Підвищення ефективності паралельного розв’язання лінійної задачі Коші на основі методу рекурсивного множення матриць

Запропоновано масштабований паралельний метод матричного добутку на основі систолічного та рекурсивного алгоритмів, який дозволяє підвищити ефективність розв’язання лінійної задачі Коші на основі експоненціального методу. Для розробленого алгоритму визначено оптимальні значення глибини рекурсії і...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2008
Main Author:	Назарова, І.А.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України 2008
Subjects:	Архитектура, алгоритмическое и программное обеспечение интеллектуальных многопроцессорных систем
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7156
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Підвищення ефективності параллельного розв’язання лінійної задачі Коші на основі методу рекурсивного множення матриць / І.А. Назарова // Штучний інтелект. — 2008. — № 3. — С. 706-713. — Бібліогр.: 10 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859673106699780096
author	Назарова, І.А.
author_facet	Назарова, І.А.
citation_txt	Підвищення ефективності параллельного розв’язання лінійної задачі Коші на основі методу рекурсивного множення матриць / І.А. Назарова // Штучний інтелект. — 2008. — № 3. — С. 706-713. — Бібліогр.: 10 назв. — укр.
collection	DSpace DC
description	Запропоновано масштабований паралельний метод матричного добутку на основі систолічного та рекурсивного алгоритмів, який дозволяє підвищити ефективність розв’язання лінійної задачі Коші на основі експоненціального методу. Для розробленого алгоритму визначено оптимальні значення глибини рекурсії і розміру мінімального блоку перемножуваних матриць. Розроблено схеми відображення методу на паралельні структури з розподіленою пам’яттю топології сітка/тор. Предложен масштабируемый параллельный метод матричного умножения на основе систолического и рекурсивного алгоритмов, который позволяет повысить эффективность решения линейной задачи Коши на основе экспоненциального метода. Для предложенного метода определено оптимальное значение глубины рекурсии и минимальное значение блока перемножаемых матриц. Разработаны схемы отображения метода на параллельные структуры с распределенной памятью и топологией решетка/тор. The scalable parallel method of matrix multiplication is offered on the basis of systolic and recursive algorithms, which allows to promote efficiency of decision of linear Cauchy’s problem on the basis of exponential method. For the offered method the optimum value of depth of recursion and minimum value of block of the multiplied matrices is certain. The schemes of reflection of method are developed on parallel structures with the distributed memory and topology of mesh/torus.
first_indexed	2025-11-30T15:11:54Z
format	Article
fulltext	«Искусственный интеллект» 3’2008 706 8Н УДК 681.3 І.А. Назарова Донецький національний технічний університет, м. Донецьк, Україна nazarova@r5.dgtu.donetsk.ua Підвищення ефективності паралельного розв’язання лінійної задачі Коші на основі методу рекурсивного множення матриць Запропоновано масштабований паралельний метод матричного добутку на основі систолічного та рекурсивного алгоритмів, який дозволяє підвищити ефективність розв’язання лінійної задачі Коші на основі експоненціального методу. Для розробленого алгоритму визначено оптимальні значення глибини рекурсії і розміру мінімального блоку перемножуваних матриць. Розроблено схеми відображення методу на паралельні структури з розподіленою пам’яттю топології сітка/тор. Вступ Дослідження, викладені у статті, присвячені розробці і аналізу ефективності пара- лельних методів розв’язання задачі Коші для систем лінійних звичайних диференціальних рівнянь (СЛЗДР) із вбудованими засобами оцінки локальної похибки. Зокрема, запропо- новані спеціальні методи вирішення однорідних і неоднорідних СЛЗДР з постійними коефіцієнтами. Як показали дослідження, урахування специфіки задачі дозволяє отримати більш ефективні паралельні обчислювальні алгоритми, ніж у випадку стандартних