Представления и разложения взвешенных псевдообратных матриц, итерационные методы и регуляризация задач. I. Положительно-определенные веса

Представления и разложения взвешенных псевдообратных матриц, итерационные методы и регуляризация задач. I. Положительно-определенные веса

Наведено огляд робіт, присвячених зображенням і розвиненням зважених псевдообернених матриць з додатно-означеними вагами та побудові ітераційних методів і регуляризованих задач для обчислення зважених псевдообернених матриць і зважених нормальних псевдорозв'язків. Розглянуто питання використанн...

Full description

Saved in:
Bibliographic Details
Date:2008
Main Authors: Сергиенко, И.В., Галба, Е.Ф., Дейнека, В.С.
Format: Article
Language:Russian
Published: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2008
Series:Кибернетика и системный анализ
Subjects:
Системный анализ
Online Access:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/71922
Tags: Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:Представления и разложения взвешенных псевдообратных матриц, итерационные методы и регуляризация задач. I. Положительно-определенные веса / И.В. Сергиенко, Е.Ф. Галба, В.С. Дейнека // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 1. — С.47-73. — Бібліогр.: 87 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-71922
record_format dspace
spelling nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-719222025-02-23T19:46:52Z Представления и разложения взвешенных псевдообратных матриц, итерационные методы и регуляризация задач. I. Положительно-определенные веса Сергиенко, И.В. Галба, Е.Ф. Дейнека, В.С. Системный анализ Наведено огляд робіт, присвячених зображенням і розвиненням зважених псевдообернених матриць з додатно-означеними вагами та побудові ітераційних методів і регуляризованих задач для обчислення зважених псевдообернених матриць і зважених нормальних псевдорозв'язків. Розглянуто питання використання побудованих методів для розв'язування задач найменших квадратів з обмеженнями.Наведено огляд робіт зображень і розвинення зважених псевдообернених матриць із додатно-напіввизначеними вагами та побудови ітераційних методів і регуляризованих задач для обчислення зважених псевдообернених матриць і зважених нормальних псевдорозв'язків на базі цих зображень і розвинень. Розглянуто питання використання побудованих методів для розв'язування задач найменших квадратів із обмеженнями. 2008 Article Представления и разложения взвешенных псевдообратных матриц, итерационные методы и регуляризация задач. I. Положительно-определенные веса / И.В. Сергиенко, Е.Ф. Галба, В.С. Дейнека // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 1. — С.47-73. — Бібліогр.: 87 назв. — рос. https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/71922 512.64:519.61 ru Кибернетика и системный анализ application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
topic Системный анализ
Системный анализ
spellingShingle Системный анализ
Системный анализ
Сергиенко, И.В.
Галба, Е.Ф.
Дейнека, В.С.
Представления и разложения взвешенных псевдообратных матриц, итерационные методы и регуляризация задач. I. Положительно-определенные веса
Кибернетика и системный анализ
description Наведено огляд робіт, присвячених зображенням і розвиненням зважених псевдообернених матриць з додатно-означеними вагами та побудові ітераційних методів і регуляризованих задач для обчислення зважених псевдообернених матриць і зважених нормальних псевдорозв'язків. Розглянуто питання використання побудованих методів для розв'язування задач найменших квадратів з обмеженнями.Наведено огляд робіт зображень і розвинення зважених псевдообернених матриць із додатно-напіввизначеними вагами та побудови ітераційних методів і регуляризованих задач для обчислення зважених псевдообернених матриць і зважених нормальних псевдорозв'язків на базі цих зображень і розвинень. Розглянуто питання використання побудованих методів для розв'язування задач найменших квадратів із обмеженнями.
format Article
author Сергиенко, И.В.
Галба, Е.Ф.
Дейнека, В.С.
author_facet Сергиенко, И.В.
Галба, Е.Ф.
Дейнека, В.С.
author_sort Сергиенко, И.В.
title Представления и разложения взвешенных псевдообратных матриц, итерационные методы и регуляризация задач. I. Положительно-определенные веса
title_short Представления и разложения взвешенных псевдообратных матриц, итерационные методы и регуляризация задач. I. Положительно-определенные веса
title_full Представления и разложения взвешенных псевдообратных матриц, итерационные методы и регуляризация задач. I. Положительно-определенные веса
title_fullStr Представления и разложения взвешенных псевдообратных матриц, итерационные методы и регуляризация задач. I. Положительно-определенные веса
title_full_unstemmed Представления и разложения взвешенных псевдообратных матриц, итерационные методы и регуляризация задач. I. Положительно-определенные веса
title_sort представления и разложения взвешенных псевдообратных матриц, итерационные методы и регуляризация задач. i. положительно-определенные веса
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate 2008
topic_facet Системный анализ
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/71922
citation_txt Представления и разложения взвешенных псевдообратных матриц, итерационные методы и регуляризация задач. I. Положительно-определенные веса / И.В. Сергиенко, Е.Ф. Галба, В.С. Дейнека // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 1. — С.47-73. — Бібліогр.: 87 назв. — рос.
series Кибернетика и системный анализ
work_keys_str_mv AT sergienkoiv predstavleniâirazloženiâvzvešennyhpsevdoobratnyhmatriciteracionnyemetodyiregulârizaciâzadačipoložitelʹnoopredelennyevesa
AT galbaef predstavleniâirazloženiâvzvešennyhpsevdoobratnyhmatriciteracionnyemetodyiregulârizaciâzadačipoložitelʹnoopredelennyevesa
AT dejnekavs predstavleniâirazloženiâvzvešennyhpsevdoobratnyhmatriciteracionnyemetodyiregulârizaciâzadačipoložitelʹnoopredelennyevesa
first_indexed 2025-11-24T19:31:16Z
last_indexed 2025-11-24T19:31:16Z
_version_ 1849701356797952000
fulltext È.Â. ÑÅÐÃÈÅÍÊÎ, Å.Ô. ÃÀËÁÀ, Â.Ñ. ÄÅÉÍÅÊÀ ÓÄÊ 512.64 : 519.61 ÏÐÅÄÑÒÀÂËÅÍÈß È ÐÀÇËÎÆÅÍÈß ÂÇÂÅØÅÍÍÛÕ ÏÑÅÂÄÎÎÁÐÀÒÍÛÕ ÌÀÒÐÈÖ, ÈÒÅÐÀÖÈÎÍÍÛÅ ÌÅÒÎÄÛ È ÐÅÃÓËßÐÈÇÀÖÈß ÇÀÄÀ×. I. ÏÎËÎÆÈÒÅËÜÍÎ-ÎÏÐÅÄÅËÅÍÍÛÅ ÂÅÑÀ Êëþ÷åâûå ñëîâà: âçâåøåííûå ïñåâäîîáðàòíûå ìàòðèöû, âçâåøåííûå íîðìàëüíûå ïñåâäîðåøåíèÿ, ïðåäñòàâëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö, ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö, ðåãóëÿðèçàöèÿ, èòåðàöèîííûå ìåòîäû, çàäà÷è íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ñ îãðàíè÷åíèÿìè. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Îïðåäåëåíèå âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííû- ìè âåñàìè âïåðâûå áûëî äàíî â 1964 ãîäó â ðàáîòå [1].  1968 ãîäó â [2] ââå- äåíî ïîíÿòèå êîñîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû.  [3] ïîêàçàíî, ÷òî ìíîæåñòâî âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö, ââåäåííûõ â [1], ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñ- òâîì êîñûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö, ââåäåííûõ â [2]. Îòìåòèì, ÷òî â 1961 ãîäó â [4] èñïîëüçîâàëñÿ ÷àñòíûé ñëó÷àé âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðè- öû.  ðÿäå ðàáîò (ñì., íàïðèìåð, [5–7]) èññëåäîâàëàñü ML-âçâåøåííàÿ ïñåâäîèíâåðñèÿ. Ðàçëè÷íûå âèäû ïñåâäîèíâåðñèè è åå ïðèëîæåíèé ðàññìàòðè- âàëèñü â [8–11]. Áîëüøîé îáçîð ëèòåðàòóðû ïî ðàçëè÷íûì âèäàì ïñåâäîèíâåðñèè èìååòñÿ â [12].  äàëüíåéøåì, åñëè íå îãîâîðåíî ïðîòèâíîå, â íàñòîÿùåé ðàáîòå áóäåò ðàññìàòðèâàòüñÿ âçâåøåííàÿ ïñåâäîèíâåðñèÿ, îïðåäåëåííàÿ â [1–3]. Òàê êàê âçâåøåííàÿ ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðèöà ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè [1–3] ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû Ìóðà–Ïåíðîóçà [13, 14], åå èññëåäîâàíèå ïðåäñòàâëÿåò òåîðåòè÷åñêèé èíòåðåñ ñ òî÷êè çðåíèÿ îáîáùåíèÿ ñâîéñòâ ïñåâäîîáðàùåíèÿ ïî Ìóðó–Ïåíðîóçó. Êðîìå òîãî, èíòåðåñ ê âçâåøåííûì ïñåâäîîáðàòíûì ìàòðèöàì â çíà÷èòåëüíîé ñòåïåíè îáóñëîâëåí èõ ïðèëîæåíèÿìè.  ÷àñòíîñòè, ýòî çàäà÷è íàáëþäåíèÿ è óïðàâëåíèÿ [1, 15, 16], ñòàòèñòèêè [8, 11, 17–19], èäåíòèôèêàöèè [20], íåëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ [21], çàäà÷è íàè- ìåíüøèõ êâàäðàòîâ ñ îãðàíè÷åíèÿìè [7, 22], çàäà÷è âû÷èñëåíèÿ L- [23] è Lg-ïñåâäîðåøåíèé [20]. Ê çàäà÷àì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ñ îãðàíè÷åíèÿìè ïðèõîäÿò ïðè ìàòåìàòè÷åñêîì ìîäåëèðîâàíèè ïðîöåññîâ â ðàçëè÷íûõ ïðåäìåòíûõ îáëàñòÿõ: ôèçèêå, ýêîíîìèêå, îáùåñòâå [24]. Íàñòîÿùàÿ ðàáîòà íîñèò îáçîðíûé õàðàêòåð è íàïèñàíà ïðåèìóùåñòâåííî íà îñíîâå ñòàòåé àâòîðîâ, ïîñâÿùåííûõ ðàçâèòèþ òåîðèè âçâåøåííîé ïñåâäîèíâåðñèè â íàïðàâëåíèè èññëåäîâàíèÿ ñâîéñòâ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàò- íûõ ìàòðèö è âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé, ïîëó÷åíèÿ è èññëåäîâàíèÿ ïðåäñòàâëåíèé è ðàçëîæåíèé âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö, ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 47 © È.Â. Ñåðãèåíêî, Å.Ô. Ãàëáà, Â.Ñ. Äåéíåêà, 2008 à òàêæå èñïîëüçîâàíèþ ïîëó÷åííûõ ïðåäñòàâëåíèé è ðàçëîæåíèé âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö äëÿ ïîñòðîåíèÿ è èññëåäîâàíèÿ ðåãóëÿðèçîâàííûõ çàäà÷ è èòåðàöèîííûõ ìåòîäîâ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö, âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé, ðåøåíèÿ çàäà÷ íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ñ îãðàíè÷åíèÿìè. Äàííàÿ ðàáîòà ïîñâÿùåíà âçâåøåííîé ïñåâäîèíâåðñèè ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè. Èññëåäîâàíèþ âçâåøåííîé ïñåâäîèíâåð- ñèè ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè (ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûìè) áóäåò ïîñâÿùåíà îòäåëüíàÿ ñòàòüÿ. Ðàáîòà ñîñòîèò èç âîñüìè ðàçäåëîâ. Ðàçä. 1 íîñèò âñïîìîãàòåëüíûé õàðàêòåð.  íåì ïðèâåäåíû îïðåäåëåíèÿ, îáîçíà÷åíèÿ, ââåäåíû ìàòðè÷íûå è âåêòîðíûå íîðìû, ðàññìîòðåíû ñâîéñòâà âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ è ñèììåòðèçóåìûõ ìàòðèö.  ðàçä. 2 äàíû ïðåäñòàâëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â òåðìèíàõ êîýôôèöèåíòîâ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ ñèììåòðèçóåìûõ è ñèììåòðè÷íûõ ìàòðèö. Óñòàíàâëèâàåòñÿ ñâÿçü âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñî âçâåøåííûìè íîðìàëüíûìè ïñåâäîðåøåíèÿìè.  ðàçä. 3 ïîñòðîåíî âçâåøåííîå ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå ìàòðèö è ïñåâäîîáðàòíûõ ê íèì. Ðàçä. 4 ïîñâÿùåí ïîëó÷åíèþ è èññëåäîâàíèþ ðàçëîæåíèèé âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû è ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ ñ ïîëîæèòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ñòåïåíåé. Ðàçä. 5 ïîñâÿùåí òåì æå âîïðîñàì, ÷òî è ðàçä. 4, íî äëÿ ðàçëîæåíèé ñ îòðèöàòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ñòåïåíåé. Êðîìå òîãî, ïîëó÷åíû ìíîãî÷ëåííûå ïðåäåëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö, ïîñòðîåíû è èññëåäîâàíû ðåãóëÿðèçîâàííûå çàäà÷è äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðèáëèæåíèé ê âçâåøåí- íûì ïñåâäîîáðàòíûì ìàòðèöàì è âçâåøåííûì íîðìàëüíûì ïñåâäîðåøåíèÿì.  ðàçä. 6 ïðèâåäåíî è èññëåäîâàíî ðÿä èòåðàöèîííûõ ïðîöåññîâ ñ ðàçëè÷íûìè ñêîðîñòÿìè ñõîäèìîñòè äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðèáëèæåíèé ê ðåøåíèþ óêàçàííûõ âûøå çàäà÷.  