Истечение метана из угля в замкнутый резервуар: роль явлений диффузии и фильтрации
Рассмотрен процесс истечения метана из угля в замкнутый резервуар. Показана роль явлений диффузии и фильтрации в этом процессе. В рамках предлагаемой модели дан асимптотический анализ решения поставленной задачи. Получено выражение для времени достижения опасной концентрации метана в замкнутом объем...
Saved in:
| Published in: | Физика и техника высоких давлений |
|---|---|
| Date: | 2006 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Донецький фізико-технічний інститут ім. О.О. Галкіна НАН України
2006
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/70233 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Истечение метана из угля в замкнутый резервуар: роль явлений диффузии и фильтрации / Э.П. Фельдман, Т.А. Василенко, Н.А. Калугина // Физика и техника высоких давлений. — 2006. — Т. 16, № 2. — С. 99-114. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859595534622261248 |
|---|---|
| author | Фельдман, Э.П. Василенко, Т.А. Калугина, Н.А. |
| author_facet | Фельдман, Э.П. Василенко, Т.А. Калугина, Н.А. |
| citation_txt | Истечение метана из угля в замкнутый резервуар: роль явлений диффузии и фильтрации / Э.П. Фельдман, Т.А. Василенко, Н.А. Калугина // Физика и техника высоких давлений. — 2006. — Т. 16, № 2. — С. 99-114. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Физика и техника высоких давлений |
| description | Рассмотрен процесс истечения метана из угля в замкнутый резервуар. Показана роль явлений диффузии и фильтрации в этом процессе. В рамках предлагаемой модели дан асимптотический анализ решения поставленной задачи. Получено выражение для времени достижения опасной концентрации метана в замкнутом объеме в зависимости от параметров системы ископаемый уголь–метан.
A process of methane emanation from coal to a closed reservoir has been considered. The role of diffusion and filtration in the process has been shown. Within the model under consideration the formulated problem has been asymptotically analysed. An expression has been obtained for the time of obtaining a dangerous concentration of methane in a closed volume as a function of parameters of the fossil coal-methane system.
|
| first_indexed | 2025-11-27T21:06:23Z |
| format | Article |
| fulltext |
Физика и техника высоких давлений 2006, том 16, № 2
99
PACS: 62.20.Dc, 76.60.−k
Э.П. Фельдман, Т.А. Василенко, Н.А. Калугина
ИСТЕЧЕНИЕ МЕТАНА ИЗ УГЛЯ В ЗАМКНУТЫЙ РЕЗЕРВУАР:
РОЛЬ ЯВЛЕНИЙ ДИФФУЗИИ И ФИЛЬТРАЦИИ
Институт физики горных процессов НАН Украины
ул. Р. Люксембург, 72, г. Донецк, 83114, Украина
Статья поступила в редакцию 4 апреля 2006 года
Рассмотрен процесс истечения метана из угля в замкнутый резервуар. Показана
роль явлений диффузии и фильтрации в этом процессе. В рамках предлагаемой мо-
дели дан асимптотический анализ решения поставленной задачи. Получено выраже-
ние для времени достижения опасной концентрации метана в замкнутом объеме в
зависимости от параметров системы ископаемый уголь–метан.
1. Введение
В природных условиях ископаемый уголь может содержать значительное
количество газа метана. Так, некоторые сорта углей Донецкого бассейна со-
держат до 40 m3 метана в расчете на одну тонну угля. В нетронутых метано-
носных угольных пластах метан распределен равномерно – его давление в
системе сообщающихся трещин, пор и каналов одинаково вдоль всего пла-
ста. Метан находится в равновесии, которое может быть нарушено под дей-
ствием геологических или техногенных факторов.
При отработке угля пласт вскрывается, давление вблизи выработки резко
снижается, и метан начинает вытекать из пласта в выработку. Это явление
достаточно хорошо изучено как экспериментально, так и теоретически.
Если отторгнутые от массива куски угля поместить в замкнутый резерву-
ар, то истечение метана из этих кусков будет продолжаться до тех пор, пока
давление метана в резервуаре не сравняется с его давлением в трещиновато-
пористой системе угля. На практике замкнутыми резервуарами являются
шахтные бункеры. Кроме того, закрытыми сосудами могут считаться кры-
тые железнодорожные вагоны и трюмы грузовых судов.
При проведении сорбционных исследований также используют закрытые
вакуумированные емкости, куда помещают изучаемые образцы угля [1].
Лабораторные и шахтные эксперименты, разработка теоретических моде-
лей преследуют цель дать ответ на три основных вопроса: 1) какова плот-
ность (и давление) метана в резервуаре при равновесии? 2) за какое время
Физика и техника высоких давлений 2006, том 16, № 2
100
устанавливается равновесие? 3) если в резервуаре был воздух, то за какое
время достигается взрывоопасная концентрация метана?
Эти вопросы изучались различными методами и разными авторами. В ча-
стности, в нашей работе [2] была детально изучена модель, которая базиру-
ется на предположении о ведущей роли диффузии при выходе метана из уг-
ля. Между тем хорошо известно, что роль фильтрации метана по системе
открытых пор и каналов также может быть определяющей. В [3] нами про-
анализирован механизм совместного действия диффузии и фильтрации на
процесс истечения метана. Однако здесь речь идет об истечении в свободное
пространство.
