Динамическая матрица и фононы в кристаллах инертных газов при высоких давлениях
Представлены неэмпирические количественные исследования динамики решеток сжатых кристаллов инертных газов (КИГ) с выходом за рамки адиабатического приближения. Целью работы является построение динамической матрицы, позволяющей рассчитать фононные частоты ряда Ne−Xe в любой точке зоны Бриллюэна (BZ)....
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Физика и техника высоких давлений |
|---|---|
| Дата: | 2006 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Донецький фізико-технічний інститут ім. О.О. Галкіна НАН України
2006
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/70208 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Динамическая матрица и фононы в кристаллах инертных газов при высоких давлениях / Е.П. Троицкая, В.В. Чабаненко, Е.Е. Горбенко // Физика и техника высоких давлений. — 2006. — Т. 16, № 1. — С. 25-37. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860210507888197632 |
|---|---|
| author | Троицкая, Е.П. Чабаненко, В.В. Горбенко, Е.Е. |
| author_facet | Троицкая, Е.П. Чабаненко, В.В. Горбенко, Е.Е. |
| citation_txt | Динамическая матрица и фононы в кристаллах инертных газов при высоких давлениях / Е.П. Троицкая, В.В. Чабаненко, Е.Е. Горбенко // Физика и техника высоких давлений. — 2006. — Т. 16, № 1. — С. 25-37. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Физика и техника высоких давлений |
| description | Представлены неэмпирические количественные исследования динамики решеток сжатых кристаллов инертных газов (КИГ) с выходом за рамки адиабатического приближения. Целью работы является построение динамической матрицы, позволяющей рассчитать фононные частоты ряда Ne−Xe в любой точке зоны Бриллюэна (BZ). Вклады в динамическую матрицу дальнодействующих кулоновских и ван-дер-ваальсовых сил представляют собой структурные суммы, зависящие только от типа решетки. Вычисление структурных сумм для ГЦК-решетки проведено методом Эвальда, Эмерслебена, а также прямым суммированием по векторам ГЦК-решетки. Использование в последнем случае 20 сфер обеспечивает точность не менее четырех значащих цифр. Исследование роли электрон-фононного взаимодействия в пяти точках высокой симметрии BZ (X, L, U, K, W) при больших степенях сжатия показало, что происходит «размягчение» не только продольных мод фононов (в тт. X, L), но и поперечных мод (в тт. U, K, W).
Nonempirical quantitative investigations of the lattice dynamics of compressed inert gas crystals (IGC) have been performed outside the framework of adiabatic approximation. The aim is to construct a dynamic matrix to calculate phonon frequences of the Ne−Xe series at any point of the Brillouin zone. Contributions to the dynamic matrix from the long-range Coulomb and Van der Waals forces are structural sums depending only on lattice type. For the fcc lattice the structural sums were calculated by the Evald, Emersleben method and by direct summation over the fcc lattice vectors. In the latter case, 20 spheres ensure accuracy to within not less than four significant digits. Investigation of the role of electron-phonon interaction at five high-symmetry points (X, L, U, K, W) of the Brillouin zone for high compression ratios has shown that there occurs the softening of not only longitudinal modes of phonons (at points X, L) but of the transverse ones (at points U, K, W).
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:14:05Z |
| format | Article |
| fulltext |
Физика и техника высоких давлений 2006, том 16, № 1
25
PACS: 62.50.−p, 64.10.+h, 64.30.+t
Е.П. Троицкая1, В.В. Чабаненко1, Е.Е. Горбенко2
ДИНАМИЧЕСКАЯ МАТРИЦА И ФОНОНЫ В КРИСТАЛЛАХ
ИНЕРТНЫХ ГАЗОВ ПРИ ВЫСОКИХ ДАВЛЕНИЯХ
1Донецкий физико-технический институт им. А.А. Галкина НАН Украины
ул. Р. Люксембург, 72, г. Донецк, 83114, Украина
2Луганский национальный педагогический университет им. Т. Шевченко
ул. Оборонная, 2, г. Луганск, 91011, Украина
Статья поступила в редакцию 26 декабря 2005 года
Представлены неэмпирические количественные исследования динамики решеток
сжатых кристаллов инертных газов (КИГ) с выходом за рамки адиабатического при-
ближения. Целью работы является построение динамической матрицы, позволяющей
рассчитать фононные частоты ряда Ne−Xe в любой точке зоны Бриллюэна (BZ).
Вклады в динамическую матрицу дальнодействующих кулоновских и ван-дер-вааль-
совых сил представляют собой структурные суммы, зависящие только от типа ре-
шетки. Вычисление структурных сумм для ГЦК-решетки проведено методом Эваль-
да, Эмерслебена, а также прямым суммированием по векторам ГЦК-решетки. Ис-
пользование в последнем случае 20 сфер обеспечивает точность не менее четырех
значащих цифр. Исследование роли электрон-фононного взаимодействия в пяти точ-
ках высокой симметрии BZ (X, L, U, K, W) при больших степенях сжатия показало,
что происходит «размягчение» не только продольных мод фононов (в тт. X, L), но и
поперечных мод (в тт. U, K, W).
1. Введение
Интенсивное экспериментальное изучение атомных свойств КИГ в на-
стоящее время связано с развитием технологий, позволяющих в лаборатор-
ных условиях добиваться высоких давлений [1,2].
Применение для изучения фононных спектров метода неупругого рассея-
ния рентгеновских лучей вместо спектроскопических методов неупругого
нейтронного рассеяния дает возможность использовать технику ячеек ал-
мазных наковален (DAC) и поэтому расширить диапазон давлений до 100
GPa и выше (см. обзор [3]). Одним из первых в DAC был изучен кристалл Ar
при давлении до 20 GРa [4].
