Методы получения достоверных решений систем линейных алгебраических уравнений
Розглянуто в загальному випадку несумісні системи лінійних алгебраїчних рівнянь з матрицями довільного рангу. Для всіх розглянутих випадків одержано оцінки повної похибки в умовах наближених вихідних даних. Під час розв'язування систем ітераційними методами детально вивчено умови закінчення іте...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72203 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Методы получения достоверных решений систем линейных алгебраических уравнений / И.В. Сергиенко, А.Н. Химич, М.Ф. Яковлев // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — № 1. — С. 68-80. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859585103398699008 |
|---|---|
| author | Сергиенко, И.В. Химич, А.Н. Яковлев, М.Ф. |
| author_facet | Сергиенко, И.В. Химич, А.Н. Яковлев, М.Ф. |
| citation_txt | Методы получения достоверных решений систем линейных алгебраических уравнений / И.В. Сергиенко, А.Н. Химич, М.Ф. Яковлев // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — № 1. — С. 68-80. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Розглянуто в загальному випадку несумісні системи лінійних алгебраїчних рівнянь з матрицями довільного рангу. Для всіх розглянутих випадків одержано оцінки повної похибки в умовах наближених вихідних даних. Під час розв'язування систем ітераційними методами детально вивчено умови закінчення ітераційних процесів, що забезпечують одержання розв'язків із заданою точністю. Особливу увагу приділено розв'язуванню несумісних систем з симетричними додатно напіввизначеними матрицями за допомогою методу триетапної регуляризації, в якому запропоновано алгоритм вибору параметра регуляризації, що дозволяє знайти розв'язок задачі з необхідною точністю.
|
| first_indexed | 2025-11-27T10:07:54Z |
| format | Article |
| fulltext |
68 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1
ÓÄÊ 519.6 + 518:512.25
È.Â. ÑÅÐÃÈÅÍÊÎ, À.Í. ÕÈÌÈ×, Ì.Ô. ßÊÎÂËÅÂ
ÌÅÒÎÄÛ ÏÎËÓ×ÅÍÈß ÄÎÑÒÎÂÅÐÍÛÕ ÐÅØÅÍÈÉ ÑÈÑÒÅÌ
ËÈÍÅÉÍÛÕ ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ïðèáëèæåííûå èñõîäíûå äàííûå, íåñîâìåñòíûå ñèñòåìû,
ïîëíàÿ ïîãðåøíîñòü ðåøåíèé, èòåðàöèîííûå ìåòîäû.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Ðàçíîîáðàçíûå ôèçè÷åñêèå ïðîöåññû è ÿâëåíèÿ, êîòîðûå âñåñòîðîííå èçó÷àþòñÿ
ñ ïîìîùüþ èõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé äëÿ âûÿâëåíèÿ íîâûõ ñâîéñòâ, çàêîíîìåðíîñ-
òåé è êà÷åñòâ, à òàêæå ðàñ÷åò íàïðÿæåííî-äåôîðìèðîâàííîãî ñîñòîÿíèÿ óçëîâ è èçäå-
ëèé, ôèçè÷åñêèõ ïîëåé, ñèíòåç íîâûõ ìàòåðèàëîâ, èñïîëüçóþùèõñÿ ïðè ïðîåêòèðîâà-
íèè è ïîñòðîåíèè óñòàíîâîê, êîíñòðóêöèé, ñîîðóæåíèé, ÷àñòî òåì èëè èíûì ñïîñî-
áîì ñâîäÿòñÿ ê ðåøåíèþ ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé (ÑËÀÓ)
ñ ðàçëè÷íûìè òèïàìè ìàòðèö. Áîëåå òîãî, ÷èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå íåëèíåéíûõ
ïðîöåññîâ ðåàëèçóåòñÿ, êàê ïðàâèëî, ïîñòðîåíèåì íåêîòîðîãî ñõîäÿùåãîñÿ ðÿäà ëè-
íåéíûõ ìîäåëåé, ïðè ðàñ÷åòå êîòîðûõ òàêæå èñïîëüçóåòñÿ ðåøåíèå ÑËÀÓ. Ïðè ýòîì
ÑËÀÓ èìåþò ïðèáëèæåííûå çíà÷åíèÿ ýëåìåíòîâ ìàòðèö è êîìïîíåíò âåêòîðîâ ïðà-
âûõ ÷àñòåé. Ýòî îáóñëîâëåíî òåì, ÷òî âõîäíûå äàííûå ïîëó÷àþòñÿ ñ ïîìîùüþ êà-
êèõ-ëèáî èçìåðåíèé èëè â ðåçóëüòàòå ïðåäâàðèòåëüíûõ ðàñ÷åòîâ.
Õàðàêòåðíûì ñâîéñòâîì ðàññìàòðèâàåìûõ çàäà÷ â òàêîé ïîñòàíîâêå ÿâëÿåòñÿ
òî, ÷òî èõ ñâîéñòâà àïðèîðè íåèçâåñòíû. Â ïðåäåëàõ çàäàííîãî óðîâíÿ ïîãðåøíî-
ñòè ýëåìåíòîâ ìàòðèöû è âåêòîðà ïðàâîé ÷àñòè ñèñòåìû ìîãóò áûòü ñîâìåñòíûìè
èëè íåñîâìåñòíûìè, çàäà÷è — êîððåêòíî ïîñòàâëåííûìè èëè íåêîððåêòíî, è â òî
æå âðåìÿ õîðîøî èëè ïëîõî îáóñëîâëåííûìè. Ïðîáëåìà ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû â ìà-
øèííîé ñðåäå èññëåäîâàòü ñâîéñòâà ðåøàåìîé çàäà÷è, ñôîðìèðîâàòü àëãîðèòì ïî-
ëó÷åíèÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ è îöåíèòü åãî äîñòîâåðíîñòü.
Çàâèñèìîñòü ïîãðåøíîñòè ðåøåíèé îò ñâîéñòâ ðåøàåìûõ çàäà÷ ðàññìàòðèâàëàñü
â ðàáîòàõ [1–6] è äð. Íà îñíîâå îïðåäåëåííûõ ñâîéñòâ çàäà÷ ñòðîèëèñü ðàçëè÷íûå ìå-
òîäû ïîëó÷åíèÿ èõ ðåøåíèÿ. Íàïðèìåð, ðàáîòà [2] ïîñâÿùåíà ìåòîäó ðåãóëÿðèçàöèè
À.Í. Òèõîíîâà ïîèñêà ðåøåíèÿ íåêîððåêòíî ïîñòàâëåííûõ çàäà÷, à â [7] ðàññìàòðèâà-
åòñÿ àíàëèòè÷åñêèé ñïîñîá âû÷èñëåíèÿ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö.  [8, 9] ïðåäëîæåíû
ïðÿìûå è èòåðàöèîííûå ìåòîäû íàõîæäåíèÿ ïñåâäîðåøåíèé. Â íàñòîÿùåé ðàáîòå èñ-
ñëåäóåòñÿ òî÷íîñòü ðåøåíèé, ïîëó÷àåìûõ ïðÿìûìè è èòåðàöèîííûìè ìåòîäàìè
â óñëîâèÿõ ïðèáëèæåííûõ èñõîäíûõ äàííûõ, â çàâèñèìîñòè îò ìàòåìàòè÷åñêèõ
ñâîéñòâ ðåøàåìîé çàäà÷è, êàê äëÿ êîððåêòíî ïîñòàâëåííûõ, òàê è íåêîððåêòíûõ çàäà÷.
ÑËÀÓ Ñ ÍÅÂÛÐÎÆÄÅÍÍÛÌÈ ÌÀÒÐÈÖÀÌÈ
Ðàññìîòðèì ñèñòåìó óðàâíåíèé ñ òî÷íûìè èñõîäíûìè äàííûìè
Àõ b� (1)
è íåêîòîðóþ ñèñòåìó ñ ïðèáëèæåííûìè èñõîäíûìè äàííûìè
Ax b� . (2)
Ïóñòü det( )A � 0 è äëÿ ïîãðåøíîñòåé ýëåìåíòîâ ìàòðèöû è êîìïîíåíò âåêòîðà
ïðàâîé ÷àñòè âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ:
�A A A� � , �b b b� � , | | | | | | | | , | | | | | | | |� �A A b bA b� �� � . (3)
Êðîìå òîãî, ïóñòü âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî H A A� ��| | | | | | | |� 1 1 . Çäåñü H —
îáóñëîâëåííîñòü ìàòðèöû. Ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî ãàðàíòèðóåò, ÷òî ïðè ëþáûõ
âàðèàöèÿõ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû, ïðîâîäÿùèõñÿ â ðàìêàõ óêàçàííûõ ãðàíèö, ìàò-
ðèöà íå ñòàíåò âûðîæäåííîé.