В предлагаемой работе изучено истечение метана из угля в замкнутый ре-
зервуар в условиях совместного протекания двух физических явлений –
фильтрации и диффузии.
2. Описание модели и основные соотношения
Как и в [3], предполагаем, что уголь состоит из блоков, «погруженных» в
систему открытых (т.е. сообщающихся с внешней средой) пор, трещин и ка-
налов. Такая система называется фильтрационным объемом. Метан в этом
объеме находится в свободном газообразном состоянии и характеризуется
плотностью ρ (m–3), зависящей в неравновесном состоянии как от координат,
так и от времени. Можно с равным правом характеризовать метан в фильтра-
ционном объеме его давлением, связанным с плотностью соотношением P = ρT
(T – температура в энергетических единицах, газ считается идеальным).
Внутри блока располагаются закрытые поры, не сообщающиеся каналами
с его поверхностью. В этих порах метан также находится в газообразном со-
стоянии. Суммарный объем закрытых пор в расчете на единицу объема угля
(закрытая пористость) обозначается буквой γ. В тело блока метан входит по-
молекулярно, образуя твердый раствор с концентрацией c (m–3), зависящей
при отсутствии равновесия от координат и времени.
Уголь, находящийся в сосуде, состоит из отдельных кусков (гранул), от-
личающихся друг от друга размером. Очевидно, что время выхода метана из
отдельной гранулы зависит от ее размера. Поэтому в общем случае харак-
терное время выхода метана из всей его массы зависит от распределения
гранул по размерам. В нашей модели мы ради упрощения считаем, что все
куски угля являются шарами одинакового радиуса L. Кроме того, предпола-
гаем, что все блоки представляют собой шары одинакового радиуса R. Ко-
нечно, размер блока R всегда много меньше L.
Суммарный объем, занимаемый гранулами угля, обозначим Vc, а объем
оставшейся части сосуда – Vf (рис. 1).
Предполагается, что в начальный момент (момент загрузки угля в сосуд)
плотность метана в фильтрационном объеме равна ρ0 и газ равномерно рас-
пределен по объему каждой из гранул. Концентрация же сорбированного
метана в твердом растворе подчиняется закону Генри
Физика и техника высоких давлений 2006, том 16, № 2
101
0 0c = νρ , (1)
где ν – растворимость метана (см. под-
робнее обсуждение этой величины в [4]).
Заметим сразу же, что ρ0 обычно на-
много меньше плотности метана в не-
тронутом пласте, поскольку весьма за-
метная доля метана выходит из угля во
время его перемещения от забоя к резер-
вуару.
Согласно нашей модели [3] истечение
метана происходит следующим образом.
Сначала газ из фильтрационного объема
устремляется из гранулы в не занятый
углем объем Vf, давление газа внутри
гранулы снижается, благодаря чему стартует процесс диффузионного мас-
сопереноса сорбированного метана из блока в фильтрационный объем. Про-
исходит фильтрация газа с одновременной подпиткой фильтрационного
объема метаном, растворенным в блоках.
Нам предстоит решить уравнение диффузии метана в блоке, а результаты
этого решения включить в уравнение, описывающее фильтрацию метана из
гранул.
Массоперенос в каждом отдельном блоке описывается уравнением диф-
фузии в сферических координатах
2
eff 2
( , ) ( , ) 2 ( , )c x t c r t c r tD
t r rr
∂ ∂ ∂= + ∂ ∂∂
, (2)
где эффективный коэффициент диффузии eff
1
DD = γ− γ +
ν
(D – коэффициент
твердотельной диффузии метана в угле) учитывает наличие в блоке закры-
тых пор [4].
