Влияние давления и пиннинга вихревой решетки на проникновение магнитного потока в высокотем-пературные сверхпроводники второго рода

Рассмотрено влияние пиннинга на характер проникновения магнитного поля в высокотемпературные сверхпроводники (ВТСП) второго рода в случае жесткой вихревой решетки. Определены способы накачки сверхпроводника возрастающим во времени внешним магнитным полем, при которых магнитное поле проникает в образ...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Физика и техника высоких давлений
Дата:	2011
Автори:	Краснюк, И.Б., Таранец, Р.М.
Формат:	Стаття
Мова:	Російська
Опубліковано:	Донецький фізико-технічний інститут ім. О.О. Галкіна НАН України 2011
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/69480
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Влияние давления и пиннинга вихревой решетки на проникновение магнитного потока в высокотем-пературные сверхпроводники второго рода / И.Б. Краснюк, Р.М. Таранец // Физика и техника высоких давлений. — 2011. — Т. 21, № 4. — С. 29-44. — Бібліогр.: 23 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859723395325755392
author	Краснюк, И.Б. Таранец, Р.М.
author_facet	Краснюк, И.Б. Таранец, Р.М.
citation_txt	Влияние давления и пиннинга вихревой решетки на проникновение магнитного потока в высокотем-пературные сверхпроводники второго рода / И.Б. Краснюк, Р.М. Таранец // Физика и техника высоких давлений. — 2011. — Т. 21, № 4. — С. 29-44. — Бібліогр.: 23 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Физика и техника высоких давлений
description	Рассмотрено влияние пиннинга на характер проникновения магнитного поля в высокотемпературные сверхпроводники (ВТСП) второго рода в случае жесткой вихревой решетки. Определены способы накачки сверхпроводника возрастающим во времени внешним магнитным полем, при которых магнитное поле проникает в образец в форме автомодельной магнитной волны. Найдены глубина и скорость распространения таких волн для сверхпроводников, которые находятся в фазе вязкого течения вихрей с нелинейной зависимостью плотности критического тока от индукции магнитного поля. Принципиально новым является учет зависимости критического тока от величины гидростатического давления, которое изменяет характер проникновения магнитного потока в сверхпроводник. Розглянуто вплив пінінга на характер проникнення магнітного поля у високотемпературні надпровідники другого роду в разі жорсткої вихрової комірки. Визначено засоби накачування надпровідника зовнішнім магнітним полем, що зростає з часом, при яких магнітне поле проникає в зразок у формі автомодельної магнітної хвилі. Знайдено глибину й швидкість поширення таких хвиль для надпровідників, які знаходяться у фазі в’язкого перебігу вихорів з нелінійною залежністю густини критичного струму від індукції магнітного поля. Принципово новим є облік залежності критичного струму від величини гідростатичного тиску, який змінює характер проникнення магнітного потоку в надпровідник. Pinning effect on the character of the magnetic field penetration in high-temperature typeII superconductors is considered in the case of a rigid vortex lattice. Ways of the temporal increasing external magnetic field pumping of a superconductor at which the magnetic field penetrates into the sample in a form of the self-similar magnetic wave were determined. Depth and velocity of such wave distributions were defined for superconductors which are in the viscous flow vortex phase with a nonlinear dependence of the critical current density on the magnetic field induction. Principally new is an account of the dependence of the critical current on the value of hydrostatic pressure which changes the character of the magnetic field penetration into a superconductor.
first_indexed	2025-12-01T11:03:19Z
format	Article
fulltext	Физика и техника высоких давлений 2011, том 21, № 4 © И.Б. Краснюк, Р.М. Таранец, 2011 PACS: 74.25.–q, 74.25.Dw, 74.25.F–, 74.25.Uv, 74.25.Wx И.Б. Краснюк1, Р.М. Таранец2,3 ВЛИЯНИЕ ДАВЛЕНИЯ И ПИННИНГА ВИХРЕВОЙ РЕШЕТКИ НА ПРОНИКНОВЕНИЕ МАГНИТНОГО ПОТОКА В ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫЕ СВЕРХПРОВОДНИКИ ВТОРОГО РОДА 1Донецкий физико-технический институт им. А.А. Галкина НАН Украины ул. Р. Люксембург, 72, г. Донецк, 83114, Украина 2Институт прикладной математики и механики НАН Украины ул. Р. Люксембург, 74, г. Донецк, 83114, Украина 3School of Mathematical Sciences, University of Nottingham University Park, Nottingham NG7 2RD, UK Статья поступила в редакцию 19 ноября 2010 года Рассмотрено влияние пиннинга на характер проникновения магнитного поля в вы- сокотемпературные сверхпроводники (ВТСП) второго рода в случае жесткой вих- ревой решетки. Определены способы накачки сверхпроводника возрастающим во времени внешним магнитным полем, при которых магнитное поле проникает в образец в форме автомодельной магнитной волны. Найдены глубина и скорость распространения таких волн для сверхпроводников, которые находятся в фазе вязкого течения вихрей с нелинейной зависимостью плотности критического тока от индукции магнитного поля. Принципиально новым является учет зависимости критического тока от величины гидростатического давления, которое изменяет характер проникновения магнитного потока в сверхпроводник. Ключевые слова: высокотемпературные сверхпроводники, проникновение маг- нитного поля, высокие давления, фронт магнитной волны 1. Введение Возникновение конечного сопротивления в магнитном поле является одним из нетривиальных свойств сверхпроводников второго рода. Сопро- тивление