Прогресс современной экспериментальной техники повысил требования к
теории. Между тем до сих пор не удалось построить теорию, адекватно описы-
вающую сколько-нибудь значительную совокупность свойств этих кристаллов
в хорошем согласии с экспериментом даже при нормальном давлении [5].
Физика и техника высоких давлений 2006, том 16, № 1
26
Большинство теоретических исследований динамических свойств КИГ
использует эмпирические межатомные потенциалы. Такой подход удобен
тем, что позволяет обойти сложную проблему изучения деталей межатомно-
го взаимодействия в кристалле. Но именно по этой причине он ограничивает
возможность однозначного понимания получаемых результатов. Так, если
применяется потенциал с небольшим количеством подгоночных параметров
(типа Ленарда−Джонса), то в расчеты заведомо вносится неточность, свя-
занная с качественным характером определения самого потенциала. Поэто-
му успешное описание в данном случае некоторых свойств КИГ не является
гарантией адекватности потенциала [6].
Использование многопараметрических потенциалов (типа Бобетика−Бар-
нера совместно с трехчастичным потенциалом Аксильрода−Теллера−Муто)
в принципе позволяет хорошо воспроизвести определенную совокупность
наблюдаемых свойств кристалла. В других случаях удовлетворительное со-
гласие с экспериментом достигается усложнением расчетной схемы и введе-
нием дополнительных параметров (в том числе вариационных) [5,6].
В работах [7−16] с помощью метода сильной связи было реализовано
адиабатическое приближение, необходимое для построения динамики ре-
шетки КИГ. Оно позволяет провести рассмотрение разнообразных свойств
КИГ из первых принципов, опираясь лишь на знание волновых функций ос-
новного и возбужденного состояния атомов.
В цикле работ [17−21] исследовались фононные дисперсионные кривые
сжатых кристаллов Ne, Ar, Kr, Xe в симметричных направлениях для выяс-
нения роли различных взаимодействий, прежде всего электрон-фононного.
Целью настоящей работы является построение динамической матрицы, по-
зволяющей рассчитать фононные частоты кристаллов ряда Ne−Xe под давлением
в любой точке BZ с учетом электрон-фононного взаимодействия. Динамическая
матрица строится на основе неэмпирического короткодействующего потенциала
отталкивания, не содержащего ни подгоночных, ни вариационных параметров.
Знание фононных частот в любой точке BZ позволит в дальнейшем рас-
считать термодинамические свойства при больших давлениях.
2. Расчет структурных сумм
В работе [8] было получено уравнение колебаний КИГ для смещений ос-
товов, описываемых дипольным моментом р:
{2 3 cos cos cos cos cos cosx x x y x z y zp P h k k k k k k Ω = − − − +
}2 cos cos cos cos sin sin sin sinx y x z y z y z x zg k k k k P g k k P g k k + − − + + +
{ 3 cos cos cos cos cos cosx x y x z y zp H k k k k k k + − − − +
}2 cos cos cos cos 3 cos 2 cos 2 cos 2x y x z x y zG k k k k F k k k + − − + − − − +
(1 cos 2 ) sin sin sin sin ( )x y y x y z x z xy y
y
E k p G k k p G k k B p+ − + + + χ∑ k ; (1)
Физика и техника высоких давлений 2006, том 16, № 1
27
1 3 cos cos cos cos cos cosx x x y x z y zP hp k k k k k k
A
+ − − − +
(2 cos cos cos cos ) sin sin sin sinx x y x z y x y z x zg p k k k k p k k p k k + − − + + −
0xy y
y
P− ϕ =∑ , (2)
где H, E и G, F − первая и вторая производные короткодействующего потен-
циала отталкивания для равновесных состояний соответственно первых и
вторых соседей; В определяет взаимодействие Ван-дер-Ваальса; h и g – па-
раметры обменно-дипольных сил; Ω − безразмерная частота; k – безразмер-
ный волновой вектор; χxx, χxy, χxz − функции, происходящие от ван-дер-
ваальсовых сил; ϕxx, ϕxy, ϕxz − коэффициенты электрического поля, вызван-
ного системой диполей Рl; А – безразмерная поляризуемость атома. Суммы
χαβ(k) и ϕαβ(k) представляют собой вклад в динамическую матрицу дально-
действующих ван-дер-ваальсовых и кулоновских сил и рассчитываются точ-
но. Они не зависят от конкретных параметров кристалла и одинаковы для
всех веществ, имеющих одинаковый тип решетки. Если написать, как в [7],
( )
6 6( , )
ieF
−
=
−
∑
k l ρ
l
k ρ
l ρ
,
l
a
=
rl , (3)
то
[ ] [ ]
ρ∂ρ∂
∂
−
ρ∂ρ∂
∂
=χ
=
=βα=βα
αβ
0
0
6
2
0
6
2
e),( e),(
6
1)(
ρ
k
kρ
ρ
kρ ρkρkk
ii FF . (4)
Пользуясь преобразованием Эмерслебена [22] для 6 ( , )F k ρ (см. формулу (31)
из [7] при ε = π/9a2) и выполнив дифференцирование, получаем
( ){ }9 / 2
2 2
2 4 6 8
10 8 6 4 2
( ) ( ) ( ) ( )
96
8 8 4 4(1 cos
9 81 2187 19683
I I
l l
l l l l l
αβ α β α β
α β
π
χ = − + + + − τ τ τ −
π π π π− − + + + + −
∑
∑
τ
l
k τ k τ k τ k
kl)
( )
2 2
2 4 6
9
8 6 4 2
11 cos e .
