Полиэдральные когерентные меры риска и оптимизация инвестиционного портфеля
Вивчено клас поліедральних когерентних мір ризику для задач оптимізації портфеля за співвідношенням зиск-ризик за умов часткової невизначеності, коли невідомі ймовірності сценаріїв оцінюються певним багатогранником. Такі портфельні задачі зведено до відповідних задач лінійного програмування. Як прик...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2008 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72003 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Полиэдральные когерентные меры риска и оптимизация инвестиционного портфеля / В.С. Кирилюк // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 2. — С. 120-132. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-72003 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Кирилюк, В.С. 2014-12-15T22:22:43Z 2014-12-15T22:22:43Z 2008 Полиэдральные когерентные меры риска и оптимизация инвестиционного портфеля / В.С. Кирилюк // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 2. — С. 120-132. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72003 519.21 Вивчено клас поліедральних когерентних мір ризику для задач оптимізації портфеля за співвідношенням зиск-ризик за умов часткової невизначеності, коли невідомі ймовірності сценаріїв оцінюються певним багатогранником. Такі портфельні задачі зведено до відповідних задач лінійного програмування. Як приклад описано неперервні задачі оптимального розподілу інвестицій у випадку ризику катастрофічних повеней. Работа выполнена при поддержке Украинского научно-технологического центра, проект G3127. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Полиэдральные когерентные меры риска и оптимизация инвестиционного портфеля Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Полиэдральные когерентные меры риска и оптимизация инвестиционного портфеля |
| spellingShingle |
Полиэдральные когерентные меры риска и оптимизация инвестиционного портфеля Кирилюк, В.С. Системный анализ |
| title_short |
Полиэдральные когерентные меры риска и оптимизация инвестиционного портфеля |
| title_full |
Полиэдральные когерентные меры риска и оптимизация инвестиционного портфеля |
| title_fullStr |
Полиэдральные когерентные меры риска и оптимизация инвестиционного портфеля |
| title_full_unstemmed |
Полиэдральные когерентные меры риска и оптимизация инвестиционного портфеля |
| title_sort |
полиэдральные когерентные меры риска и оптимизация инвестиционного портфеля |
| author |
Кирилюк, В.С. |
| author_facet |
Кирилюк, В.С. |
| topic |
Системный анализ |
| topic_facet |
Системный анализ |
| publishDate |
2008 |
| language |
Russian |
| container_title |
Кибернетика и системный анализ |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| description |
Вивчено клас поліедральних когерентних мір ризику для задач оптимізації портфеля за співвідношенням зиск-ризик за умов часткової невизначеності, коли невідомі ймовірності сценаріїв оцінюються певним багатогранником. Такі портфельні задачі зведено до відповідних задач лінійного програмування. Як приклад описано неперервні задачі оптимального розподілу інвестицій у випадку ризику катастрофічних повеней.
Работа выполнена при поддержке Украинского научно-технологического центра, проект G3127.
|
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72003 |
| citation_txt |
Полиэдральные когерентные меры риска и оптимизация инвестиционного портфеля / В.С. Кирилюк // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 2. — С. 120-132. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT kirilûkvs poliédralʹnyekogerentnyemeryriskaioptimizaciâinvesticionnogoportfelâ |
| first_indexed |
2025-11-26T00:09:45Z |
| last_indexed |
2025-11-26T00:09:45Z |
| _version_ |
1850594112365920256 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.21
Â.Ñ. ÊÈÐÈËÞÊ
ÏÎËÈÝÄÐÀËÜÍÛÅ ÊÎÃÅÐÅÍÒÍÛÅ ÌÅÐÛ ÐÈÑÊÀ
È ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß ÈÍÂÅÑÒÈÖÈÎÍÍÎÃÎ ÏÎÐÒÔÅËß1
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ïîëèýäðàëüíàÿ êîãåðåíòíàÿ ìåðà ðèñêà, conditional
value-at-risk, ïðîáëåìà îïòèìèçàöèè ïîðòôåëÿ, òåõíèêà ëèíåéíîãî ïðîãðàììè-
ðîâàíèÿ, êàòàñòðîôè÷åñêèå íàâîäíåíèÿ.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
 íàñòîÿùåé ðàáîòå ïðîäîëæàåòñÿ èçó÷åíèå êëàññà ïîëèýäðàëüíûõ êîãåðåí-
òíûõ ìåð ðèñêà (ÏÊÌÐ) [1–3] äëÿ çàäà÷ îïòèìèçàöèè ïîðòôåëÿ ïî ñîîòíîøå-
íèþ äîõîäíîñòü–ðèñê. Ïîíÿòèå ÏÊÌÐ [1] îõâàòûâàåò öåëûé êëàññ èçâåñòíûõ
ìåð ðèñêà, à åãî èñïîëüçîâàíèå â çàäà÷àõ îïòèìèçàöèè ïîðòôåëÿ ïîçâîëÿåò
ñâåñòè òàêèå ïðîáëåìû ê ñîîòâåòñòâóþùèì çàäà÷àì ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðî-
âàíèÿ (ËÏ) [2].  [3] ïîíÿòèå ÏÊÌÐ è ñîîòâåòñòâóþùèå çàäà÷è îïòèìèçàöèè
ïîðòôåëÿ íåñêîëüêî îáîáùàëèñü. Îäíàêî ïîñòàíîâêè çàäà÷, ðàññìàòðèâàåìûå
â ýòèõ ðàáîòàõ, ïðåäïîëàãàþò çíàíèå ðàñïðåäåëåíèé ñîîòâåòñòâóþùèõ ñëó÷àé-
íûõ âåëè÷èí (ñë.â.) (ò.å. «óñëîâèÿ ðèñêà» [4]). Òàê, äëÿ ïîñòðîåíèÿ îïòèìàëü-
íîãî ïîðòôåëÿ íåîáõîäèìî çíàòü ðàñïðåäåëåíèÿ âñåõ åãî êîìïîíåíò. Åñëè
îãðàíè÷èòüñÿ äèñêðåòíûìè êîíå÷íî-ðàñïðåäåëåííûìè ñë.â. íà íåêîòîðîì ìíî-
æåñòâå ñöåíàðèåâ, òî ýòî ïðåäïîëàãàåò çíàíèå êàê çíà÷åíèé ýòèõ âåëè÷èí äëÿ
êàæäîãî èç ñöåíàðèåâ, òàê è âñåõ ñöåíàðíûõ âåðîÿòíîñòåé. Ïîñëåäíèå íå âñåã-
äà èçâåñòíû, îñîáåííî â ñëó÷àå òàê íàçûâàåìûõ ðåäêèõ ñîáûòèé. Íàïðèìåð,
êàê äîëãî íåîáõîäèìî ïðîâîäèòü íàáëþäåíèÿ, ÷òîáû óòâåðæäàòü, ÷òî íåêîòî-
ðûå ñîáûòèÿ ïðîèñõîäÿò ñ âåðîÿòíîñòüþ ðàç â ñòî ëåò? Îäíàêî èìåííî ïîäî-
áíûå ñîáûòèÿ ñ ìàëûìè âåðîÿòíîñòÿìè è î÷åíü çíà÷èòåëüíûìè
ïîñëåäñòâèÿìè íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü â ðàçíîîáðàçíûõ çàäà÷àõ óïðàâëåíèÿ
êàòàñòðîôè÷åñêèìè ðèñêàìè. Òàêîé, íàïðèìåð, ÿâëÿåòñÿ çàäà÷à ðàñïðåäåëåíèÿ
èíâåñòèöèé â óñëîâèÿõ ðèñêîâ êàòàñòðîôè÷åñêèõ íàâîäíåíèé.
Ïðè ðàçðàáîòêå ñöåíàðèåâ áóäóùèõ ñîáûòèé èíîãäà ëåã÷å îïèñàòü çíà÷åíèÿ
ñîîòâåòñòâóþùèõ ñë.â. äëÿ âñåõ ñöåíàðèåâ, ÷åì òî÷íî îöåíèòü èõ âåðîÿòíîñòè. Äëÿ
ïîäîáíûõ ñîáûòèé îöåíêà âåðîÿòíîñòè êàê óñòîé÷èâîé ÷àñòîòû íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ
âîçìîæíîé, à åå ñóáúåêòèâíîå îöåíèâàíèå ëèöîì, ïðèíèìàþùèì ðåøåíèå (ËÏÐ),
ìîæåò ïðèâåñòè ê íåàäåêâàòíûì ðåøåíèÿì. Íî èíôîðìàöèè îá èçó÷àåìîì ïðîöåñ-
ñå áûâàåò äîñòàòî÷íî äëÿ îöåíèâàíèÿ âåðîÿòíîñòåé ñöåíàðèåâ â âèäå íåêîòîðûõ
îãðàíè÷åíèé (íàïðèìåð, îöåíîê ñâåðõó è ñíèçó è ïðî÷èõ).  ýòîì ñëó÷àå ïðåäñòàâ-
ëÿåòñÿ åñòåñòâåííûì íàçûâàòü ïîäîáíûå ïîñòàíîâêè çàäà÷ ïðîáëåìàìè â óñëîâèÿõ
÷àñòè÷íîé íåîïðåäåëåííîñòè («â óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííîñòè î ðàñïðåäåëåíèÿõ
ñë.â. íè÷åãî íå èçâåñòíî» [4]). Ðàçâèòèþ àïïàðàòà ÏÊÌÐ íà çàäà÷è îïòèìèçàöèè
ïîðòôåëÿ â óñëîâèÿõ ÷àñòè÷íîé íåîïðåäåëåííîñòè è ïîñâÿùåíà äàííàÿ ñòàòüÿ.