© È.Â. Ñåðãèåíêî, À.Í. Õèìè÷, Ì.Ô. ßêîâëåâ, 2011
Ïðèâåäåì íåîáõîäèìûå â äàëüíåéøåì îïðåäåëåíèÿ.
Îïðåäåëåíèå 1. Íåâûðîæäåííîé â ïðåäåëàõ òî÷íîñòè çàäàíèÿ èñõîäíûõ äàí-
íûõ áóäåì ñ÷èòàòü íåâûðîæäåííóþ ìàòðèöó, êîòîðàÿ íå ìîæåò ñòàòü âûðîæäåííîé
â îáëàñòè �A èçìåíåíèÿ åå ýëåìåíòîâ.
Îïðåäåëåíèå 2. Ìàøèííî-íåâûðîæäåííîé áóäåì ñ÷èòàòü ìàòðèöó, êîòîðàÿ íå ìî-
æåò ñòàòü âûðîæäåííîé ïðè èçìåíåíèè åå ýëåìåíòîâ â ïðåäåëàõ ìàøèííîé òî÷íîñòè.
Àëãîðèòì ìàøèííîãî èññëåäîâàíèÿ êîððåêòíîñòè ñâîäèòñÿ ê ïðîâåðêå äâóõ
ñîîòíîøåíèé:
1 0 1 0 1, , , ( ) ; (� � � �� � �H A H AA ) < 1.
Ïåðâîå óñëîâèå, âûïîëíÿþùååñÿ â àðèôìåòèêå ñ ïëàâàþùåé çàïÿòîé, îçíà÷à-
åò, ÷òî ìàòðèöà ìàøèííî-íåâûðîæäåíà, âòîðîå — ÷òî îíà íåâûðîæäåíà â ïðåäåëàõ
òî÷íîñòè çàäàíèÿ èñõîäíûõ äàííûõ.
Ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ ðåøåíèå ìàøèííîé çàäà÷è ñóùåñòâóåò, åäèíñòâåííî è
óñòîé÷èâî. Òàêóþ ìàøèííóþ çàäà÷ó ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü êàê êîððåêòíî ïîñòàâ-
ëåííóþ â ïðåäåëàõ òî÷íîñòè çàäàíèÿ èñõîäíûõ äàííûõ.
 ïðîòèâíîì ñëó÷àå ìàòðèöà ñèñòåìû ìîæåò îêàçàòüñÿ ìàòðèöåé íåïîëíîãî
ðàíãà è, ñëåäîâàòåëüíî, ìàøèííóþ ìîäåëü çàäà÷è (2), (3) íóæíî ðàññìàòðèâàòü êàê
íåêîððåêòíî ïîñòàâëåííóþ.
 [10] ïîëó÷åíû îöåíêè òî÷íîñòè ðåøåíèÿ ñèñòåìû (1) â çàâèñèìîñòè îò òî÷-
íîñòè çàäàíèÿ èñõîäíûõ äàííûõ:
| | | |
| | | |
( )
| | | | | | | |
x x
x
H
A A
A b�
�
�
� �
� �
1 1�
,
| | | |
| | | |
( )x x
x
H A b
b
�
�
�
�
� �
�1
. (4)
Åñëè äëÿ âåêòîðà u, ïîëó÷åííîãî ëþáûì ìåòîäîì (íå îáÿçàòåëüíî ïðÿìûì èëè
èòåðàöèîííûì) è ïðèáëèæàþùåãî ðåøåíèå ñèñòåìû (2), âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
| | | |
| | | |
| | | |
| | | | | | | | | | | |
r
b
Au b
b A A
�
�
�
�
�
1
, (5)
òî îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü ïîëó÷åííîãî ðåøåíèÿ îöåíèâàåòñÿ ôîðìóëîé
| | | |
| | | |
u x
x
�
� �.
(6)
Çäåñü è äàëåå | | | | ( , )x x x� , | | | |A — íîðìà ìàòðèöû, ïîä÷èíåííàÿ âåêòîðíîé íîð-
ìå, ( , )x x — ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ.
Èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Òåîðåìà 1. Åñëè ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ÿâëåíèÿ èëè ïðîöåññà îïèñûâàåòñÿ
ÑËÀÓ ñ íåâûðîæäåííîé ñèììåòðè÷íîé ìàòðèöåé è ïðèáëèæåííî çàäàííûìè èñ-
õîäíûìè äàííûìè ñ ïîãðåøíîñòÿìè, óäîâëåòâîðÿþùèìè íåðàâåíñòâàì (3), òî ïîë-
íàÿ ïîãðåøíîñòü ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ îöåíèâàåòñÿ ôîðìóëîé
| | | |
| | | |
( )( )u x
x
H A b
b
�
� �
� �
�
�
� � �
�
1
1
.
(7)
Ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû èñïîëüçóåòñÿ òîò ôàêò, ÷òî äëÿ âåêòîðà u, ïîëó-
÷åííîãî ëþáûì ìåòîäîì, èìååò ìåñòî îöåíêà
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
u x
x
u x
x
x
x
x x
x
�
�
�
�
�
,
äëÿ || || / || | |x x ìîæíî èñïîëüçîâàòü íåðàâåíñòâî
| | | | | | | | (| | | | | | | | ) | | | | | | | | | | | |/ / /x x x x x x x x x� � � � � �1 ,
çàòåì ïðèìåíèòü íåðàâåíñòâà (4) è (6).
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1 69
Åñëè ìàòðèöà ñèñòåìû (2) ñèììåòðè÷íàÿ è ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííàÿ ñ ãðà-
íèöàìè ñïåêòðà (� � �� �1; � n ), òî âìåñòî íåðàâåíñòâà (5) ìîæíî èñïîëüçîâàòü
| | | |
| | | |
r
b
�
��
�
.
Îòìåòèì, ÷òî ïðè óñëîâèè íåâûðîæäåííîñòè ìàòðèöû A îöåíêà (6) ÿâëÿåòñÿ
îöåíêîé âû÷èñëèòåëüíîé ïîãðåøíîñòè ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ ñèñòåìû (2) íåçà-
âèñèìî îò ñïîñîáà åãî ïîëó÷åíèÿ.
ÓÑËÎÂÈß ÎÊÎÍ×ÀÍÈß ÈÒÅÐÀÖÈÎÍÍÛÕ ÏÐÎÖÅÑÑΠÐÅØÅÍÈß ÑËÀÓ
Ñ ÍÅÂÛÐÎÆÄÅÍÍÛÌÈ ÌÀÒÐÈÖÀÌÈ
Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ öåëåñîîáðàçíî ïîëó÷àòü ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå ñèñòåìû (2)
ñ ñèììåòðè÷íîé (A A� T, ãäå A T — òðàíñïîíèðîâàííàÿ ïî îòíîøåíèþ ê A ìàò-
ðèöà) è ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííîé ìàòðèöåé (A 0 èëè (Ax x, ) 0 ) èòåðàöèîí-
íûìè ìåòîäàìè. Çäåñü áóäóò ðàññìàòðèâàòüñÿ:
• êëàññ îäíîøàãîâûõ ìåòîäîâ âèäà
B
x x
Ax b x x
k k
k
k
( ) ( )
( ) ( ), ,
�
�
�
� � �
1
1
0
0
�
(8)
k � 0 1 2, , , ... — íîìåð èòåðàöèè (ê íèì îòíîñÿòñÿ, íàïðèìåð, ìåòîäû ïðîñòîé èòåðà-
öèè, ÷åáûøåâñêèé èòåðàöèîííûé — ìåòîä Ðè÷àðäñîíà, Ãàóññà–Çåéäåëÿ, âåðõíåé ðå-
ëàêñàöèè è äð.), ãäå B 0 è ïàðàìåòð � k�1 çàâèñÿò îò ïðèìåíÿåìîãî ìåòîäà;
• êëàññ äâóõøàãîâûõ ìåòîäîâ âèäà
Bx B A x Bxk
k k
k
k
k
k k
( ) ( ) ( )( ) ( )�
� � �
�
� �� � � � �1
1 1 1
1
1 11� � � � � b (9)
èëè
B
x x
x x
k k
k k
k
k k
k k
( ) ( )
( ) ( )( )
( )
�
� �
�
� �
��
�
�
�
1
1 1
1
1 1
11
� �
�
� �
�
�
�
�
�
�
� �Ax bk( ) (10)
ñ x x x x Ax b( ) ( ) ( ) ( ), ( ),0 1 0
0
0� � � �0 � k �1 2 3, , , ... — íîìåð èòåðàöèè; åñëè
� � �
1
0( , ) ( , ) ( , ), ,Bx x Ax x Bx x� � 2 1 ïàðàìåòðû ìîãóò âû÷èñëÿòüñÿ, íàïðèìåð,
ïî ñëåäóþùèì ôîðìóëàì [11]: ïåðåìåííûå
�
� �
�
� �
� �
� � �k
k
k� ��
�
�
�
�
� �1
0
2 0
2 1
2 1
1 1 0
4
4
2, , ,
(11)
è ïîñòîÿííûå
�
� �
� �
� � �
� �
k k� ��
�
�
� �
�
1
2 1
1
2 1 0 0
2 1
2 2( )
( )
, ,
2
. (12)
Äëÿ ýòèõ èòåðàöèîííûõ ñõåì ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ [12].
