Общий метод построения уравнений кривых и поверхностей в неявной форме с помощью интерлинации и интерфлетации функций
Запропоновано загальний метод побудови рівнянь кривих складеної форми OD (x, y) =0 та рівнянь поверхонь складеної форми OG (x, y, z) = 0 у неявному вигляді, у яких функції OD (x, y) та OG (x, y, z) належать заданому класу диференційовності. Метод істотно використовує інтерлінацію та інтерфлетацію фу...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72202 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Общий метод построения уравнений кривых и поверхностей в неявной форме с помощью интерлинации и интерфлетации функций / О.Н. Литвин, А.В. Ткаченко, О.О. Литвин // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — № 1. — С. 61-67. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-72202 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Литвин, О.Н. Ткаченко, А.В. Литвин, О.О. 2014-12-19T21:36:37Z 2014-12-19T21:36:37Z 2011 Общий метод построения уравнений кривых и поверхностей в неявной форме с помощью интерлинации и интерфлетации функций / О.Н. Литвин, А.В. Ткаченко, О.О. Литвин // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — № 1. — С. 61-67. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72202 519.6 Запропоновано загальний метод побудови рівнянь кривих складеної форми OD (x, y) =0 та рівнянь поверхонь складеної форми OG (x, y, z) = 0 у неявному вигляді, у яких функції OD (x, y) та OG (x, y, z) належать заданому класу диференційовності. Метод істотно використовує інтерлінацію та інтерфлетацію функцій. Розглянуто приклад. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Общий метод построения уравнений кривых и поверхностей в неявной форме с помощью интерлинации и интерфлетации функций Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Общий метод построения уравнений кривых и поверхностей в неявной форме с помощью интерлинации и интерфлетации функций |
| spellingShingle |
Общий метод построения уравнений кривых и поверхностей в неявной форме с помощью интерлинации и интерфлетации функций Литвин, О.Н. Ткаченко, А.В. Литвин, О.О. Системный анализ |
| title_short |
Общий метод построения уравнений кривых и поверхностей в неявной форме с помощью интерлинации и интерфлетации функций |
| title_full |
Общий метод построения уравнений кривых и поверхностей в неявной форме с помощью интерлинации и интерфлетации функций |
| title_fullStr |
Общий метод построения уравнений кривых и поверхностей в неявной форме с помощью интерлинации и интерфлетации функций |
| title_full_unstemmed |
Общий метод построения уравнений кривых и поверхностей в неявной форме с помощью интерлинации и интерфлетации функций |
| title_sort |
общий метод построения уравнений кривых и поверхностей в неявной форме с помощью интерлинации и интерфлетации функций |
| author |
Литвин, О.Н. Ткаченко, А.В. Литвин, О.О. |
| author_facet |
Литвин, О.Н. Ткаченко, А.В. Литвин, О.О. |
| topic |
Системный анализ |
| topic_facet |
Системный анализ |
| publishDate |
2011 |
| language |
Russian |
| container_title |
Кибернетика и системный анализ |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| description |
Запропоновано загальний метод побудови рівнянь кривих складеної форми OD (x, y) =0 та рівнянь поверхонь складеної форми OG (x, y, z) = 0 у неявному вигляді, у яких функції OD (x, y) та OG (x, y, z) належать заданому класу диференційовності. Метод істотно використовує інтерлінацію та інтерфлетацію функцій. Розглянуто приклад.
|
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72202 |
| citation_txt |
Общий метод построения уравнений кривых и поверхностей в неявной форме с помощью интерлинации и интерфлетации функций / О.Н. Литвин, А.В. Ткаченко, О.О. Литвин // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — № 1. — С. 61-67. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT litvinon obŝiimetodpostroeniâuravneniikrivyhipoverhnosteivneâvnoiformespomoŝʹûinterlinaciiiinterfletaciifunkcii AT tkačenkoav obŝiimetodpostroeniâuravneniikrivyhipoverhnosteivneâvnoiformespomoŝʹûinterlinaciiiinterfletaciifunkcii AT litvinoo obŝiimetodpostroeniâuravneniikrivyhipoverhnosteivneâvnoiformespomoŝʹûinterlinaciiiinterfletaciifunkcii |
| first_indexed |
2025-11-25T23:32:37Z |
| last_indexed |
2025-11-25T23:32:37Z |
| _version_ |
1850582917014618112 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.6
Î.Í. ËÈÒÂÈÍ, À.Â. ÒÊÀ×ÅÍÊÎ, Î.Î. ËÈÒÂÈÍ
ÎÁÙÈÉ ÌÅÒÎÄ ÏÎÑÒÐÎÅÍÈß ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ
ÊÐÈÂÛÕ È ÏÎÂÅÐÕÍÎÑÒÅÉ Â ÍÅßÂÍÎÉ ÔÎÐÌÅ
Ñ ÏÎÌÎÙÜÞ ÈÍÒÅÐËÈÍÀÖÈÈ È ÈÍÒÅÐÔËÅÒÀÖÈÈ ÔÓÍÊÖÈÉ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: èíòåðëèíàöèÿ, èíòåðôëåòàöèÿ, R-ôóíêöèè, íîðìàëüíûå óðàâ-
íåíèÿ, íåÿâíûå óðàâíåíèÿ.
Ââåäåíèå. Â ðàáîòå [1] ðàññìîòðåíû ìåòîäû àïïðîêñèìàöèè ôóíêöèé ìíîãèõ ïå-
ðåìåííûõ ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåòîäîâ èíòåðëèíàöèè è èíòåðôëåòàöèè ôóíêöèé è
íåêîòîðûå èõ ïðèìåíåíèÿ â ñîâðåìåííûõ êîìïüþòåðíûõ òåõíîëîãèÿõ. Â íàñòîÿ-
ùåé ñòàòüå èññëåäóþòñÿ ìåòîäû àïïðîêñèìàöèè ôóíêöèé äâóõ è òðåõ ïåðåìåííûõ
ñ öåëüþ ïîñòðîåíèÿ óðàâíåíèé ñîñòàâíûõ ëèíèé è ïîâåðõíîñòåé â íåÿâíîé ôîðìå
ñ èñïîëüçîâàíèåì ôóíêöèé, ïðèíàäëåæàùèõ ê çàäàííîìó êëàññó äèôôåðåíöèðî-
âàííîñòè. Çàäà÷è ïîñòðîåíèÿ íåÿâíûõ óðàâíåíèé ïîâåðõíîñòåé è êðèâûõ íàõîäÿò
øèðîêîå ïðèìåíåíèå íà ïðàêòèêå (íàïðèìåð, ïðè èñïîëüçîâàíèè âàðèàöèîííûõ
ìåòîäîâ äëÿ ðåøåíèÿ ñòàöèîíàðíûõ è íåñòàöèîíàðíûõ êðàåâûõ çàäà÷ ñ äâóìÿ è
òðåìÿ ïðîñòðàíñòâåííûìè ïåðåìåííûìè). Ïîñòðîåíèå óðàâíåíèé ïîâåðõíîñòåé
â íåÿâíîé ôîðìå ñ âîçìîæíîñòüþ âûáîðà ïàðàìåòðîâ ìîäåëè ïîâåðõíîñòè ïîçâî-
ëÿåò ïîëó÷èòü ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè ïîâåðõíîñòåé ñ çàâåäîìî çàäàííûìè ñâîé-
ñòâàìè. Íàïðèìåð, ïîñòðîåíèå ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé àýðîäèíàìè÷åñêèõ ïîâåðõ-
íîñòåé ñ ó÷åòîì íå òîëüêî ãåîìåòðè÷åñêèõ ñâîéñòâ (íåïðåðûâíîñòü ïðîèçâîäíûõ
äî íåêîòîðîãî ïîðÿäêà), íî è ôèçè÷åñêèõ ñâîéñòâ ïîâåðõíîñòåé, òàêèõ êàê òåï-
ëîïðîâîäíîñòü, ïðî÷íîñòü è äð. [2, 3]. Ïîýòîìó öåëåñîîáðàçíûì ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèå
ýòèõ âîïðîñîâ ñ èñïîëüçîâàíèåì ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ïîâåðõíîñòè ïîñðå-
äñòâîì âûáîðà åå ïàðàìåòðîâ ñ ïîìîùüþ íåêîòîðûõ êðèòåðèåâ.
Ïîäîáíûé ïîäõîä ÿâëÿåòñÿ öåëåñîîáðàçíûì ïðè ïîñòðîåíèè ìàòåìàòè÷åñêèõ
ìîäåëåé àýðîäèíàìè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé [2, 3].
Àêòóàëüíîñòü òåìû. Îäíèì èç íàèáîëåå ñëîæíûõ ýòàïîâ ïðè ïîñòðîåíèè
ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé êðèâûõ è ïîâåðõíîñòåé â íåÿâíîé ôîðìå ÿâëÿåòñÿ îáåñïå÷åíèå
óñëîâèÿ íåïðåðûâíîñòè ïðîèçâîäíûõ çàäàííûõ ïîðÿäêîâ. Ïîýòîìó àêòóàëüíîé ÿâëÿåòñÿ
çàäà÷à ïîñòðîåíèÿ è èññëåäîâàíèå ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé ëèíèé è ïîâåðõíîñòåé
â íåÿâíîé ôîðìå, êîòîðûå äîïóñêàþò óäîâëåòâîðåíèå äàííûì òðåáîâàíèÿì.
Ñóùåñòâóþùèå ìåòîäû ðåøåíèÿ ïîñòàâëåííîé çàäà÷è. Íåÿâíàÿ ôîðìà çà-
äàíèÿ ëèíèé è ïîâåðõíîñòåé èìååò ñîîòâåòñòâåííî âèä
F x y( , ) � 0 , ( , )x y Dxy� , F x y z( , , ) � 0 , ( , , )x y z Dxyz� .
Ñðåäè àíàëèòè÷åñêèõ ìåòîäîâ îïèñàíèÿ ëèíèé è ïîâåðõíîñòåé â íåÿâíîé ôîð-
ìå íàèáîëåå îáùèì åñòü ìåòîä R-ôóíêöèé Â.Ë. Ðâà÷åâà [3].
Ýòîò ìåòîä ñ ïîìîùüþ èçâåñòíûõ óðàâíåíèé
� i x y( , ) � 0 , i N�1, ,
óêàçàííûõ ÷àñòåé ëèíèé è ëîãè÷åñêîé ôóíêöèè F u u u N( , , , , , )1 2 � � � � , êîòî-
ðàÿ îïèñûâàåò îáëàñòü, îãðàíè÷åííóþ äàííîé êðèâîé ñ ïîìîùüþ ëîãè÷åñêèõ
îïåðàöèé êîíúþíêöèè � , äèçúþíêöèè �, îòðèöàíèÿ � è R-ôóíêöèé u � � � ,
u � � � , �u , 0 1� � , ðàçðåøàåò ïîëó÷àòü íåîáõîäèìîå óðàâíåíèå ëèíèè
â âèäå F N( , , , , , )� � � � �1 2 0� � � � � . Íåäîñòàòîê ýòîãî ìåòîäà ñîñòîèò â òîì,
÷òî ïîëó÷åííàÿ òàêèì îáðàçîì ôóíêöèÿ F F x yN( , , , , , ) ( , )� � � � �1 2 � � � � �
â óãëîâûõ òî÷êàõ ÿâëÿåòñÿ íåäèôôåðåíöèðóåìîé.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1 61
© Î.Í. Ëèòâèí, À.Â. Òêà÷åíêî, Î.Î. Ëèòâèí, 2011
Àíàëîãè÷íàÿ ñèòóàöèÿ âîçíèêàåò ïðè ïîñòðîåíèè íåÿâíûõ óðàâíåíèé ïîâåðõ-
íîñòåé.
