Рациональная аппроксимация систем с распределенными параметрами
Запропоновано й обгрунтовано новий підхід до побудови наближених математичних моделей широкого класу систем з розподіленими та зосередженими параметрами. Даний підхід базується на методі ітеративної ідентифікації, який особливо ефективний за наявності невизначеності та похибок у наявних даних....
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Дата: | 2008 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2008
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72001 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Рациональная аппроксимация систем с распределенными параметрами /В.Ф. Губарев // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 2. — С. 99-115. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-72001 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Губарев, В.Ф. 2014-12-15T22:20:04Z 2014-12-15T22:20:04Z 2008 Рациональная аппроксимация систем с распределенными параметрами /В.Ф. Губарев // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 2. — С. 99-115. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72001 62-52:519.6:519.711 Запропоновано й обгрунтовано новий підхід до побудови наближених математичних моделей широкого класу систем з розподіленими та зосередженими параметрами. Даний підхід базується на методі ітеративної ідентифікації, який особливо ефективний за наявності невизначеності та похибок у наявних даних. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Рациональная аппроксимация систем с распределенными параметрами Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Рациональная аппроксимация систем с распределенными параметрами |
| spellingShingle |
Рациональная аппроксимация систем с распределенными параметрами Губарев, В.Ф. Системный анализ |
| title_short |
Рациональная аппроксимация систем с распределенными параметрами |
| title_full |
Рациональная аппроксимация систем с распределенными параметрами |
| title_fullStr |
Рациональная аппроксимация систем с распределенными параметрами |
| title_full_unstemmed |
Рациональная аппроксимация систем с распределенными параметрами |
| title_sort |
рациональная аппроксимация систем с распределенными параметрами |
| author |
Губарев, В.Ф. |
| author_facet |
Губарев, В.Ф. |
| topic |
Системный анализ |
| topic_facet |
Системный анализ |
| publishDate |
2008 |
| language |
Russian |
| container_title |
Кибернетика и системный анализ |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| description |
Запропоновано й обгрунтовано новий підхід до побудови наближених математичних моделей широкого класу систем з розподіленими та зосередженими параметрами. Даний підхід базується на методі ітеративної ідентифікації, який особливо ефективний за наявності невизначеності та похибок у наявних даних.
|
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72001 |
| citation_txt |
Рациональная аппроксимация систем с распределенными параметрами /В.Ф. Губарев // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 2. — С. 99-115. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT gubarevvf racionalʹnaâapproksimaciâsistemsraspredelennymiparametrami |
| first_indexed |
2025-11-24T18:04:24Z |
| last_indexed |
2025-11-24T18:04:24Z |
| _version_ |
1850491175596720128 |
| fulltext |
ÓÄÊ 62—52:519.6:519.711
Â.Ô. ÃÓÁÀÐÅÂ
ÐÀÖÈÎÍÀËÜÍÀß ÀÏÏÐÎÊÑÈÌÀÖÈß ÑÈÑÒÅÌ
Ñ ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÍÛÌÈ ÏÀÐÀÌÅÒÐÀÌÈ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ìîäåëèðîâàíèå, èòåðàòèâíàÿ èäåíòèôèêàöèÿ, àïïðîêñèìà-
öèÿ, íåîïðåäåëåííîñòü, ôóíêöèÿ Ãðèíà.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Ïðè ìîäåëèðîâàíèè è ïðîãíîçèðîâàíèè ïðîöåññîâ, ïðîòåêàþùèõ â ñëîæíûõ
ñèñòåìàõ, à òàêæå ïðè óïðàâëåíèè èìè íåîáõîäèìî èìåòü ñîîòâåòñòâóþùóþ
ìàòåìàòè÷åñêóþ ìîäåëü. Îíà äîëæíà áûòü àäåêâàòíîé òåì öåëÿì è çàäà÷àì,
êîòîðûå áóäóò ðåøàòüñÿ ñ åå ïîìîùüþ. Â òî æå âðåìÿ ìîäåëü íå äîëæíà
áûòü î÷åíü ñëîæíîé è òðóäíîé äëÿ èõ ðåøåíèÿ. Íàïðèìåð, ÷åì áîëüøå ðàç-
ìåðíîñòü ïåðåìåííûõ â óðàâíåíèÿõ, îïèñûâàþùèõ óïðàâëÿåìûå ïðîöåññû,
òåì ñëîæíåå çàêîí óïðàâëåíèÿ, êîòîðûé ñèíòåçèðóåòñÿ íà èõ îñíîâå. Âìåñòå ñ
òåì ïðèáëèæåííàÿ ìîäåëü íåáîëüøîé ðàçìåðíîñòè âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ äàåò áî-
ëåå ïðîñòîå óïðàâëåíèå, âïîëíå ïðèåìëåìîå äëÿ ïðàêòèêè. Êðîìå òîãî, ïðè
îïèñàíèè ñëîæíûõ ðåàëüíûõ îáúåêòîâ âñåãäà îñòàþòñÿ íåîïðåäåëåííîñòè, íå
ó÷èòûâàåìûå ìîäåëüþ, à ïðè êîëè÷åñòâåííûõ îöåíêàõ èëè èçìåðåíèÿõ âîç-
ìîæíû ïîãðåøíîñòè. Äàæå ïðè ÷èñëåííîì ðåøåíèè, íàïðèìåð çàäà÷ ìàòåìà-
òè÷åñêîé ôèçèêè, âñå ðàâíî èñïîëüçóþòñÿ êîíå÷íîìåðíûå àïïðîêñèìàöèè. Ïî-
ýòîìó óïðîùåííûå ìîäåëè, íî àäåêâàòíûå òåì çàäà÷àì, êîòîðûå ñ èõ ïî-
ìîùüþ ðåøàþòñÿ, áîëåå ïðåäïî÷òèòåëüíû â ïðèëîæåíèÿõ, ïîñêîëüêó
çíà÷èòåëüíî ðàñøèðÿþò ïðèìåíåíèå ìàòåìàòè÷åñêèõ ìåòîäîâ â ðàçëè÷íûõ îá-
ëàñòÿõ, îñîáåííî äëÿ ïðîöåññîâ, êîòîðûå ïðîòåêàþò â ñèñòåìàõ ñ ðàñïðåäåëåí-
íûìè ïàðàìåòðàìè [1, 2]. Âîïðîñàì ïîñòðîåíèÿ äëÿ áåñêîíå÷íîìåðíûõ ñèñòåì
àïïðîêñèìèðóþùèõ ìîäåëåé, óäîáíûõ è ïðèåìëåìûõ äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷
ìîäåëèðîâàíèÿ, óïðàâëåíèÿ è ïðîãíîçèðîâàíèÿ, ïîñâÿùåíà äàííàÿ ñòàòüÿ.
Ðàçâèò óíèôèöèðîâàííûé ïîäõîä ê ðàöèîíàëüíîé àïïðîêñèìàöèè
ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûõ ñèñòåì íà îñíîâå ìåòîäîâ èäåíòèôèêàöèè.
1. ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
Ïåðâîå, ÷òî òðåáóåòñÿ ïðè ìàòåìàòè÷åñêîì ìîäåëèðîâàíèè ñëîæíîé ðåàëüíîé
ñèñòåìû, — ýòî âûáðàòü äëÿ íåå ñòðóêòóðó ìîäåëè. Áåç àïðèîðíîé èíôîðìà-
öèè è îáùèõ ïðåäñòàâëåíèé îá îáúåêòå çäåñü íå îáîéòèñü. Åñëè îí ðàñïðåäå-
ëåí â ïðîñòðàíñòâå, à åãî ïàðàìåòðû èëè õàðàêòåðèñòèêè èçìåíÿþòñÿ âî âðå-
ìåíè, òî èìååì äåëî ñ ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîé ñèñòåìîé, êîòîðàÿ ìîæåò
õàðàêòåðèçîâàòüñÿ â ïðîñòåéøåì ñëó÷àå ñêàëÿðíîé, à â îáùåì — âåêòîðíîé
ôóíêöèåé w, çàâèñÿùèé îò ïðîñòðàíñòâåííîé ïåðåìåííîé z, ïðèíèìàþùåé
çíà÷åíèÿ â îòêðûòîé îáëàñòè F , âêëþ÷àÿ ãðàíèöó �F , è îò âðåìåííîé ïåðå-
ìåííîé t, ïðèíèìàþùåé çíà÷åíèÿ íà ÷èñëîâîé ïîëóîñè t t� 0 . Êàê ïðàâèëî,
ïðîöåññû â òàêîé ñèñòåìå îïðåäåëÿþòñÿ åùå ãðàíè÷íûìè (êðàåâûìè) è
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 99
© Â.Ô. Ãóáàðåâ, 2008
íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè.
 äàëüíåéøåì áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî ëèíåéíûå ñèñòåìû, ÷òî òàêæå
ÿâëÿåòñÿ èñõîäíîé àïðèîðíîé èíôîðìàöèåé. Òîãäà äëÿ î÷åíü øèðîêîãî êëàññà
ñèñòåì â ñàìûõ ðàçíîîáðàçíûõ ïðèêëàäíûõ îáëàñòÿõ ìîæíî èñïîëüçîâàòü åäè-
íóþ ñòàíäàðòíóþ ôîðìó îïèñàíèÿ, äîñòàòî÷íî óíèôèöèðîâàííóþ è õîðîøî âïè-
ñûâàåìóþ â ñóùåñòâóþùèå ìåòîäû ìîäåëèðîâàíèÿ è èäåíòèôèêàöèè. Èäåþ òà-
êîé ñòàíäàðòèçàöèè ïðåäëîæèë À.Ã. Áóòêîâñêèé â [3], à â [4] îí ñîáðàë è ñòðóê-
òóðèðîâàë øèðîêèé êëàññ ñèñòåì ñ ðàñïðåäåëåííûìè è ñîñðåäîòî÷åííûìè
ïàðàìåòðàìè ñ ïðèâèäåíèåì èõ ê ñòàíäàðòíîé ôîðìå.
Îñíîâíîé õàðàêòåðèñòèêîé ñèñòåìû â ñòàíäàðòíîé ôîðìå ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ
Ãðèíà, èëè èìïóëüñíàÿ ïåðåõîäíàÿ ôóíêöèÿ. Ôóíêöèþ Ãðèíà èíîãäà åùå íàçû-
âàþò ôóíêöèåé âëèÿíèÿ, èëè ôóíêöèåé èñòî÷íèêà. Êðîìå ñêàëÿðíîé èëè âåêòîð-
íîé ïåðåìåííîé � �w w z t� , , õàðàêòåðèçóþùåé ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîå ñî-
ñòîÿíèå ñèñòåìû, ââîäèòñÿ ñòàíäàðòèçèðóþùàÿ ôóíêöèÿ � �f z t, , êîòîðàÿ òðàêòó-
åòñÿ êàê îáîáùåííàÿ ôóíêöèÿ, è ñ ïîìîùüþ êîòîðîé ëþáîå âíåøíåå îáúåìíîå,
ãðàíè÷íîå èëè íà÷àëüíîå âîçäåéñòâèå íà ñèñòåìó ìîæíî çàïèñàòü â åäèíîîáðàç-
íîì âèäå (ïîäðîáíîñòè ñì. â [4]). Çíàÿ ôóíêöèþ Ãðèíà H z t( , , , )� � è ñòàíäàðòè-
çèðóþùóþ ôóíêöèþ âîçäåéñòâèÿ � �f z t, , ñîñòîÿíèå ñèñòåìû îïðåäåëÿåòñÿ ïî
ôîðìóëå
w z t H z t f d d
t
t
F
( , ) ( , , , ) ( , )� � �
0
� � � � � �,
(1)
ãäå F — çàìûêàíèå F . Ñòðóêòóðà (1) âêëþ÷àåò ñòàòè÷åñêèå èëè êâàçèñòàòè-
÷åñêèå ìîäåëè, â ïîñëåäíåì âðåìÿ ÿâëÿåòñÿ ïðîñòî ïàðàìåòðîì.  òàêèõ ñëó-
÷àÿõ (1) ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå
w z H z f d
F
( ) ( , ) ( )� � � � �. (2)
Ñèñòåìû ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè ïàðàìåòðàìè âõîäÿò â (1) êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé
� �w t H t f d
t
t
� �
0
( , ) ( )� � �.
