Необходимые условия оптимальности квазиособых управлений в одной ступенчатой задаче управления
Для одного класу задач оптимального управління ступінчастими системами одержано необхідні умови оптимальності другого порядку.
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2008 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/71925 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Необходимые условия оптимальности квазиособых управлений в одной ступенчатой задаче управления / Р.Р. Исмайлов, К.Б. Мансимов // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 1. — С. 101-115. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859616472210341888 |
|---|---|
| author | Исмайлов, Р.Р. Мансимов, К.Б. |
| author_facet | Исмайлов, Р.Р. Мансимов, К.Б. |
| citation_txt | Необходимые условия оптимальности квазиособых управлений в одной ступенчатой задаче управления / Р.Р. Исмайлов, К.Б. Мансимов // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 1. — С. 101-115. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Для одного класу задач оптимального управління ступінчастими системами одержано необхідні умови оптимальності другого порядку.
|
| first_indexed | 2025-11-28T21:33:02Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 517.9
Ð.Ð. ÈÑÌÀÉËÎÂ, Ê.Á. ÌÀÍÑÈÌÎÂ
ÍÅÎÁÕÎÄÈÌÛÅ ÓÑËÎÂÈß ÎÏÒÈÌÀËÜÍÎÑÒÈ ÊÂÀÇÈÎÑÎÁÛÕ
ÓÏÐÀÂËÅÍÈÉ Â ÎÄÍÎÉ ÑÒÓÏÅÍ×ÀÒÎÉ ÇÀÄÀ×Å ÓÏÐÀÂËÅÍÈß
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ñòóïåí÷àòàÿ çàäà÷à óïðàâëåíèÿ, êâàçèîñîáîå óïðàâëåíèå,
íåîáõîäèìîå óñëîâèå îïòèìàëüíîñòè, ïðèíöèï ìàêñèìóìà Ïîíòðÿãèíà.
Ïðè ìîäåëèðîâàíèè ìíîãèõ ðåàëüíûõ ïðîöåññîâ âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü â
èçó÷åíèè ñòóïåí÷àòûõ çàäà÷ óïðàâëåíèÿ. Òàê, íàïðèìåð, â ðàáîòàõ [1–11] äëÿ
ðàçëè÷íûõ çàäà÷ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ñòóïåí÷àòûìè ñèñòåìàìè, îïèñûâà-
åìûìè îáûêíîâåííûìè äèôôåðåíöèàëüíûìè è ðàçíîñòíûìè óðàâíåíèÿìè, ïî-
ëó÷åíû íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè ïåðâîãî ïîðÿäêà òèïà ïðèíöèïà
ìàêñèìóìà Ïîíòðÿãèíà. Â íàñòîÿùåé ñòàòüå äëÿ îäíîãî êëàññà çàäà÷ îïòè-
ìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ìíîãîýòàïíûìè ïðîöåññàìè ïîëó÷åíû íåîáõîäèìûå
óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè êâàçèîñîáûõ [12] óïðàâëåíèé. Çàìåòèì, ÷òî
óïðàâëÿþùèå ïàðàìåòðû âõîäÿò òàêæå â íà÷àëüíûå óñëîâèÿ [5].
1. ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
Äîïóñòèì, ÷òî óïðàâëÿåìûé ïðîöåññ îïèñûâàåòñÿ ñèñòåìîé íåëèíåéíûõ äèô-
ôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
� ( , , , ), [ , ] , ,x f t x u t t t T ii i i i i i i� � � �� 1 1 3, (1)
ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè
x t g x t g x t ii i i i i i1 0 1 1 1 1 1 2 3( ) ( ), ( ) ( ( ), ), ,� � �� � �� � . (2)
Çäåñü t ii , ,� 0 3, çàäàíû; f t x u ii i i( , , ), ,�1 3, — çàäàííûå n-ìåðíûå âåê-
òîð-ôóíêöèè, íåïðåðûâíûå ïî ñîâîêóïíîñòè ïåðåìåííûõ âìåñòå ñ ÷àñòíûìè
ïðîèçâîäíûìè ïî ( , ), ,x u ii i �1 3, äî âòîðîãî ïîðÿäêà âêëþ÷èòåëüíî; g1 1( )�
— çàäàííàÿ äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ;
g xi i i( , ),� 1 � i � 2 3, , — çàäàííûå âåêòîð-ôóíêöèè, íåïðåðûâíûå ïî ñîâîêóï-
íîñòè ïåðåìåííûõ âìåñòå ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè ïî ( , ), ,x ii i� �1 2 3� , äî
âòîðîãî ïîðÿäêà âêëþ÷èòåëüíî; u t ii ( ), ,�1 3, — r-ìåðíûå èçìåðèìûå è îãðà-
íè÷åííûå âåêòîð-ôóíêöèè óïðàâëÿþùèõ âîçäåéñòâèé; � i i, ,�1 3, — q-ìåðíûå
óïðàâëÿþùèå ïàðàìåòðû, óäîâëåòâîðÿþùèå îãðàíè÷åíèÿì
u t U R t T Ri i
r
i i i
q( ) , ,� � � � �� � , (3)
ãäå U i i, � — çàäàííûå íåïóñòûå, îãðàíè÷åííûå è âûïóêëûå ìíîæåñòâà.
Ñîâîêóïíîñòü ( ( ), ( ), ( ), , , ) ( ( ), )u t u t u t u t1 2 3 1 2 3� � � �� , óäîâëåòâîðÿþùàÿ
ïðèâåäåííûì âûøå óñëîâèÿì, áóäåì íàçûâàòü äîïóñòèìûì óïðàâëåíèåì, à ñîîò-
âåòñòâóþùåå åìó àáñîëþòíî íåïðåðûâíîå ðåøåíèå ( ( ), ( ), ( ))x t x t x t1 2 3 � � x t( )
ñèñòåìû (1), (2) — äîïóñòèìîé òðàåêòîðèåé.
Çàäà÷à çàêëþ÷àåòñÿ â ìèíèìèçàöèè ôóíêöèîíàëà
S u v x t x t x t( , ) ( ( ), ( ), ( ))� � 1 1 2 2 3 3 (4)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 101
© Ð.Ð. Èñìàéëîâ, Ê.Á. Ìàíñèìîâ, 2008
ïðè îãðàíè÷åíèÿõ (1)–(3). Çäåñü �( , , )x x x1 2 3 — çàäàííàÿ äâàæäû íåïðåðûâíî
äèôôåðåíöèðóåìàÿ ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ.
Äîïóñòèìîå óïðàâëåíèå ( ( ), )u t � , ÿâëÿþùååñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è î ìèíèìóìå
ôóíêöèîíàëà (4) ïðè îãðàíè÷åíèÿõ (1)–(3), íàçîâåì îïòèìàëüíûì óïðàâëåíèåì, à
ñîîòâåòñòâóþùåå åìó ðåøåíèå x t( ) ñèñòåìû (1), (2) — îïòèìàëüíîé
òðàåêòîðèåé.
