Новый метод оценки качества прогнозов нa основе процедуры бутстрап и его тестирование на временных рядах
Запропоновано новий метод оцінки якості прогнозів параметричної моделі, який враховує нерівнозначність похибки прогнозу, викликаного різною точністю оцінки невідомих параметрів у різні моменти часу. У цьому випадку використано нерівномірну зваженість. Виведено умову на оптимальні вагові коефіцієнти...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2008 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/71978 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Новый метод оценки качества прогнозов нa основе процедуры бутстрап и его тестирование на временных рядах / В.В. Китов // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 1. — С. 148-158. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859740739893723136 |
|---|---|
| author | Китов, В.В. |
| author_facet | Китов, В.В. |
| citation_txt | Новый метод оценки качества прогнозов нa основе процедуры бутстрап и его тестирование на временных рядах / В.В. Китов // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 1. — С. 148-158. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Запропоновано новий метод оцінки якості прогнозів параметричної моделі, який враховує нерівнозначність похибки прогнозу, викликаного різною точністю оцінки невідомих параметрів у різні моменти часу. У цьому випадку використано нерівномірну зваженість. Виведено умову на оптимальні вагові коефіцієнти методу та запропоновано варіанти числової процедури для їх наближеного знаходження. Проведено тестування методу на часових рядах, які описують реальні економічні процеси.
|
| first_indexed | 2025-12-01T17:45:38Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.23
Â.Â. ÊÈÒÎÂ
ÍÎÂÛÉ ÌÅÒÎÄ ÎÖÅÍÊÈ ÊÀ×ÅÑÒÂÀ ÏÐÎÃÍÎÇΠÍÀ ÎÑÍÎÂÅ
ÏÐÎÖÅÄÓÐÛ ÁÓÒÑÒÐÀÏ È ÅÃÎ ÒÅÑÒÈÐÎÂÀÍÈÅ
ÍÀ ÂÐÅÌÅÍÍÛÕ ÐßÄÀÕ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: îöåíêà òî÷íîñòè ïðîãíîçîâ, íåòî÷íàÿ îöåíêà ïàðàìåòðîâ,
áóòñòðàï.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Îäíîé èç âàæíåéøèõ çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ âûáîð íàè-
ëó÷øåé ìîäåëè, îïèñûâàþùåé íàáëþäàåìûå äàííûå. Ïðè âûáîðå ìîäåëè ïðèíÿ-
òî ðóêîâîäñòâîâàòüñÿ êàê êà÷åñòâåííûìè, òàê è êîëè÷åñòâåííûìè ôàêòîðàìè.
Ðàññìàòðèâàåìàÿ ìîäåëü äîëæíà îòðàæàòü êà÷åñòâåííûå õàðàêòåðèñòèêè, êîòîðû-
ìè îáëàäàþò äàííûå, ò.å. îïèñûâàòü íàáëþäàåìóþ ñòàöèîíàðíîñòü èëè íåñòàöèî-
íàðíîñòü äàííûõ, ñòðóêòóðíûå ñäâèãè âî âðåìåíè èëè ïðîñòðàíñòâå è ò.ä. Îäíà-
êî ïîìèìî êà÷åñòâåííûõ õàðàêòåðèñòèê, âàæíûìè ïðè âûáîðå àäåêâàòíîé ìîäåëè
ÿâëÿþòñÿ êîëè÷åñòâåííûå õàðàêòåðèñòèêè, îïðåäåëÿþùèå, íàñêîëüêî òî÷íî ìî-
äåëü îïèñûâàåò äàííûå. Âîçíèêàåò çàäà÷à îöåíêè êà÷åñòâà ïðîãíîçîâ ðàññìàòðè-
âàåìîé ìîäåëè. Åñëè ìîäåëü ÿâëÿåòñÿ ñëîæíîé, íî íå ïðåäîñòàâëÿåò âûèãðûøà â
òî÷íîñòè ïðåäñêàçàíèÿ íàáëþäàåìûõ äàííûõ, òî öåëåñîîáðàçíî ïåðåõîäèòü ê ðàñ-
ñìîòðåíèþ áîëåå ïðîñòîé ìîäåëè ñ òàêîé æå òî÷íîñòüþ ïðîãíîçà.  íàñòîÿùåé
ñòàòüå ðàññìàòðèâàåòñÿ ìîäèôèêàöèÿ ñòàíäàðòíîãî ìåòîäà îöåíêè êà÷åñòâà
ïðîãíîçîâ.
1. ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
Ïóñòü èìååòñÿ âûáîðêà èç íàáëþäàåìûõ äàííûõ x y x y x yT T1 1 2 2, , , , , ,� è èñ-
ñëåäóåòñÿ êà÷åñòâî ïðîãíîçîâ ìîäåëè
y f x et� �( , )� ,
ãäå x — ðåãðåññîðû, � — âåêòîð íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ, et — îøèáêè ìîäå-
ëè. Îöåíêîé êà÷åñòâà ïðîãíîçà ñëóæèò âåëè÷èíà Eh y f x( ( , ))� � . Íàèáîëåå
øèðîêî ïðèìåíÿåòñÿ ôóíêöèÿ êà÷åñòâà ïðîãíîçà h x x( ) � 2 , êîãäà îöåíèâàåòñÿ
îæèäàåìûé êâàäðàò îøèáêè ïðîãíîçà. Ñóùåñòâóþò äâà ïîäõîäà ê âû÷èñëåíèþ
âåëè÷èíû Eh y f x( ( , ))� � .
Ïðè ïåðâîì ïîäõîäå ïðîèñõîäèò îöåíêà òåîðåòè÷åñêîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî
îæèäàíèÿ âûáîðî÷íûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì ñ ïîäñòàíîâêîé âìåñòî �
îöåíêè ��, ïîëó÷åííîé ïî âñåé âûáîðêå
Eh y f x
T
h y f x
t
T
t t( ( , )) ( ( , � ))� � �
�
�� �
1
1
.
Ïî ñóòè, ïðîèñõîäèò îöåíêà îøèáêè ïðîãíîçà ïîñðåäñòâîì îöåíêè îøèáêè
îöåíèâàíèÿ. Äàííûé ìåòîä çàíèæàåò èñòèííûå îøèáêè ïðîãíîçà, ïîñêîëüêó
îí èñïîëüçóåò áóäóùóþ èíôîðìàöèþ, ðàññ÷èòûâàÿ âåëè÷èíó �� ñðàçó ïî âñåì
íàáëþäåíèÿì â âûáîðêå. Ïîýòîìó (îñîáåííî åñëè ðàçìåðíîñòü âåêòîðà � âåëè-
êà) ïðîèñõîäèò ïîäãîíêà ìîäåëè ïîä äàííûå (ôåíîìåí íîñèò íàçâàíèå model
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 148
© Â.Â. Êèòîâ, 2008
overfitting â çàïàäíîé ëèòåðàòóðå è ïîäðîáíî îïèñàí â [1]).
Âî âòîðîì ïîäõîäå ïðîèñõîäèò óñðåäíåíèå ïî îøèáêàì ïðîãíîçèðîâàíèÿ,
êîãäà ïðîãíîç â êàæäûé ìîìåíò t ñòðîèòñÿ òîëüêî ïî äàííûì, äîñòóïíûì ýòîìó
ìîìåíòó, à èìåííî ïî âûáîðêå x y x y x y xt t t1 1 2 2 1 1, , , , , , ,� � � . Äàííûå îøèáêè
ñîîòâåòñòâóþò ðåàëüíîé çàäà÷å ïðîãíîçèðîâàíèÿ, êîãäà áóäóùàÿ èíôîðìàöèÿ
íåèçâåñòíà, à ïîòîìó ëó÷øå îòðàæàþò èñòèííûå îøèáêè ïðîãíîçà. Îáîçíà÷èì �� t
îöåíêó íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà � ïî ïåðâûì t �1 íàáëþäåíèÿì
x y x y x yt t1 1 2 2 1 1, , , , , ,� � � . Òîãäà îöåíêà êà÷åñòâà ïðîãíîçà, èñïîëüçóþùàÿ
âòîðîé ïîäõîä, èìååò âèä
Eh y f x
P
h y f x P T R
t R
T
t t t( ( , )) ( ( , � )),� � � � � �
�
�� �
1
1.
