Восстановление функциональной зависимости на основе временных рядов с использованием классов регрессоров бесконечной емкости
Розглянуто задачу відновлення функціональної залежності часових рядів від індексу часу у випадку короткої вибірки даних. Доведено рівномірну збіжність емпіричного функціоналу ризику до теоретичного у випадку, коли функції регресії можуть бути наближені поліномами скінченного степеня. Наведено прикла...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Дата: | 2011 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2011
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72205 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Восстановление функциональной зависимости на основе временных рядов с использованием классов регрессоров бесконечной емкости / Н.Д. Панкратова, А.Г. Зражевский // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — № 1. — С. 93-104. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859857346246737920 |
|---|---|
| author | Панкратова, Н.Д. Зражевский, А.Г. |
| author_facet | Панкратова, Н.Д. Зражевский, А.Г. |
| citation_txt | Восстановление функциональной зависимости на основе временных рядов с использованием классов регрессоров бесконечной емкости / Н.Д. Панкратова, А.Г. Зражевский // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — № 1. — С. 93-104. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Розглянуто задачу відновлення функціональної залежності часових рядів від індексу часу у випадку короткої вибірки даних. Доведено рівномірну збіжність емпіричного функціоналу ризику до теоретичного у випадку, коли функції регресії можуть бути наближені поліномами скінченного степеня. Наведено приклад застосування відновлення функціональної залежності стосовно тригонометричного класу функцій.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:44:16Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.6:519.81
Í.Ä. ÏÀÍÊÐÀÒÎÂÀ, À.Ã. ÇÐÀÆÅÂÑÊÈÉ
ÂÎÑÑÒÀÍÎÂËÅÍÈÅ ÔÓÍÊÖÈÎÍÀËÜÍÎÉ ÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÈ
ÍÀ ÎÑÍÎÂÅ ÂÐÅÌÅÍÍÛÕ ÐßÄÎÂ Ñ ÈÑÏÎËÜÇÎÂÀÍÈÅÌ ÊËÀÑÑÎÂ
ÐÅÃÐÅÑÑÎÐΠÁÅÑÊÎÍÅ×ÍÎÉ ÅÌÊÎÑÒÈ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: âðåìåííîé ðÿä, âîññòàíîâëåíèå ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè,
ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü, àïïðîêñèìàöèÿ ïîëèíîìàìè .
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Îäíîé èç âàæíûõ çàäà÷ àíàëèçà âðåìåííûõ ðÿäîâ ÿâëÿåòñÿ âîññòàíîâëåíèå ôóíê-
öèîíàëüíûõ çàâèñèìîñòåé ïî ýìïèðè÷åñêèì äàííûì. Ñóùåñòâóþò ðàçëè÷íûå ïîä-
õîäû äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé ïðîáëåìû, êîòîðûå îñíîâûâàþòñÿ íà èìåþùåéñÿ àïðèîð-
íîé èíôîðìàöèè, ñòðóêòóðå è ïàðàìåòðàõ ìîäåëåé, ýêñòðåìàëüíûõ ñâîéñòâàõ àï-
ïðîêñèìèðóþùèõ ïîëèíîìîâ, à òàêæå íà ñïåöèôèêå äàëüíåéøåãî èñïîëüçîâàíèÿ
ðåçóëüòàòîâ.  íàñòîÿùåé ñòàòüå áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âðåìåííîé ðÿä { T}Y t t( ), � ,
çàäàííûé â ôèêñèðîâàííûå ìîìåíòû âðåìåíè ( ),y t1 1 , ..., ( ),y tl l , ìîæåò áûòü
îïèñàí ñ ïîìîùüþ ñòîõàñòè÷åñêîãî ðåãðåññèîííîãî óðàâíåíèÿ ñ àääèòèâíîé ñëó-
÷àéíîé ñîñòàâëÿþùåé
Y t f t t( ) ( , )� �� � , (1)
ãäå � t — íåçàâèñèìûå, îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû (ÍÐÑÂ).
Ïàðàìåòðèçèðîâàííûé êëàññ ðåãðåññèîííûõ ôóíêöèé F f� � �{ }( , ),� � �
îïðåäåëÿåò çàâèñèìîñòü âðåìåííîãî ðÿäà îò èíäåêñà âðåìåíè è çàäàåòñÿ àïðèîðíî.
Çàäà÷à âîññòàíîâëåíèÿ ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè, çàäàííîé óðàâíåíè-
åì (1), ñîñòîèò â âûáîðå ôóíêöèè f F� è íàõîæäåíèè îöåíîê åå ïàðàìåòðîâ �� , êî-
òîðûå ñîãëàñíî íåêîòîðîìó êðèòåðèþ íàèëó÷øèì îáðàçîì îïèñûâàþò ýìïèðè÷åñ-
êèå äàííûå.  íàñòîÿùåé ñòàòüå â êà÷åñòâå êðèòåðèÿ èñïîëüçóåì óñëîâèå ìèíèìè-
çàöèè ñðåäíåãî ðèñêà
I M q z Y t f t P z dz( ) ( , ) ( ( ) ( , )) ( )� � �� � ��
2 , (2)
ãäå z Y t t� ( ( ), ) — ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ñ íåèçâåñòíîé ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ
P z( ) .
Ïðè óñëîâèè îãðàíè÷åííîñòè ýìïèðè÷åñêèõ äàííûõ â ðàáîòàõ [1–4] ýòà çàäà÷à
ðåøàåòñÿ ìèíèìèçàöèåé ýìïèðè÷åñêîãî ôóíêöèîíàëà ðèñêà
I M q z
l
y f te l i i
i
l
( ) ( , ) ( ( )),� � �� � �
�
1 2
1
(3)
ïðè óñëîâèè ñóùåñòâîâàíèÿ ðàâíîìåðíîé ïî ïàðàìåòðó ñõîäèìîñòè
P I I lesup <
�
� � � � �| ( ) ( )| ( , )�
�
�
�
�
�
, lim ( , )
l
l
� �
�� � 0 . (4)
 ðàáîòàõ [1–3] äîêàçàíî ñóùåñòâîâàíèå ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè (4) ýìïèðè-
÷åñêîãî ôóíêöèîíàëà ðèñêà I e ê ñðåäíåìó è ïîëó÷åíû îöåíêè ýòîé ñõîäèìîñòè â
ñëó÷àÿõ, êîãäà êëàññ ðåãðåññèîííûõ ôóíêöèé F f� � �{ }( , ),� � � èìååò êîíå÷íóþ
åìêîñòü èëè ìîæåò áûòü ïîêðûò êîíå÷íîé �-ñåòüþ. Íà ïðàêòèêå ÷àñòî âîçíèêàåò
íåîáõîäèìîñòü ïðèáëèæàòü ýìïèðè÷åñêèå äàííûå ôóíêöèÿìè, äëÿ êîòîðûõ åì-
êîñòü áåñêîíå÷íà èëè íå îïðåäåëåíà, à ïîêðûòèå êîíå÷íîé �-ñåòüþ èëè íåâîçìîæ-
íî, èëè ïðèâîäèò ê ïîòåðå òî÷íîñòè ðåçóëüòàòà.  ýòèõ ñëó÷àÿõ íåîáõîäèìî ïðîâî-
äèòü äîïîëíèòåëüíûå èññëåäîâàíèÿ.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1 93
© Í.Ä. Ïàíêðàòîâà, À.Ã. Çðàæåâñêèé, 2011
1. ÐÀÂÍÎÌÅÐÍÀß ÑÕÎÄÈÌÎÑÒÜ Â ÑËÓ×ÀÅ
ÀÏÏÐÎÊÑÈÌÀÖÈÈ ÔÓÍÊÖÈÉ ÐÅÃÐÅÑÑÈÈ ÏÎËÈÍÎÌÀÌÈ
Äîêàæåì ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü ýìïèðè÷åñêîãî ôóíêöèîíàëà ðèñêà (3)
ê ñðåäíåìó ðèñêó (2) è ïîñòðîèì îöåíêè ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà
êëàññ ðåãðåññîèîííûõ ôóíêöèé F ìîæåò áûòü ïðèáëèæåí ïîëèíîìèàëüíûì êëàñ-
ñîì ôóíêöèé.
