Теоретическое исследование одного численного метода решения задачи конвективной диффузии

Проведено теоретичне дослідження апроксимації, стійкості, збіжності, монотонності, дисипативних і дисперсійних властивостей методу. Просторова сітка вважається нерівномірною. Розглянуто випадок застосування методу для задачі з третьою крайовою умовою. Наведено оцінку обчислювальної складності алгори...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Кибернетика и системный анализ
Дата:	2008
Автори:	Прусов, В.А., Дорошенко, А.Е., Черныш, Р.И., Гук, Л.Н.
Формат:	Стаття
Мова:	Російська
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2008
Теми:	Системный анализ
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72007
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Теоретическое исследование одного численного метода решения задачи конвективной диффузии / В.А. Прусов, А.Е. Дорошенко, Р.И. Черныш, Л.Н. Гук // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 2. — С. 161-170. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1860027546908753920
author	Прусов, В.А. Дорошенко, А.Е. Черныш, Р.И. Гук, Л.Н.
author_facet	Прусов, В.А. Дорошенко, А.Е. Черныш, Р.И. Гук, Л.Н.
citation_txt	Теоретическое исследование одного численного метода решения задачи конвективной диффузии / В.А. Прусов, А.Е. Дорошенко, Р.И. Черныш, Л.Н. Гук // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 2. — С. 161-170. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Кибернетика и системный анализ
description	Проведено теоретичне дослідження апроксимації, стійкості, збіжності, монотонності, дисипативних і дисперсійних властивостей методу. Просторова сітка вважається нерівномірною. Розглянуто випадок застосування методу для задачі з третьою крайовою умовою. Наведено оцінку обчислювальної складності алгоритму.
first_indexed	2025-12-07T16:50:41Z
format	Article
fulltext	ÓÄÊ 004.75 Â.À. ÏÐÓÑÎÂ, À.Å. ÄÎÐÎØÅÍÊÎ, Ð.È. ×ÅÐÍÛØ, Ë.Í. ÃÓÊ ÒÅÎÐÅÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÅ ÎÄÍÎÃÎ ×ÈÑËÅÍÍÎÃÎ ÌÅÒÎÄÀ ÐÅØÅÍÈß ÇÀÄÀ×È ÊÎÍÂÅÊÒÈÂÍÎÉ ÄÈÔÔÓÇÈÈ Êëþ÷åâûå ñëîâà: çàäà÷à êîíâåêòèâíîé äèôôóçèè, àïïðîêñèìàöèÿ, óñòîé÷è- âîñòü, ñõîäèìîñòü, ìîíîòîííîñòü, ÷èñëåííàÿ âÿçêîñòü, ÷èñëåííàÿ äèñïåðñèÿ. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Èññëåäóåì ñâîéñòâà ñõåìû [1] äëÿ îïðåäåëåíèÿ âîçìîæíîñòè åå ïðèìåíåíèÿ äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è ïðîãíîçà ïîëåé ìåòåîðîëîãè÷åñêèõ âåëè÷èí, ó÷èòûâàÿ îñîáåííîñòè, ñâÿçàííûå ñ ðåøàåìîé çàäà÷åé. Âî-ïåðâûõ, óðàâíåíèÿ ìîäåëè öèðêóëÿöèè àòìîñôåðû íåëèíåéíûå, ÷òî âû- çûâàåò ñåðüåçíûå òðóäíîñòè äëÿ îïðåäåëåíèÿ ÷èñëåííîé óñòîé÷èâîñòè ñõåìû. Òàê, èññëåäîâàíèå óñòîé÷èâîñòè ñõåìû äëÿ ëèíåðèçèðîâàííîãî èëè «çàìîðîæåí- íîãî» àíàëîãîâ óðàâíåíèÿ äàåò ëèøü íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ åå óñòîé÷èâîñòè äëÿ íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ. Âî-âòîðûõ, â öåëÿõ àäåêâàòíîãî îïèñàíèÿ âîëíîâûõ ïðîöåññîâ â àòìîñôåðå ñëåäóåò ó÷èòûâàòü äâà ãëàâíûõ òðåáîâàíèÿ ê ÷èñëåííîìó ðåøåíèþ: îíî äîëæíî ïðàâèëüíî âîñïðîèçâîäèòü èçìåíåíèÿ àìïëèòóä âîëí è ïðàâèëüíî îïèñûâàòü èçìå- íåíèå ôàçû êîëåáàíèé, ôàçîâûå è ãðóïïîâûå ñêîðîñòè âîëíîâûõ âîçìóùåíèé [2–4]. Â-òðåòüèõ, ñïåöèôèêà ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è, ò.