Слоистый сверхпроводник как система кулоновских частиц двух типов
Термодинамические свойства слоистых сверхпроводников (СП) с джозефсоновской связью анализируются в рамках модели Лоуренса–Дониака в лондоновском приближении. Показано, что в таком приближении эти СП можно рассматривать как систему классических безмассовых кулоновских частиц двух типов, взаимодейству...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Физика и техника высоких давлений |
|---|---|
| Дата: | 2009 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Донецький фізико-технічний інститут ім. О.О. Галкіна НАН України
2009
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/69217 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Слоистый сверхпроводник как система кулоновских частиц двух типов / А.Н. Артемов // Физика и техника высоких давлений. — 2009. — Т. 19, № 3. — С. 79-93. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860138808739102720 |
|---|---|
| author | Артемов, А.Н. |
| author_facet | Артемов, А.Н. |
| citation_txt | Слоистый сверхпроводник как система кулоновских частиц двух типов / А.Н. Артемов // Физика и техника высоких давлений. — 2009. — Т. 19, № 3. — С. 79-93. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Физика и техника высоких давлений |
| description | Термодинамические свойства слоистых сверхпроводников (СП) с джозефсоновской связью анализируются в рамках модели Лоуренса–Дониака в лондоновском приближении. Показано, что в таком приближении эти СП можно рассматривать как систему классических безмассовых кулоновских частиц двух типов, взаимодействующих друг с другом. Большая статсумма системы анализируется методом ренормализационной группы (РГ) в реальном пространстве. Показано, что в такой системе отсутствует фазовый переход Березинского–Костерлица–Таулесса (БКТ).
Термодинамічні властивості шаруватих надпровідників з джозефсонівським зв’язком аналізуються в рамках моделі Лоуренса–Доніака у лондонівському наближенні. Показано, що в такому наближенні ці надпровідники можна розглядати як систему класичних безмасових часток двох типів, взаємодіючих між собою. Велика статсума системи аналізується за методом ренормалізаційної групи у реальному просторі. Показано, що у такій системі відсутній фазовий перехід Березинського–Костерліца–Таулеса.
Thermodynamic properties of layered superconductors (LS) with Josephson coupling are analysed in framework of the Lawrence–Doniach model in the London approximation. It is shown that in this approximation the LS can be considered as a system of classical massless Coulomb particles of two types interacting with each other. The grand partition function of the system is analysed by means of real space renormalization group (RG) approach. It is shown that in such a system the Berezinskii–Kosterlitz–Thouless phase transition is absent.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:47:54Z |
| format | Article |
| fulltext |
Физика и техника высоких давлений 2009, том 19, № 3
© А.Н. Артемов, 2009
PACS: 74.20.–z, 74.25.Bt, 74.72.–h, 64.60.Ak
А.Н. Артемов
СЛОИСТЫЙ СВЕРХПРОВОДНИК КАК СИСТЕМА КУЛОНОВСКИХ
ЧАСТИЦ ДВУХ ТИПОВ
Донецкий физико-технический институт им. А.А. Галкина НАН Украины
ул. Р. Люксембург, 72, г. Донецк, 83114, Украина
E-mail: artemov@kinetic.ac.donetsk.ua
Статья поступила в редакцию 17 декабря 2008 года
Термодинамические свойства слоистых сверхпроводников (СП) с джозефсоновской
связью анализируются в рамках модели Лоуренса–Дониака в лондоновском прибли-
жении. Показано, что в таком приближении эти СП можно рассматривать как
систему классических безмассовых кулоновских частиц двух типов, взаимодейст-
вующих друг с другом. Большая статсумма системы анализируется методом ре-
нормализационной группы (РГ) в реальном пространстве. Показано, что в такой
системе отсутствует фазовый переход Березинского–Костерлица–Таулесса (БКТ).
Ключевые слова: слоистый сверхпроводник, модель Лоуренса–Дониака, 2D-вихрь,
джозефсоновская связь, фазовый переход
1. Введение
Поведение системы вихрей связанных слоистых СП представляет одну из
самых сложных и интересных проблем термодинамики квазидвумерных
систем. Оно демонстрирует размерный кроссовер и другие особенности
низкоразмерных систем, которые постоянно находятся в сфере интересов
статистической физики.
Слоистые СП без джозефсоновской связи представляют собой двумерную
(2D) систему. В качестве тепловых возбуждений в них могут возникать маг-
нитные 2D-вихри, связанные в нейтральные пары. Они являются топологиче-
скими возбуждениями системы, взаимодействующими друг с другом по 2D-
закону Кулона, согласно которому энергия взаимодействия логарифмически
зависит от расстояния между частицами. В газе таких вихрей наблюдается
фазовый переход БКТ [1,2], являющийся как бы «визитной карточкой» 2D-
систем. Существование перехода обусловлено неустойчивостью системы 2D-
вихрей относительно диссоциации нейтральных пар в газ свободных вихрей,
которая возникает при температуре перехода в результате конкуренции кон-
фигурационной энергии системы вихрей и ее энтропии. Такие системы до-
вольно просты, и их свойства изучены достаточно хорошо [3].
Физика и техника высоких давлений 2009, том 19, № 3
80
При наличии джозефсоновской связи слоистые СП уже нельзя рассмат-
ривать как 2D-системы. Простейшими тепловыми возбуждениями в них яв-
ляются пары 2D-вихрей, магнитный поток которых замкнут двумя джозеф-
соновскими вихрями. Энергия взаимодействия 2D-вихрей в этом случае ло-
гарифмически зависит от расстояния при малом размере пары и асимптоти-
чески линейно – при большом [4]. Эти системы гораздо более трудны для
исследования, и их свойства изучены в значительно меньшей степени.
