О трех инвариантных соотношениях уравнений движения симметричного гиростата в магнитном поле
Рассмотрена задача о движении гиростата в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта-Лондона. Предполагается, что гиростатический момент зависит от времени. Определены условия существования у уравнений движения трех инвариантных соотношений специального вида. Найденные решения выражаются эллиптическим...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Механика твердого тела |
|---|---|
| Datum: | 2011 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2011
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/71580 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О трех инвариантных соотношениях уравнений движения симметричного гиростата в магнитном поле / С.В. Скрыпник, Е.К. Щетинина // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2011. — Вип 41. — С. 61-67. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-71580 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Скрыпник, С.В. Щетинина, Е.К. 2014-12-06T20:33:13Z 2014-12-06T20:33:13Z 2011 О трех инвариантных соотношениях уравнений движения симметричного гиростата в магнитном поле / С.В. Скрыпник, Е.К. Щетинина // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2011. — Вип 41. — С. 61-67. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/71580 531.38 Рассмотрена задача о движении гиростата в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта-Лондона. Предполагается, что гиростатический момент зависит от времени. Определены условия существования у уравнений движения трех инвариантных соотношений специального вида. Найденные решения выражаются эллиптическими функциями времени. Розглянуто задачу про рух гiростата в магнiтному полi з урахуванням ефекту Барнетта–Лондона. Передбачається, що гiростатичний момент залежить вiд часу. Визначено умови iснування у рiвняннях руху трьох iнварiантних спiввiдношень спецiального виду. Знайденi розв’язки рiвнянь руху характеризуються елiптичними функцiями часу. The conditions for the existence of three invariant relations of the motion’ equations of a gyrostat with a variable gyrostatic moment in a magnetic field, taking into account the Barnett–London effect, were studied. A new integrable cases of the original equations were obtained. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела О трех инвариантных соотношениях уравнений движения симметричного гиростата в магнитном поле Про три iнварiантнi спiввiдношення рiвнянь руху симетричного гiростата в магнiтному полi On the three invariant relations of motion’s equations of the symmetric gyrostat in a magnetic field Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
О трех инвариантных соотношениях уравнений движения симметричного гиростата в магнитном поле |
| spellingShingle |
О трех инвариантных соотношениях уравнений движения симметричного гиростата в магнитном поле Скрыпник, С.В. Щетинина, Е.К. |
| title_short |
О трех инвариантных соотношениях уравнений движения симметричного гиростата в магнитном поле |
| title_full |
О трех инвариантных соотношениях уравнений движения симметричного гиростата в магнитном поле |
| title_fullStr |
О трех инвариантных соотношениях уравнений движения симметричного гиростата в магнитном поле |
| title_full_unstemmed |
О трех инвариантных соотношениях уравнений движения симметричного гиростата в магнитном поле |
| title_sort |
о трех инвариантных соотношениях уравнений движения симметричного гиростата в магнитном поле |
| author |
Скрыпник, С.В. Щетинина, Е.К. |
| author_facet |
Скрыпник, С.В. Щетинина, Е.К. |
| publishDate |
2011 |
| language |
Russian |
| container_title |
Механика твердого тела |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Про три iнварiантнi спiввiдношення рiвнянь руху симетричного гiростата в магнiтному полi On the three invariant relations of motion’s equations of the symmetric gyrostat in a magnetic field |
| description |
Рассмотрена задача о движении гиростата в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта-Лондона. Предполагается, что гиростатический момент зависит от времени. Определены условия существования у уравнений движения трех инвариантных соотношений специального вида. Найденные решения выражаются эллиптическими функциями времени.
Розглянуто задачу про рух гiростата в магнiтному полi з урахуванням ефекту Барнетта–Лондона. Передбачається, що гiростатичний момент залежить вiд часу. Визначено умови iснування у рiвняннях руху трьох iнварiантних спiввiдношень спецiального виду. Знайденi розв’язки рiвнянь руху характеризуються елiптичними функцiями часу.
