Несимметрия в замкнутых упругих системах
Рассмотрена конечномерная модель замкнутого упругого стержня с круговой конфигурацией его упругой оси. Стержень моделировался с помощью системы n несимметричных твердых тел, связанных упругими сферическими шарнирами. Изучена возможность существования у такой системы режима равновесия во вращающейся...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Механика твердого тела |
|---|---|
| Дата: | 2011 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2011
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/71590 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Несимметрия в замкнутых упругих системах / И.А. Болграбская, Н.Н. Щепин // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2011. — Вип 41. — С. 162-174. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860230580473430016 |
|---|---|
| author | Болграбская, И.А. Щепин, Н.Н. |
| author_facet | Болграбская, И.А. Щепин, Н.Н. |
| citation_txt | Несимметрия в замкнутых упругих системах / И.А. Болграбская, Н.Н. Щепин // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2011. — Вип 41. — С. 162-174. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Механика твердого тела |
| description | Рассмотрена конечномерная модель замкнутого упругого стержня с круговой конфигурацией его упругой оси. Стержень моделировался с помощью системы n несимметричных твердых тел, связанных упругими сферическими шарнирами. Изучена возможность существования у такой системы режима равновесия во вращающейся системе координат. Получены необходимые условия устойчивости найденного режима относительного равновесия. Детально изучен случай четырех тел.
Розглянуто скiнченновимiрну модель замкненого пружного стержня iз круговою конфiгурацiєю його пружної осi. Стержень моделювався за допомогою системи n несиметричних твердих тiл, сполучених пружними сферичними шарнiрами. Вивчено можливiсть iснування у такої системи режиму рiвноваги в обертовiй системi координат. Отримано необхiднi умови стiйкостi знайденого режиму вiдносної рiвноваги. Детально вивчено випадок чотирьох тiл.
The finite dimensional model of the closed elastic rod with a circular configuration of its elastic axis is consider. The rod was modeled by means of system consisting of n nonsymmetric rigid bodies connected by elastic spherical joints. The possibility of equilibrium existence of such system in rotating co-ordinate system is studied. Necessary stability conditions of the relative equilibrium of the considered regime are obtained. The case of four bodies is studied in details.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:21:21Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2011. Вып. 41
УДК 531.38
c©2011. И.А. Болграбская, Н.Н. Щепин
НЕСИММЕТРИЯ В ЗАМКНУТЫХ УПРУГИХ СИСТЕМАХ
Рассмотрена конечномерная модель замкнутого упругого стержня с круговой конфигура-
цией его упругой оси. Стержень моделировался с помощью системы n несимметричных
твердых тел, связанных упругими сферическими шарнирами. Изучена возможность суще-
ствования у такой системы режима равновесия во вращающейся системе координат. Полу-
чены необходимые условия устойчивости найденного режима относительного равновесия.
Детально изучен случай четырех тел.
Ключевые слова: конечномерная модель упругого стержня, сферический упругий шар-
нир, положение относительного равновесия, несимметрия, устойчивость.
В работах [1–5] были найдены различные равновесные конфигурации си-
стем n симметричных твердых тел, связанных упругими сферическими шар-
нирами. Одна из них – “круговая” – исследовалась многими авторами как в
конечномерном случае (системы связанных твердых тел) [1, 2], так и в непре-
рывном (стержневые системы) [6–8].
В работе [9] рассмотрена система n одинаковых гироскопов Лагранжа,
связанных упругими сферическими шарнирами, образующая “круговую” кон-
фигурацию. Полагалось, что система, как целое, вращается со скоростью Ω
вокруг неподвижной оси. Найдены условия существования и необходимые
условия устойчивости положения равновесия изучаемой системы во враща-
ющейся системе координат.
Поскольку на практике системы не всегда являются симметричными,
представляется интересным изучить такие системы с учетом их несимметрии.
В настоящей статье рассмотрена замкнутая система n твердых тел с момен-
тами инерции A,A+εk, B, которая в случае εk = 0 дает систему n одинаковых
гироскопов Лагранжа. Найдены условия, при которых введенная система до-
пускает режим равновесия во вращающейся системе координат, и получены
необходимые условия устойчивости такого равновесия.
1. Постановка задачи. Рассмотрим систему n твердых тел, связанных
упругими сферическими шарнирами, расположенными в точках Ok. Такие
шарниры позволяют учитывать в сочленениях упругость как изгиба, так и
кручения. Полагаем, что внешние силы и моменты отсутствуют, и, как след-
ствие этого, общий центр масс системы тел C неподвижен. Свяжем с каждым
телом Sk систему координат CkXkYkZk, где Ck – центр масс тела Sk, а ось
CkZk направлена вдоль оси OkOk+1.
Введем неподвижную систему координат CXY Z и осевую систему коор-
динат CX ′Y Z ′, которая вращается вокруг неподвижной оси CY (орт ey) со
скоростью Ω. В случае, когда все оси тел OkOk+1 лежат в одной плоскости
CXZ, ось CY направлена перпендикулярно этой плоскости.
