Энергия нулевых колебаний в сжатых кристаллах ряда Ne−Xe
В рамках модели К.Б. Толпыго с помощью динамической матрицы, построенной на основе неэмпирического короткодействующего потенциала отталкивания, рассчитаны фононные частоты сжатых кристаллов инертных газов (КИГ) с учетом электрон-фононного взаимодействия в точках главного значения Чади−Коэна. Обсужда...
Saved in:
| Published in: | Физика и техника высоких давлений |
|---|---|
| Date: | 2007 |
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Донецький фізико-технічний інститут ім. О.О. Галкіна НАН України
2007
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/70362 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Энергия нулевых колебаний в сжатых кристаллах ряда Ne−Xe / Е.П. Троицкая, В.В. Чабаненко, Е.Е. Горбенко, Н.В. Кузовой // Физика и техника высоких давлений. — 2007. — Т. 17, № 3. — С. 14-26. — Бібліогр.: 38 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860264554686054400 |
|---|---|
| author | Троицкая, Е.П. Чабаненко, В.В. Горбенко, Е.Е. Кузовой, Н.В. |
| author_facet | Троицкая, Е.П. Чабаненко, В.В. Горбенко, Е.Е. Кузовой, Н.В. |
| citation_txt | Энергия нулевых колебаний в сжатых кристаллах ряда Ne−Xe / Е.П. Троицкая, В.В. Чабаненко, Е.Е. Горбенко, Н.В. Кузовой // Физика и техника высоких давлений. — 2007. — Т. 17, № 3. — С. 14-26. — Бібліогр.: 38 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Физика и техника высоких давлений |
| description | В рамках модели К.Б. Толпыго с помощью динамической матрицы, построенной на основе неэмпирического короткодействующего потенциала отталкивания, рассчитаны фононные частоты сжатых кристаллов инертных газов (КИГ) с учетом электрон-фононного взаимодействия в точках главного значения Чади−Коэна. Обсуждается метод интегрирования по точкам главного значения. Анализируется мнимость частоты ГЦК-решетки. Проведено исследование квантовых эффектов, в частности энергии нулевых колебаний Ezp в ряду кристаллов Ne−Xe при различных давлениях.
Within the K.B. Tolpygo’s model and by using a dynamic matrix constructed on the basis of nonempirical short-range repulsion potential the calculation was made of the phonon frequencies of compressed inert gas crystals (IGC) with the electron-phonon interaction at points of Chadi−Cohen principal value taken into account. Method of integration by points of the principal value is discussed. Imaginary frequency of the fcc lattice is analysed. Quantum effects, in particular the zero-point energy Ezp, have been investigated in Ne−Xe crystals at various pressure values.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:59:10Z |
| format | Article |
| fulltext |
Физика и техника высоких давлений 2007, том 17, № 3
14
PACS: 62.50.−p, 64.10.+h, 64.30.+t
Е.П. Троицкая1, В.В. Чабаненко1, Е.Е. Горбенко2, Н.В. Кузовой2
ЭНЕРГИЯ НУЛЕВЫХ КОЛЕБАНИЙ В СЖАТЫХ КРИСТАЛЛАХ
РЯДА Ne−Xe
1Донецкий физико-технический институт им. А.А. Галкина НАН Украины
ул. Р. Люксембург, 72, г. Донецк, 83114, Украина
2Луганский национальный педагогический университет им. Т. Шевченко
ул. Оборонная, 2, г. Луганск, 91011, Украина
Статья поступила в редакцию 18 июля 2006 года
В рамках модели К.Б. Толпыго с помощью динамической матрицы, построенной на
основе неэмпирического короткодействующего потенциала отталкивания, рассчита-
ны фононные частоты сжатых кристаллов инертных газов (КИГ) с учетом элек-
трон-фононного взаимодействия в точках главного значения Чади−Коэна. Обсужда-
ется метод интегрирования по точкам главного значения. Анализируется мнимость
частоты ГЦК-решетки. Проведено исследование квантовых эффектов, в частности
энергии нулевых колебаний Ezp в ряду кристаллов Ne−Xe при различных давлениях.
1. Введение
Прогресс современной экспериментальной техники позволяет в лабора-
торных условиях исследовать электронные и атомные свойства твердых тел
при мультимегабарных давлениях [1,2]. Кристаллы инертных газов являют-
ся постоянным объектом исследования для изучения фазовых переходов,
упругих свойств, динамики и термодинамики именно при таких высоких
давлениях (см. [2−5] и ссылки там). Легкие КИГ (неон, аргон), относящиеся
к классу «Low-Z materials», интересны также и как объект для изучения
квантовых эффектов. В этом случае основным требованием к теории стано-
вится возможность описания свойств и явлений из первых принципов. Из
большого числа теоретических работ за последние 5−10 лет следует выде-
лить ab initio расчеты на основе теории функционала плотности (DFT) [6] и
приближения локальной плотности (LDA) для обменно-корреляционного
потенциала [7]. Это работы по упругим свойствам, фазовым переходам,
электронной структуре и колебательным свойствам КИГ при высоких дав-
лениях [8−12].
В [13−19] с помощью метода сильной связи реализовано адиабатическое
приближение, необходимое для построения динамики решетки КИГ. Оно
Физика и техника высоких давлений 2007, том 17, № 3
15
позволяет провести рассмотрение разнообразных свойств КИГ из первых
принципов, опираясь лишь на знание волновых функций основного и воз-
бужденного состояний атомов.
В цикле [20−24] исследованы фононные дисперсионные кривые сжатых
кристаллов Ne, Ar, Kr, Xe в симметричных направлениях для выяснения ро-
ли различных взаимодействий, прежде всего электрон-фононного.
