгоритму в загальних рисах є такою: − побудова емпіричної формули, яка найкраще (за певним кри- терієм) серед усіх формул із заданим числом параметрів наближає дослідні дані. − виконується перетворення даних (своє для кожного типу формули), яке ПРОГРАМНІ ЗАСОБИ ДЛЯ НАБЛИЖЕННЯ ДОСЛІДНИХ ДАНИХ ЕМПІРИЧНИМИ ФОРМУЛАМИ Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2009, № 8 41 дозволяє перейти для перетворених даних від нелінійної формули до лінійної функції (у випадку двох параметрів) або квадратичної функції (у випадку трьох параметрів); − методом найменших квадратів знаходять коефіцієнти лінійної або квадра- тичної функцій; − через знайдені коефіцієнти за формулами зворотного перерахунку обчис- люються початкові значення параметрів нелінійної емпіричної формули; − способом пошуку на решітці [18] ці значення уточнюються з тим, щоб ви- значити найкращі згідно із вибраним критерієм значення. Якщо користувач сам задає тип емпіричної формули, а не вибирає із запро- понованих списків, то йому необхідно вказати початкові значення параметрів самостійно. Однак навіть за невдалого вибору початкових значень бажане на- ближення буде отримано, хоча за більш тривалий проміжок часу. При розв’язанні другої задачі вищеописаний алгоритм модифікується. Спо- чатку знаходяться наближення даних усіма типами формул із заданим числом параметрів, а потім серед них вибирається найкраща формула, яка забезпечує найменшу відповідно до вибраного критерію похибку наближення [17]. Результатами розв’язання першої і другої задач є значення параметрів ia , найбільш підходящий тип формули ( )maaaxf ,,,; 10  (тільки для другої зада- чі), похибка наближення за вибраним критерієм та значення ( )ixf . Крім того, для візуалізації якості отриманого наближення виводяться графіки експеримен- тальної кривої та емпіричної формули. Програмний комплекс включає також довідкову систему, яка містить ос- новні відомості щодо наближення експериментальних даних емпіричними фор- мулами, правил роботи з комплексом та ін. Приклади використання програмного комплексу. Розглянемо два прик- лади застосування описаного комплексу для побудови емпіричних формул. У прикладі 1 розв’язується перша задача, а у прикладі 2 для тих самих дослідних даних розв’язується друга задача. ТАБЛИЦЯ 2. Залежність швидкості різання V (м/хв) від площі поперечного перерізу стружки F(мм2) i Fi Vi i Fi Vi 1 1,1 25,0 8 7,0 10,0 2 1,4 22,7 9 10,0 8,2 3 1,7 22,1 10 12,8 6,7 4 2,1 19,8 11 16,5 5,6 5 2,6 17,0 12 20,8 5,0 6 4,7 12,3 13 40,6 3,5 7 6,1 10,7 Л.П. ВАКАЛ Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2009, № 8 42 Приклад 1 З теорії відомо, що залежність швидкості різання металу від поперечного перерізу стружки подається степеневою функцією . Необхідно знайти емпіричну формулу для наближеного подання залежності швидкості різання хромонікелевої сталі від площі поперечного пере- різу стружки за дослідними даними з табл. 2 [3, с. 421]. ε−⋅= /FaV 1 . (7) Отже, тип емпіричної формули відомий, залишається тільки знайти найкра- щі значення її параметрів, наприклад, способом найкращого абсолютного серед- ньоквадратичного наближення. Для цього необхідно в діалоговому вікні задати вхідну інформацію (рис. 1). Якщо дослідні дані вводяться з файлу, то вибір фай- лу здійснюється у спеціальному вікні, яке відкривається після вибору відповід- ної радіокнопки. РИС. 1. Вхідна інформація та результати обчислень для прикладу 1 Після натиснення кнопки «Обчислити» на панелі результатів з’являється по- відомлення (див. рис. 1), що найкращою є формула з параметрами 652,27=a , 530,0−=b (відповідно в формулі (7) b/1−=ε ) і середньоквадратичною похиб- кою 0,673. Отже, шукана емпірична формула має вигляд 0,53027,652V F −= ⋅ . Крім того, третій стовпчик таблиці з вхідними даними заповнюється значеннями швидкості різання, обчисленими за отриманою формулою, та будуються графіки емпіричної (лінія) та експериментальної (точки) залежностей. Варто додати, що ПРОГРАМНІ ЗАСОБИ ДЛЯ НАБЛИЖЕННЯ ДОСЛІДНИХ ДАНИХ ЕМПІРИЧНИМИ ФОРМУЛАМИ Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2009, № 8 43 емпірична формула вигляду 0,56528,753V F −= ⋅ , знайдена за методом найменших квадратів [3], наближає дані з табл. 2 з більшою середньоквадратичною похиб- кою, яка дорівнює 8020, . Приклад 2 Отже, необхідно знайти формулу, яка найкраще за вибраним критерієм се- ред усіх формул з 2 параметрами наближає дослідні дані. На рис. 2 можна поба- чити установки, які слід зробити у діалоговому вікні програмного комплексу для цього прикладу. В результаті отримаємо повідомлення, що найкращою є форму- ла степеневої залежності . Необхідно знайти емпіричну формулу для наближення залеж- ності швидкості різання сталі від площі поперечного перерізу стружки , зада- ної даними з табл. 2 (як у прикладі 1), за умови, що тип емпіричної формули невідомий. bxay ⋅= з параметрами 617,28=a , 564,0−=b , тобто емпірична формула вигляду 0,56428,617V F −= ⋅ , яка наближає дані з табл. 2 з відносною похибкою 4 %. РИС. 2. Фрагмент діалогового вікна з установками для прикладу 2 Висновки. Розроблений програмний комплекс дозволяє розв’язувати важ- ливу задачу наближеного подання дослідних даних за допомогою емпіричних формул. До його переваг слід зарахувати реалізацію декількох способів набли- ження, програмне визначення найбільш підходящого типу формули, а також графічне представлення результатів, що дозволяє візуально пересвідчитись в якості наближення дослідних даних побудованою емпіричною формулою. Про- грамний комплекс тестувався на багатьох задачах обробки дослідних даних з різних галузей науки та техніки і показав високу ефективність. Л.