162
Несимметрия в замкнутых упругих системах
Определим положение связанной системы координат CkXkYkZk по отно-
шению к осевой CX ′Y ′Z ′ углами Крылова ψk, θk, ϕk. Упругий момент в шар-
нире будем считать равным
Lk = κ1(κ
1
ke
1
k + κ
2
ke
2
k) + κ2κ
3
ke
3
k, (1)
где κ1, κ2 – соответственно жесткости изгиба и кручения; e
i
k (i = 1, 2, 3;
k = 1, n)− орты связанной с телом Sk системы координат (орт e
3
k параллелен
оси OkOk+1);κκκk(κ
1
k,κ
2
k,κ
3
k) – дискретный аналог вектора Дарбу, компоненты
которого равны
κ1k = (ψk − ψk−1) cos θk sinϕk + (θk − θk−1) cosϕk,
κ2k = (ψk − ψk−1) cos θk cosϕk − (θk − θk−1) sinϕk, (2)
κ3k = ϕk − ϕk−1 − (ψk − ψk−1) sin θk.
Тогда потенциальная энергия системы имеет вид
Π =
1
2
n
∑
k=1
[
κ1(κ
2
1k + κ
2
2k) + κ2κ
2
3k
]
. (3)
Такой выбор потенциальной энергии позволяет учесть геометрическую не-
линейность объекта в предположении, что углы ψk, θk, ϕk могут принимать
произвольные значения, а их разности ψk − ψk−1, θk − θk−1, ϕk − ϕk−1 малы.
После подстановки (2) в (3) имеем
Π =
1
2
n
∑
k=1
{κ1[(ψk − ψk−1)
2 cos2 θk + (θk − θk−1)
2]+
(4)
+κ2[ϕk − ϕk−1 − (ψk − ψk−1) sin θk]
2}.
В (4) входят значения углов ψ0, θ0, ϕ0, которые для замкнутых систем (при
этом полагаем On+1 = O1) таковы [1]:
ψ0 = ψn − 2π; θ0 = θn − 2π; ϕ0 = ϕn − 2π.
Кинетическая энергия рассматриваемой системы имеет вид
T =
1
2
n
∑
k=1
[
mṙ2kc +Ap2k + (A+ εk)q
2
k +Br2k
]
, (5)
где m – масса тела Sk; A,A+ εk, B – его моменты инерции; rkc – расстояние
от центра масс тела Sk до неподвижной точки C, а pk, qk, rk – компоненты
вектора абсолютной угловой скорости ωk тела Sk в CkXkYkZk, которая может
быть представлена как ωk = Ω+ ω
r
k, где Ω = Ωey – угловая скорость осевой
системы координат, а ω
r
k – угловая скорость связанной системы координат
относительно осевой.
163
И.А. Болграбская, Н.Н. Щепин
Компоненты абсолютной угловой скорости тела Sk, как функции углов
Крылова и скорости вращения Ω, выражаются следующим образом:
pk = (ψ̇k +Ω) cos θk sinϕk + θ̇k cosϕk,
qk = (ψ̇k +Ω) cos θk cosϕk − θ̇k sinϕk, (6)
rk = ϕ̇k − (ψ̇k +Ω) sin θk.
Если положить, что центр масс тела Sk – середина отрезка OkOk+1, и учесть
неподвижность общего центра масс C, то, аналогично [1], получим
ṙkc =
h
2
{−(ωk × e
3
k) +
1
n
k
∑
i=1
(2i− 1)(ωi × e
3
i )−
−
1
n
n
∑
i=k+1
[2(n − i) + 1](ωi × e
3
i )}, k = 1, n − 1, (7)
ṙnc =
h
2
{−(ωn × e
3
n) +
1
n
n
∑
i=1
(2i− 1)(ωi × e
3
i )}
Подстановка (6), (7) в (5) дает
T =
1
2
n
∑
j=1
{A′[(ψ̇j +Ω)2 cos2 θj + θ̇2j ] +B[ϕ̇j−
−(ψ̇j +Ω) sin θj]
2 + εk[(ψ̇k +Ω) cos θk cosϕk − θ̇k sinϕk]+ (8)
+mc2(
j
∑
i=1
bijAij +
n
∑
i=j+1
cijAij)}.
Здесь введены следующие обозначения:
A
′
= A+mc2, Aij = θ̇iθ̇j cos θi cos θj + (θ̇iθ̇j sin θi sin θj+
+ψ̇iψ̇j cos θi cos θj) cos(ψj − ψi) + (θ̇iψ̇j sin θi cos θj−
−θ̇jψ̇i cos θi sin θj) sin(ψj − ψi);
bij = 4(i− 1) +
1
n
[2j − 1− 2i(2i − 1)] +
1
n2
(2j − 1)(2i − 1)(i − j);
cij = 4j +
1
n
(4j2 + 2j + 2i− 8ij − 1) +
1
n2
(i− j)(2i − 1)(2j − 1).
Поскольку система замкнута, то, как и в [1],
f1 =
n
∑
k=1
hk sinψk cos θk = 0,
(9)
f2 =
n
∑
k=1
hk sin θk = 0, f3 =
n
∑
k=1
hk cosψk cos θk = 0.
