Представления и разложения взвешенных псевдообратных матриц, итерационные методы и регуляризация задач. II. Вырожденные веса
Наведено огляд робіт, присвячених зображенням і розвиненням зважених псевдообернених матриць з додатно-означеними вагами та побудові ітераційних методів і регуляризованих задач для обчислення зважених псевдообернених матриць і зважених нормальних псевдорозв'язків. Розглянуто питання використанн...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2008 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72065 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Представления и разложения взвешенных псевдообратных матриц, итерационные методы и регуляризация задач. II. Вырожденные веса / И.В. Сергиенко, Е.Ф. Галба, В.С. Дейнека // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 3. — С. 75-102. — Бібліогр.: 43 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860028885593227264 |
|---|---|
| author | Сергиенко, И.В. Галба, Е.Ф. Дейнека, В.С. |
| author_facet | Сергиенко, И.В. Галба, Е.Ф. Дейнека, В.С. |
| citation_txt | Представления и разложения взвешенных псевдообратных матриц, итерационные методы и регуляризация задач. II. Вырожденные веса / И.В. Сергиенко, Е.Ф. Галба, В.С. Дейнека // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 3. — С. 75-102. — Бібліогр.: 43 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Наведено огляд робіт, присвячених зображенням і розвиненням зважених псевдообернених матриць з додатно-означеними вагами та побудові ітераційних методів і регуляризованих задач для обчислення зважених псевдообернених матриць і зважених нормальних псевдорозв'язків. Розглянуто питання використання побудованих методів для розв'язування задач найменших квадратів з обмеженнями.Наведено огляд робіт зображень і розвинення зважених псевдообернених матриць із додатно-напіввизначеними вагами та побудови ітераційних методів і регуляризованих задач для обчислення зважених псевдообернених матриць і зважених нормальних псевдорозв'язків на базі цих зображень і розвинень. Розглянуто питання використання побудованих методів для розв'язування задач найменших квадратів із обмеженнями.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:51:00Z |
| format | Article |
| fulltext |
È.Â. ÑÅÐÃÈÅÍÊÎ, Å.Ô. ÃÀËÁÀ, Â.Ñ. ÄÅÉÍÅÊÀ
ÓÄÊ 512.64 : 519.61 ÏÐÅÄÑÒÀÂËÅÍÈß È ÐÀÇËÎÆÅÍÈß
ÂÇÂÅØÅÍÍÛÕ ÏÑÅÂÄÎÎÁÐÀÒÍÛÕ ÌÀÒÐÈÖ,
ÈÒÅÐÀÖÈÎÍÍÛÅ ÌÅÒÎÄÛ
È ÐÅÃÓËßÐÈÇÀÖÈß ÇÀÄÀ×.
II. ÂÛÐÎÆÄÅÍÍÛÅ ÂÅÑÀ1
Êëþ÷åâûå ñëîâà: âçâåøåííûå ïñåâäîîáðàòíûå ìàòðèöû ñ âûðîæäåííûìè âå-
ñàìè, âçâåøåííûå íîðìàëüíûå ïñåâäîðåøåíèÿ ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè, ïðåä-
ñòàâëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö, ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâ-
äîîáðàòíûõ ìàòðèö, ðåãóëÿðèçàöèÿ, èòåðàöèîííûå ìåòîäû, çàäà÷è íàèìåíü-
øèõ êâàäðàòîâ ñ îãðàíè÷åíèÿìè.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
 ðàáîòå [1], ïîñâÿùåííîé âçâåøåííîé ïñåâäîèíâåðñèè ñ ïîëîæèòåëüíî- îïðå-
äåëåííûìè âåñàìè, ïðèâåäåí îáçîð ëèòåðàòóðû ïî ðàçëè÷íûì âèäàì ïñåâäî-
èíâåðñèè è óêàçàí ðÿä ïðèëîæåíèé âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö è
âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé. Íàñòîÿùàÿ ñòàòüÿ ïîñâÿùåíà âçâå-
øåííîé ïñåâäîèíâåðñèè ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè, è îñíîâíîå âíèìàíèå áóäåò
óäåëåíî ñîîòâåòñòâóþùèì ïóáëèêàöèÿì. Îïðåäåëåíèå âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàò-
íîé ìàòðèöû ñ âûðîæäåííûìè (ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûìè) âåñàìè âïåð-
âûå áûëî äàíî â [2], ãäå àâòîðû óñòàíàâëèâàþò íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå
óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ åäèíñòâåííîé âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû ñ âû-
ðîæäåííûìè âåñàìè. Â ðÿäå ðàáîò (íàïðèìåð, [3–5] ) èññëåäîâàëàñü ML-âçâåøåí-
íàÿ ïñåâäîèíâåðñèÿ. Ïðè íåêîòîðûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ ML-âçâåøåííûå ïñåâäîîá-
ðàòíûå ìàòðèöû è âçâåøåííûå ïñåâäîîáðàòíûå ìàòðèöû ñ âûðîæäåííûìè âåñà-
ìè, îïðåäåëåííûå â [2], ñîâïàäàþò. Â äàëüíåéøåì, åñëè íå îãîâîðåíî ïðîòèâíîå,
â íàñòîÿùåé ðàáîòå áóäåò ðàññìàòðèâàòüñÿ âçâåøåííàÿ ïñåâäîèíâåðñèÿ,
îïðåäåëåííàÿ â [2].
Ñòàòüÿ íîñèò îáçîðíûé õàðàêòåð è íàïèñàíà ãëàâíûì îáðàçîì íà îñíîâå ñòà-
òåé àâòîðîâ, ïîñâÿùåííûõ ðàçâèòèþ òåîðèè âçâåøåííîé ïñåâäîèíâåðñèè â íà-
ïðàâëåíèè èññëåäîâàíèÿ ñâîéñòâ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö è âçâå-
øåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè, ïîëó÷åíèþ è èñ-
ñëåäîâàíèþ ïðåäñòàâëåíèé è ðàçëîæåíèé âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ
âûðîæäåííûìè âåñàìè, à òàêæå èñïîëüçîâàíèþ ïîëó÷åííûõ ïðåäñòàâëåíèé è
ðàçëîæåíèé âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö äëÿ ïîñòðîåíèÿ è èññëåäîâàíèÿ
èòåðàöèîííûõ ìåòîäîâ è ðåãóëÿðèçîâàííûõ çàäà÷ äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ
ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè, âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ
ïñåâäîðåøåíèé ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè, äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ íàèìåíüøèõ
êâàäðàòîâ ñ îãðàíè÷åíèÿìè.
Ðàáîòà ñîñòîèò èç ñåìè ðàçäåëîâ. Ðàçä. 1 íîñèò âñïîìîãàòåëüíûé õàðàêòåð.
 íåì ïðèâåäåíû îïðåäåëåíèÿ, îáîçíà÷åíèÿ, ââåäåíû ìàòðè÷íûå è âåêòîðíûå
íîðìû, ðàññìîòðåíû ñâîéñòâà âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåí-
íûìè âåñàìè è ñèììåòðèçóåìûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè ñèììåòðèçàòîðàìè.
 ðàçä. 2 äàíû ïðåäñòàâëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â òåðìèíàõ
êîýôôèöèåíòîâ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ ñèììåòðèçóåìûõ è ñèììåòðè÷-
íûõ ìàòðèö. Óñòàíàâëèâàåòñÿ ñâÿçü âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñî âçâå-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 3 75
1 Íà÷àëî â ¹ 1, 2008 ã.
© È.Â. Ñåðãèåíêî, Å.Ô. Ãàëáà, Â.Ñ. Äåéíåêà, 2008
øåííûìè íîðìàëüíûìè ïñåâäîðåøåíèÿìè. Ðàçä. 3 ïîñâÿùåí ïîëó÷åíèþ è èññëå-
äîâàíèþ ðàçëîæåíèèé âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â ìàòðè÷íûå ñòåïåí-
íûå ðÿäû è ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ ñ ïîëîæèòåëüíûìè
ïîêàçàòåëÿìè ñòåïåíåé. Ðàçä. 4 ïîñâÿùåí òåì æå âîïðîñàì, ÷òî è òðåòèé ðàçäåë,
íî ðàçëîæåíèÿ èìåþò îòðèöàòåëüíûå ïîêàçàòåëè ñòåïåíåé. Êðîìå òîãî, ïîëó÷å-
íû ìíîãî÷ëåííûå ïðåäåëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàò-
ðèö, ïîñòðîåíû è èññëåäîâàíû ðåãóëÿðèçîâàííûå çàäà÷è äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðè-
áëèæåíèé ê âçâåøåííûì ïñåâäîîáðàòíûì ìàòðèöàì è âçâåøåííûì íîðìàëüíûì
ïñåâäîðåøåíèÿì ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè. Â ðàçä. 5 ïðåäëîæåíû è èññëåäîâàíû
èòåðàöèîííûå ïðîöåññû ñ ðàçëè÷íûìè ñêîðîñòÿìè ñõîäèìîñòè äëÿ âû÷èñëåíèÿ
ïðèáëèæåíèé ê ðåøåíèþ óêàçàííûõ âûøå çàäà÷. Â ðàçä. 6 ïðèâåäåíû ôîðìóëû
ïðåäñòàâëåíèÿ âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè
÷åðåç ïñåâäîîáðàòíóþ ìàòðèöó Ìóðà–Ïåíðîóçà è ÷àñòíûå âèäû âçâåøåííûõ
ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö. Ðàçä. 7 ïîñâÿùåí àäàïòàöèè ìåòîäîâ âû÷èñëåíèÿ
âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé äëÿ ïîñòðîåíèÿ àëãîðèòìîâ ðåøåíèÿ
çàäà÷ íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ñ îãðàíè÷åíèÿìè.
Îòìåòèì, ÷òî â ñòàòüå äàëåå ïðåäïîëàãàåòñÿ âåùåñòâåííîñòü èñïîëüçóåìûõ
ñêàëÿðîâ, âåêòîðîâ, ìàòðèö è ïðîñòðàíñòâ.
1. ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈß, ÎÁÎÇÍÀ×ÅÍÈß, ÂÅÊÒÎÐÍÛÅ È ÌÀÒÐÈ×ÍÛÅ ÍÎÐÌÛ,
ÑÈÌÌÅÒÐÈÇÓÅÌÛÅ ÌÀÒÐÈÖÛ Ñ ÂÛÐÎÆÄÅÍÍÛÌÈ ÑÈÌÌÅÒÐÈÇÀÒÎÐÀÌÈ
Ââåäåì íåîáõîäèìûå äëÿ äàëüíåéøåãî èçëîæåíèÿ îáîçíà÷åíèÿ è îïðåäåëåíèÿ.
Ïóñòü R m n� — ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ìàòðèö ðàçìåðà m n� . Ïðèâåäåì
îïðåäåëåíèå âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè [2].
Ïóñòü A m n
�
�R , X n m
�
�R ; B m m
�
�R è C n n
�
�R — ñèììåòðè÷íûå ïîëî-
æèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûå ìàòðèöû. Òîãäà âçâåøåííàÿ ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàò-
ðèöà ê ìàòðèöå A îïðåäåëÿåòñÿ êàê ìàòðèöà X A
BC
�
� , óäîâëåòâîðÿþùàÿ
÷åòûðåì óñëîâèÿì:
AXA A XAX X BAX BAX XAC XACT T
� � � �, , ( ) , ( ) . (1)
 [2] óñòàíîâëåíî, ÷òî ñèñòåìà ìàòðè÷íûõ óðàâíåíèé (1) èìååò åäèíñòâåí-
íîå ðåøåíèå òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ äëÿ ðàíãîâ
ìàòðèö
rk BA rk A rk AC rk A( ) ( ), ( ) ( )� � , (2)
ãäå rk L( ) — ðàíã ìàòðèöû L.
Îáîçíà÷èì A
EE
� ïñåâäîîáðàòíóþ ìàòðèöó Ìóðà-Ïåíðîóçà [6, 7] ê ìàòðèöå
A, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ êàê åäèíñòâåííàÿ ìàòðèöà, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèÿì
(1) ïðè B C E� � , ãäå E — åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà.
Îáîçíà÷èì R n n-ìåðíîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî íàä ïîëåì äåéñòâèòåëüíûõ
÷èñåë, ãäå âåêòîðû ñóòü ìàòðèöû ðàçìåðà n �1. Ïóñòü H — ñèììåòðè÷íàÿ ïîëî-
æèòåëüíî-îïðåäåëåííàÿ èëè æå ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà. Îáîç-
íà÷èì R n H( ) åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî â ñëó÷àå ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííîé
ìåòðèêè èëè ïñåâäîåâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî â ñëó÷àå íåîòðèöàòåëüíîé ìåòðèêè,
ââåäåííîé ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì ( , ) ( , )u v Hu vH E� , ãäå ( , )u v u vE
T
� . Íîð-
ìó (ïîëóíîðìó) â R n H( ) ââåäåì ñîîòíîøåíèåì | | | | ( , ) /u u uH H
�
1 2 .  ñëó÷àå ïîëî-
æèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííîé ìàòðèöû H ÷åðåç R Rn nH H( ) ( )� è
76 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 3
R Rn
EE
n
EE
H H( ) ( )� �
� áóäåì îáîçíà÷àòü ïîäïðîñòðàíñòâî âåêòîðîâ u,
óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ
HH u H H u u
EE EE
� �
� �
1 2 1 2/ /
, (3)
ãäå H H
EE EE
� �
�
1 2 1 2/ /( ) .
 äàëüíåéøåì äëÿ ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûõ ìàòðèö H áóäåì ïî-
ëüçîâàòüñÿ îáîçíà÷åíèåì H H
EE
p p
EE
� �
� ( ) , ãäå p — öåëîå èëè äðîáíîå ÷èñëî.
Òàê êàê íóëü-ïðîñòðàíñòâà ìàòðèö H , H
EE
� , HH
EE
� è H H
EE
1 2 1 2/ /� ñîâïàäàþò
[8], òî ïîëóíîðìû || | |� H , | | | |� �HEE
äëÿ âåêòîðîâ â R n H( ), R n
EE
H( )� ñòàíîâÿòñÿ
íîðìàìè â R n H( ), R n
EE
H( )� .
Îïðåäåëèì íîðìó ïðÿìîóãîëüíîé ìàòðèöû [9]. Ïóñòü A m n
�
�R , H — ñèì-
ìåòðè÷íàÿ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííàÿ èëè ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííàÿ
ìàòðèöà ïîðÿäêà m, V — ñèììåòðè÷íàÿ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííàÿ èëè ïîëî-
æèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà n è x — ïðîèçâîëüíûé âåêòîð èç
R n . Ïðåäïîëàãàåì âûïîëíåíèå óñëîâèé
rk HA rk A rk AV rk A( ) ( ), ( ) ( )� � . (4)
Åñëè H è V — ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûå ìàòðèöû, òî óñëîâèÿ â (4) çàâå-
äîìî âûïîëíÿþòñÿ.
Äëÿ ìíîæåñòâà ìàòðèö A, óäîâëåòâîðÿþùèõ (4), íîðìó ââåäåì ñîîòíîøåíèåì
| | | |
| | | |
| | | |
/
A
H AVx
x
HV
x
E
E
m
n
�
�
sup
0
1 2
, (5)
ãäå x n
�R , à íèæíèé èíäåêñ ïðè åäèíè÷íîé ìàòðèöå îçíà÷àåò åå ðàçìåðíîñòü.
Ïðè òàêîì îïðåäåëåíèè íîðìà ìàòðèöû A ðàâíà
| | | | [ ( )]max
/A VA HAVHV
T
� � 1 2 , (6)
ãäå � max ( )L — ìàêñèìàëüíîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ìàòðèöû L.
 [9] ïîêàçàíî, ÷òî ôóíêöèÿ | | | |� HV , îïðåäåëåííàÿ ôîðìóëîé (5), ïðè âûïîë-
íåíèè óñëîâèé (4) ÿâëÿåòñÿ àääèòèâíîé ìàòðè÷íîé íîðìîé. Åñëè óñëîâèÿ (èëè
îäíî èç óñëîâèé) (4) íå âûïîëíÿþòñÿ, òî ôîðìóëà (5) îïðåäåëÿåò ïîëóíîðìó
ìàòðèöû A.
Ïóñòü A m p
�
�R , B p n
�
�R , à H m m
�
�R ,V n n
�
�R , M p p
�
�R — ñèììåò-
ðè÷íûå ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûå ìàòðèöû, ïðè÷åì óäîâëåòâîðÿåòñÿ
îäíî èç óñëîâèé
AMM AM M A MM B M MB B
EE EE EE EE
� � � �
� � � �, .
Òîãäà (ñì. [10])
| | | | | | | | | | | |AB A BHV HM M VEE
�2 .