П. ВАКАЛ Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2009, № 8 44 1. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. – М.: Наука, 1967. – 368 с. 2. Веденяпин Г.В. Общая методика экспериментального исследования опытных данных. – М.: Колос, 1967. – 159 с. 3. Гутер Р.С., Овчинский Б.В. Элементы численного анализа и математической обработки результатов опыта. – М.: Наука, 1970. – 432 с. 4. Батунер Л.П., Позин М.Е. Математические методы в химической технике. – Л.: Химия, 1968. – 823 с. 5. Турчак Л.И. Основы численных методов. – М.: Наука, 1987. – 320 с. 6. Вакал Л.П. Про один підхід до автоматизації процесу вибору типу емпіричної формули // Интеллектуальные информационно-аналитические системы и комплексы. – Киев: Ин-т кибернетики им. В.М. Глушкова НАН Украины, 2000. – С. 53–62. 7. Малачівський П.С., Монцібович Б.Р. Програмне забезпечення задач рівномірної апрок- симації дослідних даних // Математические методы в компьютерных системах. – Киев: Ин-т кибернетики им. В.М. Глушкова НАН Украины, 1996. – С. 38–43. 8. Ремез Е.Я. Основы численных методов чебышевского приближения. – К.: Наук. думка, 1969. – 623 с. 9. Попов Б.А., Теслер Г.С. Приближение функций для технических приложений. – Киев: Наук. думка, 1980. – 352 с. 10. Дьяконов В. Mathcad 8/2000: специальный справочник. – СПб.: Питер, 2000. – 592 с. 11. http://twt.mpei.ac.ru/ochkov/Mathcad_2001/index.htm#_Toc506643752. 12. Говорухин В., Цибулин Б. Компьютер в математическом исследовании: Maple, MATLAB, LaTeX. – СПб.: Питер, 2001. – 624 с. 13. http://documents.wolfram.com. 14. http://wwwasdoc.web.cern.ch/wwwasdoc/shortwrupsdir/e222/top.html. 15. http://www.srcc.msu.su/num_anal/lib_na/cat/cat922.htm. 16. Каленчук-Порханова А.А., Вакал Л.П. Пакет программ аппроксимации функций // Ком- п’ютерні засоби, мережі та системи. – 2008. – № 7. – С. 32–38. 17. Вакал Л.П. Построение наилучших нелинейных эмпирических формул // Праці Міжнар. симп. “Питання оптимізації обчислень ПОО-ХХХV”, Кацивелі, 2009. – Київ: Ин-т кі- бернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, 2009. – С. 62–65. 18. http://www.wasm.ru/article.php?article=approx. Отримано 17.09.2009 http://documents.wolfram.com� http://www.srcc.msu.su/num_anal/lib_na/cat/cat922.htm�
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-6531
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1817-9908
language	Ukrainian
last_indexed	2025-12-07T15:14:43Z
publishDate	2009
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
record_format	dspace
spelling	Вакал, Л.П. 2010-03-05T15:16:24Z 2010-03-05T15:16:24Z 2009 Програмні засоби для наближення дослідних даних емпіричними формулами / Л.П. Вакал // Комп’ютерні засоби, мережі та системи. — 2009. — № 8. — С. 35-44. — Бібліогр.: 18 назв. — укр. 1817-9908 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6531 004.428.4: 519.657 Рассматриваются методы и программные средства для приближения данных измерений эмпирическими формулами. Описывается программный комплекс построения эмпирических формул, который обладает рядом преимуществ. Розглядаються методи та програмні засоби для наближення даних вимірювань емпіричними формулами. Описується програмний комплекс побудови емпіричних формул, який має ряд переваг. Methods and software for experimental data approximation by empiric formulas are reviewed. Bundled software for empiric formulas construction which has some advantages is described. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Програмні засоби для наближення дослідних даних емпіричними формулами Software for experimental data approximation by empiric formula Article published earlier
spellingShingle	Програмні засоби для наближення дослідних даних емпіричними формулами Вакал, Л.П.
title	Програмні засоби для наближення дослідних даних емпіричними формулами
title_alt	Software for experimental data approximation by empiric formula
title_full	Програмні засоби для наближення дослідних даних емпіричними формулами
title_fullStr	Програмні засоби для наближення дослідних даних емпіричними формулами
title_full_unstemmed	Програмні засоби для наближення дослідних даних емпіричними формулами
title_short	Програмні засоби для наближення дослідних даних емпіричними формулами
title_sort	програмні засоби для наближення дослідних даних емпіричними формулами
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6531
work_keys_str_mv	AT vakallp programnízasobidlânabližennâdoslídnihdanihempíričnimiformulami AT vakallp softwareforexperimentaldataapproximationbyempiricformula

Програмні засоби для наближення дослідних даних емпіричними формулами

Репозитарії

Схожі ресурси