2. ÂÛ×ÈÑËÅÍÈÅ ÏÐÈÐÀÙÅÍÈß ÔÓÍÊÖÈÎÍÀËÀ ÊÀ×ÅÑÒÂÀ
Ïóñòü ( ( ), , ( ))u t x t0 0 0� — ôèêñèðîâàííûé äîïóñòèìûé ïðîöåññ. Îáîçíà÷èì
( ( ) ( ) ( ), , ( ) ( ) ( ))u t u t u t v v v x t x t x t� � � � � �0 0 0� � � ïðîèçâîëüíûé äîïóñòè-
ìûé ïðîöåññ è ïîëîæèì, ÷òî
H t x u f t x u i
H t
x
H
i i i i i i i i
i
i
( , , , ) ( , , ), , ;
[ ]
� �0 0 1 3� �
�
i i i i
i
t x t u t t
x
( , ( ), ( ), ( ))0 0 0�
;
�
H t
u
H t x t u t t
u
H t
x
i
i
i i i i
i
i[ ] ( , ( ), ( ), ( ))
;
[ ]0 0 0 2�
i
i i i i
i
H t x t u t t
x2
2 0 0 0
2
�
( , ( ), ( ), ( ))�
;
�
2
2
2 0 0 0
2
H t
u
H t x t u t t
u
f ti
i
i i i i
i
i[ ] ( , ( ), ( ), ( ))
;
[� ] ( , ( ), ( ))
;
�
x
f t x t u t
xi
i i i
i
L t t g L x ti i i i i1 1 1
0
0 1
0
0 1 1 1
0
1( , ( )) ( ) ( ), ( ( ), ,� � � � � ��
� �
0
1( ))ti � �
� �
� � �� �i i i i i it g x t i0
1 1
0
1 2 3( ) ( ( ), ), , .
Çäåñü � �i i t i0 0 1 3� �( ), , , — n-ìåðíûå âåêòîð-ôóíêöèè, ÿâëÿþùèåñÿ ðåøåíèÿ-
ìè ñëåäóþùèõ ñèñòåì:
�
[ ]
, , ,� i
i
i
i
H t
x
t T i0 1 3� �
� � ;
(5)
�
�
1
0
1
1
0
1 2
0
2 3
0
3
1
2 1
0
1
( )
( ( ), ( ), ( )) ( (
t
x t x t x t
x
L x t
� �
�
), , ( ))� �
2
0
2
0
1
1
t
x
;
�
�
2
0
2
1
0
1 2
0
2 3
0
3
2
3 2
0
2
( )
( ( ), ( ), ( )) ( (
t
x t x t x t
x
L x t
� �
�
), , ( ))� �
3
0
3
0
2
2
t
x
; (6)
�
�
3
0
3
1
0
1 2
0
2 3
0
3
3
( )
( ( ), ( ), ( ))
.t
x t x t x t
x
� �
Ñ ó÷åòîì ñäåëàííûõ îáîçíà÷åíèé ïðèðàùåíèå êðèòåðèÿ êà÷åñòâà (4) ìîæíî
çàïèñàòü â âèäå
�S u v S u S u v( , ) ( , ) ( )0 0 0 0� � ��
� �� �( ( ), ( ), ( )) ( ( ), ( ), ( )x t x t x t x t x t x t1 1 2 2 3 3 1
0
1 2
0
2 3
0
3� �) �
102 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1
�� � �
�
� �� �
�
i
i i i i i i i i
t
t
t x t t x t
i
i
1
3
0 0
1 1
1
� �( ) ( ) ( ) ( ) �� � � i i
i
t x t dt0
1
3
�
�� ( ) ( )�
� �
�
� �
�
i t
t
i i i i i i i
i
i
H x t u t t H t x t u
1
3
0 0
1
, ( ), ( ), ( )) ( , ( ),�
�0 0( ), ( ))t t dti� . (7)
Îòñþäà ïðè óñëîâèè, ÷òî
� �x t g v g x ti i1 0 1 1 1 1
0
1( ) ( ) ( ), ( )� � ���
� � �� � � �g x t g x t ii i i i i i i i( ( ), ) ( ( ), ), ,1 1 1
0
1
0 2 3� � ,
ïîëó÷èì
�S u x t x t x t x t x t( , ) ( ( ), ( ), ( )) ( ( ), (0 0
1 1 2 2 3 3 1
0
1 2
0� � ��� � 2 3
0
3), ( ))x t � �
� � �
� �
� � �
�
� �i i i i
i i t
t
i it x t t x t dt
i
i
0
1
3
1
3
0
1
( ) ( ) � ( ) ( )� �
�L v t L t1 1 1
0
0 1 1
0
1
0
0( , ( )) ( , ( ))� � �� �
�� � � �L x t t L x t t2 1 1 2 2
0
1 2 1
0
1 2
0
2
0
1( ( ), , ( )) ( ( ), , ( ))� � � �
�� � � �L x t t L x t t2 2 2 3 3
0
2 2 2
0
2 3
0
3
0
2( ( ), , ( )) ( ( ), , ( ))� � � �
� �
�
� �
�
i t
t
i i i i i i
i
i
H t x t u t t H t x t
1
3
0 0
1
( , ( ), ( ), ( )) ( , ( ),�
�u t t dti i
0 0( ), ( ))� .
Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó Òåéëîðà è ó÷èòûâàÿ, ÷òî � i t i0 1 3( ), ,� , ÿâëÿþòñÿ ðåøå-
íèÿìè ñèñòåìû (5), (6), èç (7) èìååì
� �S u v x t
x t x t x
i j
i i( , ) ( )
( ( ), ( ),
,
0 0
1
3 2
1
0
1 2
0
2 3
0
1
2
�
�
�
� ( ))
( )
t
x x
x t
i j
j j
3
��
�
�
� �
� � � �
� �
i t
t
i
i
i
i t
t
i
i
i
i
iH t
u
u t dt x
1
3
1
3
1 1
1
2
[ ]
( )� � ( )
[ ]
( )t
H t
x
x ti
i
i
�
�
�
�
�
2
2
�
�
�
2
2
2
� � � �u t
H t
u x
x t u t
H t
u
ui
i
i i
i i
i
i
( )
[ ]
( ) ( )
[ ]
i
i
t dt
L t
( )
( , ( ))�
�
�
�
�
�
1 1
0
1
0
0
1
� �
�
��
�
�
1
2
1
2
1 1
0
1
0
0
1
2 1
2 1
0
1 2
0
� �v
L t L x t( , ( )) ( ( ), ,� �
�
�
� �
2
0
1
2
2
( ))t
�
�
��
�
�
�
�
1
2
1 1
2
2 1
0
1 2
0
2
0
1
1
2 1 1� �x t
L x t t
x
x t( )
( ( ), , ( ))
( )
� �
�
�
�
�2 2
2
2 1
0
1 2
0
2
0
1
2 1
1 1� �v
L x t t
x
x t
( ( ), , ( ))
( )
� �
�
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 103
�
�
�
�
�
�
� �v
L x t t L x
2
2
2 1
0
1 2
0
2
0
1
2
2 2
3( ( ), , ( )) (� �
�
� 2
0
2 3
0
3
0
2
3
3
( ), , ( ))t t
v
� �
�
��
�
�
�
�
1
2
2 2
2
3 3
0
2 3
0
3
0
2
2
2 2 2� �x t
L x t t
x
x t( )
( ( ), , ( ))
( )
� �
�
�
�
�� �v
L x t t
x
x t3
2
3 3
0
2 3
0
3
0
2
3 2
2 2
( ( ), , ( ))
( )
� �
�
�
�
�
�
�
�� � ��
� �
�
� �3
2
3 3
0
2 3
0
3
0
2
3
2 3 1
L x t t
u
( ( ), , ( ))
( , �v), (8)
ãäå ïî îïðåäåëåíèþ
�1
1
3
2
4
1
3
1
( , ) (| | ( )| | ) | |� � �u v o x t dt o
i t
t
i i
i
i
i
� � �
� �
� � �
�
�x ti i( )| |
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2
�� � � �o o x t o x t5 1
2
6 1 1 2
2
7 2 2(| | | | ) ( | | ( )| | | | | | ) ( | | (� � � �� �
�)| | | | | | )� �� 3
2
.