В уравнении (2) r – расстояние от центра блока до данного места,
0 r R≤ ≤ . При r = 0 концентрация должна быть конечной, а на границе бло-
ка должен выполняться закон Генри, т.е. концентрация метана на границе
блока должна быть пропорциональна плотности газа в примыкающем к дан-
ному блоку участке фильтрационного объема. Ввиду малости радиуса блока
по сравнению с радиусом гранулы можно ввести сферическую координату x
блока в целом. Эта координата означает расстояние от блока до центра гра-
нулы, т.е. местоположение блока в грануле. Плотность газа в фильтрацион-
ном объеме гранулы описывается функцией ρ(x,t), удовлетворяющей урав-
нению фильтрации (уравнение Дарси). В рассматриваемом сферически-
симметричном случае функция ρ(x,t) для кнудсеновского течения газа (более
подробно об этом см. в [3]) имеет вид
Рис. 1. Схематическое изображение
угольного вещества, находящегося
в замкнутом объеме
Физика и техника высоких давлений 2006, том 16, № 2
102
2
0 0 2
( , ) 2 ( , )( , ) (1 ) 1 ( , ) f
x t x tx t c x t D
t x xx
∂ γ ∂ρ ∂ρ γ ρ + − γ − γ + = + ∂ ν ∂ ∂
. (3)
Здесь γ0 – открытая пористость, Df – коэффициент фильтрации, c(x,t) означает
среднюю концентрацию метана в блоке с координатой x в момент времени t:
2
3
0
3( , ) ( , )d
R
c x t r c r t r
R
= ∫ . (4)
Применяя процедуру интегрирования (4) к уравнению (2), получим
eff
( , ) 3 ( , )
r R
c x t c r tD
t R r =
∂ ∂=
∂ ∂
. (5)
В правой части уравнения (5) фигурирует градиент концентрации вблизи
поверхности блока. Сама же концентрация на поверхности последнего свя-
зана с плотностью газа в окружении блока, как уже отмечалось, законом
Генри:
( , ) ( , )c R t x t= νρ . (6)
Через соотношения (5) и (6) осуществляется «связка» задач фильтрации и
диффузии. На границе угольной гранулы, т.е. при x = L, выполняется требо-
вание
( , ) ( )L t n tρ = , (7)
где n(t) – плотность газа в свободной от угля части сосуда. Именно эта вели-
чина представляет основной интерес. Средние по грануле плотность и кон-
центрация вводятся по аналогии с (4):
2
3
0
3( ) ( , )d
L
c t x c x t x
L
= ∫ ; 2
3
0
3( ) ( , )d
L
t x x t x
L
ρ = ρ∫ . (8)
Эти средние одновременно являются средними по всему массиву угля ввиду
одинаковости всех гранул.
Соответствующее формулам (8) усреднение уравнения фильтрации (3) дает
0 0
d 3 ( , )( ) (1 ) 1 ( )
d f
x L
x tt c t D
t L x =
γ ∂ρ γ ρ + − γ − γ + = ν ∂
. (9)
Связь между ( )tρ , ( )c t и n(t) определяется уравнением материального ба-
ланса:
0 0 0 0 0 0( ) ( ) (1 ) 1 ( ) (1 ) 1f c cn t V t c t V c V γ γ + γ ρ + − γ − γ + = γ ρ + − γ − γ + ν ν
. (10)
При записи (10) мы предположили, что в начальный момент газ в свобод-
ном объеме отсутствует, т.е. n(0) = 0.
Физика и техника высоких давлений 2006, том 16, № 2
103
Начальные условия к уравнениям (2) и (3) таковы:
0 0( ,0)c r c= = νρ ; 0( ,0)xρ = ρ ; 0( ,0)c x c= . (11)
Итак, нами сформулирована система уравнений (2), (3), а также началь-
ные и граничные условия к ним. Далее мы попытаемся найти решение этой
системы.
3. Нахождение трансформант Лапласа концентрации и плотности метана
Сформулированная задача решается методом преобразования Лапласа по
времени всех неизвестных величин:
0
( , ) ( , )e dptc r p c r t t
∞
−= ∫ ;
0
( , ) ( , )e dptc x p c x t t
∞
−= ∫ ;
0
( , ) ( , )e dptx p x t t
∞
−ρ = ρ∫ ;
0
( ) ( )e dptc p c t t
∞
−= ∫ ;
0
( ) ( )e dptp t t
∞
−ρ = ρ∫ ;
0
( ) ( )e dptn p n t t
∞
−= ∫ .
Применяя преобразования Лапласа к уравнению (2), получим обыкновенное
дифференциальное уравнение для величины c(r,p):
2
0 eff 2
d ( , ) 2 d ( , )( , )
dd
c r p c r pc pc r p D
r rr
− + = +
. (13)
Решение этого уравнения, конечное при r = 0, выражается в элементарных
функциях:
0 sh( , ) ( )c rc r p A p
p r
= + ;
eff
pr r
D
≡ . (14)
Граничное условие (6) дает
eff0
eff
sh
( ) ( , )
pR
Dc A p x p
p pR
D
+ = νρ . (15)
Применение преобразования Лапласа к равенству (5) с учетом конкретно-
го вида c(r,p) из (14) приводит к еще одному соотношению, содержащему
константу интегрирования A(p):
0
3
eff eff eff
eff
3 ( )( , ) ch shc A p p p pc x p R R R
p D D DpR
D
− = −
. (16)
(12)
Физика и техника высоких давлений 2006, том 16, № 2
104
Равенства (14) и (16), отражающие граничные условия на поверхности
блока, позволяют путем исключения A(p) получить важное соотношение
между c(x,p) и ρ(x,p):
0 0( , ) ( ) ( , )c cc x p F z x p
p p
− = − νρ
, 3 1( ) cthF z z
z z
= −
. (17)
В (17) введено обозначение
eff
pz R
D
≡ .
