Оценка области притяжения автономных динамических систем по результатам численного интегрирования

Рассматривается задача выбора функции Ляпунова для получения оценки области автономной динамической системы. Критерии выбора функции строятся на основе результатов численного интегрирования. Задача сводится к установлению совместности системы линейных неравенств. Розглянуто задачу вибору функцiї Ляп...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Механика твердого тела
Дата:	2011
Автор:	Суйков, А.С.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2011
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/71587
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Оценка области притяжения автономных динамических систем по результатам численного интегрирования / А.С. Суйков // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2011. — Вип 41. — С. 141-148. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-71587
record_format	dspace
spelling	Суйков, А.С. 2014-12-06T20:46:34Z 2014-12-06T20:46:34Z 2011 Оценка области притяжения автономных динамических систем по результатам численного интегрирования / А.С. Суйков // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2011. — Вип 41. — С. 141-148. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/71587 531.36 Рассматривается задача выбора функции Ляпунова для получения оценки области автономной динамической системы. Критерии выбора функции строятся на основе результатов численного интегрирования. Задача сводится к установлению совместности системы линейных неравенств. Розглянуто задачу вибору функцiї Ляпунова з метою отримання оцiнки областi притягання автономної динамiчної системи. Критерiй вибору будується за результатами чисельного iнтегрування системи. Задача зводиться до встановлення сумiсностi системи лiнiйних нерiвностей. The paper deals with the problem of choosing a Lyapunov function to obtain an estimate of the region of attraction for an autonomous dynamical system. The choice criteria are formulated using numberical simulation data. The problem is then reduced to ensuring feasibility of a system of linear inequalities. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Оценка области притяжения автономных динамических систем по результатам численного интегрирования Оцiнка областi притягання автономних динамiчних систем за результатами чисельного iнтегрування Estimating the region of attraction of dynamical systems using numerical simulation data Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Оценка области притяжения автономных динамических систем по результатам численного интегрирования
spellingShingle	Оценка области притяжения автономных динамических систем по результатам численного интегрирования Суйков, А.С.
title_short	Оценка области притяжения автономных динамических систем по результатам численного интегрирования
title_full	Оценка области притяжения автономных динамических систем по результатам численного интегрирования
title_fullStr	Оценка области притяжения автономных динамических систем по результатам численного интегрирования
title_full_unstemmed	Оценка области притяжения автономных динамических систем по результатам численного интегрирования
title_sort	оценка области притяжения автономных динамических систем по результатам численного интегрирования
author	Суйков, А.С.
author_facet	Суйков, А.С.
publishDate	2011
language	Russian
container_title	Механика твердого тела
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
format	Article
title_alt	Оцiнка областi притягання автономних динамiчних систем за результатами чисельного iнтегрування Estimating the region of attraction of dynamical systems using numerical simulation data
description	Рассматривается задача выбора функции Ляпунова для получения оценки области автономной динамической системы. Критерии выбора функции строятся на основе результатов численного интегрирования. Задача сводится к установлению совместности системы линейных неравенств. Розглянуто задачу вибору функцiї Ляпунова з метою отримання оцiнки областi притягання автономної динамiчної системи. Критерiй вибору будується за результатами чисельного iнтегрування системи. Задача зводиться до встановлення сумiсностi системи лiнiйних нерiвностей. The paper deals with the problem of choosing a Lyapunov function to obtain an estimate of the region of attraction for an autonomous dynamical system. The choice criteria are formulated using numberical simulation data. The problem is then reduced to ensuring feasibility of a system of linear inequalities.
