Ab initio расчеты квантовых эффектов в кристаллах инертных газов под давлением
Представлены теоретические ab initio исследования квантовых эффектов в сжатых кристаллах инертных газов (КИГ) в модели К.Б. Толпыго, явно учитывающей деформацию электронных оболочек в дипольном приближении. С помощью динамической матрицы на основе неэмпирического короткодействующего потенциала оттал...
Saved in:
| Published in: | Физика и техника высоких давлений |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Authors: | , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Донецький фізико-технічний інститут ім. О.О. Галкіна НАН України
2011
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/69428 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Ab initio расчеты квантовых эффектов в кристаллах инертных газов под давлением / И.В. Жихарев, Е.Е. Горбенко, Е.П. Троицкая, В.В. Чабаненко, Е.А. Пилипенко // Физика и техника высоких давлений. — 2011. — Т. 21, № 2. — С. 19-27. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-69428 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Жихарев, И.В. Горбенко, Е.Е. Троицкая, Е.П. Чабаненко, В.В. Пилипенко, Е.А. 2014-10-13T19:30:27Z 2014-10-13T19:30:27Z 2011 Ab initio расчеты квантовых эффектов в кристаллах инертных газов под давлением / И.В. Жихарев, Е.Е. Горбенко, Е.П. Троицкая, В.В. Чабаненко, Е.А. Пилипенко // Физика и техника высоких давлений. — 2011. — Т. 21, № 2. — С. 19-27. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. 0868-5924 PACS: 62.50.+p, 64.10.+h, 64.30.+t https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/69428 Представлены теоретические ab initio исследования квантовых эффектов в сжатых кристаллах инертных газов (КИГ) в модели К.Б. Толпыго, явно учитывающей деформацию электронных оболочек в дипольном приближении. С помощью динамической матрицы на основе неэмпирического короткодействующего потенциала отталкивания и интегрирования по точкам главного значения в зоне Бриллюэна рассчитываются энергия нулевых колебаний, среднеквадратичное смещение и температура Дебая в гармоническом приближении сжатых кристаллов Ne, Ar, Kr и Xe с ГЦК-решеткой. Полученная барическая зависимость температуры Дебая находится в хорошем согласии с имеющимся экспериментом для Ne. Анализируется роль нулевых колебаний в термодинамике всего ряда КИГ, в частности в выполнении критерия плавления Линдемана. Представлено теоретичні ab initio дослідження квантових ефектів у стиснених кристалах інертних газів (КІГ) у моделі К.Б. Толпиго, що явно враховує деформацію електронних оболонок у дипольному наближенні. За допомогою динамічної матриці на основі неемпіричного короткодіючого потенціалу відштовхування та інтегрування за точками головного значення в зоні Бріллюена розраховано енергію нульових коливань, середньоквадратичне зміщення та температура Дебая в гармонічному наближенні стиснених кристалів Ne, Аr, Kr і Xe з ГЦК-граткою. Отримана барична залежність температури Дебая добре узгоджується з наявним експериментом для Ne. Аналізується роль нульових коливань у термодинаміці всього ряду КІГ, зокрема у виконанні критерію плавлення Ліндемана. Theoretical ab initio studies of quantum effects for compressed rare-gas crystals (RGC) by using K.B. Tolpygo′s model taking into account the deformation of electron shells in dipole approximation are represented. The energy of zero-point vibrations, mean-square displacement, and the Debye temperature for compressed hcp-Ne, -Ar, -Kr, and -Xe are calculated in harmonic approximation by using a dynamic matrix based on nonempirical short-range repulsion potential as well as the integration by the points of the principal value in the Brillouine zone. The resulted pressure dependence of the Debye temperature is in a good agreement with the experiment for Ne. The role of zero-point vibrations in the thermodynamics of the entire series of rare-gas crystals and, in particular, in the validity of the Lindeman melting criterion has been analyzed. ru Донецький фізико-технічний інститут ім. О.О. Галкіна НАН України Физика и техника высоких давлений Ab initio расчеты квантовых эффектов в кристаллах инертных газов под давлением Ab initio розрахунки квантових ефектів у кристалах інертних газів під тиском Ab initio calculations of quantum effects in rare-gas crystals under pressure Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Ab initio расчеты квантовых эффектов в кристаллах инертных газов под давлением |