ðàçä. 7 ïðèâåäåíû ôîðìóëû äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû ÷åðåç ïñåâäîîáðàòíóþ ìàòðèöó Ìóðà–Ïåíðîóçà è ÷àñòíûå âèäû âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö. Ðàçä. 8 ïîñâÿùåí àäàïòàöèè ìåòîäîâ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé äëÿ ïîñòðîåíèÿ àëãîðèòìîâ ðåøåíèÿ çàäà÷ íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ñ îãðàíè÷åíèÿìè. Îòìåòèì, ÷òî â ðàáîòå âåçäå ïðåäïîëàãàåòñÿ âåùåñòâåííîñòü èñïîëüçóåìûõ ñêàëÿðîâ, âåêòîðîâ, ìàòðèö è ïðîñòðàíñòâ. 1. ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈß, ÎÁÎÇÍÀ×ÅÍÈß, ÂÅÊÒÎÐÍÛÅ È ÌÀÒÐÈ×ÍÛÅ ÍÎÐÌÛ, ÑÈÌÌÅÒÐÈÇÓÅÌÛÅ ÌÀÒÐÈÖÛ Ââåäåì íåîáõîäèìûå äëÿ äàëüíåéøåãî èçëîæåíèÿ îáîçíà÷åíèÿ è îïðåäåëå- íèÿ. Îáîçíà÷èì R m n� ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ìàòðèö ðàçìåðà m n� . Ïóñòü A m n� �R , X n m� �R , à B m m� �R è C n n� �R — ñèììåòðè÷íûå ïî- ëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûå ìàòðèöû. Òîãäà âçâåøåííàÿ ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðè- öà äëÿ ìàòðèöû A îïðåäåëÿåòñÿ êàê åäèíñòâåííàÿ ìàòðèöà X A BC � � , óäîâëåòâîðÿþùàÿ ÷åòûðåì óñëîâèÿì [1, 3]: AXA A� , XAX X� , ( )BAX BAXT � , ( )CXA CXAT � . (1) Ïðè B C E� � , ãäå E — åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà, ñèñòåìà ìàòðè÷íûõ óðàâíåíèé (1) áóäåò îïðåäåëÿòü ïñåâäîîáðàòíóþ ìàòðèöó Ìóðà–Ïåíðîóçà [13, 14] ê ìàòðèöå A, êîòîðóþ îáîçíà÷èì A EE � . Îáîçíà÷èì R n n-ìåðíîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî íàä ïîëåì äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, ãäå âåêòîðû — ìàòðèöû ðàçìåðà n �1. Ïóñòü H — ñèììåòðè÷íàÿ 48 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà. Îáîçíà÷èì R n H( ) åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì ( , ) ( , )u v Hu vH E� è íîðìîé | | | | ( , ) /u u uH H � 1 2 , ãäå ( , )u v u vE T� . Îïðåäåëèì íîðìó ïðÿìîóãîëüíîé ìàòðèöû [25]. Ïóñòü A m n� �R , H m m� �R èV n n� �R — ñèììåòðè÷íûå ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûå ìàòðèöû, x — ïðîèçâîëüíûé âåêòîð èç R n . Íîðìó ìàòðèöû A ââåäåì ñîîòíîøåíèåì | | | | | | | | | | | | | | | | | / A AVx x H AVx HV x H E x E n m� � � � sup sup 0 0 1 2 | | | , x En (2) ãäå íèæíèé èíäåêñ ïðè åäèíè÷íîé ìàòðèöå îçíà÷àåò åå ðàçìåðíîñòü. Ïî àíàëîãèè ñ [26] ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ïðè òàêîì îïðåäåëåíèè íîðìà ìàòðèöû A ðàâíà | | | | [ ( )]max /A VA HAVHV T� � 1 2 , (3) ãäå � max ( )L — ìàêñèìàëüíîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ìàòðèöû L.  [25] ïîêàçàíî, ÷òî ôóíêöèÿ ìàòðèöû, îïðåäåëåííàÿ ôîðìóëîé (2), ÿâëÿåòñÿ àääèòèâíîé ìàòðè÷íîé íîðìîé. Ïóñòü A m p� �R , B p n� �R , à H m m� �R , V n n� �R , M p p� �R — ñèììåòðè÷ûå ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûå ìàòðèöû. Òîãäà äëÿ íîðìû ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ïðÿìîóãîëüíûõ ìàòðèö èìååì îöåíêó [25] | | | | | | | | | | | |AB A BHV HM M V � � 1 2 . Òåïåðü îïðåäåëèì íîðìó äëÿ êâàäðàòíîé ìàòðèöû [27]. Ïóñòü A n n� �R — ïðîèçâîëüíàÿ êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà, H n n� �R — ñèììåòðè÷íàÿ ïîëîæèòåëü- íî-îïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà, x — ïðîèçâîëüíûé âåêòîð èç R n . Íîðìó ìàòðèöû A îïðåäåëèì ñîîòíîøåíèåì | | | | | | | | | | | | | | / / / A Ax x H AH H x H x H H x � � � � � sup sup 0 0 1 2 1 2 1 2 | | | | | | . / E EH x1 2 (4) Ôóíêöèÿ | | | | H , îïðåäåëåííàÿ ôîðìóëîé (4), ÿâëÿåòñÿ ìóëüòèïëèêàòèâíîé ìàòðè÷íîé íîðìîé, êîòîðàÿ ðàâíà | | | | [ ( )]max / / /A H A HAHH T� � �� 1 2 1 2 1 2 . (5) Ìàòðè÷íàÿ íîðìà (4) ñîãëàñîâàíà ñ âåêòîðíîé íîðìîé, ò.å. | | | |Ax H � � | | | | | | | |A xH H . Çàìå÷àíèå 1. Èç (3) è (5) ñëåäóåò, ÷òî ââåäåííàÿ ñîîòíîøåíèåì (4) ìàòðè÷íàÿ íîðìà äëÿ êâàäðàòíûõ ìàòðèö ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ìàòðè÷íîé íîðìû, ââåäåííîé äëÿ ïðÿìîóãîëüíûõ ìàòðèö ôîðìóëîé (2), åñëè â ïîñëåäíåé ïîëîæèòü, ÷òî A — êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà è V H� � 1 2/ . Ïîýòîìó äëÿ íîðìû | | | |A H , ââåäåííîé ñîîòíîøåíèåì (4), ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ îáîçíà÷åíèåì | | | | /A HH � 1 2 . Îòìåòèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà ñèììåòðèçóåìûõ ìàòðèö.  íàñòîÿùåé ðàáîòå áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ ñëåäóþùèì îïðåäåëåíèåì ñèììåòðèçóåìûõ ìàòðèö. Îïðåäåëåíèå 1 [28]. Âåùåñòâåííàÿ ìàòðèöà U íàçûâàåòñÿ ñèììåòðèçóåìîé, åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ ñèììåòðè÷íàÿ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà H , íàçûâàåìàÿ ñèììåòðèçàòîðîì, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî U H HUT � . ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 49 Î÷åâèäíî, òðåòüå è ÷åòâåðòîå óñëîâèÿ â îïðåäåëåíèè âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè îçíà÷àþò, ÷òî ìàòðèöû AX è XA ñèììåòðèçóåìû ñèììåòðèçàòîðàìè B è C ñîîòâåòñòâåííî.  îòëè÷èå îò âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû äëÿ ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû Ìóðà–Ïåíðîóçà òðåòüå è ÷åòâåðòîå óñëîâèÿ ñîîòâåòñòâåííî îçíà÷àþò, ÷òî ìàòðèöû AX è XA ñèììåòðè÷íû. Ïîýòîìó ñèììåòðèçóåìûå ìàòðèöû èìåþò òàêîå æå âàæíîå çíà÷åíèå ïðè èññëåäîâàíèè âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö, êàê è ñèììåòðè÷íûå ìàòðèöû ïðè èññëåäîâàíèè ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö Ìóðà–Ïåíðîóçà. Îòìåòèì íåêîòîðûå èç ðàáîò, â êîòîðûõ îïðåäåëÿëèñü ñèììåòðèçóåìûå ìàòðèöû è èçó÷àëèñü èõ ñâîéñòâà. Ñèììåòðèçóåìàÿ ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ 1 ìàòðèöà U ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì H-ñèììåòðè÷íûõ ìàòðèö [29, 30], ãäå H ïðåäïîëàãàåòñÿ ñèììåòðè÷íîé íåâûðîæäåííîé çíàêîíåîïðåäåëåííîé ìàòðèöåé.  ðàáîòå [31] ìàòðèöà A íàçûâàåòñÿ ñèììåòðèçóåìîé, åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ ñèììåòðè÷íàÿ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà V , ÷òî âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî VA AVT � .  [32] ìàòðèöà X íàçûâàåòñÿ ïðàâûì (ëåâûì) ñèììåòðèçàòîðîì äëÿ A, åñëè AX XA( ) — ñèììåòðè÷íàÿ. Òîãäà ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ 1 ìàòðèöà U ñèììåòðèçóåìà ñëåâà, à ìàòðèöà A â [31] — ñïðàâà.  [33] îïðåäåëåíû ñèììåòðèçóåìûå ìàòðèöû ñ âûðîæäåííûìè (ïîëîæèòåëü- íî-ïîëóîïðåäåëåííûìè) ñèììåòðèçàòîðàìè.  ðàáîòå [34] ïðåäëîæåí àëãîðèòì äëÿ âû÷èñëåíèÿ ëåâîãî ñèììåòðèçàòîðà. Îïðåäåëåíèå 2[35]. Êâàäðàòíàÿ âåùåñòâåííàÿ ìàòðèöà Q íàçûâàåòñÿ H-âçâåøåííîé îðòîãîíàëüíîé (îðòîãîíàëüíîé ñ âåñîì H), åñëè åå ñòîëáöû îðòîíîðìàëüíû â ñìûñëå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ( , ) H , ò.å. åñëè âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå Q HQ ET � , ãäå H — ñèììåòðè÷íàÿ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà. Àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ýòî äîêàçûâàåòñÿ äëÿ ñèììåòðè÷íûõ ìàòðèö (ñì., íà- ïðèìåð, [28]), äëÿ ñèììåòðèçóåìûõ ìàòðèö ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî èõ ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ âåùåñòâåííû, à ñîáñòâåííûå âåêòîðû ñèììåòðèçóåìîé ìàòðèöû ñ ìàò- ðèöåé ñèììåòðèçàöèè H , ñîîòâåòñòâóþùèå ðàçëè÷íûì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì, îðòîãîíàëüíû â ñìûñëå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ( , ) H . Äëÿ ñèììåòðèçóåìûõ ìàòðèö èìååò ìåñòî [35] ñëåäóþùàÿ òåîðåìà. Òåîðåìà 1. Ñèììåòðèçóåìàÿ ñèììåòðèçàòîðîì H ìàòðèöà U ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà ê äèàãîíàëüíîé ôîðìå ñ ïîìîùüþ H-âçâåøåííîãî îðòîãîíàëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ, ò.å. cóùåñòâóåò òàêàÿ H-âçâåøåííàÿ îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà Q, ÷òî Q HUQT � , à ìàòðèöà U ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå U Q Q HT� , (6) ãäå � diag ( )� i , � i — ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû U . Îïðåäåëåíèå 3. Ïðåäñòàâëåíèå ñèììåòðèçóåìîé ìàòðèöû ôîðìóëîé (6) íàçûâàåòñÿ âçâåøåííûì ñïåêòðàëüíûì ðàçëîæåíèåì ýòîé ìàòðèöû ñ âåñîì H . Çàìå÷àíèå 2. Íåïîñðåäñòâåííîé ïðîâåðêîé óñòàíàâëèâàåòñÿ, ÷òî äëÿ íåâûðîæäåííîé ñèììåòðèçóåìîé ñèììåòðèçàòîðîì H ìàòðèöû U îáðàòíàÿ åé ìàòðèöà òàêæå ñèììåòðèçóåìà ñèììåòðèçàòîðîì H è ïðåäñòàâèìà â âèäå U Q Q HT� ��1 1 . (7) Âçâåøåííîå ñïåêòðàëüíîå ðàçëîæåíèå ìàòðèö èñïîëüçóåòñÿ äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïðåäåëüíûõ ïðåäñòàâëåíèé âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö [35], ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû [25], äëÿ ïîñòðîåíèÿ âçâåøåííîãî ñèíãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ ìàòðèö è 50 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ê íèì (ðàçä. 3). Äëÿ ñèììåòðèçóåìûõ ìàòðèö èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå ïðåäåëüíîå ïðåäñòàâëåíèå. Ëåììà 1. Äëÿ ñèììåòðèçóåìîé ñèììåòðèçàòîðîì H ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäå- ëåííîé â ñìûñëå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ( , ) H ìàòðèöû U èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå U U E U U U E� � � � � � � � � �lim ( ) lim ( ) � � � � 0 1 2 0 2 1. (8) Ôîðìóëû (7), (8) èñïîëüçóþòñÿ äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïðåäåëüíûõ ïðåäñòàâëåíèé âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö [35] àíàëîãè÷íî ñîîòâåòñòâóþùåé ïðîöåäóðå, ïðèâåäåííîé â [8], äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïðåäåëüíûõ ïðåäñòàâëåíèé ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö Ìóðà–Ïåíðîóçà. Ïðè èññëåäîâàíèè èòåðàöèîííûõ ïðîöåññîâ â ðÿäå ðàáîò èñïîëüçîâàëèñü îöåíêè äëÿ íîðìû ïðîèçâåäåíèÿ ñèììåòðèçóåìîé ñëåâà ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåí- íûì ñèììåòðèçàòîðîì è ïðîèçâîëüíîé ïðÿìîóãîëüíîé ìàòðèö è äëÿ íîðìû ïðî- èçâåäåíèÿ ïðîèçâîëüíîé ïðÿìîóãîëüíîé è ñèììåòðèçóåìîé ñëåâà ïîëîæèòåëü- íî-îïðåäåëåííûì ñèììåòðèçàòîðîì ìàòðèö, óñòàíîâëåííûå ñîîòâåòñòâåííî â [25] è [35]. Ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèé óêàçàííûõ ðàáîò ñôîðìóëèðóåì â âèäå ëåìì. Ëåììà 2. Ïóñòü A m n� �R , à L m m� �R — ñèììåòðèçóåìàÿ ñëåâà ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûì ñèììåòðèçàòîðîì H m m� �R ìàòðèöà, V n n� �R — ëþáàÿ ñèììåòðè÷íàÿ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà. Òîãäà | | | | | | | | | | | | ( )| | | |/LA L A L AHV HH HV HV� ��1 2 � , ãäå � ( )L — ñïåêòðàëüíûé ðàäèóñ ìàòðèöû L. Ëåììà 3. Ïóñòü A m n� �R , à L n n� �R — ñèììåòðèçóåìàÿ ñëåâà ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûì ñèììåòðèçàòîðîì V n n� �R ìàòðèöà, H m m� �R — ëþáàÿ ñèììåòðè÷íàÿ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà. Òîãäà | | | | | | | | | | | | ( )| | | |/ / / /AL L A L A HV VV HV HV� � � �� �1 2 1 2 1 2 1� 2 . Ïðè èññëåäîâàíèè ñâîéñòâ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ÷àñòî èñïîëüçóþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ äëÿ ðàíãîâ ìàòðèö, ñâÿçàííûõ ñî âçâåøåííîé ïñåâäîèíâåðñèåé, êîòîðîå óñòàíàâëèâàåò [35] ñëåäóþùàÿ ëåììà. Ëåììà 4. Ìàòðèöû A, A A BC � , C A BAT� 1 , A BACT �1, AC A BT�1 , A AC A BA BC T� � 1 èìåþò îäèí è òîò æå ðàíã. 2. ÂÇÂÅØÅÍÍÎÅ ÏÑÅÂÄÎÎÁÐÀÙÅÍÈÅ È ÂÇÂÅØÅÍÍÎÅ ÍÎÐÌÀËÜÍÎÅ ÏÑÅÂÄÎÐÅØÅÍÈÅ. ÏÐÅÄÑÒÀÂËÅÍÈÅ ÂÇÂÅØÅÍÍÛÕ ÏÑÅÂÄÎÎÁÐÀÒÍÛÕ ÌÀÒÐÈÖ Ñ ÏÎÌÎÙÜÞ ÕÀÐÀÊÒÅÐÈÑÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÌÍÎÃÎ×ËÅÍΠÑÈÌÌÅÒÐÈÇÓÅÌÛÕ ÌÀÒÐÈÖ Âîïðîñ ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè ðàññìàòðèâàëñÿ â [1, 2].  