Òåîðåìà 2. Åñëè äëÿ êàêèõ-ëèáî x k( ) è x k( )�1 , ïîëó÷åííûõ ïî èòåðàöèîííîé
ñõåìå (8), âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
| | | |
| | | |
| |
| | | | | | | |
( ) ( )
( )
x x
x A B
k k
k
k
�
�
�
�
�
�
1
1
11
�
�
�
(13)
èëè
|| | |
| | | |
| |
| | | |
( ) ( )
( )
x x
x A B
k k
k
k
�
�
�
�
�
�
1
1
11
�
�
�
, (13à)
70 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1
òî äëÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ x k( )ñïðàâåäëèâà îöåíêà
| | | |
| | | |
( )x x
x
k �
� �, (14)
ãäå x — òî÷íîå ðåøåíèå ñèñòåìû (2).
Äîêàçàòåëüñòâî. Èç ôîðìóëû (8) ìîæíî ïîëó÷èòü íåðàâåíñòâî | | | |( )x xk � �
�
��
�
�
| | | | | | | |
| | | |
| |
( ) ( )
A B
x xk k
k
1
1
1�
. Ðàçäåëèì îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà, ó÷èòûâàÿ, ÷òî
| | | | | | | | | | | |( ) ( )x x x xk k� � � , íà | | | |( )x k è åãî îöåíêó
| | | |
| | | | | | | |
( )
( )
x x
x x x
k
k
�
� �
� | | | | | | | |A B� �1
�
��
�
| | | |
| | | | | |
( ) ( )
( )
x x
x
k k
k
k
1
1�
. Åñëè âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
| | | |
| | | | | | | |
( )
( )
x x
x x x
k
k
�
� �
� | | | | | | | |A B� �1
�
�
�
�
�
�
| | | |
| | | | | |
( ) ( )
( )
x x
x
k k
k
k
1
1
1�
�
�
, òî èç íåãî ñëåäóåò óñëîâèå (13) è â òî æå âðåìÿ — îöåíêà (14).
Ýòèì çàâåðøàåòñÿ äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû.
Åñëè ó÷åñòü ïðèáëèæåííîñòü èñõîäíûõ äàííûõ, òî äëÿ ðåøåíèÿ ñèñòåìû (1)
ìîæíî ïîëó÷èòü îöåíêó, àíàëîãè÷íóþ (7).
Òåîðåìà 3. Åñëè äëÿ êàêèõ-ëèáî çíà÷åíèé x k( )�1 , x k( ) è x k( )�1 , ïîëó÷åííûõ
ïî èòåðàöèîííîé ñõåìå (9), âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
max ( , )
| | | | | | | | | | | |
( ) ( )
( )
w w
x A B
k k
k
�
�
�
�
1
0
11
�
�
�
(15)
èëè
max ( , )
| | | | | | | |
( ) ( )
( )
w w
x A B
k k
k
�
�
�
�
1
0
11
�
�
�
, (15à)
ãäå w x xk k k( ) ( ) ( )| | | |� � �1 è �
� �
0
2 1
2
�
�
, òî äëÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ x k( )
ñïðàâåäëèâà îöåíêà (14).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïåðåïèøåì (9) â âèäå
A B x x x x x xk k
k
k k
k
� �
�
�
�� � � � � �1 1
1
1
1 01( ( )( )) (( ) ( ) ( ) ( )� � � ( ) )k .
Òàê êàê 1 2 1 21� � ��� k k, , , ... (ôîðìóëû (11), (12)), èìååì
|| | | | | | |
( , )
| | | |
( ) ( )
( )A B
w w
x x
k k
k�
�
� �1
1
0
max
�
.
Ðàçäåëèâ ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî íà | | | |( )x k è èñïîëüçóÿ | | | | | | | | | | | |( ) ( )x x x xk k� � � ,
ìîæíî çàïèñàòü
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | | | | | |
(
( )
( )
x x
x
x x
x
A B
w
k
k
�
�
�
� �
1
1 max ( ) ( )
( )
, )
| | | |
k k
k
w
x
�1
0�
.
Åñëè ïðàâàÿ ÷àñòü ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ
|| | | | | | |
( , )
| | | |
( ) ( )
( )
A B
w w
x
k k
k
�
�
�
�
1
1
0
1
max
�
�
�
, òî îòñþäà ñëåäóåò íåðàâåíñòâî (15), ïðè âû-
ïîëíåíèè êîòîðîãî ñïðàâåäëèâî óñëîâèå (14).
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1 71
Åñëè B E� , òî � � �1 2� �, � è óñëîâèÿ (15), (15à) ïðåîáðàçóþòñÿ â óñëîâèå
max (| | | | , | | | | )
| | | | ( )( )
( ) ( )
( )
w w
x
k k
k
�
�
� �
1
2
1
��
� ��
.
Åñëè ó÷åñòü ïðèáëèæåííîñòü èñõîäíûõ äàííûõ, òî äëÿ ðåøåíèÿ ñèñòåìû (1)
ìîæíî ïîëó÷èòü îöåíêó, àíàëîãè÷íóþ (7).
Î ÐÅØÅÍÈÈ ÑËÀÓ Ñ ÏÎËÎÆÈÒÅËÜÍÎ-ÏÎËÓÎÏÐÅÄÅËÅÍÍÛÌÈ
ÌÀÒÐÈÖÀÌÈ Ñ ÏÎÌÎÙÜÞ ÈÒÅÐÀÖÈÎÍÍÛÕ ÏÐÎÖÅÑÑÎÂ
Ðàññìîòðèì ëèíåéíóþ ìàòåìàòè÷åñêóþ ìîäåëü ïðîöåññà, îïèñûâàåìîãî â îáùåì
ñëó÷àå íåñîâìåñòíîé ÑËÀÓ âèäà (1) ñ ñèììåòðè÷íîé è ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðå-
äåëåííîé ìàòðèöåé A A A Ax x� � �T det, ( ) , ( , ) .0 0 Ïðè òàêîé ìàòðèöå ïðîñòðàí-
ñòâî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðÿìóþ ñóììó ïîäïðîñòðàíñòâà îáðàçîâ Im A è ÿäðà
ker A è ëþáîé âåêòîð x (â ÷àñòíîñòè, ëþáîå ðåøåíèå ñèñòåìû (1)) ìîæíî ïðåä-
ñòàâèòü â âèäå ñóììû x x u� �0 , ãäå x A0 � ker , u A� Im .
Äëÿ ìàòðèöû ñèñòåìû (1) ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà
� � �1 1
2
1 1 2 1
2
1 0| | | | ( , ) | | | | ,x Ax x x� � . (16)
Íîðìàëüíûì ïñåâäîðåøåíèåì (åñëè ìàòðèöà ñèñòåìû âûðîæäåíà) ÿâëÿåòñÿ
âåêòîð u A� Im . Êðîìå òîãî, â ñëó÷àå íåñîâìåñòíîñòè ñèñòåìû óðàâíåíèé ïîä íîð-
ìàëüíûì ïñåâäîðåøåíèåì ïîíèìàåòñÿ òàêîé âåêòîð u, êîòîðûé äîñòàâëÿåò ìèíè-
ìóì ôóíêöèîíàëó
u x C x Ax b
x C
� � � �
�
min | | | | , | | | ||{ min } ,
è èìååò íàèìåíüøóþ åâêëèäîâó íîðìó.
Ðåøåíèå ñèñòåìû (1) áóäåì èñêàòü, èñïîëüçóÿ èòåðàöèîííûå ïðîöåññû (8), (9)
(èëè (10)). Äëÿ íèõ â [13] äîêàçàíû òåîðåìû ñõîäèìîñòè, îïðåäåëåíà ñêîðîñòü èõ
ñõîäèìîñòè â ïîäïðîñòðàíñòâå îáðàçîâ íåêîòîðîãî îïåðàòîðà, óêàçàíû ñïîñîáû ïî-
ñòðîåíèÿ íîðìàëüíîãî ðåøåíèÿ èëè íîðìàëüíîãî ïñåâäîðåøåíèÿ è, â ÷àñòíîñòè,
ïîêàçàíî, ÷òî äëÿ íåâÿçêè ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå
lim
k
k kr r
��
� � �| | | | .( ) ( )1 0
Äëÿ óïðîùåíèÿ äàëüíåéøåãî èçëîæåíèÿ â èòåðàöèîííûõ ïðîöåññàõ (8), (9),
(10) ïîëîæèì B E� .