The conditions for the existence of three invariant relations of the motion’ equations of a gyrostat with a variable gyrostatic moment in a magnetic field, taking into account the Barnett–London effect, were studied. A new integrable cases of the original equations were obtained.
|
| issn |
0321-1975 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/71580 |
| citation_txt |
О трех инвариантных соотношениях уравнений движения симметричного гиростата в магнитном поле / С.В. Скрыпник, Е.К. Щетинина // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2011. — Вип 41. — С. 61-67. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT skrypniksv otrehinvariantnyhsootnošeniâhuravneniidviženiâsimmetričnogogirostatavmagnitnompole AT ŝetininaek otrehinvariantnyhsootnošeniâhuravneniidviženiâsimmetričnogogirostatavmagnitnompole AT skrypniksv protriinvariantnispivvidnošennârivnânʹruhusimetričnogogirostatavmagnitnomupoli AT ŝetininaek protriinvariantnispivvidnošennârivnânʹruhusimetričnogogirostatavmagnitnomupoli AT skrypniksv onthethreeinvariantrelationsofmotionsequationsofthesymmetricgyrostatinamagneticfield AT ŝetininaek onthethreeinvariantrelationsofmotionsequationsofthesymmetricgyrostatinamagneticfield |
| first_indexed |
2025-11-24T21:03:30Z |
| last_indexed |
2025-11-24T21:03:30Z |
| _version_ |
1850497494220275712 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2011. Вып. 41
УДК 531.38
c©2011. С.В. Скрыпник, Е.К. Щетинина
О ТРЕХ ИНВАРИАНТНЫХ СООТНОШЕНИЯХ
УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ СИММЕТРИЧНОГО ГИРОСТАТА
В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Рассмотрена задача о движении гиростата в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта–
Лондона. Предполагается, что гиростатический момент зависит от времени. Определены
условия существования у уравнений движения трех инвариантных соотношений специаль-
ного вида. Найденные решения выражаются эллиптическими функциями времени.
Ключевые слова: симметричный гиростат, инвариантное соотношение, магнитное
поле.
Классическая задача о движении тяжелого твердого тела, описывае-
мая уравнениями Эйлера–Пуассона, получила многочисленные обобщения.
Одним из таких обобщений [1, 2] является задача о движении гиростата в
магнитном поле с учетом эффекта Барнетта–Лондона [3,4] (см. также [5,6]).
При использовании уравнений движения гиростата [7] гиростатический
момент можно полагать зависящим от времени. В таком предположении изу-
чены условия существования некоторых классов движения гиростата под
действием силы тяжести [8–10] и под действием потенциальных и гироско-
пических сил [11]. В данной работе исследованы условия существования трех
инвариантных соотношений уравнений движения гиростата с переменным
гиростатическим моментом в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта–
Лондона. Получены новые случаи интегрируемости.
Постановка задачи. Запишем уравнения движения гиростата с пе-
ременным гиростатическим моментом в магнитном поле с учетом эффекта
Барнетта–Лондона [1, 2]
ẋ = x× ax + λα× ax− λ̇α+Bax× ν + s× ν + ν ×Cν, ν̇ = ν × ax, (1)
где x = (x1, x2, x3) – момент количества движения тела-носителя; ν =
= (ν1, ν2, ν3) – единичный вектор, указывающий направление магнитного по-
ля; λ = λ(t) – величина гиростатического момента λ(t)α; α = (α1, α2, α3) – по-
стоянный единичный вектор; a =
(
aij
)
– гирационный тензор; s = (s1, s2, s3)
– постоянный вектор обобщенного центра масс; B = (Bij), C = (Cij) – по-
стоянные симметричные матрицы третьего порядка; точка над переменными
обозначает дифференцирование по времени t.
Рассмотрим случай, когда s = (s1, 0, 0), α = (1, 0, 0), a = diag(a1, a2, a2),
B = diag(B1, B2, B2), C = diag(C1, C2, C2). Тогда из уравнений (1) в скаляр-
ной форме следует
(x1 + λ+B2ν1)
. = 0, (2)
61
С.В. Скрыпник, Е.К. Щетинина
ẋ2 = (a1 − a2)x1x3 − a2λx3 +B2a2x3ν1 −B1a1x1ν3 − s1ν3 + (C1 − C2)ν1ν3,(3)
ẋ3 = −(a1 − a2)x1x2 + a2λx2 +B1a1x1ν2 −B2a2x2ν1 + s1ν2 + (C2 − C1)ν1ν2,
(4)
ν̇1 = a2(x3ν2 − x2ν3), ν̇2 = a1x1ν3 − a2x3ν1, ν̇3 = a2x2ν1 − a1x1ν2. (5)
Уравнения (1), (2) имеют два интеграла: геометрический
ν · ν = 1 (6)
и интеграл момента количества движения
(x + λα) · ν = k, (7)
где k – произвольная постоянная.
