Приближенный синтез оптимального управления квазилинейными стохастическими дифференциальными уравнениями с малым параметром и пуассоновскими возмущениями
Одержано послідовні наближення до оптимального керування квазілінійною системою стохастичних диференціально-функціональних рівнянь із пуассонівськими збурюваннями з квадратичним функціоналом якості....
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Дата: | 2008 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2008
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72062 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Приближенный синтез оптимального управления квазилинейными стохастическими дифференциальными уравнениями с малым параметром и пуассоновскими возмущениями / В.К. Ясинский, Л.И. Ясинская, С.В. Антонюк // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 3. — С. 39-45. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860237398239084544 |
|---|---|
| author | Ясинский, В.К. Ясинская, Л.И. Антонюк, С.В. |
| author_facet | Ясинский, В.К. Ясинская, Л.И. Антонюк, С.В. |
| citation_txt | Приближенный синтез оптимального управления квазилинейными стохастическими дифференциальными уравнениями с малым параметром и пуассоновскими возмущениями / В.К. Ясинский, Л.И. Ясинская, С.В. Антонюк // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 3. — С. 39-45. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Одержано послідовні наближення до оптимального керування квазілінійною системою стохастичних диференціально-функціональних рівнянь із пуассонівськими збурюваннями з квадратичним функціоналом якості.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:26:00Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.21; 681.513
Â.Ê. ßÑÈÍÑÊÈÉ, Ë.È. ßÑÈÍÑÊÀß, Ñ.Â. ÀÍÒÎÍÞÊ
ÏÐÈÁËÈÆÅÍÍÛÉ ÑÈÍÒÅÇ ÎÏÒÈÌÀËÜÍÎÃÎ ÓÏÐÀÂËÅÍÈß
ÊÂÀÇÈËÈÍÅÉÍÛÌÈ ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÅÑÊÈÌÈ ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÛÌÈ
ÓÐÀÂÍÅÍÈßÌÈ Ñ ÌÀËÛÌ ÏÀÐÀÌÅÒÐÎÌ È ÏÓÀÑÑÎÍÎÂÑÊÈÌÈ
ÂÎÇÌÓÙÅÍÈßÌÈ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ïðèáëèæåííûé ñèíòåç, îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå, êâàçèëè-
íåéíûå ñòîõàñòè÷åñêèå äèôôåðåíöèàëüíî-ôóíêöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ, ìàëûé
ïàðàìåòð, ïóàññîíîâñêèå âîçìóùåíèÿ.
1. ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
Íà âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå ( , , )� F P ñ ôèëüòðàöèåé { }F t t, � 0 , F Ft � ,
îïðåäåëåíî ñèëüíîå ðåøåíèå x t x t R n( ) ( , )� �� ñèñòåìîé êâàçèëèíåéíûõ ñòî-
õàñòè÷åñêèõ äèôôåðåíöèàëüíî-ôóíêöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé Èòî–Ñêîðîõîäà
[1–7] (ÊÑÄÔÓ� ) � �t T[ , ]0
dx t f t x B t u t dt d tt( ) [ ( , ) ( ) ( )] ( )
� � , (1)
d t a t dt b t dw t c t z dz dt
Z
� �( ) ( ) ( ) ( ) ( , )~ ( , )
� (2)
è íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè
x t t( ) ( ) �0 , � �
�t 0, u R l� �U . (3)
Çäåñü �0 0� � � ��D D(( , ]) — ïðîñòðàíñòâî Ñêîðîõîäà íåïðåðûâíûõ ñïðàâà
ôóíêöèé, êîòîðûå èìåþò ëåâîñòîðîííèå ãðàíèöû [3, 8, 9], âåêòîðû-ñòîëáöû a c u, ,
èçìåðèìû è îãðàíè÷åíû íà [ , ]0 T ; ìàòðèöû-ôóíêöèè B t( ) è b t( ) ðàçìåðíîñòè n n�
ñîñòîÿò èç èçìåðèìûõ è îãðàíè÷åííûõ ôóíêöèé B tij ( ) è b tij ( ); ôóíêöèîíàë
f T:[ , ]0 � �D èçìåðèì; w t( ) — n-ìåðíûé âèíåðîâñêèé ïðîöåññ, êîòîðûé íå çàâè-
ñèò îò öåíòðèðîâàíîé ïóàññîíîâñêîé ìåðû ~( , ) ( , ) ( )� �dz dt dz dt dz dt� � � [3].