порождается движением вихревой структуры под действием силы Лоренца (см., напр., [1]). В реальных ВТСП ситуация усложняется дейст- вием сил пиннинга. Это означает, что собственно равномерное движение решетки вихрей имеет место при достаточно большой величине транс- портного тока, когда влияние центров пиннинга оказывается подавленным. Проникновение магнитного поля в образец начинается с некоторого кри- тического значения поля Hc1 и происходит в виде решетки вихрей. При Физика и техника высоких давлений 2011, том 21, № 4 30 увеличении поля до второго критического значения Hc2 расстояние между вихрями уменьшается до размера корреляционной длины. В данной работе мы рассматриваем случай жесткой решетки вихрей Абрикосова, что соот- ветствует различным фазам сверхпроводника, например вязкому течению вихрей, крипу магнитного потока, модели вихревого стекла и т.д. Исклю- чением является модель вихревой жидкости, когда выше линии необрати- мости решетка вихрей плавится, т.е. мы имеем дело с пластической дефор- мацией вихревой решетки. Используя математический формализм, развитый в [2–11], мы исследу- ем влияние гидростатического давления, от которого зависит критиче- ский ток, на перенос потока вихрей в режиме вязкого течения для жест- кой вихревой решетки. Для сверхпроводящих материалов в этом режиме эволюция амплитуды магнитного поля моделируется обобщенным урав- нением Бюргерса с «вязкостью», где роль вязкости играет нелинейный коэффициент магнитной диффузии, зависящий от магнитного поля (воз- можно, градиента магнитного поля) и температуры как параметра. Струк- тура этого уравнения показывает, что при проникновении магнитного по- тока в сверхпроводник сила Лоренца порождает конвективный снос (же- сткой) вихревой решетки – нелинейную конвекцию, которая зависит от плотности критического тока и сопротивления сверхпроводника. Нели- нейная конвекция может приводить к различным магнитным неустойчи- востям, например к «опрокидыванию» магнитной волны, возникновению многопотоковых магнитных течений с последующим их «перерастанием» в дендритные структуры фрактального типа [12]. Отметим, что без пин- нинга, когда плотность критического тока равна нулю, конвекция отсут- ствует. Это означает, что уравнение Бюргерса вырождается в более про- стое уравнение типа «пористой сре- ды», которое было получено и ис- следовано Баренблаттом [13] при изучении поведения жидкости в по- ристых средах. Он нашел локализо- ванные решения данного уравнения, имеющие вид автомодельных волн (рисунок). В нашей ситуации это решение демонстрирует распределе- ние амплитуды магнитного поля в среде без пиннинга. С учетом влия- ния пиннинга и при постоянном критическом токе фронт распро- странения таких волн смещается на величину, которая пропорциональна плотности критического тока. Рис. Эффективная локализация магнитного поля в режиме степен- ной поверхностной накачки внеш- ним магнитным полем в различные моменты времени: 0 < t1 < t2 < t3. Здесь xeff(t) – точка эффективной локализации поля Физика и техника высоких давлений 2011, том 21, № 4 31 2. Отклик сверхпроводника на внешние возмущения Для уравнения Бюргерса рассмотрим несколько условий изменения со временем амплитуды магнитного поля на поверхности сверхпроводника: степенной и граничный режим с обострением [2–4]. Ограничимся исследо- ванием одномерной краевой задачи в магнитном поле, которое ориентиро- вано вдоль поверхности сверхпроводника. Такая задача исследовалась в ра- ботах Фейгельмана, Ларкина и др. [14], а затем получила дальнейшее разви- тие в работах Романовского [5,6] для постоянной амплитуды магнитного по- ля на поверхности сверхпроводника. Мы же рассматриваем ситуацию, когда скорость изменения магнитного поля на поверхности сверхпроводника зада- на в режиме с обострением. Такой режим моделирует импульсное воздейст- вие магнитного поля или тока. При этом за конечное время амплитуда маг- нитного поля на границе становится намного больше значения первого кри- тического поля [15]. Для уравнения пористой среды с указанными выше граничными усло- виями в ряде работ [2–4] были получены явные автомодельные представле- ния амплитуды магнитного поля с учетом различных форм потенциала пин- нинга для разных фаз сверхпроводника. Наиболее простым является иссле- дование вязкого течения вихрей, так как в этом случае при больших плотно- стях транспортного тока пиннинг подавлен. Наиболее сложным оказывается исследование структуры магнитных волн при малых плотностях тока (меньше, а иногда и намного меньше его критической плотности [14]). В этом случае движение вихрей является термически индуцированным, что может приводить к «гигантскому» крипу магнитного потока [2]. В большин- стве работ (см., напр., [14]) решетка вихрей предполагается жесткой. В то же время имеются фазы сверхпроводника, когда решетка вихрей подвержена пластической деформации и даже плавится [14]. В данной работе мы обобщаем полученные ранее результаты для режима вязкого течения вихрей [3,4] на случай нелинейной зависимости сопротив- ления ρf и зависимости плотности критического тока Jc от индукции маг- нитного поля В. При постоянном критическом токе пиннинг уменьшает глу- бину и скорость проникновения магнитного потока [3,4], при непостоянном – приводит к возникновению фрактальных магнитных структур, а глубина проникновения магнитного поля и скорость движения зависят от условий, заданных на поверхности сверхпроводника. Покажем, что распределения амплитуды магнитного поля в полупро- странстве могут быть как локализованными, так