(3)
Óðàâíåíèå (3) åñòü èçâåñòíàÿ ôîðìóëà Êîøè [5]
w t t t w t u d
t
t
( ) ( , ) ( , ) ( )� � � 0 0
0
� � �, (4)
ãäå ( , )t � — ïåðåõîäíàÿ ìàòðèöà ñèñòåìû ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíå-
íèé, êîòîðàÿ è åñòü ôóíêöèÿ Ãðèíà. Ïðè ýòîì îáîáùåííàÿ ñòàíäàðòèçèðóþùàÿ
ôóíêöèÿ � �f � ïðåäñòàâëÿåòñÿ âûðàæåíèåì � � � � � �f u w t� � � �� �
0 0 , ãäå � �� �
t0
— îáîáùåííàÿ ôóíêöèÿ Äèðàêà.
 âåêòîðíîì ñëó÷àå w z t w z t w z t w z tK( , ) (( ( , ), ( , ), . . . , ( , ))� col 1 2 è f z t( , ) �
� col(( ( , ), ( , ), ... , ( , ))f z t f z t f z tL1 2 . Â ðåçóëüòàòå èìååì
w z t H z t f t d d k Kk
t
t
F
L
k( , ) ( , , , ) ( , ) , ,� �� � �
�
0
1
1
l
l l� � � � � . (5)
 ðàñïðîñòðàíåííîì ñëó÷àå, êîãäà âûïîëíÿåòñÿ èíâàðèàíòíîñòü îòíîñèòåëüíî
ñäâèãà ïî âðåìåíè, ôóíêöèÿ Ãðèíà ïðåäñòàâëÿåòñÿ êàê H z t H z t( , , , ) ( , , )� � � ��
.
Íà ïðàêòèêå ÷àùå èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò íå ñàìè ïîëÿ, îïðåäåëÿåìûå � �w z t, , à íå-
100 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2
êîòîðûå èõ òî÷å÷íûå èëè èíòåãðàëüíûå õàðàêòåðèñòèêè, êîòîðûå ìîãóò èçìåðÿòüñÿ
èëè îöåíèâàòüñÿ. Ïðåäñòàâèì èõ êàê âûõîäíûå ïåðåìåííûå
y t y t y t y tM( ) (( ( ), ( ), ... , ( ))� col 1 2 . Ïðè òî÷å÷íûõ èçìåðåíèÿõ y t w z tm m( ) ( , )� , à
ïðè èíòåãðàëüíûõ èìååì � � � � � �y t z w z t dzm
F
m� � � , , ãäå � �� m z — âåñîâàÿ ôóíê-
öèÿ, îïðåäåëåííàÿ íà F Fm � è � �� z
m
0 ïðè z F Fm� /
0
. Fm ìîæåò áûòü ïîäî-
áëàñòüþ F èëè ñîâïàäàòü ñ íåé ïîâåðõíîñòüþ èëè êîíòóðîì âíóòðè F .
Ïîñêîëüêó � �f z t, — îáîáùåííàÿ ôóíêöèÿ, òî òî÷å÷íîå, ãðàíè÷íîå èëè èíîå
âûðîæäåííîå âîçäåéñòâèå óæå îïðåäåëÿåòñÿ åå ñòðóêòóðîé. Òåì íå ìåíåå, êàê
ïðàâèëî, âðåìåííàÿ çàâèñèìîñòü � �f z t, îïðåäåëÿåòñÿ âíåøíåé ñèñòåìîé ñ ñîñðå-
äîòî÷åííûìè ïàðàìåòðàìè, ò.å. � � � � � �f z t u t f z
r
R
r r, �
�
�
1
, ãäå � �u tr îïðåäåëÿåò ïå-
ðåìåííûå âíåøíåé óïðàâëÿþùåé ñèñòåìû, à � �f zr çàäàåò åå ðàñïðåäåëåííîå âîç-
äåéñòâèå íà îáúåêò. Íàïðèìåð, äëÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïðîöåññîâ òîêè â îáìîò-
êàõ ÿâëÿþòñÿ âíåøíèìè âõîäíûìè âîçäåéñòâèÿìè, à ïðîñòðàíñòâåííûå
õàðàêòåðèñòèêè, îïðåäåëÿåìûå ðàñïîëîæåíèåì âèòêîâ îáìîòêè, îáåñïå÷èâàþò
ðàñïðåäåëåííîñòü âîçäåéñòâèÿ.
 ðåçóëüòàòå äëÿ ñèñòåì ñ êîíå÷íûì ÷èñëîì âõîäíûõ âîçäåéñòâèé è êîíå÷-
íûì ÷èñëîì âûõîäíûõ ïåðåìåííûõ (íà ïðàêòèêå òàêèå ñèñòåìû íàèáîëåå ðàñ-
ïðîñòðàíåíû) áóäåì èìåòü
� �� � � � � �y t H t u dm
r
t
t
mr r� �
0
, ,� � � m M�1, , r R�1, , (6)
ãäå � � � � � � � �H t z dz H z t f dmr
F
m
F
r, , , ,� � � � � �� � � . Çäåñü � �� m z ñ÷èòàåì îá-
îáùåííîé ôóíêöèåé, ÷òî äàåò âîçìîæíîñòü â ñòàíäàðòèçèðîâàííîì âèäå ïðåä-
ñòàâèòü ëþáûå èçìåðåíèÿ, âêëþ÷àÿ òî÷å÷íûå. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî H tmr ( , )�
ïîðîæäàþòñÿ îäíîé è òîé æå ôóíêöèåé Ãðèíà. Ñëåäîâàòåëüíî, âðåìåííû �å õà-
ðàêòåðèñòèêè ýëåìåíòîâ H tmr ( , )� áóäóò ëèáî ñîâïàäàòü, ëèáî äîïîëíÿòü äðóã
äðóãà. Ïðè ýòîì âåñîâûå ôóíêöèè � m z( ) è � �f r � áóäóò îïðåäåëÿòü ñâîéñòâà íà-
áëþäàåìîñòè èëè óïðàâëÿåìîñòè ñîîòâåòñòâóþùèõ îáîáùåííûõ ñòåïåíåé ñâîáî-
äû îáúåêòà.
2. ÐÀÖÈÎÍÀËÜÍÀß ÀÏÏÐÎÊÑÈÌÀÖÈß
 äàëüíåéøåì ðàññìàòðèâàþòñÿ òîëüêî ëèíåéíûå ñòàöèîíàðíûå ñèñòåìû, êîã-
äà èìååò ìåñòî ñäâèãîâàÿ èíâàðèàíòíîñòü, ò.å. ìîäåëü (6) ìîæíî ïðåäñòàâèòü
â âèäå êîíâîëþöèè ñ ïåðåäàòî÷íîé ìàòðèöåé G s( ), êîòîðàÿ âûðàæàåòñÿ èððà-
öèîíàëüíîé (â áåñêîíå÷íîìåðíîì ñëó÷àå) ëèáî ðàöèîíàëüíîé (äëÿ êîíå÷íî-
ìåðíîé ñèñòåìû) ôóíêöèÿìè. Òàêèå ñèñòåìû äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøîãî êëàññà
ïåðåäàòî÷íûõ ôóíêöèé ìîæíî çàäàâàòü ÷åòâåðêîé ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ (ìàò-
ðèö) A B C D, , , , îñóùåñòâëÿþùèõ îòîáðàæåíèÿ ìåæäó ðàçëè÷íûìè áåñêîíå÷-
íîìåðíûìè (êîíå÷íîìåðíûìè) ëèíåéíûìè âåêòîðíûìè ïðîñòðàíñòâàìè òàê,
÷òî G s D C sI A B( ) ( )� �
1 .  ïåðâóþ î÷åðåäü ê íèì îòíîñÿòñÿ ñèñòåìû ñ
îïåðàòîðàìè ÿäåðíîãî òèïà, êîòîðûå ïîðîæäàþò îãðàíè÷åííûé îïåðàòîð Ãàí-
êåëÿ [6], ñèíãóëÿðíûå ÷èñëà � �j j( )� 0 êîòîðîãî óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ
j
j
�
�
� � �
1
� . Ñîãëàñíî [7] îïåðàòîð Ãàíêåëÿ Ã ÿâëÿåòñÿ ÿäåðíûì, åñëè è òîëüêî
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 101
åñëè åãî ïåðåäàòî÷íàÿ ìàòðèöà G s( ), ñîîòâåòñòâóþùàÿ C sI A B( )
1 , ìîæåò
áûòü ïðåäñòàâëåíà â ôîðìå
G s g s G s G smr
i
mi
r
i i mr( ) ( )( ) , ( ) [ ( )]( )�
�
�
�
�
1
1Re � � (7)
ïðè óñëîâèè, ÷òî êîìïëåêñíûå ÷èñëà ðàñïîëîæåíû â ëåâîé ïîëóïëîñêîñòè
(óñòîé÷èâûå ñèñòåìû), ñèíãóëÿðíûå ÷èñëà ðàçëè÷íûå è
i
mi
r
Ng C
�
�
� �
1
| | | | | | ,( ) � ãäå
C � const, à | | | |� N
i
i�
�
�
�
1
� — ÿäåðíàÿ íîðìà Ã. Â ïðèíöèïå ýòîò ðåçóëüòàò ñ
èñïîëüçîâàíèåì öåïî÷êè ïàð Øìèäòà [8] ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ è íà ñëó÷àé êðàò-
íûõ ñèíãóëÿðíûõ ÷èñåë. Îäíàêî îãðàíè÷èìñÿ òîëüêî îäíîêðàòíûì ñëó÷àåì.
Ðÿäû (7) â îáëàñòè Res�0 ðàâíîìåðíî ñõîäÿòñÿ ïî ÿäåðíîé íîðìå àññîöèàòèâ-
íûõ îïåðàòîðîâ Ãàíêåëÿ. Èìïóëüñíàÿ ïåðåõîäíàÿ ìàòðèöà � �H t èíâàðèàíòíîé
ïî âðåìåíè ñèñòåìû â ñëó÷àå ÿäåðíîãî îïåðàòîðà à ñîñòîèò èç ýëåìåíòîâ
H tm
r( ) ( ), êîòîðûå ìîãóò ïðåäñòàâëÿòüñÿ ðàçëîæåíèÿìè
H t g emr
i
mi
r
i
ti( ) ( )( )�
�
�
�
1
Re � �
. (8)
Ïðè ýòîì ôóíêöèè � �H tmr ïî÷òè âñþäó íåïðåðûâíû íà ïîëóîñè t t� 0
è óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ
� �| ( )| | ( ) , | , , | |
|| ||
|| ||
H t H t C C M
l
R M� � � � � �
�
�
sup l l
1
1�
� � �| | /N t (9)
äëÿ âñåõ t t� 0 è Ì � const.
Ñîãëàñíî [6] ðàçëîæåíèå (7) ïåðåäàòî÷íîé ìàòðèöû ñõîäèòñÿ â H H� , 2 è
H N , à ñõîäèìîñòü ïî íîðìàì L H1, � , ãàíêåëåâîé è L2 èìïóëüñíîé ïåðåõîäíîé
ìàòðèöû H t( ) â âèäå ðàçëîæåíèÿ (8) îáåñïå÷èâàåòñÿ êëàññè÷åñêîé òåîðåìîé çà-
ìûêàíèÿ, ïðèâåäåííîé, íàïðèìåð, â [9]. Ïîýòîìó â êà÷åñòâå ïðèáëèæåííîé óñå-
÷åííîé ìîäåëè ñèñòåìû ìîæíî âûáðàòü ïåðåäàòî÷íóþ ìàòðèöó ñ ýëåìåíòàìè
G s g smr
n
i
n
mi
r
i i( ) ( )( )( )�
�
�
1
1Re � �
(10)
èëè ñîîòâåòñòâóþùóþ èìïóëüñíóþ ïåðåõîäíóþ ìàòðèöó, ñîñòîÿùóþ èç
H t g emr
n
i
n
mi
r
i
t
i( ) ( )( )�
�
�
1
Re � �
.