(1)
Çäåñü óñðåäíåíèå ïî îøèáêàì ïðîãíîçà ïðîèñõîäèò, íà÷èíàÿ ñ ìîìåíòà R, êî-
òîðûé ÿâëÿåòñÿ ïàðàìåòðîì äàííîãî ìåòîäà [10]. Îöåíêà �� t ìîæåò áûòü ïîëó-
÷åíà ñ èñïîëüçîâàíèåì ñëåäóþùèõ íàáëþäåíèé:
1) x y x y x yt t1 1 2 2 1 1, , , , , ,� � � (ðàñøèðÿþùååñÿ îêíî íàáëþäåíèé);
2) x y x y x y x yt K t K t K t K t t t t� � � � � � � � � �, , , , , , , ,1 1 2 2 1 1� (ïåðåìåùàþ-
ùååñÿ îêíî íàáëþäåíèé äëèíû K);
3) x y x y x y K tK K1 1 2 2 1, , , , , , ( )� � � (ôèêñèðîâàííîå îêíî íàáëþäåíèé
äëèíû K).
Îáçîð äàííûõ ìåòîäîâ îöåíêè ïàðàìåòðîâ ìîæíî íàéòè, íàïðèìåð, â [2]. Íàè-
áîëåå ïðåäïî÷òèòåëüíûì îáû÷íî ÿâëÿåòñÿ ìåòîä, èñïîëüçóþùèé ðàñøèðÿþùååñÿ
îêíî íàáëþäåíèé, ïîñêîëüêó òàì çàäåéñòâîâàíà âñÿ äîñòóïíàÿ èíôîðìàöèÿ äëÿ ïî-
ñòðîåíèÿ îöåíêè �� t . Îöåíêà êà÷åñòâà ïðîãíîçîâ âèäà (1) ÿâëÿåòñÿ îáùåðàñïðîñòðà-
íåííîé, òàêîé ïîäõîä ïðåäëàãàåòñÿ, íàïðèìåð, â [1, 3, 4].
Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî ïðè èñïîëüçîâàíèè ìåòîäà ðàñøèðÿþùåãîñÿ îêíà äëÿ
îöåíêè �� t îøèáêè ïðîãíîçà ÿâëÿþòñÿ íåðàâíîçíà÷íûìè ìåæäó ñîáîé. Áîëåå ðàííèå
îøèáêè ïðîãíîçà ìåíüøå ñîîòâåòñòâóþò èñêîìîé âåëè÷èíå Eh y f x( ( , ))� � , ïîñêîëü-
êó â íèõ íåèçâåñòíûé ïàðàìåòð � îöåíèâàåòñÿ ïî íåáîëüøîìó ÷èñëó íàáëþäåíèé. Áî-
ëåå ïîçäíèå îøèáêè ïðîãíîçà, íàîáîðîò, áîëüøå ñîîòâåòñòâóþò òåîðåòè÷åñêîé îöåíêå
êà÷åñòâà ïðîãíîçà Eh y f x( ( , ))� � , ïîñêîëüêó � îöåíèâàåòñÿ áîëåå òî÷íî ïî áîëü-
øåìó ÷èñëó íàáëþäåíèé. Äàííàÿ ïðîáëåìà íåðàâíîçíà÷íîñòè îøèáîê ïðîãíîçà
áûëà âïåðâûå ïîäðîáíî èññëåäîâàíà â ðàáîòàõ [2, 5], â êîòîðûõ âûâîäèòñÿ àñèì-
ïòîòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå îöåíêè êà÷åñòâà ïðîãíîçà, ïîëó÷åííîå c ïîìîùüþ
ïðèáëèæåíèÿ (1), êîãäà íåèçâåñòíûé ïàðàìåòð � îöåíèâàåòñÿ, èñïîëüçóÿ ðàñøè-
ðÿþùååñÿ, áåãóùåå è ôèêñèðîâàííîå îêíî íàáëþäåíèé. Â ñâÿçè ñ íåðàâíîçíà÷-
íîñòüþ íàáëþäåíèé èññëåäîâàòåëü âûíóæäåí ëèáî âûáèðàòü íåáîëüøîå çíà÷å-
íèå R è èãíîðèðîâàòü âûñîêîå ñìåùåíèå ïðè îöåíêå êà÷åñòâà ïðîãíîçà, âûçâàí-
íîãî íåòî÷íîñòüþ îöåíèâàåìûõ ïàðàìåòðîâ, ëèáî âûáèðàòü äîñòàòî÷íî áîëüøîå
çíà÷åíèå R, ïðè êîòîðîì, íà÷èíàÿ ñ ìîìåíòà t R� , îöåíêà �� t äîñòàòî÷íî òî÷íî
ïðèáëèæàåò èñòèííîå çíà÷åíèå �.  ýòîì ñëó÷àå îöåíêà êà÷åñòâà ïðîãíîçà áóäåò
èìåòü íåáîëüøîå ñìåùåíèå, íî áîëåå âûñîêóþ äèñïåðñèþ, âûçâàííóþ óìåíü-
øåííûì êîëè÷åñòâîì íàáëþäåíèé P, ïî êîòîðûì ïðîèñõîäèò óñðåäíåíèå â ôîð-
ìóëå (1).
 íàñòîÿùåé ñòàòüå ïðåäëàãàåòñÿ íîâûé ìåòîä îöåíêè êà÷åñòâà ïðîãíîçîâ,
ó÷èòûâàþùèé íåðàâíîçíà÷íîñòü ïîëó÷àåìûõ îøèáîê ïðîãíîçîâ.  ýòîì ìåòîäå
èñêîìîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå âåëè÷èíû Eh y f x( ( , ))� � îöåíèâàåòñÿ íå ðàâ-
íîìåðíîé, êàê â (1), à âçâåøåííîé ñóììîé îøèáîê ïðîãíîçîâ. Çäåñü òàêæå ôîð-
149 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1
ìàëèçóåòñÿ óñëîâèå íà îïòèìàëüíûå âåñà è ïðåäëàãàåòñÿ ÷èñëåííàÿ ïðîöåäóðà
äëÿ íàõîæäåíèÿ âåñîâûõ êîýôôèöèåíòîâ. Â ðàçä. 3.1 è 3.2 ïðåäëîæåííûé ìåòîä
ñðàâíèâàåòñÿ ñî ñòàíäàðòíûì ìåòîäîì íà ïðèìåðå äâóõ âðåìåííûõ ðÿäîâ,
îïèñûâàþùèõ ðåàëüíûå ýêîíîìè÷åñêèå ïðîöåññû.
Ââèäó íåðàâíîçíà÷íîñòè îøèáîê ïðîãíîçà äëÿ ðàçíûõ ìîìåíòîâ âðåìåíè
îöåíêîé êà÷åñòâà ïðîãíîçîâ ïðåäëàãàåòñÿ ñ÷èòàòü âçâåøåííîå ñðåäíåå ïî îøèá-
êàì ïðîãíîçà, ãäå ñóììà âåñîâ ðàâíà åäèíèöå:
Eh y f x w h y f x P T R
t R
T
t t t t( ( , )) ( ( , � )),� � � � � �
�
�� � 1,
t R
T
tw
�
� �1.
Îïòèìàëüíûå âåñîâûå êîýôôèöèåíòû w w wR R T, , ,� 1 � âûáèðàþòñÿ, èñõîäÿ
èç óñëîâèÿ ìèíèìèçàöèè êâàäðàòà îòêëîíåíèÿ îöåíêè îò èñòèííîãî çíà÷åíèÿ
êà÷åñòâà ïðîãíîçà
E ( ( ( , � )) ( ( , ))) min,
t R
T
t t t t
t R
T
w h y f x Eh y f x
w
�
�
�
�
� � � � �
2
t �
�
�
�
�
�
1.
Äàííàÿ çàäà÷à ðåøàåòñÿ ìèíèìèçàöèåé ëàãðàíæèàíà:
E
t R
T
t t t t
t
w h y f x Eh y f x
�
� � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�( ( , � )) ( ( , )) (� � �
2
2
�
� �
R
T
tw 1) min .
Èñõîäÿ èç óñëîâèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà, èìååì ñèñòåìó èç k óðàâíåíèé
�
�
�
�
��
�
�
�� � � �
�
�
�
w
w h y f x Eh y f x
k t R
T
t t t t: ( ( , � )) ( ( , ))E � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�h y f xk k t( ( , � ))� �,
÷òî ìîæíî ïåðåïèñàòü â ýêâèâàëåíòíîì âèäå
E
t R
T
t t t t kw h y f x Eh y f x h y f
�
� � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�( ( , � )) ( ( , )) (� � ( , � ))xk t� �
�
�
�
�
�
�
��
� .