Äàëåå îïðåäåëèì ìàòðè÷íóþ íîðìó äëÿ êâàäðàòíîé ìàòðèöû [11]. Ïóñòü A
— ïðîèçâîëüíàÿ êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà n, à H — ñèììåòðè÷íàÿ ïîëîæè-
òåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà òîãî æå ïîðÿäêà è ýòè ìàòðèöû
óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì
rk HA rk AH rk A( ) ( ) ( )� � . (7)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 3 77
Íîðìó ìàòðèöû A îïðåäåëèì ñîîòíîøåíèåì
|| | |
| | | |
| | | |
| | / / /
A
Ax
x
H AH H
H
x
H
H x
EE
� �
� �
�
sup sup
0 0
1 2 1 2 1 2
1 2
x
H x
E
E
| |
| | | |/
, (8)
ãäå x — ïðîèçâîëüíûé âåêòîð èç R n H( ).
Ïðè òàêîì îïðåäåëåíèè íîðìà ìàòðèöû A ðàâíà
| | | | [ ( )]max
/ / /A H A HAHH EE
T
EE
�
� �� 1 2 1 2 1 2 . (9)
Ïóñòü A è B — êâàäðàòíûå ìàòðèöû îäíîãî ïîðÿäêà, ïðè÷åì âûïîëíÿåòñÿ
îäíî èç óñëîâèé
AHH A HH B B
EE EE
� �
� �, , (10)
ãäå H — ñèììåòðè÷íàÿ ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà òîãî æå ïî-
ðÿäêà, ÷òî è ìàòðèöû A è B. Òîãäà
| | | | | | | | | | | |AB A BH H H , (11)
ò.å. ôóíêöèÿ | | | |� H , îïðåäåëåííàÿ ôîðìóëîé (8), ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (7) è
îäíîãî èç óñëîâèé (10) ÿâëÿåòñÿ ìóëüòèïëèêàòèâíîé ìàòðè÷íîé íîðìîé. Èç
(8) ñëåäóåò | | | | | | | | | | | | , ( )Ax A x x HH H H
n
�R , ò.å. ââåäåííàÿ ñîîòíîøåíèåì
(8) ìàòðè÷íàÿ íîðìà ñîãëàñîâàíà ñ âåêòîðíîé íîðìîé.
Çàìå÷àíèå 1. Èç (6) è (9) ñëåäóåò, ÷òî ââåäåííàÿ ñîîòíîøåíèåì (8) ìàòðè÷-
íàÿ íîðìà äëÿ êâàäðàòíûõ ìàòðèö, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì (7), ÿâëÿåòñÿ ÷àñ-
òíûì ñëó÷àåì ìàòðè÷íîé íîðìû, ââåäåííîé äëÿ ïðÿìîóãîëüíûõ ìàòðèö ôîðìó-
ëîé (5), êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì (4), åñëè â (5) ïîëîæèòü, ÷òî A ÿâëÿåòñÿ
êâàäðàòíîé ìàòðèöåé, V H
EE
�
�1 2/ è x Hn
�R ( ). Ïîýòîìó äëÿ íîðìû || | |A H , ââå-
äåííîé ñîîòíîøåíèåì (8), ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ îáîçíà÷åíèåì | | | | /A
HHEE
�1 2 .
Îïðåäåëèì ñèììåòðèçóåìûå ìàòðèöû ñ ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûìè
ñèììåòðèçàòîðàìè [11].
Îïðåäåëåíèå 1. Êâàäðàòíóþ ìàòðèöó U áóäåì íàçûâàòü ñèììåòðèçóåìîé
ñëåâà èëè ñïðàâà ñ ïîìîùüþ ñèììåòðè÷íûõ ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûõ
ìàòðèö M è N , åñëè âûïîëíÿþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî óñëîâèÿ MU U MT
� ,
rk MU rk U( ) ( )� ; UN NU T
� , rk UN rk U( ) ( )� .
Èñïîëüçóÿ ïåðâîå ðàâåíñòâî â (1) è óñëîâèÿ (2), ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî
rk BAX rk AX rk XAC rk XA( ) ( ), ( ) ( )� � .
Òîãäà òðåòüå óñëîâèå â (1) âìåñòå ñ ïåðâûì óñëîâèåì â (2) è ÷åòâåðòîå óñëî-
âèå â (1) âìåñòå ñî âòîðûì óñëîâèåì â (2) áóäóò ñîîòâåòñòâåííî ñâèäåò-
åëüñòâîâàòü, ÷òî ìàòðèöà AX ñèììåòðèçóåìà ñëåâà ñèììåòðèçàòîðîì B, à ìàò-
ðèöà XA ñèììåòðèçóåìà ñïðàâà ñèììåòðèçàòîðîì C.
 ðÿäå ðàáîò îïðåäåëÿëèñü ñèììåòðèçóåìûå ìàòðèöû è èçó÷àëèñü èõ ñâî-
éñòâà.  êà÷åñòâå ñèììåòðèçàòîðîâ â îñíîâíîì âûñòóïàþò ïîëîæèòåëüíî-îïðå-
äåëåííûå ìàòðèöû. Êðàòêàÿ èõ õàðàêòåðèñòèêà äàíà â [1]. Â ðàáîòàõ [12, 13] èç-
ó÷àëèñü H-ñèììåòðè÷íûå ìàòðèöû, ïðè ýòîì H ïðåäïîëàãàåòñÿ ñèììåòðè÷íîé
íåâûðîæäåííîé çíàêîíåîïðåäåëåííîé ìàòðèöåé.
 ðàáîòàõ [9, 10] ñîîòâåòñòâåííî èçó÷àëèñü ñâîéñòâà ìàòðèöû-ïðîèçâåäåíèÿ
ñèììåòðèçóåìîé ñïðàâà ìàòðèöû âûðîæäåííûì ñèììåòðèçàòîðîì íà ïðîèçâîëü-
íóþ ïðÿìîóãîëüíóþ ìàòðèöó è ñâîéñòâà ìàòðèöû-ïðîèçâåäåíèÿ ïðîèçâîëüíîé
78 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 3
ïðÿìîóãîëüíîé ìàòðèöû íà ñèììåòðèçóåìóþ ñëåâà âûðîæäåííûì ñèììåòðèçàòî-
ðîì ìàòðèöó. Ðåçóëüòàòû ýòèõ èññëåäîâàíèé èñïîëüçîâàëèñü ïðè óñòàíîâëåíèè
ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè èòåðàöèîííûõ ïðîöåññîâ. Ñôîðìóëèðóåì èõ â âèäå ëåìì.
Ëåììà 1. Ïóñòü ìàòðèöà Y n m
�
�R óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Ñ C Y Y
EE
1 2 1 2/ /�
� ;
ñèììåòðèçóåìàÿ ñïðàâà ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûì ñèììåòðèçàòîðîì C ìàò-
ðèöà L n n
�
�R óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Ñ C L L
EE
1 2 1 2/ /�
� ; LY — ìàòðèöà, óäîâëåòâî-
ðÿþùàÿ ïåðâîìó óñëîâèþ â (4) ñ H C
EE
�
� ; V — ïðîèçâîëüíàÿ ñèììåòðè÷íàÿ ïîëî-
æèòåëüíî-îïðåäåëåííàÿ èëè ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà m,
óäîâëåòâîðÿþùàÿ âòîðîìó óñëîâèþ â (4) äëÿ ìàòðèöû LY . Òîãäà äëÿ ìàòðèöû
LY � 0 èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå
| | | | | | | | | | | | ( )| | | |/LY L Y L Y
C V C C C V C VEE EE EE EE
� � � � �1 2 � ,
ãäå � ( )L — ñïåêòðàëüíûé ðàäèóñ ìàòðèöû L.
Ëåììà 2. Ïóñòü ìàòðèöà Y n m
�
�R óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ YB B Y
EE
1 2 1 2/ /�
� ;
ñèììåòðèçóåìàÿ ñëåâà ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûì ñèììåòðèçàòîðîì B
ìàòðèöà L m m
�
�R óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ LB B L
EE
�
�
1 2 1 2/ / ; YL — ìàòðèöà, óäîâ-
ëåòâîðÿþùàÿ âòîðîìó óñëîâèþ â (4) ñ V B
EE
�
�1 2/ ; H — ïðîèçâîëüíàÿ ñèììåòðè÷-
íàÿ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííàÿ èëè æå ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííàÿ ìàòðè-
öà ïîðÿäêà n, óäîâëåòâîðÿþùàÿ ïåðâîìó óñëîâèþ â (4) äëÿ ìàòðèöû YL. Òîãäà
äëÿ ìàòðèöû YL � 0 èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå
| | | | | | | | | | | | ( )| | |/ / /YL Y L L Y
HB HB BBEE EE EE
� � � �1 2 1 2 1 2 � | /HBEE
�1 2 .
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñõîäèìîñòè èòåðàöèîííûõ ïðîöåññîâ â ðàáîòå [14] óñòà-
íîâëåíî ðÿä ñâîéñòâ ñèììåòðèçóåìûõ ìàòðèö, êîòîðûå óñòàíàâëèâàþò
ñëåäóþùèå ëåììû.
Ëåììà 3. Ïóñòü A è B — ñèììåòðèçóåìûå ñëåâà (ñïðàâà) ìàòðèöû îäíèì è
òåì æå âûðîæäåííûì ñèììåòðèçàòîðîì. Äëÿ òîãî ÷òîáû ìàòðèöû AB èëè BA
áûëè ñèììåòðèçóåìû ñëåâà (ñïðàâà) òåì æå ñèììåòðèçàòîðîì, íåîáõîäèìî è
äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ìàòðèöû A è B áûëè ïåðåñòàíîâî÷íû.
Îòìåòèì, ÷òî â ðàáîòàõ [14, 15] ïðèâåäåíû ñëåäñòâèÿ èç ëåììû 3, â êîòîðûõ
ðàññìîòðåíû íåêîòîðûå åå ÷àñòíûå ñëó÷àè.
Ëåììà 4. Ïóñòü äëÿ ìàòðèö A è B âûïîëíÿþòñÿ ðàâåíñòâà CA A CT
� ,
BC CB T
� , ãäå A è B — íåâûðîæäåííûå ìàòðèöû, C — ñèììåòðè÷íàÿ ïîëîæè-
òåëüíî-îïðåäåëåííàÿ èëè ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà. Òîãäà ýòè
æå ðàâåíñòâà âûïîëíÿþòñÿ äëÿ ìàòðèö A
1 è B
1 ñîîòâåòñòâåííî.
Ëåììà 5. Äëÿ ñèììåòðèçóåìîé ñëåâà ìàòðèöû L âûðîæäåííûì ñèììåòðèçà-
òîðîì B ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ LB B L
EE
�
�
1 2 1 2/ / èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî
| | | | | | | | | | | | | | | | [ (/ /
L L L L Ln
B
n
BB B
n
BB
n
EE EE
� � � �� �1 2 1 2
� )] , , , . . .n n �1 2 ,
à äëÿ ñèììåòðèçóåìîé ñïðàâà ìàòðèöû L âûðîæäåííûì ñèììåòðèçàòîðîì C
ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ C C L L
EE
1 2 1 2/ /�
� èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî
| | | | | | | | | | | | | | | |/ /
L L L Ln
C
n
C C C
n
C CEE EE EE EE
� � � �
� � �1 2 1 2
n nL n� �[ ( )] , , , . . .� 1 2
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 3 79
Ïðè èññëåäîâàíèè âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ
óòâåðæäåíèå î ðàâåíñòâå ðàíãîâ íåêîòîðûõ ìàòðèö, ñâÿçàííûõ ñî âçâåøåííîé
ïñåâäîîáðàòíîé ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè ê ìàòðèöå A (ñì. [10]).
Ëåììà 6. Ðàíãè ìàòðèö A, A
BC
� , A A
BC
� , AA
BC
� , CA BAT , A BACT ,
C A AC
EE BC
� �1 2 1 2/ / , C A BACT1 2 1 2/ / , B AA B
BC EE
1 2 1 2/ /� � , B ACA BT1 2 1 2/ / ïðè âûïîëíå-
íèè óñëîâèé (2) ñîâïàäàþò.
2. ÂÇÂÅØÅÍÍÎÅ ÏÑÅÂÄÎÎÁÐÀÙÅÍÈÅ È ÂÇÂÅØÅÍÍÎÅ ÍÎÐÌÀËÜÍÎÅ
ÏÑÅÂÄÎÐÅØÅÍÈÅ. ÏÐÅÄÑÒÀÂËÅÍÈÅ ÂÇÂÅØÅÍÍÛÕ ÏÑÅÂÄÎÎÁÐÀÒÍÛÕ
ÌÀÒÐÈÖ ÏÎÑÐÅÄÑÒÂÎÌ ÕÀÐÀÊÒÅÐÈÑÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÌÍÎÃÎ×ËÅÍÎÂ
ÑÈÌÌÅÒÐÈÇÓÅÌÛÕ ÌÀÒÐÈÖ
Êàê óêàçûâàëîñü âûøå, âîïðîñ ñóùåñòâîâàíèÿ åäèíñòâåííîé âçâåøåííîé ïñåâäî-
îáðàòíîé ìàòðèöû ñ ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûìè âåñàìè ðàññìîòðåí â ðà-
áîòå [2], ãäå óñòàíîâëåíî, ÷òî ñèñòåìà ìàòðè÷íûõ óðàâíåíèé (1) èìååò åäè-
íñòâåííîå ðåøåíèå òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ (2)
äëÿ ðàíãîâ ìàòðèö. Â ðàáîòàõ [16, 10] äàíî ïðåäñòàâëåíèå âçâåøåííîé ïñåâäîîá-
ðàòíîé ìàòðèöû â òåðìèíàõ êîýôôèöèåíòîâ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ
ñèììåòðèçóåìûõ è ñèììåòðè÷íûõ ìàòðèö.
Òåîðåìà 1. Ìàòðèöà A
BC
� , óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèÿì (1), (2), ïðåäñòàâèìà
â âèäå
A CSA B
BC
T�
� , (12)
ãäå S f A BACT
� ( ) — ìíîãî÷ëåí îò ìàòðèöû A BACT âèäà
S A BAC A BAC E
k
T k T k
k�
� � �
� � �1 1
1
2
1[( ) ( ) . . . ], ( )13
� p , p n�1, . . . , , — êîýôôèöèåíòû õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà
f E A BACn n
n
T( ) . . . [ ]� � � � � �� � � � �
1
1 det ,
à � k — ïîñëåäíèé, îòëè÷íûé îò íóëÿ êîýôôèöèåíò ýòîãî ìíîãî÷ëåíà.
Cëåäñòâèå 1. Èç (12), (13) âûòåêàåò, ÷òî âçâåøåííàÿ ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðè-
öà ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè A
BC
� èìååò òàêæå ïðåäñòàâëåíèÿ
A S CA B CA BS C S C A B CA B S B
BC
T T T T�
� � � �1 2
1 2
3
1 2 1 2
4
1 2/ / / / ,
ãäå S S1 2, — ìíîãî÷ëåíû îò ñèììåòðèçóåìûõ ìàòðèö, à S S3 4, — ìíîãî÷ëå-
íû îò ñèììåòðè÷íûõ ìàòðèö:
S CA BA CA BA E
k
T k T k
k1
1 1
1
2
1�
� � �
� � �[( ) ( ) . . . ] ,
S ACA B ACA B E
k
T k T k
k2
1 1
1
2
1�
� � �
� � �[( ) ( ) . . . ] ,
S C A BAC C A BAC
k
T k T k
3
1 1 2 1 2 1
1
1 2 1 2 2
�
� �
� �[( ) ( ) . . ./ / / /
�
� k E1 ] ,
S B ACA B B ACA B
k
T k T k
4
1 1 2 1 2 1
1
1 2 1 2 2
�
� �
� �[( ) ( ) . . ./ / / /
�
� k E1 ] .
Cëåäñòâèå 2. Èç (12), (13) âûòåêàåò, ÷òî ñèììåòðèçóåìûå èäåìïîòåíòíûå
ìàòðèöû A A
BC
� è AA
BC
� èìåþò ñëåäóþùèå ïðåäñòàâëåíèÿ:
A A CSA BA f CA BA
BC
T T�
� � �( )
80 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 3
�
� � �
� � �
k
T k T k
k
TCA BA CA BA CA BA1
1
1
1[( ) ( ) . . . ] ,
AA ACSA B f ACA B
BC
T T�
� � �( )
�
� � �
� � �
k
T k T k
k
TACA B ACA B ACA B1
1
1
1[( ) ( ) . . . ] .