| spellingShingle |
Ab initio расчеты квантовых эффектов в кристаллах инертных газов под давлением Жихарев, И.В. Горбенко, Е.Е. Троицкая, Е.П. Чабаненко, В.В. Пилипенко, Е.А. |
| title_short |
Ab initio расчеты квантовых эффектов в кристаллах инертных газов под давлением |
| title_full |
Ab initio расчеты квантовых эффектов в кристаллах инертных газов под давлением |
| title_fullStr |
Ab initio расчеты квантовых эффектов в кристаллах инертных газов под давлением |
| title_full_unstemmed |
Ab initio расчеты квантовых эффектов в кристаллах инертных газов под давлением |
| title_sort |
ab initio расчеты квантовых эффектов в кристаллах инертных газов под давлением |
| author |
Жихарев, И.В. Горбенко, Е.Е. Троицкая, Е.П. Чабаненко, В.В. Пилипенко, Е.А. |
| author_facet |
Жихарев, И.В. Горбенко, Е.Е. Троицкая, Е.П. Чабаненко, В.В. Пилипенко, Е.А. |
| publishDate |
2011 |
| language |
Russian |
| container_title |
Физика и техника высоких давлений |
| publisher |
Донецький фізико-технічний інститут ім. О.О. Галкіна НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Ab initio розрахунки квантових ефектів у кристалах інертних газів під тиском Ab initio calculations of quantum effects in rare-gas crystals under pressure |
| description |
Представлены теоретические ab initio исследования квантовых эффектов в сжатых кристаллах инертных газов (КИГ) в модели К.Б. Толпыго, явно учитывающей деформацию электронных оболочек в дипольном приближении. С помощью динамической матрицы на основе неэмпирического короткодействующего потенциала отталкивания и интегрирования по точкам главного значения в зоне Бриллюэна рассчитываются энергия нулевых колебаний, среднеквадратичное смещение и температура Дебая в гармоническом приближении сжатых кристаллов Ne, Ar, Kr и Xe с ГЦК-решеткой. Полученная барическая зависимость температуры Дебая находится в хорошем согласии с имеющимся экспериментом для Ne. Анализируется роль нулевых колебаний в термодинамике всего ряда КИГ, в частности в выполнении критерия плавления Линдемана.
Представлено теоретичні ab initio дослідження квантових ефектів у стиснених кристалах інертних газів (КІГ) у моделі К.Б. Толпиго, що явно враховує деформацію електронних оболонок у дипольному наближенні. За допомогою динамічної матриці на основі неемпіричного короткодіючого потенціалу відштовхування та інтегрування за точками головного значення в зоні Бріллюена розраховано енергію нульових коливань, середньоквадратичне зміщення та температура Дебая в гармонічному наближенні стиснених кристалів Ne, Аr, Kr і Xe з ГЦК-граткою. Отримана барична залежність температури Дебая добре узгоджується з наявним експериментом для Ne. Аналізується роль нульових коливань у термодинаміці всього ряду КІГ, зокрема у виконанні критерію плавлення Ліндемана.
Theoretical ab initio studies of quantum effects for compressed rare-gas crystals (RGC) by using K.B. Tolpygo′s model taking into account the deformation of electron shells in dipole approximation are represented. The energy of zero-point vibrations, mean-square displacement, and the Debye temperature for compressed hcp-Ne, -Ar, -Kr, and -Xe are calculated in harmonic approximation by using a dynamic matrix based on nonempirical short-range repulsion potential as well as the integration by the points of the principal value in the Brillouine zone. The resulted pressure dependence of the Debye temperature is in a good agreement with the experiment for Ne. The role of zero-point vibrations in the thermodynamics of the entire series of rare-gas crystals and, in particular, in the validity of the Lindeman melting criterion has been analyzed.