В работе [25] построена динамическая матрица, позволяющая рассчитать
фононные частоты кристаллов ряда Ne−Xe под давлением в любой точке
зоны Бриллюэна (BZ) с учетом электрон-фононного взаимодействия. Дина-
мическая матрица строится на основе неэмпирического короткодействую-
щего потенциала отталкивания, не содержащего ни подгоночных, ни вариа-
ционных параметров [26−28].
2. Выбор точек Чади–Коэна
Значительную трудность до недавнего времени представляло интегриро-
вание по BZ (один из вариантов см. в [25]). В настоящей работе применяется
метод интегрирования по точкам главного значения [29] в варианте Чади–
Коэна [30]. Сущность этого метода состоит в замене интеграла по BZ
суммой значений подынтегральной функции в особых точках (точках
главного значения), найденных теоретико-групповыми методами.
При изучении свойств кристаллов обычно встречаются интегралы по BZ
в виде:
3
3
BZ
(2 )( )dI f k fπ
= =
Ω∫ k , (1)
где f(k) – периодическая функция волнового вектора, Ω − объем элементар-
ной ячейки. Из (1) видно, что этот интеграл может быть выражен как произ-
ведение объема BZ и среднего значения f(k).
Используя свойства симметрии, функцию f(k) разлагаем в линейную ком-
бинацию плоских волн следующим образом:
0
( ) ( )i i
i
f a G
∞
=
=∑k k , (2)
где Gi(k) зависят от структуры решетки и не зависят от функции f(k), G0(k) =
= 1, а индекс i пробегает все значения эквивалентных векторов решетки; ко-
эффициент ai зависит от функции f(k). Подставив (2) в (1), получаем
3 3
0
(2 ) (2 )I f aπ π
= =
Ω Ω
. (3)
Легко показать [29], что все члены в (2), кроме первого (i = 0), не дают
вклада в интеграл (1). Следовательно, среднее значение f есть ничто иное,
как первый член в ряду (2).
Физика и техника высоких давлений 2007, том 17, № 3
16
Таким образом, желательно найти такую точку главного значения, как т.
k*, для которой Gi(k
*) = 0 для всех положительных целых i. Если это будет
сделано, то фактически
0( )f a f∗ ≡ ≡k . (4)
Это требование, конечно, слишком сильное, но можно найти такое k*, чтобы
(4) выполнялось в хорошем приближении. Координаты такой точки главного
значения k* были найдены в [31]: k* = [0.6223; 0.2953; 0] для ГЦК-решетки.
Вообще говоря, чтобы получить необходимую точность в расчетах, нуж-
но знать значения функции f в большом числе тт. k. Авторы [30] предло-
жили метод генерирования этих точек на основе двух точек главного значе-
ния для определения f(k) в кристалле. Из (2) имеем
[ ]1 2
1( ) 3 ( ) ( )
4
f f f= +k k k , 1
3 1 1; ;
4 4 4
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
k , 2
1 1 1; ;
4 4 4
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
k . (5)
Точки k1 и k2 используются в [30] для генерирования десяти устойчивых
точек главного значения, по которым среднее f(k) по зоне определяется с
высокой степенью точности. Координаты и соответствующий вес αi этих
точек для ГЦК-структуры следующие:
1
7 3 1; ;
8 8 8
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
k , 1
3
16
α = ; 2
7 1 1; ;
8 8 8
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
k , 2
3
32
α = ;
3
5 5 1; ;
8 8 8
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
k , 3
3
32
α = ; 4
5 3 3; ;
8 8 8
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
k , 4
3
32
α = ;
5
5 3 1; ;
8 8 8
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
k , 5
3
16
α = ; 6
5 1 1; ;
8 8 8
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
k , 6
3
32
α = ; (6)
7
3 3 3; ;
8 8 8
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
k , 7
1
32
α = ; 8
3 3 1; ;
8 8 8
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
k ,
8
3
32
α = ;
9
3 1 1; ;
8 8 8
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
k , 9
3
32
α = ; 10
1 1 1; ;
8 8 8
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
k , 10
1
32
α = .
Рассчитанные нами суммы χαβ(k) и ϕαβ(k) для тт. k*, k1, k2 из (5) и выше-
указанных десяти точек в (6) приведены в табл. 1.
3. Получение характеристик тепловых и нулевых колебаний
Энергия связи Еcoh, решеточная теплоемкость СV и среднеквадратичное
смещение 〈u2〉 в гармоническом приближении описываются известными
формулами [19,32]:
( )
( ) ( )* 3
coh 3
1d
22
A
zp
NE E E k nλ λ
λ
Ω ⎡ ⎤= + = ω +⎢ ⎥⎣ ⎦π
∑∫ k k , (7)
Та
бл
иц
а
1
К
оэ
ф
ф
иц
ие
нт
ы
к
ул
он
ов
ск
их
ϕ
α
β и
в
ан
-д
ер
-в
аа
ль
со
вы
х
χ α
β с
ил
в
т
оч
ка
х
гл
ав
но
го
зн
ач
ен
ия
д
ля
Г
Ц
К
-р
еш
ет
ки
С
ум
мы
−χ
xx
−χ
yy
−χ
zz
−χ
xy
−χ
xz
−χ
yz
ϕ x
x
ϕ y
y
ϕ z
z
ϕ x
y
ϕ x
z
ϕ y
z
Д
ля
о
дн
ой
т
оч
ки
k* =
[0
.6
22
3;
0.
29
53
;0
]
1.
98
31
0.
97
18
1.
05
16
0.
75
02
0
0
−1
.7
02
0
0.
72
03
0.
98
17
−1
.6
55
0
0
0
Д
ля
д
ву
х
то
че
к
k 1
=
[3
/4
;1
/4
;1
/4
]
0.
