Теплофизика деформируемых твердых тел (Обзор). IV. Модели макроуровня
Завершение обзора, публиковавшегося в № 1−3 ФТВД за 2006 г. Рассмотрены макроскопические модели механики сплошных сред и теории тепломассопереноса при частных и взаимосвязанных процессах переноса импульса, тепла и массы. Сформулированы принципы дальнейшего развития парадигмы ТФДТ, изложены некоторые...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Физика и техника высоких давлений |
|---|---|
| Дата: | 2008 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Донецький фізико-технічний інститут ім. О.О. Галкіна НАН України
2008
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/70401 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Теплофизика деформируемых твердых тел (Обзор). IV. Модели макроуровня / И.Р. Венгеров // Физика и техника высоких давлений. — 2008. — Т. 18, № 1. — С. 7-24. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859649194088726528 |
|---|---|
| author | Венгеров, И.Р. |
| author_facet | Венгеров, И.Р. |
| citation_txt | Теплофизика деформируемых твердых тел (Обзор). IV. Модели макроуровня / И.Р. Венгеров // Физика и техника высоких давлений. — 2008. — Т. 18, № 1. — С. 7-24. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Физика и техника высоких давлений |
| description | Завершение обзора, публиковавшегося в № 1−3 ФТВД за 2006 г. Рассмотрены макроскопические модели механики сплошных сред и теории тепломассопереноса при частных и взаимосвязанных процессах переноса импульса, тепла и массы. Сформулированы принципы дальнейшего развития парадигмы ТФДТ, изложены некоторые результаты, полученные в этом направлении
The closing part of the review, see HPPT 2006, N 1−3. Macroscopic models of the continuum mechanics, theories of heat and mass transfer for the processes of partial and correlated pulse, heat and mass transfer have been considered. Principles of the TDS paradigm development in the future have been formulated, some results relating to the subject have been set forth.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:31:09Z |
| format | Article |
| fulltext |
Физика и техника высоких давлений 2008, том 18, № 1
7
PACS: 05.70.–a, 62.50.–p
И.Р. Венгеров
ТЕПЛОФИЗИКА ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
(Обзор)
IV. МОДЕЛИ МАКРОУРОВНЯ
Донецкий физико-технический институт им. А.А. Галкина НАН Украины
ул. Р. Люксембург, 72, г. Донецк, 83114, Украина
Статья поступила в редакцию 27 января 2006 года
Завершение обзора, публиковавшегося в № 1−3 ФТВД за 2006 г. Рассмотрены
макроскопические модели механики сплошных сред и теории тепломассопе-
реноса при частных и взаимосвязанных процессах переноса импульса, тепла
и массы. Сформулированы принципы дальнейшего развития парадигмы
ТФДТ, изложены некоторые результаты, полученные в этом направлении.
1. Модели механики сплошных сред
1.1. Классификация моделей
Основным матаппаратом макромоделей процессов переноса импульса, теп-
ла и массы являются дифференциальные уравнения в частных производных и
краевые задачи для них. Классификация этих моделей «7НЕ» была изложена в
первой части настоящего обзора (ФТВД 16, № 1 (2006)).
Для физиков-экспериментаторов и инженеров, работающих в области фи-
зики твердого тела, привычна иная классификация – по видам и физическим
особенностям деформирования. В рамках реологии (науки о нестационарном
деформировании (либо течении) любых, в том числе твердых, тел в различных
термодинамических и физико-механических условиях [33]∗) рассматриваются
три главных направления (класса моделей): теории упругости, пластичности и
ползучести [18,33,36,38,45,139,170,171,197–204]. Широкое распространение
получили и «смешанные» модели: вязкоупругости, вязкопластичности, упруго-
пластичности и др. [33,36,139,197,202,203].
В теории упругости различают модели: статические и динамические; ли-
нейные и нелинейные; одномерные, плоские и трехмерные; изотропные и ани-
зотропные. Поскольку теория упругости является идейным ядром и составной
частью теорий пластичности и ползучести, она играет ведущую роль в развитии
∗ В данной части обзора используется сквозная нумерация литературных источни-
ков и формул (см. № 1–3 ФТВД за 2006 г.).
Физика и техника высоких давлений 2008, том 18, № 1
8
методов ТФДТ. Для разработки проблемы идентификации моделей по экспе-
риментальным данным на первом этапе наиболее важны динамические модели
изотропной одно- и двумерной линейной упругости в перемещениях (уравне-
ния Ламе) – базисные модели упругости.
В теории пластичности особо важны понятия простого и сложного на-
гружения, активной и пассивной деформации, что сильно усложняет исполь-
зуемый матаппарат по сравнению с таковым в теории упругости. С практиче-
ской точки зрения есть два направления моделирования. В первом исследуется
ход упругопластического деформирования тела и поле напряжений в нем при
заданном законе нагружения. Во втором определяются параметры внешней на-
грузки, при превышении которых происходит разрушение (определение несу-
щей способности конструкции). Все теории пластичности (а их много, что сви-
детельствует о неудовлетворительном состоянии теории) относятся к одному
из двух видов: теориям упругопластических деформаций (в их основе – урав-
нения связи между напряжениями и деформациями) и пластического течения (в
основе – уравнения связи напряжений и скоростей деформаций). Проверенной
экспериментально и логически непротиворечивой является теория малых упру-
гопластических деформаций [33].
В теории ползучести рассматриваются неравновесные деформационные
процессы. Различают кратковременную и длительную ползучесть, т.е. измене-
ние во времени деформаций и напряжений, обусловленных начальным (ос-
тающимся постоянным) нагружением. Изменения деформации при постоянной
нагрузке (упругое последействие) и напряжения при постоянной деформации
(релаксация) – две разновидности процесса ползучести. Единая теория ползу-
чести отсутствует, широко применяются эмпирические методы [204]. Имеются
два класса наиболее употребительных, в силу их простоты и возможности экс-
периментальной проверки, моделей ползучести, использующих представления
об упруго- и пластически-вязких телах.
1.2. Модели упругости, пластичности, ползучести
Модели упругости являются основой реологии, однако базисное уравнение
динамической теории упругости в перемещениях (Ламе) [36]:
grad div
2(1 ) 2(1 )(1 2 )
E Eρ = Δ +
+ ν + ν − ν
u u u�� (98)
имеет существенный недостаток с точки зрения его адекватности для описа-
ния диссипативных (эволюционных) процессов – оно волновое (гиперболи-
ческое). В (98) u – вектор смещения точки среды; ρ – ее плотность; E, ν – со-
ответственно модуль Юнга и коэффициент Пуассона. Другим недостатком
(98) является то, что коэффициенты E и ν – адиабатические, выражающиеся
через изотермические (равновесные) коэффициенты и абсолютную темпера-
туру тела (т.е. различные для точек с разной температурой – см. (47)). Кроме
того, вывод (98) сопровождается большим количеством оговорок и допол-
нительных гипотез (см. [36, с. 10,11,14,16,19,21,28,31,124]), относящих это
уравнение к нулевому приближению теории (аналогом (98) в гидродинами-
ке является уравнение Эйлера для идеальной жидкости).
