Применение нечетких чисел для обоснования кластеров в методах нечеткой кластеризации

В статье рассматривается метод определения оптимального числа кластеров в нечетком с-разбиении, основанный на построении интервала значений наиболее возможного числа классов с использованием нечетких чисел. Предложена модификация FCM-CV-алгоритма и приводится результат вычислительного эксперимент...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2008
Автор:	Вятченин, Д.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Російська
Опубліковано:	Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України 2008
Теми:	Нейросетевые и нечеткие системы
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7150
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Применение нечетких чисел для обоснования кластеров в методах нечеткой кластеризации / Д.А. Вятченин // Штучний інтелект. — 2008. — № 3. — С. 523-533. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859577144089247744
author	Вятченин, Д.А.
author_facet	Вятченин, Д.А.
citation_txt	Применение нечетких чисел для обоснования кластеров в методах нечеткой кластеризации / Д.А. Вятченин // Штучний інтелект. — 2008. — № 3. — С. 523-533. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.
collection	DSpace DC
description	В статье рассматривается метод определения оптимального числа кластеров в нечетком с-разбиении, основанный на построении интервала значений наиболее возможного числа классов с использованием нечетких чисел. Предложена модификация FCM-CV-алгоритма и приводится результат вычислительного эксперимента. У статті розглядається метод визначення оптимального числа кластерів у нечіткому с-розбитті, заснований на побудові інтервалу значень найбільш можливого числа класів з використанням нечітких чисел. Запропонована модифікація FCM-CV-алгоритму і наводиться результат обчислювального експерименту. This paper considers a method of detection of the optimal number of clusters in the fuzzy c-partition based on constructing an interval of values of the most possible numbers of classes with using of fuzzy numbers. A modification of the FCM-CV-algorithm is proposed and a result of the numerical experiment is given.
first_indexed	2025-11-27T02:54:31Z
format	Article
fulltext	«Штучний інтелект» 3’2008 523 7В УДК 519.237.8+510.22 Д.А. Вятченин Объединенный институт проблем информатики НАН Беларуси, г. Минск viattchenin@mail.ru Применение нечетких чисел для обоснования кластеров в методах нечеткой кластеризации∗ В статье рассматривается метод определения оптимального числа кластеров в нечетком с-разбиении, основанный на построении интервала значений наиболее возможного числа классов с использованием нечетких чисел. Предложена модификация FCM-CV-алгоритма и приводится результат вычислительного эксперимента. Введение Теория нечетких множеств, предложенная в 1965 году Л.А. Заде [1], нашла свое применение практически в любой области научных исследований, в том числе и при разработке новых методов автоматической классификации, именуемой также кластерным анализом, численной таксономией или распознаванием образов с само- обучением [2], в связи с чем Л.А. Заде отмечал, что «глубинная связь между теорией нечетких множеств и распознаванием образов основана на том обстоятельстве, что большинство реальных классов размыты по своей природе в том смысле, что переход от принадлежности к непринадлежности для этих классов скорее постепенен, чем скачкообразен» [3]. В работах [4-6] подробно рассматриваются предложенные различными исследователями методы нечеткой кластеризации эвристического, оптимизационного и иерархического направлений. Оптимизационные методы нечеткого подхода к решению задач кластеризации являются наиболее распространенными, однако при обращении к указанным кластер-процедурам возникает проблема обоснова- ния числа классов, для решения которой традиционно используются различные показатели оптимальности числа нечетких кластеров. Вместе с тем, при большом количестве предположений о числе классов