и нелокализованными. В первом случае скорость проникновения магнитной волны (или возмущения) конечна, и решение локализовано, а во втором – бесконечна, и решение не- локализовано. Такие распределения при больших временах (например, в ре- жиме с обострением) порождают предельные автомодельные магнитные структуры, которые образуют аттрактор исходной краевой задачи (см. [15]). Одним из элементов аттрактора такой задачи является простая бегущая маг- Физика и техника высоких давлений 2011, том 21, № 4 32 нитная волна. Показано, что скорость движения и глубина проникновения такой волны в идеальном сверхпроводнике без пиннинга, а в неидеальном – с учетом пиннинга зависят от скорости возрастания амплитуды магнитного поля на поверхности сверхпроводника, плотности критического тока и удельной проводимости образца, которые могут нелинейным образом зави- сеть от магнитного поля. Таким образом, в данной статье (в макроскопическом приближении) рас- сматриваются основные физические особенности проникновения магнитно- го поля в ВТСП второго рода в зависимости от скорости возрастания внеш- него магнитного поля. Например, можно принять ∂B/∂t = 1 T/s на поверхно- сти сверхпроводника Nb–Ti или ∂B/∂t = 7.5·10–3 T/s для сверхпроводника YBCO (см. [16]). Оказывается, что характер проникновения магнитного поля определяется следующими факторами: скоростью накачки внешним маг- нитным полем ∂B/∂t, нелинейной зависимостью сопротивления среды от ин- дукции магнитного поля ρf(B) и зависимостью плотности критического тока от магнитного поля и температуры Jc = Jc(B,T). Пространственно-временное распределение магнитного поля определяется тем, в какой фазе находится высокотемпературный сверхпроводник. Мы исследуем также ситуацию ре- жима вязкого течения вихрей (J >> Jc), когда действие центров пиннинга оказывается подавленным [14]. Дополнительно рассмотрим случай, когда критический ток зависит от гидростатического давления. В типичных ситуа- циях такая зависимость является экспоненциальной [17]. При этом влияние давления на амплитуду, глубину и скорость движения фронта магнитной волны оказывается аналогичным влиянию критического тока, а именно при увеличении давления глубина и скорость проникновения магнитной волны уменьшаются на величину, пропорциональную величине давления. 3. Модель вязкого течения магнитного потока Рассмотрим режим вязкого течения вихрей, который можно представить следующим образом: если через сверхпроводник пропустить транспортный ток, то взаимодействие вихрей с током приводит к возникновению силы Ло- ренца, действующей на вихревую нить: FL = c–1[J,Φ0], где с – скорость света, Φ0 – квант магнитного потока. Под влиянием силы Лоренца магнитный по- ток приходит в движение, что вызывает диссипацию энергии, в результате чего сверхпроводник переходит в резистивное состояние, или фазу Шубни- кова. Если имеет место сильная связь между магнитным потоком (по суще- ству, вихревой решеткой Абрикосова) и решеткой металла, то движение вихревой решетки происходит, когда FL ≥ Fp, где Fp – сила пиннинга. Таким образом, в сверхпроводнике устанавливается режим вязкого течения вихрей. Из определения силы пиннинга следует, что 0 ηc vcJ J= + Φ , (1) Физика и техника высоких давлений 2011, том 21, № 4 33 где η – вязкость, v – макроскопическая скорость движения вихрей. Важно то, что имеет место функциональная связь между скоростью движения вих- рей v и изменением электрического поля E, которое возникает при движении магнитного потока. Действительно, рассмотрим уравнение непрерывности для потока вихревых нитей div( )n n t ∂ = − ∂ v (2) (где n – плотность вихрей, такая, что в условиях равновесия B = nΦ0) и урав- нение Максвелла 1 0B E c t x ∂ ∂ + = ∂ ∂ . (3) Тогда из (2) и (3) вытекает функциональная связь: v = cE/B, которая играет важную роль при выводе уравнения эволюции магнитного поля. Уравнение состояния сверхпроводника имеет вид [16]: σc fJ J E= + , (4) где σf = 1/ρf – проводимость образца. Из (4) следует, что вольт-амперную характеристику в режиме вязкого течения вихрей можно записать в виде ρ ( )( )f cE B J J= − . (5) Здесь Jc = Jc(B,T,P), где P – давление. Одним из приближений модели кри- тического состояния Jc = Jc(B,T) является модель Кима–Андерсона [18]: 0 0 0 c BJ J B B = + , (6) где J0 = J0(T), B0 = B0(T) ~ 103 Gs для жестких сверхпроводников. Прибли- жение (6) имеет место для всех полей B в диапазоне 1 2c cH B H< < , где Hc1 и Hc2 – первое и второе критические поля соответственно. В области 2 2 ( ) / 1c cH B H− << справедливо следующее приближение [18]: 2 0 ( ) 1c c BJ J T H ⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . (7) Для модели Бина [19] можно получить Jc = Jc(T), так как (в большинстве случаев) перепад индукции в образце достаточно мал по сравнению с харак- терным масштабом изменения Jc = Jc(B) (порядка величины 2 ( )cH B− , см. [19]). Для приближенных оценок достаточно считать 0 ( )J T порядка величи- ны (1 – T/Tc), где Tc – критическая температура перехода сверхпроводника в нормальное состояние. Физика и техника высоких давлений 2011, том 21, № 4 34 4. Уравнение эволюции магнитного поля с учетом зависимости критического тока от амплитуды магнитного поля и температуры Ниже мы получим уравнение, которое описывает распределение индук- ции магнитного поля для модели Бина, модели Кима–Андерсона и многих других случаев, когда имеет место нелинейная зависимость критического тока от магнитного поля. В самом деле, рассмотрим ВТСП второго рода, за- нимающий полупространство x ≥ 0, в параллельной геометрии B║ez, E, J║ ey и v║ex, где e – единичный орт, E = ρf(B)(J – Jc). Пpедположим, что тем- пеpатуpа свеpхпpоводника совпадает с темпеpатуpой охладителя, т.