Ðàññìàòðèâàÿ ìàòðèöó A ñ ýëåìåíòàìè
a h y f x h y f x h y f xij i i i j j j� � � � �E E{ ( ( , � ))( ( ( , � )) ( ( , ))� � � )},
çàäà÷ó íàõîæäåíèÿ íåèçâåñòíûõ âåñîâ w � ( , , )w wR T� ìîæíî ïåðåïèñàòü â
âèäåâåñîâ
A
A
A
w e
e w = 1
e e = 1
e e
�
�
�
�
�
� � � �
�
�
�
�
� �
1
1
1
w e
e
e e
� �
�
�
�
�
�A
A
A
1
1
1
,
w
b
b
A
A
k
kj
j R
T
ij
j R
T
i R
T
kj
j R
T
ij
j R
T
i R
T
� �
�
��
�
��
�
��
�
��
, k R T� , ,� ,
(2)
ãäå bij — ýëåìåíòû îáðàòíîé ìàòðèöû B A� � 1, à Aij — àëãåáðàè÷åñêèå äî-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 150
ïîëíåíèÿ ìàòðèöû A. Ðàñ÷åò ýëåìåíòîâ ìàòðèöû A ïðåäïîëàãàåò ðàñ÷åò ìàòå-
ìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé íåêîòîðûõ ñòàòèñòèê. Åñëè èçâåñòåí èñòèííûé ïðîöåññ,
ãåíåðèðóþùèé äàííûå, ìàòðèöó A è îïòèìàëüíûå âåñà ìîæíî íàéòè íåïîñðå-
äñòâåííî ïî ôîðìóëå (2). Ïîñêîëüêó ïðè ïðàêòè÷åñêîì èñïîëüçîâàíèè èñòèííûé
ïðîöåññ, ãåíåðèðóþùèé äàííûå, íåèçâåñòåí, òî â ïðèëîæåíèÿõ ïðåäëàãàåòñÿ èñ-
ïîëüçîâàòü ïðîöåäóðó áóòñòðàïà [6–9]. Äàëåå áóäåò ïðèâåäåíî êðàòêîå îïèñàíèå
ìåòîäîâ áóòñòðàïà, ïðèìåíÿåìûõ â íàñòîÿùåé.
ÌÅÒÎÄÛ ÁÓÒÑÒÐÀÏÀ,
ÈÑÏÎËÜÇÓÅÌÛÅ Â ÑÒÀÒÈÑÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÈÑÏÛÒÀÍÈßÕ
Èäåÿ áóòñòðàïà çàêëþ÷àåòñÿ â ïðèáëèæåíèè òî÷íîãî ïðîöåññà, ãåíåðèðóþùåãî
äàííûå, ïîñðåäñòâîì åãî âûáîðî÷íîãî àíàëîãà.  ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå
áóòñòðàï áóäåò ïðèìåíÿòüñÿ äëÿ ãåíåðàöèè ðàçëè÷íûõ âàðèàíòîâ èñõîäíîé
âûáîðêè. Ïîñêîëüêó ãåíåðèðóåìûå âàðèàíòû âûáîðêè îñíîâûâàþòñÿ íà äàí-
íûõ èñõîäíîé âûáîðêè è íå ïîëíîñòüþ îòðàæàþò èõ èñòèííîå ðàñïðåäåëåíèå,
òî ñãåíåðèðîâàííûå âàðèàíòû âûáîðêè áóäóò â äàëüíåéøåì íàçûâàòüñÿ áó-
òñòðàïîâñêèìè ïñåâäîâûáîðêàìè èëè ïðîñòî ïñåâäîâûáîðêàìè. Â ïðîñòåéøåì
ñëó÷àå, êîãäà íàáëþäåíèÿ x x xT1 2, , ,� â èñõîäíîé âûáîðêå íåçàâèñèìû, ïðî-
öåäóðà áóòñòðàïà ãåíåðàöèè íîâûõ ïñåâäîâûáîðîê ñîñòîèò â ïîñëåäîâàòåëüíîé
ñëó÷àéíîé âûáîðêå ñ âîçâðàùåíèåì íàáëþäåíèé èç ïåðâîíà÷àëüíîé âûáîðêè.
Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ïîñòðîèòü íîâûå ïñåâäîâûáîðêè y y yT1 2, , , ;�
z z zT1 2, , , ; ,� � ãäå êàæäûé ýëåìåíò áûë âûáðàí ñëó÷àéíî ñ âîçâðàùåíèåì
èç ìíîæåñòâà x x xT1 2, , ,� .  ñëó÷àå âðåìåííîãî ðÿäà, êîãäà íàáëþäåíèÿ ÿâ-
ëÿþòñÿ çàâèñèìûìè, äàííûé ìåòîä íåïðèìåíèì, ïîñêîëüêó â ñãåíåðèðîâàííûõ
èì ïñåâäîâûáîðêàõ áóäåò îòñóòñòâîâàòü çàâèñèìîñòü ìåæäó íàáëþäåíèÿìè.
Äëÿ âðåìåííîãî ðÿäà çàâèñèìûõ íàáëþäåíèé â íàñòîÿùåé ñòàòüå áóäóò ïðè-
ìåíÿòüñÿ ñëåäóþùèå ìîäèôèêàöèè ïðîöåäóðû áóòñòðàïà: áóòñòðàï ñ áëîêàìè
ñëó÷àéíîé äëèíû, ïàðàìåòðè÷åñêèé áóòñòðàï, áóòñòðàï Õîëåöêîãî è áóòñòðàï
ìàðêîâñêîé öåïè. Äàëåå áóäåò îïèñàíà èäåÿ è ðåàëèçàöèÿ êàæäîãî ìåòîäà.
Ìåòîä 1. Áóòñòðàï ñ áëîêàìè ñëó÷àéíîé äëèíû. Ïåðâîå íàáëþäåíèå â
äàííîì ìåòîäå âûáèðàåòñÿ ñëó÷àéíî èç ñîâîêóïíîñòè âñåõ íàáëþäåíèé
x x xT1 2, , ,� èñõîäíîé âûáîðêè. Äàëåå ñ íåêîòîðîé ôèêñèðîâàííîé âåðîÿòíîñ-
òüþ p ñëåäóþùåå íàáëþäåíèå ïñåâäîâûáîðêè áåðåòñÿ òàêèì æå, êàê ñëåäóþùåå
íàáëþäåíèå èñõîäíîé âûáîðêè, à ñ âåðîÿòíîñòüþ1 � p ïîñëåäîâàòåëüíîå êîïèðî-
âàíèå íàáëþäåíèé ïðåêðàùàåòñÿ, è ñëåäóþùåå íàáëþäåíèå ïñåâäîâûáîðêè
ñíîâà âûáèðàåòñÿ ñëó÷àéíî.
Ìåòîä 2. Ïàðàìåòðè÷åñêèé áóòñòðàï. Ïàðàìåòðè÷åñêèé áóòñòðàï íà ïåðâîì
øàãå íàêëàäûâàåò íåêîòîðóþ ïàðàìåòðè÷åñêóþ ìîäåëü íà èñõîäíóþ âûáîðêó, à çà-
òåì ïðîèçâîäèò ïñåâäîâûáîðêè èç íàéäåííîé ìîäåëè, ãåíåðèðóÿ îñòàòêè ìîäåëèðî-
âàíèÿ (êîòîðûå ïðåäïîëàãàþòñÿ óæå íåçàâèñèìûìè), èñïîëüçóÿ ïðîñòåéøèé áó-
òñòðàï äëÿ íåçàâèñèìûõ íàáëþäåíèé (ñëó÷àéíàÿ âûáîðêà ñ âîçâðàùåíèåì èç íàáëþ-
äåíèé). Â ñòàòüå ïðèìåíÿåòñÿ ñëåäóþùèé àëãîðèòì.
1. Ðàññìàòðèâàÿ âñåâîçìîæíûå AR ( )p -ìîäåëè âïëîòü äî øåñòîãî ïîðÿäêà,
âûáèðàåòñÿ ìîäåëü, íàèáîëåå òî÷íî îïèñûâàþùàÿ èñõîäíóþ âûáîðêó
( , , )x xT1 � ñîãëàñíî áàéåñîâñêîìó èíôîðìàöèîííîìó êðèòåðèþ1. Íàéäåííóþ
151 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1
1
Äëÿ ARMA( , )p q -ïðîöåññà áàéåñîâñêèé èíôîðìàöèîííûé êðèòåðèé ðàâåí BIC T k T� �ln � ln�
2 ,
ãäå � / ��
2 2
1
1� �
�
�n et
t
T
— ñðåäíåå çíà÷åíèå êâàäðàòîâ îøèáîê îöåíèâàíèÿ ARMA-ìîäåëè, k — ÷èñëî
ïàðàìåòðîâ ìîäåëè, T— äëèíà âûáîðêè.
