Апроксимація замкненого контурного зображення багатокутником
Запропоновано метод апроксимації замкненого контурного зображення багатокутником, вершинами якого є безпосередньо точки цього зображення. Предложен метод аппроксимации замкнутого контурного изображения многоугольником, вершинами которого являются непосредственно точки этого изображения. Method for a...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Комп’ютерні засоби, мережі та системи |
|---|---|
| Дата: | 2013 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2013
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/69713 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Апроксимація замкненого контурного зображення багатокутником / В.П. Боюн, П.Ю. Сабельніков, Ю.А. Сабельніков // Комп’ютерні засоби, мережі та системи. — 2013. — № 12. — С. 89-97. — Бібліогр.: 2 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859665740123078656 |
|---|---|
| author | Боюн, В.П. Сабельніков, П.Ю. Сабельніков, Ю.А. |
| author_facet | Боюн, В.П. Сабельніков, П.Ю. Сабельніков, Ю.А. |
| citation_txt | Апроксимація замкненого контурного зображення багатокутником / В.П. Боюн, П.Ю. Сабельніков, Ю.А. Сабельніков // Комп’ютерні засоби, мережі та системи. — 2013. — № 12. — С. 89-97. — Бібліогр.: 2 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Комп’ютерні засоби, мережі та системи |
| description | Запропоновано метод апроксимації замкненого контурного зображення багатокутником, вершинами якого є безпосередньо точки цього зображення.
Предложен метод аппроксимации замкнутого контурного изображения многоугольником, вершинами которого являются непосредственно точки этого изображения.
Method for approximating a closed contour image of a polygon, whose vertices are directly this point of the image are propose.
|
| first_indexed | 2025-11-30T10:57:13Z |
| format | Article |
| fulltext |
Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2013, № 12 89
V.P. Boyun, P.Y. Sabelnikov,
Y.A. Sabelnikov
APPROXIMATION OF CLOSED
CONTOUR IMAGE BY POLYGON
Method for approximating a closed
contour image of a polygon, whose
vertices are directly this point of the
image are propose.
Key words: Approximation, contour,
polygon.
Предложен метод аппроксимации
замкнутого контурного изобра-
жения многоугольником, верши-
нами которого являются непо-
средственно точки этого изо-
бражения.
Ключевые слова: аппроксимация,
контур, многоугольник.
Запропоновано метод апроксима-
ції замкненого контурного зо-
браження багатокутником, вер-
шинами якого є безпосередньо
точки цього зображення.
Ключові слова: апроксимація, ко-
нтур, багатокутник.
В.П. Боюн, П.Ю. Сабельніков,
Ю.А. Сабельніков, 2013
УДК 004.932
В.П. БОЮН, П.Ю. САБЕЛЬНІКОВ, Ю.А. САБЕЛЬНІКОВ
АПРОКСИМАЦІЯ ЗАМКНЕНОГО
КОНТУРНОГО ЗОБРАЖЕННЯ
БАГАТОКУТНИКОМ
Вступ. У роботі пропонується метод апрок-
симації замкненого контурного зображення
багатокутником, вершинами якого є безпосе-
редньо точки цього зображення. Критерій
апроксимації формулюється наступним чи-
ном: відстань від кожної точки контуру до
найближчого апроксимуючого відрізка не
повинна перевищувати похибку апроксимації
ε. При цьому довжина апроксимуючих відрі-
зків має бути як можна більшою, а кількість
вузлів апроксимації найменшою.
У літературі представлені різні методи ап-
роксимації контурів. Розглянемо два з них,
які застосовані на вище вказаному критерії
апроксимації і відповідають поставленій за-
дачі.
У роботі [1] представлено модифікований
метод найменших квадратів для виділення
прямих ліній на контурних зображеннях,
який полягає в наступному.