71
07
1
0.
71
07
1
0.
71
07
1
0.
52
16
8
0.
52
16
8
0.
52
16
8
0
0
0
−1
.9
50
2
−1
.9
50
2
−1
.9
50
2
k 2
=
[1
/4
;1
/4
;1
/4
]
2.
20
61
8
1.
20
88
8
1.
20
88
8
0.
49
71
1
0.
49
71
1
0.
48
80
2
−1
.2
80
7
0.
64
03
5
0.
64
03
5
−0
.9
28
0
−0
.9
28
0
−0
.8
09
7
Д
ля
д
ес
ят
и
то
че
к
k 1
=
[7
/8
;3
/8
;1
/8
]
2.
27
78
1.
15
30
1.
58
28
0.
34
82
0.
14
47
0.
34
46
−0
.9
64
3
0.
72
96
0.
23
47
−0
.6
08
0
−0
.2
51
1
−0
.5
55
5
k 2
=
[7
/8
;1
/8
;1
/8
]
2.
78
12
1.
10
16
1.
10
16
0.
14
57
0.
14
57
0.
14
21
−1
.9
45
5
0.
97
28
0.
97
28
−0
.2
72
3
−0
.2
72
2
−0
.2
19
0
k 3
=
[5
/8
;5
/8
;1
/8
]
1.
42
59
1.
42
59
1.
84
67
0.
84
03
0.
34
82
0.
34
82
0.
12
38
0.
12
38
−0
.2
47
6
−1
.4
69
6
−0
.6
02
2
−0
.6
02
2
k 4
=
[5
/8
;3
/8
;3
/8
]
1.
61
15
1.
31
58
1.
31
58
0.
84
63
0.
84
63
0.
84
13
−0
.4
18
0
0.
20
90
0.
20
90
−1
.5
60
1
−1
.5
60
1
−1
.4
94
7
k 5
=
[5
/8
;3
/8
;1
/8
]
1.
18
39
1.
11
93
1.
24
94
0.
85
55
0.
35
30
0.
34
79
−1
.0
94
5
0.
45
58
0.
63
87
−1
.7
41
2
−0
.6
88
8
−0
.6
21
3
k 6
=
[5
/8
;1
/8
;1
/8
]
2.
13
97
0.
83
54
0.
83
54
0.
35
98
0.
35
98
0.
14
45
−2
.3
62
6
1.
18
13
1.
18
13
−0
.8
43
4
−0
.8
43
3
−0
.2
73
1
k 7
=
[3
/8
;3
/8
;3
/8
]
1.
17
64
1.
17
64
1.
17
64
0.
85
77
0.
85
77
0.
85
77
0
0
0
−1
.8
49
2
−1
.8
49
1
−1
.8
49
1
k 8
=
[3
/8
;3
/8
;1
/8
]
1.
09
05
1.
09
05
0.
78
63
0.
88
00
0.
35
96
0.
35
96
−0
.5
47
8
−0
.5
47
8
1.
09
56
−2
.4
92
3
−0
.9
28
3
−0
.9
28
3
k 9
=
[3
/8
;1
/8
;1
/8
]
1.
08
55
0.
46
61
0.
46
61
0.
37
27
0.
37
27
0.
15
13
−2
.5
02
4
1.
25
12
1.
25
12
−1
.5
65
2
−1
.5
65
1
−0
.5
59
3
k 1
0 =
[1
/8
;1
/8
;1
/8
]
0.
21
22
0.
21
22
0.
21
22
0.
15
85
0.
15
85
0.
15
85
0
0
0
−2
.0
52
0
−2
.0
51
9
−2
.0
51
9
П
ри
ме
ча
ни
е.
k
* −
т
оч
ка
г
ла
вн
ог
о
зн
ач
ен
ия
и
з [
31
],
ос
та
ль
ны
е
дв
ен
ад
ца
ть
п
ол
уч
ен
ы
м
ет
од
ом
Ч
ад
и−
К
оэ
на
[3
0]
.
17
Физика и техника высоких давлений 2007, том 17, № 3
Физика и техника высоких давлений 2007, том 17, № 3
18
где Ezp − энергия нулевых колебаний (ей соответствует слагаемое 1/2 в
скобках в (7)), NA – число Авогадро, Ω = 2a3 − объем элементарной ячейки
для КИГ в ГЦК-фазе;
( )
2
3
3
1
( )d ( ) ( ) 1 ,
(2 )
( )( ) exp 1 ,
V
B
B
RC k n n
k T
n
k T
λ
λ λ
λ
−
λ
λ
⎡ ⎤⎛ ⎞Ω ω⎢ ⎥= +⎜ ⎟
⎢ ⎥π ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞ω
= −⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎣ ⎦
∑∫
k k k
kk
(8)
где kВ = 1.3806662·10−23 J/K – постоянная Больцмана, R = kBNA;
2
2 3
3
( ) 0.5d
( )(2 )
nu k
M
λ
λλ
+Ω
=
ωπ
∑∫
k
k
. (9)
Для вычисления интегралов по BZ используем описанный выше метод
Чади−Коэна [30].
Тогда энергия нулевых колебаний будет
1 ( )
2zpE λ
λ
= ω∑ k . (10)
Например, для двухточечной схемы (5) имеем
1 2
1 3 1( ) ( )
2 4 4zpE λ λ
λ λ
⎡ ⎤
= ω + ω⎢ ⎥
⎣ ⎦
∑ ∑k k . (11)
В работе [25] нами подробно описано получение частот кристаллов ряда
Ne−Xe в любой т. k с помощью построенной динамической матрицы.
