Представления и разложения взвешенных псевдообратных матриц, итерационные методы и регуляризация задач. I. Положительно-определенные веса

Представления и разложения взвешенных псевдообратных матриц, итерационные методы и регуляризация задач. I. Положительно-определенные веса

Наведено огляд робіт, присвячених зображенням і розвиненням зважених псевдообернених матриць з додатно-означеними вагами та побудові ітераційних методів і регуляризованих задач для обчислення зважених псевдообернених матриць і зважених нормальних псевдорозв'язків. Розглянуто питання використанн...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:Кибернетика и системный анализ
Datum:2008
Hauptverfasser: Сергиенко, И.В., Галба, Е.Ф., Дейнека, В.С.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2008
Schlagworte:
Системный анализ
Online Zugang:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/71922
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Представления и разложения взвешенных псевдообратных матриц, итерационные методы и регуляризация задач. I. Положительно-определенные веса / И.В. Сергиенко, Е.Ф. Галба, В.С. Дейнека // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 1. — С.47-73. — Бібліогр.: 87 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-71922
record_format dspace
spelling Сергиенко, И.В.
Галба, Е.Ф.
Дейнека, В.С.
2014-12-14T15:33:01Z
2014-12-14T15:33:01Z
2008
Представления и разложения взвешенных псевдообратных матриц, итерационные методы и регуляризация задач. I. Положительно-определенные веса / И.В. Сергиенко, Е.Ф. Галба, В.С. Дейнека // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 1. — С.47-73. — Бібліогр.: 87 назв. — рос.
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/71922
512.64:519.61
Наведено огляд робіт, присвячених зображенням і розвиненням зважених псевдообернених матриць з додатно-означеними вагами та побудові ітераційних методів і регуляризованих задач для обчислення зважених псевдообернених матриць і зважених нормальних псевдорозв'язків. Розглянуто питання використання побудованих методів для розв'язування задач найменших квадратів з обмеженнями.Наведено огляд робіт зображень і розвинення зважених псевдообернених матриць із додатно-напіввизначеними вагами та побудови ітераційних методів і регуляризованих задач для обчислення зважених псевдообернених матриць і зважених нормальних псевдорозв'язків на базі цих зображень і розвинень. Розглянуто питання використання побудованих методів для розв'язування задач найменших квадратів із обмеженнями.
ru
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
Кибернетика и системный анализ
Системный анализ
Представления и разложения взвешенных псевдообратных матриц, итерационные методы и регуляризация задач. I. Положительно-определенные веса
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Представления и разложения взвешенных псевдообратных матриц, итерационные методы и регуляризация задач. I. Положительно-определенные веса
spellingShingle Представления и разложения взвешенных псевдообратных матриц, итерационные методы и регуляризация задач. I. Положительно-определенные веса
Сергиенко, И.В.
Галба, Е.Ф.
Дейнека, В.С.
Системный анализ
title_short Представления и разложения взвешенных псевдообратных матриц, итерационные методы и регуляризация задач. I. Положительно-определенные веса
title_full Представления и разложения взвешенных псевдообратных матриц, итерационные методы и регуляризация задач. I. Положительно-определенные веса
title_fullStr Представления и разложения взвешенных псевдообратных матриц, итерационные методы и регуляризация задач. I. Положительно-определенные веса
title_full_unstemmed Представления и разложения взвешенных псевдообратных матриц, итерационные методы и регуляризация задач. I. Положительно-определенные веса
title_sort представления и разложения взвешенных псевдообратных матриц, итерационные методы и регуляризация задач. i. положительно-определенные веса
author Сергиенко, И.В.
Галба, Е.Ф.
Дейнека, В.С.
author_facet Сергиенко, И.В.
Галба, Е.Ф.
Дейнека, В.С.
topic Системный анализ
topic_facet Системный анализ
publishDate 2008
language Russian
container_title Кибернетика и системный анализ
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
format Article
description Наведено огляд робіт, присвячених зображенням і розвиненням зважених псевдообернених матриць з додатно-означеними вагами та побудові ітераційних методів і регуляризованих задач для обчислення зважених псевдообернених матриць і зважених нормальних псевдорозв'язків. Розглянуто питання використання побудованих методів для розв'язування задач найменших квадратів з обмеженнями.Наведено огляд робіт зображень і розвинення зважених псевдообернених матриць із додатно-напіввизначеними вагами та побудови ітераційних методів і регуляризованих задач для обчислення зважених псевдообернених матриць і зважених нормальних псевдорозв'язків на базі цих зображень і розвинень. Розглянуто питання використання побудованих методів для розв'язування задач найменших квадратів із обмеженнями.
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/71922
citation_txt Представления и разложения взвешенных псевдообратных матриц, итерационные методы и регуляризация задач. I. Положительно-определенные веса / И.В. Сергиенко, Е.Ф. Галба, В.С. Дейнека // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 1. — С.47-73. — Бібліогр.: 87 назв. — рос.
work_keys_str_mv AT sergienkoiv predstavleniâirazloženiâvzvešennyhpsevdoobratnyhmatriciteracionnyemetodyiregulârizaciâzadačipoložitelʹnoopredelennyevesa
AT galbaef predstavleniâirazloženiâvzvešennyhpsevdoobratnyhmatriciteracionnyemetodyiregulârizaciâzadačipoložitelʹnoopredelennyevesa
AT deinekavs predstavleniâirazloženiâvzvešennyhpsevdoobratnyhmatriciteracionnyemetodyiregulârizaciâzadačipoložitelʹnoopredelennyevesa
first_indexed 2025-11-24T19:31:16Z
last_indexed 2025-11-24T19:31:16Z
_version_ 1850491168370982912
fulltext È.Â. ÑÅÐÃÈÅÍÊÎ, Å.Ô. ÃÀËÁÀ, Â.Ñ. ÄÅÉÍÅÊÀ ÓÄÊ 512.64 : 519.61 ÏÐÅÄÑÒÀÂËÅÍÈß È ÐÀÇËÎÆÅÍÈß ÂÇÂÅØÅÍÍÛÕ ÏÑÅÂÄÎÎÁÐÀÒÍÛÕ ÌÀÒÐÈÖ, ÈÒÅÐÀÖÈÎÍÍÛÅ ÌÅÒÎÄÛ È ÐÅÃÓËßÐÈÇÀÖÈß ÇÀÄÀ×. I. ÏÎËÎÆÈÒÅËÜÍÎ-ÎÏÐÅÄÅËÅÍÍÛÅ ÂÅÑÀ Êëþ÷åâûå ñëîâà: âçâåøåííûå ïñåâäîîáðàòíûå ìàòðèöû, âçâåøåííûå íîðìàëüíûå ïñåâäîðåøåíèÿ, ïðåäñòàâëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö, ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö, ðåãóëÿðèçàöèÿ, èòåðàöèîííûå ìåòîäû, çàäà÷è íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ñ îãðàíè÷åíèÿìè. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Îïðåäåëåíèå âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííû- ìè âåñàìè âïåðâûå áûëî äàíî â 1964 ãîäó â ðàáîòå [1].  1968 ãîäó â [2] ââå- äåíî ïîíÿòèå êîñîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû.  [3] ïîêàçàíî, ÷òî ìíîæåñòâî âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö, ââåäåííûõ â [1], ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñ- òâîì êîñûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö, ââåäåííûõ â [2]. Îòìåòèì, ÷òî â 1961 ãîäó â [4] èñïîëüçîâàëñÿ ÷àñòíûé ñëó÷àé âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðè- öû.  ðÿäå ðàáîò (ñì., íàïðèìåð, [5–7]) èññëåäîâàëàñü ML-âçâåøåííàÿ ïñåâäîèíâåðñèÿ. Ðàçëè÷íûå âèäû ïñåâäîèíâåðñèè è åå ïðèëîæåíèé ðàññìàòðè- âàëèñü â [8–11]. Áîëüøîé îáçîð ëèòåðàòóðû ïî ðàçëè÷íûì âèäàì ïñåâäîèíâåðñèè èìååòñÿ â [12].  äàëüíåéøåì, åñëè íå îãîâîðåíî ïðîòèâíîå, â íàñòîÿùåé ðàáîòå áóäåò ðàññìàòðèâàòüñÿ âçâåøåííàÿ ïñåâäîèíâåðñèÿ, îïðåäåëåííàÿ â [1–3]. Òàê êàê âçâåøåííàÿ ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðèöà ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè [1–3] ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû Ìóðà–Ïåíðîóçà [13, 14], åå èññëåäîâàíèå ïðåäñòàâëÿåò òåîðåòè÷åñêèé èíòåðåñ ñ òî÷êè çðåíèÿ îáîáùåíèÿ ñâîéñòâ ïñåâäîîáðàùåíèÿ ïî Ìóðó–Ïåíðîóçó. Êðîìå òîãî, èíòåðåñ ê âçâåøåííûì ïñåâäîîáðàòíûì ìàòðèöàì â çíà÷èòåëüíîé ñòåïåíè îáóñëîâëåí èõ ïðèëîæåíèÿìè.  ÷àñòíîñòè, ýòî çàäà÷è íàáëþäåíèÿ è óïðàâëåíèÿ [1, 15, 16], ñòàòèñòèêè [8, 11, 17–19], èäåíòèôèêàöèè [20], íåëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ [21], çàäà÷è íàè- ìåíüøèõ êâàäðàòîâ ñ îãðàíè÷åíèÿìè [7, 22], çàäà÷è âû÷èñëåíèÿ L- [23] è Lg-ïñåâäîðåøåíèé [20]. Ê çàäà÷àì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ñ îãðàíè÷åíèÿìè ïðèõîäÿò ïðè ìàòåìàòè÷åñêîì ìîäåëèðîâàíèè ïðîöåññîâ â ðàçëè÷íûõ ïðåäìåòíûõ îáëàñòÿõ: ôèçèêå, ýêîíîìèêå, îáùåñòâå [24]. Íàñòîÿùàÿ ðàáîòà íîñèò îáçîðíûé õàðàêòåð è íàïèñàíà ïðåèìóùåñòâåííî íà îñíîâå ñòàòåé àâòîðîâ, ïîñâÿùåííûõ ðàçâèòèþ òåîðèè âçâåøåííîé ïñåâäîèíâåðñèè â íàïðàâëåíèè èññëåäîâàíèÿ ñâîéñòâ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàò- íûõ ìàòðèö è âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé, ïîëó÷åíèÿ è èññëåäîâàíèÿ ïðåäñòàâëåíèé è ðàçëîæåíèé âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö, ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 47 © È.Â. Ñåðãèåíêî, Å.Ô. Ãàëáà, Â.Ñ. Äåéíåêà, 2008 à òàêæå èñïîëüçîâàíèþ ïîëó÷åííûõ ïðåäñòàâëåíèé è ðàçëîæåíèé âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö äëÿ ïîñòðîåíèÿ è èññëåäîâàíèÿ ðåãóëÿðèçîâàííûõ çàäà÷ è èòåðàöèîííûõ ìåòîäîâ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö, âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé, ðåøåíèÿ çàäà÷ íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ñ îãðàíè÷åíèÿìè. Äàííàÿ ðàáîòà ïîñâÿùåíà âçâåøåííîé ïñåâäîèíâåðñèè ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè. Èññëåäîâàíèþ âçâåøåííîé ïñåâäîèíâåð- ñèè ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè (ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûìè) áóäåò ïîñâÿùåíà îòäåëüíàÿ ñòàòüÿ. Ðàáîòà ñîñòîèò èç âîñüìè ðàçäåëîâ. Ðàçä. 1 íîñèò âñïîìîãàòåëüíûé õàðàêòåð.  íåì ïðèâåäåíû îïðåäåëåíèÿ, îáîçíà÷åíèÿ, ââåäåíû ìàòðè÷íûå è âåêòîðíûå íîðìû, ðàññìîòðåíû ñâîéñòâà âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ è ñèììåòðèçóåìûõ ìàòðèö.  ðàçä. 2 äàíû ïðåäñòàâëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â òåðìèíàõ êîýôôèöèåíòîâ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ ñèììåòðèçóåìûõ è ñèììåòðè÷íûõ ìàòðèö. Óñòàíàâëèâàåòñÿ ñâÿçü âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñî âçâåøåííûìè íîðìàëüíûìè ïñåâäîðåøåíèÿìè.  ðàçä. 3 ïîñòðîåíî âçâåøåííîå ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå ìàòðèö è ïñåâäîîáðàòíûõ ê íèì. Ðàçä. 4 ïîñâÿùåí ïîëó÷åíèþ è èññëåäîâàíèþ ðàçëîæåíèèé âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû è ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ ñ ïîëîæèòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ñòåïåíåé. Ðàçä. 5 ïîñâÿùåí òåì æå âîïðîñàì, ÷òî è ðàçä. 4, íî äëÿ ðàçëîæåíèé ñ îòðèöàòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ñòåïåíåé. Êðîìå òîãî, ïîëó÷åíû ìíîãî÷ëåííûå ïðåäåëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö, ïîñòðîåíû è èññëåäîâàíû ðåãóëÿðèçîâàííûå çàäà÷è äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðèáëèæåíèé ê âçâåøåí- íûì ïñåâäîîáðàòíûì ìàòðèöàì è âçâåøåííûì íîðìàëüíûì ïñåâäîðåøåíèÿì.  ðàçä. 6 ïðèâåäåíî è èññëåäîâàíî ðÿä èòåðàöèîííûõ ïðîöåññîâ ñ ðàçëè÷íûìè ñêîðîñòÿìè ñõîäèìîñòè äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðèáëèæåíèé ê ðåøåíèþ óêàçàííûõ âûøå çàäà÷.  