Теплоемкость ГЦК-Хе под давлением
Представлены теоретические ab initio исследования динамики решеток сжатых кристаллов инертных газов (КИГ) в модели К.Б. Толпыго, явно учитывающей деформацию электронных оболочек в дипольном приближении. С помощью динамической матрицы на основе неэмпирического короткодействующего потенциала отталкива...
Saved in:
| Published in: | Физика и техника высоких давлений |
|---|---|
| Date: | 2007 |
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Донецький фізико-технічний інститут ім. О.О. Галкіна НАН України
2007
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/70381 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Теплоемкость ГЦК-Хе под давлением / Е.П. Троицкая, В.В. Чабаненко, Е.Е. Горбенко, Н.В. Кузовой // Физика и техника высоких давлений. — 2007. — Т. 17, № 4. — С. 17-27. — Бібліогр.: 40 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860245983725617152 |
|---|---|
| author | Троицкая, Е.П. Чабаненко, В.В. Горбенко, Е.Е. Кузовой, Н.В. |
| author_facet | Троицкая, Е.П. Чабаненко, В.В. Горбенко, Е.Е. Кузовой, Н.В. |
| citation_txt | Теплоемкость ГЦК-Хе под давлением / Е.П. Троицкая, В.В. Чабаненко, Е.Е. Горбенко, Н.В. Кузовой // Физика и техника высоких давлений. — 2007. — Т. 17, № 4. — С. 17-27. — Бібліогр.: 40 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Физика и техника высоких давлений |
| description | Представлены теоретические ab initio исследования динамики решеток сжатых кристаллов инертных газов (КИГ) в модели К.Б. Толпыго, явно учитывающей деформацию электронных оболочек в дипольном приближении. С помощью динамической матрицы на основе неэмпирического короткодействующего потенциала отталкивания и интегрирования по точкам главного значения в зоне Бриллюэна (BZ) рассчитывается удельная теплоемкость сжатого гранецентрированного кубического (ГЦК) Хе в гармоническом приближении. Полученные температурные зависимости удельной теплоемкости и температуры Дебая находятся в хорошем согласии с имеющимися результатами эксперимента при нулевом давлении и расчетами в теории функционала плотности при всех давлениях.
Theoretical ab initio investigations of the lattice dynamics of compressed inert gas crystals (IGC) done within K.B. Tolpygo’s model, which considers the deformation of electronic shells in the dipole approximation, are given. Specific heat of the compressed fcc Xe is calculated by using a dynamic matrix based on nonempirical short-range repulsive potential and by integration with respect to principal-value points in the Brillouin zone. The obtained temperature dependences of specific heat and Debye temperature agree well with the available experimental results for zero pressure and with calculations within the theory of density functional for all pressures
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:36:47Z |
| format | Article |
| fulltext |
Физика и техника высоких давлений 2007, том 17, № 4
17
PACS: 62.50.−p, 64.10.+h, 64.30.+t
Е.П. Троицкая1, В.В. Чабаненко1, Е.Е. Горбенко2, Н.В. Кузовой2
ТЕПЛОЕМКОСТЬ ГЦК-Хе ПОД ДАВЛЕНИЕМ
1Донецкий физико-технический институт им. А.А. Галкина НАН Украины
ул. Р. Люксембург, 72, г. Донецк, 83114, Украина
2Луганский национальный педагогический университет им. Т. Шевченко
ул. Оборонная, 2, г. Луганск, 91011, Украина
Статья поступила в редакцию 3 мая 2007 года
Представлены теоретические ab initio исследования динамики решеток сжатых
кристаллов инертных газов (КИГ) в модели К.Б. Толпыго, явно учитывающей де-
формацию электронных оболочек в дипольном приближении. С помощью динами-
ческой матрицы на основе неэмпирического короткодействующего потенциала
отталкивания и интегрирования по точкам главного значения в зоне Бриллюэна
(BZ) рассчитывается удельная теплоемкость сжатого гранецентрированного ку-
бического (ГЦК) Хе в гармоническом приближении. Полученные температурные
зависимости удельной теплоемкости и температуры Дебая находятся в хорошем
согласии с имеющимися результатами эксперимента при нулевом давлении и рас-
четами в теории функционала плотности при всех давлениях.
1. Введение
Структурная простота КИГ делает их особенно привлекательными для
количественного исследования динамики и термодинамики этих кристаллов
под давлением.
Твердый ксенон относится к тяжелым КИГ, в нем пренебрежимо малы
квантовые эффекты, и он имеет самое низкое давление металлизации pm.
Экспериментальные измерения pm лежат в области от 121 до 138 GPa [1,2].
При низких температурах Xe кристаллизуется в ГЦК-структуру и под
действием давления переходит в гексагональную плотноупакованную
структуру при 75 GPa [3,4].
Большинство теоретических исследований динамических и термодина-
мических свойств Хе используют эмпирические межатомные потенциалы.
Такой подход удобен тем, что позволяет обойти сложную проблему изуче-
ния деталей межатомного взаимодействия в кристалле. Но именно по этой
причине он ограничивает возможность однозначного понимания получае-
мых результатов. Так, если применяется потенциал с небольшим количест-
вом подгоночных параметров (типа Леннарда−Джонса), то в расчеты заве-
домо вносится неточность, связанная с качественным характером определе-
Физика и техника высоких давлений 2007, том 17, № 4
18
ния самого потенциала. Поэтому успешное описание в данном случае неко-
торых свойств КИГ не является гарантией адекватности потенциала [5,6].