Одним из подходов к исследованию таких систем явилось изучение
свойств систем классических безмассовых частиц (вихрей), энергия взаимо-
действия которых состоит из суммы логарифмического и линейного слагае-
мых [5–8]. В этом подходе линейное натяжение джозефсоновских вихрей
учитывается только как часть энергии взаимодействия 2D-вихрей. Однако
для корректного изучения проблемы необходимо рассматривать джозефсо-
новскую подсистему в качестве независимого субъекта термодинамических
процессов, обладающего своими конфигурационной энергией, собственной
энергией и энтропией и взаимодействующего с подсистемой 2D-вихрей.
Другой подход состоит в исследовании свойств трехмерной анизотропной
XY-модели. Было показано [9–11], что в ней могут существовать возбужде-
ния такого же типа, как в слоистых СП с джозефсоновской связью. Эта мо-
дель изучалась численно методом Монте-Карло [10,12] и аналитически
[13,14]. Результаты исследований показали, что в модели происходит пере-
ход типа БКТ при температуре Tc, более высокой, чем температура TKT пе-
рехода в планарной модели, и связь между слоями исчезает при той же тем-
пературе.
Пирсон и Воллс рассмотрели модель, названную ими моделью XY-слоев
с лоуренс-дониаковским типом связи между слоями [15]. Она представляет
собой 2D-модель sine-Gordon в каждом слое с дополнительным слагаемым в
виде косинуса от разности фаз в соседних слоях. Эта модель не следует из
модели Лоуренса–Дониака [16], однако она, по-видимому, правильно ухва-
тывает свойства связанных систем. Анализируя поведение модели, авторы
разложили дополнительный косинус до квадратичного слагаемого и приме-
нили метод РГ в импульсном пространстве. Не обнаружив неподвижной
точки, они делают предположение о существовании такой точки в той об-
ласти фазового пространства, в которой пертурбативная РГ становится не-
применимой.
Попытка решить ту же проблему, которая обсуждается в данной статье,
предпринята в работе [17]. Авторы основывают свой подход на одномерной
модели sine-Gordon и используют ее связь с моделью 2D-кулоновского газа.
Статсумма модели представлена в виде функционального интеграла по двум
некоммутирующим переменным. Анализируется поведение модели методом
РГ. Построенные преобразования РГ не имеют неподвижной точки. Тем не
менее авторы делают вывод о существовании в модели фазового перехода
второго рода, температура которого зависит от энергии кора вихря.
Физика и техника высоких давлений 2009, том 19, № 3
81
В представленной работе предложен подход к проблеме, в котором мо-
дель Лоуреса–Дониака [16] в лондоновском пределе преобразована в систе-
му классических кулоновских частиц двух типов. Статсумма этой системы
анализируется методом РГ в реальном пространстве. Полученные преобра-
зования РГ не имеют неподвижной точки и, следовательно, рассматриваемая
система не подвержена фазовому переходу второго рода.
2. Модель Лоуренса–Дониака в лондоновском приближении
Модель Лоуренса–Дониака [16] (см. также обзор [18]) представляет собой
модель Гинзбурга–Ландау, адаптированную к слоистым СП. В настоящее
время эта модель слишком сложна для непосредственного анализа, поэтому
мы максимально упростим ее. Прежде всего ограничимся лондоновским
приближением, т.е. будем рассматривать только флуктуации фазы парамет-
ра порядка, а модуль примем за константу, не зависящую от координат.
Следующее приближение состоит в том, что мы исключим магнитное взаи-
модействие токов, протекающих в слоях. Оно сводится к пренебрежению
вклада векторного потенциала в термодинамику модели.
Статсумма упрощенной таким образом модели может быть записана в
виде
( ) ( )
2
12
1 dexp d 2 cos
2 2
n
f n n
n n
Z D y
J +
⎧ ⎫∇θ⎪ ⎪= θ − + θ −θ⎨ ⎬π τ⎪ ⎪⎩ ⎭
∑ ∑∫ ∫
rr . (1)
Здесь θn – фаза параметра порядка в слое n; 2 2
04 /J T= π Λ φ (где 22 / sΛ = λ ,
λ – лондоновская глубина проникновения, s – период слоистой структуры, T –
температура, 0φ – квант потока); τ – минимальная длина модели, по порядку
величины равная длине когерентности СП. В статистической механике вве-
денная здесь величина yf называется активностью (фугитивностью) системы.
В модели (1) она пропорциональна плотности критического тока джозефсо-
новской связи.
Эта модель описывает термодинамику джозефсоновской подсистемы
слоистых СП. Она (с учетом магнитного взаимодействия) анализировалась в
работе [19]. Автор работы показал, что в системе происходит фазовый пере-
ход типа БКТ при температуре
2
0
22 ( )f
f
T
T
φ
=
π Λ
. (2)
Нас интересует более сложная проблема изучения термодинамики джо-
зефсоновской подсистемы, взаимодействующей с подсистемой 2D-вихрей. С
целью построения соответствующей модели преобразуем (1) следующим
образом. Возьмем экспоненту с косинусоидальным членом, соответствую-
щую одному слою n, и разложим ее в ряд Тейлора
Физика и техника высоких давлений 2009, том 19, № 3
82
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1
1 1
12 2 2
2 2
12
d d dexp 2 cos exp e exp e
1 d 1 de e
! !
d1 1 exp ( )
! !
n n n n
n n
n n n n
n n
n n
n
n n
n
i i
f n n f f
M M
i i
f f
n nM M
M M
f n
n nM
y y y
y y
M M
y i
M M
+ +
+ −
+ +
+ −
+ −
±
θ θ − θ θ
+
θ θ − θ θ
+ −
+
α
α + α
+ −
⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫θ −θ = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬
τ τ τ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟τ τ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞
= σ θ⎜ ⎟
τ⎝ ⎠
∫ ∫ ∫
∑ ∑∫ ∫
∑ ∫
r r r
r r
r
r( )( ) .
n n
n
n
M M
n
+ −+
α
α
⎧ ⎫⎪ ⎪− θ⎨ ⎬
⎪ ⎪⎩ ⎭
∑ r
При переходе от второй строки к третьей степени заменены произведения-
ми, произведение экспонент – экспонентой от суммы, сумма распространена
на все слагаемые, а знак слагаемого учитывается величиной 1
nασ = ± . Далее
произведем замену переменной интегрирования Jθ⇒ θ и введем «заряд»
n n
q Jα α= σ . После этого выражение (1) можно переписать в виде
( )
2
2 2
d1
!