Для условий, которые приняты выше, из (6), (7) в скалярной форме по-
лучим
ν21 + ν22 + ν23 = 1, (x1 + λ)ν1 + x2ν2 + x3ν3 = k. (8)
Из уравнения (2) находим первый интеграл системы уравнений (2)–(5):
x1 + λ+B2ν1 = α0; (9)
здесь α0 – произвольная постоянная.
Рассмотрим вопрос о существовании трех инвариантных соотношений
x1 = b0 + b1ν1, x2 = c0 + c2ν2, x3 = d0 + d3ν3 (10)
у уравнений (2)–(5) . В силу первого соотношения системы (10) из интеграла
(9) определим
λ = (α0 − b0)− (B2 + b1)ν1. (11)
Подставим выражения (10), (11) с учетом (5) в уравнения (3), (4). Следуя
методу инвариантных соотношений, потребуем, чтобы полученные равенства
были тождествами по переменным ν1, ν2. Тогда приходим к следующим ра-
венствам на параметры уравнений (1) и инвариантных соотношений (10):
c0(a1b0 − a2α0) = 0, d0(a1b0 − a2α0) = 0, (12)
a1b0(d3 − c2 −B1)− a2d3α0 − s1 = 0, (13)
a1b0(d3 − c2 +B1) + a2c2α0 + s1 = 0, (14)
62
О трех инвариантных соотношениях уравнений движения
d3(a1b1 + a2c2 + 2a2B2)− a1b1(c2 +B1) + C1 − C2 = 0, (15)
c2(a1b1 + a2d3 + 2a2B2)− a1b1(d3 +B1) + C1 − C2 = 0, (16)
которые являются условиями существования инвариантных соотношений
(10).
При выполнении условий (11)–(16) уравнения (3), (4) исчезают, а уравне-
ния (5) с учетом (10) записываются так:
ν̇1 = a2
[
d0ν2 − c0ν3 + (d3 − c2)ν2ν3
]
,
ν̇2 = a1b0ν3 − a2d0ν1 + (a1b1 − a2d3)ν1ν3,
ν̇3 = a2c0ν1 − a1b0ν2 + (a2c2 − a1b1)ν1ν2.
(17)
Случай a1b0 − a2α0 6= 0. Из уравнений (12) вытекают равенства
c0 = 0, d0 = 0. (18)
При условиях (18) уравнения (17) упрощаются
ν̇1 = a2(d3 − c2)ν2ν3, (19)
ν̇2 = [a1b0 + (a1b1 − a2d3)ν1]ν3, (20)
ν̇3 = [−a1b0 + (a2c2 − a1b1)ν1]ν2. (21)
Равенство d3 − c2 = 0 на основании (19) приводит к условию ν1 = const.
Тогда из (11) вытекает, что и величина гиростатического момента постоян-
на. Поэтому в дальнейшем будем считать d3 6= c2. Из уравнений (13) и (14)
находим
α0 =
2a1b0
a2
, c2 + d3 = κ0, (22)
где
κ0 = −s1 + a1b0B1
a1b0
; (23)
а из уравнений (15), (16) получим
b1 = −a2B2
a1
, a2c2d3 + a2B2(c2 + d3) = κ1, (24)
63
С.В. Скрыпник, Е.К. Щетинина
здесь
κ1 = C2 − C1 − a2B1B2. (25)
Из вторых равенств (22) и (24) получаем уравнение для определения d3:
a2d
2
3 − a2κ0d3 + κ1 − a2κ0B2 = 0, (26)
из которого выражаем
d3 =
a2κ0 ±
√
∆
2a2
, ∆ = a2(a2κ
2
0 + 4a2κ0 − 4κ1). (27)
Таким образом, параметры инвариантных соотношений (10) определяются
формулами (18), (22)–(24), (27) и зависят от параметров задачи и b0. Функцию
λ(ν1) найдем, используя равенство (11):
λ =
(2a1 − a2)b0
a2
− a1 − a2
a1
B2ν1. (28)
Уравнения (19)–(21) имеют геометрический интеграл и интеграл
2a1b0ν1 + a1b1ν
2
1 + a2c2ν
2
2 + a2d3ν
2
3 = κ∗, (29)
порожденный интегралом моментов из (8) и инвариантными соотношениями
(10). Здесь κ∗ = a2k – произвольная постоянная.
Из соотношений ν21 + ν22 + ν23 = 1 и (29) имеем
ν22 =
1
c2 − d3
(B2ν
2
1 − α0ν1 − d3 + κ∗),
ν23 =
1
c2 − d3
[
(d3 − c2 −B2)ν
2
1 + α0ν1 + c2 − κ∗
]
.