В табл. 2 приведены рассчитанные частоты для всего ряда Ne−Xe при
сжатиях ΔV/V0 от 0 до 0.8, необходимые для вычисления термодинамиче-
ских свойств (8), (9) и энергии нулевых колебаний (11) по двухточечной
схеме Чади−Коэна (5).
Особое внимание следует обратить на мнимые частоты в табл. 2. Они
свидетельствуют об абсолютной неустойчивости ГЦК-решетки. При извест-
ном ГЦК−ГПУ-переходе в Xe [33,34] ГЦК-решетка становится менее энер-
гетически выгодной, чем ГПУ, но остается еще устойчивой. Мнимость час-
тоты означает, что смещения атомов решетки под действием малой дефор-
мации будут экспоненциально (а не периодически) изменяться со временем.
Для потенциальной энергии кристалла размягчение «критических» колеба-
ний соответствует уплощению ее минимума, определяющего колебания
атомов возле положения равновесия, абсолютная неустойчивость – вырож-
дению минимума в прямую, мнимость частоты – образованию максимума
энергии.
В табл. 3 представлена Ezp для КИГ при различных степенях сжатия.
Физика и техника высоких давлений 2007, том 17, № 3
19
Таблица 2
Частоты ħωλk [meV] в моделях М3 и М3а при разных степенях сжатия
для КИГ (Ne−Xe) в тт. k1[3/4;1/4;1/4] и k2[1/4;1/4;1/4]
ΔV/V0 0.0 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
1 2 3 4 5 6 7 8
Ne
2.231 1.980 1.882 1.771 1.644 1.489 1.303а, Å
k, λ p, GPa 0.126 2.402 5.911 15.644 47.049 174.863 952.777
5.026 12.451 16.424 22.263 31.313 46.44 75.185
4.292 10.413 13.661 18.422 25.765 37.951 60.896k1
6.727 17.131 22.745 31.017 43.898 65.576 107.122
3.087 6.096 7.941 10.655 14.843 21.838 35.279
3.087 6.096 7.941 10.655 14.843 21.838 35.279
M3
k2
6.079 13.173 17.55 24.007 34.083 51.108 82.966
4.291 10.406 13.647 20.486 25.839 37.954 61.956
5.025 12.410 16.283 19.212 38.038 44.606 87.617k1
6.721 16.962 22.266 29.016 41.391 54.067 58.049i
2.582 6.095 7.931 10.664 14.905 22.172 38.103
2.582 6.095 7.931 10.664 14.905 22.172 38.103
M3a
k2
5.083 13.098 17.35 23.294 32.207 44.749 54.735
Ar
2.656 2.358 2.240 2.108 1.957 1.778 1.553а, Å
k, λ p, GPa 0.016 4.358 11.127 29.705 88.875 328.948 1842.881
5.831 14.321 18.623 24.843 34.482 51.095 85.617
4.954 11.865 15.338 20.353 28.115 41.488 69.335k1
7.861 19.914 26.069 34.977 48.794 72.614 122.013
2.782 6.554 8.458 11.233 15.576 23.196 39.548
2.782 6.554 8.458 11.233 15.576 23.196 39.548
M3
k2
5.887 15.237 20.035 26.989 37.798 56.488 95.407
4.953 11.817 15.519 20.405 40.102 41.503 70.397
5.826 14.132 17.537 31.332 38.539 39.455 105.137k1
7.839 19.473 24.908 32.761 28.132 58.495 109.776i
2.782 6.549 8.472 11.267 15.703 23.791 43.369
2.782 6.549 8.472 11.267 15.703 23.791 43.369
M3a
k2
5.877 15.063 19.614 25.936 34.937 47.074 43.087
Kr
2.824 2.507 2.382 2.242 2.081 1.891 1.652а, Å
k, λ p, GPa 0.0032 4.468 10.870 27.190 74.576 245.234 1156.698
4.417 10.009 12.516 15.908 20.792 28.566 43.248
3.751 8.252 10.236 12.907 16.738 22.819 34.302k1
5.956 13.984 17.64 22.603 29.776 41.213 62.809
2.099 4.521 5.588 7.038 9.144 12.548 19.125
2.099 4.521 5.588 7.038 9.144 12.548 19.125
M3
k2
4.459 10.702 13.568 17.469 23.123 32.166 49.295
3.750 9.853 10.299 21.209 16.738 22.886 35.263
4.411 8.187 11.613 12.924 22.208 30.319 28.943k1
5.937 13.701 16.997 18.102 26.496 32.616 46.271
2.099 4.527 5.593 7.056 9.215 12.843 20.646
2.099 4.527 5.593 7.056 9.215 12.843 20.646
M3a
k2
4.451 10.595 13.34 16.981 22.028 29.363 39.525
Физика и техника высоких давлений 2007, том 17, № 3
20
Продолжение табл. 2
1 2 3 4 5 6 7 8
Xe
3.063 2.720 2.584 2.431 2.257 2.051 1.791а, Å
k, λ p, GPa −0.034 4.349 10.096 23.454 57.653 162.717 655.529
3.845 8.072 9.607 11.364 13.393 16.127 23.249
3.267 6.624 7.794 9.099 10.566 12.582 18.562k1
5.184 11.331 13.644 16.342 19.519 23.724 33.518
1.821 3.592 4.212 4.929 5.823 7.315 11.797
1.821 3.592 4.212 4.929 5.823 7.315 11.797
M3
k2
3.880 8.672 10.508 12.673 15.27 18.773 26.732
3.266 6.620 7.803 9.165 13.393 16.306 23.553
3.841 8.003 9.266 11.471 10.857 13.617 20.807k1
5.168 11.167 13.341 15.852 18.779 22.632 30.307
1.821 3.610 4.239 4.997 6.013 7.827 12.866
1.821 3.610 4.239 4.997 6.013 7.827 12.866
M3a
k2
3.872 8.607 10.391 12.476 14.955 18.254 25.29
Примечание. Жирным шрифтом выделены мнимые частоты.