Нехай є дві точки Р1 и Р2. За цими точка-
ми будується рівняння прямої і знаходяться
коефіцієнти А і b, а також тип рівняння
( bAxy += ) або ( bAyx += ). Для кожної
послідуючої точки Рі перевіряється відстань
від неї до цієї прямої. Якщо вона менше де-
якого порога ε, то ця точка приєднується до
множини точок прямої без перерахунку її ко-
ефіцієнтів. У протилежному випадку перебу-
довується рівняння прямої з урахуванням
останньої точки і перевіряється відстань всіх
попередніх точок до нової прямої. Якщо хоч
одна з них більше ε, то остання точка є хиб-
ною, не приєднується до множини точок
прямої і процес завершується.
В.П. БОЮН, П.Ю. САБЕЛЬНІКОВ, Ю.А. САБЕЛЬНІКОВ
Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2013, № 12 90
Недоліком цього методу є те, що іноді перевіряються на відстань від пря-
мої всі попередні точки, тому кількість обчислень буде пропорційна 2n , де n –
кількість точок відрізка контуру, що апроксимується. Запропонована для нього
умова закінчення процесу апроксимації також не ефективна, тому що при пода-
льшому аналізі може знайтися більш віддалена кінцева точка апроксимуючого
відрізка, що відповідає критерію не перевищення похибки апроксимації. Тому
здобувається більша кількість вузлів апроксимації.
Найбільш близьким до запропонованого нами методу є метод розглянутий
в [2]. Але в ньому розглядається алгоритм, де як похибка апроксимації береться
відстань, яка дорівнює шагу “піксельної” сітки. Якщо до цього методу застосу-
вати довільну похибку ε, то потрібна додаткова умова, щоб коректно прийняти
рішення про кінцеву точку апроксимуючого відрізка, що відбивається на прак-
тичній реалізації алгоритму.
Метод, що пропонується, заснований на раніше вказаному критерії апрок-
симації і послідовному аналізі точок замкненого контуру, при цьому обчислення
проводяться тільки для чергової точки не повертаючись для перевірки критерію
до всіх попередніх точок.
Суть методу полягає у послідовному пошуку можливих напрямків і кінце-
вих точок апроксимуючого відрізка прямої лінії, що виходить з чергової почат-
кової точки Az (рис. 1).
(π)
(–π)
(–π/2)
αі
( )00x
y
−αi
+αi
(π/2)
ε
ε
Ai
•
Az
РИС. 1
АПРОКСИМАЦІЯ ЗАМКНЕНОГО КОНТУРНОГО …
Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2013, № 12 91
З цією метою для кожної точки Aі формується радіальний растр, тобто на-
правлення двох крайніх променів, що виходять із Az і знаходяться на відстані
похибки ε від точки Aі . Всі промені в межах цього растру знаходяться від точки
Aі на відстані не більшій ніж ε. Також формується черговий растр, як пересічен-
ня растрів цієї і всіх попередніх точок контуру, починаючи з точки, що лежить
від Az на відстані більше ніж ε. Всі промені цього растра є можливими напрям-
ками апроксимуючої прямої. Існування чергового растра є умовою існування
променів, від яких всі попередні точки знаходяться на відстані не більше ε.
Якщо на черговій точці растр зійшовся, тобто (αr +) < (αr–), то остання точка Ак і
є кінцевою точкою апроксимуючого відрізка і початковою нового.
Точка Аі – це можлива кінцева точка апроксимуючого відрізка (тобто k: = і)
за наступними умовами:
- точка Аі лежить у межах попереднього чергового растра;
- відстань від точки Аz до Аi більша або дорівнює максимальній відстані від
Az до всіх попередніх точок.
При виконанні цих умов можна стверджувати, що всі точки контуру між Аz і
Ак знаходяться від відрізка прямої, що з’єднує ці точки, на відстані не більшій ε.
Другу умову можна вибрати іншою, що не суперечить критерію апроксима-
ції, але з практичних зображень автори вибрали саме цю. Вона дозволяє менш
точно відслідковувати тупі кути і більш точно гострі, запобігаючи їх зрізанню.
