Генетичні алгоритми для чебишовської апроксимації
Запропоновано генетичний алгоритм для чебишовського наближення функцій однієї та декількох змінних апроксимантами різних типів. Проведено його порівняння з традиційними алгоритмами апроксимації. Предложен генетический алгоритм для чебышевского приближения функций одной и многих переменных аппроксима...
Saved in:
| Published in: | Комп’ютерні засоби, мережі та системи |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2013
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/69704 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Генетичні алгоритми для чебишовської апроксимації / Л.П. Вакал // Комп’ютерні засоби, мережі та системи. — 2013. — № 12. — С. 20-26. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-69704 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Вакал, Л.П. 2014-10-18T18:27:26Z 2014-10-18T18:27:26Z 2013 Генетичні алгоритми для чебишовської апроксимації / Л.П. Вакал // Комп’ютерні засоби, мережі та системи. — 2013. — № 12. — С. 20-26. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. 1817-9908 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/69704 004.021:519.6 Запропоновано генетичний алгоритм для чебишовського наближення функцій однієї та декількох змінних апроксимантами різних типів. Проведено його порівняння з традиційними алгоритмами апроксимації. Предложен генетический алгоритм для чебышевского приближения функций одной и многих переменных аппроксимантами разных типов. Проведено его сравнение с традиционными алгоритмами аппроксимации. A genetic algorithm for Chebyshev approximation of one and several variables functions by approximants of different types is proposed. A comparison of the genetic algorithm with traditional algorithms of approximation is made. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Комп’ютерні засоби, мережі та системи Генетичні алгоритми для чебишовської апроксимації Genetic algorithms for Chebyshev approximation Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Генетичні алгоритми для чебишовської апроксимації |
| spellingShingle |
Генетичні алгоритми для чебишовської апроксимації Вакал, Л.П. |
| title_short |
Генетичні алгоритми для чебишовської апроксимації |
| title_full |
Генетичні алгоритми для чебишовської апроксимації |
| title_fullStr |
Генетичні алгоритми для чебишовської апроксимації |
| title_full_unstemmed |
Генетичні алгоритми для чебишовської апроксимації |
| title_sort |
генетичні алгоритми для чебишовської апроксимації |
| author |
Вакал, Л.П. |
| author_facet |
Вакал, Л.П. |
| publishDate |
2013 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Комп’ютерні засоби, мережі та системи |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Genetic algorithms for Chebyshev approximation |
| description |
Запропоновано генетичний алгоритм для чебишовського наближення функцій однієї та декількох змінних апроксимантами різних типів. Проведено його порівняння з традиційними алгоритмами апроксимації.
Предложен генетический алгоритм для чебышевского приближения функций одной и многих переменных аппроксимантами разных типов. Проведено его сравнение с традиционными алгоритмами аппроксимации.
A genetic algorithm for Chebyshev approximation of one and several variables functions by approximants of different types is proposed. A comparison of the genetic algorithm with traditional algorithms of approximation is made.
|
| issn |
1817-9908 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/69704 |
| citation_txt |
Генетичні алгоритми для чебишовської апроксимації / Л.П. Вакал // Комп’ютерні засоби, мережі та системи. — 2013. — № 12. — С. 20-26. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT vakallp genetičníalgoritmidlâčebišovsʹkoíaproksimacíí AT vakallp geneticalgorithmsforchebyshevapproximation |
| first_indexed |
2025-11-27T04:05:10Z |
| last_indexed |
2025-11-27T04:05:10Z |
| _version_ |
1850798499369582592 |
| fulltext |
Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2013, № 12 20
L. Vakal
GENETIC ALGORITHMS FOR
CHEBYSHEV APPROXIMATION
A genetic algorithm for Chebyshev
approximation of one and several
variables functions by approximants
of different types is proposed. A
comparison of the genetic algorithm
with traditional algorithms of ap-
proximation is made.
Key words: Chebyshev approxima-
tion, genetic algorithm.
Предложен генетический алго-
ритм для чебышевского прибли-
жения функций одной и многих
переменных аппроксимантами
разных типов. Проведено его
сравнение с традиционными алго-
ритмами аппроксимации.
Ключевые слова: чебышевская
аппроксимация, генетический
алгоритм.