(11)
Ïðè ýòîì îáåñïå÷èâàåòñÿ ñõîäèìîñòü
| | ( )| | , | | ( ) ( )| |G s H t H tmr N mr
n
mr N�
�0 0 ïðè n ��,
ãäå N — îäíà èç óêàçàííûõ âûøå íîðì. Ôàêòè÷åñêè (10) îïèñûâàåò ñòàöèî-
íàðíóþ êîíå÷íîìåðíóþ äèíàìè÷åñêóþ ñèñòåìó, ýëåìåíòû ïåðåäàòî÷íîé ìàò-
ðèöû êîòîðîé ïðåäñòàâëåíû â âèäå ðàçëîæåíèÿ íà ïðîñòûå äðîáè. Êàæäîå
ñëàãàåìîå â (10) è àíàëîãè÷íîå â (11) ñâÿçàíî ñ îáîáùåííîé ñòåïåíüþ ñâîáî-
äû èëè ìîäîé ñèñòåìû. Âûðàæåíèÿ (10) è (11) ýêâèâàëåíòíû ïðåäñòàâëåíèþ
102 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2
H t C e B G s C s I A Bn
n
A t
n
n
n n n
n( ) , ( ) ( )� �
1 , (12)
ãäå ìàòðèöû A Bn n, è Cn îïðåäåëÿþò êîíå÷íîìåðíóþ ñèñòåìó â ïðîñòðàíñòâå
ñîcòîÿíèé, ò.å.
dx
dt
A x B u y C xn n n� � �, . (13)
Ðàçìåðíîñòè âåêòîðîâ y è u â (13) ðàâíû M è R ñîîòâåòñòâåííî. Â [6] ïðåä-
ëîæåíî èñïîëüçîâàòü òðîéêó îïåðàòîðîâ ( , ( ), )C T t B , ãäå T t( ) åñòü C0-ïîëóãðóï-
ïà â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå ñ èíôèíèòåçèìàëüíûì ãåíåðàòîðîì À äëÿ ïðåä-
ñòàâëåíèÿ â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå îïåðàòîðà Ãàíêåëÿ Ã, ñîîòâåòñòâóþùåãî
ïåðåõîäíîé ìàòðèöå H t( ) ÿäåðíîãî òèïà. Òîãäà èíôèíèòåçèìàëüíûé ãåíåðàòîð À
è îïåðàòîðû Ñ Â, â óïîðÿäî÷åííîé ôîðìå ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç ñèíãóëÿðíûå
÷èñëà à è íîðìàëèçîâàííûå ñîáñòâåííûå ôóíêöèè îïåðàòîðîâ � �* è �� * (� * —
ñîïðÿæåííûé îïåðàòîð) òàê, ÷òî îíè áóäóò äàâàòü íîðìàëüíóþ âûõîäíóþ ðåàëè-
çàöèþ ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ ( , , )C A B , ñîîòâåòñòâóþùèõ áåñêîíå÷íîìåðíîé ëè-
íåéíîé ñèñòåìå. Íîðìàëüíàÿ âûõîäíàÿ ðåàëèçàöèÿ [6] ïðåäñòàâëÿåò âèäîèçìå-
íåííóþ áàëàíñíóþ ðåàëèçàöèþ, ðàññìàòðèâàåìóþ â òåîðèè ðåàëèçàöèé [10] è èñ-
ïîëüçóåìóþ ïðè àïïðîêñèìàöèè êîíå÷íîìåðíûõ ñèñòåì. Óñå÷åííàÿ ñèñòåìà
( , , )C A Bn n n ïðè òàêîé ðåàëèçàöèè ñîâïàäàåò ñ (11), íî íàõîæäåíèå óðàâíåíèé
ñâÿçè ýëåìåíòîâ ìàòðèö A Cn n, è Bn ñ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè � i è
êîýôôèöèåíòàìè gmi
r( ) ÿâëÿåòñÿ íåòðèâèàëüíîé çàäà÷åé.
 íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííîì ñëó÷àå, êîãäà H t( ) — ìàòðèöà ñ äåéñòâèòåëü-
íûìè ýëåìåíòàìè, (11) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ðàçëîæåíèÿ
H t g e g emr
n
i
n
mi
r
i
t
mi
r
i
t
i i( ) ( ( ) ( )( ) ( )� �
�
�
1
Re Re� �� �
(14)
ñ ó÷åòîì, ÷òî G s G s( ) ( )� . Àíàëîãè÷íî çàïèñûâàåòñÿ âûðàæåíèå äëÿ G smr
n ( ).
Ñâÿçü ìåæäó ìîäåëÿìè (13) è (11) èëè (14) ñ ó÷åòîì (12) ñòàíîâèòñÿ äîñòà-
òî÷íî ïðîñòîé, åñëè âìåñòî áàëàíñíîé èëè íîðìàëüíîé âûõîäíîé ðåàëèçàöèè
âçÿòü æîðäàíîâó ôîðìó ðåàëèçàöèè [11].  òàêîì ñëó÷àå ìàòðèöà An êîíå÷íî-
ìåðíîé àïïðîêñèìèðóþùåé ìîäåëè ïðèíèìàåò âèä � �A S S Sn P� diag 1 2, , ,� ,
ãäå äèàãîíàëüíûé áëîê
S p
p p
p p
�
�
�
�
�
�
�
, à �
p p pj� � .
Ìàòðèöû Cn è Bn òîæå ïðåäñòàâèì â áëî÷íîì âèäå
C C C Cn P� [ , , , ]1 2 � è B B B Bn
T T T
P
T� [ , , , ]
1 2
� ,
ãäå
C
c c c
c c c
B
b
p
T p
c
p
c
Mp
c
p
s
p
s
Mp
s p
p
c
�
���
���
�
�
�
�
�
�
�
�
�1 2
1 2
1
,
b b
b b b
p
c
pR
c
p
s
p
s
pR
s
2
1 2
���
���
�
�
�
�
�
�
�
�
.
Ïðèâåäåì òîãäà (14) ê âèäó
H t g t g t emr
n
p
P
mp
r
p mp
r
p
tp( ) ( )( ) ( )� �
�
�
1
1 2cos sin
, (15)
ãäå g c b c b g c b c bmp
r
mp
c
pr
c
mp
s
pr
s
mp
r
mp
s
pr
c
mp
c
pr
( ) ( ),1 2� � �
s .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 103
Êðîìå òîãî, óäîáíî âûáðàòü ëèáî íàáëþäàåìóþ íîðìàëüíóþ æîðäàíîâó ðå-
àëèçàöèþ, ïðåäñòàâèâ äëÿ êàæäîé ìàòðèöû C p
T îäèí èç ñòîëáöîâ â âèäå
c c i Mip
c
ip
s� � �0 1 1, , , , ëèáî óïðàâëÿåìóþ íîðìàëüíóþ æîðäàíîâó ðåàëèçàöèþ,
ïîëîæèâ b b i Rpi
c
pi
s� � �0 1 1, , , , â êàæäîì áëîêå B p .  ïåðâîì ñëó÷àå óðàâíåíèÿ
ñâÿçè êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ (15) ñ ýëåìåíòàìè ìàòðèö C p è B p èìåþò âèä
b g b g r R p Ppr
c
ip
r
pr
s
ip
r� � � �( ) ( )
, ( , , , ),2 1 1 1 (16)
c
R
g g
g
c
R
g
mp
c
r
R
mp
r
mp
r
rp
r mp
s
r
R
�
�
� �
� �1
2
1
21 1
1 2
1
( ) ( )
( )
,
mp
r
mp
r
ip
r
g
g
( ) ( )
( )
1 2
2
�
( , , , , ),m M p P m i� � 1 1
à âî âòîðîì —
c g c g m M p P p imp
c
mi
r
mp
s
mi
r� � � � ( ) ( )
, ( , , , , ),1 2 1 1
b
M
g g g g
g
pr
c
m
M
mp
r
mi
r
mp
r
mi
r
mi
r
�
�
��
�1
1
1 1 2 2
1
2
( ) ( ) ( ) ( )
( )
g
b
M
g g g g
mi
r
pr
s
m
M
mp
r
mi
r
mp
r
mi
r
( )
( ) ( ) ( ) ( )
,
2
2
1 2 2 1
1
1
�
�
�
g gmi
r
mi
r( ) ( )1
2
2
2
�
. (17)
Åñëè ñèñòåìà èìååò îäèí âõîä è ìíîãî âûõîäîâ, òî öåëåñîîáðàçíî èñïîëüçîâàòü
íàáëþäàåìóþ æîðäàíîâó ôîðìó ðåàëèçàöèè, à ïðè îäíîì âûõîäå è ìíîãèõ âõîäàõ —
óïðàâëÿåìóþ íîðìàëüíóþ æîðäàíîâó ðåàëèçàöèþ.  ýòèõ ñëó÷àÿõ èìååòñÿ îäíîçíà÷-
íàÿ ñâÿçü ìåæäó êîýôôèöèåíòàìè ðàçëîæåíèÿ è ýëåìåíòàìè ìàòðèö ìîäåëè â ïðî-
ñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé.  îáùåì ñëó÷àå â ñèñòåìàõ ñî ìíîãèìè âõîäàìè è âûõîäàìè
èìååì ïåðåîïðåäåëåííóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé ñâÿçè è ïîýòîìó ðåøåíèÿ (16) è (17)
áûëè âû÷èñëåíû ñ èñïîëüçîâàíèåì ÌÍÊ, êîòîðûé äëÿ îïðåäåëåííîé ãðóïïû êîýô-
ôèöèåíòîâ ïðèâåë ê ïðîöåäóðå óñðåäíåíèÿ. Êðîìå òîãî, ÷èñòî äåéñòâèòåëüíûå ñî-
áñòâåííûå çíà÷åíèÿ â ðàçëîæåíèè (15) ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì, êîòîðûé ïîëó÷àåò-
ñÿ ïðè
p mp
s
pr
sc b� � �0 0, , ò.å. g tmr
r
p
( )
,2 0 1
cos
. Ïîýòîìó ðàçìåðíîñòü ìîäåëè
èëè ÷èñëî åå ñòåïåíåé ñâîáîäû ðàâíî n P P� �2 1 2 , ãäå P1 — ÷èñëî ñëàãàåìûõ â (15),
ñîîòâåòñòâóþùèõ êîìïëåêñíûì, à P2 — äåéñòâèòåëüíûì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì.
Òàêèì îáðàçîì, (15) — àïïðîêñèìèðóþùàÿ ñòðóêòóðà ýëåìåíòîâ èìïó-
ëüñíîé ïåðåõîäíîé ìàòðèöû, ïðåäñòàâëåííîé êàê ðàçëîæåíèå H tmr
n ( ) ïî íåçàâè-
ñèìûì áàçèñíûì ôóíêöèÿì, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ôóíäàìåíòàëüíûìè ðåøåíèÿìè
ýêâèâàëåíòíîé ëèíåéíîé ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ïîñòîÿííûìè
êîýôôèöèåíòàìè.
Ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà âûðàæåíèÿ (15) [ ( )]( )LH t smr
n äàåò äðîáíî-ðàöèîííóþ
ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ, ïðåäñòàâëåííóþ â âèäå ðàçëîæåíèÿ íà ýëåìåíòàðíûå äðîáè
è èìåþùóþ n ïîëþñîâ s j p Pp p� � �
, ,1 , â ëåâîé ïîëóïëîñêîñòè.
3. ÀÏÏÐÎÊÑÈÌÀÖÈß ÐÀÇËÎÆÅÍÈÅÌ ÏÎ ÎÐÒÎÍÎÐÌÈÐÎÂÀÍÍÎÌÓ ÁÀÇÈÑÓ
Ïóñòü S n — ìíîæåñòâî âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ïåðåäàòî÷íûõ ôóíêöèé ñ ìàêñè-
ìàëüíûì ÷èñëîì ïîëþñîâ n, ò.å. ñèñòåì, ìàêñèìàëüíàÿ ñòåïåíü êîòîðûõ íå
ïðåâûøàåò n. È ïóñòü S S
n
n� !