чи- сельних схем. Експоненціальний метод відноситься до спеціальних методів чисельного інтегру- вання початкової задачі Коші для СЛЗДР, заснований на точному представленні розв’язку в аналітичній формі і наближеному обчисленні матричної експоненти [1]. У загальному вигляді задачу Коші для однорідних СЛЗДР з постійними коефіцієнтами можна записати таким чином:    == ⋅=′ ,constAy)(xy ),x(yA)x(y ,00 (1) де T 21 )y,...,y,(yy m= – вектор невідомих, T 0m20100 )y,...,y,y(y = – вектор початкових умов, m,1j,i,aA ij == – матриця коефіцієнтів лінійної системи, елементи якої є констан- тами. Точний розв’язок задачі Коші виду (1) потребує обчислення матричної експо- ненти:     == ⋅=+ ∑ ∞ = . !i )hA()hA(Fe ),x(ye)hx(y 0i i nn hA hA . (2) Підвищення ефективності паралельного розв’язання лінійної задачі Коші… «Штучний інтелект» 3’2008 707 8Н Наближений розв’язок на кроці можна побудувати, використовуючи апроксимацію матричної експоненти відрізком ряду Тейлора при малому значенні h :     = ⋅= ∑ = + r 0i i r nr1n , !i )hA()hA(F ,y)hA(Fy (3) а потім застосувати деякий алгоритм множення матриць. Паралельний блоковий рекурсивно-систолічний метод матричного добутку Матричний добуток (МД) – домінуюча обчислювальна частина експоненціальних методів розв’язання СЗДР із вбудованими засобами оцінки локальної похибки. Тому прискорення паралельної реалізації цієї базової операції лінійної алгебри означає змен- шення терміну виконання методу вирішення лінійної задачі у цілому. При величезній різноманітності методів обчислення матричного добутку [2-5] для щільно заповнених матриць є два принципово різних класи послідовних алгоритмів: традиційні і рекур- сивні методи на базі швидкого множення Штрассена [6-8]. У оригіналі алгоритм Штрассена – це алгоритм множення блокових матриць половинного розміру, де кожен блок квадратний, тобто розмірності матриць мають бути парними числами. Метод Штрассена – Винограда [7] складається з 7 блокових множень і 15 блокових скла- дань\віднімань матриць (рис. 1). ,BSS ,MTC,SAMBBS ,MTC,BSM,SBS ,TTC,SSM,BBS ,MMC,SSM,SAS MMT,BAM,AAS ,MTT,BAM,ASS ,MMT,SSM,AAS 1268 52228227,12227 722122465226 311251511125 32117342124 ,6532112312213 412111121112 31162122211 −= +==−= −==−= +==−= +==−= +==−= +==−= +==+= 22 12 21 11 A A A AA = , 22 12 21 11 B B B BB = , 22 12 21 11 C C C CC = . Рисунок 1 – Метод швидкого множення матриць Штрассена – Винограда Ідея Штрассена може бути застосована рекурсивно для знаходження добутків бло- ків матриць 7,1i,M i = . Якщо початкові матриці A і B порядку m , то алгоритм швидкого множення можна використовувати багато разів, отримуючи на найнижчому рі- вні рекурсії блоки 11kk ×=× . Проте немає необхідності опускатися униз до рівня блоків одиничного порядку. При досить малих розмірах блоку ( minkk ≤ ) може виявитися корисним обчислювати блоки, використовуючи стандартний алгоритм МД. На першому кроці алгоритм передбачає 7 звернень до самого себе з матрицями порядку 2/m і 15 операцій типу складання матриць того ж порядку. Далі йде розгортка рекурсії до досяг- нення мінімального розміру блоку і множення блоків за традиційним алгоритмом матричного множення. Обчислювальна складність запропонованої схеми алгоритму швид- кого множення визначається функцією розмірності початкових матриць і мінімального порядку перемножуваних блоків: mink,m . Назарова І.А. «Искусственный интеллект» 3’2008 708 8Н Нехай при виконанні матричного множення алгоритм Штрассена – Винограда ре- курсивно викликався d раз, тоді порядок блоків матриць, що множаться, дорівнює d min 2/mk = . Час реалізації послідовного алгоритму при цьому складає: op1d 1d 2 2 23 d Str 1 t 4 7... 