164
Несимметрия в замкнутых упругих системах
2. Уравнения движения системы. Положение относительного
равновесия. Уравнения движения данной системы, как и в [1–3], могут
быть записаны в виде уравнений Лагранжа второго рода с учетом связей:
d
dt
∂T
∂q̇i
−
∂T
∂qi
+
∂Π
∂qi
−
3
∑
k=1
λk
∂fk
∂qi
= 0.
Здесь λk (k = 1, 2, 3) – множители Лагранжа, кинетическая энергия имеет
вид (8), потенциальная – (4), а функции fk (k = 1, 2, 3) – (9). Эти уравнения
могут быть представлены так
[(A
′
+ εk cos
2 ϕk)cos
2θk +B sin2 θk]ψ̈k −Bϕ̈k sin θk −
εk
2
θ̈k cos θk sin 2ϕk+
+(ψ̇k +Ω)[θ̇k(B −A
′
− εk cos
2 ϕk) sin 2θk − εkϕ̇k cos
2 θk sin 2ϕk]−
−Bϕ̇kθ̇k cos θk +
εk
2
θ̇2 sin θk sin 2ϕk − εkθ̇kϕ̇k cos θk cos 2ϕk+
+µ cos θk
{
(2k − 1)
n
∑
j=k+1
(2n− 2j + 1)Fkj + (2n − 2k + 1)
k
∑
j=1
(2j − 1)Fkj
}
+
+k1[(ψk − ψk−1) cos
2 θk − (ψk+1 − ψk) cos
2 θk+1]−
−k2{sin θk[ϕk − ϕk−1 − (ψk − ψk−1) sin θk]− sin θk+1[ϕk+1 − ϕk−
−(ψk+1 − ψk) sin θk+1]}+ λ1 cosψk cos θk − λ3 sinψk cos θk = 0;
[A′+εk sin
2 ϕk]θ̈k−
εk
2
ψ̈k cos θk sin 2ϕk+(ψ̇k+Ω)2
[
A′ +
εk
2
cos2 ϕk −
B
2
]
sin 2θk−
−εkθ̇kϕ̇k sin 2ϕk +
εk
2
(ψ̇k +Ω)2 cos 2θk cos
2 ϕk − εkθ̇kϕ̇k sin 2ϕk+ (10)
+(ψ̇k +Ω)ϕ̇k(B − εk cos 2ϕk) cos θk − µ
{
(2k − 1)
n
∑
j=k+1
(2n − 2j + 1)Gkj+
+(2n− 2k+1)
k
∑
j=1
(2j − 1)Gkj
}
− k1[sin 2θk(ψk −ψk−1)
2/2+ θk+1 − 2θk + θk−1]−
−k2 cos θk[ϕk − ϕk−1 − (ψk − ψk−1) sin θk](ψk − ψk−1)−
−λ1 sinψk sin θk + λ2 cos θk − λ3 cosψk sin θk = 0;
B(ϕ̈k − ψ̈k sin θk)− (B − εk cos 2ϕk)(ψ̇k +Ω)θ̇k cos θk+
165
И.А. Болграбская, Н.Н. Щепин
+
εk
2
[(ψ̇k +Ω)2 cos2 θk − θ̇2k] sin 2ϕk − k2[ϕk+1 − 2ϕk + ϕk−1+
+(ψk − ψk−1) sin θk − (ψk+1 − ψk) sin θk+1] = 0
(k = 1, n).
Здесь µ = mc2/n, ψn+1 = ψ1 + 2π, θn+1 = θ1 + 2π, ϕn+1 = ϕ1 + 2π;
Fkj = ψ̈j cos θj cos(ψk − ψj) + θ̈j sin θj sin(ψk − ψj)−
−2(ψ̇j +Ω)θ̇j sin θj cos(ψk − ψj) + [θ̇2j + (ψ̇j +Ω)2] cos θj sin(ψk − ψj);
Gkj = θ̈j [cos θj cos θk + sin θj sin θk cos(ψk − ψj)]− ψ̈j cos θj sin θk sin(ψk − ψj)+
+θ̇2j [cos θj sin θk cos(ψk−ψj)−sin θj cos θk]+2(ψ̇j+Ω)θ̇j sin θj sin θk sin(ψk−ψj)+
+(ψ̇j +Ω)2 cos θj sin θk cos(ψk − ψj).
Уравнения (10) допускают режим относительного равновесия
ψk = ψ0
k, θk = 0, ϕk = ϕ0
k, ψ̇k = θ̇k = ϕ̇k = 0 (11)
при условиях
µ(2k − 1)
n
∑
j=k+1
[(2n − 2j + 1)Ω2 sin(ψ0
k − ψ0
k−1)+
(12)
+κ1(ψ
0
k+1 − 2ψ0
k + ψ0
k−1) + λ01 cosψ
0
k − λ03 sinψ
0
k = 0;
n
∑
k=1
sinψ0
k = 0,
n
∑
k=1
cosψ0
k = 0; (13)
κ2(ϕ
0
k − ϕ0
k−1)(ψ
0
k − ψ0
k−1) = λ02; (14)
1
2
εkΩ
2 sin 2ϕ0
k + κ2(ϕ
0
k+1 − 2ϕ0
k + ϕ0
k−1) = 0. (15)
Условия (12), (13), определяющие начальные углы изгиба и множители Ла-
гранжа, остались такими же, как и в случае симметричной системы [9] (они
не зависят от εk), а условия на начальные углы кручения ϕ0
k изменились.