В работах [7−17] с помощью метода сильной связи было реализовано
адиабатическое приближение, необходимое для построения динамики и
термодинамики решетки КИГ. Оно позволяет провести рассмотрение разно-
образных свойств КИГ из первых принципов, опираясь лишь на знание вол-
новых функций основного и возбужденного состояний атомов. «…Обра-
щаясь к явлениям, обусловленным динамикой кристаллической решетки и
процессами возбуждения и поляризации атомов кристалла, мы видим у них
общую основу: нижайший уровень энергии электронной подсистемы пред-
ставляет собой адиабатический потенциал для движения ядер. Электронные
процессы отвечают различным уровням возбуждения той же электронной
подсистемы, которые можно рассматривать как квазичастицы, способные, в
свою очередь, взаимодействовать и между собой, и с фононами, т.е. элемен-
тарными возбуждениями ядерной подсистемы. Однако в большинстве тео-
ретических работ эта первичная связь игнорируется, а электрон-фононное
(или экситон-фононное) взаимодействие вводится в дальнейшем феномено-
логически. В развиваемой нами теории для диэлектриков и полупроводни-
ков ... шаг вперед состоит в явном учете зависимости электронных состоя-
ний и электронной энергии от смещения ядер» [11].
В цикле работ [18−22] исследовались фононные дисперсионные кривые
сжатых кристаллов Ne, Ar, Kr, Xe в симметричных направлениях для выяс-
нения роли различных взаимодействий, прежде всего электрон-фононного.
В работе [23] в рамках модели К.Б. Толпыго с помощью динамической
матрицы, построенной на основе неэмпирического короткодействующего
потенциала отталкивания, рассчитаны фононные частоты сжатого ГЦК-Xe с
учетом электрон-фононного взаимодействия в точках главного значения Ча-
ди−Коэна [24,25]. Проведено исследование энергии нулевых колебаний Ezp в
КИГ при различных давлениях.
Целью настоящей работы является количественное описание термоди-
намических свойств, в частности температурной зависимости удельной
теплоемкости CV и температуры Дебая θD в кристалле Хе при различных
давлениях.
2. Основные формулы и приближения
Решеточная теплоемкость СV в гармоническом приближении описывается
известными формулами [17,26]:
( )
2
3
3
1
( )d ( ) ( ) ( ) 1 ,
(2 )
( )( ) exp 1 ,
V
B
B
RC n n
k T
n
k T
λ
λ λ
λ
−
λ
λ
⎡ ⎤⎛ ⎞ωΩ ⎢ ⎥= +⎜ ⎟
⎢ ⎥π ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞ω
= −⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎣ ⎦
∑∫
k k k
kk
k
(1)
Физика и техника высоких давлений 2007, том 17, № 4
19
где kB = 1.3806662·10−23 J/K – постоянная Больцмана, R = kBNA (NA − число
Авогадро), Ω = 2a3 − объем элементарной ячейки для КИГ в ГЦК-фазе.
При низких температурах (T << θD) CV очень мало и пропорционально
T
3. Поэтому для сравнения теории с экспериментом удобнее рассчитывать
величину
1/ 3 1/ 3412( )
5 V
RT T
C
⎛ ⎞ ⎛ ⎞π
θ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
. (2)
Нетрудно заметить, что при T = 0 θ(0) = θD.
Для вычисления интегралов по BZ используем метод Чади−Коэна [27].
Сущность этого метода состоит в замене интеграла по BZ суммой значений
подынтегральной функции в особых точках (точках главного значения),
найденных теоретико-групповыми методами.
Координаты такой точки главного значения k* были найдены в [28]: k* =
= [0.6223; 0.2953; 0] для ГЦК-решетки. Вообще говоря, чтобы обеспечить
необходимую точность в расчетах, нужно знать значения искомой функции
f(k) в большом числе тт. k.
В работе [21] авторы предложили метод генерирования этих точек на ос-
нове двух точек главного значения k1 и k2 для определения f(k) в кристалле:
[ ]1 2
1( ) 3 ( ) ( )
4
f f f= +k k k , 1
3 1 1; ;
4 4 4
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
k , 2
1 1 1; ;
4 4 4
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
k . (3)
Точки k1 и k2 используются в [21] для генерирования десяти устойчивых
точек главного значения, по которым среднее f(k) по зоне определяется с
высокой степенью точности.
Координаты и соответствующие веса αi этих точек для ГЦК-структуры
следующие:
1
7 3 1; ;
8 8 8
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
k , 1
3
16
α = ; 2
7 1 1; ;
8 8 8
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
k , 2
3
32
α = ;
3
5 5 1; ;
8 8 8
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
k , 3
3
32
α = ; 4
5 3 3; ;
8 8 8
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
k , 4
3
32
α = ;
5
5 3 1; ;
8 8 8
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
k , 5
3
16
α = ; 6
5 1 1; ;
8 8 8
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
k , 6
3
32
α = ;
7
3 3 3; ;
8 8 8
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
k , 7
1
32
α = ; 8
3 3 1; ;
8 8 8
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
k , 8
3
32
α = ;
9
3 1 1; ;
8 8 8
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
k , 9
3
32
α = ; 10
1 1 1; ;
8 8 8
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
k , 10
3
32
α = . (4)
В табл. 1 приведены рассчитанные частоты для Xe при сжатиях ΔV/V0 от
0 до 0.7, необходимые для вычисления термодинамических свойств и энер-
гии нулевых колебаний по десятиточечной схеме Чади−Коэна (4).