Физика и техника высоких давлений 2008, том 18, № 1
9
Более реалистично приближение, учитывающее вязкость (диссипацию)
среды. Оно следует из общего вида уравнения движения [36]:
ik
i
k
u
x
∂σρ =
∂
�� , (99)
где üi – декартовы компоненты ускорения (i, k = 1, 2, 3), ρ – плотность сре-
ды, σik – компоненты тензора напряжений. Если σik = (0)
ikσ , т.е. тензору, ли-
нейному по деформациям uik (обобщенный закон Гука), то правая часть (99),
записанная в векторном виде, совпадает с правой частью (98). Для учета
вязкости σik записывается в виде
σik = (0)
ikσ + σ′ik, σ′ik = ηiklmυlm, (100)
где σ′ik – компоненты диссипативного (вязкостного) тензора напряжений,
ηiklm – компоненты тензора вязкости, υlm = lmu� – компоненты тензора скоро-
стей деформации. Подстановка первого из соотношений (100) в (99) дает ис-
комое первое приближение – уравнение упругости с учетом диссипации.
Для изотропного тела
σ′ik = 2η
⎛
⎜
⎝
υik –
1
3
δikυll
⎞
⎟
⎠
+ ζυllδik, (101)
где η, ζ – коэффициенты соответственно сдвиговой и объемной вязкости.
Выражение для ik kx′∂σ ∂ в векторном виде формально совпадает с правой
частью (при исключении градиента давления) уравнения движения вязкой
жидкости (Навье−Стокса), так что правая часть (98) будет теперь содержать
операторы Δu, grad div u, Δu� , grad divu� и четыре константы – E, ν, η, ζ, яв-
ляющиеся таковыми лишь приближенно. Таким образом, учет реальных
свойств среды (диссипации) в рамках парадигмы ведет к достаточно гро-
моздкой математической конструкции.
Модели пластичности при простом нагружении опираются на поло-
жение (основное и для нелинейной теории упругости) о том, что зависи-
мость между интенсивностями напряжений и деформацией при сложном
напряженном состоянии для каждой точки тела совпадает с таковой для
напряжения и удлинения в случае простого растяжения того же тела [33].
Если для этого тела в испытаниях на растяжение-сжатие установлена за-
висимость
m
A
B
ε⎛ ⎞σ = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
(102)
(где σ, ε – соответственно напряжение и относительное удлинение образца,
A, B, m = const), то для пластической деформации следует положить
,
m
i
i A
B
ε⎛ ⎞σ = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
(103)
Физика и техника высоких давлений 2008, том 18, № 1
10
где A, B, m не совпадают с таковыми для (102), а σi, εi – соответственно ин-
тенсивности напряжений и деформаций, в пределах упругости связанные
зависимостью σi = Eεi:
1/ 22 2 2 2 2 21
( ) ( ) ( ) 6( )
2
i x y y z z x xy yz zx
⎡ ⎤σ = σ −σ + σ −σ + σ −σ + τ + τ + τ
⎣ ⎦
,
1/ 22 2 21
( ) ( ) ( )
2(1 )
i x y y z z x
⎡ ⎤ε = ε − ε + ε − ε + ε − ε
⎣ ⎦+ ν
.
Если результаты испытания на простое растяжение за пределом упругости
представлены в виде
σ = E(1 – ω)ε, (105)
то для сложного напряженного состояния того же материала
σi = E(1 – ω)εi, (106)
где E – модуль упругости материала (обычный), ω = Ψ(ε) – аналитическая
функция относительного удлинения (отличная от нуля только в области пла-
стического деформирования). В (106) принимается, что ω = Ψ(εi). Таким об-
разом, аналог закона Гука для пластической деформации принимает (в плос-
ком случае) вид
1
( )x x xE
′ε = σ −ν σ
′
,
1
( )y y xE
′ε = σ −ν σ
′
, i
i
E
σ′ =
ε
,
1
2
′ν = . (107)
Математический аппарат теории малых упругопластических деформаций
состоит из трех статических уравнений (совпадающих с таковыми уравнениями
теории упругости), шести геометрических соотношений, таких же, как в теории
упругости, шести физических уравнений, определяющих свойства упругопла-
стического тела. Для плоской задачи последние сводятся к следующим:
σx – σav = 2G′εx, σy – σav = 2G′εy, τxy = G′γxy,
1/ 2
2 2 22 3
6( )
3 2i x y x y xy
⎡ ⎤ε = ε + ε + ε ε + γ⎢ ⎥⎣ ⎦
, G′ = G[1 – ω(εi)]. (108)
Как видно, даже для двумерной задачи теория достаточно сложна.
Теория пластического течения опирается на такие гипотезы: 1) направ-
ления максимальной скорости скольжения и максимального касательного
напряжения в каждой точке совпадают; 2) материал при пластической де-
формации несжимаем. Связь между σi и iε� задается в виде
σi = М iε� , М = М( iε� ). (109)
Уравнения теории следуют из уравнений малых упругопластических де-
формаций при формальной замене εx → xε� ,
u
x
∂
∂
→
u
x
∂
∂
�
, εi → iε� и т.д. Реше-
ние задач теории пластичности в перемещениях часто осуществляется мето-
(104)
Физика и техника высоких давлений 2008, том 18, № 1
11
дом «упругих» решений. Формулы теории упругости трансформируются с
учетом соотношений
G ′ = G(1 – ω), ω = 1 – σi/3Gεi, τxy = G(1 – ω)γxy
и т.д. Здесь G, G ′ – постоянный и переменный модули упругости, ω = ω(εi) –
функция А.А. Ильюшина. Уравнение Ламе для x-компоненты смещения
принимает вид
2( ) xG G u X R G
x
∂Θλ + + ∇ +ρ =
∂
, (110)
где λ, G – упругие модули; Х – компонента объемной силы; Θ = 3εav;
2 1 1
2
3 3x
u u u w
R u
x x x y y x z z x
⎛ ⎞∂Θ ∂ω ∂ ∂ω ∂ ∂ϑ ∂ω ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ω ∇ + + − Θ + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
. (111)
Решение осуществляется методом последовательных приближений, причем
в первом приближении ω = 0 и (11) становится однородным, т.е. получается
обычная задача теории упругости. Затем по найденным компонентам сме-
щения u, ϑ, w определяются все необходимые величины, и по формулам ти-
па (111) вычисляются правые части (110) для решения задачи второго при-
ближения. Процедура повторяется нужное число раз. Ясно, что громозд-
кость применяемых методов не позволяет использовать их для решения не-
ординарных задач – моделей совместно протекающих процессов деформи-
рования и тепломассопереноса.