е. пpенебpегаем неизотеpмичностью пpоцесса, исходя из того факта, что зна- чение коэффициента диффузии обеспечивает быстpое выpавнивание гpадиента темпеpатуpы. Такое эффективное охлаждение имеет место для композитных свеpхпpоводников [5,6]. При изотермических условиях темпе- ратуру можно рассматривать как параметр и, следовательно, взаимосвязь между магнитной индукцией B, электpическим полем E и тpанспоpтным то- ком J определяется уpавнениями Максвелла. Тогда, если известны ρf(b) и jc(b,θ), по заданной форме вольт-амперной характеристики и уравнению Максвелла (3) можно записать уравнение эволюции магнитного поля ( ) ( )κ ( ,θ) ρ ( )t h f xx x b G b D b b− = . (8) Здесь 1 / cb B H= , ( ),θ ρ ( ) ( ,θ)f cG b b j b= , θ = T/Tc, x → x/λ, t → t/th, 2 2 0ρ / 4πλh hD c t= – коэффициент магнитной диффузии, th – время релакса- ции магнитного поля, λ – лондоновская глубина пpоникновения магнитного поля. Паpаметp κ κ hD= определяется из уpавнения 1 κ xj b= − , где 1 0κ 4π λ /c cJ cH= , 0/ cj J J= , 0 cJ – ток распаривания, плотность кpитического тока при нулевой температуре [14]. Критическую плотность тока возьмем в виде 0 c ( ,θ) ( )(1 θ)q cj b j b= − , q > 0. Уравнение (8) подобно известному в гидродинамике уравнению Бюргер- са, только уже с нелинейной «вязкостью» ρf(b). Выполним в (8) замену t = t′, η = x + κG′(b)t (зависимость от θ там, где это не вызовет недоразумений, бу- дем опускать). Тогда (8) можно записать в виде уравнения пористой среды ( )η η ρ ( )t h fb D b b= . (9) Ограничимся исследованием стационарных решений уравнения (9), а именно ηρ ( )f b b C= , где ( )0 η 0ρ (η ) (η )fC b b= , а значение η0 определяет кривую 0η κ ( )x G b t′= + в плоскости (x,t). Выберем ρf(b) = b. Тогда интегрирование последнего урав- нения приводит к следующему равенству: Физика и техника высоких давлений 2011, том 21, № 4 35 2 2 0 0(η) (η ) 2 (η η )b b C= + − . (10) Пусть 2 0 0α (η ) 2 η 0b C= − > и β 2 0C= − > . В этом случае решение уравне- ния (10) имеет вид 1/ 2 1/ 2 β(η) α 1 η α b + ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , где ( ) max{0, }k k+ = . Для σρ ( ) ρf nb b= , где σ > 0, можно получить аналогичный результат. За- метим, что зависимость 2 1ρ β ( , ) ( )f cT B B H T−= (где коэффициент β( , )T B подлежит определению из эксперимента) была детально проанализирована в работе [1], в которой показано, что зависимость ρf от b действительно имеет степенной характер. Вместе с уравнением (9) рассмотрим граничное условие, зависящее от времени: 1(0, ) ( ) 0b t b t= > , t > 0 (11) и начальное условие 0(η,0) (η) 0b b= ≥ , σ 1 1 0 ( )b C R+ +∈ . (12) Здесь функция b1(t) неограниченно возрастает при увеличении t по степен- ному закону или в режиме с обострением. Решение начально-краевой задачи (9)–(12) будет найдено ниже. 5. Распределения магнитного поля типа бегущей волны Для задачи (9)–(12) будем искать решение типа бегущей волны: bA(η,t) = fA(ζ), ζ = η – λt, где λ – скорость движения магнитной волны. В результате для fA(ζ) ≥ 0 уравнение (9) с заменой t → tDh допускает редукцию к уравнению ( )d d dρ λ 0 dς dς dς A A f A f ff⎛ ⎞ + =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , т.е. ( ) dρ λ dς A f A A ff f C+ = . Полагая C = 0, приходим к следующему равенству: ( )ρ d λ dς f A A A f f f = − . В этом случае ( ) ( )0(ς) λ ς ςAf +Φ = − , Физика и техника высоких давлений 2011, том 21, № 4 36 где ( ) ( )η 0 ρ η df s s s Φ = ∫ , ρ 0f ≥ ; ( )0 0Φ = . Если ζ0 = 0, тогда ( ) ( )( )1ς λ ςAf − += Φ − , где Ф–1 – функция, обратная Ф. В результате получаем автомодельное решение ( ) ( )1η, λ λ ηAb t t− + ⎡ ⎤= Φ −⎣ ⎦ , 0t > . Мы можем найти t0 = Ф(∞)/λ2 ≤ ∞ – время обострения в точке η = 0. Тогда полученное решение можно рассматривать как решение на временном ин- тервале [0,t0) для уравнения (9) с начальными условиями b(η,0) = 0, η > 0 и граничными условиями ( ) ( )1 20, λ .b t t−= Φ Таким образом, задача имеет решение с непрерывным магнитным потоком, которое при каждом t ∈ [0,t0) является финитным по η, т.е. ( )η, 0Ab t ≡ , η λt≥ , [ )00,t t∈ . Фронт магнитной волны определяется равенством ηf(t) = λt. В исходных переменных скорость фронта магнитной волны имеет вид ( ) d λ κ d fx G b t ′= − . Таким образом, пиннинг уменьшает скорость проникновения магнитной волны на величину κG′(b), где G′(b) > 0. Например, для ρf(b) = bσ, σ > 0 по- лучаем Φ(b) = bσ/σ, Φ–1(b) = (σb)1/σ, t = ∞, и решение имеет вид [26]: ( ) ( ) 1/σ η, σλ λ ηAb t t + ⎡ ⎤= −⎣ ⎦ , t ≥ 0, η > 0. 6. Степенной граничный режим Рассмотрим степенной граничный режим, т.е. ( ) ( )1 1 mb t t= + , t ≥ 0; m > 0. (13) В этом случае уравнение (9) с заменой t → tDh при ρf(b) = bσ имеет автомо- дельное решение следующей формы: ( ) ( ) ( ), 1 m A Ab t tη = + ϑ ζ , ( )( )1 σ / 2 ης 1 mt + = + , (14) Физика и техника высоких давлений 2011, том 21, № 4 37 что можно связать с инвариантностью уравнения относительно масштабного преобразования: t → t/α, x → x/α(1+mσ)/2, b → αmb; α > 0. Действительно, ес- ли решение инвариантно относительно такого преобразования, т.