Äîïóñòèì, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêàÿ íåîòðèöàòåëüíàÿ íåóáûâàþùàÿ íà � ôóíê-
öèÿ r t( , )� , ÷òî âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ ðàâíîìåðíîé îãðàíè÷åííîñòè ïî t T�[ , ]0
| ( , )| | ( )| ( , )f t a dr t� � � �2
0
2
0
2�
�
�
�
(4)
è óñëîâèå Ëèïøèöà: � � �� �, D
| ( , ) ( , )| | ( ) ( )| ( , )f t f t dr t� � � � � � �� � � � �
�
�2
0
2 ; (5)
sup
0 0� �
�
�
�
t T
dr t( , )� . (6)
Èíôèíèòåçèìàëüíûé îïåðàòîð íà ðåøåíèÿõ (1)–(3) âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
[4] (ñ. 156–162; òåîðåìû 2.1.2; 2.1.3; cëåäñòâèå 2.1.2) îò ôóíêöèîíàëà v �V (ìíî-
æåñòâî ôóíêöèîíàëîâ v T R:[ , ]0 1� �D , äâàæäû íåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèèðî-
âàíûõ ïî x è îäèí ðàç ïî t):
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 3 39
© Â.Ê. ßñèíñêèé, Ë.È. ßñèíñêàÿ, Ñ.Â. Àíòîíþê, 2008
� �v t u v t v t x f t B t u v t( , , , ) ( , ) ( , ) [ ( , ) ( ) ] ( ,� � � � �� �
��0 x), (7)
äëÿ êîòîðîãî
�0
21
2
v t
t
v a t v t b t v t x b t� � � ��( , ) ( ) ( ) [ ( ) ( , ) ( �
�
� �
� �Sp )]
� � �� [ ( , ( , )) ( , ) ( ( , ), ( , )) ( )v t x c t z v t x v t x c t z dzt t t
Z
� . (8)
Çäåñü � — îïåðàöèÿ òðàíñïîíèðîâàíèÿ âåêòîðà èëè ìàòðèöû;
� � � � ��
�
��
�
�
��
�
v
v
dx
v
dx
v
dxn1 2
, , ,� ; � �
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
2
2
1v
v
x x
i j n
i j
, , , ; SpA — ñëåä ìàòðèöû À;
( , )� � — ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå.
Ðàññìîòðèì ïðîáëåìó ìèíèìèçàöèè ôóíêöèîíàëà êà÷åñòâà çàäà÷è îïòè-
ìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ
J u x T M t x T u t M t u t
T
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) �
�
�E�0 0
0
1{
�x t M t x t dt( ) ( ) ( ) ,2 } (9)
ãäå ìàòðèöû M t M t1 2( ), ( ) èçìåðèìû è ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíû, M t1 ( ) ðàâíî-
ìåðíî ïî t ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà, à M t M t0 2( ), ( ) — íåîòðèöàòåëü-
íî-îïðåäåëeííûå ìàòðèöû.
Ìíîæåñòâî äîïóñòèìûõ óïðàâëåíèé U — ýòî ìíîæåñòâî ñëó÷àéíûõ ïðîöåñ-
ñîâ �( , )t , ñîãëàñîâàííûõ ñ ïîòîêîì
-àëãåáð Ft è òàêèõ, ÷òî
E� �
0
0
2
0
21
T
t ds K�
�
�
�
��
!
�
"�
�
| ( )| ( | | | | ),
(10)
ãäå
| | | | | ( )|� � �
�
0
0
0
2�
� � �
sup
h
. (11)
Ðåøåíèå çàäà÷è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ äëÿ (1)–(3), (9) ñâîäèòñÿ [cì. 4, 5]
ê èññëåäîâàíèþ óðàâíåíèÿ Áåëëìàíà
�0 2v t x f t v t x x M t x� �� �( , ) ( , ) ( , ) ( )
� �
�
� � �1
4
1( ( , )) ( ) ( , );v t x B t v t x� �
(12)
v T x M T x( , ) ( ) ;� � 0 x �( );0 B BM t B1 1
1� �� ( ) . (13)
Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå u t0( , )� ïðè âèïîëåíåíèè íåêîòîðûõ óñëîâèé äëÿ
ðåøåíèÿ çàäà÷è (12), (13) ìîæíî íàéòè â âèäå [10]
u t M t B t v t x0
1
11
2
( , ) ( ) ( ) ( , )� � � � �� .