�0
— ëèíåéíîå ìíîãîîáðàçèå âñåõ êîíå÷íîìåð-
íûõ óñòîé÷èâûõ ñèñòåì. Òîãäà ñîãëàñíî òåîðåìå çàìûêàíèÿ êîíå÷íîìåðíûå
ñèñòåìû îáðàçóþò â S ïëîòíîå ìíîæåñòâî â ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðîñòðàíñòâàõ.
Ïîýòîìó çàäà÷ó íàõîæäåíèÿ àïïðîêñèìèðóþùåé êîíå÷íîìåðíîé ìîäåëè ñèñ-
104 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2
òåìû ìîæíî ðåøèòü, ïðåäñòàâëÿÿ èìïóëüñíûå ïåðåõîäíûå ôóíêöèè èëè ñîîò-
âåòñòâóþùèå èì ïåðåäàòî÷íûå ôóíêöèè â âèäå ðàçëîæåíèÿ ïî îðòîíîðìèðî-
âàííûì áàçèñíûì ôóíêöèÿì { }� k t( ) èëè { }L t sk� ( ) ( ). Êàæäàÿ èç íèõ, êàê
ïðàâèëî, ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðîé êîíå÷íîìåðíîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìå èëè
ðåàëüíîé ðàöèîíàëüíîé ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè èç ìíîæåñòâà S , ò.å.
{ }L s S kk� ( ) , , ...� �1 2 Òîãäà äëÿ ýëåìåíòîâ èìïóëüñíîé ïåðåõîäíîé ìàòðèöû
è ñîîòâåòñòâóþùèõ ïåðåäàòî÷íûõ ôóíêöèé ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå
ñõîäÿùååñÿ ðàçëîæåíèå
H t h f G s g L smr
k
mk
r
k mr
k
mk
r
k( ) ( ), ( ) [ ]( )( ) ( )� �
�
�
�
�
� �
1 1
� � . (18)
Îðòîíîðìèðîâàíîñòü áàçèñíûõ ôóíêöèé îçíà÷àåò, ÷òî
1
2
1
0�
� � �
�
�
�
�
�
"
#
$
[ ]( )[ ]( )
( ),
( ).
Lf j Lf j d
k
k
k l
l
l
Àïïðîêñèìèðóþùàÿ ìîäåëü â òàêîì ñëó÷àå ïðèìåò âèä
H t h t G s g Lmr
n
k
n
mk
r
k mr
k
n
mk
r
k( ) ( ), ( ) [ [ ]]( ) ( )� �
� �
� �
1 1
� � . (19)
 êà÷åñòâå áàçèñíûõ îðòîíîðìèðîâàííûõ ôóíêöèé äëÿ óñòîé÷èâûõ ñèñòåì
ÿäåðíîãî òèïà îáû÷íî èñïîëüçóþòñÿ îðòîãîíàëüíûå ìíîãî÷ëåíû (ýêñïîíåíöèà-
ëû). Íàèáîëåå óïîòðåáèòåëüíûìè ÿâëÿþòñÿ îáîáùåííûå ôóíêöèè Ëàãåððà
[13–15] äëÿ õîðîøî çàòóõàþùèõ ñèñòåì è äâóõïàðàìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè Êàóòöà
[15], êîòîðûå ëó÷øå ïîäõîäÿò äëÿ ñèñòåì ñ ðàññåÿííûìè ïîëþñàìè. Áîëåå óíè-
âåðñàëüíûìè ÿâëÿþòñÿ îáîáùåííûå îðòîãîíàëüíûå áàçèñíûå ôóíêöèè,
ïðåäëîæåííûå Õåóáåðãåðîì [16].
Èñõîäÿ èç (6), êîýôôèöèåíòû h
mk
r( ) ìîæíî íàéòè èç óðàâíåíèé
y t F h i N m M r Rm
r
i
k
n
rik mk
r( ) ( )( ) , , , , , ,� � � �
�
�
1
1 1 1 , (20)
ãäå F t u drik
t
t
k i r
i
�
�
0
� � � �( ) ( ) , à â ñëó÷àå, êîãäà â êà÷åñòâå âõîäíîãî âîçäå-
éñòâèÿ áåðåòñÿ èäåàëüíûé èìïóëüñ â âèäå äåëüòà-ôóíêöèè u tr �
� �( )0 , èìå-
åì F t trik k i�
� ( )0 . Öåëåñîîáðàçíî N âûáèðàòü òàê, ÷òîáû (20) äàâàëî ïåðå-
îïðåäåëåííóþ ñèñòåìó è íàõîäèòü îöåíêó � ( )h
mk
r ñ èñïîëüçîâàíèåì ÌÍÊ.
Êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ g
mk
r( ) ïåðåäàòî÷íûõ ôóíêöèé ìîæíî âû÷èñëèòü,
èñïîëüçóÿ ïðåîáðàçîâàííûå ïî Ôóðüå âõîäû U j e u t dtr
j t
r( ) ( )� ��
�
�
0
è âûõîäû
Y j e y t dtm
r j t
m
r( ) ( )( ) ( )� ��
�
�
0
. Òîãäà îöåíêó ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè � ( )G jmr � íà îñè
íàõîäèì èç îòíîøåíèÿ
� ( )
( )
( )
( )
G j
Y j
Ur j
mr
m
r
�
�
�
� . (21)
Ôóíêöèÿ �Gmr áóäåò õîðîøî îïðåäåëåííîé ïðè ëþáûõ �, åñëè U jm ( )� 0. Çà-
ìåòèì, ÷òî Y jm
r( ) ( )� è Ur j( )� ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíûå, ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ íà áåñêî-
íå÷íîñòè è íå ìîãóò ñîãëàñíî [12] èìåòü îãðàíè÷åííûé äèàïàçîí îïðåäåëåíèÿ. Âûá-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 105
ðàâ u t U tr r( ) ( )�
0
� , áóäåì èìåòü � ( ) ( ) \( )G j Y j Umr m
r
r� ��
0
.
Ïîñëå âû÷èñëåíèÿ � ( )G jmr � è [ ]( ), ;Lf j k nk � �1 , íàõîæäåíèå êîýôôèöèåí-
òîâ ðàçëîæåíèÿ g
mk
r( ) â (19) ñâîäèòñÿ ê êëàññè÷åñêîé çàäà÷å àïïðîêñèìàöèè ôóíê-
öèè � ( )G jmr � êîíå÷íûì ðÿäîì, êîòîðàÿ òàêæå ðåøàåòñÿ ÌÍÊ. Äëÿ òî÷íûõ èñ-
õîäíûõ äàííûõ è âûñîêîòî÷íûõ âû÷èñëåíèé êàê â ïåðâîé, òàê è âî âòîðîé çàäà-
÷àõ ìîæíî ïîëó÷èòü àïïðîêñèìèðóþùóþ ìîäåëü ñ ëþáîé ïîãðåøíîñòüþ,
îöåíèâàåìîé ïî îäíîé èç óêàçíûõ íîðì. Êîãäà æå èñõîäíûå äàííûå èçâåñòíû
íåòî÷íî (â óñëîâèÿõ íåïîëíîòû èíôîðìàöèè îá îáúåêòå è ïðè èçìåðåíèÿõ è âû-
÷èñëåíèÿõ), âîçíèêàþò ïðîáëåìû, ïðèíöèïèàëüíî âëèÿþùèå íà ïîäõîä ê ðåøå-
íèþ çàäà÷è ïîñòðîåíèÿ àïïðîêñèìèðóþùåé ìîäåëè. Ïðåæäå âñåãî, íåëüçÿ ãàðàí-
òèðîâàòü ñõîäèìîñòü àïïðîêñèìèðóþùåé ìîäåëè ê òî÷íîé ïðè n ��, è çàäà÷à åå
íàõîæäåíèÿ ñòàíîâèòñÿ íåêîððåêòíî ïîñòàâëåííîé. Ìîæåò áûòü íàéäåíà òîëüêî
ïðèáëèæåííàÿ ìîäåëü, ïîãðåøíîñòü êîòîðîé â ëó÷øåì ñëó÷àå ñîãëàñóåòñÿ ñ ìåðîé
íåîïðåäåëåííîñòè. Ïðè ýòîì ñóùåñòâóåò îïòèìàëüíàÿ ñëîæíîñòü àïïðîêñèìàöèè,
ïðè êîòîðîé íåâÿçêà | | | |G Gmr mr
n
N
áóäåò íàèìåíüøåé. Çäåñü N , êàê îáû÷íî,
åñòü îäíà èç íîðì: L H L1 2, ,� èëè ãàíêåëåâà. Åñëè ïåðåäàòî÷íûå ôóíêöèè ñèñòå-
ìû ïðåäñòàâèòü â âèäå G s G smr mr( ) ( )� % , òî âîçìóùåíèå %Gmr ìîæíî ðàññìàò-
ðèâàòü êàê êîìïëåêñíîå âëèÿíèå âñåõ îøèáîê. Êîãäà G smr ( ) è %G smr ( )
ïðåäñòàâëÿþò óñòîé÷èâûå ñèñòåìû, àïððîêñèìàöèîííûå ÷èñëà
e G G Gn
N n
N( ) | | | |�
ñèñòåìû G s( ) ñîãëàñíî [17, 9] óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùèì
íåðàâåíñòâàì:
e G G e G e Gn p
N
mr mr n
N
mr p
N
mr� � � �( ) ( ) ( ),% %
e G G e G e Gnp j
N
mr mr k p j
N
mr p
N
mr� � �� �
( ) ( ) ( ).
( )
% %
1
(22)
Òîãäà åñëè e Gn
N
mr( ) äîñòàòî÷íî áûñòðî óìåíüøàåòñÿ ñ ðîñòîì n, íà÷èíàÿ ñ n �1,
à e Gn mr( )% íå î÷åíü áûñòðî óâåëè÷èâàåòñÿ äëÿ òåõ æå n, òî îáû÷íî ñóùåñòâóåò òàêàÿ
îïòèìàëüíàÿ ðàçìåðíîñòü n* ðàöèîíàëüíîé àïïðîêñèìàöèè, ÷òî
e G G e G
n
N
mr mr
N
mr*
( ) ( )� &% %
0
. Àïïðîêñèìàöèîííóþ ðàçìåðíîñòü n* ìîæíî ñ÷è-
òàòü íàèëó÷øåé ïðèáëèæåííîé ìîäåëüþ ðåàëüíîé ñèñòåìû Gmr , ïîñêîëüêó îíà îïè-
ñûâàåò ãëàâíûì îáðàçîì äèíàìè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè ñàìîé ñèñòåìû, à íå åå âîçìó-
ùåíèé. Äðóãèìè ñëîâàìè, íà îöåíêó î÷åíü ãðóáîé ìîäåëè (n ìàëî) âîçìóùåíèÿ íå
îêàçûâàþò ñóùåñòâåííîãî âëèÿíèÿ, à ñ ðîñòîì n, õîòÿ òî÷íîñòü àïïðîêñèìàöèè óëó÷-
øàåòñÿ, íî ðàñòåò âëèÿíèå âîçìóùåíèé íà îöåíêó ïàðàìåòðîâ ìîäåëè è ïðè íåêîòî-
ðîì n* ïîãðåøíîñòè óðàâíîâåøèâàþòñÿ.
Ñîâåðøåííî î÷åâèäíî, ÷òî n* è e G G
n
N
mr mr*
( )� % ñóùåñòâåííî çàâèñÿò îò âûáî-
ðà áàçèñíûõ ôóíêöèé.  ðàáîòå [16] ïîêàçàíî, ÷òî åñëè äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà, ãåíåðè-
ðóþùàÿ áàçèñ, è ñèñòåìà, êîòîðàÿ ìîäåëèðóåòñÿ, èìåþò ïî äèíàìèêå áëèçêèå õàðàêòå-
ðèñòèêè, òî ðÿäû (18) áûñòðî ñõîäÿòñÿ è õîðîøóþ àïïðîêñèìàöèþ ìîæíî ïîëó÷èòü
äàæå ïðè ìàëûõ n. Îäíàêî ïðè áîëüøèõ ðàçëè÷èÿõ â äèíàìè÷åñêèõ ñâîéñòâàõ ñèñòåìû
è âðåìåííû �õ õàðàêòåðèñòèêàõ áàçèñíûõ ôóíêöèé ìîæåò ïîòðåáîâàòüñÿ äîñòàòî÷íî
áîëüøîå ÷èñëî ÷ëåíîâ ðÿäà n, ÷òîáû ðåçóëüòèðóþùàÿ ìîäåëü îòðàæàëà âñþ
ñóùåñòâåííóþ äèíàìèêó ñèñòåìû.