Запропоновано генетичний алго-
ритм для чебишовського набли-
ження функцій однієї та декіль-
кох змінних апроксимантами різ-
них типів. Проведено його порів-
няння з традиційними алгорит-
мами апроксимації.
Ключові слова: чебишовська апро-
ксимація, генетичний алгоритм.
Л.П. Вакал, 2013
УДК 004.021:519.6
Л.П. ВАКАЛ
ГЕНЕТИЧНІ АЛГОРИТМИ ДЛЯ
ЧЕБИШОВСЬКОЇ АПРОКСИМАЦІЇ
Вступ. Генетичні алгоритми (ГА) − це сучасні
ефективні методи розв’язання складних бага-
топараметричних задач оптимізації. Ідея ГА
запозичена у живої природи і полягає в
комп’ютерній організації еволюційного проце-
су створення, модифікації та відбору кращих
розв’язків з метою появи нових, більш прийня-
тних варіантів розв’язання задачі. При цьому
алгоритм працює з популяцією особин, у хро-
мосомі кожної з яких закодований можливий
розв’язок задачі.
Вперше схема ГА запропонована Джоном
Холландом у 1975 році [1]. Вона включає на-
ступні етапи: 1) створення початкового поко-
ління популяції; 2) визначення для кожної осо-
бини її пристосованості за функцією цілі;
3) вибір батьківських пар для схрещування;
4) створення нащадків; 5) мутація нащадків;
6) формування за допомогою редукції та селе-
кції нового покоління популяції; 7) перевірка
критерію зупинки алгоритму (у разі його неви-
конання еволюційний процес повторюється
для нового покоління).
Спочатку в ГА використовувалась фіксована
довжина і двійкове кодування хромосом. Піз-
ніше для пошуку в неперервних просторах ве-
ликої розмірності були розроблені генетичні
алгоритми з дійсним кодуванням, в яких гени
хромосоми напряму подаються у вигляді дійс-
них чисел [2, 3]. У більшості випадків ці алго-
ритми здійснюють пошук оптимуму краще та
швидше, ніж ГА з двійковим кодуванням [3].
Сьогодні ГА використовуються для
розв’язання різноманітних задач: оптимізації
запитів у базах даних, керування роботами,
обробки рентгенівських зображень, прогнозу
розвитку фінансових ринків, налаштування і
ГЕНЕТИЧНІ АЛГОРИТМИ ДЛЯ ЧЕБИШОВСЬКОЇ АПРОКСИМАЦІЇ
Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2013, № 12 21
навчання нейронних мереж, добування нових знань з великих масивів даних та
ін. [4, 5].
Крім того, ГА можуть застосовуватись у задачі апроксимації сіткових функ-
цій для знаходження коефіцієнтів апроксиманта [6, 7]. У цьому випадку хромо-
сома складається з генів − коефіцієнтів ( )kaaaA ,,, 21 = апроксиманта
( )AXF ; , значення яких потрібно оптимізувати, щоб якнайкраще наблизити за-
дану функцію ( )Xf , ( )sxxX ,,1 = . При s=1 маємо випадок наближення фун-
кції однієї змінної ( )xf .
Для апроксимації часто використовують апроксимант найкращого набли-
ження в розумінні чебишовської (рівномірної) норми. При цьому максимальне
значення зваженої (з вагою ( ) 0>Xw ) похибки ρ
( ) ( ) ( ) ( )XwXfAXFA
DX
⋅−=ρ
∈
;max (1)
досягає на множині точок сітки ( ) ( ){ }pXXD ,,1 = , kp > , свого найменшого
значення. При ( ) 1≡Xw маємо чебишовське наближення з найменшою абсолют-
ною похибкою, при ( ) ( )XfXw 1= − з найменшою відносною похибкою.
У статті досліджується результативність ГА для чебишовського наближення
функцій.
Генетичний алгоритм для чебишовської апроксимації функцій. Як ві-
домо, існує чимало алгоритмів чебишовського наближення функцій. Найкраще
розроблено алгоритмічний базис для наближення функцій однієї змінної ліній-
ними апроксимантами (степеневими і тригонометричними поліномами, узагаль-
неними многочленами за чебишовськими системами базисних функцій та ін.)