Физика и техника высоких давлений 2007, том 17, № 4
20
Таблица 1
Частоты ħω [meV] для Хе, рассчитанные в моделях М3 и М3а
при различных сжатиях для 10 точек главного значения (4)
ΔV/V0
k1 [7/8;
3/8;1/8]
k2 [7/8;
1/8;1/8]
k3 [5/8;
5/8;1/8]
k4 [5/8;
3/8;3/8]
k5 [5/8;
3/8;1/8]
k6 [5/8;
1/8;1/8]
k7 [3/8;
3/8;3/8]
k8 [3/8;
3/8;1/8]
k9 [3/8;
1/8;1/8]
k10 [1/8;
1/8;1/8]
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
M3
0.0
5.0896
4.4001
3.5695
3.6813
3.9669
5.3707
3.0637
4.2049
5.1201
3.0617
2.7997
5.4253
3.0164
3.7477
5.1988
3.2577
3.1396
4.6893
2.3839
2.3839
5.1205
2.0442
2.8268
4.3910
2.0210
2.1575
3.4935
0.9901
0.9901
2.0806
0.1
6.5983
5.6609
4.5192
4.6761
5.0687
6.9794
3.8331
5.4087
6.6514
3.8584
3.4922
7.0811
3.7590
4.7829
6.7066
4.1479
3.9860
6.1079
2.9502
2.9502
6.6991
2.5013
3.6010
5.7405
2.5407
2.7311
4.5709
1.2249
1.2249
2.7341
0.2
8.5192
7.2633
5.7396
5.9309
6.4624
9.0262
4.8317
6.9457
8.6137
4.8972
4.3983
9.2100
4.7252
6.1022
8.6534
5.2793
5.0562
7.9317
3.7039
3.7039
8.7315
3.1231
4.5897
7.4798
3.219
3.4615
5.9633
1.5373
1.5373
3.5739
0.3
11.0052
9.3284
7.3190
7.5301
8.2473
11.6760
6.1291
8.9331
11.1683
6.2544
5.5810
11.9922
5.9866
7.8027
11.2027
6.7313
6.4215
10.3138
4.6986
4.6986
11.391
3.9563
5.8627
9.7573
4.1043
4.3972
7.7905
1.9497
1.9497
4.6715
0.4
13.198
11.118
8.67
8.869
9.769
14.028
7.213
10.655
13.446
7.4
6.554
14.496
7.047
9.249
13.489
7.955
7.551
12.461
5.51
5.51
13.793
4.649
6.922
11.816
4.845
5.159
9.451
2.286
2.286
5.663
0.5
15.725
13.153
10.223
10.347
11.476
16.751
8.459
12.618
16.108
8.721
7.662
17.445
8.283
10.874
16.193
9.318
8.782
14.999
6.448
6.448
16.63
5.493
8.089
14.253
5.69
5.98
11.433
2.675
2.675
6.832
0.6
24.657
20.451
15.955
15.806
17.688
26.339
13.186
19.634
25.485
13.63
11.891
27.744
12.97
16.761
25.738
13.326
14.301
23.906
10.077
10.077
26.508
8.811
12.337
22.761
8.828
8.828
18.357
4.181
4.181
10.891
0.7
34.201
28.135
22.46
21.319
24.099
36.653
18.86
26.943
35.92
19.344
16.89
39.286
18.597
22.741
36.564
17.682
19.343
34.129
14.616
14.616
37.642
13.516
16.375
32.501
12.277
11.821
26.537
6.065
6.065
15.456
M3a
0.0
3.5675
4.3922
5.0752
3.6787
3.9625
5.3535
3.0632
4.1980
5.1048
2.7994
3.0608
5.4063
3.0158
3.7437
5.1852
3.1380
3.2555
4.6777
2.3839
2.3839
5.1043
2.0442
2.8254
4.3809
2.0208
2.1570
3.4884
0.9901
0.9901
2.0794
0.1
4.5153
5.6422
6.5651
4.6707
5.0585
6.9407
3.8327
5.3922
6.6166
3.4921
3.8568
7.0392
3.7583
4.7732
6.6760
3.9826
4.1430
6.0825
2.9502
2.9502
6.6638
2.5009
3.5975
5.7183
2.5404
2.7302
4.5597
1.2249
1.2249
2.7316
0.2
5.7320
7.2178
8.4436
5.9189
6.4376
8.9409
4.8317
6.9051
8.5359
4.3980
4.8950
9.1200
4.7248
6.0768
8.5863
5.0480
5.2667
7.8772
3.7009
3.7009
8.6566
3.1148
4.5800
7.4319
3.2187
3.4592
5.9380
1.5370
1.5370
3.5688
0.3
7.3037
9.2151
10.8391
11.4961
8.1777
7.4941
6.2707
8.8302
11.0018
6.2536
5.6372
11.8060
6.0381
7.7248
11.0613
6.6698
6.3571
10.1982
4.7538
4.7538
11.2394
4.0225
5.7287
9.6161
4.1046
4.4004
7.7648
1.9520
1.9520
4.6614
0.4
8.67
12.891
10.862
8.877
8.948
13.698
7.265
10.399
13.134
7.411
6.609
14.162
7.093
11.438
13.829
7.552
7.973
12.275
5.575
5.575
13.52
4.726
6.932
11.662
5.159
4.849
9.383
2.29
2.29
5.645
0.5
15.208
10.258
12.577
10.36
11.514
16.205
8.617
11.893
15.566
8.786
7.818
16.881
8.399
10.945
15.806
9.318
8.791
14.693
6.609
6.609
16.168
5.665
8.089
13.991
5.987
5.708
11.318
2.685
2.685
6.802
Физика и техника высоких давлений 2007, том 17, № 4
21
Продолжение табл. 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
0.6
23.6749
18.8243
16.2013
17.7071
16.0191
25.2629
13.8541
23.8227
58.3854
13.9856
12.5166
26.5606
16.7626
13.4679
24.957
14.3567
13.4522
23.3082
10.6636
10.6636
25.525
9.3823
22.2186
12.364
9.0806
8.9184
18.1262
4.2193
4.2193
10.8277
0.7
32.7794
29.9819
24.3191
24.6093
22.5239
34.8484
21.1165
27.1942
34.63
20.7311
18.9531