е. предста- вимо в виде ( ) ( )( )1 σ / 2, α / α, / α mmb x t b t x +≡ , тогда, полагая α = t, t → 1 + t, мы получаем (14). Функция ϑA ≥ 0 является решением обыкновенного дифференциального уравнения ( ) ( )σ 1 σ ς 0 2A A A A m m +′′ ′ϑ ϑ + ϑ − ϑ = , ζ ≥ 0 (15) с краевыми условиями ϑA(0) = 1, ϑA(∞) = 0. (16) Известно [15], что обобщенное решение задачи (15), (16) при m > 0, σ > 1 существует, является единственным и финитным (обращается в нуль вне не- которого ограниченного связного интервала). Например, при m = 1/σ данная задача имеет следующее обобщенное решение: 1/ 2 1/σ(ς) (1 σ ς)A +ϑ = − . (17) В этом случае bA = (1 + t)1/σϑA(ζ), ζ = η/(1 + t), и поэтому автомодельное ре- шение есть ни что иное, как простая бегущая волна. Глубина проникновения магнитной волны зависит от времени по закону (1 σ) / 2 eff effη ( ) ς (1 )A mt t += + , t ≥ 0, (18) где ϑA(ζeff) = 1/2. Координата фронта магнитной волны (точка, в которой bA обращается в нуль) равна (1 σ) / 2η ( ) ς (1 )A m f ft t += + . (19) Схематически эволюция автомодельного процесса проникновения магнит- ного поля в режиме вязкого течения вихрей при степенной скорости накачки внешним магнитным полем изображена на рисунке. Из определения η = x + κG′(b)t и соотношения (18), в свою очередь, выте- кает, что глубина проникновения магнитной волны в полупространство x > 0 имеет вид (1 σ) / 2 eff eff( ) ζ (1 ) κ ( )A mx t t G b t+ ′= + − (20) и соответственно эффективная скорость движения фронта магнитной волны равна ( σ 1) / 2 eff eff 1 σ( ) ζ (1 ) κ ( ) 2 A mmv t t G b−+ ′= + − . (21) Физика и техника высоких давлений 2011, том 21, № 4 38 Формула (21) имеет физический смысл лишь при выполнении неравенства mσ ≤ 1. В частности, при σ = 1 (в режиме Бардина–Стефена) задача физиче- ски корректна при условии, что скорость накачки внешним полем удовле- творяет условию m ≤ 1, т.е. сублинейна или линейна. В частном случае для закона Бардина–Стефена ρf(b) = b. В режиме постоянного критического тока jc(b) ≡ jc из (20), (21) следует, что (1 σ) / 2 eff eff( ) ζ (1 ) κA m cx t t j t+= + − , (22) ( σ 1) / 2 eff eff 1 σ( ) ζ (1 ) κ 2 A m c mv t t j−+ = + − . (23) В общей ситуации для однозначной разрешимости уравнения (8) необ- ходимо, чтобы функция G(b), учитывающая влияние пиннинга, удовлетво- ряла энтропийному условию [20]. Это условие выделяет однозначные вет- ви решений в окрестности фронта ударной волны, препятствуя возникно- вению многопотоковых магнитных течений гидродинамического типа. Как показано выше, существует стандартный способ редукции обобщенного уравнения Бюргерса (8) к уравнению пористой среды (9), который заклю- чается в том, чтобы рассматривать решения уравнения (8) на характери- стиках. Это означает, что вдоль траекторий, задаваемых дифференциаль- ным уравнением dη κ ( ) d G b t ′= , d 1 d t t ′ = , (24) решения уравнения (8) совпадают с решениями уравнения (9). Отметим, что если бы мы рассматривали задачу Коши, то, зная решение уравнения (9), могли бы его продолжить вдоль характеристик (24) и тем са- мым найти решение задачи Коши для исходного уравнения (8). Ситуация ус- ложняется, когда мы рассматриваем граничную задачу. При этом не всегда удается согласовать решения вдоль траекторий (24) с заданными краевыми условиями. Заметим, что задача Коши для (9) является однозначно разреши- мой в области, где характеристики исходного уравнения (8) не пересекаются. Здесь необходимо сделать следующее замечание. Известно, что если G′(b) > > 0, то возникает укручение фронта магнитной волны. В реальных процессах укручение заканчивается появлением многопотоковых магнитных течений и опрокидыванием магнитной волны в отсутствие «вязкости». Если классиче- ское уравнение Бюргерса дополнить вторым слагаемым, то «вязкость» оста- навливает опрокидывание. Напомним, что опрокидывание сопровождается ростом градиента поля до бесконечности. При отличной от нуля «вязкости» диффузионное слагаемое ( )ρ ( )f x x b b в (8) доминирует над конвективным слагаемым G′(b)bx (см., напр., [12, с. 189]), что и останавливает возникнове- ние многопотоковых течений, которые в противном случае приводят к фрактальному распределению магнитного потока. Физика и техника высоких давлений 2011, том 21, № 4 39 При κ << 1 уравнение (8) допускает редукцию к уравнению ( )ρ ( )t h f x x b D b b= . (25) Этот случай соответствует J >> Jc, когда пиннингом можно пренебречь. Пpи степенном гpаничном pежиме вместе с (25) рассматриваем граничное условие 0(0, ) (1 )mb t b t= + , t > 0, m > 0, (26) а для гpаничного pежима с обостpением – граничное условие 0 0(0, ) ( )mb t b t t= − , 0 < t < t0, m < 0, (27) где 0t – время выхода магнитного поля на скейлинговое поведение [14]. Ус- ловие (27) означает, что b → ∞ на границе x = 0 пpи t → t0. Pешение на рисунке опpеделяет пpостpанственный пpофиль магнитной волны, движущейся в свеpхпpоводнике при степенном режиме накачки на границе со скоpостью ( )σ 1 / 2 eff eff( ) ς (1 σ) / 2(1 ) mv t m t −= + + . В частности, при m = 1/σ краевая задача (25), (26) имеет явное обобщенное pешение 1/σ 1/ 2 1/σ( , ) (1 ) (1 σ ς)b x t t += + − , 1ς (1 )x t −= + . Пpи таком специальном выбоpе накачки скоpость движения фpонта волны постоянна и pавна vf = σ–1/2. Так, при σ = 1 (для закона Бардина–Стефена) мы получаем, что vf = 1. 