|
| issn |
0868-5924 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/69428 |
| citation_txt |
Ab initio расчеты квантовых эффектов в кристаллах инертных газов под давлением / И.В. Жихарев, Е.Е. Горбенко, Е.П. Троицкая, В.В. Чабаненко, Е.А. Пилипенко // Физика и техника высоких давлений. — 2011. — Т. 21, № 2. — С. 19-27. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT žihareviv abinitiorasčetykvantovyhéffektovvkristallahinertnyhgazovpoddavleniem AT gorbenkoee abinitiorasčetykvantovyhéffektovvkristallahinertnyhgazovpoddavleniem AT troickaâep abinitiorasčetykvantovyhéffektovvkristallahinertnyhgazovpoddavleniem AT čabanenkovv abinitiorasčetykvantovyhéffektovvkristallahinertnyhgazovpoddavleniem AT pilipenkoea abinitiorasčetykvantovyhéffektovvkristallahinertnyhgazovpoddavleniem AT žihareviv abinitiorozrahunkikvantovihefektívukristalahínertnihgazívpídtiskom AT gorbenkoee abinitiorozrahunkikvantovihefektívukristalahínertnihgazívpídtiskom AT troickaâep abinitiorozrahunkikvantovihefektívukristalahínertnihgazívpídtiskom AT čabanenkovv abinitiorozrahunkikvantovihefektívukristalahínertnihgazívpídtiskom AT pilipenkoea abinitiorozrahunkikvantovihefektívukristalahínertnihgazívpídtiskom AT žihareviv abinitiocalculationsofquantumeffectsinraregascrystalsunderpressure AT gorbenkoee abinitiocalculationsofquantumeffectsinraregascrystalsunderpressure AT troickaâep abinitiocalculationsofquantumeffectsinraregascrystalsunderpressure AT čabanenkovv abinitiocalculationsofquantumeffectsinraregascrystalsunderpressure AT pilipenkoea abinitiocalculationsofquantumeffectsinraregascrystalsunderpressure |
| first_indexed |
2025-11-24T15:58:07Z |
| last_indexed |
2025-11-24T15:58:07Z |
| _version_ |
1850849867079876608 |
| fulltext |
Физика и техника высоких давлений 2011, том 21, № 2
© И.В. Жихарев, Е.Е. Горбенко, Е.П. Троицкая, В.В. Чабаненко, Е.А. Пилипенко, 2011
PACS: 62.50.+p, 64.10.+h, 64.30.+t
И.В. Жихарев1,2, Е.Е. Горбенко2, Е.П. Троицкая1, В.В. Чабаненко1,
Е.А. Пилипенко1
AB INITIO РАСЧЕТЫ КВАНТОВЫХ ЭФФЕКТОВ В КРИСТАЛЛАХ
ИНЕРТНЫХ ГАЗОВ ПОД ДАВЛЕНИЕМ
1Донецкий физико-технический институт им. А.А. Галкина НАН Украины
ул. Р. Люксембург, 72, г. Донецк, 83114, Украина
E-mail: zero@zero.fti.ac.donetsk.ua
2Луганский национальный университет имени Тараса Шевченко
ул. Оборонная, 2, г. Луганск, 91011, Украина
E-mail: e_g81@mail.ru
Представлены теоретические ab initio исследования квантовых эффектов в сжа-
тых кристаллах инертных газов (КИГ) в модели К.Б. Толпыго, явно учитывающей
деформацию электронных оболочек в дипольном приближении. С помощью дина-
мической матрицы на основе неэмпирического короткодействующего потенциала
отталкивания и интегрирования по точкам главного значения в зоне Бриллюэна
рассчитываются энергия нулевых колебаний, среднеквадратичное смещение и
температура Дебая в гармоническом приближении сжатых кристаллов Ne, Ar, Kr
и Xe с ГЦК-решеткой. Полученная барическая зависимость температуры Дебая
находится в хорошем согласии с имеющимся экспериментом для Ne. Анализирует-
ся роль нулевых колебаний в термодинамике всего ряда КИГ, в частности в выпол-
нении критерия плавления Линдемана.
Ключевые слова: кристаллы инертных газов, динамическая матрица, фононные
частоты, решеточная теплоемкость, температура Дебая, нулевые колебания, сред-
неквадратичное смещение
1. Введение
Кристаллические неон и аргон наряду с гелием, водородом, их твердыми
растворами (Ar–He, H2–Ne и др.) относятся к группе «Low-Z materials»
(LZM) – веществ, содержащих элементы с малым атомным номером (low-
atomic number Z). Эта группа выделена исследователями, занимающимися
большими давлениями, так как LZM обладают большой сжимаемостью, что
приводит к значительному изменению постоянной решетки под давлением.
Структурная простота делает эти кристаллы незаменимыми объектами при
тестировании теории и изучении квантовых эффектов, которые в LZM иг-
рают существенную роль [1].
Физика и техника высоких давлений 2011, том 21, № 2
20
Адиабатический потенциал, необходимый для построения динамики кри-
сталлических решеток, может быть рассчитан из первых принципов либо
аппроксимирован известной функцией расстояния, т.е. использован метод
межатомных модельных (эмпирических) потенциалов (обзор таковых пред-
ставлен, например, в [2]).