Система (12), (13) в случае четного числа тел (n = 2N) допускает решение
ψ0
k = 2πk/n + α1, (16)
λ01 = −nµΩ2 ctg
π
n
, λ03 = −nµΩ2 ctg2
π
n
. (17)
Здесь α1 – произвольная постоянная. Условия (14) – (15) будут выполнены
при ϕ0
k = 0 и λ02 = 0.
166
Несимметрия в замкнутых упругих системах
Отметим, что в случае ϕ0
k = πkn/4 уравнения (15) также будут удовлетво-
рены, но при этом увеличение количества тел приводит к неограниченному
увеличению крутки в системе, что противоречит физическому смыслу.
В отличие от [1], присутствие несимметрии в системе привело к условию
ϕ0
k = 0 (k = 1, n). (18)
Далее будем рассматривать режим относительного равновесия (10) с учетом
(18).
Итак, установлено, что уравнения движения системы четного числа тел
имеют решение, описывающее относительное положение равновесия, в кото-
ром все оси симметрии тел лежат в одной плоскости, и при этом углы ψ0
k
определяются из (16), а ϕ0
k – из (18). Получим необходимые условия устойчи-
вости найденного положения равновесия в случае, когда число тел в системе
равно четырем.
3. Уравнения возмущенного движения для четырех тел. Пусть
n = 4. Тогда уравнения движения системы (10) допускают решение
ψ̇0
k = θ̇0k = ϕ̇0
k = 0, θ0k = ϕ0
k = 0, ψ0
k =
πk
2
, k = 1, 4,
(19)
λ01 = λ03 = −4µΩ2, λ02 = 0.
Система (10), линеаризованная в окрестности решения (19), может быть
представлена как
(A
′
+ εk)ψ̈k + µ{(2k − 1)
4
∑
j=k+1
(9− 2j)[C0
kj ψ̈j + 2ΩS0
kjψ̇j +Ω2C0
kj(ψk − ψj)]+
+(9− 2k)
k
∑
j=1
(2j − 1)[C0
kjψ̈j + 2ΩS0
kjψ̇j +Ω2C0
kj(ψk − ψj)]}+ (20)
+κ1(−ψk−1+2ψk −ψk+1)−λ
0
1 sinψ
0
kψk −λ
0
3 cosψ
0
kψk+λ1 cosψ
0
k −λ3 sinψ
0
k = 0;
A′(θ̈k +Ω2θk) +BΩ(ϕ̇k − Ωθk) + εk[−Ωϕ̇k +Ω2θk)+
+µ[(2k − 1)
4
∑
j=k+1
(9− 2j)(θ̈j +Ω2C0
kjθk)(9 − 2k)
k
∑
j=1
(2j − 1)(θ̈j +Ω2C0
kjθk)]−
(21)
−κ1(Γ
2θk + θk+1 − θk + θk−1)− κ2Γ(ϕk − ϕk−1 − Γθk)−
−λ01 sinψ
0
kθk − λ03 cos θ + λ2 = 0;
B(ϕ̈k −Ωθ̇k) + εk(Ωθ̇k +Ω2ϕk)−
167
И.А. Болграбская, Н.Н. Щепин
(22)
−κ2[ϕk+1 − 2ϕk + ϕk−1 + Γ(θk − θk+1)] = 0 (k = 1, 4).
Здесь Γ = π/2, C0
kj = cos(ψ0
k − ψ0
j ), S
0
kj = sin(ψ0
k − ψ0
j ).
Уравнения (20) содержат в качестве неизвестных только углы ψk, которые
определяют форму упругой линии. Из уравнений замкнутости (9), линеари-
зованных в окрестности решения (19), получаем
ψ3 = ψ1, ψ4 = ψ2, θ4 = −θ1 − θ2 − θ3.
После исключения этих переменных и реакций связи λ1, λ2, λ3 из уравне-
ний (20) имеем
(2a+ ε1 + ε3)ψ̈1 + (2a+ ε2 + ε4)ψ̈2 = 0,
(23)
(2a+ ε1 + ε3)ψ̈1 − (2a+ ε2 + ε4)ψ̈2 + 8κ1(ψ1 − ψ2) = 0,
где a = A′ + 8µ.
Рассматривая (23), как систему относительно переменных ψ1 и
y0 = ψ1 − ψ2, получаем после исключения циклической переменной ψ1 урав-
нение для определения y0:
ÿ0 + by0 = 0, (24)
где b = b(εk, κ1, a) > 0. Из (24) следует, что соответствующее ему характе-
ристическое уравнение имеет чисто мнимые корни и необходимые условия
устойчивости по переменной y0 выполнены. Значит, в данном случае форма
моделируемой упругой линии устойчива.
Выделим два частных случая.
1. εk = ε, k = 1, 2, 3, 4; (25)
2. ε1 = ε, ε2 = ε3 = ε4 = 0. (26)
В первом случае получаем замкнутую систему, состоящую из четырех
несимметричных одинаковых тел, а во втором – из одного несимметричного
тела и трех одинаковых гироскопов Лагранжа. Определим для этих систем
необходимые условия устойчивости относительного положения равновесия.