Äëÿ èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà (8) èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Òåîðåìà 4. Åñëè äëÿ x k( ), âû÷èñëåííûõ ïî èòåðàöèîííîé ñõåìå (8), âûïîëíÿ-
åòñÿ óñëîâèå
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
r r
b r
r r
Ax
k k
k
k k
k
� ��
�
�
�1 1
�
�
�� � �
� �
k 1 1
2
2 1( )
, (17)
òî äëÿ ïðîåêöèè x
k
1
( )
ïîëó÷åííîãî ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ íà ïîäïðîñòðàíñòâî
îáðàçîâ ìàòðèöû A ñïðàâåäëèâà îöåíêà
| | | |
| | | |
( )
x u
u
k
1
�
� �, (18)
ãäå u A� Im .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïåðåïèøåì (8) â âèäå x x Ax bk k
k
k( ) ( ) ( )( )�
�� � �1
1� . Îòñþäà
ñëåäóåò, ÷òî r r A Ax b A Ax b bk k
k
k
k
k( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )�
� �� � � � � � �1
1 1 1 0� � � k
kA Ax� �1 ( ( )
� � �b A zk
k
1 1
2
1
)
( )
� , ãäå z x u
k k
1 1
( ) ( )� � . Òîãäà ñïðàâåäëèâà îöåíêà | | | |( ) ( )r rk k� � �1
72 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1
� ��� �k
k
x u1 1
2
1
| | | |
( )
. Â òî æå âðåìÿ b r b Ax b Ax Az Auk k k k� � � � � � �( ) ( ) ( ) ( )
1 1
, ÷òî
ïðèâîäèò ê íåðàâåíñòâó | | | | | | | | | | | | | | | | (| |( ) ( ) ( ) ( )
Ax Ax Az Au xk k k k� � � � �
1 1 2 1
� u u| | | | | | )� .
Èç ïîñëåäíèõ äâóõ íåðàâåíñòâ ìîæíî ïîëó÷èòü ñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèå:
� �
�
k k
k
k kx u
x u u
r r�
��
� �
�
�1 1
2
2 1
1| | | |
(| | | | | | | | )
| |
( )
( ) ( ) | |
| | | |( )Ax k
. Åñëè âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî (17), òî áó-
äåò ñïðàâåäëèâà îöåíêà (18).
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Åñëè îáîçíà÷èòü ( ) ( ) ( ) ( ) ( )(| | | | , | | | | )k k k k kr r r r� � �� �max 1 1 , òî äëÿ èòåðàöè-
îííûõ ïðîöåññîâ (9), (10) ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Òåîðåìà 5. Åñëè äëÿ x k( ), ïîëó÷åííûõ ñ ïîìîùüþ èòåðàöèîííûõ ïðîöåññîâ
(9), (10) ñ ïàðàìåòðàìè (11) èëè (12), âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
� � �
� �
( )
( )
( )
( )| | | | | | | | ( )
k
k
k
k
k
f r Ax�
� �
�
�1 1
2
2 1
, (19)
òî îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü ïðîåêöèè x
k
1
( )
ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ x k( ) íà
ïîäïðîñòðàíñòâî îáðàçîâ ìàòðèöû A óäîâëåòâîðÿåò îöåíêå (18).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîãëàñíî ôîðìóëå (5) (ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëó÷àé B E� ) ìîæíî çàïè-
ñàòü ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) (
� � �k
k k k k
k k
k
r r r r A z�
� �
� �� � � � �1
1 1
1 1
2
1
1
)
, ãäå z x u
k k
1 1
( ) ( )� � .
Òîãäà � � �k k
k
k
k kA z r r� � �
�� � � �1 1
2
1 1
11| | | | ( ) | | | |
( ) ( ) ( ) | | | |( ) ( )r rk k� � �1 � k
k
�1
( ). Äà-
ëåå, ïîñêîëüêó | | | | | | | |
( ) ( )
A z z
k k2
1 1
2
1
� � , | | | | | | | | (| | | | | | | | )( ) ( ) ( )
Ax Ax x u uk k k� � � �
1 2 1
� è
� �( ) ( )
| | | |k
k
k
x u� ��1 1
2
1
, ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå
� �
�
k
k
k
k
k
x
x u u Ax
�
� �
�
1 1
2
1
2 1
| | | |
(| | | | | | | | ) | | |
( )
( )
( )
( ) |
. Åñëè âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî (19), òî ïðè ýòîì
áóäåò âûïîëíåíî è íåðàâåíñòâî (18), ÷òî çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû.
Î ÏÎËÍÎÉ ÏÎÃÐÅØÍÎÑÒÈ ÐÅØÅÍÈÉ ÑËÀÓ, ÏÎËÓ×ÅÍÍÛÕ Ñ ÏÎÌÎÙÜÞ
ÈÒÅÐÀÖÈÎÍÍÛÕ ÏÐÎÖÅÑÑÎÂ,  ÑËÓ×ÀÅ ÏÎËÎÆÈÒÅËÜÍÎ-ÏÎËÓÎÏÐÅÄÅËÅÍÍÛÕ
ÌÀÒÐÈÖ È ÂÎÇÌÓÙÅÍÍÎÃÎ ÂÅÊÒÎÐÀ ÏÐÀÂÎÉ ×ÀÑÒÈ
Ñèñòåìà (1) ñ ñèììåòðè÷íîé è ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííîé ìàòðèöåé ÿâëÿ-
åòñÿ ïðèáëèæåííîé ìîäåëüþ íåêîòîðîãî òî÷íîãî ïðîöåññà, îïèñûâàåìîãî ÑËÀÓ
Ax b� (20)
ñ òîé æå ìàòðèöåé A è b b b� � � , òàê ÷òî | | | | | | | |�b b b b� � � � . Êàê áûëî ïîêàçà-
íî âûøå, ïîä ðåøåíèåì òàêèõ ñèñòåì ïîíèìàåòñÿ íîðìàëüíîå ïñåâäîðåøåíèå.
 ýòèõ óñëîâèÿõ îöåíêà òî÷íîñòè íîðìàëüíîãî ïñåâäîðåøåíèÿ ñèñòåìû (20)
ïðèìåò âèä
| | | |
| | | |
| | | |
| | | | | | | |
x x
x
b
b b
b1 1
1
2 1
1 1
2
1 1
2�
� � �
�
�
� �
�
� �� b
bb� �1 1(| | | | )�
. (21)
Åñëè ðåøåíèå ñèñòåìû (1) ïîëó÷åíî èòåðàöèîííûì ìåòîäîì ñ òî÷íîñòüþ �,
| | | |
| | | |
( )
x x
x
k
1 1
1
�
� �, x A1 � Im ,
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1 73
ãäå x
k
1
( )
— ïðèáëèæåíèå ê íîðìàëüíîìó ïñåâäîðåøåíèþ ýòîé ñèñòåìû, òî ïîë-
íàÿ ïîãðåøíîñòü íîðìàëüíîãî ïñåâäîðåøåíèÿ ÑËÀÓ ñ ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðå-
äåëåííîé ìàòðèöåé, ïðè ïðèáëèæåííî çàäàííîé ïðàâîé ÷àñòè ñèñòåìû, îöåíèâà-
åòñÿ íåðàâåíñòâîì
|| | |
| | | |
( )
(| | | | )
( )
x x
x b
k
b
b
1 1
1
2
1 1
1
�
� � �
�
� �
�
�
�
�
, x A1 � Im .
ÐÅØÅÍÈÅ ÑËÀÓ Ñ ÑÈÌÌÅÒÐÈ×ÍÛÌÈ ÏÎËÎÆÈÒÅËÜÍÎ-ÏÎËÓÎÏÐÅÄÅËÅÍÍÛÌÈ
ÌÀÒÐÈÖÀÌÈ È ÏÐÈÁËÈÆÅÍÍÛÌÈ ÏÐÀÂÛÌÈ ×ÀÑÒßÌÈ
Ïóñòü èìååòñÿ â îáùåì ñëó÷àå íåñîâìåñòíàÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ
óðàâíåíèé
Ax b� (22)
ñ ñèììåòðè÷íîé ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííîé ìàòðèöåé ( , )A A A� �T 0 ïî-
ðÿäêà n è ðàíãà k. Êàê è ðàíåå, ïîä ðåøåíèåì òàêîé ñèñòåìû ïîíèìàåì íîð-
ìàëüíîå ïñåâäîðåøåíèå.