Îòìåòèì, ÷òî çàäà÷è ñ íåïîëíîé èíôîðìàöèåé î ðàñïðåäåëåíèÿõ ñë.â. äàâíî
èçó÷àþòñÿ â ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè. Òàê, â [5, 6] ðåøåíèÿ èùóòñÿ íà öåëîì
êëàññå âåðîÿòíîñòíûõ ìåð â áîëåå îáùåé ñèòóàöèè. Â íàñòîÿùåé ðàáîòå ìû îãðà-
íè÷èëèñü ïðîñòûì ñëó÷àåì äèñêðåòíûõ êîíå÷íî-ðàñïðåäåëåííûõ ñë.â., êîãäà íå-
èçâåñòíûìè ÿâëÿþòñÿ ñöåíàðíûå âåðîÿòíîñòè.
120 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2
1Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ïîääåðæêå Óêðàèíñêîãî íàó÷íî-òåõíîëîãè÷åñêîãî öåíòðà, ïðîåêò G3127.
© Â.Ñ. Êèðèëþê, 2008
1. ÍÅÊÎÒÎÐÛÅ ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈß È ÏÐÈÌÅÐÛ ÏÊÌÐ
Ïóñòü èìååòñÿ íåêîòîðîå ìíîæåñòâî n ñöåíàðèåâ.  ñëó÷àå åñëè êàæäîìó i
ñöåíàðèþ i n�1, ,� ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðàÿ èçâåñòíàÿ âåðîÿòíîñòü pi � 0, òî
èìååòñÿ íåêîòîðûé âåêòîð âåðîÿòíîñòåé p p p n0 1
0 0� ( , , ),� p i
0 0� ,
i n p i
n� ��1 10
1
, , ,� , a ñë.â. X õàðàêòåðèçóåòñÿ åå ðàñïðåäåëåíèåì
x x x Rn
n� �( , , )1 � è, ñëåäîâàòåëüíî, îíà èäåíòèôèöèðóåòñÿ ñ ýòèì n-ìåðíûì
âåêòîðîì.
Îòìåòèì, ÷òî â ïðîöåññå ðàçâèòèÿ òåîðèè ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé è ñîîòâåòñòâó-
þùèõ ïðèëîæåíèé äëÿ îöåíèâàíèÿ ðèñêà èçó÷àëèñü è èñïîëüçîâàëèñü ðàçëè÷íûå
ôóíêöèè (òàê íàçûâàåìûå ìåðû ðèñêà), íàïðèìåð, â [7–14].
 [13] ïðåäëîæåíî ïîíÿòèå êîãåðåíòíîé ìåðû ðèñêà (ÊÌÐ), êîòîðàÿ èìååò
âèä
�( ) [ ] /x E X p Pp� � �sup{ }, (1)
ãäå P — íåêîòîðîå âûïóêëîå çàìêíóòîå ìíîæåñòâî âåðîÿòíîñòíûõ ìåð (âåðî-
ÿòíîñòåé ñîáûòèé äëÿ äèñêðåòíîé êîíå÷íî-ðàñïðåäåëåííîé ñë.â.). Îíî íàçûâà-
ëîñü ìíîæåñòâîì îáîáùåííûõ âåðîÿòíîñòåé ñöåíàðèåâ.
 [1] óñëîâèå (1) äîïîëíåíî óñëîâèåì ïîëèýäðàëüíîñòè ìíîæåñòâà P. Ôóí-
êöèÿ âèäà (1), äëÿ êîòîðîé ìíîæåñòâî P ïðåäñòàâëÿåòñÿ êàê âûïóêëàÿ îáîëî÷êà
êîíå÷íîãî ÷èñëà òî÷åê, áûëà íàçâàíà ÏÊÌÐ. Òî÷íåå, åñëè ìíîæåñòâî P çàäàíî â
âèäå
P p i ki� �co{ }: , ,1 � (2)
èëè â ýêâèâàëåíòíîé ôîðìå
P p Bp c p� � �{ }: , 0 , (3)
ãäå B è c — ìàòðèöà è âåêòîð (ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàçìåðíîñòåé), òî ñîîòíîøå-
íèÿ (1), (2) (èëè (3)) îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþò íåêîòîðóþ ÏÊÌÐ.
Çàìå÷àíèå 1. Ïîñêîëüêó P — ìíîæåñòâî îáîáùåííûõ ñöåíàðíûõ âåðîÿòíîñ-
òåé, òî P S n (åäèíè÷íûé ñèìïëåêñ), à ïåðâûå äâå ñòðîêè ìàòðèöû B è êîìïîíåí-
òû âåêòîðà c ñîäåðæàò òåõíè÷åñêèå îãðàíè÷åíèÿ
1 1
1 1
�
�� �
�
�
�
�
�
�
è
1
1�
�
�
�
�
�
�
ñîîòâåòñòâåííî,
îçíà÷àþùèå
i
n
ip
�
� �
1
1.
Ïóñòü ðàñïðåäåëåíèå x x xn� ( , , )1 � îïèñûâàåò äîõîäíîñòü, ïîëó÷åííóþ â
ðåçóëüòàòå ðåàëèçàöèè ñöåíàðèåâ ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè âåðîÿòíîñòÿìè
p p p n0 1
0 0� ( , , )� . Íàïîìíèì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ ìåð ðèñêà, èçâåñòíûõ â ôè-
íàíñîâûõ ïðèëîæåíèÿõ, êîòîðûå ïîïàäàþò â êëàññ ÏÊÌÐ:
Ï1) WCR (Worst Case Risk) — ñëó÷àé íàèõóäøèõ ïîòåðü [14];
Ï2) CVaR � (Conditional Value-at-Risk) — óñëîâíîå îæèäàíèå ïîòåðü íà
�-õâîñòå ðàñïðåäåëåíèÿ [11];
Ï3) WCE � (Worst Conditional Expectation) — íàèõóäøåå óñëîâíîå ñðåäíåå [13];
Ï4) SCRM (Spectral Coherent Risk Measure) — ñïåêòðàëüíàÿ êîãåðåíòíàÿ
ìåðà ðèñêà [12];
Ï5) ìåðû, ïîñòðîåííûå ïî ïîëóîòêëîíåíèþ îò ñðåäíåé ïðèáûëüíîñòè:
�( ) [ ] [( [ ] ) ]x E x rE E x x� � � � � ïðè 0 1� �r [10];
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 121
Ï6) ìåðû, ïîñòðîåííûå ïî àáñîëþòíîìó îòêëîíåíèþ îò ñðåäíåé ïðèáûëü-
íîñòè: �( ) [ ] [| [ ]| ]x E x rE x E x� � � � ïðè 0 1 2� �r / [9].
Äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåé ìåðû ðèñêà èç (1) äîñòàòî÷íî îïèñàòü
åå ìíîæåñòâî P. Íàïðèìåð, äëÿ ñëó÷àåâ WCR, CVaR � , WCE � è SCRM îíè èìå-
þò, ñîîòâåòñòâåííî, ñëåäóþùèé âèä:
P p p p p p i nWCR n i
n
i� � � � ��{ }( , , ): , , , ,1 1
1 0 1� � . (4)
P p p p p p p p i nCVaR n i
n
i i i�
�� � � � � ��{ }( , , ): , / , , , ,1 1
01 0 1� � , (5)
P p pWCE n�
� co{( , , ) /1 � äëÿ
p p p p j m p j m
i
m
i i i
m
i
j j j j j
0
1
0 0
1
0� �� � � � ��, / , ; , },
P p p p p p pSCRM n i
n
i j j
m
i� � � �
�
�
�
�� �{ ( , , ): , /1 1 1
01� � � ,
p i ni � �0 1, , ,� }, (6)
ãäå p p p n0 1
0 0� ( , , )� — âåêòîð èñõîäíûõ âåðîÿòíîñòåé ñöåíàðèåâ, � j
m
1
1� � ,
� j i m� �0 1, , ,� . Ïîäîáíîå îïèñàíèå ìîæíî ñäåëàòü è äëÿ îñòàâøèõñÿ äâóõ
ôóíêöèé. Òàêèì îáðàçîì, ýòè ìíîæåñòâà P ñòðîÿòñÿ êàê íåêîòîðîå ìíîãîçíà÷-
íîå îòîáðàæåíèå (ì.î.) îò èñõîäíûõ âåðîÿòíîñòåé ñöåíàðèåâ p0 :
P a p� ( )0 , (7)
÷òî ìîæåò áûòü î÷åâèäíûì îáðàçîì îòðàæåíî â ñîîòíîøåíèÿõ (2) è (3).
Çàìå÷àíèå 2. Ñ òî÷íîñòüþ äî çíàêà «–» ì.î. a p( )0 — ñóáäèôôåðåíöèàë
ìåðû ðèñêà �( )� , ïîýòîìó åñòåñòâåííî íàçâàòü òàêîå ì.î. a( )� ñóáäèôôåðåíöèàëü-
íûì äëÿ �( )� .