В первопринципных методах не используются подгоночные параметры и
феноменологические модели, необходимо знание только элементного соста-
ва и геометрии кристаллической решетки. Один из таких методов – метод
расчета физических свойств кристалла по теории функционала плотности
(density-functional theory – DFT) [3].
Метод поляризуемого и деформируемого иона в DFT [4] идентичен пер-
вопринципному подходу, развитому К.Б. Толпыго.
В цикле работ [5–10] в рамках модели К.Б. Толпыго, явно учитывающей
деформацию электронных оболочек в дипольном приближении, исследова-
лись фононные дисперсионные кривые ряда Ne–Xe, а также их термодина-
мические свойства при различных давлениях с учетом электрон-фононного
взаимодействия.
В настоящей работе на основе построенной динамической и термодина-
мической теории решеток сжатых КИГ в неэмпирической версии модели
деформируемых атомов исследованы квантовые эффекты в ряду Ne–Xe.
Энергия нулевых колебаний, температура Дебая и среднеквадратичные
смещения рассчитываются в гармоническом приближении при различных
давлениях. На основе полученного параметра Линдемана обсуждается фо-
нон-фононное взаимодействие (ангармонизм) в КИГ.
2. Основные формулы и приближения. Энергия нулевых колебаний
и температура Дебая
Энергия связи Ecoh и решеточная теплоемкость CV в гармоническом при-
ближении описываются известными формулами:
( )
( ) ( )* 3
coh 3
1d
22
A
zp
NE E E k nλ λ
λ
Ω ⎡ ⎤= + = ω +⎢ ⎥⎣ ⎦π
∑∫ k k , (1)
где Ezp – энергия нулевых колебаний (ей соответствует слагаемое 1/2 в скоб-
ках в (1)), NA – число Авогадро, Ω = 2a3 – объем элементарной ячейки для
КИГ в ГЦК-фазе, а – параметр решетки, равный половине ребра куба;
( )
2
3
3
1
( )d ( ) ( ) 1 ,
(2 )
( )( ) exp 1 ,
V
B
B
RC k n n
k T
n
k T
λ
λ λ
λ
−
λ
λ
⎡ ⎤⎛ ⎞ωΩ ⎢ ⎥= +⎜ ⎟
⎢ ⎥π ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞ω
= −⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎣ ⎦
∑∫
k k k
kk
(2)
где R = kBNA, kB = 1.3806662·10–23 J/K – постоянная Больцмана.
Физика и техника высоких давлений 2011, том 21, № 2
21
При низких температурах T << θD (θD – температура Дебая при T = 0) CV
очень мала и пропорциональна T3. Поэтому для сравнения теории с экспе-
риментом удобнее рассчитывать величину
1/ 3 1/ 3412( )
5 V
RT T
C
⎛ ⎞ ⎛ ⎞π
θ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
. (3)
Нетрудно заметить, что при T = 0 θ(0) = θD.
Среднеквадратичное смещение вдоль любой кристаллической оси в рас-
сматриваемых кубических кристаллах равно
2 3
2 3
3
1
1
1 2( ) d
3 3
n
u T q
M a
λ
λλ=
+Ω
=
ω∑∫
q
q
, (4)
где M – масса атома. Слагаемое с 1/2 под интегралом представляет вклад
нулевых колебаний 1/3 〈u2〉0.
Для вычисления интегралов по зоне Бриллюэна (BZ) используем метод
Чади–Коэна [11], сущность которого состоит в замене интеграла по BZ сум-
мой значений подынтегральной функции в особых точках (точках главного
значения), найденных теоретико-групповыми методами [12].
Координаты такой точки главного значения k* для ГЦК-решетки были
найдены в [13]: k* = [0.6223; 0.2953; 0].
Вообще говоря, чтобы получить необходимую точность в расчетах, нуж-
но знать значения искомой функции f(k) в большом числе точек k. В работе
[11] авторы предложили метод генерирования этих точек на основе двух то-
чек главного значения k1 и k2 для определения f(k) в кристалле:
[ ]1 2
1( ) 3 ( ) ( )
4
f f f= +k k k , 1
3 1 1; ;
4 4 4
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
k , 2
1 1 1; ;
4 4 4
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
k . (5)
Точки k1 и k2 используются в [11] для генерирования десяти устойчивых
точек главного значения, по которым среднее f(k) по зоне определяется с
высокой степенью точности.