 äàëüíåéøåì áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå îãðàíè÷åííîñòè âîç-
ìîæíûõ âûáðîñîâ [1]
sup sup
� �
� � �
, , ,
( , ) ( ( ) ( , ))
z Y t
q z Y t f t� � �2 . (5)
Òåîðåìà 1. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôóíêöèè f t F( , )� � ìîæíî ïðèáëèçèòü ïîëèíî-
ìîì P tn ( ) ñòåïåíè n íà îòðåçêå [ , ]a b , ïðè ýòîì ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ îöåíêà:
| ( , ) ( )| ( ; , )f t P t G f n tn� � � . (6)
Ïóñòü âûïîëíåíî óñëîâèå (5). Òîãäà èìååò ìåñòî ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü (4)
è ñ âåðîÿòíîñòüþ 1� � ïðè l n� � 1 âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
I I
n
l
n
l
e( ) ( )
( )
,� � � �
�
� � �
�
�
�
�
�
��
�
�
�� �
2
1
2
1
1
9
ln ln
(7)
ãäå
� �� �
�
2 2sup
t a b
G f n t G f n t
[ , ]
( ; , ) ( ( ; , )) . (8)
Çàìå÷àíèå 1. Åñëè (8) ðàçðåøèìî îòíîñèòåëüíî n : n R f� ( ; )� , òî ìîæíî
îïðåäåëèòü íàèáîëåå íèçêóþ ñòåïåíü ðåãðåññèîííîãî ïîëèíîìà ïðè çàäàííîì � .
Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ òîãî ÷òîáû äîêàçàòü ðàâíîìåðíóþ ïî ïàðàìåòðó ñõîäè-
ìîñòü (4), ïîêàæåì, ÷òî äëÿ êàæäîãî � � 0 ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé êëàññ Q� , êîòîðûé
ñîäåðæèò íèæíèå è âåðõíèå ïðèáëèæåíèÿ äëÿ êàæäîé ôóíêöèè q èç
Q q q Y f f F= { }| ( ( ) ( , )) ,� � � � �� 2 , è âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ
q q qL U� �, ,� � è M q qU L( ), ,� � �� � . (9)
Äåéñòâèòåëüíî, åñëè îïðåäåëèòü
q Y t P tL n� �, ( ( ) ( )) /� � �2 2 , q Y t P tU n� �, ( ( ) ( )) /� � �2 2 ,
òî óñëîâèå M q qU L( ), ,� � �� � âûïîëíÿåòñÿ.
Äîêàæåì ïåðâîå óñëîâèå (9), ò.å. q q qL U� �, ,� � .
Ðàññìîòðèì
|( ( ) ( , )) ( ( ) ( )) | |( ( ) ( , ))( (Y t f t Y t P t P t f t Yn n� � � � �� �2 2 2 t f t P tn) ( , ) ( ))|� � ��
� � � � � �| ( , ) ( )| |( ( ) ( , ) ( ))| | ( , ) (f t P t Y t f t P t f t P tn n n� � �2 )| ( | ( ) ( , )|2 Y t f t� ��
� � � � �| ( , ) ( )| ) ( ; , ) ( ( ; , ))f t P t G f n t G f n tn� � � � �2 ,
ãäå � îïðåäåëåíî óñëîâèåì (5).
Åñëè â ïîëó÷åííûõ íåðàâåíñòâàõ ïåðåéòè ê sup
t a b�[ , ]
è îãðàíè÷èòü ïðàâóþ ÷àñòü
ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà � / 2 , òî ïîëó÷èì ïåðâîå óñëîâèå (9), à èìåííî
q q qL U� �, ,� � . Ïîñêîëüêó ýòî óñëîâèå âûïîëíÿåòñÿ, òî èìååò ìåñòî ðàâíîìåðíàÿ
ñõîäèìîñòü (4) [3]. Îöåíèì åå ñêîðîñòü.
94 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1
Ïîñêîëüêó P tn ( ) ÿâëÿåòñÿ ïîëèíîìîì ñòåïåíè n, òî åìêîñòü êëàññà ôóíêöèé
q t Y t P tP
n( , ) ( ( ) ( ))� � � 2 ðàâíà n � 1 [4].  ñëó÷àå, åñëè êëàññ ðåãðåññîðîâ èìååò
êîíå÷íóþ åìêîñòü, òî ñõîäèìîñòü ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíîé, è ñ âåðîÿòíîñòüþ 1� � âû-
ïîëíÿåòñÿ îöåíêà îòêëîíåíèÿ ýìïèðè÷åñêîãî ðèñêà îò ñðåäíåãî [1]
| ( ) ( )|
( )
I I
n
l
n
l
P
e
P� � �
�
� �
�
�
�
�
�
��
�
�
�� �
2
1
2
1
1
9
ln ln
, (10)
ãäå I Mq tP P( ) ( , )� �� , I M q te
P
l
P( ) ( , )� �� .
Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî | ( ) ( )| | ( ) ( )| | ( ) ( )|I I I I I Ie
P
e
P
e� � � � � �� � � � � �
� �| ( ) ( )|I IP
e
P� � .
Ïåðåõîäÿ â íåðàâåíñòâå |( ( ) ( , )) ( ( ) ( )) |Y t f t Y t P tn� � � �� � � �2 2 , êîòîðîå ïî-
ëó÷åíî ïðè ïðîâåðêå ïåðâîãî óñëîâèÿ (9), ê ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèÿì, íàéäåì
| ( ) ( )| | ( , ) ( , )| | ( , ) ( , )|I I Mq t Mq t M q t q tP P P� � � � � �� � � � � � � / 2 .
Àíàëîãè÷íî èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî | ( ) ( )| | ( , ) ( , )|I I M q t q te e
P
l
P� � � �� � � �
� � / 2 . Òîãäà
| ( ) ( )| | ( ) ( )| | ( ) ( )| | ( )I I I I I I I Ie
P
e
P
e
P
e� � � � � � �� � � � � � � P P
e
PI I( )| | ( ) ( )|.� � � �� � �
Ïîäñòàâëÿÿ âìåñòî âòîðîãî ñëàãàåìîãî åãî îöåíêó (10), ïîëó÷àåì óòâåðæäåíèå
òåîðåìû 1.
Ñëåäñòâèå 1. Åñëè âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ òåîðåìû 1, òî èìååò ìåñòî ðàâíîìåð-
íàÿ ñõîäèìîñòü (4). Ïðè ýòîì ñ âåðîÿòíîñòüþ 1� � ñïðàâåäëèâà îöåíêà ñðåäíåãî
ðèñêà
I I
n
l
n
l
e
P( ) ( )
( )
.� � � �
�
� � �
�
�
�
�
�
��
�
�
�� �
3
2
2
1
2
1
1
9
ln ln
(11)
Çàìå÷àíèå 2.  ñëó÷àå, êîãäà êëàññ ôóíêöèé F íåèçâåñòåí, âìåñòî îöåíêè (7)
íà ïðàêòèêå áîëåå öåëåñîîáðàçíà îöåíêà (11). Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî îöåíêà (11)
ïðåäïîëàãàåò ìèíèìèçàöèþ ýìïèðè÷åñêîãî ôóíêöèîíàëà ðèñêà (3) è ïîèñê ñîîò-
âåòñòâóþùèõ îöåíîê ïàðàìåòðà �� â ñëó÷àå, êîãäà ðåãðåññîðàìè áóäóò àïïðîêñèìè-
ðóþùèå ïîëèíîìû P tn ( ) (óñëîâèå (6)). Ñòåïåíü ýòèõ ïîëèíîìîâ ìîæåò áûòü îïðå-
äåëåíà ìåòîäîì óïîðÿäî÷åííîé ìèíèìèçàöèè ðèñêà [1].
Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ îöåíîê àïïðîêñèìàöèè ôóíêöèé ïîëèíîìà-
ìè [5–7], êîòîðûå ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû ïðè âîññòàíîâëåíèè ôóíêöèîíàëüíîé
çàâèñèìîñòè ñ ó÷åòîì ðåçóëüòàòîâ òåîðåìû 1.
Ïðèìåð 1. Åñëè f t D a bn( ) [ , ]( )� � 1 (ñì. [5]), òî ôóíêöèÿ f t( ) ìîæåò áûòü ïðè-
áëèæåíà íà îòðåçêå [ , ]a b ïîëèíîìîì P tn ( ) íàèëó÷øåãî ðàâíîìåðíîãî ïðèáëèæåíèÿ
ñòåïåíè n ñ îöåíêîé îòêëîíåíèÿ:
sup
[ , ] [ , ]
( )| ( ) ( )| max | ( )|
(
a b
n
a b
nf t P t f t
b a
� �
�
�
�
�
�
�
�� 1 )
( )!
n
n n
�
� �
1
2 12 1
. (12)
Ïðèìåð 2. Åñëè f t D a bn( ) [ , ]( )� � 1 (ñì. [5]) è ñóùåñòâóåò ñòåïåíü N � N , ïðè
êîòîðîé sup
[ , ]
| ( ) ( )|
a b
Nf t P t� � 0 , òî
sup
[ , ]
( ) (| ( ) ( )| | | ( )
a b
N i N j
N j N j N jf t P t a b a� � �� �
� � � � �2 2 1 1
0
1
)�
�
�
j
i
, i N� �1 1, ..., , (13)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1 95
ãäå a
N j
N j
�
�( )
— êîýôôèöèåíòû ïîëèíîìîâ P tN j� ( ) ïðè t N j� , a P tN j� ( ) ÿâëÿåòñÿ
ïîëèíîìîì íàèëó÷øåãî ðàâíîìåðíîãî ïðèáëèæåíèÿ ïîëèíîìà P tN j� �1( ) ,
j N� �0 2, ..., .
Ïðèìåð 3. Åñëè ôóíêöèÿ f t C( ) [ , ]� 0 1 (ñì. [6, 7]) è óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ
Ãåëüäåðà ïîðÿäêà , ò.å. äëÿ ìîäóëÿ íåïðåðûâíîñòè
( ; )f u âûïîëíÿåòñÿ íå-
ðàâåíñòâî
( ; )f u cu� , � ( , ]0 1 , (14)
B f t f
k
n
C t tn n
k k n k
k
n
( ; ) ( )�
�
�
�
�
�
� � �
�
1
0
, t � [ , ]0 1 , — ïîëèíîì Áåðíøòåéíà, òî
| ( ) ( ; )| ;
( )
f t B f t f
t t
n
n� �
��
�
�
�
�
�
�
�
5
2
1
, (15)
ãäå
f
t t
n
f
t t
t t
n
t t
;
( )
sup |
| |
( )
, [ , ]
1
2 1
1 2
1
0 1
��
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
( ) ( )|t f t1 2� .
Ñëåäñòâèå 2. Åñëè âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ òåîðåìû 1 è êëàññ ðåãðåññèîííûõ ôóíê-
öèé F ïîêðûâàåòñÿ ïîëèíîìàìè Áåðíøòåéíà ñ îöåíêîé àïïðîêñèìàöèè (15), òî èìååò
ìåñòî ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü (4) è îöåíêà ñðåäíåãî ðèñêà çàäàåòñÿ íåðàâåíñòâîì (7)
(èëè (11)), à ñòåïåíü ïîëèíîìà Áåðíøòåéíà îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
n
c
( )
/
�
� �
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
!
"
"
"
"
"
�
2 2
5
1
4
2
. (16)
Äîêàæåì óòâåðæäåíèå äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà êëàññ ôóíêöèé ÷àñòè÷íî ïîêðûò êî-
íå÷íîé �-ñåòüþ ïî íåêîòîðûì ñâîèì ïàðàìåòðàì, à ïî îñòàëüíûì ïàðàìåòðàì (ïðè
ôèêñèðîâàííûõ çíà÷åíèÿõ óçëîâ �-ñåòè) ìîæåò áûòü ïðèáëèæåí ïîëèíîìàìè
êîíå÷íîé ñòåïåíè.
Òåîðåìà 2. Ïóñòü ìíîæåñòâî ôóíêöèé F f t a� { ( , , )� , t � ( , ]0 1 , a a�� ,
� ��� } ï î ê ð û ò î ê î í å ÷ í î é �- ñ å ò ü þ ï î ï à ð à ì å ò ð ó � : { f t a( , , )�1 ,
f t a( , , )� 2 , . . . ..., f t a n( , , )( )� ��
} , à ïî ïàðàìåòðó a (ïðè ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè
� i ) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì òåîðåìû 1. Ïóñòü òàêæå âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå (5). Òîã-
äà èìååò ìåñòî ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü (4) è ñ âåðîÿòíîñòüþ 1� � ïðè l n� �( )� 1
âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
I ae e( ), � �
� �
�
�
� �
�I a
n
l
n
n
l
e e i e( ( ))
( ( ) )
( )
( )
, � � �
�
�
�
�
�
2
1
2
1 9
ln ln ln
� � ��� 2 , (17)
çäåñü I a M y t f t ae e e e( , ) ( ( ) ( , )),� �� � 2, f t ae e( , ), � — ôóíêöèÿ, êîòîðàÿ ìèíèìè-
çèðóåò ýìïèðè÷åñêèé ôóíêöèîíàë (3), I ae e i e( , ( ))� � � �
�
1 2
1l
y f t ai i e i e
i
l
( ( , , ( ))� � ,
f t ae i e( , ( )), � � — áëèæàéøèé ê f t ae e( , ), � ýëåìåíò �-ñåòè; n( )� — ñòåïåíü àï-
ïðîêñèìèðóþùåãî ïîëèíîìà, êîòîðàÿ ìîæåò áûòü íàéäåíà èç (8).
96 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1
Çàìå÷àíèå.  ñëó÷àå ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèé èç êëàññà F ïîëèíîìàìè Áå-
ðíøòåéíà n( )� îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì (16).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó F ïîêðûòà êîíå÷íîé �-ñåòüþ ïî ïàðàìåòðó � , òî
ïî îïðåäåëåíèþ äëÿ � �� ñóùåñòâóåò i òàêîå, ÷òî sup
a t
if t a f t a
,
| ( , , ) ( , , )|� � ��� � .
Äîêàæåì ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ïàðàìåòð � ïðèíè-
ìàåò ñâîè çíà÷åíèÿ ëèøü â âåðøèíàõ �-ñåòè. Òîãäà ïðè óñëîâèè êîíå÷íîñòè �-ñåòè
P I a I a P I a
i
i e i
a
isup sup
�
� � � �
,
| ( , ) ( , )| | ( ,� �
�
�
#
#
�
�
#
�#
� ) ( , )|
( )
� �
�
�
�
�
�
�
�
I ae i
i
n
� �
��
1
� � �
�
�
�
�
�
n P I a I a
i
i e i( ) | ( , ) ( , )|� � � ��
�
sup sup .