Íàïîìíèì òàêæå, ÷òî êëàññ ÏÊÌÐ íå èñ÷åðïûâàåòñÿ ýòèìè ìåðàìè ðèñêà,
ïîñêîëüêó äîïóñêàåò ðÿä èíâàðèàíòíûõ îïåðàöèé: âûïóêëóþ êîìáèíàöèþ,
ôóíêöèþ ìàêñèìóìà, èíôèìàëüíóþ êîíâîëþöèþ. Ñëåäîâàòåëüíî, îí âêëþ÷àåò â
ñåáÿ è ôóíêöèè, ïîñòðîåííûå èç ôóíêöèé Ï1–Ï6 ñ ïîìîùüþ òàêèõ îïåðàöèé.
Êîíñòðóêöèÿ ìåðû ðèñêà (1) îçíà÷àåò, ÷òî ËÏÐ ñ ó÷åòîì ýòîé ôóíêöèè ïðè-
íèìàåò ðåøåíèå ïî ñðåäíèì çíà÷åíèÿì ñë.â. X , íî ïðè ýòîì ïåðåñòðàõîâûâàåòñÿ
íà íàèõóäøèé ñëó÷àé èç ìíîæåñòâà îáîáùåííûõ âåðîÿòíîñòåé P. Äëÿ ÏÊÌÐ ýòî
ìíîæåñòâî, êàê ñëåäóåò èç (2), ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êîíå÷íûé íàáîð åãî êðàéíèõ
òî÷åê è âñåõ èõ âûïóêëûõ êîìáèíàöèé.
2. ÏÐÎÁËÅÌÛ ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈÈ ÏÎÐÒÔÅËß
Îòìåòèì, ÷òî ïðîáëåìàòèêà ïî îïòèìèçàöèè ïîðòôåëÿ, íà÷èíàÿ ñ [7], èíòåí-
ñèâíî ðàçâèâàëàñü â ìíîãî÷èñëåííûõ ðàáîòàõ, ñòèìóëèðóåìûõ ôèíàíñîâûìè
ïðèëîæåíèÿìè. Ïðè ýòîì â êà÷åñòâå îäíîãî èç êðèòåðèåâ èñïîëüçîâàëàñü
ñðåäíÿÿ äîõîäíîñòü, à â êà÷åñòâå äðóãîãî — ðàçëè÷íûå ìåðû ðèñêà, ñì.,
íàïðèìåð, [2–3, 7–14].
Ïóñòü ðàñïðåäåëåíèå äîõîäíîñòåé âñåõ âîçìîæíûõ êîìïîíåíò ïîðòôåëÿ z j ,
j k�1, ,� , ïðåäñòàâëåíî â âèäå ìàòðèöû H ðàçìåðíîñòè n k� , ÷åé j-é ñòîëáåö
îïèñûâàåò ðàñïðåäåëåíèå äîõîäíîñòè j-é êîìïîíåíòû. Âåêòîð u u uk� ( , , )1 � ,
êîòîðûé îïèñûâàåò ñòðóêòóðó ïîðòôåëÿ, ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ïåðåìåííàÿ, ïðè-
÷åì ui
k
1
1� � , u i ki � �0 1, , ,� .
122 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2
Ïðè èçâåñòíîì âåêòîðå âåðîÿòíîñòåé ñöåíàðèåâ p p p n0 1
0 0� ( , , )� ìîæíî
ðàññìîòðåòü ñëåäóþùèå äâå âçàèìîñâÿçàííûå ïîðòôåëüíûå ïîñòàíîâêè çàäà÷.
Ìèíèìèçàöèÿ ìåðû ðèñêà ïðè ãàðàíòèðîâàííîé ñðåäíåé äîõîäíîñòè.
Çàôèêñèðóåì íèæíåå äîïóñòèìîå çíà÷åíèå ñðåäíåé äîõîäíîñòè ïîðòôåëÿ
E Hup [ ] íåêîòîðîé âåëè÷èíîé � â âèäå îãðàíè÷åíèé è ìèíèìèçèðóåì åãî ìåðó
ðèñêà �( )Hu :
min ( )
,
[ ]
u u
E Hu
i
n
i
p
Hu
1
0
1 0� � �
� �
� . (8)
Ìàêñèìèçàöèÿ ñðåäíåé äîõîäíîñòè ïðè îãðàíè÷åíèÿõ íà ìåðû ðèñêà.
Çàôèêñèðóåì íåêîòîðûé óðîâåíü ìåðû ðèñêà ïîðòôåëÿ �( )Hu âåëè÷èíîé � 0 â
âèäå îãðàíè÷åíèé è ìàêñèìèçèðóåì åãî ñðåäíþþ äîõîäíîñòü E Hup [ ]:
max [ ]
,
( )
u u
Hu
p
i
n
i
E Hu
1
0
0
1 0� � �
�� �
. (9)
Êðîìå òîãî, âîçìîæíà òàêæå ïîñòàíîâêà, êîãäà íåîáõîäèìî ïðèäåðæèâàòüñÿ
îãðàíè÷åíèé, íàëàãàåìûõ íà m ðàçëè÷íûõ ìåð ðèñêà � i i m( ), , ,� �1 � :
max
,
( )
..................
( )
u u
Hu
Hu
j
m m
� �
�
�
� 1 0
1 1
0
0
� �
� �
E Hup0
[ ]. (10)
Íàïîìíèì, ÷òî åñëè �( )� åñòü ÏÊÌÐ, òî ýòè çàäà÷è ñâåäåíû ê ñîîòâåòñòâóþ-
ùèì ïðîáëåìàì ËÏ [2]. Îäíàêî ñèòóàöèÿ óñëîæíÿåòñÿ, êîãäà âåêòîð âåðîÿòíîñ-
òåé ñöåíàðèåâ íå èçâåñòåí, à òîëüêî îöåíèâàåòñÿ íåêîòîðûì ïîëèýäðàëüíûì
ìíîæåñòâîì
p P0 0� . (11)
 òàêîé ñèòóàöèè, íàïðèìåð, óæå íå âû÷èñëÿåòñÿ ñðåäíÿÿ äîõîäíîñòü (òîëü-
êî åå îöåíêè).
Ðàññìîòðèì íåêîòîðûé ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò, ïðèãîäíûé äëÿ ðàáîòû ñ
ïîðòôåëüíûìè ïîñòàíîâêàìè â óñëîâèÿõ ÷àñòè÷íîé íåîïðåäåëåííîñòè. Ïóñòü
èìåþòñÿ ïîëèýäðàëüíîå ìíîæåñòâî P0 , êîòîðîå îöåíèâàåò ñöåíàðíûå âåðîÿòíîñ-
òè p0 , à òàêæå åùå îäíî ôîðìàëüíîå ïîëèýäðàëüíîå ìíîæåñòâî Q èç òîãî æå ïðî-
ñòðàíñòâà, êîòîðîå îïèñûâàåòñÿ â âèäå, ïîäîáíîì ñîîòíîøåíèÿì (2) è (3):
P p i ki0
0
01� �co{ }: , ,� , èëè P p B p c p0 0 0 0� � �{ }: , , (12)
Q q i li� �co{ }: , ,1 � , èëè Q q D q e q� � �{ }: ,0 0 0 . (13)
Ïîñòðîèì ïî ýòèì ìíîæåñòâàì ñîîòâåòñòâåííî íèæíèå è âåðõíèå îöåíêè
ñðåäíèõ çíà÷åíèé ñë.â. X :
LE X E X p PP p0 0( ) min [ ] /� �{ }, UE X E X q QQ q( ) max [ ] /� �{ },
êîòîðûå ïðè P Q0 � , î÷åâèäíî, åñòü ñîîòâåòñòâåííî ïåññèìèñòè÷åñêàÿ è îïòè-
ìèñòè÷åñêàÿ îöåíêè E Xp [ ], ò.å. âåëè÷èíà E Xp [ ] îïèñûâàåòñÿ èíòåðâàëîì
[ ( ), ( )]LE X UE XP P0 0
. Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:
�( ) ( ) max [ ] /X LE X E X p PP p� � � � �
0 0{ }, (14)
g X UE X E X p QQ p( ) ( ) max [ ] /� � �{ }, (15)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 123
êîòîðûå ïî àíàëîãèè ñî ñëó÷àåì èçâåñòíûõ ðàñïðåäåëåíèé ìîæíî íàçâàòü
ôóíêöèîíàëàìè ðèñêà è äîõîäíîñòè ñîîòâåòñòâåííî è ðàññìàòðèâàòü êàê êðè-
òåðèè äëÿ ïîðòôåëüíûõ ïîñòàíîâîê.
Çàìå÷àíèå 3. Ïîíÿòíî, ÷òî åñëè íàøè çíàíèÿ î ñöåíàðíûõ âåðîÿòíîñòÿõ
îãðàíè÷èâàþòñÿ ñîîòíîøåíèåì (11), òî â êà÷åñòâå Q â (13) òàêæå âûáèðàåì P0 .