Cëåäñòâèå 3. Èìåþò ìåñòî ðàâåíñòâà SA BACA A BACSA AT T T T T
� � ,
A BAA A BT
BC
T�
� , A ACA B CA B
BC
T T�
� .
Ïîñêîëüêó êàæäàÿ èç ìàòðèö A BACT , CA BAT , ACA BT åñòü ïðîèçâåäåíèå
äâóõ ñèììåòðè÷íûõ ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûõ ìàòðèö, òî èõ ñîáñòâåí-
íûå çíà÷åíèÿ íåîòðèöàòåëüíûå è âåùåñòâåííûå [17].
Îòíîñèòåëüíî ìàòðèö A A
BC
� è CA BAT (AA
BC
� è ACA BT ) èìååò ìåñòî óòâåð-
æäåíèå [9, 15].
Ëåììà 7. Ìàòðèöû A A
BC
� è CA BAT (AA
BC
� è ACA BT ) êîììóòèðóþò, èìåþò
ïîëíóþ îáùóþ ñèñòåìó ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ è èõ íóëü-ïðîñòðàíñòâà ñîâïàäàþò.
Ôîðìóëà (12) èñïîëüçîâàëàñü ïðè èññëåäîâàíèè ñâîéñòâ âçâåøåííûõ ïñåâ-
äîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûìè âåñàìè, â òîì ÷èñëå
ïðè îáîñíîâàíèè ðàçëîæåíèé âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â ìàòðè÷íûå
ñòåïåííûå ðÿäû [9, 11, 18, 19], â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ [14, 15],
ïðè ïîëó÷åíèè è èññëåäîâàíèè ïðåäåëüíûõ ïðåäñòàâëåíèé âçâåøåííûõ
ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö [10].
Çàìå÷àíèå 2. Ïóñòü rk A( ) �1 è âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ (2). Òîãäà ñîãëàñíî
ëåììå 6 rk A BACT( ) �1 è íà îñíîâàíèè (12), (13) ïîëó÷àåì ôîðìóëó
A A BAC CA B
BC
T T�
� [ ( )]tr 1 , ãäå tr ( )L — ñëåä ìàòðèöû L, äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâå-
øåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè ê ìàòðèöå A, êîãäà
ðàíã ïîñëåäíåé ðàâåí åäèíèöå.
Äàëåå óñòàíîâèì ñâÿçü âçâåøåííîãî ïñåâäîîáðàùåíèÿ ìàòðèö ñî âçâåøåííûì
íîðìàëüíûì ïñåâäîðåøåíèåì ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé (ÑËÀÓ)
è ðåøåíèåì ïî ìåòîäó âçâåøåííûõ íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ. Ïóñòü
Ax f x fn m
� � �, ,R R (14)
åñòü ÑËÀÓ ñ ïðîèçâîëüíîé ìàòðèöåé A m n
�
�R .
Îïðåäåëåíèå 2.Âåêòîð x � , êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è: íàéòè
min | | | | , min | | | |
( )x C
C
x
B
n
EE
EE n
x Ax f
� � �
�
� �
R R
Arg , (15)
ãäå B è C
EE
� — ñèììåòðè÷íûå ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûå ìàòðèöû, íà-
çûâàåòñÿ âçâåøåííûì íîðìàëüíûì ïñåâäîðåøåíèåì ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè
ñèñòåìû (14).
Îïðåäåëåíèå 3. Âåêòîð x ( , )1 3 , êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è: íàéòè
min | | | |
x
Bn
Ax f
�
R
, ãäå B — ñèììåòðè÷íàÿ ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííàÿ ìàò-
ðèöà, íàçûâàåòñÿ ðåøåíèåì ïî ìåòîäó âçâåøåííûõ íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ñ
âûðîæäåííûì âåñîì B ñèñòåìû (14).
Îáîçíà÷èì Y A
B
n m
� �
�( , )1 3
R ìàòðèöó, óäîâëåòâîðÿþùóþ óñëîâèÿì
AYA A� , ( )BAY BAYT
� , rk BA rk A( ) ( )� , ãäå B m m
�
�R — ñèììåòðè÷íàÿ ïîëî-
æèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà, è óêàæåì íåêîòîðûå ñâîéñòâà ðåøåíèé ïî
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 3 81
ìåòîäó âçâåøåííûõ íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ è âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ
ïñåâäîðåøåíèé [11].
Ëåììà 8. Âåêòîð x A f
B
( , ) ( , )1 3 1 3
� óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ
|| | | min | | | |( , )Ax f Ax fB
x
B
n
1 3
�
�R
. (16)
Ñîãëàñíî ëåììå 8 âåêòîð x A f
B
( , ) ( , )1 3 1 3
� ìèíèìèçèðóåò âçâåøåííóþ íîðìó
íåâÿçêè ñèñòåìû (14), ò.å. ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ïî ìåòîäó âçâåøåííûõ íàèìåíü-
øèõ êâàäðàòîâ ñ âûðîæäåííûì âåñîì ýòîé ÑËÀÓ. Íî òàêîå ðåøåíèå â îáùåì
ñëó÷àå íååäèíñòâåííî. Ìíîæåñòâî ðåøåíèé ïî ìåòîäó âçâåøåííûõ íàèìåíüøèõ
êâàäðàòîâ óñòàíàâëèâàåò ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.
Ëåììà 9.Ìíîæåñòâî âåêòîðîâ, óäîâëåòâîðÿþùèõ (16), îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìó-
ëîé x A f E A A y
B
( , ) ( , ) ( )( )1 3 1 3 1
� �
, ãäå y — ïðîèçâîëüíûé âåêòîð èç R n , A ( )1 —
ìàòðèöà, óäîâëåòâîðÿþùàÿ ïåðâîìó óñëîâèþ â (1).
Òåîðåìà 2 [11]. Âåêòîð x A f
BC
� �
� ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì ðåøåíèåì çàäà-
÷è (15), ò.å. âçâåøåííûì íîðìàëüíûì ïñåâäîðåøåíèåì ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè
ñèñòåìû (14).
3. ÐÀÇËÎÆÅÍÈÅ ÂÇÂÅØÅÍÍÛÕ ÏÑÅÂÄÎÎÁÐÀÒÍÛÕ ÌÀÒÐÈÖ
 ÌÀÒÐÈ×ÍÛÅ ÑÒÅÏÅÍÍÛÅ ÐßÄÛ È ÏÐÎÈÇÂÅÄÅÍÈß
Ñ ÏÎËÎÆÈÒÅËÜÍÛÌÈ ÏÎÊÀÇÀÒÅËßÌÈ ÑÒÅÏÅÍÅÉ
 ðÿäå ðàáîò .(íàïðèìåð, [20–22]), ïîñâÿùåííûõ âçâåøåííîé ïñåâäîèíâåðñèè ñ ïîëî-
æèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè, äëÿ èññëåäîâàíèÿ ñõîäèìîñòè ìàòðè÷íûõ ñòåïåííûõ
ðÿäîâ è ìàòðè÷íûõ ñòåïåííûõ ïðîèçâåäåíèé ê âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöå
èñïîëüçóåòñÿ àïïàðàò âçâåøåííîãî ñèíãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ ìàòðèö, ïîñòðîåííûé â
[23]. Äëÿ çòèõ æå öåëåé ïðè èññëåäîâàíèè âçâåøåííîé ïñåâäîèíâåðñèè ñ âûðîæäåí-
íûìè âåñàìè (è ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè [24]) èñïîëüçîâàíî ïðåäñòàâëåíèå
âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â òåðìèíàõ êîýôôèöèåíòîâ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ
ìíîãî÷ëåíîâ ñèììåòðèçóåìûõ ìàòðèö, ïðèâåäåííîå â ðàçä. 2, ñïåêòðàëüíîå ðàçëîæå-
íèå ñèììåòðè÷íûõ ìàòðèö è ñâîéñòâî ïñåâäîîáðàùåíèÿ ïî Ìóðó–Ïåíðîóçó äëÿ ïðî-
èçâåäåíèÿ äâóõ ìàòðèö [8]. Èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ òåîðåìà [11].
Òåîðåìà 3. Äëÿ A m n
�
�R , ñèììåòðè÷íûõ ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåí-
íûõ ìàòðèö B è C, óäîâëåòâîðÿþùèõ (2), è äëÿ äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà � òàêîãî,
÷òî
0 2 1 2 1 2 1
� �
� �[ ( )]max
/ /C A BACT , (17)
ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå
A E C A BAC C A B
BC
k
T k T�
�
�
�
�� �
0
1 2 1 2 1 2( )/ / / .
( )18
Ñëåäñòâèå 4. Èç ôîðìóëû (18) âûòåêàåò ñïðàâåäëèâîñòü ñëåäóþùèõ ñîîòíî-
øåíèé:
A E CA BA CA B C E A BAC A B
BC
k
T k T
k
T k T�
�
�
�
�
�
�
�� �� � � �
0 0
( ) ( )
�
�
�
�
�
�
�
� �� � � �
k
T T k
k
T T kCA E BACA B CA B E ACA B
0 0
( ) ( )
�
�
�
�� �
k
T T kCA B E B ACA B B
0
1 2 1 2 1 2 1 2/ / / /( ) .
82 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 3
Çàìå÷àíèå 3. Âåðõíÿÿ îöåíêà äëÿ � ñîãëàñíî ôîðìóëå (17) îïðåäåëÿåòñÿ
ìàêñèìàëüíûì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì ìàòðèöû C A BACT1 2 1 2/ / . Ïîñêîëüêó íå-
íóëåâûå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû-ïðîèçâåäåíèÿ ïðè ïåðåñòàíîâêå ìàò-
ðèö-ñîìíîæèòåëåé íå èçìåíÿþòñÿ [25], òî âåðõíÿÿ îöåíêà äëÿ � ìîæåò îïðåäå-
ëÿòüñÿ ìàêñèìàëüíûìè ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè íåñêîëüêèõ âèäîâ ìàòðèö:
CA BAT , BACAT , B ACA BT1 2 1 2/ / , ACA BT .Îòíîñèòåëüíî ðàçëîæåíèé âçâåøåííûõ
ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèç-
âåäåíèÿ â [14] äîêàçàíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Òåîðåìà 4. Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ìàòðèöû A m n
�
�R , ñèììåòðè÷íûõ ïîëîæè-
òåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûõ ìàòðèö B m m
�
�R è C n n
�
�R , óäîâëåòâîðÿþùèõ
óñëîâèÿì (2), è äëÿ äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà � òàêîãî, ÷òî
0 2 2
� �
� dmax , (19)
ãäå dmax — ìàêñèìàëüíîå ñèíãóëÿðíîå ÷èñëî ìàòðèöû B AC1 2 1 2/ / , èìååò ìåñ-
òî ñëåäóþùåå ðàçëîæåíèå âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåí-
íûìè âåñàìè â ìàòðè÷íîå ñòåïåííîå ïðîèçâåäåíèå:
A C E E C A BAC C A B
BC
k
T Tk
�
�
�
� �
�� �1 2
0
1 2 1 2 2 1 2/ / / /( ){ } .
( )20
Ñëåäñòâèå 5. Èç (20) âûòåêàåò ñïðàâåäëèâîñòü ñëåäóþùèõ ñîîòíîøåíèé:
A C E E A BAC A B
BC
k
T Tk
�
�
�
� �
��� �
0
2{ }( )
� �
�
�
�
�� �
k
T TE E CA BA CA B
k
0
2{ }( )
� �
� �
�
�
�
�
� �� � � �CA B E E ACA B CA E E BACAT
k
T T
k
Tk
0
2
0
{ } {( ) ( )2k
B} �
� �
�
�
�� �CA B E E B ACA B BT
k
T k1 2
0
1 2 1 2 2 1 2/ / / /( ){ } .
Çàìå÷àíèå 4. Âåðõíÿÿ îöåíêà äëÿ � îïðåäåëÿåòñÿ ñîãëàñíî ôîðìóëå (19) ìàêñè-
ìàëüíûì ñèíãóëÿðíûì ÷èñëîì ìàòðèöû B AC1 2 1 2/ / . Òîãäà èç îïðåäåëåíèÿ ñèíãó-
ëÿðíèõ ÷èñåë (ñì., íàïðèìåð, [26]) è çàìå÷àíèÿ 3 ñëåäóåò, ÷òî âìåñòî dmax
2
ìîæíî âçÿòü ëþáîå èç ìàêñèìàëüíûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìàòðèö: CA BAT ,
BACAT , C A BACT1 2 1 2/ / , B ACA BT1 2 1 2/ / , ACA BT .
4. ÐÀÇËÎÆÅÍÈß, ÌÍÎÃÎ×ËÅÍÍÛÅ ÏÐÅÄÅËÜÍÛÅ ÏÐÅÄÑÒÀÂËÅÍÈß
ÂÇÂÅØÅÍÍÛÕ ÏÑÅÂÄÎÎÁÐÀÒÍÛÕ ÌÀÒÐÈÖ È ÐÅÃÓËßÐÈÇÀÖÈß ÇÀÄÀ×
 ýòîì ðàçäåëå ïðåäëàãàþòñÿ è èññëåäóþòñÿ ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîá-
ðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû è ìàòðè÷-
íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ ñ îòðèöàòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ñòåïåíåé è ïðîèç-
âîëüíûìè ïîëîæèòåëüíûìè ïàðàìåòðàìè. Óñòàíàâëèâàåòñÿ ñâÿçü ýòèõ ðàçëîæåíèé
ñ ìíîãî÷ëåííûìè ïðåäåëüíûìè ïðåäñòàâëåíèÿìè âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ
ìàòðèö. Äëÿ çòîãî èñïîëüçîâàíî ïðåäñòàâëåíèå âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàò-
ðèö â òåðìèíàõ êîýôôèöèåíòîâ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ ñèììåòðèçóå-
ìûõ ìàòðèö, ïðèâåäåííîå â ðàçä. 2, è ñâîéñòâî ïñåâäîîáðàùåíèÿ ïî Ìóðó–Ïåí-
ðîóçó äëÿ ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ìàòðèö [8]. Èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ òåîðåìà [19].
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 3 83
Òåîðåìà 5. Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ìàòðèöû A m n
� �
�0 R , ñèììåòðè÷íûõ ïîëî-
æèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûõ ìàòðèö B m m
�
�R è C n n
�
�R , óäîâëåòâîðÿþùèõ
óñëîâèÿì (2), è äëÿ äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà 0� � �� èìåþò ìåñòî ñîîòíîøåíèÿ
A C C A BAC E C A B
BC
k
k T k T�
�
�
� � ��
1
1 1 2 1 2 1 2 1 2� �/ / / /( )
� � � �
�
�
�
�
� �
k
k T k T
k
k T kCA BA E CA B C A BAC E A
1
1
1
1� � � �( ) ( ) T B �
� � �
�
�
�
k
k T T kCA B B ACA B E B
1
1 1 2 1 2 1 2 1 2� �/ / / /( )
� � � �
�
�
�
�
� �
k
k T T k
k
k T TCA B ACA B E CA BACA E
1
1
1
1� � � �( ) ( ) k B, (21)
ïðè÷åì
| | | | [ ( ) ] | |
, min
* / /A A C A BAC A
BC p C V
p T p
EE
� �
���
� � �1 2 1 2
BC C VEE
�
�| | , ( )22
ãäå A C C A BAC E C A B
p
k
p
k T k T
�
� �
,
/ / / /( )�
�
� ��
1
1 1 2 1 2 1 2 1 2 , p �1 2, , . . . , V — ëþ-
áàÿ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííàÿ èëè ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà, êî-
òîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò âòîðîìó óñëîâèþ â (4) äëÿ ìàòðèöû A A
BC p
� �
�,
, � min
* ( )L —
ìèíèìàëüíîå íåíóëåâîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ìàòðèöû L.
Ñëåäñòâèå 6. Èìååò ìåñòî îöåíêà
| | | | [ ( ) ] | | | |
, max
*A A CA BA A
BC p C V
p T p
BC CEE E
� �
�
���
� � �
EV� , ( )23
ãäå
A CA BA E CA B p
p
k
p
k T k T
�
� � �
,
( ) , , , , . . .�
�
� � � � � ��
1
1 0 1 2
Çàìå÷àíèå 5. Èç ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûõ ìàòðèö â (22) ìîæíî ïî-
ëîæèòü V B
EE
�
� 1 2/
, ãäå ìàòðèöà B âõîäèò â îïðåäåëåíèå âçâåøåííîé ïñåâäîîá-
ðàòíîé ìàòðèöû ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè, ïîñêîëüêó èç [19] èìååì
rk A A B rk A A
BC p EE BC p
[( ) ] ( )
,
/
,
� � � � �
�
� �
1 2 .