[8−10]. У нелінійному випадку ефективні алгоритми створені лише для деяких
типів виразів (дробово-раціональних, експоненціальних, логарифмічних та ін.)
[9−12]. Ще скромнішим виглядає алгоритмічний арсенал для наближення функ-
цій декількох змінних [13−15]. Кожний з алгоритмів чебишовської апроксимації
має свої переваги і недоліки. Водночас їх спільна риса − вузька спеціалізація,
тобто можливість наближення лише апроксимантами певного типу.
У статті для чебишовської апроксимації пропонується ГА, головною перева-
гою якого порівняно з вищезгаданими спеціалізованими алгоритмами є його
універсальність: він дозволяє визначити оптимальні значення коефіцієнтів апро-
ксимантів різних типів при наближенні функцій як однієї, так і декількох змін-
них. Цей алгоритм належить до групи генетичних алгоритмів із дійсним коду-
ванням і має наступні характеристики.
1. Початкове покоління популяції формується з n хромосом (особин)
( )kaaaA ,,, 21 = , де k − число генів у хромосомі, параметри яких вибираються
випадковим чином із заданого діапазону чисел [ ]21, numnum (за умовчанням
100=n , 11 −=num , 12 =num ).
2. Для кожної особини обчислюється цільова функція за формулою (1). Чим
Л.П. ВАКАЛ
Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2013, № 12 22
менше значення функції цілі, тим більш пристосованою є особина.
3. При виборі батьківських пар використовується процедура парного турні-
рного відбору [16]. З поточної популяції випадково вибираються дві особини, і
та з них, значення цільової функції якої менше, заноситься у проміжний масив.
Ця операція повторюється n разів. У створенні нащадків бере участь кожна пара
сусідніх особин з проміжного масиву.
4. Для схрещування застосовується змішаний BLX−α кросовер з α = 0,5. У
цьому випадку пара батьків ( )11
2
1
11 ,,, kaaaA = і ( )22
2
2
12 ,,, kaaaA = породжує
одного нащадка ( )kbbbB ,,, 21 = , у якого значенням відповідного гена bi є ви-
падкове число з діапазону [ ]δ⋅α+δ⋅α− maxmin , aa , де ( )21
min ,min ii aaa = ,
( )21
max ,max ii aaa = , minmax aa −=δ , ki ,1= . Особливість цього кросовера в тому,
що значення гена нащадка може лежати в області, яка виходить за межі значень
батьківських генів на величину δ⋅α . Результати розрахунків для тестових фун-
кцій показали [3], що BLX−α кросовер при α = 0,5 переважає за ефективністю
більшість операторів схрещування (хоча, очевидно, не існує кросовера, ефекти-
вного в усіх випадках).
5. При мутації змінюється значення випадкового гена одного нащадка, який
також вибирається випадковим чином. Якщо мутує, наприклад, ген bi, то його
нове значення /
ib визначається за правилом [16]
λ⋅γ±= ii bb/ ,
де знаки + або − вибираються з рівною ймовірністю, ×=γ 5,0 пошуковий простір
(інтервал зміни значення гена), а величина λ обчислюється за формулою
( ) i
m
i
i −
=
⋅β=λ ∑ 2
1
,
де ( ) 1=β i з ймовірністю m1 , у протилежному випадку ( ) 0=β i , m – заданий па-
раметр (за умовчанням 10=m ).
6. З розширеної популяції батьків та їх нащадків для включення в нове по-
коління вибираються тільки n особин з найменшим значенням функції цілі (1).
7. Як критерій закінчення алгоритму використовується обмеження на мак-
симальне число поколінь maxp (за умовчанням 200max =p ). Кращою є особина
з кінцевої популяції з найменшим значенням цільової функції.
Тестування алгоритму проводилось з використанням класичних тестових
функцій. У табл. 1 наводяться отримані за алгоритмом результати для сферичної
функції Де Іонга ( ) ∑
=
=
k
i
ixxf
1
2 , для якої глобальний мінімум ( ) 0=xf , точки мі-
німуму 0=ix , ki ,1= [16]. Ці результати показують, що із збільшенням розмір-
ності вектора змінних погіршується точність алгоритму, оскільки сильно зростає
ГЕНЕТИЧНІ АЛГОРИТМИ ДЛЯ ЧЕБИШОВСЬКОЇ АПРОКСИМАЦІЇ
Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2013, № 12 23
розмір області пошуку. Про цей негативний факт щодо стандартних ГА пові-
домляється і в науковій літературі [17].