использование этих показателей также затруднительно, и задача состоит в построении множества наиболее возможного числа нечетких кластеров. Целью предпринятого исследования является решение поставленной задачи, в основе которого лежит использование аппарата нечетких чисел. В работе предла- гается метод построения допустимого множества значений наиболее возможного числа нечетких кластеров в искомом нечетком c -разбиении, основанный на построении нечетких величин, исходя из экспертных оценок или результатов разведочного анализа данных, а также рассматривается соответствующая модификация предложенного в [7] FCM-CV-алгоритма. Приводятся результаты вычислительного эксперимента и форму- лируются предварительные выводы об эффективности предложенного подхода. ∗Исследования проводились при поддержке гранта Президиума Национальной академии наук Беларуси в соответствии с Постановлением № 157 Бюро Президиума НАН Беларуси от 11.04.2007. Вятченин Д.А. «Искусственный интеллект» 3’2008 524 7В Оптимизационное направление решения нечеткой модификации задачи кластеризации В нечетких методах автоматической классификации, объединяемых в оптими- зационное направление, нечеткая кластеризация понимается как разбиение классифи- цируемой совокупности объектов },...,{ 1 nxxX = на семейство его нечетких множеств, так что в качестве входного параметра в существующих нечетких методах оптимизационного направления автоматической классификации задается число нечетких кластеров c , причем при данном подходе под нечетким кластером может пониматься любое нечеткое множество, определенное на универсуме. Нечеткие множества clAl ,,1, …= с соответст- вующими функциями принадлежности cii µµ ,,1 … каждого объекта ix , определенные на универсуме },...,{ 1 nxxX = , образуют нечеткое c -разбиение, иногда называемое также нечетким разбиением в смысле Э.Г. Распини [3], если для каждого объекта Xxi ∈ выпол- няется условие 1 1 =∑ = c l liµ , и нечеткая модификация задачи автоматической классифи- кации в экстремальной постановке заключается в нахождении экстремума некоторого функционала )(PQ на множестве Π всех возможных нечетких c -разбиений P клас- сифицируемого множества объектов X , что описывается формулой Π∈ → P extrPQ )( . Если исходные данные представлены матрицей вида «объект-объект» njnixxdd jinn ,,1,,,1)],,([ …… ===× , элементами которой являются попарные коэффи- циенты различия между объектами, то для классификации объектов исследуемой совокупности используются так называемые реляционные процедуры, основанные на минимизации соответствующих функционалов. Примером такого функционала может послужить критерий М. Рубенса [8] ∑∑∑ = = = = c l n i n j jiljli I Ro xxdPQ 1 1 1 22 },()( µµ , (1) процедура минимизации которого именуется в литературе MND2-алгоритмом [8] или FNM-алгоритмом [6]. В выражении (1) символом ),( ji xxd обозначается коэф- фициент различия между объектами ix и jx , nji ,,1, …= исследуемой совокупности X , nXcard =)( , а liµ – значение принадлежности i -го объекта l -му нечеткому кластеру. В случае же представления исходных данных в виде матрицы «объект – свойство» mtnixX t imn ,,1,,,1],€[€ …… ===× , задача классификации заключается в минимизации критерия, в который введена некоторая метрика, и типичным примером подобных функционалов является критерий, предложенный Дж. Данном [9] и позже обобщен- ный Дж. Беждеком [10] ∑∑ = = −=Τ c l n i l ili II DB xPQ 1 1 2 ),( τµ γ , (2) процедура минимизации которого широко известна под обозначением FCM-алгоритма. Критерий (2), где символом lτ обозначен прототип l -го нечеткого кластера, а символом γ – задаваемый исследователем коэффициент нечеткости классификации, такой, что ∞<< γ1 , послужил основой для целого семейства функционалов и соответствующих им нечетких кластер-процедур, которые подробно рассматриваются в [4]. Применение нечетких чисел для обоснования кластеров в методах… «Штучний інтелект» 3’2008 525 7В В силу того, что c является параметром любой оптимизационной кластер-про- цедуры, одной из