ðàçä. 7 ïðèâåäåíû ôîðìóëû äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû ÷åðåç ïñåâäîîáðàòíóþ ìàòðèöó Ìóðà–Ïåíðîóçà è ÷àñòíûå âèäû âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö. Ðàçä. 8 ïîñâÿùåí àäàïòàöèè ìåòîäîâ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé äëÿ ïîñòðîåíèÿ àëãîðèòìîâ ðåøåíèÿ çàäà÷ íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ñ îãðàíè÷åíèÿìè. Îòìåòèì, ÷òî â ðàáîòå âåçäå ïðåäïîëàãàåòñÿ âåùåñòâåííîñòü èñïîëüçóåìûõ ñêàëÿðîâ, âåêòîðîâ, ìàòðèö è ïðîñòðàíñòâ. 1. ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈß, ÎÁÎÇÍÀ×ÅÍÈß, ÂÅÊÒÎÐÍÛÅ È ÌÀÒÐÈ×ÍÛÅ ÍÎÐÌÛ, ÑÈÌÌÅÒÐÈÇÓÅÌÛÅ ÌÀÒÐÈÖÛ Ââåäåì íåîáõîäèìûå äëÿ äàëüíåéøåãî èçëîæåíèÿ îáîçíà÷åíèÿ è îïðåäåëå- íèÿ. Îáîçíà÷èì R m n� ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ìàòðèö ðàçìåðà m n� . Ïóñòü A m n� �R , X n m� �R , à B m m� �R è C n n� �R — ñèììåòðè÷íûå ïî- ëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûå ìàòðèöû. Òîãäà âçâåøåííàÿ ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðè- öà äëÿ ìàòðèöû A îïðåäåëÿåòñÿ êàê åäèíñòâåííàÿ ìàòðèöà X A BC � � , óäîâëåòâîðÿþùàÿ ÷åòûðåì óñëîâèÿì [1, 3]: AXA A� , XAX X� , ( )BAX BAXT � , ( )CXA CXAT � . (1) Ïðè B C E� � , ãäå E — åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà, ñèñòåìà ìàòðè÷íûõ óðàâíåíèé (1) áóäåò îïðåäåëÿòü ïñåâäîîáðàòíóþ ìàòðèöó Ìóðà–Ïåíðîóçà [13, 14] ê ìàòðèöå A, êîòîðóþ îáîçíà÷èì A EE � . Îáîçíà÷èì R n n-ìåðíîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî íàä ïîëåì äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, ãäå âåêòîðû — ìàòðèöû ðàçìåðà n �1. Ïóñòü H — ñèììåòðè÷íàÿ 48 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà. Îáîçíà÷èì R n H( ) åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì ( , ) ( , )u v Hu vH E� è íîðìîé | | | | ( , ) /u u uH H � 1 2 , ãäå ( , )u v u vE T� . Îïðåäåëèì íîðìó ïðÿìîóãîëüíîé ìàòðèöû [25]. Ïóñòü A m n� �R , H m m� �R èV n n� �R — ñèììåòðè÷íûå ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûå ìàòðèöû, x — ïðîèçâîëüíûé âåêòîð èç R n . Íîðìó ìàòðèöû A ââåäåì ñîîòíîøåíèåì | | | | | | | | | | | | | | | | | / A AVx x H AVx HV x H E x E n m� � � � sup sup 0 0 1 2 | | | , x En (2) ãäå íèæíèé èíäåêñ ïðè åäèíè÷íîé ìàòðèöå îçíà÷àåò åå ðàçìåðíîñòü. Ïî àíàëîãèè ñ [26] ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ïðè òàêîì îïðåäåëåíèè íîðìà ìàòðèöû A ðàâíà | | | | [ ( )]max /A VA HAVHV T� � 1 2 , (3) ãäå � max ( )L — ìàêñèìàëüíîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ìàòðèöû L.  [25] ïîêàçàíî, ÷òî ôóíêöèÿ ìàòðèöû, îïðåäåëåííàÿ ôîðìóëîé (2), ÿâëÿåòñÿ àääèòèâíîé ìàòðè÷íîé íîðìîé. Ïóñòü A m p� �R , B p n� �R , à H m m� �R , V n n� �R , M p p� �R — ñèììåòðè÷ûå ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûå ìàòðèöû. Òîãäà äëÿ íîðìû ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ïðÿìîóãîëüíûõ ìàòðèö èìååì îöåíêó [25] | | | | | | | | | | | |AB A BHV HM M V � � 1 2 . Òåïåðü îïðåäåëèì íîðìó äëÿ êâàäðàòíîé ìàòðèöû [27]. Ïóñòü A n n� �R — ïðîèçâîëüíàÿ êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà, H n n� �R — ñèììåòðè÷íàÿ ïîëîæèòåëü- íî-îïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà, x — ïðîèçâîëüíûé âåêòîð èç R n . Íîðìó ìàòðèöû A îïðåäåëèì ñîîòíîøåíèåì | | | | | | | | | | | | | | / / / A Ax x H AH H x H x H H x � � � � � sup sup 0 0 1 2 1 2 1 2 | | | | | | . / E EH x1 2 (4) Ôóíêöèÿ | | | | H , îïðåäåëåííàÿ ôîðìóëîé (4), ÿâëÿåòñÿ ìóëüòèïëèêàòèâíîé ìàòðè÷íîé íîðìîé, êîòîðàÿ ðàâíà | | | | [ ( )]max / / /A H A HAHH T� � �� 1 2 1 2 1 2 . (5) Ìàòðè÷íàÿ íîðìà (4) ñîãëàñîâàíà ñ âåêòîðíîé íîðìîé, ò.å. | | | |Ax H � � | | | | | | | |A xH H . Çàìå÷àíèå 1. Èç (3) è (5) ñëåäóåò, ÷òî ââåäåííàÿ ñîîòíîøåíèåì (4) ìàòðè÷íàÿ íîðìà äëÿ êâàäðàòíûõ ìàòðèö ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ìàòðè÷íîé íîðìû, ââåäåííîé äëÿ ïðÿìîóãîëüíûõ ìàòðèö ôîðìóëîé (2), åñëè â ïîñëåäíåé ïîëîæèòü, ÷òî A — êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà è V H� � 1 2/ . Ïîýòîìó äëÿ íîðìû | | | |A H , ââåäåííîé ñîîòíîøåíèåì (4), ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ îáîçíà÷åíèåì | | | | /A HH � 1 2 . Îòìåòèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà ñèììåòðèçóåìûõ ìàòðèö.  íàñòîÿùåé ðàáîòå áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ ñëåäóþùèì îïðåäåëåíèåì ñèììåòðèçóåìûõ ìàòðèö. Îïðåäåëåíèå 1 [28]. Âåùåñòâåííàÿ ìàòðèöà U íàçûâàåòñÿ ñèììåòðèçóåìîé, åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ ñèììåòðè÷íàÿ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà H , íàçûâàåìàÿ ñèììåòðèçàòîðîì, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî U H HUT � . ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 49 Î÷åâèäíî, òðåòüå è ÷åòâåðòîå óñëîâèÿ â îïðåäåëåíèè âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè îçíà÷àþò, ÷òî ìàòðèöû AX è XA ñèììåòðèçóåìû ñèììåòðèçàòîðàìè B è C ñîîòâåòñòâåííî.  îòëè÷èå îò âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû äëÿ ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû Ìóðà–Ïåíðîóçà òðåòüå è ÷åòâåðòîå óñëîâèÿ ñîîòâåòñòâåííî îçíà÷àþò, ÷òî ìàòðèöû AX è XA ñèììåòðè÷íû. Ïîýòîìó ñèììåòðèçóåìûå ìàòðèöû èìåþò òàêîå æå âàæíîå çíà÷åíèå ïðè èññëåäîâàíèè âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö, êàê è ñèììåòðè÷íûå ìàòðèöû ïðè èññëåäîâàíèè ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö Ìóðà–Ïåíðîóçà. Îòìåòèì íåêîòîðûå èç ðàáîò, â êîòîðûõ îïðåäåëÿëèñü ñèììåòðèçóåìûå ìàòðèöû è èçó÷àëèñü èõ ñâîéñòâà. Ñèììåòðèçóåìàÿ ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ 1 ìàòðèöà U ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì H-ñèììåòðè÷íûõ ìàòðèö [29, 30], ãäå H ïðåäïîëàãàåòñÿ ñèììåòðè÷íîé íåâûðîæäåííîé çíàêîíåîïðåäåëåííîé ìàòðèöåé.  ðàáîòå [31] ìàòðèöà A íàçûâàåòñÿ ñèììåòðèçóåìîé, åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ ñèììåòðè÷íàÿ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà V , ÷òî âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî VA AVT � .  [32] ìàòðèöà X íàçûâàåòñÿ ïðàâûì (ëåâûì) ñèììåòðèçàòîðîì äëÿ A, åñëè AX XA( ) — ñèììåòðè÷íàÿ. Òîãäà ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ 1 ìàòðèöà U ñèììåòðèçóåìà ñëåâà, à ìàòðèöà A â [31] — ñïðàâà.  [33] îïðåäåëåíû ñèììåòðèçóåìûå ìàòðèöû ñ âûðîæäåííûìè (ïîëîæèòåëü- íî-ïîëóîïðåäåëåííûìè) ñèììåòðèçàòîðàìè.  ðàáîòå [34] ïðåäëîæåí àëãîðèòì äëÿ âû÷èñëåíèÿ ëåâîãî ñèììåòðèçàòîðà. Îïðåäåëåíèå 2[35]. Êâàäðàòíàÿ âåùåñòâåííàÿ ìàòðèöà Q íàçûâàåòñÿ H-âçâåøåííîé îðòîãîíàëüíîé (îðòîãîíàëüíîé ñ âåñîì H), åñëè åå ñòîëáöû îðòîíîðìàëüíû â ñìûñëå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ( , ) H , ò.å. åñëè âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå Q HQ ET � , ãäå H — ñèììåòðè÷íàÿ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà. Àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ýòî äîêàçûâàåòñÿ äëÿ ñèììåòðè÷íûõ ìàòðèö (ñì., íà- ïðèìåð, [28]), äëÿ ñèììåòðèçóåìûõ ìàòðèö ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî èõ ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ âåùåñòâåííû, à ñîáñòâåííûå âåêòîðû ñèììåòðèçóåìîé ìàòðèöû ñ ìàò- ðèöåé ñèììåòðèçàöèè H , ñîîòâåòñòâóþùèå ðàçëè÷íûì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì, îðòîãîíàëüíû â ñìûñëå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ( , ) H . Äëÿ ñèììåòðèçóåìûõ ìàòðèö èìååò ìåñòî [35] ñëåäóþùàÿ òåîðåìà. Òåîðåìà 1. Ñèììåòðèçóåìàÿ ñèììåòðèçàòîðîì H ìàòðèöà U ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà ê äèàãîíàëüíîé ôîðìå ñ ïîìîùüþ H-âçâåøåííîãî îðòîãîíàëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ, ò.å. cóùåñòâóåò òàêàÿ H-âçâåøåííàÿ îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà Q, ÷òî Q HUQT � , à ìàòðèöà U ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå U Q Q HT� , (6) ãäå � diag ( )� i , � i — ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû U . Îïðåäåëåíèå 3. Ïðåäñòàâëåíèå ñèììåòðèçóåìîé ìàòðèöû ôîðìóëîé (6) íàçûâàåòñÿ âçâåøåííûì ñïåêòðàëüíûì ðàçëîæåíèåì ýòîé ìàòðèöû ñ âåñîì H . Çàìå÷àíèå 2. Íåïîñðåäñòâåííîé ïðîâåðêîé óñòàíàâëèâàåòñÿ, ÷òî äëÿ íåâûðîæäåííîé ñèììåòðèçóåìîé ñèììåòðèçàòîðîì H ìàòðèöû U îáðàòíàÿ åé ìàòðèöà òàêæå ñèììåòðèçóåìà ñèììåòðèçàòîðîì H è ïðåäñòàâèìà â âèäå U Q Q HT� ��1 1 . (7) Âçâåøåííîå ñïåêòðàëüíîå ðàçëîæåíèå ìàòðèö èñïîëüçóåòñÿ äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïðåäåëüíûõ ïðåäñòàâëåíèé âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö [35], ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû [25], äëÿ ïîñòðîåíèÿ âçâåøåííîãî ñèíãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ ìàòðèö è 50 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ê íèì (ðàçä. 3). Äëÿ ñèììåòðèçóåìûõ ìàòðèö èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå ïðåäåëüíîå ïðåäñòàâëåíèå. Ëåììà 1. Äëÿ ñèììåòðèçóåìîé ñèììåòðèçàòîðîì H ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäå- ëåííîé â ñìûñëå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ( , ) H ìàòðèöû U èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå U U E U U U E� � � � � � � � � �lim ( ) lim ( ) � � � � 0 1 2 0 2 1. (8) Ôîðìóëû (7), (8) èñïîëüçóþòñÿ äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïðåäåëüíûõ ïðåäñòàâëåíèé âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö [35] àíàëîãè÷íî ñîîòâåòñòâóþùåé ïðîöåäóðå, ïðèâåäåííîé â [8], äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïðåäåëüíûõ ïðåäñòàâëåíèé ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö Ìóðà–Ïåíðîóçà. Ïðè èññëåäîâàíèè èòåðàöèîííûõ ïðîöåññîâ â ðÿäå ðàáîò èñïîëüçîâàëèñü îöåíêè äëÿ íîðìû ïðîèçâåäåíèÿ ñèììåòðèçóåìîé ñëåâà ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåí- íûì ñèììåòðèçàòîðîì è ïðîèçâîëüíîé ïðÿìîóãîëüíîé ìàòðèö è äëÿ íîðìû ïðî- èçâåäåíèÿ ïðîèçâîëüíîé ïðÿìîóãîëüíîé è ñèììåòðèçóåìîé ñëåâà ïîëîæèòåëü- íî-îïðåäåëåííûì ñèììåòðèçàòîðîì ìàòðèö, óñòàíîâëåííûå ñîîòâåòñòâåííî â [25] è [35]. Ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèé óêàçàííûõ ðàáîò ñôîðìóëèðóåì â âèäå ëåìì. Ëåììà 2. Ïóñòü A m n� �R , à L m m� �R — ñèììåòðèçóåìàÿ ñëåâà ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûì ñèììåòðèçàòîðîì H m m� �R ìàòðèöà, V n n� �R — ëþáàÿ ñèììåòðè÷íàÿ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà. Òîãäà | | | | | | | | | | | | ( )| | | |/LA L A L AHV HH HV HV� ��1 2 � , ãäå � ( )L — ñïåêòðàëüíûé ðàäèóñ ìàòðèöû L. Ëåììà 3. Ïóñòü A m n� �R , à L n n� �R — ñèììåòðèçóåìàÿ ñëåâà ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûì ñèììåòðèçàòîðîì V n n� �R ìàòðèöà, H m m� �R — ëþáàÿ ñèììåòðè÷íàÿ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà. Òîãäà | | | | | | | | | | | | ( )| | | |/ / / /AL L A L A HV VV HV HV� � � �� �1 2 1 2 1 2 1� 2 . Ïðè èññëåäîâàíèè ñâîéñòâ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ÷àñòî èñïîëüçóþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ äëÿ ðàíãîâ ìàòðèö, ñâÿçàííûõ ñî âçâåøåííîé ïñåâäîèíâåðñèåé, êîòîðîå óñòàíàâëèâàåò [35] ñëåäóþùàÿ ëåììà. Ëåììà 4. Ìàòðèöû A, A A BC � , C A BAT� 1 , A BACT �1, AC A BT�1 , A AC A BA BC T� � 1 èìåþò îäèí è òîò æå ðàíã. 2. ÂÇÂÅØÅÍÍÎÅ ÏÑÅÂÄÎÎÁÐÀÙÅÍÈÅ È ÂÇÂÅØÅÍÍÎÅ ÍÎÐÌÀËÜÍÎÅ ÏÑÅÂÄÎÐÅØÅÍÈÅ. ÏÐÅÄÑÒÀÂËÅÍÈÅ ÂÇÂÅØÅÍÍÛÕ ÏÑÅÂÄÎÎÁÐÀÒÍÛÕ ÌÀÒÐÈÖ Ñ ÏÎÌÎÙÜÞ ÕÀÐÀÊÒÅÐÈÑÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÌÍÎÃÎ×ËÅÍΠÑÈÌÌÅÒÐÈÇÓÅÌÛÕ ÌÀÒÐÈÖ Âîïðîñ ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè ðàññìàòðèâàëñÿ â [1, 2].  