Теплофизика деформируемых твердых тел (Обзор). III. Модели мезоуровня
Статья представляет собой продолжение (третью часть) обзора «Теплофизика деформируемых твердых тел» (см. ФТВД № 1,2 за 2006 г.). Приведены основные термодинамические соотношения, используемые при построении мезомоделей, механические модели и модели переноса массы и тепла. Кратко рассмотрены модели э...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Физика и техника высоких давлений |
|---|---|
| Дата: | 2006 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Донецький фізико-технічний інститут ім. О.О. Галкіна НАН України
2006
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/70238 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Теплофизика деформируемых твердых тел (Обзор). III. Модели мезоуровня / И.Р. Венгеров // Физика и техника высоких давлений. — 2006. — Т. 16, № 3. — С. 7-26. — Бібліогр.: 31 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860003108880384000 |
|---|---|
| author | Венгеров, И.Р. |
| author_facet | Венгеров, И.Р. |
| citation_txt | Теплофизика деформируемых твердых тел (Обзор). III. Модели мезоуровня / И.Р. Венгеров // Физика и техника высоких давлений. — 2006. — Т. 16, № 3. — С. 7-26. — Бібліогр.: 31 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Физика и техника высоких давлений |
| description | Статья представляет собой продолжение (третью часть) обзора «Теплофизика деформируемых твердых тел» (см. ФТВД № 1,2 за 2006 г.). Приведены основные термодинамические соотношения, используемые при построении мезомоделей, механические модели и модели переноса массы и тепла. Кратко рассмотрены модели этих процессов в наносистемах.
The paper is a continuation (the third part) of the review «Thermal physics of deformable solids» (see High-Pressure Physics and Technology №1, 2, 2006). Basic thermodynamic relations used in constructing the mesomodels, mechanical models as well as mass and heat transfer models have been considered. Models of the processes in nanosystems are discussed in brief.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:37:22Z |
| format | Article |
| fulltext |
Физика и техника высоких давлений 2006, том 16, № 3
7
PACS: 05.70.�a, 62.50.�p
И.Р. Венгеров
ТЕПЛОФИЗИКА ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
(Обзор)
III. МОДЕЛИ МЕЗОУРОВНЯ
Донецкий физико-технический институт им. А.А. Галкина НАН Украины
ул. Р. Люксембург, 72, г. Донецк, 83114, Украина
Статья поступила в редакцию 27 января 2006 года
Статья представляет собой продолжение (третью часть) обзора «Теплофизика де-
формируемых твердых тел» (см. ФТВД № 1,2 за 2006 г.). Приведены основные термо-
динамические соотношения, используемые при построении мезомоделей, механические
модели и модели переноса массы и тепла. Кратко рассмотрены модели этих процессов
в наносистемах.
1. Термодинамические соотношения
1.1. Термодинамика деформирования
Методы термодинамики широко применяются в моделях деформирова-
ния твердых тел [3,18,30,31,34,36,40,44,47,146,160,162�168]∗ . Структурными
элементами этих методов являются: термические и калорические уравнения
состояния, начала термодинамики, формулы для свободной энергии и дру-
гих потенциалов, уравнения Максвелла [169].
Классический вывод уравнения состояния основан на теории вириала
Клаузиуса [118] и дает
PV + G(V) = γEa, d ln
d ln
a
V
νγ = − . (29)
Здесь P � внешнее давление на твердое тело, V � его объем, d( ) ( )
d
G V V W V
V
=
(где W(V) � потенциальная энергия грамм-атома кристалла), γ � постоянная
Грюнайзена, Ea � энергия колебаний атомов, νа � их частота. При P = 0 из (29)
следует закон Грюнайзена [118]. Более общий вывод (29) дан Дебаем
[93,118]. Это уравнение приводится к виду, аналогичному уравнению Ван-
дер-Ваальса [93]:
∗ В данной и последующих частях обзора используется сквозная нумерация литера-
турных источников, формул и таблиц (начало см. в № 1,2 ФТВД за 2006 г.).
Физика и техника высоких давлений 2006, том 16, № 3
8
(P + Pint)(V � V0) = zγEa, 0V Vz
V
−= , zγ = 2/3. (30)
Здесь Pint � внутреннее давление в кристалле (за счет межатомного взаимо-
действия), V0 � свободный объем кристалла.
Часто встречается утверждение, что уравнением состояния твердого тела
является закон Гука: σ = Еε, где σ, Е, ε � соответственно напряжение, мо-
дуль Юнга и относительное удлинение тела. В [166], в частности, это урав-
нение записывается в виде l = l(σ, T) при P,V = const. Затем длину стержня l
разлагают в ряд и в линейном по σ приближении получают вышеприведен-
ную формулу. При этом модуль Юнга определяют соотношением
0
T
E l
l
∂σ = ∂
, (31)
где Е � модуль Юнга, являющийся постоянной материала, l0 � начальная
длина стержня. Ясно, что (31) некорректно, а связь закона Гука с уравнени-
ем состояния требует отдельного анализа.
Калорическое уравнение состояния упругодеформированного стержня,
следующее из начал термодинамики, приведено в [166]:
TdS = dU + PdV � σΩdl. (32)
Здесь T, S, U � соответственно температура, энтропия и внутренняя энергия;
σ � напряжение; Ω � площадь поперечного сечения стержня. Отнесение в
(32) термодинамических функций к единице объема недеформированного
стержня и использование уравнений Максвелла приводит к соотношениям
2d( , ) ( ,0) 1
d 2V V
T EU T U T
E T E
σ σ = + −
,
iV(T,ε) = iV(T,0) � Eε,
2d( , ) ( ,0)
d 2V V
ES T S T
T E
σσ = − .
Из (33) следует, что энтропия и внутренняя энергия при деформировании возрас-
тают (поскольку dE/dT < 0), причем как при растяжении, так и при сжатии
стержня; энтальпия iV при сжатии возрастает (ε < 0), а при растяжении � убывает
(ε > 0). Численные оценки для стального стержня при комнатной температуре и
σ = 20 kg/mm2 показали, что ∆UV ≈ 0.023 cal/cm3, а ∆iV ≈ �46.8 cal/cm3 [166].
Теплоемкости упругодеформированного стержня (при σ = const � Cσ (ана-
лог СР), при ε = const � Cε (аналог СV)) находятся из (32):
SC T
Tσ
σ
∂ = ∂
, SC T
Tε
ε
∂ = ∂
. (34)
В итоге получено [166]:
22
3
d
d
T EC C
TEσ ε
σ − = ρ
, Cσ ≈ Cε ≈ CP ≈ CV, (35)
(33)
Физика и техника высоких давлений 2006, том 16, № 3
9
где ρ � плотность материала. Второе соотношение (35) следует из первого в
силу слабой зависимости Е от температуры:
[(dE/dT)(T/E)]2 << 1.