Îïðåäåëèì ñïåöèàëüíîå ïðèðàùåíèå óïðàâëåíèÿ ( ( ), )u t v0 0 ïî ôîðìóëå
� �u t u t u t ii i i i i i( , ) ( ( ) ( )), ( ) ( ), ,� � � � � � �� � � � �0 0 1 3, (9)
ãäå u t U t T ii i i( ) , , ,� � �1 3, — ïðîèçâîëüíûå èçìåðèìûå è îãðàíè÷åííûå âåê-
òîð-ôóíêöèè, � �i i i� �, ,1 3, — ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå âåêòîðû.
Ïàðó ( ( , ) ( ( , ), ( , ), ( , )), ( ) (� � � � � �u t u t u t u t vi i i i� � � � �� �1 2 3 � � � �1 2( ), ( ),�
�� �3 ( ))) íàçîâåì ñïåöèàëüíîé âàðèàöèåé óïðàâëåíèÿ ( ( ), )u t0 0� .
Ñëåäóÿ ñõåìàì èç [12, 13], ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî
� � �S u S u t u t v v S u t� � � � �( , ) ( ( ) ( : ), ( )) ( ( ), )0 0 0 0 0 0� � � � �
� �
� �
�
��
� �
t
t
i
i
i i i
i
i H t
u
u t u t dt
L
1
0 1 1
0
[ ]
( ( ) ( ))
( ,
1
0
0
1
1
0
1
3 ( ))
( )
t
i
i
� �
�
�
�
� �
�
�
� �
�
� �
L x t t L x t2 1
0
1 2
0
2
0
1
2
2 2
0 3 2
0
2( ( ), , ( ))
( )
( (� �
�
� �
), , ( ))
( )
� �
�
� �3
0
3
0
2
3
3 3
0
t
�
�
�
�
�
�
�
�
�� �2
1
3 2
1
0
1 2
0
2 3
0
3
2 i j
i i
i
l t
x t x t x t
x,
( )
( ( ), ( ), ( ))
x
l t l t
H t
x
l t
j
j j
i t
t
i
i
i
i
i
i
( ) ( )
[ ]
( )
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
1
3 2
2
1
�
� �
� �2 0
2
0( ( ) ( ))
[ ]
( ) ( ( ) ( )u t u t
H t
u x
l t u t u ti i
i
i i
i i i )
[ ]
( ( ) ( ))
�
�
�
�
�
�
2
2
0H t
u
u t u t dti
i
i i
104 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1
� �
� �
( )
( , ( ))
( ) ( )� �
� �
�
� �1 1
0
2
1 1
0
1
0
0
1
2 1 1
0
1 1
2
2L t
l t
L ( ( ), , ( ))
( )
x t t
x
l t1
0
1 2
0
2
0
1
1
2 1 1
� �
�
� �
�2 2 2
0
2
2 1
0
1 2
0
2
0
1
2 1
1 1( )
( ( ), , ( ))
( )� �
� �
�
L x t t
x
l t
(10)
� �
� �( )
( ( ), , ( ))
( )� �
� �
�
� �2 2
2 1
0
1 2
0
2
0
1
2
2 2 2
0
L x t t
�
� �l t
L x t t
x
l t2 2
2
3 2
0
2 3
0
3
0
2
2
2 2 2 32( )
( ( ), , ( ))
( ) (
� �
� �
3
0
2
3 2
0
2 3
0
3
0
2
3 2
2 2)
( ( ), , ( ))
( )
�
L x t t
x
l t
� �
�
� �
�
�
�
( )
( ( ), , ( ))
( )� �
� �
�
� �3 3
0
2
3 2
0
2 3
0
3
0
2
3
2 3 3
0
L x t t
�
�
� 0 2( )� .
Çäåñü l t ii ( ), ,�1 3, — âàðèàöèè òðàåêòîðèé, ÿâëÿþùèõñÿ ðåøåíèÿìè óðàâíåíèé
â âàðèàöèÿõ âèäà
�
[ ] [ ]
( ( ) ( )), , , (l
f t
x
l
f t
u
u t u t i l ti
i
i
i
i
i
i i�
�
� �0
11 3 0
1 1
0
1
1 1
0)
( )
( ),�
�
g �
�
� � (11)
l t
g x t
x
l t
g x t
2 1
2 1
0
1 2
0
1
1 1
2 1
0
1 2
0
( )
( ( ), )
( )
( ( ), )
�
�
� �
�
� �
2
2 2
0( )� , (12)
l t
g x t
x
l t
g x t
3 2
3 2
0
2 3
0
2
2 2
3 2
0
2 3
0
( )
( ( ), )
( )
( ( ), )
�
�
� �
�
� �
3
3 3
0( )� . (13)
3. ËÈÍÅÀÐÈÇÎÂÀÍÍÛÅ È ÊÂÀÄÐÀÒÈ×ÍÛÅ
ÍÅÎÁÕÎÄÈÌÛÅ ÓÑËÎÂÈß ÎÏÒÈÌÀËÜÍÎÑÒÈ
 ñèëó âûïóêëîñòè îáëàñòåé óïðàâëåíèÿ U ii i, , ,� �1 3, èç ðàçëîæåíèÿ (10) âû-
òåêàåò ñïðàâåäëèâîñòü ñëåäóþùåãî óòâåðæäåíèÿ.
Òåîðåìà 1. Äëÿ îïòèìàëüíîñòè äîïóñòèìîãî óïðàâëåíèÿ ( ( ), )u t0 0� â çàäà÷å
(1)–(4) íåîáõîäèìî, ÷òîáû âûïîëíÿëèñü ñîîòíîøåíèÿ
t
t
i
i
i i
i
i H t
u
u t u t dt
�
�
� �
1
0 0
[ ]
( ( ) ( )) äëÿ âñåõ u t U t T ii i i( ) , , ,� � �1 3, (14)
� �
L t1 1
0
1
0
0
1
1 1
0 0
( , ( ))
( )
� �
�
� � äëÿ âñåõ � �1 1� , (15)
� �
L x t t2 1
0
1 2
0
2
0
1
2
2 2
0 0
( ( ), , ( ))
( )
� �
�
� � äëÿ âñåõ � �2 2� , (16)
� �
L x t t3 2
0
2 3
0
3
0
2
3
3 3
0 0
( ( ), , ( ))
( )
� �
�
� � äëÿ âñåõ � �3 3� . (17)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 105
Ïðèìåíÿÿ ëåììó 2 èç [14, ñ. 8], ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî íåîáõîäèìîå óñëîâèå
îïòèìàëüíîñòè (14) ýêâèâàëåíòíî ñëåäóþùåìó:
� � �
H
u
u ii
i
i i
[ ]
( ( )) , ,
�
� �0 0 1 3,
äëÿ âñåõ u U t t ii i i i� � ��, [ , ), ,� 1 1 3, ãäå �� �[ , )t ti i1 — ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà
Ëåáåãà (ïðàâèëüíàÿ òî÷êà [15]) óïðàâëåíèÿ u t t Ti i( ), � .
Öåëü íàñòîÿùåé ñòàòüè — èññëåäîâàíèå ñëó÷àÿ âûðîæäåíèÿ íåîáõîäèìûõ
óñëîâèé îïòèìàëüíîñòè (14)–(17).
Ñëåäóÿ [12, 13], ââåäåì îïðåäåëåíèå.