Більш детально розглянемо метод на прикладі алгоритму, розподіливши йо-
го на окремі кроки. Введемо позначення:
n – кількість точок контуру;
i – індекс точки контуру;
k – індекс можливої кінцевої точки чергового апроксимуючого відрізка;
z – індекс початкової точки чергового апроксимуючого відрізка;
l (Аz , Аi) – відстань між точками Аz та Аi ;
lmax – максимальна відстань від точки Аz до точок, що проаналізовані перед
точкою Аi ;
ε – похибка апроксимації;
αі – кут променя, що з’єднує точки Аz і Аi ;
{αі
+,αі
- } – растр для точки Аi (αі
+,αі
- – кути крайніх променів растра);
{αr
+,αr
- } – черговий растр (αr
+,αr
- – кути крайніх променів растра).
Для коректності зауважимо наступне:
- всі кути беруться відносно координатної сітки, представленої на рис. 1;
- аналізуються тільки ті точки Аі , які лежать від Аz на відстані більшій ніж
ε, тому що точки, які лежать від Az на відстані ≤ ε , також знаходяться на відстані
≤ ε від апроксимуючого відрізка прямої;
- всі операції додавання і віднімання кутів мають бути груповими, тобто
якщо кути лежать у діапазоні від –π до +π, то і результати операцій мають бути в
цьому діапазоні;
- оскільки відстань між Аz і Аi більша ніж ε, то ( ) ( ) π〈α−α −+
ii .
Опис алгоритму апроксимації за кроками.
В.П. БОЮН, П.Ю. САБЕЛЬНІКОВ, Ю.А. САБЕЛЬНІКОВ
Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2013, № 12 92
1. Початковій точці контуру присвоюється індекс 0. Найбільш для цього пі-
дходить точка з максимальною відстанню від центру площі замкненої контуром,
тому що у випадку багатогранних фігур вона практично завжди є кутовою. Її
беруть як початкову точку чергового апроксимуючого відрізка Аz (i:= 0, z:= 0).
2. Координати Az записуються у вектор апроксимації. Починаючи від Az
йдуть послідовно по контуру (в даному випадку проти годинної стрілки) і шу-
кають точку, яка знаходиться на відстані від початкової більше ніж ε. Звісно, що
початкова точка належить апроксимуючому відрізку і для всіх точок, які лежать
від неї на відстані не більше ε, критерій апроксимації задовольняється. Якщо та-
ка точка не знайдена і всі точки контуру проаналізовані, здійснюють вихід з
процедури.
Для знайденої точки Aі обчислюється растр {αі
+,αі
-}, тобто направлення двох
крайніх променів, які виходять із Az і знаходяться на відстані від знайденої то-
чки не більше ніж ε (дивись рис. 1).
Значення цього растра надається черговому растру {αr
+,αr
- }, фіксується ін-
декс знайденої точки (к: = і ), як індекс можливої кінцевої точки апроксимуючо-
го відрізка і змінній lmax присвоюється значення відстані l(Az, Aі).
3. Береться наступна точка і перевіряється її відстань від Az. Якщо ця відс-
тань l(Az, Aі) ≤ ε, переходять до наступної точки. Якщо ні, то перевіряється умо-
ва lmax ≤ l(Az, Aі). При виконанні цієї умови виконуються операції:
- lmax : = l(Az, Aі);
- обчислюється кут αі;
- якщо (αr
-) ≤ αі≤ (αr
+), то к : = і , у протилежному випадку значення к не
змінюється.
При lmax > l(Az, Aі) перелічені операції не виконуються. Обчислюється для
взятої точки растр {αі
+,αі
-}, а також черговий растр {αr
+,αr
-}={αr
+,αr
-} {αі
+,αі
-},
тобто:
- якщо (αr
+
) > (αі
+), то (αr
+
):= (αі
+), у протилежному випадку (αr
+
) не змі-
нюється;
- якщо (αr
-
) < (αі
-), то (αr
-
):= (αі
-), у протилежному випадку (αr
-
) не зміню-
ється.
Таким чином здобувається новий черговий растр з множиною променів, для
будь-якого з яких виповнюється критерій апроксимації і вони є можливими на-
прямками апроксимуючого відрізка.
Перевіряється умова сходження чергового растра. Якщо (αr
+) ≥ (αr
-), то растр
ще існує і крок 3 повторюється. Якщо ж растр зійшовся (αr
+) < (αr
-), то більше не
існує променів, які б задовольняли критерію апроксимації, тоді здійснюється пе-
рехід до кроку 4.
