Линейное интерполирование функций многих переменных
Рассматриваются вопросы существования, единственности и построения интерполяционных полиномов функции многих переменных. Розглядаються питання існування, єдиності і побудови інтерполяційних поліномів функції багатьох змінних. The issues of existence, uniqueness and construction of interpolation poly...
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2009
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6532 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Линейное интерполирование функций многих переменных / А.А. Каленчук-Порханова, Т.М. Фесун // Комп’ютерні засоби, мережі та системи. — 2009. — № 8. — С. 28-34. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860058556642885632 |
|---|---|
| author | Каленчук-Порханова, А.А. Фесун, Т.М. |
| author_facet | Каленчук-Порханова, А.А. Фесун, Т.М. |
| citation_txt | Линейное интерполирование функций многих переменных / А.А. Каленчук-Порханова, Т.М. Фесун // Комп’ютерні засоби, мережі та системи. — 2009. — № 8. — С. 28-34. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Рассматриваются вопросы существования, единственности и построения интерполяционных полиномов функции многих переменных.
Розглядаються питання існування, єдиності і побудови інтерполяційних поліномів функції багатьох змінних.
The issues of existence, uniqueness and construction of interpolation polynoms of functions of many-variables are considered in this article.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:03:12Z |
| format | Article |
| fulltext |
Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2009, № 8 28
A. Kalenchuk-Porkhanova,
T. Fesun
LINEAR INTERPOLATION OF
FUNCTIONS OF MANY-
VARIABLES
The issues of existence, uniqueness
and construction of interpolation
polynoms of functions of many-
variables are considered in this
article.
Розглядаються питання існуван-
ня, єдиності і побудови інтерпо-
ляційних поліномів функції бага-
тьох змінних.
Рассматриваются вопросы суще-
ствования, единственности и по-
строения интерполяционных по-
линомов функции многих перемен-
ных.
А.А. Каленчук-Порханова,
Т.М. Фесун, 2009
УДК 004.428.4:519.651
А.А. КАЛЕНЧУК-ПОРХАНОВА, Т.М. ФЕСУН
ЛИНЕЙНОЕ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ
ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Введение. В работе рассматриваются во-
просы существования, единственности и
построения интерполяционных полино-
мов функции многих переменных.
Рассмотрим некоторое линейное мно-
жество R действительных функций, опре-
делённых на отрезке [a, b] и некоторую
конечную или счётную совокупность дос-
таточно простых функций этого множест-
ва ( )xiϕ , и предположим, что любая ко-
нечная система функций ( )xiϕ линейно
независима на [a, b]. На практике в каче-
стве ( )xiϕ , как правило, берутся последо-
вательность степеней x: 2 31, , , , , ,nx x x x
последовательность тригонометрических
функций: 1, sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, …
или последовательность показательных
функций: ,,,1 21 xx ee αα , где { }αi – некото-
рая числовая последовательность попарно
различных действительных чисел и т. д.
Всевозможные линейные комбинации
( ) ( ) ( ) ( )xaxaxax nnϕ++ϕ+ϕ=ϕ 1100
с действительными коэффициентами ia
назовём обобщёнными многочленами по
системе ( ) ( ) ( )0 1φ , φ , , φnx x x , которые
образуют линейное подмножество nR
множества R. В зависимости от целей, ко-
торых мы хотим достичь, могут быть раз-
ные подходы к задаче приближения
( ) Rxf ∈ функциями ( ) nRx ∈ϕ . В теории
интерполирования эта задача решается
таким образом, что на отрезке [a, b] выби-
ЛИНЕЙНОЕ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2009, № 8 29
рается некоторая фиксированная совокупность попарно различных точек
nxxx ,,, 10 и каждой конкретной функции ( ) Rxf ∈ ставится в соответствие
обобщённый многочлен ( ) nRx ∈ϕ , значения которого в выбранных точках сов-
падают со значениями функции f(x). Точки nxxx ,,, 10 называют узлами ин-
терполирования, а обобщённый многочлен, обладающий указанным свойством,
называют обобщённым интерполяционным многочленом для f(x) по заданной
системе узлов. Если f(x) и ( )xiϕ – дифференцируемые функции, то иногда,
кроме того, требуют совпадения производных f(x) и φ( x) в узлах до некоторых
порядков [1].
