Формальное описание логического пространства
Развита теория логического поля, логического векторного пространства, что позволяет определить класс задач, решаемых с помощью линейных логических преобразований. Приведена предикатная интерпретация логического пространства, которая является в свою очередь промежуточным этапом между формализацией...
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7165 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Формальное описание логического пространства / Г.Г. Четвериков, И.Д. Вечирская // Штучний інтелект. — 2008. — № 3. — С. 781-789. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859711415815766016 |
|---|---|
| author | Четвериков, Г.Г. Вечирская, И.Д. |
| author_facet | Четвериков, Г.Г. Вечирская, И.Д. |
| citation_txt | Формальное описание логического пространства / Г.Г. Четвериков, И.Д. Вечирская // Штучний інтелект. — 2008. — № 3. — С. 781-789. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Развита теория логического поля, логического векторного пространства, что позволяет определить
класс задач, решаемых с помощью линейных логических преобразований. Приведена предикатная
интерпретация логического пространства, которая является в свою очередь промежуточным этапом
между формализацией естественноязыковой задачи и ее программной реализацией.
Дістала подальшого розвитку теорія логічного поля, логічного векторного простору, що дає
можливість визначити клас задач, які розв’язують за допомогою лінійних логічних перетворень.
Наведено предикатну інтерпретацію логічного простору, що служить в свою чергу проміжним етапом
між формалізацією природномовної задачі та її програмною реалізацією.
The theory of logical field, logical vector space are developed. Its allow to define the class of tasks, wich we
can solve using linear logical transformations. The predicate interpretation of logical space is leaded. It is a
milestone in formalization of natural language problem and its software support.
|
| first_indexed | 2025-12-01T06:06:15Z |
| format | Article |
| fulltext |
«Штучний інтелект» 3’2008 781
8-Ч
УДК 519.7:007.52; 519.711.3
Г.Г. Четвериков, И.Д. Вечирская
Харьковский национальный университет радиоэлектроники, г. Харьков, Украина
ira_se@list.ru
Формальное описание логического
пространства
Развита теория логического поля, логического векторного пространства, что позволяет определить
класс задач, решаемых с помощью линейных логических преобразований. Приведена предикатная
интерпретация логического пространства, которая является в свою очередь промежуточным этапом
между формализацией естественноязыковой задачи и ее программной реализацией.
Введение
Самые разные методы формализации естественного языка достигли на сегодняшний
день широкого распространения. Среди них используются формальные грамматики [1],
теория вероятностей, теория логических систем [2], [3], и даже синергетика и квантовая
механика [4]. Однако хотя человек и достиг определенных успехов в создании систем,
понимающих человеческий язык и строящих фразы на нем, но сегодняшние методологии
не позволяют создавать системы с той степенью гибкости и общности, которые присущи
человеческой речи. Но попытки формального описания естественного языка целесообраз-
но продолжать хотя бы для того, чтобы более точно понять, каким образом человек
воспринимает естественноязыковую информацию [5]. Одним из универсальных средств
формального описания естественного языка являются логические (реляционные) сети,
основанные на алгебре конечных предикатов [6]. Преимуществами этих сетей можно
считать следующие: они являются средством описания произвольных отношений; инфор-
мация на входе и выходе реализует знания; наличие промежуточных переменных в сети
гарантирует отсутствие пробок. Реляционные сети обратимы [7], что позволяет решать
задачи анализа и синтеза путем решения систем предикатных уравнений.
Постановка задачи
Логические сети целесообразно использовать для формализации не только
фрагментов естественного языка, но и для объектов произвольной природы. Таким
образом, исследования методов построения и работы логических сетей и линейных
логических преобразований как основного средства их реализации является важной и
перспективной задачей. Цель статьи – исследование свойств логических пространств для
дальнейшего развития теории линейных логических преобразований и перспектив их
использования при построении реляционных сетей.
Формальное описание логического поля
Введем непустое множество G , называемое логическим полем [8]. Логическими
скалярами соответственно будем называть элементы множества G . Далее определим
операции над скалярами.
Дизъюнкция скаляров βα ∨ или операция логического сложения определена
на множестве GG × и принимает значения из G . Для операции сложения скаляров
Четвериков Г.Г., Вечирская И.Д.