ТАБЛИЦЯ 1. Результати тестування алгоритму для сферичної функції Де Іонга
k pmax=100 pmax=200
мінімум f(x) xi мінімум f(x) xi
2 0,54⋅10-31 0,18⋅10-15 0,67⋅10-601 0,81⋅10-30
4 0,25⋅10-16 0,41⋅10-8 0,47⋅10-31 0,17⋅10-15
6 0,13⋅10-10 0,16⋅10-6 0,15⋅10-19 0,91⋅10-10
8 0,44⋅10-8 0,47⋅10-4 0,10⋅10-14 0,19⋅10-7
10 0,11⋅10-5 0,50⋅10-3 0,56⋅10-9 0,23⋅10-4
20 0,38⋅10-1 0,90⋅10-1 0,12⋅10-2 0,18⋅10-1
Аналіз результатів чисельного експерименту. Проведено чисельний екс-
перимент з перевірки результативності запропонованого ГА для чебишовської
апроксимації. Як оптимальний розв’язок брався кращий за 100 пусків результат
алгоритму (оскільки будь-який ГА базується на імовірнісному підході, то при-
йнятний розв’язок можна отримати лише за наявності достатнього числа пусків).
В експерименті виконувалась апроксимація з найменшою абсолютною похиб-
кою функції ex за її значеннями на множині 101 точки відрізку [0, 1] (точки рів-
новіддалені) за допомогою степеневих поліномів
( ) ∑
+
=
−=
1
1
1
k
i
i
ik xaxP (2)
і дробово-раціональних виразів
( ) ( )
+= ∑
+
=
−
1
2
1
, 1
l
j
j
iklk xbxPxR , (3)
а також функцій двох змінних 2
yx
e
+
, 22 yx + , yx sincos ⋅ і xy cos2 ⋅ за їх зна-
ченнями на множині точок трикутника 01 ≥≥≥ yx (крок сітки за обома змінни-
ми 0,2) за допомогою узагальнених многочленів
( ) ( )∑
=
ϕ=
k
i
iik XaXF
1
(4)
за системами k лінійно незалежних базисних функцій ( )Xiϕ . З використанням
розробленого генетичного алгоритму з параметрами за умовчанням були знай-
дені оптимальні значення коефіцієнтів апроксимантів (2) − (4) та похибки на-
ближення ρГА (мінімальні значення функцій цілі).
Крім того, виконано наближення вказаних функцій за допомогою спеціалі-
зованих чебишовських алгоритмів (ЧА), а саме: другого алгоритму Ремеза для
Л.П. ВАКАЛ
Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2013, № 12 24
випадку апроксимації поліномом (2), комбінованого алгоритму Ремеза-Вернера
для випадку наближення раціональним дробом (3), алгоритму зведення до задачі
лінійного програмування для випадку апроксимації функцій декількох змінних
узагальненим многочленом (4) [10, 15]. Отримані за цими алгоритмами похибки
найкращої чебишовської апроксимації ρЧА порівнювались з похибками набли-
ження ρГА за генетичним алгоритмом (похибки, а не значення коефіцієнтів, виб-
рані з точки зору зручності їх аналізу).
Порівняльний аналіз похибок (табл. 2 і 3) показав, що для апроксимантів з
невеликим числом коефіцієнтів k ( 4≤k в одновимірному випадку і 6≤k у ба-
гатовимірному випадку) похибки наближення за генетичним алгоритмом прак-
тично збіглися з похибками чебишовських алгоритмів.