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó c ïðèáëèæåííîé ïðàâîé ÷àñòüþ
Ax b� , (23)
| | | | | | | |b b b� � �� �.
Äëÿ çàäà÷ (22), (23) ìîæíî çàïèñàòü
Ax bk� , (24)
Ax bk� , (25)
ãäå x x, — íîðìàëüíûå ïñåâäîðåøåíèÿ çàäà÷ (22), (23) ñîîòâåòñòâåííî, b Ak � Im .
Ëåììà. Äëÿ ïîãðåøíîñòè íîðìàëüíîãî ïñåâäîðåøåíèÿ çàäà÷è (22) èìååò
ìåñòî îöåíêà
| | | |
| | | |
| | | | | | | |
| | | |
| | | |
x x
x
A A
b
b
k
k
�
� � �
, (26)
ãäå A � — ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðèöà, �b b bk k k� � .
Äîêàçàòåëüñòâî. Âû÷òåì èç óðàâíåíèÿ (22) óðàâíåíèå (23):
A x x b bk k( ) .� � �
Îòñþäà âûòåêàåò
| | | |
| | | |
| | | | | | | |
| | | |
x x
x
A b b
x
k k�
�
��
.
Ïîñêîëüêó | | | | | | | | / | | | |x b Ak� , â ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì îöåíêó (26).
Èç ïîñëåäíåé îöåíêè ñëåäóåò íåïðåðûâíàÿ çàâèñèìîñòü íîðìàëüíîãî ïñåâäî-
ðåøåíèÿ îò âîçìóùåíèÿ ïðàâîé ÷àñòè [1].
Çàäà÷ó (23) áóäåì ñ÷èòàòü õîðîøî îáóñëîâëåííîé, åñëè ñâîéñòâà çàäà÷è è ïî-
ãðåøíîñòü èñõîäíûõ äàííûõ ïîçâîëÿþò ïîëó÷èòü çàäàííóþ òî÷íîñòü � ðåøåíèÿ,
à èìåííî
|| || || ||
| | | |
| | | |
A A
b
b
k
k
� �
�
�. (27)
Ïðèìåíèì òðåõýòàïíûé ìåòîä ðåøåíèÿ çàäà÷è. Ïðè ïðîèçâîëüíî âûáðàííîì
ïàðàìåòðå � (íàïðèìåð, � = 0,01) âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå øàãè àëãîðèòìà:
( )A E z b� �� , (28)
( )A E u Az� �� , (29)
u
u
u
H
i
i
�
max | |
, (30)
( )A E w u H� �� , (31)
74 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1
� max
i
iw| | , (32)
�
�
� �
��
�
�
1
2 1
( ).n b
(33)
Çàìåòèì, ÷òî ñèñòåìà (28) ýêâèâàëåíòíà ñèñòåìå äâóõ óðàâíåíèé
( )A E z b b bk k k k� � � �� � , (34)
� z b b bn k n k n k n k� � � �� � � � ,
à óðàâíåíèå (29) â ñèëó Az Az Az Azk n k k� � �� ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
( )A E u Az k� �� . (35)
Òåîðåìà 6. Äëÿ ïîãðåøíîñòè íîðìàëüíîãî ïñåâäîðåøåíèÿ çàäà÷è (28) èìååò
ìåñòî îöåíêà
| | | |
| | | | ( ) ( )
| | | |
| | |
x u
x
b
b
k
k
n k
k
k
k
�
�
�
�
�
�
�
� �
� �
� �
� �
2
2 2
�
|
, (36)
ãäå � k — íàèìåíüøåå îòëè÷íîå îò íóëÿ ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ìàòðèöû A n, � —
åå ìàêñèìàëüíîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ââåäåì íåîáõîäèìóþ ìàòðè÷íóþ íîðìó,
ñîãëàñîâàííóþ ñ åâêëèäîâîé âåêòîðíîé íîðìîé:
| | | |
| | | |
| | | |•A
A
A
�
�
sup
Im�
�
�
.
Èç ôîðìóë (35), (22) è (34) ìîæíî çàïèñàòü
( )( )A E u x b z xk k� � � � �� � �� , ( )A E z Ax bk k k� � �� � .
Òîãäà
u x A E A A E x A E A E E bk� � � � � � � � � �� � �� � � � � �(( ) ( ) ) ( ) ( )2 1 2 � .
Îòñþäà íîðìà ïîãðåøíîñòè îöåíèâàåòñÿ ôîðìóëîé
| | | | | | ( ) ( )| | | | | | | | ( ) | | |
• •u x A E A E x A E A� � � � � �� �� � � �2 22 | | |�bk .
Ïðè âû÷èñëåíèè ñïåêòðàëüíîé íîðìû ìàòðèö íåîáõîäèìî èññëåäîâàòü ïîâåäåíèå
ôóíêöèé
2
2 2
� �
� �
�
� �
�
� �( )
,
( )
. Ïðè � � � îíè ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ. Çíà÷èò, íàèáîëüøåå
çíà÷åíèå ýòèõ ôóíêöèé äîñòèãàåòñÿ ïðè íàèìåíüøåì âîçìîæíîì çíà÷åíèè �, ò.å. ïðè
� �� k . Òàêèì îáðàçîì, äëÿ íîðì ìàòðèö èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà:
| |( ) ( )| |
( )
•A E A E k
k
� � �
�
�
�� �
� �
� �
2
2
2
2
, | |( ) | |
( )
•A E A k
k
� �
�
��
�
� �
2
2
.
Òîãäà äëÿ îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòè ðåøåíèÿ ñïðàâåäëèâà îöåíêà
| | | |
| | | | ( ) ( )
| | | |
| | | |
u x
x
b
x
k
k
k
k
k�
�
�
�
�
�
�
� �
� �
�
� �
2
2 2
�
.
Òàê êàê | | | | | | | | / | | | |•x b Ak� , â ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâî (36), ÷òî è òðå-
áîâàëîñü äîêàçàòü.
Äëÿ ïàðàìåòðà �, îáåñïå÷èâàþùåãî äîñòèæåíèå íåîáõîäèìîé òî÷íîñòè
| | | |
| | | |
u x
x
�
� �, ñ òî÷íîñòüþ äî âåëè÷èí âòîðîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè âûïîëíÿåòñÿ ñëåäóþ-
ùàÿ îöåíêà:
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
��
�
��
k n b
k2 1
.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1 75
Ïîñëå âûïîëíåíèÿ âñåõ øàãîâ àëãîðèòìà ïðîâåðÿåòñÿ âûïîëíåíèå íåðàâåíñòâà
�
�
� �
2
� �n b .
Åñëè íåðàâåíñòâî èìååò ìåñòî, òî òðåáóåìàÿ òî÷íîñòü � äîñòèãíóòà ïðè çàäàí-
íîì ïðîèçâîëüíîì �, åñëè îíî íå âûïîëíÿåòñÿ, òî ïî ôîðìóëå (33) âû÷èñëÿåòñÿ íî-
âîå çíà÷åíèå � è ïðèáëèæåíèå ê íîðìàëüíîìó ïñåâäîðåøåíèþ, òî÷íîñòü êîòîðîãî
ãàðàíòèðóåò íîâîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà.
ÎÖÅÍÊÈ ÏÎËÍÎÉ ÏÎÃÐÅØÍÎÑÒÈ ÐÅØÅÍÈß ÇÀÄÀ×È
ÍÀÈÌÅÍÜØÈÕ ÊÂÀÄÐÀÒÎÂ ÄËß ÌÀÒÐÈÖ ÏÐÎÈÇÂÎËÜÍÎÃÎ ÐÀÍÃÀ
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó î íàõîæäåíèè íîðìàëüíîãî ïñåâäîðåøåíèÿ x íåñîâìåñòíîé
ñèñòåìû óðàâíåíèé (1) ñ ìàòðèöåé A íåïîëíîãî ðàíãà
min { min}
x C
x C x Ax b
�
� � �| | | | , | | | || .
Çàäà÷à ñ âîçìóùåííûìè, ò.å. ïðèáëèæåííûìè, èñõîäíûìè äàííûìè çàêëþ÷à-
åòñÿ â ñëåäóþùåì: íàéòè
min { min}
x C
x C x Ax b
�
� � �| | | | , | | | || . (37)
Äëÿ ïîãðåøíîñòè ýëåìåíòîâ ìàòðèöû è åå ïðàâîé ÷àñòè âûïîëíÿþòñÿ òàêèå
ñîîòíîøåíèÿ:
�A A A� � , �b b b� � , | | | | | | | | , | | | | | | | | .� �A A b bA b� �� � (38)
Ïðèìåíåíèå òîãî èëè èíîãî ÷èñëåííîãî àëãîðèòìà äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (37),
(38) ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå u.