Ïóñòü � n — ëèíåéíîå ìíîãîîáðàçèå, îáðàçîâàííîå áàçèñíûìè ýëåìåíòàìè
{ }L k nk� , ,�1 , ò.å. � �n
k
n
kL�
�0
� . (23)
Òîãäà îïðåäåëèì âåëè÷èíû
106 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2
E G
G r
G
n
N
r S
n N
Nn n
( )
| | | |
| | | |
�
�
inf è e G
G
G
n
N n N
Nn n
( )
| | | |
| | | |
�
�
inf
� �
�
,
â êîòîðûõ N îçíà÷àåò îäíó èç ðàññìîòðåííûõ âûøå íîðì. Ïîíÿòíî, ÷òî
e G E Gn
N
n
N( ) ( )� . Îïðåäåëèì
-ðàçìåðíîñòè n EN ( , )
è n eN ( , )
ïî îòíîøåíèþ ê
íîðìå | | | |� N äëÿ G êàê
� �n E n E GN
N
n
n
N( , ) min : ( ) ,
� � �0
� �n e n e GN
N
n
n
N( , ) min : ( ) .
� � �0
Ïðè ýòîì íå èñêëþ÷àåòñÿ, ÷òî nN (., )
� �. Äëÿ äîñòàòî÷íî ìàëûõ
ìîæåò îêà-
çàòüñÿ, ÷òî n n eN
N* ( , )�
, ò.å. ïîñòðîèòü ïðèáëèæåííóþ ìîäåëü ñ
-ïîãðåøíîñ-
òüþ â âèäå ðàçëîæåíèÿ ïî áàçèñíûì ôóíêöèÿì { }L kk� , ,�1 2� íåëüçÿ. Òîãäà
ñóùåñòâóåò
* , äëÿ êîòîðîãî n n eN
N* *( , )'
. Ýòî îïðåäåëÿåò ìîäåëü íàèìåíü-
øåé ïîãðåøíîñòè, êîòîðóþ ìîæíî ïîñòðîèòü â ðàìêàõ âûáðàííîãî ìåòîäà àï-
ïðîêñèìàöèè. Èç ýòîãî çàêëþ÷àåì, ÷òî îïòèìàëüíàÿ ðàöèîíàëüíàÿ àïïðîêñèìàöèÿ
(10)–(12) â îáùåì ñëó÷àå äîëæíà äàâàòü ëó÷øèé ðåçóëüòàò, ÷åì îïòèìàëüíàÿ àï-
ïðîêñèìàöèÿ êîíå÷íûì ðÿäîì ñ ðàçëîæåíèåì ïî îðòîíîðìèðîâàííîìó áàçèñó.
Îäíàêî íàõîæäåíèå îïòèìàëüíîãî ðåøåíèÿ ðàöèîíàëüíîé àïïðîêñèìàöèè ÿâëÿåò-
ñÿ áîëåå ñëîæíîé çàäà÷åé.  äàííîé ðàáîòå ïðåäëàãàåòñÿ îðèãèíàëüíûé ïîäõîä ê
íàõîæäåíèþ îïòèìàëüíîé ðàöèîíàëüíîé ïðèáëèæåííîé ìîäåëè íà îñíîâå (15).
4. ÌÅÒÎÄ ÎÏÒÈÌÀËÜÍÎÉ ÐÀÖÈÎÍÀËÜÍÎÉ ÀÏÏÐÎÊÑÈÌÀÖÈÈ
×ÅÐÅÇ ÈÒÅÐÀÒÈÂÍÓÞ ÈÄÅÍÒÈÔÈÊÀÖÈÞ
 âûðàæåíèè (15) èìïóëüñíûå ïåðåõîäíûå ôóíêöèè ïðåäñòàâëåíû â âèäå ðàç-
ëîæåíèÿ ïî ñèñòåìå íåçàâèñèìûõ ôóíêöèé, ÿâëÿþùèõñÿ ôóíäàìåíòàëüíûìè
ðåøåíèÿìè ñèñòåìû (13). Ïðè ýòîì íåèçâåñòíû íå òîëüêî êîýôôèöèåíòû ðàç-
ëîæåíèÿ gmp
r( )1 è gmp
r( )2 , íî è ïàðàìåòðû p è
p ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìàòðè-
öû An . Åñëè áû ýòè ïàðàìåòðû áûëè èçâåñòíû, òî çàäà÷à îïòèìàëüíîé ðàöèî-
íàëüíîé àïïðîêñèìàöèè áûëà áû àíàëîãè÷íà ñëó÷àþ îðòîíîðìèðîâàííîãî áà-
çèñà. Ïîýòîìó ïðåäëàãàåòñÿ ñíà÷àëà îöåíèâàòü � p è �
p , à çàòåì íàõîäèòü
îïòèìàëüíûå ïðèáëèæåíèÿ � ( )gmp
r1 è � ( )gmp
r2 . Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ ïîäõîäàìè
è ìåòîäàìè, êîòîðûå ïðèìåíÿþòñÿ ïðè èäåíòèôèêàöèè ñèñòåì. Âñå îíè ñâî-
äÿòñÿ ê òîìó, ÷òî íà âõîäû èññëåäóåìîãî îáúåêòà ïîäàþòñÿ âîçáóæäàþùèå
âîçäåéñòâèÿ è èçìåðÿåòñÿ âûõîäíàÿ ðåàêöèÿ íà íèõ. Ïî ýòèì ïîëó÷åííûì â
ýêñïåðèìåíòàõ äàííûì çàòåì âîññòàíàâëèâàþòñÿ óêàçàííûå íåèçâåñòíûå ïàðà-
ìåòðû. Åñëè çàäàíà êðàåâàÿ çàäà÷à, ðàññìàòðèâàåìàÿ â ìàòôèçèêå, è åñòü íåîá-
õîäèìîñòü ïîñòðîèòü äëÿ íåå óïðîùåííóþ àïïðîêñèìèðóþùóþ ìîäåëü ñ êî-
íå÷íûì ÷èñëîì âõîäîâ è âûõîäîâ, òî íåîáõîäèìûå äëÿ ýòîãî äàííûå ñëåäóåò
ïîëó÷èòü èç ñîîòâåòñòâóþùèõ âû÷èñëèòåëüíûõ ýêñïåðèìåíòîâ. Äàëüíåéøåå
ðåøåíèå çàäà÷ èäåíòèôèêàöèè íè÷åì íå îòëè÷àåòñÿ êàê äëÿ ðåàëüíîãî, òàê è
âèðòóàëüíîãî îáúåêòîâ.  êà÷åñòâå âõîäíûõ âîçäåéñòâèé ìîãóò áûòü
ðàçëè÷íûå ñèãíàëû, íî âàæíî, ÷òîáû îíè áûëè èíôîðìàòèâíû è äàâàëè
îòêëèê âñåõ ñóùåñòâåííûõ ìîä ñèñòåìû. ×òîáû óñòàíîâèòü óñëîâèÿ
èíôîðìàòèâíîñòè, ðàññìîòðèì ñíà÷àëà âîçäåéñòâèå
u t u t u tr
j
J
rj
s
j rj
c
j( ) ( )( ) ( )� �
�
�
1
sin cos� � , (24)
ïîäàâàåìîå íà êàæäûé îòäåëüíûé âõîä. Òîãäà îòêëèê íà m-ì âûõîäå áóäåò
ðàâåí
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 107
y t d t d t em
r
p
P
mp
r
p mp
r
p
tp( ) ( ) ( )
( ) ( )� �
�
�
1
1 2sin cos
�
�
�
j
J
mj
r
j mj
r
jd t d t
1
3 4( )
( ) ( )
sin cos� � , (25)
ãäå
( )d
g
u ump
r mp
r
j
J
rj
s
rj
c( )
( )
( ) ( )( ) ( )1
1
1
1 2 3 4
2
�
� �
�
� % % % %
( )
�
�
�
g
u u
mp
r
j
J
rj
s
rj
c
( )
( ) ( )( ) ( )
2
2 1
3 4 1 2% % % % ,
( )d
g
u ump
r mp
r
j
J
rj
s
rj
c( )
( )
( ) ( )( ) ( )2
1
2 1
3 4 1 2�
� �
�
� % % % %
( )�
� �
�
�
g
u u
mp
r
j
J
rj
s
rj
c
( )
( ) ( )( ) ( )
2
2 1
1 2 3 4% % % % ,
d u
g g
mj
r
rj
s
p
P
mp
r
mp
r
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )3
1 2
1
1 2 3 4
2 2
� �
�
�
� % % % %
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�u
g g
rj
c
p
P
mp
r
mp
r
( )
( ) ( )
( ) ( )
1
3 4 1 2
1 2
2 2
% % % %
�
(26)
d u
g g
mj
r
rj
s
p
P
mp
r
mp
r
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )4
1 2
1
3 4 1 2
2 2
�
�
�
� % % % %
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�u
g g
rj
c
p
P
mp
r
mp
r
( )
( ) ( )
( ) ( )
1
1 2 3 4
1 2
2 2
% % % %
�
%1 2 2
�
�
�
p
p p j( )
, % 2 2 2
�
� �
�
p
p p j( )
, % 3 2 2
�
�
�
�
p j
p p j( )
,
% 4 2 2
�
�
� �
�
�
p j
p p j( )
.
Ñ ïîìîùüþ (24) ìîæíî ôîðìèðîâàòü ñàìûå ðàçíîîáðàçíûå âõîäíûå âîçäå-
éñòâèÿ. Â âûðàæåíèèè (25) âûõîäíûå ñèãíàëû ïðåäñòàâëåíû ðàçëîæåíèåì ïî
ñèñòåìå íåçàâèñèìûõ ôóíêöèé, ñîñòîÿùèõ èç ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé (ïåðâûå ñëà-
ãàåìûå), õàðàêòåðèçóþùèõ ïåðåõîäíûé ïðîöåññ, è ôóíêöèé, îïðåäåëÿþùèõ
óñòàíîâèâøèåñÿ êîëåáàíèÿ, âûçâàííûå (24). Òîãäà ðàöèîíàëüíóþ àïïðîêñèìà-
öèþ ìîæíî îñóùåñòâèòü ñëåäóþùèì àëãîðèòìîì. Ñíà÷àëà íàéòè îïòèìàëüíóþ
àïïðîêñèìàöèþ ýêñïåðèìåíòàëüíîé ôóíêöèè y tm
r( ) ( ) êîíå÷íûì ðÿäîì (25), ïîëó-
÷èòü îöåíêó ïàðàìåòðîâ � p è �
p è êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ � ( )
dmp
r1 , � ( )
dmp
r2 , � ( )
dmp
r3 ,
108 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2
� ( )
dmp
r4 ( , , , ).p P j J� �1 1 Çàòåì èç (26) íàéòè îöåíêó � ( )
gmp
r1 , � ( )
gmp
r2 è, íàêîíåö, èç (16)
èëè (17) îïðåäåëèòü ìîäåëü (13) â æîðäàíîâîé ðåàëèçàöèè.