ТАБЛИЦЯ 2. Порівняння результатів чебишовської апроксимації функції ex степеневими
поліномами і дробово-раціональними виразами
Апрокси-
мант
Число ко-
ефіцієнтів
Похибка ρЧА на-
ближення за ЧА
Похибка ρГА на-
ближення за ГА
Величина
ρГА /ρЧА
( )xP1 2 0,1059 0,105933 1,0
( )xR 1,0 2 0,9773⋅10-1 0,9773⋅10-1 1,0
( )xP2 3 0,8753⋅10-2 0,8753⋅10-2 1,0
( )xR 1,1 3 0,4295⋅10-2 0,4296⋅10-2 1,0
( )xP3 4 0,5447⋅10-3 0,6225⋅10-3 1,1
( )xR 1,2 4 0,1801⋅10-3 0,2753⋅10-3 1,5
( )xP4 5 0,2715⋅10-4 0,1834⋅10-3 6,8
( )xR 2,2 5 0,4470⋅10-5 0,1032⋅10-3 23,1
( )xP5 6 0,1127⋅10-5 0,8832⋅10-3 783,7
( )xR 3,2 6 0,1112⋅10-6 0,1378⋅10-2 12392,1
( )xP6 7 0,4024⋅10-7 0,6255⋅10-3 15544,2
( )xR 3,3 7 0,1997⋅10-8 0,5436⋅10-3 272208,3
Водночас для апроксимантів з більшим числом коефіцієнтів генетичний ал-
горитм не дав прийнятних результатів. При зростанні кількості коефіцієнтів у
ГА «борються» дві тенденції: позитивна − зменшення похибки апроксимації з
ростом степеня апроксиманта і негативна − падіння точності наближення із збі-
льшенням числа коефіцієнтів (про це більш детально йшлося вище). І, як свід-
чать отримані результати, для 4>k остання тенденція в ГА значно переважає.
Проведений аналіз також показав, що при однаковій кількості коефіцієнтів
апроксимантів ( 4>k ) похибка наближення ГА тим гірше похибки апроксимації
чебишовського алгоритму, чим вище точність апроксимації. Це твердження яск-
ГЕНЕТИЧНІ АЛГОРИТМИ ДЛЯ ЧЕБИШОВСЬКОЇ АПРОКСИМАЦІЇ
Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2013, № 12 25
раво демонструють наведені в табл. 4 результати наближення функції x на
різних відрізках поліномом 4-го степеня, коли всі апроксиманти мають однакове
число коефіцієнтів 5.
ТАБЛИЦЯ 3. Порівняння результатів чебишовської апроксимації функцій двох змінних уза-
гальненими многочленами
Функція,
що апрок-
симується
Апроксимант: Похибка ρЧА
наближення
за ЧА
Похибка ρГА
наближення
за ГА
Величи-
на
ρГА /ρЧА
число
коефі-
цієнтів
базисні
функції
ϕi(x, y)
2
yx
e
+
3 1, x, y 0,104425 0,104425 1,0
22 yx + 4 1, x+y, x2+y2 0,035091 0,035840 1,0
22 yx + 6 1, x, y, xy, x2, y2 0,009388 0,010481 1,1
yx sincos ⋅
10
1, x, y, x2, xy,
y2, x3, x2y, xy2,
y3
0,001758
0,012559
7,1
xy cos2 ⋅
11
x, x2, xy, y2, x3,
x2y, xy2, x4, x3y,
x2y2, xy3
0,000188
0,002593
13,8
ТАБЛИЦЯ 4. Порівняння похибок апроксимації функцій x поліномом ( )xP4
Відрізок
наближення
Похибка ρЧА
наближення за ЧА
Похибка ρГА
наближення за ГА
Величина
ρГА /ρЧА
[0, 1] 0,034634 0,044949 1,3
[0,1; 1] 0,001435 0,002760 1,9
[0,25; 1] 0,000172 0,000981 5,7
[0,5; 1] 0,69606⋅10-5 0,18713⋅10-3 26,9
Висновки. ГА – це потужний обчислювальний засіб у різноманітних опти-
мізаційних задачах. Головна перевага використання ГА для чебишовської апро-
ксимації порівняно із спеціалізованими алгоритмами найкращого чебишовсько-
го наближення є його універсальність. Він дозволяє знайти наближення функцій
як однієї, так і декількох змінних різними типами лінійних і нелінійних апрок-
симантів. Водночас ГА має ряд недоліків, зокрема, повільну збіжність, емпірич-
ний підбір численних параметрів алгоритму, велике число пусків для отримання
прийнятного розв’язку.