Èç îöåíêè (23) äëÿ ëþáîãî p �1 2, , . . . èìååì ñëåäóþùåå ïðåäåëüíîå ïðåä-
ñòàâëåíèå âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè
A CA BA E CA B
BC
k
p
k T k T�
� �
�
� ��lim ( )
�
� �
0 1
1 .
( )24
Çàìå÷àíèå 6.  ôîðìóëàõ (23), (24) âìåñòî ÷àñòè÷íîé ñóììû áåñêîíå÷íûõ
ìàòðè÷íûõ ñòåïåííûõ ðÿäîâ ìîæíî âçÿòü ÷àñòè÷íûå ñóììû äðóãèõ ìàòðè÷íûõ
ñòåïåííûõ ðÿäîâ, îïðåäåëåííûõ ñîîòíîøåíèåì (21).
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ôîðìóë ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â
ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ èñïîëüçîâàëèñü ìàòðè÷íûå òîæäåñòâà, êîòî-
ðûå óñòàíàâëèâàþò ñëåäóþùèå ëåììû [19].
Ëåììà 10.Äëÿ ëþáûõ ìàòðèö P n n
�
�R , W n m
�
�R è äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñ-
ëà 0� � �� èìååò ìåñòî òîæäåñòâî
84 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 3
k
n
E P E P E W
k k
�
� � � � �
0
1
2 2 1{ }� � �( ) ( )( )
� � �
�
�
k
k k
n
P E W n
1
2
1 1 2� �( ) , , , . . . (25)
Ëåììà 11. Äëÿ ëþáûõ ìàòðèö L m m
�
�R , M n m
�
�R è äåéñòâèòåëüíîãî
÷èñëà 0� � �� èìååò ìåñòî òîæäåñòâî
M L E E L E
k
n k k
( ) ( ) ( )
� � � �
�
�� � �1
0
1
2 2{ }
� � �
�
�M L E n
k
k k
n
1
2
1 1 2� �( ) , , , . . . (26)
Ïðè âûïîëíåíèè ïðåäïîëîæåíèé òåîðåìû 5 â ñèëó (21) è (25) èìååì ñëåäó-
þùåå ðàçëîæåíèå âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè
â ìàòðè÷íîå ñòåïåííîå ïðîèçâåäåíèå
A E CA BA E CA BA E CA B
BC
k
T T Tk k
�
�
�
� � � ��
0
2 2 1 0{ }� � �( ) ( ) ,( )
� � �� .
(27)
Îáîçíà÷èì
A E CA BA E CA BA E CA
n
k
n
T T Tk k
�
� � �
,
( )( ) ( )�
�
� � � ��
0
1
2 2 1{ } B,
n �1 2, ,� (28)
Òîãäà â ñèëó òîæäåñòâà (25) è ñîîòíîøåíèÿ (23) ïîëó÷èì
| | | | [ ( ) ] | |
, min
* ( )A A CA BA A
BC n C V
T
BCEE
n n
� �
�
���
� � �2 2 | |
C VEE
� . ( )29
Èç îöåíêè (29) äëÿ ëþáîãî n �1 2, , . . . èìååì ñëåäóþùåå ïðåäåëüíîå ïðåä-
ñòàâëåíèå âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè:
A E CA BA E CA BA E
BC
k
n
T Tk k
�
� �
�
� � � ��lim ( ) (( )
�
� � �
0 0
1
2 2{ } ) .
1CA BT
(30)
Ïðè âûïîëíåíèè ïðåäïîëîæåíèé òåîðåìû 5 â ñèëó (21) è (26) èìååì ðàçëî-
æåíèå âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè â ìàòðè÷-
íîå ñòåïåííîå ïðîèçâåäåíèå
A CA B ACA B E E ACA B E
BC
T T
k
Tk k
�
�
�
� � � ��( ) ( ) ,( )� � �1
0
2 2 0{ } � � �� .
(31)
Îáîçíà÷èì
A CA B ACA B E E ACA B E
n
T T
k
n
Tk k
�
� � �
,
( )( ) ( )�
�
� � � ��
1
0
1
2 2{ }, , ,n �1 2 �
(32)
Òîãäà â ñèëó òîæäåñòâà (26), ñîîòíîøåíèÿ (23) è çàìå÷àíèÿ 6 ïîëó÷èì
| | | | [ ( ) ] | |
, min
* ( )A A ACA B A
BC n C V
T
BCEE
n n
� �
�
���
� � �2 2 | |
C VEE
� . ( )33
Èç îöåíêè (33) äëÿ ëþáîãî n �1 2, , . . . èìååì ñëåäóþùåå ïðåäåëüíîå ïðåä-
ñòàâëåíèå âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 3 85
A CA B ACA B E E ACA B E
BC
T T
k
n
Tk
�
� �
�
� � � ��lim ( ) (
�
� � �
0
1
0
1
2{ ) .( )
2k
} (34)
Îïðåäåëåíèå 4 [19]. Ïðåäåëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ (24), (30), (34) íàçûâàþòñÿ
ìíîãî÷ëåííûìè ïðåäåëüíûìè ïðåäñòàâëåíèÿìè âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ
ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè.
Ïðè p �1 èç (24) è çàìå÷àíèÿ 6 èìååì îäíî÷ëåííûå ïðåäåëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ
âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè, èññëåäîâàííûå â ðà-
áîòå [10]. Ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè
â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû è ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ ïðè � �1 èññëå-
äîâàíû ñîîòâåòñòâåííî â ðàáîòàõ [11] è [14].
Èç ïðåäåëüíûõ ïðåäñòàâëåíèé âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âû-
ðîæäåííûìè âåñàìè ñëåäóåò, ÷òî ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîì ïàðàìåòðå � ìàòðèöû
A
BC
� è A A
p n� �, ,
,� � ìîãóò êàê óãîäíî ìàëî îòëè÷àòüñÿ îäíà îò äðóãîé è íà îñíîâà-
íèè ïðåäëîæåííûõ â íàñòîÿùåì ðàçäåëå ïðåäåëüíûõ ïðåäñòàâëåíèé ìîæíî âû-
÷èñëÿòü ïðèáëèæåíèÿ ê âçâåøåííûì ïñåâäîîáðàòíûì ìàòðèöàì ïî ôîðìóëàì,
îïðåäåëÿþùèì A
p�,
� è A
n�,
� . Îöåíêè áëèçîñòè âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàò-
ðèö è èõ ïðèáëèæåííûõ çíà÷åíèé äàíû ôîðìóëàìè (22), (23), (29), (33).
Íà îñíîâå ïðåäåëüíûõ ïðåäñòàâëåíèé âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö
ìîæíî òàêæå ïðåäëîæèòü ðåãóëÿðèçîâàííûå çàäà÷è äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ
íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè. Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì ðåãóëÿ-
ðèçîâàííóþ çàäà÷ó äëÿ íàõîæäåíèÿ âçâåøåííîãî íîðìàëüíîãî ïñåâäîðåøåíèÿ
ÑËÀÓ (14), èñõîäÿ èç ôîðìóëû (24). Íà îñíîâå ýòîé ôîðìóëû è òåîðåìû 2 ïîëó÷èì
ÑËÀÓ äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðèáëèæåíèÿ ê âçâåøåííîìó íîðìàëüíîìó ïñåâäîðåøåíèþ
ñèñòåìû (14) ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîì �
( ) ( )CA BA E x CA BA E CA BfT p
k
p
k T p k T
� � �
�
�� � �
1
1 .
( )35
Òàê êàê ìàòðèöà CA BAT — ïðîèçâåäåíèå äâóõ ñèììåòðè÷íûõ ïîëîæèòåëü-
íî-ïîëóîïðåäåëåííûõ ìàòðèö, òî åå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ íåîòðèöàòåëüíû è âå-
ùåñòâåííû [17]. Òîãäà ìàòðèöà ( )CA BA ET p
� � ïðè � � 0 íåâûðîæäåíà è, ñëåäîâà-
òåëüíî, ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå ñèñòåìû (35). Îöåíêó ïîãðåøíîñòè ïðè-
áëèæåííîãî ðåøåíèÿ óñòàíàâëèâàåò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà [19].
Òåîðåìà 6. Ïóñòü x � — âçâåøåííîå íîðìàëüíîå ïñåâäîðåøåíèå ñ ïîëîæè-
òåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûìè âåñàìè ñèñòåìû (14), à x p�, — ðåøåíèå ñèñòåìû
(35), òîãäà ñïðàâåäëèâà îöåíêà
| | | | [ ( ) ] | | | |, min
*x x CA BA Ap C
p T p
BC C EEE EE m
�
�
�� �� � � � | | | |f Em
. ( )36
Äàëåå äëÿ ïîëó÷åíèÿ ðåãóëÿðèçîâàííîé çàäà÷è íàõîæäåíèÿ ïðèáëèæåíèÿ ê
âçâåøåííîìó íîðìàëüíîìó ïñåâäîðåøåíèþ ÑËÀÓ (14) èñïîëüçóåì ôîðìóëó
(30), íà îñíîâàíèè êîòîðîé ïîëó÷èì ÑËÀÓ äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðèáëèæåíèÿ ê âçâå-
øåííîìó íîðìàëüíîìó ïñåâäîðåøåíèþ ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè ñèñòåìû (14)
ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîì �
k
n
T TCA BA E CA BA E x
k
�
� � � �
0
1
2( ) ( )� �
� � �
�
� { }
k
n
T TCA BA E E CA Bf
k k
0
1
2 2( )� � . (37)
86 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 3
Îöåíêó ïîãðåøíîñòè ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ óñòàíàâëèâàåò ñëåäóþùàÿ òå-
îðåìà [19].
Òåîðåìà 7. Ïóñòü x � — âçâåøåííîå íîðìàëüíîå ïñåâäîðåøåíèå ñ âûðîæ-
äåííûìè âåñàìè ñèñòåìû (14), à x n�, — ðåøåíèå ñèñòåìû (37), òîãäà
ñïðàâåäëèâà îöåíêà
| | | | [ ( ) ] | | | |, min
* ( )x x CA BA An C
T
BC CEE
n n
E
�
�
��� � � �2 2
E m mE Ef� | | | | . ( )38
Ðåãóëÿðèçîâàííûå çàäà÷è äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàò-
ðèö è âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè íà îñíî-
âå îäíî÷ëåííûõ ïðåäåëüíûõ ïðåäñòàâëåíèé ( ïðè p �1 ) èññëåäîâàëèñü â ðàáîòå
[10], à ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè — â [27]. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ðå-
ãóëÿðèçîâàííûå çàäà÷è áóäóò ðåøàòüñÿ èçâåñòíûìè ïðÿìûìè ìåòîäàìè.
Ðàññìîòðèì äðóãîé âèä ðàçëîæåíèé âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â
ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû è ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ, èññëåäîâàíûå
ñîîòâåòñòâåííî â ðàáîòàõ [18] è [15]. Îíè ìîãóò áûòü àëüòåðíàòèâîé ðàññìîòðåí-
íûì âûøå ðàçëîæåíèÿì. Ìàòåìàòè÷åñêèì àïïàðàòîì èññëåäîâàíèÿ ñëóæèëî
ïðåäñòàâëåíèå âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â òåðìèíàõ êîýôôèöèåíòîâ
õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ ñèììåòðèçóåìûõ ìàòðèö, ïðèâåäåííîå â ðàçä.
2, è ñâîéñòâî ïñåâäîîáðàùåíèÿ ïî Ìóðó–Ïåíðîóçó äëÿ ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ
ìàòðèö [8]. Èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ òåîðåìà [18].
Òåîðåìà 8. Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ìàòðèöû A m n
�
�R , ñèììåòðè÷íûõ ïîëîæè-
òåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûõ ìàòðèö B m m
�
�R è C n n
�
�R , óäîâëåòâîðÿþùèõ
óñëîâèÿì (2), è äëÿ äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà 0� � �� èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå
ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè â
ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû:
A C E C A BAC C A B
BC
k
T k T�
�
�
� � ��� �
1
1 2 1 2 1 2 1 2/ / / /( )
� � � � �
�
�
�
�
� �� � � �
k
T k T
k
T k TE CA BA CA B C E A BAC A B
1 1
( ) ( )
� � �
�
�
�� �
k
T T kCA B E B ACA B B
1
1 2 1 2 1 2 1 2/ / / /( )
� � � �
�
�
�
�
� �� � � �
k
T T k
k
T T kCA B E ACA B CA E BACA B
1 1
( ) ( ) . ( )39
 ðàáîòå [15] äîêàçàíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Òåîðåìà 9. Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ìàòðèöû A m n
� �
�0 R , ñèììåòðè÷íûõ ïîëî-
æèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûõ ìàòðèö B m m
�
�R è C n n
�
�R , óäîâëåòâîðÿþùèõ
óñëîâèÿì (2), è äëÿ äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà 0� � �� èìåþò ìåñòî ðàçëîæåíèÿ
âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè â ìàòðè÷íûå
ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ
A C E C A BAC
BC
T�
� � �� �1 2 1 2 1 2 1/ / /( )
� � � �
�
�
�
k
T TE E C A BAC C A B
k
0
1 2 1 2 2 1 2{ }( )/ / ( ) /�
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 3 87
� � � � �
�
�
�� � �( ) ( ) ( )E CA BA E E CA BA CA BT
k
T Tk1
0
2{ }
� � � � �
�
�
�� � �C E A BAC E E A BAC A BT
k
T Tk
( ) ( ) ( )1
0
2{ }
� � �
� �CA B E B ACA BT T1 2 1 2 1 2 1/ / /( )
� � � �
�
�
�
k
TE E B ACA B B
k
0
1 2 1 2 2 1 2{ }( )/ / ( ) /�
� � � � �
�
�
�� � �CA B E ACA B E E ACA BT T
k
T k
( ) ( ) ( )1
0
2{ }
� � � �
�
�
�� � �CA E BACA E E BACA BT T
k
T k
( ) ( ) ( )1
0
2{ } ,
(40)
ïðè÷åì
| | | | [ ( )], min
* / / ( )A A C A BAC
BC n C E
T
EE m
n
� �
��� � �1 1 2 1 2 2 | | | | ,A
BC C EEE m
�
� ( )41
ãäå
A C E C A BACn
T
� � �,
/ / /( )�
� � �
1 2 1 2 1 2 1
� � �
�
�
k
n
T TE E C A BAC C A B
k
0
1
1 2 1 2 2 1 2{ }( )/ / ( ) /� , n �1 2, , . . .
Ñëåäñòâèå 7.  ôîðìóëå (41) âìåñòî èìåþùåãîñÿ êîíå÷íîãî ÷èñëà ñîìíî-
æèòåëåé áåñêîíå÷íîãî ìàòðè÷íîãî ñòåïåííîãî ïðîèçâåäåíèÿ ìîæíî âçÿòü êîíå÷-
íîå ÷èñëî ñîìíîæèòåëåé äðóãèõ ìàòðè÷íûõ ñòåïåííûõ ïðîèçâåäåíèé,
îïðåäåëåííûõ ñîîòíîøåíèåì (40), íàïðèìåð
A E CA BAn
T
� � �, ( )�
� � �
1
� � � �
�
�
k
n
T TE E CA BA CA B n
k
0
1
2 1 2{ }( ) , , , . . .( )� ( )42
Ñëåäñòâèå 8. Èç (41), (42) äëÿ ëþáîãî n �1 2, , . . . èìååì ñëåäóþùåå ïðåäåëü-
íîå ïðåäñòàâëåíèå âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû
A E CA BA E E CA BA
BC
T
k
n
T k
�
� �
�
� � � ��lim ( ) ( ) ( )
�
� � �1
0
1
2{ }CA BT . (43)
Îòìåòèì, ÷òî â ñèëó (42), îöåíêè (41) è ìàòðè÷íîãî òîæäåñòâà (25) èìååì
| | | | [ ( )] | |, min
* / /A A C A BAC A
BC p C E
T p
EE m
� �
��� ��1 1 2 1 2
BC C EEE m
�
�| | , ( )44
ãäå A C E C A BAC C A Bp
k
p
T k T
� � �,
/ / / /( )�
�
� ��
1
1 2 1 2 1 2 1 2 èëè A p�,
� ðàâíà ëþáîé
èç ÷àñòè÷íûõ ñóìì ìàòðè÷íûõ ñòåïåííûõ ðÿäîâ â ðàçëîæåíèÿõ âçâåøåííîé
ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû ñîãëàñíî ôîðìóëå (39).
Èç (44) äëÿ ëþáîãî p �1 2, , . . . èìååì ñëåäóþùåå ïðåäåëüíîå ïðåäñòàâëåíèå
âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû:
A E CA BA CA B
BC
k
p
T k T�
� �
�
� ��lim ( )
�
� �
1
.