ìîäåëü ìîæíî çàïèñàòü â âèäå � ( ) �A L y et t� , ãäå � ( )A L — ëàãèðóþùèé ïîëèíîì.
2. Ãåíåðèðóþòñÿ áóòñòðàïîâñêèå îñòàòêè e e e T1 2 100
* * *, , ,� � çà ñ÷åò ñëó÷àé-
íîé âûáîðêè ñ âîçâðàùåíèåì èç îñòàòêîâ � , � , , �e e eT1 2 � ìîäåëè � � ( )e A L yt t� .
3. Ïåðâûå øåñòü íàáëþäåíèé áóòñòðàïîâñêîé ïñåâäîâûáîðêè ïîëàãàþòñÿ
ðàâíûìè íóëþ y yt
* *� � �� 6 0. Äëÿ ñòàöèîíàðíîãî è ýðãîäè÷åñêîãî ïðîöåññà
íà÷àëüíûå äàííûå îêàçûâàþò ñóùåñòâåííîå âëèÿíèå ëèøü íà ñîñåäíèå íàáëþäå-
íèÿ. Íà áîëåå óäàëåííûå íàáëþäåíèÿ âûáîð íà÷àëüíûõ äàííûõ âëèÿåò
íåçíà÷èòåëüíî.
4. Ñ ó÷åòîì íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé ïñåâäîâûáîðêà ïðîäîëæàåò ãåíåðèðî-
âàòü, èñïîëüçóÿ AR-ìîäåëü, íàéäåííóþ íà ïåðâîì øàãå: � ( ) * *A L y et t� . Ïîëó÷àåòñÿ
ïñåâäîâûáîðêà äëèíû T �100. Îêîí÷àòåëüíàÿ ïñåâäîâûáîðêà áóäåò ñîäåðæàòü ïî-
ñëåäíèå T íàáëþäåíèé èç ñãåíåðèðîâàííîé ïñåâäîâûáîðêè. Ïåðâûå 100 ñãåíåðèðî-
âàííûõ íàáëþäåíèé íå ó÷èòûâàþòñÿ, ïîñêîëüêó îíè åùå ìîãóò ñîäåðæàòü èíôîðìà-
öèþ î íóëåâûõ íà÷àëüíûõ äàííûõ.
Ìåòîä 3. Áóòñòðàï Õîëåöêîãî. Äàííûé âèä áóòñòðàïà ïðèìåíèì ê ïðîöåñ-
ñàì, äîïóñêàþùèì M A ( )� -ðàçëîæåíèå ñî ñòàöèîíàðíûìè âòîðûìè ìîìåíòàìè.
Ïðè óñëîâèè íóëåâîãî ñðåäíåãî (êàê â ðàññìàòðèâàåìûõ íèæå ñëó÷àÿõ) âûáîðêè
äàííûõ ïðîöåññîâ èìåþò ðàñïðåäåëåíèå X � � �( , , , ) ~ ( , )x x x FT1 2 � 0 � . Äèñ-
ïåðñèîííàÿ ìàòðèöà �, áóäó÷è ñèììåòðè÷íîé è â ñëó÷àå ïîëîæèòåëüíîé îïðåäå-
ëåííîñòè, äîïóñêàåò ðàçëîæåíèå Õîëåöêîãî PP � � �, ãäå P � � 1 2/ —
íèæíåòðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà. Òîãäà âûáîðêà ïðåäñòàâèìà â âèäå
X P� e, ãäå e 0~ ( , )G I , I — åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà.
 ñëó÷àå ïðàêòè÷åñêîãî ïðèìåíåíèÿ äëÿ çàäàííîé âûáîðêè àâòîêîâàðèàöèè
áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà îöåíèâàþòñÿ ïî ìåíüøåìó ÷èñëó íàáëþäåíèé.  ñâÿçè ñ
ýòèì äëÿ ñîñòîÿòåëüíîãî îöåíèâàíèÿ P êîëè÷åñòâî îöåíèâàåìûõ àâòîêîâàðèàöèé
äîëæíî óâåëè÷èâàòüñÿ, íî ìåäëåííåå, ÷åì ðàçìåð âûáîðêè.  ðåàëèçîâàííîì àë-
ãîðèòìå àâòîêîâàðèàöèè áîëåå âûñîêèõ ïîðÿäêîâ ó÷èòûâàþòñÿ ñ íåêîòîðûì
ïîíèæàþùèì êîýôôèöèåíòîì.
 ñòàòüå ðåàëèçîâàí ñëåäóþùèé àëãîðèòì áóòñòðàïà Õîëåöêîãî.
1. Íàõîäèòñÿ àâòîêîâàðèàöèîííàÿ ìàòðèöà �� .
2. Ñòðîèòñÿ ðàçëîæåíèå Õîëåöêîãî � � �P P � � �, ãäå �P — íèæíåòðåóãîëüíàÿ
ìàòðèöà.
3. Íàõîäÿòñÿ îñòàòêè ðàçëîæåíèÿ � �e � �P X1 , êîòîðûå çàòåì ìàñøòàáèðóþòñÿ
òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû èìåòü åäèíè÷íóþ äèñïåðñèþ.
4. Ñòðîèòñÿ áóòñòðàïîâñêàÿ ïñåâäîâûáîðêà îñòàòêîâ e * * * *( , , , )� e e eT1 2 � , ãäå
e i Ti
* , , ,�1 � , ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíûì âûáîðîì c âîçâðàùåíèåì èç � ( � , � , , � )e � e e eT1 2 � .
5. Ïî áóòñòðàïîâñêîé ïñåâäîâûáîðêå îñòàòêîâ e * ñòðîèòñÿ áóòñòðàïîâñêàÿ
ïñåâäîâûáîðêà èñõîäíûõ äàííûõ X P* *�� e .
Ïîëó÷åííûå òàêèì îáðàçîì ïñåâäîâûáîðêè áóäóò ñîõðàíÿòü ñòðóêòóðó âòî-
ðûõ ìîìåíòîâ èñõîäíîé âûáîðêè.
Ìåòîä 4. Áóòñòðàï ìàðêîâñêîé öåïè.Äàííûé ìåòîä ïðèìåíÿåòñÿ ïðè ïðåä-
ïîëîæåíèè, ÷òî âðåìåííîé ðÿä õîðîøî îïèñûâàåòñÿ àâòîðåãðåññèîííûì óðàâíå-
íèåì (íå îáÿçàòåëüíî ëèíåéíûì). Â ñòàòüå ðåàëèçîâàí âàðèàíò äàííîãî ìåòîäà
äëÿ àâòîðåãðåññèè ïåðâîãî ïîðÿäêà 2 .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 152
2
Ïîäðîáíîå îïèñàíèå äàííîãî ìåòîäà â îáùåì ñëó÷àå äàíî â ðàáîòå [9].
Ïðè ïîñòðîåíèè áóòñòðàïîâñêîé ïñåâäîâûáîðêè ïðîèçâîäèòñÿ ñëåäóþùàÿ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äåéñòâèé.
1. Âûïîëíÿåòñÿ ðàçáèåíèå ìíîæåñòâà ïðèíèìàåìûõ çíà÷åíèé çàâèñèìîé ïå-
ðåìåííîé x íà íåïåðåñåêàþùèåñÿ ïîäìíîæåñòâà X X n1, ,� . Â ðàññìàòðèâàåìîé
çàäà÷å âåùåñòâåííàÿ îñü ðàçáèâàëàñü íà îòðåçêè è ëó÷è òî÷êàìè {� 9, � 5, � 3,
�15. , 0, 1.5, 3, 5, 9}.
2. Ïî íàáëþäàåìîé âûáîðêå x x xT1 2, , ,� ñòðîÿòñÿ âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà èç
îäíîãî ìíîæåñòâà â äðóãîå
p P x X x X
P x X x X
P x X
ij t j t i
t j t i
t i
� � � �
� �
�
�
�
{ }
{ }
{ }
1
1
|
,
,
êîòîðûå ïðèáëèæàþòñÿ çíà÷åíèÿìè
�p
I x X I x X
I x X
ij
t
T
t j t i
t i
t
T
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
1
1
1
1
1
{ } { }
{ }
,
ãäå I {}� — èíäèêàòîðíàÿ ôóíêöèÿ.