9 162 4374
l
l l l l
π
−
αβ
π π π −δ − + + +
kl (5)
Здесь l, τ – совокупность векторов прямой и обратной решеток (достаточно
брать слагаемые с τ2 = 0, 3, 4, 8);
1 при
0 при αβ
α = β
δ = α ≠ β
; ∫
∞
−=
x
z
z
zxxI
2
3
4
2/3 de)(
2
.
Физика и техника высоких давлений 2006, том 16, № 1
28
Целочисленные векторы прямой решетки l обладают тем свойством, что сум-
ма lx + ly + lz всегда четная; мы ограничились в (5) слагаемыми с l2 = 2, 4, 6, 8, 10.
Суммы χαβ(k) довольно быстро сходятся по |l|, поэтому их можно рассчи-
тывать как методом Эмерслебена (5), так и прямым суммированием, исполь-
зуя до 20 сфер (l2 = 42) для ГЦК-решетки, по формуле
10 8
1 e 1 e( ) 8
i i
l l
l lαβ α β αβ
− −
χ = − δ∑ ∑
kl kl
k
l l
. (6)
После преобразования поля системы диполей по методу Эвальда получа-
ются два ряда сумм по векторам прямой и обратной решеток (для решетки
типа NaCl см. подробнее в [23]):
2
2
4 2 2
0
8 1 2( ) ( ) ( ) cos 2 e
2 3
kk k
l l f f
k
π
−α β
αβ α β αβ αβ
≠
π ϕ = − δ ⋅ + δ − π − π
∑
l
k l l k l
2( )
2
2
0
( ) ( ) e
2
( )
π
− +
α β
≠
+ +
− π
+
∑
τ k
τ
τ k τ k
τ k
, (7)
где f2(l) и f4(l) – коэффициенты, значения которых для первых нескольких
сфер приведены в табл. 1 (см. также [23]),
2 2 2
2
/ 2
( ) e dyf y y
∞
−
π
= ∫ ll ;
2 2 4
4
/ 2
( ) e dyf y y
∞
−
π
= ∫ ll .
Таблица 1
Значения коэффициентов f2(l) и f4(l) для ГЦК-решетки
№ сферы |l| f2(l)·103 f4(l)·103
1 2 15.44972 32.85611
2 2 0.31431 0.57742
3 6 0.00886 0.01545
4 8 0.00028 0.00048
5 10 0.00001 0.00002
Для симметричных направлений волнового вектора k эти структурные
суммы значительно упрощаются. Например, для направления ∆, k [00ξ]
(kx = ky = 0, i
z ik = πξ ) имеем
( ) ( )
2
5 42 2 2 2 2 2
1 cos 1 cos( ) ( ) 8 i z i z
xx yy x
l lx y z x y z
l ll
l l l l l l
− ξ π − ξ π
χ = χ = −
+ + + +
∑ ∑k k ; (9)
Физика и техника высоких давлений 2006, том 16, № 1
29
( ) ( )
2
5 42 2 2 2 2 2
1 cos 1 cos( ) 8 i z i z
zz z
l lx y z x y z
l ll
l l l l l l
− ξ π − ξ π
χ = −
+ + + +
∑ ∑k ; (10)
( ) ( ) ( ) 0xy xz yzχ = χ = χ =k k k ; (11)
2
8 1 2( ) ( ) ( ) cos
2 3xx yy i z
l
f l π ϕ = ϕ = − πξ + π
∑k k l ; (12)
2 2( )2 2 2
4 2
0
8 1 2( ) ( ) ( ) cos 2 e 2 e
2 3
i z i
zz z i z
l
l f f l
π π
− ξ − τ +ξ
τ≠
π ϕ = − πξ + − π − π π
∑ ∑k l l ; (13)
( ) ( ) ( ) 0xy xz yzϕ = ϕ = ϕ =k k k . (14)
Точно рассчитанные значения сумм χαβ(k) и ϕαβ(k) для точек высокой
симметрии приведены в табл. 2.