(30)
Внеся выражения ν2 и ν3 из (30) в (19), получаем уравнение для опреде-
ления ν1(t):
ν̇1 = a2
√
(B2ν21 − α0ν1 − d3 + κ∗)
[
(d3 − c2 −B2)ν21 + α0ν1 + c2 − κ∗
]
. (31)
Покажем действительность найденного решения. Поскольку в (27) дол-
жно выполняться условие ∆ ≥ 0, то с помощью значений (23), (25) определим
неравенство
a21(4B2 − 3B1)b
2
0 − 2a1s1B1b0 + s21 ≥ 0, (32)
которому должен удовлетворять параметр b0. Из (32) следует, что при
B1 ≤ B2 параметр b0 может принимать произвольные значения, при
64
О трех инвариантных соотношениях уравнений движения
B1 ∈
(
B2,
4
3
B2
]
область изменения параметра b0 состоит из двух неогра-
ниченных промежутков, при B1 >
4
3
B2 область изменения параметра b0 ко-
нечна.
Действительность функций (30) и, следовательно, действительность ре-
шения уравнения (31) можно показать следующим образом. Пусть решение
уравнения (26) удовлетворяет условию c2 − d3 > 0, где, очевидно, c2 имеет
значение κ0 − d3. Тогда, накладывая на произвольный параметр κ∗ ограни-
чение d3 < κ∗ < c2, из формул (30) получим ν22(0) > 0, ν23(0) > 0. Т. е. в силу
непрерывности этих функций существует промежуток по ν1 ∈
[
ν
(1)
1 , ν
(2)
1
]
, в
котором функции (30) принимают положительное значение.
В случае c2−d3 < 0 параметр κ∗ выберем согласно неравенству c2 < κ∗ <
< d3 и получим результат, аналогичный изложенному выше.
Функция ν1(t) находится из (31) путем обращения интеграла
ν1
∫
ν
(1)
1
dν1
√
(B2ν21 − α0ν1 − d3 + κ∗)
[
(d3 − c2 −B2)ν21 + α0ν1 + c2 − κ∗
]
= a2(t− t0),
(33)
который стандартным образом сводится к эллиптическому интегралу в фор-
ме Лежандра. Следовательно, ν1 = ν1(t) – эллиптическая функция времени.
Из формулы (28) следует, что λ(t) также является эллиптической функцией
времени. Остальные переменные задачи ν2 = ν2(t), ν3 = ν3(t), xi = xi(t)
(i = 1, 3) можно определить соответственно из формул (30), (10). Указан-
ными выше формулами описывается новое решение уравнений (1).
Случай c
2
0
+ d
2
0
6= 0. Из системы (12)–(16) следует
d3 = c2, α0 =
a1b0
a2
, b0 = − s1
a1(c2 +B1)
, (34)
b1 = −a2
a1
(c2 + 2B2), c2 =
−a2(B1 + 2B2)±
√
D
2a2
, (35)
D = a2
[
a2(B1 + 2B2)
2 − 4(C1 − C2)
]
. (36)
Т.е. параметры c0 и d0 могут принимать произвольные значения. Для дей-
ствительности величин (34), (35) потребуем выполнение неравенства
a2(B1 + 2B2)
2 ≥ 4(C1 − C2),
которое ограничивает сверху разность C1 − C2.
Уравнения Пуассона из (17) в силу d3 = c2 запишем так:
ν̇1 = a2(d0ν2 − c0ν3),
ν̇2 = a1b0ν3 − a2d0ν1 + (a1b1 − a2c2)ν1ν3,
ν̇3 = a2c0ν1 − a1b0ν2 + (a2c2 − a1b1)ν1ν2.
(37)
65
С.В. Скрыпник, Е.К. Щетинина
Уравнения (37) имеют интегралы: ν21 + ν22 + ν23 = 1 и
2a1b0ν1 + 2a2c0ν2 + 2a2d0ν3 + (a1b1 − a2c2)ν
2
1 = K, (38)
где K – произвольная постоянная.