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ îöåíîê ïîãðåøíîñòè çàäà÷è íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ èñïîëüçî-
âàí ìåòîä ñèíãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ, êîòîðûé îòëè÷àåòñÿ óñòîé÷èâîñòüþ ñèíãóëÿð-
íûõ ÷èñåë, ïîñêîëüêó îíè ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè ñèììåòðè÷íîé ìàòðè-
öû. Çàìåòèì, ÷òî åãî öåëåñîîáðàçíî èñïîëüçîâàòü è äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðèáëèæåííîãî
íîðìàëüíîãî ïñåâäîðåøåíèÿ, òî÷íîñòü êîòîðîãî áóäåò ãàðàíòèðîâàíà ïîëó÷åííûìè
â äàííîé ðàáîòå îöåíêàìè.
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà ðàíã ìàòðèöû íå èçìåíÿåòñÿ ïðè âîçìóùåíèè åå
ýëåìåíòîâ.
Òåîðåìà 7. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî | | | |�A | | | |A � � 1, ðàíã A= ðàíã A k� , è ïóñòü u —
ïðîèçâîëüíûé âåêòîð u � ImA T. Òîãäà
| | | |
| | | |
| | | | | | | |
| | |
/
x u
x
H
H
r b H
b b
A
A b k A
k
k
�
�
�
� � �
�
1
2
�
� � �
|
| | | |bk
�
��
�
�� . (39)
Çäåñü bk — ïðîåêöèÿ ïðàâîé ÷àñòè çàäà÷è (36) íà ãëàâíîå ëåâîå ñèíãóëÿðíîå
ïîäïðîñòðàíñòâî ìàòðèöû À, ò.å. b Ak � Im .
Îöåíêà íàñëåäñòâåííîé ïîãðåøíîñòè â ýòîì ñëó÷àå ñëåäóåò èç ñîîòíîøåíèÿ
x u A A b A b b� � � � �� � �( ) ( ) , (40)
ãäå äëÿ ðàçíîñòè A A� �� ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà èç [6]
A A A AA A A I Q I P A A A� � � � � � � �� � � � � �� �T T T( ) ( ) ,
Q AA P A A� �� �, .
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ( ) ( ) ,I Q b I Q r r b Ax� � � � � , èç (40) ïîëó÷àåì
x u A AA b A A A I Q r I P A A A b A b b� � � � � � � �� � � � � � �� � �T T T( ) ( ) ( ).
76 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1
Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå íåðàâåíñòâà | | | | , | | | |I Q I P� � � �1 1,
| | | |
| | | |
| | | | | | | |
A
A
A A
�
�
�
�
�1 �
, (41)
ïîëó÷àåì îöåíêó
| | | |
| | | |
| | | | | | | |
| | | | | | | |
| | | |
| | | |
x u
x
A A
A A
A
A
�
�
�
�
�1
2
�
�
� � �| | | |
| | | | | | | |
| | | | | | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
� �b
A x
A A
A
A
r
A | | | |x
�
��
�
�� . (42)
Òàê êàê Ax b r b bk k� � �, | | | | | | | | , èç (42) ñëåäóåò
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
x u
x
H
H
H
b b
bA
A b A
k
k
k
�
�
�
� �
�
�
��
�1
2
�
� � � �� . (43)
Äëÿ îöåíêè âû÷èñëèòåëüíîé ïîãðåøíîñòè x u� âîñïîëüçóåìñÿ ñîîòíîøåíèåì
A x u r b Axk( )� � � � ,
ãäå bk — ïðîåêöèÿ âåêòîðà b íà ãëàâíîå ëåâîå ñèíãóëÿðíîå ïîäïðîñòðàíñòâî
ìàòðèöû A b Ak: � Im T.
Ñ ó÷åòîì x u A� � Im T è òîãî ôàêòà, ÷òî A A� — ïðîåêòîð íà Im A T, èìååì
A A x u x u A r x u A r� � �� � � � � �( ) , | | | | | | | | | | | | . (44)
Îòñþäà ìîæíî ïîëó÷èòü îöåíêó âû÷èñëèòåëüíîé ïîãðåøíîñòè
| | | |
| | | |
| | | | | | | |
| | | |
| | | |
x u
x
A A
r
bk
�
� � .
(45)
Îöåíêà ïîëíîé ïîãðåøíîñòè íîðìàëüíîãî ïñåâäîðåøåíèÿ ñëåäóåò èç ñîîòíîøåíèÿ
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
x u
x
x x
x
x u
x
�
�
�
�
�
. (46)
Ó÷èòûâàÿ (43), (44), à òàêæå îöåíêó (41), èç (46) ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâî (39).
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà ðàíã ìàòðèöû íåïîëíîãî ðàíãà ìîæåò èçìåíèòüñÿ
ïðè âîçìóùåíèè åå ýëåìåíòîâ.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî èìåþò ìåñòî äâà âàðèàíòà: ðàíã À � ðàíãà A; ðàíã À < ðàíãà A.
Åñëè âûïîëíÿåòñÿ ïåðâîå íåðàâåíñòâî ïðè óñëîâèè | | | | | | | |�A A � � 1, òî, ñëåäóÿ
[6], ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî ðàíã âîçìóùåííîé ìàòðèöû ðàâíÿåòñÿ ðàíãó èñõîäíîé
ìàòðèöû, è, òàêèì îáðàçîì, âîçâðàùàåìñÿ ê ðàññìîòðåííîìó âûøå ñëó÷àþ.
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ îöåíêè ïðè âûïîëíåíèè âòîðîãî íåðàâåíñòâà èñïîëüçóåì ñïî-
ñîá èç [14], îñíîâàííûé íà ñèíãóëÿðíîì ðàçëîæåíèè ìàòðèö. Ïðåäñòàâèì A â âèäå
A U V� � T. (47)
Íàðÿäó ñ (47) ðàññìîòðèì ðàçëîæåíèå
A U Vk k� � T, (48)
ãäå � k — äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà, ïåðâûå k äèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ êîòîðîé îò-
ëè÷íû îò íóëÿ è ñîâïàäàþò ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ýëåìåíòàìè ìàòðèöû � , à âñå
îñòàëüíûå ýëåìåíòû ðàâíû íóëþ.
Èñïîëüçóåì èç [15] òîò ôàêò, ÷òî íîðìàëüíîå ïñåâäîðåøåíèå x k çàäà÷è íàèìåíü-
øèõ êâàäðàòîâ A x bk � ÿâëÿåòñÿ îðòîãîíàëüíîé ïðîåêöèåé íîðìàëüíîãî ïñåâäîðåøå-
íèÿ çàäà÷è íà ãëàâíîå ïðàâîå ñèíãóëÿðíîå ïîäïðîñòðàíñòâî ðàçìåðíîñòè k äëÿ ìàò-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1 77
ðèöû A. Òàêèì ñïîñîáîì ïîñòðîåííàÿ ìàòðèöà (47) èìååò ðàíã k, ò.å. òàêîé æå, êàê
è ðàíã ìàòðèöû íåâîçìóùåííîé çàäà÷è. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðîáëåìó îöåíêè ïîãðåø-
íîñòè ïñåâäîðåøåíèÿ äëÿ ìàòðèö, ðàíã êîòîðûõ èçìåíèëñÿ, ñâåëè ê ñëó÷àþ, êîãäà
ðàíãè ìàòðèö íå èçìåíÿþòñÿ. Ó÷èòûâàÿ ýòîò ôàêò, èñïîëüçóåì (42) äëÿ îöåíêè
| | | | | | | |/x x xk� :
| | | |
| | | |
| | | | | | | |
| | | | | | | |
| | | |
| | | |
x u
x
A A
A A
A
A
�
�
�
�
�1
2
�
�
� � �| | | |
| | | | | | | |
| | | | | | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
� �b
A x
A A
A
A
r
A | | | |x
�
��
�
�� .