Îäíàêî ââåäåíèå ôîðìàëüíî äðóãîãî ìíîæåñòâà Q ïîçâîëÿåò îõâàòèòü è èíûå
ïîñòàíîâêè. Íàïðèìåð, âûáðàâ â êà÷åñòâå P0 ìíîæåñòâî P èç (1), à â êà÷åñòâå Q
— îäíîòî÷å÷íîå ìíîæåñòâî { p0}, ëåãêî ïîëó÷èòü â êà÷åñòâå êðèòåðèåâ ìåðó
ðèñêà �( )X è ñðåäíþþ äîõîäíîñòü E Xp0
[ ]. Ýòèì è îáóñëîâëåíû íàçâàíèÿ
ôóíêöèé �( )� è g( )� .
Òîãäà çàäà÷è îïòèìèçàöèè ïîðòôåëÿ: ìèíèìèçàöèÿ ôóíêöèîíàëà ðèñêà �( )�
ïðè ãàðàíòèðîâàííûõ çíà÷åíèÿõ ôóíêöèîíàëà äîõîäíîñòè g( )� è, íàîáîðîò, ìàê-
ñèìèçàöèÿ ôóíêöèîíàëà äîõîäíîñòè ïðè îãðàíè÷åíèÿõ íà ôóíêöèîíàë ðèñêà
èìåþò ñîîòâåòñòâåííî âèä
min ( )
,
( )
u u
g Hu g
i
Hu
� �
�
� 1 0
0
� , (16)
max ( )
,
( )
u u
Hu
i
g Hu
� �
�
� 1 0
0� �
. (17)
Çàìå÷àíèå 4. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî òàêèå ïîñòàíîâêè îçíà÷àþò ìàêñèìèçà-
öèþ îäíîãî èç êîíöîâ èíòåðâàëà [ ( ), ( )]LE X UE XP Q0
ïðè îãðàíè÷åíèÿõ íà
çíà÷åíèÿ âòîðîãî êîíöà.
Ðàññìîòðèì òåïåðü çàäà÷ó (16). Èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Òåîðåìà 1. Ðåøåíèåì çàäà÷è îïòèìèçàöèè ïîðòôåëÿ (16) åñòü êîìïîíåíòà u
ðåøåíèÿ ( , )v u ïðîáëåìû
min min ( , )
, ,
,
1 1 0 0
00
0
� � � � �
� � �
� ��
�i l
u
u u
B Hu
Hu q g
i
T
i
{ �
�
�
� �c0 , � } , (18)
ãäå q i li , , ,�1 � , — êðàéíèå òî÷êè ìíîæåñòâà Q èç (13) è îáîçíà÷åíèÿõ
min ,( , )
, ,
,
u
u u
B Hu
Hu q g
i
T
i
c�
�
�
�
� � �
� � �
� ��
�
� � � � �
1 0 0
0
0
0
0
, (19)
åñëè äîïóñòèìîå ìíîæåñòâî ïîäïðîáëåìû ïóñòî.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó (16), ðàñïèñàâ ñîîòâåòñòâåííî ôóíêöèè
�( )� è g( )� :
min ( ) min max
,
( )
,
( )
u u
g Hu g
u u
g Hu g
Bi i
Hu
� �
�
� �
�
�
�
�1 0 1 0
0 0
�
0 0
0
p c
p
Hu p
�
�
� � � �,
�
�
� � �
� �
� � � �
�
�
min max ,
,
max , :
u u
Hu q q Q g
B p c
p
i
Hu p
1 0
00
0 0
{ }
.
Çàìåíÿÿ âíóòðåííþþ ïîäçàäà÷ó ËÏ ïîëó÷åííîãî âûðàæåíèÿ åå äâîéñòâåí-
íîé è ó÷èòûâàÿ ïðåäñòàâëåíèå ìíîæåñòâà Q q i li� �co{ }: , ,1 � èç (13), èìååì
min min
,
max ,
, , ,
u u
Hu q g
B Hi
q qi i l
T� �
� ��
� ��
� �
1 0
1
0
0
co{ }�
� u u u
B Hu
c
i
T
q qi
�
�
� � �
� � �
� � �
�
�
0
0
0
1 0 0
00�
�
�
�, min
, ,
max
,co{ i l
Hu q g
c
�
� ��
� �
1
0
0
, ,
,
,
� }
� .
124 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2
Ðàññìîòðèì òåïåðü äîïóñòèìîå ìíîæåñòâî ïîëó÷åííîé ïðîáëåìû:
M u u ui� � � � ��{( , ): , , ,� �1 0 0
� � � � � �
� �
B Hu Hu q gT
q q i li
0 1
00� , max ,
, , ,co{ }
}
�
.
Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ � �Hu q, ëèíåéíà ïî q, òî
max , max ,
, , , , ,q q i l i l
i
i
Hu q g Hu q g
� � �
� � � � � � �
co{ }1
0
1
0
� �
.
Ñëåäîâàòåëüíî, ìíîæåñòâî Ì ïðåäñòàâèìî â âèäå
M M
i
l
i�
�
�
1
,
ãäå M u u u B Hu Hu q gi i
T
i� � � � � � � � � ��{ }( , ) : , , , , ,� � �1 0 0 0
0 0 ,
ïðè÷åì íåêîòîðûå èç M i ìîãóò áûòü ïóñòûìè. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî
min
, ,
max ,
, , ,
u u
B Hu
Hu q
i
T
q qi i l
� � �
� � �
�
�
� �
1 0 0
00
1
�
�
co{ }�
��
� � � � �
� � �
�
� � �
�
g
i l u u
B Hu
Hu q
c
i
T
0
0
0
1 1 0 0
0
, min min
, ,
,
�
�
�
i g
c
� �
� �
0
0 , �
ïðè îáîçíà÷åíèÿõ (19), à ñëåäîâàòåëüíî, è äîêàçûâàåò òåîðåìó.
Ñëåäñòâèå 1. Ïðè óñëîâèÿõ P P Q p0 0� �, { } òåîðåìà 1 îïèñûâàåò çàäà÷ó ìè-
íèìèçàöèè ÏÊÌÐ ïîðòôåëÿ (8), êîòîðàÿ ñâîäèòñÿ ê ñëåäóþùåé ïðîáëåìå ËÏ [2]:
min ,( , )
, ,
,
u
u u
B Hu
Hu p
i
T
c�
�
�
�
�
� � �
� � �
� � �
�
� �
1 0 0
0
0
.
Îáðàòèìñÿ òåïåðü ê çàäà÷å (17). Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Òåîðåìà 2. Ðåøåíèåì çàäà÷è îïòèìèçàöèè ïîðòôåëÿ (17) åñòü êîìïîíåíòà u
ðåøåíèÿ ( , )v u ïðîáëåìû
max max ( , )
, ,
,
1 1 0 0
00
0 0
� � � � �
� � �
� � �
�
�
j l
u
u u
B Hu
c
i
T
{ �
�
�
� �
Hu q j, ,� } (20)
ãäå q j lj , , ,�1 � , — êðàéíèå òî÷êè ìíîæåñòâà Q èç (13).
Äîêàçàòåëüñòâî. Îáðàòèìñÿ ê çàäà÷å (17). Ðàñïèñàâ ñîîòâåòñòâåííî ôóíê-
öèè �( )� è g( )� è ìíîæåñòâî Q â âèäå (13), ïîëó÷èì
max ( ) max
,
( )
,
max
,
u u
Hu
u ui i
B p c p
g Hu
� �
�
� ��
�
�
� �
1 0 1 0
0
0 0
� �
0
0
1
�� ��
� �
� � �
Hu p
q q i li
Hu q
,
, , ,
max ,
�
co{ }�
Çàìåíÿÿ çàäà÷ó ËÏ max ,
,B p c p
Hu p
0 0 0
0
� �
� � � � � â ïåðâîé ïîäçàäà÷å åå äâî-
éñòâåííîé min ,
� � �
�
� � �
B HuT
c
0 0
0
0 0
�
�
� � , ïîëó÷àåì
�
� � �
� ��
�
� � �
�
max max
,
min ,
,u u
c
q q ii
BT Hu
i
1 0
0
0
0
0 0
�
�
� �
co{ �
� � �
1, ,
,
� l
Hu q
}
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 125
�
� � � �
� � �
� � �
� �
max max
, ,
,
,u u
B Hu
c
q q ii
T
i
1 0 0
0
1
0
0 0
�
�
� �
co{ , ,
,
� l
Hu q
}
� �.
Êàê íåòðóäíî âèäåòü, ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî èìååò ìåñòî â ñèëó òîãî, ÷òî
min , : , , ,
� � �
�
� � � � � � � � � � �
B Hu
T
T
c v B Hu c
0 0
0
0 0 0 00 0
�
�
� � � � � � � 0 .
Ïîýòîìó òàêèå v ìîæíî ÿâíûì îáðàçîì óêàçàòü â äîïóñòèìîì ìíîæåñòâå.
Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ � �Hu q, ëèíåéíà ïî q, òî
max , max ,
, , , , ,q q i l i l
i
i
Hu q Hu q
� � �
� � � � �
co{ }1 1� �
,
ïîýòîìó, ïðîäîëæàÿ öåïî÷êó ðàâåíñòâ, ïîëó÷àåì
max max
,
min ,
,u u
c
q q ii
B T Hu
i
� �
� ��
� ��
� � �
�
1 0
0
0
0
0 0
�
�
� �
co{ 1 1 1 0 0
00
, , , , , ,
, max max
� �l i l u u
B Hu
Hu q
i
T
}
� � �
�� � � �
� � �
�
�
�
c
iHu q
0 0,
,
� �� �
� �
.
