Решение комплексных обратных задач для гиперболических многокомпонентных распределенных систем

Решение комплексных обратных задач для гиперболических многокомпонентных распределенных систем

Для ряда комплексных обратных задач восстановления параметров многокомпонентных псевдопараболических распределенных систем предложены вычислительные алгоритмы реализации градиентных методов на основании решения прямых и сопряженных задач в слабых постановках. Предложенный подход исключает необходимо...

Full description

Saved in:
Bibliographic Details
Published in:Кибернетика и системный анализ
Date:2008
Main Authors: Сергиенко, И.В., Дейнека, В.С.
Format: Article
Language:Russian
Published: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2008
Subjects:
Системный анализ
Online Access:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/71998
Tags: Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:Решение комплексных обратных задач для гиперболических многокомпонентных распределенных систем /И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 2. — С. 55-80. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-71998
record_format dspace
spelling Сергиенко, И.В.
Дейнека, В.С.
2014-12-15T22:08:35Z
2014-12-15T22:08:35Z
2008
Решение комплексных обратных задач для гиперболических многокомпонентных распределенных систем /И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 2. — С. 55-80. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/71998
536.24
Для ряда комплексных обратных задач восстановления параметров многокомпонентных псевдопараболических распределенных систем предложены вычислительные алгоритмы реализации градиентных методов на основании решения прямых и сопряженных задач в слабых постановках. Предложенный подход исключает необходимость явного построения функционалов Лагранжа и использования функций Грина.Предложены эффективные вычислительные алгоритмы реализации градиентных методов О. М. Алифанова для решения обратных задач термоупругости. В основу предложенных алгоритмов положены прямые и сопряженные задачи в слабых постановках.Представлено технологію побудови обчислювальних алгоритмів розв'язання обернених задач багатокомпонентних гіперболічних систем з головними та природними неоднорідними умовами спряження. Одержано явні вирази похідних Фреше квадратичних функціоналів-нев'язок для побудови градієнтних обчислювальних алгоритмів.Предложены эффективные вычислительные алгоритмы реализации градиентных методов Алифанова решения обратных задач для псевдогиперболических многокомпонентных распределенных систем. В основу предложенных алгоритмов положены прямые и сопряженные задачи в слабых постановках.Для ряда комплексных обратных задач восстановления параметров многокомпонентных эллиптико-параболических распределенных систем предложены вычислительные алгоритмы реализации градиентных методов на основании решения прямых и сопряженных задач в слабых постановках. Предложенный подход исключает необходимость явного построения функционалов Лагранжа и использования функций Грина.
ru
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
Кибернетика и системный анализ
Системный анализ
Решение комплексных обратных задач для гиперболических многокомпонентных распределенных систем
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Решение комплексных обратных задач для гиперболических многокомпонентных распределенных систем
spellingShingle Решение комплексных обратных задач для гиперболических многокомпонентных распределенных систем
Сергиенко, И.В.
Дейнека, В.С.
Системный анализ
title_short Решение комплексных обратных задач для гиперболических многокомпонентных распределенных систем
title_full Решение комплексных обратных задач для гиперболических многокомпонентных распределенных систем
title_fullStr Решение комплексных обратных задач для гиперболических многокомпонентных распределенных систем
title_full_unstemmed Решение комплексных обратных задач для гиперболических многокомпонентных распределенных систем
title_sort решение комплексных обратных задач для гиперболических многокомпонентных распределенных систем
author Сергиенко, И.В.
Дейнека, В.С.
author_facet Сергиенко, И.В.
Дейнека, В.С.
topic Системный анализ
topic_facet Системный анализ
publishDate 2008
language Russian
container_title Кибернетика и системный анализ
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
format Article
description Для ряда комплексных обратных задач восстановления параметров многокомпонентных псевдопараболических распределенных систем предложены вычислительные алгоритмы реализации градиентных методов на основании решения прямых и сопряженных задач в слабых постановках. Предложенный подход исключает необходимость явного построения функционалов Лагранжа и использования функций Грина.Предложены эффективные вычислительные алгоритмы реализации градиентных методов О. М. Алифанова для решения обратных задач термоупругости. В основу предложенных алгоритмов положены прямые и сопряженные задачи в слабых постановках.Представлено технологію побудови обчислювальних алгоритмів розв'язання обернених задач багатокомпонентних гіперболічних систем з головними та природними неоднорідними умовами спряження. Одержано явні вирази похідних Фреше квадратичних функціоналів-нев'язок для побудови градієнтних обчислювальних алгоритмів.Предложены эффективные вычислительные алгоритмы реализации градиентных методов Алифанова решения обратных задач для псевдогиперболических многокомпонентных распределенных систем. В основу предложенных алгоритмов положены прямые и сопряженные задачи в слабых постановках.Для ряда комплексных обратных задач восстановления параметров многокомпонентных эллиптико-параболических распределенных систем предложены вычислительные алгоритмы реализации градиентных методов на основании решения прямых и сопряженных задач в слабых постановках. Предложенный подход исключает необходимость явного построения функционалов Лагранжа и использования функций Грина.
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/71998
citation_txt Решение комплексных обратных задач для гиперболических многокомпонентных распределенных систем /И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 2. — С. 55-80. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.
work_keys_str_mv AT sergienkoiv rešeniekompleksnyhobratnyhzadačdlâgiperboličeskihmnogokomponentnyhraspredelennyhsistem
AT deinekavs rešeniekompleksnyhobratnyhzadačdlâgiperboličeskihmnogokomponentnyhraspredelennyhsistem
first_indexed 2025-11-25T20:39:21Z
last_indexed 2025-11-25T20:39:21Z
_version_ 1850528458409508864