Применение преобразования Лапласа к уравнению Дарси (3) с учетом
связи (17) позволяет получить для величины ρ(x,p) обыкновенное диффе-
ренциальное уравнение, аналогичное уравнению (13):
2
0
2
d ( , ) 2 d ( , )( , )
( ) dd
fD r p x px p
p p x xx
ρ ρ ρρ − = +
φ
,
0 0( ) (1 ) 1 ( )p p F z γ φ ≡ γ + ν − γ − γ + ν
. (18)
Уравнение (18) имеет тот же вид, что и (13). Поэтому можно сразу выпи-
сать подходящее решение:
0
( )sh
( , ) ( )
( )
f
f
px
D
x p B p
p px
D
φ
ρ ρ − =
φ
. (19)
Константа B(p) определяется из граничного условия (7), согласно которому
( , ) ( )L t n tρ = , так что
0 sh( ) ( ) yn p B p
p y
ρ− = , ( )
f
py L
D
φ≡ . (20)
Далее преобразуем по Лапласу уравнение (9):
0 0
0 0
3 ( , )( ) (1 ) 1 ( ) f
x L
c x pp c p D
p p pL x =
ρ γ ∂ρ −γ − ρ − − γ − γ + − = ν ∂
. (21)
Преобразование (21) с учетом (19) и (20) приводит к промежуточному соот-
ношению
0 0 0
0 0
( )( ) (1 ) 1 ( ) ( ) ( )c pp c p F y n p
p p p p
ρ γ φ ρ γ − ρ + − γ − γ + − = − ν
. (22)
Так как (17) справедливо для любого x, оно справедливо и для средних
значений концентрации и плотности:
Физика и техника высоких давлений 2006, том 16, № 2
105
0 0( ) ( ) ( )c c p F z p
p p
ρ− = ν − ρ
. (23)
Если учесть (23), то (22) превращается в компактное соотношение
0 0( ) ( ) ( )p F y n p
p p
ρ ρ− ρ = −
. (24)
Осталось использовать лапласовский образ уравнения (10) материального
баланса
0 0
0 0( ) ( ) (1 ) 1 ( )cgn p p c p
p p
ρ γ = γ − ρ + − γ − γ + − ν
, (25)
где введено обозначение f
c
V
g
V
= для отношения свободного объема к объе-
му, занимаемому углем.
Задача, в принципе, решена, поскольку из системы трех уравнений (23)–(25)
можно получить лапласовские образы трех искомых функций ( ),pρ ( )c p и
( )n p и затем путем обратного преобразования Лапласа получить временны′ е
зависимости ( ),tρ ( )c t и ( )n t .
4. Решение задачи в интегральном виде и его асимптотический анализ
Прежде чем записывать решение в виде обратного преобразования Лап-
ласа, условимся измерять время в единицах
2
eff
R
D
. Тогда параметр преобра-
зования Лапласа станет безразмерной величиной, и мы по-прежнему будем
обозначать его буквой p.
Введем обозначения
z p= ; 0 0(1 ) 1 ( )Y a p F z γ ≡ γ + ν − γ − γ + ν
; eff
f
L Da
R D
≡ . (26)
Напомним, что
3 1( ) cthF z z
z z
= −
, (27)
Из (23)–(25) находим
0 0
0 0
( )( )
(1 ) 1 ( ) ( )
gF Yp
p pg F z F Y
ρ ρ− ρ =
γ + γ + ν − γ − γ + ν
, (28)
0 0
0 0
( ) ( )( )
(1 ) 1 ( ) ( )
c gF Y F z cc p
p pg F z F Y
− =
γ + γ + ν − γ − γ + ν
, (29)
Физика и техника высоких давлений 2006, том 16, № 2
106
0 0
0 0
1( ) ( ) (1 ) 1 ( )cn p p c p
g p p
ρ γ = γ − ρ + − γ − γ + − ν
. (30)
Применяя обратное преобразование Лапласа к формулам (28)–(30), при-
ходим к следующему результату:
0
0
0 0
1 ( )( ) e d
2 (1 ) 1 ( ) ( )
i
pt
i
gF Yt p
i pg F z F Y
σ+ ∞
σ− ∞
ρρ − ρ =
π γ + γ + ν − γ − γ + ν
∫ , (31)
0
0
0 0
1 ( ) ( )( ) e d
2 (1 ) 1 ( ) ( )
i
pt
i
gF Y F z cc c t p
i pg F z F Y
σ+ ∞
σ− ∞
− =
π γ + γ + ν − γ − γ + ν
∫ , (32)
( ) ( )0 0 0 0
1( ) ( ) (1 ) 1 ( )n p t c c t
g
γ = γ ρ − ρ + − γ − γ + − ν
. (33)
Интегрирование в (31) и (32) производится в комплексной плоскости по вер-
тикальной прямой с абсциссой σ > 0.
Формулы (31)–(33) представляют решение поставленной задачи в форме
интегралов, которые в общем случае не выражаются через известные табу-
лированные функции. Поэтому далее даем асимптотический анализ соотно-
шений (31)–(33), на основе чего и делаем определенные выводы.
Если речь идет о выходе метана в открытое пространство, когда fV → ∞
(т.е. g → ∞ ), то формулы значительно упрощаются:
0
0
1 ( )( ) e d
2
i
pt
i
F Yt p
i p
σ+ ∞
σ− ∞
ρρ − ρ =
π ∫ , (31′)
0
0
1 ( ) ( )( ) e d
2
i
pt
i
c F Y F zc c t p
i p
σ+ ∞
σ− ∞
− =
π ∫ , (32′)
n(t) = 0. (33′)
Формула (33′) совершенно очевидна, поскольку плотность газа в случае за-
нимаемого им бесконечного объема равна нулю.