4. Случай одинаковых несимметричных тел. Пусть εk (k = 1, 4)
удовлетворяет условию (25). Тогда система (23) приводится к виду
ÿ1 = 0, (a+ ε)ÿ0 + 2κ1y0 = 0, (27)
здесь y1 = ψ1 + ψ2, y0 = ψ1 − ψ2.
Отсюда, как и в общем случае, следует наличие циклической перемен-
ной y1, характеризующей движение системы как целого, и устойчивость по
переменной y0, определяющей форму замкнутой оси.
168
Несимметрия в замкнутых упругих системах
Из суммы четырех уравнений (22) получаем уравнение, зависящее только
от суммы углов ϕk:
Bẍs + εΩ2xs = 0, (28)
где xs = ϕ1+ϕ2+ϕ3+ϕ4 – переменная, характеризующая вращение системы
как целого.
В зависимости от знака ε, из (28) имеем: при ε > 0, то необходимые усло-
вия устойчивости выполнены, а при ε < 0 – движение неустойчиво. Получен-
ный результат соответствует случаю вращения одного твердого тела вокруг
большей либо средней оси [10].
Остальные уравнения систем (21) и (22) после исключения θ4 и xs могут
быть преобразованы к виду
(A′ + a)z̈1 + 2(D + εΩ2 + 2κ1)z1 + (B − ε)Ωẋ− 2κ2Γx = 0,
(29)
Bẍ− 2(B − ε)Ωż1 + εΩ2x+ 4κ2(x− Γz1) = 0,
az̈0 + (D + εΩ2)z0 − (B − ε)Ω
(
ẋ− ẋ0
2
+ ẋ2
)
− κ2Γx0 = 0,
aθ̈ + (D + εΩ2)θ + (B − ε)Ω
(
ẋ+ ẋ0
2
+ ẋ2
)
− κ2Γ(x+ 2x2) = 0,
(30)
Bẍ0 − (B − ε)Ω(θ̇ + ż0) + (2κ2 + εΩ2)x0 − 2κΓz0 = 0,
Bẍ2 + (εΩ2 + 2κ2)x2 +
(B − ε)Ω
2
(2ż1 + ż0 − θ̇)− κ2x+ κ2Γ(2z1 − θ) = 0.
Здесь введены новые переменные и обозначения:
z1 = θ1 + θ3, x = x1 + x3,
z0 = θ1 − θ3, θ = 2θ2 + z1, x0 = x1 − x3, xk = ϕk − ϕk−1 (ϕ0 = ϕ4);
A′ = A+mc2, µ = mc2/4, D = Ω2(a−B)− k1(Γ
2 − 2) + k2Γ
2.
Разыскивая решение системы (29), (30) в виде разложения переменных
по eλt, получаем характеристическое уравнение в виде
∆ = ∆2∆4 =
2
∑
i=0
(aiλ
2i)
4
∑
j=0
(bjλ
2j) = 0, (31)
где ∆2 = ε̃(α+ 1)ν2 + {[2(α − ρ)ε̃+ 2ρ2 + (α+ 1)ρ]ω2+,
+2[κ(γ + 2)− γ + 2]ε̃+ 4κ(α+ 1)}ν + 2ρ(α− ε̃+ ρ)ω4+
+2{4κ(α− ε̃) + ρ[κ(γ + 6)− γ + 2]}ω2 − 8κ(γ − 2),
169
И.А. Болграбская, Н.Н. Щепин
∆4 = ν4ε̃2α2 + {[−2α(−α + ρ)ε̃2 + 2αρ(ρ+ α)ε̃]ω2 + 2α(−γ + 2κ + κγ)ε̃2+
+4α2
κε̃}ν3 + {[(α2 + ρ2 − 4αρ)ε̃2 − 2ρ(ρ+ α)(ρ− 2α)ε̃ + ρ2(ρ+ α)2]ω4+
+[(−4ρκ + 2ργ + 2ακγ − 2ρκγ − 2αγ)ε̃2 + (8ρακ ++2ρ2κγ − 4ραγ+
+4ρ2κ − 2ρ2γ + 8α2
κ + 4ρακγ)ε̃ + 4ρκα(ρ+ α)]ω2 + (−γ + 2κ + κγ)2ε̃2+
+4κα(κγ + 2κ − 2γ)ε̃+ 4κ2α2}ν2 + {[2ρ(−α + ρ)ε̃2−
−2ρ(ρ+ α)(2ρ − α)ε̃+ 2ρ2(ρ+ α)2]ω6 + [(−2ρκγ + 2ργ − 4κα)ε̃2+
+[4ρακγ − 4ραγ − 8ρ2κ + 4α2
κ)ε̃+ 2ρ(ρ+ α)(4ρκ − ργ + ρκγ+
+4κα)]ω4 + [4ε̃2κγ + 2γ(−4κα+ κ
2ργ + 2κ2α+ ργ + 2κ2ρ− 4ρκ − 2ρκγ)ε̃+
+4κ(ρ2κγ + 2ρ2κ + 4ρακ + 2α2
κ + ρακγ − ρ2γ − 2ραγ)]ω2−
−4γκ(−γ + 2κ + κγ)ε̃− 8κ2αγ}ν + [ρ2ε̃2 − 2ρ2(ρ+ α)ε̃+ ρ2(ρ+ α)2]ω8+
+[4ε̃2ρκ− 2ρ(6ρκ + ρκγ− ργ+4κα)ε̃+2(4ρκ +2κα+ ρκγ− ργ)ρ(ρ+α)]ω6+
+[4κ2ε̃2 − 4κ(4ρκ + 2κα+ ρκγ − 2ργ)ε̃− 12ρ2κγ − 8ρακγ+
+16ρ2κ2 + 16αρκ2 + 8ρ2κ2γ + 4κ2α2 + 4αρκ2γ + ρ2κ2γ2−
−2ρ2κγ2 + ρ2γ2]ω4 + [8κ2ε̃γ − 4κγ(4ρκ + 2κα+ ρκγ − ργ)]ω2 + 4κ2γ2.