fulltext È.Â. ÑÅÐÃÈÅÍÊÎ, Â.Ñ. ÄÅÉÍÅÊÀ ÓÄÊ 536.24 ÐÅØÅÍÈÅ ÊÎÌÏËÅÊÑÍÛÕ ÎÁÐÀÒÍÛÕ ÇÀÄÀ× ÄËß ÃÈÏÅÐÁÎËÈ×ÅÑÊÈÕ ÌÍÎÃÎÊÎÌÏÎÍÅÍÒÍÛÕ ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÍÛÕ ÑÈÑÒÅÌ Êëþ÷åâûå ñëîâà: ìíîãîêîìïîíåíòíûå ãèïåðáîëè÷åñêèå ñèñòåìû, êîì- ïëåêñíûå îáðàòíûå çàäà÷è.  ðàáîòàõ [1, 2] ïðåäëîæåíû ÿâíûå ïðîöåäóðû ïîñòðîåíèÿ ãðàäèåíòíûõ ìåòî- äîâ [3] ðåøåíèÿ îáðàòíûõ çàäà÷ ñîîòâåòñòâåííî äëÿ ïàðàáîëè÷åñêèõ è ïñåâäî- ïàðàáîëè÷åñêèõ ìíîãîêîìïîíåíòíûõ ðàñïðåäåëåííûõ ñèñòåì íà îñíîâå òåîðèè îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ñîñòîÿíèÿìè ìíîãîêîìïîíåíòíûõ ðàñïðåäåëåííûõ ñèñòåì [4, 5].  äàííîé ñòàòüå ðàññìàòðèâàþòñÿ âîïðîñû ðåàëèçàöèè ãðàäèåíòíûõ ìåòî- äîâ [3] äëÿ èäåíòèôèêàöèè ïàðàìåòðîâ ãèïåðáîëè÷åñêèõ ìíîãîêîìïî- íåíòíûõ ðàñïðåäåëåííûõ ñèñòåì. 1. ÇÀÄÀ×À ÈÄÅÍÒÈÔÈÊÀÖÈÈ ÊÎÝÔÔÈÖÈÅÍÒΠÓÐÀÂÍÅÍÈß Ïóñòü íà îáëàñòè � �T T� � ( , )0 (� � �� �1 2 , � �1 2� �� , � ��1 �� � �� 2 � ; �1, � 2 — ñâÿçíûå îãðàíè÷åííûå ñòðîãî ëèïøèöåâû îáëàñòè èç R n ) îïðåäåëåíî ãèïåðáîëè÷åñêîå óðàâíåíèå � � � � � � � � �� � �� � � � 2 2 1 y t x u x y x f x t i n i i i ( ) ~ ( , ), (1) ãäå ~ ( )f C lT lT � �� , u ui i n� ��{ } U 1 (U { { }� � ��� � � � �i i n i i ix( ) : ( , ) 1 1 2 , � �i l i l � |� , � �i l l l i lC C l i n� � � � �( ) ( ), , , ; ,� �1 0 1 2 1 }). Íà ãðàíèöå � �T T� � ( , ]0 (� � �� � � �( ) \1 2 �) çàäàíû ñìåøàííûå êëàññè- ÷åñêèå êðàåâûå óñëîâèÿ y T�1 � �, (2) i n i i i Tu y x x g x t � � � � � � 1 2cos ( , ) , ( , )� � , (3) i n i i i Tu y x x y x t � � � � � � � � 1 3cos ( , ) , ( , )� � � � , (4) ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 55 © È.Â. Ñåðãèåíêî, Â.Ñ. Äåéíåêà, 2008 ãäå � �iT i T� � ( , ]0 , � �� � �i i 1 3 , � �i j� �� ïðè i j , i j, ,�1 3, � — âíåøíÿÿ íîðìàëü ê ãðàíèöå �. Íà ó÷àñòêå � ðàçäåëà îáëàñòåé �1, � 2 óñëîâèÿ ñîïðÿæåíèÿ ñëàáîïðî÷íîãî âêëþ÷åíèÿ èìåþò âèä i n i i iu y x x � � � � � � � � � � � � � 1 0cos ( , )� , (5) i n i i iu y x x r y � � � � � � � � � ! " � #� � 1 cos ( , ) [ ]� , (6) ãäå r � $const 0, [ ]� � �� �� � , � � �� �� �{ } ( , )x t ïðè ( , )x t T � ��� � � � �( ) ( , ]� 2 0� T , � � �� �� �{ } ( , )x t ïðè ( , ) ( ) ( , ]x t TT� � � � ��� ��1 0 . Ïðè t � 0 çàäàíû íà÷àëüíûå óñëîâèÿ y x y x x( , ) ( ),0 0 1 2� � �� � , (7) � � � � � y t y x x1 1 2( ), � � , (8) ãäå y V x W i i i0 0 2 1 1 2� � � �{ }� �( ) : | ( ), ,� � , y L1 2� ( )� , W i2 1 ( )� — ïðîñòðàíñòâî ôóíêöèé Ñîáîëåâà, îïðåäåëåííûõ íà îáëàñòè � i . Ïðåäïîëàãàåì, ÷òî íà N ( )n �1 -ìåðíûõ îáëàñòÿõ � i , ðàçáèâàþùèõ îáëàñòü� íà N � 2 ñâÿçíûõ îãðàíè÷åííûõ ñòðîãî ëèïøèöåâûõ îáëàñòåé � j (� i ��, i N�1, ), èçâåñòíû ñëåäû ðåøåíèÿ y y x t� ( , ) íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (1)–(8) y f x t i N iT i� � �( , ), ,1 , (9) ãäå � �iT i T� � ( , ]0 , i N�1, . Çàäà÷à (1)–(9) ñîñòîèò â íàõîæäåíèè âåêòîð-ôóíêöèè u�U, ïðè êîòîðîé ðå- øåíèå y y u y u x t� �( ) ( ; , ) íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (1)–(8) óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâàì (9). Çàäà÷ó (1)–(9) áóäåì ðåøàòü ïðèáëèæåííî. Äëÿ ýòîãî ñîñòàâèì ôóíêöèî- íàë-íåâÿçêó [3] J u t A u f dt i N T i i i L i ( ) ( ) | | | | ( ) � � � � % 1 0 2 2 � � , (10) ãäå Au A ui i N� �{ } 1 , A u y u x ti iT � ( ; , ) � ïðè çàäàííîì âåêòîðå u�U, | | | | ( ) � � � � � L i i i d 2 2 2� % , � i t( ) — âåñîâûå êîýôôèöèåíòû. Âìåñòî çàäà÷è (1)–(9) áóäåì ðåøàòü çàäà÷ó (1)–(8), (10), ñîñòîÿùóþ â íàõîæ- äåíèè âåêòîðà u�U, ïðè êîòîðîì ôóíêöèîíàë (10) ïðèíèìàåò ìèíèìàëüíîå çíà- ÷åíèå ïðè îãðàíè÷åíèÿõ (1)–(8). Èòåðàöèîííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äëÿ íàõîæäåíèÿ ïðèáëèæåíèÿ un � 1 ðå- øåíèÿ u çàäà÷è (1)–(8), (10) èìååò âèä 56 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 u u p n nn n n n� � � �1 0 1� , , , . . . , * , (11) è íà÷èíàåòñÿ ñ íåêîòîðîãî íà÷àëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ u0 �U, ãäå íàïðàâëåíèå ñïóñêà pn è êîýôôèöèåíò � n îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèìè âûðàæåíèÿìè [3]: — äëÿ ìåòîäà ìèíèìàëüíûõ îøèáîê p J e J n u n n u n n � & � & , | | | | | | | | � 2 2 ; (12) — äëÿ ìåòîäà ñêîðåéøåãî ñïóñêà p J J AJ n u n u u n n n � & � & & , | | | | | | | | � 2 2 ; (13) — äëÿ ìåòîäà ñîïðÿæåííûõ ãðàäèåíòîâ p J pn u n nn � & � ��� �1 0 0, , � �n u u n u n n J J J p Ap n n n� & & � & � | | | | | | | | , ( , ) | | | | 2 2 2 1 . (14) Ïðè ðåøåíèè çàäà÷è (1)–(8), (10) âìåñòî êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ y y u� ( ) çà- äà÷è (1)–(8) áóäåì èñïîëüçîâàòü åå îáîáùåííîå ðåøåíèå. Îïðåäåëåíèå 1. Ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì u�U îáîáùåííûì ðåøåíèåì íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (1)–(8) íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ y y u y u x t W T� � �( ) ( ; , ) ( , )0 , êîòîðàÿ ' �w x( ) � 0 óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñòâàì � � � � � � � � � � � 2 2 0 y t w a u y w l w t T, ( ; , ) ( ), ( , ] , ( )15 ( , ) ( , ),y w y w t� �0 0, (16) � � � � � � � � y t w y w t, ( , ),1 0, ( )17 ãäå W T x t L T V t t L T L( , ) ( , ) ( , ; ) : , ( , ; ( ))0 0 02 2 2 2 2� � � � � � �{� � � � }, V � �{� V : � �|�1T � }, V x t W i t T i i� � � �{ }� �( , ) : | ( ), , , ( , ]� � 2 1 1 2 0 , ( , )z w � � % zwdx, � �0 0� �{ ( ) :x V �|�1 0� }, a u y w u y x w x dx r y w d aywd i n i i i ( ; , ) [ ][ ]� � � � � � �% � % % �� �1 3� � �3 , l w f w gwd wd( ) ( ~ , )� � �% % � � � � 2 3 2 3� . Ñëåäóÿ [4], ëåãêî óñòàíîâèòü ñïðàâåäëèâîñòü ñëåäóþùåãî óòâåðæäåíèÿ. Òåîðåìà 1. Ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì u�U íà÷àëüíî-êðàåâàÿ çàäà÷à (1)–(8) èìååò åäèíñòâåííîå îáîáùåííîå ðåøåíèå y y u W T� �( ) ( , )0 . ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 57 Äëÿ äîïóñòèìîãî ïðèðàùåíèÿ (u âåêòîðà u�U íà îñíîâàíèè (15)–(17) ïðè- ðàùåíèå � (y ðåøåíèÿ y y u� ( ) çàäà÷è (15)–(17) ìîæåì îïðåäåëèòü êàê ðåøå- íèå ñëåäóþùåé çàäà÷è: íàéòè ôóíêöèþ � �( , ) ( , )x t W T0 0 , êîòîðàÿ ' �w x( ) � 0 óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå òîæäåñòâ � � � � � � � � � � � 2 2 0 t w a u w l u w t T, ( ; , ) ( ; ), ( , ]( , ( )18 ( , )( ) w 0 0� , (19) � � � � � � � t w, ( )0 0, (20) ãäå W T L T V0 2 00 0( , ) ( , ; )� , V V T 0 1 0� � �{ }� �: |� , l u w l u w ( ; ) ( ; )( (� 1 , l u w u y x w x dx i n i i i 1 1 ( ; )( ( � � � � � � �% � � . Çàìå÷àíèå 1. Åñëè U � �R n2 (R� � )( , )0 ), òî ïðèðàùåíèå � (y ìîæåì îïðå- äåëèòü êàê ðåøåíèå ñëåäóþùåé çàäà÷è: � � � � � � � � � � � � � 2 2 1 2 2 1 2 2 t u x u y x x t i n i i i n i i T( �, ( , ) , |�1 0 T � , i n i i i i n i i iu x x u y x x x t � � � �� � � � � �1 1 � �cos ( , ) cos ( , ), ( ,( )��2T , i n i i i i n i i iu x x u y x x � � � �� � � � � � �1 1 � � �cos ( , ) cos ( , ), (( x t T, )��3 , (21) i n i i i i n i i u x x u y x� � � �� � � � � � � � � � � � � �1 1 � �cos ( , ) cos ( ,( x x ti T) , ( , ) � � � � � � � � �� , i n i i i i n iu x x r u y x� � � � �� � � � � � ! " � #� � � � �1 1 � cos ( , ) [ ] ( i i Tx x tcos ( , ) , ( , )� � � � � � ! " � #� � � , ( , ) , ( , ) ,x t x x0 0 0 0� � � � ��. Îïðåäåëåíèå 2. Îáîáùåííûì ðåøåíèåì íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (21) íà- çûâàåòñÿ ôóíêöèÿ � �( , ) ( , )x t W T0 0 , êîòîðàÿ ' �w x( ) � 0 óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå òîæäåñòâ � � � � � � � � � � � 2 2 2 0 t w a u w l u w t T, ( ; , ) ( ; ), ( , ]( , (22) ( , )( ) , , ( ) w t w0 0 0 0� � � � � � � � , (23) ãäå l u w u y x w u y xi n i i i n i i 2 1 2 2 1 ( ; ) , c( ( (� � � � � � � � � � � �� � � � os ( , ), ( ) � x wi L � � � � � � � 2 2� 58 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 � � � � � � � � � � � � � % � i n i i i L i n iu y x x w u 1 1 2 3 ( ( � cos ( , ), ( ) � � � � � � � � ! " � #� � � �y x x w d i icos ( , )� � � � � � � � � ! " � #� % � � � � � � � i n i i iu y x x w d 1 ( cos ( , ) . (24) Ïðè ôèêñèðîâàííûõ u u y, ,( ðåøåíèå �W T0 0( , ) çàäà÷è (22), (23) ñóùåñ- òâóåò è åäèíñòâåííî. Äëÿ êàæäîãî ïðèáëèæåíèÿ un ðåøåíèÿ u çàäà÷è (15)–(17), (10) ââåäåì â ðàñ- ñìîòðåíèå ñîïðÿæåííóþ íà÷àëüíî-êðàåâóþ çàäà÷ó � � � � � � � � �� � �� � � � � 2 2 1 0 � t x u x x t i n i i i T d, ( , ) \� , �1 0 T � , i n i i i Tu x x x t � � � � � � 1 20 �cos ( , ) , ( , ) � , i n i i i Tu x x x t � � � � � � � 1 3 � � cos ( , ) , ( , ) � , (25) i n i i i Tu x x r x t � � � � � � � � � ! " � #� � � 1 � �cos ( , ) [ ], ( , ) , [ ] , cos ( , ) ( ( ) ), � �� � � � � � � � � � � � � � � �0 1i n i i i j n ju x x y u f ( , ) , ,x t j NjT� �� 1 , ( , ) , ( , ) ,x T t x T x� � � � � �0 0 1 2� � , ãäå � �d i N iT� � � 1 . Îïðåäåëåíèå 3. Îáîáùåííûì ðåøåíèåì íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (25) íà- çûâàåòñÿ ôóíêöèÿ ( , ) ( , )x t W Td� 0 , êîòîðàÿ * �w x d( ) � 0 óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå òîæäåñòâ � � � � � � � � � � � 2 2 0 t w a u w l u w t T, ( ; , ) ( ; ), ( , ] , (26) ( , )( ) , , ( ) w T t w T� � � � � � � �0 0, ( )27 ãäå W T x t L T v t v t L T Ld d( , ) ( , ) ( , ; ) : , ( , ; (0 0 02 2 2 2 2� � � � � � �{� � � ))}, � � � �d dx t V v i N T iT � � � � �{ }( , ) : | , [ ]| , ,�1 0 0 1 , V x t W j N t Td jj � � � � �{ }� �( , ) : | ( ), , , ( , ]� � 2 1 0 1 0 , ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 59 � � � � �d dx V j N j0 0 1 0 0 1� � � � �{ }( ) : | , [ ]| , ,� , V x W i Nd ii0 2 1 0 1� � � �{ }� �( ) : | ( ), ,� � , l u w t y f w j N j j j L j ��( ; ) ( )( , ) ( )� � � � 1 2 . (28) Îáëàñòè � j , j N� �0 1, , îáðàçîâàíû ðàçáèåíèåì îáëàñòè � ïîâåðõíîñòÿìè � j , j N�1, . Âûáèðàÿ â òîæäåñòâàõ (26), (27) âìåñòî ôóíêöèè w ðàçíîñòü y u y un n( ) ( )� �1 , ñ ó÷åòîì ïðåäñòàâëåíèÿ ôóíêöèîíàëà l u w ( ; )( � l u w 1 ( ; )( è òîæäåñòâ (18)–(20), èìååì & �Ju nn ~ , (29) ãäå ~ ~ , ~ , | | | | n ni i N ni i i u T y x x J T n � � � � � � � + + + & ��{ } 1 2 0 1 � % % � �� i N ni dxdt 1 2 1 ~ , (30) N1 — ðàçìåðíîñòü îáëàñòè �. Çàìå÷àíèå 2.Ôîðìóëû (30) ïîçâîëÿþò âîññòàíàâëèâàòü êîýôôèöèåíòû ui óðàâíåíèÿ (1) êàê ôóíêöèè ïåðåìåííûõ ( , )x t , ò.å. äëÿ ñëó÷àÿ U � � �� �( ( )) ( ( ))C CT n T n� �1 2 , C x t C x tlT lT� � � �( ) ( , ) ( ) : ( , )� �{ }� � 0 . Åñëè u u xi i� ( ), òî ~ ni T i i y x x dt� � � � � �% 0 , | | | | ~ J dxu i N nin & � % � � 2 1 2 1 � . Åñëè ui � �const 0, ò.å. U � �R n2 , òî ~ ni j T i i j y x x dxdt� � � � � �% % 0 � , | | | | ( ~ )& � � � � �Ju i N j ni j n 2 1 1 2 2 1 . (31) Åñëè u u ti i� ( ), òî ~ ni j i i j y x x dx� � � � � �% � , | | | | ( ~ )& � % � � � � J dtu T j i N ni j n 2 0 1 2 1 2 1 . Çàìå÷àíèå 3. Åñëè U � �R n2 , òî âìåñòî ôîðìóë (31) íà îñíîâàíèè ðàâåíñòâà l u w l u w ( ; ) ( ; )( (� 2 , ñ ó÷åòîì òîæäåñòâ (22), (23), èìååì ~ , cos ( , ( ) �ni j T i L T i y x dt y x x j � � � � � � � � � � � �% % 0 2 2 0 2 � i L j dt), ( ) � �� � �� � �2 2� � � � � � �� � �� � � % % % � �0 02 3 T i i L T y x x dt y j j cos( , ), ( ) � �� � � � � � ! " # � � � � x x d dt i i jcos( , ) ( )� � � � � � � � ! " # �% % � � � 0 T i i j j y x x d dt � � � � �cos ( , ) ( ) , | | | | ( ~ )& � � � � �Ju i N j ni j n 2 1 1 2 2 1 . 60 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ðåàëèçàöèè ìåòîäà ìèíèìàëüíûõ îøèáîê (11), (12) íà- ïðàâëåíèå ñïóñêà pn è êîýôôèöèåíò � n ìîæåì îïðåäåëèòü ñ ïîìîùüþ âûðàæåíèé (12). Ðåøèâ çàäà÷ó íàõîæäåíèÿ ôóíêöèè z x t W Tn( ~ ; , ) ( , ) � 0 , óäîâëåòâîðÿþùåé ' �w � 0 òîæäåñòâàì � � � � � � � � � � � 2 2 0 z t w a z w l w t Tn, ( ~ ; , ) ( ), ( , ] , (32) ( , )( ) ( , ), , ( ) ( , )z w y w z t w y w0 00 1� � � � � � � � , (33) íàéäåì AJ z Ju i u i N n n & � & �{ }( ) 1 , (34) ãäå z J z x ti u nn iT ( ) ( ~ ; , ) |& � � , i N�1, . Ó÷èòûâàÿ (34), ìîæåì ðåàëèçîâàòü ìåòîä ñêîðåéøåãî ñïóñêà (11), (13) äëÿ îïðåäåëåíèÿ ( )n �1 -ãî ïðèáëèæåíèÿ un � 1 ðåøåíèÿ u çàäà÷è (15)–(17), (10). Èìåÿ &Jun , pn�1, & � Jun 1 , ìîæåì îïðåäåëèòü íàïðàâëåíèå ñïóñêà pn ñ ïîìîùüþ ôîðìóë (14). Ýòî ïîçâîëèò ðåøèòü çàäà÷ó îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè z p z p x t W Tn n( ) ( ; , ) ( , )� � 0 , êîòîðàÿ ' �w x( ) � 0 óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå òîæäåñòâ � � � � � � � � � � � 2 2 0 z t w a p z w l w t Tn, ( ; , ) ( ), ( , ] , (35) ( , )( ) ( , ), , ( ) ( , )z w y w z t w y w0 00 1� � � � � � � � . ( )36 Íà îñíîâàíèè ðåøåíèÿ z pn( ) çàäà÷è (35), (36) ïîëó÷èì âåêòîð Ap z pn i n i N� �{ }( ) 1 , (37) ãäå z p z pi n n iT ( ) ( ) |� � , i N�1, . Ó÷èòûâàÿ (37), ìîæåì èñïîëüçîâàòü ìåòîä ñîïðÿæåííûõ ãðàäèåíòîâ (11), (14) äëÿ îïðåäåëåíèÿ ( )n �1 -ãî ïðèáëèæåíèÿ un � 1 ðåøåíèÿ u çàäà÷è (15)–(17), (10). Çàìå÷àíèå 4. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ &Jun , AJun & , pn , Apn â çàäà÷å (18)–(20) â êà÷åñ- òâå l u w ( ; )( èñïîëüçóåì l u w 1 ( ; )( ; åñëè U � �R n2 , òî ìîæíî ïîëàãàòü òàêæå l u w l u w ( ; ) ( ; )( (� 2 . 2. ÈÄÅÍÒÈÔÈÊÀÖÈß ÓÄÅËÜÍÛÕ ÏËÎÒÍÎÑÒÅÉ È ÌÀÑÑÎÂÛÕ ÑÈË Ïóñòü íà îáëàñòè � �T T� � ( , )0 (îáëàñòü � îïðåäåëåíà â ðàçä. 1) îïðåäåëåíî ãèïåðáîëè÷åñêîå óðàâíåíèå u y t x k x y x u i j n i ij j 1 2 2 1 2 � � � � � � � � � � � � � � � � , ( ) , (38) ãäå u u u C C L T LT T� � � � �� �( , ) ( ( ) ( )) ( , ; ( ))1 2 1 2 2 20U � � � , i j n ij i j i n i i jk R x , , , , � � � �$ � � 1 0 1 2 1� � � � � � �. (38&) ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 61 Íà ãðàíèöå �T çàäàíû ñìåøàííûå êðàåâûå óñëîâèÿ y T |�1 � �, (39) i j n ij j i Tk y x x g x t , cos ( , ) , ( , ) � � � � � � 1 2� � , (40) i j n ij j i Tk y x x y x t , cos ( , ) , ( , ) � � � � � � � � 1 3� � � � . (41) Íà ó÷àñòêå � ðàçäåëà îáëàñòåé � �1 2, óñëîâèÿ ñîïðÿæåíèÿ èìåþò âèä i j n ij j ik y x x t T , cos ( , ) , ( , ] � � � � � � � � � � � � � � 1 0 0� , (42) i j n ij j ik y x x r y t T , cos ( , ) [ ], ( , ] � � � � � � � � � ! " � #� � � 1 0� . (43) Ïðè t � 0 çàäàíû íà÷àëüíûå óñëîâèÿ y x y x x( , ) ( ),0 0 1 2� � �� � , (44) � � � � � y t x y x x( , ) ( ),0 1 1 2� � . ( )45 Ïðåäïîëàãàåì, ÷òî íà N ( )n �1 -ìåðíûõ îáëàñòÿõ � i , ðàçáèâàþùèõ îáëàñòü� íà N � 2 îáëàñòåé � j , èçâåñòíû ñëåäû ðåøåíèÿ y y x t� ( , ) íà÷àëüíî-êðàåâîé çà- äà÷è (38)–(45), çàäàííûå ðàâåíñòâàìè (9). Òåì ñàìûì ïîëó÷åíà çàäà÷à îïðåäåëå- íèÿ âåêòîðà u�U, ïðè êîòîðîì ðåøåíèå y y u� �( ) y u x t( ; , ) çàäà÷è (38)–(45) óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâàì (9). Âìåñòî ðåøåíèÿ y y u� ( ) çàäà÷è (38)–(45) áóäåì èñïîëüçîâàòü åå îáîáùåííîå ðåøåíèå. Îïðåäåëåíèå 4. Îáîáùåííûì ðåøåíèåì íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (38)–(45) íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ y y u W T� �( ) ( , )0 , êîòîðàÿ ' �w x( ) � 0 óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå òîæäåñòâ u y t w a y w l u w t T1 2 2 0 � � � � � � � � � � �, ( , ) ( ; ), ( , ] , (46) ( , )( ) ( , )( )u y w u y w1 1 00 0� , (47) u y t w u y w1 1 10 0 � � � � � � �, ( ) ( , )( ), (48) ãäå ìíîæåñòâà W T( , )0 , � 0 îïðåäåëåíû â ðàçä. 1, a y w k y x w x dx r y w dy yw i j n ij j i ( , ) [ ][ ] , � � � � � � �% � % % �� �1 3� � d�3 , l u w u w g w wL L( ; ) ( , ) ( , ) ( , )( ) ( )� � �2 2 2 2 3� �� . (48&) 62 