Асимптотический анализ имеет смысл проводить раздельно для случаев
a >> 1 (время фильтрации
2
f
L
D
много больше времени диффузии
2
eff
R
D
) и
a << 1 (время фильтрации много меньше времени диффузии). Проводя этот
анализ, будем считать g > 1. Дело в том, что при g >> 1 изменение давления
метана в сосуде практически не ощутимо (ср. с формулой (33′)), а при g << 1
давление скачет внезапно, что также плохо поддается измерению.
Физика и техника высоких давлений 2006, том 16, № 2
107
Случай 1 (a >> 1)
Сначала рассмотрим малые, по сравнению с диффузионными (t << 1), вре-
мена. В этом случае основной вклад в интегралы (31) и (32) вносят большие p
(p >> 1). Функции F(z) и F(Y) можно заменить их асимптотическими выраже-
ниями при больших значениях аргументов. Согласно (27) с учетом (26)
3( )F z
p
≈ ,
0
3( )F Y
a p
≈
γ
. (34)
Мы учли, что при p >> 1 0 1.Y a p= γ >>
При учете вклада только больших p в соответствии с (34) наши интегралы
сильно упрощаются:
0
0 3/ 2
0
3 e( ) d
2
i pt
i
t p
ia p
σ+ ∞
σ− ∞
ρρ − ρ ≈
π γ ∫ , (35)
0
0 2
0
3 e( ) d
2
i pt
i
cc c t p
ia p
σ+ ∞
σ− ∞
− ≈
π γ ∫ . (36)
Если теперь в (35) и (36) перейти к интегрированию по x = pt, то в итоге по-
лучим
0
0
0
( )t t
a
αρρ − ρ ≈
γ
, (37)
0
0
0
3( ) cc c t t
a
α− ≈
γ
, (38)
где α – вещественная константа порядка единицы.
Формулы (37) и (38) показывают, что на временах t << 1 метан из блоков
выходит намного медленнее, чем из фильтрационного объема. Можно ска-
зать, что на этом временном интервале можно говорить о «быстром» метане
(корневая зависимость от времени) и «медленном» (линейная зависимость
от времени). Давление в свободном объеме согласно (33) возрастает по кор-
невому закону. К концу данного этапа при t ~ 1 из угля выйдет весьма не-
значительная доля метана ( 0~ 1/ a γ ).
На промежуточных временах, когда 1 << t << a2, основной вклад в инте-
гралы дают p, лежащие в интервале 2
1 1p
a
<< << . Теперь для F(z) необходи-
мо взять асимптотику малых z, так что ( ) 1F z ≈ . Для F(Y) следует сохранить
асимптотику больших Y, так что
0
3( )F Y
a p
≈
γ
. Интегралы вычисляются по
аналогии с предыдущими расчетами. Получим
Физика и техника высоких давлений 2006, том 16, № 2
108
0
0
0 0
( )
(1 ) 1
t t
a
αρρ − ρ ≈
γ γ + ν − γ − γ + ν
, (39)
0
0
0 0
( )
(1 ) 1
cc c t t
a
α− ≈
γ γ + ν − γ − γ + ν
. (40)
Мы видим, что на данном этапе метан выходит как из фильтрационного
объема, так и из блоков по корневому закону. Однако скорость его выхода
несколько уменьшается за счет коэффициента, стоящего в знаменателе фор-
мул (39) и (40). К концу данного этапа, когда t ~ a2, из угля выходит около
половины содержащегося в нем метана.
Переходим к рассмотрению больших (t >> a2) времен. Поскольку теперь
основной вклад в интегралы (31) и (32) будут вносить 2
1~1p
a
<< , для F(z)
работает асимптотика малых z, когда можно положить F(z) = 1. При таком
предположении формулы (31) и (32) одинаковы, так что можно ограничить-
ся рассмотрением лишь одной из них, например (31).
Введем вместо p новую переменную интегрирования u согласно формуле
2
0 0(1 ) 1u a p γ ≡ γ + ν − γ − γ + ν
(41)
и перенормируем время
2
0 0(1 ) 1
t
a
τ ≡
γ γ + ν − γ − γ + ν
. (42)
Тогда формула (31) трансформируется к виду
0
0
( )e( ) d
2 ( )
i u
ei
g F u u
i g F u u
σ+ ∞ τ
σ− ∞
ρρ − ρ τ =
π + γ
∫ , (43)
где 0 0(1 ) 1e
γ γ ≡ γ + ν − γ − γ + ν
. (43а)
Интеграл (43) преобразуем в ряд с помощью теоремы вычетов. Для этого
заметим, что подынтегральная функция в (43) однозначна, и все ее полюсы
располагаются на отрицательной вещественной полуоси. Полюс в точке u = 0
соответствует состоянию равновесия.