(45)
88 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 3
Èç ïðåäåëüíûõ ïðåäñòàâëåíèé (43), (45) âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàò-
ðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè è îöåíîê (41), (44) ñëåäóåò, ÷òî ïðè äîñòàòî÷íî
áîëüøîì ïàðàìåòðå � ìàòðèöû A
BC
� è A
p�,
� , A
n�,
� ìîãóò êàê óãîäíî ìàëî îòëè-
÷àòüñÿ îäíà îò äðóãîé è íà îñíîâàíèè ïðåäëîæåííûõ ïðåäåëüíûõ ïðåäñòàâëåíèé
ìîæíî âû÷èñëÿòü ïðèáëèæåíèÿ ê âçâåøåííûì ïñåâäîîáðàòíûì ìàòðèöàì. Îöåí-
êè áëèçîñòè âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö è èõ ïðèáëèæåííûõ çíà÷åíèé
îïðåäåëåíû ôîðìóëàìè (41), (44).
Íà îñíîâå ïðåäåëüíûõ ïðåäñòàâëåíèé (43), (45) âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàò-
íûõ ìàòðèö ìîæíî òàêæå ïðåäëîæèòü ðåãóëÿðèçîâàííûå çàäà÷è äëÿ âû÷èñëåíèÿ
âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè. Òàê, íà îñíî-
âå ôîðìóëû (45) è òåîðåìû 2 ïîëó÷èì ÑËÀÓ äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðèáëèæåíèÿ ê
âçâåøåííîìó íîðìàëüíîìó ïñåâäîðåøåíèþ ñèñòåìû (14) ïðè äîñòàòî÷íî
áîëüøîì �
( ) ( )E CA BA x E CA BA CA BfT p
k
p
T p k T
� � �
�
�� � �
1
. (46)
Òàêèì îáðàçîì, ÑËÀÓ (46) ìîæåò ñëóæèòü àëüòåðíàòèâîé äëÿ ÑËÀÓ (35) ïðè
âû÷èñëåíèè ïðèáëèæåíèÿ ê âçâåøåííîìó íîðìàëüíîìó ïñåâäîðåøåíèþ.
Çàìå÷àíèå 7.Ôîðìóëû (39) è (40) ìîæíî ôîðìàëüíî ïîëó÷èòü èç ôîðìóë
(21), (27), åñëè â íèõ ïðèíÿòü � ��
1 ïðè � � 0.
5. ÏÎÑÒÐÎÅÍÈÅ ÈÒÅÐÀÖÈÎÍÍÛÕ ÏÐÎÖÅÑÑÎÂ
Îïèøåì ìåòîäèêó ïîñòðîåíèÿ èòåðàöèîííûõ ïðîöåññîâ äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâå-
øåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö è âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé ñ
âûðîæäåííûìè âåñàìè, îñíîâàííóþ íà ðàçëîæåíèÿõ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàò-
íûõ ìàòðèö, îïèñàííûõ â ðàçä. 3 è 4. Ïðè÷åì ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ (ñì., íà-
ïðèìåð, [14]) çäåñü áóäóò ïîñòðîåíû èòåðàöèîííûå ïðîöåññû ñ ðàçëè÷íûìè
ïîðÿäêàìè ñêîðîñòåé ñõîäèìîñòè.
Ðàññìîòðèì ïîñòðîåíèå èòåðàöèîííûõ ïðîöåññîâ íà îñíîâàíèè ðàçëîæåíèé ñ
ïîëîæèòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ñòåïåíåé, îïèñàííûõ â ðàçä. 3. Ñíà÷àëà äëÿ ïî-
ñòðîåíèÿ èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàò-
ðèö èñïîëüçóåì ðàçëîæåíèå (ñì. ñëåäñòâèå 4) A E CA BA CA B
BC
k
T k T�
�
�
�
�� �
0
( ) ,
íà îñíîâå êîòîðîãî äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðèáëèæåíèÿ ê A
BC
� ïîëó÷èì èòåðàöèîííûé
ïðîöåññ [9]
X CA B X X CA B E AX kT
k k
T
k0 1 0 1� � �
��� �, ( ), , , . . . (47)
Îöåíêó áëèçîñòè k-ãî ïðèáëèæåíèÿ ïî ôîðìóëàì (44) ê A
BC
� óñòàíàâëèâàåò
ñëåäóþùàÿ òåîðåìà [9].
Òåîðåìà 10. Èòåðàöèîííûé ïðîöåññ (47) ïðè �, îïðåäåëåííûì ñîîòíîøåíè-
åì (17), ñõîäèòñÿ, ïðè÷åì èìååò ìåñòî îöåíêà
| | | | | | | |A X q A X
BC k C V
k
BC C VEE EE
�
�
� �
� �1
1
0 ,
ãäå q A A CA BA
BC
T
�
�
�� �( ) 1, ìàòðèöà C âõîäèò â îïðåäåëåíèå âçâåøåííîé
ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû ñîãëàñíî (1), (2), à V m m
�
�R — ïðîèçâîëüíàÿ ñèì-
ìåòðè÷íàÿ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííàÿ èëè ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííàÿ
ìàòðèöà, óäîâëåòâîðÿþùàÿ âòîðîìó óñëîâèþ â (4) äëÿ ìàòðèöû A X
BC k
�
�
1.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 3 89
Äàëåå äëÿ ïîñòðîåíèÿ èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà èñïîëüçóåì ðàçëîæåíèå âçâå-
øåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû â ìàòðè÷íîå ñòåïåííîå ïðîèçâåäåíèå (ñì. ñëå-
äñòâèå 5) A E E CA BA CA B
BC
k
T Tk
�
�
�
� �
�� �
0
2{ }( ) , íà îñíîâå êîòîðîãî äëÿ âû-
÷èñëåíèÿ A
BC
� ïîëó÷èì èòåðàöèîííûé ïðîöåññ
X CA B X X E CA BA X kT
k k
T
k
k
0 1
2
1
1
1 2� � �
�
� �, ( ) , , , . . . ( )48
Îöåíêó áëèçîñòè k-ãî ïðèáëèæåíèÿ ïî ôîðìóëàì (48) ê A
BC
� óñòàíàâëèâàåò
ñëåäóþùàÿ òåîðåìà [14].
Òåîðåìà 11. Èòåðàöèîííûé ïðîöåññ (48) ïðè ïàðàìåòðå �, îïðåäåëåííûì ñî-
îòíîøåíèåì (17), ñõîäèòñÿ, ïðè÷åì èìååò ìåñòî îöåíêà
| | | | | | | |A X q A X
BC k C V BC C VEE
k
EE
� �
� �
2
0 ,
ãäå q è ìàòðèöû C è V îïðåäåëåíû â òåîðåìå 10.
Ðàññìîòðèì ìåòîäèêó ïîñòðîåíèÿ èòåðàöèîííûõ ïðîöåññîâ äëÿ âû÷èñëåíèÿ
âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé. Ïîëîæèì x X fk k� , ãäå ìàòðèöû X k
îïðåäåëåíû ôîðìóëàìè (47). Òîãäà äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðèáëèæåíèÿ ê x A f
BC
� �
�
ïîëó÷èì èòåðàöèîííûé ïðîöåññ
x CA Bf x x CA B f Ax kT
k k
T
k0 1 0 1� � �
��� �, ( ), , , . . . ( )49
Èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ òåîðåìà [11].
Òåîðåìà 12.Èòåðàöèîííûé ïðîöåññ (49) ïðè �, îïðåäåëåííûì ñîîòíîøåíè-
åì (17), ñõîäèòñÿ â R n
EE
C( )� , ïðè÷åì èìååò ìåñòî îöåíêà
| | | | | | | |x x q x xk C
k
CEE EE
�
�
� �
� �1
1
0 ,
ãäå q è ìàòðèöà C îïðåäåëåíû â òåîðåìå 10.
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ x � íà îñíîâàíèè (48) ïîëó÷èì èòåðàöèîííûé ïðîöåññ [14]
x CA Bf x x E CA BA x kT
k k
T
k
k
0 1
2
1
1
1 2� � �
�
� �, ( ) , , , . . . ( )50
Òåîðåìà 13. Èòåðàöèîííûé ïðîöåññ (50) ïðè �, îïðåäåëåííûì ñîîòíîøåíè-
åì (17), ñõîäèòñÿ â R n
EE
C( )� , ïðè÷åì èìååò ìåñòî îöåíêà
| | | | | | | |x x q xk C CEE
k
EE
� �
� �
2 ,
ãäå q è ìàòðèöà C îïðåäåëåíû â òåîðåìå 10.
 ðàáîòå [14] ïðåäëîæåí è èññëåäîâàí èòåðàöèîííûé ìåòîä p-ãî ïîðÿäêà
ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè ( )p � 2 äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ
ìàòðèö
X CA B X X X E AX kT
k k k
i
p
k
i
k k0 1
1
1
0 1� � � �
��
�
�� , , , , , . . .� � ‘(51)
90 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 3
Òåîðåìà 14.Èòåðàöèîííûé ïðîöåññ (51) ïðè �, îïðåäåëåííûì ñîîòíîøåíè-
åì (17), ñõîäèòñÿ, ïðè÷åì èìååò ìåñòî îöåíêà
| | | | | | | |A X q A X
BC k C V
p
BC C VEE
k
EE
�
�
�
�
�
�1
1
0
1
,
ãäå q è ìàòðèöû C è V ïðèâåäåíû â òåîðåìå 10.
Çàìå÷àíèå 8. Ñîãëàñíî ôîðìóëå (17) è çàìå÷àíèþ 3 äëÿ ðåàëèçàöèè èòåðà-
öèîííûõ ïðîöåññîâ (47)–(51) íåîáõîäèìî çíàòü ìàêñèìàëüíîå ñîáñòâåííîå çíà-
÷åíèå ìàòðèöû CA BAT èëè åãî îöåíêó ñâåðõó. Òàê êàê ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ
ýòîé ìàòðèöû íåîòðèöàòåëüíûå, òî � �( ) ( )maxCA BA CA BAT T
� . Íî äëÿ ëþáîé
ìàòðè÷íîé íîðìû � ( ) | | | |L L (ñì. [17]), òàê ÷òî ìîæíî � âûáèðàòü â ïðåäåëàõ
0 2 1
� �
� | | | |CA BAT , ãäå | | | |L — ëþáàÿ ìàòðè÷íàÿ íîðìà ìàòðèöû L. Äàëåå, òàê
êàê � i
TCA BA( ) � 0, òî � �max ( )CA BAT
i
n
i
�
�
1
. Íî
i
n
i
TCA BA
�
� �
1
� tr ( ), òàê ÷òî
èòåðàöèîííûé ïàðàìåòð � ìîæíî âûáèðàòü â ïðåäåëàõ 0 2 1
� �
� [ ( )]tr CA BAT .
Îòìåòèì, ÷òî îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà � îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé [9]
� � �0
12� �
[ ( ) ( )]min
*
maxCA BA CA BAT T .
Òåïåðü ðàññìîòðèì ìåòîäèêó ïîñòðîåíèÿ èòåðàöèîííûõ ïðîöåññîâ íà îñíîâà-
íèè ðàçëîæåíèé ñ îòðèöàòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ñòåïåíåé [19], îïèñàííûõ â
ðàçä. 4. Âíà÷àëå èñïîëüçóåì îäíî èç ðàçëîæåíèé (21) âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé
ìàòðèöû â ìàòðè÷íûé ñòåïåííîé ðÿä A
BC
�
�
k
k T k TCA BA E CA B
�
�
� �
1
1� �( ) , íà
îñíîâàíèè êîòîðîãî äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðèáëèæåíèÿ ê A
BC
� ïîëó÷èì èòåðàöèîí-
íûé ïðîöåññ
X X CA BA E X CA B kk
T
k
T
0
1
10 1 2� � � � �
, ( ) ( ), , , . . .� � ( )52
Îöåíêà áëèçîñòè k-ãî ïðèáëèæåíèÿ ïî ôîðìóëàì (52) ê A
BC
� îïðåäåëÿåòñÿ
ôîðìóëîé (23), ãäå ñëåäóåò ïîëîæèòü p k� . Äëÿ ïîñòðîåíèÿ èòåðàöèîííîãî ïðî-
öåññà ñ áîëåå âûñîêîé ñêîðîñòüþ ñõîäèìîñòè èñïîëüçóåì ðàçëîæåíèå (27) âçâå-
øåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû â ìàòðè÷íîå ñòåïåííîå ïðîèçâåäåíèå, íà îñíî-
âàíèè êîòîðîãî äëÿ âû÷èñëåíèÿ A
BC
� ïîëó÷èì èòåðàöèîííûé ïðîöåññ
X CA BA E CA BT T
0
1
� �
( )� ,
X X CA BA E X kk k
T
k
k k
� � � �
1
2 2
1
1 1
1 2� �( ) , , , . . .( ) ( )53
Îöåíêà áëèçîñòè k-ãî ïðèáëèæåíèÿ ïî ôîðìóëàì (53) ê A
BC
� îïðåäåëÿåòñÿ
ôîðìóëîé (29), ãäå ñëåäóåò ïîëîæèòü n k� .
Òåïåðü ðàññìîòðèì ìåòîäèêó ïîñòðîåíèÿ èòåðàöèîííûõ ïðîöåññîâ äëÿ âû-
÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé. Ïîëîæèì x X fk k� , ãäå ìà-
òèðöû X k îïðåäåëåíû ôîðìóëàìè (52). Òîãäà äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðèáëèæåíèÿ ê
x A f
BC
� �
� ïîëó÷èì èòåðàöèîííûé ïðîöåññ
x x CA BA E x CA Bf kk
T
k
T
0
1
10 1 2� � � � �
, ( ) ( ), , , . . .� � ( )54
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 3 91
Îöåíêà áëèçîñòè k-ãî ïðèáëèæåíèÿ ïî ôîðìóëàì (54) ê x � îïðåäåëÿåòñÿ
ôîðìóëîé (36), ãäå ñëåäóåò ïîëîæèòü p k� .
Èòåðàöèîííûé ïðîöåññ (54) ìîæåì ïåðåïèñàòü â âèäå
x x CA BAx x CA Bf kk
T
k k
T
0 10 1 2� � � � �
, , , , . . .� � (55)
Äëÿ ðåàëèçàöèè èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà (54) íåîáõîäèìî îäèí ðàç âû÷èñ-
ëèòü îáðàòíóþ ìàòðèöó ê ìàòðèöå CA BA ET
� � , à äëÿ ðåàëèçàöèè èòåðàöèîííîãî
ïðîöåññà (55) ñëåäóåò íà êàæäîé èòåðàöèè ðåøàòü ñèñòåìó ëèíåéíûõ àëãåáðàè-
÷åñêèõ óðàâíåíèé. Âîïðîñ âûáîðà èòåðàöèîííîãî ìåòîäà, ïî-âèäèìîìó, áóäåò
çàâèñåòü íå ñòîëüêî îò îáúåìà âû÷èñëèòåëüíîé ðàáîòû, ñêîëüêî îò âåëè÷èíû
ïîãðåøíîñòè, âíîñèìîé âû÷èñëèòåëüíûì ïðîöåññîì.
Îòìåòèì, ÷òî ïîëîæèâ â (55) B C E� � , ïîëó÷èì èòåðàöèîííûé ïðîöåññ,
ïðåäëîæåííûé è èññëåäîâàíûé â [28] ïðè ðåøåíèè íåêîððåêòíûõ çàäà÷ äëÿ îïå-
ðàòîðíûõ óðàâíåíèé è íàçâàííûé àâòîðàìè èòåðàöèîííûì ìåòîäîì ðåãóëÿðèçà-
öèè. Â ðàáîòàõ [29, 30] ïðåäëîæåíû è èññëåäîâàíû èòåðàöèîííûå ìåòîäû ðåãó-
ëÿðèçàöèè ïðè ðåøåíèè çàäà÷ ñâÿçàííîãî ïñåâäîîáðàùåíèÿ è 2-ñâÿçíîãî
ïñåâäîîáðàùåíèÿ äëÿ îïåðàòîðíûõ óðàâíåíèé.
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ñëåäóþùåãî èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà ñ áîëåå âûñîêîé ñêî-
ðîñòüþ ñõîäèìîñòè ñíîâà ïîëîæèì x X fk k� , ãäå ìàòðèöû X k òåïåðü îïðåäåëå-
íû ôîðìóëàìè (53). Òîãäà äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðèáëèæåíèÿ ê x A f
BC
� �
� ïîëó÷èì
èòåðàöèîííûé ïðîöåññ
x CA BA E CA BfT T
0
1
� �
( )� ,
x x CA BA E x kk k
T
k
k k
� � � �
1
2 2
1
1 1
1 2� �( ) , , , . . .( ) ( )56
Îöåíêà áëèçîñòè k-ãî ïðèáëèæåíèÿ ïî ôîðìóëàì (56) ê x � îïðåäåëÿåòñÿ
ôîðìóëîé (38), ãäå ñëåäóåò ïîëîæèòü n k� .