Умовою виходу з кроку 3 до кроку 4 є також закінчення точок контуру, тоб-
то останньою проаналізована початкова точка контуру.
4. Перевіряється умова, що остання можлива кінцева точка апроксимуючого
відрізка є початковою точкою контуру. Якщо так, процедура апроксимації заве-
ршується. В протилежному випадку кінцева точка стає початковою точкою но-
АПРОКСИМАЦІЯ ЗАМКНЕНОГО КОНТУРНОГО …
Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2013, № 12 93
вого чергового апроксимуючого відрізка (z:=к, і:=к) і здійснюється перехід до
кроку 2.
Деякі аспекти практичної реалізації алгоритму. Для практичної реаліза-
ції алгоритму на сигнальних процесорах, щоб уникнути операцій типу arcsin,
arccos, arctg, arcctg використовуються не кути a, а значення їх тригонометрич-
них функції (sin α, cos α), які в повній мірі задають напрямки променів на коор-
динатній площині. Далі оперуємо безпосередньо значеннями цих функцій не об-
числюючи кутів. Обчислення (sin α, cos α) для прямої, що з’єднує початкову то-
чку аz з координатами (xz, yz) і точку аі з координатами (xі, yі), проводимо насту-
пним чином:
Δ xі = xі– xz, Δ yі = yі– yz;
22
sin
ii
i
i
yx
y
∆+∆
∆
=α ,
22
cos
ii
i
i
yx
x
∆+∆
∆
=α .
Для обчислення растра, заданого як ( ){ ( )}−−++ αααα iiii cos,sin,cos,sin ,
використаємо відомі прості співвідношення:
22
sin
ii
i
yx ∆+∆
ε
=α∆ ,
22
222
cos
ii
ii
i
yx
yx
∆+∆
ε−∆+∆
=α∆ ;
( ) ( )iii α∆+α=α+ sinsin , ( ) ( )iii α∆+α=α+ coscos ;
( ) iiiii α∆⋅α+α∆⋅α=α+ sincoscossinsin ,
( ) iiiii α∆⋅α−α∆⋅α=α+ sinsincoscoscos ;
( ) 22
222
sin
ii
iiii
i vx
xyxy
∆+∆
ε⋅∆+ε−∆+∆⋅∆
=α+ ,
( ) 22
222
cos
ii
iiii
i yx
yyxx
∆+∆
ε⋅∆−ε−∆+∆⋅∆
=α+ .
Відповідно:
( ) 22
222
sin
ii
iiii
i yx
xyxy
∆+∆
ε⋅∆−ε−∆+∆⋅∆
=α− ,
( ) 22
222
cos
ii
iiii
i yx
yyxx
∆+∆
ε⋅∆+ε−∆+∆⋅∆
=α+ .
Для порівняння кутів скористаємося висновком, що ( ) ( ) π〈α−α −+
ii . Це стве-
рдження справедливе і для ( ) ( )ir α−α+ , ( ) ( )ir α−α− , ( ) ( )++ α−α ir , ( ) ( )−− α−α ir ,
( ) ( )−+ α−α rr . Тобто порівняння кутів можна проводити по знаку функції sin різ-
ниці цих кутів.
Наприклад, для порівняння ( )+αr і ( )iα обчислюється
В.П. БОЮН, П.Ю. САБЕЛЬНІКОВ, Ю.А. САБЕЛЬНІКОВ
Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2013, № 12 94
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )iririr α⋅α−α⋅α=α−α +++ sincoscossinsin .
Якщо обчислене значення більше або дорівнює 0, то відповідно ( ) ( )ir α≥α+ .
Перевірку ( ) ε〉iz AAl , можна робити за обчисленою величиною
( )222 ε−∆+∆ ii yx , перевіряючи її за ознакою більше нуля.
В сигнальних процесорах операції множення з додаванням або відніманням
є швидкими однотактними операціями, тому перетворення з їх використанням
займають мало часу, що значно впливає на швидкодію алгоритму.