4 7 4 71m 4 15m 8 72)m(T ⋅                 +++++     = − − . Відомий паралельний алгоритм класичного методу Штрассена був застосований на Intel Paragon і показав добрі результати порівняно з традиційними алгоритмами МД [6-7]. Істотним недоліком цього алгоритму є відсутність масштабованості, оскільки необ- хідне число процесорів для нього кратно сімці (по кількості множень блоків матриць 7,1i,M i = ). Це обмеження є достатньо жорстким і не природним для більшості пара- лельних архітектур. Для подолання вказаного недоліку скористаємося поліалгоритмічним підходом. Під поліалгоритмом мається на увазі комбінація двох або більш алгоритмів в одну обчис- лювальну схему, що реалізує поставлену задачу з метою скорочення обчислювальних і/або ємкісних витрат. Алгоритм швидкого множення рекурсивний, тому є можливість побудувати поліалгоритм з деякого традиційного алгоритму множення матриць на верхньому рівні рекурсії і методу Штрассена – Винограда на нижньому рівні, і навпаки. Алгоритм Штрассена є блоковим, тому природньо комбінувати його з алгоритмом мат- ричного добутку, що використовує відповідне розбиття даних. Побудуємо поліалгоритм з блокового систолічного алгоритму матричного множення між процесорами і серії вжи- вань рекурсивного методу Штрассена на кожному процесорі. Нехай є замкнута двовимірна сітка процесорів розмірності pp× , початкові матриці A і B розподілені на блоки p/mk = , кількість блоків дорівнює ppqq ×=× . Блоки початкових матриць і результату з координатами >< j,i зберігаються у відповідному процесорі з тими ж координатами. Як і раніше, передбачаємо, що 0pmodm = , інакше використовується доповнення нульовими елементами. Спочатку, за обчислювальною схемою блокового систолічного множення, виконується косе зрушення вліво по рядках для блоків матриці A і косе зрушення вгору по стовпцях для блоків матриці B . На кож- ному з p кроків алгоритму проводиться множення блоків матриць A і B , що збері- гаються в процесорі з номером, і складання з вже обчисленим значенням блоку матриці ijC , розташованим на цьому ж процесорі. Для першого кроку це значення дорівнює нульовому блоку. Потім проводиться одиночне зрушення вліво по рядках паралельно для всіх блоків матриці :A 1j,iij AA +← і одиночне зрушення вгору по стовпцях також пара- лельно для всіх блоків матриці j,1iij BB:B +← . Множення блоків матриць виконується усе- редині одного процесора за рекурсивним алгоритмом, що дозволяє уникнути додаткових пересилок даних. На нижньому рівні рекурсії застосовується стандартний алгоритм множення матриць, глибина рекурсії дорівнює d . Розроблений алгоритм є таким, що масштабується для будь-якого числа процесорів і будь-якого порядку матриць, що множаться. Час реалізації блокового рекурсивно-систолічного алгоритму включає час виконання арифметичних і обмінних операцій: StrBSys comm,p StrBSys comp,p StrBSys p TTT −−− += . При цьому час виконання обчислень за схемою дорівнює:       +⋅= +× − ijijij Str ij BABA StrBSys comp,p TTqT , Підвищення ефективності паралельного розв’язання лінійної задачі Коші… «Штучний інтелект» 3’2008 709 8Н де −× ij Str ij BAT час множення блоків матриць порядку p/mk= за рекурсивним алгорит- мом; ( ) −⋅=⋅=+ ad 22 ad 2 BA tp/mtkT ijij час складання блоків матриць тієї же розмірності. Час виконання множення блоків виконується за алгоритмом Штрассена – Вино- града і задовольняє рекурентному співвідношенню: ad 2 Str p Str pBA t 2 k15 2 kT7)k(TT ij Str ij ⋅     +     ==× . У свою чергу, час реалізації алгоритму для матриць порядку 1d2/k,...,2/k − відповідно дорівнює: ad 2 Str p Str p t 4 k15 4 kT7 2 kT      +     =      , ... , ad 2 dd Str p1d Str p t 2 k15 2 kT7 2 kT      +     =      − . Виконавши підстановки і елементарні перетворення, отримаємо: .t 4 7... 4 7 4 71k 4 15 2 kT7)k(T ad1d 1d 2 2 2 d Str p dStr p         +++++     = − − До цих пір була визначена обчислювальна складність розгортки рекурсії. Розгля- немо внутрішній рівень рекурсії, оскільки саме там виконуються операції множення блоків матриць мінімального порядку за стандартним методом матричного множення: ( ) .t 2 k2ttk 2 kT op 3 dadmul 3 mind Str p ⋅     =+⋅=      Таким чином, час реалізації швидкого рекурсивного множення блоків матриць задля мультикомп’ютера складає: op 4 7 4 7 23 d Str p t 1 1 k 4 15k 8 72)k(T d d ⋅                     − − +     = . Тоді загальний час виконання арифметичних операцій для комбінації блоко- вого систолічного алгоритму і рекурсивного матричного множення дорівнює: op 2d 2 3d StrBSys comp,p t p m4 4 75 p m 8 72T ⋅                 −     +     =− . Час обмінних операцій для описаної схеми визначається, як і для блокового систолічного алгоритму: .t p mt)1p(4T w2 2 s StrBSys comm,p         ⋅+⋅−=− Очевидно, що динамічні характеристики паралельних обчислювальних схем мат- ричного добутку залежать від співвідношення між числом процесорів і розмірністю матриць. Для рекурсивного алгоритму множення матриць істотним параметром є також величина глибини рекурсії, d (рис. 2 – 4). Назарова І.