Ïîñêîëüêó ôóíêöèè èç êëàññà F f t a t a a� � �{ }( , , ), ( , ],� 0 1 � óäîâëåòâîðÿþò
óñëîâèÿì òåîðåìû 1, òî ñóùåñòâóþò ïîëèíîìû ïðèáëèæåíèÿ P tn ( ) ñòåïåíè n è
âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî | ( , ) ( , )| | ( , ) ( , )|I a I a I a I ai e i
P
i e
P
i� � � � �� � � � , ãäå �
îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì (8). Òîãäà
P I a I a P I a Ii e i
P
i e
Psup sup
� �
� � � �| ( , ) ( , )| | ( , )� �
�
�
�
�
�
� � ( , )|a i� � �� �
�
�
�
�
�
.
Ïîñêîëüêó êëàññ ïîëèíîìîâ ñòåïåíè n( )� èìååò åìêîñòü n( )� � 1, òî ñóùåñòâóåò
ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü ýìïèðè÷åñêîãî ôóíêöèîíàëà ðèñêà ê ñðåäíåìó (â ôóíê-
öèîíàëàõ â êà÷åñòâå ðåãðåññèîííûõ ôóíêöèé âçÿòû àïïðîêñèìèðóþùèå ïîëèíî-
ìû P tn ( )). Ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè îïðåäåëÿåòñÿ íåðàâåíñòâîì [1]
P I a I a
l
n
P
i e
P
i
n
sup <
�
�
� � � �| ( , ) ( , )|
( )
( (
( )
� � �
�
�
�
�
�
�
9
2 1
�
� �
�
) )!
.
( )
�
�
�
1
2
24e
l
Ïîñêîëüêó ïðàâàÿ ÷àñòü íåðàâåíñòâà íå çàâèñèò îò i , òî
P I a I a n P
a i
i e i
i
sup sup su
,
| ( , ) ( , )| ( )� � � ��� �
�
�
#
#
�
�
#
�#
� p
�
� � �| ( , ) ( , )|I a I ai e i� �
�
�
�
�
�
�
� � � �
�
�
�
�
�
n P I a I a n
i
P
i e
P
i( ) | ( , ) ( , )| (� � � � � ��
�
sup sup < 9 �
�
� �
�
�
)
( )
( ( ) )!
.
( )
( )
2
1
1
4
2
2l
n
e
n
l
� �
�
�
Òàêèì îáðàçîì, èìååò ìåñòî ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü (4) è åå ñêîðîñòü îïðåäå-
ëÿåòñÿ ïðàâîé ÷àñòüþ ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà. Ïðèðàâíèâàåì åå ê � è ðåøàåì
ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî � :
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�2
1
2
1 9
( ( ) )
( )
( )n
l
n
n
l
ln ln ln
. (18)
Äëÿ � �� îáîçíà÷èì ÷åðåç f t a i( , , ( ))� � áëèæàéøèé ê f t a( , , )� ýëåìåíò �-ñåòè.
Ñ ó÷åòîì âûïóêëîñòè ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, âûïóêëîñòè ôóíêöèîíàëà
( ( ) ( , , ))Y t f t a i� � 2 è óñëîâèÿ (5) ïîëó÷èì
| ( , ) ( , ( ))|I a I a i� � �� �
� � � �| ( ( , , ) ( , , ( )))( ( ) ( , , ) ( , ,M f t a f t a Y t f t a f t ai i� � � � �2 ( )))|� �
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1 97
� � � � �� � � � � �� �M Y t f t a f t a I a I ai( ( ) ( , , ) ( , , ( ))) ( , ) ( ,2 2 22 � � � ��i ( )) � 2 .
Òîãäà ñ âåðîÿòíîñòüþ 1� � êà÷åñòâî ôóíêöèè f t ae e( , ), � , êîòîðàÿ ìèíèìèçèðó-
åò ýìïèðè÷åñêèé ðèñê I ae e( ), � , îïðåäåëÿåòñÿ îöåíêîé
I a I a I ae e e i e e e i e( ) ( ( )) ( ( )), , ,� � � � � � � � � �� �� � � � �2 2 ,
ãäå � çàäàåòñÿ ôîðìóëîé (18). Òàêèì îáðàçîì, èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî (17).
2. ÂÎÑÑÒÀÍÎÂËÅÍÈÅ ÔÓÍÊÖÈÎÍÀËÜÍÎÉ ÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÈ
 ÑËÓ×ÀÅ ÀÏÏÐÎÊÑÈÌÀÖÈÈ ÊËÀÑÑÀ ÒÐÈÃÎÍÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÕ ÔÓÍÊÖÈÉ
ÏÎËÈÍÎÌÀÌÈ ÁÅÐÍØÒÅÉÍÀ
Ðàññìîòðèì ïðèìåð ïðèìåíåíèÿ ðåçóëüòàòîâ òåîðåìû 1 äëÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêî-
ãî êëàññà ôóíêöèé F:
F f t t t a a a a a� � � � �{ { } }( , , ), [ , ], , [ , ], ,�
0 0 1 21 � ,
f t a a a t a t( , , ) sin cos
� � �0 1 2 . (19)
Ââåäåì ñëåäóþùåå îáîçíà÷åíèå:
~
/ [ / , ]t t t� �
0 1 . Òîãäà
f t a a a t a t(
~
, ) sin
~
cos
~
� � �0 1 2
. (20)
Ïîñêîëüêó ôóíêöèè (20) íåïðåðûâíû è óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ Ãåëüäåðà (14) ïðè
�1, c a a a
a a
�
�
max , ,
�
{ }0 1 2
, òî èõ ìîæíî ïðèáëèçèòü ïîëèíîìàìè Áåðíøòåéíà
B f t f
k
n
a C t t a a bn n
k k n k
k
n
r( ;
~
) ,
~
(
~
) (�
�
�
�
�
�
� � � ��
�
1
0
0 1
1) ( )t a b tr r
r
n
r
r r
r
n
� �
�
0
2
2
0
,
ãäå
b C C k nr n
k
n k
r k r k r
k
r
( ) ( ) sin ( / ) ,1
0
1� ��
� � �
�
b C C k nr n
k
n k
r k r k r
k
r
( ) ( ) cos ( / )2
0
1� ��
� � �
�
.
Ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè ïðè ýòîì îöåíèâàåòñÿ íåðàâåíñòâîì (15).
 ñîîòâåòñòâèè ñî ñëåäñòâèåì 1 òåîðåìû 1 îöåíêà ñðåäíåãî ðèñêà (11) ñîñòîèò
èç òðåõ ñëàãàåìûõ:
I I n I n I n( ) ( , ) ( , ) ( ),� � �� � �1 2 3
ãäå I n I e
Bn
1( , ) ( )� �� — ýìïèðè÷åñêèé ôóíêöèîíàë ðèñêà, äëÿ êîòîðîãî â êà÷å-
ñòâå ðåãðåññèîííûõ ôóíêöèé èñïîëüçóþòñÿ ïîëèíîìû Áåðíøòåéíà, àïïðîêñèìè-
ðóþùèå ôóíêöèè (20);
I n c
n
c
n
2
2 2
15
4
1
2
5
4
1
( , )
/ /
� �
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
, I n
n
l
n
l
3 2
1
2
1
1
9
( )
( )( )
�
�
�
� �
�
�
ln ln
.
Ïðè óâåëè÷åíèè ñòåïåíè àïïðîêñèìèðóþùåãî ïîëèíîìà n çíà÷åíèÿ ïåðâîãî è
âòîðîãî ñëàãàåìûõ óáûâàþò, â òî âðåìÿ êàê çíà÷åíèå òðåòüåãî — âîçðàñòàåò. Çàäà-
÷à ñîñòîèò â íàõîæäåíèè çíà÷åíèÿ n è ñîîòâåòñòâóþùåé îöåíêè ïàðàìåòðà � , ïðè
êîòîðûõ îöåíêà ñðåäíåãî ðèñêà (ïðàâàÿ ÷àñòü íåðàâåíñòâà (11)) áóäåò ïðèíèìàòü
ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå. Óêàçàííûé ïîäõîä ê âûáîðó îïòèìàëüíîé ñëîæíîñòè ìîäå-
ëè (â äàííîì ñëó÷àå ýòî ñòåïåíü n ïîëèíîìà Áåðíøòåéíà) íàçûâàåòñÿ ìåòîäîì óïî-
ðÿäî÷åííîé ìèíèìèçàöèè ðèñêà [1].