Известны два вида упругой деформации: изотермическая («медленная»,
при dT = 0) и адиабатическая («быстрая», при dS = 0). В первом случае из
(32) при V = const следует
TQ T S ασ∆ = ∆ =
ρ
,
0 ,
1
P
l
l T σ
∂ α = ∂
, (36)
где ∆Q � теплоотдача сжатого стержня (на единицу веса), α = β/3 � коэффи-
циент линейного расширения. Во втором случае начальная температура
стержня Т0 изменяется по закону
0 exp
P
T T
C
ασ= − ρ
. (37)
Если нельзя пренебречь изменением объема стержня (что имело место
ранее), необходимо наряду с относительным удлинением стержня ε = ∆l/l0
учитывать и относительное изменение его сечения (введением ε1 = ∆l1/l1, где
l1 � сторона квадратного сечения стержня). Тогда относительное изменение
объема выражается формулой
0
d (1 2 )dV
V
= − ν ε , 1εν =
ε
, (38)
где V0 = l0 l1
2
� начальный объем, ν � коэффициент Пуассона (ν ≈ 0.25�0.30).
Теперь, подставив (38) в (32) и осуществив замену
σ → σ � (1 � 2ν)Р, (39)
все ранее приведенные формулы можно записать для случая V ≠ const. Учет
изменения объема стержня позволяет выявить влияние гидростатического
давления Р на параметры деформирования.
В моделях механики сплошной среды, применяемых для описания про-
цессов на мезо- и макроуровнях, используется континуальный подход, в
рамках которого термодинамика деформирования изложена в [36].
Работа сил внутренних напряжений в единице объема тела равна
δR = � σikδuik, (40)
где δ � символ малого изменения, σik � тензор упругих напряжений, uik �
тензор малых деформаций (i, k � индексы декартовых координат),
1
2
i k
ik ki
k i
u uu u
x x
∂ ∂= = + ∂ ∂
. (41)
Основное термодинамическое соотношение (32) теперь принимает вид
Физика и техника высоких давлений 2006, том 16, № 3
10
dU = TdS + σikduik, (42)
где все величины отнесены к единице объема недеформированного тела.
Из (42) следует
ik
ik ikS T
U F
u u
∂ ∂σ = = ∂ ∂
. (43)
Разложение свободной энергии F в ряд по степеням uik с точностью до чле-
нов второго порядка приводится к виду
2
21
3 2ik ik ll ll
KF u u u = µ − δ +
, (44)
где µ и K � соответственно модули сдвига и всестороннего сжатия (µ, K > 0).
Из (43), (44) следует
12
3ik ll ik ik ik llKu u u σ = δ + µ − δ
. (45)
Обращение (45) для малых uik дает закон Гука
1 1 1
9 2 3ik ik ll ik ik llu
K
= δ δ + σ − δ σ µ
. (46)
Связи параметров деформаций в изотермическом и адиабатическом при-
ближениях
2
ad
1 1
p
T
K K C
β= − ,
2
ad 1
9 p
ETE E
C
β= +
,
µad = µ, ( )
2
1
ad 1 1
9 p
ET
C
− βν = ν + + ν
,
где величины с индексом ad и без индекса соответствуют адиабатическому и
изотермическому случаям.
Пластическое деформирование, в отличие от упругого, необратимо, что
требует использования аппарата неравновесной термодинамики [11,30,31,36,
167,168,170,171]. Пластические деформации протекают в неоднородных по-
лях напряжений, температур и химического потенциала, что может быть
описано на основе первого начала, записанного в виде [167]:
ρTdS = ρdU � σikdεik � ϕ idzi + Akdak, (48)
где S, U � удельная энтропия и внутренняя энергия; σik, εik � соответственно
тензоры напряжений и деформаций; ρ, Т � плотность и температура металла;
ϕ i, zi � локальные значения химпотенциала и концентрации компонентов; Ak,
ak � обобщенные силы и координаты. Из (48) следует основное в неравно-
весной термодинамике уравнение баланса энтропии
(47)
Физика и техника высоких давлений 2006, том 16, № 3
11
( )( )
2
i i i
l
B D
S S q J ST
t t T tT
∂ ∂ ∂ ρ = ρ − ∇ − ∇ ϕ − ϕ + ρ ∂ ∂ ∂
. (49)
Первый член в правой части (49) описывает вязкую диссипацию механиче-
ской энергии. Если можно пренебречь изменением объема металла (что для
пластической деформации общепринято), этот член принимает форму
σ′ikd ikε! , где σ′ik � тензор диссипации упругой энергии [36], ikε! = dεik/dt. Во
втором члене, описывающем энтропогенез за счет теплопереноса, плотность
потока тепла qi = �λik∂T/∂xk (λik = λki). Третий член описывает массоперенос,
в нем ( )( )lϕ − ϕ � избыточный химический потенциал (ϕ (l) � химпотенциал в
зонах трещинообразования). Плотность массопотока Ji
(j) = � γik∂(ϕ j � ϕ )/∂xk,
где γik � кинетический коэффициент массопереноса (для диффузии γik ~ Dik).
Последний член в правой части (49) характеризует дислокационный вклад в
производство энтропии. Плотность потока дислокаций
( ) ( )D
D iki
k
Lb
x
∂ ϕ − ϕρ ω = − γ
ρ ∂
, (50)
где b � модуль вектора Бюргерса, ρD � плотность дислокаций, ω � средняя
скорость их движения, L � характерный размер кристалла. Выражение для
grad(ϕ D � ϕ ) содержит слагаемые ~ gradσ и gradT (а в электрическом поле
появляется и gradϕ Е).
Развитие процесса пластической деформации определяется соотношени-
ем конкурирующих потоков энергии [167]. Оценки вероятностей различных
необратимых процессов осуществлены по соответствующим временам ре-
лаксации [167]. Оценка температурной зависимости времен релаксации теп-
лопереноса τλ и диффузии τD позволила выявить влияние на пластическую
деформацию тепло- и массопереноса [168]. При низких температурах уста-
новлено определяющее влияние теплопроводности. При высоких (близких к
Tm) температурах коэффициент самодиффузии D резко возрастает, что при-
водит к определяющему влиянию диффузии на пластические деформации. В
этих предельных ситуациях дислокации не играют существенной роли; их
влияние проявляется в области промежуточных температур (от дебаевской
до несколько меньших температуры плавления).
Тепловой режим процесса деформирования значительно влияет на свой-
ства материалов. Оценка этого влияния на процесс низкотемпературного
гидропрессования осуществлена в [172]. Использовались элементарные (ал-
гебраические) тепловые балансы с учетом работы пластической деформации
Аpl и работы сил трения Аfr. Приращение температур в центральной части
образца было найдено равным 140°С, а в поверхностных слоях � 246°С, что
удовлетворительно соответствовало экспериментальным данным.
Для определения тепловых эффектов пластических деформаций, в особен-
ности при технологических процессах, сопровождающихся трением контак-
Физика и техника высоких давлений 2006, том 16, № 3
12
тирующих шероховатых поверхностей, используют чисто эмпирические фор-
мулы и константы [67,70,71,74,94,95,173]. Для случая сварки давлением авто-
ры [173] исследовали выходы полос скольжения на поверхность, интерпрети-
руя их как микровыступы дислокационной природы. При обработке давлени-
ем плотность дислокаций возрастает на 5�6 порядков [46]. Образование мик-
ровыступов влечет разрыв связей и сопровождается энерговыделением ~ 5
eV, что по оценке [173] эквивалентно тепловому источнику qi ~ 10�8 cal/s.
Общая тепловая мощность таких источников qΣ = 108N1/3εqi (ε � деформация
образца, N � объемная концентрация исходных источников дислокаций).