Здесь введены следующие безразмерные параметры:
ν =
A
k1
λ2, κ =
k2
k1
, ω2 =
AΩ2
k1
, ε̃ =
B
A
, ρ =
ε
A
, α =
a
A
, а γ = Γ2 − 2 > 0.
Необходимые условия устойчивости изучаемого решения системы (29),
(30) будут выполнены, если характеристическое уравнение (31) имеет отри-
цательные действительные корни, т.е. когда в ∆2(ν) и ∆4(ν)
1. ai > 0 (i = 0, 2), bj > 0 (j = 0, 4); (32)
2. a21 − 4a2a0 > 0; (33)
и выполнен критерий Покровского [11] для ∆4(ν):
3. F1 > 0, 12F 2
1 − b24F2 > 0, F 3
2 − 27(F3 − b0F1) > 0. (34)
Здесь F1 =
1
2
(
1
8
b23 −
1
3
b2b4
)
, F2 = b4b0 −
1
4
b2b3 +
1
12
b32,
F3 =
1
8
(
1
6
b1b2b3 −
1
2
b21b4 −
1
27
b32
)
.
Найдем области выполнения неравенств (32)–(34) при учете малости па-
раметров ε̃ > 0 и 0 < ρ << ε̃. Начнем с анализа неравенства (32). Из
170
Несимметрия в замкнутых упругих системах
вида коэффициентов уравнений ∆2(ν) = 0, ∆4(ν) = 0 следует, что при
сделанных предположениях о малости ρ, ε̃ коэффициенты ai, bj (i = 0, 1, 2;
j = 0, 2, 3, 4) всегда больше нуля. Коэффициент b1 будет положительным при
ω2 >
γ
α
+ ρR1(ε̃, α,κ).
Неравенство (33) приводится к виду
{4ρ4 + 4(1− 2ε̃+ α)ρ3 + [4ε̃2 − 4(3 + α)ε̃+ (α+ 1)2]ρ2 + 4[2ε̃2 − α(α + 1)ε̃]ρ+
+4ε̃2α2}ω4 + {[8(2κ + 2+ κγ − γ)ε̃+ 16κ(α+1)]ρ2 + 8[(−2 + γ − κγ − 2κ)ε̃2−
−4(α+1)(−γ+κγ+2+14κ)ε̃+8κ(α+1)2)]ρ+8(2α−αγ+4κ+6κα+ακγ)ε̃2−
−16ακ(α + 1)ε̃}ω2 + 4(κγ + 2κ − γ + 2)2ε̃2 + 16κ(α+ 1)(κγ + 2κ − 2 + γ)ε̃+
+16κ2(α+ 1)2 > 0.
При ρ << ε̃ оно выполняется для всех значений ω.
Неравенства (34) могут быть представлены следующим образом:
f1(ω
2) =
2
∑
i=1
d1i(ε̃, ρ,κ)ω
2i > 0,
f2(ω
2) =
(
ρ2 + (−ε̃+ α) ρ+ ε̃α
)
ω2 + (−γ + 2κ + κγ) ε̃+ 2κα > 0,
f3(ω
2) =
6
∑
i=1
d3i(ε̃, ρ,κ)ω
2i > 0.
Сделанные предположения относительно малых параметров ρ, ε̃ позволили
установить, что первые два неравенства выполняются всегда, а последнее –
при условии
ω2 >
γ
α
+ ρR2(ε̃, α,κ). (35)
Таким образом, анализ полученных условий (32)–(34) при учете малости ρ, ε̃
позволил оценить снизу значения скорости ω, при которых необходимые усло-
вия устойчивости выполнены. Отметим, что для случая симметричных тел
при отсутствии начальной крутки условия (35) совпадают с полученными в
[9].
Соотношения (32)–(34), определяющие область устойчивости в отсутствии
предположения ρ << ε̃, могут быть проанализированы численно. Так, на
рис. 1 при ε̃ = 0.05,κ = 0.9 область устойчивости в плоскости параметров
ρ, u (u = ω2) лежит справа от кривой 1.
Следует отметить появление особой кривой 2, на которой характеристи-
ческое уравнение (31) имеет кратные корни. Данный случай требует допол-
нительного исследования.