ðàáîòå [36] äîêàçàíî ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû ñ èñïîëüçîâàíèåì òåîðåìû Ãàìèëüòîíà–Êýëè, ÷òî äàëî âîçìîæíîñòü ïðåäñòàâèòü âçâåøåííóþ ïñåâäîîáðàòíóþ ìàòðèöó â òåðìèíàõ êîýôôèöèåíòîâ õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà ñèììåòðèçóåìîé ìàòðèöû. Òåîðåìà 2. Ìàòðèöà X A BC � � , îïðåäåëåííàÿ óñëîâèÿìè (1), ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííà. Îíà ïðåäñòàâèìà â âèäå ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 51 A C SA B BC T� �� 1 , (9) ãäå S f A BACT� �( )1 — ìíîãî÷ëåí îò ìàòðèöû A BACT �1 âèäà � S A BAC A BAC E k T k T k k� � � � �� � � � � �� � �1 1 1 1 1 2 1( ) ( ) � , (10) � p , p n�1, . . . , , — êîýôôèöèåíòû õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà f E A BACn n n T( ) . . . [ ]� � � � � �� � � � � �� � 1 1 1det , � k — ïîñëåäíèé, îòëè÷íûé îò íóëÿ êîýôôèöèåíò ýòîãî ìíîãî÷ëåíà. Cëåäñòâèå 1. Èç (9), (10) ñëåäóåò, ÷òî âçâåøåííàÿ ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðèöà A BC � èìååò òàêæå ïðåäñòàâëåíèÿ A S C A B C A BS C S C A B C A B S BC T T T T� � � � � �� � � �1 1 1 2 1 2 3 1 2 1 1 2 4 / / / B 1 2/ , ãäå S1, S 2 — ìíîãî÷ëåíû îò ñèììåòðèçóåìûõ ìàòðèö, à S 3 , S 4 — ìíîãî÷ëåíû îò ñèììåòðè÷íûõ ìàòðèö ñëåäóþùåãî âèäà: � S C A BA C A BA E k T k T k k1 1 1 1 1 1 2 1� � � � �� � � � � �� � �( ) ( ) . . . , � S AC A B AC A B E k T k T k k2 1 1 1 1 1 2 1� � � � �� � � � � �� � �( ) ( ) . . . , �S C A BAC k T k 3 1 1 2 1 2 1� � �� � � �� ( )/ / � � �� � � �� �1 1 2 1 2 2 1( )/ /C A BAC ET k k� , �S B AC A B k T k 4 1 1 2 1 1 2 1� � �� � �� ( )/ / � � �� � � � �� �1 1 2 1 1 2 2 1( )/ /B AC A B ET k k� . Cëåäñòâèå 2. Èç (9), (10) ñëåäóåò, ÷òî ñèììåòðèçóåìûå èäåìïîòåíòíûå ìàòðèöû A A BC � è AA BC � èìåþò ñëåäóþùèå ïðåäñòàâëåíèÿ: A A C SA BA f C A BA BC T T� � �� � �1 1( ) � � � � � �� � � � � �� � � k T k T k k TC A BA C A BA C A BA1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) . . . , AA AC SA B f AC A B BC T T� � �� � �1 1( ) � � � � � �� � � � � �� � � k T k T k k TAC A B AC A B AC A B1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) . . . . Cëåäñòâèå 3. Èìåþò ìåñòî ðàâåíñòâà SA BAC A A BAC SAT T T T� �� �1 1 � AT , A BAA A BT BC T� � , A AC A B C A B BC T T� � ��1 1 . Òàê êàê êàæäàÿ èç ìàòðèö A BACT � 1, C A BAT� 1 , AC A BT� 1 — ïðîèçâåäåíèå äâóõ ñèììåòðè÷íûõ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííîé è ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäå- ëåííîé ìàòðèö, èõ ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ íåîòðèöàòåëüíû è âåùåñòâåííû [37]. Îòíîñèòåëüíî ìàòðèö A A BC � è C A BAT� 1 (AA BC � è AC A BT� 1 ) èìååò ìåñòî 52 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå [25, 35]. Ëåììà 5. Ìàòðèöû A A BC � è C A BAT�1 (AA BC � è AC A BT�1 ) êîììóòèðóþò, èìåþò ïîëíóþ îáùóþ ñèñòåìó ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ è èõ íóëü-ïðîñòðàíñòâà ñîâïàäàþò. Èç ïðåäñòàâëåíèÿ âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû ôîðìóëîé (9) ñëåäó- åò ñîîòâåòñòâóþùåå ïðåäñòàâëåíèå ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû Ìóðà–Ïåíðîóçà, ïîëó- ÷åííîå â [38].  ðàáîòå [8] îïèñàí àëãîðèòì, ïîçâîëÿþùèé íà îñíîâå ïðåäñòàâëå- íèÿ ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû Ìóðà–Ïåíðîóçà â òåðìèíàõ êîýôôèöèåíòîâ õàðàê- òåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà ìàòðèöû A AT âû÷èñëÿòü ýòó ìàòðèöó. Ôîðìóëà (9) èñïîëüçîâàëàñü ïðè èññëåäîâàíèè ñâîéñòâ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè, â òîì ÷èñëå: ïðè îáîñíîâàíèè ðàçëîæåíèé âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû [25, 39], â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ [40], ïîëó÷åíèè è èññëåäîâàíèè ïðåäåëüíûõ ïðåäñòàâëåíèé âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàò- ðèö [35]. Çàìå÷àíèå 3. Ï ó ñ ò ü rk ( )A �1. Ò î ã ä à ñ î ã ë à ñ í î ë å ì ì å 4 rk ( )A BACT � �1 1 è íà îñíîâàíèè (9), (10) ïîëó÷àåì ôîðìóëó äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû ê ìàòðèöå A A BC � � � � � �[ ( )]tr A BAC C A BT T1 1 1 , êîãäà ðàíã ïîñëåäíåé ðàâåí åäèíèöå, ãäå tr ( )L — ñëåä ìàòðèöû L. Òåïåðü óñòàíîâèì ñâÿçü âçâåøåííîãî ïñåâäîîáðàùåíèÿ ìàòðèö ñî âçâåøåííûì íîðìàëüíûì ïñåâäîðåøåíèåì ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé (ÑËÀÓ) è ðåøåíèåì ïî ìåòîäó âçâåøåííûõ íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ. Ïóñòü Ax f x fn m� � �, ,R R , (11) — ÑËÀÓ ñ ïðîèçâîëüíîé ìàòðèöåé A m n� �R . Îïðåäåëåíèå 4. Âåêòîð x � , êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è: íàéòè min | | | | , min | | | | x C x Bx Ax f n� � � � � � Arg R , (12) íàçîâåì âçâåøåííûì íîðìàëüíûì ïñåâäîðåøåíèåì ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííû- ìè âåñàìè ñèñòåìû (11). Îïðåäåëåíèå 5. Âåêòîð x ( , )1 3 , êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è: íàéòè min | | | | x Bn Ax f � � R , íàçîâåì ðåøåíèåì ïî ìåòîäó âçâåøåííûõ íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûì âåñîì B ñèñòåìû (11). Îáîçíà÷èì Y A B n m� � �( , )1 3 R ìàòðèöó, óäîâëåòâîðÿþùóþ óñëîâèÿì AYA A� , ( )BAY BAYT � , ãäå B m m� �R — ñèììåòðè÷íàÿ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäå- ëåííàÿ ìàòðèöà, è óêàæåì íåêîòîðûå ñâîéñòâà ðåøåíèé ïî ìåòîäó âçâåøåííûõ íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ è âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé [36]. Ëåììà 6. Âåêòîð x A f B ( , ) ( , )1 3 1 3� óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ || | | min | | | |( , )Ax f Ax fB x B n 1 3 � � � �R . (13) Ñîãëàñíî ëåììå 6 âåêòîð x A f B ( , ) ( , )1 3 1 3� ìèíèìèçèðóåò âçâåøåííóþ íîðìó íåâÿçêè ñèñòåìû (11), ò.å. ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ïî ìåòîäó âçâåøåííûõ ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 53 íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ äàííîé ÑËÀÓ. Íî ýòî ðåøåíèå â îáùåì ñëó÷àå íååäèíñòâåííî. Ìíîæåñòâî ðåøåíèé ïî ìåòîäó âçâåøåííûõ íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ óñòàíàâëèâàåò ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå. Ëåììà 7. Ìíîæåñòâî âåêòîðîâ, óäîâëåòâîðÿþùèõ (13), îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé x A f E A A y B ( , ) ( , ) ( )( )1 3 1 3 1� � � , ãäå y — ïðîèçâîëüíûé âåêòîð èç R n , A ( )1 — ìàòðèöà, óäîâëåòâîðÿþùàÿ ïåðâîìó óñëîâèþ â (1). Òåîðåìà 3. Âåêòîð x A f BC � �� ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì ðåøåíèåì çàäà÷è (12), ò.å. âçâåøåííûì íîðìàëüíûì ïñåâäîðåøåíèåì ñèñòåìû (11). 3. ÂÇÂÅØÅÍÍÎÅ ÑÈÍÃÓËßÐÍÎÅ ÐÀÇËÎÆÅÍÈÅ È ÂÇÂÅØÅÍÍÎÅ ÏÑÅÂÄÎÎÁÐÀÙÅÍÈÅ ÌÀÒÐÈÖ Èçâåñòíî (ñì., íàïðèìåð, [24, 41]), ÷òî äëÿ ëþáîé âåùåñòâåííîé ïðÿìîóãîëüíîé ìàòðèöû ðàçìåðà m n� ñóùåñòâóþò òàêèå äâå îðòîãîíàëüíûå ìàòðèöû, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ èñõîäíóþ ìàòðèöó ìîæíî ïðèâåñòè ê ïðÿìîó- ãîëüíîé äèàãîíàëüíîé ìàòðèöå, ò.å. ê òàêîé ïðÿìîóãîëüíîé ìàòðèöå D, ÷òî dij � 0 äëÿ âñåõ i j� . Èç ïîëó÷åííîãî ñîîòíîøåíèÿ ñëåäóåò ôîðìóëà ðàçëîæåíèÿ ìàòðèöû ïî ñèíãóëÿðíûì ÷èñëàì. Íà îñíîâàíèè ñèíãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ ìàòðèöû ïîëó÷åíî ïðåäñòàâëåíèå äëÿ ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû Ìóðà–Ïåíðîóçà.  íàñòîÿùåì ðàçäåëå óêàçàííûå âûøå ðåçóëüòàòû îáîáùàþòñÿ [42] ñ öåëüþ èñïîëüçîâàíèÿ â ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ âçâåøåííûõ îðòîãîíàëüíûõ ìàòðèö. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû, ñâÿçàííûå ñî âçâåøåííûìè ñèíãóëÿðíûìè ÷èñëàìè, îáîáùàþò ñîîòâåòñòâóþùèå ñîîòíîøåíèÿ, ïîëó÷åííûå äëÿ îáû÷íûõ ñèíãóëÿðíûõ ÷èñåë. Òåîðåìà 4[42]. Äëÿ ìàòðèöû A m n� �R ñóùåñòâóþò âçâåøåííûå îðòîãîíàëüíûå ìàòðèöû U m m� �R è V n n� �R ñ âåñàìè B è C ñîîòâåòñòâåííî, òàêèå, ÷òî U BAV D d d d O m n T r m n m � � ��| | ( , , , , , , ) | |, ,diag åñëè di 1 2 0 0� � ag åñëè ( , , ... , , , ... , ) , , d d d O m n r m n n 1 2 0 0 � � � � �� � � � A UDV CT� , (15) ãäå B m m� �R è C n n� �R — ïðîèçâîëüíûå ñèììåòðè÷íûå ïîëîæèòåëü- íî-îïðåäåëåííûå ìàòðèöû, ñòîëáöû ìàòðèö U è V — îðòîíîðìèðîâàííûå ñîáñòâåííûå âåêòîðû â R m B( ) è R n C( ) ñèììåòðèçóåìûõ ìàòðèö AC A BT� 1 è C A BAT� 1 ñîîòâåòñòâåííî, à di — êâàäðàòíûå êîðíè èç ñîáñòâåííûõ çíà÷å- íèé ìàòðèö AC A BT� 1 , i m�1, . . . , , åñëè m n� , è C A BAT�1 , i n�1, . . . , , åñëè m n� , O k l k l� �R — íóëåâàÿ ìàòðèöà, r — ðàíã ìàòðèöû A. Îòìåòèì, ÷òî íåíóëåâûå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèö AC A BT�1 è C A BAT�1 ñîâïàäàþò êàê ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèö, ïîëó÷åííûõ â ðåçóëüòà- òå ïåðåñòàíîâêè ìàòðèö-ñîìíîæèòåëåé [43]. Îïðåäåëåíèå 6. Ðàçëîæåíèå âèäà (15) íàçûâàåòñÿ âçâåøåííûì ñèíãóëÿðíûì ðàçëîæåíèåì (ðàçëîæåíèåì ïî âçâåøåííûì ñèíãóëÿðíûì ÷èñëàì) ìàòðèöû A â îòëè÷èå îò ñèíãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ [24], êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ åãî ÷àñòíûì 54 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 ñëó÷àåì ïðè B C E� � . Îïðåäåëåíèå 7. Êâàäðàòíûå êîðíè èç îáùèõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìàòðèö AC A BT�1 è C A BAT�1 íàçûâàþòñÿ âçâåøåííûìè ñèíãóëÿðíûìè ÷èñëàìè ìàòðèöû A. Îòìåòèì, ÷òî èç âçâåøåííîãî ñèíãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ ìàòðèöû ñëåäóåò îáû÷íîå ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå ìàòðèöû, âçâåøåííîå ñïåêòðàëüíîå ðàçëîæåíèå ñèììåòðèçóåìîé ìàòðèöû è ñïåêòðàëüíîå ðàçëîæåíèå ñèììåòðè÷íîé ìàòðèöû. Ïóñòü D EE n m� ��R — äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà c íåíóëåâûìè ýëåìåíòàìè d dii i � �� , i r�1, . . . , , ãäå d di i � �� 1 , à di îïðåäåëåíû â òåîðåìå 4. Íåïîñðåäñòâåí- íîé ïðîâåðêîé óñëîâèé (1) íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ìàòðèöà D EE � ÿâëÿåòñÿ ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöåé Ìóðà-Ïåíðîóçà ê ìàòðèöå D. Òåîðåìà 5[42]. Âçâåøåííàÿ ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðèöà ê ìàòðèöå A îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé A VD U B BC EE T� �� , (16) ãäå ìàòðèöû A B C U V, , , , îïðåäåëåíû â òåîðåìå 4. Òàêèì îáðàçîì, âçâåøåííîå ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå ìàòðèöû ïîçâîëÿåò âû÷èñëèòü âçâåøåííóþ ïñåâäîîáðàòíóþ ê íåé ìàòðèöó. Äëÿ ýòîãî íåáõîäèìî ðàçðàáîòàòü óñòîé÷èâóþ ïðîöåäóðó îïðåäåëåíèÿ âçâåøåííûõ ñèíãóëÿðíûõ ÷èñåë è ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ñèììåòðèçóåìûõ ìàòðèö AC A BT�1 è C A BAT�1 . Îòìåòèì, ÷òî ñîçäàíèþ óñòîé÷èâîé ïðîöåäóðû äëÿ âû÷èñëåíèÿ îáû÷íûõ ñèíãóëÿðíûõ ÷èñåë ïîñâÿùåíî ðÿä ðàáîò (ñì., íàïðèìåð, [44, 45]). Ðåçóëüòàòû ýòèõ èññëåäîâàíèé ÿâèëèñü îñíîâîé ñîçäàíèÿ àëãîðèòìîâ è ïðîãðàìì äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñèíãóëÿðíûõ ÷èñåë, ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö è íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé [46]. Êðîìå ïðàêòè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé âçâåøåííîå ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå ìàòðèö ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíî äëÿ ðàçëè÷íûõ èññëåäîâàíèé, ñâÿçàííûõ ñî âçâåøåííîé ïñåâäîèíâåðñèåé ìàòðèö. Òàê, íàïðèìåð, âçâåøåííîå ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå ìàòðèö èñïîëüçîâàëîñü ïðè èññëåäîâàíèè ðàçëîæåíèé âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû è ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ â [39, 40, 47–49]. Îòìåòèì, ÷òî â ðàáîòå [50] äàíî äðóãîãî âèäà âçâåøåííîå ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå ìàòðèö è âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ê íèì, ÷åì îïðåäåëåííîå â íàñòîÿùåé ñòàòüå ôîðìóëàìè (15) è (16). Òàêîå âçâåøåííîå ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå ìàòðèö èñïîëüçîâàëîñü äëÿ ïîëó÷åíèÿ ôîðìóë ðàçëîæåíèé è ïðåäñòàâëåíèé âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè [51], äëÿ àíàëèçà âëèÿíèÿ âîçìóùåíèÿ èñõîäíûõ äàííûõ íà ðåøåíèå çàäà÷ âçâåøåííûõ íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ [52–54], ïðè ïîëó÷åíèè ôîðìóë ÷èñåë îáóñëîâëåííîñòè äëÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö è âçâåøåííûõ ÷èñåë îáóñëîâëåííîñòè äëÿ ÑËÀÓ [52, 55]. 