3. Ïåðâûé ýëåìåíò x 1
* ïñåâäîâûáîðêè âûáèðàåòñÿ ñëó÷àéíûì îáðàçîì èç
x x xT1 2, , ,� .
4. Äëÿ òåêóùåãî ýëåìåíòà xt
* ïñåâäîâûáîðêè îïðåäåëÿåòñÿ ìíîæåñòâî X k
òàêîå, ÷òî x Xt k� .
5. Äëÿ íàéäåííîãî X k ñëó÷àéíûì îáðàçîì ñ âåðîÿòíîñòÿìè �pk1, � ,pk2 �
� , �pkn îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùåå ìíîæåñòâî X s, êîòîðîìó áóäåò ïðèíàäëåæàòü
xt � 1.
6. Ýëåìåíò xt � 1 âûáèðàåòñÿ ñëó÷àéíûì îáðàçîì èç âñåõ {xi , i T�1, , |�
x Xi s� }. Äàëåå xt � 1 ïîëàãàåòñÿ òåêóùèì è t t� �1 .
7. Øàãè 4–6 ïîâòîðÿþòñÿ íåîáõîäèìîå ÷èñëî ðàç.
Ïàðàìåòðè÷åñêèé áóòñòðàï íàêëàäûâàåò íà äàííûå ñòðóêòóðó ëèíåéíîé àâ-
òîðåãðåññèè, â òî âðåìÿ êàê îñòàëüíûå ìåòîäû áóòñòðàïà ïîäîáíûõ ïðåäïîëîæå-
íèé íå äåëàþò è ïðèìåíèìû ê áîëåå øèðîêîìó êëàññó ñòàöèîíàðíûõ âðåìåííûõ
ðÿäîâ. Îäíàêî ìåòîä áóòñòðàïà ñ áëîêàìè ñëó÷àéíîé äëèíû òðåáóåò îïðåäåëåíèÿ
âåðîÿòíîñòè îêîí÷àíèÿ áëîêà è íà÷àëà ñëåäóþùåãî áëîêà. Áóòñòðàï Õîëåöêîãî è
ïàðàìåòðè÷åñêèé áóòñòðàï íå çàâèñÿò îò âíåøíèõ ïàðàìåòðîâ. Äëÿ áóòñòðàïà ñ
áëîêàìè ñëó÷àéíîé äëèíû ïðèìåíÿåòñÿ ìåòîä ïîèñêà îïòèìàëüíîãî ïàðàìåòðà.
Èçëîæèì ìåòîäèêó îïðåäåëåíèÿ îïòèìàëüíûõ ïàðàìåòðîâ áóòñòðàïà.
1. Ñ ó÷åòîì âñåâîçìîæíûõ ìîäåëåé àâòîðåãðåññèè âïëîòü äî øåñòîãî ïîðÿä-
êà íàõîäèòñÿ íàèáîëåå ïîäõîäÿùàÿ ìîäåëü A L y et t( ) � ïî áàéåñîâñêîìó èíôîð-
ìàöèîííîìó êðèòåðèþ, êîòîðàÿ íàèëó÷øå îïèñûâàåò èìåþùóþñÿ âûáîðêó
X x xT� ( , , )1 � .
2. Ñ ïîìîùüþ íàéäåííîé ìîäåëè ãåíåðèðóåòñÿ 300 âûáîðîê Y1, Y2 , … , Y300 .
Èç êàæäîé ñãåíåðèðîâàííîé âûáîðêè Y ii , , ,�1 300� , ãåíåðèðóåòñÿ 500 áóòñòðà-
ïîâñêèõ ïñåâäîâûáîðîê ïðè p �{0 4. , 06. , 0.8, 0.9, 0.92, 0.94, 0.96, 0.97, 0.975} ñ èñ-
ïîëüçîâàíèåì áóòñòðàïà ñî ñëó÷àéíîé äëèíîé áëîêîâ.
3. Äëÿ êàæäîé ñãåíåðèðîâàííîé âûáîðêè Yi , i �1 300, ,� , è êàæäîãî çíà÷å-
íèÿ p ñ èñïîëüçîâàíèåì ñãåíåðèðîâàííûõ 500 áóòñòðàïîâñêèõ ïñåâäîâûáîðîê
îöåíèâàþòñÿ 90% äîâåðèòåëüíûõ èíòåðâàëîâ äëÿ ôóíêöèè ðåàêöèè íà èìïóëüñû
f t( ) (impulse response function) ïðè t �1 2 12, , ,� . Ïîëó÷àåì 12 äîâåðèòåëüíûõ
153 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1
èíòåðâàëîâ [ , ], , [ , ]
, , , ,
f F f F
i
p
i
p
i
p
i
p
1 1 12 12
� .
4. Ñ èñïîëüçîâàíèåì ïðîöåññà A L y et t( ) � , ñãåíåðèðîâàâøåãî äàííûå, âû-
÷èñëÿåòñÿ èñòèííàÿ ôóíêöèÿ ðåàêöèè íà èìïóëüñû f t( ).
5. Äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ t �1 12, ,� è p âû÷èñëÿåòñÿ äîëÿ ñëó÷àåâ, êîãäà èñ-
òèííîå çíà÷åíèå ôóíêöèè îêàçàëîñü â ñîîòâåòñòâóþùåì äîâåðèòåëüíîì èíòåðâà-
ëå C t p i i f t f Fi t
p
i t
p( , ) # : , ( ) [ , ] /, ,� � � �{ }1 300 300.
6. Äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ âíåøíåãî ïàðàìåòðà p âû÷èñëÿåòñÿ êðèòåðèé êà-
÷åñòâà îöåíêè ôóíêöèè ðåàêöèè íà èìïóëüñû D p C t p
t
( ) ( ( , ) . )� �
�
� 09 2
1
12
.
7. Âûáèðàåòñÿ òî çíà÷åíèå ïàðàìåòðà p, êîòîðîå îáåñïå÷èâàåò ìèíèìàëüíîå
çíà÷åíèå êðèòåðèÿ D p( ).
3. ÑÒÀÒÈÑÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÈÑÏÛÒÀÍÈß ÍÀ ÂÐÅÌÅÍÍÛÕ ÐßÄÀÕ
 äâóõ ïðèâåäåííûõ íèæå ñòàòèñòè÷åñêèõ ýêñïåðèìåíòàõ ñîïîñòàâëÿþòñÿ ðàç-
ëè÷íûå îöåíêè îæèäàåìûõ êâàäðàòîâ îøèáîê ïðîãíîçà.  íà÷àëå êàæäîãî
ïðèìåðà ðàññìàòðèâàåòñÿ íåêîòîðàÿ äîñòàòî÷íî äëèííàÿ âûáîðêà, íà îñíîâå
êîòîðîé ïîäáèðàåòñÿ ARMA-ìîäåëü, êîòîðàÿ ñ÷èòàåòñÿ èñòèííîé äëÿ ðàññìàò-
ðèâàåìîãî ïðîöåññà. Íà îñíîâå íàéäåííîé ìîäåëè ãåíåðèðóþòñÿ âûáîðêè èç
40 íàáëþäåíèé. Ïî êàæäîé èç íèõ ïîäáèðàåòñÿ îïèñûâàþùàÿ äàííóþ âûáîð-
êó AR-ìîäåëü, êîòîðàÿ ìèíèìèçèðóåò áàéåñîâñêèé èíôîðìàöèîííûé êðèòå-
ðèé. Íàõîäèòñÿ òåîðåòè÷åñêîå çíà÷åíèå îæèäàåìîãî êâàäðàòà îøèáêè ïðîãíî-
çà èñòèííîãî ïðîöåññà çà ñ÷åò ïðèáëèæåíèÿ àâòîðåãðåññèè ê èñòèííîìó ïðî-
öåññó. Äàëåå ýòî çíà÷åíèå ñîïîñòàâëÿåòñÿ ñî ñðåäíèìè ïî âñåì âûáîðêàì
îöåíêàìè îæèäàåìîãî êâàäðàòà îøèáêè ïðîãíîçà, ïîñ÷èòàííûìè ðàçëè÷íûìè
ìåòîäàìè îòäåëüíî äëÿ êàæäîé âûáîðêè.