Ìåòîä R -ôóíêöèé ïîçâîëÿåò ñ ïîìîùüþ èçâåñòíûõ óðàâíåíèé w x y zi ( , , ) � 0 ,
i N�1, , ÷àñòåé
k , k N�1, , ïîâåðõíîñòè
è ëîãè÷åñêîé ôóíêöèè F u u( , , ...1 2
... , , , , )u N � � � , êîòîðàÿ îïèñûâàåò îáëàñòü òåëà ñ äàííîé ïîâåðõíîñòüþ
, ñ ïî-
ìîùüþ ëîãè÷åñêèõ îïåðàöèé êîíúþíêöèè, äèçúþíêöèè, îòðèöàíèÿ � � �, , è
R-ôóíêöèé u � � � , u u� �� �, ïîëó÷àòü óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè
â âèäå F w w( , , ...1 2
... , , , , )wN � � � �� � 0 .
Íåäîñòàòîê ýòîãî ìåòîäà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ïîëó÷åííàÿ ôóíêöèÿ
F w w wN( , , ..., , , , )1 2 0� � � �� � íà ðåáðàõ ïîâåðõíîñòè è â åå óãëîâûõ òî÷êàõ ÿâ-
ëÿåòñÿ íåäèôôåðåíöèðîâàííîé. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âàæíûì ïðè èñïîëüçîâàíèè òà-
êèõ ôóíêöèé â çàäà÷àõ ÿâëÿåòñÿ óñëîâèå, ÷òîáû ïðèáëèæàþùàÿ ôóíêöèÿ èìåëà íå-
ïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûå 1-ãî, 2-ãî, 3-ãî ïîðÿäêîâ è âûøå. À ýòî òðåáóåò äîïîëíè-
òåëüíûõ èññëåäîâàíèé.
Óêàçàííûå íåäîñòàòêè ìîæíî óñïåøíî ïðåîäîëåòü ñ ïîìîùüþ èíòåðëèíàöèè
è èíòåðôëåòàöèè ôóíêöèé [5–7]. Ïðè ýòîì ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ëèíèé è ïîâåðõ-
íîñòåé ñîõðàíÿåò íåïðåðûâíîñòü ïðîèçâîäíûõ äî çàäàííîãî ïîðÿäêà íåçàâèñèìî îò
âûáîðà äîñòàòî÷íîãî (äëÿ íóæíîé òî÷íîñòè ïðèáëèæåíèÿ) êîëè÷åñòâà ïàðàìåòðîâ
â ôîðìóëå èíòåðëèíàöèè èëè èíòåðôëåòàöèè.
Öåëü äàííîé ðàáîòû — ïîñòðîåíèå óðàâíåíèÿ êðèâîé
: ( , )f x y � 0 â íåÿâíîé
ôîðìå F x yap ( , ) � 0 íà îñíîâå èñïîëüçîâàíèÿ èíòåðëèíàöèè íåèçâåñòíîé ôóíêöèè
äâóõ ïåðåìåííûõ f x y( , ) . Ïðè ýòîì ôóíêöèÿ F x yap ( , ) èìååò íàèìåíüøåå ñðåäíåê-
âàäðàòè÷íîå îòêëîíåíèå îò íîðìàëüíîé ôóíêöèè
F x y x yn ( , ) min ( ) ( )
( , )
� � � �
�� �
� �
2 2 êðèâîé
è ïðèíàäëåæèò ê çàäàííîìó êëàññó
C D rr( ), ,� 0 1� Êðèòåðèé âûáîðà ïàðàìåòðîâ, êîòîðûå âõîäÿò â F x yap ( , ) , ìîæåò
áûòü äðóãèì. Íàïðèìåð, ìîæíî ìèíèìèçèðîâàòü ñðåäíåêâàäðàòè÷íîå îòêëîíåíèå
F x yap ( , ) îò ôóíêöèè F x y( , ) , ïîñòðîåííîé ñ ïîìîùüþ R-ôóíêöèé. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ
ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ïîâåðõíîñòè òðåõìåðíîãî òåëà â íåÿâíîé ôîðìå ñ ñîõðàíåíè-
åì íóæíîãî êëàññà äèôôåðåíöèðóåìîñòè èñïîëüçóåòñÿ ñïëàéí-èíòåðôëåòàöèÿ ôóíê-
öèé òðåõ ïåðåìåííûõ ñ ìèíèìèçàöèåé îòêëîíåíèÿ èñêîìîé ôóíêöèè îò çàäàííîé (ïðè
òîì èëè èíîì êðèòåðèè îïòèìèçàöèè). Âõîäíûìè äàííûìè äëÿ îïèñàíèÿ ÿâëÿþòñÿ
óðàâíåíèÿ ÷àñòåé ïîâåðõíîñòåé, êîòîðûå ïðèíàäëåæàò èññëåäóåìîé ïîâåðõíîñòè.
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ïîâåðõíîñòè â âèäå
F x y zap ( , , ) � 0 , êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ íàèëó÷øèì ñðåäíåêâàäðàòè÷íûì ïðèáëèæåíèåì
ê ôóíêöèè f x y z C G( , , ) ( )� , ïîñòðîåííîé ñ ïîìîùüþ R-ôóíêöèé.