Ïðèìåíèì èçëîæåííóþ òåîðèþ äëÿ âûáîðà îïòèìàëüíîé (â ïîíèìàíèè èçëî-
æåííîãî) ìîäåëè èñêóññòâåííîãî âðåìåííîãî ðÿäà ñ åå äàëüíåéøèì èñïîëüçîâàíè-
åì äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ è ïðîãíîçèðîâàíèÿ. Ýìïèðè÷åñêèå äàííûå çàäàäèì â âèäå
98 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1
Y t a a t a t t( ) ( )� � � �0 1 2Sin Cos
� , t � ( , ]0 1 , (21)
ãäå a0 01� . , a1 1� , a2 1� � ,
�� , �( )t — ÍÐÑ ñ íîðìàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì
ñ ïàðàìåòðàìè 0 è 0.2, â ôèêñèðîâàííûå ìîìåíòû âðåìåíè: t ii � / 48 , i �1 24, ..., .
Ïðîãíîçíûé ïåðèîä ñîñòîèò èç 24 ìîìåíòîâ âðåìåíè: t ii � / 48 , i � 25 48, ..., .
Íà ðèñ. 1, à ïîêàçàí ãðàôèê çàâèñèìîñòè îöåíêè ñðåäíåãî ðèñêà I I I1 2 3� �
(ñì. (11)) îò n . Íà ðèñ. 1, á ïðåäñòàâëåíû ýìïèðè÷åñêèå äàííûå (êðèâàÿ 1), âîññòà-
íîâëåííàÿ ôóíêöèîíàëüíàÿ çàâèñèìîñòü ñ ñïðîãíîçèðîâàííûìè çíà÷åíèÿìè (êðè-
âàÿ 2), ôàêòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ, ðàññ÷èòàííûå ïî ôîðìóëå (21) áåç äîáàâëåíèÿ ñëó-
÷àéíîé êîìïîíåíòû �( )t i , i � 25 48, ..., (êðèâàÿ 3). Çäåñü â êà÷åñòâå ìàêñèìàëüíî
âîçìîæíîãî çíà÷åíèÿ ïåðèîäà ïðèíèìàåì
�� 2 , � — ñðåäíåêâàäðàòè÷íàÿ îøèáêà
ïðè ïðèáëèæåíèè ýìïèðè÷åñêèõ äàííûõ ïîëèíîìàìè âòîðîé ñòåïåíè.
Ìåòîäîì óïîðÿäî÷åííîé ìèíèìèçàöèè ðèñêà ñòåïåíü ïîëèíîìà Áåðíøòåéíà n
èçìåíÿåì îò 4 äî 10. Êàê âèäíî èç ðèñ. 1, à, ìèíèìóì âåëè÷èíû ñðåäíåãî ðèñêà
äîñòèãàåòñÿ ïðè n � 6 .  ýòîì ñëó÷àå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ñîñòàâëÿþò � .a0 0 84� ,
� .a1 0 718� , � .a2 144� � , � .
��14 . Ñïðîãíîçèðîâàííûå çíà÷åíèÿ ïîëó÷èì ïðè
ýêñòðàïîëÿöèè ïîëèíîìà Áåðíøòåéíà íà ïåðèîä ïðîãíîçà: t ii � / 48 , i � 25 48, ..., .
Êàê âèäíî èç ðèñ. 1, ïðîãíîçèðîâàíèå íà îñíîâå èñïîëüçîâàíèÿ ïîëèíîìèàëüíîé
àïïðîêñèìàöèè òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé öåëåñîîáðàçíî ïðîâîäèòü òîëüêî íà
íåáîëüøèå ïðîìåæóòêè âðåìåíè (îêîëî 50% êîëè÷åñòâà ýìïèðè÷åñêèõ äàííûõ).
Îöåíèì êà÷åñòâî ïîñòðîåííîé ìîäåëè, êîãäà çíà÷åíèå ýìïèðè÷åñêîãî ôóíêöè-
îíàëà ðèñêà I e � 0 0339. îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèìè ñòàòèñòè÷åñêèìè õàðàêòåðèñòè-
êàìè: RE( ) .1 0 083� — îòíîñèòåëüíàÿ îøèáêà ïåðâîãî ñïðîãíîçèðîâàííîãî çíà÷å-
íèÿ, MSE( ) .12 0 09� , MSE( ) .24 0 376� — ñðåäíåêâàäðàòè÷íûå îøèáêè ïåðâûõ
12 è 24 çíà÷åíèé ïðîãíîçà ñîîòâåòñòâåííî, MAPE( ) .12 0 295� , MAPE( ) .24 0 314� —
ñðåäíåàáñîëþòíûå ïðîöåíòíûå îøèáêè ïåðâûõ 12 è 24 çíà÷åíèé ïðîãíîçà ñîîòâåò-
ñòâåííî [8]. Ñ óâåëè÷åíèåì ïåðèîäà ïðîãíîçà ñðåäíåêâàäðàòè÷íàÿ è ñðåäíåàáñî-
ëþòíàÿ ïîãðåøíîñòè óâåëè÷èâàþòñÿ.
3. ÂÎÑÑÒÀÍÎÂËÅÍÈÅ ÔÓÍÊÖÈÎÍÀËÜÍÎÉ ÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÈ
 ÑËÓ×ÀÅ ÀÏÏÐÎÊÑÈÌÀÖÈÈ ÊËÀÑÑÀ ÒÐÈÃÎÍÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÕ ÔÓÍÊÖÈÉ
ÏÎËÈÍÎÌÀÌÈ ÍÀÈËÓ×ØÅÃÎ ÐÀÂÍÎÌÅÐÍÎÃÎ ÏÐÈÁËÈÆÅÍÈß
Îïèñàííûé â ðàçä. 2 ïîäõîä òðåáóåò àïðèîðíîãî çàäàíèÿ êëàññà ôóíêöèé F, àï-
ïðîêñèìèðóåìîãî ïîëèíîìàìè Áåðíøòåéíà. Íåîáõîäèìîñòü ïîäîáíîé àïðèîðíîé
èíôîðìàöèè íà ïðàêòèêå ñóùåñòâåííî ñóæàåò êëàññ çàäà÷ âîññòàíàâëèâàåìûõ çà-
âèñèìîñòåé. Çäåñü ïðåäëàãàåòñÿ èíîé ïîäõîä, êîòîðûé îñíîâàí íà àïïðîêñèìàöèè
ðåãðåññèîííûõ ôóíêöèé ïîëèíîìàìè íàèëó÷øåãî ðàâíîìåðíîãî ïðèáëèæåíèÿ.
Ê ïîñòðîåíèþ îöåíêè ñðåäíåãî ðèñêà (2) ïðèìåíèì îöåíêè àïïðîêñèìà-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1 99
Ðèñ 1. Ãðàôè÷åñêàÿ ðåàëèçàöèÿ âîññòàíîâëåíèÿ ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè â ñëó÷àå àïïðîêñè-
ìàöèè êëàññà òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé ïîëèíîìàìè Áåðíøòåéíà
à á
I I I1 2 3� � Y
n t
öèè (12) è (13). Îñíîâûâàÿñü íà ðåçóëüòàòàõ òåîðåìû 1, ïîëó÷èì
�1( )n �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
2
2 1
21
1
2 1
max| ( )|
( )
( )!
m
[ , ]
( )
a b
n
n
n
f t
b a
n
� ax | ( )|
( )
( )![ , ]
( )
a b
n
n
n
f t
b a
n
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�1
1
2 12 1 �
, (22)
�2
2 1 1
0
1
2 2( ) | | ( )
( ) ( )n a b a
N j
N j N j N j
j
N n
� �
�
�
�
�
� � � � � �
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2 �
� �
�
�
�
��
� � � � � �
�
� �
| | ( )
( ) ( )a b a
N j
N j N j N j
j
N n
2 2 1 1
0
1
, (23)
ãäå N âûáèðàåòñÿ èç óñëîâèÿ sup
[ , ]
| ( ) ( )|
a b
Nf t P t� � 0 .