4. ÐÀÇËÎÆÅÍÈÅ ÂÇÂÅØÅÍÍÛÕ ÏÑÅÂÄÎÎÁÐÀÒÍÛÕ ÌÀÒÐÈÖ Â ÌÀÒÐÈ×ÍÛÅ ÑÒÅÏÅÍÍÛÅ ÐßÄÛ È ÏÐÎÈÇÂÅÄÅÍÈß Ñ ÏÎËÎÆÈÒÅËÜÍÛÌÈ ÏÎÊÀÇÀÒÅËßÌÈ ÑÒÅÏÅÍÅÉ Â ðàáîòàõ [25, 56] äîêàçàíà ñõîäèìîñòü ìàòðè÷íîãî ñòåïåííîãî ðÿäà ñ ïîëîæèòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ñòåïåíåé ê âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöå, äëÿ ÷åãî èñïîëüçîâàíî ïðåäñòàâëåíèå âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â òåðìèíàõ êîýôôèöèåíòîâ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ ñèììåòðèçóåìûõ ìàòðèö, ïðèâåäåííîå â ðàçä. 2.  [48] äëÿ îöåíêè áëèçîñòè âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû è ñóììû ôèêñèðîâàííîãî ÷èñëà ÷ëåíîâ óêàçàííîãî ðÿäà èñïîëüçîâàí àïïàðàò âçâåøåííîãî ñèíãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ ìàòðèö, îïèñàííûé â ðàçä. 3. Äîêàçàíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 55 Òåîðåìà 6. Äëÿ A m n� � �0 R , ñèììåòðè÷íûõ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûõ ìàòðèö B è C òàêèõ, ÷òî C A BAT� 1 îïðåäåëåíî, è äëÿ äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà � òàêîãî, ÷òî 0 2 2� � �� dmax , (17) ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ A E C A BA C A B BC k T k T� � � � �� ��� � 0 1 1( ) , ( )18 | | | | max | |, /A A d d BC p CB d i i p i � � � �� � ��� �1 2 0 1 21{ }, (19) ãäå di — äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû ìàòðèöû D, îïðåäåëåííîé â (14), dmax — ìàêñèìàëüíûé äèàãîíàëüíûé ýëåìåíò ìàòðèöû D, A Ep k p � �, (� � � � �� 0 1 � � ��C A BA C A BT k T1 1) , p �1 2, , . . . Ñëåäñòâèå 4. Èç ôîðìóëû (18) âûòåêàåò ñïðàâåäëèâîñòü ñëåäóþùèõ ñîîòíîøåíèé: A C E A BAC A B BC k T k T� � � � �� � ��� � 0 1 1( ) � � � � � � � � ��� � k T k TC E C A BAC C A B 0 1 2 1 2 1 2 1 2/ / / /( ) � � � � � � � � � � � �� �� � � � k T T k k T TC A B E AC A B C A E BAC A 0 1 1 0 1 1( ) ( )k B � � � � � � ��� � k T T kC A B E B AC A B B 0 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2/ / / /( ) . Çàìå÷àíèå 4.  òåîðåìå 6, êàê è â ïîñëåäóþùèõ òåîðåìàõ, èñêëþ÷åíèå íóëåâûõ ìàòðèö èç ìíîæåñòâà ðàññìàòðèâàåìûõ îòíîñèòñÿ òîëüêî ê îöåíêå áëèçîñòè âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö è ìàòðèö, ïîëó÷åííûõ íà îñíîâå ôèêñèðîâàííîãî ÷èñëà ÷ëåíîâ ìàòðè÷íûõ ñòåïåííûõ ðÿäîâ è ìàòðè÷íûõ ñòåïåííûõ ïðîèçâåäåíèé. Î÷åâèäíî, ÷òî ôîðìóëû, îïðåäåëÿþùèå áåñêîíå÷íûå ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö, áóäóò âåðíû è äëÿ íóëåâûõ ìàòðèö, ïîñêîëüêó âçâåøåííàÿ ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðèöà ê íóëåâîé ìàòðèöå ÿâëÿåòñÿ íóëåâîé. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ôîðìóë ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â áåñêîíå÷íûå ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ ìàòðè÷íûì òîæäåñòâîì, êîòîðîå óñòàíàâëèâàåò ñëåäóþùàÿ ëåììà. Ëåììà 8. Äëÿ ëþáûõ ìàòðèö P n n� �R , W n m� �R è äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà 0� � �� èìååò ìåñòî òîæäåñòâî � � � � k n k kE E P W E P W n k n � � � � � �� � � � � 0 1 2 0 2 1 1 2{ }( ) ( ) , , , . . . (20)  ñïðàâåäëèâîñòè ìàòðè÷íîãî òîæäåñòâà (20) íåòðóäíî óáåäèòüñÿ ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè. Ïðè ïîëó÷åíèè ìàòðè÷íûõ 56 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 òîæäåñòâ òèïà (20) äëÿ ìàòðèö îïðåäåëåííîé ñòðóêòóðû â ðàáîòàõ [47, 57] èñïîëüçîâàëñÿ ñïåêòðàëüíûé ïîäõîä. Òîæäåñòâî (20) — íåêîòîðûé ìàòðè÷íûé àíàëîã ÷èñëîâîãî òîæäåñòâà, ïîëó÷åííîãî â [58, 49]. Ïðè âûïîëíåíèè ïðåäïîëîæåíèé òåîðåìû 6 â ñèëó (18) è (20) èìååì ñëåäó- þùåå ðàçëîæåíèå âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåí- íûìè âåñàìè â ìàòðè÷íîå ñòåïåííîå ïðîèçâåäåíèå: A E E C A BA C A B BC T T k k� � � � � � � ��� �{ }( )1 2 1 0 . (21) Îáîçíà÷èì A E E C A BA C A Bn k n T Tk � � �, ( )� � � � �� � �� 0 1 1 2 1{ } , n �1 2, , . . . Òîãäà â ñèëó òîæäåñòâà (20) è ñîîòíîøåíèÿ (19) ïîëó÷èì | | | | max | |, /A A d d BC n CB d i i i n� � � �� � ��� �1 2 0 1 2 21{ }. (22) Íà îñíîâàíèè (21) ìîæíî ïîëó÷èòü äðóãèå âèäû ðàçëîæåíèé âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ [47, 48]: A C E E A BAC A B BC k T Tk� � � � �� � � ��� �1 0 1 2{ }( ) � � � �� � � � � ��� �C E E C A BAC C A B k T Tk1 2 0 1 2 1 2 2 1 2/ / / /( ){ } � � � �� � � ��� �C A B E E AC A BT k T k1 0 1 2{ }( ) � � � �� � � ��� �C A E E BAC A BT k T k1 0 1 2{ }( ) � � �� � � ��� �C A B E E B AC A B BT k T k1 1 2 0 1 2 1 1 2 2 1 2/ / / /( ){ } . Îòìåòèì, ÷òî â ðàáîòå [51] äëÿ ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû â ìàòðè÷íûé ñòåïåííîé ðÿä ñ ïîëîæèòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ñòåïåíåé è îöåíêè áëèçîñòè âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû è ñóììû ôèêñèðîâàííîãî ÷èñëà ÷ëåíîâ ýòîãî ðÿäà èñïîëüçóåòñÿ äðóãîé ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò, ÷åì â [25, 48, 56]. Òàê êàê âçâåøåííàÿ ïñåâäîèíâåðñèÿ ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì ïñåâäîèíâåðñèè Ìóðà–Ïåíðîóçà, ðàçëîæåíèÿ (18) è ïðèâåäåííûå â ñëåäñòâèè 4 — îáîáùåíèå ðàçëîæåíèé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû Ìóðà–Ïåíðîóçà, ïîëó÷åííûõ è èññëåäîâàííûõ â [59] äëÿ êâàäðàòíûõ ìàòðèö.  ýòîé æå ðàáîòå ïðåäëîæåíî è èññëåäîâàíî ðàçëîæåíèå ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû Ìóðà–Ïåíðîóçà â áåñêîíå÷íîå ìàòðè÷íîå ñòåïåííîå ïðîèçâåäåíèå, îáîáùåíèåì êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ðàçëîæåíèå (21) è ïðèâåäåííûå âûøå ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ. 5. ÐÀÇËÎÆÅÍÈß, ÌÍÎÃÎ×ËÅÍÍÛÅ ÏÐÅÄÅËÜÍÛÅ ÏÐÅÄÑÒÀÂËÅÍÈß ÂÇÂÅØÅÍÍÛÕ ÏÑÅÂÄÎÎÁÐÀÒÍÛÕ ÌÀÒÐÈÖ È ÐÅÃÓËßÐÈÇÀÖÈß ÇÀÄÀ× Â äàííîì ðàçäåëå ïðåäëàãàþòñÿ è èññëåäóþòñÿ ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 57 ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû è ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ ñ îòðèöàòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ñòåïåíåé è ïðîèçâîëüíûìè ïîëîæèòåëüíûìè ïàðàìåòðàìè. Óñòàíàâëèâàåòñÿ ñâÿçü ýòèõ ðàçëîæåíèé ñ ìíîãî÷ëåííûìè ïðåäåëüíûìè ïðåäñòàâëåíèÿìè âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö. Íà îñíîâå âçâåøåííîãî ñèíãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ ìàòðèö, îïèñàííîãî â ðàçä. 3, â ðàáîòå [49] äîêàçûâàåòñÿ ñëåäóþùàÿ òåîðåìà. Òåîðåìà 7. Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ìàòðèöû A m n� � �0 R , ñèììåòðè÷íûõ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûõ ìàòðèö B è C òàêèõ, ÷òî C A BAT�1 îïðåäåëåíî, è äëÿ äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà 0� � �� ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ k k T k T BC C A BA E C A B A � � � � � � �� � � 1 1 1 1� �( ) , ( )23 | | | | ( ) , * */A A d d BC p CB p p� � � �� � ��� � �1 2 1 2 , (24) ãäå A C A BA E C A B p k p k T k T � � � , ( )� � � � � �� �� 1 1 1 1 , p �1 2, , . . . , d* — ìèíèìàëü- íûé íåíóëåâîé äèàãîíàëüíûé ýëåìåíò ìàòðèöû D, îïðåäåëåííîé â (14) (ìèíè- ìàëüíîå íåíóëåâîå âçâåøåííîå ñèíãóëÿðíîå ÷èñëî ìàòðèöû A). Ñëåäñòâèå 5. Èç (23) èìååì ñëåäóþùèå âèäû ðàçëîæåíèé âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû: A C A BAC E A B BC k k T k T� � � � � � �� � �� 1 1 1 1� �( ) � � � � � � � � � �� k k T k TC C A BAC E C A B 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2� �/ / / /( ) . Ñëåäñòâèå 6. Èç îöåíêè (24) âûòåêàåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî p �1 2, , . . . èìååì ïðåäåëüíîå ïðåäñòàâëåíèå âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû âèäà A C A BA E C A B BC k p k T k T� � � � � � � �� ��lim ( ) � � � 0 1 1 1 1 . (25) Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ôîðìóë ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ èñïîëüçîâàëèñü ìàòðè÷íûå òîæäåñòâà, êîòîðûå óñòàíàâëèâàþò ñëåäóþùèå ëåììû [49]. Ëåììà 9. Äëÿ ëþáûõ ìàòðèö P n n� �R , W n m� �R è äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà 0� � �� èìååò ìåñòî òîæäåñòâî k n E P E P E W k k � � � �� � � � � 0 1 2 2 1{ }� � �( ) ( )( ) � � � � � �� k k k n P E W n 1 2 1 1 2� �( ) , , , . . . (26) Ëåììà 10. Äëÿ ëþáûõ ìàòðèö L m m� �R , M n m� �R è äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà 0� � �� èìååò ìåñòî òîæäåñòâî 58 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 M L E E L E k n k k ( ) ( ) ( )� � � �� � � ��� � �1 0 1 2 2{ } � � � � � ��M L E n k k k n 1 2 1 1 2� �( ) , , , . . . (27) Ïðè âûïîëíåíèè ïðåäïîëîæåíèé òåîðåìû 7 â ñèëó (23) è (26) äëÿ äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà 0� � �� èìååì ñëåäóþùåå ðàçëîæåíèå âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè â ìàòðè÷íîå ñòåïåííîå ïðîèçâåäåíèå: A E C A BA E C A BA E C BC k T Tk k� � � � � � � �� � � �� 0 2 1 2 1 1{ }� � �( ) ( )( ) 1A BT . ( )28 Î á î ç í à ÷ è ì A E C A BA E C A BA n k n T Tk k � � � , ( )( ) (� � � � � �� � � �� 0 1 2 1 2 1{ } � � ��E C A BT) 1 1 , n �1 2, , . . . Òîãäà â ñèëó òîæäåñòâà (26) è ñîîòíîøåíèÿ (24) ïî- ëó÷èì | | | | ( ) , * * ( ) /A A d d BC n CB n n� � � �� � ��� � �1 2 1 2 2 2 . ( )29 Èç îöåíêè (29) âûòåêàåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî n �1 2, , . . . èìååì ñëåäóþùåå ïðåäåëüíîå ïðåäñòàâëåíèå âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû: A E C A BA E BC k n Tk k� � � � � � �� � � ��lim ( ) ( ) � � � 0 0 1 2 1 2{ } � �� � �( )C A BA E C A BT T1 1 1� . (30) Îòìåòèì, ÷òî â ðàáîòå [49] íà îñíîâå âçâåøåííîãî ñèíãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ ìàòðèö è òîæäåñòâà (27) êðîìå ïðèâåäåííûõ âûøå ïîëó÷åíû è èññëåäîâàíû äðóãèå âèäû ðàçëîæåíèé âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû è ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ ñ îòðèöàòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ñòåïåíåé. Îïðåäåëåíèå 8. Ïðåäåëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ (25), (30) íàçûâàþòñÿ ìíîãî÷ëåííûìè ïðåäåëüíûìè ïðåäñòàâëåíèÿìè âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè. Ïðè p �1 èç (25) èìååì îäíî÷ëåííîå ïðåäåëüíîå ïðåäñòàâëåíèå âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè, èññëåäîâàííîå â ðàáîòàõ [35, 51, 60], à ïðè p �1, B C E� � — ïðåäåëüíîå ïðåäñòàâëåíèå ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû Ìóðà–Ïåíðîóçà, ïðåäëîæåííîå è èññëåäîâàííîå â [61]. Ýòî ñâîéñòâî ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû Ìóðà–Ïåíðîóçà ñòàëî îñíîâîé ðåãóëÿðèçàöèè çàäà÷ ïî Òèõîíîâó [62]. Ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû è ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ ñ îòðèöàòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ñòåïåíåé ïðè � �1 èññëåäîâàíû ñîîòâåòñòâåííî â ðàáîòàõ [25, 48]. Èç ïðåäåëüíûõ ïðåäñòàâëåíèé âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñëåäóåò, ÷òî ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîì ïàðàìåòðå � ìàòðèöû A BC � è A p�, � , A n�, � ìîãóò êàê óãîäíî ìàëî îòëè÷àòüñÿ îäíà îò äðóãîé è íà îñíîâàíèè ïðåäëîæåííûõ ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 59 ïðåäåëüíûõ ïðåäñòàâëåíèé ìîæíî âû÷èñëÿòü ïðèáëèæåíèÿ ê âçâåøåííûì ïñåâäîîáðàòíûì ìàòðèöàì. Îöåíêè áëèçîñòè âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö è èõ ïðèáëèæåííûõ çíà÷åíèé äàíû ôîðìóëàìè (24), (29). Íà îñíîâå ïðåäåëüíûõ ïðåäñòàâëåíèé âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ìîæíî òàêæå ïðåäëîæèòü ðåãóëÿðèçîâàííûå çàäà÷è äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé. Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì ðåãóëÿðèçîâàííóþ çàäà÷ó äëÿ íàõîæäåíèÿ âçâåøåííîãî íîðìàëüíîãî ïñåâäîðåøåíèÿ ÑËÀÓ (11) ñ ó÷åòîì ôîðìóëû (25). Íà îñíîâå ýòîé ôîðìóëû è òåîðåìû 3 ïîëó÷èì ÑËÀÓ äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðèáëèæåíèÿ ê âçâåøåííîìó íîðìàëüíîìó ïñåâäîðåøåíèþ ñèñòåìû (11) ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîì � ( ) ( )C A BA E x C A BA E C A BfT p k p k T p k T� � � � � �� � ��1 1 1 1 1� � � . ( )31 Ïîñêîëüêó ìàòðèöà C A BAT�1 — ïðîèçâåäåíèå äâóõ ñèììåòðè÷íûõ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííîé è ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííîé ìàòðèö, åå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ íåîòðèöàòåëüíû è âåùåñòâåííû [37]. Òîãäà ìàòðèöà ( )C A BA ET p� �1 � ïðè � � 0 íåâûðîæäåíà è, ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå ñèñòåìû (31). Îöåíêó ïîãðåøíîñòè ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ óñòàíàâëèâàåò [49] ñëåäóþùàÿ òåîðåìà. Òåîðåìà 8. Ïóñòü x � — âçâåøåííîå íîðìàëüíîå ïñåâäîðåøåíèå ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè ñèñòåìû (11), à x p�, — ðåøåíèå ñèñòåìû (31), òîãäà ñïðàâåäëèâà îöåíêà | | | | ( ) | | | |, * * x x d d fp C p p B � � �� � �� � �1 2 . (32) Òåïåðü äëÿ ïîëó÷åíèÿ ðåãóëÿðèçîâàííîé çàäà÷è íàõîæäåíèÿ ïðèáëèæåíèÿ ê âçâåøåííîìó íîðìàëüíîìó ïñåâäîðåøåíèþ ÑËÀÓ (11) èñïîëüçóåì ôîðìó- ëó (30), íà îñíîâàíèè êîòîðîé ïîëó÷èì ÑËÀÓ äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðèáëèæåíèÿ ê âçâåøåííîìó íîðìàëüíîìó ïñåâäîðåøåíèþ ñèñòåìû (11) ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîì � ( ) ( )C A BA E C A BA E x k n T Tk� � � �� � � �1 0 1 2 1� � � � � � � � �� { } k n T TC A BA E E C A Bf k k 0 1 1 2 2 1( )� � . (33) Îöåíêó ïîãðåøíîñòè ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ óñòàíàâëèâàåò [49] ñëåäóþùàÿ òåîðåìà. Òåîðåìà 9. Ïóñòü x � — âçâåøåííîå íîðìàëüíîå ïñåâäîðåøåíèå ñ ïîëîæè- òåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè ñèñòåìû (11), à x n�, — ðåøåíèå ñèñòåìû (33), òîãäà ñïðàâåäëèâà îöåíêà | | | | ( ) | | | |, * * ( )x x d d fn C B n n� � �� � �� � �1 2 2 2 . (34) Ðåãóëÿðèçîâàííûå çàäà÷è âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè íà îñíîâå îäíî÷ëåííûõ ïðåäåëüíûõ ïðåäñòàâëåíèé (ïðè p �1) ðàññìàòðèâàëèñü â [35, 51, 60]. Ðåãóëÿðèçîâàííûå çàäà- ÷è âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäå- ëåííûìè âåñàìè íà îñíîâå îäíî÷ëåííûõ ïðåäåëüíûõ ïðåäñòàâëåíèé èññëåäîâà- 60 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 ëèñü â [35, 55, 60]. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ðåãóëÿðèçîâàííûå çàäà÷è áóäóò ðåøàòüñÿ èçâåñòíûìè ïðÿìûìè ìåòîäàìè. Ðàññìîòðèì äðóãîé âèä ðàçëîæåíèé âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû è ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ, èññëåäîâàííûå ñîîòâåòñòâåííî â ðàáîòàõ [39] è [40]. Îíè ìîãóò ñëóæèòü àëüòåðíàòèâîé ðàññìîòðåííûì âûøå ðàçëîæåíèÿì. Íà îñíîâå âçâåøåííîãî ñèíãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ ìàòðèö â [39] äîêàçàíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà. Òåîðåìà 10. Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ìàòðèöû A m n� � �0 R , ñèììåòðè÷íûõ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûõ ìàòðèö B è C òàêèõ, ÷òî C A BAT�1 îïðåäåëåíî, è äëÿ äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà 0� � �� ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ � � k T k T BC E C A BA C A B A � � � � � �� � � 1 1 1( ) , (35) | | | | ( ), * */A A d d BC p CB p� � � �� � ��� �1 2 1 21 , (36) ãäå A E C A BA C A Bp k p T k T � � �, ( )� � � � �� �� 1 1 1 , d* — ìèíèìàëüíûé íåíóëåâîé äèàãîíàëüíûé ýëåìåíò ìàòðèöû D, îïðåäåëåííîé â (14). Ñëåäñòâèå 7. Èç ðàâåíñòâà (35) ñëåäóåò ñïðàâåäëèâîñòü ñîîòíîøåíèé âèäà A C E A BAC A B BC k T k T� � � � � �� � ��� � 1 1 1( ) � � � � � � � � ��� � k T k TC E C A BAC C A B 1 1 2 1 2 1 2 1 2/ / / /( ) . Ñëåäñòâèå 8. Èç îöåíêè (36) äëÿ ëþáîãî p �1 2, , . . . èìååì ñëåäóþùåå ïðåäåëüíîå ïðåäñòàâëåíèå âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû: A E C A BA C A B BC k p T k T� � � � � � �� ��lim ( ) � � � 1 1 1 . (37) Îòìåòèì, ÷òî â [39] òàêæå îáîñíîâàíî íåñêîëüêî äðóãèõ âèäîâ ðàçëîæåíèé âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû, äëÿ ÷åãî èñïîëüçîâàíî ïðåäñòàâëåíèå âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â òåðìèíàõ êîýôôèöèåíòîâ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ ñèììåòðèçóåìûõ ìàòðèö (ñì. ðàçä. 2).  ðàáîòå [40] íà îñíîâàíèè àïïàðàòà âçâåøåííîãî ñèíãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ ìàòðèö, ðàññìîòðåííîãî â ðàçä. 3, äîêàçàíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà. Òåîðåìà 11. Äëÿ A m n� � �0 R , ñèììåòðè÷íûõ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûõ ìàòðèö B è C òàêèõ, ÷òî C A BAT� 1 ñóùåñòâóåò, è äëÿ äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà 0� � �� ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ A E C A BA E E C A BA C A BC T k T k� � � � � � � �� � � ��� � �( ) ( ) ( )1 1 0 1 2 1{ } T B, (38) | | | | ( ), * * ( ) /A A d d BC n CB n� � � �� � ��� �1 2 1 2 21 , ( )39 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 61 ãäå A E C A BA E E C A BA Cn T k n T k � � � �, ( )( ) ( )� � � � � � �� � � ��1 1 0 1 1 2{ } � 1A BT , n �1 2, , . . . , à d* — ìèíèìàëüíûé íåíóëåâîé äèàãîíàëüíûé ýëåìåíò ìàòðèöû D, îïðåäåëåííîé â (14). Ñëåäñòâèå 9. Èç ôîðìóëû (38) âûòåêàåò ñïðàâåäëèâîñòü ñëåäóþùèõ ðàçëîæåíèé âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ: A C E A BAC E E A BAC A BC T k T k� � � � � � � �� � � ��� � �1 1 1 0 1 2( ) ( ) ( ){ } T B � � � � �� � � � � � �� �C E C A BAC E ET k 1 2 1 2 1 2 1 0 / / /( ) ({ � � � � ��C A BAC C A BT Tk1 2 1 2 2 1 2/ / ( ) /) } . Ñëåäñòâèå 10.  ñèëó (39) äëÿ ëþáîãî n �1 2, , . . . èìååì ñëåäóþùåå ïðåäåëüíîå ïðåäñòàâëåíèå âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû: A E C A BA E BC T k n � � � � � � � � � ��lim ( ) � � � 1 1 0 1 { � � � � �( ) ( )E C A BA C A BT Tk � 1 2 1} . ( )40 ×òîáû ïîëó÷èòü äðóãèå ôîðìóëû ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ, â ðàáîòå [40] èñïîëüçîâàí èíîé ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò, ÷åì ïðè äîêàçàòåëüñòâå óòâåðæäåíèé òåîðåìû 11, à èìåííî, äëÿ èññëåäîâàíèÿ èñïîëüçîâàëîñü âçâåøåííîå ñïåêòðàëüíîå ðàçëîæåíèå ñèììåòðèçóåìûõ ìàòðèö è ïðåäñòàâëåíèå ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â òåðìèíàõ êîýôôèöèåíòîâ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ ñèììåòðèçóåìûõ ìàòðèö. 6. ÏÎÑÒÐÎÅÍÈÅ ÈÒÅÐÀÖÈÎÍÍÛÕ ÏÐÎÖÅÑÑΠ äàííîì ðàçäåëå îïèøåì ìåòîäèêó ïîñòðîåíèÿ èòåðàöèîííûõ ïðîöåññîâ äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö è âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé, îñíîâàííóþ íà ðàçëîæåíèÿõ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö, îïèñàííûõ â ðàçä. 4 è 5. Ïðè÷åì ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ (ñì., íàïðèìåð, [63]) áóäóò ïîñòðîåíû èòåðàöèîííûå ïðîöåññû ñ ðàçëè÷íûìè ïîðÿäêàìè ñêîðîñòåé ñõîäèìîñòè. Ðàññìîòðèì ïîñòðîåíèå èòåðàöèîííûõ ïðîöåññîâ íà îñíîâàíèè ðàçëîæåíèé ñ ïîëîæèòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ñòåïåíåé, îïèñàííûõ â ðàçä. 4. Ñíà÷àëà äëÿ ïîñòðîåíèÿ èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö èñïîëüçóåì ðàçëîæåíèå (18) âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû â ìàòðè÷íûé ñòåïåííîé ðÿä, íà îñíîâå êîòîðîãî äëÿ âû÷èñëåíèÿ A BC � ïîëó÷èì èòåðàöèîííûé ïðîöåññ [25] X C A BT 0 1� �� , X X C A B E AXk k T k� �� � �1 1� ( ), k � 0 1, , . . . ( )41 Îöåíêà áëèçîñòè k-ãî ïðèáëèæåíèÿ ïî ôîðìóëàì (41) ê A BC � îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (19), ãäå ñëåäóåò ïîëîæèòü p k� . Òåïåðü äëÿ ïîñòðîåíèÿ èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà èñïîëüçóåì ðàçëîæåíèå (21) 62 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû â ìàòðè÷íîå ñòåïåííîå ïðîèçâåäåíèå, íà îñíîâå êîòîðîãî äëÿ âû÷èñëåíèÿ A BC � ïîëó÷èì èòåðàöèîííûé ïðîöåññ X C A B X X E C A BA X kT k k T k k 0 1 1 1 2 1 1 1 2� � � � �� � � � � � �, ( ) , , , � ( )42 Îöåíêà áëèçîñòè k-ãî ïðèáëèæåíèÿ ïî ôîðìóëàì (42) ê A BC � îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (22), ãäå ñëåäóåò ïîëîæèòü n k� . Îòìåòèì, ÷òî â ðàáîòå [47] ïîñòðîåíû è èññëåäîâàíû äðóãèå âèäû èòåðàöèîííûõ ïðîöåññîâ íà îñíîâå ðàçëîæåíèé ñ ïîëîæèòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ñòåïåíåé. Ðàññìîòðèì ìåòîäèêó ïîñòðîåíèÿ èòåðàöèîííûõ ïðîöåññîâ äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé. Ïîëîæèì x X fk k� , ãäå ìàòðèöû X k îïðåäåëåíû ôîðìóëàìè (41). Òîãäà äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðèáëèæåíèÿ ê x A f BC � �� ïîëó÷èì èòåðàöèîííûé ïðîöåññ x C A Bf x x C A B f Ax kT k k T k0 1 1 1 0 1� � � � �� � �� �, ( ), , , . . . (43) Èìååò ìåñòî [27] ñëåäóþùàÿ òåîðåìà. Òåîðåìà 12.Èòåðàöèîííûé ïðîöåññ (43) ñõîäèòñÿ â R n C( ), ïðè÷åì èìååò ìåñòî îöåíêà | | | | | | | |x x q x xk C k C � � � �� � �1 1 0 , ãäå q A A C A BA BC T� � �� �� �( )1 1, à ìàòðèöà C âõîäèò â îïðåäåëåíèå âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû ñîãëàñíî ÷åòâåðòîìó óñëîâèþ â (1). Äëÿ âû÷èñëåíèÿ x � íà îñíîâàíèè (42) ïîëó÷èì èòåðàöèîííûé ïðîöåññ [47] x C A Bf x x E C A BA x kT k k T k k 0 1 1 1 2 1 1 1 2� � � � �� � � � � � �, ( ) , , , � ( )44 Òåîðåìà 13. Èòåðàöèîííûé ïðîöåññ (44) ñõîäèòñÿ â R n C( ), ïðè÷åì èìååò ìåñòî îöåíêà | | | | | | | |x x q xk C C k� �� � 2 , ãäå q è ìàòðèöà C îïðåäåëåíû â òåîðåìå 12.  ðàáîòå [47] ïðåäëîæåí è èññëåäîâàí èòåðàöèîííûé ìåòîä p-ãî ïîðÿäêà ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ( p � 2): X X X E AX kk k k i p k i k k� � � � � � � ��1 1 1 0 1� �, , , , . . . (45) Òåîðåìà 14.Èòåðàöèîííûé ïðîöåññ (45) ïðè X C A BT 0 1� �� , ãäå ïàðàìåòð � îïðåäåëåí ñîîòíîøåíèåì (17), ñõîäèòñÿ, ïðè÷åì èìååò ìåñòî îöåíêà | | | | | | | |A X q A X BC k CV p BC CV k� � � �� � � � 1 1 0 1 , ãäå q è ìàòðèöà C îïðåäåëåíû â òåîðåìå 12, à V m m� �R — ïðîèçâîëüíàÿ ñèììåòðè÷íàÿ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà. ×àñòíûé ñëó÷àé ( p � 2) èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà (45), êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 63 îáîáùåíèåì èçâåñòíîãî ìåòîäà äëÿ îáðàùåíèÿ íåâûðîæäåííîé ìàòðèöû [64], ðàññìàòðèâàëñÿ â [25].  