n
n
n
M
f
Mn n
Z y
M
α
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= ×⎜ ⎟
⎢ ⎥τ⎝ ⎠⎣ ⎦
∑∏ ∫
r
( ) ( )
2
1
1exp d ( ) ( )
2 2 n n n
n
n
n n
n n
D i qα + α α
α
⎧ ⎫∇θ⎪ ⎪× θ − + θ − θ⎨ ⎬
π⎪ ⎪⎩ ⎭
∑ ∑∑∫ ∫ r r r . (3)
Полученное выражение имеет вид статсуммы системы кулоновских частиц,
являющихся источниками поля θ и взаимодействующих с ним. Эти частицы
будем называть флуксонными и подробнее обсудим их далее. В статсумму
(3) включены только нейтральные состояния с равным числом частиц с про-
тивоположными знаками в каждом слое n nM M+ −= . Заряженные состояния
имеют очень большую энергию и дают пренебрежимо малый вклад в термо-
динамику системы.
Введем в систему 2D-вихри. В лондоновском приближении они рассмат-
риваются как топологические дефекты фазы параметра порядка, задаваемые
условием (с учетом сделанной замены переменной)
[ ] ˆ, ( ) 2 ( ),
n nn j jr zp r r∇ ∇θ = π δ − ( , ( )) 0,n r∇ ∇θ = (4)
где введен топологический заряд вихря 1/
njp J= ± , ẑ – единичный вектор
в направлении оси z. Простые вычисления на основе (3) и (4) позволяют
найти равновесные значения энергии взаимодействия двух вихрей и фазу,
связанную с одним вихрем:
( ) ( ) arctg n
n n n n
n
j
n j j j j
j
y y
p w p
x x
−
θ − = − =
−
r r r r . (5)
Теперь можно записать статсумму системы, включающей подсистемы джо-
зефсоновскую (3) и 2D-вихрей:
Физика и техника высоких давлений 2009, том 19, № 3
83
( ) ( )
( )
1 1
1
2 2
2 2 2 2
2
1
d d1 1
! !
1 1exp ln exp d
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n n n n n n n n
n n
M N
j
f v
M Nn n n
i j n
i j
n i j n
n j j n j j
j j
Z y y
M N
p p D
i q r p w r r r p w r r
+ +
+
α
≠
α + α α α α
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥= ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎢ ⎥τ τ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎧ ⎫ ⎧− ∇θ⎪ ⎪ ⎪× θ − +⎨ ⎬ ⎨
τ π⎪ ⎪ ⎪⎩⎩ ⎭
⎛ ⎞
⎜ ⎟+ θ + − − θ − −
⎜
⎝ ⎠
∑ ∑∏ ∫ ∫
∑ ∑ ∑∫ ∫
∑ ∑
r r
r r
r
.
nn α
⎫⎪
⎬⎟⎪⎭
∑∑
Здесь yv – активность подсистемы 2D-вихрей, греческие индексы помечают
величины, характеризующие джозефсоновскую подсистему, а латинские –
подсистему 2D-вихрей. В полученном выражении, по сравнению с (3), до-
бавлена собственно статсумма подсистемы 2D-вихрей и, кроме того, к фа-
зам, обусловленным джозефсоновским взаимодействием, добавились фазы,
источниками которых являются 2D-вихри.
Последний шаг – вычисление интеграла по полю θ. Оно выполняется
элементарно, поскольку действие квадратично по θ, а градиентный член
диагонализуется в импульсном представлении. В результате получаем иско-
мую статсумму системы классических безмассовых частиц двух типов
( ) ( )
2 2 22
2 2 2 2
,
,
,
,
d d
! !
1 1exp (| |) (| |)
2 2
( )
n n nn
n n
n nn n jn n
n n n n n n n n
n n n n
n n n n
n n
M M NN
jf v
M Nn jD Dn n
i j i j n n
n i j n n
j n n j
j
y yZ
M N
p p v q q u
i q p w
α
′ ′
′
′ ′
′
α
α
′α β α β
′≠ α ≠β
′α α
α
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ×⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟τ τ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎧⎪× − − − − +⎨
⎪⎩
+ −
∑ ∑∏ ∏ ∏∫ ∫
∑ ∑ ∑ ∑
∑
r r
r r r r
r r
,
,
n n′
⎫⎪
⎬
⎪⎭
∑
(6)
где
| |
(| |) ln ,n n
n n
i j
i jv
−
− = −
τ
r r
r r 1
njp
J
= ±
– соответственно потенциал взаимодействия и заряд 2D-вихрей в слое n;
( ), , 1, 1,
| |
(| |) ln 2n n
n nn n n n n n n nu ′
′
α β
′ ′ ′ ′α β + −
−
− = − δ − δ −δ
τ
r r
r r ,
n
q Jα = ±
– потенциал взаимодействия и заряд флуксонных частиц в слоях n и n′;
( ), 1, ,( ) arctg n n
n n
n n
j
n n j n n n n
j
y y
w r r
x x
′
′
α
′ ′ ′α +
α
−
− = δ − δ
−
Физика и техника высоких давлений 2009, том 19, № 3
84
– «потенциал» взаимодействия флуксонных частиц и 2D-вихрей в слоях n и
n′. Здесь также указаны области интегрирования по координатам частиц
n
Dα и
njD , которые представляют собой всю площадь слоя, за исключени-
ем дисков радиуса τ вокруг частиц.
Таким образом, мы свели модель Лоуренса–Дониака к системе кулонов-
ских частиц двух видов. 2D-вихри представляют собой топологические де-
фекты, заданные условиями (4), и их можно рассматривать как 2D-кулонов-
ский газ.