В настоящей работе рассматривается задача линейной интерполяции функ-
ции n независимых переменных, приводятся формулы вычисления значения ин-
терполирующего полинома в произвольной точке и формула остаточного члена.
Постановка задачи интерполирования. Пусть известны значения функции
( ))()2()1( ,,, nxxxf в точках прямоугольной сетки NE n-мерного пространства,
и пусть задана некоторая точка ( ))()2()1( ,,, nξξξξ в пределах сетки.
Требуется построить для прямоугольной сетки, содержащей данную точку
ξ, линейную интерполяционную функцию ( ) ∑
=
+=
n
i
i
i
n xppxxxf
1
)(
0
)()2()1( ,,, ,
которая совпадает с исходной в узлах интерполирования, и найти её значение в
точке ξ [2].
Для решения этой задачи будем пользоваться формулой, аналогичной фор-
муле Ньютона линейной интерполяции функции одного переменного
( ) ( ) ( ) ( ) Rxxfxxxfxf +−+= 1000 ; , (1)
где R – остаточный член, ( )( ) ( )1010 ;; xxxfxxxxR −−= , а ( )10 ; xxf и
( )10 ;; xxxf – разделённые разности, которые вычисляются по формулам
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 1
0 1
0 1
0 1 1 2
0 1 2
0 2
0 1 1 1 2
0 1
0
; ;
; ;
; ; ;
; ; ; ; ; ;
; ; ; .r r
r
r
f x f x
f x x
x x
f x x f x x
f x x x
x x
f x x x f x x x
f x x x
x x
−
−
=
−
−
=
−
−
=
−
Применяя n раз формулу (1) для функции n переменных, получаем:
А.А. КАЛЕНЧУК-ПОРХАНОВА, Т.М. ФЕСУН
Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2009, № 8 30
( ) ( )
( ) ( ) ( )
(1) (2) ( ) (1) (2) ( )
0 0 0
( ) ( ) (1) (2) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( )
0 0 0 0 0 1 0 0 1 2
1
, , , , , ,
; ; ; ; ; ; ; ; , 2
n n
n
i i i i i i n n n
i
f x x x f x x x
x x f x x x x x x x R R− +
=
= +
+ − + +∑
где
( )( ) (∑ ∑
−
= +=
−+−−−=
1
1 1
)1(
0
)1(
0
)(
1
)(
0
)1(
0
)2(
0
)1(
0
)(
0
)()(
0
)()(
1 ;;;;;;;;;
n
i
n
ij
jiiiijjiin xxxxxxxfxxxxR
) ( )( )( ) (∑ ∑ ∑
−
=
−
+= +=
+ −−−+
2
1
1
1
)2(
0
)1(
0
1
)(
0
)(
0
)()(
0
)()(
0
)1(
0
)(
1
)(
0 ;;;;;;;
n
i
n
ij
n
jk
kkjjiinjjj xxfxxxxxxxxxx
) +++−+−+− )(
0
)1(
0
)(
1
)(
0
)1(
0
)1(
0
)(
1
)(
0
)1(
0
)1(
0
)(
1
)(
0
)1(
0 ;;;;;;;;;;;;;;; nkkkkjjjjiiii xxxxxxxxxxxxx
( ) ( )∏
=
−+
n
i
nnii xxxxxxfxx
1
)(
1
)(
0
)2(
1
)2(
0
)1(
1
)1(
0
)(
0
)( ;;;;;; ;
( )( )
( )( )( )( )
( ) ( )( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2
2 0 1
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2
0 1 0 12
1 1
1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2
0 1
1
1
2
1
2
11 ;
2
i
j i
i
n
n i i i i
x
i
n n
j j j j i i i i
x x
j i i
n
n i i i i
n x
i
R x x x x D
x x x x x x x x D D
x x x x D
=
= + =
−
=
= − − −
− − − − − + +
+ − − −
∑
∑ ∑
∏
( )
( ) ( )
(1) (2) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( )
0 0 0 0 1 0 0
(1) (2) ( 1) ( ) ( 1) ( ) (1) (2) ( )
0 0 0 1 0 0 0 0 0
( ) ( )
1 0
; ; ; ; ; ; ; ;
, , , , , , , , , ,
;
i i i i n
i i i n n
i i
f x x x x x x x
f x x x x x x f x x x
x x
− +
− +
=
−
=
−
( ) )(
1
)(
*
)(
02)(
)(
*
2
2 ,)(
iii
i
i
x xx
x
fD i ≤ξ≤
∂
ξ∂
= .