Таблица 2
Коэффициенты ван-дер-ваальсовых и кулоновских сил взаимодействия
для точек высокой симметрии
Точки BZ X
[1;0;0]
L
[1/2;1/2;1/2]
U
[1;1/4;1/4]
K
[3/4;3/4;0]
W
[1;1/2;0]
−χxx 3.01783 1.364275 2.450271 1.314179 2.024774
−χyy 1.06081 1.36428 1.31418 1.31418 1.12969
−χzz 1.06081 1.36428 1.31418 2.450271 2.02477
−χxy 0 0.98985 0 0.48673 0
−χxz 0 0.98985 0 0 0
−χyz 0 0.98985 0.48673 0 0
ϕxx −2.16699 0 −1.13204 0.56604 −0.39400
ϕyy 1.08351 0 0.56604 0.56604 0.78801
ϕzz 1.08351 0 0.56604 −1.13196 −0.39395
ϕxy 0 −1.80754 0 −0.77391 0
ϕxz 0 −1.80754 0 0 0
ϕyz 0 −1.80754 −0.77392 0 0
3. Расчет фононных частот
В используемой в [7] модели помимо смещений остовов, описываемых
дипольным моментом р, введены внутренние степени свободы Р, характери-
зующие состояния электронных оболочек. Поэтому для определения собст-
венных частот ωλq имеются две группы уравнений [13]:
∑
β
βαββαβα +=ω )(2 PBpApM , (15)
2 *( )m P B p C Pα βα β αβ β
β
ω = +∑ , (16)
Физика и техника высоких давлений 2006, том 16, № 1
30
где М – масса атома; m – некоторая «фиктивная» масса порядка массы элек-
тронной оболочки, введенная исключительно для удобства расчетов, так как
диагонализация матрицы 6 × 6 технически более проста, чем процедура ис-
ключения всех P из второй группы уравнений при m = 0, как этого требует
адиабатическое приближение. Таким образом, удобно ввести некоторую
матрицу
1 2
2 3
D D
D
D D
=
, (17)
каждый элемент которой представляет собой матрицу 3×3:
11 12 13
1
21 22 23
31 32 33
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
A A A
D A A A
A A A
=
k k k
k k k
k k k
, (18)
11 12 13
2
21 22 23
31 32 33
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
B B B
D B B B
B B B
=
k k k
k k k
k k k
, (19)
11 12 13
3
21 22 23
31 32 33
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
C C C
D C C C
C C C
=
k k k
k k k
k k k
. (20)
Поэтому для КИГ в используемой модели удобно ввести безразмерные
параметры, подставив впереди размерный множитель e2/a3 (е – заряд элек-
трона). Тогда
( )[ +ζ+ξ+ν+µδ+χ= αααβαβαβ )()()()()()( 3
2
kkkkkk EFGHB
a
eA
(1 ) ( )Gαβ αβ + − δ τ k ; (21)
( )
2
3( ) ( ( ) ( ) (1 ) ( )eB h g g
aαβ αβ α αβ αβ = δ µ + ν + − δ τ k k k k ; (22)
2
1
3( ) ( )eC A
a
−
αβ αβ αβ = δ −ϕ k k . (23)
Здесь
1( ) 3 cos cos
2
k kγ δ
γ≠δ
µ = − ∑k ; ( ) 2 cos cosk kα α γ
γ≠α
ν = − ∑k ; ( ) sin sink kαβ α βτ =k ;
( ) 3 cos 2kγ
γ
ξ = −∑k ; ( ) 1 cos 2kα αζ = −k ; k = aK = πq.
Физика и техника высоких давлений 2006, том 16, № 1
31
Например, в модели М2а (E = F = 0)
11( ) 2 3 cos cos cos cos cos cosx y x z y zA H k k k k k k = λ − π π − π π − π π + k
+ 112 cos cos cos cos 2 ( )x y x zG k k k k B λ − π π − π π + λ χ k , (24)
12
2( ) sin sinx y
gB k k
e
λ
= π πk , (25)
13
13 3
( )( )C
a
ϕ
= −
kk , (26)
где
2
32
e
a
λ = .
Величины ( )αβχ k и ( )αβϕ k , как было сказано выше, представляют собой
вклад в динамическую матрицу дальнодействующих ван-дер-ваальсовых и
кулоновских сил и рассчитываются точно (см. п. 2).
Значения, необходимые для расчета характеристик КИГ, даны в табл. 3.
Безразмерные параметры для разных степеней сжатия приведены, например,
в [19].
Таблица 3
Безразмерные параметры кристаллов ряда Ne–Xe при р = 0
КИГ
H,
10−2
G,
10−2
F,
10−2
E,
10−2
B,
10−2
h,
10−2
g,
10−2
a,
Å A·102 M·1024,
g
Ne −1.279 9.189 −0.130 1.000 4.239 1.500 −4.280 2.231 3.602 33.51
Ar −4.699 38.580 −0.029 0.419 15.609 3.119 −10.07 2.656 8.674 66.28
Kr −6.699 55.500 −0.004 0.319 22.219 3.180 −11.30 2.824 11.155 139.05
Xe −9.689 82.620 −0.130 0.490 32.200 4.019 −12.89 3.063 13.780 217.9
Примечание. A = α/a3; e = 4.80286·10−10 g1/2·cm3/2·s−1; m = 5.465734·10−3 amu.
Следовательно, мы можем рассчитать фононные частоты (диагонализа-
цией динамической матрицы) как в точках главного значения, так и в любой
другой точке. Например, для точки k* = [0.6223; 0.2953; 0], предложенной в
[24], мы получили результаты, представленные в табл. 4.
При построении микроскопической теории атомных свойств КИГ часто
возникает задача вычисления интегралов по ВZ (или ее неприводимой час-
ти), являющейся довольно сложным многогранником.
Для этого можно использовать простой метод, основанный на сведении
области интегрирования к единичному кубу с последующим численным ин-
тегрированием методом Гаусса, требующим при заданной точности наи-
меньшего числа точек и позволяющим варьировать точность расчета [25].
В случае скалярной подынтегральной функции вследствие кубической
симметрии интегрирование можно ограничить неприводимой (1/48) ча-
стью BZ.
Физика и техника высоких давлений 2006, том 16, № 1
32
Таблица 4
Фононные частоты ω [meV] в модели К.Б. Толпыго (модель М1) для точки
главного значения k* ГЦК-решетки
k* [0.6223; 0.2953; 0]Фононные
частоты Ne Ar Kr(a) Kr(b) Xe
ωL 5.800143 6.75778 5.346067 5.010439 4.605215
ωT1
3.665059 4.613707 3.312937 3.167499 2.885125
ωT2
4.572961 5.552147 4.127213 3.97559 3.56379
Примечание. Варианты а, b для Kr – параметры, полученные из фононных
спектров при 10 и 79 K [13].