Çàìå÷àíèå 9. Èç îöåíîê (23), (29), (36), (38) ñëåäóåò, ÷òî ïîãðåøíîñòü ïðèáëè-
æåíèÿ ê òî÷íîìó ðåøåíèþ çàäà÷ çàâèñèò îò êîëè÷åñòâà èòåðàöèé è ïàðàìåòðà �.
Î÷åâèäíî, ÷òî ïàðàìåòð � íåîáõîäèìî âûáèðàòü ïî-âîçìîæíîñòè íàèìåíüøèì. Íî
åãî âåëè÷èíà îãðàíè÷èâàåòñÿ â ñòîðîíó óìåíüøåíèÿ íåîáõîäèìîé òî÷íîñòüþ âû-
÷èñëåíèÿ îáðàòíîé ìàòðèöû ê ìàòðèöå CA BA ET
� � .
Çàìå÷àíèå 10. Íà îñíîâàíèè ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàò-
ðèö â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðèáëèæåíèÿ ê âçâåøåííîìó
íîðìàëüíîìó ïñåâäîðåøåíèþ ïîëó÷åíû ðåãóëÿðèçîâàííàÿ çàäà÷à (35) è èòåðàöè-
îííûé ïðîöåññ (54). Ïðè÷åì åñëè k p� è çíà÷åíèå ïàðàìåòðà � âî âñåõ ñëó÷àÿõ
îäèíàêîâî, òî òåîðåòè÷åñêè èìååì îäíó è òó æå îöåíêó áëèçîñòè ïðèáëèæåííîãî
ðåøåíèÿ, ïîëó÷åííîãî äâóìÿ ìåòîäàìè, ê òî÷íîìó ðåøåíèþ. Âîïðîñ âûáîðà ìå-
òîäà âû÷èñëåíèÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è, ïî-âèäèìîìó, áóäåò çàâèñåòü
íå ñòîëüêî îò îáúåìà âû÷èñëèòåëüíîé ðàáîòû, ñêîëüêî îò âåëè÷èíû ïîãðåøíîñ-
òè, âíîñèìîé âû÷èñëèòåëüíûì ïðîöåññîì. Àíàëîãè÷íî ìîæíî ñóäèòü î ìåòîäàõ,
ïîëó÷åííûõ íà îñíîâàíèè ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â
ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ.
Ðàññìîòðèì âîïðîñ ïîñòðîåíèÿ èòåðàöèîííûõ ïðîöåññîâ íà îñíîâàíèè ðàç-
ëîæåíèé (39), (40), ïðåäëîæåííûõ è èññëåäîâàííûõ ñîîòâåòñòâåííî â ðàáîòàõ
[18] è [15]. Ñíà÷àëà äëÿ ýòîé öåëè èñïîëüçóåì îäíî èç ðàçëîæåíèé (39) âçâåøåí-
íîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû â ìàòðè÷íûé ñòåïåííîé ðÿä
A E CA BA CA B
BC
k
T k T�
�
�
� ��� �
1
( ) , íà îñíîâàíèè êîòîðîãî äëÿ âû÷èñëåíèÿ
92 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 3
ïðèáëèæåíèÿ ê A
BC
� ïîëó÷èì èòåðàöèîííûé ïðîöåññ [18]
X X X CA B E CA BA kk
p
k
i
p
i T T
0 1
1
0 0 1� � � � � ��
�
�; , , , ,� � �� � �
(57)
Òåîðåìà 15. Èòåðàöèîííûé ïðîöåññ (57) ïðè 0� � �� ñõîäèòñÿ, ïðè÷åì
èìååò ìåñòî îöåíêà
| | | | | | | |( )A X q A
BC k C V
p k
BC C VEE EE
�
�
� �
� �1
1 , (58)
ãäå q A A E CA BA CA BA
BC
T T
� � � � �
�
� � ��[ ( ) ] [ ( )]min
*1 11 1, � min
* ( )L îïðåäå-
ëåíî â òåîðåìå 5, à ìàòðèöû C è V — â òåîðåìå 10.
Äàëåå äëÿ ïîñòðîåíèÿ èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà áóäåì èñïîëüçîâàòü äðóãîå
èç ðàçëîæåíèé (39) âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû â ìàòðè÷íûé
ñòåïåííîé ðÿä A CA B E CA BA
BC
k
T T k�
�
�
� ��� �
1
( ) , íà îñíîâàíèè êîòîðîãî
ïîëó÷èì èòåðàöèîííûé ïðîöåññ [18]
X X X CA B E ACA B kk k
p T
i
p
i T
0 1
1
0 0 1� � � � � ��
�
�, , , , , . . .� � �� �
(59)
Òåîðåìà 16.Èòåðàöèîííûé ïðîöåññ (59) ïðè 0� � �� ñõîäèòñÿ, ïðè÷åì èìå-
åò ìåñòî îöåíêà
| | | | | | | |/ /
( )A X q A
BC k HB
p k
BC HBEE EE
�
�
� �
� �1
1
1 2 1 2 , (60)
ãäå q AA ACA B
BC
T
� � � �
�
� ��( ) [ ( )]min
*
�
1 11 1, � min
* ( )L îïðåäåëåíî â òåîðå-
ìå 5, H n n
�
�R — ïðîèçâîëüíàÿ ñèììåòðè÷íàÿ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííàÿ
èëè ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà, óäîâëåòâîðÿþùàÿ ïåðâîìó
óñëîâèþ â (4) äëÿ ìàòðèöû A X
BC k
�
�
1, ìàòðèöà B âõîäèò â îïðåäåëåíèå
âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû ñîãëàñíî òðåòüåìó óñëîâèþ â (1) è
ïåðâîìó óñëîâèþ â (2).
Çàìå÷àíèå 11. Ïîñêîëüêó íåîòðèöàòåëüíûå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðè-
öû-ïðîèçâåäåíèÿ ïðè ïåðåñòàíîâêå ìàòðèö-ñîìíîæèòåëåé íå èçìåíÿþòñÿ [25], òî
çíà÷åíèÿ q, îïðåäåëåííûå â òåîðåìàõ 15 è 16, ñîâïàäàþò.  ôîðìóëå (58) ìàòðè-
öåé V m m
�
�R ìîæåò áûòü ïðîèçâîëüíàÿ ñèììåòðè÷íàÿ ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîï-
ðåäåëåííàÿ ìàòðèöà, óäîâëåòâîðÿþùàÿ âòîðîìó óñëîâèþ â (4) äëÿ ìàòðèöû
A X
BC k
�
�
1, à â ôîðìóëå (60) ìàòðèöåé H n n
�
�R — ïðîèçâîëüíàÿ ñèììåòðè÷-
íàÿ ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà, óäîâëåòâîðÿþùàÿ ïåðâîìó óñëî-
âèþ â (4) äëÿ ìàòðèöû A X
BC k
�
�
1. Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî â ñèëó ôîðìóë
(12), (57) ìàòðèöà B
EE
� 1 2/
óäîâëåòâîðÿåò âòîðîìó óñëîâèþ â (4) äëÿ ìàòðèöû
A X
BC k
�
�
1, ãäå ìàòðèöû X k � 1 îïðåäåëåíû ôîðìóëîé (57), à ìàòðèöà C
EE
� â
ñèëó ôîðìóë (12), (59) óäîâëåòâîðÿåò ïåðâîìó óñëîâèþ â (4) äëÿ ìàòðèöû
A X
BC k
�
�
1, ãäå ìàòðèöû X k � 1 îïðåäåëåíû ôîðìóëîé (59). Òîãäà åñëè â (58)
ïîëîæèòü V B
EE
�
� 1 2/
, à â (60) ïîëîæèòü H C
EE
�
� , òî ôîðìóëû (58), (60) áóäóò
èäåíòè÷íû.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 3 93
Ðàññìîòðèì èòåðàöèîííûé ïðîöåññ äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ íîðìàëü-
íûõ ïñåâäîðåøåíèé ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè. Ïîëîæèì x X fk k� , ãäå ìàòðèöû
X k îïðåäåëåíû ôîðìóëàìè (57). Òîãäà äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðèáëèæåíèÿ ê
x A f
BC
� �
� ïîëó÷èì èòåðàöèîííûé ïðîöåññ [18]
x x x CA Bf E CA BA kk
p
k
i
p
i T T
0 1
1
0 0 1� � � � � ��
�
�, , , , ,� � �� � � (61)
Òåîðåìà 17. Èòåðàöèîííûé ïðîöåññ (61) ïðè 0� � �� ñõîäèòñÿ â R n
EE
C( )� ,
ïðè÷åì èìååò ìåñòî îöåíêà
| | | | | | | |( )x x q xk C
p k
CEE EE
�
�
� �
� �1
1 ,
ãäå q è ìàòðèöà C îïðåäåëåíû ñîîòâåòñòâåííî â òåîðåìàõ 15 è 10.
Èòåðàöèîííûé ïðîöåññ (61) ìîæåì ïåðåïèñàòü â âèäå
x x x CA Bf E CA BA kp
k k
i
p
i T T
0 1
0
1
0 1 2� � � � � ��
�
�, , , , , . .� � �� � .
Äëÿ ðåàëèçàöèè ýòîãî èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà íåîáõîäèìî íà êàæäîé èòåðàöèè
ðåøàòü ñèñòåìó ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé, à äëÿ ðåàëèçàöèè èòåðàöèîí-
íîãî ïðîöåññà (61) íåîáõîäèìî îäèí ðàç âû÷èñëèòü îáðàòíóþ ìàòðèöó ê ìàòðèöå
CA BA ET
� � . Âîïðîñ âûáîðà èòåðàöèîííîãî ìåòîäà, ïî-âèäèìîìó, áóäåò çàâèñåòü
íå ñòîëüêî îò îáúåìà âû÷èñëèòåëüíîé ðàáîòû, ñêîëüêî îò âåëè÷èíû ïîãðåøíîñòè,
âíîñèìîé âû÷èñëèòåëüíûì ïðîöåññîì.
Äàëåå ðàññìîòðèì ìåòîäèêó ïîñòðîåíèÿ èòåðàöèîííûõ ïðîöåññîâ íà îñíîâà-
íèè ðàçëîæåíèé â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ [15]. Ñíà÷àëà äëÿ ýòîé
öåëè èñïîëüçóåì îäíî èç ðàçëîæåíèé (40) âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû
â ìàòðè÷íîå ñòåïåííîå ïðîèçâåäåíèå
A E CA BA E E CA BA CA B
BC
T
k
T Tk
�
�
�
� � � � ��� � �( ) ( ) ( )1
0
2{ }
� � � �
�
�
�� � �
k
T T TE E CA BA E CA BA CA B
k
0
2 1{ }( ) ( )( ) ,
íà îñíîâàíèè êîòîðîãî äëÿ âû÷èñëåíèÿ A
BC
� ïîëó÷èì èòåðàöèîííûé
ïðîöåññ [15]
X E CA BA CA BT T
0
1
� �
� �( ) ,
X X E CA BA X kk k
T
k
k
� � � �
1
2
1
1
1 2( ) , , , . . .( )� ( )62
Òåîðåìà 18. Èòåðàöèîííûé ïðîöåññ (62) ïðè 0� � �� ñõîäèòñÿ, ïðè÷åì
èìååò ìåñòî îöåíêà
| | | | | | | |A X q A
BC k C V BC C VEE
k
EE
� �
� �
2 ,
ãäå q îïðåäåëåíî â òåîðåìå 15, à ìàòðèöû C è V — â òåîðåìå 10.
Äàëåå äëÿ ïîñòðîåíèÿ èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà èñïîëüçóåì äðóãîå èç ðàçëî-
æåíèé (40) âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû â ìàòðè÷íîå ñòåïåííîå
ïðîèçâåäåíèå
94 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 3
A CA B E ACA B E E ACA B
BC
T T
k
T k
�
�
�
� � � ��� � �( ) ( ) ( )1
0
2{ },
íà îñíîâàíèè êîòîðîãî äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðèáëèæåíèÿ ê A
BC
� ïîëó÷èì èòåðàöè-
îííûé ïðîöåññ [15]
X CA B E ACA BT T
0
1
� �
� �( ) ,
X X X E ACA B kk k k
T k
� � � �
1 1
2 1
1 2( ) , , , . . .( )� ( )63
Òåîðåìà 19.Èòåðàöèîííûé ïðîöåññ (63) ïðè 0� � �� ñõîäèòñÿ, ïðè÷åì èìå-
åò ìåñòî îöåíêà
| | | | | | | |/ /A X q A
BC k HB BC HBEE
k
EE
� �
� �1 2 1 2
2 ,
ãäå q è ìàòðèöû H è B îïðåäåëåíû â òåîðåìå 16.
Ðàññìîòðèì èòåðàöèîííûé ïðîöåññ äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ íîðìàëü-
íûõ ïñåâäîðåøåíèé ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè. Ïîëîæèì x X fk k� , ãäå ìàòðèöû
X k îïðåäåëåíû ôîðìóëàìè (62). Òîãäà äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðèáëèæåíèÿ ê
x A f
BC
� �
� ïîëó÷èì èòåðàöèîííûé ïðîöåññ [15]
x E CA BA CA BfT T
0
1
� �
� �( ) ,
x x E CA BA x kk k
T
k
k
� � � � � � �
1
2
1
1
1 2 0( ) , , , ,( )� �� . ( )64
Òåîðåìà 20. Èòåðàöèîííûé ïðîöåññ (64) ñõîäèòñÿ â R n
EE
C( )� , ïðè÷åì èìååò
ìåñòî îöåíêà
| | | | | | | |x x q xk C CEE
k
EE
� �
� �
2 ,
ãäå q è ìàòðèöà C îïðåäåëåíû ñîîòâåòñòâåííî â òåîðåìàõ 15 è 10.
Òåïåðü ïîëîæèì x X fk k� , ãäå ìàòðèöû X k îïðåäåëåíû ôîðìóëàìè (63).
Òîãäà äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðèáëèæåíèÿ ê x � ïîëó÷èì èòåðàöèîííûé ïðîöåññ
y E ACA B f y E E ACA B yT
k
T
k
k
0
1 2
1
1
� � � � �
( ) , ( ) ( )� �{ } ,
(65)
x CA By kk
T
k� � � � �� �, , , . . . ,1 2 0 .
Òåîðåìà 21. Èòåðàöèîííûé ïðîöåññ (65) ñõîäèòñÿ â R n C( ), ïðè÷åì èìååò
ìåñòî îöåíêà
| | | | | | | | | | | | | | | |/ /x x q A A xk C BC CB BC C
k
EE EE
� � �
� �
2
1 2 1 2 ,
ãäå q îïðåäåëåíî â òåîðåìå 16, à ìàòðèöû B è C âõîäÿò â îïðåäåëåíèå âçâå-
øåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû ñîãëàñíî (1), (2).
Çàìå÷àíèå 12. Èç îïðåäåëåíèÿ çíà÷åíèÿ q â òåîðåìàõ 15 è 16 ñëåäóåò, ÷òî
îíî óìåíüøàåòñÿ ñ óâåëè÷åíèåì ïàðàìåòðà �. È äëÿ óñêîðåíèÿ ñõîäèìîñòè èòå-
ðàöèîííûõ ïðîöåññîâ íåîáõîäèìî âûáèðàòü � äîñòàòî÷íî áîëüøèì. Íî ñ óâåëè-
÷åíèåì ïàðàìåòðà � áóäåò ðàñòè îáóñëîâëåííîñòü ìàòðèöû E CA BAT
� � , ñ êîòî-
ðîé ñâÿçàíà òî÷íîñòü âû÷èñëåíèÿ îáðàòíîé ìàòðèöû ê ìàòðèöå E CA BAT
� � . Ïî-
ýòîìó âûáîð ïàðàìåòðà � èìååò áîëüøîå çíà÷åíèå ïðè ïîñòðîåíèè è ðåàëèçàöèè
èòåðàöèîííûõ ïðîöåññîâ.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 3 95
Çàìå÷àíèå 13. Êàê îòìå÷àëîñü âûøå (çàìå÷àíèÿ 9, 12), â èòåðàöèîííûõ ïðî-
öåññàõ äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö è âçâåøåííûõ íîð-
ìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé ñ ïàðàìåòðîì � äëÿ óñêîðåíèÿ ñõîäèìîñòè èòåðàöèé ýòîò
ïàðàìåòð íåîáõîäèìî âûáèðàòü ïî-âîçìîæíîñòè íàèìåíüøèì, à ñ ïàðàìåòðîì � —
âûáèðàòü ýòîò ïàðàìåòð ïî-âîçìîæíîñòè íàèáîëüøèì. Èõ âåëè÷èíû îãðàíè÷èâàþò-
ñÿ äîïóñòèìîé âåëè÷èíîé âû÷èñëèòåëüíîé ïîãðåøíîñòè. Èòåðàöèîííûå ìåòîäû ñ
ó÷åòîì òàêèõ ñâîéñòâ ìîæíî íàçâàòü èòåðàöèîííûìè ðåãóëÿðèçóþùèìè
ïðîöåññàìè èëè èòåðèðîâàííûìè ìåòîäàìè ðåãóëÿðèçàöèè.