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ òåîðåìû 1, à ñëåäîâàòåëüíî, èìååò
ìåñòî ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü è îöåíêà ñðåäíåãî ðèñêà (2) îïðåäåëÿåòñÿ êàê
I I n I n I ni( ) ( , ) ( , ) ( ),( )� � �� � �1 2 3 (24)
ãäå I n I e
Pn
1( , ) ( )� �� — ýìïèðè÷åñêèé ðèñê, ïîñòðîåííûé íà îñíîâàíèè ïîëèíî-
ìîâ íàèëó÷øåãî ðàâíîìåðíîãî ïðèáëèæåíèÿ, I n ni i2 3 2( )( , ) ( ) /� �� , i �1 2, , —
ïîãðåøíîñòü, çàäàííàÿ ðàâåíñòâàìè (22) è (23) ñîîòâåòñòâåííî, I n3( ) �
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�� �
2
1
2
1
1
9
�
�
( )n
l
n
l
ln ln
.
Êàê è â ðàçä. 2, ïðè óâåëè÷åíèè ñòåïåíè àïïðîêñèìèðóþùåãî ïîëèíîìà n çíà-
÷åíèÿ ïåðâîãî è âòîðîãî ñëàãàåìûõ óáûâàþò, â òî âðåìÿ êàê çíà÷åíèå òðåòüåãî
ñëàãàåìîãî âîçðàñòàåò. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ âûáîðà îïòèìàëüíîé (â ñìûñëå ìèíè-
ìóìà îöåíêè ñðåäíåãî ðèñêà) ñòåïåíè ïîëèíîìà n öåëåñîîáðàçíî èñïîëüçîâàòü
ìåòîä óïîðÿäî÷åííîé ìèíèìèçàöèè ðèñêà [1].
Ïðèìåíèì îïèñàííûé ïîäõîä äëÿ âîññòàíîâëåíèÿ ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìî-
ñòè ïî èñêóññòâåííîìó âðåìåííîìó ðÿäó. Ýìïèðè÷åñêèå äàííûå îïðåäåëèì êàê
Y t a a t t( ) ( ) ( )� � � �0 1Sin
� , t � ( , ]0 1 , (25)
ãäå a0 01� . , a1 1� ,
�� 2 ,
�� / 3 , �( )t — HPCB ñ íîðìàëüíûì ðàñïðåäåëå-
íèåì ñ ïàðàìåòðàìè 0 è 0.2.
Ìîäåëèðóåì 24 çíà÷åíèÿ: t ii � / 24 , i �1 24, ..., ; � — ñðåäíeêâàäðàòè÷íàÿ ïî-
ãðåøíîñòü ïðè ïðèáëèæåíèè ýìïèðè÷åñêèõ äàííûõ ïîëèíîìîì âòîðîé ñòåïåíè.
 êà÷åñòâå àïðèîðíîé èíôîðìàöèè äëÿ ïîñòðîåíèÿ �1( )n èñïîëüçóåì ðàâåíñòâî
max | ( )|
[ , ]
( )
0 1
1
1
1 12f t an n n� � �� �
� . Íåêîòîðûå ðåçóëüòàòû ïðîöåññà âîññòàíîâëå-
íèÿ ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè â ñëó÷àå àïïðîêñèìàöèè êëàññà òðèãîíîìåòðè-
÷åñêèõ ôóíêöèé ïîëèíîìàìè íàèëó÷øåãî ðàâíîìåðíîãî ïðèáëèæåíèÿ ïðèâåäåíû
íà ðèñ. 2.
Çàâèñèìîñòü çíà÷åíèé I n I n1 2( , ) ( )� � îò n ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ. 2, à, îòêóäà
ñëåäóåò, ÷òî ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå äîñòèãàåòñÿ ïðè n � 4 . Ðåçóëüòàòû îöåíèâàíèÿ
ñðåäíåãî ðèñêà (24) â çàâèñèìîñòè îò n ïðè óñëîâèè, ÷òî âòîðîå ñëàãàåìîå ðàññ÷è-
òûâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ (22) è (23) ñîîòâåòñòâåííî, ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 2, á è 2, â.
Ìèíèìàëüíûå çíà÷åíèÿ ýòèõ âåëè÷èí äîñòèãàþòñÿ ïðè n � 7 è n � 5 ñîîòâåòñòâåííî.
 òàáë. 1 äàíû ðåçóëüòàòû îöåíèâàíèÿ êà÷åñòâà ïîñòðîåííîé ìîäåëè ñ ïðèâëå÷åíè-
åì íàèëó÷øåãî ðàâíîìåðíîãî ïðèáëèæåíèÿ ïðè èñïîëüçîâàíèè ïîëèíîìîâ ñòåïå-
100 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1
íåé 4, 5, 7. Ðàñc÷èòàíû çíà÷åíèÿ ýìïèðè÷åñêîãî ôóíêöèîíàëà ðèñêà I e
Pn , îñíîâíûå
õàðàêòåðèñòèêè êà÷åñòâà MSE è MAPE , ïîëó÷åííûå íà îñíîâå ñðàâíåíèÿ ñìîäåëè-
ðîâàííûõ ñ ïîìîùüþ îöåíèâàåìîãî ïîëèíîìà äàííûõ è äàííûõ, íàéäåííûõ ïî
ôîðìóëå (25) áåç äîáàâëåíèÿ ñëó÷àéíîé ñîñòàâëÿþùåé �( )t . Åñëè ñòåïåíü ïîëèíî-
ìà âûáèðàåòñÿ èç óñëîâèÿ ìèíèìóìà ýìïèðè÷åñêîãî ôóíêöèîíàëà ðèñêà, òî ââèäó
óáûâàíèÿ ïîñëåäíåãî ñ ðîñòîì n ðåçóëüòàòîì áóäåò ìàêñèìàëüíî äîïóñòèìàÿ ñòå-
ïåíü (â äàííîì ñëó÷àå n � 9 ). Ýòî ìîæåò ïðèâåñòè ê ïåðåçãëàæèâàíèþ, ò.å. ê ñëó-
÷àþ, êîãäà ðåãðåññèîííàÿ êðèâàÿ êðîìå îñíîâíîé òåíäåíöèè áóäåò îïèñûâàòü ñëó-
÷àéíóþ êîìïîíåíòó, ÷òî íåæåëàòåëüíî. Ýòó ïðîáëåìó ìîæíî ðåøèòü ïóòåì ó÷åòà
ñëàãàåìîãî I n3( ) ïðè ìèíèìèçàöèè [1]. Îäíàêî ïðè ýòîì ìîæåò âîçíèêíóòü ïðîòè-
âîïîëîæíàÿ ïðîáëåìà — íåäîçãëàæèâàíèå. Êàê âèäíî èç òàáë. 1, ïðè n � 4 (ñòåïåíü
âûáðàíà èç óñëîâèÿ ìèíèìèçàöèè I n I n1 3( , ) ( )� � ) çíà÷åíèå MSE ÿâëÿåòñÿ íàèáîëü-
øèì. Ó÷åò ïðè ìèíèìèçàöèè âñåõ òðåõ êîìïîíåíò (24) ïðåäîñòàâëÿåò âîçìîæíîñòü
êîíòðîëèðîâàòü êàê ïåðåçãëàæèâàíèå, òàê è íåäîçãëàæèâàíèå. Ïðè ýòîì âàæíîå
çíà÷åíèå èìååò îöåíêà àïïðîêñèìàöèè ôóíêöèè ïîëèíîìîì.  äàííîì ïðèìåðå
ëó÷øèå çíà÷åíèÿ ñòàòèñòèê MSE è MAPE
ïîëó÷åíû ïðè n � 7 , ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ðå-
çóëüòàòó, ïîëó÷åííîìó ïðè èñïîëüçîâàíèè
îöåíêè (12).