37.0843
20.2312
22.921
35.2417
19.778
18.3865
33.1385
16.4145
16.4145
35.7659
15.1064
31.5233
16.6032
12.1075
12.6082
26.1521
6.1852
6.1852
15.3372
3. Решеточная теплоемкость и температура Дебая
На рис. 1 и в табл. 2 представлена температурная зависимость удельной
теплоемкости CV при разных давлениях (сжатиях). Мы выбрали величины
давления р = 0.5; 1; 4 GPa, чтобы сравнить с результатами, полученными в
теории функционала плотности (DFT) [29].
Таблица 2
Теплоемкость решетки Хе CV (в единицах kB), посчитанная в модели М3а
в зависимости от температуры T при различных сжатиях
ΔV/V0
Т, K 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
5 0.15468 0.07459 0.03531 0.01615 0.00925209 0.00487381 0.000334946 0
10 0.89029 0.54521 0.30039 0.14728 0.08734 0.05186 0.01227 0.00248682
15 1.59308 1.16664 0.77183 0.45314 0.2901 0.18401 0.04424 0.01363
20 2.04901 1.66528 1.24343 0.83526 0.58107 0.40434 0.10994 0.0345
25 2.33019 2.01521 1.62853 1.20276 0.89633 0.67034 0.21633 0.06975
30 2.50833 2.25528 1.92126 1.51803 1.19509 0.94324 0.35616 0.12381
35 2.62601 2.42218 2.13957 1.77507 1.45901 1.19987 0.51694 0.19759
40 2.70698 2.54102 2.30284 1.98042 1.68367 1.42965 0.68702 0.2889
45 2.76472 2.62783 2.4264 2.1437 1.87141 1.62979 0.85755 0.39399
50 2.8072 2.69279 2.5213 2.27394 2.02714 1.80153 1.02258 0.50868
55 2.83927 2.74248 2.59535 2.37854 2.15619 1.94785 1.17847 0.62903
60 2.86404 2.78125 2.65398 2.4633 2.26339 2.07223 1.3233 0.75169
65 2.88355 2.81201 2.70108 2.53263 2.35286 2.17804 1.45635 0.87396
70 2.89917 2.83679 2.73939 2.58987 2.42797 2.26827 1.57766 0.99379
75 2.91187 2.85704 2.77093 2.63756 2.49141 2.34552 1.68773 1.1097
80 2.92233 2.87378 2.79717 2.67763 2.54533 2.41192 1.78734 1.22068
85 2.93104 2.88777 2.81922 2.71159 2.59146 2.46927 1.87736 1.3261
90 2.93837 2.89957 2.83791 2.74057 2.63115 2.51903 1.9587 1.42564
95 2.9446 2.90962 2.85388 2.76549 2.66552 2.56242 2.03223 1.51918
100 2.94993 2.91824 2.86762 2.78705 2.69543 2.60042 2.0988 1.60678
105 2.95453 2.9257 2.87954 2.80582 2.72161 2.63386 2.15914 1.68859
110 2.95853 2.93218 2.88993 2.82225 2.74463 2.6634 2.21394 1.76485
115 2.96202 2.93786 2.89904 2.83671 2.76497 2.68961 2.26381 1.83585
120 2.96509 2.94285 2.90707 2.8495 2.78302 2.71296 2.30928 1.9019
125 2.96781 2.94727 2.91419 2.86086 2.79911 2.73383 2.35083 1.9633
130 2.97022 2.9512 2.92053 2.87099 2.8135 2.75256 2.38889 2.02039
140 2.97429 2.95785 2.93128 2.88823 2.83807 2.78466 2.45591 2.12283
150 2.97759 2.96323 2.94 2.90226 2.85814 2.81099 2.5128 2.21153
160 2.98029 2.96764 2.94716 2.91383 2.87474 2.83284 2.56146 2.28852
Физика и техника высоких давлений 2007, том 17, № 4
22
0 50 100 150
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Tm
C
V/R
T, K
0 50 100 150
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Tm
2
C
V/R
T, K
1
а б
0 50 100 150 200
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Tm
C
V/R
T, K
2
1
3
в
Рис. 1. Температурная зависимость теплоемкости CV ксенона при давлении, GPa:
a − p = u = 0; б: 1 − 1, 2 − 4; в: 1 − 0.5, 2 − 10,1 (u = ΔV/V0 = 0,4), 3 − 57,65 (u = 0,6); ■
и ∇ со сплошной линией – наши расчеты в моделях соответственно M3 (без учета
электрон-фононного взаимодействия) и M3a (с учетом электрон-фононного взаи-
модействия). Эксперимент: − [30], – [31]; ⊕ − расчеты [32] в гармоническом
приближении, ● с точечной кривой – расчет в DFT [29], ○ − расчеты [17], ♦ и Δ –
наши расчеты в двухточечной схеме Чади−Коэна в моделях соответственно M3 и
M3a. Температура плавления Tm (при p = 0) показана стрелкой
На рис. 1,а приведены экспериментальные зависимости теплоемкости CV
от T для Хe при нулевом давлении как пересчитанные по значениям СР, так
и измеренные непосредственно; кроме того, представлены результаты, по-
лученные по формуле (1), а также теоретические результаты других авторов.