Ýòî è äîêàçûâàåò òåîðåìó.
Ñëåäñòâèå 2.Ïðè óñëîâèÿõ P P Q p0 0� �, { } òåîðåìà 2 îïèñûâàåò çàäà÷ó
ìàêñèìèçàöèè ñðåäíåé äîõîäíîñòè ïîðòôåëÿ (9), êîòîðàÿ ñâîäèòñÿ ê ñëåäóþùåé
ïðîáëåìå ËÏ [2]:
max ,( , )
, ,
,
u
u u
B Hu
c
i
T
Hu p�
�
�
� �
� � �
� � �
� � �
�
� �
1 0 0
0
0
0
.
Äîïóñòèì òåïåðü, ÷òî ó íàñ èìååòñÿ íåêîòîðûé íàáîð ïîëèýäðàëüíûõ ìíî-
æåñòâ P j mj , , ,�1 � ,
P p i kj ji j� �co{ }: , ,1 � èëè P p B p c pj j j� � �{ }: , 0 , (21)
êîòîðûå ïîñðåäñòâîì ñîîòíîøåíèÿ (1) çàäàþò m ôóíêöèîíàëîâ ðèñêà
� i i m( ), , ,� �1 � . Òîãäà àíàëîãè÷íî çàäà÷å (18) ñôîðìóëèðóåì çàäà÷ó ìàêñèìè-
çàöèè ôóíêöèîíàëà äîõîäíîñòè ïðè îãðàíè÷åíèÿõ íà ýòè ôóíêöèîíàëû ðèñêà:
max
,
( )
..................
( )
u u
Hu
Hu
j
m m
� �
�
�
� 1 0
1 1
0
0
� �
� �
g Hu( ). (22)
Òåîðåìà 3. Ðåøåíèåì çàäà÷è îïòèìèçàöèè ïîðòôåëÿ (22) åñòü êîìïîíåíòà u
ðåøåíèÿ ( , , , )u m� �1 � ïðîáëåìû
max max ( , , , )
,
,
1 1 0
0
1
1 1
1 1
� � � �
� � �
� �
�j l
u
u u
B v Hu
c
m
i
T
{ � �
�
�
�
� � �
� ��
�
�
� �
1
0
0
1
0
0
....................
,
B v Hu
c
v
m
T
m
m m m
, ,
,
� �m
u H qT
j
�
� �
0
}, (23)
ãäå q j lj , 1 � � , — êðàéíèå òî÷êè ìíîæåñòâà Q èç (13).
Äîêàçàòåëüñòâî ìîæíî ïðîâåñòè àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 2. Åäè-
126 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2
íñòâåííîå îòëè÷èå ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïåðåõîä ê äâîéñòâåííîé ïðîáëåìå îñóùå-
ñòâëÿåòñÿ íå äëÿ îäíîé çàäà÷è ËÏ, à äëÿ m ñëåäóþùèõ çàäà÷:
max ,
,B p c p
i
i i
Hu p
� �
� � � �
0
0� , i m�1, ,� . Ýòî, ñîáñòâåííî, è ïðèâîäèò ê óâåëè÷å-
íèþ ðàçìåðíîñòè çàäà÷è äî ( , , , )u m� �1 � ñîîòâåòñòâåííî.
Ñëåäñòâèå 3. Ïðè óñëîâèÿõ Q p� { }0 òåîðåìà 3 îïèñûâàåò çàäà÷ó ìàêñèìè-
çàöèè ñðåäíåé äîõîäíîñòè ïîðòôåëÿ (10), êîòîðàÿ ñâîäèòñÿ ê ñëåäóþùåé
ïðîáëåìå ËÏ [2]:
max ( , , , )
, ,
,
....
u
u u
B v Hu
c
m
i
T
� �
� �
1
1 1
1 1 1
0
1 0
0
�
� �
� � �
� � �
�
................
,
, ,
� � �
� ��
� �
�
B v Hu
c
v
m
T
m
m m m
m
0
0 0
0
1
� �
��
u H pT, 0 �. (24)
3. ÏÊÌÐ Â ÓÑËÎÂÈßÕ ×ÀÑÒÈ×ÍÎÉ ÍÅÎÏÐÅÄÅËÅÍÍÎÑÒÈ
Ðàññìîòðåííûå âûøå ìåðû ðèñêà � i p iE X p P i m( ) [ ] / , , ,� � � � �sup{ } 1 � , â
óñëîâèÿõ ÷àñòè÷íîé íåîïðåäåëåííîñòè p P0 0� íîñÿò ôîðìàëüíûé õàðàêòåð äî
òåõ ïîð, ïîêà íå áóäåò óêàçàí ÿâíûé ïóòü èõ ïîñòðîåíèÿ (ïî ìíîæåñòâó P0).
Îáðàòèìñÿ òåïåðü ê ñîîòíîøåíèþ (7), â êîòîðîì ìíîæåñòâî P äëÿ ïîñòðîå-
íèÿ ìåð ðèñêà �( )� â âèäå (1) ïðåäñòàâëÿëîñü íåêîòîðûì ì.î. a( )� îò âåêòîðà ñöå-
íàðíûõ âåðîÿòíîñòåé p0 . Ó÷èòûâàÿ çàìå÷àíèå 2, â äàëüíåéøåì áóäåì íàçûâàòü
òàêîå a( )� ñóáäèôôåðåíöèàëüíûì ì.î. äëÿ ìåðû ðèñêà �( )� . Èñõîäÿ èç èíòåðïðåòà-
öèè ìåðû ðèñêà �( )� , êîòîðàÿ ïîçâîëÿëà ïåðåñòðàõîâûâàòüñÿ íà ñëó÷àé íàèõóä-
øèõ ñðåäíèõ ñë.â. X ïî îáðàçó ñóáäèôôåðåíöèàëüíîãî îòîáðàæåíèÿ a( )� â
âåêòîðå ñöåíàðíûõ âåðîÿòíîñòåé p0 , ââåäåì ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå.
Ïóñòü èìååòñÿ íåêîòîðàÿ ÊÌÐ, çàäàííàÿ ïðè èçâåñòíîì âåêòîðå ñöåíàðíûõ
âåðîÿòíîñòåé p0 â âèäå �( ) [ ] / ( )x E X p a pp� � �sup{ }0 .
Îïðåäåëåíèå 1.Ìåðîé ðèñêà, èíäóöèðîâàííîé èñõîäíîé ÊÌÐ è ìíîæåñ-
òâîì íåîïðåäåëåííîñòè P0 , íàçîâåì ôóíêöèþ
�( ; ) [ ] / ( )x P E X p P Pp0 0� � �sup{ }, (25)
ãäå
P P a P( ) ( ( ))0 0� co , à a P a p
p P
( ) ( )0 0
0 0
�
�
� . (26)
Çäåñü co — âûïóêëàÿ îáîëî÷êà, M — çàìûêàíèå ìíîæåñòâà M . Ïî ïîñòðîå-
íèþ �( ; )x P0 , î÷åâèäíî, ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðîé ÊÌÐ.
Íàïîìíèì íåêîòîðûå ôàêòû èç âûïóêëîãî àíàëèçà è àïïàðàòà ì.î. Ì.î. a( )�
íàçûâàåòñÿ âûïóêëûì â îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ doma, åñëè
a p p a p a p p p a( ( ) ) ( ) ( ) ( ) , ( ,� � � � �1 2 1 2 1 21 1 0 1� � � � � � � � �dom ).
Óòâåðæäåíèå 1. Åñëè P0 — âûïóêëîå ìíîæåñòâî, à ñóáäèôôåðåíöèàëüíîå
ì.î. a( )� èñõîäíîé ìåðû �( )� — âûïóêëîå ì.î., òî ìíîæåñòâî èç (26) èìååò âèä
P P a P( ) ( )0 0� . (27)
Äîêàçàòåëüñòâî ýëåìåíòàðíî ñëåäóåò èç òîãî ôàêòà, ÷òî ïðè óñëîâèÿõ óòâåð-
æäåíèÿ ìíîæåñòâî a P( )0 âûïóêëîå.
Îïðåäåëåíèå 2. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ì.î. a( )� êâàçèëèíåéíîå â îáëàñòè îïðå-
äåëåíèÿ doma, åñëè
a p p a p a p p p a( ( ) ) ( ) ( ) ( ) , ( ,� � � � �1 2 1 2 1 21 1 0 1� � � � � � � � �dom ). (28)
Óòâåðæäåíèå 2. Ñóáäèôôåðåíöèàëüíûå ì.î. äëÿ ìåð ðèñêà WCR, CVaR � è
SCRM êâàçèëèíåéíû.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 127
Äîêàçàòåëüñòâî. Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ WCR ñ ïîñòîÿííûì ñóáäèôôåðåíöè-
àëüíûì ì.î. ýòî âûïîëíÿåòñÿ. ×òî êàñàåòñÿ CVaR � è SCRM, òî, êàê íåòðóäíî âè-
äåòü èç ñîîòíîøåíèé (5), (6), ì.î. a( )� äëÿ íèõ èìååò ñòðóêòóðó
a p Bp c p p( ) ( ),0 0 0� � �{ },
ãäå B
B
I
c p
c
c p
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
0
1
2 0
, ( )
( )
, ïðè÷åì B c1 1
1 1
1 1
1
1
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
......