(14)
Ïîñòðîèì ïîñëåäîâàòåëüíûå ïðèáëèæåíèÿ ê îïòèìàëüíîìó óïðàâëåíèþ
u t0( , )� , óñòàíîâèì îöåíêè ïîãðåøíîñòè äëÿ çàäà÷è óïðàâëåíèÿ (1)–(3), (9).
2. ÂÛÁÎÐ ÍÓËÅÂÎÃÎ ÏÐÈÁËÈÆÅÍÈß Ê ÎÏÒÈÌÀËÜÍÎÌÓ ÓÏÐÀÂËÅÍÈÞ
Ïðè � 0 óðàâíåíèÿ (12), (13) èìåþò òî÷íîå ðåøåíèå [10]:
v t x P t x x P t P t0 0 1 22( , ) ( ) ( ) ( ),� �
�
40 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 3
ãäå x �( )0 . Çäåñü ìàòðèöà P t0 ( ), âåêòîð P t1 ( ) è ôóíêöèÿ P t2 ( ) îïðåäåëÿþòñÿ
êðàåâîé çàäà÷åé äëÿ ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
[10, 11]:
dP t
dt
M P B P0
2 0 1 0
( )
;
� P T M0 0( ) ; (15)
dP t
dt
P a P B P1
0 0 1 1
( )
;
P T1 0( ) ;
(16)
dP t
dt
a P Sp b P b c P c dz P P P
Z
2
1 0 0 1 1 12
( )
[ ] ( ) ;
�
�
� � �� P T2 0( ) . (17)
Ïðè ýòîì P t0 ( ), P t1 ( ) è P t2 ( ) , êàê ðåøåíèÿ ñèñòåìû (15)–(17), ðàâíîìåðíî
îãðàíè÷åíû ïî t è òàêèå, ÷òî ìàòðèöà
P P
P P
n n
0 1
1 2
1 10
�
�
��
�
�
�� �
�
( ) ( )
(äàëåå áóäåì îáîçíà÷àòü íåîòðèöàòåëüíóþ îïðåäåëíeíîñòü ìàòðèöû ðàçìåð-
íîñòè ( ) ( )n n
�
1 1 íà âåêòîðàõ ( , , , , )x x xn1 2 1� �), ãäå � �x x( ,1 x xn2 , , )� ��
�R n, P n n0 0� � ; P2 0� . Òîãäà îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå ïðè � 0 çàäà÷è
(1)–(3), (9) èìååò âèä [7]
u t M B t P t P t
0
0
1
1
0 10( , ) ( )[ ( ) ( ) ( )]� � � �
�
. (18)
Ïóñòü x tu
� ( ) — ðåøåíèå ñèñòåìû (1)–(3) ïðè � � 0 ñ óïðàâëåíèåì u, à J u� ( )
— ôóíêöèîíàë
J u x T M x T u s M s u su u
T
� � � �( ) ( ( )) ( ) [ ( ) ( ) ( )� �
�
�E
0 0
0
1{
�( ( )) ( ) ( )]x s M s x s dsu u
� �2 }. (19)
Òåîðåìà 1. Óïðàâëåíèå u t
0
0( , )� (18) ÿâëÿåòñÿ íóëåâûì ïðèáëèæåíèåì ê
îïòèìàëüíîìó óïðàâëåíèþ u t0( , )� çàäà÷è (1)–(3), (9) â ñìûñëå âûïîëíåíèÿ
óñëîâèÿ
0
0
0
0 0� � �J u t v K� � � �( ( , ) ( )) , (20)
ãäå K K0 0 0
21
( | | | | );� v J u
u U
( ) ( ).� �0
�
inf
Äîêàçàòåëüñòâî.  êà÷åñòâå âñïîìîãàòåëüíîé çàäà÷è óïðàâëåíèÿ [1] ðàñ-
ñìîòðèì èñõîäíóþ ñèñòåìó (1)–(3), (9) ïðè � 0. Òîãäà ñîãëàñíî ëåììå 1 (ñì. [8])
èìååì
0 2
0
0
0 0� � �J u v J J� �� �( ( )) ( , ), (21)
ãäå � � �( , ) | ( ) ( )| ,J J J u J u
u U
0 0� �
�
sup U — ìíîæåñòâî ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ
�( ) ( , )t t R n� � , ñîãëàñîâàííûõ ñ ïîòîêîì
-àëãåáð {F F}t � , äëÿ êîòîðûõ
0
2
00
T
t dt K� �E� { }| ( )| .