Таблица 3
Энергия нулевых колебаний Ezp в КИГ при разных сжатиях,
вычисленная в моделях М2, М2а, М3, М3а
Величина Модель ΔV/V0 Ne Ar Kr Xe
1 2 3 4 5 6 7
M2* 0.0 81.63 98.91 75.02 64.47
M2a* 0.0 81.5 98.2 74.2 64.1
0.0 83.25 99.48 75.45 65.81
0.3 209.19 245.48 171.71 138.69
0.4 276.86 319.18 214.65 164.75
0.5 375.7 425.37 272.47 194.01
0.6 528.83 589.2 355.25 226.31
0.7 783.63 869.72 486.12 266.35
M2**
0.8 1262.84 1446.58 731.25 371.96
0.0 83.22 99.35 75.33 65.72
0.3 208.18 242.21 169.18 135.26
0.4 273.69 300.13 − 166.37
0.5 349.05 426.22 271.86 192.88
0.6 527.37 569.89 347.61 225.14
0.7 732.95 781.08 461.51 268.37
(1)
zpE , K
M2a**
0.8 847.91 − 634.43 373.35
M2* 0.0 79.84 96.91 73.37 63.1
M2a* 0.0 79.65 96.16 72.49 62.74
0.0 81.36 97.29 73.79 64.38
0.3 204.28 239.72 167.61 135.32
0.4 270.13 311.56 209.38 160.57
0.5 366.66 415.02 265.58 188.8
0.6 515.88 574.59 345.98 219.73
0.7 763.91 847.69 472.96 257.76
(2)
zpE , K
M2**
0.8 1229.7 1409.09 710.65 360.16
Физика и техника высоких давлений 2007, том 17, № 3
21
Продолжение табл. 3
1 2 3 4 5 6 7
0.0 81.32 97.15 73.67 64.28
0.3 203.21 236.49 165.26 134.24
0.4 267.0 301.94 202.57 157.7
0.5 352.42 432.61 268.53 187.34
0.6 532.45 550.58 336.45 217.98
0.7 696.44 721.64 439.97 259.9
(2)
zpE , K M2a**
0.8 − − 580.18 360.59
M2* 0.0 80.94 98.27 73.92 63.54
M2a* 0.0 80.75 97.52 73.05 63.18
0.0 82.27 98.15 74.45 64.91M2**
0.3 205.42 240.85 168.44 136.11
0.0 82.23 98.01 74.34 64.81
(10)
zpE , K
M2a**
0.3 204.34 237.5 166.0 135.05
M3* 0.0 81.09 99.09 75.02 64.47
M3a* 0.0 80.92 98.38 74.19 64.14
0.0 86.15 99.9 75.66 65.85
0.3 214.84 247.24 172.9 139.52
0.4 283.79 322.03 216.64 166.48
0.5 385.21 430.23 275.86 197.49
0.6 542.5 597.96 361.23 233.52
0.7 805.8 887.2 497.16 281.88
M3**
0.8 1307.01 1488.38 753.83 404.5
0.0 86.12 99.76 75.54 65.76
0.3 213.85 243.98 170.37 136.11
0.4 280.83 302.95 − 168.1
0.5 358.22 431.31 275.37 196.38
0.6 542.22 579.42 353.89 232.19
0.7 759.12 802.61 473.57 283.19
(1)
zpE , K
M3a**
0.8 971.2 − 662.86 404.11
M3* 0.0 79.26 97.26 73.37 63.1
M3a* 0.0 79.08 96.5 72.49 62.74
0.0 87.6 97.75 74.02 64.42
0.3 210.84 241.73 168.96 136.26
0.4 278.39 314.83 211.67 162.56
0.5 377.76 420.63 267.51 192.85
0.6 531.92 584.76 352.96 228.25
0.7 790.1 868.12 486.02 276.63
M3**
0.8 1282.49 1458.39 737.79 400.81
0.0 84.65 97.62 73.9 64.32
0.3 209.78 238.51 166.63 135.19
0.4 275.32 305.27 204.9 159.71
0.5 363.75 438.02 272.41 191.38
0.6 548.05 582.64 343.47 226.39
0.7 723.79 744.16 453.32 277.89
(2)
0E , K
M3a**
0.8 − − 597.99 398.94
Физика и техника высоких давлений 2007, том 17, № 3
22
Продолжение табл. 3
1 2 3 4 5 6 7
M3* 0.0 80.39 98.56 73.92 63.54
M3a* 0.0 80.20 97.8 73.05 63.18
0.0 85.45 98.6 74.11 64.95M3**
0.3 211.74 242.81 169.83 137.04
0.0 85.42 98.46 74.53 64.85
(10)
0zpE , K
M3a**
0.3 210.68 239.48 167.33 135.97
Примечания: 1. (1)
zpE , (2)
zpE , (10)
zpE − энергия нулевых колебаний, рассчитанная
соответственно по одной точке [31], по двум точкам [30], по десяти точкам [30].
Прочерки в значениях Ezp соответствуют мнимым частотам.
2. * − параметры для расчетов Ezp взяты из [19], ** − то же из [22,23].
На рисунке показана зависимость энергии нулевых колебаний Ezp от сжа-
тия ΔV/V0, рассчитанная без учета электрон-фононного взаимодействия (мо-
дель М3) и с учетом (модель М3а). Видно, что электрон-фононное взаимо-
действие практически не влияет на Ezp для Xe.
4. Заключение
В работе [19] было проведено исследование на сходимость результата в
зависимости от числа точек Чади−Коэна при р = 0. При температурах 20 K и
выше достаточно 10 точек для получения трех значащих цифр. При исполь-
зовании 408 точек с такой же точностью можно получить CV и 〈u2〉 при 2 K.