«Искусственный интеллект» 3’2008 782
8-Ч
выполняются следующие аксиомы идемпотентности, закон коммутативности, закон
ассоциативности, закон нуля и закон единицы. Скаляр 0, который встречается в
законе нуля, носит соответственно название нулевого скаляра или нуля поля G ,
скаляр 1, встречаемый в законе единицы, – соответственно единичного скаляра или
единицы поля G .
Конъюнкция скаляров αββα =∧ или операция логического умножения опре-
делена на множестве GG × и принимает значения из G . Для операции умножения
скаляров выполняются следующие аксиомы идемпотентности, закон коммутативности,
закон ассоциативности, закон нуля и закон единицы. Сложение и умножение скаляров
связывают законы дистрибутивности и элиминации.
Одноместная операция отрицания скаляров α определена на множестве G и
принимает значения из G . Для операции отрицания скаляра выполняются сле-
дующие аксиомы двойного отрицания, отрицания нуля, отрицания единицы.
Операции отрицания со сложением и умножением скаляров связывают закон
исключения третьего, законы де Моргана для отрицания дизъюнкции конъюнкции ска-
ляров, закон свертывания. Перечисленные выше законы называются аксиомами логичес-
кого поля. Взятое само по себе, логическое поле можно отождествить с алгеброй Буля.
Но в то же время законы (аксиомы) логического поля не полностью совпадают с аксиомами
булевой алгебры. Булевой алгеброй называется любое множество G вместе с заданными
на нем операциями ∨ , ∧ и ¬ , которые удовлетворяют семи законам (из парных законов
выбираем по одному закону): идемпотентности, коммутативности, ассоциативности, дис-
трибутивности, свертывания, двойного отрицания и де Моргана [9-11]. Остальные свойст-
ва, указанные в перечне аксиом логического поля, выводятся логически из законов
булевой алгебры.
Примеры скалярных полей. Примером поля является алгебра логических элементов.
В ней в роли G выступает множество { }1,0 с заданными на нем операциями дизъюнкции
000 =∨ , 1110110 =∨=∨=∨ , конъюнкции 0011000 =∧=∧=∧ , 111 =∧ и отри-
цания 10 = , 01= . Нетрудно убедиться перебором всех вариантов, что все аксиомы
поля в алгебре логических элементов выполняются.
Другим примером поля может служить алгебра предикатов с любым числом
аргументов. В роли множества G выступает система всех предикатов, заданных на
декартовом произведении каких-нибудь множеств. В роли операций ,,∧∨ выступают
дизъюнкция, конъюнкция и отрицание предикатов.
Еще одним примером поля может служить алгебра множеств. В ней в роли
множества G выступает система всех подмножеств какого-нибудь множества. Роль опе-
рации сложения скаляров выполняет объединение множеств, роль операции умножения –
пересечение множеств, а роль операции отрицания – дополнение множества. Теперь
аксиоматически вводим еще одну – верхнюю булеву алгебру и связывающую их
третью булеву алгебру.
Формальное описание логического пространства
Введем далее понятие логического пространства и определим в нем операции над
векторами. Назовем непустое множество M логическим векторным пространством над
полем G . Элементы множества M называются логическими векторами или просто век-
торами. Дизъюнкция векторов ba ∨ или операция логического сложения определена
на множестве MM × и принимает значения из М. Для операции сложения
векторов выполняются следующие аксиомы идемпотентности, коммутативности, ассо-
Формальное описание логического пространства
«Штучний інтелект» 3’3008 783
8-Ч
циативности, нуля, единицы. Вектор 0, который встречается в законе нуля, носит
соответственно название нулевого вектора или нуля пространства М, вектор 1, встре-
чаемый в законе единицы, – соответственно единичного вектора или единицы
пространства М.
Скалярно-векторное произведение aa αα =∧ или операция конъюнкции (логи-
ческого умножения) скаляра α на вектор a определена на множестве MG× и
принимает значения из множества М. Запишем закон ассоциативности для операции
умножения скаляров и умножения скаляра на вектор в виде следующей аксиомы:
G∈∀ βα , Ma∈∀ ( ) ( )aa βααβ = .