(22)
Äîêàæåì ñíà÷àëà, ÷òî � � U ñïðàâåäëèâà îöåíêà
E� �
0
0
2
0sup
� �
�
�
�
!
"
�
t T
x t K| ( )| . (23)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 3 41
Ïåðåïèñàâ ñèñòåìó (1), (2) â èíòåãðàëüíîé ôîðìå, ëåãêî ïîëó÷èòü îöåíêó
êâàäðàòà ìîäóëÿ ðåøåíèÿ ÷åðåç èíòåãðàëû
| ( )| | ( )| ( , )x K x f s x dss�
�
�
� ��
#
#
#
#
#
#
�
�
�
�
�
�0 2 2
0
2
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
� � �
0
2
0
2
0
�
B s s ds a s ds b s dw s
T T
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
#
#
#
#
#
#
2
0
2
�
�� �
#
#
#
#
#
#
!
�
"
�Z
c s z dz ds( , )~ ( , ) .
Îòêóäà, ó÷èòûâàÿ óñëîâèÿ (4)–(6), îãðàíè÷åííîñòü êîýôèöèåíòîâ (1), (2) è
ñâîéñòâà ñòîõàñòè÷åñêèõ èíòåãðàëîâ [3], ìîæíî ïîëó÷èòü íåðàâåíñòâî äëÿ âòîðî-
ãî ìîìåíòà ðåøåíèÿ çàäà÷è (1)–(3):
E� �
�
0
0
2
0
21sup
� �
�
�
�
!
"
�
t T
x t K| ( )| [ | | | |
�� � �E E� � �
� �
0 0
2
0 0 0
2{ } { }| ( )| | ( )| ( , )s ds x s dr s ds
t t h
].
Åñëè ó÷åñòü ñïðàâåäëèâîñòü î÷åâèäíîé îöåíêè
E E�
� �
�
�
�
�� �
0 0
2
0
2
0
sup sup
� � � � �
�
�
�
!
"
�
s s
x x| ( )| | | | | | �( )| ,2�
�
�
!
"
è îöåíêó (22), òî ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî
E E�
� �
�
�
�
� �
0 0
2
0
0 0
1sup sup
� � � �
�
�
�
!
"
�
�
s
t
x K| ( )| | | | |
�
�
�
�
!
"
$
%
&
&
'
(
)
)s
x ds| ( )|�
� 2 .
Èñïîëüçóÿ íåðàâåíñòâî Ãðîíóîëëà–Áåëëìàíà, èìååì
E� �
�
0
0
0
2 2
0sup
� �
�
�
�
�
!
"
�
t T
x t x t K| ( ) ( )| .
(24)
Äàëåå, ó÷èòûâàÿ (23), ïîëó÷àåì îöåíêó
J J x T x T M x T x T� � �
�
( ) ( )| [( ( ) ( )) ( ( ) ( ))� � �
0 0 0 00
E*
� �
#
#
#��
0
0 2
T
x s x s M s x s ds( ( ) ( )) ( )( ( ) ) ]�
�
�
�
�
�
!
"� � � �
K x t x t x
t T t T
E E� �
� �
0 0
0
0
2
0
sup sup| ( ) ( )| | ( ) ( )|
/
t x t K�
�
�
�
!
"
$
%
&
&
'
(
)
)
�
0
2
1 2
0
� .