å. ïðîãíîç ìåòåîðîëîãè÷åñêèõ âåëè÷èí, îñîáåííî îñòðî âûäâèãàåò òðåáîâàíèå ê ýôôåêòèâíîñòè ÷èñëåííîãî àëãîðèò- ìà — ðàçóìíûå âðåìåííûå� çàòðàòû ïðè õîðîøåé òî÷íîñòè ðåøåíèÿ. ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È Ðàññìîòðèì íà÷àëüíî-êðàåâóþ çàäà÷ó êîíâåêòèâíîé äèôôóçèè � � � � � � � � � � � � � � � � � u t v u x x u x f x t� , ,0 1 0, (1) u x x x( , ) ( ),0 0 1� � �� , (2) u t a t u t b t t( , ) ( ), ( , ) ( ),0 1 0� � , (3) ãäå � �� const const0 0, , ( , )f f x t . Íèæå áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî ïàðàìåòð óðàâíåíèÿ (1) f x t( , ) è ïàðàìåòðû íà- ÷àëüíûõ è ãðàíè÷íûõ óñëîâèé (2), (3) äîñòàòî÷íî ãëàäêèå è ñîãëàñîâàíû òàê, ÷òî ñôîðìóëèðîâàííàÿ çàäà÷à èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå u x t( , ). Ïðîâåäåì äèñêðåòèçàöèþ çàäà÷è (1)–(3) ïî ñõåìå, îïèñàííîé â [1]. Äëÿ ýòî- ãî ââåäåì ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííóþ ñåòêó: ïîäåëèì îòðåçîê [ , ]0 1 íà J íåðàâ- íûõ ÷àñòåé òî÷êàìè x x x x xj J j( . . . )0 10 1 1� � � � � �� è îáîçíà÷èì ðàññòîÿíèÿ ìåæäó íèìè h x x j Jj j j� � � �� 1 0 1 1, , , . . ., ; ïîäåëèì îòðåçîê [ , ]0 T íà N ðàâíûõ ÷àñòåé òî÷êàìè t nn � �, n N� 0 1, , . . ., , ñ øàãîì � � �TN 1. Â ðåçóëüòàòå çàäà÷à (1)–(3) ïðèìåò âèä ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 161 © Â.À. Ïðóñîâ, À.Å. Äîðîøåíêî, Ð.È. ×åðíûø, Ë.Í. Ãóê, 2008 u u v h h h u u h h u u j n j n j j j j n j n j j j n j n� � � � � � � � � � � � �1 1 1 1 1 1 1 � h j � � � � � � � � � � 1 � � � � � �� f h h u u h u u h j n j j j n j n j j n j n j 2 1 1 1 1 1 1 � � � � , j J n N� � �1 1 1, . . ., , , . . ., , (4) u j Jj j 0 0� �� , , . . ., , (5) u a u b n Nn n J n n 0 1� � �, , , . . ., . (6) Ïðè ðàññìîòðåíèè íåêîòîðûõ âîïðîñîâ ïîíàäîáèòñÿ äðóãîå äèñêðåò- íîå ïðåäñòàâëåíèå óðàâíåíèÿ (1), ïîýòîìó ïðåîáðàçóåì ðàçíîñòíîå óðàâíå- íèå (4) ê âèäó u p u q u q u f pj n j j n j j n j j n j n j � � � �� 1 1 1 1 1 1( ( ) ) / ( ),� j J n N� � �1 1 1, . . ., , , . . ., , (7) ãäå p h v h h h q h v j j j j j j j j j � � � � � � � � � � � �� ( ) ( ) , ( )2 0 2 1 1 1 h h hj j j( ) . � �1 (8) ÀÏÏÐÎÊÑÈÌÀÖÈß Ïîñêîëüêó íà÷àëüíîå óñëîâèå (2) è êðàåâûå óñëîâèÿ (3) â êîíå÷íî- ðàçíîñ- òíîì ïðåäñòàâëåíèè (4)–(6) çàäàþòñÿ òî÷íî, òî èññëåäîâàíèå àïïðîêñèìàöèè çàäà÷è (1)–(3) ñâîäèòñÿ ê èññëåäîâàíèþ àïïðîêñèìàöèè óðàâíåíèÿ (1) äèñêðåòíûì óðàâíåíèåì (4). Íàéäåì ïåðâîå äèôôåðåíöèàëüíîå ïðèáëèæåíèå (ÏÄÏ) äëÿ (4) [5]. Äëÿ ýòî- ãî ïðîèçâåäåì ðàçëîæåíèå ôóíêöèè u x t( , ) ïî ôîðìóëå Òåéëîðà â îêðåñòíîñòè òî÷êè ( , )x tj n : u u u t u t u j n j n j n j n � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �1 2 2 2 3 3 2 6 � � � � � � � � � � � t o j n 3 3( )� , u u h u x h u x h j n j n j j n j j n j � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 1 2 2 2 3 2 6 � � � � � � � � � 3 3 3u x o h j n j( ), u u u t h u x u j n j n j n j j n � � �� 1 1 1 2 2 2 � � t h u t x j n j j n 2 1 2� � � � � � � � � � � � � � � � �� h u x u t h j j n j n j 1 2 2 2 3 3 3 2 2 6 2 � � 1 3 2 1 2 3 22 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �u t x h u x tj n j j n � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� h u x o h j j n k k j k1 3 3 3 0 3 1 3 6 � . 