Сложения скаляров и векторов и умножения скаляра на вектор связаны такими
законами:
1) закон левой дистрибутивности – G∈∀ βα , Ma∈∀ ( ) =∨ aβα aa βα ∨= ;
2) закон правой дистрибутивности – G∈∀α Mba ∈∀ , ( ) =∨ baα ba αα ∨ ;
3) закон нуля – Ma∈∀ 00 =⋅ a ;
4) закон единицы – Ma∈∀ aa =⋅1 .
Аксиомы логического поля, вместе с только что приведенными законами,
называются аксиомами логического пространства. Логическое пространство называют
ещё логической алгеброй, логическим анализом [8].
В логической алгебре, в отличие от булевой алгебры, аксиомы еще наращиваются.
Обобщая и несколько упрощая, можно сказать, что логическая алгебра представляет
собой двухэтажную структуру – две различные булевы алгебры, расположенные одна над
другой, и связаны между собой третьей булевой алгеброй. Как видим, вторая и третья
булевы алгебры задаются неполным перечнем свойств (из парных законов берется по
одному). Это вызвано тем, что остальные свойства этих двух алгебр чисто логически
выводятся из совокупности всех аксиом. Так, что это – все-таки булевы алгебры.
Некоторые аксиомы логического пространства не являются необходимыми условиями.
Таким образом, система аксиом логического пространства сократима. Избыточность
вводится для удобства практического пользования логической алгеброй. Кому нужна
такая сложная и искусственная конструкция? Оказывается, что все, кто хотя бы немного
имели дело с логическими конструкциями, на каждом шагу ясно чувствуют присутствие
этой двухэтажности с перевязкой этажей. В естественном языке такая двухэтажность явно
присутствует в лице семантики и синтаксиса предложения. Подобная двухэтажность
прослеживается и в алгебре предикатов. Так, после вычисления значения предиката, он
обращается в 0 или 1, то есть в скаляр, а есть еще и предикат, который выполняет роль
вектора. Когда подставляем значения только некоторых из переменных, то в формуле
появляются скаляры и вместе с тем остаются предикаты, и приходится выполнять ска-
лярно-векторные операции. В естественном языке высказывания играют роль векторов,
а их истинностные значения – роль скаляров. Если предикаты принять за скаляры,
то в роли векторов окажутся операции над предикатами. При аксиоматическом
изучении механизмов естественного языка можно увидеть, как скаляры взаимодей-
ствуют с векторами в языке на примере выполнения закона сохранения нуля:
( )( ) ( )xничтоxничтобелое = . Таких примеров можно привести множество.
Предикатная интерпретация логического пространства
Приведем пример предикатной интерпретации логического пространства.
Пусть { }γβα ,,=G , { }baM ,= . Скаляры – всевозможные унарные предикаты типа
( )xP на G ; векторы – всевозможные бинарные предикаты типа ( )zyQ , на MM × .
Четвериков Г.Г., Вечирская И.Д.
«Искусственный интеллект» 3’2008 784
8-Ч
Таблица 1 – Представление скаляров ( )xP0 – ( )xP7 логического пространства
x ( )xP0 ( )xP1 ( )xP2 ( )xP3 ( )xP4 ( )xP5 ( )xP6 ( )xP7
α 0 0 0 0 1 1 1 1
β 0 0 1 1 0 0 1 1
γ 0 1 0 1 0 1 0 1
Таблица 2 – Представление векторов 0Q – 7Q логического пространства
y z 0Q 1Q 2Q 3Q 4Q 5Q 6Q 7Q
a a 0 0 0 0 0 0 0 0
a b 0 0 0 0 1 1 1 1
b a 0 0 1 1 0 0 1 1
b b 0 1 0 1 0 1 0 1
a a 1 1 1 1 1 1 1 1
a b 0 0 0 0 1 1 1 1
b a 0 0 1 1 0 0 1 1
b b 0 1 0 1 0 1 0 1
В табл. 1 выписаны всевозможные скаляры, а в табл. 2 – всевозможные векторы
указанного логического пространства. Всего представлено 8 скаляров (табл. 1) и
16 векторов (табл. 2).
Далее в примерах будем рассматривать описанное выше логическое пространство.
Независимая совокупность векторов
В связи с использованием свойств логического пространства при описании
действий с линейными логическими преобразованиями представляется важной задача
исследования таких понятий, как базис и размерность логического пространства [8].
Далее введем в логическом пространстве понятия комбинации векторов и
независимой системы векторов. Комбинацией векторов maaa ,...,, 21 называется вектор u ,
равный
kk
m
kmm aaaau αααα
12211 ...