Îïðåäåëåíèå. Äîïóñòèìîå óïðàâëåíèå ( ( ), )u t0 0� íàçîâåì êâàçèîñîáûì
óïðàâëåíèåì â çàäà÷å (1)–(4), åñëè âäîëü ïðîöåññà ( ( ), , ( ))u t x t0 0 0� âûïîëíÿþò-
ñÿ ñëåäóþùèå ñîîòíîùåíèÿ:
� �
H
u
u ui
i
i i
[ ]
( ( ))
�
� 0 äëÿ âñåõ u U t t ii i i i� � ��, [ , ), ,� 1 1 3;
� �
L t1 1
0
1
0
0
1
1 1
0 0
( , ( ))
( )
� �
�
� � äëÿ âñåõ � �1 1� ;
� �
L x t t2 1
0
1 2
0
2
0
1
2
2 2
0 0
( ( ), , ( ))
( )
� �
�
� � äëÿ âñåõ � �2 2� ;
(18)
� �
L x t t3 2
0
2 3
0
3
0
2
3
3 3
0 0
( ( ), , ( ))
( )
� �
�
� � äëÿ âñåõ � �3 3� .
Êàê âèäèì, ïðè âûïîëíåíèè ýòèõ ñîîòíîøåíèé, ò.å. â êâàçèîñîáîì ñëó÷àå,
óòâåðæäåíèå òåîðåìû 1 òåðÿåò ñâîå ñîäåðæàòåëüíîå çíà÷åíèå. Èç ðàçëîæåíèÿ
(10) â ñèëó (18) ñëåäóåò, ÷òî âäîëü êâàçèîñîáîãî îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ
( ( ), )u t0 0� äëÿ âñåõ ( ( ), )u t � âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
i j
i i
i j
jl t
x t x t x t
x x
l
,
( )
( ( ), ( ), ( ))
�
�
1
3 2
1
0
1 2
0
2 3
0
3�
( ) ( )
[ ]
( )t l t
H t
x
l tj
i t
t
i
i
i
i
i
i
�
�
�
�
�
��
� �
�
1
3 2
2
1
� �
� �2 0
2
0( ( ) ( ))
[ ]
( ) ( ( ) ( )u t u t
H t
u x
l t u t u ti i
i
i i
i i i )
[ ]
( ( ) ( ))
�
�
�
�
�
�
2
2
0H t
u
u t u t dti
i
i i
� �
� �
( )
( , ( ))
( ) ( )� �
� �
�
� �1 1
0
2
1 1
0
1
0
0
1
2 1 1
0
1 1
2L t
l t
L2 1
0
1 2
0
2
0
1
1
2 1 1
( ( ), , ( ))
( )
x t t
x
l t
� �
�
� �
�2 2 2
0
2
2 1
0
1 2
0
2
0
1
2 1
1 1( )
( ( ), , ( ))
( )� �
� �
�
L x t t
x
l t
� �
� �( )
( ( ), , ( ))
( )� �
� �
�
� �2 2
0
2
2 1
0
1 2
0
2
0
1
2
2 2 2
0
L x t t (19)
106 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1
�
� �l t
L x t t
x
l t2 2
2
3 2
0
2 3
0
3
0
2
2
2 2 2 32( )
( ( ), , ( ))
( ) (
� �
� �
3
0
2
3 2
0
2 3
0
3
0
2
3 2
2 2)
( ( ), , ( ))
( )
�
L x t t
x
l t
� �
�
� �
� �( )
( ( ), , ( ))
( )� �
� �
�
� �3 3
0
2
3 2
0
2 3
0
3
0
2
3
2 3 3
0
L x t t
0.
Íåðàâåíñòâî (19) ÿâëÿåòñÿ íåÿâíûì íåîáõîäèìûì óñëîâèåì îïòèìàëüíîñòè
êâàçèîñîáûõ óïðàâëåíèé. Íî ýòîò ðåçóëüòàò ñëóæèò èñòî÷íèêîì ïîëó÷åíèÿ ðàç-
ëè÷íûõ íåîáõîäèìûõ óñëîâèé îïòèìàëüíîñòè êâàçèîñîáûõ óïðàâëåíèé. Ñ ýòîé
öåëüþ ïîíàäîáÿòñÿ ïðåäñòàâëåíèÿ ðåøåíèé çàäà÷ (11)–(13).
Íà îñíîâå àíàëîãà ôîðìóëû Êîøè îá èíòåãðàëüíîì ïðåäñòàâëåíèè ðåøåíèé
ëèíåéíûõ íåîäíîðîäíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (ñì., íàïðèìåð, [16,17])
ïîëó÷èì
l t F t t
g
F t
f
t
t
1 1 0
1 1
0
1
1 1
0
1
1
0
( ) ( , )
( )
( ) ( , )
[
�
� �
�
�
�
� � �
�]
( ( ) ( )) ,
�
u
u u d
1
1 1
0� � � (20)
l t F t t
g x t
x
l t F t t
g
2 2 1
2 1
0
1 2
0
1
1 1 2 1( ) ( , )
( ( ), )
( ) ( , )�
�
� 2 1
0
1 2
0
2
2 2
0
( ( ), )
( )
x t �
�
� �
� �
�
��
t
t
F t
f
u
u u d
1
2
2
2
2 2
0( , )
[ ]
( ( ) ( ))�
�
� � �, (21)
l t F t t
g x t
x
l t F t t
g
3 3 2
3 2
0
2 3
0
2
2 2 3 2( ) ( , )
( ( ), )
( ) ( , )�
�
� 3 2
0
2 3
0
3
3 3
0
( ( ), )
( )
x t �
�
� �
� �
�
��
t
t
F t
f
u
u u d
2
3
3
3
3 3
0( , )
[ ]
( ( ) ( ))�
�
� � �. (22)
Çäåñü F t ii ( , ), ,� �1 3, — ( )n n� -ìàòðè÷íûå ôóíêöèè, ÿâëÿþùèåñÿ ðåøåíèÿìè
óðàâíåíèé
� �
�
F t
F t
f
x
F t t Ei
i
i
i
( , )
( , )
[ ]
, ( , )
�
�
�
�
(E — ( )n n� -åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà).
Ðàññìîòðèì âîçìîæíûå øåñòü ñëó÷àåâ.
Ñëó÷àé 1. Ïóñòü u t u ti i( ) ( ),� 0 i t T ii i i� � � �2 3 1 3
0
, , ; , ,� � . Òîãäà íåðàâå-
íñòâî (19) ïðèìåò ñëåäóþùèé âèä:
i j
i i
i j
jl t
x t x t x t
dx x
l
,
( )
( ( ), ( ), ( ))
�
�
1
3 2
1
0
1 2
0
2 3
0
3�
( ) ( )
[ ]
( )t l t
H t
x
l t dtj
i t
t
i
i
i
i
i
i
�
�
�
� �
�
1
3 2
2
1
� �
�� �2 0
2
1
1 1
1 1
0
1
0
1
( ( ) ( ))
[ ]
( ) ( (u t u t
H t
u x
l t dt u t
t
t
t
t
) ( ))
[ ]
( ( ) ( ))�
� �u t
H t
u
u t u t dt
1
0
2
1
1
2 1 1
0
(23)
�
�
l t
L x t t
x
l t l t1 1
2
2 1
0
1 2
0
2
0
1
1
2 1 1 2 2( )
( ( ), , ( ))
( ) (
� �
)
( ( ), , ( ))
( )
�
2
3 2
0
2 3
0
3
0
2
2
2 2 2 0
L x t t
x
l t
� �
.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 107
Èç ïðåäñòàâëåíèé (20)–(22) ñëåäóåò, ÷òî
l t R t
f
u
u u d
t
t
1 1
1
1
1 1
0
0
( ) ( , )
[ ]
( ( ) ( ))�
�� �
�
� � �, (24)
l t R t
f
u
u u d
t
t
2 2
1
1
1 1
0
0
1
( ) ( , )
[ ]
( ( ) ( ))�
�� �
�
� � �, (25)
l t R t
f
u
u u d
t
t
3 3
1
1
1 1
0
0
1
( ) ( , )
[ ]
( ( ) ( ))�
�� �
�
� � �. (26)
Çäåñü ïî îïðåäåëåíèþ
R t F t R t F t t
g x t
x
1 1 2 2 1
2 1
0
1 2
0
( , ) ( , ), ( , ) ( , )
( ( ), )
� � �
�
� �
1
1 1F t( , ),�
R t F t t
g x t
x
R t3 3 2
3 2
0
2 3
0
2
2 2( , ) ( , )
( ( ), )
( , )�
�
��
.