Модели ползучести зачастую рассматриваются как квазистатические,
т.е. в деформационных расчетах силами инерции пренебрегают. Для модели
линейного упруговязкого тела исходным является выражение [33]:
σ + nσ· = Еε + Hnε· , (112)
где Е – «длительный», а Н – «мгновенный» модули упругости; Е, H, n = const.
При начальном условии ε(0) = ε(t)|t → 0 = ε0 = σ0/H решение (112) имеет вид
( ) 0
0
1 1
exp .
Et
t
E H E Hn
σ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ε = + σ − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(113)
Если при t = t0 разгрузить тело (т.е. положить σ0 = 0), то, начиная с этого
момента, из (113) следует
( ) ( )0
0 exp .
E t t
t
Hn
−⎛ ⎞
ε = ε = ε ⎜ ⎟
⎝ ⎠
(114)
При t → ∞ ε(t) → 0, т.е. деформация исчезает (тело упругоползучее).
В случае наличия у стержня постоянной, далее не меняющейся деформа-
ции ε = ε0 = const, из (112) следует
( ) ( )0 0 0 exp
t
t E E
n
⎛ ⎞σ = σ = ε + σ − ε −⎜ ⎟
⎝ ⎠
. (115)
Эта зависимость описывает релаксацию (убывание до Еε0) напряжения при
t → ∞.
Физика и техника высоких давлений 2008, том 18, № 1
12
Основные уравнения теории установившейся ползучести (когда ε·i = const)
следуют, как и ранее, из уравнений теории упругости, модифицированных
методом, аналогичным теории пластичности, а именно:
1) для величины ε·i применяем ранее приведенные формулы;
2) предполагаем, что ε·i связана с интенсивностью напряжений так же, как
скорость одномерной установившейся ползучести связана с растягивающим
(сжимающим) напряжением и известна заранее, ε·i = ψ(σi);
3) результаты экспериментов с одномерной ползучестью представляются
в виде σi = M*(εi) ε·i;
4) физические уравнения связей напряжений и скоростей деформации
приводятся к виду, учитывающему условие несжимаемости (ε·av = 0):
av
2 1
,
3 3
i i
x x xy xy
i i
σ σσ −σ = ε τ = γ
ε ε
� �
� �
и т.д.
Таким образом, имеется формальная аналогия теории установившейся пол-
зучести с теориями упругопластических деформаций и течения.
1.3. Многоуровневые модели
Разработка новых материалов и эксплуатация изделий из них потребова-
ли уточнения и усложнения известных реологических моделей, включения в
них информации о структуре и свойствах вещества на микро- (атомно-
молекулярном) и мезоуровнях (учет различных дефектов, межзеренных гра-
ниц, неоднородности химического состава). Появились модели, сочетающие
феноменологический подход с микроскопическим, причем первый играл ос-
новную роль, определяя макропараметры описания и форму уравнений, а
второй – вспомогательную, устанавливая связи между макро- и микропара-
метрами либо вводя в уравнения различные формы нелокальности
[9,10,12,17,18,30,36,139,140,205–207].
В случае временнóй нелокальности говорят о «среде с памятью», пред-
полагается, что «память» обусловлена особенностями микроструктуры сре-
ды [30,139]. Координатная нелокальность в уравнениях движения также
обусловлена особенностями структуры материала (в особенности кристал-
лов) и взаимодействий микро- и мезоструктурных единиц [30,140].
Известны также модели неоднородных сред, в которых осуществляется
усреднение по объемам, содержащим представительное количество микро- и
макрообъектов, и находятся эффективные поля и параметры [205–207]. В
этих подходах макроописание содержит в себе информацию о микро- и ме-
зоструктуре вещества и его кинетических свойствах, которая фактически
постулируется, поскольку не известна. Если уравнение движения содержит
нелокальные (т.е. интегральные) операторы, то идентификация вида и пара-
метров ядер таких операторов по результатам механических испытаний –
трудная задача. Определение эффективных параметров (модулей упругости,
коэффициентов Пуассона и т.п.) по структурным моделям аналогично вы-
числению кинетических коэффициентов методами статистической физики,
когда результат зависит от произвольно выбранного вида взаимодействия
Физика и техника высоких давлений 2008, том 18, № 1
13
атомов. Известно, что во всех сколько-нибудь ответственных теплофизиче-
ских и гидродинамических моделях используются параметры переноса, оп-
ределенные экспериментально, а не расчетным путем. Поэтому наиболее
перспективным с практической точки зрения представляется использование
простых локальных моделей сплошной среды с обязательной эксперимен-
тальной их идентификацией.
Третьим, относительно новым, направлением в развитии реологических
моделей, является так называемая структурно-аналитическая механика
(САМ) [10–12]. Ее появление призвано, как считают авторы работы [10],
способствовать преодолению неполноты макроскопического описания, объ-
единению методов механики сплошной среды (где структура материала счи-
тается известной) и физики твердого тела (где анализ структуры – задача ис-
следований). Основная идея САМ – решение обеих задач в самосогласован-
ной постановке, при которой решение краевых задач механики сплошной
среды сочетается с решением задач эволюции структуры (в частности, дви-
жения дислокаций) в рамках ФТТ.
Реализация этой сложной программы потребовала введения усложнен-
ных моделей сплошной среды (среды Коссера и др.), тензоров моментных
напряжений, понятий мотора и моторного анализа и др. Простейшее урав-
нение движения при этом имеет вид
ρÜl = ∇iσil – ½eikl∇k∇iμij – ½eikl∇kMi + Fl, (116)
где σij = ∂П/∂εij – силовые напряжения, μij = ∂П/∂χij – моментные напряже-
ния, П – плотность упругой энергии, Fl – компоненты объемных сил, Mi –
компоненты объемных моментов, eikl – символы Леви−Чевита, χlk = ∇lωk,
ωk = ½eiklωij, ωij = ∇iUj.