=
∨=∨∨∨= ,
где mααα ,...,, 21 – коэффициенты комбинации (какие-нибудь скаляры). В введенных
выше обозначениях среди векторов maaa ,...,, 21 могут встречаться одинаковые.
Комбинация комбинаций векторов maaa ,...,, 21 снова будет комбинацией тех же
векторов.
Пример 1. Запишем какую-нибудь комбинацию заданных векторов логического
пространства, приведенного в примере выше.
( ) ( ) =∨∨∨=∨=∨= aaabba zyxxzyzyxQPQPaau γββαα 83622211
( ) .81142 QPQPzyxzyzyzyx aaaaabba ∨=∨∨∨= γβ
Здесь мы выполняли скалярно-векторное произведение. Оно совершалось по
правилам логического умножения предикатов.
Другие примеры комбинаций векторов можно найти в [8].
Пример 2. Теперь образуем все комбинации каких-нибудь векторов этого же
логического пространства. Для примера возьмем векторы 6Q и 9Q . Результаты при-
ведены в табл. 3, где i – индекс при скаляре P , j – индекс при векторе Q .
Формальное описание логического пространства
«Штучний інтелект» 3’3008 785
8-Ч
Таблица 3 – Комбинации векторов 6Q и 9Q логического пространства
шаг Входные
индексы
Выходные
индексы
ша
г
Входные
индексы
Выходные
индексы
1i
1j
2i
2j
1j
1j 2i 2j 1i 1j
2i 2j
1i 1j 2i
2j
1 0 6 0 9 0 33 4 6 0 9 4 6
2 0 6 1 9 1 9 34 4 6 1 9 4 6 1 9
3 0 6 2 9 2 9 35 4 6 2 9 4 6 2 9
4 0 6 3 9 3 9 36 4 6 3 9 4 6 3 9
5 0 6 4 9 4 9 37 4 6 4 9 4 15
6 0 6 5 9 5 9 38 4 6 5 9 4 15 1 9
7 0 6 6 9 6 9 39 4 6 6 9 4 15 2 9
8 0 6 7 9 7 9 40 4 6 7 9 4 15 3 9
9 1 6 0 9 1 6 41 5 6 0 9 5 6
10 1 6 1 9 1 15 42 5 6 1 9 4 6 1 15
11 1 6 2 9 1 6 2 9 43 5 6 2 9 5 6 2 9
12 1 6 3 9 1 15 2 9 44 5 6 3 9 5 6 3 9
13 1 6 4 9 1 6 4 9 45 5 6 4 9 1 6 4 15
14 1 6 5 9 1 15 4 9 46 5 6 5 9 5 15
15 1 6 6 9 1 6 6 9 47 5 6 6 9 5 6 6 9
16 1 6 7 9 1 15 6 9 48 5 6 7 9 5 15 2 9
17 2 6 0 9 2 6 49 6 6 0 9 6 6
18 2 6 1 9 2 6 1 9 50 6 6 1 9 6 6 1 9
19 2 6 2 9 2 15 51 6 6 2 9 4 6 2 15
20 2 6 3 9 2 15 1 9 52 6 6 3 9 6 6 3 9
21 2 6 4 9 2 6 4 9 53 6 6 4 9 2 6 4 15
22 2 6 5 9 2 6 5 9 54 6 6 5 9 6 6 5 9
23 2 6 6 9 2 15 4 9 55 6 6 6 9 6 15
24 2 6 7 9 2 15 5 9 56 6 6 7 9 6 15 1 9
25 3 6 0 9 3 6 57 7 6 0 9 7 6
26 3 6 1 9 2 6 1 15 58 7 6 1 9 6 6 1 15
27 3 6 2 9 1 6 2 15 59 7 6 2 9 5 6 2 15
28 3 6 3 9 3 15 60 7 6 3 9 4 6 3 15
29 3 6 4 9 3 6 4 9 61 7 6 4 9 3 6 4 15
30 3 6 5 9 3 6 5 9 62 7 6 5 9 2 6 5 15
31 3 6 6 9 3 6 6 9 63 7 6 6 9 1 6 6 15
32 3 6 7 9 3 15 4 9 64 7 6 7 9 7 15
Таблица 4 – Комбинации векторов 6Q и 9Q на шагах 30, 31, 44, 47, 52, 54
шаг Входные индексы Выходные индексы
1i
1j 2i 2j 1i 1j 2i 2j 3i 3j
30 3 6 5 9 2 6 4 9 1 15
31 3 6 6 9 1 6 4 9 2 15
44 5 6 3 9 4 6 2 9 1 15
47 5 6 6 9 1 6 2 9 4 15
52 6 6 3 9 4 6 1 9 2 15
54 6 6 5 9 2 6 1 9 4 15
Комбинации векторов на шагах 30, 31, 44, 47, 52, 54 рассмотрены подроб-
нее в табл. 4.