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 Çàìåòèì, ÷òî ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì u�U ðåøåíèå çàäà÷è (46)–(48) y y u W T� �( ) ( , )0 ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî. Äëÿ ïðèðàùåíèÿ (u âåêòîðà u�U íà îñíîâàíèè (38)–(45) ïðèðàùåíèå � (y ðåøåíèÿ çàäà÷è (38)–(45) ìîæåì îïðåäåëèòü êàê ðåøåíèå ñëåäóþùåé íà÷àëü- íî-êðàåâîé çàäà÷è: u t x k x u y t u i j n i ij j 1 2 2 1 1 2 2 2 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � , ( ( , ( , )x t T�� , |�1 0 T � , i j n ij j i Tk x x x t , cos ( , ) , ( , ) � � � � � � 1 20 � � , i j n ij j i Tk x x x t , cos ( , ) , ( , ) � � � � � � � 1 3 � � � , (49) i j n ij j i Tk x x x t , cos ( , ) , ( , ) � � � � � � � � � � � � � � 1 0 � � , i j n ij j i Tk x x r x t , cos ( , ) [ ], ( , ) � � � � � � � � � ! " � #� � � 1 � � , ( , ) , ( , ) ,x t x x0 0 0 0� � � � ��. Îïðåäåëåíèå 5. Îáîáùåííûì ðåøåíèåì íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (49) íà- çûâàåòñÿ ôóíêöèÿ ( , ) ( , )x t W T� 0 0 , êîòîðàÿ ' �w x( ) � 0 óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå òîæäåñòâ u t w a w l u w t T1 2 2 0 � � � � � � � � � � � , ( , ) ( ; ), ( , ]( , ( )50 ( , )( ) , , ( )u w u t w1 10 0 0 0 � � � � � � � � , ( )51 ãäå l u w u y t w u w ( ; ) , ( , )( ( (� � � � � � � � � � �1 2 2 2 . (52) Äëÿ êàæäîãî ïðèáëèæåíèÿ un ðåøåíèÿ u�U çàäà÷è (46)–(48), (10) ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ñîïðÿæåííóþ çàäà÷ó, ñîñòîÿùóþ â íàõîæäåíèè ôóíêöèè ( , ) ( , )x t W Td� 0 , êîòîðàÿ ' �w x d( ) � 0 óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå òîæäåñòâ u t w a w l u w1 2 2 � � � � � � � � � � , ( , ) ( ; ), ( )52& ( , )( ) , , ( )u w T u t w T1 10 0 � � � � � � � � , ãäå âûðàæåíèå l u w ( ; ) èìååò âèä (28). Âûáèðàÿ â òîæäåñòâàõ (52&) âìåñòî ôóíêöèè w ðàçíîñòü y un( )� �1 y un( ), ñ ó÷åòîì (50), (51) ïîëó÷àåì & �Ju nn ~ , (53) ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 63 ãäå ~ ( ~ , ~ ) n n n� 1 2 , ~ ( ~ , ~ ) n n ni i i � 1 2 , ~ | n j y t j1 2 2 � � � � � , i j, ,�1 2; ~ | n j jT2 � � , | | | | | | ~ | | | | ~ ( ) J dtu j T n j L T j nn j & � � � � � % % �2 1 2 0 2 0 1 2 1 2 � 2 2 2| | ( )L j dt � . Çàìå÷àíèå 5.Åñëè u j1|� � const, òî ~ n j T j j y t d dt 1 0 2 2 � � � � % % � � . Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ðåàëèçàöèè ìåòîäà ìèíèìàëüíûõ îøèáîê (11), (12) íà- ïðàâëåíèå ñïóñêà pn è êîýôôèöèåíò � n ìîæåì îïðåäåëèòü ñ ïîìîùüþ âûðàæåíèé (12). Ðåøèâ çàäà÷ó íàõîæäåíèÿ ôóíêöèè z x t W Tn( ~ ; , ) ( , ) � 0 , óäîâëåòâîðÿþùåé ' �w x( ) � 0 òîæäåñòâàì ~ , ( , ) ( ~ ; ), ( , ] n n z t w a z w l w t T 1 2 2 0 � � � � � � � � � � � , (54) ( ~ , )( ) ( ~ , )( ) n nz w y w 1 1 0 00� , (55) ~ , ( ) ( ~ , )( ) n n z t w y w 1 1 0 01 � � � � � � � , ( )56 íàéäåì AJ z Ju i u i N n n & � & �{ }( ) 1 , (57) ãäå z J z x ti u nn iT ( ) ( ~ ; , ) |& � � , i N�1, . Ó÷èòûâàÿ (57), ìîæåì ðåàëèçîâàòü ìåòîä ñêîðåéøåãî ñïóñêà (11), (13) äëÿ îïðåäåëåíèÿ ( )n �1 -ãî ïðèáëèæåíèÿ un � 1 ðåøåíèÿ u çàäà÷è (46)–(48), (10). Èìåÿ &Jun , pn�1, & � Jun 1 , ìîæåì îïðåäåëèòü íàïðàâëåíèå ñïóñêà pn ñ ïîìîùüþ ôîðìóë (14) . Ýòî ïîçâîëèò ðåøèòü çàäà÷ó îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè z p z p x t W Tn n( ) ( ; , ) ( , )� � 0 , êîòîðàÿ ' �w x( ) � 0 óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìe òîæäåñòâ p z t w a z w l p w t Tn n1 2 2 0 � � � � � � � � � � �, ( , ) ( ; ), ( , ] , (58) ( , )( ) ( , )( )p z w p y wn n1 1 0 00� , (59) p z t w p y wn n1 1 0 01 � � � � � � �, ) ( ) ( , )( ). ( )60 Íà îñíîâàíèè ðåøåíèÿ z pn( ) çàäà÷è (58)–(60) ïîëó÷èì âåêòîð Ap z pn i n i N� �{ }( ) 1 , (61) ãäå z p z p x ti n n iT ( ) ( ; , ) |� � , i N�1, . Ó÷èòûâàÿ (61), ìîæåì èñïîëüçîâàòü ìåòîä ñîïðÿæåííûõ ãðàäèåíòîâ (11), (14) äëÿ îïðåäåëåíèÿ ( )n �1 -ãî ïðèáëèæåíèÿ un � 1 ðåøåíèÿ u çàäà÷è (46)–(48), (10). 64 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 3. ÏÀÐÀÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÀß ÈÄÅÍÒÈÔÈÊÀÖÈß ÌÀÑÑÎÂÛÕ ÑÈË Ïóñòü íà îáëàñòè �T îïðåäåëåíî ãèïåðáîëè÷åñêîå óðàâíåíèå � � � � � � � � � � � � � � � � � 2 2 1 y t x k y x u i j n i ij j, . (62) Íà ãðàíèöå �T çàäàíû êðàåâûå óñëîâèÿ (39)–(41). Íà ó÷àñòêå � T èìååì óñëîâèÿ ñîïðÿæåíèÿ (42), (43), à ïðè t � 0 — íà÷àëüíûå óñëîâèÿ (44), (45). Ïðåäïîëàãàåì, ÷òî íà N ( )n �1 -ìåðíûõ îáëàñòÿõ � i , ðàçáèâàþùèõ îáëàñòü� íà N � 2 îáëàñòåé � j , èçâåñòíû ñëåäû ðåøåíèÿ y y x t� ( , ) íà÷àëüíî-êðàåâîé çà- äà÷è (62), (39)–(45), çàäàííûå ðàâåíñòâàìè (9). Òåì ñàìûì ïîëó÷åíà çàäà÷à (62), (39)–(45), (9), ñîñòîÿùàÿ â íàõîæäåíèè ôóíêöèè u u x t L T L� � �( , ) ( , ; ( ))U 2 20 � , ïðè êîòîðîé ðåøåíèå y y u y u x t� �( ) ( ; , ) íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (62), (39)–(45) óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâàì (9). Âìåñòî ðåøåíèÿ y y u� ( ) çàäà÷è (62), (39)–(45) áóäåì èñïîëüçîâàòü åå îáîáùåííîå ðåøåíèå. Îïðåäåëåíèå 6. Îáîáùåííûì ðåøåíèåì íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (62), (39)–(45) íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ y u W T( ) ( , )� 0 , êîòîðàÿ ' �w x( ) � 0 óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìe òîæäåñòâ � � � � � � � � � � � � 2 2 0 y t w a y w l u w t T, ( , ) ( ; ), ( , ], (63) ( , )( ) ( , )� �y w y w0 0� , (64) � � � � � � � � � y t w y w, ( ) ( , )0 1 , ( )65 ãäå áèëèíåéíàÿ ôîðìà a ( , ), , îïðåäåëåíà ñîîòâåòñòâóþùèì âûðàæåíèåì (48&), l u w u w g w wL L( ; ) ( , ) ( , ) ( , )( ) ( )� � � 2 2 2 3� �� . Äëÿ ïðèðàùåíèÿ (u âåêòîðà u�U íà îñíîâàíèè òîæäåñòâ (63)–(65) ïðèðàùå- íèå � (y ðåøåíèÿ çàäà÷è (63)–(65) ìîæåì îïðåäåëèòü êàê ðåøåíèå ñëåäóþùåé çàäà÷è: íàéòè ôóíêöèþ � �( , ) ( , )x t W T0 0 , êîòîðàÿ ' �w x( ) � 0 óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå òîæäåñòâ � � � � � � � � � � � � 2 2 0 t w a w l u w t T, ( , ) ( ; ), ( , ]( , (66) ( , )( ) , , ( )� � w t w0 0 0 0� � � � � � � � , (67) ãäå l u w u w ( ; ) ( , )( (� . (67&) Ïóñòü H m — íåêîòîðîå ïîäïðîñòðàíñòâî ïðîñòðàíñòâà U ñ áàçèñîì { }� i i mx t( , ) �1 . Ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ ~u H m� - U ïðåäñòàâèìà â âèäå ~ ( , ) ( , ), , ,u x t x t R i m i m i i i� � � � � 1 1 1� � � . (68) Âìåñòî çàäà÷è (63)–(65), (10), ãäå u�U, ðàññìîòðèì äàííóþ çàäà÷ó ïðè u H m� . ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 65 Ñëåäîâàòåëüíî, ( (~ ( , )u x t i m i i� � � 1 � � . (69) Òîãäà â çàäà÷å (66), (67) âìåñòî (67&) èìååì l u w w i m i i � �( ; ) ( , )( (� � � 1 . (70) Äëÿ êàæäîãî ïðèáëèæåíèÿ u u Hn n m� � -~ U çàäà÷è (63)–(65), (10), (68) ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ñëåäóþùóþ ñîïðÿæåííóþ çàäà÷ó: � � � � � � � � � � � � � � � � � � 2 2 1t x k x x t i j n i ij j T d , , ( , ) \� , |�1 0 T � , i j n ij j i Tk x x x t , cos ( , ) , ( , ) � � � � � � 1 20 � � , i j n ij j i Tk x x x t , cos ( , ) , ( , ) � � � � � � � 1 3 � � � , (71) i j n ij j i Tk x x r x t , cos ( , ) [ ], ( , ) � � � � � � � � � ! " � #� � � 1 � � , [ ] , ( , ) �� �0 x t lT , i j n ij j i l n lk x x y u f x , cos ( , ) ( ( ) ), ( , � � � � � � � � � � � � � � � 1 � � t l NlT) , ,� �� 1 , ( , ) , ( , ) ,x T t x T x� � � � �0 0 �. Îïðåäåëåíèå 7. Îáîáùåííûì ðåøåíèåì íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (71) íà- çûâàåòñÿ ôóíêöèÿ ( , ) ( , )x t W Td� 0 , êîòîðàÿ ' �w x d( ) � 0 óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìe òîæäåñòâ � � � � � � � � � � � � 2 2 0 t w a w l w t T, ( , ) ( ), ( , ], (72) ( , )( ) , , ( )� � w T t w T� � � � � � � �0 0, ãäå l w t y u f w j N j n j L j ��( ) ( )( ( ) , ) ( )� � � � 1 2 . (73) Âûáèðàÿ â òîæäåñòâàõ (72) âìåñòî ôóíêöèè w ðàçíîñòü y un( )� �1 � y un( ), ñ ó÷åòîì (66), (67), (70) èìååì 0 1 1 1 2 T j N j n j n n L i m t y u f y u y u dt j% � � � � � � �� �( )( ( ) , ( ) ( )) ( ) � %(� � i T i dt 0 ( , ) . (74) 66 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 Ñ ó÷åòîì (74) èìååì & �Ju nn ~ , (75) ãäå ~ ~ n n i m i � �{ } 1 , ~ ( , ) � n T ii dt� % 0 . Çàìå÷àíèå 6.  