На рис. 2 показаны границы области устойчивости решения (11) в пло-
скости параметров ρ, u при различных значениях ρ и κ = 0.9.
171
И.А. Болграбская, Н.Н. Щепин
Рис. 1 Рис. 2
5. Случай одного несимметричного тела. Пусть теперь εk (k = 1, 4)
удовлетворяют условию (26). При этом уравнения (23) для переменных ψ1, ψ2
будут такими
(2a+ ε)ψ̈1 + 2aψ̈2 = 0,
(36)
(2a+ ε)ψ̈1 − 2aψ̈2 + 8κ1(ψ1 − ψ2) = 0.
После исключения из (36) циклической переменной ψ1 и введения новой
переменной y0 = ψ1 − ψ2 имеем
a(2a + ε)
4a+ ε
ÿ0 + 2κ1y0 = 0. (37)
Из (37), как и в предыдущем случае, следует устойчивость по переменной
y0 = ψ1 − ψ2, определяющей форму оси моделируемого стержня.
Система уравнений (21), (22) с учетом (9) приводится к виду
Bẍs +Ωε{ż0 + ż1 +Ω[(x0 + xs)/2− x2]} = 0;
(a+A′)z̈1+2(D+2κ1)z1+BΩẋ−2κ2Γx+Ωε[Ω(z0+ z1)+ ẋ2− (ẋ0− ẋs)/2] = 0;
Bẍ− 2BΩż1 + 4κ2x− 4κ2Γz1 +Ωε{Ω[(x0 + xs)/2 − x2] + ż0 + ż1} = 0;
az̈0+Dz0−BΩ[ẋ2+(x−x0)/2]−κ2Γx0+Ωε[−(ẋ0+ ẋs)/2+ ẋ2+Ω(z0+z1)] = 0;
aθ̈ +Dθ +BΩ[ẋ2 + (ẋ+ ẋ0)/2] − κ2Γ(x+ 2x2) = 0; (38)
Bẍ0 −BΩ(ż0 + θ̇) + 2κ2(x0 − Γz0) + Ωε{Ω[(x0 + xs)/2 − x2] + ż0 + ż1} = 0;
Bẍ2 +BΩ(2ż1 + ż0 − θ̇)/2− κ2(x− 2x2) + κ2Γ(2z1 − θ)−
172
Несимметрия в замкнутых упругих системах
−Ωε{Ω[(x0 + xs)/2− x2] + ż0 + ż1} = 0,
где Ωε = εΩ/2.
Характеристическое уравнение системы (38) имеет вид
∆ =
7
∑
i=0
(ciλ
2i),
где ci – полиномы от параметров ω, ρ, ε̃:
c7 = 4ε̃4α2(α+ 1), c6 =
1
∑
i=0
β
(6)
i (ρ, ε̃)ω2i, c5 =
2
∑
i=0
β
(5)
i (ρ, ε̃)ω2i,
c4 =
3
∑
i=0
β
(4)
i (ρ, ε̃)ω2i, c3 =
4
∑
i=0
β
(3)
i (ρ, ε̃)ω2i, c2 =
4
∑
i=0
β
(2)
i (ρ, ε̃)ω2i,
c1 =
4
∑
i=0
β
(1)
i (ρ, ε̃)ω2i, c0 =
4
∑
i=0
β
(0)
i (ρ, ε̃)ω2i.
Необходимые условия устойчивости решения (11) будут выполнены, когда
характеристическое уравнение ∆ = 0 имеет только действительные отрица-
тельные корни. Исследования областей устойчивости в данном случае были
проведены численно. Результаты расчетов показали, что нижняя граница
области устойчивости положения равновесия решения (11) определена не-
равенством
ω2 >
γ
α− ε
+ ρR(α,κ, ε).
Таким образом, если исключить случай кратных корней характеристиче-
ского уравнения, области устойчивости отличаются на величины порядка ρ
от найденных ранее для симметричных тел [9].
1. Болграбская И.А., Щепин Н.Н. Конечномерная модель замкнутого упругого стержня
// Механика твердого тела. – 2005. – Вып. 35. – С. 33–39.
2. Болграбская И.А., Савченко А.Я., Щепин Н.Н. Замкнутые системы связанных твер-
дых тел // Там же. – 2006. – Вып. 36. – С. 94–103.
3. Болграбская И.А., Щепин Н.Н. Положение равновесия замкнутых систем с самопе-
ресечением // Там же. – 2007. – Вып. 37. – С. 145–151.
4. Bolgrabskaya I.A., Shchepin N.N. Finite dimensional model of closed elastic systems//
Proc. of the 9th conf. of dynamical systems – theory and applications (December 17–20,
2007, Lodz, Poland). – 2007. – 2. – P. 135–143.
5. Болграбская И.А., Щепин Н.Н. Устойчивость положения равновесия замкнутой си-
стемы тел конфигурации “восьмерка”// Механика твердого тела. – 2008. – Вып. 38. –
С. 151–160.
6. Wadati M., Tsuru H. Elastic model of looped DNA // Physiica. – 1986. – 21D. – P. 213–
226.