1.2. Термодинамика массопереноса
Рассмотрим термодинамические соотношения для концентрации вакан-
сий и плотности их потоков, определяющих величины коэффициентов диф-
фузии [44] в металлах, подвергаемых различным внешним воздействиям.
Внешние поля, увеличивая энергию Гиббса, переводят металл в метаста-
бильное состояние, что изменяет начальную концентрацию вакансий:
C = C0exp[�(E′ � E)/kT]. (51)
Здесь E′ � E � изменение энергии образования вакансий, определяемое энер-
гией Гиббса ϕ g, приходящейся на один атом кристалла. При деформации ме-
талла внешней силой энергия Гиббса Φ = F � σikuik. Для всестороннего сжа-
тия и растяжения, когда σik = ∓ pδik, из (51) следует
C = C0exp[∓ (pVa/kT)], (52)
где «�» относится к сжатию, а «+» � к растяжению, Va ~ a3 � активационный
объем. Для однородной упругой деформации (растяжения образца вдоль
оси) ∆Φ = σ2/2Е и (52) принимает вид
C = C(σ)= C0exp[(σ2Va/2ЕkT)], (53)
где σ = σzz, Е � модуль Юнга.
В неоднородном температурном поле
σik = Kα(T � T0)δik + Kullδik + 12
3ik ik llu u µ − δ
, (54)
где K � модуль всестороннего сжатия, α � коэффициент линейного расши-
рения. Изменение энергии Гиббса теперь будет ∆Φ′ = σ2/2Е + ∆ΦТ. Соответ-
ствующее увеличение концентрации вакансий (по сравнению с (53)) описы-
вается множителем exp[∆ΦТ /kT], где ∆ΦТ ≅ ασЕ(Т � Т0)/(1 � 2ν).
В ряде случаев деформация металлов определяется в основном диффузией.
При этом дислокационные потоки невелики, а градиент концентрации вакан-
сий большой. Образующийся поток вакансий и противоположный ему поток
атомов ведут к деформации � диффузионной ползучести. Методы термодина-
мики необратимых процессов дают выражение для плотности потока массы
Физика и техника высоких давлений 2006, том 16, № 3
13
( )
( )
2
,
,
/
grad
/ 2
a T
M
a T
C
j D
C E
σ
σ
∂ ∂ σ= −ρ ∂ϕ ∂
υ
, (55)
где ρ � плотность металла, D � коэффициент диффузии, υ � удельный объем, Сa �
концентрация атомов металла, ϕ = ϕ 0 + kTlnCa � энергия Гиббса вакансии. В (55)
( ) 3
,/ a TC V aσ∂ ∂ =∼ υυ , ( ) ,/ /a aTC kT Cσ∂ϕ ∂ = . В итоге (55) принимает вид
2
grad
2
a
M
V Сj D
kT E
σ = −ρ
υ . (56)
Для поликристалла со средним размером зерен L из (56) следует
jM ≈ (βSDVυСaσ
2)/2kTEL, (57)
где β � числовой коэффициент. Поток массы связан со скоростью деформа-
ции ε! : а) при диффузии по всей площади поперечного сечения зерна jM =
= Сaρε! L; б) при диффузии по границам зерен 2a
M
Сj L= ρε
δ
! (δ � толщина
границы зерна). Для случаев а) и б) имеем соответственно
2
22
DV
kTEL
σ′ε = α! υ ,
2
32
D V
kTEL
′ δσ′′ε = α! υ . (58)
Здесь α′ , α″ � числовые коэффициенты, D′ � коэффициент зернограничной
диффузии. Первая из формул (58) � модификация известной формулы На-
барро�Херринга
2
10DV
kTL
ε =! υ . (59)
На основе этих формул возможен анализ явления сверхпластичности [44].
При процессах сложной многокомпонентной диффузии методы равновес-
ной и неравновесной термодинамики весьма эффективны [7,8,16,39,41,43].
Рассмотрим изотермическую диффузию в бинарной системе, включающей
вакансии и атомы двух видов [41]. Уравнения Онзагера для потоков:
J1 = �L11∇ (µ1 � µ3) � L12∇ (µ2 � µ3)
J2 = �L12∇ (µ1 � µ3) � L22∇ (µ2 � µ3) .
Здесь Lik � кинетические коэффициенты, µk � химические потенциалы ато-
мов сортов А (k = 1), В (k = 2) и вакансий (k = 3). Рассматриваемый твердый
раствор считается идеальным: µi = ψi(T) + kTlnCi, ∇µ i = kT∇ lnCi. При соблю-
дении условий независимости потоков атомов каждого сорта от градиента
концентрации другого сорта (L12 = 0) и равновесности вакансий (Сυ = Сυ
(0),
∇µ 3 = 0) из (60) следует первый закон Фика
*ii
i i i i
i
LJ kT C D C
C
= − ∇ = − ∇ . (61)
(60)
Физика и техника высоких давлений 2006, том 16, № 3
14
Для реальных растворов вводится термодинамическая активность ai: µi = µi
st +
+ kTlnai, ai = γiCi (γi � коэффициент активности). Это вместо (61) дает
* ln1
ln
i
i i i
i
J U kT C
C
∂ γ= − + ∇ ∂
. (62)
Как следует из (62), при ∂lnγi/∂lnCi < �1 поток Ji меняет знак � эффект «вос-
ходящей» диффузии. Основные соотношения теории диффузии для реаль-
ных растворов приводятся к виду
i i i i iJ D C C= − ∇ + υ , *
i i iU F=υ , Fi = �kTlnγi. (63)
1.3. Термодинамика теплопереноса
В отличие от процессов деформирования и диффузии, для описания кото-
рых используют как классическую термодинамику (термостатику), так и тер-
модинамику неравновесных процессов, модели теплопроводности в твердых
телах базируются исключительно на последней. Основы термодинамики не-
равновесных процессов и различные модели (типы краевых задач) теплопро-
водности широко представлены в литературе [11,25�31,34,35,132�138,151,153].
Некоторые модели теплопереноса в мезосистемах будут рассмотрены далее.
В последнее время в основаниях неравновесной термодинамики обнару-
жены логические противоречия, для устранения которых предлагаются но-
вые подходы [174,175]. Однако многие проблемы еще ждут своего решения,
что требует модернизации существующей парадигмы [117].
2. Механические модели
2.1. Модели дефектов
Такие дефекты, как дислокации, дисклинации, микропоры и микротрещи-
ны относятся к объектам мезоуровня. Их механические модели строятся как
микро- и макромодели или их комбинации [1,3,5,9,10,12,13,17,20,23,33,44,
47,103�105,112,115,125�127,141,144,145,158,160,162�164].