Íåÿâíûå óðàâíåíèÿ ëèíèé. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî D R� 2 — îáëàñòü íà ïëîñ-
êîñòè, ãðàíèöà êîòîðîé
ÿâëÿåòñÿ îáúåäèíåíèåì äóã èçâåñòíûõ êðèâûõ. Äëÿ óïðî-
ùåíèÿ èçëîæåíèÿ ìàòåðèàëà ïðåäïîëîæèì, ÷òî îáëàñòü D ïîëíîñòüþ ðàçìåùåíà â
ïðÿìîóãîëüíèêå [ , ] [ , ]a b c d
. Ðàçîáüåì D íà ïîäîáëàñòè ïðÿìûìè
x x k� , k M� 0 1, , y yl� , l M� 0 2, ,
a x x x bM� � � � �0 1 1
� ; c y y y dM� � � � �0 1 2
� .
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â ðåçóëüòàòå D ðàçîáüåòñÿ íà ïðÿìîóãîëüíèêè
R x x y y Di j i i j j, [ , ] [ , ]�
�� �1 1
èëè ÷åòûðåõóãîëüíèêè
R x x y y x Di j i i j j,
( )
[ , ] [ , ( )]
1
1 1�
�� � , R x x y x y Di j i i j j,
( )
[ , ] [ ( ), ]
2
1 1�
�� � ,
R x y x y y Di j i i j j,
( )
[ ( ), ] [ , ]
3
1 1�
�� � , R x x y y y Di j i i j j,
( )
[ , ( )] [ , ]
4
1 1�
�� � ,
62 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1
â êîòîðûõ òðè ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû îñÿì êîîðäèíàò, à îäíà – êðèâîëèíåéíàÿ
ñòîðîíà, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ÷àñòüþ ãðàíèöû
îáëàñòè D . Êðîìå òîãî, ïîäîáëà-
ñòè, íà êîòîðûå ðàçáèâàåòñÿ îáëàñòü D , ìîãóò áûòü òðåóãîëüíèêàìè
T x y y y y xi j j j,
( )
{( , ) | , ( ),
1
1� � ��
d x
dx
j� �
�
1
0
( )
, x x xi i �1} ,
T x y y y y xi j j j,
( )
{( , ) | , ( ),
2
1� � ��
d x
dx
j� �
�
1
0
( )
, x x xi i �1} ,
T x y y y y xi j j j,
( )
{( , ) | , ( ),
3
1� � ��
d x
dx
j� �
�
1
0
( )
, x x xi i� 1 } ,
T x y y y y xi j j j,
( )
{( , ) | , ( ),
4
1� � ��
d x
dx
j� �
�
1
0
( )
, x x xi i� 1 } ,
â êîòîðûõ îäíà èç ñòîðîí ÿâëÿåòñÿ êðèâîëèíåéíîé ÷àñòüþ ãðàíèöû
.
Èçëîæèì îáùèé àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ îïåðàòîðà O f x y C DD
r( , ) ( )� , êîòî-
ðûé èíòåðëèíèðóåò ôóíêöèþ f x y( , ) íà ëèíèÿõ ðåêòàíãóëÿöèè x x k Mk� �, ,1 ,
y yl� , � �1, N , è óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ O f x yD ( , ) � 0 , ( , )x y �
. Ñôîðìóëèðó-
åì àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ îïåðàòîðà O f x yD ( , ) ïî øàãàì.
Øàã 1. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé � i s y, ( ) , � j p x, ( ) ,
i M� 0 1, , j M� 0 2, , s p r, ,� 0 , ÿâëÿþòñÿ ñëåäàìè íåèçâåñòíîé ôóíêöèè f x y( , ) è
åå ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ íà ëèíèÿõ x x i� , i M�1, , è y y j� , j N�1, , ñîîòâå-
òñòâåííî è âõîäÿò â îïåðàòîðû èíòåðëèíàöèè OR f x yi j, ( , ) äëÿ ôóíêöèè f x y( , ) íà
ïðÿìîóãîëüíèêàõ è â îïåðàòîðû èíòåðëèíàöèè OT f x yi j, ( , ) äëÿ ôóíêöèè f x y( , )
íà òðåóãîëüíèêàõ.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ôóíêöèþ O f x yD ( , ) , êîòîðàÿ áóäåò òî÷íî
ðàâíîé íóëþ íà ãðàíèöå
îáëàñòè D . Ñëåäû íåèçâåñòíîé ôóíêöèè O f x yD ( , ) è åå
ïðîèçâîäíûå � i s y, ( ) , � j p x, ( ) â óçëîâûõ òî÷êàõ äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèÿì
� �f Ri j s p, , , : � �i s
p
j j p
s
i i j s py x f,
( )
,
( )
, , ,( ) ( )� � , i M�1, , j N�1, ; s p r, ,� 0 , (1)
� i s
s
D
s iy
O f
x
x y, ( ) ( , )�
�
�
, i M�1, ,
� j p
p
D
p jx
O f
y
x y, ( ) ( , )�
�
�
, j N�1, ; s p r, ,� 0 .
(2)
Øàã 2. Ïîëîæèì
O f x y O f x y f
OR f x y x y
D D i j s p
i j i
( , ) ( , ,{ })
( , ), ( , )
, , ,
, ,
� �
� � j
i j i jOT f x y x y T
x y
,
( , ), ( , ) ,
, ( , ) .
, ,�
�
�
�
�
�
�0
Øàã 3. Ïîäñòàâëÿåì â ôîðìóëó O f x yD ( , ) íóëè âìåñòî ñëåäîâ ôóíêöèè
f x y( , ) â òî÷êàõ ãðàíèöû ( , )x y �
.