Флуксонные частицы представляют собой диполи, полюса которых нахо-
дятся в соседних слоях. Их можно рассматривать как отрезки токовых ли-
ний, соединяющих два слоя. Взаимодействие этих частиц сводится к куло-
новскому взаимодействию полюсов, расположенных в одном слое. Эти час-
тицы также являются топологическими дефектами, определяемыми усло-
виями
[ ], ( ) 0n r∇ ∇θ = , ( ) 1, ,, ( ) 2 ( )( )
n n nn n n n nr r q r r′ ′ ′α α α +∇ ∇θ − = π δ − δ − δ .
Необычным в таком подходе оказывается «потенциал» взаимодействия
частиц разных типов. Он не является потенциальной функцией, поскольку
не зависит от расстояния между частицами. Это просто угол наклона ради-
ус-вектора, соединяющего положения двух частиц.
3. Уравнения РГ
Анализ поведения модели выполнен методом РГ в реальном простран-
стве. Ввиду громоздкости промежуточных выражений мы не можем при-
вести подробный вывод уравнений РГ. Однако подробное и ясное описа-
ние этого метода для анализа модели 2D-кулоновского газа имеется в ра-
ботах Костерлица [20] и Пирсона [21]. Мы использовали тот же подход с
довольно очевидными отличиями, обусловленными различием моделей.
Поэтому отметим только ключевые моменты, связанные с особенностями
нашей модели.
Первым шагом в построении РГ является интегрирование статсуммы
(6) по мелкомасштабным состояниям. В нашем случае это выполняется
следующим образом. Рассматриваем две частицы, находящиеся на рас-
стоянии друг от друга в интервале от τ до τ + dτ, и находим влияние всех
возможных состояний этих частиц на взаимодействие остальных. В отли-
чие от 2D-кулоновского газа здесь возможны два варианта таких пар. Это
топологически нейтральные пары 2D-вихрей и такие же пары флуксон-
ных частиц. Интегрирование по состояниям других пар ведет к появле-
нию заряженных состояний системы, вклад которых в статсумму пренеб-
режимо мал. В соответствии с этим разобьем интегрирования в (6) по ко-
ординатам на части
Физика и техника высоких давлений 2009, том 19, № 3
85
, ( )
d d
1d d d d d
2
d d
n n
n n jn n
n n n n n
n nn n n n nj i j k nn n n n n
n n
n in n
i
iD D
i i j k
j ki i j kD D D D j
i
i D D
α
α
α
α
α
α
≠α ≠′ ′ ′ ′′ δ
α
′ ′
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟+
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∏ ∏∫ ∫
∑∏ ∏ ∏∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∏ ∫ ∫
r r
r r r r r
r r
, ( )
2
1 d d d
2
(d ).
n n n
n nn n n n nn n nD D
O
α β γ
α β γ
β ≠γα α ≠β γ ′ ′′ δ β
⎡ ⎤⎛ ⎞
⎢ ⎥⎜ ⎟+ +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
+ τ
∑∏ ∏ ∫ ∫ ∫r r r
Здесь пределы интегрирования
n
Dα′ и
njD′ представляют собой всю площадь
слоя, за исключением дисков радиуса τ + dτ вокруг частиц. В выписанных
отдельно интегралах ( )
nk njδ и ( )
n nγδ β – это кольца шириной dτ вокруг
дисков радиуса τ около частиц nj и nβ соответственно,
njD′′ и
n
Dβ′′ означают
интегрирование по всем возможным состояниям частиц nj и nβ . Вычисле-
ние этих интегралов дает вклад мелкомасштабных структур в статсумму.
Вычисления продемонстрируем на примере интеграла по координатам
njr и
nkr 2D-вихрей. Для этого выделим часть выражения статсуммы, со-
держащую энергии взаимодействия всех частиц с вихрями nj и nk :
( )
d d exp ( ) ( )
( ) ( ) .
n n n n n n n n n
nj k nn n
n n n n n n n
n
j k i j j i k k i
iD j
j j i k
n
p p v r p v r
i q p w p w
′ ′ ′
′
′′ δ
α α α
′ α
⎧⎪ ⎡ ⎤− + +⎨ ⎣ ⎦
⎪⎩
⎫⎪⎡ ⎤+ + ⎬⎣ ⎦
⎪⎭
∑∫ ∫
∑∑
r r
r r
Далее необходимо учесть, что
n nk jp p= − и
n nk j= +r r τ . В результате, выпи-
сывая явно выражения для потенциалов, получаем
( )
22
2
0
1, ,2
( )1d d d exp ln
2
,
arctg .
n
n n n
n n njn
n n
n n
n n n
i
j j i
i j iD
j z
j n n n n
n j
p p
r
p q
r
′
′
′ ′
π
′′
α
′ ′α +
′ α α
⎧ +⎪τ τ θ − −⎨
⎪⎩
⎫⎡ ⎤ ⎪⎣ ⎦− δ − δ ⎬
⎪⎭
∑∫ ∫
∑∑
r τ
r
r τ
Предположив, что концентрация частиц в системе мала, можно полагать,
что вероятность нахождения третьей частицы в близкой окрестности пары
jn–kn невелика. Следовательно, мы можем разложить полученное выражение
Физика и техника высоких давлений 2009, том 19, № 3
86
в ряд по малому параметру τ/r (где r – расстояние до третьей частицы) и вы-
полнить интегрирование по угловой переменной, что дает нам
( )
''
2
2 2 2
2
, 1, 1,2 2 2
2
( , )( ) 12 d d 1
4
( , )( ) 1 2
4
[ , ]( )
4
n n n n
n n n
n n n n n n n njn
n n n n
n n
n n n n n n n n
n n n n
n n
j k j l
j k l
k l j k j l j kD
j j
n n n n n n
n j j j
j j k
k
p p p
r r r
p q q
r r r
pi p q
′
′
′ ′ ′
′
≠
α β
′ ′ ′α β + −
′ α ≠β α β α
α
α
⎡ ⎛ ⎞τ⎢ ⎜ ⎟πτ τ + − −
⎜ ⎟⎢ ⎝ ⎠⎣
⎛ ⎞τ ⎜ ⎟− − δ −δ − δ +
⎜ ⎟
⎝ ⎠
τ
+
∑∫
∑ ∑
r r
r
r r
r r
1, ,2 2
,
( ) .
n n n n n n
z
n n n n
n k j j kr r
′
′ ′+
′ α α
⎤
⎥δ − δ
⎥⎦
∑ ∑
В этом выражении первое слагаемое после единицы перенормирует взаимо-
действие 2D-вихрей, второе – взаимодействие флуксонных частиц. Интегра-
лы, появляющиеся здесь, те же, что и в работах [20,21], и приводят к таким
же выражениям.