Микромодели базируются на классической и квантовой механике. Рас-
смотрим кратко модели кристаллических решеток с дефектами [17�19,36,
47]. Влияние локальной неоднородности решетки (дефекта, примесного
атома) на ее колебания изучалось в [176]. Рассматривалась простая решетка,
все колебания которой поляризованы в одном направлении. Атом, располо-
женный в начале координат, имеет отличную от других массу. Уравнение
колебаний (плоских волн) записывалось в виде
2( ) ( ) 0A m′−
′
′χ − ω χ =∑ r r
r
r r . (64)
В работе [177] авторы, отмечая, что любая микромодель дефекта содержит
ряд неизвестных атомных коэффициентов (что ведет к иллюзорности резуль-
татов, получаемых на основе этой модели), вместо (64) используют уравнение
Физика и техника высоких давлений 2006, том 16, № 3
15
2
2
� 0L
t
∂ + =
∂
u u , (65)
где ( , )t=u u r � вектор смещения атомов, зависящий от дискретного аргу-
мента i in=r a ( 1,3i = , ni � целые числа), ia � основные трансляционные пе-
риоды решетки. Матрица �L является разностной: Lrr′ = L(r � r′). Уравнение
(65) далее приводится к виду
2 �( ) ( ) ( ) ( )
'
L r L ' 'ω χ = χ = − χ∑
r
r r r r , (66)
откуда следует
0( ) ei'χ = χ krr , 2 2
0 ( ) ( ) ei
'
Lω = ω =∑ kr
r
k r . (67)
Учет наличия в решетке точечного дефекта (с координатой jr ) осуществля-
ется членом � ( )jR r n , где матрица локального возмущения �R действует толь-
ко на ближайшую окрестность точки jr и в координатно-частотном пред-
ставлении имеет вид
0
� �( ) ( , )j j jR R 'ω= − −r r r r r . (68)
Далее авторы [177] рассматривают решетки с дефектами: изотопом с массой
m′ ≠ m, атомом замещения, вакансией, дислокацией.
К классическим, но не утратившим своего значения, относится и модель
дислокации Я.И. Френкеля и Т.А. Конторовой [17,178]. Межатомное взаи-
модействие ближайших соседей одномерного кристалла (атомной цепочки)
рассматривается в гармоническом приближении. Энергия кристалла опреде-
ляется не только относительным смещением соседних атомов, но и абсо-
лютным смещением атомов во внешнем потенциальном поле с энергией
( )n
n
W F u=∑ , где F(u + a) = F(u). Для малых смещений F(u) = 0.5Ku2, K =
= F ′′ (0) > 0. Энергия W описывает воздействие несдвинутой половины кри-
сталла на расположенные вдоль оси Ox атомы. Функция F(u) нелинейна:
2( ) sin uF u A
a
= π , А = const. (69)
Уравнение движения атомной цепочки
0 1 1
d( 2 )
dn n n n
n
Fmu u u u
u+ −= α − + −!! . (70)
Для случая длинных волн (λ >> a) переходят к континуальной модели, осу-
ществляя трансформацию мезомодели (70) в макромодель вида
2 2
2
02 2 ( )u uS f u
t x
∂ ∂= +
∂ ∂
, 2 20
0S a
m
α= , 1 d( )
d
Ff u
m u
= − . (71)
Физика и техника высоких давлений 2006, том 16, № 3
16
Переход к континуальному описанию оказался весьма эффективным
приемом, позднее неоднократно использовавшимся. Упругие поля в кри-
сталлах с дефектами изучаются, как правило, методами теории упругости
[9,17,18,36,179]. В частности, таким образом были описаны упругие взаимо-
действия дислокаций и их ансамблей, движение дислокаций в кристалле
[17,36]. Взаимодействие упругих полей мезообъектов с температурными по-
лями и полями потенциала массопереноса рассматриваются редко [18].
2.2. Диффузионно-вязкое течение
Пластическое деформирование твердых тел уже было ранее рассмотрено
(с термодинамической точки зрения). Поскольку пластичность связывают с
движением дислокаций, возможен и механический подход [10,12,17,18,20,
24,36,47]. Наряду с пластическим течением кристаллов под большими на-
грузками, возможна иная форма движения � диффузионно-вязкое течение
(ДВТ), обусловленное малыми нагрузками [47]. Она связана с диффузией
вакансий при больших температурах.
Классическая работа [180] посвящена задаче о «залечивании» изолиро-
ванной поры в кристалле, что важно для физики спекания и физики прочно-
сти. Рассматривается случай ρ = R/L >> 1, где R, L � соответственно радиус
поры и характерный линейный размер элемента кристаллической структуры
(зерна, блока мозаики и др.). Качественную картину процесса впервые дали
Набарро и Херринг [41]. Макроскопическая модель ДВТ строится на соот-
ношении, связывающем усредненный тензор напряжений Pik с тензором
скоростей деформации Vik:
Pik = P0δik + αiklmVlm, 1
2
i k
ik
k i
V VV
x x
∂ ∂= + ∂ ∂
, Vii = 0. (72)
Здесь «вязкий» тензор αiklm зависит от формы и размера зерен (структурная
анизотропия), а условие Vii = 0 фиксирует сохранение объема. Значения Pik и
Vik усреднены по малому макрообъему. Уравнение равновесия, дополняю-
щее (72): ∂Pik/∂хk = 0. В случае структурной изотропии «вязкий» тензор αiklm
сводится к скаляру η (коэффициенту вязкости):
Pik = P0δik + ηVik, P0 = Pll/3. (73)
Поскольку поток атомов равен противоположному потоку вакансий, усред-
ненное значение ikV можно записать в виде
2
2
c
ik
i k
сV D D
x x L
∆∂
∂ ∂
$ $υ υ , (74)
где Dυ � коэффициент диффузии вакансий, L � характерный размер блока
(зерна), а вариация концентрации c∆ на поверхности блока (зерна) связана с
несферической частью тензора напряжения:
Физика и техника высоких давлений 2006, том 16, № 3
17
0c nnC P
kT
Ω∆ = , Pnn = Piknink, Ω = a3, (75)
где С0 � равновесная концентрация вакансий вблизи границы. Из (73)�(75)
следует:
2kT L
D
η =
Ω
, D = C0Dυ, (76)
что было ранее получено Херрингом. Далее в [180] на основе приведенных
уравнений получено:
2 d ( ) 1 2
( ) d ( )
R t P
R t t R t
γ= − + η
,
где R = R(t) � радиус поры, γ � поверхностное натяжение, Р � внешнее дав-
ление. Интеграл этого уравнения позволяет найти время «схлопывания» по-
ры t* (R(t*) = 0):
t* =
02 ln 1
2
R P
P
η + γ
. (77)
Для малых давлений (P << 2γ/R0)
0( )R t R tγ= −
η
. (78)
Соотношение (78) было экспериментально подтверждено. Для кристалличе-
ских тел в области предплавильных температур η ≈ 1012 P [180], а для золо-
той проволоки при комнатной температуре было получено η ≈ 1014 P [41]. В
дальнейшем были построены модели ДВТ в поликристаллических телах
[181], в пористых телах [182] и др.
3. Модели массопереноса
3.1. Диффузионное спекание
Процессы массопереноса при диффузионном спекании (т.е. уплотнении по-
ристого тела при высоких температурах) весьма разнообразны [41,47,48], одна-
ко доминирующий механизм � диффузия [48]. Теоретические основы физики
спекания были заложены в работах Я.И. Френкеля, Б.Я. Пинеса, И.М. Лифши-
ца, Я.Е. Гегузина и др. [41,47]. Уплотнение пористого тела («самопроизволь-
ное») обусловлено, по Я.И. Френкелю, стремлением к уменьшению свободной
поверхностной энергии. Кинетику процесса определяет скорость вязкого тече-
ния (ползучесть пористой среды). Главную роль играет капиллярное (лапласо-
во) давление на искривленных участках свободных поверхностей. Б.Я. Пинес
предложил применить к «пару вакансий» формулу Гиббса�Томсона для избы-
точного давления пара над изогнутой поверхностью жидкости
0
P
P rkT
∆ σΩ= , (79)
Физика и техника высоких давлений 2006, том 16, № 3
18
где σ � поверхностное натяжение, r � радиус кривизны, Ω � атомный объем.