Тогда энергия нулевых колебаний будет
3
,
1 ( )
2 (2 )zp i
i
E λ
λ
Ω
= ω
π
∑ k . (6)
На рис. 1 представлена Ezp для Ne и Ar при различных степенях сжатия,
рассчитанная без учета (модель М3) и с учетом электрон-фононного взаимо-
действия (модель М3а). Видно, что электрон-фононное взаимодействие в
легких КИГ незначительно и заметно в Ne при сжатии ΔV/V0 = 0.6, а в Ar
при ΔV/V0 = 0.7 (см. подробнее [14]).
Физика и техника высоких давлений 2011, том 21, № 2
22
0 0.2 0.4 0.6 0.8
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
3
4
2
1
E zp
, 1
03 K
ΔV/V0
Как известно, экспериментальные значения Ezp при р = 0 измерены для ряда
Ne–Kr [15,16]. Рассчитанные нами для Ne Ezp = 83.8 ± 2.5 K, для Ar Ezp = 97.7 ±
± 0.7 K (в зависимости от модели и схемы расчета). Экспериментальная энер-
гия нулевых колебаний для Ne Ezp = 78.5 K [15], для Ar Ezp = 86.1 ± 2.5 K [16],
т.е. погрешность измерения составляет 3%. Погрешность расчетов по сравне-
нию с экспериментальным значением для Ne и Ar составляет 7 и 13% соответ-
ственно. Рассчитанные нами для Kr Ezp = 74.0 ± 0.5 K (в зависимости от модели
и схемы расчета). Экспериментальная энергия нулевых колебаний для Kr Ezp =
= 67.4 ± 3 K [16], т.е. погрешность измерения составляет 4%. Погрешность рас-
четов по сравнению с экспериментальным значением составляет около 10%.
6 8 10 12 14 16 18 20 220
200
400
600
800
3 2
1
θ D
, K
V, A3/at
На рис. 2 представлена рассчитанная нами зависимость температуры Де-
бая от объема до сжатия ΔV/V0 = 0.5 в модели М3 и до сжатия ΔV/V0 = 0.4 в
модели М5. При больших давлениях формула (3) несправедлива. Как видно,
согласие с экспериментом [17] удовлетворительное.
3. Среднеквадратичные смещения и параметр Линдемана
В таблице [18,19] указаны характеристики нулевых и тепловых колеба-
ний КИГ при p = 0: энергия нулевых колебаний Еzp, среднеквадратичные
смещения при Т = 0 и Т = Тm0, параметр Линдемана δ(Tm0), равный отноше-
нию среднеквадратичного смещения вдоль одной из осей куба к половине
межатомного расстояния в точке плавления при р = 0:
Рис. 1. Энергия нулевых колебаний Ezp
легких КИГ в зависимости от сжатия
ΔV/V0, рассчитанная в моделях без учета
(модель М3 – сплошная линия) и с уче-
том электрон-фононного взаимодействия
(модель М3а – штриховая линия): □ –
Ne, ○ – Ar
Рис. 2. Зависимость температуры Дебая
Ne от объема: □, ○ – расчет в моделях
М3 и М5 соответственно; – экспери-
мент [17]; штриховая линия – проведен-
ная нами экстраполяция к значению θD =
= 75 K при V0 = 22.234 Å3/at [17]
Физика и техника высоких давлений 2011, том 21, № 2
23
( )
1/ 22
0
0 2
2δ( )
3
m
m
u T
T
a
⎡ ⎤
⎢ ⎥=
⎢ ⎥
⎣ ⎦
, (7)
и вклад в него нулевых колебаний.