Çàìå÷àíèå 14. Êàê ñëåäóåò èç îöåíîê (22), (23), (29), (33), (36), (38), (41),
(44), (58), (60), ñõîäèìîñòè ðåøåíèé ðåãóëÿðèçîâàííûõ çàäà÷ è èòåðàöèîííûõ
ïðîöåññîâ â çíà÷èòåëüíîé ñòåïåíè çàâèñÿò îò ïåðâîãî îòëè÷íîãî îò íóëÿ ñî-
áñòâåííîãî çíà÷åíèÿ ëþáîé èç ìàòðèö CA BAT , BACAT , C A BACT1 2 1 2/ / ,
B ACA BT1 2 1 2/ / , ACA BT .
Îáçîð ëèòåðàòóðû ïî ïðÿìûì è èòåðàöèîííûì ìåòîäàì âû÷èñëåíèÿ âçâå-
øåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö è âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé ïðè-
âåäåí â ðàáîòå [1]. Çäåñü îòìåòèì ñòàòüè [31-34], â êîòîðûõ åñòü ðÿä àëãîðèòìè-
÷åñêèõ ðåçóëüòàòîâ, èñïîëüçóþùèõ âçâåøåííóþ ïñåâäîèíâåðñèþ ñ âûðîæäåííû-
ìè âåñàìè, è ðàññìîòðåíû âîïðîñû ïàðàëëåëüíûõ âû÷èñëåíèé äëÿ
ïðåäëîæåííûõ àëãîðèòìîâ.
6. ÏÐÅÄÑÒÀÂËÅÍÈß ÂÇÂÅØÅÍÍÛÕ ÏÑÅÂÄÎÎÁÐÀÒÍÛÕ
ÌÀÒÐÈÖ ×ÅÐÅÇ ÄÐÓÃÈÅ ÏÑÅÂÄÎÎÁÐÀÒÍÛÅ ÌÀÒÐÈÖÛ
Ïðèâåäåì ôîðìóëû äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû ñ
ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûìè âåñàìè ÷åðåç ïñåâäîîáðàòíóþ ìàòðèöó
Ìóðà–Ïåíðîóçà è ÷àñòíûå âèäû âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö [35].
Òåîðåìà 22.Ïóñòü A m n
�
�R , à B m m
�
�R è C n n
�
�R — ñèììåòðè÷íûå ïî-
ëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûå ìàòðèöû, êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì (2).
Òîãäà âçâåøåííàÿ ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðèöà, îïðåäåëåííàÿ óñëîâèÿìè (1), (2),
ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå
A C B AC B
BC EE
� �
�
1 2 1 2 1 2 1 2/ / / /( ) , (66)
A C C A BAC C A B
BC
T
EE
T� �
�
1 2 1 2 1 2 1 2/ / / /( ) , (67)
A CA B B ACA B B
BC
T T
EE
� �
�
1 2 1 2 1 2 1 2/ / / /( ) , (68)
A CA B ACA B
BC
T T
BBEE
� �
�
�
( ) , (69)
A CA BACA
BC
T T
B BEE
� �
�
�
( ) , (70)
A CA BA CA B
BC
T
C C
T
EE
� �
�
�
( ) , (71)
A C A BAC A B
BC
T
CC
T
EE
� �
�
�
( ) , (72)
A A BA A B
BC
T
CC
T� �
� ( ) , (73)
A CA ACA
BC
T T
BB
� �
� ( ) . (74)
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 22 èñïîëüçóþòñÿ ïðåäåëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ
ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû Ìóðà-Ïåíðîóçà [8] è âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàò-
ðèöû [10], ïðåäñòàâëåíèå âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû â òåðìèíàõ êî-
ýôôèöèåíòîâ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ ñèììåòðèçóåìûõ ìàòðèö (12), à
òàêæå ñëåäñòâèå 3.
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû ñ âûðîæäåííûìè
âåñàìè ïîëó÷åíî åå ïðåäñòàâëåíèå ÷åðåç ïñåâäîîáðàòíûå ìàòðèöû Ìóðà-Ïåíðî-
96 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 3
óçà äëÿ ïðÿìîóãîëüíîé ìàòðèöû (ôîðìóëà (66)) è äâóõ âèäîâ ñèììåòðè÷íûõ ìàò-
ðèö (ôîðìóëû (67), (68)), à òàêæå ÷åðåç ÷àñòíûå âèäû âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàò-
íûõ ìàòðèö äëÿ ÷åòûðåõ âèäîâ ñèììåòðèçóåìûõ ìàòðèö (ôîðìóëû (69)–(72)) è
äâóõ âèäîâ ñèììåòðè÷íûõ ìàòðèö (ôîðìóëû (73), (74)). Îòìåòèì, ÷òî ôîðìóëà
(66) äðóãèì ñïîñîáîì ïîëó÷åíà â [2]. Ôîðìóëû (66)–(68) ìîæíî èñïîëüçîâàòü,
íàïðèìåð, äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ ïîìîùüþ ïà-
êåòà ïðèêëàäíûõ ïðîãðàìì, åñëè â ïîñëåäíåì èìåþòñÿ ïðîãðàììû âû÷èñëåíèÿ
ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû Ìóðà-Ïåíðîóçà è êîðíÿ êâàäðàòíîãî èç ñèììåòðè÷íîé
ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííîé ìàòðèöû.
7. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ× ÍÀÈÌÅÍÜØÈÕ ÊÂÀÄÐÀÒÎÂ Ñ ÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÈßÌÈ
 ðÿäå ðàáîò (íàïðèìåð, [5, 36]) ðåøåíèå íåêîòîðûõ çàäà÷ íàèìåíüøèõ êâàäðà-
òîâ ñ îãðàíè÷åíèÿìè, à òàêæå L-ïñåâäîðåøåíèå [37], Lg-ïñåâäîðåøåíèå [38]
ïðåäñòàâëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ ML-âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö.
Ïðèâåäåì îïðåäåëåíèå ML-âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö. Ïóñòü
A m n
�
�R , M q m
�
�R , L p n
�
�R , òîãäà ML-âçâåøåííàÿ ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðèöà
A
ML
� ê ìàòðèöå A îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì [5, 26, 36]
A E LP L MA M P E MA MA
ML EE EE EE
� � � �
�
�
( ( ) )( ) , ( ) . (75)
Âåêòîð x A f
ML
�
� ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñëåäóþùåé çàäà÷è: íàéòè
min | | | | , min | | | |
x L L
x
M M
x Ax fT
n
T
� �
�
Arg
R
. (76)
 îáùåì ñëó÷àå ðåøåíèå çàäà÷è (76) ÿâëÿåòñÿ íååäèíñòâåííûì.  ðàáîòàõ
[5, 26, 36] îïðåäåëåíî óñëîâèå, ïðè êîòîðîì ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è áóäåò
åäèíñòâåííûì.
Îïðåäåëèì âçâåøåííóþ ïñåâäîîáðàòíóþ ìàòðèöó ê ìàòðèöå A ñ ïîëîæè-
òåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûìè âåñàìè B è C
EE
� êàê ìàòðèöó, óäîâëåòâîðÿþùóþ
ñèñòåìå ìàòðè÷íûõ óðàâíåíèé
AXA A XAX X BAX BAX XAC XACT
EE
T
EE
� � � �
� �, , ( ) , ( ) , (77)
ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé
rk BA rk A rk AC rk A
EE
( ) ( ), ( ) ( )� �
� . ( )78
 ðàáîòå [11] óñòàíîâëåíî, ÷òî ML-âçâåøåííàÿ ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðèöà (75)
ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé
B M M C L L rk M MA rk A rk A L L rT
EE
T
EE
T T
EE
� � � �
� � �, ( ) , ( ) ( ), ( ( ) ) k A( ),
( , ) , ( , ) ,Bu u C v v u vE EE E
m n
m n
� � � � � � �
�0 0 0 0R R ( )79
ÿâëÿåòñÿ âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöåé, îïðåäåëåííîé ñîîòíîøåíèÿìè
(77), (78).
Íàì íåîáõîäèìî ïîñòðîèòü ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷ íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ñ
îãðàíè÷åíèÿìè è çàäà÷è âû÷èñëåíèÿ L-ïñåâäîðåøåíèÿ (Lg-ïñåâäîðåøåíèÿ). Äëÿ
ýòîãî áóäåì èñïîëüçîâàòü ïîñòðîåííûå è èññëåäîâàííûå â ðàçä. 4 è 5 ñîîòâå-
òñòâåííî ðåãóëÿðèçîâàííûå çàäà÷è è èòåðàöèîííûå ìåòîäû äëÿ âû÷èñëåíèÿ
âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé è óñëîâèÿ (79), ïðè êîòîðûõ ML-âçâå-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 3 97
øåííûå ïñåâäîîáðàòíûå ìàòðèöû ñîâïàäàþò ñî âçâåøåííûìè ïñåâäîîáðàòíûìè
ìàòðèöàìè ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè.
 íàñòîÿùåé ñòàòüå ðàññìîòðèì òîëüêî çàäà÷ó íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ñ
îãðàíè÷åíèÿìè â âèäå ëèíåéíûõ ðàâåíñòâ è çàäà÷ó íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ñ
îãðàíè÷åíèÿìè â âèäå êâàäðàòè÷íûõ íåðàâåíñòâ. Ïîñòàíîâêè è ìåòîäû ðåøåíèÿ
äðóãèõ çàäà÷ íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ñ îãðàíè÷åíèÿìè ìîæíî íàéòè â ðàáîòàõ [5,
10, 11, 14, 21].
Âíà÷àëå ðàññìîòðèì çàäà÷ó íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ñ îãðàíè÷åíèÿìè â âèäå
ëèíåéíûõ ðàâåíñòâ [5, 26, 36]
min | | | | , |
f
EKf g f Lf h
�
� �
{ }. (80)
Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ñèñòåìà Lf h� ñîâìåñòíàÿ è
N K N L( ) ( )� � { }0 , (81)
ãäå N Q( ) — íóëü-ïðîñòðàíñòâî ìàòðèöû Q. Òîãäà ñóùåñòâóåò [5] åäèíñòâåí-
íîå ðåøåíèå çàäà÷è (80). Êðîìå òîãî, ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìàòðèöà K KT âûðîæ-
äåíà è äëÿ íåå âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå rk L K K rk LT
EE
( ( ) ) ( )�
� . Òîãäà â ñèëó
(79) ðåøåíèå çàäà÷è (80) îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé [5]
f L h KP g C K K P E L L
EC
L EE
T
L EE
EE
* ( ) , ,� � � �
�
� � � . ( )82
Òàêèì îáðàçîì, ðåøåíèå çàäà÷è (80), (81) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó
f f f* *
( )
*
( )
� �
1 2 íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé äâóõ çàäà÷: íàõîæäåíèå âçâåøåííî-
ãî íîðìàëüíîãî ïñåâäîðåøåíèÿ ñèñòåìû Lf h( )1
� ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåí-
íûì âåñîì E è âûðîæäåííûì âåñîì C K K
EE
T
EE
� �
� ( ) (èëè íàõîæäåíèå ML-âçâå-
øåííîãî íîðìàëüíîãî ïñåâäîðåøåíèÿ ýòîé ñèñòåìû ñ M E� è L K� ) è íàõîæäå-
íèå íîðìàëüíîãî ïñåâäîðåøåíèÿ ñèñòåìû KP gL � . Òîãäà íà îñíîâàíèè
ðåãóëÿðèçîâàííûõ çàäà÷, ïîñòðîåííûõ â ðàçä. 4 äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ íîð-
ìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé, ìîæíî ïîëó÷èòü ðåãóëÿðèçîâàííûå çàäà÷è äëÿ âû÷èñëå-
íèÿ ïðèáëèæåíèÿ ê f
*
( )1 è f
*
( )2 . Òàê, íàïðèìåð, íà îñíîâàíèè òåîðåìû 7 äëÿ ïðè-
áëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ f
*
( )1 ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîì � (� � 0, � � 0) èìååì ÑËÀÓ
k
n
EE
T
EE
TC L L E C L L E f
k
�
� �
� � � �
0
1
2 1( ) ( ) ( )� �
� � � �
�
� � � �
�
k
n
EE
T
EE
T
EE
T
EE
C L L E E C L h C K K
k k
0
1
2 2{ }( ) , ( )� � ,
( )83
à äëÿ âû÷èñëåíèÿ f
*
( )2 èìååì ÑËÀÓ (� � 0, � � 0)
k
n
L
T
L L
T
LKP KP E KP KP E f
k
�
� � � �
0
1
2 2(( ) ) (( ) ) ( )� �
� � � �
�
�
�
k
n
L
T
L L
T
L EE
KP KP E E KP g P E L L
k k
0
1
2 2{ }(( ) ) ( ) ,� � . (84)
98 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 3
Íà îñíîâàíèè èòåðàöèîííûõ ïðîöåññîâ, ïîñòðîåííûõ â ðàçä. 5, ìîæíî ïîëó-
÷èòü èòåðàöèîííûå ïðîöåññû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðèáëèæåíèÿ ê f
*
( )1 è f
*
( )2 . Òàê,
íàïðèìåð, íà îñíîâàíèè èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà ðåãóëÿðèçàöèè (56) äëÿ ïðè-
áëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ f
*
( )1 èìååì èòåðàöèîííûé ðåãóëÿðèçóþùèé ïðîöåññ (
� � 0, � � 0)
f C L L E C L h f
EE
T
EE
T
k0
1 1 1( ) ( )( ) ,� � �
�
��
� � �
�
{ }E C L L E f
k k
EE
T
k
� �2 2
1
11 1
( ) ,( ) ( )
C K K k
EE
T
EE
� �
� �( ) , , , . . . ,1 2 ( )85
à äëÿ âû÷èñëåíèÿ f
*
( )2 — èòåðàöèîííûé ðåãóëÿðèçóþùèé ïðîöåññ (� � 0,
� � 0)
f KP KP E KP g f E KPL
T
L L
T
k L
k
0
2 1 2 2 1( ) ( )(( ) ) ( ) , (( )� � � �
� �{ T
LKP �
� �
�
�
�E f P E L L k
k
k L EE
) , , , , . . .( ) ( )2
1
21
1 2} ( )86
Ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷è (80) ïðåäëàãàëèñü â ðÿäå ðàáîò. Òàê, â [26, 39] ïðåä-
ëîæåí è èññëåäîâàí ìåòîä âçâåøèâàíèÿ, â ðàáîòå [40] — èòåðàöèîííûé ìåòîä
âçâåøèâàíèÿ, â [10, 19, 27] — ðåãóëÿðèçîâàííûå çàäà÷è, â ðàáîòàõ [11, 14] —
èòåðàöèîííûå ìåòîäû, â [18, 19, 21, 29] — èòåðàöèîííûå ìåòîäû ðåãóëÿðèçàöèè,
â [41] ðàçðàáîòàíû êîìïüþòåðíî-àëãåáðàè÷åñêèå ïðîöåäóðû äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è
(80).
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ñ îãðàíè÷åíèÿìè â âèäå êâàäðà-
òè÷íûõ íåðàâåíñòâ [5]
min | | | | , | | | | | ,
f
E N
TKf g f f N L L
�
� �
{ }� , (87)
à òàêæå ÷àñòíûé ñëó÷àé ýòîé çàäà÷è
min | | | | , | | | | |
*
*
f
E EAx b x x
�
� �
{ }� . (88)
 [5] ïîêàçàíî, ÷òî ïðè 0 �
�� | | | |K g
EN N , ãäå N L LT
� , è âûïîëíåíèè óñëî-
âèé (81) çàäà÷à (87) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, êîòîðîå áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ ñ
ïîìîùüþ ML-âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óñëî-
âèé (79) äàñò ôîðìóëó äëÿ âû÷èñëåíèÿ ýòîãî ðåøåíèÿ
f L x KP g C K K P E L L
EC
L EE
T
L EE
EE
* * ( ) , ,� � � �
�
� � � , (89)
ãäå x* åñòü ðåøåíèå çàäà÷è (88) ïðè
A KL P E L L Q E KP KP b Q g
EC L EE N L L EE N� �
�
�
� � �, , ( ) , . (90)
Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (88) ðàçðàáîòàíû ýôôåêòèâíûå ìåòîäû (ñì., íàïðèìåð,
[42, 43]). Òîãäà, åñëè ðåøåíèå çàäà÷è (88) ñ ó÷åòîì (90) ïîëó÷åíî, òî ðåøåíèå çà-
äà÷è (87) ïðåäñòàâëÿåòñÿ ñîãëàñíî (89) ñóììîé f f f* *
( )
*
( )
� �
1 2 èç âçâåøåííîãî
íîðìàëüíîãî ïñåâäîðåøåíèÿ çàäà÷è Lf x( )
*
1
� ñ âåñàìè E è C K K
EE
T
EE
� �
� ( ) è
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 3 99
íîðìàëüíîãî ïñåâäîðåøåíèÿ çàäà÷è KP f gL
( )2
� . Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ïðèáëè-
æåííîãî âû÷èñëåíèÿ f * ìîæíî èñïîëüçîâàòü (ñ òî÷íîñòüþ äî îáîçíà÷åíèÿ)
ðåãóëÿðèçîâàííûå çàäà÷è (83), (84) è èòåðàöèîííûå ïðîöåññû (85), (86).