issn	0321-1975
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/71587
citation_txt	Оценка области притяжения автономных динамических систем по результатам численного интегрирования / А.С. Суйков // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2011. — Вип 41. — С. 141-148. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT suikovas ocenkaoblastipritâženiâavtonomnyhdinamičeskihsistemporezulʹtatamčislennogointegrirovaniâ AT suikovas ocinkaoblastipritâgannâavtonomnihdinamičnihsistemzarezulʹtatamičiselʹnogointegruvannâ AT suikovas estimatingtheregionofattractionofdynamicalsystemsusingnumericalsimulationdata
first_indexed	2025-11-26T00:06:50Z
last_indexed	2025-11-26T00:06:50Z
_version_	1850591586290761728
fulltext	ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2011. Вып. 41 УДК 531.36 c©2011. А.С. Суйков ОЦЕНКА ОБЛАСТИ ПРИТЯЖЕНИЯ АВТОНОМНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ Рассматривается задача выбора функции Ляпунова для получения оценки области авто- номной динамической системы. Критерии выбора функции строятся на основе результатов численного интегрирования. Задача сводится к установлению совместности системы линей- ных неравенств. Ключевые слова: автономные динамические системы, функция Ляпунова, область при- тяжения. Задачи определения области притяжения стационарного решения задан- ной автономной динамической системы составляют важный раздел в теории динамических систем и, в то же время, имеют непосредственное практическое значение, поскольку позволяют дать количественную характеристику устой- чивости установившегося режима работы рассматриваемой системы. Задачи такого рода являются в общем случае весьма сложными и к настоящему вре- мени не имеют полного решения. Наиболее распространенные подходы к ре- шению берут начало в работах А.М. Ляпунова, Ж.П. Ла-Салля и И.Г. Зубова и на основании некоторых утверждений достаточного характера позволяют получить оценку искомой области [1]. Результат при этом существенно зави- сит от удачного выбора функций, входящих в формулировки соответствую- щих достаточных утверждений. Очевидным критерием при выборе функции, дающей оценку области при- тяжения, является получение максимальной (в некотором смысле) оценки. В такой постановке задача в общем случае сводится к нелинейной многопара- метрической оптимизации и эффективно решается лишь в исключительных случаях. Сравнительно новым подходом к проблеме выбора такой функции явля- ется использование линейных матричных неравенств, в частности для обе- спечения положительной определенности рассматриваемых функций [2], ли- бо принадлежности заданных точек (получаемых, например, численным ин- тегрированием) оценке области притяжения [3]. Для решения таких систем известны эффективные численные методы [4], позволяющие получать реше- ние даже в задачах большой размерности. Предложенный в работе [3] метод требовал априорного задания вида по- лучаемой оценки как поверхности уровня некоторой функции. В настоящей работе предлагается модификация этого метода, использующая численное интегрирования в обратном времени для расширения изначально заданной области, что позволяет существенно ослабить требования к последней. 141 А.С. Суйков 1. Постановка задачи. Рассмотрим автономную динамическую систему ẋ = f(x), x ∈ R n, f : Rn → R n, f(0) = 0, (1) нулевое решение которой x(t) ≡ 0 является асимптотически устойчивым. Областью притяжения этого решения называется Ω = {x0 ∈ R n : lim t→∞ x(t;x0) = 0}; (2) здесь через x(t;x0) обозначена траектория, проходящая через x0 при t = 0 [5]. Для большинства нелинейных систем точное определение области (2) не представляется возможным, поэтому ставится задача о получении оценки S ⊂ Ω, 0 ∈ S (3) так, чтобы S можно было представить в достаточно простом виде. Такую оценку можно получить, если для системы (1) известна функция Ляпунова. Рассмотрим локально-знакоположительную функцию V (x), производная V̇ (x) которой является локально-знакоотрицательной в окрестности нуля. Утверждение 1 [5]. Пусть область S удовлетворяет следующим усло- виям: область S компактна, и 0 ∈ S; ∃c : 0 < V (x) 6 c ∀x ∈ S, x 6= 0, и V (x) = c ∀x ∈ ∂S; V̇ (x) < 0 ∀x ∈ S, x 6= 0; (4) тогда S ⊂ Ω. Здесь через V̇ обозначена производная V вдоль траекторий системы V̇ = ∇V · f = n ∑ i=1 ∂V ∂xi fi. (5) Отметим, что компактность {x : V (x) 6 c} при любом c не требуется; более того, множество {x : V (x) 6 c} может не быть компактным, достаточно лишь, чтобы условие (4) выполнялось в рассматриваемой области S ⊂ {x : V (x) 6 c}. Любое множество S, удовлетворяющее условиям (4), будет инвариантно под действием системы (1) и связно. Выбор функции Ляпунова. Оценка вида (4) существенно зависит от выбора функции V , выбор произвольной V для системы (1) в общем случае может оказаться неэффективным. Произвольная функция Ляпунова, удовле- творяющая условиям (4), даст некоторую оценку области притяжения, одна- ко такая оценка может быть произвольно малой. Задача о максимизации области (4) варьированием функции V , даже если рассматривается некоторое параметрическое множество функций Vp(x), яв- ляется весьма сложной из-за свойств целевой функции. Непосредственное решение такой задачи, как правило, невозможно. 142 Оценка области притяжения динамических систем Однако введение дополнительных ограничений на правые части (1), фун- кцию V и область S в некоторых случаях позволяет существенно упростить задачу. В настоящей работе будет показано, как использование численного интегрирования для полиномиальных систем и полиномиальных функций V позволяет свести (4) к некоторой задаче выпуклой оптимизации, для решения которой известны эффективные численные алгоритмы. 2. Использование результатов численного интегрирования. Чи- сленное интегрирование системы обыкновенных дифференциальных уравне- ний (1) состоит в замене этой системы на систему x̃(tj+1) = Rf (tj , x̃tj ), Rf (tj, 0) = 0, tj = t0 + jh (6) разностных уравнений в дискретных переменных x̃, где под Rf подразуме- ваются соответствующие аппроксимирующие формулы (например, Рунге– Кутта), вид которых здесь не важен. Определим область притяжения нулевого решения системы (6) анало- гично (2): Ω̃ = {x̃0 : lim j→∞ x̃(tj ; x̃0) = 0} (7) и выберем каким-либо образом конечное число точек из Ω̃ x̃(1), x̃(2), . . . , x̃(k) ∈ Ω̃. (8) Казалось бы естественным использовать точки x̃(i) для получения некоторой информации об области Ω, однако делать это непосредственно, строго говоря, нельзя. Системы (1) и (6) в общем случае не эквивалентны, соответственно, равенство Ω = Ω̃ может не выполняться и из x̃(i) ∈ Ω̃ не следует x̃(i) ∈ Ω. Использование функции V позволяет избежать этой трудности. До тех пор, пока условия (4) выполняются, область S будет лежать в области при- тяжения Ω. Точки (8) можно использовать для построения функции V , тре- буя выполнения x̃(i) ∈ S для получаемой области S [3]. Но и в этом слу- чае корректность получаемых результатов (если такая функция V нашлась) определяется только выполнением условий (4). Таким образом, вопрос о свойствах траектории динамической системы сводится к вопросу о свойствах поверхностей уровня некоторой (в настоящей работе — полиномиальной) функции. 3. Полиномиальные системы и задание многочленов. В дальней- шем будем считать функцию Vb(x) = V (x; b) полиномом от x ∈ R n с коэффи- циентами b ∈ R m, причем V (x; b) будет попеременно рассматриваться и как функция от x при фиксированном b, и как функция от b при фиксированном x. Пусть X — матрица n×k, а P — матрица n×p. Определим операцию XP следующим образом: XP = C, cij = n ∏ v=1 x pvj vi ; 143 А.С. Суйков здесь x, p и c — элементы матриц X, P и C соответственно. Такая операция представляет собой обобщение записи xα = ∏ xαi i , x ∈ R n, α ∈ R n, i = 1, n для покомпонентного возведения x в степень в случае, когда x и α представ- ляют собой матрицы. Рассмотрим систему вида (1) с полиномиальными правыми частями: ẋ = f(x), fi(x) = xFici, ci ∈ R qi i = 1, n (9) и функцию Ляпунова V (x) = xPGb, P ∈ R n×p, b ∈ R p, (10) где G — единичная матрица p× p. Учитывая (10), (9) и линейность операции дифференцирования, производную V̇ (x) можно записать в виде V̇ (x) = xP ′ G′b. (11) 4. Оценка области притяжения, включающая заданные точки. Предположим, что известны точки x(1), x(2), . . . , x(p) ∈ R n, x(i) ∈ S, x(i) 6= 0, i = 1, p, (12) заведомо лежащие в S. Зададим функцию Ляпунова в виде V (x) = xP b, (13) где P задается, коэффициенты b подлежат определению, и потребуем выпол- нения условий (4) для V и V̇ в точках (12) для c = 1, т.