Íà ðèñ. 2, ã äàí ãðàôèê âðåìåííîãî ðÿäà,
ïîëó÷åííîãî ïóòåì ìîäåëèðîâàíèÿ ïîëèíîìà
ñòåïåíè n � 7 (êðèâàÿ 1), ýìïèðè÷åñêèõ äàí-
íûõ (êðèâàÿ 2) è âðåìåííîãî ðÿäà, ðàññ÷èòàííîãî ïî ôîðìóëå (25) áåç ñëó÷àéíîé ñîñòàâ-
ëÿþùåé �( )t (êðèâàÿ 3). Êàê âèäèì, ïðåäëîæåííûé ïîäõîä ÷àñòè÷íî ðåøàåò ïðîáëåìó ïå-
ðåçãëàæèâàíèÿ è íåäîçãëàæèâàíèÿ ïðè âûáîðå àïïðîêñèìèðóþùåãî ïîëèíîìà.
4. ÏÐÈÌÅÐ ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈß ÔÈÍÀÍÑÎÂÛÕ ÂÐÅÌÅÍÍÛÕ ÐßÄÎÂ
Ïðèìåíèì îïèñàííûé â ðàçä. 3 ïîäõîä äëÿ âîññòàíîâëåíèÿ ôóíêöèîíàëüíîé çàâè-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1 101
Ðèñ 2. Ãðàôè÷åñêàÿ ðåàëèçàöèÿ ïðîöåññà âîññòàíîâëåíèÿ ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè â ñëó÷àå
àïïðîêñèìàöèè êëàññà òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé ïîëèíîìàìè íàèëó÷øåãî ðàâíîìåðíîãî ïðèáëèæåíèÿ
à á
â ã
n n
I I I1 2 1 3� �( )I I1 2�
tn
I I I1 2 2 3� �( ) Y
Ò à á ë è ö à 1
n Ie
Pn MSE MAPE
4 0.0302475 0.837458 1.38923
5 0.0302365 0.836269 1.38927
7 0.027802 0.814669 1.38232
ñèìîñòè íà îñíîâå âðåìåííîãî ðÿäà, îïðåäåëÿþùåãî òðåáîâàíèÿ áàíêîâ ïî êðåäè-
òàì, ïðåäîñòàâëåííûìè þðèäè÷åñêèì ëèöàì â ÀÐ Êðûì çà 12 ìåñÿöåâ 2007 ãîäà.
Ïîñëå âûäåëåíèÿ òðåíäîâîé ñîñòàâëÿþùåé ñ ïðèìåíåíèåì ìîíîòîííûõ ðåãðåññî-
ðîâ âðåìåííîé ðÿä îñòàòêîâ èìååò ïîëîæèòåëüíóþ àâòîðåãðåññèîííóþ ñîñòàâëÿþ-
ùóþ.  ðàáîòå [8] ñäåëàíî ïðåäïîëîæåíèå îòíîñèòåëüíî íàëè÷èÿ öèêëè÷åñêîé ñî-
ñòàâëÿþùåé, è â êà÷åñòâå ðåãðåññîðîâ äëÿ îñòàòêîâ èñïîëüçîâàí êëàññ òðèãîíî-
ìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé. Äàííûé ïîäõîä äëÿ ìàëûõ âûáîðîê [1] ìîæåò ïðèâåñòè
ê íåäîçãëàæèâàíèþ, ÷òî ìîæåò áûòü óñòðàíåíî îïèñàííûì â ðàçä. 3 ñïîñîáîì.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îñòàòêè âðåìåííîãî ðÿäà (â äàëüíåéøåì ýìïèðè÷åñêèå äàí-
íûå) ìîãóò áûòü îïèñàíû ñ ïîìîùüþ ðåãðåññèîííîé ìîäåëè (1), êëàññ ðåãðåññèîííûõ
ôóíêöèé F f� � �{ }( , ),� � � êîòîðîé óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì òåîðåìû 1. Ïî àíàëî-
ãèè ñ ðàçä. 3 ïîñòðîèì îöåíêè ñðåäíåãî ðèñêà (24), èñïîëüçóÿ îöåíêè ïðèáëèæåíèÿ
ôóíêöèé êëàññà ïîëèíîìàìè íàèëó÷øåãî ðàâíîìåðíîãî ïðèáëèæåíèÿ (12) è (13). Ñ÷è-
òàåì, ÷òî f t D a bn( ) [ , ]( )� � 1 è max | ( )|
[ , ]
( )
0 1
1
1
12f t an n� �� � . Çíà÷åíèå a1 101 187� .
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìàêñèìàëüíîå îòêëîíåíèå ýìïèðè÷åñêèõ äàííûõ îò íóëÿ.
Ãðàôèê ïðîöåññà âîññòàíîâëåíèÿ ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè îñòàòêîâ âðå-
ìåííîãî ðÿäà êðåäèòîâ þðèäè÷åñêèõ ëèö â ÀÐ Êðûì äàí íà ðèñ. 3. Ïðèâåäåíî îöå-
íèâàíèå ñðåäíåãî ðèñêà (24) â çàâèñèìîñòè îò n äëÿ òðåõ ñëó÷àåâ: âòîðîå ñëàãàåìîå
îòñóòñòâóåò (ðèñ. 3, à), âòîðîå ñëàãàåìîå çàäàåòñÿ ôîðìóëîé (22) (ðèñ. 3, á) è ôîð-
ìóëîé (23) (ðèñ. 3, â). Çäåñü â ñîîòâåòñòâèè ñ ìåòîäîì óïîðÿäî÷åííîé ìèíèìèçàöèè
ðèñêà îïòèìàëüíûå (â ñìûñëå ìèíèìèçàöèè îöåíêè ñðåäíåãî ðèñêà) çíà÷åíèÿ ñòå-
ïåíè àïïðîêñèìèðóþùåãî ïîëèíîìà ñîñòàâëÿþò n1 3� , n2 6� è n3 5� ñîîòâåò-
ñòâåííî.  êà÷åñòâå ìîäåëè áûë ïðèíÿò ïîëèíîì ñòåïåíè n2 6� . Íà ðèñ. 3, ã ïðåä-
102 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1
Ðèñ 3. Ãðàôè÷åñêàÿ ðåàëèçàöèÿ ïðîöåññà âîññòàíîâëåíèÿ ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè îñòàòêîâ
âðåìåííîãî ðÿäà êðåäèòîâ
áà
â ã
�yi , yi
n n
i
n
I I I1 2 1 3� �( )
I I1 2�
I I I1 2 2 3� �( )
ñòàâëåí ãðàôèê ñìîäåëèðîâàííûõ çíà÷åíèé �yi , i �1 12, ..., (êðèâàÿ 1) è ýìïèðè÷åñ-
êèõ äàííûõ yi , i �1 12, ..., (êðèâàÿ 2).