ñèëó òîãî, ÷òî óðàâíåíèå (62) îïðåäåëåíî íà îáëàñòÿõ � jT , j �1 2, , òî ìîæíî ïðåäïîëîæèòü H H Hm m m� � 1 2 , m m m� �1 2 , ò.å. u u x tj� ( , ) ïðè ( , )x t jT�� . Èìååì ~ ( , ) ~ ( , )u x t u x tj� ïðè ( , )x t jT�� è ~ ( , ) ( , ), ,u x t a x t jj i m i j i j j � � � � 1 1 2� . (74&) Ñëåäîâàòåëüíî, l u w l u w a w j i m i j i j L j j �( ; ) ( ~, ) ( , ) ( )( ( ( �� � � � � � 1 2 1 2 . (75&) Ñ ó÷åòîì (66), (67), (72), (75&) èìååì & �Ju nn ~ , ãäå ~ ( ~ , ~ ) n n n� 1 2 , ~ ~ n n i i m j j j� �{ } 1 , ~ ( , ) ( ) � n i i j L j j � 2 � . Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ðåàëèçàöèè ìåòîäà ìèíèìàëüíûõ îøèáîê (11), (12) íà- ïðàâëåíèå ñïóñêà pn è êîýôôèöèåíò � n ìîæåì îïðåäåëèòü ñ ïîìîùüþ âûðàæå- íèé (12). Ðåøèâ çàäà÷ó íàõîæäåíèÿ ôóíêöèè z x t W Tn( ~ ; , ) ( , ) � 0 , óäîâëåòâîðÿ- þùåé ' �w � 0 òîæäåñòâàì � � � � � � � � � � � � � � � � 2 2 1 2 1 2 z t w a z w w j i m nj i i j L j , ( , ) ~ ( , ) ( )� j � � � �( , ) ( , ) , ( , ]( ) ( )g w w t TL L2 2 2 3 0� �� , ( , )( ) ( , ), , ( ) ( , )� � � �z w y w z t w y w0 00 1� � � � � � � � , îïðåäåëèì AJ z Ju i u i N n n & � & �{ }( ) 1 , (76) ãäå z J z x ti u nn iT ( ) ( ~ ; , ) |& � � , i N�1, . Ó÷èòûâàÿ (76), ìîæåì ðåàëèçîâàòü ìåòîä ñêîðåéøåãî ñïóñêà (11), (13) äëÿ îïðåäåëåíèÿ ( )n �1 -ãî ïðèáëèæåíèÿ un � 1 ðåøåíèÿ u çàäà÷è (63)–(65), (10), (74&). Ìîæåì îïðåäåëèòü íàïðàâëåíèå ñïóñêà pn ñ ïîìîùüþ ôîðìóë (14). Ýòî ïîçâî- ëèò ðåøèòü çàäà÷ó îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè z pn( ) � z p x t W Tn( ; , ) ( , )� 0 , êîòîðàÿ ' �w x( ) � 0 óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìe òîæäåñòâ � � � � � � � � � � � � � � � � 2 2 1 2 1 2 z t w a z w p w j i m nj i i j L j , ( , ) ( , ) (� j ) � � � �( , ) ( , ) , ( , ]( ) ( )g w w t TL L2 2 2 3 0� �� , (77) ( , )( ) ( , ), , ( ) ( , )� � � �z w y w z t w y w0 00 1� � � � � � � � . ( )78 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 67 Íà îñíîâàíèè ðåøåíèÿ z pn( ) çàäà÷è (77), (78) ïîëó÷èì âåêòîð Ap z pn i n i N� �{ }( ) 1 , (78&) ãäå z p z p x ti n n iT ( ) ( ; , ) |� � , i N�1, . Ó÷èòûâàÿ (78&), ìîæåì èñïîëüçîâàòü ìåòîä ñîïðÿæåííûõ ãðàäèåíòîâ (11), (14) äëÿ îïðåäåëåíèÿ ( )n �1 -ãî ïðèáëèæåíèÿ un � 1 ðåøåíèÿ u çàäà÷è (63)–(65), (10), (74&). 4. ÇÀÄÀ×À ÈÄÅÍÒÈÔÈÊÀÖÈÈ ÏÀÐÀÌÅÒÐÀ ÑËÀÁÎÏÐÎ×ÍÎÃÎ ÂÊËÞ×ÅÍÈß Ïóñòü íà îáëàñòè �T îïðåäåëåíî óðàâíåíèå � � � � � � � � � � � � � � � � � 2 2 1 y t x k y x f i j n i ij j, ~ . (79) Íà ãðàíèöå �T çàäàíû êðàåâûå óñëîâèÿ (39)–(41). Íà ó÷àñòêå � T óñëîâèÿ ñî- ïðÿæåíèÿ èìåþò âèä i j n ij j ik y x x , cos ( , ) � � � � � � � � � � � � � 1 0� , (80) i j n ij j ik y x x u y , cos ( , ) [ ] � � � � � � � � � ! " � #� � 1 � . (81) Ïðè t � 0 çàäàíû íà÷àëüíûå óñëîâèÿ (44), (45). Ïðåäïîëàãàåì, ÷òî íà N ( )n �1 -ìåðíûõ îáëàñòÿõ � i , ðàçáèâàþùèõ îáëàñòü� íà N � 2 îáëàñòè � j , èçâåñòíû ñëåäû ðåøåíèÿ y y x t� ( , ) íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà- ÷è (79), (39)–(41), (44), (45), (80), (81), çàäàííûå ðàâåíñòâàìè (9). Îïðåäåëåíèå 8. Ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì u R� � �U îáîáùåííûì ðåøå- íèåì íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (79), (39)–(41), (44), (45), (80), (81) íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ y y u y u x t W T� � �( ) ( ; , ) ( , )0 , êîòîðàÿ ' �w x( ) � 0 óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå òîæäåñòâ � � � � � � � � � � � � 2 2 0 y t w a u y w l w t T, ( ; , ) ( ), ( , ], (82) ( , )( ) ( , )� �y w y w0 0� , (83) � � � � � � � � � y t w y w, ( ) ( , )0 1 , (84) ãäå a u y w k y x w x dx u y w d i j n ij j i ( ; , ) [ ][ ] , � � � � � � �% � % % �� �1 3� � �ywd�3 , l w f w g w wL L( ) ( ~ , ) ( , ) ( , )( ) ( )� � � 2 2 2 3� �� . Äëÿ ïðèðàùåíèÿ (u ïàðàìåòðà u�U íà îñíîâàíèè (82)–(84) ïðèðàùåíèå � (y ðåøåíèÿ y y u� ( ) çàäà÷è (82)–(84) ìîæåì îïðåäåëèòü êàê ðåøåíèå çàäà÷è 68 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 � � � � � � � � � � � � 2 2 0 t w a u w l u w t T, ( ; , ) ( ; ), ( , ]( , (85) ( , )( ) , , ( )� � w t w0 0 0 0� � � � � � � � , ( )86 ãäå l u w u y u w d � �( ; ) [ ( )][ ]( (� � % . (87) Äëÿ êàæäîãî ïðèáëèæåíèÿ un ðåøåíèÿ u�U çàäà÷è (82)–(84), (10) ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ñëåäóþùóþ ñîïðÿæåííóþ çàäà÷ó: � � � � � � � � � � � � � � � � � � 2 2 1t x k x x t i j n i ij j T d , , ( , ) \� , |�1 0 T � , i j n ij j i Tk x x x t , cos ( , ) , ( , ) � � � � � � 1 20 � � , i j n ij j i Tk x x x t , cos ( , ) , ( , ) � � � � � � � 1 3 � � � , (88) i j n ij j i n Tk x x u x t , cos ( , ) [ ], ( , ) � � � � � � � � � ! " � #� � � 1 � � , [ ] , ( , ) �� �0 x t lT , i j n ij j i l n lk x x y u f x , cos ( , ) ( ( ) ), ( , � � � � � � � � � � � � � � � 1 � � t l NlT) , ,� �� 1 , ( , ) , ( , )x T t x T� � � �0 0. Îïðåäåëåíèå 9. Îáîáùåííûì ðåøåíèåì íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (88) íà- çûâàåòñÿ ôóíêöèÿ ( , ) ( , )x t W Td� 0 , êîòîðàÿ ' �w x d( ) � 0 óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå òîæäåñòâ � � � � � � � � � � � � 2 2 0 t w a u w l w t Tn, ( ; , ) ( ), ( , ] , (89) ( , )( ) , , ( )� � w T t w T� � � � � � � �0 0, (90) ãäå l w ( ) èìååò âèä (73). Âûáèðàÿ â òîæäåñòâàõ (89), (90) âìåñòî ôóíêöèè w ðàçíîñòü y u y un n( ) ( )� �1 , ñ ó÷åòîì (85), (86) èìååì 0 1 1 0 2 T j N j n j n n L n T y u f y u y u dt u j% � % � �� � � �� �( ( ) , ( ) ( )) ( ) ( � �% [ ( )][ ]y u d dtn . Ñëåäîâàòåëüíî, & �Ju nn ~ , (91) ãäå ~ [ ( )][ ] � � n T ny u d dt� � % % 0 . ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 69 Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ðåàëèçàöèè ìåòîäà ìèíèìàëüíûõ îøèáîê (11), (12) íà- ïðàâëåíèå ñïóñêà pn è êîýôôèöèåíò � n ìîæåì îïðåäåëèòü ñ ïîìîùüþ âûðàæåíèé (12). Ðåøèâ çàäà÷ó íàõîæäåíèÿ ôóíêöèè z x t W Tn( ~ ; , ) ( , ) � 0 , óäîâëåòâîðÿþùåé ' �w x( ) � 0 òîæäåñòâàì � � � � � � � � � � � � 2 2 0 z t w a z w l w t Tn, ( ~ ; , ) ( ), ( , ] , ( )92 ( , )( ) ( , )� �z w y w0 0� , (93) � � � � � � � � � z t w y w, ( ) ( , )0 1 , (94) íàéäåì AJ z Ju i u i N n n & � & �{ }( ) 1 , (95) ãäå z J z x ti u nn iT ( ) ( ~ ; , ) |& � � , i N�1, . Ó÷èòûâàÿ (95), ìîæåì ðåàëèçîâàòü ìåòîä ñêîðåéøåãî ñïóñêà (11), (13) äëÿ îïðåäåëåíèÿ ( )n �1 -ãî ïðèáëèæåíèÿ un � 1 ðåøåíèÿ u çàäà÷è (82)–(84), (10). Èìåÿ &Jun , pn�1, & � Jun 1 , ìîæåì îïðåäåëèòü íàïðàâëåíèå ñïóñêà pn ñ ïîìîùüþ ôîðìóë (14) . Ýòî ïîçâîëèò ðåøèòü çàäà÷ó íàõîæäåíèÿ ôóíêöèè z p z p x t W Tn n( ) ( ; , ) ( , )� � 0 , êîòîðàÿ ' �w x( ) � 0 óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìe òîæäåñòâ � � � � � � � � � � � � 2 2 0 z t w a p z w l w t Tn, ( ; , ) ( ), ( , ] , (96) ( , )( ) ( , )� �z w y w0 0� , (97) � � � � � � � � � z t w y w, ( ) ( , )0 1 . ( )98 Íà îñíîâàíèè ðåøåíèÿ z pn( ) çàäà÷è (96)–(98) ïîëó÷èì âåêòîð Ap z pn i n i N� �{ }( ) 1 , (99) ãäå z p z p x ti n n iT ( ) ( ; , ) |� � , i N�1, . Ó÷èòûâàÿ (99), ìîæåì èñïîëüçîâàòü ìåòîä ñîïðÿæåííûõ ãðàäèåíòîâ (11), (14) äëÿ îïðåäåëåíèÿ ( )n �1 -ãî ïðèáëèæåíèÿ un � 1 ðåøåíèÿ u çàäà÷è (82)–(84), (10). 