При построении модели двухуровневой среды [10] на микроуровне
(внутри структурных элементов) задаются поля перемещений. Вводится
тензор микродисторсии (1) (1) (1)
ij i jUβ = ∇ . Предполагается отсутствие дискли-
наций и вводятся пластическая дисторсия (1)
,ij pβ и тензор плотности дефектов
на микроуровне (1) (1) (1)
,iklij ij pkeα = − ∇ β , скорость генерации пластической дис-
торсии (1) (1) (1)
, iklij p k lje υβ = − α� . На втором уровне (макроуровне) «точками» сре-
ды служат элементы первого уровня, вводятся средняя по объему V1 элемен-
та первого уровня дисторсия
1
(1)
1
1
dij ij
V
V
V
ψ = β∫
и тензор макродисторсии (2) (2) (2)
ij i jUβ = ∇ . После громоздких преобразований
в итоге получены уравнения макроуровня:
(2) (2)
ij jj iU Fρ = ∇ σ +�� ; (2) (2)1
3kij ij ij ij kjk ikM d∇ μ +σ − τ + = ρ ψ�� , (117)
где
Физика и техника высоких давлений 2008, том 18, № 1
14
П
ij l
ij
∂σ =
∂γ
,
П
ij l
ij
∂τ =
∂ψ
,
П
kij l
kij
∂μ =
∂χ
, …
Громоздкость и сложность моделей, рассмотренных далее в [10] и [12], на-
растает. Авторов не смущает, что введение все новых и новых величин ведет
за собой и включение в описание новых, заведомо не известных параметров,
определение которых экспериментально – неразрешимая задача. Анализ мо-
делей САМ [10,12] приводит к «диагнозу», ранее сформулированному для
аналогичных построений в других областях механики [208]: мы имеем дело
с «механикоподобной» математикой, практическое использование методов и
результатов которой невозможно.
2. Модели диффузии
2.1. Процессы твердотельной диффузии
Ряд макромоделей диффузии уже был рассмотрен ранее (ФТВД, 2006,
№ 2, 3). Отвлекаясь от микромеханизмов диффузии, всю совокупность фено-
менологических математических моделей ее в твердых телах можно класси-
фицировать следующим образом: объемная диффузия, каналируемая, реакци-
онная и диффузия в физико-химических процессах.
Объемной диффузией называются диффузионные процессы, протекаю-
щие в объеме монокристалла или в зернах поликристаллических тел. Моде-
ли объемной диффузии обычно используются для интерпретации результа-
тов экспериментов и определения коэффициентов диффузии [2,7,32,41]. Рас-
сматриваются одно-, двух- и трехмерные модели диффузии и взаимной
диффузии в средах однородных и неоднородных, одно- и многофазных, ли-
нейных и нелинейных, стационарных и нестационарных (с изменением во
времени коэффициента диффузии или (и) изменяющимся местоположением
границ областей). Неоднородность систем макроскопическая: рассматрива-
ются слоистые, неоднородные и слоисто-неоднородные системы [8,32,39,43].
К каналирумой диффузии относят ее «ориентированные» разновидно-
сти: диффузию вдоль межзеренных границ (зернограничную), вдоль поверх-
ностей кристалла, вдоль протяженных дефектов, по направлению действия
сил (различного происхождения) [15,41,42,131,193]. Сюда же относятся раз-
личные модели «аномального» массопереноса (при ударной деформации
тел) [32,209–212]. Специфика моделей каналируемой диффузии заключается
в их маломерности (одно- и двумерные системы) и бóльших (иногда – на не-
сколько порядков) коэффициентах диффузии. Иногда рассматриваются мо-
дели взаимодействующих видов массопереноса – объемной и каналируемой
диффузии (классический пример – модель Фишера).
Реакционной диффузией называется [32] класс диффузионных процес-
сов, связанных с образованием и ростом слоя новой фазы, ростом эпитакси-
альных слоев [8,19,114]. Сюда же относятся имеющие диффузионную при-
роду процессы сварки разнородных металлов, коррозионные процессы, про-
цессы химико-термической обработки и гомогенизации гетерогенных спла-
вов. Процессы термической деградации композитов также сопровождаются
реакционной диффузией.
Физика и техника высоких давлений 2008, том 18, № 1
15
Диффузия в физико-химических процессах является главенствующим
процессом в совокупности их, одновременно протекающих на поверхности
кристаллов и в порах пористых тел. Это процессы окисления, фазовых пере-
ходов, абсорбции, адсорбции, фильтрации, осмоса, электропереноса, химиче-
ских реакций [7,8,32,39,41,43,78,89,93]. Поскольку физико-химические про-
цессы протекают практически при всех твердотельных технологических про-
цессах, прогноз диффузионных процессов и управление ими является акту-
альной задачей, стимулирующей развитие методов построения и исследова-
ния соответствующих математических моделей [41,48,82,84,85,93,97,112,114].
2.2. Математические модели диффузии
При большом разнообразии твердотельных систем и диффузионных про-
цессов в них вполне обозримо число различных классов математических
моделей, многие из которых адекватны для различных на первый взгляд си-
туаций [32,131]. Наиболее полным обзором этих моделей является моногра-
фия [131], в которой рассмотрены два класса моделей: 1) с постоянным ко-
эффициентом диффузии (одно-, двух- и трехмерная диффузия при различ-
ных условиях в областях простейших форм); 2) с переменным коэффициен-
том диффузии (зависящим от пространственных координат, времени или
концентрации). Такая классификация моделей имеет свои преимущества,
однако носит частный характер. Анализ моделей, рассмотренных в [131] (и
во всех других известных источниках), показывает, что их совокупность
может быть описана семью пунктами (кластерами) – классификацией «7HE»
(см. подразд. 3.3. в ФТВД № 1, 2006).
Основным вопросом моделирования процессов массопереноса в дефор-
мируемых телах является построение уравнений диффузии в нестационар-
ной (с переменными размерами области, плотностью и другими параметра-
ми) среде. Несмотря на наличие работ, в которых такие задачи рассматри-
ваются [8,39,42,114,131,209], общее решение проблемы отсутствует.
3. Модели теплопереноса
Модели теплопереноса в твердых телах крайне многочисленны (литера-
турные источники, число которых легко увеличить, ранее уже приводились).
В [138] было показано, что вся совокупность моделей охватывается класси-
фикацией «7HE». Как и в случае диффузии, моделирование теплопроводно-
сти в нестационарных (с изменяющимся размером областей) системах
встречается с трудностями [11,29,31]. Подробное рассмотрение моделей те-
плопереноса в настоящей работе излишне, поскольку имеется большое чис-
ло монографий и обзоров [11,25,27–31,63,64,78,90,92,94–101,117,132–
138,155,174,175,213].
4. Неординарные модели
4.1. Взаимосвязанный тепло- и массоперенос
Математические модели взаимосвязанного переноса тепла и массы в ли-
нейной постановке изучены давно (работы А.В. Лыкова и его школы
[25,31,133,153]). Нелинейные модели начали исследоваться недавно
Физика и техника высоких давлений 2008, том 18, № 1
16
[31,214]. Система линейных уравнений в «каноническом» виде (модель
сушки капиллярно-пористого влажного тела) [153]:
2 2
11 12
T
K T K U
t
∂ = ∇ + ∇
∂
, 2 2
21 22
U
K U K T
t
∂ = ∇ + ∇
∂
, Kij = const (i, j = 1, 2).(118)
Здесь T – температура, U – влагосодержание тела (аналог концентрации).