главных проблем при использовании оптимизационных методов является определение «реального» числа c нечетких кластеров, на которые «рас- слаивается» исследуемая совокупность, или, иными словами, проблема обоснования числа кластеров, встающая наиболее остро, когда исследователю число классов c вообще неизвестно. Для решения этой проблемы были предложены различные пока- затели, характеризующие получаемое при использовании того или иного алгоритма нечеткое c -разбиение },,{ 1* cAAP …= . В частности, для FCM-алгоритма и его модифика- ций различными исследователями был введен ряд показателей, наиболее известными из которых являются − коэффициент разбиения ∑∑ = = = c l n i lipc n PV 1 1 2 ,1)( µ (3) предложенный Дж. Данном [11] и для которого решение задачи определения оптималь- ного числа классов в P отыскивается в виде ( ) 1,,2,)(max −= ncPV pcc … ; − энтропия разбиения ∑∑ = = ⋅−= c l n i lilipe n PV 1 1 ln1)( µµ , (4) предложенная Дж. Беждеком, М.П. Уиндхемом и Р. Эрлихом [12], так что оптималь- ному числу классов в P соответствует ( ) 1,,2,)(min −= ncPV pec … ; − индекс разделимости 2 1 1 22 min 1 )( kl kl c l n i l ili si x nPV ττ τµ − − = ≠ = = ∑∑ , (5) предложенный Х.Л. Хи и Ж. Бени [13], где оптимальное число классов в P опреде- ляется, исходя из условия ( ) 1,,2,)(min −= ncPVsic … . Для других нечетких кластер- процедур оптимизационного направления также предлагается ряд показателей опти- мальности числа классов в нечетком c -разбиении – в частности, в [14] рассматриваются показатели оптимальности нечетких кластеров при разбиении исследуемой совокуп- ности с помощью FNM-алгоритма. Для всех показателей числа классов в нечетком c -разбиении решение задачи определения оптимального числа классов в искомом нечетком разбиении определяется общим выражением ( ) 1,,2,)( −= ncPVextr cc … , (6) где символом )(PVc обозначен какой-либо показатель. Таким образом, необходимым является проведение серии экспериментов при различных значениях числа классов c , для чего оказывается необходимым построение множества },,{ ∗ ∗= ccC … наиболее воз- можных значений числа классов в искомом нечетком c -разбиении ∗P , где ∗c – наимень- шее, а ∗c – наибольшее из значений множества C . В [15] было предложено объединить FCM-алгоритм с процедурой вычисления соответствующего показателя оптимальности числа нечетких классов )(PVc в иско- мом нечетком c -разбиении ∗P в рамках одной процедуры, параметрами которой явля- ются значения наименее возможного c и наиболее возможного c числа нечетких кла- Вятченин Д.А. «Искусственный интеллект» 3’2008 526 7В стеров в искомом нечетком c -разбиении ∗P . Вместе с тем, предложенная в [15] про- цедура предъявляет достаточно высокие требования к оперативной памяти ПЭВМ, особенно при обработке совокупностей сравнительно большого объема, и в [7] была предложена модификация предложенной в [15] процедуры, получившая, от англоязычных терминов fuzzy c -means и cluster validity, название FCM-CV-алгоритма. Рассмотренный в предпринятом исследовании метод построения множества наиболее возможного числа нечетких кластеров в искомом нечетком c -разбиении ∗P позволяет модифи- цировать FCM-CV-алгоритм, и соответствующая модификация процедуры будет рассмотрена в процессе дальнейшего изложения. Построение множества значений возможного числа нечетких кластеров на основе нечетких чисел Для дальнейшего рассмотрения представляется необходимым напомнить опре- деления понятий нечеткой величины, нечеткого интервала и нечеткого числа. Если некоторое нечеткое множество V определено на множестве действительных чисел, то есть представляет собой отображение ]1,0[→ℜ , то V именуется нечеткой величиной. Каждое значение ℜ∈ix будет называться модальным значением нормальной нечет- кой величины V , если ix является элементом ядра )(VCore нечеткой величины V , то есть 1)( =iV xµ . В случае, если ( ) 1)( =VCorecard , то V является унимодальной нечет- кой величиной, в случае же, когда ( ) 1)( >VCorecard , нечеткая величина V называется мультимодальной [16]. Пусть L или R – невозрастающая функция ]1,0[→ℜ+ , такая, что 1)0()0( == RL и 0)(,1,1)(,0 ><∀<>∀ iiii xLxxLx ; 0)1( =L либо имеет место ii xxL ∀> ,0)( и 0)( =+∞L . Тогда нечеткое множество V называется нечетким интервалом LR -типа с функцией принадлежности )( iV xµ , определяемой формулой           ≥      − ≤≤ ≤      − = mx b mx R mxm mx a xm L x i i i i i iV , ,1 , )(µ , (7) где m называется нижним модальным значением ,V m – верхним модальным значе- нием, а параметры 0>a и 0>b называются левым и правым коэффициентами нечет- кости соответственно. Таким образом, нечеткий интервал LR -типа может быть пред- ставлен в виде четверки параметров, что записывается в виде LRbammV ),,,(= . Если LRbammV ),,,(= является нечетким интервалом LR -типа, то при условии совпадения нижнего и верхнего модальных значений mmm == нечеткий интервал LR -типа V именуется нечетким числом LR -типа с функцией принадлежности, опре- деляемой в соответствии с выражением        ≥      − ≤      − = mxпри b mx R mxпри a xm L x i i i i iV , , )(µ , (8) Применение нечетких чисел для обоснования кластеров в методах… «Штучний інтелект» 3’2008 527 7В где m называется модальным значением нечеткого числа LR -типа, символически записываемого в виде LRbamV ),,(= , а a и b – левым и правым индексами нечет- кости соответственно. При использовании оптимизационных методов нечеткой кластеризации число классов c в искомом нечетком c -разбиении ∗P может определяться с помощью ре- зультатов разведочного анализа данных, к примеру, при анализе диаграммы рассеивания [2] или экспертных оценок. Пусть },1,€2\|))€(,€{(€ € kencccC eeCee e =∀≤≤= µ – множество одноточечных нечетких множеств, выражающих мнения k экспертов о числе c кластеров в искомом нечетком c -разбиении ∗P , так что предполагаемому e -м экспертом числу ec€ нечетких кластеров в ∗P соответствует степень уверенности ]1,0()€(€ ∈eC c e µ . Для каждого ke ,,1…= значение ec€ может рассматриваться как мо- дальное значение нечеткого числа, и для каждого из строящихся нечетких чисел kebamV LReeee ,,1,),,( …== с модальными значениями ee cm €= соответственно значе- ния kel eV ,,1),( …=µ будут полагаться равными нулю в точках 1=c и nc = , так что },,1{,0)()1( ken ee VV …∈∀== µµ , левый коэффициент нечеткости будет определяться выражением ( )1€ −= ee ca , а правый – ( )ee cnb €−= , так что носителем )( eVSupp нечеткого числа keVe ,,1, …= будет открытый интервал ( ) ( )nbcac eeee ,1€,€ =+− , а )(l eVµ будет определяться выражением        ≥      − ≤      − = e e e e e e e e V clпри b cl R clпри a lc L l e €, € €, € )(µ , (9) где индекс e функций L и R подчеркивает, что они могут выбираться для каждого нечеткого числа kebamV LReeee ,,1,),,( …== отдельно. Таким образом, если на коор- динатной плоскости по оси абсцисс откладывать число классов ),1( nl∈ , а по оси ор- динат – значения функции принадлежности )(l eVµ нечеткого числа eV , то функция представления формы нечеткого числа keVe ,,1, …= будет иметь вид кривой, дости- гающей максимума в точке с координатами 1)(,€ == lcl eVe µ . При построении нечетких чисел keVe ,,1, …= для того, чтобы каждое keVe ,,1, …= описывалось бы непрерывной функцией принадлежности )(l eVµ , подразумевается, что ℜ⊂∈ ),1( nl . Далее следует построить нечеткую величину V с непрерывной функцией при- надлежности )(lVµ , для чего ко всем kebamV LReeee ,,1,),,( …== можно применить операцию объединения, причем в данном случае операция объединения понимается в широком смысле, то есть может быть осуществлена с помощью какой-либо выбранной исследователем S -нормы [17]. После построения V выбирается порог )€(min € eCe c e µα = , для которого строится })()(\|))(,{( )()()( αµµµ ααα ≥== llllV VVV – нечеткое множество уровня α с непрерывной функцией принадлежности )( )( lV α µ . Носитель не- четкого множества )(αV в таком случае будет представлять собой интервал действи- тельных чисел ( ) ]",'[)( ccVSupp =α , и множество },,{ ∗= ccC … возможных значений Вятченин Д.