ðàáîòå [36] äîêàçàíî ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû ñ èñïîëüçîâàíèåì òåîðåìû Ãàìèëüòîíà–Êýëè, ÷òî äàëî âîçìîæíîñòü ïðåäñòàâèòü âçâåøåííóþ ïñåâäîîáðàòíóþ ìàòðèöó â òåðìèíàõ êîýôôèöèåíòîâ õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà ñèììåòðèçóåìîé ìàòðèöû. Òåîðåìà 2. Ìàòðèöà X A BC � � , îïðåäåëåííàÿ óñëîâèÿìè (1), ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííà. Îíà ïðåäñòàâèìà â âèäå ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 51 A C SA B BC T� �� 1 , (9) ãäå S f A BACT� �( )1 — ìíîãî÷ëåí îò ìàòðèöû A BACT �1 âèäà � S A BAC A BAC E k T k T k k� � � � �� � � � � �� � �1 1 1 1 1 2 1( ) ( ) � , (10) � p , p n�1, . . . , , — êîýôôèöèåíòû õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà f E A BACn n n T( ) . . . [ ]� � � � � �� � � � � �� � 1 1 1det , � k — ïîñëåäíèé, îòëè÷íûé îò íóëÿ êîýôôèöèåíò ýòîãî ìíîãî÷ëåíà. Cëåäñòâèå 1. Èç (9), (10) ñëåäóåò, ÷òî âçâåøåííàÿ ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðèöà A BC � èìååò òàêæå ïðåäñòàâëåíèÿ A S C A B C A BS C S C A B C A B S BC T T T T� � � � � �� � � �1 1 1 2 1 2 3 1 2 1 1 2 4 / / / B 1 2/ , ãäå S1, S 2 — ìíîãî÷ëåíû îò ñèììåòðèçóåìûõ ìàòðèö, à S 3 , S 4 — ìíîãî÷ëåíû îò ñèììåòðè÷íûõ ìàòðèö ñëåäóþùåãî âèäà: � S C A BA C A BA E k T k T k k1 1 1 1 1 1 2 1� � � � �� � � � � �� � �( ) ( ) . . . , � S AC A B AC A B E k T k T k k2 1 1 1 1 1 2 1� � � � �� � � � � �� � �( ) ( ) . . . , �S C A BAC k T k 3 1 1 2 1 2 1� � �� � � �� ( )/ / � � �� � � �� �1 1 2 1 2 2 1( )/ /C A BAC ET k k� , �S B AC A B k T k 4 1 1 2 1 1 2 1� � �� � �� ( )/ / � � �� � � � �� �1 1 2 1 1 2 2 1( )/ /B AC A B ET k k� . Cëåäñòâèå 2. Èç (9), (10) ñëåäóåò, ÷òî ñèììåòðèçóåìûå èäåìïîòåíòíûå ìàòðèöû A A BC � è AA BC � èìåþò ñëåäóþùèå ïðåäñòàâëåíèÿ: A A C SA BA f C A BA BC T T� � �� � �1 1( ) � � � � � �� � � � � �� � � k T k T k k TC A BA C A BA C A BA1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) . . . , AA AC SA B f AC A B BC T T� � �� � �1 1( ) � � � � � �� � � � � �� � � k T k T k k TAC A B AC A B AC A B1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) . . . . Cëåäñòâèå 3. Èìåþò ìåñòî ðàâåíñòâà SA BAC A A BAC SAT T T T� �� �1 1 � AT , A BAA A BT BC T� � , A AC A B C A B BC T T� � ��1 1 . Òàê êàê êàæäàÿ èç ìàòðèö A BACT � 1, C A BAT� 1 , AC A BT� 1 — ïðîèçâåäåíèå äâóõ ñèììåòðè÷íûõ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííîé è ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäå- ëåííîé ìàòðèö, èõ ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ íåîòðèöàòåëüíû è âåùåñòâåííû [37]. Îòíîñèòåëüíî ìàòðèö A A BC � è C A BAT� 1 (AA BC � è AC A BT� 1 ) èìååò ìåñòî 52 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå [25, 35]. Ëåììà 5. Ìàòðèöû A A BC � è C A BAT�1 (AA BC � è AC A BT�1 ) êîììóòèðóþò, èìåþò ïîëíóþ îáùóþ ñèñòåìó ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ è èõ íóëü-ïðîñòðàíñòâà ñîâïàäàþò. Èç ïðåäñòàâëåíèÿ âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû ôîðìóëîé (9) ñëåäó- åò ñîîòâåòñòâóþùåå ïðåäñòàâëåíèå ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû Ìóðà–Ïåíðîóçà, ïîëó- ÷åííîå â [38].  ðàáîòå [8] îïèñàí àëãîðèòì, ïîçâîëÿþùèé íà îñíîâå ïðåäñòàâëå- íèÿ ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû Ìóðà–Ïåíðîóçà â òåðìèíàõ êîýôôèöèåíòîâ õàðàê- òåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà ìàòðèöû A AT âû÷èñëÿòü ýòó ìàòðèöó. Ôîðìóëà (9) èñïîëüçîâàëàñü ïðè èññëåäîâàíèè ñâîéñòâ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè, â òîì ÷èñëå: ïðè îáîñíîâàíèè ðàçëîæåíèé âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû [25, 39], â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ [40], ïîëó÷åíèè è èññëåäîâàíèè ïðåäåëüíûõ ïðåäñòàâëåíèé âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàò- ðèö [35]. Çàìå÷àíèå 3. Ï ó ñ ò ü rk ( )A �1. Ò î ã ä à ñ î ã ë à ñ í î ë å ì ì å 4 rk ( )A BACT � �1 1 è íà îñíîâàíèè (9), (10) ïîëó÷àåì ôîðìóëó äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû ê ìàòðèöå A A BC � � � � � �[ ( )]tr A BAC C A BT T1 1 1 , êîãäà ðàíã ïîñëåäíåé ðàâåí åäèíèöå, ãäå tr ( )L — ñëåä ìàòðèöû L. Òåïåðü óñòàíîâèì ñâÿçü âçâåøåííîãî ïñåâäîîáðàùåíèÿ ìàòðèö ñî âçâåøåííûì íîðìàëüíûì ïñåâäîðåøåíèåì ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé (ÑËÀÓ) è ðåøåíèåì ïî ìåòîäó âçâåøåííûõ íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ. Ïóñòü Ax f x fn m� � �, ,R R , (11) — ÑËÀÓ ñ ïðîèçâîëüíîé ìàòðèöåé A m n� �R . Îïðåäåëåíèå 4. Âåêòîð x � , êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è: íàéòè min | | | | , min | | | | x C x Bx Ax f n� � � � � � Arg R , (12) íàçîâåì âçâåøåííûì íîðìàëüíûì ïñåâäîðåøåíèåì ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííû- ìè âåñàìè ñèñòåìû (11). Îïðåäåëåíèå 5. Âåêòîð x ( , )1 3 , êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è: íàéòè min | | | | x Bn Ax f � � R , íàçîâåì ðåøåíèåì ïî ìåòîäó âçâåøåííûõ íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûì âåñîì B ñèñòåìû (11). Îáîçíà÷èì Y A B n m� � �( , )1 3 R ìàòðèöó, óäîâëåòâîðÿþùóþ óñëîâèÿì AYA A� , ( )BAY BAYT � , ãäå B m m� �R — ñèììåòðè÷íàÿ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäå- ëåííàÿ ìàòðèöà, è óêàæåì íåêîòîðûå ñâîéñòâà ðåøåíèé ïî ìåòîäó âçâåøåííûõ íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ è âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé [36]. Ëåììà 6. Âåêòîð x A f B ( , ) ( , )1 3 1 3� óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ || | | min | | | |( , )Ax f Ax fB x B n 1 3 � � � �R . (13) Ñîãëàñíî ëåììå 6 âåêòîð x A f B ( , ) ( , )1 3 1 3� ìèíèìèçèðóåò âçâåøåííóþ íîðìó íåâÿçêè ñèñòåìû (11), ò.å. ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ïî ìåòîäó âçâåøåííûõ ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 53 íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ äàííîé ÑËÀÓ. Íî ýòî ðåøåíèå â îáùåì ñëó÷àå íååäèíñòâåííî. Ìíîæåñòâî ðåøåíèé ïî ìåòîäó âçâåøåííûõ íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ óñòàíàâëèâàåò ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå. Ëåììà 7. Ìíîæåñòâî âåêòîðîâ, óäîâëåòâîðÿþùèõ (13), îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé x A f E A A y B ( , ) ( , ) ( )( )1 3 1 3 1� � � , ãäå y — ïðîèçâîëüíûé âåêòîð èç R n , A ( )1 — ìàòðèöà, óäîâëåòâîðÿþùàÿ ïåðâîìó óñëîâèþ â (1). Òåîðåìà 3. Âåêòîð x A f BC � �� ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì ðåøåíèåì çàäà÷è (12), ò.å. âçâåøåííûì íîðìàëüíûì ïñåâäîðåøåíèåì ñèñòåìû (11). 3. ÂÇÂÅØÅÍÍÎÅ ÑÈÍÃÓËßÐÍÎÅ ÐÀÇËÎÆÅÍÈÅ È ÂÇÂÅØÅÍÍÎÅ ÏÑÅÂÄÎÎÁÐÀÙÅÍÈÅ ÌÀÒÐÈÖ Èçâåñòíî (ñì., íàïðèìåð, [24, 41]), ÷òî äëÿ ëþáîé âåùåñòâåííîé ïðÿìîóãîëüíîé ìàòðèöû ðàçìåðà m n� ñóùåñòâóþò òàêèå äâå îðòîãîíàëüíûå ìàòðèöû, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ èñõîäíóþ ìàòðèöó ìîæíî ïðèâåñòè ê ïðÿìîó- ãîëüíîé äèàãîíàëüíîé ìàòðèöå, ò.å. ê òàêîé ïðÿìîóãîëüíîé ìàòðèöå D, ÷òî dij � 0 äëÿ âñåõ i j� . Èç ïîëó÷åííîãî ñîîòíîøåíèÿ ñëåäóåò ôîðìóëà ðàçëîæåíèÿ ìàòðèöû ïî ñèíãóëÿðíûì ÷èñëàì. Íà îñíîâàíèè ñèíãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ ìàòðèöû ïîëó÷åíî ïðåäñòàâëåíèå äëÿ ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû Ìóðà–Ïåíðîóçà.  íàñòîÿùåì ðàçäåëå óêàçàííûå âûøå ðåçóëüòàòû îáîáùàþòñÿ [42] ñ öåëüþ èñïîëüçîâàíèÿ â ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ âçâåøåííûõ îðòîãîíàëüíûõ ìàòðèö. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû, ñâÿçàííûå ñî âçâåøåííûìè ñèíãóëÿðíûìè ÷èñëàìè, îáîáùàþò ñîîòâåòñòâóþùèå ñîîòíîøåíèÿ, ïîëó÷åííûå äëÿ îáû÷íûõ ñèíãóëÿðíûõ ÷èñåë. Òåîðåìà 4[42]. Äëÿ ìàòðèöû A m n� �R ñóùåñòâóþò âçâåøåííûå îðòîãîíàëüíûå ìàòðèöû U m m� �R è V n n� �R ñ âåñàìè B è C ñîîòâåòñòâåííî, òàêèå, ÷òî U BAV D d d d O m n T r m n m � � ��| | ( , , , , , , ) | |, ,diag åñëè di 1 2 0 0� � ag åñëè ( , , ... , , , ... , ) , , d d d O m n r m n n 1 2 0 0 � � � � �� � � � A UDV CT� , (15) ãäå B m m� �R è C n n� �R — ïðîèçâîëüíûå ñèììåòðè÷íûå ïîëîæèòåëü- íî-îïðåäåëåííûå ìàòðèöû, ñòîëáöû ìàòðèö U è V — îðòîíîðìèðîâàííûå ñîáñòâåííûå âåêòîðû â R m B( ) è R n C( ) ñèììåòðèçóåìûõ ìàòðèö AC A BT� 1 è C A BAT� 1 ñîîòâåòñòâåííî, à di — êâàäðàòíûå êîðíè èç ñîáñòâåííûõ çíà÷å- íèé ìàòðèö AC A BT� 1 , i m�1, . . . , , åñëè m n� , è C A BAT�1 , i n�1, . . . , , åñëè m n� , O k l k l� �R — íóëåâàÿ ìàòðèöà, r — ðàíã ìàòðèöû A. Îòìåòèì, ÷òî íåíóëåâûå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèö AC A BT�1 è C A BAT�1 ñîâïàäàþò êàê ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèö, ïîëó÷åííûõ â ðåçóëüòà- òå ïåðåñòàíîâêè ìàòðèö-ñîìíîæèòåëåé [43]. Îïðåäåëåíèå 6. Ðàçëîæåíèå âèäà (15) íàçûâàåòñÿ âçâåøåííûì ñèíãóëÿðíûì ðàçëîæåíèåì (ðàçëîæåíèåì ïî âçâåøåííûì ñèíãóëÿðíûì ÷èñëàì) ìàòðèöû A â îòëè÷èå îò ñèíãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ [24], êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ åãî ÷àñòíûì 54 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 ñëó÷àåì ïðè B C E� � . Îïðåäåëåíèå 7. Êâàäðàòíûå êîðíè èç îáùèõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìàòðèö AC A BT�1 è C A BAT�1 íàçûâàþòñÿ âçâåøåííûìè ñèíãóëÿðíûìè ÷èñëàìè ìàòðèöû A. Îòìåòèì, ÷òî èç âçâåøåííîãî ñèíãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ ìàòðèöû ñëåäóåò îáû÷íîå ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå ìàòðèöû, âçâåøåííîå ñïåêòðàëüíîå ðàçëîæåíèå ñèììåòðèçóåìîé ìàòðèöû è ñïåêòðàëüíîå ðàçëîæåíèå ñèììåòðè÷íîé ìàòðèöû. Ïóñòü D EE n m� ��R — äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà c íåíóëåâûìè ýëåìåíòàìè d dii i � �� , i r�1, . . . , , ãäå d di i � �� 1 , à di îïðåäåëåíû â òåîðåìå 4. Íåïîñðåäñòâåí- íîé ïðîâåðêîé óñëîâèé (1) íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ìàòðèöà D EE � ÿâëÿåòñÿ ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöåé Ìóðà-Ïåíðîóçà ê ìàòðèöå D. Òåîðåìà 5[42]. Âçâåøåííàÿ ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðèöà ê ìàòðèöå A îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé A VD U B BC EE T� �� , (16) ãäå ìàòðèöû A B C U V, , , , îïðåäåëåíû â òåîðåìå 4. Òàêèì îáðàçîì, âçâåøåííîå ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå ìàòðèöû ïîçâîëÿåò âû÷èñëèòü âçâåøåííóþ ïñåâäîîáðàòíóþ ê íåé ìàòðèöó. Äëÿ ýòîãî íåáõîäèìî ðàçðàáîòàòü óñòîé÷èâóþ ïðîöåäóðó îïðåäåëåíèÿ âçâåøåííûõ ñèíãóëÿðíûõ ÷èñåë è ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ñèììåòðèçóåìûõ ìàòðèö AC A BT�1 è C A BAT�1 . Îòìåòèì, ÷òî ñîçäàíèþ óñòîé÷èâîé ïðîöåäóðû äëÿ âû÷èñëåíèÿ îáû÷íûõ ñèíãóëÿðíûõ ÷èñåë ïîñâÿùåíî ðÿä ðàáîò (ñì., íàïðèìåð, [44, 45]). Ðåçóëüòàòû ýòèõ èññëåäîâàíèé ÿâèëèñü îñíîâîé ñîçäàíèÿ àëãîðèòìîâ è ïðîãðàìì äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñèíãóëÿðíûõ ÷èñåë, ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö è íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé [46]. Êðîìå ïðàêòè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé âçâåøåííîå ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå ìàòðèö ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíî äëÿ ðàçëè÷íûõ èññëåäîâàíèé, ñâÿçàííûõ ñî âçâåøåííîé ïñåâäîèíâåðñèåé ìàòðèö. Òàê, íàïðèìåð, âçâåøåííîå ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå ìàòðèö èñïîëüçîâàëîñü ïðè èññëåäîâàíèè ðàçëîæåíèé âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû è ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ â [39, 40, 47–49]. Îòìåòèì, ÷òî â ðàáîòå [50] äàíî äðóãîãî âèäà âçâåøåííîå ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå ìàòðèö è âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ê íèì, ÷åì îïðåäåëåííîå â íàñòîÿùåé ñòàòüå ôîðìóëàìè (15) è (16). Òàêîå âçâåøåííîå ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå ìàòðèö èñïîëüçîâàëîñü äëÿ ïîëó÷åíèÿ ôîðìóë ðàçëîæåíèé è ïðåäñòàâëåíèé âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè [51], äëÿ àíàëèçà âëèÿíèÿ âîçìóùåíèÿ èñõîäíûõ äàííûõ íà ðåøåíèå çàäà÷ âçâåøåííûõ íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ [52–54], ïðè ïîëó÷åíèè ôîðìóë ÷èñåë îáóñëîâëåííîñòè äëÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö è âçâåøåííûõ ÷èñåë îáóñëîâëåííîñòè äëÿ ÑËÀÓ [52, 55]. 