Четвериков Г.Г., Вечирская И.Д.
«Искусственный интеллект» 3’2008 786
8-Ч
Комбинация векторов, все коэффициенты которой равны нулю, называется три-
виальной. У нетривиальной комбинации векторов хотя бы один коэффициент равен
единице [8]. Таким образом, тривиальная комбинация любых векторов равна нулю.
Пример 3. В приведенном в примере логическом пространстве скаляр 0P и
вектор 0Q являются нулевыми, а скаляр 7P и вектор 15Q – соответственно единичными
скаляром и вектором. Выполнение всех свойств нуля и единицы, указанных в
определении логического пространства, следует из свойств предикатов, соответственно
тождественно равных нулю и единице.
Пример 4. Следующая комбинация векторов 10Q и 11Q
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 000
,, 110100110100
=∨∨⋅∨∨⋅=
=∨=∨=
bbabaaabaa zyzyzyzyzy
zyQxPzyQxPQPQPu
является тривиальной комбинацией векторов.
Комбинация же векторов 6Q и 8Q из примера 1 нетривиальна.
Если вектор u можно представить в виде комбинации векторов maaa ,...,, 21 , то
говорят, что u зависит от векторов maaa ,...,, 21 . Таким образом, нулевой вектор
зависит от любой непустой совокупности векторов. Если вектор u невозможно
выразить через какую бы то ни было комбинацию векторов maaa ,...,, 21 , то говорят,
что u не зависит от векторов maaa ,...,, 21 .
Пример 5. Укажем пример вектора, зависящего от векторов какой-либо
системы в некотором логическом пространстве.
Пусть { }cbaG ,,= , { }baM ,= . Скаляры – всевозможные унарные предикаты типа
( )xP на G ; векторы – всевозможные бинарные предикаты типа ( )yxQ , на MM × .
Далее выпишем в табл. 5 всевозможные векторы и скаляры этого логического
пространства.
Таблица 5 – Представление скаляров 0P – 7P логического пространства
x 0P 1P 2P 3P 4P 5P 6P 7P
a 0 0 0 0 1 1 1 1
b 0 0 1 1 0 0 1 1
c 0 1 0 1 0 1 0 1
Всего представлено 8 скаляров.
Выписываем в табл. 6 – 7 векторы:
Таблица 6 – Представление векторов 0Q – 7Q логического пространства
x y
0Q 1Q 2Q 3Q 4Q 5Q 6Q 7Q
a a 0 0 0 0 0 0 0 0
a b 0 0 0 0 1 1 1 1
b a 0 0 1 1 0 0 1 1
b b 0 1 0 1 0 1 0 1
Таблица 7 – Представление векторов 8Q – 15Q логического пространства
x y
8Q 9Q 10Q 11Q 12Q 13Q 14Q 15Q
a a 1 1 1 1 1 1 1 1
a b 0 0 0 0 1 1 1 1
b a 0 0 1 1 0 0 1 1
b b 0 1 0 1 0 1 0 1
Формальное описание логического пространства
«Штучний інтелект» 3’3008 787
8-Ч
Всего представлено 16 векторов.
Для того чтобы были зависимые векторы, необходимо, чтобы у векторов и
скаляров пересекались как переменные, от которых они зависят, так и их области
значений.
( ) ( ) 28362 QyxyxxxyxyxxQPQP abaacbabbab ==∨∨∨=∨ .
Таким образом, вектор 2Q зависит от векторов 6Q и 8Q .
Введем понятие независимой системы векторов как непустой системы
{ } { }m
m
kk aaaa ,...,, 211 == , у которой каждый из векторов, входящих в систему векторов,
не зависит от остальных её векторов. Иначе, другими словами, можно сказать, что
система называется независимой, если ни один из векторов системы нельзя
представить через комбинацию остальных.