Машинный расчет 〈u2〉 и CV(T) проведен при постепенном увеличении числа
точек разбиений от 2 до 408. При этом оказывается, что результат сходится
тем быстрее, чем выше температура.
Таблица 4
Характеристики нулевых колебаний КИГ при p = 0
КИГ
(1)
zpE , K (2)
zpE , K theor
zpE , K exp
zpE , K theor
1δ ,
%
exp
1δ , % theor
2δ ,
%
exp
2δ , %
Ne 81.5 79.6 79.2 78.5[35] 2.8 3.7 0.5 1.4
Ar 98.2 96.2 91.4 86.1[36] 6.9 12.3 4.9 10.5
Kr 74.2 72.5 72.6 67.4[36] 2.2 9.2 0.1 7
Xe 64.1 62.7 62.9 − 1.9 − 0.3 −
Примечание.
exp theor
exp 100 %
zp zp
zp
E E
E
−
δ = . (1)
zpE , (2)
zpE − энергия нулевых колебаний,
рассчитанная соответственно по одной точке [31] и по двум точкам [30]. Парамет-
ры для расчета (1,2)
zpE взяты из [19], модель выбрана М2а. Значения для theor
zpE взяты
из [19, табл. 2].
Физика и техника высоких давлений 2007, том 17, № 3
23
Из табл. 3 и 4 видно, что если расчет
( )2
zpΕ по двум т. k существенно улучша-
ет согласие теории и эксперимента, то
увеличение числа точек главного зна-
чения до 10 не имеет такого значения
и исследования термодинамических
свойств и нулевых колебаний можно
проводить в двухточечной схеме ин-
тегрирования в широком интервале
давлений. Следует отметить, что Ezp
для Ar больше, чем в Ne. Это не озна-
чает, что квантовые эффекты в Ar
больше, чем для Ne. В работах [20,37]
был исследован вклад нулевых коле-
баний в энергии связи Ecoh, частоты и
модули упругости. Нулевые колеба-
ния играют существенную количест-
венную роль в формировании свойств
лишь Ne. При этом более всего они
влияют на энергию связи и упругие
постоянные B33 и B11. В Ar нулевые
колебания не столь значительны, но
их вклад в энергию связи и упругую
постоянную B33 следует учитывать.
Свойства Kr и Xe при T = 0 почти целиком определяются статической ре-
шеткой. Заметим, что относительная малость величины 44
zpB для всего ряда
кристаллов – следствие сильной компенсации положительного вклада чет-
верных ангармонизмов отрицательным вкладом тройных (см. [32]).
К сожалению, в настоящее время пока мало экспериментальных и теоре-
тических данных по динамике решетки КИГ при высоких давлениях. Как
отмечалось во введении, первопринципные расчеты проводились в рамках
DFT в приближении LDA [8−12]. Авторы работы [12] предполагают, что
увеличение плотности заряда в результате сжатия приведет к улучшению
приближения LDA, хотя известно, что LDA плохо описывает системы, свя-
занные такими слабыми силами, как силы Ван-дер-Ваальса [38]. В работе
[12] авторы «report on the first ab initio investigation of the lattice dynamics of
fcc Xe. Not only is such an investigation useful for obtaining thermodynamic
properties of xenon per se, but also serves to gauge the performance of density-
functional and pseudopotential techniques for this class of materials»1. Найдено,
1…«представляют впервые ab initio исследования динамики решетки ГЦК-Хе. Не
только как исследование, полезное для получения термодинамических свойств ксе-
нона самого по себе, но также оно служит, чтобы проверить пригодность техники
функционала плотности и псевдопотенциала для этого класса материалов».
0.0 0.2 0.4 0.6
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
E zp
, 1
03 K
ΔV/V0
Рис. Энергия нулевых колебаний Ezp
КИГ в зависимости от сжатия ΔV/V0,
рассчитанная в моделях без учета (мо-
дель М3 – сплошная линия) и с учетом
(модель М3а – штриховая линия)
электрон-фононного взаимодействия:
■ – Ne, ● – Ar, ▲ − Kr, ♦ − Xe
Физика и техника высоких давлений 2007, том 17, № 3
24
что для Xe в ГЦК-фазе все фононные моды монотонно растут с повышением
давления до 100 GPa, выше которого поперечные акустические моды в тт. X
и L начинают размягчаться (ħωT(X) = 21.3; 20.9; 19.0 meV и ħωT(L) = 13.1;
13.1; 13.0 meV при p = 100; 110; 120 GPa соответственно).
Значения частот примерно такие же, как у нас (в модели М3а ħωT(X) =
= 23.2 meV и ħωT(L) = 14.1 meV при p = 128 GPa, в модели М3 ħωT(X) =
= 22.12 meV, ħωT(L) = 11.04 meV (см. табл. 5 в [25]). Однако мы показали,
что в тт. Х и L «размягчаются» продольные моды, а в поперечные моды
электрон-фононное взаимодействие вносит положительный вклад. Можно
легко определить знак вклада электрон-фононного взаимодействия 2( )∗λΩ в
2
λΩ в т. Х для продольной и поперечной мод. Из выражений (5), (6) в [20]
для направления [ 00]ξk имеем:
для продольной моды
( ) ( ) ( )
2* 22
1
2 2
1 cosL x
xx
h g
k
A−
+
Ω = − −
−ϕ
, (12)
для поперечной моды
( ) ( ) ( )
2* 22
1
2
1 cosT x
yy
h g
k
A−
+
Ω = − −
−ϕ
. (13)
При p > 20 GPa для всех КИГ поляризуемость A > 1.0, и знак вклада опре-
деляется знаком ϕαβ. Как видно из табл. 2 в [25], для т. Х в кристаллах с
ГЦК-структурой ϕxx < 0, ϕyy > 0 и 1,A−
αβϕ > поэтому 2( )∗λΩ < 0, 2( )T
∗Ω > 0
в т. Х. Аналогично 2( )∗λΩ < 0, 2( )T
∗Ω > 0 в т. L.