Последнее слагаемое должно перенормировать взаимодействие 2D-
вихрей и флуксонных частиц. Однако в результате интегрирования по угло-
вой переменной оно тождественно обращается в нуль. Этот результат важен
для построения РГ. Он показывает, что произведение затравочных зарядов
2D-вихрей и флуксонных частиц
'
1
n njp qα = ± остается неизменным и после
перенормировки. Это означает, что в действительности перенормируются не
заряды частиц, а величина J.
Расчет влияния флуксонных частиц на перенормировку гамильтониана
мало отличается от описанного выше. Основной отличительной особенно-
стью такой перенормировки является появление взаимодействия частиц, на-
ходящихся в разных слоях, которого не было в исходном гамильтониане. В
этой работе мы не будем принимать во внимание появление новых слагае-
мых и ограничимся перенормировкой только параметров затравочного га-
мильтониана (6).
После вычисления оставшихся интегралов получим вклад в перенорми-
ровку статсуммы, обусловленный взаимодействием с парой 2D-вихрей:
( )
2( 1)2 2
, ,
2 2
, 1, 1,
22 d ln
4
2 ln 2 ,
4
n
n n
n n
n n
n n n n
n n
n n
n n
N
k l
k l
k l
k l i j
n n n n n n
n
rpA p p
rp q q ′
′
′
−
≠
≠
α β
′ ′ ′α β + −
′ α ≠β
⎡
⎢ πτ
πτ τ − +⎢
τ⎢
⎢⎣
⎤
⎥πτ
+ δ − δ − δ ⎥τ ⎥
⎥⎦
∑
∑ ∑
и аналогичным образом найденный вклад флуксонных частиц
Физика и техника высоких давлений 2009, том 19, № 3
87
( )
'
2( 1)2 2
, 1, 1,
'
, ,
2 2
22 d ln 2
2
2 ln .
2
n
n n
n n
n n
n n n n
n n
n n
n n
M
n n n n n n
n
i j
i j
i j
rqA q q
rq p q
′
′
′
−
γ δ
′ ′ ′γ δ + −
γ ≠δ
γ δ ≠α β
≠
⎡
⎢ πτ
πτ τ − δ − δ − δ +⎢
τ⎢
⎢⎣
⎤
⎥πτ
+ ⎥τ ⎥
⎥⎦
∑ ∑
∑
Теперь, действуя в соответствии с [20,21], эти вклады нужно подставить в
перенормированную статсумму, включив первое выражение в состояние с
числом частиц 1,n nN M− и второе – в состояние с числом частиц
, 1n nN M − , переобозначив 1 ( 1)n nN M− − на ( )n nN M . Подняв эти малые
добавки в показатель экспоненты, найдем перенормировку зарядов частиц за
счет взаимодействия
( ){ }
( ) ( )
( ) ( )
22 2 22 2
2 2
,
2
2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2
exp 2 d d d
! !
1 d dexp 1 (2 ) (2 ) ( )
2 2
1 d d1 (2 ) (2 )
2 2
nn n n
n n
n n
n n n n
n n
n n
MN N Mfv
v f j
N Mn n n
i j v f i j
n i j
f v nn
yy
Z y y A
N M
pp p y y q v r
pq q y q y u
′
α
≠
′α β
= π + τ τ ×
⎧ ⎡ ⎤⎛ ⎞τ τ⎪× − − − π τ + π τ −⎢ ⎥⎜ ⎟⎨ ⎜ ⎟τ τ⎢ ⎥⎪ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎩
⎛ ⎞τ τ
− − − π τ + π τ⎜ ⎟⎜ ⎟τ τ⎝ ⎠
∑∏ ∫ ∫
∑ ∑
r r
,
, ,
( )
( ) .
n n
n n
n n n n
n n
n n
j nn j
n n j
r
i q p w
′
′
′
′
α β
′ α ≠β
′α α
′ α
⎡ ⎤
+⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
⎫⎪+ ⎬
⎪⎭
∑ ∑
∑ ∑ r
Вторым шагом в построении уравнений РГ является изменение масштаба
пространственных переменных таким образом, чтобы пределы интегрирова-
ния стали такими же, как в исходной статсумме. Для этого перейдем к новой
пространственной переменной /(1 d / )r r′ = + τ τ :
2
2
,
d1 2
2
n
n n
N
v
N Mn
pZ y
⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞τ
⎢ ⎥= + − ×⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟τ⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦
∑∏
( )
( )
( )
2 2
2
2
2 2
1 d 11 2 d d
! !
n n
n
n n
jn n
N M
M
f j
D Dn n
y q
N M
α
α
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ τ ⎤⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟× + − ×⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟τ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∫ ∫r r
2
2 2 2 2 21 d dexp 1 (2 ) (2 ) ( )
2 2n n n n
n n
i j v f i j
n i j
pp p y y q v r
≠
⎧ ⎡ ⎤⎛ ⎞τ τ⎪× − − − π τ + π τ −⎢ ⎥⎜ ⎟⎨ ⎜ ⎟τ τ⎢ ⎥⎪ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎩
∑ ∑
Физика и техника высоких давлений 2009, том 19, № 3
88
' '
'
2
2 2 2 2 2
'
, '
1 d d1 (2 ) (2 ) ( )
2 2n n n n
n n
f v nn
n n
pq q y q y u rα β α β
α ≠β
⎡ ⎛ ⎞τ τ
− − − π τ + π τ +⎢ ⎜ ⎟⎜ ⎟τ τ⎢ ⎝ ⎠⎣
∑ ∑
' '
'
'
, ' ,
( )
n n n n
n n
j nn j
n n j
i q p wα α
α
⎫⎤⎪⎥+ ⎬
⎥⎪⎦⎭
∑ ∑ r .