А. «Искусственный интеллект» 3’2008 528 7В числа классов в искомом нечетком c -разбиении ∗P может быть определено как под- множество натуральных чисел, определяемое выражением    { }+⊂≤≤ Zcccc \|"' , (10) где   ∗= cc' – округление числа 'c до ближайшего сверху целого из интервала ]",'[ cc ,   ∗= cc" – округление числа "c до ближайшего снизу целого из интервала ]",'[ cc , а +Z – множество положительных целых чисел. Для элементов c множества допус- тимых значений числа нечетких кластеров },,{ * ∗= ccC … можно определить значения принадлежности Cccllc VV ∈== ,),()( )(€ α µµ , так что множество C будет представлять собой носитель нечеткого множества CcccV V ∈= )},(,{€ €µ с дискретной функцией принадлежности. Значения функции принадлежности CccV ∈),(€µ могут интерпре- тироваться как степени адекватности значений Cc ∈ , так что обобщенный пока- затель оптимальности числа нечетких классов )(~ PVc может быть определен в виде )()()(~ € cPVPV Vcc µ⋅= , где Cc ∈ – число кластеров в P . Для построения множества одноточечных нечетких множеств keCe ,,1,€ …= можно воспользоваться предложенным в [18] эвристическим D-AFC-TC-алгоритмом нечет- кой кластеризации с выбором различных расстояний между нечеткими множествами. Результатом работы D-AFC-TC-алгоритма является распределение )(* XR объектов исследуемой совокупности X по априори неизвестному числу ncc <≤2, нечетких α -кластеров для некоторого вычисленного порога сходства α , позволяющего коли- чественно оценить наименьшую степень сходства объектов в нечетких α -кластерах распределения )(* XR . Полученное в результате работы D-AFC-TC-алгоритма при некотором выбранном расстоянии число c нечетких α -кластеров в )(* XR может за- даваться как ec€ , а значение порога сходства α полученного распределения )(* XR – как значение )€(€ eC c e µ . Схема модифицированного FCM-CV-алгоритма Построение нечеткого множества CcccV V ∈= )},(,{€ €µ с помощью D-AFC-TC- алгоритма либо его модификаций является этапом, предваряющим построение нечет- кого c -разбиения ∗P , оптимального в смысле выбранного показателя )(PVc . Общая схема предлагаемой модификации FCM-CV-алгоритма, основанной на вычислении )(~ PVc для всех Cc ∈ , и которую можно обозначить как (m)FCM-CV- алгоритм, выглядит следующим образом. 1. Полагается 1 : cc = и : cc p = и значения числа классов c в искомом ∗P упорядочиваются следующим образом: 12 1 −≤<<<<≤ nccc p…… . 2. Полагается 1:= . 3. Вычислять: 3.1. с помощью FCM -алгоритма вычисляется нечеткое c -разбиение )(cP исследуемой совокупности на c классов; Применение нечетких чисел для обоснования кластеров в методах… «Штучний інтелект» 3’2008 529 7В 3.2. вычисляется значение показателя )()()(~ € cPVPV Vcc µ⋅= для полученного нечеткого c -разбиения )(cP ; 3.3. производится проверка условия: если 2< , то осуществляется переход на шаг 5, иначе осуществляется переход на шаг 4. 4. Производится проверка условия: если )(~)(~ PVPV cc > , то осуществляется переход на шаг 5, иначе осуществляется переход на шаг 6. 5. Полагается )( PcP = . 6. Производится проверка условия: если p< , то полагается 1: += и осуществляется переход на шаг 3, иначе нечеткое c -разбиение P является искомым результатом и алгоритм прекращает работу. Схема (m)FCM-CV-алгоритма построена, исходя из предположения, что в качест- ве )(PVc используется коэффициент разбиения (3), так что в случае, когда в качестве )(PVc используется другой показатель, для которого решение задачи определения оптимального числа классов отыскивается в виде ( ),)(min PVcc 1,,2 −= nc … , на шаге 4 представленной выше схемы следует производить проверку условия )()( PVPV cc < ; следует также указать, что (m)FCM-CV-алгоритм требует сохранения в оперативной памяти ПЭВМ только двух нечетких разбиений – вычисленного )(cP и текущего P , вместо множества { }pcPcc ,,1\|)(),( …==Π ∗ ∗ возможных решений задачи классифи- кации. При CccV ∈∀= ,1)(€µ , предложенная схема будет являть собой FCM-CV- алгоритм [7]. Иллюстративный пример Для проведения вычислительного эксперимента были выбраны изображенные на рис. 1 двумерные данные, предложенные в качестве тестовых К.