Система (118) может быть представлена в виде
2
11 12
T U
K T K
t t
∂ ∂= ∇ +
∂ ∂
� � , 2
21 22
U T
K U K
t t
∂ ∂= ∇ +
∂ ∂
� � , (119)
где ijK� просто выражается через Kij (i, j = 1, 2).
Известны различные обобщения модели [118], в частности на случаи ги-
перболических и нелинейных уравнений переноса [153,214]. Система по-
следних имеет вид [214]:
1
1 1 1 1 1 1 1 2 2 2( ) div( ( ) ) div( ( ) )
U
C U A U U B U U
t
∂ = λ ∇ + λ ∇
∂
,
2
2 2 2 2 2 2 2 1 1 1( ) div( ( ) ) div( ( ) )
U
C U A U U B U U
t
∂ = λ ∇ + λ ∇
∂
.
После линеаризации (замена λi(Ui) и Сi(Ui) на постоянные в некоторых дос-
таточно узких диапазонах значений Ui (i = 1, 2)) система (120) переходит в
(118).
Специфика переноса в твердых телах состоит в том, что зависимость
коэффициентов переноса (диффузии, теплопроводности, теплоемкости)
от температуры сильнее, чем от концентрации примесей (которая обычно
мала и слабо влияет на параметры). Поэтому важно получить конкретиза-
цию уравнений (120) для приближения «твердотельной нелинейности»,
когда перенос массы линеен, а перенос энергии (тепла) нелинеен. Для од-
номерного случая уравнения Онзагера (подстановка которых в уравнения
баланса тепла и массы и дает искомую разновидность (120)) были полу-
чены в виде [117]:
( ) ( )T T
T
q T D T
x xΣ
∂ ∂ρ= −λ −
∂ ∂
, (121)
( )
( )
2
D T T
q D T
x T xρ
∂ρ ρ ∂= − −
∂ ∂
. (122)
Здесь qT, qρ – плотность потока соответственно тепла и массы;
( )
( ) ( )
2
TD T
T T
TΣ
ρλ = λ + ,
0
( )
( )
2T
kTD T
D T
m
= ,
1/ 2
0
( )
3
h kT
D T
m
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
,
где k – постоянная Больцмана, m0 – масса частиц, h – постоянная решетки.
Для коэффициентов уравнений (121) и (122) выполняется правило симмет-
рии кинетических коэффициентов Lik = Lki [117].
(120)
Физика и техника высоких давлений 2008, том 18, № 1
17
4.2. Модели термомеханики
Модели этого класса описывают взаимосвязанные процессы теплоперено-
са и деформирования (упругого, пластического, ползучести) твердых тел. Из-
вестны модели термодиффузии [11,30,31,34], термопластичности [31,200,202] и
модели теплопереноса в растягиваемых телах (термин «термоползучесть» не
является общепринятым) [11,215,216].
Термоупругость. Система уравнений нестационарной связанной термо-
упругости имеет вид [34]:
2 ( ) grad div (3 2 ) T Tρ = μ∇ + λ +μ + − λ + μ α ∇U U U F�� , (123)
2 1
0Ф (3 2 ) divV T
T
a T C T
t
−∂ = ∇ + − λ + μ α
∂
U� , (124)
где U, Т – соответственно смещение и температура в точке тела; μ, λ – моду-
ли упругости, αТ – коэффициент линейного теплового расширения (средний
по интервалу (Т0, Т); Т0 – начальная температура тела; а, СV – соответствен-
но температуропроводность и удельная объемная теплоемкость тела; F –
объемная сила, действующая на тело; Ф – функция плотности источников
тепла в теле (не связанных с деформированием). Последний член в правой
части (123) – сила, обусловленная термическим расширением тела, а в пра-
вой части (124) – теплогенерация, связанная с изменением объема (дефор-
мированием) тела. Система уравнений (123), (124) линейна, коэффициенты в
ней считаются постоянными, что делает ее достаточно грубым приближени-
ем. Ограничением приложения этой модели являются также условия (Т –
Т0)/Т0 << 1 и Т0 = const, принятые при ее выводе [34]. Известны нелинейные
и нестационарные обобщения этой модели [28–31,217], в приложениях они
практически не применяются. Использование модели в конкретных областях
основано, напротив, на редукциях системы (123), (124) различного рода
[35,101,318,219].
Термопластичность. Вывод уравнений термопластичности основывает-
ся на представлении свободной энергии F в виде [31]:
dF = SdT + σijdεij + ψβdρβ, (125)
где ψβ – химический потенциал компонента β, ρβ – его концентрация. Ис-
пользование разложения F в ряд по степеням инвариантов тензора деформа-
ции, гипотезы о малости деформаций и соотношений теории пластичности
после достаточно сложных выкладок приводит к уравнению движения в пе-
ремещениях:
[ ]( )
2 1
(1 ) grad div 2 ,grad (1 )
3 ε
⎛ ⎞μ −ω ∇ + λ +μ − μω + μ −ω +⎜ ⎟
⎝ ⎠
U U Φ
0
0
2
grad div grad (2 3 )
3 3
V V
V
⎡ ⎤−⎛ ⎞+ λ + μω − μ + λ + = ρ⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎣ ⎦
U F U�� . (126)
В (126) присутствуют добавочные, по сравнению с (123), функции: ω –
функция А.А. Ильюшина; [ ]( ), (1 )ε ∇ μ −ωΦ – скалярное произведение тензора
Физика и техника высоких давлений 2008, том 18, № 1
18
деформации Фε, выраженного через компоненты вектора U, на вектор
( )1∇ μ −ω⎡ ⎤⎣ ⎦ ; μ, λ – переменные модули; (V – V0)/V0 – относительное изме-
нение удельного объема, обусловленное теплопереносом, фазовыми и хими-
ческими превращениями,
0
0 0
0 1
3 ( ) ( )
B
T
V V
T T
V β β β
β=
⎡ ⎤− = α − + α ρ − ρ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
∑ . (127)
Параметры αT и αβ в (127) определяются функциями
0
0
1 1
d
T
T
T
L
T
T T L T
∂α =
− ∂∫ ,
0
0
1 1
d
L
L
β
β
ρ
β β
β β βρ
∂α = ρ
ρ −ρ ∂ρ∫ , (128)
где L – линейный размер тела. Уравнение теплопереноса, совместно с урав-
нением движения (126) дающее модель термопластичности, приводится к
виду [31]:
div( ) div( ) П ПV TT T T D
T
C T
t t
β
β β β
∂ρ∂ρ = λ ∇ + λ ∇ρ + μ + −
∂ ∂
, (129)
где λТТ – коэффициент теплопроводности; λТβ – «перекрестный» коэффици-
ент, описывающий поток тепла, образованный переносом β-го компонента;
ПТ, ПD – плотности источников тепла соответственно обычных и обуслов-
ленных деформированием тела. Величина ПD выражается через параметры
деформирования и температуру:
[ ] 0
0
П (3 2 )
3D kk
V V
T
t T V
⎧ ⎫∂ ∂ −= ε λ + μ⎨ ⎬∂ ∂⎩ ⎭
. (130)
Таким образом, модель термопластичности – это система уравнений (126) и
(129).