Îñþäà, ó÷èòûâàÿ (21), âåðíî íåðàâåíñòâî (20). Äàëåå íóæíî äîêàçàòü, ÷òî
óïðàâëåíèå u t
0
0( , )� èç U , ò.å. îíî óäîâëåòâîðÿåò (23). Äåéñòâèòåëüíî,
0
0
0 2
0
1
1
00
0
0
0
T
t
u
T
u t x dt M t B t P� � ��E E� � �{ } {| ( , )| | ( ) ( )( ( ) ( )t x t
u
�
0
0
42 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 3
�
�P t dt K x t dt
T
u
1
0
21
0
0
0
( ))| ( | ( )| ),} { }E� �
ãäå x t
u
�
0
0
( ) — ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
dx t f t x B t P t x t P t
u
t
u u
� � ��0
0
0
0
0
0
1 0 1( ) [ ( , ) ( )( ( ) ( ) ( )) �
]dt
�a t dt b t dw t c t z dz dt
Z
( ) ( ) ( ) ( , )~ ( , ).�
Ïîýòîìó x t
u
�
0
0
( ) óäîâëåòâîðÿåò îöåíêå âèäà (23). Òàêèì îáðàçîì, óïðàâëåíèå
u t
0
0 ( , )� óäîâëåòâîðÿåò (22), ÷òî è äîêàçûâàåò òåîðåìó 1.
3. ÀËÃÎÐÈÒÌ ÏÎÑÒÐÎÅÍÈß k-ÃÎ ÏÐÈÁËÈÆÅÍÈß
Ê ÎÏÒÈÌÀËÜÍÎÌÓ ÓÏÐÀÂËÅÍÈÞ
Àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ k-ãî ïðèáëèæåíèÿ ê îïòèìàëüíîìó óïðàâëåíèþ çàäà÷è
(1)–(3), (9) â îáùåì âèäå îïèñàí â [8].
Çäåñü âåëè÷èíû v, � è G, ÷òî âõîäÿò â óðàâíåíèå Áåëëìàíà
� ( , , , ) ( , ) ( , , , )t u v t G t u� � � � �0 0 0
, (25)
v T F( , ) ( , )� � � ,
äëÿ ôóíêöèîíàëà êà÷åñòâà J u J u( ) ( , ),� 0 0� ãäå
J t F x G s x u s x dsu
t T
u
t
T
s
u
s
u( , ) ( ( )) ( , , ( , ), ),� � ��
�E { },
íàõîäÿòñÿ â âèäå [8]
v t v t v t v t( , ) ( , ) ( , ) ( , )� � � � � �
0 1
2
2 � ,
� � � �( , , , ) ( , ) ( , ) ( , )t u t t t� � � � � � �0
0 1
2
2
� , (26)
G t u G t G t G t( , , , ) ( , ) ( , ) ( , )� � � � � � �0
0 1
2
2
�
Åñëè ïîäñòàâèòü (26) â (24) è ïðèðàâíÿòü ê íóëþ êîýôôèöèåíòû ïðè ðàçëè÷-
íûõ ñòåïåíÿõ �, òî ïîëó÷èì
j
i
i j j it v t G t i
�+
0
0 0 1 2� ( , ) ( , ) ( , ) ; , , , ,� � � � (27)
v T F0 ( , ) ( , ),� � � v T ii ( , ) , , , , ...� 0 0 1 2 .
Èòàê, �i è Gi äëÿ çàäà÷è óïðàâëåíèÿ (1)–(3), (9) èìåþò âèä:
� �0 0
0
1
1
2
( , ) ( ( , )) ( ) ;t v t x B t� � � � � �
�1
1
1
1
2
( , ) ( , ) ( ( , )) ( ) ;t f t v t x B t� � � � � � � � �
�i
it v t x B t i( , ) ( ( , )) ( ) ; , , ;� � � � � � 1
2
2 31 �
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 3 43
G t x M t x v t x B t v t x0 2
0
1
01
4
( , ) ( ) ( ( , )) ( ) ( , );� � � �
� � � x �( );0
G t v t x B t v t xi
j
i
i j j( , ) ( ( , )) ( ) ( , );� � � � � �
�+1
4 0
1 x i �( ), , ,0 1 2 � .