Графическое решение уравнения ( ) 0eg F u+ γ = устанавливает следую-
щее распределение полюсов подынтегральной функции:
Физика и техника высоких давлений 2006, том 16, № 2
109
0 0u = ; ( )22
k ku k= −π + β , k = 1, 2, … ,
10
2k< β < . (44)
Определяя вычеты в этих полюсах по известным формулам теории функций
комплексного переменного, приходим к такому результату:
2 2( )
2
0 2 2 2
1
e( ) 6
( ) 9 ( )
kk
e
k k e e
g
g k g
−π +β τ∞
=
ρ τ = ρ + ρ
π + β + γ + γ
∑ . (45)
Здесь
0 e
e
eg
ρ γρ =
+ γ
(46)
– равновесное значение плотности метана в фильтрационном объеме.
Аналогичные (45) и (46) асимптотические формулы справедливы и для
( )c τ .
Видно, что для больших τ, когда 2 2
1
1
(1 )
τ >>
π + β
, все члены ряда (45) экс-
поненциально малы и, следовательно, формула (45) трансформируется к виду
2 2
1(1 )2
0
2 2 2
1
6 e( )
(1 ) 9 ( )e
e e
g
g g
−π +β τρρ τ ≈ ρ +
π + β + γ + γ
. (47)
Таким образом, на больших временах, когда реальное размерное время
2
2 2
1(1 )
e
f
Lt
D
γ>
π + β
, (48)
приближение к равновесию происходит по экспоненциальному закону. Ха-
рактерное время выхода метана из угля определяется фильтрацией (L2/Df в
формуле (48)).
Можно показать, что величина β1 растет от нуля до приблизительно 1/2 с
уменьшением g от бесконечности до g ~ 1. Следовательно, с уменьшением
доли свободного объема в сосуде время выхода сокращается на несколько
десятков процентов. Величина γe, входящая в формулу (48) и зависящая от
растворимости и пористости, по порядку равна единице; поэтому темп вы-
хода метана из угля слабо зависит от указанных параметров. Можно лишь
отметить, что при обычной растворимости ν ≈10–2–10–1 [4] время выхода
линейно возрастает с ростом закрытой пористости.
В пределе t → ∞ достигается равновесное состояние, при котором
0
0 e
e
g
g
ρρ − ρ =
+ γ
; 0
0 e
e
c gc c
g
− =
+ γ
, (49)
и согласно (33)
Физика и техника высоких давлений 2006, том 16, № 2
110
0 e
e
e
n
g
ρ γ=
+ γ
. (50)
На рис. 2 представлен график зависимости концентрации метана в сво-
бодном объеме от времени для случая a >> 1. График получен на основе
формул (33), (37)–(40) и (47) с учетом (42).
Очевидно (и формулы (49) и (50) это подтверждают), что в случае откры-
того пространства (g → ∞) весь метан выходит из угля. Если уголь заполня-
ет почти весь сосуд (g << 1), то
0 0e
e
gρ − ρ ≈ ρ
γ
, 0 0e
e
gc c c− ≈
γ
, 0 1e
e
gn
≈ ρ − γ
, (51)
т.е. из угля выходит весьма малая доля метана, пропорциональная g.
Согласно формулам (39), (40) и (33) концентрация метана в резервуаре к
моменту t достигнет значения
0( ) en t t
ga
α γ
≈ ρ . (52)
Сопоставляя n(t) с равновесным значением ne из (50), мы приходим к сле-
дующей оценке характерного времени выхода метана в замкнутый сосуд
(результат представляем в размерном виде):
2 2
2 2( )
e
r
fe
g Lt
Dg
γ≈
α + γ
. (53)
При больших g (g >> γe) результат, с точностью до несущественного
множителя, совпадает с (48). В обратном предельном случае малого свободного
объема
Рис. 2. Зависимость концентрации метана в свободном объеме от времени для слу-
чая a >> 1
Физика и техника высоких давлений 2006, том 16, № 2
111
2 2
2r
fe
g Lt
D
≈
α γ
, (54)
т.е. время выхода убывает по квадратичному закону по мере уменьшения
свободного объема.
Напомним, что мы рассматриваем случай a >> 1, т.е.
2 2
efff
L R
D D
>> , поэто-
му приведенные оценки времен справедливы лишь при выполнении данного
условия.
Случай 2 (a << 1)
Начнем с рассмотрения предельно малых времен, когда 2
0t a<< γ . При
таком условии основной вклад в интегралы (31) и (32) вносят 2
0
1p
a
>>
γ
(и
автоматически p >> 1), а функции F(z) и F(Y) можно заменить их асимпто-
тиками при больших значениях аргумента:
3( )F z
p
≈ ,
0
3( )F Y
a p
≈
γ
.
Теперь, если повторим соответствующие рассуждения предыдущего
пункта (т.е. случая a >> 1), то получим те же результаты (37) и (38). Од-
нако эти результаты справедливы теперь лишь при предельно малых вре-
менах 2
0t a<< γ , тогда как в предыдущем случае они были справедливы
при t << 1. К концу начального этапа, когда t ~ a2γ0, из фильтрационного
объема выходит ~ 50% метана, а из блоков – малая доля, порядка 0a γ . В
этом случае метан совершенно четко подразделяется на «быстрый», со-
держащийся в фильтрационном объеме и выходящий из него почти пол-
ностью за малые времена ~ L2/Df, и «медленный», выходящий из блоков
за диффузионные времена R2/Deff, на порядки превышающие времена
фильтрации.