Äàííûå âûáðàíû
òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû
îòâåðãàëàñü ãèïîòåçà î
íîðìàëüíîì ðàñïðåäåëå-
íèè îñòàòêîâ îöåíèâà-
íèÿ.  ñëó÷àå íîðìàëü-
íîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
îøèáîê îöåíêè ñòàòèñ-
òè÷åñêèå èñïûòàíèÿ ñâè-
äåòåëüñòâóþò î íåçíà÷è-
òåëüíîé ðàçíèöå ìåæäó
ïðåäëàãàåìûì è ñòàí-
äàðòíûì ìåòîäàìè.
3.1. Ñòàâêà ïî
êðåäèòàì â Ïåðó. Ðàññìàòðèâàåòñÿ âûáîðêà èçìåíåíèé ñðåäíèõ çà ìåñÿö
ïðîöåíòíûõ ñòàâîê ïî êðåäèòàì (â èíîñòðàííîé âàëþòå) â Ïåðó 3 . Âûáîðêà
îõâàòûâàåò ïåðèîä ñ èþëÿ 1998 ãîäà ïî èþíü 2007 ãîäà è ñîäåðæèò 108
íàáëþäåíèé. Íà ðèñ. 1 ïðåäñòàâëåí ãðàôèê èçìåíåíèÿ ïðîöåíòíîé ñòàâêè. Â
ñîîòâåòñòâèè ñ áàéåñîâñêèì èíôîðìàöèîííûì êðèòåðèåì íàèëó÷øåé ëèíåéíîé
ìîäåëüþ, îïèñûâàþùåé äàííûå, îêàçàëàñü
y y et t t� ��0321 1. , (3)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 154
Ðèñ. 1. Ãðàôèê èçìåíåíèÿ ñðåäíåé çà ìåñÿö ñòàâêè ïî êðåäèòàì
â Ïåðó
Ïðîöåíòíàÿ
ñòàâêà
Ãîäû
3 Äàííûå âçÿòû ñ àéòà Öåíòðàëüíîãî áàíêà Ïåðó http://www.bcrp.gob.pe/bcr/ingles/
ãäå et — íåçàâèñèìûå îøèáêè ïðè � e � 0263. . Ïîñêîëüêó òåñò Æàðêå-Áåððà îò-
âåðãàåò ãèïîòåçó î íîðìàëüíîì ðàñïðåäåëåíèè îøèáîê, îøèáêè äàííîé ìîäå-
ëè áóäóò ãåíåðèðîâàòüñÿ èç ðàñïðåäåëåíèÿ, ïîëó÷åííîãî â ðåçóëüòàòå ÿäåðíîãî
ñãëàæèâàíèÿ âûáîðî÷íîé ïëîòíîñòè.  êà÷åñòâå ÿäåðíîé ôóíêöèè èñïîëüçîâà-
ëîñü íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå.  ðåçóëüòàòå áûëà ïîëó÷åíà ôóíêöèÿ ïëîò-
íîñòè îøèáîê, ãäå ïðîñëåæèâàåòñÿ âåðîÿòíîñòü áîëüøèõ ñêà÷êîâ îøèáêè â îò-
ðèöàòåëüíîé îáëàñòè. Äàííûå ñêà÷êè ïåðåäàþòñÿ â ðåãðåññîð yt � 1, ÷òî äåëàåò
íåòî÷íîñòü â îöåíêå ðåãðåñ-
ñèîííîãî ïàðàìåòðà ñóùåñ-
òâåííûì ôàêòîðîì ïðè ïðî-
ãíîçèðîâàíèè yt . Â ñòàòèñòè-
÷åñêèõ èñïûòàíèÿõ
ïîëàãàëèñü T R� �40 10, è
ðàññ÷èòûâàëñÿ êâàäðàò îæè-
äàåìîé îøèáêè ïðîãíîçà,
èñïîëüçóÿ ðàâíûå âåñà,
èñòèííûå âåñà è âåñà,
ðàññ÷èòàííûå ìåòîäàìè 1–4.
 ñòàòèñòè÷åñêèõ èñïûòà-
íèÿõ ðàñ÷åò èñòèííûõ âåñîâ
ïðîâîäèëñÿ óñðåäíåíèåì ïî 5000000 èñòèííûõ âûáîðîê, ðàñ÷åò áóòñòðàïîâñêèõ âå-
ñîâ ïðîâîäèëñÿ óñðåäíåíèåì ïî 3000 ïñåâäîâûáîðîê äëÿ êàæäîãî áóòñòðàïîâñêîãî
ìåòîäà è äëÿ êàæäîé èç 250 âûáîðîê, ñãåíåðèðîâàííûõ ïðîöåññîì (3). Àëãîðèòì íà-
õîæäåíèÿ îïòèìàëüíîãî ïàðàìåòðà äëÿ áóòñòðàïà ñ áëîêàìè ñëó÷àéíîé äëèíû îïðå-
äåëèë êðèòåðèé òî÷íîñòè D p( ), èçîáðàæåííûé íà ðèñ. 2. Äàëåå ìåòîä 1 ïðèìåíÿëñÿ
ñ îïòèìàëüíûì çíà÷åíèåì ïàðàìåòðà p � 09. .
Êàê âèäèì èç ðèñ. 3, âåñîâûå êîýôôèöèåíòû, ïîñ÷èòàííûå ðàçëè÷íûìè ìå-
òîäàìè áóòñòðàïà, ìàëî îòëè÷àþòñÿ ìåæäó ñîáîé, è äèàïàçîí èõ èçìåíåíèÿ çà-
ìåòíî íèæå, ÷åì äèàïàçîí èçìåíåíèÿ èñòèííûõ âåñîâ. Ýòî âûçâàíî òåì, ÷òî ïðè-
ìåíåííûå ïðîöåäóðû áóòñòðàïà íå ìîãóò ïîëíîñòüþ îöåíèòü âñþ ôóíêöèþ
ðàñïðåäåëåíèÿ îøèáîê ïî êîíå÷íîé âûáîðêå.
 òàáë. 1 ïðèâåäåíû ñðåäíèå çíà÷åíèÿ îöåíîê îæèäàåìîãî êâàäðàòà îøèáêè
ïðîãíîçà, îïðåäåëåííûå ðàçëè÷íûìè ìåòîäàìè, à òàêæå ñðåäíèå çíà÷åíèÿ êâàä-
ðàòîâ îòêëîíåíèé îöåíêè îò îæèäàåìîãî êâàäðàòà îøèáêè ïðîãíîçà, êîòîðûé â
äàííîì ïðèìåðå ðàâåí 0.129 (MSPE). Èç òàáëèöû âèäíî, ÷òî îöåíêè òî÷íîñòè
155 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1
Ðèñ. 2. Ãðàôèê êðèòåðèÿ êà÷åñòâà D p( ) äëÿ áóòñòðàïà ñ
áëîêàìè ñëó÷àéíîé äëèíû
Ðèñ. 3. Ãðàôèê âåñîâûõ êîýôôèöèåíòîâ (ñòàâêè ïî êðåäèòàì â Ïåðó): 1 — ðàâíûå âåñà; 2 —
èñòèííûå âåñà; 3 — ðàñ÷åòíûå âåñà; 4 — ðàñ÷åòíûå âåñà � ñòàíäàðòíûå îòêëîíåíèÿ
Âåñ
ð
ïðîãíîçà ñ èçìåíÿþùèìèñÿ âå-
ñàìè áîëåå çàìåòíî îòëè÷àþòñÿ
îò îöåíêè ñ ðàâíûìè âåñàìè è
ëåæàò áëèæå ê òåîðåòè÷åñêîìó
çíà÷åíèþ. Îæèäàåìûå êâàäðàòû
îòêëîíåíèÿ îò � e
2 äëÿ âçâåøè-
âàþùèõ ìåòîäîâ òàêæå íèæå,
÷åì â ñëó÷àå óñðåäíåíèÿ ñ ðàâ-
íûìè âåñàìè. Òàêèì îáðàçîì,
âçâåøèâàíèå êâàäðàòîâ îøèáîê
ïðîãíîçà ïîçâîëÿåò ó÷åñòü íå-
òî÷íîñòü îöåíêè ðåãðåññèîííûõ
ïàðàìåòðîâ è äàåò àäàïòèðîâàííóþ ê ýòîé íåòî÷íîñòè îöåíêó êà÷åñòâà ïðîãíîçà.