Л.П. ВАКАЛ
Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2013, № 12 26
Як показав чисельний експеримент результати ГА практично збігаються з
результатами спеціалізованих алгоритмів чебишовської апроксимації тільки при
наближенні апроксимантами з невеликим числом коефіцієнтів (як правило, не
більше чотирьох). Тому використання ГА є доцільним у випадках, коли для на-
ближення бажаним типом апроксиманта (з невеликою кількістю коефіцієнтів)
немає спеціального алгоритму чебишовської апроксимації або існуючий алго-
ритм дуже складний, наприклад, для наближення нелінійними виразами, особ-
ливо функцій декількох змінних.
1. Holland J.H. Adaptation in natural and artificial systems. – Ann Arbor: Univ. of Michigan
Press, 1975. – 219 p.
2. Wright A. Genetic algorithms for real parameter optimization // Foundations of Genetic Algo-
rithms. – 1991. – Vol. 1. – P. 205 – 218.
3. Herrera F., Lozano M., Verdegay J.L. Tackling real-coded genetic algorithms: operators and
tools for the behaviour analysis // Artificial Intelligence Review. – 1998. – Vol. 12, N 4. –
P. 265 – 319.
4. Триус Ю.В., Триус В.Ю. Оптимізація багатоекстремальних функцій за допомогою гібри-
дних методів у середовищі MATLAB R2007A // Вісник Черкаського університету. Прик-
ладна математика. Інформатика. – 2010. – Вип. 172. – С. 104 – 122.
5. Генетичний алгоритм. http://uk.wikipedia.org/wiki/Генетичний_алгоритм.
6. Умеров А.Н., Шуршев В.Ф. Методы и программные средства аппроксимации экспери-
ментальных данных // Вестник АГТУ. – 2005. – № 1 (24). – С. 97 – 104.
7. Самотий В., Дзелендзяк У. Використання генетичних алгоритмів для апроксимації фун-
кцій дійсними поліномами // Вісник Національного університету «Львівська політехні-
ка». Серія: Комп’ютерні науки та інформаційні технології. – 2011. – № 694. – С. 313 – 318.
8. Ремез Е.Я. Основы численных методов чебышевского приближения. – К.: Наук. думка,
1969. – 623 с.
9. Попов Б.А., Теслер Г.С. Приближение функций для технических приложений. – К.: Наук.
думка, 1980. – 352 с.
10. Каленчук-Порханова А.А., Вакал Л.П. Пакет программ аппроксимации функций //
Комп’ютерні засоби, мережі та системи. – 2008. – № 7. – С. 32 – 38.
11. Werner H., Stoer J., Bommas W. Rational Chebyshev Approximation // Numer. Math. – 1967.
– Vol. 10. – P. 289 – 306.
12. Cheney E.W. Algorithms for approximation // SIAM Pr. – 1986. – Vol. 36. – P. 67 – 80.
13. Малоземов В.Н. Наилучшее равномерное приближение функций нескольких аргументов
// Журнал вычислительной математики и математической физики. – 1970. – Т. 10, № 3. –
С. 575 – 586.
14. Kaufman E.H., Taylor G.D. Uniform rational approximation on functions of several variables //
Int. J. Numer. Math. Eng. – 1976. – Vol. 9, N 2. – P. 297 – 323.
15. Каленчук-Порханова А.О., Вакал Л.П. Побудова найкращих рівномірних наближень фун-
кцій багатьох змінних // Комп’ютерні засоби, мережі та системи. – 2007. – № 6. – С. 141 –
148.
16. Панченко Т.В. Генетические алгоритмы. – Астрахань: Издательский дом «Астраханский
университет», 2007. – 87 с.
17. Паклин Н.Б., Сенилов М.А., Тененев В.А. Интеллектуальные модели на основе гибридного
генетического алгоритма с градиентным обучением лидера // Искусственный интеллект.
– 2004. – № 4. – С. 159 – 168.
Одержано 01.10.2013
ftp://decsai.ugr.es/pub/arai/tech_rep/ga-fl/AIRE96.ps.Z
ftp://decsai.ugr.es/pub/arai/tech_rep/ga-fl/AIRE96.ps.Z
http://uk.wikipedia.org/wiki/
|