е. 0 < V (x(i)) < 1, V̇ (x(i)) < 0 ∀i = 1, p. (14) Условие c = 1 никак не ограничивает выбор функции вида (13). Действи- тельно, если условия (4) выполнялись для V и c, то те же условия будут выполнятся для 1 c V и 1; кроме того, линейная зависимость V от b позволяет нормировать b без изменения вида функции. Запишем точки (12) в виде матрицы n× p X = ( x(1), x(2), . . . , x(p) ) (15) и подставим выражения (10) и (11) в условия (14). Получим систему XP b > 0, XP ′ G′b < 0, XP b < c (16) неравенств, линейных относительно коэффициентов b. 144 Оценка области притяжения динамических систем Неравенства (16) определяют множество функций вида (10), допускаю- щих принадлежность точек (12) получаемой в виде (4) оценке области при- тяжения. Однако обратное в общем случае не верно: оценка области притя- жения для функции (10) при выполнении (16) может не включать точки (12). Такое возможно, в частности, если существуют x 6= 0: V (x) < c, V̇ (x) > 0, чему условия (16) не препятствуют. Произвола в выборе точек (12) недоста- точно для получения требуемой оценки области притяжения. Покажем, как можно выбрать точки (12), чтобы обеспечить точное выпол- нение условий (4). Пусть C ⊂ Ω – некоторая известная компактная оценка области притяжения. Рассмотрим преобразование границы этого множества ∂C под действием системы (9) в обратном времени: ∂C ′ t = ϕ(−t; ∂C) = {x = ϕ(−t;x0) : x0 ∈ ∂C}. (17) Определение (17) корректно, по крайней мере, для достаточно малых t, в том смысле, что ∂C ′ t действительно будет границей некоторого множества в предположении, что для правых частей системы выполнены условия суще- ствования и единственности решений в C. Пусть теперь t1 > 0 – такой момент времени, что C ′ t определено и компа- ктно при 0 6 t 6 t1 + ε, где ε – сколь угодно малое число. Потребуем, чтобы множество C ′ t1 было в точности получаемой оценкой области притяжения. Для этого рассмотрим траектории нескольких точек ∂C ϕi(t) = ϕ(t;x′(i)), 0 6 t 6 t1, x ′ (i) ∈ ∂C, i = 1, q, (18) и потребуем выполнения условий (16) в отдельных точках на этих траекто- риях: XI = (ϕi( jt1 s )), i = 1, q, j = 1, s. (19) Кроме того, потребуем, чтобы точки ϕi(t1 + ε) находились за пределами S V (ϕi(t1 + ε)) > c. (20) Обозначая XO = (ϕi(t1 + ε)), i = 1, q, (21) подставим (19) в (16), а (21) – в (20), и запишем условия на b: XP I Gb > 0, XP I Gb < c, XP OGb > c, XP ′ I G′b < 0. (22) Условия (22) так же, как и условия (16), не являются достаточными для то- го, чтобы точки XI принадлежали определяемой функцией V оценке области притяжения. Однако в предположении, что из (22) следует (4), и при выбо- ре достаточно малого ε, условия (22) будут необходимыми для того, чтобы поверхность {x : V (x) = 1} пересекала траектории (18) между соответствую- щими точками XI и XO, или, другими словами, чтобы Ct1 ⊂ S ⊂ Ct1+ε. 145 А.С. Суйков Для проверки условий (4) при выполнении (22) выбор количества трае- кторий ϕ(i), а также количества точек XI на них, остается свободным. При этом для системы (22) рассматривается только вопрос совместности; задача оптимизации не ставится, поскольку любая функция (10), удовлетворяющая (22), для которой выполнены (4), обеспечит выполнение C ⊂ S. Применение методов внутренних точек. Условия (22) представляют собой систему линейных относительно b неравенств с числовыми в силу (19) и (21) коэффициентами и без ограничений на знаки bi. Системы неравенств такого рода эффективно решаются методами внутренних точек [4]. Для того, чтобы привести системы (16) к пригодному для применения методов внутренних точек виду [4], необходимо избавиться от строгих нера- венств, заменив их нестрогими. Перепишем (16) в виде XP I Gb > a, XP I Gb 6 c, XP OGb > c, XP ′ I G′b 6 −a, (23) где a > 0 — некоторое малое число. Если некоторая функция V удовлетво- ряет условиям (4) и (16), то число a всегда можно выбрать, поскольку V вместе с V̇ непрерывны на C ′ t1+ε. Если же функция V неизвестна, то выбор a определяется совместностью системы (23) наряду с ε и точками траекторий (18). Следует также отметить, что выполнение неравенств XP I Gb > a, XP I Gb 6 c (24) при заданном a > 0, вместе с условиями ∀x ∈ C ′ t1 ∃x∗ ∈ XI : \|x− x∗\| < d, (25) где значение d определяется выбором точек XI , можно использовать для проверки выполнения условий (4) на множестве C ′ t1 . 