А. «Искусственный интеллект» 3’2008 710 8Н Рисунок 2 – Визначення оптимального значення глибини рекурсії для рекурсивного алгоритму МД Визначення оптимальної величини глибини рекурсії, а отже, і розмірності міні- мального оброблюваного блоку матриць, що множаться, проводилося стандартним математичним апаратом в пакеті Mathematica. Для цього необхідно знайти значення, що доставляє мінімум функції Str 1T , причому діапазон зміни глибини рекурсії обмеже- ний наступною нерівністю: ( ) ⇒≥= 12/mk d min mlogd2m 2 d ≤⇒≥ . Очевидно, що при великих розмірностях СЛЗДР кожна з функцій op Str 1 t/T)d(V = рис. 3 має явно виражений локальний мінімум, відношення ж розмірності системи до глибини рекурсії при цьому залишається постійним. Наприклад, при 1024m = , 7dmin = і 8128/10242/m mind == , а при 256m = маємо 82/m5d mind min =⇒= . У той же час при 16m = мінімальна глибина рекурсії дорівнює 1, тобто для досягнення мінімуму обчислювальних витрат необхідно виконати всього один крок розгортки рекурсії, для 8m = розгортки рекурсії немає, оскільки 0dmin = . Рисунок 3 – Обчислювальна складність рекурсивно-систолічного алгоритму від глибини рекурсії у логарифмічному масштабі Підвищення ефективності паралельного розв’язання лінійної задачі Коші… «Штучний інтелект» 3’2008 711 8Н Аналітичні результати підтверджуються результатами експериментів, на рис. 4 на- ведено залежність часу виконання матричного добутку від величини блоку матриць, що перемножуються. Рисунок 4 – Експериментальне визначення величини мінімального блоку для рекурсивно-систолічного алгоритму множення матриць Для паралельного варіанта запропонованого алгоритму блокового рекурсив- но-систолічного множення окрім глибини рекурсії необхідно врахувати співвід- ношення між числом процесорів, p і розмірністю матриць, m (рис. 5). Обмеження на діапазон зміни глибини рекурсії визначаються наступною нерівністю: . p mlogd2 p m1 p2 mk 2 d dmin ≤⇒≥⇒≥= При оцінюванні глибини рекурсії часові ха- рактеристики наведені до часу реалізації однієї операції з плаваючою точкою, для різних мультикомп’ютерів величина оптимальної глибини рекурсії має бути поправ- лена з врахуванням цієї машинно-залежної константи. Рисунок 5 – Визначення величини оптимальної глибини рекурсії для паралельного блокового рекурсивно-систолічного алгоритму Аналіз аналітичних виразів, що характеризують динамічні характеристики якості паралельних алгоритмів, а також проведений чисельний експеримент, дозволяють зро- бити наступні висновки: 1) паралельний блоковий метод рекурсивно-систолічного множення матриць воло- діє меншою асимптотичною ( )dStrBsys p sysbl p 7/8T/T ≈−− і реальною, підтверджуваною екс- периментальним шляхом, тимчасовою складністю порівняно з найбільш відомими тради- ційними паралельними алгоритмами множення матриць (рис. 6); 2) динамічні характеристики запропонованого алгоритму на основі швидкого мно- ження перевершують відповідні характеристики стандартних аналогів, особливо для Назарова І.А. «Искусственный интеллект» 3’2008 712 8Н матриць великих розмірностей, при цьому коефіцієнти прискорення і ефективності зростають із зростанням розмірності задачі: ↑↑⇒↑⇒ ESm і зменшуються із зростанням числа процесорів ↓↓⇒↑⇒ ESp (рис. 7). 