Если задать сетку NE точек
ij
x , такую что ,,1,,,, )()(
2
)(
1
)( nixxxx i
m
iii
i
==
ii mj ,1= , то в каждом n-мерном прямоугольнике { })(
1
)()( i
j
ii
j ii
xx +≤ξ≤=Π для
функции ( ))()2()1( ,,, nxxxf будет n2 интерполяционных формул вида (1) [3].
Для однозначности решения поставленной задачи на число узлов интерполи-
рования и на функции ( )xiϕ накладываются такие условия, чтобы каждой функ-
ции ( ) Rxf ∈ можно было поставить в соответствие один и только один обоб-
щённый многочлен по системе функций ( ) ( ) ( )xxx nϕϕϕ ,,, 10 , являющийся
ЛИНЕЙНОЕ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2009, № 8 31
интерполяционным многочленом для функций f(x) по данной системе узлов
nxxx ,,, 10 (при ).i jx x i j≠ ≠
Назовём систему функций ( ) ( ) ( )xxx nϕϕϕ ,,, 10 системой Чебышева на от-
резке [a, b], если любой обобщённый многочлен по этой системе, у которого хо-
тя бы один из коэффициентов отличен от нуля, имеет на [a, b] не более n нулей.
Очевидно, требование линейной независимости системы является необходимым
для того, чтобы система была системой Чебышева на [a, b].
Теорема
nxxx ,,, 10
. Для того, чтобы для любой функции f(x), определённой на от-
резке [a, b] и для любого набора n + 1 узлов [ ]( , ,i i jx a b x x∈ ≠
при )i j≠ существовал обобщённый интерполяционный многочлен ϕ(x) =
( ) ( ) ( )0 0 1 1φ φ φn na x a x a x= + + + , необходимо и достаточно, чтобы система
функций ( )[ ]xiϕ являлась системой Чебышева на [a, b]. При этом интерполяци-
онный многочлен будет единственным [4].
Предлагаемый алгоритм [5] реализует формулу (2) в виде
( ) ( ) ( )1 1 2 2
(1) (2) ( ) (1) (2) ( ) (1) (2) ( )
θ θ θ, , , , , , , , ,
n n
n n n
j j jf x x x f x x x f x x x+ + +≈ = +
( ) ( )1 1 2 2 1 1 1 1
( ) ( ) (1) (2) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( )
θ θ θ θ θ 1 θ θ θ
1
( )
0
1
; ; ; ; ; ; ; ;
,
i i i i i i i i i i n n
n
i i i i i i n
j j j j j j j j
i
n
i
i
i
x x f x x x x x x x
p p x
− − + +
− +
+ + + + + + − + +
=
=
+ − × =
= +
∑
∑
где ( )1 1 1 1 1 1
(1) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( )
θ θ θ 1 θ θ θ; ; ; ; ; ; ;
i i i i i i i i n n
i i i i n
i j j j j j jp f x x x x x x
− − + +
− +
+ + + + − + += ;
( )1 1
(1) ( ) ( )
0θ θ θ
1
; ;
n n i i
n
n i
j j j i
i
p f x x x p+ + +
=
= −∑ ;
( ) ( )
1( ) ( )
( ) ( )
1 ( ) ( )
1
0,еслиξ ,
2θ
1,еслиξ ,
2
i i
i
i i
i
i i
j ji i
j
i i i
j j i i
j
x x
x
x x
x
+
+
+
+
≤ <
=
+ ≤ <
(3)
где ( ) ( ) ( )
1ξ
i i
i i i
j jx x +≤ <
(без подсчёта остаточных членов )(
1
nR и )(
2
nR ).