Íàèáîëüøåå óëó÷øåíèå îöåíêè äîñòèãàåòñÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì èñòèííûõ âåñîâ.
Ðàñ÷åòíûå âåñà, ïîëó÷åííûå ñ ïîìîùüþ ïðîöåäóðû áóòñòðàïà, ÿâëÿþòñÿ ñèëüíî
ñìåùåííûìè ïî îòíîøåíèþ ê èñòèííûì, ÷òî îòðàæàåòñÿ íà êà÷åñòâå
îöåíèâàíèÿ.
3.2. Äîëÿ êðåäèòîâ ôèíàíñîâûõ îðãàíèçàöèé â ÂÂÏ Áðàçèëèè.Ðàññìîò-
ðèì âûáîðêó èçìåíåíèé îòíîøåíèÿ êðåäèòîâ ôèíàíñîâûõ îðãàíèçàöèé ê ÂÂÏ
Áðàçèëèè 4 . Âûáîðêà îõâàòûâàåò ïåðèîä ñ èþëÿ 1988 ãîäà ïî èþëü 2007 ãîäà è
ñîäåðæèò 229 íàáëþäåíèé (ðèñ. 4). Êàê è â ñëó÷àå ïðîöåíòíûõ ñòàâîê â Ïåðó,
ðàññìàòðèâàåìàÿ âåëè÷èíà ïîäâåðæåíà ðåçêèì èçìåíåíèÿì.
 ñîîòâåòñòâèè ñ áàéåñîâñêèì èíôîðìàöèîííûì êðèòåðèåì íàèëó÷øåé ëè-
íåéíîé ìîäåëüþ, îïèñûâàþùåé ðàññìàòðèâàåìûå äàííûå, ÿâëÿåòñÿ
y y e et t t t� � �� �0262 01381 5. * . . (4)
Ïîñêîëüêó òåñò Æàðêå-Áåððà îòâåðãàåò ãèïîòåçó î íîðìàëüíîì ðàñïðåäåëå-
íèè îøèáîê ìîäåëè, îøèáêè ïðîöåññà (4) â äàëüíåéøåì áóäóò ãåíåðèðîâàòüñÿ â
ñîîòâåòñòâèè ñî ñãëàæåííîé âûáîðî÷íîé ïëîòíîñòüþ îøèáîê (ïðèìåíÿëîñü
ÿäåðíîå ñãëàæèâàíèå ñ íîðìàëüíîé ïëîòíîñòüþ â êà÷åñòâå ÿäåðíîé ôóíêöèè).
Äàííîå ðàñïðåäåëåíèå ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü ðåçêèå ñêà÷êè â âåëè÷èíå îøèáîê.
Áîëüøèå ïî âåëè÷èíå îøèáêè, ïåðåõîäÿ â ðåãðåññîðû ìîäåëè, ñóùåñòâåííî ïîâû-
øàþò âîçäåéñòâèå íåòî÷íî îöåíåííûõ ïàðàìåòðîâ ðåãðåññèè íà òî÷íîñòü ïðîãíîçà.
Ïðèìåíåíèå àëãîðèòìà ïîäáîðà îïòèìàëüíîãî ïàðàìåòðà äëÿ áóòñòðàïà ñî ñëó÷àé-
íîé äëèíîé áëîêà äàåò ôóíêöèþ îöåíêè òî÷íîñòè D p( ), èçîáðàæåííóþ íà ðèñ. 5. Ñëå-
äîâàòåëüíî, p � 08. îáåñïå÷èâàåò íàèáîëüøóþ òî÷íîñòü ìåòîäà 1 è áóäåò
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 156
Íàçâàíèå ìåòîäà
Ñðåäíåå
çíà÷åíèå
îöåíîê
MSPE
Ðàâíîìåðíîå âçâåøèâàíèå 0.202 0.185
Èñòèííîå âçâåøèâàíèå 0.157 0.182
Âçâåøèâàíèå (ìåòîä 1) 0.181 0.047
Âçâåøèâàíèå (ìåòîä 2) 0.182 0.060
Âçâåøèâàíèå (ìåòîä 3) 0.185 0.167
Âçâåøèâàíèå (ìåòîä 4) 0.185 0.058
Ò à á ë è ö à 1 . Èçìåíåíèå êâàäðàòà îøèáêè
ïðîãíîçà ïðè T R e� � �40 10 0 6972; ; ,�
Ðèñ. 4. Ãðàôèê èçìåíåíèÿ îòíîøåíèÿ êðåäèòîâ ê ÂÂÏ Áðàçèëèè
Äîëÿ
êðåäèòîâ
â ÂÂÏ
Ãîäû
èñïîëüçîâàòüñÿ â äàëüíåéøåì.
Ñòàòèñòè÷åñêèå èñïûòàíèÿ
äëÿ èçìåíåíèé äîëè êðåäèòîâ â
ÂÂÏ Áðàçèëèè ïî ñâîåé ñòðóê-
òóðå è ïàðàìåòðàì ïîëíîñòüþ
ïîâòîðÿþò ñòàòèñòè÷åñêèå èñ-
ïûòàíèÿ äëÿ èçìåíåíèÿ ïðîöåí-
òíîé ñòàâêè â Ïåðó. Óñðåäíåí-
íûå âåñîâûå êîýôôèöèåíòû, ïî-
ñ÷èòàííûå ðàçíûìè ìåòîäàìè,
ïðèâåäåíû íà ðèñ. 6. Çäåñü èìå-
åò ìåñòî îòêëîíåíèå èñòèííûõ
âåñîâûõ êîýôôèöèåíòîâ îò ðàñ-
÷åòíûõ, ïîñêîëüêó ðàññìîòðåí-
íûå ìåòîäû áóòñòðàïà íå ìîãóò ïîëíîñòüþ âîñïðîèçâåñòè íåñòàíäàðòíîå ðàñïðå-
äåëåíèå ðàññìàòðèâàåìîãî ïðîöåññà ïî êîíå÷íîé âûáîðêå.  ñâîþ î÷åðåäü,
ðàçíèöà ìåæäó ðàñ÷åòíûìè âåñàìè, ïîñ÷èòàííûìè ðàçëè÷íûìè ìåòîäàìè
áóòñòðàïà, íåñóùåñòâåííà.
 òàáë. 2 ïðåäñòàâëåíû ñðåäíèå çíà÷åíèÿ îöåíîê ðàçëè÷íûìè ìåòîäàìè îæèäàå-
ìîãî êâàäðàòà îøèáîê ïðîãíîçà, à òàêæå ñðåäíèå çíà÷åíèÿ êâàäðàòîâ îòêëîíåíèé
îöåíêè îò îæèäàåìîãî êâàäðàòà îøèáêè ïðîãíîçà, êîòîðûé â äàííîì ïðèìåðå ðà-
âåí 0.543 (MSPE). Êàê è äëÿ ñëó÷àÿ ïðîöåíòíûõ ñòàâîê â Ïåðó, âçâåøèâàíèå ñ
ðàçíûìè âåñàìè äåëàåò îöåíêó
êâàäðàòà îøèáêè ïðîãíîçà áëè-
æå ê òåîðåòè÷åñêîìó çíà÷åíèþ,
à îæèäàåìûé êâàäðàò îòêëîíå-
íèÿ îöåíêè îò èñòèííîãî çíà÷å-
íèÿ äàííîãî ìåòîäà íåçíà÷è-
òåëüíî íèæå, ÷åì äëÿ âçâåøèâà-
íèÿ ñ ðàâíûìè âåñàìè.
Íàèìåíüøåå ñðåäíåå ñìåùåíèå
îöåíêè äîñòèãàåòñÿ ïðè
âçâåøèâàíèè ñ èñòèííûìè
âåñàìè.