Модели теплопереноса в растягиваемых телах. В теплопереносе су-
ществует класс моделей переноса (теплопроводности, диффузии), именуе-
мых «краевой задачей для областей с подвижной границей» [8,11,31]. Им
посвящена обширная литература, однако анализ показывает [117], что речь
идет о двух подклассах задач: задач Стефана (модели фазовых переходов) и
задач для «достраиваемых» или «обрезаемых» областей. К деформируемым
(растягиваемым или сжимаемым) телам эти модели отношения не имеют.
Моделей теплопереноса в растягиваемых телах мало [214,216]. В работе
[215] рассматривается растяжение высоковязкого цилиндрического тела в
теплопроводной среде, сопровождающееся ее нагреванием. Деформация ци-
линдра (удлинение по продольной координате z и уменьшение радиуса r*(t),
описываемое с помощью радиальной координаты r) выражалась уравнением
неразрывности
1
( ) 0z
rr
r r z
υυ∂ ∂+ =
∂ ∂
, 0
0
1
( ) exp d
2
t
zr t r t
z
υ∗ ⎛ ⎞∂ ′= ⎜− ⎟
⎜ ⎟∂⎝ ⎠
∫ . (131)
Физика и техника высоких давлений 2008, том 18, № 1
19
Теплоперенос в растягиваемом цилиндре описывался уравнением
1
Ф( , )r V
T T a T
r C r z
t r r r r
υ −∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
, ( )*0, ( )r r t∈ . (132)
Эта модель является «полусвязанной»: если температура тела T = T(r,z,t)
зависит от радиальной скорости деформации υr (уравнение (132)), то поле
скоростей υ = υ(r,z,t) определяется только гидродинамической частью за-
дачи.
Более простая одномерная модель теплопроводности в движущемся и
одновременно растягиваемом стержне предложена в [216]. Деформация и
движение стержня описываются «эффективной» скоростью, входящей в
конвективный член уравнения теплопереноса:
2
2e
T T T
a
t x x
υ∂ ∂ ∂+ =
∂ ∂ ∂
. (133)
Здесь υe = (υ0 + αx)(1 + αt)–1, где υ0 – скорость поступательного движения, α
– скорость растяжения, α = ε· (ε – относительное удлинение). Как можно су-
дить по [215,216], обе модели построены «вручную», какие-либо общие
принципы их построения для нестационарных систем отсутствуют. Метод
введения в (133) «эффективной» скорости υe сомнителен.
4.3. Модели массомеханики
Для этих моделей справедлива та же классификация, что использована
для моделей термомеханики, т.е. массоупругость, массопластичность и
диффузия в растягиваемых телах. В силу аналогии между описанием тепло-
и массопереноса соответствующие неординарные модели близки к моделям
теплопереноса.
Массоупругость. Величина свободной энергии единицы объема изо-
тропной среды, содержащей примеси с малой концентрацией C [8]:
2
21
( , ) (0, )
3 2
ik
ij ik ll ll llF C F C G K C
δ⎛ ⎞ε = + ε − ε + ε −β ε⎜ ⎟
⎝ ⎠
, (134)
где G, K – упругие постоянные, εik – компоненты тензора деформации. Из (134)
следует
( ) ( ) ( ) 2
3
ij
ij ij ij ll ij ll
ij C
F
r C r K r G
⎛ ⎞ δ⎛ ⎞∂σ = = −βδ + δ ε + ε − ε⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ε ⎝ ⎠⎝ ⎠
,
откуда находятся деформации, обусловленные примесью:
0( )
3ij
ij
ij ijC C
Kσ =
βδ
ε = = δ ω .
Здесь ω = β/3K – линейный коэффициент концентрационного расширения –
аналог αТ в термоупругости. Стационарное (при 0=U�� ) уравнение массоуп-
ругости в перемещениях принимает вид
Физика и техника высоких давлений 2008, том 18, № 1
20
1 3 1 2
3 grad div rot rot 3 grad
1 2 1
C
− ν − ν⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = ω⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ ν + ν⎝ ⎠ ⎝ ⎠
U U . (135)
Полная модель массоупругости включает в себя, наряду с (135), и уравнение
диффузии. Для твердого раствора сферической симметрии уравнение (135)
приводится к легко интегрируемому виду:
2
2 2
2 2 1 d ( )
1 d
U U U C r
r r rr r
∂ ∂ + ν⎛ ⎞+ − = ω⎜ ⎟∂ −ν∂ ⎝ ⎠
. (136)
Уравнение диффузии в упругом поле в предположении постоянной диф-
фузионной подвижности примесных атомов:
( )
C
b C
t
∂ = ∇ ∇μ
∂
, (137)
где b – подвижность, μ – химический потенциал диффундирующих частиц.
С учетом соотношений
D = bkT,
, ,ij ijT T
F F
n Cε ε
∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞μ = = Ω⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
уравнение (137) для случая сферической симметрии приводится к виду
2 2 2
02 2
1 1 2 1
1 6
1
C
D r U K C r C
t r kT rr r
⎧ ⎫⎡ ⎤∂ ∂ Ω ⎛ − ν ⎞ ∂⎪ ⎪⎛ ⎞= + + ω⎨ ⎬⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ −ν ∂⎝ ⎠⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭
, (138)
т.е. к уравнению с эффективным коэффициентом диффузии
2
eff 0
1 2
1 6 ( )
1
D D U K C r
kT
⎡ ⎤Ω ⎛ − ν ⎞⎛ ⎞= + + ω⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟−ν⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦
,
где Ω – полный объем, U0 – энергия смешения твердого раствора. Таким об-
разом, несмотря на определенную «диффузионную специфику», модель
массоупругости по формально-структурным признакам близка к модели
термоупругости.