7. Проникновение магнитного поля в режиме с обострением В предыдущем пункте мы определили глубину и скорость проникновения магнитного поля в сверхпроводник при степенном режиме накачки внешним магнитным полем. Такие граничные условия часто реализуются в экспери- менте, хотя при этом в основном используется линейное возрастание ампли- туды магнитного поля на поверхности сверхпроводника. В то же время су- ществует ряд экспериментов, когда необходимо реализовать сверхбыстрый режим накачки внешним полем, например при исследовании образования термомагнитных дендритных структур в ВТСП. В такой ситуации нужно строить соответствующую математическую модель для режима с обострени- ем (27). Тогда автомодельные pешения уpавнения (25) будем искать в виде ( ) ( )0( , ) ςmb x t t t f= − , (1 σ) / 2 0ς ( ) 0mx t t − += − ≥ , (28) где f(ζ) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению ( ) ( )σ 1 σ / 2 ς 0f f m f mf′′ ′− + + =⎡ ⎤⎣ ⎦ , ζ > 0 (29) и краевым условиям f(0) = 1, f(∞) = 0. Для автомодельного pешения (28) эффективная глубина проникновения магнитной волны зависит от вpемени по следующему закону: eff ( )x t = Физика и техника высоких давлений 2011, том 21, № 4 40 (1 σ) / 2 eff 0ζ ( ) mt t += − . Здесь ζeff – эффективное значение автомодельной кооpдинаты, которое находится из условия, что f(ζeff) = 1/2. Пpи 1 + mσ < 0 pешение хаpактеpизуется следующими свойствами: кооpдината фpонта вол- ны находится в конечной точке и вместе с xeff неогpаниченно возpастает пpи пpиближении к моменту обостpения. Пpи 1 + mσ > 0 фpонт волны находится в бесконечно удаленной точке, а величина xeff(t) уменьшается пpи t → t0. Pешения такого типа можно назвать магнитной волной с сокpащающимися эффективными pазмеpами. Магнитное поле в этом случае будет сосредота- чиваться в уменьшающейся со временем области пpостpанства. В pеальной ситуации сопутствующее этому пpоцессу возpастание b(x,t) будет огpани- чено свеpху значением втоpого кpитического поля. Специальному выбоpу m = –1/σ отвечает автомодельное pешение не- обычного вида – остановившаяся магнитная волна: ( ) ( )1/σ 2 /σ 0 0( , ) 1 /b x t t t x x− += − − , где ( ) 1/ 2 0 2 σ 2 /σx = +⎡ ⎤⎣ ⎦ . Положение фpонта волны xf(t) = x0 не меняется в течение всего вpемени обостpения, а магнитные возмущения не pаспpостpаняются в глубь обpазца, несмотpя на то, что в области (0,x0) маг- нитное поле возpастает пpи t → t0. 8. Учет зависимости критического тока от амплитуды магнитного поля Следующий шаг состоит в том, чтобы учесть реальную зависимость кри- тического тока Jc(B,T) от магнитного поля. В этом случае уравнение эволю- ции магнитного поля имеет вид (8) с заменой t → tDh. Вместе с (8), где G(b) = = ρf(b)jc(θ,b), граничное условие в режиме с обострением имеет вид ( ) 00, (1 )mb t b t= − , m < 0, t0 = 1. (30) Тогда решением задачи (8), (30) является ( ) ( ) ( )0η, 1 ςmb t b t F= − , ( )( )1 / 2 ης 1 mt + = − , m < 0, (31) где F – решение задачи ( ) ( )0 1 3 1ς 0 2 2 m mb FF F F+ +′ ′′ − + = , F(0) = 1, F(∞) = 0. (32) Заметим, при m = –1/3 уравнение (32) имеет явное решение 2 0 ς(ς) 1 6 F b = + , однако это решение не удовлетворяет граничному условию F(∞) = 0. Интег- рирование уравнения (32) от ζ до ∞ приводит к соотношению 0 ς 1 3 1ς ( )d 2 2 m mF b F F s s ∞+ +⎛ ⎞′ − =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ . (33) Физика и техника высоких давлений 2011, том 21, № 4 41 Выберем m < –1. Тогда, учитывая, что F ≥ 0, из (33) находим оценку сверху для всех неотрицательных решений задачи (32): 2 0 11 ς 4 mF b + ⎛ ⎞+ ≤ +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . (34) Оценка (34) показывает, что решения задачи (32) локализованы при m < –1. При m = –1 имеем явное решение ( ) 2 0 ςς 1 6 F b + ⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , ζ = η. (35) Таким образом, при m = –1 имеем точное автомодельное решение обобщен- ного уравнения Бюргерса 2 1 0 0 η(η, ) (1 ) 1 6 b t b t b − + ⎛ ⎞ = − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . 9. Влияние давления на проникновение магнитного потока в сверхпроводник В результате всестороннего сжатия ВТСП-купратов их критическая тем- пература Tc вначале растет, достигая максимального значения, после чего убывает с дальнейшим повышением давления [21]. Влияние давления на Tc может быть связано с двумя факторами: изменением основных характери- стик купратов, определяющих куперовское спаривание в них, или (менее принципиальным) ростом концентрации подвижных носителей заряда в ре- зультате уменьшения объема сверхпроводника [22]. К сожалению, разделить эти два эффекта достаточно сложно, поскольку изменение критической тем- пературы при сжатии купратных соединений оказывается небольшим. В то же время влияние давления на плотность критического тока Jc является очень сильным. Как было обнаружено в [17], производная dlnJc/dP для ит- трий-бариевых купратов YBa2Cu3O7–x имеет величину порядка 0.2 GPa–1 и, следовательно, для экспериментально достижимых давлений критическая плотность Jc может быть увеличена вдвое и более. Это обстоятельство по- зволяет использовать Jc в качестве управляемого параметра для проверки основных положений теории критического состояния в сверхпроводниках второго рода. Основные положения этой теории были сформулированы еще в 1964 г. [19] на основе теории А.А. Абрикосова [23]. Тогда же были полу- чены и первые критерии устойчивости критического состояния в жестких и комбинированных сверхпроводниках [18]. Учитывая зависимость критиче- ского тока Jc(B,T,P) от давления как параметра в полученном нами уравне- нии эволюции магнитного поля (8), можно исследовать влияние давления на глубину и скорость проникновения магнитного потока. Очевидно, что рост Физика и техника высоких давлений 2011, том 21, № 4 42 давления, а вместе с тем и критического тока уменьшает глубину (см. (20)) и скорость (см. (21)) проникновения магнитного поля в образец. 