Погрешность приближения при условии ограниченности второй производ-
ной вычисляется по формуле
( )1 1
2nR nCH H≤ + ,
где ( ) ( )( )
'' (1) (2) ( ) ( ) ( ) ( )
1max , , , ,i i
n i i i
mx
C f x x x x x x= ≤ ≤ , ( ) ( )
1 1
1
1
1, 1, 1
max max i i
j ji n j m
H x x+
= = −
= − .
А.А. КАЛЕНЧУК-ПОРХАНОВА, Т.М. ФЕСУН
Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2009, № 8 32
Способ расшифровки информации. Пусть каждая переменная ( )nix i ,1)( =
пробегает значения )()(
2
)(
1 ,,, i
m
ii
i
xxx . В таком случае сетка будет состоять из
N точек, в которых заданы значения функции ( ) ii
n
jjj mjxxxf
n
,1,,,, )()2()1(
21
= ;
( )
1
1
2 1
1
jn
j i
j i
N m m m
−
= =
= + −∑ ∏ . (4)
Данные по сетке можно расположить следующим образом:
1) точки сетки задать таблицей:
)(ix Значения
)1(x
)1()1(
3
)1(
2
)1(
1 1mxxxx
)2(x
)2()2(
3
)2(
2
)2(
1 2mxxxx
)3(x 3
(3) (3) (3) (3)
1 2 3 mx x x x
…………………………………
)(nx
)()(
3
)(
2
)(
1
n
m
nnn
n
xxxx
2) значения функции в точках сетки задать n строками, причём первая
строка будет состоять из m1 элементов и иметь вид
( ) ( ) ( ))(
1
)2(
1
)1()(
1
)2(
1
)1(
2
)(
1
)2(
1
)1(
1 ,,,,,,,,,,,,
1
n
m
nn xxxfxxxfxxxf ,
а любая l-я последующая строка будет состоять из ( )
1
1
1
l
i l
i
m m
−
=
−∏ элементов
и иметь вид
( ) ( )(1) (2) ( ) ( 1) ( ) (1) (2) ( ) ( 1) ( )
1 1 2 1 1 2 1 2 1 1, , , , , , , , , , , , , ,l l n l l nf x x x x x f x x x x x+ +
( ) ( )1
(1) (2) ( ) ( 1) ( ) (1) (2) ( ) ( 1) ( )
3 1 2 1 1 1 2 1 1, , , , , , , , , , , , , , ,l l n l l n
mf x x x x x f x x x x x+ +
( ) ( )(1) (2) (3) ( ) ( 1) ( ) (1) (2) (3) ( ) ( 1) ( )
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1, , , , , , , , , , , , , , , ,l l n l l nf x x x x x x f x x x x x x+ +
( ) ( )1
(1) (2) (3) ( ) ( 1) ( ) (1) (2) (3) ( ) ( 1) ( )
3 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1, , , , , , , , , , , , , , , , ,l l n l l n
mf x x x x x x f x x x x x x+ +
( ) ( )(1) (2) (3) ( ) ( 1) ( ) (1) (2) (3) ( ) ( 1) ( )
1 3 1 2 1 1 2 3 1 2 1 1, , , , , , , , , , , , , , , ,l l n l l nf x x x x x x f x x x x x x+ +
( ) ( )1
(1) (2) (3) ( ) ( 1) ( ) (1) (2) ( ) ( 1) ( )
3 3 1 2 1 1 3 2 1 1, , , , , , , , , , , , , , , ,l l n l l n
mf x x x x x x f x x x x x+ +
…………………………………………………………………………………………
( )1 2
(1) (2) (3) ( ) ( 1) ( )
1 2 1 1, , , , , , , ,l l n