Г. Луни [19], представ- ляющие собой совокупность 15 объектов },,{ 151 xxX …= . При проведении вычисли- тельных экспериментов исходные данные были пронормированы в соответствии с выражением t ii t it i x x x €max € = , (11) и обработаны D-AFC-TC-алгоритмом с использованием относительного обобщен- ного расстояния Хемминга, относительного евклидова расстояния и относительной евклидовой нормы [18]. Вятченин Д.А. «Искусственный интеллект» 3’2008 530 7В Рисунок 1 – Данные для проведения вычислительного эксперимента При использовании относительного обобщенного расстояния Хемминга было получено распределение по 2€1 =c при 0.81251 =∗α , а при использовании относитель- ного евклидова расстояния и относительной евклидовой нормы было получено 3€€ 32 == cc при 0.80652 = ∗α и 0.96263 = ∗α соответственно, что дает возможность пост- роить нечеткие числа LRbamV ),,( 1111 = и LRbamV ),,( 2222 = с модальными значениями 3,2 21 == mm и функциями принадлежности        ≤≤            + − − − ≤≤            + − − + = 152, 2 152 215 sin 2 1 2 1 21, 2 21 12 sin 2 1 2 1 )( 1 ll ll lV π π µ , (12) и        ≤≤            + − − − ≤≤            + − − + = 153, 2 153 315 sin 2 1 2 1 31, 2 31 13 sin 2 1 2 1 )( 2 ll ll lV π π µ . (13) Рисунок 2 – Функция принадлежности нечеткой величины V и значения принадлежностей нечеткого множества V€ Применение нечетких чисел для обоснования кластеров в методах… «Штучний інтелект» 3’2008 531 7В Для построения V в качестве S -нормы была выбрана операция объединения нечетких множеств, а значение α было выбрано как 3,2,1,min == ∗ eee αα и составило 0.80652 = ∗α , так что множество C представляет собой совокупность }6,5,4,3,2{=C . На рис. 2 непрерывной кривой изображена функция принадлежности )(lVµ , а симво- лом ○ обозначены значения CccV ∈),(€µ нечеткого множества V€. На рис. 3 изображено поведение для построенного V€ обобщенного индекса разделимости )(~ PVsi при обработке данных (m)FCM-CV-алгоритмом. а) б) в) г) Рисунок 3 – Значения )(~ PVsi (а) и )(~ PVsi при CccV ∈∀= ,1)(€µ (б) при обработке исходных данных (m)FCM-CV-алгоритмом На рис. 4 изображено поведение для построенного V€ показателя )(~ PV pc . В обоих случаях оптимальным числом классов в искомом нечетком c -разбиении является 3=c . Значения принадлежностей объектов совокупности },,{ 151 xxX …= первому нечеткому кластеру оптимального P изображены на рис. 4 символом ○, второму – символом ∆ и третьему – символом ■. Вятченин Д.А. «Искусственный интеллект» 3’2008 532 7В Рисунок 4 – Значения принадлежностей объектов классам оптимального P Анализ исходных данных, приведенных на рис. 1, позволяет визуально выде- лить три довольно четкие совокупности точек, и приведенные на рисунке 4 значения принадлежности объектов исследуемой совокупности трем классам нечеткого c -раз- биения, оптимального в смысле критерия (2), соответствуют относительной близости объектов прототипам нечетких кластеров. Кроме того, результаты проведенного эксперимента показывают корректность определенного в результате работы (m)FCM- CV-алгоритма числа нечетких кластеров в искомом P , оптимальном как в смысле индекса разделимости )(PVsi , так и в смысле коэффициента разбиения )(PV pc . Заключение Результаты проведенного исследования наглядно демонстрируют, что аппарат нечетких чисел является эффективным средством для построения множества значе- ний наиболее возможного числа классов в искомом нечетком c -разбиении, а метод построения нечетких чисел для решения указанной задачи является достаточно простым и вполне объяснимым с содержательной точки зрения. Кроме того, предло- женный подход к построению нечетких чисел на основе задаваемых модальных значений является гибким в том смысле, что функция представления формы нечеткого числа, с одной стороны, а также S -норма для построения нечеткой величины – с другой могут быть выбраны в зависимости от условий задачи. Так как FCM-алгоритм, отыскивающий минимум функционала (2), представ- ляет собой параметрическое