Теперь видно, что это выражение имеет такой же вид, как исходная стат-
сумма (6), за исключением того, что параметры гамильтониана перенорми-
рованы:
( ) ( ) ( )
22 22 2 2 2 2d d1 2 2
2v f
pp p y y q
′ ⎛ ⎞τ τ
= − π τ + π τ⎜ ⎟⎜ ⎟τ τ⎝ ⎠
, (7)
( ) ( ) ( )
22 22 2 2 2 2d d1 2 2
2f v
pq q y q y
′ ⎛ ⎞τ τ
= − π τ + π τ⎜ ⎟⎜ ⎟τ τ⎝ ⎠
, (8)
2d1 2
2v v
py y
⎛ ⎞⎛ ⎞τ′ = + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟τ ⎝ ⎠⎝ ⎠
,
( )2d1 2f fy y qτ⎛ ⎞′ = + −⎜ ⎟τ⎝ ⎠
.
Чтобы получить уравнения РГ в нужной нам дифференциальной форме,
вспомним, что заряды p и q связаны с величиной J (6), и введем новые пе-
ременные lnt = τ , 22v vy y′ = π τ и 22f fy y′ = π τ . В результате получаем (штри-
хи опущены)
2 2 2d 1
d 2 v f
J y J y
t
= − , (9)
d 12
d 2
v
v
y y
t J
⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
, (10)
( )
d
2
d
f
f
y
J y
t
= − . (11)
В этой системе содержатся три уравнения, поскольку, как легко убедиться,
уравнения (7) и (8) приводят к одинаковым уравнениям для J. Система (9)–
(11) исследуется в следующих разделах.
4. Поведение системы несвязанных подсистем 2D-вихрей и флуксонных
частиц
Поведение связанной системы 2D-вихрей и флуксонных частиц довольно
сложное. В нем можно увидеть особенности, обусловленные влиянием как
Физика и техника высоких давлений 2009, том 19, № 3
89
одной, так и другой подсистем. Чтобы понять, к каким следствиям для всей
системы приводит система уравнений РГ (9)–(11), удобно сравнить фазовые
портреты связанной системы и независимых подсистем. Ввиду сказанного
приведем минимально необходимое количество сведений о поведении под-
систем 2D-вихрей и флуксонных частиц.
Обе системы являются двумерными, и поведение их хорошо исследовано
(см., напр., (19)). Уравнения РГ для них получаются из системы (9)–(11), ес-
ли положить 0fy = для подсистемы 2D-вихрей:
2d 1
d 2 v
J y
t
= , d 12
d 2
v
v
y y
t J
⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
(12)
и 0vy = – для подсистемы флуксонных частиц (или джозефсоновской):
2 2d
d f
J J y
t
= − , ( )
d
2
d
f
f
y
J y
t
= − . (13)
Фазовые портреты уравнений (12) и (13) показаны на рис. 1. Основной осо-
бенностью этих портретов является наличие неподвижных точек седлового
типа: J = 1/4, yv = 0 для 2D-вихрей и J = 2, yf = 0 для флуксонных частиц. Бо-
лее того, данные фазовые портреты содержат не просто неподвижные точки,
а линии неподвижных точек, определяемые условиями yv = 0 и yf = 0. Это
значит, что в рассматриваемых системах происходят фазовые переходы вто-
рого рода типа БКТ при температурах
( )
2
0
216KTv
KTv
T
T
φ
=
π Λ
и
( )
2
0
22KTf
KTf
T
T
φ
=
π Λ
,
причем всегда TKTv < TKTf .
а б
Рис. 1. Фазовые портреты систем 2D-вихрей (а) и флуксонных частиц (б). Штрихо-
выми линиями показаны сепаратрисы вблизи неподвижных точек седлового типа
Другой важной особенностью фазовых портретов на рис. 1 является на-
правление движения систем вдоль фазовых траекторий. Видно, что системы
движутся в противоположных направлениях. Данное обстоятельство обу-
словлено знаком правой части первых уравнений (12) и (13). На языке кон-
центраций частиц эта особенность проявляется так. При температурах ниже
фазового перехода KTvT T< ( 1/ 4J < ) концентрация 2D-вихрей равна нулю,
Физика и техника высоких давлений 2009, том 19, № 3
90
а при KTvT T> ( 1/ 4J > ) появляется ненулевая концентрация свободных
вихрей. В случае флуксонных частиц ситуация иная. При KTfT T> ( 2J > )
свободные частицы отсутствуют, а при KTfT T< ( 2J < ) в системе присутст-
вует конечная концентрация частиц. Обратим внимание также на следующее
обстоятельство. Поскольку активность системы флуксонных частиц yf про-
порциональна критической плотности тока джозефсоновской связи (см. (1)),
в точке перехода KTfT T= связь между плоскостями исчезает.
5. Поведение системы связанных подсистем 2D-вихрей и флуксонных
частиц
Основываясь на понимании поведения независимых подсистем 2D-
вихрей и флуксонных частиц, постараемся разобраться в свойствах системы
вихрей слоистого СП с джозефсоновской связью между слоями.
Фазовые траектории уравнений РГ (9)–(11) такой системы являются
трехмерными кривыми. Они показаны на рис. 2 как проекции на плоскости
J–yv и J–yf. По сравнению с рис. 1 видны следующие качественные отличия.
Во-первых, в системе уравнений (9)–(11) нет неподвижной точки. В соот-
ветствии с представлениями о свойствах РГ это означает отсутствие в рас-
сматриваемой термодинамической системе фазового перехода второго рода.