Таблица
Характеристики нулевых и тепловых колебаний КИГ при р = 0
Кристалл
величина модель
Ne
(Tm0 = 24.6 K)
Ar
(Tm0 = 83.8 K)
Kr
(Tm0 = 115.8 K)
Xe
(Tm0 = 161 K)
M3a 83.8 ± 2.48 97.74 ± 0.72 74.0 ± 0.5 64.48 ± 0.37
M1 [19] 79.2 91.4 72.6 62.9Ezp, K
Эксп. 78.5 [15] 86.1 ± 2.5 [16] 67.4 ± 3.0 [16] –
M3a 7.0475 3.112 1.966 1.443
M1 7.69 3.33 2.02 1.49
MD [18] 8.58 3.204 2.074 1.513
2
0
u , 10–2 Å2
Эксп. 7.8 [15] – – –
M3a 10.14 11.08 12.51 14.574( )2
0 0mu T , 10–2 Å2
M1 11.97 12.37 13.13 15.23
M3a 0.097 0.054 0.040 0.032
δ0(T = 0) M1 0.101 0.056 0.041 0.032
M3a 0.116 0.1023 0.1023 0.1018
δ(Tm0) M1 0.127 0.108 0.105 0.104
M3a 0.13 0.80 1.11 1.55
Eδ, 104 K M1 0.15 0.73 1.05 1.49
Примечание. Модель М3а – настоящие расчеты в гармоническом приближении,
параметры рассчитываются на основе неэмпирического короткодействующего потен-
циала; модель М1 – классиче+ская версия теории К.Б. Толпыго [19], параметры взяты
из эксперимента по фононному спектру; МD – модель Дебая (см. [18, с. 158]).
Значения энергии Еzp и 〈u2〉0 находятся в хорошем согласии с эксперимен-
тальными данными работ [15,16] и расчетами в модели М1 [19]. Кроме того,
значения 〈u2〉0 хорошо согласуются с вычисленными в модели Дебая (MD)
(см. [18, с. 158]) для всех кристаллов, за исключением Ne. На рис. 3 пред-
ставлены температурные зависимости 〈u2(Т)〉 для Ne, Ar, Kr, Xe при различ-
ных сжатиях. К сожалению, отсутствие экспериментальных данных не по-
зволяет проверить нашу модель на описание температурной зависимости
〈u2(Т)〉 даже при р = 0.
Интересно отметить, что для КИГ (кроме Ne) критерий плавления Лин-
демана, т.е. постоянство δ(Tm0), выполнен с удивительной точностью (пара-
метр Линдемана δ(Tm0) = 0.102 для Ar, Кr и Хе), хотя постоянная решетки
изменяется на 20% при переходе от Ar к Хе. С другой стороны, как видно из
таблицы, постоянство δ(Тm0) не может быть достигнуто без учета нулевых
колебаний, хотя сам их вклад δ0 в ряду Ar, Kr, Хе изменяется значительно и
очень велик для Ne.
Физика и техника высоких давлений 2011, том 21, № 2
24
0 10 20 30 40 50
0
2
4
6
8
10
12
14
Tm0 = 24.6
<u
2 >,
1
0–2
Å
2
T, K
1
2
3
4
5
6 7
0 20 40 60 80 100 120
0
2
4
6
8
10
12
Tm0 = 83.8
<u
2 >,
1
0–2
Å
2
T, K
1
2
3
4
5
6 8
а б
0 40 80 120 160 200 240
0
2
4
6
8
10
12
<u
2 >,
1
0–2
Å
2
T, K
Tm0 = 120
1 2
3
4
5
6
8
0 50 100 150 200 250 300
0
2
4
6
8
10
12
14
<u
2 >,
1
0–2
Å
2
T, K
Tm0 = 160
1 2
3
4
5
6
8
7
в г
Рис. 3. Температурная зависимость среднеквадратичного смещения 〈u2(T)〉 для Ne
(a), Ar (б), Kr (в) и Xe (г) (см. (4)) при разных сжатиях ∆V/V0: 1 – 0.0, 2 – 0.1, 3 – 0.2,
4 – 0.3, 5 – 0.4, 6 – 0.5, 7 – 0.6, 8 – 0.7
Физика и техника высоких давлений 2011, том 21, № 2
25
При высоких температурах T ≥ θD из формулы (4) легко получить
33
2
2 3 2
1
2 d( )
3
Bk T q TT
M Ea a δλ= λ
Ω
δ = ≡
ω
∑∫
q
. (8)
Величины типа Еδ широко используются при оценках теплового движения в
твердом теле. Для них принимаются разные значения: от энергии связи до
величин Mv2 ∼ Ω/χ (χ – сжимаемость). В последней строке таблицы приве-
дена вычисленная нами величина Еδ. Она с хорошей точностью совпадает с
величиной Ω/χ (расхождение для Ne – 10%, для Хе – 2%).
Обратим внимание на то, что δ2(T), являющийся параметром ангармо-
ничности кристалла, достаточно мал по сравнению с единицей (он даже
меньше, чем в щелочных металлах Al и Pb [20]). Таким образом, эффекты
ангармоничности при высоких температурах меньше, чем обычно представ-
ляется.