Øàã 4. Íåèçâåñòíûå ôóíêöèè � i s y, ( ) , � j p x, ( ) , i M�1, , j N�1, , 0 s p n, ,
çàìåíÿåì èíòåðïîëÿöèîííûìè ïîëèíîìàìè èëè ñïëàéíàìè s yi s2 , ( ) , s xj p1 , ( ) ,
i M�1, , j N�1, , 0 s , p r , ñîîòâåòñòâóþùåé ñòåïåíè ñ îáåñïå÷åíèåì âûïîëíå-
íèÿ óñëîâèé (1), à òàêæå óñëîâèÿ
O f x y C DD
r( , ) ( )� , r � 1, (3)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1 63
è óñëîâèÿ
O f x yD ( , ) � 0 , ( , )x y �
(4)
è âûáèðàåì íåèçâåñòíûå ïîñòîÿííûå { }f k s p, , ,� èç óñëîâèÿ ìèíèìóìà ôóíêöèîíàëà
J f x y O x y f dxdyD i j s p
fi j s p
( ) ( ( , ) ( , , )) min, , ,
, , ,
� � ��
{ } 2
D
�� ,
ãäå �
( , )x y � 0 – íîðìàëüíîå óðàâíåíèå êðèâîé
, èëè óðàâíåíèå êðèâîé
,
ïîñòðîåííîå ñ ïîìîùüþ R-ôóíêöèé.
Òåîðåìà 1. Ñóùåñòâóþò ôóíêöèè � �i s j py x, ,( ), ( ) , i M�1 1, , j M�1 2, , 0 s ,
p r , ïîñòîÿííûå f i j s p, , , , êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì (1), (2), à òàêæå îïå-
ðàòîð O f x yD ( , ) , îïðåäåëåííûé âûøå, óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèÿì
�
�
�
�
� �
�
s
D
s
x x
i s
O x y
x
y
i
( , )
( ),� , i M�1 1, ; s r� 0, ,
�
�
�
�
� �
�
p
D
p
y y
j p
O x y
y
x
j
( , )
( ),� , j M�1 2, ; p r� 0, ,
è óñëîâèÿì (3), (4) íåçàâèñèìî îò âûáîðà ïîñòîÿííûõ f i j s p, , , è ôóíêöèé
� i s y, ( ) , � j p x, ( ) â äðóãèõ òî÷êàõ.
Äîêàçàòåëüñòâî âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿ (3) ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî â êàæäîì ýëåìåí-
òå ðàçáèâêè Ï i j, , Ti j, ôóíêöèÿ O f x yD ( , ) ðàâíà ôóíêöèè, ïîñòðîåííîé ñ ïîìîùüþ
èíòåðëèíàöèè, êîòîðàÿ èìååò íà ãðàíèöå ñ ñîñåäíèìè ýëåìåíòàìè îäèíàêîâûå ñëå-
äû è îäèíàêîâûå ñëåäû ïðîèçâîäíûõ äî ïîðÿäêà r âêëþ÷èòåëüíî.
Äîêàçàòåëüñòâî âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿ (4) ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî â ïðèãðàíè÷íûõ
ýëåìåíòàõ ðàçáèâêè â ñîîòâåòñòâóþùèõ ôîðìóëàõ èíòåðëèíàöèè ïîëîæåíû ñëåäû
ôóíêöèè, ðàâíûå íóëþ.
Íåÿâíûå óðàâíåíèÿ ïîâåðõíîñòåé. Â ðàáîòàõ Î.Í. Ëèòâèíà è Ë.È. Ãóëèê
(íàïðèìåð, [8]) ïðåäëîæåí ìåòîä òî÷íîãî óäîâëåòâîðåíèÿ ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì
(âîîáùå ãîâîðÿ, íåîäíîðîäíûì) íà ãðàíèöàõ òðåõìåðíûõ îáëàñòåé ñîñòàâíîé ôîð-
ìû, îãðàíè÷åííûõ ÷àñòÿìè èçâåñòíûõ ïîâåðõíîñòåé. Ýòîò ìåòîä ïðèìåíèì ïðè ïî-
ñòðîåíèè íåÿâíûõ óðàâíåíèé ïîâåðõíîñòåé ñîñòàâíîé ôîðìû.
Îïèøåì àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè O x y z C GG
r( , , ) ( )� , êîòîðàÿ âõîäèò
â óðàâíåíèå O x y zG ( , , ) � 0 — ãðàíèöû �G òðåõìåðíîé îáëàñòè G R� 3 , îãðàíè-
÷åííîé ÷àñòÿìè èçâåñòíûõ ïîâåðõíîñòåé. Àëãîðèòì öåëåñîîáðàçíî ðàçáèòü íà
øàãè. Íå óìåíüøàÿ îáùíîñòè, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî G a b a b a b�
[ , ] [ , ] [ , ]1 1 2 2 3 3 .
Øàã 1. Ðàçîáüåì îáëàñòü G íà ïîäîáëàñòè ïëîñêîñòÿìè x x i mi� �, ,0 1 ;
y y j mj� �, ,0 2 ; z z k� , k m� 0 3, , ïàðàëëåëüíûìè êîîðäèíàòíûì,
a x x x bm1 0 1 11
� � � � �� ; a y y y bm2 0 1 22
� � � � �� ;
a z z3 0 1� � � � � �z bm3 3 .