семейство по γ при фиксированном числе кластеров c [2], и при увеличении значения γ возрастает неопределенность классификации, что в свою очередь влияет на поведение показателей )(PVc , то при больших значениях γ иногда оказывается невозможным определить локальный экстремум показателя )(PVc . Этим обстоятельством диктуется целесообразность использования обобщенного показателя )(~ PVc в предложенном (m)FCM-CV-алгоритме, анализ данных с помощью которого позволяет в значительной мере снизить требования к оперативной памяти ПЭВМ при Применение нечетких чисел для обоснования кластеров в методах… «Штучний інтелект» 3’2008 533 7В обработке больших массивов данных. В свою очередь, главным достоинством предло- женного двухэтапного подхода к решению задачи нечеткой кластеризации, заключаю- щегося в совместном использовании D-AFC-TC-алгоритма и (m)FCM-CV-алгоритма, является возможность обработки данных в полностью автоматическом режиме. Литература 1. Zadeh L.A. Fuzzy Sets // Information and Control. – 1965. – Vol. 8. – P. 338-353. 2. Прикладная статистика: Классификация и снижение размерности: Справ. изд. / С.А. Айвазян, В.М. Бухштабер, И.С. Енюков, Л.Д. Мешалкин; Под ред. С.А. Айвазяна. – М.: Финансы и статистика, 1989. – 607 с. 3. Заде Л.А. Размытые множества и их применение в распознавании образов и кластер-анализе // Классификация и кластер / Под ред. Дж. Вэн Райзина: Пер с англ. / Под ред. Ю.И. Журавлева. – М.: Мир, 1980. – С. 208-247. 4. Fuzzy Cluster Analysis: Methods for Classification, Data Analysis and Image Recognition / F. Höppner, F. Klawonn, R. Kruse, T. Runkler. – Chichester: Wiley Intersciences, 1999. – 289 p. 5. Вятченин Д.А. Нечеткие методы автоматической классификации. – Минск: УП «Технопринт», 2004. – 219 с. 6. Fuzzy Models and Algorithms for Pattern Recognition and Image Processing / J.C. Bezdek, J.M. Keller, R. Krishnapuram, N.R. Pal. – New York: Springer Science, 2005. – 776 p. 7. Вятченин Д.А., Хижняк А.В., Шевяков А.В. Методология построения нечеткого С-разбиения мно- жества объектов на оптимальное число классов // Вестник Военной академии Республики Беларусь. – 2006. – № 4. – С. 16-24. 8. Sun H., Wang S., Jiang Q. FCM-Based Model Selection Algorithms for Determining the Number of Clusters // Pattern Recognition. – 2004. – Vol. 37. – P. 2027-2037. 9. Дюбуа Д., Прад А. Теория возможностей. Приложения к представлению знаний в информатике: Пер. с фр. В.Б. Тарасова. – М.: Радио и связь, 1990. – 288 с. 10. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта / А.Н. Аверкин, И.З. Батыршин, А.Ф. Блишун и др. / Под ред. Д.А. Поспелова. – М.: Наука, 1986. – 312 с. 11. Вятченин Д.А. Прямые алгоритмы нечеткой кластеризации, основанные на операции транзитив- ного замыкания и их применение к обнаружению аномальных наблюдений // Искусственный интеллект. – 2007. – № 3. – С. 205-216. 12. Looney C.G. Interactive clustering and merging with a new fuzzy expected value // Pattern Recognition. – 2002. – Vol. 35. – P. 2413-2423. 13. Hathaway R.J., Bezdek J.C., Dawenport J.W. On Relational Data Versions of C-means Algorithms // Pat- tern Recognition Letters. – 1996. – Vol. 17. – P. 607-612. Д.А. Вятченін Використання нечітких чисел задля обґрунтування кластерів у методах нечіткої кластеризації У статті розглядається метод визначення оптимального числа кластерів у нечіткому с-розбитті, заснований на побудові інтервалу значень найбільш можливого числа класів з використанням нечітких чисел. Запропонована модифікація FCM-CV-алгоритму і наводиться результат обчислювального експерименту. D.A. Viattchenin An Application of Fuzzy Numbers for Cluster Validity in Fuzzy Clustering Methods This paper considers a method of detection of the optimal number of clusters in the fuzzy c-partition based on constructing an interval of values of the most possible numbers of classes with using of fuzzy numbers. A modification of the FCM-CV-algorithm is proposed and a result of the numerical experiment is given. Статья поступила в редакцию 30.05.2008.