4. ÐÀÇËÎÆÅÍÈÅ ÂÇÂÅØÅÍÍÛÕ ÏÑÅÂÄÎÎÁÐÀÒÍÛÕ ÌÀÒÐÈÖ Â ÌÀÒÐÈ×ÍÛÅ ÑÒÅÏÅÍÍÛÅ ÐßÄÛ È ÏÐÎÈÇÂÅÄÅÍÈß Ñ ÏÎËÎÆÈÒÅËÜÍÛÌÈ ÏÎÊÀÇÀÒÅËßÌÈ ÑÒÅÏÅÍÅÉ Â ðàáîòàõ [25, 56] äîêàçàíà ñõîäèìîñòü ìàòðè÷íîãî ñòåïåííîãî ðÿäà ñ ïîëîæèòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ñòåïåíåé ê âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöå, äëÿ ÷åãî èñïîëüçîâàíî ïðåäñòàâëåíèå âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â òåðìèíàõ êîýôôèöèåíòîâ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ ñèììåòðèçóåìûõ ìàòðèö, ïðèâåäåííîå â ðàçä. 2.  [48] äëÿ îöåíêè áëèçîñòè âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû è ñóììû ôèêñèðîâàííîãî ÷èñëà ÷ëåíîâ óêàçàííîãî ðÿäà èñïîëüçîâàí àïïàðàò âçâåøåííîãî ñèíãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ ìàòðèö, îïèñàííûé â ðàçä. 3. Äîêàçàíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 55 Òåîðåìà 6. Äëÿ A m n� � �0 R , ñèììåòðè÷íûõ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûõ ìàòðèö B è C òàêèõ, ÷òî C A BAT� 1 îïðåäåëåíî, è äëÿ äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà � òàêîãî, ÷òî 0 2 2� � �� dmax , (17) ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ A E C A BA C A B BC k T k T� � � � �� ��� � 0 1 1( ) , ( )18 | | | | max | |, /A A d d BC p CB d i i p i � � � �� � ��� �1 2 0 1 21{ }, (19) ãäå di — äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû ìàòðèöû D, îïðåäåëåííîé â (14), dmax — ìàêñèìàëüíûé äèàãîíàëüíûé ýëåìåíò ìàòðèöû D, A Ep k p � �, (� � � � �� 0 1 � � ��C A BA C A BT k T1 1) , p �1 2, , . . . Ñëåäñòâèå 4. Èç ôîðìóëû (18) âûòåêàåò ñïðàâåäëèâîñòü ñëåäóþùèõ ñîîòíîøåíèé: A C E A BAC A B BC k T k T� � � � �� � ��� � 0 1 1( ) � � � � � � � � ��� � k T k TC E C A BAC C A B 0 1 2 1 2 1 2 1 2/ / / /( ) � � � � � � � � � � � �� �� � � � k T T k k T TC A B E AC A B C A E BAC A 0 1 1 0 1 1( ) ( )k B � � � � � � ��� � k T T kC A B E B AC A B B 0 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2/ / / /( ) . Çàìå÷àíèå 4.  òåîðåìå 6, êàê è â ïîñëåäóþùèõ òåîðåìàõ, èñêëþ÷åíèå íóëåâûõ ìàòðèö èç ìíîæåñòâà ðàññìàòðèâàåìûõ îòíîñèòñÿ òîëüêî ê îöåíêå áëèçîñòè âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö è ìàòðèö, ïîëó÷åííûõ íà îñíîâå ôèêñèðîâàííîãî ÷èñëà ÷ëåíîâ ìàòðè÷íûõ ñòåïåííûõ ðÿäîâ è ìàòðè÷íûõ ñòåïåííûõ ïðîèçâåäåíèé. Î÷åâèäíî, ÷òî ôîðìóëû, îïðåäåëÿþùèå áåñêîíå÷íûå ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö, áóäóò âåðíû è äëÿ íóëåâûõ ìàòðèö, ïîñêîëüêó âçâåøåííàÿ ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðèöà ê íóëåâîé ìàòðèöå ÿâëÿåòñÿ íóëåâîé. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ôîðìóë ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â áåñêîíå÷íûå ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ ìàòðè÷íûì òîæäåñòâîì, êîòîðîå óñòàíàâëèâàåò ñëåäóþùàÿ ëåììà. Ëåììà 8. Äëÿ ëþáûõ ìàòðèö P n n� �R , W n m� �R è äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà 0� � �� èìååò ìåñòî òîæäåñòâî � � � � k n k kE E P W E P W n k n � � � � � �� � � � � 0 1 2 0 2 1 1 2{ }( ) ( ) , , , . . . (20)  ñïðàâåäëèâîñòè ìàòðè÷íîãî òîæäåñòâà (20) íåòðóäíî óáåäèòüñÿ ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè. Ïðè ïîëó÷åíèè ìàòðè÷íûõ 56 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 òîæäåñòâ òèïà (20) äëÿ ìàòðèö îïðåäåëåííîé ñòðóêòóðû â ðàáîòàõ [47, 57] èñïîëüçîâàëñÿ ñïåêòðàëüíûé ïîäõîä. Òîæäåñòâî (20) — íåêîòîðûé ìàòðè÷íûé àíàëîã ÷èñëîâîãî òîæäåñòâà, ïîëó÷åííîãî â [58, 49]. Ïðè âûïîëíåíèè ïðåäïîëîæåíèé òåîðåìû 6 â ñèëó (18) è (20) èìååì ñëåäó- þùåå ðàçëîæåíèå âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåí- íûìè âåñàìè â ìàòðè÷íîå ñòåïåííîå ïðîèçâåäåíèå: A E E C A BA C A B BC T T k k� � � � � � � ��� �{ }( )1 2 1 0 . (21) Îáîçíà÷èì A E E C A BA C A Bn k n T Tk � � �, ( )� � � � �� � �� 0 1 1 2 1{ } , n �1 2, , . . . Òîãäà â ñèëó òîæäåñòâà (20) è ñîîòíîøåíèÿ (19) ïîëó÷èì | | | | max | |, /A A d d BC n CB d i i i n� � � �� � ��� �1 2 0 1 2 21{ }. (22) Íà îñíîâàíèè (21) ìîæíî ïîëó÷èòü äðóãèå âèäû ðàçëîæåíèé âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ [47, 48]: A C E E A BAC A B BC k T Tk� � � � �� � � ��� �1 0 1 2{ }( ) � � � �� � � � � ��� �C E E C A BAC C A B k T Tk1 2 0 1 2 1 2 2 1 2/ / / /( ){ } � � � �� � � ��� �C A B E E AC A BT k T k1 0 1 2{ }( ) � � � �� � � ��� �C A E E BAC A BT k T k1 0 1 2{ }( ) � � �� � � ��� �C A B E E B AC A B BT k T k1 1 2 0 1 2 1 1 2 2 1 2/ / / /( ){ } . Îòìåòèì, ÷òî â ðàáîòå [51] äëÿ ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû â ìàòðè÷íûé ñòåïåííîé ðÿä ñ ïîëîæèòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ñòåïåíåé è îöåíêè áëèçîñòè âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû è ñóììû ôèêñèðîâàííîãî ÷èñëà ÷ëåíîâ ýòîãî ðÿäà èñïîëüçóåòñÿ äðóãîé ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò, ÷åì â [25, 48, 56]. Òàê êàê âçâåøåííàÿ ïñåâäîèíâåðñèÿ ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì ïñåâäîèíâåðñèè Ìóðà–Ïåíðîóçà, ðàçëîæåíèÿ (18) è ïðèâåäåííûå â ñëåäñòâèè 4 — îáîáùåíèå ðàçëîæåíèé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû Ìóðà–Ïåíðîóçà, ïîëó÷åííûõ è èññëåäîâàííûõ â [59] äëÿ êâàäðàòíûõ ìàòðèö.  ýòîé æå ðàáîòå ïðåäëîæåíî è èññëåäîâàíî ðàçëîæåíèå ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû Ìóðà–Ïåíðîóçà â áåñêîíå÷íîå ìàòðè÷íîå ñòåïåííîå ïðîèçâåäåíèå, îáîáùåíèåì êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ðàçëîæåíèå (21) è ïðèâåäåííûå âûøå ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ. 5. ÐÀÇËÎÆÅÍÈß, ÌÍÎÃÎ×ËÅÍÍÛÅ ÏÐÅÄÅËÜÍÛÅ ÏÐÅÄÑÒÀÂËÅÍÈß ÂÇÂÅØÅÍÍÛÕ ÏÑÅÂÄÎÎÁÐÀÒÍÛÕ ÌÀÒÐÈÖ È ÐÅÃÓËßÐÈÇÀÖÈß ÇÀÄÀ× Â äàííîì ðàçäåëå ïðåäëàãàþòñÿ è èññëåäóþòñÿ ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 57 ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû è ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ ñ îòðèöàòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ñòåïåíåé è ïðîèçâîëüíûìè ïîëîæèòåëüíûìè ïàðàìåòðàìè. Óñòàíàâëèâàåòñÿ ñâÿçü ýòèõ ðàçëîæåíèé ñ ìíîãî÷ëåííûìè ïðåäåëüíûìè ïðåäñòàâëåíèÿìè âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö. Íà îñíîâå âçâåøåííîãî ñèíãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ ìàòðèö, îïèñàííîãî â ðàçä. 3, â ðàáîòå [49] äîêàçûâàåòñÿ ñëåäóþùàÿ òåîðåìà. Òåîðåìà 7. Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ìàòðèöû A m n� � �0 R , ñèììåòðè÷íûõ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûõ ìàòðèö B è C òàêèõ, ÷òî C A BAT�1 îïðåäåëåíî, è äëÿ äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà 0� � �� ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ k k T k T BC C A BA E C A B A � � � � � � �� � � 1 1 1 1� �( ) , ( )23 | | | | ( ) , * */A A d d BC p CB p p� � � �� � ��� � �1 2 1 2 , (24) ãäå A C A BA E C A B p k p k T k T � � � , ( )� � � � � �� �� 1 1 1 1 , p �1 2, , . . . , d* — ìèíèìàëü- íûé íåíóëåâîé äèàãîíàëüíûé ýëåìåíò ìàòðèöû D, îïðåäåëåííîé â (14) (ìèíè- ìàëüíîå íåíóëåâîå âçâåøåííîå ñèíãóëÿðíîå ÷èñëî ìàòðèöû A). Ñëåäñòâèå 5. Èç (23) èìååì ñëåäóþùèå âèäû ðàçëîæåíèé âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû: A C A BAC E A B BC k k T k T� � � � � � �� � �� 1 1 1 1� �( ) � � � � � � � � � �� k k T k TC C A BAC E C A B 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2� �/ / / /( ) . Ñëåäñòâèå 6. Èç îöåíêè (24) âûòåêàåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî p �1 2, , . . . èìååì ïðåäåëüíîå ïðåäñòàâëåíèå âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû âèäà A C A BA E C A B BC k p k T k T� � � � � � � �� ��lim ( ) � � � 0 1 1 1 1 . (25) Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ôîðìóë ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ èñïîëüçîâàëèñü ìàòðè÷íûå òîæäåñòâà, êîòîðûå óñòàíàâëèâàþò ñëåäóþùèå ëåììû [49]. Ëåììà 9. Äëÿ ëþáûõ ìàòðèö P n n� �R , W n m� �R è äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà 0� � �� èìååò ìåñòî òîæäåñòâî k n E P E P E W k k � � � �� � � � � 0 1 2 2 1{ }� � �( ) ( )( ) � � � � � �� k k k n P E W n 1 2 1 1 2� �( ) , , , . . . (26) Ëåììà 10. Äëÿ ëþáûõ ìàòðèö L m m� �R , M n m� �R è äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà 0� � �� èìååò ìåñòî òîæäåñòâî 58 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 M L E E L E k n k k ( ) ( ) ( )� � � �� � � ��� � �1 0 1 2 2{ } � � � � � ��M L E n k k k n 1 2 1 1 2� �( ) , , , . . . (27) Ïðè âûïîëíåíèè ïðåäïîëîæåíèé òåîðåìû 7 â ñèëó (23) è (26) äëÿ äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà 0� � �� èìååì ñëåäóþùåå ðàçëîæåíèå âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè â ìàòðè÷íîå ñòåïåííîå ïðîèçâåäåíèå: A E C A BA E C A BA E C BC k T Tk k� � � � � � � �� � � �� 0 2 1 2 1 1{ }� � �( ) ( )( ) 1A BT . ( )28 Î á î ç í à ÷ è ì A E C A BA E C A BA n k n T Tk k � � � , ( )( ) (� � � � � �� � � �� 0 1 2 1 2 1{ } � � ��E C A BT) 1 1 , n �1 2, , . . . Òîãäà â ñèëó òîæäåñòâà (26) è ñîîòíîøåíèÿ (24) ïî- ëó÷èì | | | | ( ) , * * ( ) /A A d d BC n CB n n� � � �� � ��� � �1 2 1 2 2 2 . ( )29 Èç îöåíêè (29) âûòåêàåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî n �1 2, , . . . èìååì ñëåäóþùåå ïðåäåëüíîå ïðåäñòàâëåíèå âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû: A E C A BA E BC k n Tk k� � � � � � �� � � ��lim ( ) ( ) � � � 0 0 1 2 1 2{ } � �� � �( )C A BA E C A BT T1 1 1� . (30) Îòìåòèì, ÷òî â ðàáîòå [49] íà îñíîâå âçâåøåííîãî ñèíãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ ìàòðèö è òîæäåñòâà (27) êðîìå ïðèâåäåííûõ âûøå ïîëó÷åíû è èññëåäîâàíû äðóãèå âèäû ðàçëîæåíèé âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû è ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ ñ îòðèöàòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ñòåïåíåé. Îïðåäåëåíèå 8. Ïðåäåëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ (25), (30) íàçûâàþòñÿ ìíîãî÷ëåííûìè ïðåäåëüíûìè ïðåäñòàâëåíèÿìè âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè. Ïðè p �1 èç (25) èìååì îäíî÷ëåííîå ïðåäåëüíîå ïðåäñòàâëåíèå âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè, èññëåäîâàííîå â ðàáîòàõ [35, 51, 60], à ïðè p �1, B C E� � — ïðåäåëüíîå ïðåäñòàâëåíèå ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû Ìóðà–Ïåíðîóçà, ïðåäëîæåííîå è èññëåäîâàííîå â [61]. Ýòî ñâîéñòâî ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû Ìóðà–Ïåíðîóçà ñòàëî îñíîâîé ðåãóëÿðèçàöèè çàäà÷ ïî Òèõîíîâó [62]. Ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû è ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ ñ îòðèöàòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ñòåïåíåé ïðè � �1 èññëåäîâàíû ñîîòâåòñòâåííî â ðàáîòàõ [25, 48]. Èç ïðåäåëüíûõ ïðåäñòàâëåíèé âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñëåäóåò, ÷òî ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîì ïàðàìåòðå � ìàòðèöû A BC � è A p�, � , A n�, � ìîãóò êàê óãîäíî ìàëî îòëè÷àòüñÿ îäíà îò äðóãîé è íà îñíîâàíèè ïðåäëîæåííûõ ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 59 ïðåäåëüíûõ ïðåäñòàâëåíèé ìîæíî âû÷èñëÿòü ïðèáëèæåíèÿ ê âçâåøåííûì ïñåâäîîáðàòíûì ìàòðèöàì. Îöåíêè áëèçîñòè âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö è èõ ïðèáëèæåííûõ çíà÷åíèé äàíû ôîðìóëàìè (24), (29). Íà îñíîâå ïðåäåëüíûõ ïðåäñòàâëåíèé âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ìîæíî òàêæå ïðåäëîæèòü ðåãóëÿðèçîâàííûå çàäà÷è äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé. Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì ðåãóëÿðèçîâàííóþ çàäà÷ó äëÿ íàõîæäåíèÿ âçâåøåííîãî íîðìàëüíîãî ïñåâäîðåøåíèÿ ÑËÀÓ (11) ñ ó÷åòîì ôîðìóëû (25). Íà îñíîâå ýòîé ôîðìóëû è òåîðåìû 3 ïîëó÷èì ÑËÀÓ äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðèáëèæåíèÿ ê âçâåøåííîìó íîðìàëüíîìó ïñåâäîðåøåíèþ ñèñòåìû (11) ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîì � ( ) ( )C A BA E x C A BA E C A BfT p k p k T p k T� � � � � �� � ��1 1 1 1 1� � � . ( )31 Ïîñêîëüêó ìàòðèöà C A BAT�1 — ïðîèçâåäåíèå äâóõ ñèììåòðè÷íûõ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííîé è ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííîé ìàòðèö, åå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ íåîòðèöàòåëüíû è âåùåñòâåííû [37]. Òîãäà ìàòðèöà ( )C A BA ET p� �1 � ïðè � � 0 íåâûðîæäåíà è, ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå ñèñòåìû (31). Îöåíêó ïîãðåøíîñòè ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ óñòàíàâëèâàåò [49] ñëåäóþùàÿ òåîðåìà. Òåîðåìà 8. Ïóñòü x � — âçâåøåííîå íîðìàëüíîå ïñåâäîðåøåíèå ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè ñèñòåìû (11), à x p�, — ðåøåíèå ñèñòåìû (31), òîãäà ñïðàâåäëèâà îöåíêà | | | | ( ) | | | |, * * x x d d fp C p p B � � �� � �� � �1 2 . (32) Òåïåðü äëÿ ïîëó÷åíèÿ ðåãóëÿðèçîâàííîé çàäà÷è íàõîæäåíèÿ ïðèáëèæåíèÿ ê âçâåøåííîìó íîðìàëüíîìó ïñåâäîðåøåíèþ ÑËÀÓ (11) èñïîëüçóåì ôîðìó- ëó (30), íà îñíîâàíèè êîòîðîé ïîëó÷èì ÑËÀÓ äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðèáëèæåíèÿ ê âçâåøåííîìó íîðìàëüíîìó ïñåâäîðåøåíèþ ñèñòåìû (11) ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîì � ( ) ( )C A BA E C A BA E x k n T Tk� � � �� � � �1 0 1 2 1� � � � � � � � �� { } k n T TC A BA E E C A Bf k k 0 1 1 2 2 1( )� � . (33) Îöåíêó ïîãðåøíîñòè ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ óñòàíàâëèâàåò [49] ñëåäóþùàÿ òåîðåìà. Òåîðåìà 9. Ïóñòü x � — âçâåøåííîå íîðìàëüíîå ïñåâäîðåøåíèå ñ ïîëîæè- òåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè ñèñòåìû (11), à x n�, — ðåøåíèå ñèñòåìû (33), òîãäà ñïðàâåäëèâà îöåíêà | | | | ( ) | | | |, * * ( )x x d d fn C B n n� � �� � �� � �1 2 2 2 . (34) Ðåãóëÿðèçîâàííûå çàäà÷è âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè íà îñíîâå îäíî÷ëåííûõ ïðåäåëüíûõ ïðåäñòàâëåíèé (ïðè p �1) ðàññìàòðèâàëèñü â [35, 51, 60]. Ðåãóëÿðèçîâàííûå çàäà- ÷è âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäå- ëåííûìè âåñàìè íà îñíîâå îäíî÷ëåííûõ ïðåäåëüíûõ ïðåäñòàâëåíèé èññëåäîâà- 60 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 ëèñü â [35, 55, 60]. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ðåãóëÿðèçîâàííûå çàäà÷è áóäóò ðåøàòüñÿ èçâåñòíûìè ïðÿìûìè ìåòîäàìè. Ðàññìîòðèì äðóãîé âèä ðàçëîæåíèé âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû è ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ, èññëåäîâàííûå ñîîòâåòñòâåííî â ðàáîòàõ [39] è [40]. Îíè ìîãóò ñëóæèòü àëüòåðíàòèâîé ðàññìîòðåííûì âûøå ðàçëîæåíèÿì. Íà îñíîâå âçâåøåííîãî ñèíãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ ìàòðèö â [39] äîêàçàíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà. Òåîðåìà 10. Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ìàòðèöû A m n� � �0 R , ñèììåòðè÷íûõ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûõ ìàòðèö B è C òàêèõ, ÷òî C A BAT�1 îïðåäåëåíî, è äëÿ äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà 0� � �� ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ � � k T k T BC E C A BA C A B A � � � � � �� � � 1 1 1( ) , (35) | | | | ( ), * */A A d d BC p CB p� � � �� � ��� �1 2 1 21 , (36) ãäå A E C A BA C A Bp k p T k T � � �, ( )� � � � �� �� 1 1 1 , d* — ìèíèìàëüíûé íåíóëåâîé äèàãîíàëüíûé ýëåìåíò ìàòðèöû D, îïðåäåëåííîé â (14). Ñëåäñòâèå 7. Èç ðàâåíñòâà (35) ñëåäóåò ñïðàâåäëèâîñòü ñîîòíîøåíèé âèäà A C E A BAC A B BC k T k T� � � � � �� � ��� � 1 1 1( ) � � � � � � � � ��� � k T k TC E C A BAC C A B 1 1 2 1 2 1 2 1 2/ / / /( ) . Ñëåäñòâèå 8. Èç îöåíêè (36) äëÿ ëþáîãî p �1 2, , . . . èìååì ñëåäóþùåå ïðåäåëüíîå ïðåäñòàâëåíèå âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû: A E C A BA C A B BC k p T k T� � � � � � �� ��lim ( ) � � � 1 1 1 . (37) Îòìåòèì, ÷òî â [39] òàêæå îáîñíîâàíî íåñêîëüêî äðóãèõ âèäîâ ðàçëîæåíèé âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû, äëÿ ÷åãî èñïîëüçîâàíî ïðåäñòàâëåíèå âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â òåðìèíàõ êîýôôèöèåíòîâ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ ñèììåòðèçóåìûõ ìàòðèö (ñì. ðàçä. 2).  ðàáîòå [40] íà îñíîâàíèè àïïàðàòà âçâåøåííîãî ñèíãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ ìàòðèö, ðàññìîòðåííîãî â ðàçä. 3, äîêàçàíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà. Òåîðåìà 11. Äëÿ A m n� � �0 R , ñèììåòðè÷íûõ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûõ ìàòðèö B è C òàêèõ, ÷òî C A BAT� 1 ñóùåñòâóåò, è äëÿ äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà 0� � �� ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ A E C A BA E E C A BA C A BC T k T k� � � � � � � �� � � ��� � �( ) ( ) ( )1 1 0 1 2 1{ } T B, (38) | | | | ( ), * * ( ) /A A d d BC n CB n� � � �� � ��� �1 2 1 2 21 , ( )39 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 61 ãäå A E C A BA E E C A BA Cn T k n T k � � � �, ( )( ) ( )� � � � � � �� � � ��1 1 0 1 1 2{ } � 1A BT , n �1 2, , . . . , à d* — ìèíèìàëüíûé íåíóëåâîé äèàãîíàëüíûé ýëåìåíò ìàòðèöû D, îïðåäåëåííîé â (14). Ñëåäñòâèå 9. Èç ôîðìóëû (38) âûòåêàåò ñïðàâåäëèâîñòü ñëåäóþùèõ ðàçëîæåíèé âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ: A C E A BAC E E A BAC A BC T k T k� � � � � � � �� � � ��� � �1 1 1 0 1 2( ) ( ) ( ){ } T B � � � � �� � � � � � �� �C E C A BAC E ET k 1 2 1 2 1 2 1 0 / / /( ) ({ � � � � ��C A BAC C A BT Tk1 2 1 2 2 1 2/ / ( ) /) } . Ñëåäñòâèå 10.  ñèëó (39) äëÿ ëþáîãî n �1 2, , . . . èìååì ñëåäóþùåå ïðåäåëüíîå ïðåäñòàâëåíèå âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû: A E C A BA E BC T k n � � � � � � � � � ��lim ( ) � � � 1 1 0 1 { � � � � �( ) ( )E C A BA C A BT Tk � 1 2 1} . ( )40 ×òîáû ïîëó÷èòü äðóãèå ôîðìóëû ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ, â ðàáîòå [40] èñïîëüçîâàí èíîé ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò, ÷åì ïðè äîêàçàòåëüñòâå óòâåðæäåíèé òåîðåìû 11, à èìåííî, äëÿ èññëåäîâàíèÿ èñïîëüçîâàëîñü âçâåøåííîå ñïåêòðàëüíîå ðàçëîæåíèå ñèììåòðèçóåìûõ ìàòðèö è ïðåäñòàâëåíèå ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â òåðìèíàõ êîýôôèöèåíòîâ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ ñèììåòðèçóåìûõ ìàòðèö. 6. ÏÎÑÒÐÎÅÍÈÅ ÈÒÅÐÀÖÈÎÍÍÛÕ ÏÐÎÖÅÑÑΠ äàííîì ðàçäåëå îïèøåì ìåòîäèêó ïîñòðîåíèÿ èòåðàöèîííûõ ïðîöåññîâ äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö è âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé, îñíîâàííóþ íà ðàçëîæåíèÿõ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö, îïèñàííûõ â ðàçä. 4 è 5. Ïðè÷åì ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ (ñì., íàïðèìåð, [63]) áóäóò ïîñòðîåíû èòåðàöèîííûå ïðîöåññû ñ ðàçëè÷íûìè ïîðÿäêàìè ñêîðîñòåé ñõîäèìîñòè. Ðàññìîòðèì ïîñòðîåíèå èòåðàöèîííûõ ïðîöåññîâ íà îñíîâàíèè ðàçëîæåíèé ñ ïîëîæèòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ñòåïåíåé, îïèñàííûõ â ðàçä. 4. Ñíà÷àëà äëÿ ïîñòðîåíèÿ èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö èñïîëüçóåì ðàçëîæåíèå (18) âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû â ìàòðè÷íûé ñòåïåííîé ðÿä, íà îñíîâå êîòîðîãî äëÿ âû÷èñëåíèÿ A BC � ïîëó÷èì èòåðàöèîííûé ïðîöåññ [25] X C A BT 0 1� �� , X X C A B E AXk k T k� �� � �1 1� ( ), k � 0 1, , . . . ( )41 Îöåíêà áëèçîñòè k-ãî ïðèáëèæåíèÿ ïî ôîðìóëàì (41) ê A BC � îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (19), ãäå ñëåäóåò ïîëîæèòü p k� . Òåïåðü äëÿ ïîñòðîåíèÿ èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà èñïîëüçóåì ðàçëîæåíèå (21) 62 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû â ìàòðè÷íîå ñòåïåííîå ïðîèçâåäåíèå, íà îñíîâå êîòîðîãî äëÿ âû÷èñëåíèÿ A BC � ïîëó÷èì èòåðàöèîííûé ïðîöåññ X C A B X X E C A BA X kT k k T k k 0 1 1 1 2 1 1 1 2� � � � �� � � � � � �, ( ) , , , � ( )42 Îöåíêà áëèçîñòè k-ãî ïðèáëèæåíèÿ ïî ôîðìóëàì (42) ê A BC � îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (22), ãäå ñëåäóåò ïîëîæèòü n k� . Îòìåòèì, ÷òî â ðàáîòå [47] ïîñòðîåíû è èññëåäîâàíû äðóãèå âèäû èòåðàöèîííûõ ïðîöåññîâ íà îñíîâå ðàçëîæåíèé ñ ïîëîæèòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ñòåïåíåé. Ðàññìîòðèì ìåòîäèêó ïîñòðîåíèÿ èòåðàöèîííûõ ïðîöåññîâ äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé. Ïîëîæèì x X fk k� , ãäå ìàòðèöû X k îïðåäåëåíû ôîðìóëàìè (41). Òîãäà äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðèáëèæåíèÿ ê x A f BC � �� ïîëó÷èì èòåðàöèîííûé ïðîöåññ x C A Bf x x C A B f Ax kT k k T k0 1 1 1 0 1� � � � �� � �� �, ( ), , , . . . (43) Èìååò ìåñòî [27] ñëåäóþùàÿ òåîðåìà. Òåîðåìà 12.Èòåðàöèîííûé ïðîöåññ (43) ñõîäèòñÿ â R n C( ), ïðè÷åì èìååò ìåñòî îöåíêà | | | | | | | |x x q x xk C k C � � � �� � �1 1 0 , ãäå q A A C A BA BC T� � �� �� �( )1 1, à ìàòðèöà C âõîäèò â îïðåäåëåíèå âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû ñîãëàñíî ÷åòâåðòîìó óñëîâèþ â (1). Äëÿ âû÷èñëåíèÿ x � íà îñíîâàíèè (42) ïîëó÷èì èòåðàöèîííûé ïðîöåññ [47] x C A Bf x x E C A BA x kT k k T k k 0 1 1 1 2 1 1 1 2� � � � �� � � � � � �, ( ) , , , � ( )44 Òåîðåìà 13. Èòåðàöèîííûé ïðîöåññ (44) ñõîäèòñÿ â R n C( ), ïðè÷åì èìååò ìåñòî îöåíêà | | | | | | | |x x q xk C C k� �� � 2 , ãäå q è ìàòðèöà C îïðåäåëåíû â òåîðåìå 12.  ðàáîòå [47] ïðåäëîæåí è èññëåäîâàí èòåðàöèîííûé ìåòîä p-ãî ïîðÿäêà ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ( p � 2): X X X E AX kk k k i p k i k k� � � � � � � ��1 1 1 0 1� �, , , , . . . (45) Òåîðåìà 14.Èòåðàöèîííûé ïðîöåññ (45) ïðè X C A BT 0 1� �� , ãäå ïàðàìåòð � îïðåäåëåí ñîîòíîøåíèåì (17), ñõîäèòñÿ, ïðè÷åì èìååò ìåñòî îöåíêà | | | | | | | |A X q A X BC k CV p BC CV k� � � �� � � � 1 1 0 1 , ãäå q è ìàòðèöà C îïðåäåëåíû â òåîðåìå 12, à V m m� �R — ïðîèçâîëüíàÿ ñèììåòðè÷íàÿ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà. ×àñòíûé ñëó÷àé ( p � 2) èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà (45), êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 63 îáîáùåíèåì èçâåñòíîãî ìåòîäà äëÿ îáðàùåíèÿ íåâûðîæäåííîé ìàòðèöû [64], ðàññìàòðèâàëñÿ â [25].  