Èññëåäóåì ïîäîáëàñòè ñëåäóþùèõ òèïîâ:
— ïàðàëëåëåïèïåäû � ijk i i j j k kx x y y z z�
� � �[ , ] [ , ] [ , ]1 1 1 ;
— ïàðàëëåëåïèïåäû
~
[ , ] [ , ] [ , ( , )]� ijk i i j j k kx x y y z z x y�
� � �1 1 1 ñ îäíîé êðè-
âîëèíåéíîé ãðàíüþ, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ÷àñòüþ ãðàíèöû �G îáëàñòè G ; òàêèõ ïàðàë-
ëåëåïèïåäîâ äëÿ êàæäîé òî÷êè A x y zi j k i j k, , ( , , ) ìîæåò áûòü øåñòü (ïðè îïðåäå-
64 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1
ëåííîì ðàçìåùåíèè êðèâîëèíåéíîé ãðàíè);
— ïèðàìèäû (ñèìïëåêñû) Tijk ñ îäíîé êðèâîëèíåéíîé ãðàíüþ, êîòîðàÿ ÿâëÿåò-
ñÿ ÷àñòüþ ãðàíèöû �G îáëàñòè G ; òàêèõ ïèðàìèä äëÿ êàæäîé ïðèãðàíè÷íîé òî÷êè
Ai j k, , ìîæåò áûòü âîñåìü (ïðè îïðåäåëåííîì ðàçìåùåíèè êðèâîëèíåéíîé ãðàíè),
íàïðèìåð,
T x y x x x
i j k i i, ,
( )
{( , )
1
1� � , y y xj j �� 1( ) , � ��� j x1 0( ) , z z z x yk k �1( , )} ,
T x y x x x
i j k i i, ,
( )
{( , )
2
1� � , y y xj j �� 1( ) , � ��� j x1 0( ) , z x y z zk k( , ) �1} ;
— öèëèíäðè÷åñêàÿ îáëàñòü C i j k, , , áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü êîòîðîé ñîñòîèò èç
äâóõ ãðàíåé: ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ïëîñêîñòåé, ïàðàëëåëüíûõ ñîîòâåòñòâóþùèì äâóì
êîîðäèíàòíûì ïëîñêîñòÿì, è îäíîé êðèâîëèíåéíîé ãðàíè, ÿâëÿþùåéñÿ ÷àñòüþ ãðà-
íèöû. Äâå îñíîâû çàäàþòñÿ ïëîñêîñòÿìè, ïàðàëëåëüíûìè òðåòüåé êîîðäèíàòíîé
ïëîñêîñòè. Òàêèõ öèëèíäðîâ äëÿ êàæäîé ïðèãðàíè÷íîé òî÷êè Ai j k, , ìîæåò áûòü
âîñåìü, è îòëè÷àþòñÿ îíè ðàçìåùåíèåì êðèâîëèíåéíîé ãðàíè. Íàïðèìåð,
C x y z
i j k, ,
( )
( , , ):
1 � { x x xi i �1 ; y y y xj j �1( ) , y x yj i j� ��1 1( ) ,
y x yj j j� � ��1 1 1( ) ; z z zk k �1} ;
C x y z
i j k, ,
( )
( , , ):
2 � { x x xi i �1 ; y x y yj j( ) �1 ,
y x yj i j( ) � , y x yj i j( )� �1 , z z zk k �1} .
Äîïóñòèì, ÷òî u x y z C Gr r r( , , ) ( ), ,� — íåêîòîðàÿ íåèçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ è
u x y z( , , ) � 0 , ( , , )x y z G� � , gradu x y z( , , ) � 0 , ( , , )x y z G� � .
Ïóñòü u y z u x y zi s
s
i,
( , , )( , ) ( , , )� 0 0 , v x z u x y zj p
p
j,
( , , )( , ) ( , , )� 0 0 ,
w x yk q, ( , ) � � u x y zq
k
( , , )( , , )0 0 , i M� 0 1, , j M� 0 2, , k M� 0 3, ; 0 s p q r, , , —
ñëåäû ôóíêöèè íà ïëîñêîñòÿõ x x i� , y y j� , z z k� ñîîòâåòñòâåííî. Ýòè ñëåäû
(íåèçâåñòíûå) äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü â òî÷êàõ ïåðåñå÷åíèÿ òðåõ ïëîñêîñòåé
( , , )x y zi j k ëèáî íà ëèíèÿõ ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ èç óêàçàííûõ ïëîñêîñòåé óñëîâèÿì
Ñ.Ì. Íèêîëüñêîãî. Ýòè óñëîâèÿ íåîáõîäèìû è äîñòàòî÷íû äëÿ òîãî, ÷òîáû íàïè-
ñàííûå âûøå ñëåäû îáåñïå÷èâàëè âêëþ÷åíèå u x y z C Gr r r( , , ) ( ), ,� .
Øàã 2. Ñòðîèì èíòåðôëåòàíòû ÷åòûðåõ òèïîâ:
O x y zijk� ( , , ) , ( , , )x y z ijk� � , O x y zijk
~
( , , )� , ( , , )
~
x y z ijk� � ,
OTijk , ( , , )x y z Tijk� , OC x y zijk ( , , ) , ( , , )x y z C ijk� ñî ñâîéñòâàìè
�
�
�
�
�
p
p ijk
p
pt
O x y z
t
u x y z� ( , , ) ( , , ) , ( , , )x y z ijk� �� , t x y z� { }, , ,
�
�
�
�
�
p
p ijk
p
pt
O x y z
t
u x y z
~
( , , ) ( , , )� , ( , , )
~
x y z ijk� �� , t x y z� { }, , ,
�
�
�
�
�
p
p ijk
p
pt
OT x y z
t
u x y z( , , ) ( , , ) , ( , , )x y z Tijk� � , t x y z� { }, , ,
�
�
�
�
�
p
p ijk
p
pt
OC x y z
t
u x y z( , , ) ( , , ) , ( , , )x y z C ijk� � , t x y z� { }, , ,
0 p r .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1 65
Øàã 3. Ñòðîèì îïåðàòîð Ou â âèäå
O u x y z
O x y z x y z
O x y z
G
ijk ijk
ijk
( , , )
( , , ), ( , , )
~
( , , )
,
�
�� �
� , ( , , )
~
,
( , , ), ( , , )
( ,
,
x y z
OT x y z x y z T
OC x y
ijk
ijk ijk
ijk
�
�
�
, ), ( , , ) .z x y z C ijk�
�
�
�
�
�
�
�
Òåîðåìà 2. Äëÿ êàæäîé ôóíêöèè u x y z C Gr r r( , , ) ( ), ,� , r � 0 1, ,� , îïåðàòîð
Ou x y z( , , ) èìååò ñâîéñòâà
Ou x y z C G u x y z C Gr r r r r r( , , ) ( ) ( , , ) ( ), , , ,� � � ,
Ou x y z u x y z( , , ) ( , , )� , ( , , )x y z G� � ,
�
�
�
�
�
p
p
p
pt
Ou x y z
t
u x y z( , , ) ( , , ) , ( , , )x y z GXYZ� , t x y z� { }, , , p r� 0, ,
GXYZ x y z x x i� �{( , , ): , i M� 0 1, ; y y j� , j M� 0 2, ; z z k� , k M� 0 3, } .