Òîãäà äëÿ i � 1 óðàâíåíèå Áåëëìàíà (27) ìîæíî çàïèñàòü
�0
1
0
1
4
v t x f t v t x v t x Bi i
j
i
j
� � ��( , ) ( , ) ( , ) ( ( , ))
� � � ��
+ 1 ( ) ( , )t v t xi j� �
� ,
(28)
v T xi
�( , ) 0, x �( )0 .
Îïðåäåëèì èç (28) v t v tk1 ( , ), , ( , )� �� , v vi
i� , çàäàäèì k-å ïðèáëèæåíèå ê
îïòèìàëüíîìó óïðàâëåíèþ [8, 1] (â ñîîòâåòñòâèè ñ u u t Qk k� ( , , , )� � ,
Q v v vk
k
k�
0 1� �� è u t M t B t v t x0
1
11
2
( , ) ( ) ( ) ( , )� � � � �� ) ôîðìóëîé
u t M t B t v t x v t x vk
k( , ) ( ) ( ) [ ( , ) ( , ) ..� � �� � � � �
�1
2 1
1 0 1
�
k t x( , )].
(29)
Ôîðìóëà (14) çàäàeò íóëåâîå ïðèáëèæåíèå v0 äëÿ ôóíêöèîíàëà Áåëëìàíà.
Ñóùåñòâîâàíèå ñëåäóþùèõ ïðèáëèæåíèé v v vk1 2, , ,� óñòàíàâëèâàåòñÿ òàêèì
óòâåðæäåíèåì [12].
Òåîðåìà 2. Ðåøåíèå óðàâíåíèé (28) ïðè i k 1, ñóùåñòâóåò â âèäå
v t s y dsi t
t
T
i s( , ) ( , ) ,,� �
�
�
�
��
!
�
"�
�E , (30)
ãäå ,i
i
j
i
if t v t x v t x B t v� � � � � ��
�
�+( , ) ( , ) ( , ) ( )� � � �
1
1
1
1
1
1
4
i j t x� ( , ), x �( ),0
à íåèçâåñòíûé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ y s( ) îïðåäåëÿåòñÿ êàê ðåøåíèå ÑÄÓ
dy s B s P s y s P s ds d s s t T( ) ( )[ ( ) ( ) ( )] ( ) [ , ] �
� �1 0 1 � , yt �� D. (31)
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðè i � 1 èç (28) ïîëó÷èì
�1 0v t ti i( , ) ( , )� �
, ; v Ti ( , ) ,� 0 (32)
ïðè ýòîì ñëåäóåò ó÷åñòü òîæäåñòâî
j
i
j i j iv t x B t v t x v t x B
�+ � � � � �
0
1 14( ( , )) ( ) ( , ) ( ( , )) (� �� t P t x P t)[ ( ) ( )]0 1
� � �
�
�+ ( ( , )) ( ) ( , )v t x B t v t xj
j
i
i j
� �1
1
1
,
ãäå � �1 0 0 1 1� �
� �( )P x P B — èíôèíèòåçèìàëüíûé îïåðàòîð ïðîöåññà y s( ) êàê
ðåøåíèå ñòîõàñòè÷åñêîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíêíèÿ (ÑÄÓ) (31).
Ïðè i 1 óðàâíåíèÿ (32) çàïèøåì â âèäå
�1 1 0 12 0v t f t P t x P t( , ) ( , )[ ( ) ( )]� �
�
(33)
ñ êðàåâûì óñëîâèåì
v T1 0( , ) ;� x �( )0 . (34)
44 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 3
Åñëè ~v1 è ~v2 — äâà ðåøåíèÿ çàäà÷è (33), (34), òî äëÿ 1~ ~ ~v v v �1 2 èç L1 0~v
è ~ ( , )v T � 0 ñëåäóåò [2], ÷òî ~ ( , )v T � � 0. À ýòî è îçíà÷àåò åäèíñòâåííîñòü ðåøå-
íèÿ çàäà÷è (33), (34). Àíàëîãè÷íî ìåòîäîì ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè äîêàæåì
åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèé óðàâíåíèé (32) � �i 1. Èç ëåììû 2 [12] è ñîîòíîøåíèé
(32)–(34) ñëåäóåò (30), ÷òî è äîêàçûâàåò òåîðåìó 2.