ðàáîòå [25] ïîêàçàíî, ÷òî îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà � îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé � 0 12� � �[ ]* maxd d , (46) ãäå d* — ìèíèìàëüíûé íåíóëåâîé äèàãîíàëüíûé ýëåìåíò ìàòðèöû D, îïðåäåëåííîé â (14), dmax — ìàêñèìàëüíèé äèàãîíàëüíèé ýëåìåíò ýòîé ìàòðèöû. Ðàññìîòðèì ìåòîäèêó ïîñòðîåíèÿ èòåðàöèîííûõ ïðîöåññîâ íà îñíîâàíèè ðàçëîæåíèé ñ îòðèöàòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ñòåïåíåé, îïèñàííûõ â ðàçä. 5. Ñíà÷àëà äëÿ ýòîé öåëè èñïîëüçóåì ðàçëîæåíèå (23) âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû â ìàòðè÷íûé ñòåïåííîé ðÿä, íà îñíîâàíèè êîòîðîãî äëÿ âû÷èñëåíèÿ A BC � ïîëó÷èì èòåðàöèîííûé ïðîöåññ X X C A BA E X C A Bk T k T 0 1 1 1 10� � � �� � � �, ( ) ( )� � , k � � � �1 2 0, , . . . , � . (47) Îöåíêà áëèçîñòè k-ãî ïðèáëèæåíèÿ ïî ôîðìóëàì (47) ê A BC � îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (24), ãäå ñëåäóåò ïîëîæèòü p k� . Äëÿ ïîñòðîåíèÿ èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà ñ áîëåå âûñîêîé ñêîðîñòüþ ñõîäèìîñòè èñïîëüçóåì ðàçëîæåíèå (28) âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû â ìàòðè÷íîå ñòåïåííîå ïðîèçâåäåíèå, íà îñíîâàíèè êîòîðîãî äëÿ âû÷èñëåíèÿ A BC � ïîëó÷èì èòåðàöèîííûé ïðîöåññ X C A BA E C A BT T 0 1 1 1� �� � �( )� , X X C A BA E X kk k T k k k � � � �� � � � � � 1 2 1 2 1 1 1 1 2� �( ) , , , . . .( ) (48) Îöåíêà áëèçîñòè k-ãî ïðèáëèæåíèÿ ïî ôîðìóëàì (48) ê A BC � îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (29), ãäå ñëåäóåò ïîëîæèòü n k� . Ðàññìîòðèì ìåòîäèêó ïîñòðîåíèÿ èòåðàöèîííûõ ïðîöåññîâ äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé. Ïîëîæèì x X fk k� , ãäå ìàòðèöû X k îïðåäåëåíû ôîðìóëàìè (47). Òîãäà äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðèáëèæåíèÿ ê x A f BC � �� ïîëó÷èì èòåðàöèîííûé ïðîöåññ x x C A BA E x C A Bfk T k T 0 1 1 1 10� � � �� � � �, ( ) ( )� � , k � � � �1 2 0, , . . . , � . (49) Îöåíêà áëèçîñòè k-ãî ïðèáëèæåíèÿ ïî ôîðìóëàì (49) ê x � îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (32), ãäå ñëåäóåò ïîëîæèòü p k� . Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ñëåäóþùåãî èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà îïÿòü ïîëîæèì x X fk k� , ãäå ìàòðèöû X k îïðåäåëåíû ôîðìóëàìè (48). Òîãäà äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðèáëèæåíèÿ ê x A f BC � �� ïîëó÷èì èòåðàöèîííûé ïðîöåññ x C A BA E C A BfT T 0 1 1 1� �� � �( )� , x x C A BA E x kk k T k k k � � � �� � � � � � 1 2 1 2 1 1 1 1 2� �( ) , , , . . .( ) ( )50 Îöåíêà áëèçîñòè k-ãî ïðèáëèæåíèÿ ïî ôîðìóëàì (50) ê x � îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (34), ãäå ñëåäóåò ïîëîæèòü n k� . 64 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 Çàìå÷àíèå 5. Èç îöåíîê (24), (29), (32), (34) âûòåêàåò, ÷òî ïîãðåøíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ê ðåøåíèþ çàäà÷ ñ ïîìîùüþ ñîîòâåòñòâóþùèõ èòåðàöèîííûõ ïðîöåññîâ çàâèñèò îò êîëè÷åñòâà èòåðàöèé è ïàðàìåòðà �. Î÷åâèäíî, ÷òî ïàðàìåòð � íåîáõîäèìî âûáèðàòü, ïî âîçìîæíîñòè, íàèìåíüøèì. Íî åãî âåëè÷èíà îãðàíè÷è- âàåòñÿ â ñòîðîíó óìåíüøåíèÿ íåîáõîäèìîé òî÷íîñòüþ âû÷èñëåíèÿ îáðàòíîé ìàòðèöû ê ìàòðèöå C A BA ET� �1 � . Îïðåäåëåíèå 9. Ïðîöåññû òèïà (47)–(50) ïðè � � � 0 (� � 0) íàçîâåì ðåãóëÿðèçîâàííûìè èòåðàöèîííûìè ïðîöåññàìè. Çàìå÷àíèå 6. Íà îñíîâàíèè ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðèáëèæåíèÿ ê âçâåøåííîìó íîðìàëüíîìó ïñåâäîðåøåíèþ ïîëó÷åíî ðåãóëÿðèçîâàííóþ çàäà÷ó (31), êîòîðóþ ïðåäïîëàãàåòñÿ ðåøàòü ïðÿìûì ìåòîäîì, è èòåðàöèîííûé ïðîöåññ (47). Ïðè÷åì åñëè k p� , òî òåîðåòè÷åñêè èìååì îäíó è òó æå îöåíêó áëèçîñòè ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ, ïîëó÷åííîãî äâóìÿ ìåòîäàìè, ê òî÷íîìó ðåøåíèþ. Âîïðîñ âûáîðà ìåòîäà âû÷èñëåíèÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è, ïî-âèäèìîìó, áóäåò çàâèñåòü íå ñòîëüêî îò îáúåìà âû÷èñëèòåëüíîé ðàáîòû, ñêîëüêî îò âåëè÷èíû ïîãðåøíîñòè, âíîñèìîé âû÷èñëèòåëüíûì ïðîöåññîì. Òî æå ñàìîå ìîæíî ñêàçàòü î ìåòîäàõ, ïîëó÷åííûõ íà îñíîâàíèè ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ. Ðàññìîòðèì âîïðîñ ïîñòðîåíèÿ èòåðàöèîííûõ ïðîöåññîâ íà îñíîâàíèè ðàçëîæåíèé (35), (38), ïðåäëîæåííûõ è èññëåäîâàííûõ ñîîòâåòñòâåííî â ðàáîòàõ [39] è [40]. Íà îñíîâàíèè ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû â ìàòðè÷íûé ñòåïåííîé ðÿä (35) ïîëó÷àåì ñëåäóþùèé èòåðàöèîííûé ïðîöåññ [39]: X X X C A Bk p k i p i T 0 1 1 10� � �� � � � ��, � �� , � � � ��E C A BA kT� 1 0 1, , , . . . (51) Òåîðåìà 15. Èòåðàöèîííûé ïðîöåññ (51) ïðè 0� � �� ñõîäèòñÿ, ïðè÷åì èìååò ìåñòî îöåíêà | | | | | | | |( )A X q A BC k CV p k BC CV � � � �� �1 1 , ãäå q A A E C A BA C A BA BC T T� � � � �� � � � �� � � �[ ( ) ] [ ( )]min *1 1 1 11 1, (52) � min * ( )L — ìèíèìàëüíîå íåíóëåâîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ìàòðèöû L, ìàòðèöà C âõîäèò â îïðåäåëåíèå âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû ñîãëàñíî ÷åòâåðòîìó óñëîâèþ â (1), à V m m� �R — ïðîèçâîëüíàÿ ñèììåòðè÷íàÿ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà. Íà îñíîâàíèè ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû â ìàòðè÷íîå ñòåïåííîå ïðîèçâåäåíèå (38) äëÿ âû÷èñëåíèÿ A BC � ïîëó÷àåì èòåðàöèîííûé ïðîöåññ [40] X E C A BA C A BT T 0 1 1 1� � � � �� �( ) , X X E C A BA X kk k T k k � � � �� � � � � 1 1 2 1 1 1 2( ) , , , . . .( )� (53) Òåîðåìà 16.Èòåðàöèîííûé ïðîöåññ (53) ñõîäèòñÿ ïðè 0� � �� , ïðè÷åì èìååò ìåñòî îöåíêà | | | | | | | |A X q A BC k CV BC CV k� �� � 2 , ãäå q è ìàòðèöû C, V îïðåäåëåíû â òåîðåìå 15. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 65 Îòìåòèì, ÷òî äëÿ èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà (53) òàêæå âåðíà îöåíêà (39), åñëè â íåé ïîëîæèòü n k� . Ðàññìîòðèì èòåðàöèîííûé ïðîöåññ äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé [40]. Ïîëîæèì x X fk k� , ãäå ìàòðèöû X k îïðåäåëåíû ôîðìóëàìè (53). Òîãäà äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðèáëèæåíèÿ ê x A f BC � �� ïîëó÷èì èòåðàöèîííûé ïðîöåññ x E C A BA C A BfT T 0 1 1 1� � � � �� �( ) , x x E C A BA x kk k T k k � � � �� � � � � 1 1 2 1 1 1 2( ) , , , . . .( )� ( )54 Òåîðåìà 17. Èòåðàöèîííûé ïðîöåññ (54) ïðè 0� � �� ñõîäèòñÿ â R n C( ), ïðè÷åì èìååò ìåñòî îöåíêà | | | | | | | |x x q xk C C k� �� � 2 , ãäå q è ìàòðèöà C îïðåäåëåíû â òåîðåìå 15. Çàìå÷àíèå 7. Èç (52) ñëåäóåò, ÷òî çíà÷åíèå q çàâèñèò îò ïàðàìåòðà � è óìåíüøàåòñÿ ñ åãî óâåëè÷åíèåì. Äëÿ óñêîðåíèÿ ñõîäèìîñòè èòåðàöèîííûõ ïðîöåññîâ (51), (53), (54) íåîáõîäèìî âûáèðàòü � äîñòàòî÷íî áîëüøèì. Íî ñ óâå- ëè÷åíèåì ïàðàìåòðà � â îáùåì ñëó÷àå áóäåò ðàñòè îáóñëîâëåííîñòü ìàòðèöû E C A BAT� �� 1 , ñ êîòîðîé ñâÿçàíà òî÷íîñòü âû÷èñëåíèÿ ìàòðèöû ( )E C A BAT� � �� 1 1. Ïîýòîìó íóæíî ó÷èòûâàòü ýòè îáñòîÿòåëüñòâà ïðè âûáîðå ïàðàìåòðà � â ïðîöåññå ïîñòðîåíèè è ðåàëèçàöèè èòåðàöèîííûõ ìåòîäîâ. Îòìåòèì, ÷òî â ðàáîòàõ [39, 40] òàêæå ïðåäëàãàþòñÿ è àíàëèçèðóþòñÿ äðóãèå âèäû èòåðàöèîííûõ ïðîöåññîâ äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö è âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé. Èòåðàöèîííûå ìåòîäû äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè, îñíîâàííûå íà ðàçëîæåíèè âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû ñ ïîëîæèòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ñòåïåíåé, ïîìèìî óêàçàííûõ âûøå ðàáîò, ïðåäëàãàëèñü è èññëåäî- âàëèñü â [51, 65]. Êðîìå òîãî, â ðàáîòå [65] ðàññìàòðèâàëñÿ èòåðàöèîííûé ìåòîä p-ãî ïîðÿäêà ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè, à â [51] — âòîðîãî ïîðÿäêà. Ïîñêîëüêó âçâåøåííûå ïñåâäîîáðàòíûå ìàòðèöû ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè — îáîáùåíèå ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû Ìóðà–Ïåíðîóçà, èòåðàöèîííûå ìåòîäû (41), (42), (45) ÿâëÿþòñÿ îáîáùåíèåì ñîîòâåòñòâóþùèõ ìåòîäîâ, ïîñòðîåííûõ äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû Ìóðà–Ïåíðîóçà íà îñíîâå ðàçëîæåíèÿ ýòîé ìàòðèöû â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû ñ ïîëîæèòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ñòåïåíåé (ñì., íàïðèìåð, [12, 66–70]). Ðÿä ðàáîò ïîñâÿùåíî ïîñòðîåíèþ ïðÿìûõ ìåòîäîâ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè. Òàê, ìåòîä, ïðåäëîæåííûé â [71], ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì ìåòîäà, ïðåäëîæåííîãî â [72] äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû Ìóðà–Ïåíðîóçà. Àëãîðèòì ñòàòüè [73] ðàçâèâàåò èäåþ àëãîðèòìà, ïðåäëîæåííîãî â [74] äëÿ âû÷èñëåíèÿ îáðàòíîé ìàòðèöû.  ðÿäå ðàáîò ðàññìàòðèâàëèñü âîïðîñû âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííîãî íîðìàëüíîãî ïñåâäîðåøåíèÿ ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè.  [75] äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííîãî íîðìàëüíîãî ïñåâäîðåøåíèÿ ïðåäëàãàåòñÿ âû÷èñëèòåëüíàÿ ñõåìà ìåòîäà ðåãóëÿðèçàöèè ñ èñïîëüçîâàíèåì ôàêòîðèçàöèè Õîëåöêîãî äëÿ ðåøåíèÿ ðåãóëÿðèçîâàííîé çàäà÷è, â [76] — ðàñùåïëåíèå èñõîäíîé ïðÿìîóãîëüíîé ìàòðèöû íà ñóììó òàêèõ äâóõ ìàòðèö, ÷òî ïîñòðîåííàÿ íà ýòîé îñíîâå 66 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ ê âçâåøåííîìó íîðìàëüíîìó ïñåâäîðåøåíèþ ÑËÀÓ. Çíà÷èòåëüíîå âíèìàíèå óäåëÿåòñÿ ïàðàëëåëüíûì âû÷èñëåíèÿì äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷, ñâÿçàííûõ ñî âçâåøåííîé ïñåâäîèíâåðñèåé. Òàê, â ðàáîòå [77] ïðåäëàãàþòñÿ è èññëåäóþòñÿ ïàðàëëåëüíûå àëãîðèòìû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö Ìóðà-Ïåíðîóçà è âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö.  íåêîòîðûõ ðàáîòàõ ðàññìîòðåíû âîïðîñû ïàðàëëåëüíûõ âû÷èñëåíèé äëÿ àëãîðèòìîâ, êîòîðûå èñïîëüçóþò âçâåøåííóþ ïñåâäîèíâåðñèþ (ñì., íàïðèìåð, [78, 79]). 7. ÏÐÅÄÑÒÀÂËÅÍÈß ÂÇÂÅØÅÍÍÛÕ ÏÑÅÂÄÎÎÁÐÀÒÍÛÕ ÌÀÒÐÈÖ ×ÅÐÅÇ ÄÐÓÃÈÅ ÏÑÅÂÄÎÎÁÐÀÒÍÛÅ ÌÀÒÐÈÖÛ Â äàííîì ðàçäåëå ïðèâåäåíû ôîðìóëû äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè ÷åðåç ïñåâäîîáðàòíóþ ìàòðèöó Ìóðà–Ïåíðîóçà è ÷àñòíûå âèäû âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö [80]. Òåîðåìà 18. Ïóñòü A m n� �R , B m m� �R è C n n� �R — ñèììåòðè÷íûå ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûå ìàòðèöû. Òîãäà âçâåøåííàÿ ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðèöà A BC � ê ìàòðèöå A, îïðåäåëåííàÿ óñëîâèÿìè (1), ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå A C B AC B BC EE � � � �� 1 2 1 2 1 2 1 2/ / / /( ) , (55) A C C A BAC C A B BC T EE T� � � � � �� 1 2 1 2 1 2 1 2/ / / /( ) , (56) A C A B B AC A B B BC T T EE � � � �� 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2/ / / /( ) , (57) A C A B AC A B BC T T BB � � � �� 1 1( ) , (58) A C A BAC A B BC T T B B � � � �� � � 1 1 1 1 ( ) , (59) A C A BA C A B BC T CC T� � � �� ( )1 1 , (60) A C A BAC A B BC T C C T� � � �� � � 1 1 1 1 ( ) , (61) A A BA A B BC T C C T� �� �( ) 1 , (62) A C A AC A BC T T BB � � � �� � 1 1 1 ( ) . (63) Îòìåòèì, ÷òî â [8] äëÿ ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû Ìóðà–Ïåíðîóçà äàíî åå ïðåäñòàâëåíèå ÷åðåç ïñåâäîîáðàòíûå ê ñèììåòðè÷íûì ìàòðèöàì A A A A A AA EE T EE T T T EE � � �� �( ) ( ) . Î÷åâèäíî, ÷òî ýòè ôîðìóëû äëÿ A EE � ÿâëÿ- þòñÿ ñëåäñòâèåì ñîîòíîøåíèé (55)–(63) ïðè B C E� � . Ôîðìóëà (55) ïîëó÷åíà òàêæå â [10]. Ôîðìóëû (55)–(57) ìîæíî èñïîëüçîâàòü, íàïðèìåð, äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâå- øåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ ïîìîùüþ ïàêåòà ïðèêëàäíûõ ïðîãðàìì, â êî- òîðîì èìåþòñÿ ïðîãðàììû âû÷èñëåíèÿ ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû Ìóðà–Ïåíðîó- çà, îáðàòíîé ìàòðèöû äëÿ ñèììåòðè÷íîé ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííîé ìàòðèöû è êîðíÿ êâàäðàòíîãî èç ñèììåòðè÷íîé ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííîé ìàòðèöû. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 67  ðàáîòå [47] ïðåäñòàâëåíèå âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû (55) èñïîëü- çîâàëîñü äëÿ ïîëó÷åíèÿ ôîðìóëû ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ. 8. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ× ÍÀÈÌÅÍÜØÈÕ ÊÂÀÄÐÀÒÎÂ Ñ ÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÈßÌÈ Ê çàäà÷àì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ñ îãðàíè÷åíèÿìè ïðèõîäÿò ïðè ìîäåëèðîâàíèè ïðîöåññîâ, ÿâëåíèé, ñèñòåì â ðàçëè÷íûõ ïðåäìåòíûõ îáëàñòÿõ [24].  ðÿäå ðàáîò (ñì., íàïðèìåð, [7, 22]) ðåøåíèå íåêîòîðûõ çàäà÷ íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ñ îãðàíè÷åíèÿìè, à òàêæå L-ïñåâäîðåøåíèå [23] (Lg-ïñåâäîðåøåíèå [20], ñâÿçàííîå íîðìàëüíîå ïñåâäîðåøåíèå [81]) ïðåäñòàâëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ ML-âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö. Ïðèâåäåì îïðåäåëåíèå ML-âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö. Ïóñòü A m n� �R , M q m� �R , L p n� �R . Òîãäà ML-âçâåøåííàÿ ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðèöà A ML � ê ìàòðèöå A îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì [7, 22, 24]: A E LP L MA M P E MA MA ML EE EE EE � � � �� � � �( ( ) )( ) , ( ) . (64) Âåêòîð x A f ML � � ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è: íàéòè min | | | | , min | | | | x L L x M M x Ax fT n T � � � � � � Arg R . (65)  îáùåì ñëó÷àå ðåøåíèå çàäà÷è (65) íååäèíñòâåííî.  ðàáîòàõ [7, 22, 24] îïðåäåëåíî óñëîâèå, ïðè êîòîðîì ðåøåíèå äàííîé çàäà÷è áóäåò åäèíñòâåííûì. Öåëü ðàáîòû — ïîñòðîèòü ìåòîäû äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ñ îãðàíè÷åíèÿìè, èñïîëüçóÿ äëÿ ýòîãî èññëåäîâàííûå â ðàçä. 5 è 6 ñîîòâåòñòâåííî ðåãóëÿðèçîâàííûå çàäà÷è è èòåðàöèîííûå ìåòîäû äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé. Äëÿ ýòîãî áóäåì èñïîëüçîâàòü óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ ML-âçâåøåííûå ïñåâäîîáðàòíûå ìàòðèöû ñîâïàäàþò ñî âçâåøåííûìè ïñåâäîîáðàòíûìè ìàòðèöàìè ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè [35]: B M M C L L Bu u Cv vT T E Em n � � � �, , ( , ) , ( , )0 0 � � � � �u vm n0 0R R, . (66) Òîãäà âîçìîæíîñòü èñïîëüçîâàíèÿ ïîñòðîåííûõ âûøå ðåãóëÿðèçîâàííûõ çàäà÷ è èòåðàöèîííûõ ìåòîäîâ äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ñ îãðàíè÷åíèÿìè îáóñëîâëåíà ñëåäóþùèìè îáñòîÿòåëüñòâàìè: âî-ïåðâûõ, ðåøåíèå ðÿäà òàêèõ çà- äà÷ ïðåäñòàâëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ ML-âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö; âî-âòî- ðûõ, ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (66) âçâåøåííûå ïñåâäîîáðàòíûå ìàòðèöû è ML-âçâåøåííûå ïñåâäîîáðàòíûå ìàòðèöû ñîâïàäàþò.  äàëüíåéøåì áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ýòè óñëîâèÿ âûïîëíÿþòñÿ.  íàñòîÿùåé ðàáîòå â êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì òîëüêî çàäà÷ó íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ñ îãðàíè÷åíèÿìè â âèäå ëèíåéíûõ ðàâåíñòâ. Ïîñòàíîâêè è ìåòîäû ðåøåíèÿ äðóãèõ çàäà÷ íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ñ îãðàíè÷åíèÿìè ìîæíî íàéòè â ðàáîòàõ [7, 22, 23, 24, 27, 33, 35, 39, 40, 47, 57, 63, 81, 82], ãäå ïðåäëàãàþòñÿ è èññëåäóþòñÿ ðåãóëÿðèçîâàííûå çàäà÷è è èòåðàöèîííûå ìåòîäû äëÿ ðåøåíèÿ ðÿäà çàäà÷ íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ñ îãðàíè÷åíèÿìè. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ñ îãðàíè÷åíèÿìè â âèäå ëèíåéíûõ ðàâåíñòâ (ñ ëèíåéíûìè ñâÿçÿìè) [7, 22, 24] min | | | | , | f EKf g f Lf h � � � � � � { }. (67) 68 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âûïîëíÿþòñÿ íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ (ñì. [7]) ñóùåñòâîâàíèÿ åäèíñòâåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è (67). Êðîìå òîãî, ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ìàòðèöà K KT ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííàÿ. Ýòî ïðåäïîëîæåíèå îáóñëîâëåíî òåì, ÷òî íèæå ñòðîÿòñÿ ìåòîäû äëÿ çàäà÷ íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ñ îãðàíè÷åíèÿìè, îñíîâàííûå íà èññëåäîâàííûõ â ðàçä. 5 è 6 ìåòîäàõ äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîðåøåíèé ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðå- äåëåííûìè âåñàìè. Îòìåòèì, ÷òî ïðè ïîñòðîåíèè ìåòîäîâ äëÿ ðåøåíèÿ íàçâàííûõ çàäà÷ íà îñíîâå ñâîéñòâ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè [83] áóäåì èìåòü äðóãîå óñëîâèå äëÿ ìàòðèöû K KT (ñì., íàïðèìåð, [49, 82]). Ðåøåíèå çàäà÷è (67) îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé [7] f L h KP g C K K P E L L EC L EE T L EE* ( ) , ,� � � � �� � � . (68) Òàêèì îáðàçîì, ðåøåíèå çàäà÷è (67) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó f f f* * ( ) * ( )� �1 2 íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé äâóõ çàäà÷: íàõîæäåíèå âçâåøåííîãî íîðìàëüíîãî ïñåâäîðåøåíèÿ ñèñòåìû Lf h( )1 � ñ âåñàìè E è C K KT� è íàõîæäåíèå íîðìàëüíîãî ïñåâäîðåøåíèÿ ñèñòåìû KP f gL ( )2 � . Òîãäà íà îñíîâàíèè òåîðåì 8 è 9 ìîæíî ïîëó÷èòü ðåãóëÿðèçîâàííûå çàäà÷è äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðèáëèæåíèÿ ê f * ( )1 è f * ( )2 . Òàê, íàïðèìåð, íà îñíîâàíèè òåîðåìû 9 äëÿ ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ f * ( )1 èìååì ÑËÀÓ (� �� �0 0, ) k n T TC L L E C L L E f k � � � �� � � � 0 1 1 2 1 1( ) ( ) ( )� � � � � � � � �� k n T TC L L E E C L h k k 0 1 1 2 2 1{ }( )� � , C K KT� , (69) à äëÿ âû÷èñëåíèÿ f * ( )2 — ÑËÀÓ (� �� �0 0, ) k n L T L L T LKP KP E KP KP E f k � � � � � � 0 1 2 2(( ) ) (( ) ) ( )� � � � � � � � k n L T L L TKP KP E E KP g k k 0 1 2 2{ }(( ) ) ( )� � , P E L LL EE � � � . (70) Íà îñíîâàíèè èòåðàöèîííûõ ïðîöåññîâ (43), (44), (49), (50), (54) ìîæíî ïîëó÷èòü èòåðàöèîííûå ïðîöåññû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðèáëèæåíèÿ ê f * ( )1 è f * ( )2 . Òàê, íàïðèìåð, íà îñíîâàíèè èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà (50) äëÿ ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ f * ( )1 èìååì ðåãóëÿðèçîâàííûé èòåðàöèîííûé ïðîöåññ ( , )� �� �0 0 f C L L E C L h fT T k0 1 1 1 1 1( ) ( )( ) ,� � �� � �� � � �� � � � � � f C L L E f k T k k k 1 1 2 1 2 1 11 1( ) ( ) ( )( )� � , k C K KT� �1 2, , . . . , , (71) ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 69 à äëÿ âû÷èñëåíèÿ f * ( )2 — ðåãóëÿðèçîâàííûé èòåðàöèîííûé ïðîöåcc ( � �� �0 0, ) f KP KP E KP gL T L L T 0 2 1( ) (( ) ) ( )� � �� , f f KP KP E f k k L T L k k k( ) ( ) ( ) ( )(( ) )2 1 2 2 2 1 21 1 � � �� � � � � � � , k P E L LL EE � � � �1 2, , . . . , . (72) Ïðè âû÷èñëåíèè f * ( )2 íåîáõîäèìî îïðåäåëÿòü ìàòðèöó P E L LL EE � � � , â êîòîðîé èìååòñÿ ïðîåêöèîííàÿ ìàòðèöà L L EE � .  [84] ïðåäëîæåí ðåêóððåíòíûé ïðîöåññ, ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî ëåãêî âû÷èñëÿþòñÿ òàêèå ïðîåêöèîííûå ìàòðèöû. Îòìåòèì, ÷òî â ðàáîòàõ [6, 85, 86] è â ìîíîãðàôèè [24] ïðåäëàãàåòñÿ è èññëåäóåòñÿ ìåòîä âçâåøèâàíèÿ, â [33, 35, 49] ðàññìàòðèâàþòñÿ ðåãóëÿðèçîâàí- íûå çàäà÷è äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (67), â [39, 40, 57, 81] — ðåãóëÿðèçîâàííûå èòåðàöèîííûå ìåòîäû, â ðàáîòå [87] ðàçðàáîòàíû êîìïüþòåðíî-àëãåáðàè÷åñêèå ïðîöåäóðû äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è.  çàêëþ÷åíèå îòìåòèì, ÷òî ðåøåíèå çàäà÷è íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ñ îãðà- íè÷åíèÿìè â âèäå êâàäðàòè÷íûõ íåðàâåíñòâ [7], íàõîæäåíèÿ L-ïñåâäîðåøåíèÿ [23], Lg-ïñåâäîðåøåíèÿ [20], ñâÿçàííîãî íîðìàëüíîãî ïñåâäîðåøåíèÿ [81] ïðè íå- êîòîðûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ òàêæå îïðåäåëÿþòñÿ ñóììîé âçâåøåííîãî íîðìàëüíîãî ïñåâäîðåøåíèÿ è îáû÷íîãî íîðìàëüíîãî ïñåâäîðåøåíèÿ (ñì., íàïðèìåð, [7, 22, 40, 63]), äëÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ êîòîðûõ ìîæíî èñïîëüçîâàòü ÑËÀÓ (69), (70) è èòåðàöèîííûå ïðîöåññû (71), (72). ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. C h i p m a n J . S . On least squares with insufficient obserwation // J. Amer. Statist. Assoc. — 1964. — 59, N 308. — P. 1078–1111. 2. M i l n e R . D . An oblique matrix pseudoinverse // SIAM J. Appl. Math. — 1968. — 16, N 5. — P. 931–944. 3. W a r d J . F . , B o u l l i o n T . L . , L e w i s T . O . A note on the oblique matrix pseudoinverse // Ibid. — 1971. — 20, N 2. — P. 173–175. 4. G r e v i l l e T . N . E . Note on fitting of functions of several independent variables // J. Soc. Industr. Appl. Math. — 1961. — 9, N 1. — P. 109–115. 5. M i t r a S . K . , R a o C . R . Projections under seminorms and generalized Moore-Penrose inverses // Linear Algebra and Appl. — 1974. — 9. — P. 155–167. 6. E l d e n L . Perturbation theory for the least squares problem with linear equality constraints // SIAM J. Numer. Anal. — 1980. — 17, N 3. — P. 338–350. 7. E l d e n L . A weighted pseudoinverse generalized singular values and constrained least squares problems // BIT. — 1982. — 22, N 4. — P. 487–502. 8. À ë á å ð ò À . Ðåãðåññèÿ, ïñåâäîèíâåðñèÿ è ðåêóððåíòíîå îöåíèâàíèå. — Ì.: Íàóêà, 1977. — 223 ñ. 9. B o u l l i o n T . , O d e l l P . Generalized inverses of matrices. — New York: Wiley, 1971. — 103 p. 10. B e n - I s r a e l A . , G r e v i l l e T . N . E . Generalized inverse. Theory and applications. —2th ed. — New York: Springer-Verlag, 2003. — 420 p. 11. R a o C . R . , M i t r a S . K . Generalized inverse of matrices and its applications. — New York: Wiley, 1971. 12. N a s h e d M . Z . Generalized inverses and applications. — New York: Acad. Press, 1976. — 1024 p. 13. M o o r e E . H . On the reciprocal of the general algebraic matrix // Abstract. Bull. Amer. Math. Soc. — 1920. — 26. — P. 394–395. 70 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 14. P e n r o s e R . A generalized inverse for matrices // Proc. Cambridge Phil. Soc. — 1955. — 51, N 3. — P. 406–413. 15. Á ë þ ì è í Ñ . Ë . , Ì è ë î â è ä î â Ñ . Ï . Âçâåøåííîå ïñåâäîîáðàùåíèå â îïòèìàëüíîì óïðàâëåíèè äèñêðåòíî-àðãóìåíòíûìè ñèñòåìàìè // Èçâ. ÐÀÍ. Òåõí. êèáåðíåòèêà. — 1992. — ¹ 1. — Ñ. 227. 16. Ê è ð è ÷ å í ê î Í . Ô . , Ë å ï å õ à Í . Ï . Ïñåâäîîáðàùåíèå â çàäà÷àõ óïðàâëåíèÿ è íàáëþäåíèÿ // Àâòîìàòèêà. — 1993. — ¹ 5. — Ñ. 69–81. 17. R a o C . R . , M i t r a S . K . Theory and application of constrained inverse of matrices // SIAM J. Appl. Math. — 1973. — 24. — P. 473–488. 18. W a t s o n G . S . Linear least squares regression // Ann. Math. Statist. — 1967. — 83. — P. 1679–1699. 19. Z y s k i n d G . On canonical forms, non-negative covariance matrices and best and simple least squares linear estimators in linear models // Ibid. — 1967. — 38. — P. 1092–1109. 20. Ì å ë å ø ê î  . È . Ïðèìåíåíèå ðåêóððåíòíûõ îïòèìàëüíûõ îöåíîê ñ ïñåâäîîáðàùåíèåì â çàäà÷àõ èäåíòèôèêàöèè // Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. — 1978. — ¹ 9. — Ñ. 79–89. 21. P u l e L . D . The weighted generalized inverse in nonlinear programming-active set selection using a variable-metric generalization of the simplex algorithm // Lect. Notes in Econ. and Math. Systems. — 1977. — 174. — P. 197-231. 22.  