Ïðè îïòèìàëüíîé àïïðîêñèìàöèè, îäíàêî, öåëåñîîáðàçíî âûäåëÿòü èç (25)
îòäåëüíî âûíóæäåííîå äâèæåíèå è ïåðåõîäíûé ïðîöåññ. ×òîáû âûäåëèòü, íà-
ïðèìåð, óñòàíîâèâøèéñÿ ðåæèì äëÿ óñòîé÷èâûõ ñèñòåì, äîñòàòî÷íî â êà÷åñòâå
èñõîäíûõ äàííûõ áðàòü ôóíêöèþ y tm
r( ) ( ) ïðè t T�� , ãäå T îïðåäåëÿåò õàðàêòåð-
íîå âðåìÿ ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà. Íàéòè îïòèìàëüíóþ àïïðîêñèìàöèþ ýòîé
ôóíêöèè ïðè t T�� óñå÷åííûì ðÿäîì
j
J
mj
r
j mj
r
jd t d t
�
� �
1
3 4( )
( ) ( )
sin cos� � , à çàòåì
èñïîëüçîâàòü ìåòîä ÷àñòîòíîé èäåíòèôèêàöèè, îïèñàííûé â [18, 19] äëÿ îïðåäå-
ëåíèÿ àïïðîêñèìèðóþùåé ìîäåëè. Ìîæíî ïðèìåíèòü äðóãîé ïîäõîä: îïðåäå-
ëèòü dmj
r( )3 è dmj
r( )4 îïòèìàëüíîé àïïðîêñèìàöèåé êîíå÷íûì ðÿäîì èëè ïîñëåäîâà-
òåëüíûì èíòåãðèðîâàíèåì íà ñêîëüçÿùèõ èíòåðâàëàõ t t
j
, .�
�
�
�
�
�
�
2�
�
Âûäåëèòü òà-
êèì îáðàçîì ñèãíàë òîëüêî îäíîé ãàðìîíèêè (ïîäðîáíîñòè ñìîòðè â [20]) è
íàéòè ñîãëàñíî [18] ñîîòâåòñòâóþùóþ åé ÷àñòîòíóþ õàðàêòåðèñòèêó. Âûäåëÿÿ
ïî î÷åðåäè ñèãíàëû âñåõ ÷àñòîò � j , j J�1, , îïðåäåëèòü âñå êîýôôèöèåíòû dmj
r( )3
è dmj
r( )4 . Çíàÿ èõ, íàéòè èç (26) çíà÷åíèÿ
p
P
mp
r
mp
r
g g
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�1
1 2 3 4
1 2
2 2
( ) ( )
( ) ( )% % % % è
p
P
mp
r
mp
r
g g
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�1
3 4 1 2
1 2
2 2
( ) ( )
( ) ( )% % % % .
Òàêàÿ çàäà÷à ðàçðåøèìà, ïîñêîëüêó äåòåðìèíàíò ñîîòâåòñòâóþùåé ñèñòåìû
ëèíåéíûõ óðàâíåíèé âòîðîãî ïîðÿäêà ðàâåí ( ) ( )( ) ( )u urj
s
rj
c2 2� . Â ðåçóëüòàòå ïîëó-
÷àåì ñèñòåìó óðàâíåíèé äëÿ îïðåäåëåíèÿ gmp
r( )1 , gmp
r( )2 , p è
p . Ðåøåíèå ýòèõ
óðàâíåíèé ñîãëàñíî óñëîâèÿì ðåàëèçóåìîñòè ìåòîäà ÷àñòîòíîé èäåíòèôèêàöèè
[21] ñóùåñòâóåò ïðè J P� . Îäíàêî èäåíòèôèêàöèÿ ïî âûíóæäåííîìó äâèæåíèþ
íå ðåøàåò ïðîáëåìû âûáîðà ïîäõîäÿùåé ðàçìåðíîñòè àïïðîêñèìèðóþùåé ìîäå-
ëè. Ïîýòîìó ïðè èòåðàòèâíîé èäåíòèôèêàöèè áîëåå ïåðñïåêòèâíûì ïðåäñòàâëÿ-
åòñÿ âûäåëåíèå èç (25) ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà. Äëÿ ýòîãî ïðîèçâåäåì ìíîãîêðàò-
íîå èíòåãðèðîâàíèå y tmp
r( ) ( ) íà ñêîëüçÿùèõ èíòåðâàëàõ t t
j
, .�
�
�
�
�
�
�
2�
�
 ðåçóëüòàòå
ïîëó÷èì íîâûé ñèãíàë ~ ( )( )y tmp
r , ðàâíûé
~ ( )( )y t d d ym
r
t
t
J
j
J
�
� � �
� � �
2
1
2
2
2
1
1
1
2
1
1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � � m
r
j jd( ) ( )� � �
� �� �
�
�
p
P
mp
r
p mp
r
p
t
d t d t e p
1
1 2
~ ~( ) ( )
sin cos
.
(27)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 109
Âûðàæåíèå êîýôôèöèåíòîâ
~ ( )
dmp
r1 è
~ ( )
dmp
r2 ÷åðåç dmp
r( )1 , dmp
r( )2 ïðèâîäèòü çäåñü íå
áóäåì â ñèëó èõ ãðîìîçäêîñòè. Òîãäà, ïîëó÷èâ â ýêñïåðèìåíòàõ y tm
r( ) ( )
è âû÷èñëèâ ~ ( )( )y tm
r èç (27), ìîæíî íàéòè P, p ,
p ,
~ ( )
dmp
r1 ,
~ ( )
dmp
r2 . Îáðàòèìñÿ
òåïåðü ê ïðîöåäóðå îïðåäåëåíèÿ gmp
r( )1 è gmp
r( )2 èç (26). Îíè âû÷èñëÿþòñÿ èç (26)
êîððåêòíî, åñëè äåòåðìèíàíò
( )
j
J
rj
s
rj
cu u
�
�
� �
*
+
,
,
-
.
/
/
�
1
1 2 3 4
2
( ) ( )( ) ( )% % % %
( )�
�
*
+
,
,
-
.
/
/
�
�
j
J
rj
s
rj
cu u
1
3 4 1 2
2
( ) ( )( ) ( )% % % %
íå ðàâåí íóëþ. Èìåííî îí îïðåäåëÿåò óñëîâèå èíôîðìàòèâíîñòè âõîäíîãî âîçäå-
éñòâèÿ (24) äëÿ êàæäîé èç ìîä ñèñòåìû ïðè èäåíòèôèêàöèè ïî ïåðåõîäíîìó
äâèæåíèþ. Êîãäà àïðèîðè p ,
p íåèçâåñòíû, òî îöåíèòü àìïëèòóäó dmp
r( )1 è
dmp
r( )2 , ñ êîòîðîé âîçáóæäàþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèå ìîäû, äëÿ îáùåãî ñëó÷àÿ çà-
òðóäíèòåëüíî. Ìîæåò îêàçàòüñÿ, ÷òî îäèí è òîò æå âõîä äëÿ îäíîé ìîäû áóäåò
äàâàòü ìàêñèìàëüíîå âîçáóæäåíèå, à äëÿ êàêîé-òî äðóãîé åå ñèãíàë ìîæåò îêà-
çàòüñÿ íà óðîâíå âîçìóùåíèé. Ïîýòîìó ïðåäëàãàåòñÿ èñïîëüçîâàòü âõîäíûå âîç-
äåéñòâèÿ, èíôîðìàòèâíîñòü êîòîðûõ ëåãêî àíàëèçèðóåòñÿ è êîòîðûå ñïîñîáíû
âîçáóäèòü ìîäû â øèðîêîì äèàïàçîíå ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé. Òàêèì âõîäíûì
âîçäåéñòâèåì ìîæåò áûòü ïðÿìîóãîëüíûé èìïóëüñ, ïðèëîæåííûé íà èíòåðâàëå
[ , ]t t0 1 èíòåíñèâíîñòüþ ur0
íà r-ì âõîäå. Äëÿ èòåðàòèâíîé èäåíòèôèêàöèè
ìîæíî èñïîëüçîâàòü ñâîáîäíîå äâèæåíèå ïðè t t� 1, êîòîðîå èìååò âèä
y t u
e e t
m
r
r
p
P
t t t t
p
p p
( )
( ) ( )
( )
(
�
�
�
�0
1 0 1 0
1
2
11 2
cos
�
*
+
,
,,
-
.
/
//
0
t
p p
0
2 2
1 2
)
/
� �0
�
�g t t g t t emp
r
p mp
r
p
p( ) ( ) (
[ ( ) ] [ ( )]1 2
1 1sin cos
�
�
t t
1)
, (28)
ãäå �
�
�
�
�
arcsin arcsin
sinp
p p
t t
pe t t
e
p
2 2
1 0
2
1 0
1
( )
( )
p pt t t t
pe t t
( ) ( )
( )1 0 1 02 1 0
cos
,
èëè ïåðåõîäíûé ïðîöåññ ïðè t t� 0 è t1 � �, ïðèíèìàþùèé âûðàæåíèå
y t u g em
r
r
p
P
p p
mp
r t t
p
p( ) ( ) ( )
( ) ( [ ](�
�
�
�0
1 0
1 2 2
1
sin t t
�
"
#
$
0 ) ] )� �sin
�
1
2
3
g e t tmp
r t t
p
p( ) ( )
( [ ( ) ]2 0
0
� �cos cos , (29)
ãäå �
�
�
�
�
arcsin arccos
p
p p
p
p p
2 2 2 2
.
110 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2
Èç (28) è (29) âèäíî, ÷òî âîçáóæäåíèå ìîä ñïàäàåò îáðàòíî-ïðîïîðöèîíàëüíî
p è
p è íàèáîëåå èíôîðìàòèâíî ïðè ìàêñèìàëüíî äîïóñòèìîì ur0
. Äëÿ ìàëûõ
p øèðèíó èìïóëüñà t t1 0
öåëåñîîáðàçíî óâåëè÷èâàòü. Êîðîòêèå èìïóëüñû
ñíèæàþò èíôîðìàòèâíîñòü ìîä ñ ìàëûìè p . Êàæäîé ñèñòåìå íà ïëîñêîñòè
( p ,
p ) ìîæíî âûäåëèòü îáëàñòü (ñåêòîð), êîòîðàÿ âûäåëÿåò èíôîðìàòèâíûå
ìîäû íà ôîíå ïîãðåøíîñòè èñõîäíûõ äàííûõ. Íàèáîëåå øèðîêîïîëîñíûì ÿâëÿ-
åòñÿ èìïóëüñíîå âõîäíîå âîçäåéñòâèå â âèäå u t u t tr r( ) ( )�
0 0� , êîòîðîå äàåò îò-
êëèê
y t u g t t g tm
r
p
P
r mp
r
p mp
r
p
( ) ( ) ( )
( ) ( ) (�
�
�
�
1
00
1 2cos sin
( )
t e p t t
0
0)
( )
. (30)
Ðàññìîòðèì òåïåðü îäíó èç âîçìîæíûõ èòåðàòèâíûõ ñõåì âîññòàíîâëåíèÿ
ïàðàìåòðîâ àïïðîêñèìèðóþùåé ìîäåëè. Ïðåäëàãàåòñÿ ïî àíàëèòè÷åñêèì âûðà-
æåíèÿì âûõîäîâ (28), (29) èëè (30) è ñîîòâåòñòâóþùèì èì ýêñïåðèìåíòàëüíûì
äàííûì íàõîäèòü íå âñþ ìîäåëü ñðàçó, à âîññòàíàâëèâàòü åå ïî ÷àñòÿì, îïðåäå-
ëÿÿ íà êàæäîé èòåðàöèè ïàðàìåòðû îäíîé èëè íåñêîëüêèõ ìîä, äàþùèõ íàèáîëü-
øèé âêëàä â y tm
r( ) ( ) íà èíôîðìàòèâíîì èíòåðâàëå [ , ]t T1 èëè [ , ]t T0 . Íà÷èíàòü
íàäî ñ òåõ ìîä, êîòîðûå äàþò èíôîðìàòèâíûé ñèãíàë (îòíîøåíèå ñèãíàë/øóì
áîëüøå åäèíèöû) â êîíöå èíòåðâàëà, ò.å. âáëèçè T . Î÷åâèäíî, ÷òî âáëèçè T âêëàä
â y tm
r( ) ( ) ïðåèìóùåñòâåííî áóäóò äàâàòü ìîäû ñ ñàìûìè ìàëûìè ïî âåëè÷èíå
çíà÷åíèÿìè p , à ïî ìåðå ïðèáëèæåíèÿ ê t1 èëè t0 áóäåò ðàñòè ÷èñëî ñóùåñòâåí-
íûõ ìîä çà ñ÷åò áîëüøèõ ïî âåëè÷èíå p . Òàêèì îáðàçîì, â ïðàâîì êîíöå èíòåð-
âàëà áóäåì èìåòü íåáîëüøîå ÷èñëî èíôîðìàòèâíûõ ìîä, à ïî ìåðå ïðèáëèæåíèÿ
ê ëåâîìó êîíöó èõ ÷èñëî áóäåò ïîñëåäîâàòåëüíî ðàñòè. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî è áó-
äåò èñïîëüçîâàòüñÿ ïðè èòåðàòèâíîé èäåíòèôèêàöèè. Â ðåçóëüòàòå ìîäåëü ìîæ-
íî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñîâîêóïíîñòè ñóáìîäåëåé, êàæäàÿ èç êîòîðûõ áóäåò âîñ-
ñòàíàâëèâàòüñÿ ïî îòäåëüíîñòè. Ñíà÷àëà ïî äàííûì ïåðâîãî ñóáèíòåðâàëà âáëè-
çè T , èñïîëüçóÿ (28), (29) èëè (30), íàõîäèì âñå íåèçâåñòíûå ïàðàìåòðû,
ñîîòâåòñòâóþùèå ïåðâîé ñóáìîäåëè. Çàòåì ïî òåì æå ôîðìóëàì âû÷èñëÿåì àíà-
ëèòè÷åñêèé ñèãíàë y t
m
r
1
( ) ( ), ñîîòâåòñòâóþùèé ïåðâîé ñóáìîäåëè, è âû÷èòàåì åãî
èç y tm
r( ) ( ), ïîëó÷åííîãî èç ýêñïåðèìåíòà. Íîâûé ñèãíàë y t y tm
r
m
r( ) ( )( ) ( )
1
áóäåò
èñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ îöåíèâàíèÿ ïàðàìåòðîâ âòîðîé ñóáìîäåëè. Ó ýòîãî ñèãíàëà
áóäåò ñâîé èíòåðâàë èíôîðìàòèâíîñòè [ , ]t T1 1 èëè [ , ]t T0 1 . Äàëåå ïîñòóïàåì àíà-
ëîãè÷íî. Âáëèçè T1 âûáèðàåì ñóáèíòåðâàë äëÿ âòîðîé ñóáìîäåëè, ïî äàííûì êî-
òîðîãî îöåíèâàþòñÿ åå íåèçâåñòíûå ïàðàìåòðû. Âû÷èòàÿ âû÷èñëåííûé ïî ñîîòâå-
òñòâóþùèì ôîðìóëàì ñèãíàë y t
m
r
2
( ) ( ) èç y t y tm
r
m
r( ) ( )( ) ( )
1
, ôîðìèðóåì íîâûå T2 è
ñóáèíòåðâàë. Ïîñëå ÷åãî âû÷èñëÿþòñÿ ïàðàìåòðû î÷åðåäíîé, òðåòüåé ñóáìîäåëè.