Виділення кутів у багатокутниках. У випадку коли апріорі відомо, що ап-
роксимується контур багатокутника, то ставиться додаткова задача більш точно-
го обчислення координат кутових точок. Така задача виникає при слідкуванні за
плоским багатокутним об’єктом або маркером з відомими розмірами, з метою
обчислення відстані до нього й орієнтації.
Вищенаведений алгоритм досить добре діє при відстеженні гострих кутів (за
рахунок другої умови), але похибка в обчисленні координат кутових точок кутів,
що дорівнюють або більші ніж π/2 може бути суттєвою і зростає при більших ε.
На рис. 2 пунктиром показано контур заданого багатокутника і лінією
апроксимуючі відрізки, що сформовані при обході контуру за часовою стрілкою,
починаючі з точки А.
РИС. 2
В проміжних АВ і DA лінії контуру і апроксимуючі відрізки збігаються, а
апроксимуючий відрізок BD відхилився від лінії контуру ВС, тому що згідно пе-
ршій умові алгоритму всі точки контуру від В до D , у тому числі і точка С, зна-
ходяться на відстані від апроксимуючого прямого відрізка ВD, не більш ніж ε.
АПРОКСИМАЦІЯ ЗАМКНЕНОГО КОНТУРНОГО …
Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2013, № 12 95
Таким чином за кінцеву точку апроксимуючого відрізка прийнято D, а не С,
тобто кутами в апроксимуючому багатокутнику будуть А, В і D, а не А, В і С, що
не відповідає дійсності.
Щоб цього не відбувалось, пропонується додаткова процедура для уточнен-
ня координат кутових точок. Після виділення кожного чергового апроксимую-
чого відрізка перевіряється відстань точок контуру, які знаходяться між його
початковою і кінцевою точками, до прямої, що з’єднує ці точки. Точка, з макси-
мальною відстанню близькою до ε, береться як кінцева для чергового і початко-
ва для наступного етапу апроксимації.
Наприклад, якщо виділено черговий апроксимуючий відрізок ВD, кутова
точка С, буде знаходитися на максимальній відстані від ВD. Вона буде взята за
кінцеву точку і з неї почнеться виділення наступного апроксимуючого відрізка,
а черговим стане ВС замість ВD.
Обчислення відстаней досить просто можна проводити наступним чином.
Перемістимо і повернемо сегмент контуру між точками В і D так, що точка В буде
знаходитись у центрі координатної сітки, а D лежатиме на осі абсцис. Тоді коор-
динати точок на осі ординат, взяті по модулю, будуть відстанями до прямої ВD.
Функцією обчислення відстані для і-тої точки контуру буде:
( ) ( ) ,sincos γ⋅−+γ⋅−= bibii xxyyh
де
( ) ( )22
sin
BDBD
BD
xxyy
yy
−+−
−
=γ ,
( ) ( )22
cos
BDBD
BD
xxyy
xx
−+−
−
=γ ,
а ( ) ( ) ( )iiDDBB yxyxyx ,,,,, – відповідно координати точок В, D, а також точок
аналізованого сегменту контуру.
Реалізація алгоритму апроксимації в інтелектуальній відеокамері. Ал-
горитм апроксимації за наведеним вище методом був реалізований, як один з
компонентів програмного забезпечення для аналізу й обробки зображень в інте-
лектуальній відеокамері (ІВК) створеній в Інституті кібернетики імені В.М.
Глушкова НАН України. Далі на рис. 3, 4, 5 показані результати роботи демон-
страційної програми по виділенню контурів об’єктів зображення, апроксимації
їх багатокутниками і ідентифікації фігур типу квадрат та ромб за критеріями кі-
лькості кутів і співвідношення їх сторін і діагоналей. Вся обробка виконувалась
в інтелектуальній відеокамері, а результати передавались у комп’ютер і відо-
бражались на екрані монітора.
На рис. 3 показано знімок деяких об’єктів з виділеними контурами та пере-
веденими в векторну форму для подальшої обробки. Видно, що сторони фігур
мають флуктуації і представляють собою лінії з деякими відхиленнями.