Для прямой ГЦК-решетки исходную область интегрирования удобно раз-
бить на четыре части (рис. 1) по областям (ΓL′LL″), (LL′U′UXL″), (LBB′L′K) и
(KBB′UU′W) соответственно:
ГЦК
1 BZ48
( , , )d d dJ f x y z x y z= =∫
0.5 1 0.5 0.75
0 0 0 0.5 0 0
d d d ( , , ) d d d ( , , )
y yx x
x y zf x y z x y zf x y z
− +
= + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
1.5 ( ) 1.5 ( )0.75 1 1.5
0.5 0.5 0.75 0 0.75 0.5 1.5 0
d d d ( , , ) d d d ( , , )
x y x yx x
x x
x y zf x y z x y zf x y z
− + − +− +
− + − +
+ +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ . (27)
Представляет интерес исследовать вклад электрон-фононного взаимодей-
ствия в фононные частоты в точках высокой симметрии, которые ограничи-
вают данный многогранник ΓLUXWKΓ.
4. Исследование роли электрон-фононного взаимодействия в сжатых КИГ
В рамках модели К.Б. Толпыго и ее модификаций «из первых принципов»
получены отдельные электрон-ионные слагаемые энергии КИГ [17]. В рабо-
тах [18−21] в широком интервале давлений авторы рассчитывали фононные
частоты всего ряда кристаллов Ne–Xe, выходя за рамки адиабатического
приближения в симметричных на-
правлениях волнового вектора. Было
получено, что неадиабатические
вклады в фононные частоты наиболее
значительны на границе зоны Брил-
люэна (тт. X, L). При больших сжати-
ях фононный спектр в направлении ∆
деформируется, происходит «размяг-
чение» продольной моды за счет
электрон-фононного взаимодействия.
Рис. 1. Исходная область интегриро-
вания для прямой ГЦК-решетки
z
x
W
Г
L
B
U
X
B
L
L
y
Физика и техника высоких давлений 2006, том 16, № 1
33
Таблица 5
Частоты ħωλk [meV] в моделях М2 и М2а и относительный вклад γ [%]
при разных степенях сжатия для КИГ в точках высокой симметрии
Теория ħωλk в модели М2 ħωλk в модели М2а γ
∆V/V0 0.0 0.3 0.6 0.7 0.0 0.3 0.6 0.7 0.3 0.6 0.7
Ne
a, Å
k, λ 2.231 1.980 1.644 1.493 2.231 1.980 1.644 1.493 γ1 γ2 γ3
X [0;0;1] L
T
7.11
4.85
18.12
11.94
61.37
39.40
105.71
67.05
7.11
4.85
17.91
11.92
52.11
41.35
64.68
69.52
1.14
0.23
15.1
4.94
38.82
3.67
L [1/2;1/2;1/2] L
T
7.09
3.18
18.33
7.65
62.59
24.54
108.13
41.03
7.08
3.18
18.11
7.65
54.66
24.83
74.70
42.81
1.21
0.01
12.67
1.18
30.91
4.35
U [1;1/4;1/4] L
K [3/4;3/4;0] T1
T2
6.55
4.39
5.73
16.59
10.74
14.43
55.98
35.19
48.43
96.28
59.63
83.05
6.54
4.39
5.73
16.43
10.73
14.34
46.09
35.4
38.56
46.18
59.68
32.22
0.97
0.08
0.63
17.66
0.59
20.39
52.04
0.08
61.2
W [1;1/2;0] L
T
4.77
6.10
11.86
15.36
39.29
51.59
66.91
88.54
4.77
6.1
11.83
15.24
43.57
40.33
70.64
27.87
0.21
0.78
10.89
21.82
5.57
68.52
Ar
a, Å
k, λ 2.656 2.358 1.957 1.778 2.656 2.358 1.957 1.778 γ1 γ2 γ3
X [0;0;1] L
T
8.44
5.80
21.27
13.99
68.59
43.79
117.54
74.31
8.41
5.8
20.73
13.84
53.86
45.08
50.54
76.51
2.53
1.06
21.47
2.93
57
2.95
L [1/2;1/2;1/2] L
T
8.42
3.87
21.54
8.97
70.05
27.06
120.32
45.25
8.39
3.87
21.02
8.96
57.81
27.61
68.41
48.27
2.41
0.12
17.46
2.05
43.05
6.68
U [1;1/4;1/4] L
K [3/4;3/4;0] T1
T2
7.77
5.27
6.83
19.46
12.58
16.93
62.58
39.03
54.01
106.97
65.98
92.19
7.75
5.27
6.82
18.99
12.52
16.62
45.48
39.09
30.24
19.93
65.98
87.2
2.41
0.48
1.84
27.32
0.15
44.01
81.37
0
5.41
W [1;1/2;0] L
T
5.73
7.25
13.91
18.01
43.68
57.56
74.17
98.36
5.72
7.24
13.79
17.62
45.67
33.43
77.29
78.55
0.86
2.18
4.56
41.93
4.21
20.13
Kr
a, Å
k, λ 2.824 2.507 2.081 1.891 2.824 2.507 2.081 1.891 γ1 γ2 γ3
X [0;0;1] L
T
6.4
4.4
14.94
9.77
41.85
26.23
66.69
41.18
6.35
4.38
14.60
9.62
36.45
26.60
50.11
41.51
2.31
1.45
12.89
1.4
24.86
0.81
L [1/2;1/2;1/2] L
T
6.38
2.94
15.15
6.19
42.86
15.65
68.51
23.91
6.36
2.94
14.83
6.18
38.28
15.96
54.41
25.45
2.12
0.18
10.68
2.01
20.58
6.43
U [1;1/4;1/4] L
K [3/4;3/4;0] T1
T2
5.89
4.00
5.18
13.66
8.76
11.86
38.07
23.19
32.71
60.53
36.17
51.81
5.88
4.00
5.17
13.35
8.69
11.64
31.96
23.19
24.69
40.9
36.25
12.59
2.29
0.84
1.87
16.05
0.02
24.52
32.43
0.22
75.7