Вакансии «испаряются» в кристалл диффузионным путем.
Выделяют три стадии процесса спекания. На первой происходит взаим-
ное притяжение частиц и увеличивается площадь контактов между ними. На
второй стадии еще нет замкнутых пор, но межчастичные контакты уже от-
сутствуют и граница между структурными элементами уже «забыла» на-
чальное положение межчастичных границ (рекристаллизационное смещение
границ). На третьей стадии в теле имеются замкнутые изолированные поры
и уплотнение состоит в уменьшении их числа и объема.
На первой стадии, когда формируются межчастичные контакты, вблизи
вогнутых поверхностей контактных перешейков концентрация вакансий по-
вышена, что увеличивает атомную диффузию и, как следствие, хорду пере-
шейка. Массоперенос осуществляется объемной и поверхностной диффузи-
ей и через газовую фазу. Для модельной геометрии контактов «сфера�сфе-
ра» и «сфера�плоскость» Ж. Кучинский получил xn = Ait (где х � хорда пе-
решейка, t � время, n = 3 для переноса через газовую фазу, n = 5 для объем-
ной диффузии, n = 7 для поверхностной диффузии). Величины Ai зависят от
параметров соответствующих процессов (упругости пара, коэффициентов
объемной и поверхностной диффузии, поверхностного натяжения).
В случае вязкого течения x2 ~ At, A ~ σ/η, где η � коэффициент вязкости,
связанный с коэффициентом объемной диффузии соотношением
2
kT l
D a
η
$ . (80)
Здесь D � коэффициент объемной диффузии, l � характерное среднее рас-
стояние между источниками и стоками вакансий, а � период решетки.
Кинетическая кривая усадки при спекании имеет быстрый рост на первой
стадии, когда плотность прессовки еще мала и процесс идет в зонах контак-
та частиц. На второй стадии, когда плотность возросла и становится сущест-
венным диффузионное взаимодействие между порами, процесс резко замед-
ляется. Интенсивность усадки на первой стадии связана с наличием двух па-
раллельных механизмов: взаимного скольжения частиц, определяемого ко-
эффициентом граничной диффузии вдоль поверхности контакта; взаимной
подстройкой формы частиц под ближайшее окружение, идущей со скоро-
стью объемной диффузии.
3.2. Диффузия по границам
Этим термином будем называть обширный класс процессов: диффузию
вдоль протяженных дефектов, по поверхности кристалла, по границам зерен
[7,15,39,41�43,181,183].
Примером диффузии вдоль протяженных дефектов является диффузия в
глубь кристалла, содержащего одиночную дислокационную трубку, нормальную
поверхности [39]. Уравнения массопереноса в модели имеют вид
Физика и техника высоких давлений 2006, том 16, № 3
19
2 2
1 1 1 1
1 2 2
1C C C CD
t r rr x
∂ ∂ ∂ ∂= + + ∂ ∂∂ ∂
, t > 0, x > 0, r ≤ a; (81)
2 2
2 2
1C C C CD
t r rr x
∂ ∂ ∂ ∂= + + ∂ ∂∂ ∂
, t > 0, x > 0, r > a. (82)
Здесь индекс 1 относится к дислокационной трубке с радиусом а, величины
без индекса � к «хорошей» (бездефектной) области кристалла. Условие со-
пряжения полей концентраций С1 и С на границе дефекта имеет вид
1
1
r a r a
C CD D
r r= =
∂ ∂=
∂ ∂
. (83)
Эта модель предполагает, что диаметр дислокационной трубки много боль-
ше постоянной решетки (т.к. в масштабе ячейки кристалла понятия концен-
трации и коэффициента диффузии не имеют смысла). Вдоль дислокации
междоузельная диффузия сильно облегчена, а вакансии уходят в глубь кри-
сталла. Эксперименты подтверждают наличие зон облегченной диффузии
вокруг скоплений линейных дислокаций.
В приповерхностном слое кристалла диффузия специфична. Поток массы
вдоль слоя толщиной δ, примыкающего к поверхности, можно записать в виде
Cj D
x
δ
δ δ
∂= −
∂
, (84)
где Dδ � эффективный коэффициент диффузии в δ-слое, много больший ко-
эффициента объемной диффузии D: Dδ >> D. Фактически перенос массы
вдоль поверхности кристалла осуществляется тремя путями: через газовую
среду, по адсорбционному слою и через объем кристалла. Построение мате-
матических моделей встречает ряд трудностей: необходимость учета обра-
зования и распада на поверхности комплексов, неоднородность поверхности
и ее нестационарность.
Диффузия по границам зерен в кристалле (зернограничная диффузия)
описывается моделями, развивающими известную модель Фишера [15,39,41].
Более подробно рассмотрим их далее, поскольку они играют определяющую
роль при изучении процессов в наносистемах [15,183].
4. Модели теплопереноса
4.1. Теплоперенос в тонких пленках
Тепловые эффекты в тонких пленках, наносимых (выращиваемых) на по-
верхности кристаллов (подложек), играют большую роль в метрологии,
твердотельных экспериментах и технологиях [14,39,42,49,69,77,78,85,114,
116,119,184�188]. Толщины таких пленок, как правило, соответствуют диа-
пазону характерных размеров мезосистем ~ 10�103 nm (10�6�10�4 cm).
Физика и техника высоких давлений 2006, том 16, № 3
20
Характерные времена процессов теплопереноса τ0 в этих пленках также
малы. По данным [187] для пленок с δ ~ 10�5 cm τ0 ~ 10�6 s. Время прогрева ла-
зерным лучом пленки такой толщины по расчетам составляет ~ 10�10 s [188].
В экспериментах с тонкой проводящей пленкой (резистивным элементом) с
толщиной δ ~ 10�6 cm измерение температуры требовало времени τ0 ~ 10�6 s.
Согласно [189] температура поверхности твердого тела � это температура
приповерхностного слоя толщиной d0 ~ 10�4 cm, которая может быть изме-
рена с погрешностью δT ~ 10�3 K.
Использование формулы А. Эйнштейна для относительной флуктуации
температуры
1/ 2
2 2 5
0( ) 10T T − ε = δ =
(что при Т0 = 300 K соответствует
δТ ≈ 0.3⋅10�2 K) позволило рассчитать характерные размеры l0 и времена
температурной макрорелаксации τr для ряда материалов [117]. Для стали
(0.1% С), меди и алюминия соответственно l0 = 3.3⋅10�5; 3.4⋅10�5; 3.9⋅10�5 cm,
а τr = 45⋅10�10; 5⋅10�10; 9⋅10�10 s. Параметры l0 и τr интерпретируются как
минимальные макропараметры, «отфильтровывающие» флуктуации темпе-
ратуры.