157 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1
Ðèñ. 5. Ãðàôèê êðèòåðèÿ êà÷åñòâà D p( ) äëÿ áóäñòðàïà
ñ áëîêàìè ñëó÷àéíîé äëèíû
Ðèñ. 6. Ãðàôèê âåñîâûõ êîýôôèöèåíòîâ (äîëÿ êðåäèòîâ ôèíàíñîâûõ îðãàíèçàöèé â ÂÂÏ â
Áðàçèëèè): 1 — ðàâíûå âåñà; 2 — èñòèííûå âåñà; 3 — ðàñ÷åòíûå âåñà; 4 — ðàñ÷åòíûå âåñà �
ñòàíäàðòíûå îòêëîíåíèÿ
Âåñ
Íîìåð íàáëþäåíèÿñ
Íàçâàíèå ìåòîäà
Ñðåäíåå
çíà÷åíèå
îöåíîê
MSPE
Ðàâíîìåðíîå âçâåøèâàíèå 0.651 0.127
Èñòèííîå âçâåøèâàíèå 0.635 0.100
Âçâåøèâàíèå (ìåòîä 1) 0.651 0.122
Âçâåøèâàíèå (ìåòîä 2) 0.649 0.115
Âçâåøèâàíèå (ìåòîä 3) 0.643 0.105
Âçâåøèâàíèå (ìåòîä 4) 0.642 0.119
Ò à á ë è ö à 2 . Èçìåíåíèå êâàäðàòà îøèáêè
ïðîãíîçà ïðè T R e� � �40 10 0 4982; ; ,�
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 ñòàòüå èññëåäîâàëàñü çàäà÷à îöåíêè êà÷åñòâà ïðîãíîçîâ, êîòîðàÿ ñîñòîÿëà â
îöåíêå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ íåêîòîðîé ôóíêöèè îò îøèáêè ïðîãíîçèðî-
âàíèÿ ìîäåëè. Ñòàíäàðòíàÿ ñõåìà ñ ðàñøèðÿþùèìñÿ îêíîì, ïðè êîòîðîé èñ-
êîìîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå îöåíèâàåòñÿ âûáîðî÷íûì ñðåäíèì îò îöåíåí-
íûõ îøèáîê ïðîãíîçà, ñäåëàííîãî ïî âñåì ïðåäûäóùèì íàáëþäåíèÿì, ÿâëÿåò-
ñÿ íåîïòèìàëüíîé, òàê êàê áîëåå ðàííèå ïðîãíîçû ñîñòàâëÿþòñÿ íà îñíîâå
ìåíüøåãî ÷èñëà íàáëþäåíèé è ÿâëÿþòñÿ ìåíåå òî÷íûìè. Èñõîäÿ èç ýòîãî,
áûë ïðåäëîæåí íîâûé ìåòîä îöåíêè êà÷åñòâà ïðîãíîçà, êîãäà îøèáêà ïðîãíî-
çà íà êàæäîì øàãå ó÷èòûâàåòñÿ íåêîòîðûì âåñîâûì êîýôôèöèåíòîì. Áûëà ïî-
ëó÷åíà ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé, îïðåäåëÿþùàÿ îïòèìàëüíûå âåñà. Äëÿ
îöåíêè êîýôôèöèåíòîâ ñèñòåìû ïðåäëîæåíû ðàçëè÷íûå ìåòîäû áóòñòðàïà.
Áûëè ïðîâåäåíû ñòàòèñòè÷åñêèå èñïûòàíèÿ íà äâóõ âðåìåííûõ ðÿäàõ, â ïðî-
öåññå êîòîðûõ âûÿñíèëîñü, ÷òî ìåòîä â ñðåäíåì äàåò áîëåå áëèçêèå çíà÷åíèÿ
îöåíêè êà÷åñòâà ïðîãíîçà ê òåîðåòè÷åñêîìó çíà÷åíèþ, à òàêæå îáåñïå÷èâàåò
ìåíüøèé îæèäàåìûé êâàäðàò îòêëîíåíèÿ îöåíêè îò òåîðåòè÷åñêîãî çíà÷åíèÿ
îöåíèâàåìîãî ïàðàìåòðà ïî ñðàâíåíèþ ñî ñòàíäàðòíûì ìåòîäîì, ÷òî ïîçâîëÿ-
åò ïîëó÷èòü áîëåå òî÷íóþ îöåíêó èñêîìîé âåëè÷èíû. Íàèáîëüøàÿ òî÷íîñòü
ïðèìåíåíèÿ ìåòîäà äîñòèãàåòñÿ ïðè èñïîëüçîâàíèè èñòèííûõ âåñîâûõ
êîýôôèöèåíòîâ. Âûèãðûø â òî÷íîñòè îò ïðèìåíåíèÿ ïðåäëàãàåìîãî ìåòîäà
ïðè èñïîëüçîâàíèè âåñîâ, ðàññ÷èòàííûõ ìåòîäàìè áóòñòðàïà, òàêæå èìååò
ìåñòî, íî îí çàìåòíî íèæå, ÷åì ïðè èñïîëüçîâàíèè èñòèííûõ âåñîâûõ
êîýôôèöèåíòîâ.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. F r i e d m a n J . , H a s t i e T . , T i b s h i r a n i R . The elements of statistical learning. — New
York: Springer, 2001. — 533 p.
2. W e s t K . D . , M c C r a k e n M . V . Regression-based tests of predictive ability // Intern. Econ.
Rev. — 1998. — 39, N 4. — P. 817–840 (http://www.nber.org/papers/t0226).
3. C l e m e n t s M . P . Evaluating econometric forecasts of economic and financial variables. —
Palgrave Macmillan, 2005. — 256 p.
4. F r a n c e s P . H . , D i j k V . D . Nonlinear time series models in tmpirical finance. — Cambridge:
Cambridge Univ. Press, 2000. — 280 p.
5. W e s t K . D . Asymptotic inference about predictive ability // Econometrica. — 1996.û — 64, N 5.
— P. 1067–1084.
6. À í à ò î ë ü å â Ñ . À . Ýêîíîìåòðèêà äëÿ ïðîäîëæàþùèõ. — Ì.: Ðîñ. ýêîí. øêîëà, 2002.
7. B e r k o w i t z J . , K i l i a n L . Recent developments in bootstrapping time series // Econometric
Reviews, Taylor and Francis J. — 2000. — 19, N 1. — P. 1– 48.
8. B e r k o w i t z J . , B i r g e a n I . , K i l i a n L . On the finite-sample accuracy of nonparametric
resampling algorithms for economic time series // Finance and Economics Discussion Series, Board
of Governors of the Federal Reserve System (U.S.). — 1999. — 1999–04.
9. A n a t o l y e v S . , V a s n e v A . Markov chain approximation in bootstrapping autoregressions //
Economics Bulletin. — 1999. — 3, N 19. — P. 1–8.
10. È â à õ í å í ê î À . à . Ñèñòåìû ýâðèñòè÷åñêîé ñàìîîðãàíèçàöèè â òåõíè÷åñêîé êèáåðíåòèêå.
— Ê.: ÒåõíŸêà, 1971. — 364 ñ.
Ïîñòóïèëà 22.09.2007
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 158
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-71978 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T17:45:38Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Китов, В.В. 2014-12-15T17:25:03Z 2014-12-15T17:25:03Z 2008 Новый метод оценки качества прогнозов нa основе процедуры бутстрап и его тестирование на временных рядах / В.В. Китов // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 1. — С. 148-158. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/71978 519.23 Запропоновано новий метод оцінки якості прогнозів параметричної моделі, який враховує нерівнозначність похибки прогнозу, викликаного різною точністю оцінки невідомих параметрів у різні моменти часу. У цьому випадку використано нерівномірну зваженість. Виведено умову на оптимальні вагові коефіцієнти методу та запропоновано варіанти числової процедури для їх наближеного знаходження. Проведено тестування методу на часових рядах, які описують реальні економічні процеси. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Новый метод оценки качества прогнозов нa основе процедуры бутстрап и его тестирование на временных рядах Article published earlier |
| spellingShingle | Новый метод оценки качества прогнозов нa основе процедуры бутстрап и его тестирование на временных рядах Китов, В.В. Системный анализ |
| title | Новый метод оценки качества прогнозов нa основе процедуры бутстрап и его тестирование на временных рядах |
| title_full | Новый метод оценки качества прогнозов нa основе процедуры бутстрап и его тестирование на временных рядах |
| title_fullStr | Новый метод оценки качества прогнозов нa основе процедуры бутстрап и его тестирование на временных рядах |
| title_full_unstemmed | Новый метод оценки качества прогнозов нa основе процедуры бутстрап и его тестирование на временных рядах |
| title_short | Новый метод оценки качества прогнозов нa основе процедуры бутстрап и его тестирование на временных рядах |
| title_sort | новый метод оценки качества прогнозов нa основе процедуры бутстрап и его тестирование на временных рядах |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/71978 |
| work_keys_str_mv | AT kitovvv novyimetodocenkikačestvaprognozovnaosnoveprocedurybutstrapiegotestirovanienavremennyhrâdah |