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-7150
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1561-5359
language	Russian
last_indexed	2025-11-27T02:54:31Z
publishDate	2008
publisher	Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
record_format	dspace
spelling	Вятченин, Д.А. 2010-03-24T18:17:42Z 2010-03-24T18:17:42Z 2008 Применение нечетких чисел для обоснования кластеров в методах нечеткой кластеризации / Д.А. Вятченин // Штучний інтелект. — 2008. — № 3. — С. 523-533. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1561-5359 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7150 519.237.8+510.22 В статье рассматривается метод определения оптимального числа кластеров в нечетком с-разбиении, основанный на построении интервала значений наиболее возможного числа классов с использованием нечетких чисел. Предложена модификация FCM-CV-алгоритма и приводится результат вычислительного эксперимента. У статті розглядається метод визначення оптимального числа кластерів у нечіткому с-розбитті, заснований на побудові інтервалу значень найбільш можливого числа класів з використанням нечітких чисел. Запропонована модифікація FCM-CV-алгоритму і наводиться результат обчислювального експерименту. This paper considers a method of detection of the optimal number of clusters in the fuzzy c-partition based on constructing an interval of values of the most possible numbers of classes with using of fuzzy numbers. A modification of the FCM-CV-algorithm is proposed and a result of the numerical experiment is given. Исследования проводились при поддержке гранта Президиума Национальной академии наук Беларуси в соответствии с Постановлением № 157 Бюро Президиума НАН Беларуси от 11.04.2007. ru Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України Нейросетевые и нечеткие системы Применение нечетких чисел для обоснования кластеров в методах нечеткой кластеризации Використання нечітких чисел задля обґрунтування кластерів у методах нечіткої кластеризації An Application of Fuzzy Numbers for Cluster Validity in Fuzzy Clustering Methods Article published earlier
spellingShingle	Применение нечетких чисел для обоснования кластеров в методах нечеткой кластеризации Вятченин, Д.А. Нейросетевые и нечеткие системы
title	Применение нечетких чисел для обоснования кластеров в методах нечеткой кластеризации
title_alt	Використання нечітких чисел задля обґрунтування кластерів у методах нечіткої кластеризації An Application of Fuzzy Numbers for Cluster Validity in Fuzzy Clustering Methods
title_full	Применение нечетких чисел для обоснования кластеров в методах нечеткой кластеризации
title_fullStr	Применение нечетких чисел для обоснования кластеров в методах нечеткой кластеризации
title_full_unstemmed	Применение нечетких чисел для обоснования кластеров в методах нечеткой кластеризации
title_short	Применение нечетких чисел для обоснования кластеров в методах нечеткой кластеризации
title_sort	применение нечетких чисел для обоснования кластеров в методах нечеткой кластеризации
topic	Нейросетевые и нечеткие системы
topic_facet	Нейросетевые и нечеткие системы
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7150
work_keys_str_mv	AT vâtčeninda primenenienečetkihčiseldlâobosnovaniâklasterovvmetodahnečetkoiklasterizacii AT vâtčeninda vikoristannânečítkihčiselzadlâobgruntuvannâklasterívumetodahnečítkoíklasterizacíí AT vâtčeninda anapplicationoffuzzynumbersforclustervalidityinfuzzyclusteringmethods

Применение нечетких чисел для обоснования кластеров в методах нечеткой кластеризации

Репозитарії

Схожі ресурси