Рассмотрим конкретные модели теплопереноса в тонких пленках [186�
188]. При моделировании тепловых измерений в гиперзвуковых ударных тру-
бах рассматривались системы пленка�подложка в одномерном приближе-
нии. Краевая задача теплопереноса с граничным условием II рода на по-
верхности пленки (задавалась плотность теплового потока) формулирова-
лась как задача теплопроводности в двухслойной системе. На границе плен-
ки с полубесконечным телом (подложкой) задавались условия сопряжения
температурных полей и потоков тепла (граничные условия IV рода). Тепло-
физические параметры слоев были различными. Для различных вариантов
граничных условий на поверхности пленки были найдены решения и пара-
метры систем [187].
Расчет температуры тонкой металлической пленки в процессе ее осажде-
ния на подложку был выполнен в [186]. Одномерная задача с нелинейным
граничным условием решалась приближенно � интегральным методом
Т. Гудмена.
Моделирование процесса оптической записи информации [188] базирова-
лось на анализе теплопереноса в двухслойной системе поглощающая пленка�
прозрачная подложка, нагреваемой лазером. Специфика задачи состояла в не-
обходимости учета двух этапов передачи энергии � к электронной и к ионной
подсистемам. Энергия лазерного луча вначале поглощается электронной под-
системой, а последующая ее передача ионной подсистеме происходит с за-
паздыванием. Для полупроводников требуется учет зависимости теплофизи-
ческих параметров от температуры, т.е. решение нелинейной задачи теплопе-
реноса. Задача решалась численно, методом сеток. Сближение температур
электронной и ионной подсистем происходило при τ ~ 10�8 s.
Физика и техника высоких давлений 2006, том 16, № 3
21
4.2. Температурные поля в облучаемых телах
К таковым относим тела, подвергаемые обработке концентрированными
(интенсивными) источниками энергии: лазерным излучением, искровыми и
дуговыми разрядами, ионными пучками, радиацией и др. [14,49,61,69,77�
79,85,184,188,190]. Специфика моделей теплопереноса в том, что температур-
ная динамика определяется не только краевыми условиями, но и мощностью
неоднородно распределенных источников тепла � поглощенного излучения.
Возможны сильные локализованные перегревы, ведущие к фазовым перехо-
дам (плавление, испарение с поверхностей).
Анализ механического и термического поведения материала, через кото-
рый проходят ядерные частицы [190], опирается на известный факт: более
90% энергии тяжелой частицы, проходящей через вещество, отдается элек-
тронам. Поскольку теплообмен электронной и решеточной подсистем за-
труднен, разогрев решетки в целом мал, однако возможны сильные локаль-
ные «вспышки» температуры. Поскольку время пролета частицы сравнимо с
временем релаксации в твердом теле, источник тепла можно считать мгно-
венным. Температуры электронной Te и решеточной Tj подсистем удовле-
творяют уравнениям
2 ( )e
e e e e j
TC T T T
t
∂ = λ ∇ −α −
∂
; 2 ( )j
j j j e j
T
C T T T
t
∂
= λ ∇ + α −
∂
, (85)
где Ce, Cj, λe, λj � соответственно коэффициенты электронной и решеточной
подсистем, α = π2mS2n/6τ0T0 � коэффициент теплопередачи между подсис-
темами, T0 � температура Дебая, τ0 � время свободного пробега электрона
при T = T0, m � масса электрона, S � скорость звука, n � число свободных
электронов в единице объема.
Оценка температур «вспышки» и размеров областей их локализации
[190] дала: Te ≈ 105 K, Tj ≈ 104 K для цилиндрических областей длиной L ≈
≈ 10�3 cm и радиусами ρе ≈ 10�5 cm, ρj ≈ 10�6 cm. Радиус образующейся рас-
плавленной зоны ρm ≈ 102а (а � постоянная решетки). Авторы считают мак-
роскопическое описание в данной ситуации корректным, невзирая на то, что
температуры весьма высоки, а характерные времена процесса (t ~ 10�13 s)
весьма малы (область физической кинетики). Радиусы областей прогрева ρе
и ρj являются мезоскопическими.
Для описания температурных полей точечных источников постоянной
мощности в полубесконечном теле (анализ процесса «обыскривания» [143])
использовались линейные уравнения теплопроводности при линейных гра-
ничных условиях; аналитические решения таких задач известны [11,131�134].
Модификация поверхностей и нанесение покрытий с помощью лазерного
излучения интенсивно изучаются [69,77,191]. В рамках математического
моделирования таких процессов авторы [191] рассчитывали температурное
поле сферической частицы, нагреваемой лазерным лучом, плазменной стру-
Физика и техника высоких давлений 2006, том 16, № 3
22
ей или их комбинацией. Исследовалось нелинейное уравнение теплопровод-
ности с «эффективной» теплоемкостью:
С� = С(Т) + Wmδ(T � Tm) + Wbδ(T � Tb), (86)
где С(Т) � удельная теплоемкость вещества, Wm и Wb � скрытые теплоты со-
ответственно плавления и парообразования, Tm и Tb � температуры соответ-
ственно плавления и кипения. Для функции источников тепла в частице ис-
пользовалось сложное аналитическое выражение, а граничные условия на
поверхности частицы были III рода и учитывали суммарно лучистый и кон-
вективный теплообмен. Задача решена численно.
5. Модели процессов в наносистемах
5.1. Модели деформирования
К наносистемам как подклассу мезосистем применяют микро- и макро-
скопические подходы. Методом молекулярной динамики, в частности, изу-
чалась модель пластической деформации наноструктурного никеля с разме-
ром зерен от 3 до 12 nm [105]. Континуальная теория упругости использует-
ся как для твердотельных, так и биологических (в частности, клеточных
мембран толщиной 10�100 nm) нанообъектов [9,17,192]. Современная сте-
пень изученности наномеханических процессов, сложность экспериментов
[15,103�107] не позволяют пока построить целостную теорию (систему
взаимосвязанных математических моделей). Проблема в том, что такая тео-
рия должна описывать объекты и процессы с характерными размерами и
временами релаксации, отличающимися на многие порядки. Для систем с
характерной длиной L <~ 100 nm большое значение имеют размерные эффек-
ты [106,107].
Механизмы деформации наноматериалов интенсивно изучаются, однако
известные модели носят фрагментарный, в основном эмпирико-оценочный
характер [15]. Сверхпластичность наноматериалов по Харту [15] описывает-
ся формулой изотермического течения: q mAσ = ε ε! , где А � эмпирическая по-
стоянная, q и m � параметры материала. Зависимости для скорости пласти-
ческой деформации и напряжения имеют вид
exp( / )M Q RTε = −! , exp( / )H Q RTσ = − , (87)
где M, H = const, а энергия активации Q определяется эмпирически. Обоб-
щенное уравнение сверхпластичности записывается в виде
p nDGb bA
kT d G
σ ε =
! , (88)
где D � коэффициент диффузии, G � модуль сдвига, b � вектор Бюргерса, d �
средний размер зерна, σ � напряжение течения, p ≈ 2 (для металлов, интер-
металлидов и керамик с наноструктурой), если основной механизм акко-
Физика и техника высоких давлений 2006, том 16, № 3
23
модации � объемная диффузия, и p ≈ 3 в случае зернограничной диффузии,
n = 1/m.