Ïóñòü ïî îïðåäåëåíèþ
A s R t
x t x t x t
x
ij i i
i
( , ) ( , )
( ( ), ( ), ( ))
� �
�
�
2
1
0
1 2
0
2 3
0
3
x
R t s
j
j j( , ).
Ñ ïîìîùüþ ïðåäñòàâëåíèé (22)–(24) ïîëó÷àåì
i j
i i
i j
jl t
x t x t x t
x x
l
,
( )
( ( ), ( ), ( ))
�
�
1
3 2
1
0
1 2
0
2 3
0
3�
( )t j �
� �
�
� � �
i j t
t
t
t
iju u
f
u
A s
,
( ( ) ( ))
[ ]
( , )
1
3
1 1
0 1
1
0
1
0
1
� �
�
�
�
f s
u
u s u s dsd1
1
1 1
0[ ]
( ( ) ( )) �,
l t
L x t t
x
l t
t
t
t
� �1 1
2
2 1
0
1 2
0
2
0
1
1
2 1 1
0
1
0
( )
( ( ), , ( ))
( )
� � t
u u
f
u
R t
1
1 1
0 1
1
1 1� �
�( ( ) ( ))
[ ]
( , )� �
�
�
�
2
2 1
0
1 2
0
2
0
1
1
2 1 1
1
1
1
L x t t
x
R t s
f s
u
u
( ( ), , ( ))
( , )
[ ]
(
� �
( ) ( ))s u s dsd�
1
0 �,
l t
L x t t
x
l t
t
t
t
� �2 2
2
3 2
0
2 3
0
3
0
2
2
2 2 2
0
1
0
( )
( ( ), , ( ))
( )
� � t
u u
f
u
R t
1
1 1
0 1
1
2 2� �
�( ( ) ( ))
[ ]
( , )� �
�
�
�
2
3 2
0
2 3
0
3
0
2
2
2 2 2
1
1
1
L x t t
x
R t s
f s
u
u
( ( ), , ( ))
( , )
[ ]
(
� �
( ) ( ))s u s dsd�
1
0 �.
108 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1
Äàëåå íà îñíîâàíèè ôîðìóëû Äèðèõëå [18] èìååì
t
t
u t u t
H t
x
l t dt
0
1
1 1
0
2
1
1
1� �
�( ( ) ( ))
[ ]
( )
� �
� �
t
t
t
t
u u
H
u x
R t d
0
1
0
1
1 1
0
2
1
1 1
1( ( ) ( ))
[ ]
( , )� �
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
f t
u
u t u t dt1
1
1 1
0[ ]
( ( ) ( )) .
Íàêîíåö, ïî ñõåìå èç [13, 18] äîêàçûâàåòñÿ ñïðàâåäëèâîñòü òîæäåñòâ
t
t
t
t
t
t
l t
H t
x
l t dt u u
0
1
0
1
0
1
1
2
1
1
2 1 1 1
0� � �
� �( )
[ ]
( ) ( ( )� ( ))
[ ]
�
�
�
f
u
1
1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
max( , )
( , )
[ ]
( , )
�
�
s
t
R t
H t
x
R t s dt
f1
1
2
1
1
2 1
1
1
1 1
0[ ]
( ( ) ( ))
s
u
u s u s dsd
� �,
t
t
t
t
t
t
l t
H t
x
l t dt u u
1
2
0
1
0
1
2
2
2
2
2 2 1 1
0� � �
� �( )
[ ]
( ) ( ( )� ( ))
[ ]
�
�
�
f
u
1
1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
t
t
R t
H t
x
R t s dt
f s
1
2
2
2
2
2
2 2
1( , )
[ ]
( , )
[ ]
�
�
u
u s u s dsd
1
1 1
0( ( ) ( )) �,
t
t
t
t
t
t
l t
H t
x
l t dt u u
2
3
0
1
0
1
3
2
3
3
2 3 1 1
0� � �
� �( )
[ ]
( ) ( ( )� ( ))
[ ]
�
�
�
f
u
1
1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
t
t
R t
H t
x
R t s dt
f s
2
3
3
2
3
3
2 3
1( , )
[ ]
( , )
[ ]
�
�
u
u s u s dsd
1
1 1
0( ( ) ( )) �.
Ñ ïîìîùüþ ýòèõ òîæäåñòâ íåðàâåíñòâî (23) ïîñëå îïðåäåëåííûõ ïðåîáðàçî-
âàíèé ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
t
t
t
t
u u
f
u
K s
f s
u
0
1
0
1
1 1
0 1
1
1
1
1
� � �
( ( ) ( ))
[ ]
( , )
[ ]
� �
�
� ( ( ) ( ))u s u s dsd1 1
0� ��
� �
� ��
t
t
u t u t
H t
u
u t u t dt
0
1
1 1
0
2
1
1
2 1 1
0( ( ) ( ))
[ ]
( ( ) ( ))
(27)
� �
� �2
0
1 1
1 1
0
2
1
1 1
1
t
t
t
t
u u
H
u x
R t d( ( ) ( ))
[ ]
( , )� �
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
f t
u
u t u t dt1
1
1 1
0 0
[ ]
( ( ) ( ))
äëÿ âñåõ u t U t T1 1 1( ) ,� � .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 109
Çäåñü ïî îïðåäåëåíèþ
K s A s R t
H t
i j
ij
s
t
1
1
3
1
2
1
1
( , ) ( , ) ( , )
[
, ( , )
� � �
�
� � �
�
� �
max
]
( , )
�
x
R t s dt
1
2 1
�
�
� �
t
t
t
t
R t
H t
x
R t s dt R t
1
2
2
3
2
2
2
2
2 2 3
2
( , )
[ ]
( , ) ( , )� �
H t
x
R t s dt3
3
2 3
[ ]
( , )
�
�
�R t
L x t t
x
R t s1 1
2
2 1
0
1 2
0
2
0
1
1
2 1 1( , )
( ( ), , ( ))
( , )�
� �
�
R t
L x t t
x
R t s2 2
2
3 2
0
2 3
0
3
0
2
2
2 2 2( , )
( ( ), , ( ))
( , )�
� �
.
Ñëó÷àé 2. Åñëè ïðåäïîëàãàòü, ÷òî u t u t t T u t u t1 1
0
1 3 3
0
( ) ( ), , ( ) ( ),� � � t T� 3 ,
� �i i� 0
, i �1 3, , òî íåðàâåíñòâî (19) ïðèìåò âèä
i j
i i
i j
jl t
x t x t x t
x x
l
,
( )
( ( ), ( ), ( ))
�
�
2
3 2
1
0
1 2
0
2 3
0
3�
( )t j �
�
�
�
� � �
�
i t
t
i
i
i
i
t
t
i
i
l t
H t
x
l t dt u t
2
3 2
2 2
1 1
2
2( )
[ ]
( ) ( ( ) �
�u
H t
u x
l t dt
2
0
2
2
2 2
2)
[ ]
( )
(28)
� �
� �� ( ( ) ( ))
[ ]
( ( ) ( ))u t u t
H t
u
u t u t dt
t
t
2 2
0
2
2
2
2 2 2
0
1
2
�
�l t
L x t t
x
l t2 2
2
3 2
0
2 3
0
3
0
2
2
2 2 2 0( )
( ( ), , ( ))
( ) .