m mf x x x x x x+
ЛИНЕЙНОЕ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2009, № 8 33
…………………………………………………………………………………………
( )1 2 3
(1) (2) (3) (4) ( ) ( 1) ( )
1 2 1 1, , , , , , , , ,l l n
m m mf x x x x x x x+
…………………………………………………………………………………………
( )1 2 3 4
(1) (2) (3) (4) (5) ( ) ( 1) ( )
1 2 1 1, , , , , , , , , ,l l n
m m m mf x x x x x x x x+
…………………………………………………………………………………………
( )1 2 3 4
(1) (2) (3) (4) ( ) ( 1) ( )
1 1, , , , , , , , .
l
l l n
m m m m mf x x x x x x x+
Если считать, что
1) элементы массива F значений функции в точках сетки расположены
таким образом по строкам, а строки – в порядке возрастания их номеров;
2) ( ))(
1
)2(
1
)1(
1 ,,, nxxxf – первый элемент массива, то ( ))()2()1( ,,,
21
n
jjj n
xxxf
будет являться Ni-м элементом массива F
( )
1
1
2 1
1 .
in
i i k
i k
N j j m
−
= =
= + −∑ ∏ (5)
Пусть ( ))()2()1( ,,, nξξξξ – точка, в которой нужно найти значение функции.
Если nixx i
j
ii
j ii
,1,)(
1
)()( =<ξ≤ + , то для интерполяции необходимо знать значе-
ния переменных ( )nijxx ii
i
j
i
j ii
,1,,, )(
1
)( =θ+ и значения функции
( )1 1 2 2
(1) (2) ( ), , ,
n n
n
j j jf x x xθ θ θ+ + + ,
( )1 1 2 2
(1) (2) ( )
1 , , ,
n n
n
j j jf x x xθ θ θ+ − + + ,
( )1 1 2 2 3 3
(1) (2) (3) ( )
1, , , ,
n n
n
j j j jf x x x xθ θ θ θ+ + − + + ,
( )1 1 2 2 3 3 4 4
(1) (2) (3) (4) ( )
1, , , , ,
n n
n
j j j j jf x x x x xθ θ θ θ θ+ + + − + + ,
…………………………………………………………………………………………
( )1 1 2 2 1 1
(1) (2) ( 1) ( )
1, , , ,
n n n n
n n
j j j jf x x x xθ θ θ θ− −
−
+ + + − + ,
( )1 1 2 2 1 1
(1) (2) ( 1) ( )
1, , , ,
n n n n
n n
j j j jf x x x xθ θ θ θ− −
−
+ + + + − . (6)
Заключение. Исследование погрешности интерполяционных формул для
функций многих независимых переменных связано с рядом трудностей при
оценке остаточного члена.
Во-первых, оценить остаточный член интерполяционной формулы функции
многих переменных по аналогии с оценкой остаточного члена для функции
одного переменного невозможно, так как теорема Роля для случая многих неза-
висимых переменных действовать не будет.
А.А. КАЛЕНЧУК-ПОРХАНОВА, Т.М. ФЕСУН
Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2009, № 8 34
Во-вторых, формулы остаточного члена при интерполировании функции
многих переменных очень громоздки и трудно подобрать алгоритм, вычисляю-
щий остаточный член с большой степенью точности.