Òàêèå èòåðàöèè ïîâòîðÿþòñÿ äî òåõ ïîð, ïîêà ñèãíàë y t y t y tm
r
m
r
m
r
q
( ) ( ) ( )( ) ( ) ... ( )
1
íå ñòàíåò íà óðîâíå øóìîâ. Òîãäà ñîâîêóïíîñòü âñåõ íàéäåííûõ ñóáìîäåëåé áóäåò
äàâàòü æîðäàíîâó ðåàëèçàöèþ êîíå÷íîìåðíîé àïïðîêñèìàöèè, ñîãëàñîâàííóþ ñ
ïîãðåøíîñòüþ èñõîäíûõ äàííûõ. Âû÷èñëèòåëüíûå ýêñïåðèìåíòû ïîêàçûâàþò, ÷òî íà
î÷åðåäíîé èòåðàöèè âíîâü ìîæåò âîçíèêíóòü ñèãíàë óæå èäåíòèôèöèðîâàííîé ìîäû.
Òîãäà ñëåäóåò âåðíóòüñÿ íàçàä íà èòåðàöèþ, ãäå âû÷èñëÿëèñü ïàðàìåòðû ýòîé ìîäû,
ñêîððåêòèðîâàòü åå ïàðàìåòðû è ïðîäîëæèòü èòåðàöèè. Ïðè ïðÿìîóãîëüíîì èìïóëüñå,
ñîîòâåòñòâóþùåì (28), åñëè èìååòñÿ âîçìîæíîñòü ìíîãîêðàòíîãî ïîâòîðåíèÿ ýêñïåðè-
ìåíòîâ, öåëåñîîáðàçíî âàðüèðîâàòü t1 òàê, ÷òîáû óìåíüøàòü ñîãëàñíî (28) âêëàä óæå
èäåíòèôèöèðîâàííûõ ìîä, äåëàÿ èõ ñèãíàë áîëåå ñëàáûì èëè äàæå íóëåâûì.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 111
Îñòàíîâèìñÿ íà âîçìîæíûõ àëãîðèòìàõ îöåíèâàíèÿ ïàðàìåòðîâ îòäåëüíûõ
ñóáìîäåëåé. Ïðåäëàãàåòñÿ ðàçäåëèòü èõ íà äâà ïîñëåäîâàòåëüíûõ ýòàïà. Íà ïåð-
âîì îïðåäåëÿòü âñå ïîäõîäÿùèå äëÿ ñóáìîäåëè p è
p , à íà âòîðîì ñòàíäàð-
òíûì ÌÍÊ íàõîäèòü ñîîòâåòñòâóþùèå êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ. Ïîñêîëüêó
âòîðîé ýòàï ïðåäñòàâëÿåò õîðîøî èçâåñòíóþ çàäà÷ó, òî ïîäðîáíåå îïèøåì òîëü-
êî ïåðâûé ýòàï.  ðàáîòàõ [22–24] ðàññìîòðåíû ðàçëè÷íûå ïîäõîäû ê îöåíèâà-
íèþ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë ñîîòâåòñòâóþùèõ ñóáìîäåëè, îäèí èç êîòîðûõ ñîñòîèò â
ñëåäóþùåì. Èç ~ ( ) ( ) ( ) ... ( )( ) ( ) ( ) ( )y t y t y t y t
m
r
m
r
m
r
m
r
q q
�
1
, ãäå q � 0,
~ ( ) ( )( ) ( )y t y t
m
r
m
r
0
� , ôîðìèðóåì íîâûå ñèãíàëû âèäà
y t y t
dy t
dtm
r
m
r m
r
q q
q
1
1( ) ( )
( )
( , ) ~ ( )
~ ( )
�
�
� � ,
y t y t
dy t
dtm
r
m
r m
r
q q
q
2
2 1
2 2 2
( ) ( )
( )
( , , ) ~ ( )
~ ( )
� �
�
�
�
2
2
2
d y t
dt
m
r
q
~ ( )( )
, (31)
èëè
y t y t y d
m
r
m
r
t
m
r
q q q3
0
( ) ( ) ( )( , ) ~ ( ) ~ ( )� � � �� � � ,
y t y t y d
m
r
m
r
t
m
r
q q q4
2
0
2 2( ) ( ) ( )( , , ) ~ ( ) ~ ( ) (
� �
� � � �� � �) ( )~ ( )
0
t
m
rt y d
q
�
� � �, (32)
â êîòîðûõ
�, , — âàðüèðóåìûå ïàðàìåòðû. Äèôôåðåíöèàëüíûå íàñòðàèâàå-
ìûå ôèëüòðû öåëåñîîáðàçíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ãëàäêèõ y tm
r( ) ( ) (ïîãðåøíîñòü
íèçêî÷àñòîòíàÿ), à èíòåãðàëüíûå — â ñëó÷àå çàøóìëåíèÿ ñèãíàëà y tm
r( ) ( )
âûñîêî÷àñòîòíîé ïîìåõîé.
Èç íîâûõ ñèãíàëîâ ñîñòàâëÿåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ~ ( , ), ,( )y t i N
m
r
i
qj
� �"
#
$
1
2
3
1 äëÿ
j �1 3, è (èëè) ~ ( , , ), ,( )y t i N
m
r
i
qj
�"
#
$
1
2
3
1 äëÿ j � 2 4, . Òî÷êè { }t i Ni , ,�1 âûáèðàþò-
ñÿ â ïðåäåëàõ ñóáèíòåðâàëà èäåíòèôèöèðóåìîé ñóáìîäåëè. Ôîðìèðóåì
ãàíêåëåâû ìàòðèöû
Y
y t y t y t
y
m
r
m
r
m
r
m
r
m
r
qj
qj qj qj
qj
( )
( ) ( ) ( )
(
( ) ( ) ( )
�
���1 2 �
) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
t y t y t
y t y
m
r
m
r
m
r
m
r
qj qj
qj qj
2 3 1��� ��
� ( ) ( )
,
( )t y t
m
r
qj
� � �� �
���
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�1 1
� ��
� �1 1 4N j, , .
(33)
Âûïîëíèâ ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå ìàòðèö Y
m
r
qj
( ) , ïðèâîäèì èõ ê âèäó
Y U V
m
r
m
r
m
r
m
r
qj qj qj qj
T( ) ( ) ( ) ( )� � .
(34)
Èññëåäóåì ïîâåäåíèå ñèíãóëÿðíûõ ÷èñåë ìàòðèö
m
r
qj
( )� ïðè âàðüèðîâàíèè
�, , .  ðåçóëüòàòå ïðîèñõîäèò ïåðåñòðîéêà ñèíãóëÿðíûõ ÷èñåë ñóáìîäåëè òàêèì
îáðàçîì, ÷òî â ñëó÷àå äåéñòâèòåëüíîãî ñîáñòâåííîãî ÷èñëà ïðè �
� �p p( 0)
112 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2
îäíî èç íèõ óõîäèò â íîëü, à ïðè
� p è
� p â íîëü îáðàùà-
þòñÿ äâà ñèíãóëÿðíûõ ÷èñëà. Ýòî
âèäíî èç ðèñ. 1 è 2, ãäå ïðèâåäå-
íû ðåçóëüòàòû âû÷èñëèòåëüíîãî
ýêñïåðèìåíòà äëÿ ñèñòåìû ñ äå-
éñòâèòåëüíûìè ñîáñòâåííûìè
÷èñëàìè � p p� � 01 0 2, ; , ;
0 4 0 8, ; , ïðè èñïîëüçîâàíèè äèô-
ôåðåíöèàëüíîãî (ðèñ. 1) è èíòåã-
ðàëüíîãî (ðèñ. 2) ïðåîáðàçîâà-
íèé, ãäå êðèâûå 1, 2, 3, 4 ïîêàçû-
âàþò ïîâåäåíèå ÷åòûðåõ
ñèíãóëÿðíûõ ÷èñåë ìàòðèöû
.
( )
m
r
qj
�
Ýôôåêòèâíîñòü àëãîðèòìà
ñóùåñòâåííî ïîâûøàåòñÿ, åñëè
àïðèîðè äëÿ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë
ñóáìîäåëè óäàåòñÿ ïîëó÷èòü
õîòÿ áû ãðóáóþ îöåíêó èëè èí-
òåðâàë ïðèíàäëåæíîñòè. Èíîã-
äà ýòî ìîæíî ñäåëàòü ïî âèäó
ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà íà
ñóáèíòåðâàëå.
Çàìå÷àíèå 1. Ïðè âàðüè-
ðîâàíèè ïàðàìåòðîâ
�, , ïå-
ðåñòðàèâàþòñÿ íå òîëüêî ñèíãóëÿðíûå ÷èñëà èäåíòèôèöèðóåìîé ñóáìîäåëè, íî è
÷èñëà, ñîîòâåòñòâóþùèå ìîäàì ñî ñëàáûì îòêëèêîì èëè âîçìóùåíèÿì. Âî ìíî-
ãèõ ñëó÷àÿõ, àíàëèçèðóÿ èìåííî èõ ïåðåñòðîéêó, ìîæíî òî÷íåå îöåíèòü
ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ.