Поскольку CV(T) однозначно определяется фононным спектром во всей зоне
Бриллюэна, ясно, что лучшее согласие с экспериментом по теплоемкости
должны давать теории, наиболее точно описывающие фононный спектр. По-
этому неудивительно, что теория Толпыго (модель М1) [17], параметры ко-
торой определялись из минимума среднеквадратичного отклонения для ωλk
(в симметричных направлениях, так как других экспериментальных точек
нет), приводит и к лучшему согласию для CV(T) по сравнению с теорией
[32], в которой использовался потенциал Леннарда−Джонса с параметрами,
определенными только по значениям энергии связи и постоянной решетки.
Этого явно недостаточно для хорошего воспроизведения фононных частот.
Физика и техника высоких давлений 2007, том 17, № 4
23
Мы не приводим теоретических ре-
зультатов для CV(T) из работы [33], в ко-
торой использовалась оболочечная мо-
дель кристалла, поскольку эти результа-
ты еще хуже согласуются с эксперимен-
том (по-видимому, неудачен был выбор
параметров теории или метод расчета).
Обращает на себя внимание тот факт,
что теория [32] дает систематически за-
ниженные в сравнении с экспериментом
значения CV при высоких температурах
и даже «завал» кривых. Напротив, наши
расчеты, выполненные в гармоническом
приближении, как и расчеты [29], при-
водят к лучшему согласию, особенно с
более поздними прямыми измерениями
CV(T) [31].
На рис. 1,б,в представлена удельная
теплоемкость Хе при р ≠ 0 в зависимости
от температуры. Как видно из рис. 1,в,
при увеличении давления значения CV/R
уменьшаются, они не достигают пре-
дельного значения 3 (в единицах kB) и
изменяется вид кривой. Вклад электрон-фононного взаимодействия мал и
заметен только при сжатии u = 0.6, что соответствует p = 57.65 GPa. Согла-
сие с расчетами [29] нам представляется хорошим при всех давлениях. Для
удобства сравнения при низких T на рис. 2 приведены значения θ(Т), полу-
ченные по формуле (2). Сопоставление расчетных значений θ(Т) (рис. 2) при
нулевом давлении с экспериментальными показывает правильность общего
хода этой величины в достаточно широком температурном интервале 0−20 K.
Это свидетельствует о том, что теория правильно передает значения ωλk в
начальном участке кривых, в первую очередь для поперечных (низких) час-
тот. Предельные значения θ(0) = θD при р = 0 в нашей теории совпадают с
рассчитанными по упругим постоянным Cijkl.
4. Заключение
В [17] было проведено исследование на сходимость результата расчета
CV(T) в зависимости от числа точек Чади−Коэна при р = 0. При температу-
рах 20 K и выше достаточно 10 точек для получения трех значащих цифр.
При использовании 408 точек с такой же точностью можно получить CV при
2 K. Расчет CV(T) проведен при постепенном увеличении числа точек раз-
биений от 2 до 408. При этом оказывается, что результат сходится тем быст-
Рис. 2. Температурная зависимость
θ (см. (2)) ксенона при разных дав-
лениях, GPa: 1 − 0, 2 − 0.5, 3 − 1, 4 −
4, 5 − 10.1, 6 − 23.45, 7 − 57.65; ■ со
сплошной линией – наши расчеты в
модели M3a; ♦ − эксперимент [30],
○ – расчеты [17]
0 10 20 30
50
100
150
200
250 7
6
5
4θ,
K
T, K
1
23
Физика и техника высоких давлений 2007, том 17, № 4
24
рее, чем выше температура. В работе [23, табл. 4] для Ne−Kr при р = 0 пока-
зано, что если расчет (2)
zpE по двум точкам k существенно улучшает согласие
теории и эксперимента, то увеличение числа точек главного значения до 10
не имеет такого значения и исследования нулевых колебаний можно прово-
дить в двухточечной схеме интегрирования в широком интервале давлений.
Для удельной теплоемкости нужно использовать не менее 10 точек глав-
ного значения. Величины CV в двухточечной схеме интегрирования сущест-
венно отличаются, как это видно для u = 0.6 (см. рис. 1,в).