Закономерности ползучести наноструктурных материалов описываются
аналогично [15]. Для скорости установившейся ползучести известно моди-
фицированное уравнение Кобла:
0 eff
3
148 exp( * / )D Q kT
d kT
δΩσε =
π
! , (89)
где D0 � предэкспоненциальный множитель коэффициента зернограничной
диффузии, δ � ширина границы, Ω � атомный объем, σeff = σ0 + σ (σ0, σ �
соответственно пороговое и приложенное напряжения), d � размер зерна, Q* �
энергия активации зернограничной диффузии.
5.2. Модели диффузии
При моделировании как деформационных, так и диффузионных процес-
сов в наносистемах основополагающее значение имеют модели зерногра-
ничной диффузии [15,41,105�107,111,193]. Последняя определяет кинетику
многих процессов в наносистемах, поскольку соответствующие коэффици-
енты диффузии на много порядков превышают таковые для крупнозерни-
стых материалов.
Наиболее часто используется модель Фишера [15,41]. Рассматривается
бикристалл с плоской границей зерна, перпендикулярной поверхности, �
однородной и изотропной пластиной толщиной δ. Коэффициент зерногра-
ничной диффузии Db много больше коэффициента объемной диффузии DV.
Уравнения модели имеют вид
2 2
2 2
V V V
V
C C CD
t x y
∂ ∂ ∂= + ∂ ∂ ∂
, t > 0, x > δ/2, y > 0, (90)
2
2
/ 2
2b b V V
b
x
C C D CD
t xy =δ
∂ ∂ ∂= +
∂ δ ∂∂
, t > 0, y > 0. (91)
Уравнения (90) и (91) описывают концентрации примесей соответственно в объ-
еме зерна и на его границе, связанные условием CV|x = δ/2 = Cb|x = δ/2. Считается,
что DV, Db = const. Решения системы (90), (91) зависят от граничных условий на
поверхности кристалла (вида источников примеси). В модификации Уиппла мо-
дели Фишера принято CV|y = 0 = С0 = const (что возможно, если DS >> Db >> DV,
где DS � коэффициент поверхностной диффузии). В модели Сузуока предполага-
ется нанесение в начальный момент времени на поверхность образца тонкого
слоя диффузанта с поверхностной плотностью СS: CV(x,y,0) = СSδ(y). При этом
граница при отжиге для диффузанта непроницаема: (∂СV/∂y)y = 0 = 0. Использова-
ние модели Фишера для обработки экспериментальных данных основывается на
классификации режимов зернограничной диффузии. Впервые такая классифика-
Физика и техника высоких давлений 2006, том 16, № 3
24
ция была предложена Харрисоном [15], который выделил три кинетических ре-
жима: A, B, C. В режиме С диффузионный поток в кристалле распространяется
только вдоль границы зерна, а диффузия в объеме несущественна. Критерий реа-
лизации режима С: (DVt)1/2 < δ/20. Режим В включает в себя диффузию на грани-
це и в объеме зерна, но при этом диффузионные потоки от смежных границ не
перекрываются. Условие этого режима (DVt)1/2 < d/20. Режим А описывает пре-
дельные случаи больших времен отжига, малых размеров зерен или относитель-
но больших коэффициентов объемной диффузии. В этих случаях можно исполь-
зовать эффективный коэффициент диффузии (Харт):
Deff = τDb + (1 � τ)DV, (92)
где τ � объемная доля вещества границ в поликристалле. Условием приме-
нимости приближения квазиоднородной среды (92) является неравенство
(DVt)1/2 ≥ 150d. Полная модель режима А пока отсутствует [15].
Методы математического моделирования диффузионных процессов в
наносистемах находятся в начальной стадии развития, хотя потребность в
них велика [111,183,194].
5.3. Модели теплообмена
Специфика теплообмена в наносистемах согласно [108] заключается в
большой роли лучистого теплообмена и размерных эффектов. Температурные
поля в таких распространенных наносистемах, как многослойные периодиче-
ские покрытия (в частности, с периодом в 11.5 nm) [195] и наночастицы [196],
определяют ход технологических и эксплуатационных процессов [194�196].
Исследования показали [196], что строение, размеры, форма и ход фор-
мирования кристаллов на подложке при электроосаждении металлов опре-
деляются процессами массо- и теплообмена в островках роста. Их форма
предполагается сферической, с радиусом R. Площади контакта островка с
подложкой Ssub и электролитом Sel, а также объем островка V есть функции
краевого угла α:
Ssub = πR2(1 � cos2α), Sel = 2πR2(1 + cos2α), V = 1
3
πR3(2 + 3cosα � cos3α). (93)
Факторы формы (поверхностные fsub и fel и объемный fV) вводятся как отно-
шения величин в (93) к их максимальным значениям (πR2, 4πR2 и 4
3
πR3 со-
ответственно). Количество тепла, подводимого к островку в единицу време-
ни в процессе кристаллизации
21d d d4
d d dV
Q V RH H f R
t t t
ρ ρ= ∆ = ∆ π
µ µ
, (94)
где ∆H � удельная теплота образования твердой фазы, µ � молярная масса, ρ �
плотность. Количество теплоты, отводимой за единицу времени от островка
к подложке и электролиту
Физика и техника высоких давлений 2006, том 16, № 3
25
22
el el sub sub 0
d (4 )( )
d
Q R f f T T
t
= π α +α − , (95)
где Т � температура островка роста, Т0 � температура электролита и подложки,
αel, αsub � коэффициенты теплообмена островка соответственно с электролитом
и подложкой. Энергия, необходимая для формирования поверхности островка
3
el el sub sub
d d2 (4 )
d d
Q RR f f
t t
= π γ + γ , (96)
где γel, γsub � значения удельной поверхностной энергии островка на поверх-
ностях контакта соответственно с электролитом и подложкой. Количество
теплоты, идущей на нагрев островка:
34d d 4 d
d d 3 dV
Q T TC V C f R
t t t
= ρ = ρ π , (97)
где С � удельная теплоемкость островка роста. Далее авторы [196], исполь-
зуя (93)�(97), получают «кинетическое» уравнение, в левой части которого
содержится скорость изменения энтропии в островке: d(∆S)/dt. На основе
этого уравнения затем анализируются частные режимы электроосаждения.
Приведенная модель, очевидно, не содержит «наноспецифики» � использу-
ется тепловой баланс, ведущий к системе обыкновенных дифференциальных
уравнений (т.е. модель � «точечная» или нульмерная). В термодинамике нерав-
новесных процессов обычно используются уравнения в частных производных,
описывающие распределение температуры во времени и пространстве.
166. В.В. Сычев, Сложные термодинамические системы, Энергия, Москва (1970).
167. Н.И. Новиков, в кн.: Физико-механические и теплофизические свойства метал-
лов, Наука, Москва (1986), с. 170�179.
168. В.В. Александров, А.Н. Борзяк, С.В. Боярский и др., в кн.: Физико-механические
и теплофизические свойства металлов, Наука, Москва (1986), с. 179�183.
169. В.В. Сычев, Дифференциальные уравнения термодинамики, Высшая школа,
Москва (1991).
170. Л.И. Седов, Механика сплошной среды, Т. 1, Наука, Москва (1970).
171. Л.И. Седов, Механика сплошной среды, Т. 2, Наука, Москва (1970).
172. Н.В. Шишкова, Я.Е. Бейгельзимер, Н.А. Кулеско, ФТВД 8, №3, 111 (1998).