Таким образом, любая система, состоящая из одного ненулевого вектора,
считается независимой. Вектор 0 не входит ни в какую независимую систему
векторов, содержащую ненулевые векторы. Зависимая система векторов содержит
хотя бы один вектор, зависящий от остальных.
Утверждение. Если совокупность векторов { }maaa ,...,, 21 независима, а
совокупность векторов { }121 ,,...,, +mm aaaa зависима, то вектор 1+ma есть комбинация
векторов maaa ,...,, 21 .
Каждая подсистема независимой системы векторов тоже будет независимой.
Независимость системы векторов, таким образом, является «наследственным»
свойством.
Пример 6. Образуем какую-нибудь независимую систему векторов. Для этого
возьмем какую-нибудь систему векторов и исключим из нее зависимые векторы.
В качестве исходной берем { }862 ,, QQQ из пространства, приведенного в преды-
дущем примере. Вектор 2Q зависит от векторов 6Q и 8Q , исключив его, получим
систему { }86 ,QQ . Доказываем, что эти векторы не зависят друг от друга. Аналогич-
ными вычислениями убеждаемся, что из 6Q нельзя получить 8Q ни при каком значе-
нии коэффициента: 060 QQP = , 061 QQP = , 262 QQP = , 263 QQP = , 464 QQP = , 465 QQP = ,
666 QQP = , 667 QQP = . Таким же образом убеждаемся, что из 8Q нельзя получить 6Q :
080 QQP = , 081 QQP = , 082 QQP = , 083 QQP = , 884 QQP = , 885 QQP = , 886 QQP = , 887 QQP = .
Получили независимую систему { }86 ,QQ .
Совокупность векторов называется порождающей, если все векторы простран-
ства M являются их комбинациями.
Пример 7. Отыщем какую-нибудь порождающую совокупность векторов неко-
торого логического пространства, которая была бы независимая.
В алгебре из примера 5 порождающей будет, например, система векторов
{ }123,QQ . Система независима: 0120 QQP = , 0121 QQP = , 0122 QQP = , 0123 QQP = , 12124 QQP = ,
12125 QQP = , 12126 QQP = , 12127 QQP = ; 030 QQP = , 031 QQP = , 332 QQP = , 333 QQP = , 034 QQP = ,
035 QQP = , 336 QQP = , 337 QQP = . В системе должно быть два вектора, так как из
одного мы можем получить восемь, а нам надо 16, необходимо два вектора (хоть и
избыток выйдет). 8 скаляров × 8 векторов = 64 вектора. Надо еще проверить,
получим ли все векторы. Результаты проверки записаны в табл. 8.
Оказывается, получаем. Так что система векторов { }123,QQ порождает все
пространство бинарных предикатов ( ) { }( )bayxyxQ ,, , ∈ над полем унарных преди-
катов ( ) { }( )cbaxxP ,, ∈ .
Четвериков Г.Г., Вечирская И.Д.