173
И.А. Болграбская, Н.Н. Щепин
7. Бенхэм Дж. Механика и равновесные состояния сверхспирализованной ДНК // В
кн.: Математические методы для анализа последовательностей ДНК. – М.: Мир, 1999.
– С. 308–338.
8. Hoffman K.A. Methods for determining stability in continuum elastic-rod models of DNA
// Phil. Trans. R. Lond. A. – 2004. – 362. – P. 1301–1315.
9. Болграбская И.А., Савченко А.Я., Щепин Н.Н. Необходимые условия устойчивости
относительного равновесия замкнутой “круговой” системы // Механика твердого те-
ла. – 2009. – Вып. 39. – С. 94–103.
10. Покровский П.М. Об алгебраических уравнениях в связи с аналитическими функци-
ями Вейерштрасса // Тр. отд-ния физ. наук О-ва любителей естествознания. – 1883.
– 6, вып. 1. – С. 26–42.
I.A. Bolgrabskaya, N.N. Shchepin
Asymmetry in the closed elastic-systems
The finite dimensional model of the closed elastic rod with a circular configuration of its elastic
axis is consider. The rod was modeled by means of system consisting of n nonsymmetric rigid
bodies connected by elastic spherical joints. The possibility of equilibrium existence of such
system in rotating co-ordinate system is studied. Necessary stability conditions of the relative
equilibrium of the considered regime are obtained. The case of four bodies is studied in details.
Keywords: finite dimensional model of the elastic rod, elastic spherical joint, relative equilib-
rium, asymmetry, stability.
I.О. Болграбська, М.М. Щепiн
Несиметрiя в замкнених пружних системах
Розглянуто скiнченновимiрну модель замкненого пружного стержня iз круговою конфiгу-
рацiєю його пружної осi. Стержень моделювався за допомогою системи n несиметричних
твердих тiл, сполучених пружними сферичними шарнiрами. Вивчено можливiсть iснуван-
ня у такої системи режиму рiвноваги в обертовiй системi координат. Отримано необхiднi
умови стiйкостi знайденого режиму вiдносної рiвноваги. Детально вивчено випадок чоти-
рьох тiл.
Ключовi слова: скiнченновимiрна модель пружного стержня, сферичний пружний шар-
нiр, положення вiдносної рiвноваги, несиметрiя, стiйкiсть.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
bolg@iamm.ac.donetsk.ua
Получено 01.10.11
174
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-71590 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0321-1975 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:21:21Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Болграбская, И.А. Щепин, Н.Н. 2014-12-06T20:53:26Z 2014-12-06T20:53:26Z 2011 Несимметрия в замкнутых упругих системах / И.А. Болграбская, Н.Н. Щепин // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2011. — Вип 41. — С. 162-174. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/71590 531.38 Рассмотрена конечномерная модель замкнутого упругого стержня с круговой конфигурацией его упругой оси. Стержень моделировался с помощью системы n несимметричных твердых тел, связанных упругими сферическими шарнирами. Изучена возможность существования у такой системы режима равновесия во вращающейся системе координат. Получены необходимые условия устойчивости найденного режима относительного равновесия. Детально изучен случай четырех тел. Розглянуто скiнченновимiрну модель замкненого пружного стержня iз круговою конфiгурацiєю його пружної осi. Стержень моделювався за допомогою системи n несиметричних твердих тiл, сполучених пружними сферичними шарнiрами. Вивчено можливiсть iснування у такої системи режиму рiвноваги в обертовiй системi координат. Отримано необхiднi умови стiйкостi знайденого режиму вiдносної рiвноваги. Детально вивчено випадок чотирьох тiл. The finite dimensional model of the closed elastic rod with a circular configuration of its elastic axis is consider. The rod was modeled by means of system consisting of n nonsymmetric rigid bodies connected by elastic spherical joints. The possibility of equilibrium existence of such system in rotating co-ordinate system is studied. Necessary stability conditions of the relative equilibrium of the considered regime are obtained. The case of four bodies is studied in details. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Несимметрия в замкнутых упругих системах Несиметрiя в замкнених пружних системах Asymmetry in the closed elastic-systems Article published earlier |
| spellingShingle | Несимметрия в замкнутых упругих системах Болграбская, И.А. Щепин, Н.Н. |
| title | Несимметрия в замкнутых упругих системах |
| title_alt | Несиметрiя в замкнених пружних системах Asymmetry in the closed elastic-systems |
| title_full | Несимметрия в замкнутых упругих системах |
| title_fullStr | Несимметрия в замкнутых упругих системах |
| title_full_unstemmed | Несимметрия в замкнутых упругих системах |
| title_short | Несимметрия в замкнутых упругих системах |
| title_sort | несимметрия в замкнутых упругих системах |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/71590 |
| work_keys_str_mv | AT bolgrabskaâia nesimmetriâvzamknutyhuprugihsistemah AT ŝepinnn nesimmetriâvzamknutyhuprugihsistemah AT bolgrabskaâia nesimetriâvzamknenihpružnihsistemah AT ŝepinnn nesimetriâvzamknenihpružnihsistemah AT bolgrabskaâia asymmetryintheclosedelasticsystems AT ŝepinnn asymmetryintheclosedelasticsystems |