10. Заключение В работе рассмотрен класс модельных краевых задач, который описывает отклик ВТСП второго рода на сильно нелинейные поверхностные возмуще- ния магнитного поля при степенном граничном режиме, а также импульс- ном режиме с обострением. Исследован отклик жесткой вихревой решетки, показывающий, что магнитный поток проникает в образец в форме автомо- дельной волны. Амплитуда, скорость и глубина проникновения такой маг- нитной волны зависят от двух факторов – скорости внешней накачки маг- нитным полем и электрического сопротивления, которое зависит от индук- ции магнитного поля нелинейным образом, а также от величины критиче- ского тока и давления. Показано, что если плотность критического тока по- стоянна, то форма магнитной волны определяется конкуренцией между ско- ростью проникновения магнитного потока в образец и коэффициентом маг- нитной диффузии, характеризующим магниторезистивные свойства среды. Учет пиннинга приводит к уменьшению скорости и глубины проникновения магнитного потока в образец на величину, пропорциональную плотности критического тока. Если критический ток является функцией амплитуды магнитного поля (даже линейной), то это приводит к укручению фронта магнитной волны и возникновению многопотоковых магнитных течений с последующим образованием дендритных структур. Исследования Р.М. Таранца были частично поддержаны Седьмой рамоч- ной программой Европейского Союза, грант № PIIF-GA-2009-254521. 1. Л.П. Горьков, Н.Б. Копинин, УФН 116, 413 (1975). 2. И.Б. Краснюк, Р.М. Таранец, ЖТФ 77, 1 (2007). 3. И.Б. Краснюк, ЖТФ 77, 30 (2007). 4. И.Б. Краснюк, Р.М. Таранец, ЖТФ 78, 83 (2008). 5. В.Р. Романовский, ЖТФ 73, 77 (2003). 6. В.Р. Романовский, ЖТФ 70, 47 (2000). 7. И.Б. Краснюк, Ю.В. Медведев, Письма в ЖТФ 31, 40 (2005). 8. Ю.В. Медведев, И.Б. Краснюк, ЖТФ 73, 31 (2003). 9. Ю.В. Медведев, И.Б. Краснюк, ФНТ 31, 1366 (2005). 10. И.Б. Краснюк, M.В. Залуцкий, ФНТ 33, 415 (2007). 11. И.Б. Краснюк, Р.М. Таранец, В.М. Юрченко, ФНТ 37, 369 (2011). 12. Г.М. Заславский, P.З. Сагдеев, Введение в нелинейную физику: от маятника до туpбулентности и хаоса, Наука, Mосква (1988). 13. Г.И. Баренблатт, Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика. Теория и приложения к геофизической гидродинамике, Гидрометеоиздат, Ле- нинград (1982). Физика и техника высоких давлений 2011, том 21, № 4 43 14. G. Blatter, M.V. Feigel’man, V.B. Geshkenbein, A.I. Larkin, V.M. Vinokur, Rev. Mod. Phys. 66, 1125 (1994). 15. А.А. Самаpский, В.A. Галактионов, С.П. Куpдюмов, А.П. Михайлов, Pежимы с обостpением в задачах для квазилинейных паpаболических уpавнений, Наука, Москва (1987). 16. Р.Г. Минц, А.Л. Рахманов, Неустойчивости в сверхпроводниках, Наука, Москва (1984). 17. T. Tomita, J.S. Schilling, L. Chen, B.W. Veal, H. Claus, Phys. Rev. B74, 064517 (2006). 18. P.W. Anderson, Y.B. Kim, Rev. Mod. Phys. 36, 39 (1964). 19. C.P. Bean, J.D. Livingston, Phys. Rev. Lett. 12, 14 (1964). 20. И.Б. Краснюк, В.М. Юрченко, ЖЭТФ 121, 637 (2002). 21. H. Takahashi, N. Mori, Studies of High Temperature Superconductors, Nova Science, New York (1995). 22. R.J. Wijngaarden, D.T. Jover, and R. Griessen, Physica B265, 128 (1999). 23. А.А. Абрикосов, ЖЭТФ 32, 1442 (1957). І.Б. Краснюк, Р.М. Таранець ВПЛИВ ТИСКУ І ПІНІНГА ВИХРОВОЇ КОМІРКИ НА ПРОНИКНЕННЯ МАГНІТНОГО ПОТОКУ У ВИСОКОТЕМПЕРАТУРНІ НАДПРОВІДНИКИ ДРУГОГО РОДУ Розглянуто вплив пінінга на характер проникнення магнітного поля у високотемпе- ратурні надпровідники другого роду в разі жорсткої вихрової комірки. Визначено засоби накачування надпровідника зовнішнім магнітним полем, що зростає з часом, при яких магнітне поле проникає в зразок у формі автомодельної магнітної хвилі. Знайдено глибину й швидкість поширення таких хвиль для надпровідників, які зна- ходяться у фазі в’язкого перебігу вихорів з нелінійною залежністю густини кри- тичного струму від індукції магнітного поля. Принципово новим є облік залежності критичного струму від величини гідростатичного тиску, який змінює характер про- никнення магнітного потоку в надпровідник. Ключові слова: високотемпературні надпровідники, проникнення магнітного по- ля, високий тиск, фронт магнітної хвилі I.B. Krasnyuk, R.M. Taranets EFFECT OF PRESSURE AND PINNING OF A VORTEX LATTICE ON THE MAGNETIC FLUX PENETRATION IN HIGH-TEMPERATURE TYPE-II SUPERCONDUCTORS Pinning effect on the character of the magnetic field penetration in high-temperature type- II superconductors is considered in the case of a rigid vortex lattice. Ways of the temporal increasing external magnetic field pumping of a superconductor at which the magnetic field penetrates into the sample in a form of the self-similar magnetic wave were deter- mined. Depth and velocity of such wave distributions were defined for superconductors Физика и техника высоких давлений 2011, том 21, № 4 44 which are in the viscous flow vortex phase with a nonlinear dependence of the critical current density on the magnetic field induction. Principally new is an account of the de- pendence of the critical current on the value of hydrostatic pressure which changes the character of the magnetic field penetration into a superconductor. Keywords: high-temperature superconductors, magnetic field penetration, high pressure, magnetic wave front Fig. 1. Effective localization of magnetic field in the course of power pumping by the external magnetic field at varied time: 0 < t1 < t2 < t3. Here xeff(t) is the point of effective field localization
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-69480
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	0868-5924
language	Russian
last_indexed	2025-12-01T11:03:19Z
publishDate	2011
publisher	Донецький фізико-технічний інститут ім. О.О. Галкіна НАН України
record_format	dspace