4. Заключение
Проведенные в [19] сравнения показали, что, ограничившись гармониче-
ским приближением, в модели М1 (классическая версия модели К.Б. Тол-
пыго) авторы смогли получить согласие с экспериментом по теплоемкости с
погрешностью ниже 3% во всем интервале температур (кроме Ne, где низкая
(10%) точность эксперимента не позволяет сделать однозначных выводов).
Эти результаты оказались значительно лучшими по сравнению с теориями,
явно учитывающими ангармоничность кристаллов, что требует специально-
го объяснения, поскольку принято считать, что КИГ являются сильно ан-
гармоничными. Подтверждением большого ангармонизма считается тот
факт, что 〈u2〉0 представляет значительную долю 〈u2(Тm0)〉 (см. таблицу). В
действительности «истинное» движение атомов не очень сильно отличается
от гармонических колебаний, частоты которых, однако, определяются чле-
нами не только второго порядка, но и более высокого. Определяя параметры
теории из сравнения с экспериментальными дисперсионными кривыми, ав-
торы эффективно учитывают это обстоятельство. Оставшаяся ангармонич-
ность, возрастающая с температурой, уже не столь велика (параметр Линде-
мана δ(Тm0) ~ 0.1). В то же время, включая члены третьего и четвертого по-
рядков адиабатического потенциала в теорию теплоемкости, опирающуюся
фактически на экспериментальные частоты, авторы учли бы ангармонизм
дважды. Например, потенциал Бобетика–Баркера [21], параметры которого
подогнаны под эксперимент, относится уже не к гармоническому потенциа-
лу, а к эффективному псевдогармоническому, который приближенно учиты-
вает и ангармонизм.
Перечисленные соображения свидетельствуют о том, что усовершенство-
вание теории в направлении учета ангармонизма должно проводиться с
большой осторожностью. В частности, сравнительный анализ характеристик
Физика и техника высоких давлений 2011, том 21, № 2
26
КИГ, полученный в М1 и М3а (см. таблицу), показывает незначительные их
различия. Исследованию фонон-фононного взаимодействия (ангармониче-
ских эффектов) будет посвящена отдельная статья.
1. R.J. Hemley, H.K. Mao, J. Phys.: Condens. Matter 10, 11157 (1998).
2. А.Ф. Прихотько, В.Г. Манжелий, И.Я. Фуголь, Ю.Б. Гайдидей, И.Н. Крупский,
В.М. Локтев, Е.В. Савченко, В.А. Слюсарев, М.А. Стржемечный, Ю.А. Фрей-
ман, Л.И. Шанский, Криокристаллы, Наукова думка, Киев (1983).
3. P. Hohenberg, W. Kohn, Phys. Rev. B136, 864 (1964).
4. Е.Г. Максимов, В.И. Зиненко, Н.Г. Замков, УФН 174, 1145 (2004).
5. E.E. Horbenko, E.P. Troitskaya, Val.V. Chabanenko, ФНТ 33, 752 (2007).
6. Е.П. Троицкая, В.В. Чабаненко, Е.Е. Горбенко, ФТТ 47, 1683 (2005).
7. Е.П. Троицкая, В.В. Чабаненко, Е.Е. Горбенко, ФТТ 48, 695 (2006).
8. Е.П. Троицкая, В.В. Чабаненко, Е.Е. Горбенко, ФТТ 49, 2055 (2007).
9. Е.П. Троицкая, В.В. Чабаненко, Е.Е. Горбенко, Н.В.Кузовой, ФТТ 50, 696 (2008).
10. Е.П. Троицкая, В.В. Чабаненко, Е.Е. Горбенко, ФТТ 51, 1999 (2009).
11. D.J. Chadi, M L. Cohen, Phys. Rev. B8, 5747 (1973).
12. A. Baldereschi, Phys. Rev. B7, 5212 (1973).
13. A. Baldereschi, Bull. Am. Phys. Soc. 17, 237 (1972).
14. Е.П. Троицкая, В.В. Чабаненко, Е.Е. Горбенко, Н.В. Кузовой, ФТВД 17, № 3,
14 (2007).