Çàìå÷àíèå. Âû÷èñëåíèå ïðàâîé ÷àñòè âûðàæåíèÿ (30) äëÿ v t1 ( , )� ìîæíî èíîã-
äà ñâåñòè ê êâàäðàòóðàì. Íàïðèìåð, â ñëó÷àå f t x f t x t ht( , ) ( , ( )),� � ãäå h � 0 —
ïîñòîÿííàÿ, à p t x s y( , , , ) — ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà ïðîöåññà y s( ) êàê
ðåøåíèÿ ÑÄÓ (31). Òîãäà (30) ïðè i 1 çàïèøåì â âèäå äëÿ t T h� �[ , ]0
v t f s s t h P s P s p t
t
t h
R n
1 0 12( , ) ( , ( ))[ ( ) ( )] ( , (� � � � � �
� � 0), , )s y dyds
�
� �
� � �2 00 1
t h
T
R Rn n
f s z P s y P p t s h z p s( , )[ ( ) ] ( , ( ), , ) (� h z s y dzdyds, , , ) ;
à äëÿ t T h T� �[ , ]
v t f s s t h P s y P s p t
t
T
R n
1 0 12 0( , ) ( , ( ))[ ( ) ( )] ( , (� � � � � �
� � ), , ) ,s y dyds
ãäå ïëîòíîñòü p t x s y( , , , ) â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ äëÿ ÑÄÓ (31) ìîæíî âû÷èñëèòü
â ÿâíîì àíàëèòè÷åñêîì âèäå [12].
CÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. À í ä ð å å â à Å . À . , Ê î ë ì à í î â ñ ê è é Â . Á . , Ø à é õ å ò Ë . Á . Óïðàâëåíèå ñèñòåìàìè ñ
ïîñëåäåéñòâèåì. — Ì.: Íàóêà, 1992. — 336 ñ.
2. Ñ ê î ð î õ î ä À .  . Àñèìïòîòè÷åñêèå ìåòîäû òåîðèè ñòîõàñòè÷åñêèõ äèôôåðåíöèàëüíûõ
óðàâíåíèé. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1987. — 328 ñ.
3. Á è ë ë è í ã ñ ë è Ï . Ñõîäèìîñòü âåðîÿòíîñòíûõ ìåð. — Ì.: Íàóêà, 1977. — 352 ñ.
4. Ö à ð ü ê î â Å . Ô . , ß ñ è í ñ ê è é  . Ê . Êâàçèëèíåéíûå ñòîõàñòè÷åñêèå äèôôåðåíöèàëü-
íî-ôóíêöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ. — Ðèãà: Îðèåíòèð, 1992. — 328 ñ.
5. Ê î ë ì à í î â ñ ê è é Â . Á . Óïðàâëåíèå è îöåíèâàíèå â ñèñòåìàõ ñ ïîñëåäåéñòâèåì // Ìàòåìà-
òè÷åñêàÿ òåîðèÿ ñèñòåì. — Ì.: Íàóêà, 1986. — Ñ. 151–162.
6. Ø à é õ å ò Ë . Å . Îá �-îïòèìàëüíîì óïðàâëåíèè êâàçèëèíåéíûìè èíòåãðàëüíûìè óðàâíåíèÿ-
ìè // Òåîðèÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. — 1986. — Âûï. 14. — Ñ. 121–130.
7. Ê î ë ì à í î â ñ ê è é Â . Á . , Ø à é õ å ò Ë . Å . Î ïðèáëèæåííîì ñèíòåçå îïòèìàëüíîãî óïðàâ-
ëåíèÿ ñòîõàñòè÷åñêèìè êâàçèëèíåéíûìè ñèñòåìàìè ñ ïîñëåäåéñòâèåì // Ïðèêë. ìàòåìàòèêà è
ìåõàíèêà. — 1978. — 42, Â. 6. — Ñ. 101–112.
8. J a k u b o v s k i A . A . Non-Skorohod topology on the Skorohod space // Electron. J. of Probab. —
1997. — 2. — P. 1–21.