W [1;1/2;0] L
T
4.34
5.5
9.70
12.63
26.13
34.94
41.03
55.45
4.34
5.49
9.60
12.36
26.69
26.71
41.51
22.33
1.08
2.17
2.16
23.54
1.16
59.73
Xe
a, Å
k, λ 3.063 2.719 2.257 2.051 3.063 2.719 2.257 2.051 γ1 γ2 γ3
X [0;0;1] L
T
5.57
3.84
12.12
7.87
27.29
16.50
37.89
22.12
5.55
3.83
11.92
7.82
26.08
16.66
35.81
23.20
1.64
0.61
4.44
0.95
5.51
4.84
L [1/2;1/2;1/2] L
T
5.56
2.57
12.29
4.94
28.09
9.06
39.21
11.04
5.54
2.57
12.10
5.02
26.78
9.95
36.66
14.15
1.6
1.7
4.65
9.92
6.5
28.23
U [1;1/4;1/4] L
K [3/4;3/4;0] T1
T2
5.14
3.49
4.51
11.07
7.04
9.60
24.73
14.33
21.02
34.2
18.87
28.81
5.12
3.49
4.51
10.90
7.04
9.48
23.62
14.79
20.37
32.48
20.88
28.35
1.59
0.08
1.17
4.5
3.22
3.09
5.03
10.65
1.6
W [1;1/2;0] L
T
3.79
4.79
7.81
10.23
16.38
22.57
21.92
31.06
3.79
4.78
7.78
10.08
16.61
21.59
23.45
29.90
0.38
1.43
1.45
4.36
6.96
3.71
Примечание. γ1–3 = [(ω(M2) – ω(M2a))/ω(M2)]⋅100%.
а
б
в
г
Ри
с.
2.
Ф
он
он
ны
е
ча
ст
от
ы
ћω
λk
[m
eV
],
по
лу
че
нн
ые
в
м
од
ел
ях
б
ез
у
че
та
(м
од
ел
ь
М
2
−
сп
ло
ш
на
я
ли
ни
я)
и
с
уч
ет
ом
эл
ек
тр
он
-ф
он
он
но
го
в
за
им
од
ей
-
ст
ви
я
–
не
ад
иа
ба
ти
че
ск
их
эф
фе
кт
ов
(м
од
ел
ь М
2а
−
ш
тр
их
ов
ая
л
ин
ия
):
■
−
ћω
L;
▲
−
ћ
ω
T 1
; ●
−
ћ
ω
T 2
; с
ж
ат
ие
∆
V/
V 0
=
0
.7
34
Физика и техника высоких давлений 2006, том 16, № 1
Физика и техника высоких давлений 2006, том 16, № 1
35
На рис. 2 и в табл. 5 приведены значения фононных частот, полученных в
моделях без учета (модель М2) и с учетом электрон-фононного взаимодей-
ствия – неадиабатических эффектов (модель М2а). Из них видно, что это
взаимодействие велико не только в тт. X, L, но также в тт. K, U, W (более
50% в Ne, Ar, Kr при сжатии ∆V/V0 = 0.7). Отличие состоит в том, что в по-
следних точках и в направлении Σ взаимодействие электрона происходит
как с продольным, так и с поперечным фононами. Для кристаллов Ne, Ar, Kr
ясно прослеживается тенденция «размягчения» продольной L и поперечной
T1 мод в направлении Σ при сжатии ∆V/V0 = 0.7.
В моделях М2 и М2а не учитывается в Vsr взаимодействие со вторыми со-
седями, т.е. в динамической матрице (21) E = F = 0. Роль вторых соседей об-
суждалась в предыдущих работах [18−21].
Здесь отметим, что включение вторых соседей качественно картину не
меняет.
Наконец, видно, что Xe несколько выпадает из ряда КИГ. Это связано, на
наш взгляд, с первоначально заниженными значениями параметров элек-
трон-фононного взаимодействия g и h, определенными из эксперименталь-
ных фононных спектров при p = 0 [13]. Для Xe будет проведено дополни-
тельное исследование.
5. Заключение
Метод эмпирических потенциалов несомненно имеет практическое зна-
чение, так как позволяет экстраполировать свойства кристалла (для которых
достигнуто требуемое согласие с опытными данными) на ту область изме-
нения температуры и давления, где экспериментальные значения не точны
или отсутствуют. Однако выводы, полученные в результате применения
сложных расчетных методов и (или) использования многопараметрических
потенциалов, не являются достаточно обоснованными, пока четко не выяс-
нены границы возможностей модели, в рамках которой проводятся вычис-
ления.
При использовании любых эмпирических потенциалов в сложных рас-
четных схемах всегда есть опасение, что исследуемые эффекты (например,
ангармонизмы или электрон-ионное взаимодействие) учитываются дважды,
поскольку первоначальные параметры, определенные из эксперимента, эф-
фективно учли все взаимодействия в кристалле. Просматривается аналогия с
неадиабатическими поправками в теории металлов (см., напр., [25]). Как из-
вестно [26], электрон-ионная система не может быть самосогласованно све-
дена к системе «голых» электронов и фононов с определенным взаимодей-
ствием между ними, поскольку введение любых «затравочных» фононов в
металле автоматически предполагает участие электронов в их образовании.