«Искусственный интеллект» 3’2008 788
8-Ч
Таблица 8 – Представление комбинаций векторов 3Q и 12Q
шаг Входные индексы Выходные
индексы
шаг Входные индексы Выходные
индексы
1i 1j 2i 2j j 1i 1j 2i 2j j
1 0 3 0 12 0 33 4 3 0 12 0
2 0 3 1 12 0 34 4 3 1 12 0
3 0 3 2 12 0 35 4 3 2 12 0
4 0 3 3 12 0 36 4 3 3 12 0
5 0 3 4 12 12 37 4 3 4 12 12
6 0 3 5 12 12 38 4 3 5 12 12
7 0 3 6 12 12 39 4 3 6 12 12
8 0 3 7 12 12 40 4 3 7 12 12
9 1 3 0 12 0 41 5 3 0 12 0
10 1 3 1 12 0 42 5 3 1 12 0
11 1 3 2 12 0 43 5 3 2 12 0
12 1 3 3 12 0 44 5 3 3 12 0
13 1 3 4 12 12 45 5 3 4 12 12
14 1 3 5 12 12 46 5 3 5 12 12
15 1 3 6 12 12 47 5 3 6 12 12
16 1 3 7 12 12 48 5 3 7 12 12
17 2 3 0 12 3 49 6 3 0 12 3
18 2 3 1 12 3 50 6 3 1 12 3
19 2 3 2 12 3 51 6 3 2 12 3
20 2 3 3 12 3 52 6 3 3 12 3
21 2 3 4 12 15 53 6 3 4 12 15
22 2 3 5 12 15 54 6 3 5 12 15
23 2 3 6 12 15 55 6 3 6 12 15
24 2 3 7 12 15 56 6 3 7 12 15
25 3 3 0 12 3 57 7 3 0 12 3
26 3 3 1 12 3 58 7 3 1 12 3
27 3 3 2 12 3 59 7 3 2 12 3
28 3 3 3 12 3 60 7 3 3 12 3
29 3 3 4 12 15 61 7 3 4 12 15
30 3 3 5 12 15 62 7 3 5 12 15
31 3 3 6 12 15 63 7 3 6 12 15
32 3 3 7 12 15 64 7 3 7 12 15
Выводы и перспективы дальнейших исследований
Логическая алгебра имеет сходство с линейной алгеброй [12]. Аналогия имеется как
в общей архитектуре этих теорий, так и во многих конкретных свойствах этих алгебр.
Логическая алгебра охватывает лишь небольшую часть механизма естественного языка,
но зато – часть наиболее фундаментальную. Точно так же линейная алгебра охватывает
своей аксиоматической теорией лишь небольшую часть современной математики, но зато
эта часть – центральная для всей математики. На базе линейной алгебры затем строят
весьма «нелинейные» разделы математики (например, учения о тензорах [13], о по-
лилинейных операторах [12], о метрике [14], о проективных преобразованиях [13] и т.д.).
Точно так же математические построения, которые создаются на базе логической алгеб-
ры, также выходят далеко за ее пределы, и, таким образом, логическая алгебра оказы-
вается фундаментом и сердцевиной всей логической математики. В частности, логическая
Формальное описание логического пространства
«Штучний інтелект» 3’3008 789
8-Ч
алгебра является основой аксиоматического изучения любых алгебр предикатов и алгебр
предикатных операций [6], (а также алгебр предикатов высших ступеней и алгебр
операций над предикатными операциями высших ступеней). При переходе от алгебры
предикатов к алгебре предикатных операций многие их свойства сохраняются. То же
наблюдается и с операциями высших ступеней. Именно на такого рода свойствах сосре-
доточивает свое внимание логическая алгебра. (Благодаря такому подходу, логическая
алгебра оказывается способной охватить огромное количество логико-математических
структур.) Понятию логического пространства соответствует в линейной алгебре понятие
линейного пространства. Науку, изучающую свойства линейного пространства, называют
линейным анализом [15]. Пользуясь аналогией, учение о свойствах логического
пространства назовем логическим анализом. При употреблении термина «логический
анализ» Рассел [16] понимает под ним науку, изучающую различные философские про-
блемы логическими средствами. Как известно, одной из философских проблем является
изучение природы интеллекта. «Нам представляется, что логическая алгебра может
служить тем математическим инструментом, с помощью которого можно будет успешно
вести такое изучение» [8].
Литература
1. Гладкий А.В. Формальные грамматики и языки. – М.: Наука, 1973. – 368 с.
2. Широков В.А. Інформаційна теорія лексикографічних систем. – К.: Довіра, 1998. – 331 с.
3. Широков В.А. Феноменологія лексикографічних систем. – К.: Наукова думка, 2004. – 327 с.
4. Широков В.А. Очерк основных принципов квантовой лингвистики // Бионика интеллекта: Научн.-техн.
журнал. – Х.: Изд-во ХНУРЭ, 2007. – № 1(66). – С. 25-32.
5. Жюль К.К. Вступ до сучасної логіки. – К.: Либідь, 2002. – 152 с.
6. Бондаренко М.Ф., Шабанов-Кушнаренко Ю.П. Теория интеллекта. – Харьков: СМИТ, 2006. – 576 с.
7. Бондаренко М.Ф., Коноплянко З.Д., Четвериков Г.Г. Основи теорії багатозначних структур і кодування
в системах штучного інтелекту. – Харків: Фактор-друк, 2003. – 336 с.