� �
Èç ïðåäñòàâëåíèé (20)–(22) ñëåäóåò, ÷òî
l t t T1 10( ) ,� � , (29)
l t F t
f
u
u u d t T
t
t
2 2
2
2
2 2
0
2
1
( ) ( , )
[ ]
( ( ) ( )) ,�
� �� �
�
� � � , (30)
l t R t
f
u
u u d t T
t
t
3 4
2
2
2 2
0
3
1
2
( ) ( , )
[ ]
( ( ) ( )) ,�
� �� �
�
� � � , (31)
ãäå ïî îïðåäåëåíèþ
R t F t t
g x t
x
F t4 3 2
3 2
0
2 3
0
2
2 2( , ) ( , )
( ( ), )
( , )�
�
��
.
Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (29)–(31), íåðàâåíñòâî (28) àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ 1 ïðåîá-
ðàçóåòñÿ ê âèäó
110 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1
t
t
t
t
u u
f
u
K s
f s
u
1
2
1
2
2 2
0 2
2
2
2� � �
( ( ) ( ))
[ ]
( , )
[ ]
� �
�
�
2
2 2
0( ( ) ( ))u s u s dsd� ��
� �
� �� ( ( ) ( ))
[ ]
( ( ) ( ))
t
t
u t u t
H t
u
u t u t dt
1
2
2 2
0 2
2
2 2 2
0
(32)
� �
� �2
1
2 2
2 2
0
2
2
2 2
2
t
t
t
t
u u
H
u x
R t d( ( ) ( ))
[ ]
( , )� �
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
f t
u
u t u t dt2
2
2 2
0 0
[ ]
( ( ) ( ))
äëÿ âñåõ u t U t T2 2 2( ) ,� � .
Çäåñü ïî îïðåäåëåíèþ
K s F t
x t x t x t
x
2 2 2
2
1
0
1 2
0
2 3
0
3
2
2
( , ) ( , )
( ( ), ( ), ( ))
� �
�
� �
F t s2 2( , ) �
�
F t
x t x t x t
x x
R t2 2
2
1
0
1 2
0
2 3
0
3
2 3
4 3( , )
( ( ), ( ), ( ))
( ,�
�
s) �
�
R t
x t x t x t
x x
F t4 3
2
1
0
1 2
0
2 3
0
3
3 2
2 2( , )
( ( ), ( ), ( ))
( ,�
�
s) �
�
R t
x t x t x t
x
F t s4 3
2
1
0
1 2
0
2 3
0
3
3
2 2 3( , )
( ( ), ( ), ( ))
( , )�
�
�
�
�
� �
max( , )
( , )
[ ]
( , ) (
�
�
s
t
t
t
F t
H t
x
F t s dt R
2
2
3
2
2
2
2
2 2 4 t
H t
x
R t s dt, )
[ ]
( , )�
�
2
3
3
2 4
�
F t
L x t t
x
F t s2 2
2
3 2
0
2 3
0
3
1
2
2
2 2 2( , )
( ( ), , ( ))
( , )�
� �
.
Cëó÷àé 3.Äîïóñòèì, ÷òî u t u t t T ii i i i i( ) ( ), , , ; ,� � � �0 0
1 2 � � i �1 3, . Òîãäà íå-
ðàâåíñòâî (19) ïðèíèìàåò âèä
�l t
x t x t x t
dx
l t
t
t
3 3
2
1
0
1 2
0
2 3
0
3
3
2 3 3
2
3
( )
( ( ), ( ), ( ))
( )
�
�
�
�
�
�
�
l t
H t
x
l t3
2
3
3
2 3( )
[ ]
( )
(33)
� �
� �2 3 3
0
2
3
3 3
3 3 3
0( ( ) ( ))
[ ]
( ) ( ( ) (u t u t
H t
u x
l t u t u t))
[ ]
( ( ) ( ))
�
�
�
�
�
�
2
3
3
2 3 3
0 0
H t
u
u t u t dt .
Èç ïðåäñòàâëåíèé (20)–(22) ñëåäóåò, ÷òî
l t F t
f
u
u u d t T
t
t
3 3
3
3
3 3
0
3
2
0( ) ( , )
[ ]
( ( ) ( )) ,�
� � �� �
�
� � � , (34)
l t t T ii i( ) , , ,� � �0 1 2.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 111
Ïîëîæèì
K s F t
x t x t x t
dx
3 3 3
2
1
0
1 2
0
2 3
0
3
3
2
( , ) ( , )
( ( ), ( ), ( ))
� �
�
� �
F t s3 3( , ) �
�
�
max( , )
( , )
[ ]
( , )
�
�
s
t
F t
H t
x
F t s dt
3
3
2
3
3
2 3 .
Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (34), íåðàâåíñòâî (33) ïðåîáðàçóåòñÿ ê âèäó
t
t
t
t
u u
f
u
K s
f s
u
2
3
2
3
3 3
0 3
3
3
3� � �
( ( ) ( ))
[ ]
( , )
[ ]
� �
�
�
3
3 3
0( ( ) ( ))u s u s dsd� ��
� �
� ��
t
t
u t u t
H t
u
u t u t dt
2
3
3 3
0
2
3
3
2 3 3
0( ( ) ( ))
[ ]
( ( ) ( )) (35)
� �
� �2
2
3 3
3 3
0
2
3
3 3
3
t
t
t
t
u u
H
u x
F t d( ( ) ( ))
[ ]
( , )� �
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
f t
u
u t u t dt3
3
3 3
0 0
[ ]
( ( ) ( ))
äëÿ âñåõ u t U t T3 3 3( ) ,� � .
Ñëó÷àé 4. Ïóñòü u t u t t T i ii i i i i( ) ( ), , , ; , ,� � � � �0 01 3 2 3� � . Òîãäà ñ ó÷åòîì
N t F t t
g
1 1 0
1 1
0
1
( ) ( , )
( )
,�
�
�
N t F t t
g x t
x
N t2 2 1
2 1
0
1 2
0
1
1 1( ) ( , )
( ( ), )
( )�
�
,
N t F t t
g x t
x
N t3 3 2
3 2
0
2 3
0
2
2 2( ) ( , )
( ( ), )
( )�
�
èç ïðåäñòàâëåíèé (20)–(22) ïîëó÷èì
l t N t t T ii i i i i( ) ( )( ), ; ,� � � �� � 0 1 3. (36)
Ïðè ýòîì íåðàâåíñòâî (19) ïðèìåò âèä
i j
i i
i j
jl t
x t x t x t
x x
l
,
( )
( ( ), ( ), ( ))
�
�
1
3 2
1
0
1 2
0
2 3
0
3�
( ) ( )
[ ]
( )t l t
H t
x
l t dtj
i t
t
i
i
i
i
i
i
�
�
�
� �
�
1
3 2
2
1
� �
� �
( )
( , ( ))
( ) ( )� �
� �
�
� �1 1
0
2
1 1
0
1
0
0
1
2 1 1
0
1 1
2L t
l t
L2 1
0
1 2
0
2
0
1
1
2 1 1
( ( ), , ( ))
( )
x t t
x
l t
� �
�
�
�l t
L x t t
x
l t2 2
2
3 2
0
2 3
0
3
0
2
2
2 2 2 0( )
( ( ), , ( ))
( )
� � (37)
äëÿ âñåõ � �1 1� .