0 10 20 30 40 50 60 70 16 32 64 128 256 512 Порядок матриць,m В ід со тк и, % Стандартний метод Рекурсивно-систолічний метод Рисунок 6 – Співвідношення тривалостей реалізації паралельних методів стандартного і рекурсивно-систолічного матричного добутку 10000 20000 30000 m 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 E p=16 p=8 p=4 Рисунок 7 – Коефіцієнти ефективності паралельного блокового рекурсивно-систолічного методу для мультикомп’ютерів з шириною процесорної сітки, рівною p Крім того, рекурсивний характер розробленого алгоритму дозволяє звести багато- вимірну початкову задачу до вирішення підзадач меншої розмірності і, за рахунок вико- ристання швидкої пам’яті комп’ютера, досягти прискорення операції матричного добутку. До недоліків цього підходу слід віднести дещо гіршу чисельну стійкість, хоча і достатню для більшості практичних задач [9-10]. Висновки Чисельний експеримент на основі тестів для СЗДР та проведений порівняльний аналіз динамічних характеристик паралельних методів розв’язання лінійної задачі Коші продемонстрував, що запропоновані експоненціальні методи мають меншу тимчасову складність порівняно зі стандартними аналогами. Крім того, розроблений паралельний алгоритм на основі комбінації швидкого рекурсивного і систолічного алгоритмів матрич- Підвищення ефективності паралельного розв’язання лінійної задачі Коші… «Штучний інтелект» 3’2008 713 8Н ного добутку дозволив підвищити ефективність паралельного розв’язання лінійної задачі, як для MIMD, так і для кластерних архітектур з розподіленою пам’яттю та топологією двовимірний тор. Використання розробленого рекурсивно-систолічного методу дозво- лило в ( ) ...2,1d,7/8 d = раз прискорити виконання цієї найбільш ресурсоємної операції при вирішенні лінійних СЗДР на основі експоненти. Перспективним напрямком дослідження є застосування рекурсивно-систолічного блокового методу множення матриць у розв’язанні нелінійної задачі Коші для блокових багатоточкових неявних методів, що дозволить підвищити ефективність вирішення жорстких динамічних задач. Література 1. Иванов В.В. Методы вычислений на ЭВМ. – К.: Наукова думка, 1986. – 584 с. 2. Голуб Д., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления: Пер. с англ. – М.: Мир, 1999. – 548 с. 3. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения: Пер. с англ. – М.: Мир, 2001. – 430 с. 4. Demmel J., Higham N.J. Stability of block algorithms with fast Level 3 BLAS // ACM Trans. Math. Software. – 1992. – № 18. – P. 274-291. 5. Choi J., Dongarra J., Walker D. PUMMA: Parallel universal matrix multiplication algorithms on distributed memory concurrent computers. – Режим доступа: http://citeseer.ist.psu.edu/choi93pumma.html 6. Strassen V. Gaussian elimination is not optimal // Numer. Math. 13. – P. 354-356. 7. Pan V. How can we speed up matrix multiplication // SIAM Rev. – 1984. – № 26. – P. 393-416. 8. Winograd S. A new algorithm for inner product // IEEE Trans. Comp. C-17. – P. 693-694. 9. Bailey D.H. Extra high speed matrix multiplication on CRAY-2 // SIAM J. Sci. and Stat. Comp. 9. – P. 603-607. 10. Bailey D.H., Lee K., Simon H.D. Using Strassen’s algorithm to accelerate the solution of linear systems // J. Supercomputing. – 1991. – № 4. – Р. 97-371. И.А. Назарова Повышение эффективности параллельного решения линейной задачи Коши на основе метода рекурсивного умножения матриц Предложен масштабируемый параллельный метод матричного умножения на основе систолического и рекурсивного алгоритмов, который позволяет повысить эффективность решения линейной задачи Коши на основе экспоненциального метода. Для предложенного метода определено оптимальное значение глубины рекурсии и минимальное значение блока перемножаемых матриц. Разработаны схемы отображения метода на параллельные структуры с распределенной памятью и топологией решетка/тор. I.A. Nazarova The Rise of Efficiency of Parallel Decision of Linear Cauchy’s Problem on the Basis of Method of Recursive Matrices Multiplication The scalable parallel method of matrix multiplication is offered on the basis of systolic and recursive algorithms, which allows to promote efficiency of decision of linear Cauchy’s problem on the basis of exponential method. For the offered method the optimum value of depth of recursion and minimum value of block of the multiplied matrices is certain. The schemes of reflection of method are developed on parallel structures with the distributed memory and topology of mesh/torus. Стаття надійшла до редакції 10.07.2008.