В.П. БОЮН, П.Ю. САБЕЛЬНІКОВ, Ю.А. САБЕЛЬНІКОВ
Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2013, № 12 96
РИС. 3
Після апроксимації, з заданою невеликою похибкою, в ІВК обчислені коор-
динати кутів фігур. На рис. 4 показано відображення фігур та їх контурів, отри-
маних за рахунок з’єднання прямими лініями точок кутів з координатами,
отриманими із ІВК.
РИС. 4
АПРОКСИМАЦІЯ ЗАМКНЕНОГО КОНТУРНОГО …
Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2013, № 12 97
На рис. 5 показано вікно з відображенням результатів обробки зображень і
ідентифікації фігур, проведеними в ІВК і переданими в комп’ютер. У вікні роз-
ташовані значення різних характеристик аналізованих об’єктів, у тому числі, кі-
лькість кутів (кол-во пикс. периметра) апроксимованих контурів фігур. Координа-
ти точок контурів і кутів передавались у комп’ютер окремими масивами.
РИС. 5
Висновки. Реалізація запропонованого методу апроксимації замкнених кон-
турів зображень багатокутниками в ІВК та проведені експерименти з різними
типами фігур і різними значеннями похибок апроксимації підтвердила його пра-
цездатність та ефективність.
Запропонований метод і алгоритм можуть бути застосовані, зокрема, для ві-
зуального контролю геометричних розмірів продукції у системах технічного зо-
ру різних галузей промисловості.
1. Мельник Э.И., Выделение прямых и дуг окружностей в технических чертежах // Автома-
тизация обработки и распознавания изображений. – Минск: ИТК АНБ, 1995. – С. 147 –
154.
2. Бутаков В.А., Островский В.И., Фадеев И.Л. Обработка изображений на ЭВМ. – М.: Ра-
дио и связь, 1987. – 240 с.
Одержано 25.10.2013
На рис. 2 пунктиром показано контур заданого багатокутника і лінією апроксимуючі відрізки, що сформовані при обході контуру за часовою стрілкою, починаючі з точки А.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-69713 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1817-9908 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-30T10:57:13Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Боюн, В.П. Сабельніков, П.Ю. Сабельніков, Ю.А. 2014-10-18T18:41:54Z 2014-10-18T18:41:54Z 2013 Апроксимація замкненого контурного зображення багатокутником / В.П. Боюн, П.Ю. Сабельніков, Ю.А. Сабельніков // Комп’ютерні засоби, мережі та системи. — 2013. — № 12. — С. 89-97. — Бібліогр.: 2 назв. — укр. 1817-9908 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/69713 004.932 Запропоновано метод апроксимації замкненого контурного зображення багатокутником, вершинами якого є безпосередньо точки цього зображення. Предложен метод аппроксимации замкнутого контурного изображения многоугольником, вершинами которого являются непосредственно точки этого изображения. Method for approximating a closed contour image of a polygon, whose vertices are directly this point of the image are propose. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Комп’ютерні засоби, мережі та системи Апроксимація замкненого контурного зображення багатокутником Approximation of closed contour image by polygon Article published earlier |
| spellingShingle | Апроксимація замкненого контурного зображення багатокутником Боюн, В.П. Сабельніков, П.Ю. Сабельніков, Ю.А. |
| title | Апроксимація замкненого контурного зображення багатокутником |
| title_alt | Approximation of closed contour image by polygon |
| title_full | Апроксимація замкненого контурного зображення багатокутником |
| title_fullStr | Апроксимація замкненого контурного зображення багатокутником |
| title_full_unstemmed | Апроксимація замкненого контурного зображення багатокутником |
| title_short | Апроксимація замкненого контурного зображення багатокутником |
| title_sort | апроксимація замкненого контурного зображення багатокутником |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/69713 |
| work_keys_str_mv | AT boûnvp aproksimacíâzamknenogokonturnogozobražennâbagatokutnikom AT sabelʹníkovpû aproksimacíâzamknenogokonturnogozobražennâbagatokutnikom AT sabelʹníkovûa aproksimacíâzamknenogokonturnogozobražennâbagatokutnikom AT boûnvp approximationofclosedcontourimagebypolygon AT sabelʹníkovpû approximationofclosedcontourimagebypolygon AT sabelʹníkovûa approximationofclosedcontourimagebypolygon |