162 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 Ïîäñòàâèâ ýòè ðÿäû â (4) è ñäåëàâ ïðåîáðàçîâàíèÿ, ïîëó÷èì ÏÄÏ â Ã-ôîðìå: � � � � � � � � � � � � � � � � �� u t v u x u x u t vh h h u x j j j � � � �2 2 2 2 1 2 2 2( ) � � � � � � � � � t h hj j�( )1 3 � � � � � � � � � � � � � � � � 1 6 1 3 3 1 1 3 2 3 v h h u x h h h u x t u x t j j j j j �� 2 1 � � � � � � � � � �o h hj j( ).� (9) Êàê âèäíî, èìååò ìåñòî óñëîâíàÿ àïïðîêñèìàöèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà ïî ïðî- ñòðàíñòâó è âðåìåíè. Óñëîâèå àïïðîêñèìàöèè çàïèøåì � h hj j� � � 1 0 ïðè � � 0 è ( )h hj j� � �1 0, (10) ïîýòîìó êîíå÷íî-ðàçíîñòíàÿ ñõåìà (4)–(6) óñëîâíî ñîãëàñîâàíà ñ èñõîäíîé çà- äà÷åé (1)–(3). Â ÷àñòíîñòè, êàê ñëåäóåò èç (9), äëÿ óðàâíåíèÿ ÷èñòîé êîíâåê- öèè (� � 0) ñîãëàñîâàííîñòü ñòàíîâèòñÿ áåçóñëîâíîé. Îáîáùèì çàäà÷ó (1)–(3) çàìåíîé ïðàâîãî êðàåâîãî óñëîâèÿ ïåðâîãî ðîäà (3) óñëîâèåì òðåòüåãî ðîäà u t a t( , ) ( )0 � , (11) � 1 11 1u t u t b tx( , ) ( , ) ( )� � � . (12) Àïïðîêñèìèðóåì ïðîèçâîäíóþ â óñëîâèè (12) îäíîñòîðîííåé äâóõòî÷å÷íîé ðàçíîñòüþ � 1 1 1 1 1 1 1 1u u u h b J n J n J n J n� � � � � �� , (13) ÷òî íå èçìåíèò íè ïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè çàäà÷è (1), (2), (11), (12), íè óñëî- âèÿ ñîãëàñîâàííîñòè (10), íî òàêîå îáîáùåíèå ïîâëèÿåò íà àëãîðèòì ðåøåíèÿ çàäà÷è. Äåéñòâèòåëüíî, êàê è â ñëó÷àå ïåðâîé êðàåâîé çàäà÷è, èñïîëüçóåòñÿ ñõåìà (7) äëÿ óçëîâ j J� �1 1, . . ., . À äëÿ îïðåäåëåíèÿ çíà÷åíèÿ â ïîñëåäíåì óçëå j J� âîñïîëüçóåìñÿ êðàåâûì óñëîâèåì (13) u b h u hJ n n J J n J � � � � � � � � � 1 1 1 1 1 1 1 1 1 � . Òàêèì îáðàçîì, ïðèíöèïèàëüíûõ ñëîæíîñòåé â ïðèìåíåíèè ñõåìû (7) äëÿ ñëó÷àÿ êðàåâûõ óñëîâèé òðåòüåãî ðîäà íå âîçíèêàåò. Åäèíñòâåííîå íåóäîáñòâî — àëãîðèòì ðåøåíèÿ óæå íå ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíûì. ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ Èñïîëüçóåì ñïåêòðàëüíûé ïðèçíàê äëÿ íàõîæäåíèÿ íåîáõîäèìîãî óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè ñõåìû (5)–(7). Ïîëîæèì, ÷òî f x t( , ) � 0. Ðåøåíèå áóäåì èñêàòü â âèäå ôóíêöèè u u ikx u ik x hj n j n j j n s j s� � � � � � � � � � � � �0 0 0 0 1 exp exp( ) � � � � � , ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 163 ãäå k — âîëíîâîå ÷èñëî ãàðìîíèêè; i � �1 — ìíèìàÿ åäèíèöà; j è n — íî- ìåðà ïðîñòðàíñòâåííîãî è âðåìåííîãî óçëîâ ñåòêè [3]. Ïîäñòàâèâ ýòî ðåøåíèå â (7), ïîñëå íåêîòîðûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èì ( )k q k h p k hj j j j � � � � � � � � � � � � � � �1 2 2 1 2 2 2 2 1sin sin � � � � � � � � � � p q kh kh p p k h j j j j j j j sin sin sin ( ) ( ) ( ) 1 21 4 1 2 1 � � � � � � � � � � � � � � �� i p kh q k h q khj j j j j jsin sin sin( ) ( )1 21 2 2 1 2 2 1 4 1 2 2 1 2 1 � � � � � � � � � � � � � � � p k h p p k h j j j j j sin sin( ) � � Îòñþäà íàõîäèì ìîäóëü -ôóíêöèè \| ( )\| ( ) ( ) k q q k h p p k j j j j j 2 2 2 1 4 1 2 1 4 1 2 � � � � � � � � � sin sin h j � � � � �1 . (14) ×òîáû ðåøåíèå îñòàâàëîñü îãðàíè÷åííûì íà êîíå÷íîì îòðåçêå âðåìåíè, äîë- æíî âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå \| \| ( ) �2 1� �O . (15) Ïóñòü \| \| �2 1� �C . Èñïîëüçîâàâ (8) äëÿ (14), ïîëó÷èì C k h k hj j j j� � � � � � � � � � � � � ��4 2 2 2 1 2� �sin sin . Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî h hj j� � 1, òî èç (8) ñëåäóåò íåðàâåíñòâî \| \|� �j j� , ïîýòîìó C j� 8� è \| \| � �2 1 8� � j , ÷òî ïîäòâåðæäàåò âûïîëíåíèå íåðàâåíñòâà (15). Òàêèì îáðàçîì, íåðàâåíñòâî h hj j� � 1 ìîæíî ñ÷èòàòü íåîáõîäèìûì óñëîâèåì óñòîé÷èâîñòè ñõåìû. Çàìå÷àíèå 1. Òåñòîâûå ðàñ÷åòû äåéñòâèòåëüíî ïîêàçûâàþò, ÷òî ïðàêòè÷åñ- êèì óñëîâèåì óñòîé÷èâîñòè ñõåìû ÿâëÿåòñÿ íåâîçðàñòàíèå ïðîñòðàíñòâåííîãî øàãà ñåòêè ïðîòèâ íàïðàâëåíèÿ êîíâåêöèè. Îòäåëüíî ñëåäóåò ðàññìîòðåòü (14) äëÿ ñëó÷àÿ ðàâíîìåðíîé ïðîñòðàíñòâåí- íîé ñåòêè h h j Jj � � �, , . . .,0 1: \| ( )\| ( ) ( ) ( ) ( ) k q q k h p p k h � � � � � 1 4 1 2 1 4 1 2 2 2 sin sin . (16) Èññëåäóåì ïîâåäåíèå ôóíêöèè g x x x( ) ( )� � �1 4 1 2sin �, ãäå ��R: g x x g x x� � � � � � � �( ) ( ) , ( ) .4 2 1 0 1 2 2 0sin � Òàê êàê g x� � � ( ) 8 02sin � ïî÷òè äëÿ âñåõ � (èíà÷å ( )k �1), òî x0 — òî÷êà 164 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 ìèíèìóìà ïàðàáîëû, à â ñèëó ñèììåòðè÷íîñòè ïàðàáîëû îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé x x� 0 èìååì, ÷òî g p g x p g x g p( ) ( ) ( ) ( )� � � �2 0 ïðè x x p p� �[ ; ]2 0 . Âîçâðàùàÿñü ê (16), ïîëó÷àåì, ÷òî \| \| � � � � � �1 1p q p, à ïîñêîëüêó èç (8) ñëåäóåò, ÷òî \| \|q p� , òî ñõåìà (7) àáñîëþòíî óñòîé÷èâà íà ðàâíîìåðíîé ïðî- ñòðàíñòâåííîé ñåòêå. ÑÕÎÄÈÌÎÑÒÜ Èç óñëîâíîé ñîãëàñîâàííîñòè (àïïðîêñèìàöèè) è óñòîé÷èâîñòè ñõåìû (4)–(6) â ñèëó òåîðåìû Ëàêñà îá ýêâèâàëåíòíîñòè [7] âûòåêàåò óñëîâíàÿ ñõîäèìîñòü ðå- øåíèé ýòîé ðàçíîñòíîé ñõåìû ê ðåøåíèþ çàäà÷è (1)–(3) ñ ïåðâûì ïîðÿäêîì ïî � è h h j J j� � � max 0 1,..., : \| \| \| \|*u u O h h h� � � �� . ÌÎÍÎÒÎÍÍÎÑÒÜ Ïîëîæèì, ÷òî f x t( , ) � 0. Èñïîëüçîâàâ (8), çàïèøåì ñîîòíîøåíèå (7) â âèäå u u u uj n j j j n j j j n j j j n� � � �� 1 1 1 11 1 1 1 �� . (17) ßâíàÿ ôîðìà çàïèñè ñõåìû (17) èìååò âèä u j n k k k k k k k k � � � � � � � � � � � � � � �1 0 2 1 1 1 1 1 1 � � � � � � � � �� ( ) ( ) ( , )j k j u j k n� �� j j nj j u( , ) , 1 (18) ãäå � � � �� ( , ) ( ) k m m k n k m n n k m n � � � � � � � � � 1 1 0. Ñîãëàñíî ïðèçíàêó ìîíîòîííîñòè èç [6] íàéäåì óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ âñå êîýôôèöèåíòû â ïðàâîé ÷àñòè (18) áóäóò íåîòðèöàòåëüíûìè: � � � � � � � � � 2 1 1 1 1 0 0 ( ) ( ) . k k k k k k j � � �� (19) Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè ïðîñòðàíñòâåííàÿ ñåòêà çàäàåòñÿ ñîîòíîøåíèåì h h hj j j� � �� 1 0 1, . (20) Ðàññìîòðèì ïåðâîå íåðàâåíñòâî èç (19). Íàéäåì êîðíè ñîîòâåòñòâóþùåãî êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ � � � � � � � � � � � 1 2 1 1 2 1 1 1 4 2 , ( ) ( ) ( ) � � � � � � � � � � � � k k k k k k k k k k ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 165 è îöåíèì èõ. Î÷åâèäíî, ÷òî � � � � � � k k k k k k k k k vh h h h vh h h h � � � � � � � � � � � � � 1 1 1 2 3 2 2 2 2 ( ) ( 1 ) � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � k k k k k k k k vh h h h vh h h h 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( k � 1 ) , � � � � � � k k k k k k k k vh h h h vh h h � � � � � � � � � � � � � � 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 ( ) ( k kh� ��2 1 ) . Îòñþäà ïîëó÷àåì � � � � � � � k k k k k k vh h h h � � � � � � � �� 1 2 3 3 3 2 2 1 1 2 1 0 ( ) ( ) ( ) ; � � � � � k k k k k k vh h h h � � � � � � � � 1 2 2 2 3 2 2 2 1 2 2( ) ( ) ( ) , � � � � � � � k k k k k k vh vh h h h � � � � � � � � � � 1 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 1( ) ( ) ( ) ( k k k k k � � �� 1 2 1 1 ) � � � � , ïîýòîìó ðàçíîñòü ( ) (( ) ) (� � � � � � � �k k k k k k k k� � � � � �� 1 2 1 2 1 14 4 � �� k k1 0) . Ñëåäîâàòåëüíî, �1 2 0, � è êâàäðàòè÷íîå íåðàâåíñòâî èç (19) âûïîëíÿåòñÿ � �� 0. Çàìå÷àíèå 2. Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ñåòêè âèäà h h hJ0 1 1� � � �. . . , âîîáùå ãîâî- ðÿ, äàííûé ðåçóëüòàò íå èìååò ìåñòà. Ðàññìîòðèì âòîðîå íåðàâåíñòâî èç (19). Çàïèøåì åãî òàê: 2 00� �� h v jj , èëè � � � � � �� 2 0 1 h v j j . Îòñþäà ïðè j J� �1 è èç íåðàâåíñòâà � � 1 ïîëó÷àåì óñëîâèå ìîíîòîííîñòè ñõåìû, ñâÿçàííîå ñ ïàðàìåòðàìè ñåòêè (20) h v 0 2 � � è � � � � � �� 2 0 1 1 h v J . Çàìå÷àíèå 3. Äëÿ ðàâíîìåðíîé ñåòêè óñëîâèå ìîíîòîííîñòè ñõåìû èìååò âèä h v � 2� . ÈÇÌÅÍÅÍÈÅ ÔÀÇÛ È ÌÎÄÓËß Â ÒÎ×ÊÅ Äàëåå äëÿ èññëåäîâàíèÿ äèñïåðñèîííûõ è äèññèïàòèâíûõ ñâîéñòâ àïïðîêñèìà- öèè (4) áóäåì ïîëàãàòü â (1), ÷òî f x t( , ) � 0. Òîãäà, êàê èçâåñòíî, óðàâíåíèå (1) èìååò àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå âèäà [3] u x t k t ik x t( , ) ( ) ( ( )).� � �exp exp� �2 (21) 166 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 Î÷åâèäíî, ÷òî â íåêîòîðîé ôèêñèðîâàííîé òî÷êå x j â ìîìåíòû âðåìåíè t n è t tn n� � �1 � çíà÷åíèå òî÷íîãî ðåøåíèÿ áóäåò îòëè÷àòüñÿ ïî ìîäóëþ (ïåðâûé ñî- ìíîæèòåëü) è ôàçå (âòîðîé ñîìíîæèòåëü). Ýòî èçìåíåíèå çàäàåòñÿ ñîîòíîøåíèåì u uj n j n� �1 , ãäå � � �� exp exp( ) ( )k ikv2 . Ñëåäîâàòåëüíî, ìîäóëü òî÷íîãî ðåøåíèÿ (21) â ôèêñèðîâàííîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà çà âðåìÿ � èçìå- íèòñÿ â \| \| ( ) � �� exp k 2 1 ðàç, à ôàçà — íà óãîë � �� arctg Im Re kv (ðèñ. 1). Íàéäåì ýòè æå èçìåíåíèÿ äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøå- íèÿ. Êàê ïîêàçàíî âûøå, äëÿ (7) ñïðàâåäëèâî ïåðåõîä- íîå ñîîòíîøåíèå u uj n j n� �1 , ãäå Re � � � � � � � � � � � � � � ��1 2 2 1 2 2 2 2 1q k h p k hj j j jsin sin � � � � � � � � � p q kh kh p p k h j j j j j j j sin sin sin ( ) ( ) ( ) 1 2 11 4 1 2 � � � � , Im sin sin sin � � � � � � � � � � � ��p kh q k h q kj j j j j( ) (1 21 2 2 h p k h p p k h j j j j j j ) ( ) 1 2 2 1 4 1 2 2 1 2 � � � � � � � � � � � � � sin sin 1 � � � � . Òîãäà ñîãëàñíî (14) èçìåíåíèå ìîäóëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ðàâíî \| \| ( ) ( ) ( ) ( ) � � � � � � 1 4 1 2 1 4 1 2 2 2 1 q q k h p p k h j j j j j j sin sin , (22) à èçìåíåíèå ôàçû — � � � � � �arctg Im Re . (23) Äëÿ óïðîùåíèÿ äàëüíåéøèõ ðàññóæäåíèé ñäåëàåì äâà ïðåäïîëîæåíèÿ: âî-ïåðâûõ, ÷òî h h hj j� � � 1, âî-âòîðûõ, ïîñêîëüêó êîðîòêèå âîëíû k h � / 4 âñå ðàâíî íå ìîãóò áûòü êîððåêòíî îòîáðàæåíû íà ñåòêå, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî kh� 1. Òîãäà ôîðìóëà (22) ïðèìåò âèä \| \| ( ) ( ) ( ) ( ) � � � � � � 1 4 1 2 1 4 1 2 1 2 2 q q k h p p k h sin sin , ãäå p hv h q h h q p� � � � � � � � � � �( ) , ( ) , \| \| 2 2 0 2 22 2 . Èñïîëüçîâàâ ðàçëîæåíèÿ ïî ôîðìóëå Òåéëîðà äëÿ îöåíêè \| \| , ïîëó÷èì ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 167 Ðèñ. 1. Èçìåíåíèå ïî ôàçå è àáñîþòíîìó çíà÷åíèþ çà îäèí âðåìåííîé øàã \| \| ( ) . � � � � � � �1 2 2 2 k k v h Òàêèì îáðàçîì, ñõåìà (4) ÿâëÿåòñÿ äèññèïàòèâíîé (\| \| � 1). À åñëè ó÷åñòü, ÷òî \| \| ( ) . . . � � � � � � � �1 2 2 2 2 k k , òî ïîëó÷èì òî÷íîñòü ïåðåäà÷è èçìåíåíèÿ ìîäóëÿ â òî÷êå ïîðÿäêà �2 . Îòëè÷èå â äðóãèõ ÷ëåíàõ ðàçëî- æåíèé óêàçûâàåò íà íåîáõîäèìîñòü îòäåëüíîãî èññëåäîâàíèÿ äèññèïàòèâíûõ ñâîéñòâ ñõåìû (÷èñëåííàÿ âÿçêîñòü). Îöåíèì èçìåíåíèå ôàçû ðåøåíèÿ â òî÷êå x j . Ñîãëàñíî ïðèíÿòûì ïðåäïîëî- æåíèÿì ôîðìóëà (23) óïðîñòèòñÿ ê âèäó � � � � � � � � � � � � � � arctg sin sin sinp kh q k h q kh( ) ( )1 2 2 12 2 2 1 2 2 1 2 2 2 p k h q k h p sin sin si � � � � � � � � � � � � � � � � � � n sin2 2 2 k h pq kh � � � � � � � � � � � � � � � � � � �( ) . Èñïîëüçîâàâ ïðèáëèæåíèÿ ïî ôîðìóëå Òåéëîðà, ïîëó÷èì òàêóþ îöåíêó: � � � �� k v k v kh kh 6 1 6 2 2 ( ) ( ) . Ñëåäîâàòåëüíî, äàííàÿ ñõåìà çàìåäëÿþùàÿ (� �/ � 1). Çàìåäëåíèå òåì áîëü- øå, ÷åì áîëüøèé ïðîñòðàíñòâåííûé øàã èëè âîëíîâîå ÷èñëî. ×ÈÑËÅÍÍÀß ÂßÇÊÎÑÒÜ Ïðåîáðàçóåì ÏÄÏ (9) ê Ï-ôîðìå. Íî ïîñêîëüêó ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò äîñòà- òî÷íî ãðîìîçäêèé, îãðàíè÷èìñÿ òîëüêî òîé ÷àñòüþ Ï-ôîðìû, êîòîðàÿ ñîäåð- æèò âñå ÷ëåíû ñ � �2 2u x/ è � �3 3u x/ [5]: � � � � � � � � � � � � � � � � � u t v u x u x v v h h h h u x j j j j � � �2 2 1 1 2 22 4( ) � � � � � � �� 2 6 12 21 1 1 1 � � � � � �h h vh h v vh h h h j j j j j j j j ( ) ( ) ( � � � � � � � � � �1 2 3 3h u xj ) . Îòñþäà íàõîäèì îöåíêó ÷èñëåííîé âÿçêîñòè � � � c j j j j v v h h h h � � � � � �2 4 1 1 ( ) . (24) Êàê âèäíî, âåëè÷èíà ÷èñëåííîé âÿçêîñòè ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíà âðåìåííî- ìó øàãó, ñêîðîñòè êîíâåêöèè è ôèçè÷åñêîé âÿçêîñòè. Â ÷àñòíîñòè, äëÿ óðàâíå- íèÿ ÷èñòîé äèôôóçèè (� � 0) îíà âîîáùå îòñóòñòâóåò. Íàéäåì óñëîâèå êîððåêòíîñòè ñõåìû (4), ò.å. êîãäà ( )� �� c 0. Ïîñëå íå- ñëîæíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èì óñëîâèå íà øàãè ïðîñòðàíñòâåííîé ñåòêè h v v h v v j j� � � � � � � � � � � � � � 2 2 1 2 2 2 4 2 . 168 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 Íî ïîñêîëüêó � � � � v v 2 2 2 2 1 � � � è 4 2 0 2 � � � � v v � � , òî äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì êîððåê- òíîñòè áóäåò h hj j� � 1. Îòìåòèì, ÷òî äëÿ ðàâíîìåðíîé ïðîñòðàíñòâåííîé ñåòêè (h hj � ), êàê ñëåäóåò èç (24), ñõåìà àáñîëþòíî êîððåêòíàÿ. ÔÀÇÎÂÀß ÑÊÎÐÎÑÒÜ Ôàçîâàÿ ñêîðîñòü õàðàêòåðèçèðóåò ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ôàçû ðåøåíèÿ âî âðå- ìåíè â ôèêñèðîâàííîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà. Äëÿ òî÷íîãî ðåøåíèÿ (21) îíà ðàâ- íà � � P A � � äëÿ âñåõ äëèí âîëí è òî÷åê ïðîñòðàíñòâà [2]. Äëÿ ÷èñëåííîãî ðå- øåíèÿ îöåíêó ôàçîâîé ñêîðîñòè íàõîäèì ïî îïðåäåëåíèþ � � � � �P P A k kh kh � � � � � � � � � � � � � � � � � � 1 6 1 6 2 2( ) ( ) . Òàêèì îáðàçîì, â ÷èñëåííîì ðåøåíèè ôàçîâàÿ ñêîðîñòü çàíèæåíà äëÿ âñåõ âîëí. Ïðè÷èíîé ýòîìó ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íî-ðàçíîñòíîå ïðåäñòàâëåíèå ïðîñòðà- íñòâåííûõ ïðîèçâîäíûõ. Ê òîìó æå ôàçîâàÿ ñêîðîñòü äëÿ ðàçíûõ âîëí ðàçëè÷íà: âîëíû áîëüøåé äëèííû èìåþò áîëüøóþ ñêîðîñòü, ïîýòîìó â ñõåìå ïðèñóòñòâóåò ÷èñëåííàÿ äèñïåðñèÿ. ÃÐÓÏÏÎÂÀß ÑÊÎÐÎÑÒÜ Ãðóïïîâàÿ ñêîðîñòü — ýòî ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû ñ ìàêñèìàëüíîé àìïëèòóäîé, êîòîðàÿ ïîðîæäàåòñÿ ñóïåðïîçèöèåé ãðóïïû âîëí ñ áëèçêèìè âîëíîâûìè ÷èñëàìè. Ýòà ñêîðîñòü õàðàêòåðèçèðóåò ñêîðîñòü ïåðåíåñåíèÿ ýíåðãèè. Îïðåäåëèì ãðóïïîâóþ ñêîðîñòü äëÿ òî÷íîãî ðåøåíèÿ (21): � � � � G A d dk � � � 1 . Îíà ïîñòîÿííà äëÿ âñåõ äëèí âîëí è ðàâíà èñòèííîé ôàçîâîé ñêîðîñòè [2]. Íàéäåì ÷èñëåííóþ ãðóïïîâóþ ñêîðîñòü � � � � � �G G Ad dk kh kh � � � � � � � � � � � � 