Таким образом, в ситуации a << 1 на промежуточных и больших време-
нах имеет смысл следить только за истечением метана из блоков.
На временах 2
0t a>> γ основной вклад в интеграл (32) дают 2
0
1p
a
<<
γ
,
поэтому Y << 1. В таком случае функцию F(Y) можно положить равной
единице. Следовательно, на этих временах имеем асимптотическое ра-
венство
0
0
0 0
( ) e( ) d
2 (1 ) 1 ( )
i pt
i
gc F zc c t p
i pg F z
σ+ ∞
σ− ∞
− =
γπ + γ + ν − γ − γ + ν
∫ . (55)
Физика и техника высоких давлений 2006, том 16, № 2
112
Если к тому же t << 1, то подобно тому, как это было сделано ранее, мож-
но заменить F(z) ее асимптотикой: 3( )F z
p
≈ . В итоге приходим к формуле
0
0
0
( ) gcc c t t
g
α− =
+ γ
, (56)
которая отличается от (40) в основном отсутствием параметра a. Это, в свою
очередь, означает, что характерное время выхода метана из блоков порядка
единицы, т.е. в размерном виде порядка
2
eff
R
D
.
На больших временах, когда t >> 1, удобнее всего использовать пред-
ставление интеграла в форме ряда. Каждый член такого ряда пропорциона-
лен вычету подынтегральной функции в ее определенном полюсе.
Мы не станем выписывать здесь соответствующую формулу, поскольку
она аналогична формуле (45). Основное отличие состоит в том, что теперь
вместо связи (42) имеет место связь τ = t и, следовательно, характерное вре-
мя убывания экспоненты – это характерное время выхода метана из блоков
2
2 2
eff 1(1 )r
Rt
D
>
π + β
. (57)
Таким образом, в случае a << 1 как на промежуточном, так и на заключи-
тельном этапах время выхода метана из угля по порядку совпадает с диффу-
зионным временем (57). Это утверждение справедливо для любого соотноше-
ния f
c
V
g
V
≡ . Исключение составляет лишь случай g << γe, когда время выхода
мало (~ g2). Однако на практике последний случай почти не встречается.
На рис. 3 приведен схематический график зависимости времени выхода
метана из угля от отношения свободного объема к занятому.
Рис. 3. Зависимость времени выхода метана из угля от параметра g
Физика и техника высоких давлений 2006, том 16, № 2
113
5. Выводы
Рассмотрим практические аспекты задачи.
Формула (50) определяет равновесную концентрацию метана в закрытой
емкости. Величина γe согласно определению (43а) и в соответствии с имею-
щимися данными по открытой и закрытой пористости, а также растворимо-
сти (см. [1,4]) колеблется в пределах 0.1–1. Величина отношения свободного
и занятого объемов g на практике превосходит единицу. Произведение ρ0γe
есть не что иное, как начальная газоносность угля. Она составляет некото-
рую долю от природной газоносности, поскольку отторгнутый от массива
уголь не сразу попадает в бункер или другую емкость. На пути от забоя к
бункеру из угля может выйти более половины содержащегося в нем метана.
Природная метаноносность углей Донецкого бассейна колеблется в преде-
лах 3–40 m3 на тонну угля. Если принять начальную газоносность ρ0γe ~ 1 m3
на кубический метр угля, то в пересчете на давление это составит 105 Pa, т.е.
одну атмосферу. В то же время известно [5], что взрывоопасная концентра-
ция метана в воздухе соответствует 3% от атмосферного давления. Иными
словами, обычно равновесная концентрация намного превышает взрыво-
опасную. В таком случае особый интерес представляет время достижения
взрывоопасной концентрации, которая, как указывалось, равна 0.03n0 (n0 –
число Лошмидта). Приравнивая правую часть формулы (52) критической
концентрации, получим следующую оценку времени достижения взрыво-
опасной концентрации (в размерных единицах):
2 2 2 2
0
* 2 2
0
(0.03)~
fe
n g Lt
Dα γ ρ
, если
2 2
efff
L R
D D
>> (58)
И
2 2 2 2
0
* 2 2
eff0
(0.03)~
e
n g Rt
Dα γ ρ
, если
2 2
eff f
R L
D D
>> . (59)
Таким образом, время достижения критической концентрации обратно
пропорционально квадрату метаноносности и прямо пропорционально квад-
рату отношения свободного и занятого объемов. Оно также пропорциональ-
но бо′льшему из времен фильтрации и диффузии.
1. А.Д. Алексеев, В.В. Синолицкий, Т.А. Василенко и др., ФТПРПИ № 2, 99 (1992).
2. Т.А. Василенко, Т.Н. Мельник, Э.П. Фельдман, ФТВД 9, № 1, 91 (1999).