Çàìå÷àíèå 2. Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ñóáìîäåëåé, ïîëó÷àåìûå äëÿ ðàçíûõ m
è r , ìîãóò ñîâïàäàòü, à ìîãóò è îòëè÷àòüñÿ.  ñèëó ïëîõîé óïðàâëÿåìîñòè (ïî-
ëíîé íåóïðàâëÿåìîñòè) èëè ïëîõîé íàáëþäàåìîñòè (ïîëíîé íåíàáëþäàåìîñòè)
îïðåäåëåííûõ ìîä íà íåêîòîðûõ èç y tm
r( ) ( ) îíè áóäóò äàâàòü íåèíôîðìàòèâíûé
ñèãíàë. Ïîëíàÿ ìîäåëü ñîñòàâëÿåòñÿ èç âñåõ èäåíòèôèöèðîâàííûõ ìîä ïî âñåì
M R0 âûõîäíûì ñèãíàëàì.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Ìîæíî âûäåëèòü ñëåäóþùèå ïðåèìóùåñòâà ïðåäëàãàåìîãî èòåðàòèâíîãî ìåòî-
äà ïîñòðîåíèÿ àïïðîêñèìèðóþùèõ ìîäåëåé ñëîæíûõ ñèñòåì. Ñåëåêòèâíûé
ïîäáîð äàííûõ ïîä îòäåëüíûå ñóáìîäåëè â íåêîòîðîì ñìûñëå ïîäîáåí ïðîöå-
äóðå îðòîãîíàëèçàöèè, êîòîðàÿ ðåàëèçóåòñÿ ñòàíäàðòíûì îáðàçîì ïðè èäåíòè-
ôèêàöèè íà îñíîâå îðòîãîíàëüíûõ áàçèñíûõ ôóíêöèé [16]. Ïîýòîìó õîòÿ ìî-
äåëü ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ðàçëîæåíèÿ ïî íåçàâèñèìûì, íî íå îáÿçàòåëüíî
îðòîãîíàëüíûì ôóíêöèÿì, òåì íå ìåíåå è â ýòîì ñëó÷àå áëàãîäàðÿ ñåëåêòèâ-
íîìó âûáîðó äàííûõ óäàåòñÿ ïðîâîäèòü èäåíòèôèêàöèþ ñèñòåìû ïî îòäåëü-
íûì ÷àñòÿì. Êðîìå òîãî, êîãäà èäåíòèôèêàöèÿ ïðîâîäèòñÿ ïî âûäåëÿåìîìó
ïåðåõîäíîìó ïðîöåññó (4SID ìåòîäû è äð.), ðåçóëüòàò ïðè íàëè÷èè ïîãðåø-
íîñòè â èñõîäíûõ äàííûõ çàâèñåë îò äëèòåëüíîñòè èíòåðâàëà íàáëþäåíèÿ è
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 113
Ðèñ. 1
�
� i
Ðèñ. 2
�
� i
øàãà äèñêðåòèçàöèè [25]. Âîçìîæíî, ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ðàçíûå ìîäû èìå-
þò ñâîé èíôîðìàòèâíûé èíòåðâàë, è êîãäà â àëãîðèòìàõ èäåíòèôèêàöèè èñ-
ïîëüçóþòñÿ äàííûå çà åãî ïðåäåëàìè, êîòîðûå ñîäåðæàò â îñíîâíîì ïîãðåø-
íîñòü, ïðåîáëàäàþùóþ íàä ïîëåçíûì ñèãíàëîì ñîîòâåòñòâóþùåé ìîäû, òî
ìàòðèöû, ñîñòàâëåííûå èç ýòèõ äàííûõ, ñòàíîâÿòñÿ ïëîõî îáóñëîâëåííûìè.
Ïðîöåäóðà èõ îáðàùåíèÿ, êîòîðàÿ õàðàêòåðíà äëÿ áîëüøèíñòâà àëãîðèòìîâ
èäåíòèôèêàöèè, áóäåò äàâàòü â òàêèõ ñëó÷àÿõ áîëüøóþ îøèáêó. Ïîýòîìó ïðè-
õîäèòñÿ îãðàíè÷èâàòüñÿ ìàëûì ÷èñëîì ÷ëåíîâ ðàçëîæåíèÿ, ñîõðàíÿÿ òîëüêî
ìîäû, äëÿ êîòîðûõ âûáðàííûå äàííûå èíôîðìàòèâíû ïî÷òè íà âñåì èíòåðâà-
ëå. Ýòèì è îïðåäåëÿåòñÿ îïòèìàëüíàÿ àïïðîêñèìàöèÿ, êîòîðàÿ åñòåñòâåííî
çàâèñèò îò âûáðàííûõ äàííûõ. Ïîäõîä ê ïîñòðîåíèþ àïïðîêñèìèðóþùèõ
ìîäåëåé ñèñòåì ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè, îïèñàííûé â äàííîé ðàáîòå,
äàåò àíàëîãè÷íûå ðàöèîíàëüíûå ìîäåëè, êîòîðûå ðàíåå áûëè ïîëó÷åíû â [26]
äëÿ ýâîëþöèîíèðóþùèõ ñèñòåì íà îñíîâå ìåòîäà Ãàëåðêèíà.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. C å ð ã è å í ê î È .  . , Ä å é í å ê à  . Ñ . Ðåøåíèå ãðàíè÷íûõ îáðàòíûõ çàäà÷ äëÿ
ïàðàáîëè÷åñêèõ ìíîãîêîìïîíåíòíûõ ðàñïðåäåëåííûõ ñèñòåì // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé
àíàëèç. — 2007. — ¹ 4. — Ñ. 49–73.
2. C å ð ã è å í ê î È . Â . , Ä å é í å ê à Â . Ñ . Ðåøåíèå êîìáèíèðîâàííûõ îáðàòíûõ çàäà÷ äëÿ
ïàðàáîëè÷åñêèõ ìíîãîêîìïîíåíòíûõ ðàñïðåäåëåííûõ ñèñòåì // Òàì æå. — ¹ 5. — Ñ. 48–71.
3. Á ó ò ê î â ñ ê è é À . Ã . Ñòðóêòóðíûé ìåòîä äëÿ ñèñòåì ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè //
Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. — 1975. — ¹ 5.
4. Á ó ò ê î â ñ ê è é À . Ã . Õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåì ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè. — Ì.:
Ôèçìàòãèç, Íàóêà, 1979. — 224 ñ.
5. À í ä ð å å â Þ . Í . Óïðàâëåíèå êîíå÷íîìåðíûìè ëèíåéíûìè îáúåêòàìè. — Ì.: Ôèçìàòãèç,
Íàóêà, 1979. — 424 ñ.
6. G l o v e r K . , C u r t a i n R . F . , P a r t i n g t o n J . R . Realisation and approximation of linear in-
finite — dimensional systems with error bounds // SIAM J. Contr. and Optimiz. — 1988. — 26,
N .4. — P. 863–898.
7. C o i f m a n R . R . a n d R o c h b e r g R . Representation theorems for holomorhic and harmonic
functions in Lp // Asterisque. — 1980. — 77. — P. 11–66.
8. À ä à ì ÿ í  . Ì . , À ð î â Ä . Ç . , Ê ð å é í Ì . à . Àíàëèòè÷åñêèå ñâîéñòâà ïàðû Øìèäòà äëÿ
Ãàíêåëåâà îïåðàòîðà è îáîáùåííàÿ ïðîáëåìà Øóðà–Òàêà÷è // Ìàò. æóðí. — 1971. — 15. —
C. 31–73.
9. M a k i l a P . M . On identification of stable systems and optimal approximation // Automatica. —
1991. — 27, N. 4. — P. 663–676. @REFERENCE = 10. K a i l a t h T . Linear systems. — N.J.:
Prentice–Hall, 1980. — 425 p.
11. Ä å ì è ä î â è ÷ Á . Ï . Ëåêöèè ïî ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè óñòîé÷èâîñòè. — Ì.: Ôèçìàòãèç,
Íàóêà, 1967. — 470 ñ.
12. C h a u d r a s e k h a r a n K . Classical Fourier Transforms. — Berlin: Springer, 1989. — 574 p.
13. C l e m e n t P . Application of generalized. Laguerre functions // Matematics and Computers in Sim-
ulation. — 1985. — 27. — P. 541–550.
14. M a k i l a P . M . Approximation of stable systems by Laguerre filters // Automatica. — 1990. —
26, N 2. — P. 333–345.
15. B o W a h l b e r g Laguerre and Kautz models // Prepr. 10th IFAC Symp. on System Identification
— SYSID’94. — Copenhagen (Denmark). — 1994. — 3. — P. 1–12.
16. H e u b e r g e r P . S . C . , V a n d e n H o f M . J , a n d B o s g r a O . H . A generalized
orthonormal basis for linear dynamic systems // IEEE Trans. Automat. Contr. — 1995. —
P. 451–465.
114 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2
17. Ã î õ á å ð ã È . Ö . , Ê ð å é í Ì . Ã . Ââåäåíèå â òåîðèþ ëèíåéíûõ íåñàìîñîïðÿæåííûõ
îïåðàòîðîâ â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå. — Ì.: Ôàçìàòãèç, Íàóêà, 1965. — 448 ñ.
18. À ë å ê ñ à í ä ð î â À . à . Êîíå÷íî-÷àñòîòíàÿ èäåíòèôèêàöèÿ: ìíîãîìåðíûé îáúåêò //
Ìåæäóíàð. êîíô. ïî ïðîáëåìàì óïðàâëåíèÿ. Èçáð. òð. ÈÏÓ èì. Â.À. Òðàïåçíèêîâà ÐÀÍ. —
Ì., 1999. — 1. — Ñ. 15–28.
19. Î ð ë î â Þ . Ô . Èäåíòèôèêàöèÿ ïî ÷àñòîòíûì ïàðàìåòðàì // Äèô. óðàâíåíèÿ. — 2006. — 42,
¹ 3. — Ñ. 425–428.
20. à ó á à ð å â  . Ô . Ñåëåêòèâíàÿ èäåíòèôèêàöèÿ ñóáìîäåëåé äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì // Òð.
Ìåæäóíàð. êîíô. Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è ïðèëîæåíèÿ (òåõíèêà, ïðîèçâîäñòâî, ýêîíîìèêà).
Èí-ò ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Áåëàðóñè. — 2005. — 2. — Ñ. 41–50.
21. À ë å ê ñ à í ä ð î â À . à . Ìåòîä ÷àñòîòíûõ ïàðàìåòðîâ // Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. — 1989.
— 50, ¹ 12. — Ñ. 3–15.
22. Ã ó á à ð å â Â . Ô . , Ò è ã ó í î â Ï . À . Îá îñîáåííîñòÿõ èäåíòèôèêàöèé ìíîãîìåðíûõ
íåïðåðûâíûõ ñèñòåì ïî äàííûì ñ îãðàíè÷åííîé íåîïðåäåëåííîñòüþ // Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ
è èíôîðìàòèêè. — 2006. — ¹ 1, 2. — Ñ. 231–246.
23. à ó á à ð å â  . Ô . Ìåòîä èòåðàòèâíîé èäåíòèôèêàöèè ìíîãîìåðíûõ ñèñòåì ïî íåòî÷íûì
äàííûì. ×àñòü 1. Òåîðåòè÷åñêèå îñíîâû // Òàì æå. — 2006. — ¹ 5. — Ñ. 16–31.
24. Ã ó á à ð å â Â . Ô . , Ò è ã ó í î â Ï . À . Ìåòîä èòåðàòèâíîé èäåíòèôèêàöèè ìíîãîìåðíûõ
ñèñòåì ïî íåòî÷íûì äàííûì. ×àñòü 2. Àëãîðèòìû // Òàì æå. — 2007. — ¹ 2. — Ñ. 5–15.
25. N i n n e s s B . M . , G o o d w i n G . C . Estimation of model quality // Automatica. — 1995. — 31.
— P. 1771–1779.
26. Ã ó á à ð å â Â . Ô . Ïðîáëåìíî îðèåíòèðîâàííûå èäåíòèôèêàöèÿ è óïðàâëåíèå â ñèñòåìàõ ñ
ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè // Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. — 2000. — ¹ 3. —
Ñ. 26–37.
Ïîñòóïèëà 21.08.2007
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 115
|