К сожалению, в настоящее время пока мало экспериментальных и теоре-
тических данных по динамике решетки КИГ при высоких давлениях. Перво-
принципные расчеты проводились в рамках DFT в приближении локальной
плотности (LDA) [29,34−36]. Авторы работы [29] предполагают, что увели-
чение плотности заряда в результате сжатия приведет к улучшению при-
ближения LDA, хотя известно, что последняя плохо описывает системы,
связанные такими слабыми силами, как силы Ван-дер-Ваальса [37]. В работе
[29] найдено, что для Xe в ГЦК-фазе все фононные моды монотонно растут
с увеличением давления до 100 GPa, выше которого поперечные акустиче-
ские моды в тт. X и L начинают размягчаться.
0 20 40 60 80 100 1205
10
15
20
25
30
35
LA(X)
LA(L)
TA(L)
TA(X)
hω
λ,
m
eV
P, GPa
0
5
10
15
20
T
L
T2
T1
L
[111][110]
Λ LΣX K Γ
hω
λ,
m
eV
Рис. 3. Зависимость фононных частот ħωλ(X) и ħωλ(L) от давления для ГЦК-Хе в тт.
X и L. Наши расчеты [24] в моделях М3 (⎯) и М3а (---): ■ − ħωL(X,L), ▲ − ħωT(X,L),
× − ħωT(k), рассчитанные в тт. X и L в работе [29] (мы сохранили обозначения авто-
ров: TA(X,L) – transverse acoustic modes)
Рис. 4. Фононные частоты ħωλ в симметричных направлениях волнового вектора k
для Хе при p = 16 GPa: сжатие ΔV/V0 = 0.455 [24], −×− − расчет [29] (остальные обо-
значения как на рис. 3). Буквы L, T, T1, T2 обозначают поляризуемость λ
Как видно из рис. 3 и 4, значения частот примерно такие же, как получен-
ные в данной работе. Однако в отличие от [29] мы показали, что в тт. Х и L
продольные моды «размягчаются», а в поперечные моды электрон-фононное
взаимодействие вносит положительный вклад [25]. К сожалению, продоль-
ные моды при высоких давлениях в [29] не представлены.
Несмотря на указанное различие, согласие рассчитанных нами частот [24]
с полученными в [29], на наш взгляд, удовлетворительное, не хуже, чем в
Физика и техника высоких давлений 2007, том 17, № 4
25
случае упругих свойств этих кристаллов под давлением [38], где также про-
ведено сравнение наших результатов с расчетами в рамках DFT с LDA-
приближением [39].
При р = 0, как полагают авторы [29], рассчитанная ими величина Ezp =
= 230 μHartree близка к Ezp = 200 μHartree = 63.155 K (1 Hartree = 2 Ry, 1 Ry =
= 15.7888 K = 13,6058 eV), полученной в [40]. Энергия нулевых колебаний,
рассчитанная при нулевом давлении в [17] для Xe Ezp = 62.9 K = 199 μHartree.
Если ввести относительную погрешность γ[i] (i – номер ссылки) как
[ ] [40]
[ ] 100%
[40]
zp zp
zp
E i E
i
E
−
γ = ⋅ ,
тогда γ[29] = 15%, γ[17] = 0.4%. Представленные нами результаты в [23,
табл. 3] дают γ от 2 до 3% по отношению к Ezp[40].
Термодинамические величины, в частности удельная теплоемкость CV,
являются интегральными характеристиками, и поэтому согласие наших ре-
зультатов температурной зависимости CV с расчетами CV(T) [29] лучше, чем
для фононного спектра в симметричных направлениях при всех давлениях.
Кроме того, зависимость CV(T) содержит информацию обо всем фононном
спектре, что позволяет также сделать вывод в пользу рассмотренных теорий.
Таким образом, представленные результаты показывают, что расчеты ди-
намики решетки для Xe при р ≠ 0, выполненные в рамках метода Хар-
три−Фока в теории, учитывающей деформацию электронных оболочек (не-
эмпирическая версия модели К.Б. Толпыго), позволяют количественно ис-
следовать фононы, упругие свойства и термодинамические характеристики
Хе в широком интервале давлений с хорошей точностью.
1. K.A. Goettel, J.H. Eggert, I.F. Silvera, W.C. Moss, Phys. Rev. Lett. 62, 665 (1989).
2. M.I. Eremets, E.A. Gregoryanz, V.V. Struzhkin, H.K. Mao, R.J. Hemley, N. Mulders,
N.M. Zimmerman, Phys. Rev. Lett. 85, 2797 (2000).
3. W.A. Caldwell, J.H. Nguyen, B.G. Pfrommer, F. Mauri, S.G. Louie, R. Jeanloz, Sci-
ence 277, 930 (1997).
4. A.P. Jephcoat, H.K. Mao, L.W. Finger, D.E. Cox, R.J. Hemley, C.S. Zha, Phys. Rev.
Lett. 59, 2670 (1987).
5. D. Acocella, G.K. Horton, E.R. Cowley, Phys. Rev. В61, 8753 (2000).
6. A.I. Karasevskii, W.B. Holzapfel, Phys. Rev. B67, 224 (2003).
7. К.Б. Толпыго, Е.П. Троицкая, ФТТ 13, 1135 (1971).