5. ÈÄÅÍÒÈÔÈÊÀÖÈß ÍÀ×ÀËÜÍÛÕ ÓÑËÎÂÈÉ Ïóñòü íà îáëàñòè �T îïðåäåëåíî óðàâíåíèå � � � � � � � � � � � � � � � � � 2 2 1 y t x k y x f i j n i ij j, ~ . (100) Íà ãðàíèöå �T çàäàíû êðàåâûå óñëîâèÿ (39)–(41). Íà � T óñëîâèÿ ñîïðÿæå- íèÿ èìåþò âèä (42), (43), à ïðè t � 0 çàäàíû íà÷àëüíûå óñëîâèÿ y x u x x( , ) ( ),0 1 1 2� � �� � , (101) � � � � � y t x u x x( , ) ( ),0 2 1 2� � . ( )102 70 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 Îïðåäåëåíèå 10. Ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì u u u� � �( , )1 2 U � �C L( ) ( )� �2 îáîáùåííûì ðåøåíèåì íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (100), (39)–(43), (101), (102) íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ y y u W T� �( ) ( , )0 , êîòîðàÿ ' �w x( ) � 0 óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå òîæäåñòâ � � � � � � � � � � � � 2 2 0 y t w a y w l w t T, ( , ) ( ), ( , ] , (103) ( , )( ) ( , )� �y w u w0 1� , (104) � � � � � � � � � y t w u w, ( ) ( , )0 2 . (105) Äëÿ ïðèðàùåíèÿ (u âåêòîðà u�U íà îñíîâàíèè (103)–(105) èëè íà îñíîâà- íèè íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (100), (39)–(43), (101), (102) ïðèðàùåíèå � (y ðå- øåíèÿ y y u� ( ) çàäà÷è (103)–(105) ìîæåì îïðåäåëèòü êàê ðåøåíèå cëåäóþùåé çàäà÷è: íàéòè ôóíêöèþ � �( , ) ( , )x t W T0 0 , êîòîðàÿ ' �w x( ) � 0 óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå òîæäåñòâ � � � � � � � � � � � � 2 2 0 0 t w a w t T, ( , ) , ( , ] , (106) ( , )( ) ( , )� �w u w0 1� ( , (107) � � � � � � � � � t w u w, ( ) ( , )0 2( . ( )108 Äëÿ êàæäîãî ïðèáëèæåíèÿ un ðåøåíèÿ u�U çàäà÷è (103)–(105), (10) ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ñëåäóþùóþ ñîïðÿæåííóþ çàäà÷ó: � � � � � � � � � � � � � � � � � � 2 2 1t x k x x t i j n i ij j T d , , ( , ) \� , |�1 0 T � , i j n ij j i Tk x x x t , cos ( , ) , ( , ) � � � � � � 1 20 � � , i j n ij j i Tk x x x t , cos ( , ) , ( , ) � � � � � � � 1 3 � � � , (109) i j n ij j i Tk x x r x t , cos ( , ) [ ], ( , ) � � � � � � � � � ! " � #� � � 1 � � , [ ] , ( , ) �� �0 x t lT , i j n ij j i l n lk x x y u f x , cos ( , ) ( ( ) ), ( , � � � � � � � � � � � � � � � 1 � � t l NlT) , ,� �� 1 , ( , ) , ( , ) ,x T t x T x� � � � � �0 0 1 2� � . ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 71 Îïðåäåëåíèå 11. Îáîáùåííûì ðåøåíèåì íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (109) íà- çûâàåòñÿ ôóíêöèÿ ( , ) ( , )x t W Td� 0 , êîòîðàÿ * �w x d( ) � 0 óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå òîæäåñòâ � � � � � � � � � � � � 2 2 0 t w a w l w t T, ( , ) ( ), ( , ], (110) ( , )( ) , , ( )� � w T t w T� � � � � � � �0 0, (111) ãäå l w ( ) èìååò âèä (73). Âûáèðàÿ â òîæäåñòâàõ (110), (111) âìåñòî ôóíêöèè w ðàçíîñòü y u y un n( ) ( )� �1 , ñ ó÷åòîì (106)–(108) èìååì 0 1 1 0 2 2 T j N j n j n n L T y u f y u y u dt j% � % � �� � � � � � �( ( ) , ( ) ( )) ( ) � � � � � � � � �� t y u y u dtn n2 1, ( ) ( ) � � � � � � � � � �% � � 0 1 1 T n n n na y u y u dt t y u y u( , ( ) ( )) , ( ) ( ) � + + + � 0 T � � � � � � � � � � + + + � �� � %� �, ( ( ) ( )) ( ( )y u y u t y un n T T n1 0 0 2 1 � � � � � � � � � y u t dt n( )) , 2 � � � � � � � � � � �% � 0 1 1 20 T n na y u y u dt u t u( ( ) ( ), ) , ( ) ( � �( ( , )( ) 0 , ò.å. 0 1 1 12 T j N j n j n n Ly u f y u y u dt u j% � � �� � � � � � ��( ( ) , ( ) ( )) ,( ) ( � � � � � � � t u( ) ( , )( )0 02( . Ñëåäîâàòåëüíî, & �Ju nn ~ , (112) ãäå ~ ( ~ , ~ ) n n n� 1 2 , ~ ( ) � n t1 0� � � � + + + � , ~ | ( ) � n2 0� � , | | | | ~ J dxu nn & � �% 2 2 1 � � % � ~ n dx 2 2 . Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ðåàëèçàöèè ìåòîäà ìèíèìàëüíûõ îøèáîê (11), (12) íà- ïðàâëåíèå ñïóñêà pn è êîýôôèöèåíò � n ìîæåì îïðåäåëèòü ñ ïîìîùüþ âûðàæåíèé (12). Ðåøèâ çàäà÷ó íàõîæäåíèÿ ôóíêöèè z x t W Tn( ~ ; , ) ( , ) � 0 , óäîâëåòâîðÿþùåé ' �w x( ) � 0 òîæäåñòâàì � � � � � � � � � � � � 2 2 0 z t w a z w l w t T, ( , ) ( ), ( , ] , (113) ( , )( ) ( ~ , )( )� � z w wn0 0 1 � , (114) � � � � � � � � � z t w wn, ( ) ( ~ , )( )0 0 2 , (115) ïîëó÷èì 72 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 AJ z Ju i u i N n n & � & �{ }( ) 1 , (116) ãäå z J z x ti u nn iT ( ) ( ~ ; , ) |& � � , i N�1, . Ó÷èòûâàÿ (116), ìîæåì ðåàëèçîâàòü ìåòîä ñêîðåéøåãî ñïóñêà (11), (13) äëÿ îïðåäåëåíèÿ ( )n �1 -ãî ïðèáëèæåíèÿ un � 1 ðåøåíèÿ u çàäà÷è (103)–(105), (10). Èìåÿ &Jun , pn�1, & � Jun 1 , ìîæåì îïðåäåëèòü íàïðàâëåíèå ñïóñêà pn ñ ïîìîùüþ ôîðìóë (14). Ýòî ïîçâîëèò ðåøèòü çàäà÷ó îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè z p z p x t W Tn n( ) ( ; , ) ( , )� � 0 , êîòîðàÿ ' �w x( ) � 0 óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå òîæäåñòâ � � � � � � � � � � � � 2 2 0 z t w a z w l w t T, ( , ) ( ), ( , ] , ( , )( ) ( , )( )� �z w p wn0 0 1 � , (117) � � � � � � � � � z t w p wn, ( ) ( , )( )0 0 2 , ãäå p p pn n n� ( , ) 1 2 . Íà îñíîâàíèè ðåøåíèÿ z pn( ) çàäà÷è (117) ïîëó÷èì âåêòîð Ap z pn i n i N� �{ }( ) 1 , (118) ãäå z p z p x ti n n iT ( ) ( ; , ) |� � , i N�1, . Ó÷èòûâàÿ (118), ìîæåì èñïîëüçîâàòü ìåòîä ñîïðÿæåííûõ ãðàäèåíòîâ (11), (14) äëÿ îïðåäåëåíèÿ ( )n �1 -ãî ïðèáëèæåíèÿ un � 1 ðåøåíèÿ u çàäà÷è (103)–(105), (10). 6. ÏÀÐÀÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÉ ÑÏÎÑÎÁ ÈÄÅÍÒÈÔÈÊÀÖÈÈ ÍÀ×ÀËÜÍÛÕ ÓÑËÎÂÈÉ Ïóñòü ñîñòîÿíèå ñèñòåìû îïèñûâàåòñÿ íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷åé (100), (39)–(43), (101), (102) ïðè èçâåñòíûõ ñëåäàõ åå ðåøåíèÿ (9). Çàäà÷à (100), (39)–(43), (101), (102), (9) ñîñòîèò â íàõîæäåíèè âåêòîðà u�U, ïðè êîòîðîì ðåøåíèå y y u� ( ) çàäà÷è (103)–(105) óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâàì (9). Âåêòîð u è ìíîæåñòâî U îïðåäåëåíû â ðàçä. 5. Âìåñòî ìíîæåñòâà U èñïîëüçóåì åãî ïîäìíîæåñòâî H H Hm m m� �1 2 ñ ñîîò- âåòñòâóþùèìè áàçèñàìè { }� i j i m x j( ) � 1 , j �1 2, , m m m� �1 2 . Äëÿ êàæäîãî ïðèáëèæåíèÿ u u Hn n m� � -~ U çàäà÷è (103)–(105), (10) ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ñîïðÿæåííóþ çàäà÷ó (109), ò.å. çàäà÷ó (110), (111). Âûáèðàÿ â òîæäåñòâàõ (110), (111) âìåñòî ôóíêöèè w ðàçíîñòü y u y un n( ) ( )� �1 , ñ ó÷åòîì (106)–(108) è òîãî, ÷òî ~ (~ , ~ )u u un n n� 1 2 , ãäå ~ ( )u a xn j i m i j i j j � � � 1 � , a Ri j � 1, èìååì 0 1 1 2 T j N j n j n n Ly u f y u y u dt j% � � �� � �� �( ( ) , ( ) ( )) ( ) � � � � � � � � � � � � � i m i i i m i ia t a 1 1 1 1 2 2 1 2 0( (�� �� , ( ) ( , )(0). ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 73 Ñëåäîâàòåëüíî, & �Ju nn ~ , ãäå ~ ( ~ , ~ ) n n n� 1 2 , ~ ~ n n i i m j j j� �{ } 1 , j �1 2, , ~ , ( ) �� n i i t1 1 0� � � � � � � � , ~ n i 2 � � ( , )( )�� i 2 0 , | | | | ( ~ )& � � � � �Ju j i m n i n j j 2 1 2 1 2 . Çàìå÷àíèå 7.  