Представленное в настоящей работе исследование электрон-фононного
взаимодействия основывается на описании фононов с помощью рассчитан-
ных (а не определенных из эксперимента) параметров и, на наш взгляд, дает
Физика и техника высоких давлений 2006, том 16, № 1
36
возможность строго контролировать сделанные приближения (введением
различных моделей) и избежать учета какого-либо взаимодействия дважды.
Итак, основными результатами, полученными при исследовании фонон-
ных частот сжатых КИГ в симметричных точках и направлениях волнового
вектора, являются следующие.
1. При сжатии ∆V/V0 = 0.7 происходит деформация фононных кривых
вследствие сильного взаимодействия электронов как с продольными фоно-
нами (т. Х, направление ∆), так и с поперечными (тт. K, W, направление Σ).
«Размягчение» поперечных мод проиллюстрировано в настоящей статье
впервые. Это обеспечивается прежде всего получением адиабатического по-
тенциала «из первых принципов» и последующим построением неэмпириче-
ского короткодействующего потенциала отталкивания, играющего опреде-
ляющую роль в динамике решетки при больших сжатиях.
2. Исследование фононных частот дало возможность выяснить сущест-
венную роль членов высших порядков по интегралу перекрытия в коротко-
действующем потенциале даже при небольших сжатиях (в отличие от расче-
тов зонной структуры).
3. Анализ электрон-фононного взаимодействия в ряду Ne−Xe в зависимо-
сти от атомного номера Z показал, что с ростом атомного номера параметры
электрон-фононного взаимодействия растут приблизительно в три раза.
Вывод. На фоне доказательства существования центральных сил в КИГ
(точное выполнение соотношения Коши для упругих модулей) количествен-
ный учет неадиабатических эффектов при больших давлениях позволяет
сделать вывод, что структурная нестабильность, появление «мягкой моды» в
кристаллах с сильной связью обусловлены электрон-фононным взаимодей-
ствием, которое можно описать динамической теорией кристаллической ре-
шетки, учитывающей деформацию электронных оболочек атомов.
1. R.J. Hemley, H.-K. Mao, Ashcroff. Phys. Today 51, 26 (1998).
2. H. Shimizu, N. Saitoh, S. Sasaki, Phys. Rev. B57, 230 (1998).
3. M. Krisch, J. Raman Spectrosc. 34, 628 (2003).
4. F. Occelli, M. Krisch, P. Loubeyre et al., Phys. Rev. B63, 224306 (2001).
5. D. Acocella, G.K. Horton, E.R. Cowley, Phys. Rev. В61, 8753 (2000).
6. V.V. Goldman, M.L. Klein, J. Low Temp. Phys. 22, 501 (1976).
7. К.Б. Толпыго, Е.П. Троицкая, ФТТ 13, 1135 (1971).
8. М.А. Белоголовский, К.Б. Толпыго, Е.П. Троицкая, ФТТ 13, 2109 (1971).
9. К.Б. Толпыго, Е.П. Троицкая, ФТТ 17, 102 (1975).
10. К.Б. Толпыго, Е.П. Троицкая, ФТТ 16, 795 (1974).
11. К.Б. Толпыго, Е.П. Троицкая, УФЖ 19, 428 (1974).
12. К.Б. Толпыго, Е.П. Троицкая, ФТТ 14, 2867 (1972).
13. Е.В. Зароченцев, К.Б. Толпыго, Е.П. Троицкая, ФНТ 5, 1324 (1979).
14. В.Л. Дорман, Е.В. Зароченцев, Е.П. Троицкая, ФТТ 23, 1581 (1981).
15. Е.П. Троицкая, Ю.В. Еремейченкова, Е.В. Зароченцев, ФТВД 5, № 4, 5, (1995).
Физика и техника высоких давлений 2006, том 16, № 1
37
16. В.Л. Дорман, Е.В. Зароченцев, Е.П. Троицкая, ФНТ 8, 94 (1982).
17. Е.В. Зароченцев, Е.П. Троицкая, В.В. Чабаненко, ФТВД 13, № 4, 7 (2003).
18. Е.П. Троицкая, В.В. Чабаненко, Е.Е. Горбенко, ФТВД 14, № 3, 7 (2004).
19. Е.П. Троицкая, В.В. Чабаненко, Е.Е. Горбенко, ФТВД 15, № 3, 7 (2005).
20. Е.П. Троицкая, В.В. Чабаненко, Е.Е. Горбенко, ФТТ 47, 1683 (2005).
21. Е.П. Троицкая, В.В. Чабаненко, Е.Е. Горбенко, ФТТ 48, 695 (2006).
22. O. Emersleben, Phys. Zs. 24, 73 (1923).
23. К.Б. Толпыго, И.Г. Заславская, УФЖ 1, 226 (1956).
24. A. Baldereschi, Phys. Rev. B7, 5212 (1973).
25. В.Г. Барьяхтар, Е.В. Зароченцев, Е.П. Троицкая, Методы вычислительной фи-
зики в теории твердого тела. Атомные свойства металлов, Наукова думка, Киев
(1990).
26. Е.Г. Бровман, Ю. Каган, ЖЭТФ 52, 557 (1967).
E.P. Troitskaya, V.V. Chabanenko, E.E. Gorbenko
DYNAMIC MATRIX AND PHONONS IN INERT GAS CRYSTALS
UNDER HIGH PRESSURE
Nonempirical quantitative investigations of the lattice dynamics of compressed inert gas
crystals (IGC) have been performed outside the framework of adiabatic approximation.