Òàêèì îáðàçîì, îïåðàòîðû Ou x y z( , , ) è èõ íåñìåøàííûå ïðîèçâîäíûå äî ïîðÿä-
êà r ñîâïàäàþò ñ ôóíêöèåé u x y z( , , ) è åå íåñìåøàííûìè ïðîèçâîäíûìè äî ïî-
ðÿäêà r íà ïëîñêîñòÿõ x x i� , i M� 0 1� ; y y j� , j M� 0 2� ; z z k� ,
k M� 0 3� , è íà ãðàíèöå �G òðåõìåðíîé îáëàñòè G . Åñëè ñòðîèì óðàâíåíèå
ïîâåðõíîñòè �G â âèäå O f x y zG ( , , ) � 0 , òî â ôîðìóëå O f x y zG ( , , ) ñëåäû ôóíê-
öèè O f x y zG ( , , ) íà ãðàíèöå �G ñëåäóåò ïîëîæèòü ðàâíûìè íóëþ. Â ðåçóëüòàòå
ïîëó÷èì ôîðìóëó O u x y zG ( , , ) , êîòîðàÿ òî÷íî óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ
O u x y zG ( , , ) � 0 , ( , , )x y z G� � íåçàâèñèìî îò âûáîðà ñëåäîâ, êîòîðûå äîëæíû
óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèÿì
u y z
f
x
i s
p
p
x xi
, ( , ) �
�
�
�
�
�
�
, v x z
f
y
j p
q
q
y yi
, ( , ) �
�
�
�
�
�
�
, w x y
f
z
k q
s
s
z zk
, ( , ) �
�
�
�
�
�
�
,
�
�
�
�
�� �
�
p
i s
p
y y
u y z
y
j
, ( , ) �
�
�
�
��
�
s
j p
s
x x
v x z
x
i
, ( , )
,
�
�
�
�
�� �
�
�
�
�
��
� �
q
i s
q
z z
s
k q
s
x x
u y z
z
w x y
x
k i
, ,( , ) ( , )
,
�
�
�
�
�� �
�
�
�
�
��
� �
q
i p
q
z z
p
k q
p
y y
v x z
z
w x y
y
k j
, ,( , ) ( , )
,
�
� �
�
�
�� �
�
� �
�
� �
�q s
i s
q s
y y z z
p s
jq
p
u y z
y z
v x z
x z
j k
,
,
( , ) ( , )
s
x x z zi k
�
�
��
� �,
,
0 s p q r, , ;
u y zi s, ( , ) � 0 , (( , , ) )x y z Gi � � ; v x zj p, ( , ) � 0 , (( , ) ),x y z Gj � � ;
w x yk q, ( , ) � 0 , (( , , ) )x y z Gk � � .
Ñëåäû u i s, , v j p, , wk q, ÿâëÿþòñÿ íåèçâåñòíûìè. Èõ âûáîð ìîæåò áûòü ïîä÷è-
íåí íåêîòîðîìó êðèòåðèþ. Áóäåì òðåáîâàòü, ÷òîáû ýòîò âûáîð óäîâëåòâîðÿë
óñëîâèþ
( ( , , ) ( , , )) min
, , ,, ,
� x y z O u x y z dxdydzG
G
u v wi s j p k q
� ���� 2 ,
66 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1
ãäå �( , , )x y z � 0 — íîðìàëüíîå óðàâíåíèå ãðàíèöû îáëàñòè G , èëè óðàâíåíèå
ãðàíèöû �G îáëàñòè G , ïîñòðîåííîå ñ ïîìîùüþ R-ôóíêöèé.
Ïðèìåð 1. Ïðèìåíèì ðàññìîòðåííóþ âûøå òåîðèþ äëÿ ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè
f x y z( , , ) , êîòîðàÿ â òî÷êàõ ãðàíèöû êâàäðàòà [ , ] [ , ]x x y y0 1 0 1
ðàâíà íóëþ è ÿâëÿ-
åòñÿ äèôôåðåíöèðóåìîé âî âñåõ òî÷êàõ ôóíêöèåé äâóõ ïåðåìåííûõ. Ôóíêöèÿ ÿâëÿ-
åòñÿ ñðåäíåêâàäðàòè÷íûì ïðèáëèæåíèåì ê ôóíêöèè �( , )x y , ïðè ýòîì �( , )x y � 0
— óðàâíåíèå ãðàíèöû êâàäðàòà, ïîñòðîåííîé ñ ïîìîùüþ R-ôóíêöèé. Ïîñòðîåíèå
ãðàíèöû êâàäðàòà ïðîâîäèëîñü â ñðåäå ïðîãðàììû MathCAD.