spelling	Краснюк, И.Б. Таранец, Р.М. 2014-10-14T18:33:22Z 2014-10-14T18:33:22Z 2011 Влияние давления и пиннинга вихревой решетки на проникновение магнитного потока в высокотем-пературные сверхпроводники второго рода / И.Б. Краснюк, Р.М. Таранец // Физика и техника высоких давлений. — 2011. — Т. 21, № 4. — С. 29-44. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. 0868-5924 PACS: 74.25.–q, 74.25.Dw, 74.25.F–, 74.25.Uv, 74.25.Wx https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/69480 Рассмотрено влияние пиннинга на характер проникновения магнитного поля в высокотемпературные сверхпроводники (ВТСП) второго рода в случае жесткой вихревой решетки. Определены способы накачки сверхпроводника возрастающим во времени внешним магнитным полем, при которых магнитное поле проникает в образец в форме автомодельной магнитной волны. Найдены глубина и скорость распространения таких волн для сверхпроводников, которые находятся в фазе вязкого течения вихрей с нелинейной зависимостью плотности критического тока от индукции магнитного поля. Принципиально новым является учет зависимости критического тока от величины гидростатического давления, которое изменяет характер проникновения магнитного потока в сверхпроводник. Розглянуто вплив пінінга на характер проникнення магнітного поля у високотемпературні надпровідники другого роду в разі жорсткої вихрової комірки. Визначено засоби накачування надпровідника зовнішнім магнітним полем, що зростає з часом, при яких магнітне поле проникає в зразок у формі автомодельної магнітної хвилі. Знайдено глибину й швидкість поширення таких хвиль для надпровідників, які знаходяться у фазі в’язкого перебігу вихорів з нелінійною залежністю густини критичного струму від індукції магнітного поля. Принципово новим є облік залежності критичного струму від величини гідростатичного тиску, який змінює характер проникнення магнітного потоку в надпровідник. Pinning effect on the character of the magnetic field penetration in high-temperature typeII superconductors is considered in the case of a rigid vortex lattice. Ways of the temporal increasing external magnetic field pumping of a superconductor at which the magnetic field penetrates into the sample in a form of the self-similar magnetic wave were determined. Depth and velocity of such wave distributions were defined for superconductors which are in the viscous flow vortex phase with a nonlinear dependence of the critical current density on the magnetic field induction. Principally new is an account of the dependence of the critical current on the value of hydrostatic pressure which changes the character of the magnetic field penetration into a superconductor. Исследования Р.М. Таранца были частично поддержаны Седьмой рамочной программой Европейского Союза, грант № PIIF-GA-2009-254521. ru Донецький фізико-технічний інститут ім. О.О. Галкіна НАН України Физика и техника высоких давлений Влияние давления и пиннинга вихревой решетки на проникновение магнитного потока в высокотем-пературные сверхпроводники второго рода Вплив тиску і пінінга вихрової комірки на проникнення магнітного потоку у високотемпературні надпровідники другого роду Effect of pressure and pinning of a vortex lattice on the magnetic flux penetration in high-temperature type-II superconductors Article published earlier
spellingShingle	Влияние давления и пиннинга вихревой решетки на проникновение магнитного потока в высокотем-пературные сверхпроводники второго рода Краснюк, И.Б. Таранец, Р.М.
title	Влияние давления и пиннинга вихревой решетки на проникновение магнитного потока в высокотем-пературные сверхпроводники второго рода
title_alt	Вплив тиску і пінінга вихрової комірки на проникнення магнітного потоку у високотемпературні надпровідники другого роду Effect of pressure and pinning of a vortex lattice on the magnetic flux penetration in high-temperature type-II superconductors
title_full	Влияние давления и пиннинга вихревой решетки на проникновение магнитного потока в высокотем-пературные сверхпроводники второго рода
title_fullStr	Влияние давления и пиннинга вихревой решетки на проникновение магнитного потока в высокотем-пературные сверхпроводники второго рода
title_full_unstemmed	Влияние давления и пиннинга вихревой решетки на проникновение магнитного потока в высокотем-пературные сверхпроводники второго рода
title_short	Влияние давления и пиннинга вихревой решетки на проникновение магнитного потока в высокотем-пературные сверхпроводники второго рода
title_sort	влияние давления и пиннинга вихревой решетки на проникновение магнитного потока в высокотем-пературные сверхпроводники второго рода
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/69480
work_keys_str_mv	AT krasnûkib vliâniedavleniâipinningavihrevoirešetkinaproniknoveniemagnitnogopotokavvysokotemperaturnyesverhprovodnikivtorogoroda AT taranecrm vliâniedavleniâipinningavihrevoirešetkinaproniknoveniemagnitnogopotokavvysokotemperaturnyesverhprovodnikivtorogoroda AT krasnûkib vplivtiskuípíníngavihrovoíkomírkinaproniknennâmagnítnogopotokuuvisokotemperaturnínadprovídnikidrugogorodu AT taranecrm vplivtiskuípíníngavihrovoíkomírkinaproniknennâmagnítnogopotokuuvisokotemperaturnínadprovídnikidrugogorodu AT krasnûkib effectofpressureandpinningofavortexlatticeonthemagneticfluxpenetrationinhightemperaturetypeiisuperconductors AT taranecrm effectofpressureandpinningofavortexlatticeonthemagneticfluxpenetrationinhightemperaturetypeiisuperconductors

Влияние давления и пиннинга вихревой решетки на проникновение магнитного потока в высокотем-пературные сверхпроводники второго рода

Репозитарії

Схожі ресурси