à à ð ì à í í Î . Îáîáùåííûå îáðàòíûå îòîáðàæåíèÿ. — Òàëëèí: Âàëãóñ, 1988. — 120 ñ. 23. Ì î ð î ç î â  . À . Ðåãóëÿðíûå ìåòîäû ðåøåíèÿ íåêîððåêòíî ïîñòàâëåííûõ çàäà÷. — Ì.: Íàóêà, 1987. — 240 c. 24. Ë î ó ñ î í × . , Õ å í ñ î í Ð . ×èñëåííîå ðåøåíèå çàäà÷ ìåòîäà íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ. — Ì.: Íàóêà, 1986. — 232 ñ. 25. à à ë á à Å . Ô . Èòåðàöèîííûå ìåòîäû äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû // Æóðí. âû÷èñë. ìàòåìàòèêè è ìàò. ôèçèêè. — 1996. — 36, ¹ 6. — Ñ. 28–39. 26. à à í ò ì à õ å ð Ô . Ð . Òåîðèÿ ìàòðèö. — Ì.: Íàóêà, 1967. — 576 ñ. 27. à à ë á à Å . Ô . Èòåðàöèîííûå ìåòîäû äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííîãî íîðìàëüíîãî ïñåâäîðåøåíèÿ ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 1998. — ¹ 2. — Ñ. 105–115. 28. Á å ë ë ì à í Ð . Ââåäåíèå â òåîðèþ ìàòðèö. — Ì.: Íàóêà, 1969. — 368 ñ. 29. L a n c a s t e r P . , R o z s a P . Eigenvectors of H-self-adjoint matrices // Z. angew. Math. und Mech. — 1984. — 64, N 9. — S. 439–441. 30. È ê ð à ì î â Õ . Ä . Îá àëãåáðàè÷åñêèõ ñâîéñòâàõ êëàññîâ ïñåâäîïåðåñòàíîâî÷íûõ è H-ñàìîñîïðÿæåííûõ ìàòðèö // Æóðí. âû÷èñë. ìàòåìàòèêè è ìàò. ôèçèêè. — 1992. — 32, ¹ 8. — Ñ. 155–169. 31. H e a r o n J . Z . Symmetrizable generalized inverses of symmetrizable matrices // J. Res. Nat. Bu- reau Standards. — 1967. — 71, N 4. — P. 229–231. 32. B a k s a l a r y J . K . , K a l a R . Symmetrizers of matrices // Linear Algebra and Appl. — 1981. — 35. — P. 51–62. 33. à à ë á à Å . Ô . , Ä å é í å ê à  . Ñ . , Ñ å ð ã è å í ê î È .  . Ïðåäåëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè è ðåãóëÿðèçàöèÿ çàäà÷ // Æóðí. âû÷èñë. ìàòåìàòèêè è ìàò. ôèçèêè. — 2004. — 44, ¹ 11. — Ñ. 1928–1946. 34. S e n S . K . , V e n k a i a h V . C h . On symmetrizing a matrix // Indian J. Pure and Appl. Math. — 1988. — 19, N 6. — P. 554–561. 35. Ñ å ð ã è å í ê î È .  . , à à ë á à Å . Ô . , Ä å é í å ê à  . Ñ . Ïðåäåëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè è ðåãóëÿðèçàöèÿ çàäà÷ // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2003. — ¹ 6. — Ñ. 46–65. 36. Ì î ë ÷ à í î â È . Í . , à à ë á à Å . Ô . Âçâåøåííîå ïñåâäîîáðàùåíèå êîìïëåêñíûõ ìàòðèö // Óêð. ìàò. æóðí. — 1983. — 35, ¹ 1. — Ñ. 53–57. 37. È ê ð à ì î â Õ . Ä . Çàäà÷íèê ïî ëèíåéíîé àëãåáðå. — Ì.: Íàóêà, 1975. — 316 ñ. 38. D e c e l l H . P . An application of the Cayley-Hamilton theorem to generalized matrix inversion // SIAM Rev. — 1965. — 7, N 4. — P. 526–528. 39. Ñ å ð ã è å í ê î È .  . , à à ë á à Å . Ô . , Ä å é í å ê à  . Ñ . Ðàçëîæåíèå â ðÿäû âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö è èòåðàöèîííûå ìåòîäû äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö è âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2006. — ¹ 1. — Ñ. 32–62. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 71 40. Ñ å ð ã è å í ê î È .  . , à à ë á à Å . Ô . , Ä å é í å ê à  . Ñ . Ðàçëîæåíèå âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ è èòåðàöèîííûå ìåòîäû // Òàì æå. — 2007. — ¹ 1. — Ñ. 45–64. 41. Ô î ð ñ à é ò Ä æ . , Ì î ë å ð Ê . ×èñëåííîå ðåøåíèå ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. — Ì.: Ìèð, 1969. — 168 ñ. 42. à à ë á à Å . Ô . Âçâåøåííîå ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå è âçâåøåííîå ïñåâäîîáðàùåíèå ìàòðèö // Óêð. ìàò. æóðí. — 1996. — 48, ¹ 10. — Ñ. 1426–1430. 43. Õ î ð í Ð . , Ä æ î í ñ î í × . Ìàòðè÷íûé àíàëèç. — Ì.: Ìèð, 1989. — 656 ñ. 44. G o l u b G . , K a h a n W . Calculating the singular values and pseudoinverse of matrix // SIAM J. Numer. Anal. — 1965. — 2. — P. 205–224. 45. G o l u b G . H . , R e i n s c h C . Singular value decomposition and least squares solutions // Numer. Math. — 1970. — 14. — P. 403–420. 46. Ó è ë ê è í ñ î í Ä æ . Õ . , Ð à é í ø Ê . Ñïðàâî÷íèê àëãîðèòìîâ íà ÿçûêå ÀËÃÎË. Ëèíåéíàÿ àëãåáðà. — Ì.: Ìàøèíîñòðîåíèå, 1976. — 389 ñ. 47. Ñ å ð ã è å í ê î È .  . , à à ë á à Å . Ô . , Ä å é í å ê à  . Ñ . Èòåðàöèîííûå ìåòîäû ñ ðàçëè÷íûìè ñêîðîñòÿìè ñõîäèìîñòè äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö è âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2004. — ¹ 5. — Ñ. 20–44. 48. Ñ å ð ã è å í ê î È .  . , à à ë á à Å . Ô . , Ä å é í å ê à  . Ñ . Ðàçëîæåíèå âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ // Óêð. ìàò. æóðí. — 2004. — 56, ¹ 11. — Ñ. 1539–1556. 49. à à ë á à Å . Ô . , Ä å é í å ê à  . Ñ . , Ñ å ð ã è å í ê î È .  . Ðàçëîæåíèÿ è ìíîãî÷ëåííûå ïðåäåëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö // Æóðí. âû÷èñë. ìàòåìàòèêè è ìàò. ôèçèêè. — 2007. — 47, ¹ 5. — Ñ. 747–765. 50. V a n L o a n C . F . Generalizing the singular value decomposition // SIAM J. Numer. Anal. — 1976. — 13, N 1. — P. 76–83. 51. W e i Y . , W u H . The representation and approximation for the weighted Moore-Penrose inverse // Appl. Math. Comput. — 2001. — 121. — P. 17–28. 52. W e i Y . , W a n g D . Condition numbers and perturbation of the weighted Moore-Penrose in- verse and weighted linear least squares problem // Ibid. — 2003. — 145. — P. 45–58. 53. J i J . , W e i Y . A note on the sensitiviti of the solution of the weighted linear least squares prob- lem // Appl. Math. Comput. — 2003. — 145. — P. 481–485. 54. Õ è ì è ÷ À . Í . , Í è ê î ë à å â ñ ê à ÿ Å . À . Îöåíêà ïîãðåøíîñòåé ðåøåíèÿ çàäà÷è âçâåøåííûõ íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ // Ñá. íàó÷. òð. Êîìïüþòåðíàÿ ìàòåìàòèêà. — Êèåâ: Èí-ò êèáåðíåòèêè èì. Â.Ì. Ãëóøêîâà ÍÀÍ Óêðàèíû. — 2006. — ¹ 3. — Ñ. 36–45. 55. W a n g D . Some topics on weighted Moore-Penrose inverse, weighted least squares and weighted regularized Tikhonov problems // Appl. Math. Comput. — 2004. — 157. — P. 243–267. 56. à à ë á à Å . Ô . Ðàçëîæåíèå â ðÿäû âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö // Äîï. ÍÀÍ ÓêðàÂíè. — 1995. — ¹ 12. — Ñ. 5–7. 57. Ñ å ð ã è å í ê î È .  . , à à ë á à Å . Ô . , Ä å é í å ê à  . Ñ . Ðàçëîæåíèå âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ è èòåðàöèîííûå ìåòîäû // Óêð. ìàò. æóðí. — 2007. — 59, ¹ 9. — Ñ. 1269–1289. 58. L o n s e t h A . T . Approximate solution of Fredholm type integral equations // Bull. Amer. Math. Soc. — 1954. — 60. — P. 415–430. 59. B e n - I s r a e l A . , C h a r n e s A . Contribution to the theory of generalized inverses // J. Soc. Industr. Appl. Math. — 1963. — 11, N 3. — P. 667–699. 60. Ì î ë ÷ à í î â È . Í . , à à ë á à Å . Ô . Âçâåøåííîå ïñåâäîîáðàùåíèå ìàòðèö ñ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííûìè âåñàìè // Äîêë. ÀÍ ÓÑÑÐ. — 1989. — Ñåð. À, ¹ 7. — Ñ. 15–17. 61. B r o e d e r G . G . , C h a r n e s A . Contributions to the theory generalized inverses for matrices // ONR Res. Memo ¹ 39 / Northwestern Univ., 1962. 62. Ò è õ î í î â À . Í . , À ð ñ å í è í  . ß . Ìåòîäû ðåøåíèÿ íåêîððåêòíûõ çàäà÷. — Ì.: Íàóêà, 1974. — 223 ñ. 63. à à ë á à Å . Ô . , Ä å é í å ê à  . Ñ . , Ñ å ð ã è å í ê î È .  . Èòåðàöèîííûå ìåòîäû âûñîêèõ ñêîðîñòåé ñõîäèìîñòè äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö è âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè // Æóðí. âû÷èñë. ìàòåìàòèêè è ìàò. ôèçèêè. — 2005. — 45, ¹ 10. — Ñ. 1731–1755. 64. S c h u l z G . Iterative Berechnungder resiproken Matrix // Z. angew. Math. und Mech. — 1933. — 33. — S. 57–59. 72 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 65. S t a n i m i r o v i c P . , D j o r d j e v i c D . Universal iterative methods for computing general- ized inverses // Acta Mathematica Hungarika. — 1998. — 79, N 13. — P. 253–268. 66. B e n - I s r a e l A . , C o h e n D . On iterative computation of generalized inverses and associ- ated projections // SIAM J. Numer. Anal. — 1966. — 3, N 3. — P. 410–419. 67. N a s h e d M . Z . Inner, outer, and generalized inverses in Banach and Hilbert spaces // Numer. Funct. Anal. and Optimiz. — 1987. — 9, N 3–4. — P. 261–325. 68. Ì å ë å ø ê î  . È . Óñòîé÷èâûå ê âîçìóùåíèÿì ïñåâäîîáðàùåíèÿ çàìêíóòûõ îïåðàòîðîâ // Æóðí. âû÷èñë. ìàòåìàòèêè è ìàò. ôèçèêè. — 1977. — 17, ¹ 5. — Ñ. 1132–1143. 69. S e n S . K . , P r a b h u S . S . Optimal iterative schemes for computing the Moore-Penrose ma- trix inverse // Int. J. Syst. Sci. — 1976. — 7, N 8. — P. 847–852. 70. T a n a b e K . Neumann-type expansion of reflexive generalized inverses of a matrix and the hyperpower iterative method // Linear Algebra Appl. — 1975. — 10. — P. 163–175. 71. W a n g G . , C h e n Y . A recursive algorithm for computing the weighted Moore-Penroze inverse AMN � // J. Comput. Math. — 1986. — 4, N 1. — P. 74–85. 72. G r e v i l l e T . N . E . Some applications of the pseudoinverse of a matrix // SIAM Rev. — 1960. — 2, N 1. — P. 15–22. 73. W a n g G . A finite algorithm for computing the weighted Moore-Penroze inverse AMN � // Appl. Math. Comput. — 1987. — 23, N 4. — P. 277–289. 74. Ô à ä ä å å â Ä . Ê . , Ô à ä ä å å â à  . Í . Âû÷èñëèòåëüíûå ìåòîäû ëèíåéíîé àëãåáðû. — Ì.: Ôèçìàòãèç, 1963. — 736 ñ. 75. Á å ð ñ å í å â Ñ . Ì . Î âû÷èñëèòåëüíûõ ñõåìàõ ìåòîäà ðåãóëÿðèçàöèè // Æóðí. âû÷èñë. ìàòåìàòèêè è ìàò. ôèçèêè — 1984. — 24, ¹ 5. — Ñ. 1402–1405. 76. T i a n H . J . On the splittings for rectangular systems // J. Comput. Math. — 1995. — 13, N 4. — P. 337–342. 77. W a n g G . , L u S . Fast parallel algorithms for computing generalized inverses A� and AMN � // J. Comput. Math. — 1988. — 6, N 4. — P. 348–354. 78. C e n s o r Y . , G o r d o n D . , G o r d o n R . Component averaging: an efficient iterative paral- lel algorithm for large and sparse unstructured problems // Parallel Comput. — 2001. — 27, N 6. — P. 777–808. 79. C e n s o r Y . , E l f v i n g T . Block-iterative algorithms with diagonally skaled oblique projections for the linear feasibility problem // SIAM J. Matrix. Anal. Appl. — 2002. — 24, N 1. — P. 40–58. 80. à à ë á à Å . Ô . Ïðåäñòàâëåíèå âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû ÷åðåç äðóãèå ïñåâäîîáðàòíûå ìàòðèöû // Äîï. ÍÀÍ ÓêðàÂíè. — 1997. — ¹ 4. — Ñ. 12–17. 81. À ð õ à ð î â Å .  . , Ø à ô è å â Ð . À . Ìåòîäû ðåãóëÿðèçàöèè çàäà÷è ñâÿçàííîãî ïñåâäîîáðàùåíèÿ ñ ïðèáëèæåííûìè äàííûìè // Æóðí. âû÷èñë. ìàòåìàòèêè è ìàò. ôèçèêè. — 2003. — 43, ¹ 3. — Ñ. 347–353. 82. à à ë á à Å . Ô . Èòåðàöèîííûå ìåòîäû äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííîãî íîðìàëüíîãî ïñåâäîðåøåíèÿ ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè // Òàì æå. — 1999. — 39, ¹ 6. — Ñ. 882–896. 83. à à ë á à Å . Ô . Âçâåøåííîå ïñåâäîîáðàùåíèå ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè // Óêð. ìàò. æóðí. — 1994. — 46, ¹ 10. — Ñ. 1323–1327. 84. Æ ó ê î â ñ ê è é Å . Ë . , Ë è ï ö å ð Ð . Ø . Î ðåêóððåíòíîì ñïîñîáå âû÷èñëåíèÿ íîðìàëüíûõ ðåøåíèé ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé // Æóðí. âû÷èñë. ìàòåìàòèêè è ìàò. ôèçèêè. — 1972. — 12, ¹ 4. — Ñ. 843–857. 85. V a n L o a n C . F . On the method of weighting for equality-constrained least-squares problems // SIAM J. Numer. Anal. — 1985. — 22, N 5. — P. 851–864. 86. S t e w a r t G . W . On the weighting method for least squares problems with linear equality con- straints // BIT. — 1997. — 37. — P. 961–967. 87. È ê ð à ì î â Õ . Ä . , Ì à ò è í ô à ð Ì . Î êîìïüþòåðíî-àëãåáðàè÷åñêèõ ïðîöåäóðàõ äëÿ ëèíåéíîé çàäà÷è íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ñ ëèíåéíûìè ñâÿçÿìè // Æóðí. âû÷èñë. ìàòåìàòèêè. è ìàò. ôèçèêè. — 2004. — 44, ¹ 2. — Ñ. 206–212. Ïîñòóïèëà 20.04.2007 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 73

Ähnliche Einträge