112 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1
Ïîëîæèì
K N t
x t x t x t
x xi j
i i
i
4
1
3 2
1
0
1 2
0
2 3
0
3
� �
�
�
,
( )
( ( ), ( ), ( ))�
j
j jN t( ) �
�
�
�
� �
�
i t
t
i
i
i
i
i
N t
H t
x
N t dt
L
1
3 2
2
2
1 1
0
1
0
1
1
( )
[ ]
( )
( ,� � ( ))t0
1
2
�
�
�
�
N t
L x t t
x
N t N t1 1
2
2 1
0
1 2
0
2
0
1
1
2 1 1 2 2( )
( ( ), , ( ))
( ) (
� �
)
( ( ), , ( ))
( )
2
3 2
0
2 3
0
3
0
2
2
2 2 2
L x t t
x
N t
� �
.
Òîãäà íåðàâåíñòâî (37) ïðåîáðàçóåòñÿ ê âèäó
( ) ( )� � � �1 1
0
4 1 1
0 0�
� �K äëÿ âñåõ � �1 1� . (38)
Cëó÷àé 5. Äîïóñòèì, ÷òî u t u t t T ii i i( ) ( ), , , ; ,� � � �0
1 1
0
1 3 � � � �3 3
0� . Òîã-
äà èç ïðåäñòàâëåíèé (20)–(22) ïîñëå íåñëîæíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èì, ÷òî
l t t T l t M t t T1 1 2 1 2 2
0
20( ) , ; ( ) ( )( ), ;� � � � �� �
l t M t t T3 2 3 3
0
3( ) ( )( ),� � �� � . (39)
Çäåñü ïî îïðåäåëåíèþ
M t F t t
g x t
M t F t t1 2 1
2 1
0
1 2
0
2
2 3 2( ) ( , )
( ( ), )
, ( ) ( , )�
�
�
�
g x t
x
M t
3 2
0
2 3
0
2
1 2
( ( ), )
( )
�
.
Ïðè ýòîì íåðàâåíñòâî (19) ïðèìåò âèä
i j
i i
i j
jl t
x t x t x t
x x
l
,
( )
( ( ), ( ), ( ))
�
�
2
3 2
1
0
1 2
0
2 3
0
3�
( ) ( )
[ ]
( )t l t
H t
x
l t dtj
i t
t
i
i
i
i
i
i
�
�
�
� �
�
2
3 2
2
1
�
�l t
L x t t
x
l t2 2
2
3 2
0
2 3
0
3
0
2
2
2 2 2( )
( ( ), , ( ))
( )
� �
� �
� �( )
( ( ), , ( ))
( )� �
� �
�
� �1 2
0
2
2 1
0
1 2
0
2
0
2
2
2 2 2
0 0
L x t t
. (40)
Èñïîëüçóÿ ïðåäñòàâëåíèÿ (39), èç íåðàâåíñòâà (40) ïîëó÷àåì
( ) ( )� � � �2 2
0
5 2 2
0 0�
� �K (41)
äëÿ âñåõ � �2 3� . Çäåñü ïî îïðåäåëåíèþ
K M t
x t x t x t
xi j
i i5
2
3
1
2
1
0
1 2
0
2 3
0
3
� �
�
��
,
( )
( ( ), ( ), ( ))�
i j
j j
x
M t
�� 1 ( )
�
�
2
2 1
0
1 2
0
2
0
1
2
2
L x t t( ( ), , ( ))� �
�
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 113
�
�
�
� �� �
�
i t
t
i
i
i
i
i
i
M t
H t
x
M t dt M t
2
3
1
2
2 1 1 2
1
( )
[ ]
( ) ( )
2
3 2
0
2 3
0
3
0
2
2
2 1 2
L x t t
x
M t
( ( ), , ( ))
( )
� �
.
Ñëó÷àé 6.Ïðåäïîëîæèì ÷òî u t u t t Ti i i( ) ( ),� �0
, i i i� �1 3
0
, ; ,� � i �1 2, . Òîãäà
íåðàâåíñòâî (19) ïðèìåò âèä
�
�l t
x t x t x t
x
l t
t
t
3 3
2
1
0
1 2
0
2 3
0
3
3
2 3 3
2
( )
( ( ), ( ), ( ))
( )
� 3
3
2
3
3
2 3�
�l t
H t
x
l t dt( )
[ ]
( )
� �
� �( )
( ( ), , ( ))
( )� �
� �
�
� �3 3
0
2
3 2
0
2 3
0
3
0
2
3
2 3 3
0 0
L x t t
d
.
(42)
Ïðè ýòîì èç (20)–(22) íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò, ÷òî
l t t T l t t T l t M t t T1 1 2 2 3 3 3 3
0
30 0( ) , ; ( ) , ; ( ) ( )( ),� � � � � � �� � , (43)
ãäå
M t F t t
g x t
3 3 2
3 2
0
2 3
0
3
( ) ( , )
( ( ), )
�
�
�
.
Ïîëàãàÿ
K M t
x t x t x t
x
M t6 3 3
2
1
0
1 2
0
2 3
0
3
3
2 3 3� �
�( )
( ( ), ( ), ( ))
( )
�
�
�
�
t
t
M t
H t
x
M t dt
L x t
2
3
3
2
3
3
2 3
2
3 2
0
2 3
0
3( )
[ ]
( )
( ( ), ,� � 0
2
3
2
( ))
,
t
d�
ñ ó÷åòîì (43) èç (42) ïîëó÷èì
( ) ( )� � � �3 3
0
6 3 3
0 0�
� �K äëÿ âñåõ � �3 3� . (44)
Òàêèì îáðàçîì, äîêàçàíî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.
Òåîðåìà 2. Äëÿ îïòèìàëüíîñòè êâàçèîñîáîãî óïðàâëåíèÿ ( ( ), )v t v0 0 â çàäà-
÷å (1)–(4) íåîáõîäèìî, ÷òîáû âûïîëíÿëèñü ñîîòíîøåíèÿ (27), (32), (35), (38),
(41), (44).
Ýòè ñîîòíîøåíèÿ ÿâëÿþòñÿ íåîáõîäèìûìè óñëîâèÿìè îïòèìàëüíîñòè âòîðîãî
ïîðÿäêà, îòêóäà, îïðåäåëÿÿ âàðèàöèè óïðàâëåíèÿ, ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè ìîæíî
ïîëó÷èòü áîëåå ïðîñòûå óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 ñòàòüå ðàññìàòðèâàåòñÿ ñòóïåí÷àòàÿ çàäà÷à îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ îáûê-
íîâåííûìè äèíàìè÷åñêèìè ñèñòåìàìè.
Ïðîöåññ óïðàâëÿåòñÿ óïðàâëÿþùèìè ôóíêöèÿìè è ïàðàìåòðàìè. Ïðè ýòîì
óïðàâëÿþùèå ôóíêöèè âõîäÿò â ïðàâûå ÷àñòè óðàâíåíèé ñèñòåìû, à óïðàâëÿþ-
ùèå ïàðàìåòðû — â íà÷àëüíûå óñëîâèÿ.
Äîêàçàíî íåîáõîäèìîå óñëîâèå îïòèìàëüíîñòè ïåðâîãî ïîðÿäêà, ÿâëÿþùååñÿ
àíàëîãîì ëèíåàðèçîâàííîãî óñëîâèÿ ìàêñèìóìà. Ðàññìîòðåí ñëó÷àé âûðîæäåíèÿ
ëèíåàðèçîâàííîãî óñëîâèÿ ìàêñèìóìà (êâàçèîñîáûé ñëó÷àé). Óñòàíîâëåíî
íåîáõîäèìîå óñëîâèå îïòèìàëüíîñòè êâàçèîñîáûõ óïðàâëåíèé, ïîçâîëÿþùåå â
íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ âûÿâèòü íåîïòèìàëüíîñòü óïðàâëåíèé, óäîâëåòâîðÿþùèõ
óñëîâèþ ìàêñèìóìà Ïîíòðÿãèíà áåç âûðîæäåíèÿ [12, 13].