8. М.А. Белоголовский, К.Б. Толпыго, Е.П. Троицкая, ФТТ 13, 2109 (1971).
9. К.Б. Толпыго, Е.П. Троицкая, ФТТ 17, 102 (1975).
10. К.Б. Толпыго, Е.П. Троицкая, ФТТ 16, 795 (1974).
11. О.Н. Болонин, К.Б. Толпыго, Е.П. Троицкая, Препринт ДонФТИ−81−23, Донецк
(1981).
12. К.Б. Толпыго, Е.П. Троицкая, ФТТ 14, 2867 (1972).
Физика и техника высоких давлений 2007, том 17, № 4
26
13. Е.В. Зароченцев, К.Б Толпыго, Е.П. Троицкая, ФНТ 5, 1324 (1979).
14. В.Л. Дорман, Е.В. Зароченцев, Е.П. Троицкая, ФТТ 23, 1581 (1981).
15. Ю.В. Еремейченкова, Е.В. Зароченцев, Е.П. Троицкая, ТМФ 106, 498 (1996).
16. В.Л. Дорман, Е.В. Зароченцев, Е.П. Троицкая, ФНТ 8, 94 (1982).
17. Е.В. Зароченцев, К.Б. Толпыго, Е.П. Троицкая, ФНТ 5, 1324, (1979).
18. Е.В. Зароченцев, Е.П. Троицкая, В.В. Чабаненко, ФТВД 13, № 4, 7 (2003).
19. Е.П. Троицкая, В.В. Чабаненко, Е.Е. Горбенко, ФТВД 14, № 3, 7 (2004).
20. Е.П. Троицкая, В.В. Чабаненко, Е.Е. Горбенко, ФТВД 15, № 3, 7 (2005).
21. Е.П. Троицкая, В.В. Чабаненко, Е.Е. Горбенко, ФТТ 47, 1683 (2005).
22. Е.П. Троицкая, В.В. Чабаненко, Е.Е. Горбенко, ФТТ 48, 695 (2006).
23. Е.П. Троицкая, В.В. Чабаненко, Е.Е. Горбенко, Н.В. Кузовой, ФТВД 17, № 3, 14
(2007).
24. Е.П. Троицкая, В.В. Чабаненко, Е.Е. Горбенко, ФТТ 49, 2055 (2007).
25. Е.П. Троицкая, В.В. Чабаненко, Е.Е. Горбенко, ФТВД 16, № 1, 25 (2006).
26. V.G. Bar’yakhtar, E.V. Zarochentsev, E.P. Troitskaya, Theory of Adiabatic Potential
and Atomic Properties of Simple Metals, Gordon and Breach, London (1999).
27. D.J. Chadi, M.L. Cohen, Phys. Rev. B8, 5747 (1973).
28. A. Baldereschi, Bull. Am. Phys. Soc. 17, 237 (1972).
29. J.K. Dewhurst, R. Ahuja, S. Li, B. Johansson, Phys. Rev. Lett. 88, 5504 (2002).
30. J.U. Trefny, B. Seria, J. Low Temp. Phys. 1, 231 (1969).
31. K. Gamper, J. Low Temp. Phys. 6, 35 (1972).
32. J.W. Leech, J.A. Reassland, J. Phys. C3, 975 (1970).
33. S.K. Jain, G.P. Srivastava, Canad. J. Phys. 56, 849 (1978).
34. I. Kwon, L.A. Collins, J.D. Kress, N. Troullier, Phys. Rev. B52, 15165 (1995).
35. W.A. Caldwell, J.H. Nguyen, B.G. Pfrommer, F. Mauri, S.G. Louie, R. Jeanloz, Sci-
ence 277, 930 (1997).
36. M. Springbord, J. Phys.: Condens. Matter 12, 9869 (2000).
37. W. Kohn, Y. Meir, D.E. Makarov, Phys. Rev. Lett. 80, 4153 (1998).
38. E.V. Zarochentsev, V.N. Varyukhin, E.P. Troitskaya, Val.V. Chabanenko, E.E. Hor-
benko, Phys. stat. sol. (b) 243, 2672 (2006).
39. T. Tsuchiva, K. Kawamura, J. Chem. Phys. 117, 5859 (2002).
40. K. Rościszewski, B. Paulus, P. Fulde, H. Stoll, Phys. Rev. B62, 5482 (2000).
E.P. Troitskaya, V.V. Chabanenko, E.E. Gorbenko, N.V. Kuzovoy
HEAT CAPACITY OF FCC Xe UNDER PRESSURE
Theoretical ab initio investigations of the lattice dynamics of compressed inert gas crys-
tals (IGC) done within K.B. Tolpygo’s model, which considers the deformation of elec-
tronic shells in the dipole approximation, are given. Specific heat of the compressed fcc
Xe is calculated by using a dynamic matrix based on nonempirical short-range repulsive
potential and by integration with respect to principal-value points in the Brillouin zone.
The obtained temperature dependences of specific heat and Debye temperature agree well
with the available experimental results for zero pressure and with calculations within the
theory of density functional for all pressures.