Массопластичность: В пластически деформируемой среде плотность
потока массы [8]:
( )mq D t C C= − ∇ + υ , (139)
где υ – локальная скорость перемещения среды, C – локальная концентра-
ция. Из условия несжимаемости материала при пластическом деформирова-
нии и уравнения непрерывности следует (для одномерного случая):
2
2
( ) x
C C C
D t
t xx
υ∂ ∂ ∂= −
∂ ∂∂
. (140)
Для однородной среды xυ = xl̇ /l, где l = l(t) – толщина образца, х – расстояние
точки материала от поверхности образца. Уравнение (140) принимает вид
Физика и техника высоких давлений 2008, том 18, № 1
21
2
2
( )
C C l C
D t x
t l xx
∂ ∂ ∂= −
∂ ∂∂
�
. (141)
Однородные граничные условия второго рода для (141) таковы:
0 ( )
0
x x l t
C C
x x= =
∂ ∂= =
∂ ∂
. (142)
Подстановками
0
( )
l
x
l t
ξ = ,
2
0
2
0
( ) d
( )
t l
D t t
l t
′ ′τ =
′∫
(где l0 – начальная толщина образца) задача (141), (142) приводится к виду
2
2
C C∂ ∂=
∂τ ∂ξ
,
00
0
l
C C
ξ= ξ=
∂ ∂= =
∂ξ ∂ξ
. (143)
Решение задачи (143) при любых начальных условиях затруднений не вызы-
вает.
Изложенный подход [8] более прост (так как рассматривается частный
случай), чем ранее изложенный для модели термопластичности [31]. Там же
(в [31]) имеется вывод уравнений массопластичности, аналогичный выводу
уравнений термопластичности. Сама модель массопластичности близка к
модели термопластичности [31].
Диффузия в области переменных размеров рассматривалась в [32,209].
Для тела, испытывающего однородную деформацию растяжения или сжа-
тия, диффузия описывается уравнением
2
2
exp( 2 )
C C
D
tx
∂ ∂− ε =
∂′∂
, (144)
где x′ = x – υt – координата в подвижной системе координат Оx′, движущей-
ся с постоянной скоростью относительно системы Оx; ε = ln(l/l0), l0, l – раз-
меры тела соответственно в исходный и произвольный моменты времени.
Рассмотрение модели в [32] завершается замечаниями авторов, сильно сни-
жающими ее значимость. Суть их состоит в констатации экспериментально
обнаруженного сильного изменения коэффициентов диффузии в зависимо-
сти от скорости деформации.
5. Принципы развития парадигмы
5.1. Выводы по анализу парадигмы
Исходя из поставленной цели – определения тех элементов теплофизиче-
ской парадигмы, которые могут быть интегрированы в формирующуюся
(находящуюся лишь в самой начальной стадии развития) парадигму ТФДТ –
сформулируем краткие выводы, вытекающие из осуществленного рассмот-
рения моделей микро-, мезо- и макроуровня.
Физика и техника высоких давлений 2008, том 18, № 1
22
Модели микроуровня. 1. В рамках физической механики решаются зада-
чи взаимодействия и движения в микросистемах (с характерными размерами
до 10 nm). Температура и концентрации примесей в этих задачах играют
роль параметров. Модели преследуют цель объяснения и, частично, описа-
ния поведения микросистем и для интерпретации данных макроэксперимен-
тов не годятся. Взаимодействие различных процессов переноса не описыва-
ется. 2. Модели твердотельной диффузии (диффузионные модели микро-
уровня) оперируют коэффициентами диффузии, энергиями активации и
диффузии – микропараметрами, для которых получены различные формулы,
сделаны в ряде случаев численные оценки. Макроперенос и влияние полей
концентраций примесей на процессы деформирования эти модели не описы-
вают. 3. Модели теплофизики конденсированного состояния основное вни-
мание уделяют выводу формул для коэффициентов теплопроводности при
различной структуре твердого тела и действующих механизмов теплопере-
носа. Интерес представляют имеющиеся зависимости коэффициента тепло-
проводности от температуры, давления и других макропараметров. Методы
тепловых расчетов и учета взаимодействия полей температур и деформаций
отсутствуют.
Модели мезоуровня. 4. К системам мезоуровня применяются методы
классической и неравновесной термодинамики, позволяющие устанавливать
связи между деформационными и теплообменными характеристиками. По-
лученные формулы могут быть полезны при построении макроскопических
моделей. 5. Большинство этих формул, в особенности относящихся к тепло-
массопереносу, содержат величины макроуровня. Специфических для мезо-
уровня моделей, отличных от микро- и макромоделей, не обнаружено. За-
частую тепло- и массоперенос в мезосистемах описывается макромоделями,
обоснования этого (с учетом ограничений макроописания) отсутствуют. 6.
Наносистемы образуют подкласс мезосистем и имеют выраженную специ-
фику, никак не учитываемую, так как в моделях деформирования преобла-
дает микроподход, а в моделях тепломассопереноса – макроподход. Встре-
чаются нуль-мерные модели теплопереноса, базирующиеся на балансовых –
обыкновенных дифференциальных – уравнениях.
Модели макроуровня. 7. Модели механики сплошной среды (упруго-
сти, пластичности, ползучести) базируются на уравнениях Ламе, не описы-
вающих диссипативные процессы. Модели пластичности весьма сложны, а
ползучести – сильно идеализированы. Учет в моделях свойств реальных
тел (нелинейности, сочетания упругости и вязкости и т.п.) ведет к слож-
ным математическим конструкциям (в частности, нелинейным интеграль-
ным уравнениям). 8. Многоуровневые модели, относительно новые, в ко-
торых пытаются одновременно описать деформирование на разных уров-
нях по принципу «матрешки» (т.е. поглощения, путем усреднения, описа-
ния микроуровня описанием мезо- или макроуровня) дают весьма громозд-
кие, практически не пригодные для включения в неординарные модели,
уравнения. 9. Неординарные модели, учитывающие взаимодействие раз-
личных видов переноса, строятся в рамках теорий термо- и массоупруго-
сти, термо- и массопластичности. Эти теории имеют серьезные (указанные
выше) недостатки.
Физика и техника высоких давлений 2008, том 18, № 1
23
5.2. Направления развития парадигмы
Из изложенного следуют, на наш взгляд, такие направления развития па-
радигмы теплофизики деформируемых тел.
1. Выделение двух этапов: первого, на котором строится и исследуется
базисная система моделей, и второго, на котором базисные модели обобща-
ются на более реалистические системы.
2. Базисные модели – линейные локальные модели деформирования и
тепломассопереноса (ординарные модели) и модели взаимодействующих
процессов (неординарные модели). Рассматриваются однородные системы
простейшей формы (плита, цилиндр, шар).
3. Модели п. 2 обобщаются на неоднородные системы – слоистые и
слоисто-неоднородные системы (с непрерывной неоднородностью в каждом
из слоев).
4. Модели пп. 2 и 3 обобщаются на нестационарные системы – с пере-
менными во времени параметрами или (и) с изменением со временем разме-
ров системы.
5. Базисным уравнением деформирования вместо уравнения теории уп-
ругости в перемещениях (уравнения Ламе) служит полученное гиперболиче-
ское (телеграфное) уравнение, которое обобщается на случаи пластической
деформации и ползучести.