Представляется более понятным увеличение неадиабатических эффектов
при взаимодействии электронов с ветвями фононов, имеющих относительно
большую величину, т.е. L-мода во всех симметричных направлениях и T2-
мода в направлении ∑, там, где
2T Lω > ω . Об этом свидетельствует и тот
факт, что в ряду Ne−Xe относительный вклад электрон-фононного взаимо-
действия γ самый большой для Ar (см. рис. 2 в [25]). Например, в т. X (L-
мода) при сжатии ΔV/V0 = 0.7 γ = 38.8; 57; 24.9 и 5.5% для Ne, Ar, Kr и Xe
соответственно (см. табл. 5 в [25]). На наш взгляд, недостаток [12] в том, что
эта теория не объясняет механизма и величины «размягчения» фононных
частот, как это позволяют сделать предложенные нами расчеты на основе
теории К.Б. Толпыго [20−25].
1. R.J. Hemley, H.-K. Mao, Ashcroff. Phys. Today 51, 26 (1998).
2. M. Krisch, J. Raman Spectrosc. 34, 628 (2003).
3. A. Dewaele, J.H. Eggert, P. Loubeyre, R. Le Toullec, Phys. Rev. B67, 094112 (2003).
4. H. Shimizu, H. Tashiro, T. Kume, S. Sasaki, Phys. Rev. Lett. 86, 4568 (2001).
Физика и техника высоких давлений 2007, том 17, № 3
25
5. H. Shimizu, H. Imaeda, T. Kume, S. Sasaki, Phys. Rev. B71, 014108 (2005).
6. P. Hohenberg, W. Kohn, Phys. Rev. 136, B864 (1964).
7. W. Kohn, L.J. Sham, Phys. Rev. 140, A1133 (1965).
8. T. Tsuchiya, K. Kawamura, J. Chem. Phys. 117, 5859 (2002).
9. I. Kwon, L.A. Collins, J.D. Kress, N. Troullier, Phys. Rev. B52, 15165 (1995).
10. W.A. Caldwell, J.H. Nguyen, B.G. Pfrommer, F. Mauri, S.G. Louie, R. Jeanloz, Sci-
ence 277, 930 (1997).
11. M. Springbord, J. Phys.: Condens. Matter 12, 9869 (2000).
12. J.K. Dewhurst, R. Ahuja, S. Li, B. Johansson, Phys. Rev. Lett. 88, 075504 (2002).
13. К.Б. Толпыго, Е.П. Троицкая, ФТТ 13, 1135 (1971).
14. М.А. Белоголовский, К.Б. Толпыго, Е.П. Троицкая, ФТТ 13, 2109 (1971).
15. К.Б. Толпыго, Е.П. Троицкая, ФТТ 17, 102 (1975).
16. К.Б. Толпыго, Е.П. Троицкая, ФТТ 16, 795 (1974).
17. К.Б. Толпыго, Е.П. Троицкая, УФЖ 19, 428 (1974).
18. К.Б. Толпыго, Е.П. Троицкая, ФТТ 14, 2867 (1972).
19. Е.В. Зароченцев, К.Б. Толпыго, Е.П. Троицкая, ФНТ 5, 1324 (1979).
20. Е.В. Зароченцев, Е.П. Троицкая, В.В. Чабаненко, ФТВД 13, № 4, 7 (2003).
21. Е.П. Троицкая, В.В. Чабаненко, Е.Е. Горбенко, ФТВД 14, № 3, 7 (2004).
22. Е.П. Троицкая, В.В. Чабаненко, Е.Е. Горбенко, ФТВД 15, № 3, 7 (2005).
23. Е.П. Троицкая, В.В. Чабаненко, Е.Е. Горбенко, ФТТ 47, 1683 (2005).
24. Е.П. Троицкая, В.В. Чабаненко, Е.Е. Горбенко, ФТТ 48, 695 (2006).
25. Е.П. Троицкая, В.В. Чабаненко, Е.Е. Горбенко, ФТВД 16, № 1, 25 (2006).
26. В.Л. Дорман, Е.В. Зароченцев, Е.П. Троицкая, ФТТ 23, 1581 (1981).
27. Е.П. Троицкая, Ю.В. Еремейченкова, Е.В. Зароченцев, ФТВД 5, № 4, 5, (1995).
28. В.Л. Дорман, Е.В. Зароченцев, Е.П. Троицкая, ФНТ 8, 94 (1982).
29. A. Baldereschi, Phys. Rev. B7, 5212 (1973).
30. D.J. Chadi, M.L. Cohen, Phys. Rev. B8, 5747 (1973).
31. A. Baldereschi, Bull. Am. Phys. Soc. 17, 237 (1972).
32. В.Г. Барьяхтар, Е.В. Зароченцев, Е.П. Троицкая, в кн.: Методы вычислительной
физики в теории твердого тела. Атомные свойства металлов, Наукова думка,
Киев (1990).
33. Е.В. Зароченцев, Е.П. Троицкая, В.В. Чабаненко, ФТВД 11, № 4, 7 (2001).
34. A.P. Jephcoat, H.K. Mao, L.W. Finger, D.F. Lox, R.J. Hemley, C.S. Zha, Phys. Rev.
Lett. 59, 2690 (1987).