ðàáîòå [25] ïîêàçàíî, ÷òî îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà � îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé � 0 12� � �[ ]* maxd d , (46) ãäå d* — ìèíèìàëüíûé íåíóëåâîé äèàãîíàëüíûé ýëåìåíò ìàòðèöû D, îïðåäåëåííîé â (14), dmax — ìàêñèìàëüíèé äèàãîíàëüíèé ýëåìåíò ýòîé ìàòðèöû. Ðàññìîòðèì ìåòîäèêó ïîñòðîåíèÿ èòåðàöèîííûõ ïðîöåññîâ íà îñíîâàíèè ðàçëîæåíèé ñ îòðèöàòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ñòåïåíåé, îïèñàííûõ â ðàçä. 5. Ñíà÷àëà äëÿ ýòîé öåëè èñïîëüçóåì ðàçëîæåíèå (23) âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû â ìàòðè÷íûé ñòåïåííîé ðÿä, íà îñíîâàíèè êîòîðîãî äëÿ âû÷èñëåíèÿ A BC � ïîëó÷èì èòåðàöèîííûé ïðîöåññ X X C A BA E X C A Bk T k T 0 1 1 1 10� � � �� � � �, ( ) ( )� � , k � � � �1 2 0, , . . . , � . (47) Îöåíêà áëèçîñòè k-ãî ïðèáëèæåíèÿ ïî ôîðìóëàì (47) ê A BC � îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (24), ãäå ñëåäóåò ïîëîæèòü p k� . Äëÿ ïîñòðîåíèÿ èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà ñ áîëåå âûñîêîé ñêîðîñòüþ ñõîäèìîñòè èñïîëüçóåì ðàçëîæåíèå (28) âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû â ìàòðè÷íîå ñòåïåííîå ïðîèçâåäåíèå, íà îñíîâàíèè êîòîðîãî äëÿ âû÷èñëåíèÿ A BC � ïîëó÷èì èòåðàöèîííûé ïðîöåññ X C A BA E C A BT T 0 1 1 1� �� � �( )� , X X C A BA E X kk k T k k k � � � �� � � � � � 1 2 1 2 1 1 1 1 2� �( ) , , , . . .( ) (48) Îöåíêà áëèçîñòè k-ãî ïðèáëèæåíèÿ ïî ôîðìóëàì (48) ê A BC � îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (29), ãäå ñëåäóåò ïîëîæèòü n k� . Ðàññìîòðèì ìåòîäèêó ïîñòðîåíèÿ èòåðàöèîííûõ ïðîöåññîâ äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé. Ïîëîæèì x X fk k� , ãäå ìàòðèöû X k îïðåäåëåíû ôîðìóëàìè (47). Òîãäà äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðèáëèæåíèÿ ê x A f BC � �� ïîëó÷èì èòåðàöèîííûé ïðîöåññ x x C A BA E x C A Bfk T k T 0 1 1 1 10� � � �� � � �, ( ) ( )� � , k � � � �1 2 0, , . . . , � . (49) Îöåíêà áëèçîñòè k-ãî ïðèáëèæåíèÿ ïî ôîðìóëàì (49) ê x � îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (32), ãäå ñëåäóåò ïîëîæèòü p k� . Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ñëåäóþùåãî èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà îïÿòü ïîëîæèì x X fk k� , ãäå ìàòðèöû X k îïðåäåëåíû ôîðìóëàìè (48). Òîãäà äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðèáëèæåíèÿ ê x A f BC � �� ïîëó÷èì èòåðàöèîííûé ïðîöåññ x C A BA E C A BfT T 0 1 1 1� �� � �( )� , x x C A BA E x kk k T k k k � � � �� � � � � � 1 2 1 2 1 1 1 1 2� �( ) , , , . . .( ) ( )50 Îöåíêà áëèçîñòè k-ãî ïðèáëèæåíèÿ ïî ôîðìóëàì (50) ê x � îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (34), ãäå ñëåäóåò ïîëîæèòü n k� . 64 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 Çàìå÷àíèå 5. Èç îöåíîê (24), (29), (32), (34) âûòåêàåò, ÷òî ïîãðåøíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ê ðåøåíèþ çàäà÷ ñ ïîìîùüþ ñîîòâåòñòâóþùèõ èòåðàöèîííûõ ïðîöåññîâ çàâèñèò îò êîëè÷åñòâà èòåðàöèé è ïàðàìåòðà �. Î÷åâèäíî, ÷òî ïàðàìåòð � íåîáõîäèìî âûáèðàòü, ïî âîçìîæíîñòè, íàèìåíüøèì. Íî åãî âåëè÷èíà îãðàíè÷è- âàåòñÿ â ñòîðîíó óìåíüøåíèÿ íåîáõîäèìîé òî÷íîñòüþ âû÷èñëåíèÿ îáðàòíîé ìàòðèöû ê ìàòðèöå C A BA ET� �1 � . Îïðåäåëåíèå 9. Ïðîöåññû òèïà (47)–(50) ïðè � � � 0 (� � 0) íàçîâåì ðåãóëÿðèçîâàííûìè èòåðàöèîííûìè ïðîöåññàìè. Çàìå÷àíèå 6. Íà îñíîâàíèè ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðèáëèæåíèÿ ê âçâåøåííîìó íîðìàëüíîìó ïñåâäîðåøåíèþ ïîëó÷åíî ðåãóëÿðèçîâàííóþ çàäà÷ó (31), êîòîðóþ ïðåäïîëàãàåòñÿ ðåøàòü ïðÿìûì ìåòîäîì, è èòåðàöèîííûé ïðîöåññ (47). Ïðè÷åì åñëè k p� , òî òåîðåòè÷åñêè èìååì îäíó è òó æå îöåíêó áëèçîñòè ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ, ïîëó÷åííîãî äâóìÿ ìåòîäàìè, ê òî÷íîìó ðåøåíèþ. Âîïðîñ âûáîðà ìåòîäà âû÷èñëåíèÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è, ïî-âèäèìîìó, áóäåò çàâèñåòü íå ñòîëüêî îò îáúåìà âû÷èñëèòåëüíîé ðàáîòû, ñêîëüêî îò âåëè÷èíû ïîãðåøíîñòè, âíîñèìîé âû÷èñëèòåëüíûì ïðîöåññîì. Òî æå ñàìîå ìîæíî ñêàçàòü î ìåòîäàõ, ïîëó÷åííûõ íà îñíîâàíèè ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ. Ðàññìîòðèì âîïðîñ ïîñòðîåíèÿ èòåðàöèîííûõ ïðîöåññîâ íà îñíîâàíèè ðàçëîæåíèé (35), (38), ïðåäëîæåííûõ è èññëåäîâàííûõ ñîîòâåòñòâåííî â ðàáîòàõ [39] è [40]. Íà îñíîâàíèè ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû â ìàòðè÷íûé ñòåïåííîé ðÿä (35) ïîëó÷àåì ñëåäóþùèé èòåðàöèîííûé ïðîöåññ [39]: X X X C A Bk p k i p i T 0 1 1 10� � �� � � � ��, � �� , � � � ��E C A BA kT� 1 0 1, , , . . . (51) Òåîðåìà 15. Èòåðàöèîííûé ïðîöåññ (51) ïðè 0� � �� ñõîäèòñÿ, ïðè÷åì èìååò ìåñòî îöåíêà | | | | | | | |( )A X q A BC k CV p k BC CV � � � �� �1 1 , ãäå q A A E C A BA C A BA BC T T� � � � �� � � � �� � � �[ ( ) ] [ ( )]min *1 1 1 11 1, (52) � min * ( )L — ìèíèìàëüíîå íåíóëåâîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ìàòðèöû L, ìàòðèöà C âõîäèò â îïðåäåëåíèå âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû ñîãëàñíî ÷åòâåðòîìó óñëîâèþ â (1), à V m m� �R — ïðîèçâîëüíàÿ ñèììåòðè÷íàÿ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà. Íà îñíîâàíèè ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû â ìàòðè÷íîå ñòåïåííîå ïðîèçâåäåíèå (38) äëÿ âû÷èñëåíèÿ A BC � ïîëó÷àåì èòåðàöèîííûé ïðîöåññ [40] X E C A BA C A BT T 0 1 1 1� � � � �� �( ) , X X E C A BA X kk k T k k � � � �� � � � � 1 1 2 1 1 1 2( ) , , , . . .( )� (53) Òåîðåìà 16.Èòåðàöèîííûé ïðîöåññ (53) ñõîäèòñÿ ïðè 0� � �� , ïðè÷åì èìååò ìåñòî îöåíêà | | | | | | | |A X q A BC k CV BC CV k� �� � 2 , ãäå q è ìàòðèöû C, V îïðåäåëåíû â òåîðåìå 15. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 65 Îòìåòèì, ÷òî äëÿ èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà (53) òàêæå âåðíà îöåíêà (39), åñëè â íåé ïîëîæèòü n k� . Ðàññìîòðèì èòåðàöèîííûé ïðîöåññ äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé [40]. Ïîëîæèì x X fk k� , ãäå ìàòðèöû X k îïðåäåëåíû ôîðìóëàìè (53). Òîãäà äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðèáëèæåíèÿ ê x A f BC � �� ïîëó÷èì èòåðàöèîííûé ïðîöåññ x E C A BA C A BfT T 0 1 1 1� � � � �� �( ) , x x E C A BA x kk k T k k � � � �� � � � � 1 1 2 1 1 1 2( ) , , , . . .( )� ( )54 Òåîðåìà 17. Èòåðàöèîííûé ïðîöåññ (54) ïðè 0� � �� ñõîäèòñÿ â R n C( ), ïðè÷åì èìååò ìåñòî îöåíêà | | | | | | | |x x q xk C C k� �� � 2 , ãäå q è ìàòðèöà C îïðåäåëåíû â òåîðåìå 15. Çàìå÷àíèå 7. Èç (52) ñëåäóåò, ÷òî çíà÷åíèå q çàâèñèò îò ïàðàìåòðà � è óìåíüøàåòñÿ ñ åãî óâåëè÷åíèåì. Äëÿ óñêîðåíèÿ ñõîäèìîñòè èòåðàöèîííûõ ïðîöåññîâ (51), (53), (54) íåîáõîäèìî âûáèðàòü � äîñòàòî÷íî áîëüøèì. Íî ñ óâå- ëè÷åíèåì ïàðàìåòðà � â îáùåì ñëó÷àå áóäåò ðàñòè îáóñëîâëåííîñòü ìàòðèöû E C A BAT� �� 1 , ñ êîòîðîé ñâÿçàíà òî÷íîñòü âû÷èñëåíèÿ ìàòðèöû ( )E C A BAT� � �� 1 1. Ïîýòîìó íóæíî ó÷èòûâàòü ýòè îáñòîÿòåëüñòâà ïðè âûáîðå ïàðàìåòðà � â ïðîöåññå ïîñòðîåíèè è ðåàëèçàöèè èòåðàöèîííûõ ìåòîäîâ. Îòìåòèì, ÷òî â ðàáîòàõ [39, 40] òàêæå ïðåäëàãàþòñÿ è àíàëèçèðóþòñÿ äðóãèå âèäû èòåðàöèîííûõ ïðîöåññîâ äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö è âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé. Èòåðàöèîííûå ìåòîäû äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè, îñíîâàííûå íà ðàçëîæåíèè âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû ñ ïîëîæèòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ñòåïåíåé, ïîìèìî óêàçàííûõ âûøå ðàáîò, ïðåäëàãàëèñü è èññëåäî- âàëèñü â [51, 65]. Êðîìå òîãî, â ðàáîòå [65] ðàññìàòðèâàëñÿ èòåðàöèîííûé ìåòîä p-ãî ïîðÿäêà ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè, à â [51] — âòîðîãî ïîðÿäêà. Ïîñêîëüêó âçâåøåííûå ïñåâäîîáðàòíûå ìàòðèöû ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè — îáîáùåíèå ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû Ìóðà–Ïåíðîóçà, èòåðàöèîííûå ìåòîäû (41), (42), (45) ÿâëÿþòñÿ îáîáùåíèåì ñîîòâåòñòâóþùèõ ìåòîäîâ, ïîñòðîåííûõ äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû Ìóðà–Ïåíðîóçà íà îñíîâå ðàçëîæåíèÿ ýòîé ìàòðèöû â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû ñ ïîëîæèòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ñòåïåíåé (ñì., íàïðèìåð, [12, 66–70]). Ðÿä ðàáîò ïîñâÿùåíî ïîñòðîåíèþ ïðÿìûõ ìåòîäîâ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè. Òàê, ìåòîä, ïðåäëîæåííûé â [71], ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì ìåòîäà, ïðåäëîæåííîãî â [72] äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû Ìóðà–Ïåíðîóçà. Àëãîðèòì ñòàòüè [73] ðàçâèâàåò èäåþ àëãîðèòìà, ïðåäëîæåííîãî â [74] äëÿ âû÷èñëåíèÿ îáðàòíîé ìàòðèöû.  ðÿäå ðàáîò ðàññìàòðèâàëèñü âîïðîñû âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííîãî íîðìàëüíîãî ïñåâäîðåøåíèÿ ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè.  [75] äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííîãî íîðìàëüíîãî ïñåâäîðåøåíèÿ ïðåäëàãàåòñÿ âû÷èñëèòåëüíàÿ ñõåìà ìåòîäà ðåãóëÿðèçàöèè ñ èñïîëüçîâàíèåì ôàêòîðèçàöèè Õîëåöêîãî äëÿ ðåøåíèÿ ðåãóëÿðèçîâàííîé çàäà÷è, â [76] — ðàñùåïëåíèå èñõîäíîé ïðÿìîóãîëüíîé ìàòðèöû íà ñóììó òàêèõ äâóõ ìàòðèö, ÷òî ïîñòðîåííàÿ íà ýòîé îñíîâå 66 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ ê âçâåøåííîìó íîðìàëüíîìó ïñåâäîðåøåíèþ ÑËÀÓ. Çíà÷èòåëüíîå âíèìàíèå óäåëÿåòñÿ ïàðàëëåëüíûì âû÷èñëåíèÿì äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷, ñâÿçàííûõ ñî âçâåøåííîé ïñåâäîèíâåðñèåé. Òàê, â ðàáîòå [77] ïðåäëàãàþòñÿ è èññëåäóþòñÿ ïàðàëëåëüíûå àëãîðèòìû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö Ìóðà-Ïåíðîóçà è âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö.  íåêîòîðûõ ðàáîòàõ ðàññìîòðåíû âîïðîñû ïàðàëëåëüíûõ âû÷èñëåíèé äëÿ àëãîðèòìîâ, êîòîðûå èñïîëüçóþò âçâåøåííóþ ïñåâäîèíâåðñèþ (ñì., íàïðèìåð, [78, 79]). 7. ÏÐÅÄÑÒÀÂËÅÍÈß ÂÇÂÅØÅÍÍÛÕ ÏÑÅÂÄÎÎÁÐÀÒÍÛÕ ÌÀÒÐÈÖ ×ÅÐÅÇ ÄÐÓÃÈÅ ÏÑÅÂÄÎÎÁÐÀÒÍÛÅ ÌÀÒÐÈÖÛ Â äàííîì ðàçäåëå ïðèâåäåíû ôîðìóëû äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè ÷åðåç ïñåâäîîáðàòíóþ ìàòðèöó Ìóðà–Ïåíðîóçà è ÷àñòíûå âèäû âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö [80]. Òåîðåìà 18. Ïóñòü A m n� �R , B m m� �R è C n n� �R — ñèììåòðè÷íûå ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûå ìàòðèöû. Òîãäà âçâåøåííàÿ ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðèöà A BC � ê ìàòðèöå A, îïðåäåëåííàÿ óñëîâèÿìè (1), ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå A C B AC B BC EE � � � �� 1 2 1 2 1 2 1 2/ / / /( ) , (55) A C C A BAC C A B BC T EE T� � � � � �� 1 2 1 2 1 2 1 2/ / / /( ) , (56) A C A B B AC A B B BC T T EE � � � �� 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2/ / / /( ) , (57) A C A B AC A B BC T T BB � � � �� 1 1( ) , (58) A C A BAC A B BC T T B B � � � �� � � 1 1 1 1 ( ) , (59) A C A BA C A B BC T CC T� � � �� ( )1 1 , (60) A C A BAC A B BC T C C T� � � �� � � 1 1 1 1 ( ) , (61) A A BA A B BC T C C T� �� �( ) 1 , (62) A C A AC A BC T T BB � � � �� � 1 1 1 ( ) . (63) Îòìåòèì, ÷òî â [8] äëÿ ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû Ìóðà–Ïåíðîóçà äàíî åå ïðåäñòàâëåíèå ÷åðåç ïñåâäîîáðàòíûå ê ñèììåòðè÷íûì ìàòðèöàì A A A A A AA EE T EE T T T EE � � �� �( ) ( ) . Î÷åâèäíî, ÷òî ýòè ôîðìóëû äëÿ A EE � ÿâëÿ- þòñÿ ñëåäñòâèåì ñîîòíîøåíèé (55)–(63) ïðè B C E� � . Ôîðìóëà (55) ïîëó÷åíà òàêæå â [10]. Ôîðìóëû (55)–(57) ìîæíî èñïîëüçîâàòü, íàïðèìåð, äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâå- øåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ ïîìîùüþ ïàêåòà ïðèêëàäíûõ ïðîãðàìì, â êî- òîðîì èìåþòñÿ ïðîãðàììû âû÷èñëåíèÿ ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû Ìóðà–Ïåíðîó- çà, îáðàòíîé ìàòðèöû äëÿ ñèììåòðè÷íîé ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííîé ìàòðèöû è êîðíÿ êâàäðàòíîãî èç ñèììåòðè÷íîé ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííîé ìàòðèöû. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 67  ðàáîòå [47] ïðåäñòàâëåíèå âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû (55) èñïîëü- çîâàëîñü äëÿ ïîëó÷åíèÿ ôîðìóëû ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ. 8. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ× ÍÀÈÌÅÍÜØÈÕ ÊÂÀÄÐÀÒÎÂ Ñ ÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÈßÌÈ Ê çàäà÷àì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ñ îãðàíè÷åíèÿìè ïðèõîäÿò ïðè ìîäåëèðîâàíèè ïðîöåññîâ, ÿâëåíèé, ñèñòåì â ðàçëè÷íûõ ïðåäìåòíûõ îáëàñòÿõ [24].  ðÿäå ðàáîò (ñì., íàïðèìåð, [7, 22]) ðåøåíèå íåêîòîðûõ çàäà÷ íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ñ îãðàíè÷åíèÿìè, à òàêæå L-ïñåâäîðåøåíèå [23] (Lg-ïñåâäîðåøåíèå [20], ñâÿçàííîå íîðìàëüíîå ïñåâäîðåøåíèå [81]) ïðåäñòàâëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ ML-âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö. Ïðèâåäåì îïðåäåëåíèå ML-âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö. Ïóñòü A m n� �R , M q m� �R , L p n� �R . Òîãäà ML-âçâåøåííàÿ ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðèöà A ML � ê ìàòðèöå A îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì [7, 22, 24]: A E LP L MA M P E MA MA ML EE EE EE � � � �� � � �( ( ) )( ) , ( ) . (64) Âåêòîð x A f ML � � ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è: íàéòè min | | | | , min | | | | x L L x M M x Ax fT n T � � � � � � Arg R . (65)  îáùåì ñëó÷àå ðåøåíèå çàäà÷è (65) íååäèíñòâåííî.  ðàáîòàõ [7, 22, 24] îïðåäåëåíî óñëîâèå, ïðè êîòîðîì ðåøåíèå äàííîé çàäà÷è áóäåò åäèíñòâåííûì. Öåëü ðàáîòû — ïîñòðîèòü ìåòîäû äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ñ îãðàíè÷åíèÿìè, èñïîëüçóÿ äëÿ ýòîãî èññëåäîâàííûå â ðàçä. 5 è 6 ñîîòâåòñòâåííî ðåãóëÿðèçîâàííûå çàäà÷è è èòåðàöèîííûå ìåòîäû äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé. Äëÿ ýòîãî áóäåì èñïîëüçîâàòü óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ ML-âçâåøåííûå ïñåâäîîáðàòíûå ìàòðèöû ñîâïàäàþò ñî âçâåøåííûìè ïñåâäîîáðàòíûìè ìàòðèöàìè ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè [35]: B M M C L L Bu u Cv vT T E Em n � � � �, , ( , ) , ( , )0 0 � � � � �u vm n0 0R R, . (66) Òîãäà âîçìîæíîñòü èñïîëüçîâàíèÿ ïîñòðîåííûõ âûøå ðåãóëÿðèçîâàííûõ çàäà÷ è èòåðàöèîííûõ ìåòîäîâ äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ñ îãðàíè÷åíèÿìè îáóñëîâëåíà ñëåäóþùèìè îáñòîÿòåëüñòâàìè: âî-ïåðâûõ, ðåøåíèå ðÿäà òàêèõ çà- äà÷ ïðåäñòàâëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ ML-âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö; âî-âòî- ðûõ, ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (66) âçâåøåííûå ïñåâäîîáðàòíûå ìàòðèöû è ML-âçâåøåííûå ïñåâäîîáðàòíûå ìàòðèöû ñîâïàäàþò.  äàëüíåéøåì áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ýòè óñëîâèÿ âûïîëíÿþòñÿ.  íàñòîÿùåé ðàáîòå â êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì òîëüêî çàäà÷ó íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ñ îãðàíè÷åíèÿìè â âèäå ëèíåéíûõ ðàâåíñòâ. Ïîñòàíîâêè è ìåòîäû ðåøåíèÿ äðóãèõ çàäà÷ íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ñ îãðàíè÷åíèÿìè ìîæíî íàéòè â ðàáîòàõ [7, 22, 23, 24, 27, 33, 35, 39, 40, 47, 57, 63, 81, 82], ãäå ïðåäëàãàþòñÿ è èññëåäóþòñÿ ðåãóëÿðèçîâàííûå çàäà÷è è èòåðàöèîííûå ìåòîäû äëÿ ðåøåíèÿ ðÿäà çàäà÷ íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ñ îãðàíè÷åíèÿìè. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ñ îãðàíè÷åíèÿìè â âèäå ëèíåéíûõ ðàâåíñòâ (ñ ëèíåéíûìè ñâÿçÿìè) [7, 22, 24] min | | | | , | f EKf g f Lf h � � � � � � { }. (67) 68 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âûïîëíÿþòñÿ íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ (ñì. [7]) ñóùåñòâîâàíèÿ åäèíñòâåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è (67). Êðîìå òîãî, ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ìàòðèöà K KT ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííàÿ. Ýòî ïðåäïîëîæåíèå îáóñëîâëåíî òåì, ÷òî íèæå ñòðîÿòñÿ ìåòîäû äëÿ çàäà÷ íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ñ îãðàíè÷åíèÿìè, îñíîâàííûå íà èññëåäîâàííûõ â ðàçä. 5 è 6 ìåòîäàõ äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîðåøåíèé ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðå- äåëåííûìè âåñàìè. Îòìåòèì, ÷òî ïðè ïîñòðîåíèè ìåòîäîâ äëÿ ðåøåíèÿ íàçâàííûõ çàäà÷ íà îñíîâå ñâîéñòâ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè [83] áóäåì èìåòü äðóãîå óñëîâèå äëÿ ìàòðèöû K KT (ñì., íàïðèìåð, [49, 82]). Ðåøåíèå çàäà÷è (67) îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé [7] f L h KP g C K K P E L L EC L EE T L EE* ( ) , ,� � � � �� � � . (68) Òàêèì îáðàçîì, ðåøåíèå çàäà÷è (67) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó f f f* * ( ) * ( )� �1 2 íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé äâóõ çàäà÷: íàõîæäåíèå âçâåøåííîãî íîðìàëüíîãî ïñåâäîðåøåíèÿ ñèñòåìû Lf h( )1 � ñ âåñàìè E è C K KT� è íàõîæäåíèå íîðìàëüíîãî ïñåâäîðåøåíèÿ ñèñòåìû KP f gL ( )2 � . Òîãäà íà îñíîâàíèè òåîðåì 8 è 9 ìîæíî ïîëó÷èòü ðåãóëÿðèçîâàííûå çàäà÷è äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðèáëèæåíèÿ ê f * ( )1 è f * ( )2 . Òàê, íàïðèìåð, íà îñíîâàíèè òåîðåìû 9 äëÿ ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ f * ( )1 èìååì ÑËÀÓ (� �� �0 0, ) k n T TC L L E C L L E f k � � � �� � � � 0 1 1 2 1 1( ) ( ) ( )� � � � � � � � �� k n T TC L L E E C L h k k 0 1 1 2 2 1{ }( )� � , C K KT� , (69) à äëÿ âû÷èñëåíèÿ f * ( )2 — ÑËÀÓ (� �� �0 0, ) k n L T L L T LKP KP E KP KP E f k � � � � � � 0 1 2 2(( ) ) (( ) ) ( )� � � � � � � � k n L T L L TKP KP E E KP g k k 0 1 2 2{ }(( ) ) ( )� � , P E L LL EE � � � . (70) Íà îñíîâàíèè èòåðàöèîííûõ ïðîöåññîâ (43), (44), (49), (50), (54) ìîæíî ïîëó÷èòü èòåðàöèîííûå ïðîöåññû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðèáëèæåíèÿ ê f * ( )1 è f * ( )2 . Òàê, íàïðèìåð, íà îñíîâàíèè èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà (50) äëÿ ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ f * ( )1 èìååì ðåãóëÿðèçîâàííûé èòåðàöèîííûé ïðîöåññ ( , )� �� �0 0 f C L L E C L h fT T k0 1 1 1 1 1( ) ( )( ) ,� � �� � �� � � �� � � � � � f C L L E f k T k k k 1 1 2 1 2 1 11 1( ) ( ) ( )( )� � , k C K KT� �1 2, , . . . , , (71) ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 69 à äëÿ âû÷èñëåíèÿ f * ( )2 — ðåãóëÿðèçîâàííûé èòåðàöèîííûé ïðîöåcc ( � �� �0 0, ) f KP KP E KP gL T L L T 0 2 1( ) (( ) ) ( )� � �� , f f KP KP E f k k L T L k k k( ) ( ) ( ) ( )(( ) )2 1 2 2 2 1 21 1 � � �� � � � � � � , k P E L LL EE � � � �1 2, , . . . , . (72) Ïðè âû÷èñëåíèè f * ( )2 íåîáõîäèìî îïðåäåëÿòü ìàòðèöó P E L LL EE � � � , â êîòîðîé èìååòñÿ ïðîåêöèîííàÿ ìàòðèöà L L EE � .  [84] ïðåäëîæåí ðåêóððåíòíûé ïðîöåññ, ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî ëåãêî âû÷èñëÿþòñÿ òàêèå ïðîåêöèîííûå ìàòðèöû. Îòìåòèì, ÷òî â ðàáîòàõ [6, 85, 86] è â ìîíîãðàôèè [24] ïðåäëàãàåòñÿ è èññëåäóåòñÿ ìåòîä âçâåøèâàíèÿ, â [33, 35, 49] ðàññìàòðèâàþòñÿ ðåãóëÿðèçîâàí- íûå çàäà÷è äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (67), â [39, 40, 57, 81] — ðåãóëÿðèçîâàííûå èòåðàöèîííûå ìåòîäû, â ðàáîòå [87] ðàçðàáîòàíû êîìïüþòåðíî-àëãåáðàè÷åñêèå ïðîöåäóðû äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è.  çàêëþ÷åíèå îòìåòèì, ÷òî ðåøåíèå çàäà÷è íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ñ îãðà- íè÷åíèÿìè â âèäå êâàäðàòè÷íûõ íåðàâåíñòâ [7], íàõîæäåíèÿ L-ïñåâäîðåøåíèÿ [23], Lg-ïñåâäîðåøåíèÿ [20], ñâÿçàííîãî íîðìàëüíîãî ïñåâäîðåøåíèÿ [81] ïðè íå- êîòîðûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ òàêæå îïðåäåëÿþòñÿ ñóììîé âçâåøåííîãî íîðìàëüíîãî ïñåâäîðåøåíèÿ è îáû÷íîãî íîðìàëüíîãî ïñåâäîðåøåíèÿ (ñì., íàïðèìåð, [7, 22, 40, 63]), äëÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ êîòîðûõ ìîæíî èñïîëüçîâàòü ÑËÀÓ (69), (70) è èòåðàöèîííûå ïðîöåññû (71), (72). ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. C h i p m a n J . S . On least squares with insufficient obserwation // J. Amer. Statist. Assoc. — 1964. — 59, N 308. — P. 1078–1111. 2. M i l n e R . D . An oblique matrix pseudoinverse // SIAM J. Appl. Math. — 1968. — 16, N 5. — P. 931–944. 3. W a r d J . F . , B o u l l i o n T . L . , L e w i s T . O . A note on the oblique matrix pseudoinverse // Ibid. — 1971. — 20, N 2. — P. 173–175. 4. G r e v i l l e T . N . E . Note on fitting of functions of several independent variables // J. Soc. Industr. Appl. Math. — 1961. — 9, N 1. — P. 109–115. 5. M i t r a S . K . , R a o C . R . Projections under seminorms and generalized Moore-Penrose inverses // Linear Algebra and Appl. — 1974. — 9. — P. 155–167. 6. E l d e n L . Perturbation theory for the least squares problem with linear equality constraints // SIAM J. Numer. Anal. — 1980. — 17, N 3. — P. 338–350. 7. E l d e n L . A weighted pseudoinverse generalized singular values and constrained least squares problems // BIT. — 1982. — 22, N 4. — P. 487–502. 8. À ë á å ð ò À . Ðåãðåññèÿ, ïñåâäîèíâåðñèÿ è ðåêóððåíòíîå îöåíèâàíèå. — Ì.: Íàóêà, 1977. — 223 ñ. 9. B o u l l i o n T . , O d e l l P . Generalized inverses of matrices. — New York: Wiley, 1971. — 103 p. 10. B e n - I s r a e l A . , G r e v i l l e T . N . E . Generalized inverse. Theory and applications. —2th ed. — New York: Springer-Verlag, 2003. — 420 p. 11. R a o C . R . , M i t r a S . K . Generalized inverse of matrices and its applications. — New York: Wiley, 1971. 12. N a s h e d M . Z . Generalized inverses and applications. — New York: Acad. Press, 1976. — 1024 p. 13. M o o r e E . H . On the reciprocal of the general algebraic matrix // Abstract. Bull. Amer. Math. Soc. — 1920. — 26. — P. 394–395. 70 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 14. P e n r o s e R . A generalized inverse for matrices // Proc. Cambridge Phil. Soc. — 1955. — 51, N 3. — P. 406–413. 15. Á ë þ ì è í Ñ . Ë . , Ì è ë î â è ä î â Ñ . Ï . Âçâåøåííîå ïñåâäîîáðàùåíèå â îïòèìàëüíîì óïðàâëåíèè äèñêðåòíî-àðãóìåíòíûìè ñèñòåìàìè // Èçâ. ÐÀÍ. Òåõí. êèáåðíåòèêà. — 1992. — ¹ 1. — Ñ. 227. 16. Ê è ð è ÷ å í ê î Í . Ô . , Ë å ï å õ à Í . Ï . Ïñåâäîîáðàùåíèå â çàäà÷àõ óïðàâëåíèÿ è íàáëþäåíèÿ // Àâòîìàòèêà. — 1993. — ¹ 5. — Ñ. 69–81. 17. R a o C . R . , M i t r a S . K . Theory and application of constrained inverse of matrices // SIAM J. Appl. Math. — 1973. — 24. — P. 473–488. 18. W a t s o n G . S . Linear least squares regression // Ann. Math. Statist. — 1967. — 83. — P. 1679–1699. 19. Z y s k i n d G . On canonical forms, non-negative covariance matrices and best and simple least squares linear estimators in linear models // Ibid. — 1967. — 38. — P. 1092–1109. 20. Ì å ë å ø ê î  . È . Ïðèìåíåíèå ðåêóððåíòíûõ îïòèìàëüíûõ îöåíîê ñ ïñåâäîîáðàùåíèåì â çàäà÷àõ èäåíòèôèêàöèè // Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. — 1978. — ¹ 9. — Ñ. 79–89. 21. P u l e L . D . The weighted generalized inverse in nonlinear programming-active set selection using a variable-metric generalization of the simplex algorithm // Lect. Notes in Econ. and Math. Systems. — 1977. — 174. — P. 197-231. 22.  