15. J. Eckert, W.B. Daniels, J.D. Axe, Phys. Rev. B14, 3649 (1976).
16. R.H. Beaumont, H. Chihara, J.A. Morrison, Proc. Phys. Soc. 78, 1462 (1961).
17. A. Dewaele, F. Datchi, P. Loubeyre, and M. Mezouar, Phys. Rev. B77, 094106
(2008).
18. Дж. Рейсланд, Физика фононов, Мир, Москва (1975).
19. Е.В. Зароченцев, К.Б. Толпыго, Е.П. Троицкая, ФНТ 5, 1324, (1979).
20. V.G. Bar’yakhtar, E.V. Zarochentsev, and E.P. Troitskaya, Theory of Adiabatic
Potential and Atomic Properties of Simple Metals, Gordon and Breach, London
(1999).
21. M.V. Babetic, J.A. Barker, Phys. Rev. B2, 4169 (1970).
І.В. Жихарєв, Є.Є. Горбенко, О.П. Троїцька, В.В. Чабаненко, К.О. Пилипенко
AB INITIO РОЗРАХУНКИ КВАНТОВИХ ЕФЕКТІВ У КРИСТАЛАХ
ІНЕРТНИХ ГАЗІВ ПІД ТИСКОМ
Представлено теоретичні ab initio дослідження квантових ефектів у стиснених кри-
сталах інертних газів (КІГ) у моделі К.Б. Толпиго, що явно враховує деформацію
електронних оболонок у дипольному наближенні. За допомогою динамічної мат-
риці на основі неемпіричного короткодіючого потенціалу відштовхування та інте-
грування за точками головного значення в зоні Бріллюена розраховано енергію
нульових коливань, середньоквадратичне зміщення та температура Дебая в гар-
монічному наближенні стиснених кристалів Ne, Аr, Kr і Xe з ГЦК-граткою. Отри-
мана барична залежність температури Дебая добре узгоджується з наявним експе-
Физика и техника высоких давлений 2011, том 21, № 2
27
риментом для Ne. Аналізується роль нульових коливань у термодинаміці всього
ряду КІГ, зокрема у виконанні критерію плавлення Ліндемана.
Ключові слова: кристали інертних газів, динамічна матриця, фононні частоти,
граткова теплоємність, температура Дебая, нульові коливання, середньоквадратич-
не зміщення
I.V. Zhikharev, Ie.Ie. Gorbenko, E.P. Troitskaya, V.V. Chabanenko, E.A. Pilipenko
AB INITIO CALCULATIONS OF QUANTUM EFFECTS IN RARE-GAS
CRYSTALS UNDER PRESSURE
Theoretical ab initio studies of quantum effects for compressed rare-gas crystals (RGC)
by using K.B. Tolpygo′s model taking into account the deformation of electron shells in
dipole approximation are represented. The energy of zero-point vibrations, mean-square
displacement, and the Debye temperature for compressed hcp-Ne, -Ar, -Kr, and -Xe are
calculated in harmonic approximation by using a dynamic matrix based on nonempirical
short-range repulsion potential as well as the integration by the points of the principal
value in the Brillouine zone. The resulted pressure dependence of the Debye temperature
is in a good agreement with the experiment for Ne. The role of zero-point vibrations in
the thermodynamics of the entire series of rare-gas crystals and, in particular, in the va-
lidity of the Lindeman melting criterion has been analyzed.
Keywords: rare-gas crystals, the dynamic matrix, phonon frequencies, the lattice heat
capacity, the Debye temperature, zero-point vibrations, mean-square displacement
Fig. 1. Dependences of the energy Ezp of zero-point vibrations on the compression ratio
ΔV/V0 for light rare-gas crystals calculated in the M3 model without inclusion of the
electron-phonon interaction (solid lines) and in the M3a model with the electron-phonon
interaction (dashed lines): □ – Ne, ○ – Ar
Fig. 2. The volume dependence of Debye temperature for Ne: □, ○ – calculation in the
M3 and M5 models, respectively; – experiment [17]; the dashed line is an extrapola-
tion drawn by us to the value θD = 75 K at V0 = 22.234 Å 3/at [17]
Fig. 3. Temperature dependence of the mean-square displacements 〈u2(T)〉 for Ne (а), Ar
(б), Kr (в) and Xe (г) (see (4)) at different compression ratios ΔV/V0: 1 – 0.0, 2 – 0.1, 3 –
0.2, 4 – 0.3, 5 – 0.4, 6 – 0.5, 7 – 0.6, 8 – 0.7
|