35. W.B. Daniels, J.D. Axe, Phys. Rev. B14, 3649 (1976).
36. R.H. Beaumont, H. Chihara, J.A Morrison, Proc. Phys. Soc. 78, 1462 (1961).
37. Е.В. Зароченцев, Е.П. Троицкая, В.В. Чабаненко, ФТВД 12, № 2, 13 (2002).
38. W. Kohn, Y. Meir, D.E. Makarov, Phys. Rev. Lett. 80, 4153 (1998).
E.P. Troitskaya, V.V. Chabanenko, E.E. Gorbenko, N.V. Kuzovoy
ZERO-POINT ENERGY IN COMPRESSED CRYSTALS
OF THE Ne−Xe SERIES
Within the K.B. Tolpygo’s model and by using a dynamic matrix constructed on the basis
of nonempirical short-range repulsion potential the calculation was made of the phonon
Физика и техника высоких давлений 2007, том 17, № 3
26
frequencies of compressed inert gas crystals (IGC) with the electron-phonon interaction at
points of Chadi−Cohen principal value taken into account. Method of integration by
points of the principal value is discussed. Imaginary frequency of the fcc lattice is ana-
lysed. Quantum effects, in particular the zero-point energy Ezp, have been investigated in
Ne−Xe crystals at various pressure values.
Fig. Zero-point energy Ezp of IGC as a function of compression ΔV/V0 calculated within
models with no account (model М3 – solid line) and with account (model М3а – dashed
line) for electron-phonon interaction: ■ – Ne, ● – Ar, ▲ − Kr, ♦ − Xe
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-70362 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0868-5924 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:59:10Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Донецький фізико-технічний інститут ім. О.О. Галкіна НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Троицкая, Е.П. Чабаненко, В.В. Горбенко, Е.Е. Кузовой, Н.В. 2014-11-03T18:32:59Z 2014-11-03T18:32:59Z 2007 Энергия нулевых колебаний в сжатых кристаллах ряда Ne−Xe / Е.П. Троицкая, В.В. Чабаненко, Е.Е. Горбенко, Н.В. Кузовой // Физика и техника высоких давлений. — 2007. — Т. 17, № 3. — С. 14-26. — Бібліогр.: 38 назв. — рос. 0868-5924 PACS: 62.50.−p, 64.10.+h, 64.30.+t https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/70362 В рамках модели К.Б. Толпыго с помощью динамической матрицы, построенной на основе неэмпирического короткодействующего потенциала отталкивания, рассчитаны фононные частоты сжатых кристаллов инертных газов (КИГ) с учетом электрон-фононного взаимодействия в точках главного значения Чади−Коэна. Обсуждается метод интегрирования по точкам главного значения. Анализируется мнимость частоты ГЦК-решетки. Проведено исследование квантовых эффектов, в частности энергии нулевых колебаний Ezp в ряду кристаллов Ne−Xe при различных давлениях. Within the K.B. Tolpygo’s model and by using a dynamic matrix constructed on the basis of nonempirical short-range repulsion potential the calculation was made of the phonon frequencies of compressed inert gas crystals (IGC) with the electron-phonon interaction at points of Chadi−Cohen principal value taken into account. Method of integration by points of the principal value is discussed. Imaginary frequency of the fcc lattice is analysed. Quantum effects, in particular the zero-point energy Ezp, have been investigated in Ne−Xe crystals at various pressure values. ru Донецький фізико-технічний інститут ім. О.О. Галкіна НАН України Физика и техника высоких давлений Энергия нулевых колебаний в сжатых кристаллах ряда Ne−Xe Енергія нульових коливань в стиснених кристалах ряду Ne−Xe Zero-point energy in compressed crystals of the Ne−Xe series Article published earlier |
| spellingShingle | Энергия нулевых колебаний в сжатых кристаллах ряда Ne−Xe Троицкая, Е.П. Чабаненко, В.В. Горбенко, Е.Е. Кузовой, Н.В. |
| title | Энергия нулевых колебаний в сжатых кристаллах ряда Ne−Xe |
| title_alt | Енергія нульових коливань в стиснених кристалах ряду Ne−Xe Zero-point energy in compressed crystals of the Ne−Xe series |
| title_full | Энергия нулевых колебаний в сжатых кристаллах ряда Ne−Xe |
| title_fullStr | Энергия нулевых колебаний в сжатых кристаллах ряда Ne−Xe |
| title_full_unstemmed | Энергия нулевых колебаний в сжатых кристаллах ряда Ne−Xe |
| title_short | Энергия нулевых колебаний в сжатых кристаллах ряда Ne−Xe |
| title_sort | энергия нулевых колебаний в сжатых кристаллах ряда ne−xe |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/70362 |
| work_keys_str_mv | AT troickaâep énergiânulevyhkolebaniivsžatyhkristallahrâdanexe AT čabanenkovv énergiânulevyhkolebaniivsžatyhkristallahrâdanexe AT gorbenkoee énergiânulevyhkolebaniivsžatyhkristallahrâdanexe AT kuzovoinv énergiânulevyhkolebaniivsžatyhkristallahrâdanexe AT troickaâep energíânulʹovihkolivanʹvstisnenihkristalahrâdunexe AT čabanenkovv energíânulʹovihkolivanʹvstisnenihkristalahrâdunexe AT gorbenkoee energíânulʹovihkolivanʹvstisnenihkristalahrâdunexe AT kuzovoinv energíânulʹovihkolivanʹvstisnenihkristalahrâdunexe AT troickaâep zeropointenergyincompressedcrystalsofthenexeseries AT čabanenkovv zeropointenergyincompressedcrystalsofthenexeseries AT gorbenkoee zeropointenergyincompressedcrystalsofthenexeseries AT kuzovoinv zeropointenergyincompressedcrystalsofthenexeseries |