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1 103
Ò à á ë è ö à 2
Õàðàêòå-
ðèñòèêà
Ñìîäåëèðîâàííûå çíà÷åíèÿ äëÿ i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
yi –46.90 –30.85 74.48 96.84 43.62 52.35 –13.41 –101.1 –95.77 –87.36 –46.22 80.14
�yi –53.67 –6.31 51.30 83.60 77.47 36.92 –22.43 –78.75 –109.4 –96.53 –32.22 75.79
RE –0.14 0.79 0.31 0.13 –0.77 0.29 –0.67 0.22 –0.14 –0.10 0.30 0.05
Çíà÷åíèÿ âåëè÷èí �yi , yi è îòíîñèòåëüíûõ îøèáîê RE äëÿ i �1 12, ..., , n2 6�
äàíû â òàáë. 2.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Ðàññìîòðåíà çàäà÷à âîññòàíîâëåíèÿ ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè íà îñíîâå âðå-
ìåííûõ ðÿäîâ, êîãäà êëàññ ðåãðåññîðîâ ìîæåò áûòü ïðèáëèæåí ïîëèíîìèàëüíû-
ìè ôóíêöèÿìè. Ïðèâåäåíû ïðèìåðû àïïðîêñèìàöèè ôóíêöèé ïîëèíîìàìè íàè-
ëó÷øåãî ðàâíîìåðíîãî ïðèáëèæåíèÿ è ïîëèíîìàìè Áåðíøòåéíà.  ñëó÷àå, åñëè
êëàññ ðåãðåññèîííûõ ôóíêöèé çàäàí àïðèîðíî, èñïîëüçîâàíèå àïïðîêñèìàöèè
ïîëèíîìàìè Áåðíøòåéíà ïîçâîëÿåò ñîõðàíÿòü êà÷åñòâåííûå õàðàêòåðèñòèêè èñ-
ñëåäóåìûõ ïðîöåññîâ, ÷òî óëó÷øàåò êà÷åñòâî ïðîãíîçèðîâàíèÿ. Àïïðîêñèìàöèÿ
ïîëèíîìàìè íàèëó÷øåãî ðàâíîìåðíîãî ïðèáëèæåíèÿ íå òðåáóåò àïðèîðíîãî çà-
äàíèÿ êëàññà ðåãðåññèîííûõ ôóíêöèé (çà èñêëþ÷åíèåì óñëîâèé, ïåðå÷èñëåííûõ
â ïðèìåðàõ 1, 2), ÷òî ñóùåñòâåííî ðàñøèðÿåò èñïîëüçîâàíèå óêàçàííîãî ïîäõîäà
íà ïðàêòèêå.
Äîêàçàíà ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü ýìïèðè÷åñêîãî ôóíêöèîíàëà ðèñêà ê òåîðå-
òè÷åñêîìó è îöåíåíà åå ñêîðîñòü äëÿ ñëó÷àåâ, êîãäà êëàññ ôóíêöèé ìîæåò áûòü
ïðèáëèæåí ïîëèíîìàìè ïî âñåì èëè ëèøü ïî íåêîòîðûì ñâîèì ïàðàìåòðàì. Âî èç-
áåæàíèå ïðîáëåì íåäîçãëàæèâàíèÿ è ïåðåçãëàæèâàíèÿ ïðåäëîæåíî èñïîëüçîâàòü
ìåòîä óïîðÿäî÷åííîé ìèíèìèçàöèè ðèñêà. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû èñïîëüçîâàíû
äëÿ âîññòàíîâëåíèÿ ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè èñêóññòâåííî ñìîäåëèðîâàííûõ
âðåìåííûõ ðÿäîâ è âðåìåííîãî ðÿäà îñòàòêîâ êðåäèòîâ, ïðåäîñòàâëåííûõ þðèäè-
÷åñêèì ëèöàì â ÀÐ Êðûì ïîñëå âûäåëåíèÿ òðåíäîâîé ñîñòàâëÿþùåé. Õàðàêòåðèñ-
òèêè êà÷åñòâà ïîñòðîåííûõ ìîäåëåé ñâèäåòåëüñòâóþò î âîçìîæíîñòè ïðèìåíÿòü
ïðåäëîæåííóþ ìåòîäîëîãèþ äëÿ âîññòàíîâëåíèÿ âðåìåííûõ ðÿäîâ ðàçíîé ïðèðîäû
è ðàçëè÷íûõ âèäîâ ñëîæíîñòè.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. V a p n i k V . N . Estimation of dependences based on empirical data. — New York: Springer Verlag,
1982. — 399 p.
2. A n t h o n y M . , S h a w e - T a y l o r J . A result of Vapnik with applications // Discrete Applied Mathema-
tics. — 1993. — ¹ 47 (3). — P. 207–217.
3. P o l l a r d D . Convergence of stochastic processes. — New York: Springer Verlag, 1984. — 215 p.
4. A n t h o n y M . Discrete mathematics of neural networks: Selected Topics. — SIAM, 2001. — 131p.
5. Á à õ â à ë î â Í . Ñ . , Æ è ä ê î â Í . Ï . , Ê î á å ë ü ê î â à . Ì . ×èñëåííûå ìåòîäû. — Ì.: Íàóêà, 1987. —
630 ñ.
6. Ä ç ÿ ä û ê Â . Ê . Ââåäåíèå â òåîðèþ ðàâíîìåðíîãî ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèé ïîëèíîìàìè. — Ì.: Íàóêà,
1977. — 512 ñ.
7. Ò å ë ÿ ê î â ñ ê è é Ñ . À . Î ñêîðîñòè ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèé ìíîãî÷ëåíàìè Áåðíøòåéíà // Òð. ÈÌÌ. —
2008. — 14, ¹ 3. — Ñ. 162–169.
8. Ç ð à æ å â ñ ê è é Î . à . Ìåòîäè ïîáóäîâè ìîäåëåé äëÿ äîâãîñòðîêîâîãî ïðîãíîçóâàííÿ ô³íàíñîâèõ
÷àñîâèõ ðÿä³â // Ñèñòåìí³ äîñë³äæåííÿ òà ³íôîðìàö³éí³ òåõíîëî㳿. — 2010. — ¹ 1. — Ñ. 123–142.
Ïîñòóïèëà 22.06.2010
104 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-72205 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:44:16Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Панкратова, Н.Д. Зражевский, А.Г. 2014-12-19T21:39:31Z 2014-12-19T21:39:31Z 2011 Восстановление функциональной зависимости на основе временных рядов с использованием классов регрессоров бесконечной емкости / Н.Д. Панкратова, А.Г. Зражевский // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — № 1. — С. 93-104. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72205 519.6:519.81 Розглянуто задачу відновлення функціональної залежності часових рядів від індексу часу у випадку короткої вибірки даних. Доведено рівномірну збіжність емпіричного функціоналу ризику до теоретичного у випадку, коли функції регресії можуть бути наближені поліномами скінченного степеня. Наведено приклад застосування відновлення функціональної залежності стосовно тригонометричного класу функцій. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Восстановление функциональной зависимости на основе временных рядов с использованием классов регрессоров бесконечной емкости Article published earlier |
| spellingShingle | Восстановление функциональной зависимости на основе временных рядов с использованием классов регрессоров бесконечной емкости Панкратова, Н.Д. Зражевский, А.Г. Системный анализ |
| title | Восстановление функциональной зависимости на основе временных рядов с использованием классов регрессоров бесконечной емкости |
| title_full | Восстановление функциональной зависимости на основе временных рядов с использованием классов регрессоров бесконечной емкости |
| title_fullStr | Восстановление функциональной зависимости на основе временных рядов с использованием классов регрессоров бесконечной емкости |
| title_full_unstemmed | Восстановление функциональной зависимости на основе временных рядов с использованием классов регрессоров бесконечной емкости |
| title_short | Восстановление функциональной зависимости на основе временных рядов с использованием классов регрессоров бесконечной емкости |
| title_sort | восстановление функциональной зависимости на основе временных рядов с использованием классов регрессоров бесконечной емкости |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72205 |
| work_keys_str_mv | AT pankratovand vosstanovleniefunkcionalʹnoizavisimostinaosnovevremennyhrâdovsispolʹzovaniemklassovregressorovbeskonečnoiemkosti AT zraževskiiag vosstanovleniefunkcionalʹnoizavisimostinaosnovevremennyhrâdovsispolʹzovaniemklassovregressorovbeskonečnoiemkosti |