 çàêëþ÷åíèå îòìåòèì, ÷òî L-ïñåâäîðåøåíèå [37], Lg-ïñåâäîðåøåíèå [38],
ñâÿçàííîå íîðìàëüíîå ïñåâäîðåøåíèå [29] ïðè íåêîòîðûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ òàê-
æå ïðåäñòàâëÿþòñÿ ñóììîé âçâåøåííîãî íîðìàëüíîãî ïñåâäîðåøåíèÿ è îáû÷íî-
ãî íîðìàëüíîãî ïñåâäîðåøåíèÿ (ñì. [36]), äëÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ êîòîðûõ
ìîæíî èñïîëüçîâàòü (ñ òî÷íîñòüþ äî îáîçíà÷åíèé) ÑËÀÓ (83), (84) è
èòåðàöèîííûå ïðîöåññû (85), (86).
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ñ å ð ã è å í ê î È . Â . , Ã à ë á à Å . Ô . , Ä å é í å ê à Â . Ñ . Ïðåäñòàâëåíèÿ è ðàçëîæåíèÿ
âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö, èòåðàöèîííûå ìåòîäû è ðåãóëÿðèçàöèÿ çàäà÷.
1. Ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûå âåñà // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2008. — ¹ 1. —
Ñ. 47–73.
2. W a r d J . F . , B o u l l i o n T . L . , L e w i s T . O . Weighted pseudoinverses with singular
weights // SIAM J. Appl. Math. — 1971. — 21, N 3. — P. 480–482.
3. M i t r a S . K . , R a o C . R . Projections under seminorms and generalized Moore-Penrose in-
verses // Linear Algebra and Appl. — 1974. — 9. — P. 155–167.
4. E l d e n L . Perturbation theory for the least squares problem with linear equality constraints //
SIAM J. Numer. Anal. — 1980. — 17, N 3. — P. 338–350.
5. E l d e n L . A weighted pseudoinverse generalized singular values and constrained least squares
problems // BIT. — 1982. — 22, N 4. — P. 487–502.
6. M o o r e E . H . On the reciprocal of the general algebraic matrix // Abstract. Bull. Amer. Math.
Soc. — 1920. — 26. — P. 394–395.
7. P e n r o s e R . A generalized inverse for matrices // Proc. Cambridge Phil. Soc. — 1955. — 51,
N 3. — P. 406–413.
8. À ë á å ð ò À . Ðåãðåññèÿ, ïñåâäîèíâåðñèÿ è ðåêóððåíòíîå îöåíèâàíèå. — Ì.: Íàóêà, 1977. —
223 ñ.
9. Ã à ë á à Å . Ô . , Ì î ë ÷ à í î â È . Í . , Ñ ê î ï å ö ê è é Â . Â . Èòåðàöèîííûå ìåòîäû äëÿ
âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè // Êèáåðíåòèêà è
ñèñòåìíûé àíàëèç. — 1999. — ¹ 5. — Ñ. 150–169.
10. Ã à ë á à Å . Ô . , Ä å é í å ê à Â . Ñ . , Ñ å ð ã è å í ê î È . Â . Ïðåäåëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ
âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè è ðåãóëÿðèçàöèÿ çàäà÷ // Æóðí.
âû÷èñë. ìàòåìàòèêè è ìàò. ôèçèêè. — 2004. — 44, ¹ 11. — Ñ. 1928–1946.
11. à à ë á à Å . Ô . Èòåðàöèîííûå ìåòîäû äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííîãî íîðìàëüíîãî
ïñåâäîðåøåíèÿ ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè // Òàì æå. — 1999. — 39, ¹ 6. — Ñ. 882–896.
12. L a n c a s t e r P . , R o z s a P . Eigenvectors of H-self-adjoint matrices // Z. Angew. Math. und
Mech. — 1984. — 64, N 9. — S. 439–441.
13. È ê ð à ì î â Õ . Ä . Îá àëãåáðàè÷åñêèõ ñâîéñòâàõ êëàññîâ ïñåâäîïåðåñòàíîâî÷íûõ è
Í-ñàìîñîïðÿæåííûõ ìàòðèö // Æóðí. âû÷èñë. ìàòåìàòèêè è ìàò. ôèçèêè. — 1992. — 32, ¹ 8.
— Ñ. 155–169.
14. Ã à ë á à Å . Ô . , Ä å é í å ê à Â . Ñ . , Ñ å ð ã è å í ê î È . Â . Èòåðàöèîííûå ìåòîäû
âûñîêèõ ñêîðîñòåé ñõîäèìîñòè äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö è
âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè // Òàì æå. — 2005. — 45,
¹ 10. — Ñ. 1731–1755.
100 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 3
15. Ñ å ð ã è å í ê î È . Â . , Ã à ë á à Å . Ô . , Ä å é í å ê à Â . Ñ . Ðàçëîæåíèå âçâåøåííûõ
ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ è
èòåðàöèîííûå ìåòîäû // Óêð. ìàò. æóðí. — 2007. — 59, ¹ 9. — Ñ. 1269–1289.
16. Ã à ë á à Å . Ô . Âçâåøåííîå ïñåâäîîáðàùåíèå ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè // Òàì æå. —
1994. — 46, ¹ 10. — Ñ. 1323–1327.
17. Ë à í ê à ñ ò å ð Ï . Òåîðèÿ ìàòðèö. — Ì.: Íàóêà, 1982. — 270 ñ.
18. Ñ å ð ã è å í ê î È . Â . , Ã à ë á à Å . Ô . , Ä å é í å ê à Â . Ñ . Ðàçëîæåíèå â ðÿäû
âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö è èòåðàöèîííûå ìåòîäû äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ
ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö è âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé // Êèáåðíåòèêà è
ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2006. — ¹ 1. — Ñ. 32–62.
19. Ã à ë á à Å . Ô . , Ä å é í å ê à Â . Ñ . , Ñ å ð ã è å í ê î È . Â . Ðàçëîæåíèÿ è
ìíîãî÷ëåííûå ïðåäåëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö // Æóðí.
âû÷èñë. ìàòåìàòèêè è ìàò. ôèçèêè. — 2007. — 47, ¹ 5. — Ñ. 747–766.
20. Ñ å ð ã è å í ê î È . Â . , Ã à ë á à Å . Ô . , Ä å é í å ê à Â . Ñ . Ðàçëîæåíèå âçâåøåííûõ
ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ // Óêð. ìàò. æóðí. — 2004. —
56, ¹ 11. — Ñ. 1539–1556.
21. Ñ å ð ã è å í ê î È . Â . , Ã à ë á à Å . Ô . , Ä å é í å ê à Â . Ñ . Ðàçëîæåíèå âçâåøåííûõ
ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå
ïðîèçâåäåíèÿ è èòåðàöèîííûå ìåòîäû // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2007. — ¹ 1.
— Ñ. 45–64.
22. Ñ å ð ã è å í ê î È . Â . , Ã à ë á à Å . Ô . , Ä å é í å ê à Â . Ñ . Èòåðàöèîííûå ìåòîäû ñ
ðàçëè÷íûìè ñêîðîñòÿìè ñõîäèìîñòè äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö è
âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè // Òàì æå.
— 2004. — ¹ 5. — Ñ. 20–44.
23. Ã à ë á à Å . Ô . Âçâåøåííîå ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå è âçâåøåííîå ïñåâäîîáðàùåíèå ìàòðèö
// Óêð. ìàò. æóðí. — 1996. — 48, ¹ 10. — Ñ. 1426–1430.
24. à à ë á à Å . Ô . Èòåðàöèîííûå ìåòîäû äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû
// Æóðí. âû÷èñë. ìàòåìàòèêè è ìàò. ôèçèêè. — 1996. — 36, ¹ 6. — Ñ. 28–39.
25. Õ î ð í Ð . , Ä æ î í ñ î í × . Ìàòðè÷íûé àíàëèç. — Ì.: Ìèð, 1989. — 656 ñ.
26. Ë î ó ñ î í × . , Õ å í ñ î í Ð . ×èñëåííîå ðåøåíèå çàäà÷ ìåòîäà íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ. —
Ì.: Íàóêà, 1986. — 232 ñ.
27. Ñ å ð ã è å í ê î È . Â . , Ã à ë á à Å . Ô . , Ä å é í å ê à Â . Ñ . Ïðåäåëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ
âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè è ðåãóëÿðèçàöèÿ
çàäà÷ // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2003. — ¹ 6. — Ñ. 46–65.
28. Â à é í è ê ê î Ã . Ì . , Â å ð å ò å í í è ê î â À . Þ . Èòåðàöèîííûå ïðîöåäóðû â
íåêîððåêòíûõ çàäà÷àõ. — Ì.: Íàóêà, 1986. — 183 ñ.
29. À ð õ à ð î â Å .  . , Ø à ô è å â Ð . À . Ìåòîäû ðåãóëÿðèçàöèè çàäà÷è ñâÿçàííîãî
ïñåâäîîáðàùåíèÿ ñ ïðèáëèæåííûìè äàííûìè // Æóðí. âû÷èñë. ìàòåìàòèêè è ìàò. ôèçèêè. —
2003. — 43, ¹ 3. — Ñ. 347–353.
30. Ó â à ð î â  . Å . , Ø à ô è å â Ð . À . Èòåðàöèîííûé ìåòîä ðåãóëÿðèçàöèè çàäà÷è 2-ñâÿçíîãî
ïñåâäîîáðàùåíèÿ äëÿ îïåðàòîðíîãî óðàâíåíèÿ // Òàì æå. — 2006. — 46, ¹ 10. —
Ñ. 1735–1743.
31. C e n s o r Y . , G o r d o n D . , G o r d o n R . Component averaging: an efficient iterative par-
allel algorithm for large and sparse unstructured problems // Parallel Comput. — 2001. — 27, N 6.
— P. 777–808.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 3 101
32. C e n s o r Y . , G o r d o n D . , G o r d o n R . BICAV: an inherently parallel algorithm for sparse
systems with pixel-dependent weighting // IEEE Transactions on Medical Imaging. — 2001. — 20.
— P. 1050–1060.
33. C e n s o r Y . , E l f v i n g T . Block-iterative algorithms with diagonally skaled oblique projec-
tions for the linear feasibility problem // SIAM J. Matrix. Anal. — 2002. — 24, N 1. — P. 40–58.
34. C e n s o r Y . , E l f v i n g T . Iterative algorithms with seminorm-induced oblique projections //
Abstr. Appl. Anal. — 2003. — N 7. — P. 387–406.
35. à à ë á à Å . Ô . Ïðåäñòàâëåíèå âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû ÷åðåç äðóãèå
ïñåâäîîáðàòíûå ìàòðèöû // Äîï. ÍÀÍ ÓêðàÂíè. — 1997. — ¹ 4. — Ñ. 12–17.
36. Â à à ð ì à í í Î . Îáîáùåííûå îáðàòíûå îòîáðàæåíèÿ. — Òàëëèí: Âàëãóñ, 1988. — 120 ñ.
37. Ì î ð î ç î â Â . À . Ðåãóëÿðíûå ìåòîäû ðåøåíèÿ íåêîððåêòíî ïîñòàâëåííûõ çàäà÷. — Ì.:
Íàóêà, 1987. — 240 ñ.
38. Ì å ë å ø ê î Â . È . Ïðèìåíåíèå ðåêóððåíòíûõ îïòèìàëüíûõ îöåíîê ñ ïñåâäîîáðàùåíèåì â
çàäà÷àõ èäåíòèôèêàöèè // Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. — 1978. — ¹ 9. — Ñ. 79–89.
39. S t e w a r t G . W . On the weighting method for least squares problems with linear equality con-
straints // BIT. — 1997. — 37. — P. 961–967.
40. V a n L o a n C . On the method of weighting for equality-constrained least- squares problems //
SIAM J. Numer. Anal. — 1985. — 22, N 5. — P. 851–864.
41. È ê ð à ì î â Õ . Ä . , Ì à ò è í ô à ð Ì . Î êîìïüþòåðíî-àëãåáðàè÷åñêèõ ïðîöåäóðàõ äëÿ
ëèíåéíîé çàäà÷è íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ñ ëèíåéíûìè ñâÿçÿìè // Æóðí. âû÷èñë. ìàòåìàòèêè è
ìàò. ôèçèêè. — 2004. — 44, ¹ 2. — Ñ. 206–212.
42. G o l u b G . H . Some modified eigenvalue problems // SIAM Rev. — 1973. — 15, N 2. —
P. 318–334.
43. G o l u b G . H . , v o n M a t t V . Quadratically constrained least squares and quadratic problems
// Numer. Math. — 1991. — 59, N 6. — P. 561–580.
Ïîñòóïèëà 02.11.2007
102 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 3
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-72065 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:51:00Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Сергиенко, И.В. Галба, Е.Ф. Дейнека, В.С. 2014-12-16T19:20:26Z 2014-12-16T19:20:26Z 2008 Представления и разложения взвешенных псевдообратных матриц, итерационные методы и регуляризация задач. II. Вырожденные веса / И.В. Сергиенко, Е.Ф. Галба, В.С. Дейнека // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 3. — С. 75-102. — Бібліогр.: 43 назв. — рос. https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72065 512.64:519.61 Наведено огляд робіт, присвячених зображенням і розвиненням зважених псевдообернених матриць з додатно-означеними вагами та побудові ітераційних методів і регуляризованих задач для обчислення зважених псевдообернених матриць і зважених нормальних псевдорозв'язків. Розглянуто питання використання побудованих методів для розв'язування задач найменших квадратів з обмеженнями.Наведено огляд робіт зображень і розвинення зважених псевдообернених матриць із додатно-напіввизначеними вагами та побудови ітераційних методів і регуляризованих задач для обчислення зважених псевдообернених матриць і зважених нормальних псевдорозв'язків на базі цих зображень і розвинень. Розглянуто питання використання побудованих методів для розв'язування задач найменших квадратів із обмеженнями. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Представления и разложения взвешенных псевдообратных матриц, итерационные методы и регуляризация задач. II. Вырожденные веса Article published earlier |
| spellingShingle | Представления и разложения взвешенных псевдообратных матриц, итерационные методы и регуляризация задач. II. Вырожденные веса Сергиенко, И.В. Галба, Е.Ф. Дейнека, В.С. Системный анализ |
| title | Представления и разложения взвешенных псевдообратных матриц, итерационные методы и регуляризация задач. II. Вырожденные веса |
| title_full | Представления и разложения взвешенных псевдообратных матриц, итерационные методы и регуляризация задач. II. Вырожденные веса |
| title_fullStr | Представления и разложения взвешенных псевдообратных матриц, итерационные методы и регуляризация задач. II. Вырожденные веса |
| title_full_unstemmed | Представления и разложения взвешенных псевдообратных матриц, итерационные методы и регуляризация задач. II. Вырожденные веса |
| title_short | Представления и разложения взвешенных псевдообратных матриц, итерационные методы и регуляризация задач. II. Вырожденные веса |
| title_sort | представления и разложения взвешенных псевдообратных матриц, итерационные методы и регуляризация задач. ii. вырожденные веса |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72065 |
| work_keys_str_mv | AT sergienkoiv predstavleniâirazloženiâvzvešennyhpsevdoobratnyhmatriciteracionnyemetodyiregulârizaciâzadačiivyroždennyevesa AT galbaef predstavleniâirazloženiâvzvešennyhpsevdoobratnyhmatriciteracionnyemetodyiregulârizaciâzadačiivyroždennyevesa AT deinekavs predstavleniâirazloženiâvzvešennyhpsevdoobratnyhmatriciteracionnyemetodyiregulârizaciâzadačiivyroždennyevesa |