Физика и техника высоких давлений 2007, том 17, № 4
27
Fig. 1. Temperature dependence of heat capacity CV(T) for xenon at pressure , GPa: a − p
= u = 0; б: 1 − 1, 2 − 4; в: 1 − 0.5, 2 − 10,1 (u = ΔV/V0 = 0,4), 3 − 57,65 (u = 0,6); ■ and
∇ with solid line − our calculations within models M3 (no electron-phonon interaction)
and M3a (with electron-phonon interaction taken into account), respectively. Experiment:
− [30], – [31]; ⊕ − calculations [32] in harmonic approximation, ● with dot curve –
calculation in DFT [29], ○ − calculations [17], ♦ and Δ – our calculations in two-point
Chadi−Cohen scheme within M3 and M3a models, respectively. The melting temperature
Tm (for p = 0) is shown by arrow
Fig. 2. Temperature dependence (see (2)) of xenon for different pressures, GPa: 1 − 0, 2 −
0.5, 3 − 1, 4 − 4, 5 − 10.1, 6 − 23.45, 7 − 57.65; ■ with solid line − our calculations within
the M3a model; ♦ − experiment [30], ○ – calculations [17]
Fig. 3. Dependence of phonon frequences ħωλ(X) and ħωλ(L) on pressure for fcc Xe at
points X and L. Our calculations within the M3 (⎯) and М3а (---) models: ■ − ħωL(X,L),
▲ − ħωT(X,L), × − ħωT(k), calculated at points X and L [29] (notation is that by the
authors: TA(X,L) – transverse acoustic modes)
Fig. 4. Phonon frequences ħωλ in symmetric directions of wave vector k for Хе, p = 16 GPa:
compression ΔV/V0 = 0.455 [24]), −×− − calculation [29] (the rest designation as in Fig. 3).
Letters L, T, T1, T2 denote polarizability λ
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-70381 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0868-5924 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:36:47Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Донецький фізико-технічний інститут ім. О.О. Галкіна НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Троицкая, Е.П. Чабаненко, В.В. Горбенко, Е.Е. Кузовой, Н.В. 2014-11-04T06:45:48Z 2014-11-04T06:45:48Z 2007 Теплоемкость ГЦК-Хе под давлением / Е.П. Троицкая, В.В. Чабаненко, Е.Е. Горбенко, Н.В. Кузовой // Физика и техника высоких давлений. — 2007. — Т. 17, № 4. — С. 17-27. — Бібліогр.: 40 назв. — рос. 0868-5924 PACS: 62.50.−p, 64.10.+h, 64.30.+t https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/70381 Представлены теоретические ab initio исследования динамики решеток сжатых кристаллов инертных газов (КИГ) в модели К.Б. Толпыго, явно учитывающей деформацию электронных оболочек в дипольном приближении. С помощью динамической матрицы на основе неэмпирического короткодействующего потенциала отталкивания и интегрирования по точкам главного значения в зоне Бриллюэна (BZ) рассчитывается удельная теплоемкость сжатого гранецентрированного кубического (ГЦК) Хе в гармоническом приближении. Полученные температурные зависимости удельной теплоемкости и температуры Дебая находятся в хорошем согласии с имеющимися результатами эксперимента при нулевом давлении и расчетами в теории функционала плотности при всех давлениях. Theoretical ab initio investigations of the lattice dynamics of compressed inert gas crystals (IGC) done within K.B. Tolpygo’s model, which considers the deformation of electronic shells in the dipole approximation, are given. Specific heat of the compressed fcc Xe is calculated by using a dynamic matrix based on nonempirical short-range repulsive potential and by integration with respect to principal-value points in the Brillouin zone. The obtained temperature dependences of specific heat and Debye temperature agree well with the available experimental results for zero pressure and with calculations within the theory of density functional for all pressures ru Донецький фізико-технічний інститут ім. О.О. Галкіна НАН України Физика и техника высоких давлений Теплоемкость ГЦК-Хе под давлением Теплоємність ГЦК-Хе під тиском Heat capacity of fcc Xe under pressure Article published earlier |
| spellingShingle | Теплоемкость ГЦК-Хе под давлением Троицкая, Е.П. Чабаненко, В.В. Горбенко, Е.Е. Кузовой, Н.В. |
| title | Теплоемкость ГЦК-Хе под давлением |
| title_alt | Теплоємність ГЦК-Хе під тиском Heat capacity of fcc Xe under pressure |
| title_full | Теплоемкость ГЦК-Хе под давлением |
| title_fullStr | Теплоемкость ГЦК-Хе под давлением |
| title_full_unstemmed | Теплоемкость ГЦК-Хе под давлением |
| title_short | Теплоемкость ГЦК-Хе под давлением |
| title_sort | теплоемкость гцк-хе под давлением |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/70381 |
| work_keys_str_mv | AT troickaâep teploemkostʹgckhepoddavleniem AT čabanenkovv teploemkostʹgckhepoddavleniem AT gorbenkoee teploemkostʹgckhepoddavleniem AT kuzovoinv teploemkostʹgckhepoddavleniem AT troickaâep teploêmnístʹgckhepídtiskom AT čabanenkovv teploêmnístʹgckhepídtiskom AT gorbenkoee teploêmnístʹgckhepídtiskom AT kuzovoinv teploêmnístʹgckhepídtiskom AT troickaâep heatcapacityoffccxeunderpressure AT čabanenkovv heatcapacityoffccxeunderpressure AT gorbenkoee heatcapacityoffccxeunderpressure AT kuzovoinv heatcapacityoffccxeunderpressure |