8. Шабанов-Кушнаренко Ю.П. Логическая алгебра // Проблемы бионики: Сб. науч. трудов. – Харьков,
1991. – Вып. 46. – С. 3-10.
9. Мальцев А.И. Алгебраические системы. – М.: Наука, 1970. – 392 с.
10. Голдблатт. Топосы. Категорный анализ логики. – М.: Мир, 1983. – 486 с.
11. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов: Учебник для вузов. – 2-е изд. – СПб.: Питер,
2005. – 364 с.
12. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. – М.: Наука, 1975. – 400 с.
13. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. – М.: Наука, 1971. – 272 с.
14. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. – М.: Наука, Главная редакция физико-
математической литературы, 1984. – 320 с.
15. Глазман И.М., Любич Ю.И. Конечномерный линейный анализ. – М., 1969. – 475 с.
16. Рассел Б. История западной философии. – М., 1959. – 932 с.
Г.Г. Четвериков, І.Д. Вечірська
Формальний опис логічного простору
Дістала подальшого розвитку теорія логічного поля, логічного векторного простору, що дає
можливість визначити клас задач, які розв’язують за допомогою лінійних логічних перетворень.
Наведено предикатну інтерпретацію логічного простору, що служить в свою чергу проміжним етапом
між формалізацією природномовної задачі та її програмною реалізацією.
G.G. Chetverikov, I.D. Vechirska
The Formal Description of Logical Field
The theory of logical field, logical vector space are developed. Its allow to define the class of tasks, wich we
can solve using linear logical transformations. The predicate interpretation of logical space is leaded. It is a
milestone in formalization of natural language problem and its software support.
Статья поступила в редакцию 10.07.2008.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-7165 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1561-5359 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T06:06:15Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Четвериков, Г.Г. Вечирская, И.Д. 2010-03-25T12:20:05Z 2010-03-25T12:20:05Z 2008 Формальное описание логического пространства / Г.Г. Четвериков, И.Д. Вечирская // Штучний інтелект. — 2008. — № 3. — С. 781-789. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 1561-5359 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7165 519.7:007.52; 519.711.3 Развита теория логического поля, логического векторного пространства, что позволяет определить класс задач, решаемых с помощью линейных логических преобразований. Приведена предикатная интерпретация логического пространства, которая является в свою очередь промежуточным этапом между формализацией естественноязыковой задачи и ее программной реализацией. Дістала подальшого розвитку теорія логічного поля, логічного векторного простору, що дає можливість визначити клас задач, які розв’язують за допомогою лінійних логічних перетворень. Наведено предикатну інтерпретацію логічного простору, що служить в свою чергу проміжним етапом між формалізацією природномовної задачі та її програмною реалізацією. The theory of logical field, logical vector space are developed. Its allow to define the class of tasks, wich we can solve using linear logical transformations. The predicate interpretation of logical space is leaded. It is a milestone in formalization of natural language problem and its software support. ru Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України Архитектура, алгоритмическое и программное обеспечение интеллектуальных многопроцессорных систем Формальное описание логического пространства Формальний опис логічного простору The Formal Description of Logical Field Article published earlier |
| spellingShingle | Формальное описание логического пространства Четвериков, Г.Г. Вечирская, И.Д. Архитектура, алгоритмическое и программное обеспечение интеллектуальных многопроцессорных систем |
| title | Формальное описание логического пространства |
| title_alt | Формальний опис логічного простору The Formal Description of Logical Field |
| title_full | Формальное описание логического пространства |
| title_fullStr | Формальное описание логического пространства |
| title_full_unstemmed | Формальное описание логического пространства |
| title_short | Формальное описание логического пространства |
| title_sort | формальное описание логического пространства |
| topic | Архитектура, алгоритмическое и программное обеспечение интеллектуальных многопроцессорных систем |
| topic_facet | Архитектура, алгоритмическое и программное обеспечение интеллектуальных многопроцессорных систем |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7165 |
| work_keys_str_mv | AT četverikovgg formalʹnoeopisanielogičeskogoprostranstva AT večirskaâid formalʹnoeopisanielogičeskogoprostranstva AT četverikovgg formalʹniiopislogíčnogoprostoru AT večirskaâid formalʹniiopislogíčnogoprostoru AT četverikovgg theformaldescriptionoflogicalfield AT večirskaâid theformaldescriptionoflogicalfield |