Àâòîðû áëàãîäàðíû ðåöåíçåíòó çà ïîëåçíûå çàìå÷àíèÿ.
114 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. À ù å ï ê î â Ë . Ò . Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå ðàçðûâíûìè ñèñòåìàìè. — Íîâîñèáèðñê: Íàóêà,
1987. — 226 ñ.
2. Á à ò ó ð è í Â . À . , Ä û õ ò à Â . À . è ä ð . Ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷ òåîðèè óïðàâëåíèÿ íà
îñíîâå ïðèíöèïà ðàñøèðåíèÿ. — Íîâîñèáèðñê: Íàóêà, 1990. — 190 c.
3. À ã à ô î í î â à È . À . , à ó ë è í Ë . Ë . , Ð à ñ è í à È .  . Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå è
îïòèìèçàöèÿ ïðîöåññà ìåòèëèðîâàíèÿ äèíàòðèåâîé ñîëè ñóëüôàìèíîàíòèïèðèíà. — Èðêóòñê,
1978. — 19 ñ. — Äåï. â ÂÈÍÈÒÈ ÀÍ ÑÑÑÐ 10.11.78, ¹ 3457.
4. Â å ë è ÷ å í ê î Â . Â . Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå ñîñòàâíûìè ñèñòåìàìè // ÄÀÍ ÑÑÑÐ. —
1967. — 176, ¹ 4. — Ñ. 754–765.
5. Ê è ð è ÷ å í ê î Ñ . Á . Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå ñèñòåìàìè ñ ïðîìåæóòî÷íûìè ôàçîâûìè
îãðàíè÷åíèÿìè // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 1994. — ¹ 4. — Ñ. 104–111.
6. Ì à í ñ è ì î â Ê . Á . , Ì à ã å ð ð à ì î â Ø . Ô . Íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè âòîðîãî
ïîðÿäêà â îäíîé äèñêðåòíîé ñèñòåìå ñ ïåðåìåííîé ñòðóêòóðîé // Áèëüãè. Ñåð. Ôèçèêà,
ìàòåìàòèêà, íàóêà î Çåìëå. — 2001. — ¹ 1. — Ñ. 61–64.
7. Í è ê î ë ü ñ ê è é Ì . Ñ . Âàðèàöèîííûå çàäà÷è ñ ïåðåìåííîé ñòðóêòóðîé // Âåñò. ÌÃÓ.
Ñåð. 15. Âû÷èñë. ìàòåìàòèêà è êèáåðíåòèêà. — 1987. — ¹ 1. — Ñ. 36–41.
8. Õ à ð à ò è ø â è ë è à . Ë . Ïîëóàâòîìè÷åñêèå îïòèìàëüíûå ñèñòåìû // Â. ñá. Îïòèìàëüíûå
çàäà÷è â ñèñòåìàõ ñ ïåðåìåííîé ñòðóêòóðîé. — Òáèëèñè: Èçä.-âî ÒÃÓ, 1985. — Ñ. 3–47.
9. Ç à õ à ð î â à . Ê . Îïòèìèçàöèÿ ñòóïåí÷àòûõ ñèñòåì óïðàâëåíèÿ // Àâòîìàòèêà è
òåëåìåõàíèêà. — 1981 — ¹ 8. — Ñ. 5–9.
10. Þ ñ ó á î â Ø . Ø . Íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè äëÿ íåêîòîðûõ ñèñòåì ñ èìïóëüñíûì
âîçäåéñòâèåì / ÁÃÓ. — Ïðåïð. — Áàêó, 2000. — 31 ñ.
11. Ç à õ à ð î â à . Ê . Îïòèìèçàöèÿ ñòóïåí÷àòûõ ñèñòåì ñ óïðàâëÿåìûìè óñëîâèÿìè ïåðåõîäà
//Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. — 1993. — ¹ 6. — Ñ. 32–36.
12. Ã à á à ñ î â Ð . , Ê è ð è ë ë î â à Ô . Ì . Îñîáûå îïòèìàëüíûå óïðàâëåíèÿ. — Ì.: Íàóêà, 1973.
— 256 ñ.
13. Ì à í ñ è ì î â Ê . Á . Îñîáûå óïðàâëåíèÿ â ñèñòåìàõ ñ çàïàçäûâàíèåì. — Áàêó: Èçä-âî ÅËÌ,
1999. — 175 ñ.
14. Ñ ð î ÷ ê î  . À . Âû÷èñëèòåëüíûå ìåòîäû îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ. — Èðêóòñê: Èçä-âî
ÈÃÓ, 1982. — 110 ñ.
15. Ì à ò å ì à ò è ÷ å ñ ê à ÿ òåîðèÿ îïòèìàëüíûõ ïðîöåññîâ / Ë.Ñ. Ïîíòðÿãèí, Â.Ã. Áîëòÿíñêèé,
Ð.Â. Ãàìêðåëèäçå, Å.Ô. Ìèùåíêî. — Ì.: Íàóêà, 1969. — 256 ñ.
16. Ã à á à ñ î â Ð . , Ê è ð è ë ë î â à Ô . Ì . Îïòèìèçàöèÿ ëèíåéíûõ ñèñòåì. — Ìèíñê: Èçä-âî
ÁÃÓ, 1973. — 248 ñ.
17. À ë å ê ñ å å â Â . Ì . , Ò è õ î ì è ð î â Â . Ì . , Ô î ì è í Ñ . Â . Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå. —
Ì.: Íàóêà, 1979. — 429 ñ.
18. Ì à í ñ è ì î â Ê . Á . Ìíîãîòî÷å÷íûå íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè êâàçèîñîáûõ
óïðàâëåíèé // Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. — 1982 — ¹ 10. — Ñ. 53–58.
Ïîñòóïèëà 24.01.2006
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 115
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-71925 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-28T21:33:02Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Исмайлов, Р.Р. Мансимов, К.Б. 2014-12-14T15:40:22Z 2014-12-14T15:40:22Z 2008 Необходимые условия оптимальности квазиособых управлений в одной ступенчатой задаче управления / Р.Р. Исмайлов, К.Б. Мансимов // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 1. — С. 101-115. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/71925 517.9 Для одного класу задач оптимального управління ступінчастими системами одержано необхідні умови оптимальності другого порядку. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Необходимые условия оптимальности квазиособых управлений в одной ступенчатой задаче управления Article published earlier |
| spellingShingle | Необходимые условия оптимальности квазиособых управлений в одной ступенчатой задаче управления Исмайлов, Р.Р. Мансимов, К.Б. Системный анализ |
| title | Необходимые условия оптимальности квазиособых управлений в одной ступенчатой задаче управления |
| title_full | Необходимые условия оптимальности квазиособых управлений в одной ступенчатой задаче управления |
| title_fullStr | Необходимые условия оптимальности квазиособых управлений в одной ступенчатой задаче управления |
| title_full_unstemmed | Необходимые условия оптимальности квазиособых управлений в одной ступенчатой задаче управления |
| title_short | Необходимые условия оптимальности квазиособых управлений в одной ступенчатой задаче управления |
| title_sort | необходимые условия оптимальности квазиособых управлений в одной ступенчатой задаче управления |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/71925 |
| work_keys_str_mv | AT ismailovrr neobhodimyeusloviâoptimalʹnostikvaziosobyhupravleniivodnoistupenčatoizadačeupravleniâ AT mansimovkb neobhodimyeusloviâoptimalʹnostikvaziosobyhupravleniivodnoistupenčatoizadačeupravleniâ |