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-7156
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1561-5359
language	Ukrainian
last_indexed	2025-11-30T15:11:54Z
publishDate	2008
publisher	Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
record_format	dspace
spelling	Назарова, І.А. 2010-03-25T11:56:24Z 2010-03-25T11:56:24Z 2008 Підвищення ефективності параллельного розв’язання лінійної задачі Коші на основі методу рекурсивного множення матриць / І.А. Назарова // Штучний інтелект. — 2008. — № 3. — С. 706-713. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1561-5359 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7156 681.3 Запропоновано масштабований паралельний метод матричного добутку на основі систолічного та рекурсивного алгоритмів, який дозволяє підвищити ефективність розв’язання лінійної задачі Коші на основі експоненціального методу. Для розробленого алгоритму визначено оптимальні значення глибини рекурсії і розміру мінімального блоку перемножуваних матриць. Розроблено схеми відображення методу на паралельні структури з розподіленою пам’яттю топології сітка/тор. Предложен масштабируемый параллельный метод матричного умножения на основе систолического и рекурсивного алгоритмов, который позволяет повысить эффективность решения линейной задачи Коши на основе экспоненциального метода. Для предложенного метода определено оптимальное значение глубины рекурсии и минимальное значение блока перемножаемых матриц. Разработаны схемы отображения метода на параллельные структуры с распределенной памятью и топологией решетка/тор. The scalable parallel method of matrix multiplication is offered on the basis of systolic and recursive algorithms, which allows to promote efficiency of decision of linear Cauchy’s problem on the basis of exponential method. For the offered method the optimum value of depth of recursion and minimum value of block of the multiplied matrices is certain. The schemes of reflection of method are developed on parallel structures with the distributed memory and topology of mesh/torus. uk Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України Архитектура, алгоритмическое и программное обеспечение интеллектуальных многопроцессорных систем Підвищення ефективності паралельного розв’язання лінійної задачі Коші на основі методу рекурсивного множення матриць Повышение эффективности параллельного решения линейной задачи Коши на основе метода рекурсивного умножения матриц The Rise of Efficiency of Parallel Decision of Linear Cauchy’s Problem on the Basis of Method of Recursive Matrices Multiplication Article published earlier
spellingShingle	Підвищення ефективності паралельного розв’язання лінійної задачі Коші на основі методу рекурсивного множення матриць Назарова, І.А. Архитектура, алгоритмическое и программное обеспечение интеллектуальных многопроцессорных систем
title	Підвищення ефективності паралельного розв’язання лінійної задачі Коші на основі методу рекурсивного множення матриць
title_alt	Повышение эффективности параллельного решения линейной задачи Коши на основе метода рекурсивного умножения матриц The Rise of Efficiency of Parallel Decision of Linear Cauchy’s Problem on the Basis of Method of Recursive Matrices Multiplication
title_full	Підвищення ефективності паралельного розв’язання лінійної задачі Коші на основі методу рекурсивного множення матриць
title_fullStr	Підвищення ефективності паралельного розв’язання лінійної задачі Коші на основі методу рекурсивного множення матриць
title_full_unstemmed	Підвищення ефективності паралельного розв’язання лінійної задачі Коші на основі методу рекурсивного множення матриць
title_short	Підвищення ефективності паралельного розв’язання лінійної задачі Коші на основі методу рекурсивного множення матриць
title_sort	підвищення ефективності паралельного розв’язання лінійної задачі коші на основі методу рекурсивного множення матриць
topic	Архитектура, алгоритмическое и программное обеспечение интеллектуальных многопроцессорных систем
topic_facet	Архитектура, алгоритмическое и программное обеспечение интеллектуальных многопроцессорных систем
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7156
work_keys_str_mv	AT nazarovaía pídviŝennâefektivnostíparalelʹnogorozvâzannâlíníinoízadačíkošínaosnovímetodurekursivnogomnožennâmatricʹ AT nazarovaía povyšenieéffektivnostiparallelʹnogorešeniâlineinoizadačikošinaosnovemetodarekursivnogoumnoženiâmatric AT nazarovaía theriseofefficiencyofparalleldecisionoflinearcauchysproblemonthebasisofmethodofrecursivematricesmultiplication

Підвищення ефективності паралельного розв’язання лінійної задачі Коші на основі методу рекурсивного множення матриць

Institution

Similar Items