3. А.Д. Алексеев, Э.П. Фельдман, Т.А. Василенко, А.Н. Молчанов, Н.А. Калугина,
ФТВД 14, № 3, 107 (2004).
4. A.D. Alexeev, E.P. Feldman, T.A. Vasilenko, Fuel 79, 939 (2000).
5. Правила безопасности в угольных и сланцевых шахтах, Недра, Москва (1986).
Физика и техника высоких давлений 2006, том 16, № 2
114
E.P. Feldman, T.A. Vasilenko, N.A. Kalugina
METHANE EMANATION FROM COAL TO A CLOSED RESERVOIR:
THE ROLE OF DIFFUSION AND FILTRATION
A process of methane emanation from coal to a closed reservoir has been considered. The
role of diffusion and filtration in the process has been shown. Within the model under
consideration the formulated problem has been asymptotically analysed. An expression
has been obtained for the time of obtaining a dangerous concentration of methane in a
closed volume as a function of parameters of the fossil coal-methane system.
Fig. 1. Schematic showing of coal substance in a closed volume
Fig. 2. Dependence of methane concentration in a free volume on time for a >> 1
Fig. 3. Dependence of the time of methane emanation from coal on parameter g
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-70233 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0868-5924 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-27T21:06:23Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Донецький фізико-технічний інститут ім. О.О. Галкіна НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Фельдман, Э.П. Василенко, Т.А. Калугина, Н.А. 2014-10-31T17:37:04Z 2014-10-31T17:37:04Z 2006 Истечение метана из угля в замкнутый резервуар: роль явлений диффузии и фильтрации / Э.П. Фельдман, Т.А. Василенко, Н.А. Калугина // Физика и техника высоких давлений. — 2006. — Т. 16, № 2. — С. 99-114. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 0868-5924 PACS: 62.20.Dc, 76.60.−k https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/70233 Рассмотрен процесс истечения метана из угля в замкнутый резервуар. Показана роль явлений диффузии и фильтрации в этом процессе. В рамках предлагаемой модели дан асимптотический анализ решения поставленной задачи. Получено выражение для времени достижения опасной концентрации метана в замкнутом объеме в зависимости от параметров системы ископаемый уголь–метан. A process of methane emanation from coal to a closed reservoir has been considered. The role of diffusion and filtration in the process has been shown. Within the model under consideration the formulated problem has been asymptotically analysed. An expression has been obtained for the time of obtaining a dangerous concentration of methane in a closed volume as a function of parameters of the fossil coal-methane system. ru Донецький фізико-технічний інститут ім. О.О. Галкіна НАН України Физика и техника высоких давлений Истечение метана из угля в замкнутый резервуар: роль явлений диффузии и фильтрации Стiкання метану з вугілля в замкнутий резервуар: роль явищ дифузії та фільтрації Methane emanation from coal to a closed reservoir: the role of diffusion and filtration Article published earlier |
| spellingShingle | Истечение метана из угля в замкнутый резервуар: роль явлений диффузии и фильтрации Фельдман, Э.П. Василенко, Т.А. Калугина, Н.А. |
| title | Истечение метана из угля в замкнутый резервуар: роль явлений диффузии и фильтрации |
| title_alt | Стiкання метану з вугілля в замкнутий резервуар: роль явищ дифузії та фільтрації Methane emanation from coal to a closed reservoir: the role of diffusion and filtration |
| title_full | Истечение метана из угля в замкнутый резервуар: роль явлений диффузии и фильтрации |
| title_fullStr | Истечение метана из угля в замкнутый резервуар: роль явлений диффузии и фильтрации |
| title_full_unstemmed | Истечение метана из угля в замкнутый резервуар: роль явлений диффузии и фильтрации |
| title_short | Истечение метана из угля в замкнутый резервуар: роль явлений диффузии и фильтрации |
| title_sort | истечение метана из угля в замкнутый резервуар: роль явлений диффузии и фильтрации |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/70233 |
| work_keys_str_mv | AT felʹdmanép istečeniemetanaizuglâvzamknutyirezervuarrolʹâvleniidiffuziiifilʹtracii AT vasilenkota istečeniemetanaizuglâvzamknutyirezervuarrolʹâvleniidiffuziiifilʹtracii AT kaluginana istečeniemetanaizuglâvzamknutyirezervuarrolʹâvleniidiffuziiifilʹtracii AT felʹdmanép stikannâmetanuzvugíllâvzamknutiirezervuarrolʹâviŝdifuzíítafílʹtracíí AT vasilenkota stikannâmetanuzvugíllâvzamknutiirezervuarrolʹâviŝdifuzíítafílʹtracíí AT kaluginana stikannâmetanuzvugíllâvzamknutiirezervuarrolʹâviŝdifuzíítafílʹtracíí AT felʹdmanép methaneemanationfromcoaltoaclosedreservoirtheroleofdiffusionandfiltration AT vasilenkota methaneemanationfromcoaltoaclosedreservoirtheroleofdiffusionandfiltration AT kaluginana methaneemanationfromcoaltoaclosedreservoirtheroleofdiffusionandfiltration |