Для нашей задачи линейной интерполяции функции многих переменных
формула остаточного члена будет ещё более громоздкая за счёт того, что в неё
войдут члены интерполяционной формулы, включающие разделённые разности,
начиная со 2-го порядка и выше.
Формула остаточного члена разбита на две части и имеет вид
( ) ( ) ( )nnn RRR 21 += .
Для оценки )(
2
nR необходимо вычислять разделённые разности
( ))()1()(
1
)(
0
)()2()1( ;;;;;;;; niiii xxxxxxxf + .
Это возможно только тогда, когда известно аналитическое выражение
функции. Так как в нашей задаче функция задана в виде таблицы, то можно бы-
ло бы вычислять разделённые разности путём численного дифференцирования,
но этот приближенный метод привёл бы к ещё большему увеличению погреш-
ности. Поэтому имеет смысл ограничиться вычислением только ( )nR1 , учитывая
при этом, что полученное значение ( )nR1 будет нижней границей точности полу-
ченного решения.
Алгоритм линейной интерполяции функции многих переменных реализован
на языке Алгол-60, а также на языке С++ для суперкомпьютера с кластерной
архитектурой. Алгоритм может быть применен для расчетов, когда требует-
ся вычислять значения в заданных точках n-мерных пространств, в частности
в картографии.
1. Стефенсен Н.Ф. Теория интерполяции. − ОНТИ, М-1, 1935. − 236 с.
2. Микеладзе Ш.Е. Численные методы математического анализа. − ГТТИ, 1953. − 527 с.
3. Гончаров В.Л. Теория интерполирования функций: 12-е изд. − ГТТИ, 1954. − 327 с.
4. Соболев С.Л. О задаче интерполирования функции n переменных // Докл. АН СССР. −
1961. − 137
5. Порханова А.А., Фесун Т.М. Линейное интерполирование функций многих переменных
// Материалы IV республ. науч. конф. молодых исследователей по системотехнике. −
Киев, 1970. −
, № 4. − С. 126 −154.
III
Получено 12.10.2009
. − С. 68 −78.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-6532 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1817-9908 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:03:12Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Каленчук-Порханова, А.А. Фесун, Т.М. 2010-03-05T15:17:11Z 2010-03-05T15:17:11Z 2009 Линейное интерполирование функций многих переменных / А.А. Каленчук-Порханова, Т.М. Фесун // Комп’ютерні засоби, мережі та системи. — 2009. — № 8. — С. 28-34. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1817-9908 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6532 004.428.4:519.651 Рассматриваются вопросы существования, единственности и построения интерполяционных полиномов функции многих переменных. Розглядаються питання існування, єдиності і побудови інтерполяційних поліномів функції багатьох змінних. The issues of existence, uniqueness and construction of interpolation polynoms of functions of many-variables are considered in this article. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Линейное интерполирование функций многих переменных Linear interpolation of functions of many-variables Article published earlier |
| spellingShingle | Линейное интерполирование функций многих переменных Каленчук-Порханова, А.А. Фесун, Т.М. |
| title | Линейное интерполирование функций многих переменных |
| title_alt | Linear interpolation of functions of many-variables |
| title_full | Линейное интерполирование функций многих переменных |
| title_fullStr | Линейное интерполирование функций многих переменных |
| title_full_unstemmed | Линейное интерполирование функций многих переменных |
| title_short | Линейное интерполирование функций многих переменных |
| title_sort | линейное интерполирование функций многих переменных |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6532 |
| work_keys_str_mv | AT kalenčukporhanovaaa lineinoeinterpolirovaniefunkciimnogihperemennyh AT fesuntm lineinoeinterpolirovaniefunkciimnogihperemennyh AT kalenčukporhanovaaa linearinterpolationoffunctionsofmanyvariables AT fesuntm linearinterpolationoffunctionsofmanyvariables |