6. Ординарные модели тепломассопереноса в случае слабонестационар-
ных систем строятся на основе известных моделей переноса в областях с
движущейся границей и метода функций Грина.
7. Эти же модели для сильнонестационарных систем строятся на основе
метода «диссипаторных цепочек» [117].
8. Модели «нанотеплофизики» строятся на основе конечно-разностных
уравнений [117].
197. Л.А. Толоконников, Механика деформируемого твердого тела, Высшая
школа, Москва (1979).
198. В.Н. Ионов, В.В. Селиванов, Динамика разрушения деформируемого те-
ла, Машиностроение, Москва (1987).
199. Механические свойства материалов под высоким давлением, Х.Л. Пью
(ред.), Мир, Москва (1973).
200. Н.С. Можаровский, Е.А. Антипов, Упругопластическое формирование
и разрушение материалов при нестационарных силовых и тепловых
воздействиях, Вища школа, Киев (1985).
201. Л.С. Мороз, Механика и физика деформаций и разрушения материалов,
Машиностроение, Ленинград (1984).
202. Л. Надаи, Пластичность и разрушение твердых тел, Т. 2, Мир, Москва
(1969).
203. Г.С. Писаренко, Н.С. Можаровский, Уравнения и краевые задачи тео-
рии пластичности и ползучести, Наукова думка, Киев (1981).
204. Закономерности ползучести и длительной прочности. Справочник,
С.А. Шестериков (ред.), Машиностроение, Москва (1983).
Физика и техника высоких давлений 2008, том 18, № 1
24
205. Т.Д. Шермергор, Теория упругости микронеоднородных сред, Наука,
Москва (1977).
206. Б.Е. Победря, Механика композиционных материалов, Изд-во МГУ,
Москва (1984).
207. С.К. Канаун, В.М. Левин, Метод эффективного поля в механике компо-
зитных материалов, Изд-во Петрозав. гос. ун-та, Петрозаводск (1993).
208. П.В. Харламов, Очерки об основаниях механики. Миры, заблуждения и
ошибки, Наукова думка, Киев (1995).
209. Л.Н. Лариков, В.Ф. Мазанко, А.И. Носарь, В.М. Фальченко, УФЖ 22,
1518 (1977).
210. Н.Б. Баландина, Б.С. Бокштейн, А.Л. Петелин, А.С. Островский, Ме-
таллофиз. новейшие технол. 18, № 4, 45 (1996).
211. В.Ф. Мазанко, В.М. Фальченко, Д.С. Герцрикен, Доп. НАН Украïни № 7,
100 (2000).
212. В.В. Арсенюк, Д.С. Герцрикен, В.Ф. Мазанко, В.М. Миронов, Доп. НАН
Украïни № 8, 82 (2001).
213. В.С. Новиков, Промтеплотехника 11, 11 (1989).
214. Ю.А. Михайлов, Ю.Т. Глазунов, Вариационные методы в теории нели-
нейного тепло- и массопереноса, Зинатне, Рига (1985).
215. В.М. Шаповалов, Н.В. Тябин, ИФЖ 52, 160 (1987).
216. В.В. Попов, ИФЖ 52, 161 (1987).
217. Дж. Оден, Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред,
Мир, Москва (1976).
218. И.Е. Зино, Э.А. Тропп, Асимптотические методы в задачах теории теп-
лопроводности и термоупругости, Изд-во ЛГУ, Ленинград (1978).
219. К.В. Фролов, Ю.Л. Израилев, Н.А. Махутов и др., Расчет термонапряже-
ний и прочности роторов и корпусов турбин, Машиностроение, Москва
(1988).
I.R. Vengerov
THERMAL PHYSICS OF DEFORMABLE SOLIDS
(Review)
IV. MACROLEVEL MODELS
The closing part of the review, see HPPT 2006, N 1−3. Macroscopic models of
the continuum mechanics, theories of heat and mass transfer for the processes of
partial and correlated pulse, heat and mass transfer have been considered. Princi-
ples of the TDS paradigm development in the future have been formulated, some
results relating to the subject have been set forth.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-70401 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0868-5924 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:31:09Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Донецький фізико-технічний інститут ім. О.О. Галкіна НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Венгеров, И.Р. 2014-11-04T15:09:30Z 2014-11-04T15:09:30Z 2008 Теплофизика деформируемых твердых тел (Обзор). IV. Модели макроуровня / И.Р. Венгеров // Физика и техника высоких давлений. — 2008. — Т. 18, № 1. — С. 7-24. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. 0868-5924 PACS: 05.70.–a, 62.50.–p https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/70401 Завершение обзора, публиковавшегося в № 1−3 ФТВД за 2006 г. Рассмотрены макроскопические модели механики сплошных сред и теории тепломассопереноса при частных и взаимосвязанных процессах переноса импульса, тепла и массы. Сформулированы принципы дальнейшего развития парадигмы ТФДТ, изложены некоторые результаты, полученные в этом направлении The closing part of the review, see HPPT 2006, N 1−3. Macroscopic models of the continuum mechanics, theories of heat and mass transfer for the processes of partial and correlated pulse, heat and mass transfer have been considered. Principles of the TDS paradigm development in the future have been formulated, some results relating to the subject have been set forth. ru Донецький фізико-технічний інститут ім. О.О. Галкіна НАН України Физика и техника высоких давлений Теплофизика деформируемых твердых тел (Обзор). IV. Модели макроуровня Теплофізика твердих тіл, що деформуються (Огляд). IV. Моделі макрорівня Thermal physics of deformable solids (Review). IV. Macrolevel models Article published earlier |
| spellingShingle | Теплофизика деформируемых твердых тел (Обзор). IV. Модели макроуровня Венгеров, И.Р. |
| title | Теплофизика деформируемых твердых тел (Обзор). IV. Модели макроуровня |
| title_alt | Теплофізика твердих тіл, що деформуються (Огляд). IV. Моделі макрорівня Thermal physics of deformable solids (Review). IV. Macrolevel models |
| title_full | Теплофизика деформируемых твердых тел (Обзор). IV. Модели макроуровня |
| title_fullStr | Теплофизика деформируемых твердых тел (Обзор). IV. Модели макроуровня |
| title_full_unstemmed | Теплофизика деформируемых твердых тел (Обзор). IV. Модели макроуровня |
| title_short | Теплофизика деформируемых твердых тел (Обзор). IV. Модели макроуровня |
| title_sort | теплофизика деформируемых твердых тел (обзор). iv. модели макроуровня |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/70401 |
| work_keys_str_mv | AT vengerovir teplofizikadeformiruemyhtverdyhtelobzorivmodelimakrourovnâ AT vengerovir teplofízikatverdihtílŝodeformuûtʹsâoglâdivmodelímakrorívnâ AT vengerovir thermalphysicsofdeformablesolidsreviewivmacrolevelmodels |