Второй важной особенностью является то, что при движении вдоль некото-
рых траекторий система изменяет направление движения (знак изменения J).
Это связано с тем обстоятельством, что правая часть уравнения (9) не явля-
ется знакоопределенной.
а б
Рис. 2. Проекции трехмерных фазовых кривых системы уравнений РГ (9)–(11).
Одинаковыми цифрами помечены проекции одной линии. Штриховыми линиями
показаны проекции траекторий системы, которым нет аналогов среди траекторий
независимых систем (12) и (13) на рис. 1
Вместе с тем, несмотря на значительное различие фазовых пространств
систем (две фазовые переменные и три), в поведении траекторий можно
увидеть некоторые аналогии. Так, проекция траектории 1 на рис. 2,а при ма-
лых масштабных временах t (до поворота траектории) качественно ведет се-
бя, как кривая 1 на рис. 1,a, а при больших t (после поворота) – как траекто-
рия 1 на рис. 1,б. Проекция 2 на рис. 2,б до поворота ведет себя подобно тра-
ектории 2 на рис. 1,б, а после поворота проекция 2 этой траектории на рис.
Физика и техника высоких давлений 2009, том 19, № 3
91
2,a похожа на траекторию 2 на рис. 1,a. Кроме того, видно, что проекция 3
(рис. 2,a) подобна кривой 3 (рис. 1,a), а проекция 4 (рис. 2,б) – кривой 4 (рис.
1,б). Такое подобие в поведении фазовых траекторий РГ этих систем позво-
ляет выдвинуть предположение, что и поведение самих систем в чем-то по-
добно.
Более определенные выводы относительно свойств исследуемой системы
можно сделать на основании следующих соображений. Кроме формы траек-
торий и направления движения системы вдоль них, поведение системы ха-
рактеризуется скоростью движения на различных участках траектории. При
наличии неподвижных точек, как в предыдущем разделе, скорость системы
при приближении к этим точкам асимптотически стремится к нулю, и сис-
тема не может за конечное время дойти до них. В рассматриваемом случае
уравнения РГ не имеют неподвижных точек, однако есть точки поворота
траекторий. При приближении к таким точкам скорость движения системы
уменьшается, а после их прохождения опять возрастает. Чем ближе точки
поворота траекторий, расположенных справа и слева на фазовом портрете
системы, сходятся друг к другу, тем меньше скорость системы в этих точ-
ках. Существует единственная точка, в окрестности которой скорость сис-
темы является наименьшей. Если эта «медленная» точка достаточно глубо-
ка, то в эксперименте поведение такой системы будет неотличимо от фазо-
вого перехода второго рода. Системы без неподвижных точек исследовал
Зумбах [20]. Он назвал эту ситуацию «фазовым переходом почти второго
рода».
На наш взгляд, наиболее вероятной причиной такого поведения термоди-
намической системы может быть существование двух корреляционных длин
(КД), связанных с двумя подсистемами: 2D-вихрей и флуксонных частиц.
Поскольку эти подсистемы движутся вдоль своих траекторий в противопо-
ложных направлениях, их КД возрастают при разных направлениях измене-
ния температуры. КД системы 2D-вихрей δv минимальна в окрестности фа-
зового перехода в СП-состояние и стремится к бесконечности при прибли-
жении к KTvT T= сверху. Для системы флуксонных частиц КД δf минималь-
на вблизи нулевой температуры и растет до бесконечности при приближе-
нии к KTfT T= снизу. КД связанной системы обусловлена обеими система-
ми и будет связана с частными КД соотношением 2 2 2
v f
− − −δ = δ + δ . Понятно,
что такая длина никогда не будет стремиться к бесконечности. Она достиг-
нет своей наибольшей величины в некоторой «медленной» точке J = Js и бу-
дет уменьшаться при отклонении температуры от этой точки как вверх, так
и вниз. Методом простого численного перебора траекторий можно устано-
вить приближенное значение этого параметра Js ≈ 0.7, что позволяет оценить
температуру «фазового перехода почти второго рода»
2
0
20.7
4 ( )s
s
T
T
φ
≈
π Λ
.
Физика и техника высоких давлений 2009, том 19, № 3
92
Такое объяснение поведения системы является, в какой-то мере, умозритель-
ным и нуждается в дальнейшей верификации, например в рамках приближения
среднего поля. Это будет предметом предстоящих исследований.
1. В.Л. Березинский, ЖЭТФ 76, 1144 (1971).
2. J.M. Kosterlitz, D.J. Thouless, J. Phys. C6, 1181 (1973).
3. P. Minnhagen, Rev. Mod. Phys. 59, 1001 (1987).
4. M.V. Feigel'man, V.B. Geshkenbein, A.I. Larkin, Physica C167, 177 (1990).
5. K.H. Fisher, Physica C210, 179 (1993).
6. S.W. Pierson, Phys. Rev. Lett. 73, 2496 (1994).
7. M. Friesen, Phys. Rev. B51, 632 (1994).
8. А.Н. Артемов, А.Ю. Мартынович, ЖЭТФ 109, 265 (1996).
9. V. Cataudella, P. Minnhagen, Physica C166, 442 (990).
10. P. Minnhagen, P. Olsson, Phys. Rev. B44, 4503 (1991).
11. M.-S. Choi, S.-L. Lee, Phys. Rev. B51, 6680 (1995).
12. G.M. Wysin, A.R. Bishop, F.G. Mertens, Phys. Rev. B39, 11840 (1989).
13. A.S.T. Pires, A.R. Pereira, M.E. Gouvêa, Phys. Rev. B49, 9663 (1994).
14. H.J. Jensen, P. Minnhagen, Phys. Rev. Lett. 66, 1630 (1991).
15. S.W. Pierson, O.T. Valls, Phys. Rev. B45, 13076 (1992).
16. W.E. Lawrence, S. Doniach, in: Proc. of the 12th International Conference on Low-
Temperature Physics, Kyoto, 1970, E. Kanda (ed.), Keigaku, Tokyo (1970), p. 361.