,
�
îòðàæàþò
òåõíè÷åñêèå îãðàíè÷åíèÿ, à I — åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà. Çäåñü ìàòðèöà B íå çàâèñèò îò
âåêòîðà ñöåíàðíûõ âåðîÿòíîñòåé p0 , à âåêòîð ñ p2 0( ) çàâèñèò ëèíåéíî.
Ïîíÿòíî, ÷òî â òàêîì ñëó÷àå ì.î. a( )� c ìíîãîãðàííûìè îáðàçàìè ôîðìèðó-
åòñÿ ïàðàëëåëüíûìè ïåðåíîñàìè (â çàâèñèìîñòè îò p0) ñîîòâåòñòâóþùèõ ãèïåð-
ïëîñêîñòåé, îáðàçîâàííûõ íåòåõíè÷åñêèìè îãðàíè÷åíèÿìè. Òàêàÿ ïðîñòàÿ ñòðóê-
òóðà ì.î. a( )� ãàðàíòèðóåò íà ñèìïëåêñå S n âûïîëíåíèå ðàâåíñòâà (28),
ñëåäîâàòåëüíî, óòâåðæäåíèå èìååò ìåñòî.
Èç ñâîéñòâ êâàçèëèíåéíîñòè ì.î. a( )� ìåðû ðèñêà, êàê íåòðóäíî âèäåòü, ñðàçó
ñëåäóåò òàêîå óòâåðæäåíèå.
Óòâåðæäåíèå 3. Åñëè P0 — ïîëèýäðàëüíîå ìíîæåñòâî, ò.å. ïðåäñòàâèìî â
âèäå (12), à ñóáäèôôåðåíöèàëüíîå ì.î. a( )� èñõîäíîé ìåðû �( )� — êâàçèëèíåéíîå
ì.î., òî ìíîæåñòâî èç (26) èìååò âèä
P P a p i ki( ) ( ), , ,0
0
01� �co{ }� . (29)
Ñëåäñòâèå 4. Åñëè â óñëîâèÿõ óòâåðæäåíèÿ 3 èñõîäíàÿ ìåðà ðèñêà ÿâëÿåòñÿ
ÏÊÌÐ, ò.å. åå ñóáäèôôåðåíöèàëüíîå ì.î. èìååò ìíîãîãðàííûå îáðàçû â êðàéíèõ
òî÷êàõ P0 :
a p p p j m p i ki j i i( ) ( ), , , ( ) , , ,0 0 0
01 1� � �co{ }� � ,
òî ìíîæåñòâî èç (26) èìååò âèä
P P p p j m p i kj i i( ) ( ), , , ( ), , ,0
0 0
01 1� � �co{ }� � . (30)
Ñëåäñòâèå 5. Äëÿ ÏÊÌÐ ñ êâàçèëèíåéíûì ñóáäèôôåðåíöèàëüíûì ì.î. a( )�
îïåðàöèÿ êîìïîçèöèè èíâàðèàíòíà íà êëàññå
� � � �( ) ( ) ( ) [ ]: ( ( ))� � � � � � �1 2 1 2 0� x E X p a a ppsup{ }.
Ñëåäñòâèå 6. Ñëåäñòâèÿ 4 è 5 èìåþò ìåñòî äëÿ WCR, CVaR � è SCRM.
Îáðàòèìñÿ òåïåðü ê çàäà÷àì îïòèìèçàöèè ïîðòôåëÿ â óñëîâèÿõ ÷àñòè÷íîé
íåîïðåäåëåííîñòè. Ïóñòü çàäàíî ìíîæåñòâî P0 â âèäå (12), íåêîòîðàÿ ÏÊÌÐ �( )�
ñ êâàçèëèíåéíûì ñóáäèôôåðåíöèàëüíûì ì.î. a( )� .
Ïîñêîëüêó ìíîæåñòâî P P( )0 , êàê ñëåäóåò èç (30), ïîëèýäðàëüíî, ðàññìîòðèì
åãî ýêâèâàëåíòíóþ ôîðìó â âèäå íåðàâåíñòâ
P P B p c pP P( ) ,0 0 0
0� � � �{ }. (31)
Îáðàòèìñÿ ê çàäà÷àì îïòèìèçàöèè ïîðòôåëÿ â óñëîâèÿõ ÷àñòè÷íîé íåîïðå-
äåëåííîñòè, ò.å. ïî ôóíêöèîíàëàì äîõîäíîñòè è ðèñêà g( )� è �( ; )� P0 , ãäå g( )� çà-
äàí ñîîòíîøåíèåì (16) ïðè Q P� 0 à �( ; )� P0 — ìåðà ðèñêà, èíäóöèðîâàííàÿ íå-
êîòîðîé èñõîäíîé ÏÊÌÐ �( )� è ìíîæåñòâîì íåîïðåäåëåííîñòè P0 , îïèñàííàÿ
ñîîòíîøåíèÿìè (25), (31), ò.å.
min ( ; )
,
( )
u u
g Hu g
i
Hu P
� �
�
� 1 0
0
0
� , (32)
128 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2
max ( )
,
( ; )
u u
Hu P
i
g Hu
� �
�
� 1 0
0 0� �
. (33)
Òîãäà, èñïîëüçóÿ òåîðåìû 1 è 2 c ïðîñòîé çàìåíîé ôîðìàëüíûõ ìíîæåñòâ P0
íà P P( )0 è Q íà P0 , íåòðóäíî èçâëå÷ü ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.
Ñëåäñòâèå 7. Ðåøåíèåì çàäà÷è îïòèìèçàöèè ïîðòôåëÿ (32) åñòü êîìïîíåíòà
u ðåøåíèÿ ( , )v u ïðîáëåìû
min min ( , )
, ,
,
1 1 0 0
0
0
0
0
� � � � �
� � �
� �
�i k
u
u u
B Hu
Hu p
i
P
T
i
{ �
�
�
�
� �
g
Pc
0
0
, � },
ãäå p i
0, i k�1 0, ,� — êðàéíèå òî÷êè ìíîæåñòâà P0 èç (12) è îáîçíà÷åíèÿõ
min ,( , )
, ,
,
u
u u
B Hu
Hu p g
P
i
P
T
i
c�
�
�
�
� � �
� � �
� � �
�
� �
1 0 0
0
0
0
0
0
� � �,
åñëè äîïóñòèìîå ìíîæåñòâî ïîäïðîáëåìû ïóñòî.
Ñëåäñòâèå 8. Ðåøåíèåì çàäà÷è îïòèìèçàöèè ïîðòôåëÿ (33) åñòü êîìïîíåíòà
u ðåøåíèÿ ( , )v u ïðîáëåìû
max max ( , )
, ,
,
1 1 0 0
0
0
0
0
� � � � �
� � �
� � �
�j k
u
u u
B Hu
c
i
P
T
P
{ �
�
�
� �0
0� �Hu p j, },
ãäå p j kj
0
01, , ,� � , — êðàéíèå òî÷êè ìíîæåñòâà P0 èç (12).
Åñëè èìååòñÿ m ÏÊÌÐ � i ( )� , i m�1, ,� , ñ êâàçèëèíåéíûìè ñóáäèôôåðåíöèàëü-
íûìè ì.î., êîòîðûå çàäàþò ñîîòâåòñòâóþùèå èíäóöèðîâàííûå ìåðû ðèñêà � i P( ; )� 0 ,
i m�1, ,� , òî íåòðóäíî èçó÷èòü ïðîáëåìó ìàêñèìèçàöèè ôóíêöèîíàëà äîõîäíîñòè
g( )� ïðè îãðàíè÷åíèÿõ íà � i P( ; )� 0 , i m�1, ,� ,
max ( )
,
( ; ) , , ,
u u
Hu P j m
i
j j
g Hu
� �
� �
� 1 0
10
0� � �
. (34)
Îáîçíà÷èì ìíîæåñòâà P Pi ( )0 ñîîòâåòñòâóþùèõ èíäóöèðîâàííûõ ìåð êàê
P P B p c p i mi P
i
P
i( ) , , , ,0
0 0
0 1� � � �{ } � . Çàìåíèâ ôîðìàëüíûå ìíîæåñòâà Pi íà
P Pi ( )0 , i m�1, ,� , è Q — íà P0 , íåïîñðåäñòâåííî èç òåîðåìû 3 ïîëó÷èì òàêîå
óòâåðæäåíèå.
Ñëåäñòâèå 9. Ðåøåíèåì çàäà÷è îïòèìèçàöèè ïîðòôåëÿ (34) åñòü êîìïîíåíòà
u ðåøåíèÿ ( , , , )u vm�1 � ïðîáëåìû
max max ( , , , )
,
( )
1 1 0
0
0
1
0
1
1
� � � �
� � �
�
�j k
u
u u
B v Hu
c
m
i
P
T
{ � ��
P
P
m T
mB v Hu
0
1
1 1
0
0
,
..........................
( )
� �� �
� � �
� � �
� �
� �
0
0 0
0
0
0
1
c
v
T
j
P
m
m m
m
u H p
,
, ,
,
� �
��
},
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 129
ãäå p j kj
0
01, , ,� � , — êðàéíèå òî÷êè ìíîæåñòâà P0 èç (12).