ñëó÷àå ðàçðûâíûõ ôóíêöèé u u1 2, íà÷àëüíûõ óñëîâèé (101), (102) ìîæíî èñïîëüçîâàòü ìíîæåñòâà H m j , j �1 2, , ðàçðûâíûõ ôóíêöèé � i j , ò.å. ïðåäïîëîæèì: H H Hm j m j m j� �1 2 , áàçèñ ìíîæåñòâà H m jl ñîñòàâëÿþò ôóíêöèè { }� i jl i m x jl( ) � 1 , l jl jm m � � � 1 2 , j �1 2, . Òîãäà 0 1 1 2 T j N j n j n n Ly u f y u y u dt j% � � �� � �� �( ( ) , ( ) ( )) ( ) � � � � � � � � � � � � � � � l i m i l i l L l l l a t1 2 1 1 1 1 21 2 0( � �� , ( ) ( ) i m i l i l l a � � 1 2 2 2 0( ( , )( )�� . Ñëåäîâàòåëüíî, & �Ju nn ~ , (119) ãäå ~ ( ~ , ~ ) n n n� 1 2 , ~ ( ~ , ~ ) nj nj nj� 1 2 , ~ ~ njl njl i i m jl� �{ } 1 , ~ n l i 1 � � � � � � � � ��� i l Lt l 1 2 0, ( ) ( )� , ~ ( , ) ( )( ) �� n l i i l L l2 2 2 0� � , | | | | ( ~ )& � � � � � � �J u l j i m njl i n jl 2 1 2 1 2 1 2 . Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ðåàëèçàöèè ìåòîäà ìèíèìàëüíûõ îøèáîê (11), (12) íà- ïðàâëåíèå ñïóñêà pn è êîýôôèöèåíò � n ìîæåì îïðåäåëèòü ñ ïîìîùüþ âûðàæå- íèé (12). Ðåøèâ çàäà÷ó íàõîæäåíèÿ ôóíêöèè z x t W Tn( ~ ; , ) ( , ) � 0 , óäîâëåòâîðÿ- þùåé ' �w x( ) � 0 òîæäåñòâàì � � � � � � � � � � � � 2 2 0 z t w a z w l w t T, ( , ) ( ), ( , ] , ( , )( ) ~ ( , ) ( )( )� ��z w w l i m n l i i l L l l 0 0 1 2 1 1 1 1 2 � � � � � � , � �� � � � � � � � � � � �z t w w l i m n l i i l L l l , ( ) ~ ( , ) ( )0 1 2 1 2 2 2 2 � ( )0 , îïðåäåëèì AJ z Ju i u i N n n & � & �{ }( ) 1 , (120) ãäå z J z x ti u nn iT ( ) ( ~ ; , ) |& � � , i N�1, . Ó÷èòûâàÿ (120), ìîæåì ðåàëèçîâàòü ìåòîä ñêîðåéøåãî ñïóñêà (11), (13) äëÿ îïðåäåëåíèÿ ( )n �1 -ãî ïðèáëèæåíèÿ u H H Hn m m m� � � � �1 11 12( ) ( )H Hm m 21 22� ðå- øåíèÿ u çàäà÷è (103)–(105), (10). Ìîæåì îïðåäåëèòü íàïðàâëåíèå ñïóñêà pn ñ ïî- 74 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 ìîùüþ ôîðìóë (14). Ýòî ïîçâîëèò ðåøèòü çàäà÷ó îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè z p z p x t W Tn n( ) ( ; , ) ( , )� � 0 , êîòîðàÿ ' �w x( ) � 0 óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå òîæ- äåñòâ � � � � � � � � � � � � 2 2 0 z t w a z w l w t T, ( , ) ( ), ( , ], ( , )( ) ( , ) ( )( )� ��z w p w l i m n l i i l L l l 0 0 1 2 1 1 1 1 2 � � � � � � , � �� � � � � � � � � � � �z t w p w l i m n l i i l L l l , ( ) ( , ) (( )0 1 2 1 2 2 2 2 � 0). Íà îñíîâàíèè ðåøåíèÿ z pn( ) äàííîé çàäà÷è ïîëó÷èì âåêòîð Ap z pn i n i N� �{ }( ) 1 , (121) ãäå z p z p x ti n n iT ( ) ( ; , ) |� � , i N�1, . Ó÷èòûâàÿ (121), ìîæåì èñïîëüçîâàòü ìåòîä ñîïðÿæåííûõ ãðàäèåíòîâ (11), (14) äëÿ îïðåäåëåíèÿ ( )n �1 -ãî ïðèáëèæåíèÿ un � 1 ðåøåíèÿ u çàäà÷è (103)–(105), (10). 7. ÈÄÅÍÒÈÔÈÊÀÖÈß ÏÀÐÀÌÅÒÐÀ ÑÎÑÐÅÄÎÒÎ×ÅÍÍÎÉ ÌÀÑÑÛ Ïóñòü íà îáëàñòè �T îïðåäåëåíî ãèïåðáîëè÷åñêîå óðàâíåíèå (100). Íà ãðàíè- öå �T çàäàíû êðàåâûå óñëîâèÿ (39)–(41). Ïðè t � 0 èìååì íà÷àëüíûå óñëîâèÿ (44), (45), ãäå [ ]| [ ]|y y0 1 0� �� � . Íà � T îïðåäåëåíû óñëîâèÿ ñîïðÿæåíèÿ ñîñðåäîòî÷åííîé ìàññû [ ]� � 0, (122) i j n ij j ik y x x u y t u , cos ( , ) , � � � � � � � � � � � � � � � � $ 1 2 2 0� const . (123) Ïðåäïîëàãàåì, ÷òî íà N ( )n �1 -ìåðíûõ îáëàñòÿõ � i , ðàçáèâàþùèõ îáëàñòü� íà N � 2 ñâÿçíûõ îãðàíè÷åííûõ ñòðîãî ëèïøèöåâûõ îáëàñòåé � j , èçâåñòíû ñëå- äû ðåøåíèÿ y y u� ( ) íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (100), (39)–(41), (44), (45), (122), (123), çàäàííûå ðàâåíñòâàìè (9). Îïðåäåëåíèå 12. Ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì u R� � �U îáîáùåííûì ðå- øåíèåì íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (100), (39)–(41), (44), (45), (122), (123) íàçûâà- åòñÿ ôóíêöèÿ y y u y u x t W T� � �( ) ( ; , ) ( , )0 , êîòîðàÿ ' �w x( ) � 0 óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå òîæäåñòâ a u y t w a y w l w t T0 2 2 0; , ( , ) ( ), ( , ] � � � � � � � � � � � , (124) a u y w a u y w0 0 00( ; , )( ) ( ; , )� , (125) a u y t w a u y w0 0 10; , ( ) ( ; , ) � � � � � � � , (126) ãäå W T x t L T V y t L T L y t ( , ) ( , ) ( , ; ) : ( , ; ( )),0 0 02 2 2 2 2 � � � � � � � {� � � ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 75 � �L T L L T L2 2 2 20 0( , ; ( )) ( , ; ( ))� � }, V x t V v T T � � � �{ }� � � �( , ) : | , [ ]|�1 0 , V x t W l t T l l� � � �{ }� �( , ) : | ( ), , , ( , ]� � 2 1 1 2 0 , a u y w y w uy w L0 2 ( ; , ) ( , ) ( , ) ( )� �� � , a y w k y x w x dx ywd i j n ij j i ( , ) , � � � � � �% � % �� � � 1 3 3 � . Íà îñíîâàíèè íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (100), (39)–(41), (44), (45), (122), (123) èëè îáîáùåííîé çàäà÷è (124)–(126) äëÿ ïðèðàùåíèÿ (u ïàðàìåòðà u�U ïðèðàùåíèå � (y ðåøåíèÿ y y u� ( ) çàäà÷è (124)–(126) ìîæåì îïðåäåëèòü êàê ðåøåíèå cëåäóþùåé çàäà÷è: íàéòè ôóíêöèþ � �( , ) ( , )x t W T0 0 , êîòîðàÿ ' �w x( ) � 0 óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå òîæäåñòâ a u t w a w l u w t T0 2 2 0; , ( , ) ( ; ), ( , ] � � � � � � � � � � � ( , ( )127 a u w u y u w u y wL L0 00 0 2 2 ( ; , )( ) ( ( ), ) ( ) ( , )( ) ( ) � �� � �( ( , (128) a u t w u y t u w u L 0 0 0 2 ; , ( ) ( ), ( ) ( ( ) � � � � � � � � � � � � � � � � ( ( y w L1 2 , ) ( )� , ( )129 ãäå W T x t L T V y t L T L0 2 0 2 20 0 0( , ) ( , ) ( , ; ) : ( , ; ( ))� � � � �{� � , � � � � 2 2 2 2 2 20 0 y t L T L L T L( , ; ( )) ( , ; ( ))� � }, V x t V v T T 0 1 0 0� � � �{ }� � �( , ) : | , [ ]|� , l u w u y t w L � ( ; ) , ( ) ( (� � � � � � � � � � 2 2 2 . Äëÿ êàæäîãî ïðèáëèæåíèÿ un ðåøåíèÿ u�U çàäà÷è (124)–(126), (10) ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ñëåäóþùóþ ñîïðÿæåííóþ çàäà÷ó: � � � � � � � � � � � � � � � � � � 2 2 1t x k x x t i j n i ij j T d , , ( , ) \� , |�1 0 T � , i j n ij j i Tk x x x t , cos ( , ) , ( , ) � � � � � � 1 20 � � , i j n ij j i Tk x x x t , cos ( , ) , ( , ) � � � � � � � 1 3 � � � , [ ] , ( , ) , , � �� � � �0 1x t j NT jT , (130) i j n ij j i n Tk x x u t x t , cos ( , ) , ( , ) � � � � � � � � � � � � � � � � 1 2 2 � � , 76 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 i j n ij j i l n lk x x y u f x , cos ( , ) ( ( ) ), ( , � � � � � � � � � � � � � � � 1 � � t l NlT) , ,� �� 1 , ( , ) , ( , ) ,x T t x T x� � � � �0 0 �. Îïðåäåëåíèå 13. Îáîáùåííûì ðåøåíèåì íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (130) íà- çûâàåòñÿ ôóíêöèÿ ( , ) ( , )x t W Td� 0 , êîòîðàÿ ' �w x d( ) � 0 óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå òîæäåñòâ a u t w a w l w t T0 2 2 0; , ( , ) ( ), ( , ] � � � � � � � � � � � , (131) a u w T a u t w T0 00 0( ; , )( ) , ; , ( ) � � � � � � � � , ãäå u un� , W T x t L T v t v t L T Ld d( , ) ( , ) ( , ; ) : , ( , ; (0 0 02 2 2 2 2� � � � � � �{� � � )) � � L T L2 20( , ; ( ))� }, � � � �d dx t V T T d � � � ��{ }( , ) : | , [ ]|�1 0 0 , � �d x 0 � �{ ( ) � � ��V vd d0 1 0 0: | , [ ]|� � �� }. Âûáèðàÿ â òîæäåñòâàõ (131) âìåñòî ôóíêöèè w ðàçíîñòü y u y un n( ) ( )� �1 , ñ ó÷åòîì (127)–(129) èìååì & �J u nn ~ , (132) ãäå � � n T L L y t dt y t � � � � � � � � � � � � � � � � �% 0 2 2 2 2 0, , ( ( ) ( ) ) ( , ) ( )� �y w L1 2 � � � � � � � � �y t y w L L, ( ) ( , ) ( ) ( ) � � 2 2 0 0 , | | | | ~& �Ju nn 2 2 . Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ðåàëèçàöèè ìåòîäà ìèíèìàëüíûõ îøèáîê (11), (12) íà- ïðàâëåíèå ñïóñêà pn è êîýôôèöèåíò � n ìîæåì îïðåäåëèòü ñ ïîìîùüþ âûðàæåíèé (12). Ðåøèâ çàäà÷ó íàõîæäåíèÿ ôóíêöèè z x t W Tn( ~ ; , ) ( , ) � 0 , êîòîðàÿ ' �w x( ) � 0 óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñòâàì a z t w a z w l w t Tn0 2 2 0 ~ ; , ( , ) ( ), ( , ] � � � � � � � � � � � , a z w a y wn n0 0 00( ~ ; , )( ) ( ~ ; , ) � , (133) a z t w a y wn n0 0 10 ~ ; , ) ( ) ( ~ ; , ) � � � � � � � , ïîëó÷èì AJ z Ju i u i N n n & � & �{ }( ) 1 , (134) ãäå z J z x ti u nn iT ( ) ( ~ ; , ) |& � � , i N�1, . Ó÷èòûâàÿ (134), ìîæåì ðåàëèçîâàòü ìåòîä ñêîðåéøåãî ñïóñêà (11), (13) äëÿ îïðåäåëåíèÿ ( )n �1 -ãî ïðèáëèæåíèÿ un � 1 ðåøåíèÿ u çàäà÷è (124)–(126) â íàïðàâ- ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 77 ëåíèå ñïóñêà pn ñ ïîìîùüþ ôîðìóë (14) è ðåøèâ çàäà÷ó íàõîæäåíèÿ ôóíêöèè z p z p x t W Tn n( ) ( ; , ) ( , )� � 0 , êîòîðàÿ ' �w x( ) � 0 óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå òîæäåñòâ a p z t w a z w l w t Tn0 2 2 0; , ( , ) ( ), ( , ] � � � � � � � � � � � , a p z w a p y wn n0 0 00( ; , )( ) ( ; , )� , (135) a p z t w a p y wn n0 0 10; , ( ) ( ; , ) � � � � � � � , ïîëó÷èì âåêòîð Ap z pn i n i N� �{ }( ) 1 , (136) ãäå z p z pi n n iT ( ) ( ) |� � , i N�1, . Ó÷èòûâàÿ (136), ìîæåì ðåàëèçîâàòü ìåòîä ñêîðåéøåãî ñïóñêà (11), (14) äëÿ îïðåäåëåíèÿ ( )n �1 -ãî ïðèáëèæåíèÿ un � 1 ðåøåíèÿ u çàäà÷è (124)–(126), (10). 8. ÈÄÅÍÒÈÔÈÊÀÖÈß ÂÅËÈ×ÈÍÛ ÐÀÑÊËÈÍÈÂÀÞÙÅÃÎ ÄÀÂËÅÍÈß ÍÀ ÏÎÂÅÐÕÍÎÑÒÈ ÒÎÍÊÎÃÎ ÂÊËÞ×ÅÍÈß Ïóñòü íà îáëàñòè �T îïðåäåëåíî ãèïåðáîëè÷åñêîå óðàâíåíèå � � � � � � � � � �� � �� � � � 2 2 1 1 y t x u x y x f x t i n i i i ( ) ~ ( , ). (137) Íà ãðàíèöå �T çàäàíû ñìåøàííûå êðàåâûå óñëîâèÿ y T |�1 � �, i n i i i Tu y x x g x t � � � � � � 1 1 2cos ( , ) , ( , )� � , (138) i n i i i Tu y x x y x t � � � � � � � � 1 1 3cos ( , ) , ( , )� � � � . Íà � T óñëîâèÿ ñîïðÿæåíèÿ èìåþò âèä [ ]y � 0, (139) i n i i iu y x x u u � � � � � � � � � � � � � $ 1 1 2 2 0cos ( , ) ,� . (140) Ïðè t � 0 çàäàíû íà÷àëüíûå óñëîâèÿ y x y x( , ) ,0 0 1 2� � �� � , (141) � � � � � y t x y x( , ) ,0 1 1 2� � . (142) Ïðåäïîëàãàåì, ÷òî íà N ( )n �1 -ìåðíûõ îáëàñòÿõ � i , ðàçáèâàþùèõ îáëàñòü� íà N � 2 ñâÿçíûõ îãðàíè÷åííûõ ñòðîãî ëèïøèöåâûõ îáëàñòåé � j ( , , )� i i N� �� 1 , èçâåñòíû ñëåäû ðåøåíèÿ y y x t� ( , ) íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (137)–(142). Ôóíêöèîíàë-íåâÿçêà èìååò âèä (10). 78 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 Îïðåäåëåíèå 14. Ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì u u u� � �( , )1 2 U � � �� � �( ( )) ( ( ))C C RT n T n� �1 2 îáîáùåííûì ðåøåíèåì íà÷àëüíî-êðàåâîé çà- äà÷è (137)–(142) íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ y y u y u x t W T� � �( ) ( ; , ) ( , )0 , êîòîðàÿ ' �w x( ) � 0 óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå òîæäåñòâ � � � � � � � � � � � � 2 2 0 y t w a u y w l u w t T, ( ; , ) ( ; ), ( , ] , ( )143 ( , )( ) ( , ), , ( ) ( , )� � � �y w y w y t w y w0 00 1� � � � � � � � , ãäå ìíîæåñòâà W T( , )0 , � 0 îïðåäåëåíû â ðàçä. 7, a u y w u y x w x dx ywd i n i i i ( ; , ) � � � � � �% � % �� � � 1 1 3 3 � , l u w f w g w w u wdL L( ; ) ( ~ , ) ( , ) ( , )( ) ( )� � � � %2 2 2 3 2� �� � � , u u i i n 1 1 1 � �{ } . Äëÿ äîïóñòèìîãî ïðèðàùåíèÿ (u âåêòîðà u�U íà îñíîâàíèè çàäà÷è (143) ïðèðàùåíèå � (y ðåøåíèÿ y y u� ( ) çàäà÷è (143) ìîæåì îïðåäåëèòü êàê ðåøå- íèå cëåäóþùåé çàäà÷è: íàéòè ôóíêöèþ � �( , ) ( , )x t W T0 0 , êîòîðàÿ ' �w x( ) � 0 óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå òîæäåñòâ � � � � � � � � � � � � 2 2 0 t w a u w l u w t T, ( ; , ) ( ; ), ( , ]( , (144) ( , )( ) , ,� � w t w0 0 0� � � � � � � � , (145) ãäå l u w u y x w x dx u wd i n i i i � �( ; )( ( ( � � � � � � � �% � % � 1 1 2 . (145&) Äëÿ êàæäîãî ïðèáëèæåíèÿ un ðåøåíèÿ u�U çàäà÷è (143), (10) ââåäåì â ðàñ- ñìîòðåíèå ñëåäóþùóþ ñîïðÿæåííóþ çàäà÷ó: � � � � � � � � � � �� � �� � � � 2 2 1 1 t x u x x t i n i i i T d, ( , ) \� , |�1 0 T � , i n i i i Tu x x x t � � � � � � 1 1 20 �cos ( , ) , ( , ) � , i n i i i Tu x x x t � � � � � � � 1 1 3 � � cos ( , ) , ( , ) � , [ ]| �T � 0, (146) i n i i i Tu x x x t � � � � � � � � � � � � � � 1 1 0 � �cos ( , ) , ( , ) , [ ] , ( , ) , , �� � �0 1x t j NjT , i n i i i j n ju x x y u f x t � � � � � � � � � � � � � � � 1 1 � �cos ( , ) ( ( ) ), ( , )� �� jT j N, ,1 , ( , ) , ( , ) ,x T t x T x� � � � �0 0 �. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 79 Îïðåäåëåíèå 15. Îáîáùåííûì ðåøåíèåì íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (146) íà- çûâàåòñÿ ôóíêöèÿ ( , ) ( , )x t W Td� 0 , êîòîðàÿ ' �w x d( ) � 0 óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñòâàì � � � � � � � � � � � � 2 2 0 t w a u w l w t T, ( ; , ) ( ), ( , ] , ( )147 ( , )( ) , , ( )� � w T t w T� � � � � � � �0 0. Âûáèðàÿ â òîæäåñòâàõ (147) âìåñòî ôóíêöèè w ðàçíîñòü y u y un n( ) ( )� �1 , ñ ó÷åòîì (144), (145) èìååì 0 1 1 2 T j N j n j n n Ly u f y u y u dt j% � � �� � �� �( ( ) , ( ) ( )) ( ) � � � � � � � � � � �% %� � 0 2 2 1 0 T n n T n t y u y u dt a u y u� , ( ( ) ( )) ( ; ( 1 ) ( ), )� �y un � � � � � � �% % � % % �0 1 1 0 2 T i N i i i T u y x x dxdt u d dt � ( ( � � . Ñëåäîâàòåëüíî, & �Ju nn ~ , (148) ãäå ~ ( ~ , ~ ) n n n� 1 2 , ~ ~ n n i i n 1 1 1 � �{ } , ~ | n i i i y x x T1 � � � � � � � , ~ | �n T2 � � . Âìåñòî ìíîæåñòâà U ìîæåì èñïîëüçîâàòü åãî ïîäìíîæåñòâî H H H Rm m m� � � �( )1 2 ñ ñîîòâåòñòâóþùèì áàçèñîì { }� i j i m x t j( , ) � 1 , j �1 2, , m m m� �1 2 . Òîãäà u x t x t R j i j i m i j i j jT i j i j j 1 1 1 1 0� � $ � � � �� � � � �( , ), ( , ) , , ,� 1 2, . (149) Íà îñíîâàíèè (145&), ñ ó÷åòîì (149), èìååì l u w l u w ( ; ) ( ; )( (� 1 , ãäå l u w y x w x dx u j i m i j i j i i j j � � �1 1 2 1 1 ( ; )( ( ( � � � � � � � � � � � � % % 2wd�. (150) Äëÿ êàæäîãî ïðèáëèæåíèÿ un ðåøåíèÿ u H m� çàäà÷è (143), (10) ñîïðÿæåí- íàÿ çàäà÷à èìååò âèä (147). Çàäà÷è (147), (144), (145), ñ ó÷åòîì (150), ïîçâîëÿþò ðåàëèçîâàòü ãðàäèåíòíûå ìåòîäû (11), (12); (11), (13); (11), (14) ðåøåíèÿ çàäà÷è (143), (10) ïðè U � H m . ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Ñ å ð ã è å í ê î È .  . , Ä å é í å ê à  . Ñ . Ðåøåíèå ãðàíè÷íûõ îáðàòíûõ çàäà÷ äëÿ ïàðàáîëè÷åñêèõ ìíîãîêîìïîíåíòíûõ ðàñïðåäåëåííûõ ñèñòåì // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2007. — ¹ 4. — Ñ. 49–73. 2. Ñ å ð ã è å í ê î È .  . , Ä å é í å ê à  . Ñ . Ðåøåíèå êîìïëåêñíûõ îáðàòíûõ çàäà÷ äëÿ ïñåâäîïàðàáîëè÷åñêèõ ìíîãîêîìïîíåíòíûõ ðàñïðåäåëåííûõ ñèñòåì // Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. — 2007. — ¹ 4. — Ñ. 33–58. 3. À ë è ô à í î â Î . Ì . , À ð ò þ õ è í Å . À . , Ð ó ì ÿ í ö å â Ñ .  . Ýêñòðåìàëüíûå ìåòîäû ðåøåíèÿ íåêîððåêòíûõ çàäà÷. — Ì.: Íàóêà, 1988. — 288 ñ. 4. Ä å é í å ê à  . Ñ . , Ñ å ð ã è å í ê î È .  . Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå íåîäíîðîäíûìè ðàñïðåäåëåííûìè ñèñòåìàìè. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 2003. — 506 ñ. 5. S e r g i e n k o I v a n V . , D e i n e k a V a s y l S . Optimal control of distributed systems with conjuga- tion conditions. — New York: Kluwer Acad. Publ., 2005. — 400 p. Ïîñòóïèëà 03.07.2007 80 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2

Similar Items