1 2 1 2 2 2( ) ( ) . Ïîíÿòíî, ÷òî îíà çàíèæåíà äëÿ âñåõ äëèí âîëí âñëåäñòâèå êîíå÷íî- ðàçíîñ- òíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ïðîñòðàíñòâåííûõ ïðîèçâîäíûõ. Äëÿ ðàçíûõ âîëí ãðóïïî- âàÿ ñêîðîñòü ðàçëè÷íàÿ: ñ óâåëè÷åíèåì äëèíû âîëíû (óìåíüøåíèåì âîëíîâîãî ÷èñëà k) îíà ïðèáëèæàåòñÿ ê èñòèííîé. Ïîýòîìó ðàñïðîñòðàíåíèå ýíåðãèè äëèí- íûìè âîëíàìè ïåðåäàåòñÿ ñõåìîé (4) ëó÷øå, ÷åì ðàñïðîñòðàíåíèå êîðîòêîâîëíîâîé ýíåðãèè. ÂÛ×ÈÑËÈÒÅËÜÍÀß ÑËÎÆÍÎÑÒÜ Ðàññìîòðèì ñõåìó (5)–(7). Äëÿ ïðîñòîòû ïîëîæèì, ÷òî h hj � , j J� �0 1, . . ., . Òîãäà êîëè÷åñòâî îïåðàöèé, íåîáõîäèìûõ äëÿ ïåðåõîäà íà ñëåäóþùèé âðå- ìåííîé ñëîé, áóäåò ðàâíî 8 1 11( )J � � . ×òîáû ëó÷øå ïîíÿòü âåëè÷èíó ýòîãî ÷èñëà, äëÿ ñðàâíåíèÿ ïðèâåäåì êîëè÷åñòâî îïåðàöèé äëÿ àëãîðèòìîâ ðåøåíèÿ çàäà÷è (1)–(3), â ñëó÷àå ÿâíîé è íåÿâíîé ñõåì (âñå ïðî÷èå óñëîâèÿ ðàâíûå): ÿâíàÿ — 7 1 8( )J � � ; íåÿâíàÿ — 10 1( )J � . Êàê âèäíî, ñõåìà (5)–(7), ÿâëÿÿñü áå- çóñëîâíî óñòîé÷èâîé êàê íåÿâíàÿ, òðåáóåò ïî÷òè ñòîëüêî æå îïåðàöèé ïðè ïå- ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 169 ðåõîäå íà ñëåäóþùèé âðåìåííîé ñëîé, êàê ÿâíàÿ ñõåìà. Íî åñëè ó÷åñòü, ÷òî çàäà÷à ðåøàåòñÿ äëÿ íåêîòîðîãî ôèêñèðîâàííîãî ïðîìåæóòêà âðåìåíè, ïðåè- ìóùåñòâî ñõåìû (5)–(7) ïåðåä ÿâíîé è íåÿâíîé î÷åâèäíî. Ñëåäóåò îæèäàòü, ÷òî ðåøåíèå ìåòîäîì (5)–(7) íåëèíåéíûõ ìíîãîìåðíûõ óðàâíåíèé ãèäðîòåðìîäèíàìèêè ïîòðåáóåò ìåíüøèõ çàòðàò ìàøèííîãî âðåìåíè â îòëè÷èå îò èçâåñòíûõ ìåòîäîâ. ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ Ê ïðåèìóùåñòâàì ñõåìû (4)–(6) ñëåäóåò îòíåñòè àáñîëþòíóþ óñòîé÷èâîñòü (ðàâíîìåðíàÿ ïðîñòðàíñòâåííàÿ ñåòêà) è ýêîíîìè÷íûé àëãîðèòì ðåøåíèÿ ïî êîëè÷åñòâó îïåðàöèé è íåîáõîäèìîìó îáúåìó ïàìÿòè. Ê òîìó æå ñîãëàñíî [1] êîýôôèöèåíòû óðàâíåíèÿ (1) � ( , )x t è �( , )x t áåðóòñÿ íà ÿâíîì ñëîå, ïîýòîìó ïðè ðåøåíèè ñèñòåìû ïðîãíîñòè÷åñêèõ óðàâíåíèé âîçìîæåí ïàðàëëåëüíûé ïå- ðåñ÷åò íà ñëåäóþùèé âðåìåííîé øàã äëÿ êàæäîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû, ÷òî íå ïðèâîäèò ê èòåðàöèÿì, êàê â ñëó÷àå íåÿâíûõ ìåòîäîâ. Ýòî äîëæíî ïîâûñèòü ýôôåêòèâíîñòü ðåøåíèÿ âñåé çàäà÷è ïðîãíîçà ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåòîäà (4)–(6). Íî äëÿ ðåàëèçàöèè òàêîé âîçìîæíîñòè íåîáõîäèìî ïðîâåñòè ðàñùåï- ëåíèå ìíîãîìåðíîé çàäà÷è òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû îíî ñîõðàíèëî ïðåèìóùåñòâà îäíîìåðíîé ñõåìû [8, 9]. Ðàáîòà â ýòîì íàïðàâëåíèè âåäåòñÿ â íàñòîÿùåå âðåìÿ. Ê íåäîñòàòêàì ðàññìàòðèâàåìîãî ìåòîäà ìîæíî îòíåñòè óñëîâíóþ ñõîäèìîñòü è óñëîâíóþ ìîíîòîííîñòü. Îäíàêî ïðàêòè÷åñêîå óäîâëåòâîðåíèå ýòèì óñëîâèÿì íå ñëèøêîì îáðåìåíèòåëüíî, ïîýòîìó ìû ñ÷èòàåì öåëåñîîáðàçíûì ïðèìåíèòü äàííûé ìåòîä ïðè ðåøåíèè çàäà÷è ïðîãíîçà ìåòåîðîëîãè÷åñêèõ ïîëåé. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Ý ô ô å ê ò è â í à ÿ ðàçíîñòíàÿ ñõåìà ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è êîíâåêòèâíîé äèôôóçèè / Â.À. Ïðóñîâ, À.Å. Äîðîøåíêî, Ð.È. ×åðíûø, Ë.Í. Ãóê // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2007. — ¹ 3. — Ñ. 64–74. 