Çàìå÷àíèå 5. Åñëè ìíîæåñòâî P0 èìååò ïðîñòóþ ñòðóêòóðó â âèäå íåðà-
âåíñòâ ñâåðõó è ñíèçó, òî ïðè èñïîëüçîâàíèè èñõîäíûõ ìåð WCR, CVaR � è
SCRM íåòðóäíî ïåðåéòè îò îïèñàíèÿ ìíîæåñòâà P P( )0 â ôîðìå (30) ê âèäó (31).
 îáùåì ñëó÷àå ýòî íå òàê.
4. ÍÅÏÐÅÐÛÂÍÛÅ ÏÐÎÁËÅÌÛ ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÈß
ÈÍÂÅÑÒÈÖÈÉ ÏÐÈ ÐÈÑÊÅ ÊÀÒÀÑÒÐÎÔÈ×ÅÑÊÈÕ ÍÀÂÎÄÍÅÍÈÉ
Ðàññìîòðèì òåïåðü èñïîëüçîâàíèå îïèñàííîé ìàòåìàòè÷åñêîé òåõíèêè äëÿ ïîèñ-
êà îïòèìàëüíûõ èíâåñòèöèîííûõ ðåøåíèé ïî ñîîòíîøåíèþ äîõîäíîñòü–ðèñê â
óñëîâèÿõ âîçìîæíûõ êàòàñòðîôè÷åñêèõ íàâîäíåíèé. Îòìåòèì ìåòîäîëîãèþ
óïðàâëåíèÿìè êàòàñòðîôè÷åñêèìè ðèñêàìè, ðàçâèòóþ â IIASA, íàïðèìåð, â
[15–18], êîòîðàÿ ñîñòîèò â èñïîëüçîâàíèè òåõíèêè ñòîõàñòè÷åñêîãî ïðîãðàììè-
ðîâàíèÿ äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ è ïîèñêà ðåøåíèé. Òàêæå âûäåëèì ðàáîòó [19], ñî-
äåðæàùóþ íàáîð âàæíûõ ïðèêëàäíûõ çàäà÷ äëÿ ïðèíÿòèÿ ýôôåêòèâíûõ èíâåñ-
òèöèîííûõ ðåøåíèé â óñëîâèÿõ ðèñêîâ êàòàñòðîôè÷åñêèõ íàâîäíåíèé.
Ïóñòü èìååì íàáîð áàçîâûõ ñöåíàðèåâ S , êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ âõîäàìè â ìîäåëè-
ðóþùóþ ñèñòåìó âîçíèêíîâåíèÿ íàâîäíåíèé è èõ ðàñïðîñòðàíåíèÿ â ôîðìå ñîîòâå-
òñòâóþùèõ çàòîïëåíèé, ñ íåêîòîðûìè âåðîÿòíîñòÿìè p0 . Äëÿ òàêèõ ñöåíàðèåâ â íå-
êîòîðûõ ðåãèîíàõ ðå÷íûõ áàññåéíîâ ìîãóò èñïîëüçîâàòüñÿ èñòîðè÷åñêèå äàííûå ïî
íàâîäíåíèÿì èëè íàáîð ñöåíàðèåâ ïðèðîäíûõ ÿâëåíèé è ñîáûòèé, ÿâëÿþùèõñÿ ïðè-
÷èíàìè íàâîäíåíèé ñ ïîñëåäóþùèì ìîäåëèðîâàíèåì íà ñîîòâåòñòâóþùèõ ñèñòåìàõ è
ðåãèîíàëüíûõ ìîäåëÿõ.
Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ ïðîáëåìó îïòèìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ èíâåñòèöèé.
Ïóñòü èìååòñÿ íåêîòîðîå ÷èñëî èíâåñòèöèîííûõ îáúåêòîâ, íå òîëüêî ñ ðàçíîé äîõîä-
íîñòüþ, íî è ñ ðàçíûìè óðîâíÿìè óùåðáîâ îò íàâîäíåíèé, ïðè÷åì èõ äîõîäíîñòè, êàê
è óùåðáû, ñóùåñòâåííî çàâèñÿò îò ðàñïîëîæåíèÿ ýòèõ îáúåêòîâ â ðåãèîíå. Íàïðèìåð,
áëèçîñòü îáúåêòîâ ê âîäå óâåëè÷èâàåò êàê èõ ïðèâëåêàòåëüíîñòü (ñîîòâåòñòâåííî, äî-
õîäíîñòü), òàê è ïîòåíöèàëüíûå óùåðáû îò íàâîäíåíèé. Êàêèå îáúåêòû íóæíî âûáðàòü
è êàê èõ ðàñïîëîæèòü â ðåãèîíå, ïîäâåðæåííîì ðèñêó íàâîäíåíèé, ÷òîáû îáùèé èí-
âåñòèöèîííûé ïîðòôåëü áûë îïòèìàëüíûì ïî ñîîòíîøåíèþ äîõîäíîñòü–ðèñê?
×òîáû ñâåñòè ýòó ïðîáëåìó ê îïèñàííûì ðàíåå ïîñòàíîâêàì, ðàññìîòðèì
â êà÷åñòâå êîìïîíåíòîâ ïîðòôåëÿ íå òîëüêî òèïû îáúåêòîâ èíâåñòèðîâàíèÿ, íî è
èõ ãåîãðàôè÷åñêîå ðàñïîëîæåíèå (ðàéîíèðîâàíèå). Ïî âñåìó íàáîðó ñöåíàðèåâ
ðåãèîí ðàçáèâàåòñÿ íà êëåòêè (ãåîãðàôè÷åñêîé êàðòû), è ìíîæåñòâî âñåõ ïîòåí-
öèàëüíûõ èíâåñòèöèîííûõ îáúåêòîâ (íàïðèìåð, k), ðàñïîëîæåííûõ â êàæäîé èç
âîçìîæíûõ êëåòîê (íàïðèìåð, m), ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê êîìïîíåíòû ïîðòôåëÿ
(k m� -êîìïîíåíò).
Òåïåðü äëÿ êàæäîé èç êîìïîíåíò ïîðòôåëÿ i k m� �1, ,� äëÿ êàæäîãî èç ñöåíà-
ðèåâ j s�1, ,� îïèøåì åå äîõîäíîñòü rij êàê äîëþ èíâåñòèöèîííîé ñòîèìîñòè. Äëÿ
îïðåäåëåíèÿ ïîòåíöèàëüíîãî óùåðáà îò íàâîäíåíèé dij íåîáõîäèìî â ñîîòâåòñòâèè
ñî ñöåíàðèåì j ïðîìîäåëèðîâàòü çîíó çàòîïëåíèÿ (ñ ãëóáèíîé è ïðîäîëæèòåëüíîñ-
òüþ çàòîïëåíèÿ), à çàòåì ñ ó÷åòîì õàðàêòåðèñòèê îáúåêòà i (åãî êëàññèôèêàöèè
1, ,� k) è ðàñïîëîæåíèÿ ( , , )1 � m îöåíèòü óðîâåíü óùåðáà dij îò íàâîäíåíèÿ êàê
äîëþ ñòîèìîñòè îáúåêòà i.
Äëÿ îöåíêè âåðîÿòíîñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ óùåðáà è îöåíêè ýôôåêòèâíîñòè
ìåð ïî óìåíüøåíèþ ïîñëåäñòâèé íàâîäíåíèé ñóùåñòâóþò ñïåöèàëüíûå êîìïüþ-
òåðíûå ñèñòåìû, íàïðèìåð HEC–FDA [20], MIKE 11 GIS–FAT [21]. Òàê
HEC–FDA îáåñïå÷èâàåò âîçìîæíîñòü èíòåãðèðîâàííîãî âåðîÿòíîñòíîãî ãèäðî-
130 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2
ëîãè÷åñêîãî è ýêîíîìè÷åñêîãî àíàëèçà, îáû÷íî â íåé èñïîëüçóþòñÿ ñöåíàðèè íà-
âîäíåíèé ñ 50, 20, 10, 4, 2, 1, 0,4, 0,2% âåðîÿòíîñòÿìè. Ïðîôèëè âîëí íàâîäíåíèé
èìïîðòèðóþòñÿ èç ñèñòåìû âû÷èñëåíèé óðîâíåé âîäû ÷åðåç áàçó äàííûõ. Äëÿ
âû÷èñëåíèÿ óùåðáîâ èñïîëüçóåòñÿ êàòàëîã ôóíêöèé óùåðáîâ «ãëóáèíà çàòîïëå-
íèÿ — óùåðá (êàê ïðîöåíò óòðà÷åííîé ñòîèìîñòè)», îïðåäåëåííûé äëÿ
ðàçëè÷íûõ êëàññîâ ýêîíîìè÷åñêèõ ñòðóêòóð.
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ êàæäîé êîìïîíåíòû i k m� �1, ,� äëÿ êàæäîãî ñöåíàðèÿ
j s�1, ,� îïðåäåëÿþòñÿ äîõîäíîñòü rij è ïîòåíöèàëüíûé óùåðá îò íàâîäíåíèÿ
dij . Òîãäà â îïèñàííîé ðàíåå òåðìèíîëîãèè ìàòðèöà H ðàñïðåäåëåíèé êîìïîíåíò
ïîðòôåëÿ èìååò ôîðìó
H R D� � , (35)
ãäå R r D dij i k m j s ij i k m j s� �� � � � � �{ } { }, ,, .