à à ð ì à í í Î . Îáîáùåííûå îáðàòíûå îòîáðàæåíèÿ. — Òàëëèí: Âàëãóñ, 1988. — 120 ñ. 23. Ì î ð î ç î â  . À . Ðåãóëÿðíûå ìåòîäû ðåøåíèÿ íåêîððåêòíî ïîñòàâëåííûõ çàäà÷. — Ì.: Íàóêà, 1987. — 240 c. 24. Ë î ó ñ î í × . , Õ å í ñ î í Ð . ×èñëåííîå ðåøåíèå çàäà÷ ìåòîäà íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ. — Ì.: Íàóêà, 1986. — 232 ñ. 25. à à ë á à Å . Ô . Èòåðàöèîííûå ìåòîäû äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû // Æóðí. âû÷èñë. ìàòåìàòèêè è ìàò. ôèçèêè. — 1996. — 36, ¹ 6. — Ñ. 28–39. 26. à à í ò ì à õ å ð Ô . Ð . Òåîðèÿ ìàòðèö. — Ì.: Íàóêà, 1967. — 576 ñ. 27. à à ë á à Å . Ô . Èòåðàöèîííûå ìåòîäû äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííîãî íîðìàëüíîãî ïñåâäîðåøåíèÿ ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 1998. — ¹ 2. — Ñ. 105–115. 28. Á å ë ë ì à í Ð . Ââåäåíèå â òåîðèþ ìàòðèö. — Ì.: Íàóêà, 1969. — 368 ñ. 29. L a n c a s t e r P . , R o z s a P . Eigenvectors of H-self-adjoint matrices // Z. angew. Math. und Mech. — 1984. — 64, N 9. — S. 439–441. 30. È ê ð à ì î â Õ . Ä . Îá àëãåáðàè÷åñêèõ ñâîéñòâàõ êëàññîâ ïñåâäîïåðåñòàíîâî÷íûõ è H-ñàìîñîïðÿæåííûõ ìàòðèö // Æóðí. âû÷èñë. ìàòåìàòèêè è ìàò. ôèçèêè. — 1992. — 32, ¹ 8. — Ñ. 155–169. 31. H e a r o n J . Z . Symmetrizable generalized inverses of symmetrizable matrices // J. Res. Nat. Bu- reau Standards. — 1967. — 71, N 4. — P. 229–231. 32. B a k s a l a r y J . K . , K a l a R . Symmetrizers of matrices // Linear Algebra and Appl. — 1981. — 35. — P. 51–62. 33. à à ë á à Å . Ô . , Ä å é í å ê à  . Ñ . , Ñ å ð ã è å í ê î È .  . Ïðåäåëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè è ðåãóëÿðèçàöèÿ çàäà÷ // Æóðí. âû÷èñë. ìàòåìàòèêè è ìàò. ôèçèêè. — 2004. — 44, ¹ 11. — Ñ. 1928–1946. 34. S e n S . K . , V e n k a i a h V . C h . On symmetrizing a matrix // Indian J. Pure and Appl. Math. — 1988. — 19, N 6. — P. 554–561. 35. Ñ å ð ã è å í ê î È .  . , à à ë á à Å . Ô . , Ä å é í å ê à  . Ñ . Ïðåäåëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè è ðåãóëÿðèçàöèÿ çàäà÷ // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2003. — ¹ 6. — Ñ. 46–65. 36. Ì î ë ÷ à í î â È . Í . , à à ë á à Å . Ô . Âçâåøåííîå ïñåâäîîáðàùåíèå êîìïëåêñíûõ ìàòðèö // Óêð. ìàò. æóðí. — 1983. — 35, ¹ 1. — Ñ. 53–57. 37. È ê ð à ì î â Õ . Ä . Çàäà÷íèê ïî ëèíåéíîé àëãåáðå. — Ì.: Íàóêà, 1975. — 316 ñ. 38. D e c e l l H . P . An application of the Cayley-Hamilton theorem to generalized matrix inversion // SIAM Rev. — 1965. — 7, N 4. — P. 526–528. 39. Ñ å ð ã è å í ê î È .  . , à à ë á à Å . Ô . , Ä å é í å ê à  . Ñ . Ðàçëîæåíèå â ðÿäû âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö è èòåðàöèîííûå ìåòîäû äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö è âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2006. — ¹ 1. — Ñ. 32–62. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 71 40. Ñ å ð ã è å í ê î È .  . , à à ë á à Å . Ô . , Ä å é í å ê à  . Ñ . Ðàçëîæåíèå âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ è èòåðàöèîííûå ìåòîäû // Òàì æå. — 2007. — ¹ 1. — Ñ. 45–64. 41. Ô î ð ñ à é ò Ä æ . , Ì î ë å ð Ê . ×èñëåííîå ðåøåíèå ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. — Ì.: Ìèð, 1969. — 168 ñ. 42. à à ë á à Å . Ô . Âçâåøåííîå ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå è âçâåøåííîå ïñåâäîîáðàùåíèå ìàòðèö // Óêð. ìàò. æóðí. — 1996. — 48, ¹ 10. — Ñ. 1426–1430. 43. Õ î ð í Ð . , Ä æ î í ñ î í × . Ìàòðè÷íûé àíàëèç. — Ì.: Ìèð, 1989. — 656 ñ. 44. G o l u b G . , K a h a n W . Calculating the singular values and pseudoinverse of matrix // SIAM J. Numer. Anal. — 1965. — 2. — P. 205–224. 45. G o l u b G . H . , R e i n s c h C . Singular value decomposition and least squares solutions // Numer. Math. — 1970. — 14. — P. 403–420. 46. Ó è ë ê è í ñ î í Ä æ . Õ . , Ð à é í ø Ê . Ñïðàâî÷íèê àëãîðèòìîâ íà ÿçûêå ÀËÃÎË. Ëèíåéíàÿ àëãåáðà. — Ì.: Ìàøèíîñòðîåíèå, 1976. — 389 ñ. 47. Ñ å ð ã è å í ê î È .  . , à à ë á à Å . Ô . , Ä å é í å ê à  . Ñ . Èòåðàöèîííûå ìåòîäû ñ ðàçëè÷íûìè ñêîðîñòÿìè ñõîäèìîñòè äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö è âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2004. — ¹ 5. — Ñ. 20–44. 48. Ñ å ð ã è å í ê î È .  . , à à ë á à Å . Ô . , Ä å é í å ê à  . Ñ . Ðàçëîæåíèå âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ // Óêð. ìàò. æóðí. — 2004. — 56, ¹ 11. — Ñ. 1539–1556. 49. à à ë á à Å . Ô . , Ä å é í å ê à  . Ñ . , Ñ å ð ã è å í ê î È .  . Ðàçëîæåíèÿ è ìíîãî÷ëåííûå ïðåäåëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö // Æóðí. âû÷èñë. ìàòåìàòèêè è ìàò. ôèçèêè. — 2007. — 47, ¹ 5. — Ñ. 747–765. 50. V a n L o a n C . F . Generalizing the singular value decomposition // SIAM J. Numer. Anal. — 1976. — 13, N 1. — P. 76–83. 51. W e i Y . , W u H . The representation and approximation for the weighted Moore-Penrose inverse // Appl. Math. Comput. — 2001. — 121. — P. 17–28. 52. W e i Y . , W a n g D . Condition numbers and perturbation of the weighted Moore-Penrose in- verse and weighted linear least squares problem // Ibid. — 2003. — 145. — P. 45–58. 53. J i J . , W e i Y . A note on the sensitiviti of the solution of the weighted linear least squares prob- lem // Appl. Math. Comput. — 2003. — 145. — P. 481–485. 54. Õ è ì è ÷ À . Í . , Í è ê î ë à å â ñ ê à ÿ Å . À . Îöåíêà ïîãðåøíîñòåé ðåøåíèÿ çàäà÷è âçâåøåííûõ íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ // Ñá. íàó÷. òð. Êîìïüþòåðíàÿ ìàòåìàòèêà. — Êèåâ: Èí-ò êèáåðíåòèêè èì. Â.Ì. Ãëóøêîâà ÍÀÍ Óêðàèíû. — 2006. — ¹ 3. — Ñ. 36–45. 55. W a n g D . Some topics on weighted Moore-Penrose inverse, weighted least squares and weighted regularized Tikhonov problems // Appl. Math. Comput. — 2004. — 157. — P. 243–267. 56. à à ë á à Å . Ô . Ðàçëîæåíèå â ðÿäû âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö // Äîï. ÍÀÍ ÓêðàÂíè. — 1995. — ¹ 12. — Ñ. 5–7. 57. Ñ å ð ã è å í ê î È .  . , à à ë á à Å . Ô . , Ä å é í å ê à  . Ñ . Ðàçëîæåíèå âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ è èòåðàöèîííûå ìåòîäû // Óêð. ìàò. æóðí. — 2007. — 59, ¹ 9. — Ñ. 1269–1289. 58. L o n s e t h A . T . Approximate solution of Fredholm type integral equations // Bull. Amer. Math. Soc. — 1954. — 60. — P. 415–430. 59. B e n - I s r a e l A . , C h a r n e s A . Contribution to the theory of generalized inverses // J. Soc. Industr. Appl. Math. — 1963. — 11, N 3. — P. 667–699. 60. Ì î ë ÷ à í î â È . Í . , à à ë á à Å . Ô . Âçâåøåííîå ïñåâäîîáðàùåíèå ìàòðèö ñ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííûìè âåñàìè // Äîêë. ÀÍ ÓÑÑÐ. — 1989. — Ñåð. À, ¹ 7. — Ñ. 15–17. 61. B r o e d e r G . G . , C h a r n e s A . Contributions to the theory generalized inverses for matrices // ONR Res. Memo ¹ 39 / Northwestern Univ., 1962. 62. Ò è õ î í î â À . Í . , À ð ñ å í è í  . ß . Ìåòîäû ðåøåíèÿ íåêîððåêòíûõ çàäà÷. — Ì.: Íàóêà, 1974. — 223 ñ. 63. à à ë á à Å . Ô . , Ä å é í å ê à  . Ñ . , Ñ å ð ã è å í ê î È .  . Èòåðàöèîííûå ìåòîäû âûñîêèõ ñêîðîñòåé ñõîäèìîñòè äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö è âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè // Æóðí. âû÷èñë. ìàòåìàòèêè è ìàò. ôèçèêè. — 2005. — 45, ¹ 10. — Ñ. 1731–1755. 64. S c h u l z G . Iterative Berechnungder resiproken Matrix // Z. angew. Math. und Mech. — 1933. — 33. — S. 57–59. 72 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 65. S t a n i m i r o v i c P . , D j o r d j e v i c D . Universal iterative methods for computing general- ized inverses // Acta Mathematica Hungarika. — 1998. — 79, N 13. — P. 253–268. 66. B e n - I s r a e l A . , C o h e n D . On iterative computation of generalized inverses and associ- ated projections // SIAM J. Numer. Anal. — 1966. — 3, N 3. — P. 410–419. 67. N a s h e d M . Z . Inner, outer, and generalized inverses in Banach and Hilbert spaces // Numer. Funct. Anal. and Optimiz. — 1987. — 9, N 3–4. — P. 261–325. 68. Ì å ë å ø ê î  . È . Óñòîé÷èâûå ê âîçìóùåíèÿì ïñåâäîîáðàùåíèÿ çàìêíóòûõ îïåðàòîðîâ // Æóðí. âû÷èñë. ìàòåìàòèêè è ìàò. ôèçèêè. — 1977. — 17, ¹ 5. — Ñ. 1132–1143. 69. S e n S . K . , P r a b h u S . S . Optimal iterative schemes for computing the Moore-Penrose ma- trix inverse // Int. J. Syst. Sci. — 1976. — 7, N 8. — P. 847–852. 70. T a n a b e K . Neumann-type expansion of reflexive generalized inverses of a matrix and the hyperpower iterative method // Linear Algebra Appl. — 1975. — 10. — P. 163–175. 71. W a n g G . , C h e n Y . A recursive algorithm for computing the weighted Moore-Penroze inverse AMN � // J. Comput. Math. — 1986. — 4, N 1. — P. 74–85. 72. G r e v i l l e T . N . E . Some applications of the pseudoinverse of a matrix // SIAM Rev. — 1960. — 2, N 1. — P. 15–22. 73. W a n g G . A finite algorithm for computing the weighted Moore-Penroze inverse AMN � // Appl. Math. Comput. — 1987. — 23, N 4. — P. 277–289. 74. Ô à ä ä å å â Ä . Ê . , Ô à ä ä å å â à  . Í . Âû÷èñëèòåëüíûå ìåòîäû ëèíåéíîé àëãåáðû. — Ì.: Ôèçìàòãèç, 1963. — 736 ñ. 75. Á å ð ñ å í å â Ñ . Ì . Î âû÷èñëèòåëüíûõ ñõåìàõ ìåòîäà ðåãóëÿðèçàöèè // Æóðí. âû÷èñë. ìàòåìàòèêè è ìàò. ôèçèêè — 1984. — 24, ¹ 5. — Ñ. 1402–1405. 76. T i a n H . J . On the splittings for rectangular systems // J. Comput. Math. — 1995. — 13, N 4. — P. 337–342. 77. W a n g G . , L u S . Fast parallel algorithms for computing generalized inverses A� and AMN � // J. Comput. Math. — 1988. — 6, N 4. — P. 348–354. 78. C e n s o r Y . , G o r d o n D . , G o r d o n R . Component averaging: an efficient iterative paral- lel algorithm for large and sparse unstructured problems // Parallel Comput. — 2001. — 27, N 6. — P. 777–808. 79. C e n s o r Y . , E l f v i n g T . Block-iterative algorithms with diagonally skaled oblique projections for the linear feasibility problem // SIAM J. Matrix. Anal. Appl. — 2002. — 24, N 1. — P. 40–58. 80. à à ë á à Å . Ô . Ïðåäñòàâëåíèå âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû ÷åðåç äðóãèå ïñåâäîîáðàòíûå ìàòðèöû // Äîï. ÍÀÍ ÓêðàÂíè. — 1997. — ¹ 4. — Ñ. 12–17. 81. À ð õ à ð î â Å .  . , Ø à ô è å â Ð . À . Ìåòîäû ðåãóëÿðèçàöèè çàäà÷è ñâÿçàííîãî ïñåâäîîáðàùåíèÿ ñ ïðèáëèæåííûìè äàííûìè // Æóðí. âû÷èñë. ìàòåìàòèêè è ìàò. ôèçèêè. — 2003. — 43, ¹ 3. — Ñ. 347–353. 82. à à ë á à Å . Ô . Èòåðàöèîííûå ìåòîäû äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííîãî íîðìàëüíîãî ïñåâäîðåøåíèÿ ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè // Òàì æå. — 1999. — 39, ¹ 6. — Ñ. 882–896. 83. à à ë á à Å . Ô . Âçâåøåííîå ïñåâäîîáðàùåíèå ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè // Óêð. ìàò. æóðí. — 1994. — 46, ¹ 10. — Ñ. 1323–1327. 84. Æ ó ê î â ñ ê è é Å . Ë . , Ë è ï ö å ð Ð . Ø . Î ðåêóððåíòíîì ñïîñîáå âû÷èñëåíèÿ íîðìàëüíûõ ðåøåíèé ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé // Æóðí. âû÷èñë. ìàòåìàòèêè è ìàò. ôèçèêè. — 1972. — 12, ¹ 4. — Ñ. 843–857. 85. V a n L o a n C . F . On the method of weighting for equality-constrained least-squares problems // SIAM J. Numer. Anal. — 1985. — 22, N 5. — P. 851–864. 86. S t e w a r t G . W . On the weighting method for least squares problems with linear equality con- straints // BIT. — 1997. — 37. — P. 961–967. 87. È ê ð à ì î â Õ . Ä . , Ì à ò è í ô à ð Ì . Î êîìïüþòåðíî-àëãåáðàè÷åñêèõ ïðîöåäóðàõ äëÿ ëèíåéíîé çàäà÷è íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ñ ëèíåéíûìè ñâÿçÿìè // Æóðí. âû÷èñë. ìàòåìàòèêè. è ìàò. ôèçèêè. — 2004. — 44, ¹ 2. — Ñ. 206–212. Ïîñòóïèëà 20.04.2007 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 73

Similar Items