Äëÿ îöåíêè �Ak âîñïîëüçóåìñÿ îöåíêîé èç [16]: | | | | | | | | .� �A Ak � 2 Êðîìå òîãî,
íåðàâåíñòâî | | | | | | | | /�A A � � 1 2 ïðèâîäèò ê | | | | | | | |�A Ak
� � 1, ÷òî ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäè-
ìûì äëÿ âûïîëíåíèÿ óñëîâèé òåîðåìû 7. Ïîýòîìó èç (46) ïîëó÷èì â ýòîì ñëó÷àå
ñëåäóþùóþ îöåíêó äëÿ íàñëåäñòâåííîé ïîãðåøíîñòè:
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
x x
x
H
H
H
b b
b
k
A
A b A
k
k
k
�
�
�
� �
�
�
�
1 2
4 2
�
� � ��
�
�� . (49)
Äëÿ îöåíêè | | | |x uk � èñïîëüçóåì òîò ôàêò, ÷òî A x bk k k� . Òîãäà äëÿ ïðîèç-
âîëüíîãî âåêòîðà u Ak� Im T èìåþò ìåñòî ñîîòíîøåíèÿ:
A x u r b A x A A x u A rk k k k k k k k k k( ) , ( )� � � � � �� � . (50)
Òàê êàê x u Ak k� � Im T, à îïåðàòîð A Ak k
� — îïåðàòîð ïðîåêòèðîâàíèÿ â Im TAk ,
ïîëó÷èì
A A x u x u A r x u A rk k k k k k k k k
� � �� � � � � �( ) , | | | | | | | | | | | | . (51)
Îòñþäà ñëåäóåò îöåíêà âû÷èñëèòåëüíîé ïîãðåøíîñòè äëÿ ïðîåêöèè ïñåâäîðåøåíèÿ
| | | |
| | | |
| | | | | | | |
| | | |
| | | |
x u
x
A A
r
b
k
k
k k
k
k
�
� � .
Îöåíêà ïîëíîé ïîãðåøíîñòè âûòåêàåò èç (46) ñ ó÷åòîì (49), (51). Òàêèì îáðà-
çîì, ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Òåîðåìà 8. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå | | | | | | | | /�A A � � 1 2 , òîãäà
äëÿ íîðìàëüíîãî ïñåâäîðåøåíèÿ çàäà÷è (37) èìååò ìåñòî îöåíêà
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| |x u
x
H
H
H
b b
b
r
A
A b A
k
k
k
�
�
�
� �
�
�
1 2
4 2
�
� � � k
kb
| |
| | | |
�
��
�
�� . (52)
Çäåñü u — ýëåìåíò ïîäïðîñòðàíñòâà Im TAk .
 ìàòðèöàõ ïîëíîãî ðàíãà ðàíã íå èçìåíÿåòñÿ ïðè âîçìóùåíèè ýëåìåíòîâ,
åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå | | | | | | | | .�A A � � 1
Êðîìå òîãî, èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå ñâîéñòâî ìàòðèö ïîëíîãî ðàíãà:
A A A A� �� ( )T T1 äëÿ n m� , A A AA� �� T T( ) 1 äëÿ n m� . (53)
Àíàëîãè÷íûå ñîîòíîøåíèÿ âûïîëíÿþòñÿ äëÿ ìàòðèöû A.
Òåîðåìà 9. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî | | | | | | | |�A A � � 1 è m n , è ïóñòü u — ïðîèçâîëü-
íûé âåêòîð èç R n . Òîãäà
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| |x u
x
H
H
H
b b
b
r
A
A b A
k
k
k
�
�
�
� �
�
�
1 2
4 2
�
� � � k
kb
| |
| | | |
�
��
�
�� . (54)
78 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1
Ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû áóäåì èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó (40). Âûðàæåíèå
äëÿ ðàçíîñòè A A� �� ñ ó÷åòîì (53) è, ñëåäîâàòåëüíî, ñîîòíîøåíèÿ P A A I� ��
ïðèìåò âèä
A A A AA A A I Q I P A A A� � � � � � � �� � � � � �� �T T T( ) ( ) .
Îòñþäà ïîëó÷àåì îöåíêó íàñëåäñòâåííîé ïîãðåøíîñòè
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| |x u
x
H
H
H
b b
b
r
A
A b A
k
k
k
�
�
�
� �
�
�
1 2
4 2
�
� � � k
kb
| |
| | | |
.
�
��
�
�� (55)
Îöåíêîé íàñëåäñòâåííîé ïîãðåøíîñòè ÿâëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå (46), êàê è â òåî-
ðåìå 8. Îòìåòèì, ÷òî ïðè îöåíêå âû÷èñëèòåëüíîé ïîãðåøíîñòè ìîæíî íå èñïîëü-
çîâàòü ñâîéñòâî ïðîåêöèîííûõ ìàòðèö, ïîñêîëüêó äëÿ ìàòðèö ïîëíîãî ðàíãà â ýòîì
ñëó÷àå âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå À À I� � .
Îêîí÷àòåëüíî, èç (46), (45), (40) è (55) ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâî (54).
Òåîðåìà 10. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî | | | | | | | | ,�A A n m k� � �1 , è ïóñòü u — ïðîèç-
âîëüíûé âåêòîð èç ImA T. Òîãäà
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
x u
x
H
H
r
bA
A b
�
�
�
� �
�
�
�
�
1 �
� � .
(56)
Ïîñêîëüêó â ýòîì ñëó÷àå Q AA I� �� , âûðàæåíèå äëÿ A A� �� ïðèìåò âèä
A A A AA A A I Q I P A A A� � � � � � � �� � � � � �� �T T T( ) ( ) .
Äàëüíåéøèå âûêëàäêè àíàëîãè÷íû ïðåäûäóùèì.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì íåðà-
âåíñòâî (56).
Òåîðåìà 11. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî | | | | | | | | ,�A A m n k� � � �1 , è ïóñòü u — ïðîèç-
âîëüíûé âåêòîð èç R n . Òîãäà ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî (56).
Îöåíêà ñëåäóåò èç (40) ïðè óñëîâèè Q I P I� �, , ÷òî èìååò ìåñòî äëÿ íåâû-
ðîæäåííûõ ìàòðèö.
Êàê âèäíî èç îöåíîê, èñïîëüçóåòñÿ ÷èñëî îáóñëîâëåííîñòè ìàòðèö èñõîäíîé
çàäà÷è. ×òîáû ïðèäàòü ýòèì îöåíêàì áîëåå êîíñòðóêòèâíûé âèä, ðàññìîòðèì ñâÿçü
ìåæäó ÷èñëàìè îáóñëîâëåííîñòè òî÷íîé è âîçìóùåííîé çàäà÷.
Èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû òåîðèè âîçìóùåíèé ñèíãóëÿðíûõ ÷èñåë, äëÿ ñïåêòðàëü-
íîãî ÷èñëà îáóñëîâëåííîñòè ïîëó÷àåì
� � �k k kA A� � � �| | | | | | | |� � , � � �1 1 1� � � �| | | | | | | |� �A A ,
�
�
�
�
�
�
1 1 1�
�
� �
�
�
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
�
�
�
�
A
A
A
Ak k k
,
1
1
1
1
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
A
A
A
AH
H A
H A H
( )
( )
.
(57)
Äëÿ ÷èñåë îáóñëîâëåííîñòè îòíîñèòåëüíî äðóãèõ íîðì âåðíû ñëåäóþùèå
îöåíêè [17]:
( )| | | | | | | | ( )| | | |1 1� � � �� �A AA A A ,
| | | | ( ( ))
( )
| |( ) | |
| | | |
(
A H A
H A
A
A
H
A
A A
�
�
��
�
� �
�
1
1
11 2
1 1
�
� � A)
,
( )( ( ))
( )
( )
( )
( )
( )
1 1 2
1
1
1
� �
�
� �
�
�
� �
�
�
�
A A
A
A
A
H A
H A
H A
H A H A
.