2. Á å ë î â Ï . Í . , Á î ð è ñ å í ê î â Å . Ï . , Ï à í è í Á . Ä . ×èñëåííûå ìåòîäû ïðîãíîçà ïîãîäû. — Ë.: Ãèäðîìåòåîèçäàò, 1989. — 376 ñ. 3. Ï ð ó ñ î â Â . À . , Ä î ð î ø å í ê î À . Þ . Ìîäåëþâàííÿ ïðèðîäíèõ Ÿ òåõíîãåííèõ ïðîöåñŸâ â àòìîñôåð³. — ÊèÂâ: Íàóê. äóìêà, 2006. — 542 ñ. 4. Ä è í à ì è ê à ïîãîäû. / Ïîä ðåä. Ñ. Ìàíàáå — Ë.: Ãèäðîìåòåîèçäàò, 1988. — 420 ñ. 5. Ñ à ì à ð ñ ê è é À . À . , Ï î ï î â Þ . Ï . Ðàçíîñòíûå ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷ ãàçîâîé äèíàìèêè. — Ì.: Íàóêà, 1992. — 424 ñ. 6. Ê à ë è ò ê è í Í . Í . ×èñëåííûå ìåòîäû. — Ì.: Íàóêà, 1978. — 512 ñ. 7. J o e D . H o f f m a n . Numerical methods for engineers and scientists. — New York: Basel, 2001. — 829 p. 8. ß í å í ê î Í . Í . Ìåòîä äðîáíûõ øàãîâ ðåøåíèÿ ìíîãîìåðíûõ çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. — Íîâîñèáèðñê: Íàóêà, 1967. — 196 ñ. 9. Ê î â å í ÿ Â . Ì . , ß í å í ê î Í . Í . Ìåòîä ðàñùåïëåíèÿ â çàäà÷àõ ãàçîâîé äèíàìèêè. — Íîâîñèáèðñê: Íàóêà, 1981. — 304 ñ. Ïîñòóïèëà 14.06.2007 170 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-72007
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
language	Russian
last_indexed	2025-12-07T16:50:41Z
publishDate	2008
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
record_format	dspace
spelling	Прусов, В.А. Дорошенко, А.Е. Черныш, Р.И. Гук, Л.Н. 2014-12-15T22:26:09Z 2014-12-15T22:26:09Z 2008 Теоретическое исследование одного численного метода решения задачи конвективной диффузии / В.А. Прусов, А.Е. Дорошенко, Р.И. Черныш, Л.Н. Гук // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 2. — С. 161-170. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72007 004.75 Проведено теоретичне дослідження апроксимації, стійкості, збіжності, монотонності, дисипативних і дисперсійних властивостей методу. Просторова сітка вважається нерівномірною. Розглянуто випадок застосування методу для задачі з третьою крайовою умовою. Наведено оцінку обчислювальної складності алгоритму. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Теоретическое исследование одного численного метода решения задачи конвективной диффузии Article published earlier
spellingShingle	Теоретическое исследование одного численного метода решения задачи конвективной диффузии Прусов, В.А. Дорошенко, А.Е. Черныш, Р.И. Гук, Л.Н. Системный анализ
title	Теоретическое исследование одного численного метода решения задачи конвективной диффузии
title_full	Теоретическое исследование одного численного метода решения задачи конвективной диффузии
title_fullStr	Теоретическое исследование одного численного метода решения задачи конвективной диффузии
title_full_unstemmed	Теоретическое исследование одного численного метода решения задачи конвективной диффузии
title_short	Теоретическое исследование одного численного метода решения задачи конвективной диффузии
title_sort	теоретическое исследование одного численного метода решения задачи конвективной диффузии
topic	Системный анализ
topic_facet	Системный анализ
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72007
work_keys_str_mv	AT prusovva teoretičeskoeissledovanieodnogočislennogometodarešeniâzadačikonvektivnoidiffuzii AT dorošenkoae teoretičeskoeissledovanieodnogočislennogometodarešeniâzadačikonvektivnoidiffuzii AT černyšri teoretičeskoeissledovanieodnogočislennogometodarešeniâzadačikonvektivnoidiffuzii AT gukln teoretičeskoeissledovanieodnogočislennogometodarešeniâzadačikonvektivnoidiffuzii

Теоретическое исследование одного численного метода решения задачи конвективной диффузии

Репозитарії

Схожі ресурси