9. J a k u b o v s k i A . A . The a.s. Skorohod representation for subsequences in nonmetric spaces //
Theory Probab. Appl. — 1997. — 42. — P. 209–216.
10. Þ ð ÷ å í ê î ² .  . , ß ñ è í ñ ü ê à Ë . ² . , ß ñ è í ñ ü ê è é  . Ê . Êîìï’þòåðíå ñòàòèñòè÷íå ìî-
äåëþâàííÿ. — ×åðí³âö³: Ïðóò, 2002. — 416 ñ.
11. à è õ ì à í È . È . , Ñ ê î ð î õ î ä À .  . Óïðàâëÿåìûå ñëó÷àéíûå ïðîöåññû. — Êèåâ: Íàóê.
äóìêà, 1977. — 312 ñ.
12. Ê î ð î ë þ ê Â . Ñ . , ß ñ è í ñ ü ê è é Â . Ê . , À í ò î í þ ê Ñ . Â . Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå ñòî-
õàñòè÷åñêèìè äèíàìè÷åñêèìè ñèñòåìàìè ñî âñåé ïðåäûñòîðèåé ñ ïóàññîíîâñêèìè ïåðåêëþ÷å-
íèÿìè // Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. — 2004. — ¹ 7. — Ñ. 103–107.
Ïîñòóïèëà 11.01.2007
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 3 45
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-72062 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:26:00Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Ясинский, В.К. Ясинская, Л.И. Антонюк, С.В. 2014-12-16T19:17:51Z 2014-12-16T19:17:51Z 2008 Приближенный синтез оптимального управления квазилинейными стохастическими дифференциальными уравнениями с малым параметром и пуассоновскими возмущениями / В.К. Ясинский, Л.И. Ясинская, С.В. Антонюк // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 3. — С. 39-45. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72062 519.21:681.513 Одержано послідовні наближення до оптимального керування квазілінійною системою стохастичних диференціально-функціональних рівнянь із пуассонівськими збурюваннями з квадратичним функціоналом якості. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Кибернетика Приближенный синтез оптимального управления квазилинейными стохастическими дифференциальными уравнениями с малым параметром и пуассоновскими возмущениями Article published earlier |
| spellingShingle | Приближенный синтез оптимального управления квазилинейными стохастическими дифференциальными уравнениями с малым параметром и пуассоновскими возмущениями Ясинский, В.К. Ясинская, Л.И. Антонюк, С.В. Кибернетика |
| title | Приближенный синтез оптимального управления квазилинейными стохастическими дифференциальными уравнениями с малым параметром и пуассоновскими возмущениями |
| title_full | Приближенный синтез оптимального управления квазилинейными стохастическими дифференциальными уравнениями с малым параметром и пуассоновскими возмущениями |
| title_fullStr | Приближенный синтез оптимального управления квазилинейными стохастическими дифференциальными уравнениями с малым параметром и пуассоновскими возмущениями |
| title_full_unstemmed | Приближенный синтез оптимального управления квазилинейными стохастическими дифференциальными уравнениями с малым параметром и пуассоновскими возмущениями |
| title_short | Приближенный синтез оптимального управления квазилинейными стохастическими дифференциальными уравнениями с малым параметром и пуассоновскими возмущениями |
| title_sort | приближенный синтез оптимального управления квазилинейными стохастическими дифференциальными уравнениями с малым параметром и пуассоновскими возмущениями |
| topic | Кибернетика |
| topic_facet | Кибернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72062 |
| work_keys_str_mv | AT âsinskiivk približennyisintezoptimalʹnogoupravleniâkvazilineinymistohastičeskimidifferencialʹnymiuravneniâmismalymparametromipuassonovskimivozmuŝeniâmi AT âsinskaâli približennyisintezoptimalʹnogoupravleniâkvazilineinymistohastičeskimidifferencialʹnymiuravneniâmismalymparametromipuassonovskimivozmuŝeniâmi AT antonûksv približennyisintezoptimalʹnogoupravleniâkvazilineinymistohastičeskimidifferencialʹnymiuravneniâmismalymparametromipuassonovskimivozmuŝeniâmi |