(58)
Äëÿ õîðîøî îáóñëîâëåííûõ ñèñòåì, íàïðèìåð, åñëè H A A( ) ,� � 0 1, ïîëó÷èì
8 1
9
10 1
9
( ) ( )
( )
( )�
� �
�� �A AH A
H A
.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1 79
Ïîñêîëüêó H âõîäèò â îöåíêè ïîãðåøíîñòè ðåøåíèÿ â êà÷åñòâå ñîìíîæèòåëÿ,
èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò òîëüêî åãî ïîðÿäîê. Èç ïðèâåäåííûõ îöåíîê (57), (58) ñëåäó-
åò, ÷òî èñïîëüçîâàíèå ÷èñëà îáóñëîâëåííîñòè ïðèáëèæåííîé ìàòðèöû âìåñòî òî÷-
íîé âïîëíå äîïóñòèìî äëÿ õîðîøî îáóñëîâëåííûõ çàäà÷.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Ðàññìîòðåíû ÑËÀÓ ñ íåâûðîæäåííûìè è âûðîæäåííûìè ìàòðèöàìè, èìåþùèå
ìàòðèöû ñ ïðèáëèæåííûìè ýëåìåíòàìè è âåêòîðû ïðàâûõ ÷àñòåé ñ ïðèáëèæåí-
íûìè êîìïîíåíòàìè. Ïðè ðåøåíèè ñèñòåì èòåðàöèîííûìè ìåòîäàìè ïîäðîáíî
èçó÷åíû óñëîâèÿ îêîí÷àíèÿ èòåðàöèîííûõ ïðîöåññîâ, îáåñïå÷èâàþùèå ïîëó÷å-
íèå ðåøåíèé ñ çàäàííîé òî÷íîñòüþ. Äëÿ âñåõ ðàññìîòðåííûõ ñëó÷àåâ ïîëó÷åíû
îöåíêè ïîëíîé ïîãðåøíîñòè â óñëîâèÿõ ïðèáëèæåííûõ èñõîäíûõ äàííûõ. Îñî-
áîå âíèìàíèå óäåëåíî ðåøåíèþ íåñîâìåñòíûõ ñèñòåì ñ ñèììåòðè÷íûìè ïîëî-
æèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûìè ìàòðèöàìè ìåòîäîì òðåõýòàïíîé ðåãóëÿðèçàöèè,
â êîòîðîì ïðåäëîæåí èòåðàöèîííûé àëãîðèòì âûáîðà ïàðàìåòðà ðåãóëÿðèçàöèè,
ïîçâîëÿþùåãî íàéòè ðåøåíèå çàäà÷è ñ òðåáóåìîé òî÷íîñòüþ.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ì î ð î ç î â  . À . Ìåòîäû ðåãóëÿðèçàöèè íåóñòîé÷èâûõ çàäà÷. — Ì.: Èçä-âî ÌÃÓ, 1987. — 217 ñ.
2. Ò è õ î í î â À . Í . , À ð ñ å í è í  . ß . Ìåòîäû ðåøåíèÿ íåêîððåêòíûõ çàäà÷: Ó÷åá. ïîñîá. äëÿ
âóçîâ. — Ì.: Íàóêà, 1986. — 287 ñ.
3.  î å â î ä è í  .  . Âû÷èñëèòåëüíûå îñíîâû ëèíåéíîé àëãåáðû. — Ì.: Íàóêà, 1977. — 304 ñ.
4. Ì î ë ÷ à í î â È . Í . , Í è ê î ë å í ê î Ë . Ä . , Ê è ð è ÷ å í ê î Ì . Ï . Îá îäíîì ïàêåòå ïðîãðàìì äëÿ
ðåøåíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé // Êèáåðíåòèêà. — 1972. — ¹ 1. —
Ñ. 127–134.
5. Ã î ä ó í î â Ñ . Ê . , À í ò î í î â À . Ã . , Ê è ð è ë þ ê Î . Ï . , Ê î ñ ò è í Â . Í . Ãàðàíòèðîâàííàÿ
òî÷íîñòü ðåøåíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé â åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ. — Íîâîñèáèðñê:
Íàóêà, 1992. — 359 ñ.
6. Ë î ó ñ î í × . , Õ å í ñ î í Ð . ×èñëåííîå ðåøåíèå çàäà÷ ìåòîäà íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ. — Ì.:
Íàóêà, 1986. — 230 ñ.
7. Ê è ð è ÷ å í ê î Í . Ô . Àíàëèòè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå âîçìóùåíèé ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö //
Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 1997. — ¹ 2. — Ñ. 98–107.
8. à à ë á à Å . Ô . , Ä å é í å ê à  . Ñ . , Ñ å ð ã è å í ê î È .  . Ðàçëîæåíèÿ è ìíîãî÷ëåííûå ïðåäåëüíûå
ïðåäñòàâëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö // Æóðí. âû÷èñë. ìàòåìàòèêè è ìàò. ôèçèêè. —
2007. — 47, ¹ 5. — Ñ. 747–766.
9. Ñ å ð ã è å í ê î È . Â . , Ã à ë á à Å . Ô . , Ä å é í å ê à Â . Ñ . Ðàçëîæåíèå âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ
ìàòðèö â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ è èòåðàöèîííûå ìåòîäû // Óêð. ìàò. æóðí. — 2007. —
59, ¹ 9. — Ñ. 1269–1289.
10. Ï ð î ã ð à ì ì í î å îáåñïå÷åíèå ÝÂÌ ÌÈÐ-1 è ÌÈÐ-2. Ò. 1. ×èñëåííûå ìåòîäû / Â.Ì. Ãëóøêîâ,
È.Í. Ìîë÷àíîâ, Á.Í. Áðóñíèêèí è äð. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1976. — 280 ñ.
11. Ñ à ì à ð ñ ê è é À . À . , Í è ê î ë à å â Å . Ñ . Ìåòîäû ðåøåíèÿ ñåòî÷íûõ óðàâíåíèé. — Ì.: Íàóêà,
1978. — 592 ñ.
12. Õ è ì è ÷ À . Í . , ß ê î â ë å â Ì . Ô . Î ïîëíîé ïîãðåøíîñòè ðàñ÷åòà ëèíåéíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ
ìîäåëåé èòåðàöèîííûìè ìåòîäàìè // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2002. — ¹ 5. — Ñ. 1–12.
13. Ì î ë ÷ à í î â È . Í . , ß ê î â ë å â Ì . Ô . Èòåðàöèîííûå ïðîöåññû ðåøåíèÿ îäíîãî êëàññà íå-
ñîâìåñòíûõ ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé // Æóðí. âû÷èñë. ìàòåìàòèêè è ìàò.
ôèçèêè. — 1975. — 15, ¹ 3. — Ñ. 547–558.
14. Õ è ì è ÷ À . Í . Îöåíêè âîçìóùåíèé äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ // Êèáåðíåòèêà è
ñèñòåìíûé àíàëèç. — 1996. — ¹ 3. — C. 142–145.
15. A i r d T . J . , L y n c h R . E . Computable accurate upper and lower error bounds for approximate solution
of linear algebraic system // ACM Trans. Math. Software. — 1972. — N 1. — Ð. 217–231.
16.  î å â î ä è í  .  . , Ê ó ç í å ö î â Þ . À . Ìàòðèöû è âû÷èñëåíèÿ. — Ì.: Íàóêà, 1984. — 318 ñ.
17. C l i n e À . K . , M o l e r C . B . , S t e w a r t G . W . , W i l k i n s o n J . H . On estimate for the condition
number of a matrix // SIAM J. Numer. Anal. — 1979. — 16, N 2. — P. 369–375.
Ïîñòóïèëà 04.08.2010
80 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-72203 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-27T10:07:54Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Сергиенко, И.В. Химич, А.Н. Яковлев, М.Ф. 2014-12-19T21:37:40Z 2014-12-19T21:37:40Z 2011 Методы получения достоверных решений систем линейных алгебраических уравнений / И.В. Сергиенко, А.Н. Химич, М.Ф. Яковлев // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — № 1. — С. 68-80. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72203 519.6+518:512.25 Розглянуто в загальному випадку несумісні системи лінійних алгебраїчних рівнянь з матрицями довільного рангу. Для всіх розглянутих випадків одержано оцінки повної похибки в умовах наближених вихідних даних. Під час розв'язування систем ітераційними методами детально вивчено умови закінчення ітераційних процесів, що забезпечують одержання розв'язків із заданою точністю. Особливу увагу приділено розв'язуванню несумісних систем з симетричними додатно напіввизначеними матрицями за допомогою методу триетапної регуляризації, в якому запропоновано алгоритм вибору параметра регуляризації, що дозволяє знайти розв'язок задачі з необхідною точністю. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Методы получения достоверных решений систем линейных алгебраических уравнений Article published earlier |
| spellingShingle | Методы получения достоверных решений систем линейных алгебраических уравнений Сергиенко, И.В. Химич, А.Н. Яковлев, М.Ф. Системный анализ |
| title | Методы получения достоверных решений систем линейных алгебраических уравнений |
| title_full | Методы получения достоверных решений систем линейных алгебраических уравнений |
| title_fullStr | Методы получения достоверных решений систем линейных алгебраических уравнений |
| title_full_unstemmed | Методы получения достоверных решений систем линейных алгебраических уравнений |
| title_short | Методы получения достоверных решений систем линейных алгебраических уравнений |
| title_sort | методы получения достоверных решений систем линейных алгебраических уравнений |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72203 |
| work_keys_str_mv | AT sergienkoiv metodypolučeniâdostovernyhrešeniisistemlineinyhalgebraičeskihuravnenii AT himičan metodypolučeniâdostovernyhrešeniisistemlineinyhalgebraičeskihuravnenii AT âkovlevmf metodypolučeniâdostovernyhrešeniisistemlineinyhalgebraičeskihuravnenii |