17. L. Benfatto, C. Castellani, T. Giamarchi, Phys. Rev. Lett. 98, 117008 (2007).
18. E.H. Brandt, Rep. Prog. Phys. 58, 1465 (1995).
19. B. Horovitz, Phys. Rev. Lett. 67, 378 (1990).
20. J.V. Kosterlitz, J. Phys. C7, 1046 (1974).
21. S.W. Pierson, Phil. Mag. B76, 715 (1997).
22. G. Zumbach, Phys. Rev. Lett. 71, 2421 (1993).
А.М. Артемов
ШАРУВАТИЙ НАДПРОВІДНИК ЯК СИСТЕМА КУЛОНІВСЬКИХ
ЧАСТОК ДВОХ ТИПІВ
Термодинамічні властивості шаруватих надпровідників з джозефсонівським
зв’язком аналізуються в рамках моделі Лоуренса–Доніака у лондонівському на-
ближенні. Показано, що в такому наближенні ці надпровідники можна розглядати
як систему класичних безмасових часток двох типів, взаємодіючих між собою. Ве-
лика статсума системи аналізується за методом ренормалізаційної групи у реаль-
ному просторі. Показано, що у такій системі відсутній фазовий перехід Березинсь-
кого–Костерліца–Таулеса.
Ключові слова: шаруватий надпровідник, модель Лоуренса–Доніака, 2D-вихор,
джозефсонівський зв’язок, фазовий перехід
Физика и техника высоких давлений 2009, том 19, № 3
93
A.N. Artemov
LAYERED SUPERCONDUCTOR AS A SYSTEM OF COULOMB
PARTICLES OF TWO TYPES
Thermodynamic properties of layered superconductors (LS) with Josephson coupling are
analysed in framework of the Lawrence–Doniach model in the London approximation. It
is shown that in this approximation the LS can be considered as a system of classical
massless Coulomb particles of two types interacting with each other. The grand partition
function of the system is analysed by means of real space renormalization group (RG)
approach. It is shown that in such a system the Berezinskii–Kosterlitz–Thouless phase
transition is absent.
Keywords: layered superconductor, Lawrence-Doniach model, 2D-vortex, Josephson
coupling, phase transition
Fig. 1. Phase portraits of the 2D-vortex (a) and fluxon particle (б) system. The dashed
lines show separatrices near stationary saddle points
Fig. 2. Projections of three-dimensional phase curves of the system of RG equations (9)–
(11). The same numbers mark projections of one line. The dashed lines show projections
of system trajectories having no analogues among trajectories of independent systems
(12) and (13) of Fig. 1
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-69217 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0868-5924 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:47:54Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Донецький фізико-технічний інститут ім. О.О. Галкіна НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Артемов, А.Н. 2014-10-07T20:10:24Z 2014-10-07T20:10:24Z 2009 Слоистый сверхпроводник как система кулоновских частиц двух типов / А.Н. Артемов // Физика и техника высоких давлений. — 2009. — Т. 19, № 3. — С. 79-93. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. 0868-5924 PACS: 74.20.–z, 74.25.Bt, 74.72.–h, 64.60.Ak https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/69217 Термодинамические свойства слоистых сверхпроводников (СП) с джозефсоновской связью анализируются в рамках модели Лоуренса–Дониака в лондоновском приближении. Показано, что в таком приближении эти СП можно рассматривать как систему классических безмассовых кулоновских частиц двух типов, взаимодействующих друг с другом. Большая статсумма системы анализируется методом ренормализационной группы (РГ) в реальном пространстве. Показано, что в такой системе отсутствует фазовый переход Березинского–Костерлица–Таулесса (БКТ). Термодинамічні властивості шаруватих надпровідників з джозефсонівським зв’язком аналізуються в рамках моделі Лоуренса–Доніака у лондонівському наближенні. Показано, що в такому наближенні ці надпровідники можна розглядати як систему класичних безмасових часток двох типів, взаємодіючих між собою. Велика статсума системи аналізується за методом ренормалізаційної групи у реальному просторі. Показано, що у такій системі відсутній фазовий перехід Березинського–Костерліца–Таулеса. Thermodynamic properties of layered superconductors (LS) with Josephson coupling are analysed in framework of the Lawrence–Doniach model in the London approximation. It is shown that in this approximation the LS can be considered as a system of classical massless Coulomb particles of two types interacting with each other. The grand partition function of the system is analysed by means of real space renormalization group (RG) approach. It is shown that in such a system the Berezinskii–Kosterlitz–Thouless phase transition is absent. ru Донецький фізико-технічний інститут ім. О.О. Галкіна НАН України Физика и техника высоких давлений Слоистый сверхпроводник как система кулоновских частиц двух типов Шаруватий надпровідник як система кулонівських часток двох типів Layered superconductor as a system of Coulomb particles of two types Article published earlier |
| spellingShingle | Слоистый сверхпроводник как система кулоновских частиц двух типов Артемов, А.Н. |
| title | Слоистый сверхпроводник как система кулоновских частиц двух типов |
| title_alt | Шаруватий надпровідник як система кулонівських часток двох типів Layered superconductor as a system of Coulomb particles of two types |
| title_full | Слоистый сверхпроводник как система кулоновских частиц двух типов |
| title_fullStr | Слоистый сверхпроводник как система кулоновских частиц двух типов |
| title_full_unstemmed | Слоистый сверхпроводник как система кулоновских частиц двух типов |
| title_short | Слоистый сверхпроводник как система кулоновских частиц двух типов |
| title_sort | слоистый сверхпроводник как система кулоновских частиц двух типов |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/69217 |
| work_keys_str_mv | AT artemovan sloistyisverhprovodnikkaksistemakulonovskihčasticdvuhtipov AT artemovan šaruvatiinadprovídnikâksistemakulonívsʹkihčastokdvohtipív AT artemovan layeredsuperconductorasasystemofcoulombparticlesoftwotypes |