The aim is to construct a dynamic matrix to calculate phonon frequences of the Ne−Xe
series at any point of the Brillouin zone. Contributions to the dynamic matrix from the
long-range Coulomb and Van der Waals forces are structural sums depending only on
lattice type. For the fcc lattice the structural sums were calculated by the Evald, Emersle-
ben method and by direct summation over the fcc lattice vectors. In the latter case, 20
spheres ensure accuracy to within not less than four significant digits. Investigation of the
role of electron-phonon interaction at five high-symmetry points (X, L, U, K, W) of the
Brillouin zone for high compression ratios has shown that there occurs the softening of
not only longitudinal modes of phonons (at points X, L) but of the transverse ones (at
points U, K, W).
Fig. 1. Original range of integration for straight fcc lattice
Fig. 2. Phonon frequences ћωλk [meV] obtained in models taking no account (model M2
− solid line) and with the account of electron-phonon interaction − nonadiabatic effects
(model M2a − dash line): ■ − ћωL; ▲ − ћωT1; ● − ћωT2; compression ∆V/V0 = 0.7
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-70208 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0868-5924 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:14:05Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Донецький фізико-технічний інститут ім. О.О. Галкіна НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Троицкая, Е.П. Чабаненко, В.В. Горбенко, Е.Е. 2014-10-31T14:51:19Z 2014-10-31T14:51:19Z 2006 Динамическая матрица и фононы в кристаллах инертных газов при высоких давлениях / Е.П. Троицкая, В.В. Чабаненко, Е.Е. Горбенко // Физика и техника высоких давлений. — 2006. — Т. 16, № 1. — С. 25-37. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. 0868-5924 PACS: 62.50.−p, 64.10.+h, 64.30.+t https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/70208 Представлены неэмпирические количественные исследования динамики решеток сжатых кристаллов инертных газов (КИГ) с выходом за рамки адиабатического приближения. Целью работы является построение динамической матрицы, позволяющей рассчитать фононные частоты ряда Ne−Xe в любой точке зоны Бриллюэна (BZ). Вклады в динамическую матрицу дальнодействующих кулоновских и ван-дер-ваальсовых сил представляют собой структурные суммы, зависящие только от типа решетки. Вычисление структурных сумм для ГЦК-решетки проведено методом Эвальда, Эмерслебена, а также прямым суммированием по векторам ГЦК-решетки. Использование в последнем случае 20 сфер обеспечивает точность не менее четырех значащих цифр. Исследование роли электрон-фононного взаимодействия в пяти точках высокой симметрии BZ (X, L, U, K, W) при больших степенях сжатия показало, что происходит «размягчение» не только продольных мод фононов (в тт. X, L), но и поперечных мод (в тт. U, K, W). Nonempirical quantitative investigations of the lattice dynamics of compressed inert gas crystals (IGC) have been performed outside the framework of adiabatic approximation. The aim is to construct a dynamic matrix to calculate phonon frequences of the Ne−Xe series at any point of the Brillouin zone. Contributions to the dynamic matrix from the long-range Coulomb and Van der Waals forces are structural sums depending only on lattice type. For the fcc lattice the structural sums were calculated by the Evald, Emersleben method and by direct summation over the fcc lattice vectors. In the latter case, 20 spheres ensure accuracy to within not less than four significant digits. Investigation of the role of electron-phonon interaction at five high-symmetry points (X, L, U, K, W) of the Brillouin zone for high compression ratios has shown that there occurs the softening of not only longitudinal modes of phonons (at points X, L) but of the transverse ones (at points U, K, W). ru Донецький фізико-технічний інститут ім. О.О. Галкіна НАН України Физика и техника высоких давлений Динамическая матрица и фононы в кристаллах инертных газов при высоких давлениях Динамічна матриця і фонони в кристалах інертних газів при високих тисках Dynamic matrix and phonons in inert gas crystals under high pressure Article published earlier |
| spellingShingle | Динамическая матрица и фононы в кристаллах инертных газов при высоких давлениях Троицкая, Е.П. Чабаненко, В.В. Горбенко, Е.Е. |
| title | Динамическая матрица и фононы в кристаллах инертных газов при высоких давлениях |
| title_alt | Динамічна матриця і фонони в кристалах інертних газів при високих тисках Dynamic matrix and phonons in inert gas crystals under high pressure |
| title_full | Динамическая матрица и фононы в кристаллах инертных газов при высоких давлениях |
| title_fullStr | Динамическая матрица и фононы в кристаллах инертных газов при высоких давлениях |
| title_full_unstemmed | Динамическая матрица и фононы в кристаллах инертных газов при высоких давлениях |
| title_short | Динамическая матрица и фононы в кристаллах инертных газов при высоких давлениях |
| title_sort | динамическая матрица и фононы в кристаллах инертных газов при высоких давлениях |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/70208 |
| work_keys_str_mv | AT troickaâep dinamičeskaâmatricaifononyvkristallahinertnyhgazovprivysokihdavleniâh AT čabanenkovv dinamičeskaâmatricaifononyvkristallahinertnyhgazovprivysokihdavleniâh AT gorbenkoee dinamičeskaâmatricaifononyvkristallahinertnyhgazovprivysokihdavleniâh AT troickaâep dinamíčnamatricâífononivkristalahínertnihgazívprivisokihtiskah AT čabanenkovv dinamíčnamatricâífononivkristalahínertnihgazívprivisokihtiskah AT gorbenkoee dinamíčnamatricâífononivkristalahínertnihgazívprivisokihtiskah AT troickaâep dynamicmatrixandphononsininertgascrystalsunderhighpressure AT čabanenkovv dynamicmatrixandphononsininertgascrystalsunderhighpressure AT gorbenkoee dynamicmatrixandphononsininertgascrystalsunderhighpressure |