Íà ðèñ. 1, à èçîáðàæåí ãðàôèê ôóíêöèè F x y dap ( , , ) , êîòîðàÿ èìååò íåïðåðûâ-
íûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ïåðâîãî ïîðÿäêà è â êîòîðîé âåêòîð ïàðàìåòðîâ d íàé-
äåí èç óñëîâèÿ íàèëó÷øåãî ñðåäíåêâàäðàòè÷íîãî ïðèáëèæåíèÿ ê ôóíêöèè �( , )x y ,
ïîñòðîåííîé ñ ïîìîùüþ R-ôóíêöèé.
Íà ðèñ. 1, á èçîáðàæåí ãðàôèê ôóíêöèè �( , )x y , ïîñòðîåííîé ñ ïîìîùüþ
R-ôóíêöèé. Ôóíêöèÿ �( , )x y íå èìååò íåïðåðûâíûõ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïåðâîãî
ïîðÿäêà â óãëîâûõ òî÷êàõ.
Çàêëþ÷åíèå. Ðàññìîòðåí îáùèé ìåòîä ïîñòðîåíèÿ óðàâíåíèé êðèâûõ ñîñòàâ-
íîé ôîðìû â íåÿâíîì âèäå
: ( , )O x yD � 0 , êîòîðûé èñïîëüçóåò èíòåðëèíàöèþ
ôóíêöèé. Ïðè ýòîì O x yD ( , ) � 0 , ( , )x y D� ; O x y C DD
r( , ) ( )� , r �12, ,� Ôóíêöèÿ
O x yD ( , ) ÿâëÿåòñÿ íàèëó÷øèì ñðåäíåêâàäðàòè÷íûì ïðèáëèæåíèåì ê ôóíêöèè
�( , ) ( )x y C D� , êîòîðàÿ âõîäèò â íîðìàëüíîå óðàâíåíèå ýòîé êðèâîé Ã èëè â óðàâ-
íåíèå, ïîñòðîåííîå ñ ïîìîùüþ R-ôóíêöèé.
Ïðåäëîæåí îáùèé ìåòîä ïîñòðîåíèÿ íåÿâíûõ óðàâíåíèé O x y zG ( , , ) � 0 ïî-
âåðõíîñòåé ñîñòàâíîé ôîðìû ñ èñïîëüçîâàíèåì èíòåðôëåòàöèè ôóíêöèé. Ôóíêöèÿ
O x y z C GG
r( , , ) ( )� , r � 1, ÿâëÿåòñÿ íàèëó÷øèì ñðåäíåêâàäðàòè÷íûì ïðèáëèæåíè-
åì ê ôóíêöèè f x y z C G( , , ) ( )� , êîòîðàÿ âõîäèò â íîðìàëüíîå óðàâíåíèå �G, èëè
ê ôóíêöèè f x y z( , , ) � 0 , ( , , )x y z G� � , ïîñòðîåííîé ñ ïîìîùüþ R-ôóíêöèé.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ñ å ð ã è å í ê î È .  . , Ë è ò â è í Î . Í . Ìåòîäû âû÷èñëåíèé, îðèåíòèðîâàííûå íà ñîâðåìåííûå
êîìïüþòåðíûå òåõíîëîãèè // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2007. — ¹ 1. — Ñ. 56–72.
2. Ñ í è ã è ð å â  . Ô . Ê çàäà÷å àíàëèòè÷åñêîãî ïîñòðîåíèÿ ïîâåðõíîñòåé ëåòàòåëüíûõ àïïàðàòîâ // Èçâ.
âóçîâ. Àâèàöèîííàÿ òåõíèêà. — 1983. — ¹ 4. — Ñ. 100–102.
3. Ñ í è ã è ð å â Â . Ô . Ïðèìåíåíèå ôóíêöèîíàëüíûõ ñïëàéíîâ äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïîâåðõíîñòåé ëåòà-
òåëüíûõ àïïàðàòîâ // Òàì æå. — 1984. — ¹ 4. — Ñ. 77–80.
4. Ð â à ÷ å â  . Ë . Òåîðèÿ R-ôóíêöèé è íåêîòîðûå åå ïðèëîæåíèÿ. — Ê.: Íàó÷íàÿ ìûñëü, 1986. — 555 ñ.
5. Ë è ò â è í Î . Ì . ²íòåðë³íàö³ÿ ôóíêö³é ³ äåÿê³ ¿¿ çàñòîñóâàííÿ. — Õàðê³â: Îñíîâà, 2002. — 544 ñ.
6. Ë è ò â è í Î . Ì . Ìåòîäè îá÷èñëåíü. Äîäàòêîâ³ ðîçä³ëè. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 2005. — 333 ñ.
7. Ë è ò â è í Î . Ì . ²íòåðë³íàö³ÿ òà ³íòåðôëåòàö³ÿ ôóíêö³é ³ ñòðóêòóðíèé ìåòîä Â.Ë. Ðâà÷îâà //
Ìàòåìàòè÷í³ ìåòîäè ³ ô³çèêî-ìåõàí³÷í³ ïîëÿ. — 2007. — 50, ¹ 4. — Ñ. 25–35.
8. Ã ó ë è ê Ë . È . , Ë è ò â è í Î . Í . Èíòåðôëåòàöèÿ ôóíêöèé òðåõ ïåðåìåííûõ íà ïèðàìèäå ñ îäíîé
êðèâîëèíåéíîé ãðàíüþ // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2005. — ¹ 6. — Ñ. 32–49.
Ïîñòóïèëà 10.09.2010
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1 67
Ðèñ. 1. Ãðàôèêè ôóíêöèè F x y d C Gap ( , , ) ( )� 1 (à) è ôóíêöèè �( , ) ( )x y C D� (á)
a á
|