5. Пример построения оценки. Построим область притяжения нуле- вого решения для системы ẋ1 = x2, ẋ2 = −x1 − kx2 + ax32, k = 0.3, a = 0.3. (26) В качестве начального приближения для оценки области притяжения возь- мем круг C = {(x1, x2) : x 2 1 + x22 6 r2, r = 0.3}; (27) несложно убедиться (например, с помощью квадратичной функции Ляпуно- ва), что C ⊂ Ω. Выберем траектории ϕj(t) = ϕ(−t; (r cos jπ 2 , r sin jπ 2 )), j = 1, 10, 146 Оценка области притяжения динамических систем и точки XI = {ϕj( it1 10 )}, j = 1, 10, i = 0, 10, XO = {ϕj(t1 + 1.0)}; здесь t1 = 7.0. Зададим функцию Ляпунова в виде V (x) = xPGb, P = (P2, P4, P6), P2 = ( 2 1 0 0 1 2 ) , P4 = ( i 4− i ) , i = 0, 4; P6 = ( i 6− i ) , i = 0, 6, и запишем неравенства (16) для этой функции. При выбранных значениях XI , XO и t1 они совместны и b = (b20, b11, b02, b40, b31, . . . , b04, b60, . . . , b06), b20 = 2.605589 b11 = 0.914291 b02 = 2.328874 b40 = −3.418812 b31 = −3.668692 b22 = −6.622354 b13 = −2.696822 b04 = −1.806172 b60 = 2.185671 b51 = 3.885916 b42 = 7.191870 b33 = 5.721249 b24 = 4.751745 b15 = 1.920195 b06 = 0.502807 является допустимой точкой. График получаемой оценки области притяже- ния, а также вид самих траекторий ϕj , изображен на рис. 1. XI XO ϕj ∂Ω V = 1 −1 −1 0 0 1 1 Рис. 1. Оценка области притяжения. Заключение. В работе рассмотрена задача выбора функции Ляпунова V для получения оценки области притяжения изолированной особой точки 147 А.С. Суйков автономной динамической системы. Выбор функции производился на мно- жестве многочленов заданного вида с фиксированным числом коэффициен- тов. В качестве критерия выбора функции V брались условия на значения функции и ее производной в фиксированном числе точек; именно, требо- валось, чтобы выбор функции не противоречил принадлежности заданных точек оценке области притяжения, определяемой этой функцией. Точки, в которых ставились условия, определялись численным интегрирование систе- мы в обратном времени, начиная с точек границы известной оценки области притяжения. Выбор функции Ляпунова, таким образом, сводился к решению задачи совместности для системы линейных неравенств. Задача точного определения оценки, задаваемой полученной функцией, не ставилась; предполагалось, что для этого применяются другие методы, а результат используется для коррекции выбора рассматриваемых точек. 1. Genesio R., Tartaglia M., Vicino A. On the estimation of asymptotic stability regions: State of the art and new proposals // IEEE Transactions on Automatic Control. – 1985. – 30, no. 8. – P. 747–755. 2. Chesi G. Estimating the domain of attraction for non-polynomial systems via LMI opti- mizations // Automatica. – 2009. – 45, no. 6. – P. 1536-1541 3. Topcu U., Packard A., Seiler P., Wheeler T. Stability Region Analysis Using Simulations and Sum-of-Squares Programming // Proc. of the 2007 American Control Conf. – 2007. – P. 6009-6014 4. Boyd S., Ghaoui L., Feron E., Balakrishnan V. Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory. – SIAM:Philadelphia, 1994. – 198 p. 5. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. – М.: Мир, 1980. – 299 с. A.S. Suykov Estimating the region of attraction of dynamical systems using numerical simulation data The paper deals with the problem of choosing a Lyapunov function to obtain an estimate of the region of attraction for an autonomous dynamical system. The choice criteria are formulated using numberical simulation data. The problem is then reduced to ensuring feasibility of a system of linear inequalities. Keywords: autonomous dynamical systems, Lyapunov functions, region of attraction. О.С. Суйков Оцiнка областi притягання автономних динамiчних систем за результатами чисельного iнтегрування Розглянуто задачу вибору функцiї Ляпунова з метою отримання оцiнки областi притяган- ня автономної динамiчної системи. Критерiй вибору будується за результатами чисельного iнтегрування системи. Задача зводиться до встановлення сумiсностi системи лiнiйних не- рiвностей. Ключовi слова: автономнi динамiчнi системи, функцiї Ляпунова, оцiнка областi при- тягання. Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк axs@ukr.net Получено 28.11.2011 148

Оценка области притяжения автономных динамических систем по результатам численного интегрирования

Репозитарії

Схожі ресурси