Для сведения задачи интегрирования уравнений (37) к квадратурам вве-
дем вместо νi новые переменные θ и ϕ:
ν1 = cos θ, ν2 = sin θ cosϕ, ν3 = sin θ sinϕ. (39)
В силу (39) геометрический интеграл обращается в тождество, интеграл (38)
преобразуется к виду
sin(ϕ+ ϕ0) =
F (θ)
2a2
√
c20 + d20 sin θ
, (40)
F (θ) = K − 2a1b0 cos θ − (a1b1 − a2c2) cos
2 θ, tgϕ0 = c0/d0,
а первое уравнение системы (37) с учетом (39) запишется так
θ̇ = a2
√
c20 + d20 cos(ϕ+ ϕ0). (41)
Подставляя (40) в (41), находим
θ
∫
θ0
sin θ dθ
√
4a22(c
2
0 + d20) sin
2 θ − F 2(θ)
=
1
2
(t− t0), (42)
где θ0 – значение θ при t = t0. Если обратить интеграл (42), то получим фун-
кцию θ = θ(t). Подставив эту функцию в первое равенство из (40), определим
ϕ(t) = ϕ0 + arcsin
F (θ(t))
2a2
√
c20 + d20 sin θ(t)
. (43)
Функции θ(t) и ϕ(t), полученные из (42), (43), позволяют с помощью (10),
(39) получить зависимость основных переменных x1, x2, x3; ν1, ν2, ν3 от вре-
мени. В силу структуры формулы (42) все указанные функции являются
эллиптическими функциями времени. Действительность решения вытекает
из условия, что величины c0, d0,K – произвольные.
Выводы. Таким образом, получены условия существования у уравне-
ний движения (1) трех линейных инвариантных соотношений специального
вида (10). При этом указаны два класса частных решений. Они выражаются
эллиптическими функциями времени.
1. Козлов В.В. К задаче о вращении твердого тела в магнитном поле // Изв. РАН.
Механика твердого тела. – 1985. – № 6. – С. 28–33.
66
О трех инвариантных соотношениях уравнений движения
2. Самсонов В.А. О вращении твердого тела в магнитном поле // Там же. – 1984. – № 4.
– С. 32–34.
3. Barnett S.I. Gyromagnetic and Electron-Inertia Effects // Rev. Modern Phys. – 1935. –
7(2). – P. 129–166.
4. London F. Superfluids. – New-York: Weley, 1950. – 372 p.
5. Егармин М.Е. О магнитном поле вращающегося сверхпроводящего тела // Аэрофи-
зика и геокосмические исследования. – М.: Физ.-техн. ин-т, 1983. – С. 95–96.
6. Урман Ю.М. Динамические эффекты, обусловленные вращательным движением
сверхпроводника в магнитном подвесе // Докл. АН СССР. – 1984. – 276, № 6. –
С. 1402–1404.
7. Харламов П.В. Об уравнениях движения системы твердых тел // Механика твердого
тела. – 1972. – Вып. 4. – С. 52–73.
8. Волкова О.С. Равномерные вращения вокруг наклонной оси твердого тела, несущего
маховик // Там же. – 2008. – Вып. 38. – С. 80–86.
9. Волкова О.С. Регулярные прецессии тяжелого гиростата вокруг вертикальной оси //
Тр. ИПММ НАНУ. – 2009. – 19. – С. 30–35.
10. Волкова О.С., Гашененко И.Н. Маятниковые вращения тяжелого гиростата с пере-
менным гиростатическим моментом // Механика твердого тела. – 2009. – Вып. 39. –
С. 42–49.
11. Мазнев А.В. Прецессионные движения гиростата с переменным гиростатическим мо-
ментом под действием потенциальных и гироскопических сил // Там же. – 2010. –
Вып. 40. – С. 91–104.
S.V. Skrypnyk, E.K. Schetinina
On the three invariant relations of motion’s equations of the symmetric
gyrostat in a magnetic field
The conditions for the existence of three invariant relations of the motion’ equations of a gyrostat
with a variable gyrostatic moment in a magnetic field, taking into account the Barnett–London
effect, were studied. A new integrable cases of the original equations were obtained.
Keywords: symmetric gyrostat, invariant relation, magnetic field.
С.В. Скрипник, О.К. Щетiнiна
Про три iнварiантнi спiввiдношення рiвнянь руху симетричного
гiростата в магнiтному полi
Розглянуто задачу про рух гiростата в магнiтному полi з урахуванням ефекту Барнетта–
Лондона. Передбачається, що гiростатичний момент залежить вiд часу. Визначено умови
iснування у рiвняннях руху трьох iнварiантних спiввiдношень спецiального виду. Знайденi
розв’язки рiвнянь руху характеризуються елiптичними функцiями часу.
Ключовi слова: симетричний гiростат, iнварiантне спiввiдношення, магнiтне поле.
Национальный ун-т экономики и торговли
им. М. Туган-Барановского, Донецк
elenaschetinina@mail.ru
Получено 24.10.11
67
|