173. Ю.Л. Красулин, В.Н. Тимофеев, в кн.: Физико-механические и теплофизиче-
ские свойства металлов, Наука, Москва (1986), с. 132�136.
174. Г.А. Мартынов, УФН 166, 1105 (1996).
175. С.Л. Соболев, УФН 167, 1095 (1997).
176. И.М. Лифшиц, в кн.: Избранные труды. Физика реальных кристаллов и неупо-
рядоченных систем, Наука, Москва (1987), с. 106�120.
177. И.М. Лифшиц, А.М. Косевич, в кн.: Избранные труды. Физика реальных кри-
сталлов и неупорядоченных систем, Наука, Москва (1987), с. 142�176.
178. Д.Т. Алимов, В.Я. Гольдман, Б.Л. Оксенгендлер, П.К. Хабабулаев, Препринт
Р-9-169 Института ядерной физики АН УзССР, Ташкент (1985).
Физика и техника высоких давлений 2006, том 16, № 3
26
179. В.Л. Инденбом, В.И. Альшиц, В.М. Чернов, в кн.: Дефекты в кристаллах и их моде-
лирование на ЭВМ, Ю.А. Осипьян (ред.), Наука, Ленинград (1980), с. 23�76.
180. И.М. Лифшиц, Я.Е. Гегузин, ФТТ 4, 1326 (1962).
181. И.М. Лифшиц, ЖЭТФ 44, 1349 (1969).
182. И.М. Лифшиц, В.Б. Шишкин, ФТТ 6, 1735 (1969).
183. Е.В. Татарчук, А.М. Гусак, В.С. Татарчук, А.О. Перекос, Металлофиз. новей-
шие технол. 28, 201 (2006).
184. С.Н. Никифирова-Деткова, Е.Н. Любушкин, Термические процессы. Техноло-
гия электронных приборов и изделий микроэлектроники, Вып. 5, Высшая шко-
ла, Москва (1989).
185. В.Е. Минайчев, Нанесение пленок в вакууме. Технология электронных прибо-
ров и изделий микроэлектроники, Вып. 6, Высшая школа, Москва (1989).
186. В.Ф. Бреховских, М.М. Никитин, Н.Х. Торторов, в кн.: Физико-механические и
теплофизические свойства металлов, Наука, Москва (1986), с. 137�139.
187. Х. Эртель, в кн.: Физика быстропротекающих процессов, Т. III, Мир, Москва
(1971), с. 103�208.
188. И.А. Гамаля, В.М. Данилейко, В.В. Петров, Л.С. Соколов, Н.И. Цулая, Докл. АН
УССР. Сер. А № 7, 30 (1985).
189. В. Пак, Новые контактные методы измерения температуры поверхности твер-
дых тел со следящей компенсацией теплоотвода, Изд-во стандартов, Москва
(1972).
190. И.М. Лифшиц, М.И. Каганов, Л.В. Танатаров, в кн.: Избранные труды. Физика ре-
альных кристаллов и неупорядоченных систем, Наука, Москва (1987), с. 417�433.
191. Ю.С. Борисов, А.И. Бушма, И.В. Кривцун, Доп. НАН України, № 1, 86 (2005).
192. И. Ивенс, Р. Скейлак, Механика и термодинамика биологических мембран,
Мир, Москва (1982).
193. Ю.Р. Колобов, Диффузионно-контролируемые процессы на границах зерен и
пластичность металлических поликристаллов, Наука, Новосибирск (1988).
194. Т.М. Гричановська, І.Ю. Проценко, А.М. Черноус, І.О. Шпетний, Металлофиз.
новейшие технол. 28, 267 (2006).
195. А.В. Пенков, Д.Л. Воронов, Е.Н. Зубарев, В.В. Кондратенко, А.Г. Пономаренко,
В.А. Севрюкова, В.В. Бобков, Т.И. Перегон, Л.П. Тищенко, Металлофиз. новей-
шие технол. 28, 183 (2006).
196. А.А. Викарчук, И.С. Ясинов, ФТТ 48, 536 (2006).
I.R. Vengerov
THERMAL PHYSICS OF DEFORMABLE SOLIDS
(Review)
III. MESOLEVEL MODELS
The paper is a continuation (the third part) of the review «Thermal physics of deformable
solids» (see High-Pressure Physics and Technology №1, 2, 2006). Basic thermodynamic
relations used in constructing the mesomodels, mechanical models as well as mass and
heat transfer models have been considered. Models of the processes in nanosystems are
discussed in brief.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-70238 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0868-5924 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:37:22Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Донецький фізико-технічний інститут ім. О.О. Галкіна НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Венгеров, И.Р. 2014-11-01T07:47:21Z 2014-11-01T07:47:21Z 2006 Теплофизика деформируемых твердых тел (Обзор). III. Модели мезоуровня / И.Р. Венгеров // Физика и техника высоких давлений. — 2006. — Т. 16, № 3. — С. 7-26. — Бібліогр.: 31 назв. — рос. 0868-5924 PACS: 05.70.-a, 62.50.-p https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/70238 Статья представляет собой продолжение (третью часть) обзора «Теплофизика деформируемых твердых тел» (см. ФТВД № 1,2 за 2006 г.). Приведены основные термодинамические соотношения, используемые при построении мезомоделей, механические модели и модели переноса массы и тепла. Кратко рассмотрены модели этих процессов в наносистемах. The paper is a continuation (the third part) of the review «Thermal physics of deformable solids» (see High-Pressure Physics and Technology №1, 2, 2006). Basic thermodynamic relations used in constructing the mesomodels, mechanical models as well as mass and heat transfer models have been considered. Models of the processes in nanosystems are discussed in brief. ru Донецький фізико-технічний інститут ім. О.О. Галкіна НАН України Физика и техника высоких давлений Теплофизика деформируемых твердых тел (Обзор). III. Модели мезоуровня Теплофізика твердих тіл, що деформуються (Огляд). ІІІ. Моделі мезорівня Thermal physics of deformable solids (Review). III. Mesolevel models Article published earlier |
| spellingShingle | Теплофизика деформируемых твердых тел (Обзор). III. Модели мезоуровня Венгеров, И.Р. |
| title | Теплофизика деформируемых твердых тел (Обзор). III. Модели мезоуровня |
| title_alt | Теплофізика твердих тіл, що деформуються (Огляд). ІІІ. Моделі мезорівня Thermal physics of deformable solids (Review). III. Mesolevel models |
| title_full | Теплофизика деформируемых твердых тел (Обзор). III. Модели мезоуровня |
| title_fullStr | Теплофизика деформируемых твердых тел (Обзор). III. Модели мезоуровня |
| title_full_unstemmed | Теплофизика деформируемых твердых тел (Обзор). III. Модели мезоуровня |
| title_short | Теплофизика деформируемых твердых тел (Обзор). III. Модели мезоуровня |
| title_sort | теплофизика деформируемых твердых тел (обзор). iii. модели мезоуровня |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/70238 |
| work_keys_str_mv | AT vengerovir teplofizikadeformiruemyhtverdyhtelobzoriiimodelimezourovnâ AT vengerovir teplofízikatverdihtílŝodeformuûtʹsâoglâdííímodelímezorívnâ AT vengerovir thermalphysicsofdeformablesolidsreviewiiimesolevelmodels |