Òåïåðü ýòà ñèòóàöèÿ öåëèêîì ïîïàäàåò ïîä ïðèìåíåíèå òåõíèêè äëÿ ïîèñêà ðå-
øåíèé çàäà÷ îïòèìèçàöèè ïîðòôåëÿ â ñîîòâåòñòâèè ñî ñëåäñòâèÿìè 1–3 (â óñëîâèÿõ
ðèñêà) è ñëåäñòâèÿìè 7–9 (â óñëîâèÿõ ÷àñòè÷íîé íåîïðåäåëåííîñòè).
 òîì ñëó÷àå, êîãäà èìåþòñÿ äëèííûå èñòîðè÷åñêèå äàííûå, êîòîðûå ïîçâîëÿ-
þò ìîäåëèðîâàòü áóäóùèå ðàñïðåäåëåíèÿ ñöåíàðèåâ íàâîäíåíèé ñ ó÷åòîì êëèìàòè-
÷åñêèõ, ãèäðîëîãè÷åñêèõ, ïðî÷èõ èçìåíåíèé, ñèòóàöèÿ ìîæåò îïèñûâàòüñÿ óñëîâèÿ-
ìè ðèñêà. Òîãäà âûáèðàåòñÿ ìåðà ðèñêà (íàáîð ìåð), ôîðìóëèðóþòñÿ ïîðòôåëüíûå
çàäà÷è, îïòèìàëüíîå ðåøåíèå êîòîðûõ ïî ñîîòíîøåíèÿì äîõîäíîñòü–ðèñê ìîæåò
áûòü íàéäåíî â ñîîòâåòñòâèè ñî ñëåäñòâèÿìè 1–3.
Åñëè äàííûå, áóäóùèå èçìåíåíèÿ, à òàêæå ïðîáëåìû ìîäåëèðîâàíèÿ ïîçâî-
ëÿþò îïðåäåëèòü òîëüêî îöåíêó âåêòîðà ñöåíàðíûõ âåðîÿòíîñòåé êàê p0 �P0 , ñè-
òóàöèÿ ñâîäèòñÿ ê ïîèñêó ðåøåíèé â óñëîâèÿõ ÷àñòè÷íîé íåîïðåäåëåííîñòè. Îíà
îïèñûâàåòñÿ ñëåäñòâèÿìè 7–9.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 íàñòîÿùåé ðàáîòå àïïàðàò ÏÊÌÐ ðàçâèâàåòñÿ äëÿ îïèñàíèÿ çàäà÷ îïòèìèçà-
öèè ïîðòôåëÿ ïî ñîîòíîøåíèþ äîõîäíîñòü–ðèñê íà ñëó÷àé ÷àñòè÷íîé íåîïðåäåëåí-
íîñòè, êîãäà âåêòîð ñöåíàðíûõ âåðîÿòíîñòåé îöåíèâàåòñÿ íåêîòîðûì ïîëèýäðàëü-
íûì ìíîæåñòâîì P0 . Ïðåäëîæåíî ïîíÿòèå èíäóöèðîâàííîé ìåðû ðèñêà, ñâÿçàííîå ñ
èñõîäíîé ÏÊÌÐ è ìíîæåñòâîì íåîïðåäåëåííîñòè P0 .
Èçó÷åíû ïîñòàíîâêè çàäà÷ îïòèìèçàöèè ïîðòôåëÿ ïî ñîîòíîøåíèþ äîõîä-
íîñòü–ðèñê ïðè èñïîëüçîâàíèè ÏÊÌÐ â êà÷åñòâå ìåð ðèñêà, à òàêæå èõ ñâåäåíèå
ê íåêîòîðûì íàáîðàì çàäà÷ ËÏ. Ïðè èçâåñòíûõ ðàñïðåäåëåíèÿõ ñîîòâåòñòâóþ-
ùèõ ñë.â. îíè ñâîäÿòñÿ ê îäíîé çàäà÷å ËÏ, â ñëó÷àå ÷àñòè÷íîé
íåîïðåäåëåííîñòè — ê íàáîðó òàêèõ çàäà÷.
Ðàññìîòðåíû íåïðåðûâíûå çàäà÷è ðàñïðåäåëåíèÿ èíâåñòèöèé â óñëîâèÿõ
âîçìîæíûõ êàòàñòðîôè÷åñêèõ íàâîäíåíèé, êîòîðûå âïîëíå óêëàäûâàþòñÿ â ðàì-
êè îïèñàííîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ê è ð è ë þ ê  . Ñ . Î êîãåðåíòíûõ ìåðàõ ðèñêà è çàäà÷å îïòèìèçàöèè ïîðòôåëÿ // ÒåîðŸÿ
îïòèìàëüíèõ ðŸøåíü. — 2003. — Âèï. 2. — C. 111–119.
2. Ê è ð è ë þ ê Â . Ñ . Î êëàññå ïîëèýäðàëüíûõ êîãåðåíòíûõ ìåð ðèñêà // Êèáåðíåòèêà è
ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2004. — ¹ 4. — Ñ. 155–167.
3. Ê è ð è ë þ ê  . Ñ . Îá îäíîì îáîáùåíèè ïîëèýäðàëüíîé êîãåðåíòíîé ìåðû ðèñêà // ÒåîðŸÿ
îïòèìàëüíèõ ðŸøåíü. — 2004. — Âèï. 3. — C. 48–55.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 131
4. K n i g h t F . H. Risk, Uncertainty and Profit. — Boston: Houghton Miffin, 1921. — 381 p.
5. E r m o l i e v Y u . , G a i v o r o n s k i A . a n d N e d e v a C . Stochastic optimization problems
with in complete information on distribution functions // SIAM J. Control and Optimization. —
1985. — 23, N 5. — P. 697–716.
6. Ã à é â î ð î í ñ ü ê è é À . À . , Å ð ì î ë ü å â Þ . Ì . Ìåòîäû ïîèñêà îïòèìàëüíûõ ïîäìåð
(õàðàêòåðèçóþùèõ ðåøåíèé) // Êèáåðíåòèêà. — 1987. — ¹ 5. — Ñ. 94–101
7. M a r k o w i t z H . M . Portfolio selection // J. Finance. — 1952. — 7(1). — P. 77–91.
8. J o r i o n P . H . Value at Risk: A New Benchmark for Measuring Derivatives. — New York: Irwin
Professional Publ., 1996. — 284 p.
9. K o n n o H . , Y a m a z a k i H . Mean absolute deviation portfolio optimization model and its ap-
plication to Tokyo stock market // Manag. Sci. — 1991. — 37. — P. 519–531.
10. O g r y c z a k W . , R u s z c z y n s k i A . From stochastic dominance to mean-risk models:
Semideviation as risk measures // Eur. J. Oper. Res. — 1999. — 116. — P. 33–50.
11. R o c k a f e l l a r R . T . , U r y a s e v S . Optimization of conditional value-at-risk // J. Risk. —
2000. — 2. — P. 21–42.
12. A c e r b i C . Spectral measures of risk: A coherent representation of subjective risk aversion // J.
Banking and Finance. — 2002. — 26(7). — P. 1505–1518.
13. A r t z n e r P . , D e l b a e n F . , E b e r J . - M . , H e a t h D . Coherent measures of risks // Math.
Finance. — 1999. — 9. — P. 203–227.
14. Y o u n g M . R . A minimax portfolio selection rule with linear programming solution, // Manag.
Sci. — 1998. — 44. — P. 673–683.
15. S t o c h a s t i c optimization of insurance portfolios for managing exposure to catastrophic risks /
Yu.M. Ermoliev, T.Yu. Ermolieva, G.J. Mac-Donald, V.I. Norkin // Ann. Oper. Res. — 2000. — 99.
— P. 207–225.
16. A s y s t e m approach to management of catastrophic risks / Yu.M. Ermoliev, T.Yu. Ermolieva, A.
Amendola, G.J. Mac-Donald, V.I. Norkin // Eur. J. Oper. Res. — 2000. — 122. — P. 452—460.
17. Ï p î á ë å ì û ñòðàõîâàíèÿ êàòàñòðîôè÷åñêèõ ðèñêîâ / Þ.Ì. Åðìîëüåâ, Ò.Þ. Åðìîëüåâà,
Ã. ÌàêÄîíàëüä, Â.È. Íîðêèí // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2001. — ¹ 2. — Ñ. 90–109.
18. E r m o l i e v a T . a n d E r m o l i e v Y u . Catastrophic risk management flood and seismic risks
case studies // Appl. of stochast. program. / S.W. Wallace and W.T. Ziemba Eds. — Philadelphia:
MPS-SIAM, 2005. — P. 425–444.
19. Í î ð ê è í  . È . Îá èçìåðåíèè è ïðîôèëèðîâàíèè êàòàñòðîôè÷åñêèõ ðèñêîâ // Êèáåðíåòèêà
è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2006. — ¹ 6. — Ñ. 80–94
20. H E C - F D A Flood Damage Reduction Analysis (User’s manual), US Army Corps of Engineers,
Hydrological Engineering Center, version 1.0, Jan. 1998, Approved for Publ. Release, CPD-72.
21. M I K E - 1 1 (2003) River modelling soware system http://www.dhisoware.com/mike11/
Ïîñòóïèëà 19.04.2007
132 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2
|